Capitulo 2 - Estadística II

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Muestreo Estadístico

Capitulo II Ing. Wilson TRUJILLO ARANIBAR, FCyT-UMSS

Muestreo Estadístico 1.1 Teoría de Estimación Estadística Es el estudio de como obtener información sobre una población mediante muestras extraídas de ella. Sean X y S la media y la desviación típica de la distribución muestral de una variable (parámetro de una muestra). Entonces la distribución muestral de X es aproximadamente normal (según el teorema central del límite, para la media y proporciones cuan cu ando do N es   ≥   que que 30 30), ), ca cabe be es espe pera rarr po porr lo ta tant nto o qu quee el lo loss parámetros se encuentren dentro lo esperado.

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Muestreo Estadístico Teorema del Limite Central, establece:

-   A medida que aumenta aumenta el tamaño de la muestra, la distribución distribución de

muestreo de las medias de las muestras se acerca a una distribución normal. -   La media de las medias medias de muestra será la media media de la población. población. -   La desviación estándar de las muestras muestras que mejor se aproxima a la poblacional será S/√n. -   Si la población original no tiene tiene una distribución normal normal cualquier  muestra de más de 30 observaciones si tendera a una distribución normal.

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Muestreo Estadístico Calidades de un Estimador (sesgo débil, dispersión débil): aleatori rio o en mu mues estr treo eo se de debe be al he hech cho o qu quee se ext extra raee un unaa -   Lo aleato

-

muestr mues traa al az azar ar (e (ess de deci cirr co cont ntro rola land ndo, o, pa para ra ca cada da mu mues estr tra, a, su probabilidad de extracción).   La media media µ y la varianza σ ² de la variable X sobre la población son parámetros por estimar.   Es Esta tass di dist stri ribu buci cion ones es de pr prob obab abil ilid idad ad dep epen ende den n de dell ti tipo po de extr ex trac acci ción ón de la mues muestr tra; a; X y S² so son n es esti tima mado dore ress de µ y   σ² respectivamente.

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Muestreo Estadístico Ejemplo: Se Ejemplo:  Se considera una población de tamaño 5. Los valores de un variable real Y sobre esta población son iguales a:  Y1= 6, Y2=8, Y3= 9, Y4= 14, Y5= 13. Se obtiene:  = 10 y σ y σ²² = 9,2 Se extrae, con equi-probabilidad y sin reemplazo, una muestra tamaño 3. Para cada una de las 10 muestras posibles se calcula:

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Muestreo Estadístico Muestras

 y

Valores

 

 s 2

{1,2,3} {1,2,4}

6 6

8 8

9 14

7,667 9,333

2,333 17,333

{1,2,5} {1,3,4} {1,3,5} {1,4,5} {2,3,4} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}

6 6 6 6 8 8 8 9

8 9 9 14 9 9 14 14

13 14 13 13 14 13 13 13

9,000 9,667 9,333 11,000 10,333 10,000 11,667 12,000

13,000 16,333 12,333 19,000 10,333 7,000 10,333 7,000

Los cuale les s nos repr pro oducen los resul ulttados en enc contrado dos s a nivel de la pobla pob laci ción ón me medi diant ante e la las s si sigui guien ente tes s ex expr pres esio iones nes::  E ( Y  )    Ing. Wilson TRUJILLO ARANIBAR, FCyT-UMSS

 E ( S 2  )     2

 N   N   1

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Muestreo Estadístico ¿POR QUÉ USAR MUESTREO? se nec necesi esita ta tomarse tomasirse tod a la bastante, sopaa parabasta sop sabercon saber si laprobar sopaa est sop está -   No demasiado salada; setoda movió unaá

-

cucharada.   El muestreo es mucho más rápido rápido y mucho mucho menos costoso costoso que un estudio exhaustivo. Además, puede proporcionar resultados más precisos que un censo.   A veces, el manejo de un censo resulta imposible: imposible: por por ejemplo, cuan cu ando do se tr trat ataa de dell co cont ntro roll de ca cali lida dad d de un unaa fa fabr bric icac ació ión n de fósforos o de cualquier otra fabricación que se tiene que destruir  al controlarla.

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Muestreo Estadístico Como planificar un muestreo:

1. 2. 3. 4. 5.

  Establecer los los objetivos de la investigación que son posibles de de realizar.   Definir la población objetivo concerniente al estudio y de de la cual se va a extraer la muestra.   Defin Definir ir el marco del del estudio, estudio, como por por ejemplo ejemplo clases de edad edad para identificar de mejor manera a las observaciones.   Determinar el plan de muestreo muestreo función función del del análisis propuesto.   Méto Método do de medición, medición, que puede puede ser encuesta encuesta personal, personal, o por  teléfono, correo, etc.

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Muestreo Estadístico 6. Desarrollar la encuesta que nos ayudara al levantamiento de la encuesta. 7. Realizar la prueba piloto que consta de las primeras 30 encuestas que persigue concretizar la idea general de la encuesta y nos da pie al calculo del tamaño de muestra. 8. Realizar la encuesta final con todas las observaciones de la prueba piloto, y el tamaño de muestra determinado. 9. Analizar las respuestas u observaciones de la encuesta con los métodos estadísticos apropiados. 10. Analizar mediante estimaciones y pruebas de hipótesis para dar  respuesta a los objetivos de la investigación.

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Muestreo Estadístico 1.2 Tipos de Muestreo Probabilístico - Muestreo Aleatorio y Simple - Muestreo Sistemático - Muestreo por Estratos - Muestreo por Conglomerados

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Muestreo Estadístico El mu mues estr treo eo pr prob obab abil ilís ísti tico co pu pued edee se ser  r    MUESTR MUESTREO EO AL ALEATO EATORIO RIO SIMPLE, cuando todos los elementos de la población tienen la misma SIMPLE, probabilidad de ser seleccionados en la muestra y esta probabilidad es conocida. Este tipo de muestreo es el más recomendable, por que resulta más fácil de llevarse a cabo y, por lo tanto, es menos costoso. Para seleccionar una muestra de este tipo se requiere tener en forma de lista todos los elementos que integran la población y utilizar tablas de números aleatorios. Ing. Wilson TRUJILLO ARANIBAR, FCyT-UMSS

Muestreo Estadístico Otro tipo de muestreo probabilístico es el MUESTREO el  MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO,, el cual es susceptible de ser más preciso que el SISTEMÁTICO muestreo aleatorio simple. Se elige un primer elemento del universo y luego se van escogiendo otros elementos igualmente espaciados a partir del primero. Consiste en dividir la población en   n  estratos, compuestos por las primeras   K  unidades, las segundas k  unidades  unidades y así sucesivamente.

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Muestreo Estadístico Un cu cuar artto tip ipo o de mu mues esttre reo o pr pro obab abil ilííst stic ico o es el   MUESTREO ALEATOR ALEATORIO IO ESTRATIFICA ESTRATIFICADO se aplica cuando población no es homogénea con relaciónDO, a ,laque característica que se la desea estudiar: clases sociales, regiones, sexo, grupos de edad. En este caso la población queda dividida en estratos o grupos y el muestreo debe hacerse de tal forma que todos esos grupos queden representados. Para determinar el tamaño de la muestra en cada estrato, sobre todo si la estratificación es por niveles de ingreso y por regiones, se puede utilizar dos métodos:

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Muestreo Estadístico •

•

 Cálculo proporcional al tamaño del estrato: En este caso existe una relación proporcio proporcional nal entre el tama tamaño ño del estra estrato to y el númer número o de elementos que aporta a la muestra. Cuanto mayor sea el estrato, mayor será el tamaño de la muestra seleccionada.   Cálculo desproporcional desproporcional al tamaño del estrato: estrato: Este tipo de cálculo cálculo se utiliza para no tener muestras excesivamente grandes en los estratos de mayor tamaño y muestras demasiado pequeñas que no perm pe rmit itan an un an anál ális isis is may mayor or en lo loss est estra rato toss de me meno norr ta tama maño ño.. Much Mu chas as vec eces es,, lo loss pr prod oduc ucto toss a in invves esti tiga garr ti tien enen en su ma mayyor  demanda en los estratos más pequeños.

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Muestreo Estadístico Suponga que se planea hacer un total de 500 encuestas en la ciudad donde usted vive. Considerando los porcentajes de hogares en cada estrato soci so cio oec eco onóm ómic ico o en un mues estr treo eo pro rob bab abil ilís ísttic ico o co con n cá cálc lcu ulo proporcional obtendríamos: Nivel socioeconómico

% de hogares

Numero de entrevistas

A/B

8%

40

C

36%

180

D/E

56%

280

Total

100%

500

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Muestreo Estadístico Sin embargo, este número de entrevistas por estrato no permitiría mayor análisis y desvirtuaría los objetivos de la investigación en los estratos de menos muestra. Aquí se deberá calcular el tamaño de cadaa mu cad muest estra ra me media diant ntee el mét métod odo o de des-p s-prop roporc orcion ional, al, ut utili ilizan zando do el siguiente procedimiento:  Se numeran los hogares de la lista en forma independiente para cada estrato. •

 Se determina la característica importante para cada estrato y se hace una estimación de su distribución en la muestra total. •

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Muestreo Estadístico Nivel socio

% de

Numero Inicial

¿Pagaría 20%

Numero Final

Porcentaje

económico

Hogares

Entrevistas

más del precio?

3x4

Entrevistas

Equivalente

8%

40

60%

24

108

21.6%

36% 36

180

25%

45

203

40.6%

56%

280

15%

42

189

37.8%

100%

500

100%

111

500

100%

A/B C D/E Total

     

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Muestreo Estadístico Otro mu Otro muest estreo reo pro probab babilí ilísti stico co es el   MUESTR MUESTREO EO ALEA ALEATOR TORIO IO POR CONGLOMERADOS,, donde la población está integrada en grupos CONGLOMERADOS específicos. El mu mues estr treo eo se ha hace ce se selec lecci cion onan ando do en fo form rmaa al alea eato tori riaa alg algun unos os conglomerados dentro del conjunto total y procediendo a analizar a la población a partir de aquellos elementos seleccionados.

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Muestreo Estadístico 1.3 Estimación de una proporción y media en una población ESTIMACION EN LO ALEATORIO Y SIMPLE: Existen dos formas de estimación, la primera si se trata de una proporción que sucede cuando la variable es cualitativa, por ejemplo: ¿Usted consume regularmente yogurt? O cuando deseamos estimar un promedio de consumo por ejemplo, donde el tamaño de muestra depende de la variación de la variable: ¿Cuánto usted consume de yogurt regularmente?

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Muestreo Estadístico 1.3.1 Estimación de la Proporción Cuando Cuan do se tr trat ataa de un unaa mu mues estr traa co con n re reem empl plaz azo o (p (pob obla laci cion ones es infinitas), se puede calcular la precisión absoluta al 95% sobre la estimación estim ación de   P   en fu func nció ión n de la pr prop opor orci ción ón ob obse serv rvad adaa y   p   del tamaño de la muestra  n , con una precisión absoluta al 95% y error:  E   1.96 *

   p (1   p )

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n

, con: n

 Z   21     / 2 * ( P (1   P ))  E 2

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Muestreo Estadístico Al muestrear sin reemplazo, si el tamaño de la población es menor a medio unidades observación, de aj aju umillón star st ar lade de desv svia iaci ció óndees est tán ánda darr de es lassentonces la med edia iass que de debemos mues mu esttra multiplicándola por el factor de corrección para población finita:

 p  Z 

1    / 2

*

 P (1  P )    n

*

 N   n N   1

El teorema del limite central es tan importante por que nos permite usar los métodos básicos de la distribución normal en variedad de circunstancias. Ing. Wilson TRUJILLO ARANIBAR, FCyT-UMSS

Muestreo Estadístico Por lo que llegamos a la siguiente expresión despejando el valor de n, e igualando la expresión que contiene al error:

n

 Z 2 Npq e 2 ( N    1)  Z 2 pq

Donde todo es conocido, excepto el valor de P, que es estimado a partir de los resultados vistos en la prueba piloto de 30 o más encuestas.

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Muestreo Estadístico Para determinar el valor de   “n”  final, ya que varia según nosotros elegimos el error de muestreo, y como N es constante y P también es constante, será aquel tamaño de muestra que no necesite mucho tiempo o coste de realización. Para definirlo realizamos una tabla como: Error

n

1%

1000

2%

600

5%

300

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Muestreo Estadístico 1.3.2 Estimación de la Media Dad adaa la fo form rmaa co com mo se def efin inee el mar arg gen de er erro rorr E, ha hayy una probabilidad de 1-α  de que una media de muestra sea errónea (sea diferente de la media de la población  μ ) pero no más de E, y hay una probabilidad de α  de que la media de muestra sea errónea por más de E. Co Con n ba base se en la de defi fini nici ción ón de dell ma marg rgen en de er erro rorr E, po pode demo moss identificar el siguiente intervalo:  X   1.96 

S    (1  f  ) n

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, con:

n

 Z   21    / 2 * S 2  E 2

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Muestreo Estadístico Al calcular el tamaño de muestra n, si la formula no produce un numero enteromayor. siempre debe aumentarse el valor de n al siguiente numero entero Realizar una prueba piloto iniciando el proceso de muestreo. Con base en la primera recolección de por lo menos 30 observaciones, tendremos un estimado de la desviación estándar de la muestra S y la usamos en lugar de   σ. Este valor puede refinarse a medida que se obtengan más datos de muestra.

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Muestreo Estadístico Ahora si muestreamos sin reemplazo, o que la población es muy grande. Si tenemos una población relativamente pequeña el error  debe de be co con nte tene nerr el fa fact ctor or de co corr rrec ecci ción ón co como mo fu fuee el ca caso so de la lass proporciones: S   N   n  X   Z  * * 1    / 2  N   1 n  Y el tamaño de muestra muestra será igual a: n

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 Z 2 N   2 e 2 ( N   1)   Z 2  2

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Muestreo Estadístico Para determinar el valor de   “n”  final, ya que varia según nosotros elegimos el será error aquel de muestreo, como N es constante y S también es constante, tamañoyde muestra que no necesite mucho tiempo o coste de realización. Para definirlo realizamos una tabla como: Error

n

0,1 Kgr

1000

0,5 Kgr

600

1 Kgr

300

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Muestreo Estadístico En un muestreo estratificado estratificado se extra extraee una muestra dentro de cada estrato y se calcula el estimador medias o proporciones de cada estrato. para cada una de las

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Muestreo Estadístico Para el caso de la Proporción: L

n

2

 Z 1  αN p q h   i i i i i 1

2 2 e (N  1)  p q Z 1  α i i i

Para el caso de la Media: L 2 2 N σ Z ihi 1   α

n

i1

e2 (N  1)  σ 2iZ21

α

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Muestreo Estadístico En el caso de un muestreo estratificado los individuos de un mismo que ser contrario, ind ndiividuestrato os de tienen un m ism smo o homogéneos; con ong glomer eraadoa lo tien end den a slos er  hete he tero rogé géne neos os pu pues esto to qu quee se le less en encu cues esta tan n a to todo dos. s. Po Por  r  ejemplo, las agrupaciones familiares (un distrito de Cochabamba) es un conglomerado de individuos.

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Muestreo Estadístico Cuando en lugar de unidades se eligen grupos, bloques o conjuntos de unidades, se dice que el muestreo es por conglomerado c onglomerados. s. Cuando el conglomerado se corresponde con un área geográfica o zon zo na ter erri rittor oriial co con ncr cret eta, a, co com mo por eje jemp mplo lo la lass fam amil ilia iass de determ det ermina inado doss bar barrio rios, s, el mu muest estreo reo po porr con conglo glomer merado adoss rec recibe ibe el nombre de muestreo por áreas.

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Muestreo Estadístico Una vez elegidos los conglomerado conglomerados: s: todas las unidades que -   Si son pequeños, el estudio de realiza con todas lo componen.

-   Si son grandes, es imposible realizar el estudio con todos los

elementos. Hay que recurrir a la elección de una muestra de ese conglomerado.

-   Se pretende que los conglomerados sean homogéneos entre sí;

sin embargo, que las unidades que las componen sean heterogéneas.

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