Capítulo 1

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1. 1.1

TEORÍA DEL MODELO SATURN Generalidades

En la planificación de transporte son conocidas las consecuencias del cambio de la demanda o de la oferta de viajes en términos del rendimiento del sistema de transporte. Los modelos de transporte han sido desarrollados para poder asimilar los potenciales cambios y sus interacciones, evitando que las decisiones sean tomadas de manera intuitiva. Sin embargo, no existe un único modelo, porque, dependiendo de la magnitud del problema de transporte a modelar, puede que el modelo sobrepase sus capacidades de modelación. Así, para determinar el modelo a utilizar, se han seguido ciertas reglas que tienen como variables determinantes el número de intersecciones y el nivel de detalle de la modelación, lo cual se muestra en la Figura 1-1.

Alto ARCADY PICADY OSCADY GETRAM PARAMICS DRACULA

Nivel de detalle

Modelos “Microscópicos”

CONTRAM HINET JAM TRANSYT SATURN Otros

Modelos “Tácticos” ó Mesoscópicos

SATURN SELNEC TRAMP EMME2 ESTRAUS Otros

Modelos “Estratégicos” ó Macroscópicos

Bajo 1

Tamaño de red (Número de intersecciones) Figura 1-1 Elección de modelos de tráfico

1.000 o más

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El programa que se describe en este capítulo cae dentro de los llamados modelos tácticos., aunque también puede ser utilizado como un modelo estratégico o macroscópico. Estos son caracterizados por redes “pequeñas” de entre 50 y 150 intersecciones y que requieren un detallado análisis de la codificación de ellas. 1.2

Conceptos Relativos a SATURN

1.2.1

Modelos y modelación

El término “modelo” es usado normalmente para referirse a un programa o a un conjunto de programas unidos, el cual tiene como objetivo principal replicar o modelar algunos aspectos del mundo real. Para el caso de redes de transporte urbano existe un modelo denominado Simulation and Assignment of Traffic to Urban Road Networks, en adelante SATURN, el cual trata de reflejar un conjunto de vías y el comportamiento de los vehículos que las ocupan. Para SATURN los datos para poder modelar consisten en una red de arcos y una matriz de viajes y, posiblemente, algunos conteos de vehículos. Asimismo, SATURN dispone de un conjunto de programas interrelacionados y programas individuales que presentan funciones específicas dentro del modelo. Estos son los llamados sub-modelos, como por ejemplo, el sub-modelo de asignación. El modelo SATURN resulta recomendable para ser usado en las siguientes seis principales funciones básicas: • • • • • • 1.2.2

Como un modelo combinado de simulación y asignación para análisis de esquemas, medidas o intervenciones de tráfico en redes urbanas (de tamaño mediano, del orden de 100 a 200 intersecciones); Como un modelo convencional de asignación para análisis de grandes redes; Como modelo individual de simulación de intersecciones; Como editor de redes y análisis de sistemas y bases de datos de transporte. Para el tratamiento o análisis de matrices de viaje; Como modelo de demanda de viajes que abordan los elementos básicos de distribución de viajes, partición modal, entro otros. Asignación

SATURN ocupa un modelo de asignación para determinar las rutas que usarán los vehículos a través de la red vial codificada. Si para un par AB existe más de una ruta, el sub modelo determina la proporción del total de movimientos entre A y B que usa cada una de las rutas.

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Por razones computacionales, el submodelo de asignación determina para cada posible origen la ruta de menor costo global hacia cada posible destino. Así se generan árboles de rutas las cuales parten desde un punto (zona de origen) y cubren el conjunto de zonas posibles de destino. 1.2.3

Simulación

El sub modelo de asignación toma la demanda por viajar desde la matriz de viajes y la oferta de rutas desde la red vial, calculando las rutas que los vehículos siguen desde sus orígenes hasta sus destinos. Sin embargo, como son muchos los vehículos que están siendo asignados en una intersección, la demora asociada va cambiando. La relación entre flujo y demora es compleja desde los diferentes movimientos que se realizan. La función del submodelo de simulación es calcular las demoras para cada movimiento en cada intersección dadas las características de éstas y los flujos de viraje asignados. Una vez calculadas, estos resultados son transferidos al submodelo de asignación. 1.3

Modelo Básico de SATURN

El modelo básico de SATURN consta de ocho programas, además de un conjunto de programas auxiliares que sirven para el análisis de resultados entre otros. Los primeros tres son los que conciernen a los flujos de tráfico vehicular en la red y los últimos cinco se refieren, generalmente, al análisis de los resultados de las redes cargadas con los flujos de las asignaciones. Los tres primeros programas son: •

SATNET: Verifica el archivo de la codificación de la oferta vial (red vial) y entrega un archivo interno como entrada de SATALL;

•

MXM1: Verifica el archivo de la matriz de viajes y la tranforma en un formato adecuado para ser procesada por SATALL; y

•

SATALL: Combinación de simulación-asignación que toma como entrada los archivos red vial y la matriz de viajes creados anteriormente y asigna tráfico vehicular por distintas rutas factibles mientras simula las correspondientes demoras.

Los programas de análisis son: •

SATLOOK: Mediante análisis numérico detalla las condiciones del tráfico vehicular y sus estadísticas asociadas;

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1.4

•

SATED: Editor de la red que toma las intersecciones en forma aislada y estudia el análisis del efecto de aislamiento;

•

P1X: Módulo gráfico que permite representar los resultados desplegables de los programas anteriores (incluye las principales variables entregadas por SATLOOK);

•

SATDB: Programa de análisis de bases de datos que permite flexibilizar la salida de datos de la red;

•

MX: Permite manipular o intervenir la matriz de entrada o de salida para posibles cambios (como reducción, amplificación, suma) El Submodelo de Asignación

El submodelo de asignación necesita una red de modelación y una matriz de viajes para poder asignar los viajes a través de la red vial. El procedimiento estándar que utiliza SATURN se basa en el principio de Wardrop de equilibrio de tráfico1 (UE) el cual se puede resumir cómo: “los conductores elegirán las rutas entre cada par O/D, en el equilibrio, tal que el costo generalizado de viaje de todas la rutas usadas deben ser iguales y mínimas” Para poder realizar dicho principio, SATURN se basa en el algoritmo de Frank Wolfe (FW) que pretende minimizar la siguiente función objetivo:

F .O = Z (n) = ∑ ∫ a

Va( n )

0

Ca ( x)dx

Donde Ca ( x) es el costo del arco “a” en función de un conjunto de flujos “x” El algoritmo es como sigue: 1. Coloca el contador n=1 2. Asigna todos los viajes O/D de modo de producir un conjunto de flujos en los arcos de (n) la red v con n=1. Así, se puede generar un vector que denota la estimación de flujo (n) en el arco a en la iteración n, va . Convencionalmente, la primera asignación se realiza utilizando el criterio “todo o nada”2.

1

Ortúzar, J. de D. and Wilumsen,L.G. (1990), Modelling Transport, John Wiley & Sons, West Sussex, England. Pag 254 2 Ibidem 1.

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(n)

3. Ajusta los costos de los arcos en concordancia con los flujos actuales de los arcos va , es decir, para cada arco coloca: (n) ca( n ) = ca (va( n ) ) donde para cada a, ca denota funciones de costo-flujo definidas por el

usuario. (n)

4. Para cada movimiento O/D crea un nuevo conjunto “todo o nada” basado en c y asigna todos los viajes de la matriz Tij y produce un conjunto auxiliar de flujos en (n) arcos, F 5. Genera una nueva estimación de flujo de equilibrio en arcos, v combinación lineal de v

(n)

y F

(n)

( n +1)

, como una

, según:

v( n+1) = (1 − λ )v( n ) + λ F ( n ) , 0 ≤ λ ≤ 1, donde λ es escogido de tal forma que los nuevos

flujos v

( n +1)

minimicen la función objetivo.

6. Incrementa n en 1 y retorna al paso 2 hasta que n satisfaga el máximo número de iteraciones (NITA) o se cumpla el criterio de convergencia. 1.4.1 Criterio de monitoreo de la convergencia Frank Wolfe Existe un criterio de monitoreo para la convergencia de Frank Wolfe que está dado por la siguiente expresión denominada “delta” (δ):

δ=

∑ ijp

Tpij ( c pij − cij* ) ∑ Tij cij*

Tpij: Flujo por la ruta p desde i a j Tij: Viajes totales de i a j Cpij: Costo (en congestión) de viajes entre i y j para la ruta p Cij* : Mínimo costo de viaje entre i y j El valor de “delta” debe ser menor a 1 para obtener una convergencia adecuada de la asignación. Para más detalles sobre este parámetro ver el Manual de SATURN sección 7.1.4

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1.4.2 Criterio de parada Frank Wolfe Otro criterio es mirar directamente la función objetivo y ver su comportamiento.

(

)

Ζlb (n) = Ζ ( n ) − ∑ Tpij ( c pij − cij* ) , donde Z lb (n) es la mejor aproximación a Z (n) en la iteración n

ε (n ) = Ζ(n ) − Ζ lbmax (n ) , donde Z lbmax = max ( Z lb (i ), i = 1.....n) . Luego, una medida de convergencia de la asignación se define como:

F (n ) = (Ζ(n ) − Ζ(n − 1)) / ε (n ) = ∆Ζ(n ) / ε (n ) Así, la asignación finaliza cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones: i) n ≥ NITA , es decir, se sobrepasa el número de iteraciones de la asignación; ii) β ( n ) ≤ XFSTOP , donde XFSTOP es definido por el usuario y corresponde al parámetro de parada del equilibrio de Wardrop para longitud mínima de pasos; iii) F ( n − 1) ≤ FISTOP y F (n − 2 ) ≤ FISTOP , donde FISTOP es el parámetro de monitoreo del equilibrio de Wardrop para incrementos fraccionales en la función objetivo; o iv) ε (n ) / Ζ(n ) < UNCRTS , donde UNCRTS es el parámetro parada para el monitoreo del parámetro epsilon.

Una alternativa al equilibrio de tráfico de Wardrop es el llamado Equilibrio de Asignación Estocástico de usuario (SUE), el cual elige la ruta individualmente de modo que, en ésta, el costo percibido sea mínimo. La principal diferencia entre este principio y el de Wardrop es que en este último todos los usuarios perciben el costo del viaje de manera idéntica. El método estándar para obtener la solución de SUE es el método de promedios sucesivos (MSA). En la misma línea que Frank Wolfe usa el algoritmo “todo o nada” basado en costos fijos como “bloques construidos” para estimar el UE, pero MSA usa el llamado carga de redes estocásticas (SNL) basado en costos fijos (medios) para estimar el SUE. El SNL esta basado a su vez en la simulación de Monte Carlo3 la cual no se describe en este documento. 3

Ortúzar, J. de D. and Wilumsen,L.G. (1990). Modelling Transport. John Wiley & Sons, West Sussex, England pag 251-252 and 258-259.

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El método SNL puede ser utilizado de la misma forma que la asignación “todo o nada” descrita por el UE, pero se deben realizar solamente dos cambios: a) Reemplazar la asignación “todo o nada” en los pasos (2) y (3) por el método SNL. b) Colocar

λ=

1 n

en el paso (5) y remover cualquier mención a funciones objetivos.

Para poder utilizar SUE en SATURN es necesario cambiar el parámetro SUZIE a TRUE en el archivo de red. 1.4.3 Convergencia SUE En orden de monitorear la convergencia del equilibrio estocástico se debe considerar lo siguiente. Los costos totales al final de cada iteración son:

( ))

C ( ) = ∑ Va( )Ca Va( n

n

a

n

donde Va( n ) es el conjunto de flujos en todos los arcos “a” en la iteración n. Luego, la convergencia estará asegurada en el momento que los costos totales C(n) fluctúen cerca del valor óptimo. Diferencias sucesivas entre Va(n −1) y Va(n ) pueden ser monitoreados como raíz cuadrada de la diferencias ó diferencias promedios absolutas. Tanto el equilibrio estocástico como el de usuarios de Wardrop asumen que la matriz de viajes es fija y no depende de los costos los arcos. Para ello, SATURN también tiene incorporado la opción de trabajar con matrices de viajes que sí dependan de los costos entre cada par OD, que es llamado asignación elástica. La formulación matemática primitiva de esta asignación es: Tij = f (Cij )

donde la matriz Tij es función de los costos Cij que indica los costos de viajar de i a j Para mayores detalles de como utilizar dichas funciones de costos, ver sección 7.4 del Manual de SATURN.

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1.5

Elección de Modelo de Selección de Rutas

Si se considera que la asignación “todo o nada” basada en los costos fijos de los arcos (independiente de los flujos) es tan correcta como una SNL basado en costos medios fijos (término denominado “estocástico puro”), entonces, se pueden considerar cuatro categorías de modelos de selección, los cuales se muestran en la Tabla 1-1¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

¿Están incluidos efectos estocásticos? No Si ¿Está incluida la restricción de capacidad?

No

Todo o nada

Estocástico Puro

Si

Equilibrio de Wardrop (UE) Equilibrio de usuario estocástico (SUE) Tabla 1-1 Elección de tipo de asignación

El factor determinante para saber cual aplicar es el nivel de congestión. En redes de congestión pequeña, con costos y tiempos de viajes efectivamente fijos, el modelo estocástico es, usualmente, el preferido. Sin embargo, cuando la congestión aumenta, es esencial el efecto de restricción de capacidad y la alternativa está entre UE y SUE. En un nivel intermedio de congestión una buena decisión es utilizar el modelo SUE. Para redes con congestiones elevadas, es preferible evitar el efecto estocástico ocupando el modelo de equilibrio de usuarios de Wardrop. Asimismo, varios estudios realizados en Gran Bretaña han demostrado que al modelar flujos grandes los resultados en ambos modelos presentan diferencias menores. Entonces, la pregunta es definir cuándo se habla de un nivel de congestión bajo, intermedio o alto. Una medida de congestión entregada por SATURN es la razón de velocidad promedio de viaje en congestión bajo condiciones de flujo libre. En SATURN este valor es llamado EPSILON-2. Como regla se ha definido que para valores menores a 5% se utiliza el método estocástico puro, entre 5% y 25% se ocupa SUE y, para valores mayores, se ocupa UE. En caso de dudas, dos o más modelos pueden ser probados para determinar la sensibilidad de los resultados. 1.6

El Submodelo de Simulación

La función básica del submodelo de simulación es calcular las demoras obtenidas para una cierta ruta especificada por el submodelo de asignación.

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1.6.1 Perfiles de flujo cíclico Para modelar el movimiento de los vehículos es usualmente necesario obtener un compromiso entre el nivel de detalle y el tiempo de ejecución. En particular, como la simulación tiene que ser definida un alto número de veces durante la simulación completa, la modelación de los autos en forma individual es inaceptable en términos procesamiento (alto tiempo de CPU). Para simplificar este efecto se utiliza la técnica de dispersión de pelotones. En efecto, para representar la dispersión de pelotones, en vez de la simulación individual de los vehículos, SATURN considera el proceso Perfiles de Flujo Cíclico (Cyclic Flow Profiles (CFP)),procedimiento aprobado en el programa TRANSYT4. Los CFP en SATURN están basados en los movimientos de viraje, seguido de los movimientos prohibidos. En efecto, para cada viraje desde un arco i a otro j se asocian cuatro CFP, lo cuales son: • • • •

patrón IN, el perfil de flujo de aguas arriba del arco i patrón ARRIVE, perfil de flujo aguas abajo del arco i patrón ACCEPT, el patrón del tráfico que puede actualmente realizar el viraje patrón OUT, el perfil de flujo aguas arriba del arco j.

En la Figura 1-2 se puede apreciar estos patrones.

ACCEP T

ARRIVE

IN

OUT Arco j Figura 1-2 CFP utilizados en SATURN

4 Robertson, D.I. (1974). Cyclic flow profiles. Traffic Engineering ann Control. 15 pp. 640-1

Arco i

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Los perfiles pueden ser descritos como sigue: • • •

El patrón ARRIVE es derivado desde el IN usando dispersión de pelotones; El patrón ACCEPT es derivado independientemente y está basado, esencialmente, en la capacidad, los tiempos del semáforo y las condiciones de tráfico; y El patrón OUT de un viraje está basado en los patrones ARRIVE y ACCEPT, y contribuye para el patrón total IN del próximo viraje.

1.6.2 Demoras Adicionalmente, existe un quinto CFP, que en el perfil QUEUE, que representa el número de vehículos en cola en cualquier punto dentro del ciclo. Existen dos tipos de demoras: • •

demoras “transientes” demoras “sobre capacidad” o “ en cola”

Las demoras “transientes” corresponden al tiempo perdido en cola durante el rojo de un semáforo. Las demoras “en cola” corresponden a las producidas por los virajes. En ciertas circunstancias, las demoras tienden a ser demasiado altas, más bien, poco realistas. A fin de solucionar estos casos, se han introducido al modelo los parámetros MXDTP y MAXQCT para imponer límites a las demoras. Por ejemplo, valores realistas de estos son, respectivamente, 10 y 60 minutos. Habiendo calculado los perfiles para cada viraje, el programa usa el perfil de colas para calcular la demora promedio por vehículo. Adicionalmente, para calcular la demora actual es necesario encontrar una importante función de la simulación, que es calcular la curva flujodemora para un movimiento de viraje. Se trata de especificar la relación marginal (aproximada) entre la demora y el flujo en cada viraje. Esta es la clave principal de SATURN, dado que encontradas las curvas flujo-demora, éstas son traspasadas al submodelo de asignación a objeto de asignar los viajes por las rutas. La ecuación de una curva flujo-demora es de la siguiente forma: t = t0 + a v n

(

)

t = t0 + a c n + b v − 1 c

donde:

t0 :

v≤c v>c

es el tiempo de viaje a flujo libre (horas)

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v:

c: b:

es el flujo en pcu/hr es la capacidad del arco en pcu/hr y es una constante interna del programa y es igual a la mitad del periodo de tiempo a ser modelado (horas)

Para movimientos de viraje, a y n son calculados por el programa usando tres diferentes vías: a flujo cero, a flujo actual y a capacidad.