Capitulo 13_Diseño de Resortes

Diseño de resortes Introducción Casi cualquier pieza con material elástico conserva cierta propiedad de “resorte”. El termino resorte en el contexto de este capítulo se refiere a piezas faricadas con confi!uraciones particulares que proporcionan un ran!o de esfuerzos a lo lar!o de una deflexión si!nificativa " para almacenar ener!ía potencial. #os resortes se diseñan para dar una fuerza de empu$ar% tirar o torcer% o para almacenar ener!ía. #os resortes se farican de alamre redondo o rectan!ular dolado se!&n una forma adecuada de espira% o faricados con material plano% car!ado con una vi!a. #a tala '()* define las variales mane$adas en este este capítulo% +aciendo referencia a las secciones p ecuaciones en las cuales aparecen. ,asa de resorte  -parte de su confi!uración% el resorte tendrá una tasa o constante/ del resorte 0% definido como la pendiente de su curva fuerza deflexión. 1i la pendiente es constante podrá definirse como2  F  k =  ( 13.1)  y

Donde 3 es la fuerza aplicada " y  es  es la deflexión. Dado que la función deflexión siempre es posile determinarla para cualquier !eometría " car!as conocidas% " puesto que la función deflexión expresa una razón entre la car!a aplicada " la deflexión% es posile reor!anizar al!eraicamente " expresa 4 como la ecuación '(.' #a tasa de resorte podría ser un valor constante resorte lineal/ o variar con la deflexión resorte lineal o no lineal/. -mos tienen su aplicación% pero se suele recurrir al resorte lineal para controlar car!as. 5uc+as confi!uraciones con tasas de resorte constantes% " unas cuantas tienen tasa i!ual a cero fuerza constante/.

Cuando intervienen varios resortes% la tasa resultante dependerá de si la cominación se realiza en serie o en paralelo. En las cominaciones en serie la misma fuerza pasa a trav6s de todos los resortes " y  cada  cada uno contriu"e con una parte de la deflexión total% se!&n se oserva en la fi!ura '()'a. #os resortes en paralelo todos sufren la misma deflexión% la fuerza total se divide entre cada uno de ellos% se!&n se oserva en la fi!ura '()'. En el caso de resortes en paralelo% las tasas individuales del resorte se suman directamente2 k total =k 1 + k 2 + k 3 … + k n ( 13.2 a )

7ara resortes en serie% las tasas o constantes de resortes se a!re!an en forma reciproca2 1

k total

 1

1

1

k 1 k 2

k 3

= + +

…+

1

k n

(13.2 b )

'(.8 Confi!uración de resortes #os resortes se clasifican de diferentes formas. #os cuatro tipos de car!a mencionados en la sección '(.* es una de ellas. 9tra es en función a la confi!uración típica del resorte. 5ane$aremos este <imo procedimiento. #a fi!ura '()8 muestra una sección de confi!uraciones de resortes. #os resortes de alamre vienen en forma helicoidal de compresión, helicoidal de tensión % helicoidal de torsión " especiales. #os resortes planos son vigas en voladizo o simplemente apoyadas% " son de muc+as formas. #as roldanas de resorte vienen en una de estilos2 curvas% onduladas% de dedos o Belleville. #os resortes de oina planos sirven como motores% de voluta o de fuerza constante. -nalizaremos todas estas confi!uraciones de manera !eneral " al!unos de ellos se diseño en particular. #a fi!ura '()8: muestra cinco formas de un resorte +elicoidal de compresion. ,odas ,odas ellas proporcionan fuerzas de empu$e " realizan deflexiones !randes. !rande s. #a

aplicasion comun es como resortes de retorno para valvulas en motores% los resortes para troqueles% etcetera. #a forma estandar tiene espiras de diametro constante% paso constante " tasa o constante del resorte. Es la confi!uracion de reosrte mas comun% " +a" en existencia muc+os tamaños. #a ma"or parte estan faricados de alamre redonde% pero tamien se farican de alamre rectan!ular. Es posile camiar el paso " crear un resorte de paso variale. #as espiras de tasa a$a se cerraran primero% con lo que se incrementa la tasa eficaz cuando se tocan una " otra% es decir% cuando “toquen fondo”. #os resortes conicos se farican "as sea con tasa constante o una en incremento. 1u tasa de resorte por lo !eneral no es lineal% incrementandose con la deflexion% "a que las espiras de diamtro mas pequeño tieen una resistencia ma"or a la deflexion% " las espiras ma"ores se flexionan primero. ;ariando el paso de las espiras es posile lo!rar una tasa de resorte casi constate. 1u principal venta$a es su capacidad de cerrarse a una altura tan reducida como un diametro de alamre% si las espiras se anidan unas dentro de otras. #os resortes de arril " de relo$ de arena suelen considerarse como si fueran dos resortes conicos li!ados% amos con tasa de resortes alineal. #as formas de arril " relo$ de arena sirven en articular para modificar la frecuencia natural del resorte en relacion con la forma estandar. #a fi!ura '(.8 muestra un resprte +elicoidal de extension con !randes !anc+os en amos extremos. 7roporciona fuerza de traccion " es capaz de deflexiones !randes. Estos resortes se emplean en cierrapuertas " contrapesos. El !anc+o queda mas esforzado que las espiras "% por lo !eneral. 3alla primero. Cualquier cosa suspendida del !anc+o caera al romperse el resorte de extension% +aciendo que su diseño sea poco se!urp. #as fi!ura '()8c muestra un resorte de arra de extension% que resuelve este prolema mediante un resorte +elicoidal de compresion en modo de traccon. #as arras de extension comprimen el resorte% " si este se rompe% aun su soportara la car!a con se!uridad

#a fi!ura '()8d muestra un resorte +elicoidal de torsión% enrollado de manera similar el resorte +elicoidal de extensión% pero car!ado a torsión. -plicaciones comunes para ellos son contrapesos para puertas de !ara$e% tatoneras% etc. n resorte de compresion se car!a como una columna " se pandea si es demasiado eselto. 1e crea un factor similar de eseltez como una razon de aspecto% de la lonn!itud lire al diametro externo de la espira # f KD. si este factor es NB% el resorte se puede pandear. Es posile evitar un pandeo e xa!erado mediante la colocación del resorte en una perforación o alrededor de una varilla. 1in emar!o% el rozamiento de las espiras sore estas !uías enviará +acia tierra parte de la fuerza del resorte a trav6s de la fricción% reduciendo la car!a entre!ada en el extremo del resorte.

De la misma manera que en las columnas sólidas% las limitaciones en los extremos del resorte afectarán su tendencia a pandear. 1i uno de los extremos está lire para inclinarse% se!&n se muestra en la 3i!ura '()l(a% el resorte se pandeará con una razón de aspecto más pequeña que si está su$eto en cada extremo entre placas paralelas% como se muestra en la 3i!ura '()'(. #a razón de la deflexión del resorte a su lon!itud lire tami6n afecta su tendencia a pandear. #a 3i!ura '()'B muestra un trazo de dos líneas% que ilustra la estailidad de los dos casos de restricción de extremos que aparecen en la 3i!ura '()'(. -quellos resortes que ten!an cominaciones de razón de aspecto a razón deflexión a la izquierda de estas líneas serán estales contra el pandeo.

*scilación del resorte a la compresión Cualquier dispositivo que ten!a a la vez masa " elasticidad tendrá una o más frecuencias naturales% como fue visto en el Capítulo F% en relación con las viraciones en flec+as. #os resortes no son excepción a esta re!la% " viran tanto lateral como lon!itudinalmente al ser excitados dinámicamente cerca de sus frecuencias naturales. Si se permite que entren en resonancia% las ondas de viraciones lon!itudinales% llamadas oscilaciones% +arán que las espiras !olpeen una contra otra. #as importantes fuerzas provenientes tanto de las deflexiones excesivas de las espiras% como de los impactos% +arán que el resorte falle. - fin de evitar esta situación% el resorte no deerá ser ciclado a una frecuencia cercana a su frecuencia natural. En teoría% la frecuencia natural del resorte deerá ser superior a '( veces la correspondiente a cualquier frecuencia aplicada impuesta.

#a frecuencia natural n % o lo que es lo mismo f n de un resorte +elicoidal de compresión% depende de sus condiciones de frontera. #a disposición más com&n " más deseale es mantener amos extremos fi$os% "a que su f será el dole al correspondiente a un resorte con un extremo fi$o " otro lire. En el caso fi$o)fi$o2

 n= π 

√

√

 K! rad 1  K! $ n=  %& ( 13.11 a) " a s#! 2 " a

donde k es la lasa de resorte% W n es el peso de las espiras activas del resorte " ! es la constante de la !ravedad. 1e puede expresar como una frecuencia an!ular  n

% o como una frecuencia lineal f. El peso de las espiras activas se determina

a partir de2 2

" a =

2

π  d  DN a '  4

( 13.11 b )

donde S es la densidad de peso del material. 7ara el peso total del resorte sustitu"a N a, en lu!ar de N a. ?eemplazando las ecuaciones '(.@ " '(.lla en la ecuación '(.ll nos da $  n=

2

d

π N a  D

2

√

¿ %& (13.11 c )

32 ' 

para la frecuencia natural de un resorte +elicoidal de espiras fi$o)fi$o. 1i un extremo del resorte está fi$o " el otro lire% act&a como un resorte fi$o)fi$o del dole de su lon!itud. 1e determina su frecuencia natural mediante la ecuación '(.' ' e un n&mero para Na que sea el dole del n&mero real de espiras activas presentes en el resorte fi$o)lire.

Resistencias permisibles para los resortes a la compresión na deflexión del '** representa la condición plana% " una fuerza del '** representa la fuerza de ese resorte en condición plana. #os valores asolutos de fuerzas " de deflexión variarán en función de la razón /, del espesor  " del material. En / T *.B% la tasa de resorte es cerca de lineal " se parece a la curva de un resorte +elicoidal. Conforme se incrementa / por encima de *.B% la tasa se +ace más alineal% " a / T '.B'B% la curva tiene una torsión de un valor casi constante% centrada alrededor de la posición plana. 1u fuerza se desvía en menos de ]'  del valor de fuerza a una deflexión de '** sore el ran!o del O* al '8* de deflexión a piano " está dentro de un ]'* sore del  al 'B de deflexión a plano% se!&n se oserva en la 3i!ura '()('.  - relaciones / por encima de '.B'B% la curva se convierte en imodal. >na fuerza aplicada dada corresponde a más de una posile deflexión. 1i se monta este tipo de resortes para permitir que va"a más allá de la condición plana% se!&n se oserva en la 3i!ura '()(8% será iestale% requiriendo una fuerza en cualquiera de las direcciones para +acerlo disparar más allá del centro. #a t6cnica de monta$e que se muestra en la 3i!ura '()(8 tami6n resulta &til para resortes de relaciones / menores% "a que permite dos veces la deflexión potencial " lle!a a aarcar la totalidad de la sección de fuerza constante de un resorte de razón / '.B'B.

0unción carga de$le%ión de las roldanas Belleville #a relación car!a)deflexión no es lineal% por lo que no podemos enunciarla como una tasa de resorte. 1e calcula a partir de

[

( ) ]

 y 4 4y 3  F = ( 6 −  y ) 6 − t  + t  ( 13.35 a) 2 2 2 ( )  K 1 D0 1−3

Donde  K 1=

6

π  ln . d

[

( .d −1 )  .d

2

2

]

 D0

−1  y . d =

 D*

(13.35 b )

#a car!a en la posición plana "T+/ es 3

4 4 6t 

 F  )lana =  (13.35 c ) 2 2 ( )  K 1 D0 1 −3

#as curvas en la fi!ura '()(* fueron !eneradas mediante estas ecuaciones.

"s$uerzos en la roldana Belleville

#os esfuerzos no están distriuidos de manera uniforme en la roldana% sino que están concentrados en los ordes de los diámetros interior " exterior% se!&n se oserva en la 3i!ura '()((. El esfuerzo más !rande ^ c ocurre en el radio inferior del lado convexo " es a la compresión. #os ordes del lado cóncavo tienen esfuerzos a la tensión% siendo el esfuerzo del orde exterior ^ t* por lo !eneral más elevado que el esfuerzo del orde interior ^ ti. #as expresiones para los esfuerzos en las posiciones definidas en la 3i!ura '()(( son 0 c =

[ ( ) ]

−4 4y  y  K  6− + K  t  ( 13.36 a ) 2  K   D ( 1 −3 ) 2

1

0 t* =

2

2

0

4  4y

 K 1 D0

0 t  0 =

2

( 1− 3 ) 2

4 4y

 K 1 D 0

2

( 1− 3

2

3

[ ( ) + ]( − K  6 −

 y

2

 K 3 t 

2

) + ]( )[ (  K 4 6 −

 y

 K 5 t 

2

13.36 b )

13.36 c )

Donde 6

 K 2=

π  ln . d

6

 K 3=

π ln . d

[

 K 4 =

 K 5=

[

 .d −1

[

 .d −1

ln . d

2

]

−1  y . d=

](

ln . d

(

2  . d −1

)

 D*

(13.36 d )

13.36 # )

 . d ln . d −( .d −1 )

.d

 D0

][ (

.d 2

 .d −1 )

]

(13.36 $  )

( 13.36 ! )

-arga est;tica de roldanas Belleville

El esfuerzo a la compresión ^c por lo !eneral es el que controla el diseño en car!as estáticas% pero dado que el esfuerzo está mu" concentrado en los ordes% ocurrirá fluencia local para su alivio " el esfuerzo en todo el resorte será menor. Dado que el ^ c local es más elevado que el esfuerzo promedio% se puede comparar con un valor de resistencia superior a la resistencia máxima a la compresión S7 . Dado que para los resortes suelen utilizarse materiales uniformes% 1uc T 1ut. #a ,ala 13-15 muestra al!unos porcenta$es recomendados de 1 ut% para comparación con a% en car!a estática. ?econozca que en !eneral el material no resiste estos niveles de esfuerzo. 1on sólo una manera de predecir la falla en ase del esfuerzo localizado ^c. El asentamiento la eliminación del asentamiento/ se aplica para introducir esfuerzos residuales favorales% " el esfuerzo permisile se incrementa de manera sustancial% se!&n se aprecia en la ,ala '()'.

-arga din;mica 1i el resorte está car!ado dinámicamente% los esfuerzos máximo " mínimo a la tensión ^ti " ^t*% en los extremos de su ran!o de deflexión deerán calcularse a partir de las ecuaciones '(.( " determinarse a partir de esto los componentes alternante " medio. - continuación se lleva a cao un a nálisis del dia!rama Aoodman " se determina el factor de se!uridad a partir de la ecuación '(.(Ba. 1e determina el límite de resistencia a la fati!a del material se!&n los m6todos del Capítulo . 1e puede aplicar el !ranallado para incrementar la vida a la fati!a.

Resortes apilados #a deflexión máxima de un resorte =elleville tiene tendencia a ser pequeño. - fin de otener más deflexión% se apilan en serie se!&n se muestra en la 3i!ura ' 335#. #a fuerza total será la misma que para un solo resorte% pero se a!re!arán o sumarán las deflexiones. ,ami6n se pueden apilar en paralelo% como se muestra en la 3i!ura 13-35a, en cu"o caso la deflexión total será la misma que en un solo resorte% pero se sumarán las fuerzas. ,ami6n son posiles cominaciones en serie " paralelo. 9serve sin emar!o% que las pilas serie o serie)paralelo son in+erentemente inestales% " deen ser !uiadas sore una espi!a o en una perforación% en cu"o caso% la fricción reducirá la car!a permisile. #a fricción entre +o$as tami6n suele ser importante en pilas en paralelo.

!ise7o de los resortes Belleville El diseño de los resortes =elleville requiere de iteración. Deerán esco!erse valores de pruea de la relación de diámetros R d  " de la razón /. El tipo de la curva de deflexión fuerza deseada su!erirá una razón apropiada / v6ase la 3i!ura '()(*/. 1i se especif ica una fuerza o un ran!o de fuerzas% la deflexión asociada se calcula a partir de las ecuaciones 13.35 una vez que se supon!an un diámetro exterior " un espesor. Es posile estimar el espesor requerido para tener una fuerza específica en la posición plana a partir de 13.37 us

√

2

 F  )lano  D 0 t =  ¿ 132.4 6 / t  4