Capitulo 10 de Metodos Numericos

 

10. Resoluci´ o on n num´eerica ric a de prob problema lemass de contorno Eduardo S´ainz ainz de la Maza 7 de abril de 2011

 

´ Indice general

10.Problemas de contorno

2

10.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

10.2. El m´etod odoo de tiro simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

10 10.3 .3.. Di Dific ficul ulta tade dess d del el m´etodo e todo de ti tiro ro si simp mple le . . . . . . . . . . . . . .

7

10.4. El m´etodo eto do de tiro m´ultiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1

 

Cap´ıtulo 10 Resoluci´ on nu num´ m´ erica de problemas de contorno 10.1 10 .1..

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

En este cap cap´´ıtulo estudia estudiaremos remos el m´eetodo todo de tiro para problem problemas as de contorno. Se tra trata ta de aprovechar los m´eetodos todos para aaproximar proximar problemas de valores iniciales, estudiados en este curso, para resolver problemas de contorno. Transformaremos por tanto la resoluci´oon n de un problema de contorno en una sucesi´oon n de resoluciones de problemas de valores iniciales, a los que podremos aplicar ap licar los m´eetodos todos estudiados. Consideremos el sistema de  m  ecuaciones diferenciales ordinarias y  (x) =  f (x, y (x)) (10.1) m donde   f   :   D   = [a, b]   Rm   R . Es decir,   y (x) y   f (x, y (x)) tienen   m componentes que den denotaremos otaremos con sup super er´´ındices ccuando uando sea ne necesario cesario

 ×

→

y  = (y 1 , y 2 , . . . , ym )T ,

f   = (f 1 , f 2 , . . . , f m   )T ,

satisfaciendo unas condiciones de contorno de la forma Ay (a) +  B  By y (b) =  c

donde   A   y   B  son matrices   m

× m y c ∈ R

m

 

(10.2)

.

En la pr´actica actica muchas veces estas condiciones de contorno aparecen separadas A1 y (a) =  c 1   ,

B2 y (b) =  c 2

 

(10.3)

o tambi´een n como una relac relaci´ i´oon n no lineal de la forma r(y (a), y (b)) = 0

2

(10.4)

 

donde   r  es una funci´oon n vectorial de 2m  variables r u, v

(

  )=

r1 (u1 , . . . , um , v1 . . . , vm

 )   )

.. . , v  . . . , v . rm (u1 , . . . , um m 1

(10.5)

No disponemos disp onemos de una teor´ııaa general de resulta resultados dos de existencia y unicidad, pudiendo tener varias soluciones o ninguna en un problema de contorno. Ejemplo   10.1. 10.1.  La ecuaci´oon n diferencial de segundo orden

w  + w   = 0

(10.6)

podemos escribirla como un sistema de dos ecuaciones de primer orden, tomando   y1 (x) =  w (x), y2 (x) =  w  (x) y1



=

  y2

y2

.

 

(10.7)

y1

  − 

Tiene la soluci´oon n general

w(x) =  c 1 sin x + c2 cos x ,

c1 , c2   arbitrarias.

Si imponemos las condiciones de contorno π w( ) = 1

w(0) = 0 ,

2

existe una u unica ´ nica soluci´on on   w(x) = sin x. Cuando ponemos las condiciones de contorno w (0) = 0 , w (π ) = 0 existen infinitas soluci soluciones ones   w(x) =  c sin x.

Cuando ponemos las condiciones de contorno w (0) = 0 ,

w (π ) = 1

entonces no existe soluci´oon. n.

3

 

(10.8)

 

10.2.. 10.2

El m´ m´ etodo etodo de tiro simpl simple e

Analizaremos el m´eetodo todo de tiro simple con un ejemplo. Consideremos el problema de contorno dado por la siguiente ecuaci´oon n de segundo orden que sabemos escribir como un sistema de dos ecuaciones de primer orden

 ( ) = ( )  (( )) == Le podemos asociar el problema de valores iniciales  ( ) = ( )  (( )) == w  x w a w b

  f  x, w, w   α   β 

(10.9)

w  x w a w a

  f  x, w, w   α  s

(10.10)

que tiene una u unica ´nica soluci´oon n   w(x)   w(x; s) que depende de la condici´oon n  inicial  s  para  w (a). Este Est e pr problema oblema sa sabemos bemos resolverlo con los m´eetodos todos estudiados en este curso. Pero para un valor dado de   s  la soluci´oon n del problema de valores iniciales 10.10 no tiene por que satisfacer la condici´oon n de contorno w (b) =   β  del problema de contorno 10.9. Buscamos por tanto, el valor adecuado del par´aametro metro  s  = s¯ para el problema 10.10 de manera que su soluci´oon n cumpla la condici´oon n de contorno  w (b; s¯) =  β . En otras palabras tenemos que encontrar un cero s¯  de la ecuaci´on on   F (s) :=   w(b; s) β . Para cada valor de s  podemos evaluar   F (s) resolviendo el problema de valores iniciales 10.10 y evaluando su soluci´oon n en   x  =  b .

 ≡

−

Para encontrar un cero s¯   de   F (s) podemos usar cualquier cualquier m´eetodo todo de resoluci´oon n de ecuacion ecuaciones es no lineal lineales. es. Si pensamos p por or ejemplo en el m´eetodo todo de (0) (1) bisecci´oon, n, elegimos dos valures   s y   s tales que F (s(0) )  >  0 ,

F (s(1) )  <  0)

y tomamos   s(2) como el punto medio de   s(0) y   s(1) , qued´aandonos ndonos con el intervalo de la izquierda o de la derecha de manera que   F (s) cambie de signo en los extremos del nuevo intervalo. Repitiendo este proceso hasta que tengamos una buena aproximaci´oon n de la ra´ız. ız. Aqu´ı s´oolo lo se usan evaluaciones de F (s) lo que significa resolver un problema de valores iniciales 10.10 en cada iteraci´oon. n. Si queremos usar un m´eetodo todo de Newton para resolv resolver er la ecuaci´ oon n   F (s) = 0, entonces empezando de una aproximaci´oon n inicial   s(0) calculamos los valores (i+1)

s

=  s

(i)

4

−

  F (s(i) ) . F  (s(i) )

 

(10.11)

 

Figura 10.1: M´eetodo todo de tiro simple

  w b s(i)

Obtenemos iniciales

( ;

 

  F  s(i)

) y por tanto w  (x) w(a) w  (a)

 

( = = =

) resolviendo el problema de valores   f (x, w, w  )  α (10.12)   s(i)

El valor de la derivada de   F  F  (s) =

  ∂  w (b; s) , ∂s

para   s   =   s(i) puede obtenerse resolviendo un segundo problema de valores iniciales como mostramos a continuaci´oon. n. Denotemos por   v (x) la funci´on on v (x; s) =

  ∂  w(x; s) , ∂s

que satisface el problema de valores iniciales

 

v  (x) =   f w (x, w, w  )v (x) +  f w (x, w, w  )v  (x) v (a) = 0 v  (a) = 1 

(10.13)

que tambi´een n sabemos sab emos resol resolver. ver. Si no queremos resolver este segundo problema de valores iniciales porque puede ser costoso evaluar las derivadas parciales  f w  y  f w , podemos aproximar F  (s(i) ) por diferencias 

  F (s(i) + ∆s(i) ) ∆F (s ) := ∆s(i) (i)

5

(i)

− F (  s

)

,

 

(10.14)

 

eligiendo adecuadamente el incremento ∆s(i) . Puede servir de referencia tomar ∆s(i) = εs(i) , donde   ε  es la precisi´oon n de la m´aaquina. quina.

√ 

En el caso de condiciones de contorno generales 10.4, es decir para el problema de contorno general



  y  (x) =   f (x, y ) r(y (a), y (b)) = 0

 

(10.15)

definidos como en 10.1 y 10.4, le asociamos el problema de valores iniciales



  y  (x) =   f (x, y ) y (a) =   s

 

(10.16)

y buscamos el valor del par´ametro ametro   s   para que su soluci´on on   y (x) satisfaga la condici´oon n de contorno r (y (a; s), y (b; s))

≡ r(s, y(b; s)) = 0 .

 

  ≡   y(x; s) (10.17)

Tenemos pues que encontrar una soluci´on on  s  = [σ1 , σ2 , . . . , σm]T  de la ecuaci´oon n F (s) = 0, donde

F (s) :=  r (s, y (b; s)) .

En el e l caso de emplear el m´eetodo todo de Newt Newton on s(i+1) =  s (i)

− DF (s

(i) −1

) F (s(i) ).

 

(10.18)

En cada iteraci´oon n hay que calcular   F (s(i) ), la matriz Jacobiana DF (s(i) ) =

  ∂F   jj ∂σ k

, s=s(i)

y la soluci´oon n   d(i) :=   s(i) s(i+1) del sistema lineal   DF (s(i) )d(i) =   F (s(i) ). Para el c´aalculo lculo de   F (s(i) ) =  r (s(i) , y (b; s(i) )) hay que resolver el problema de valores iniciales 10.16 para   s  =  s (i) y evaluar en   x  =  b , es decir   y (b; s(i) ).

−

Para el c´aalculo lculo de   DF (s(i) ) observamos que DF (s) =  D u r (s, y (b; s)) +  Dv r(s, y (b; s)) Z (b; s) ,

·

con las matrices





∂r i (u, v ) Du r(u, v ) =  , ∂u j

 ( )=  ( ; )

Dv r u, v

Z (b; s) =  D s y (b; s) =

∂y i b s ∂σ j



∂r i (u, v )  , ∂v j .

Tambi´ een n en este caso se puede evitar el c´aalculo lculo de derivadas aproxim´aandolas ndolas por diferencias, con lo que s´oolo lo hay que evaluar   F (s) =   r(s, y (b; s)), resolviendo el correspondiente problema de valores iniciales. 6

 

10.3.. 10.3

Dificultad Dificultades es del m´ etodo etodo de tiro simple

En el m´eetodo todo de tiro simple transfo transformamos rmamos el problema de contorno y  (x) =  f (x, y ) ,

r (y (a), y (b)) = 0

en un problema de valores iniciales y  (x) =  f (x, y ) ,

y (a) = s¯ .

Aq u´ı s´oolo Aqu´ lo obtenemos el valor de la soluci´oon n en un punto   x   =   x0   =   a. En la pr´actica actica cuando queremos emplear esta soluci´oon n   y (x) =  y (x; s¯) para evaluar la soluci´oon n en otros puntos puede ocurrir que esta soluci´oon n depende muy sensiblemente del valor del par´aametro metro s¯. Veamos esto con un ejemplo. Ejemplo   10.2. 10.2.  Sea el sistema lineal de ecuaciones diferenciales 

  = 1  100 11   y1 y2

y1 y2

 

(10.19)

que tiene la soluci´on on general

 ( )

y x y (x) = 1  =  c 1e−10x y2 (x)

 1  −10

+ c2 e11x

1 11

 ,

con   c1   y   c2   arbitrarias. Sea   y (x; s) la soluci´oon n de 10.19 satisfaciendo las condiciones iniciales y (0) =  s  =



s1  . s2

Se verifica que

 

 

  11s1 s2 −10x   1   10s1 +  s2 11x 1 y (x; s) =   e +   e  . 10 11 21 21

−

−

 

(10.20)

Si queremos ahora obtener la soluci´on on del problema de contorno consistente en el sistema 10.19 con las condiciones de contorno y1 (10) = 1 ,

y1 (0) = 1 ,

que tiene como soluci´oon n exacta   e110 1 −10x y (x) = 110 e e e−100

−

−

 1  −10 7

+

 1

−100

−e −e

e110

−100

e11x

1 11

 .

 

El valor inicial s¯ =  y (0) que se corresponde con esta soluci´oon n exacta es

 1 ¯ =   21(1 −10 + −

s

e110

 )

e−100 e−100

 .

Si calculamos s¯ en un or ordenador denador con 10 d´ıgitos significativos obtene obtenemos mos una aproximaci´oon n sˆ  de s¯ de la forma

   1(1 + ) 

sˆ =

−

 ε1  , 10(1 + ε2 )

con εi ε  = 10−10 . Por ejemplo tomando   ε1  = 0 y   ε2   = haber obtenido la aproximaci´oon n

 | | ≤



sˆ =

−10

−10

p odr´ıamo ıa moss



  1  , 10 + 10−9

−

pero por 10.20 tenemos que y1 (10; sˆ)

≈

  10−9 110  e 21

≈ 2.8 × 10

37

,

en vez de tener   y1 (10) = 1. Este ejemplo muestra como la dependencia de la soluci´on on de las condiciones iniciales puede aumentar los errores de forma desmesurada. En efecto sabemos que en general se verifica

y(x; s ) − y(x; s ) ≤ s − s e 1

1

2

2

L|x−a|

.

Cuando   L b   a   es grande, como ocurre en el caso anterior, como   L   no podemos cambiarlo, la u unica ´ nica forma de reducir el exponente de la exponencial es reducir el intervalo de trabajo [ a, b] en el que resolvemos el problema de valores iniciales para que x a sea peque˜ n no. o. Esto motiva el m´eetodo todo de tiro m´u ultiple ltiple que estudiamos a continuaci´oon. n.

|  − |

| − |

10.4. 10. 4.

El m´ m´ etodo etodo de de tiro m´ ultiple ultiple

En el m´eetodo todo de tiro m´u ultiple ltiple los valores de s¯k   =  y (xk ) ,

k  = 1, 2, . . . , n

de la soluci´oon n del problema de contorno y  (x) =  f (x, y (x)) ,

8

r(y (a), y (b)) = 0

 

y

( x n ,  s n ) ( xn 1 ,  sn 1) −

 

−

•

•

•

( x 3 ,  s 3 ) •

• •

( x1 ,  s1 )

a   =  x1

(   x2 ,  s 2 )

 x 2

 

 x 3

 x n

−

1

b =  xn

x

Figura 10.2: M´eetodo todo de tiro m´u ultiple ltiple

en varios puntos a  =  x 1   < x2   <

· · · < x   = b n

se calculan simultaneamente de forma iterativa. Para ello denotemos por y (x; xk , sk ) la soluci´ oon n del problema de valores iniciales y  =  f (x, y ) ,

y (xk ) =  s k .

El problema reside ahora en determinar el valor adecuado de los vectores sk , k  = 1, 2, . . . , n  de manera que la funci´ oon n definida a trozos por y (x) :=   y (x; xk , sk )

para  x

y (b) :=   sn

∈ [x , x k

k+1

),

k  = 1, 2, . . . , n

−1

sea continua en todo [a, b], soluci´oon n de la ecuaci´oon n  y  =  f (x, y ) y que adem´aass satisfaga las condiciones de contorno   r(y (a), y (b)) = 0. Tenemos por tanto que cumplir   m

× n  condiciones

y (xk+1 ; xk , sk ) =   sk+1 , r(s1 , sn ) = 0

9

k  = 1, 2, . . . , n

−1

 

en las   m n  inc´oognitas gnitas   σkj , j   = 1, 2, . . . , m , k   = 1, 2, . . . , n, es decir en las componentes de los   sk

×

T 

sk   = [σk1 , σk2 , . . . , σkm ] .

Todas juntas representan un sistema de ecuaciones de la forma

  ( ) :=  

F  s

F 1 (s1 , s2 ) F 2 (s2 , s3 )

  (;   ( ;  :=  ( ; )

y x 2 x 1 , s1 ) y x 3 x 2 , s2 )

.. .

F n−1 (sn−1 , sn F n (s1 , sn )

.. .

−s −s

y xn xn−1 , sn−1 ) r (s1 , sn )

2 3

−s

n

   = 0 

(10.21)

en las inc´oognitas gnitas

 s1

s  =

.. .

.

sn

 

Podemos resolverlo iterativamente con el m´eetodo todo de Newton s(i+1) =  s (i)

− [DF (s

(i)

)]−1 F (s(i) ) ,

i  = 0, 1, . . .

 

(10.22)

o bien p por or alguna de sus varian ariantes tes de m´eetodos todos de Newton modificados. Cada evaluaci´oon n de   F (s(i) ) para   s  =  s (i) supone ev evaluar aluar   y (xk+1 ; xk , sk ) para k  = 1, . . . , n 1 resolviendo los problemas de valores iniciales

−

y  =  f (x, y ) ,

y (xk ) =  s k

y calcular   F (s) con la expresi´oon n 10.21. La matriz Jacobiana DF (s) = [Ds F i (s)]i,k=1,...,n k

tiene, debido a la estructura especial de los   F i  en 10.21, una estructura por bloques G1 I    0   0 0 0   G2 I    0 0   0 0 0 0   G3 DF (s) = ..   ..   ..   . .   ..   .. . . . . . .

   −   ···    −   · · ·   ···   0 0 0   · · · A   0

0

10

  ···

  Gn−1

     − 

I    0   B

 

donde las matrices   m matrices Jacobia Jacobianas nas Gk   : B :

≡≡    DD A   :≡   D

× m A, B, G , k

(xk+1 ; xk , sk ) , r (s1 , sn )

sk F k

sk y

sn

sn

s1

(s) F n (s)

≡≡ DD F  (s) ≡ D n

k   = 1, . . . , n

s1 r

− 1 son las respectivas

k  = 1, . . . , n

−1

( s1 , sn ) .

Al igual que en m´eetodo todo de tipo simpl simplee se pueden reemplazar las deriv derivadas adas de estas matrices p por or co cocientes cientes incrementales, lo que supondr supondr´´ıa resolver adicionalmente (n 1) m  problemas de valores iniciales.

− ×

11