Capitulo 1. Well Testing

CAPITULO 1

FLUJO DE FLUIDOS EN EL MEDIO POROSO

1.1 Introducción

En este capítulo inicial sobre el flujo de fluidos en los medios porosos, se comienza con una discusión sobre las ecuaciones diferenciales que son más frecuentemente usadas para modelar el flujo en estado inestable. Simples bosquejos de estas ecuaciones son suministradas en este texto, los más tediosos detalles matemáticos son dados en el apéndice A, para el instructor o el estudiante que desee profundizar más sus conocimientos. Las ecuaciones son seguidas por una discusión de algunas de las más útiles soluciones de estas ecuaciones; con énfasis en la solución integral-exponencial que describe el flujo radial en estado inestable. Una discusión sobre las variables adimensionales (apéndice B) puede ser útil para algunos lectores. El capítulo concluye con una discusión sobre el concepto de radio de investigación y el principio de superposición. La superposición ilustrada en yacimientos infinitos con múltiples pozos, es usada para simular los límites particulares del yacimiento y las historias de producción a tasas variables. Una alternativa aproximada a la superposición, "tiempo de seudoproducción " de Horner, completa esta discusión. 1.2 El modelo del yacimiento ideal

Para desarrollar técnicas de análisis y diseño para pruebas de pozos, primero se hacen varias suposiciones simples a cerca del yacimiento y el pozo que se

está modelando. Naturalmente no se harán más suposiciones simples, que las que sean absolutamente necesarias para obtener soluciones sencillas y útiles para las ecuaciones que describen nuestra situación - pero obviamente no se pueden hacer unas pocas suposiciones. Estas suposiciones son presentadas como necesarias, para combinar (1) la ley de la conservación de la masa, (2) la ley de Darcy, y (3) la ecuación de estado para alcanzar los objetivos. Este trabajo es solo mencionado en este capítulo; los detalles son suministrados en el apéndice A y las referencias. Se considera flujo radial hacia un pozo en un yacimiento circular. Si se combina la ley de conservación de la masa y la ley de Darcy para el flujo isotérmico de fluidos de baja y constante compresibilidad (un modelo altamente satisfactorio para flujo monofásico de yacimiento de aceite), se obtiene una ecuación diferencial parcial simplificada como

 p  c  2 p + 1  p =  r 2 r  r  0.000264k  t 

(1.1)

Se supone que la compresibilidad, c, es baja e independiente de la presión; la permeabilidad, k, es constante e isotrópica; la viscosidad,  μ  es independiente de la presión; la porosidad,

φ

es constante; y que ciertos términos en la

ecuación diferencial básicos (que involucran los gradientes de presión al cuadrado) son despreciables. Esta ecuación es llamada la ecuación de difusividad; el término 0,000264k/φμc  es conocido con el nombre de difusividad hidráulica y frecuentemente su símbolo esta dado por  η. La ecuación 1.1 esta escrita en unidades de campo. La presión, p, en libras por pulgada cuadrada (psi); la distancia, r, en pies; la porosidad,

φ,

es una

está modelando. Naturalmente no se harán más suposiciones simples, que las que sean absolutamente necesarias para obtener soluciones sencillas y útiles para las ecuaciones que describen nuestra situación - pero obviamente no se pueden hacer unas pocas suposiciones. Estas suposiciones son presentadas como necesarias, para combinar (1) la ley de la conservación de la masa, (2) la ley de Darcy, y (3) la ecuación de estado para alcanzar los objetivos. Este trabajo es solo mencionado en este capítulo; los detalles son suministrados en el apéndice A y las referencias. Se considera flujo radial hacia un pozo en un yacimiento circular. Si se combina la ley de conservación de la masa y la ley de Darcy para el flujo isotérmico de fluidos de baja y constante compresibilidad (un modelo altamente satisfactorio para flujo monofásico de yacimiento de aceite), se obtiene una ecuación diferencial parcial simplificada como

 p  c  2 p + 1  p =  r 2 r  r  0.000264k  t 

(1.1)

Se supone que la compresibilidad, c, es baja e independiente de la presión; la permeabilidad, k, es constante e isotrópica; la viscosidad,  μ  es independiente de la presión; la porosidad,

φ

es constante; y que ciertos términos en la

ecuación diferencial básicos (que involucran los gradientes de presión al cuadrado) son despreciables. Esta ecuación es llamada la ecuación de difusividad; el término 0,000264k/φμc  es conocido con el nombre de difusividad hidráulica y frecuentemente su símbolo esta dado por  η. La ecuación 1.1 esta escrita en unidades de campo. La presión, p, en libras por pulgada cuadrada (psi); la distancia, r, en pies; la porosidad,

φ,

es una

fracción; la viscosidad,  μ  , en centipoises; la compresibilidad, c, en volumen por  volumen por psi [ c=(1/ρ) (dρ/dp) ]; la permeabilidad, k , en milidarcis; el

tiempo, t , en horas; y la difusividad hidráulica , η , tiene unidades de pies cuadrados por hora. Una ecuación similar es desarrollada para el flujo radial de un gas no ideal; 1     p

   p     p   r   =   r  r    z  r   0.000264k  t   z  

(1.2)

Donde z es el factor de desviación del gas. Para flujo simultáneo de aceite, gas, y agua, la ecuación se puede reescribir  como: 1     p   ct   p  r   = r  r   r   0.000264  t  t 

(1.3)

donde ct es la compresibilidad total del sistema, ct = S o co + S w cw + S  g c g + c f 

(1.4)

y la mobilidad total λ t es la suma de las mobilidades de las fases individuales:

  k o k  g  k w   +  t  =  +    o   g   w 

(1.5)

En la ecuación 1.4, S o y co se refieren a la saturación y compresibilidad del aceite, Sw y cw a la del agua, S g y cg a la del gas; y c f  es la compresibilidad de la formación. En la ecuación 1.5, k o es la permeabilidad efectiva al aceite en presencia de las otras fases, y  μ o es la viscosidad del aceite; k g y  μ g se refieren a la fase gas; y  μ w y kw se refieren a la fase agua. Debido a que la formación es considerada compresible (el volumen poroso disminuye a medida que disminuye la presión), la porosidad no es una constante en la ecuación 1.3 como se supuso en las ecuaciones 1.1 y 1.2.

1.3 Solución a la Ecuación de Difusividad

En esta sección se estudian las soluciones más importantes de la ecuación de difusividad (sección 1.2) que describen el flujo de un líquido ligeramente compresible en un medio poroso. También se harán algunos comentarios sobre las soluciones a las ecuaciones 1.2 y 1.3. Existen cuatro soluciones a la ecuación 1.1 que son particularmente útiles en pruebas de pozos: la solución para un yacimiento cilíndrico limitado; la solución para un yacimiento que actúa como infinito con un pozo considerado como línea fuente y con radio en la cara del pozo igual a cero; la solución de estado seudoestable; y la solución que incluye almacenamiento en la cara del pozo para un pozo en un yacimiento infinito. Antes de entrar a discutir estas soluciones es importante señalar las suposiciones que fueron necesarias para desarrollar la ecuación 1.1 : medio poroso homogéneo e isotrópico de espesor  uniforme; las propiedades de la roca y el fluido son independientes de la presión; bajos gradientes de presión; flujo radial; aplicabilidad de la ley de Darcy (algunas veces llamada flujo laminar); y fuerza de gravedad despreciables.  Además, otras suposiciones suposiciones serán presentadas para obtener la solución a la ecuación 1.1.  Yacimiento  Yacimiento Cilíndric Cilíndrico o limitado limitado

La solución de la ecuación 1.1 requiere que se especifiquen dos condiciones límites y una condición inicial. Una solución real y práctica es obtenida si se

supone que (1) el pozo produce a tasa constante, qB, en la cara del pozo ( q se refiere a la tasa de flujo en STB/D a condiciones de superficie, y B es el factor volumétrico de formación en RB/STB ); (2) el pozo con radio, r w, esta situado en el centro en un yacimiento cilíndrico de radio r e, ( no hay flujo a través de este límite externo) y (3) antes de comenzar la producción, el yacimiento esta a presión uniforme, p i. La forma más usada de la solución deseada relaciona la presión fluyendo, p wf , el tiempo y las propiedades del fluido y la roca. La solución es  p wf  =  pi - 141.2

qB  2 t  D 3 {  2 + ln r eD kh r eD 4

(1.6) 

2

2

e n t  D J 1 ( n r eD ) +2  } 2 2 2 [  (   ) (   )] r     J   J   n eD n n=1 n 1 1



Donde, por eficiencia y conveniencia, se ha introducido las variables adimensionales r eD= r e/r w tD= 0.000264kt/ μφctr 2w

Y Donde el αn son las raíces de

J1 (αnr eD) Y1(αn) - J1(αn)Y1(αnr eD)=0; y donde J1 y Y1 son las funciones de Bessel (La compresibilidad total c t, es usada en todas las ecuaciones en este capítulo debido a que aunque las formaciones producen una sola fase de aceite contienen una fase de agua inmóvil y compresibilidad de la formación). El lector no familiarizado con las funciones de Bessel no debe alarmarse con esta ecuación. No será necesario utilizar la ecuación 1.6 en su completa forma

para calcular los valores de pwf ; en lugar, se usarán formas limitadas de la solución en la mayoría de cómputos. El hecho más importante acerca de la ecuación 1.6 es que bajo las suposiciones hechas en su desarrollo, es una solución exacta para la ecuación 1.1. Algunas veces es llamada solución de tasa terminal constante de Van Everdingen - Hurst.  Yacimiento

cilíndrico

infinito

con

un

pozo

línea

fuente

Suponiendo que (1) un pozo produce a rata constante, qB; (2) el pozo tiene radio r w igual a cero; (3) el yacimiento está a presión uniforme, p i, antes que la producción comience; y (4) el pozo tiene un área de drenaje infinita ( es decir  que ppi cuando r 00). Bajo estas condiciones, la solución a la ecuación 1.l es  p =  pi + 70.6 

qB    948  ct r 2   .  E i  kh kt     

(1.7)

Donde los nuevos símbolos son p, la presión (psi) a la distancia r (pies) del pozo al tiempo t (horas), y la función integral exponencial.  -u

 Ei(-x) = -

  x

e du u

 Antes de examinar las propiedades e implicaciones de la ecuación 1.7, se debe responder una pregunta lógica: Puesto que la ecuación 1.6 es una solución exacta y la ecuación 1.7 claramente esta basada en condiciones idealizadas de frontera, ¿cuándo (casi siempre) las presiones son calculadas al radio r w a partir de la ecuación 1.7, son satisfactoriamente aproximadas a las presiones calculadas a partir de la ecuación 1.6? El análisis de estas soluciones muestran que la solución a la función Ei es una exacta

aproximación a la solución más exacta para tiempos que estén entre 3.79x10 5 2 φμc tr w /k < t <

2

948 φ μc re  /k Para tiempos menores que 3.79x10

5

2 φμc tr w

/ k la

suposición de que el tamaño del pozo es cero (es decir, se supone que el pozo es una línea fuente) limita la aproximación de la ecuación; a tiempos más grandes que 948

2 φμc tr e /k  los

límites del yacimiento comienzan a afectar la

distribución de presión en el yacimiento, así que el yacimiento no actúa por  mucho tiempo como infinito. Una simplificación adicional de la solución a la ecuación de flujo es posible: para x < 0.02, Ei(-x) puede ser aproximada con un error menor que el 0.6% por   Ei(-x) = ln(1.781x)

Para evaluar la función Ei se usará la Tabla 1.1 para 0.02 <  x  ≤10.9. Para x  ≤

x 

> 10.9, Ei(-x) puede ser 

considerado cero para aplicaciones en pruebas de pozo. En la práctica se encontrará que la mayoría de los pozos ha reducido la permeabilidad (dañada) cerca a la cara del pozo como resultado de las operaciones de perforación o completamiento. Muchos otros pozos son estimulados

por acidificación o fracturamiento

hidráulico; la ecuación 1,7 falla al tratar de modelar dichos pozos ya que su derivación parte de la suposición explícita de permeabilidad uniforme a través de toda su área de drenaje, incluyendo la cara del pozo. Hawkins plantea que si la zona dañada o estimulada es considerada equivalente a la zona alterada de permeabilidad uniforme ( k s ) para un radio equivalente ( r s ), la caída adicional de presión a través de esta zona ( Δp s ) puede ser modelada por la

ecuación de flujo radial en estado estable (ver fig.1.1). Asi,

 p s = 141.2

qB  qB  ln( r  s / r w ) - 141.2 ln( r  s / r w ) h kh k  s

= 141.2

qB    k 

   - 1 ln( r  s / r w ) kh  k  s  

(1.9)

La ecuación 1.9 simplificada establece que la caída de presión en la zona alterada es inversamente proporcional a ks y k y una corrección a la caída de presión en esta región (la cual supone la misma permeabilidad, k, en el resto del yacimiento) se debe realizar. Combinando las ecuaciones 1.7 y 1.9, se halla que la caída total en la cara del pozo es  pi -  p wf  = - 70.6 

= - 70.6 

qB    948  ct r 2 w   Ei  +  p s kh kt     

qB     948  ct r 2 w    k      r  s    - 2 - 1  ln   Ei kh    kh    k  s    r w 

Para r = r w el valor numérico de la función Ei es suficientemente pequeño después de un espacio corto de tiempo; por esta razón se puede usar la aproximación logarítmica; así, el descenso es  pi -  p wf  = - 70.6 

qB    1688  ct r 2 w    k     r  s    - 2  ln  ln kh    kt     k  s   r w 

Es conveniente definir un factor daño, s, en términos de las propiedades de la zona alterada:   k      r  s   - 1 ln  k     s    r w 

 s = 

(1.10)

 Así, el descenso de presión puede calcularse:  pi - p wf  = - 70.6 

 qB    l688  ct  r 2 w  ln  - 2s  kh    kt    

(1.11)

La ecuación 1.10 suministra alguna idea en el significado físico del signo del factor daño. Si un pozo esta dañado (k s < k), será positivo y mayor el contraste entre ks y k y a mayor profundidad en la formación el daño aumenta y s toma un mayor valor numérico. No hay límite superior para s. Algunos pozos nuevamente perforados no fluirán antes de la estimulación; para estos pozos, k≈0 y s00. Si un pozo está estimulado (k s > k) será negativo, y más profunda la estimulación, más grande el valor numérico de s. Raramente un pozo estimulado tiene un factor daño menor que -7 o -8, y tales factores aumentan solamente para pozos con fracturas hidráulicas profundas y altamente conductivas. Se observa finalmente que, si un pozo no esta dañado o estimulado (k = k s), s=0. Se previene al lector que la ecuación 1.10 es mejor  aplicada

cualitativamente;

los

pozos

reales

raramente

podrán

ser 

caracterizados exactamente por un modelo simplificado.  Antes de realizar la discusión del factor daño, se debe puntualizar que una zona alterada cercana a un pozo particular afecta solamente la presión cercana al pozo; - es decir, la presión en la formación no alterada lejos del pozo no es afectada por la existencia de la zona alterada. Dicho de otra forma, se usa la ecuación 1.11 para calcular presiones en la cara de la arena de un pozo con una zona alterada, pero se utiliza la ecuación 1.7 más allá de la zona alterada de la formación que rodea el pozo. Se ha presentado ecuaciones no sencillas que pueden ser usadas para calcular presiones para radios, r, tal que r w < r < r s, pero esto no presenta dificultades en el análisis de pruebas de pozo. Ejemplo 1.1 - Cálculos de presiones más allá de la cara del pozo usando la solución de la función Ei

Problema. Un pozo y un yacimiento tienen las siguientes características: El

pozo esta produciendo solamente aceite; a una tasa constante de 20 STB/D. Los datos que describen el pozo y la formación son  = 0.72 cp, k = 0.1 md, -5 -1 ct = 1.5x 10  p s i

 pi = 3000  p s i, r e = 3000  pies, r w = 0.5 pies,  Bo = 1.475 RB/STB, h = 150 pies,  = 0.23, y  s = 0.

Calcule la presión del yacimiento al radio de 1 pie después de 3 horas de producción; calcule, luego, la presión al radio de 10 y 100 pies después de 3 horas de producción. Solución. La función Ei no es una solución aproximada a la ecuación de flujo

hasta que t > 3.79x10 5 φμc tr w2 /k. Por consiguiente, 3.79x 105   ct  r w k 

2

= [3.79x 105 )(0.23)(0.72)

2

(1.5x 10-5 )(0.5 )  ]/(0.1) = 2.35 < t = 3horas .

 Así, se puede usar la ecuación 1.7 con aproximación satisfactoria si el yacimiento está actuando todavía como infinito en este tiempo. El yacimiento

actuará como un yacimiento infinito hasta t > 948 φμcr e2 /k .

Por lo

tanto, 948  ct r e

2

k 



2



= (948)(0.23 )(0.72)(1.5E - 5)(3000)  /0.1

= 211900 horas.

 Así, para tiempos menores que 211900 horas, se puede usar la ecuación 1.7. En el radio de 1 pie,  p =  pi + 70.6  = 3000 +

qB   - 948  ct  r 2   Ei  kh kt     

(70.6)(20)(1.475)(0.72) (0.1)(3)

 - (948)(0.23 )(0.72)(1.5x 10-5 )(1 )2   Ei   (0.1)(3)   = 3000 + (100)Ei(-0.007849) 18 = 3000 + 100 ln [(1.781)(0.007849)] = 2573 psi

Para el radio de 10 pies,  - (948)(0.23 )(0.72)(1.5x 10-5 )(10 )2   p = 3000 + 100Ei   (0.1)(3)  

= 3000 + 100Ei(-0.7 849) = 3000 + (100)(-0.318) = 2968 psi.

En este cálculo, se halla el valor de la función Ei de la Tabla 1.1. Note, como se indica en la tabla, que es una cantidad negativa.

Para un radio de 100 pies,  - (948)(0.23 )(0.72)(1.5x 10-5 )(100 )2   p = 3000 + 100Ei   (0.1)(3)   = 3000 + 100Ei(-78.49) = 3000 psi.

Por consiguiente se observa que para un valor numérico de 78.49, la función Ei es esencialmente cero. Solución estado seudoestable.  Ahora se discute la próxima solución a la

ecuación radial de difusividad que se usa frecuentemente en esta introducción al análisis de pruebas de pozos. Actualmente, esta solución (solución estado seudoestable) no es nueva. Simplemente es una forma limitante de la ecuación 1.6 la cual describe el comportamiento de la presión con el tiempo para un pozo centrado en un yacimiento cilíndrico de radio r e. La forma limitante de interés es aquella la cual es válida para tiempos extensos, de tal forma que la sumatoria que involucra funciones exponenciales y de Bessel son despreciables; después de este tiempo (t > 948 φμcr e2 /k )

p wf  =  p i  - 141.4 

qb μ   2 t D 

3    + ln r eD  -   kh   r 2 eD  4  

o p wf  =  p i  - 141.2 

qB μ   kt   r    3  0.000527  + ln  e   -    kh   φμ  c t  r 2 e   r w   4 

(1.12)

Observe que durante este período de tiempo se encuentra, por diferenciación de la ecuación 1.12,

 p wf  0.0744qB =t   ct h r 2e

Ya que el volumen poroso del yacimiento, lleno de líquido Vp (pies cúbicos), es 2

V  p =   r e h  ,

Entonces  p wf  0.234qB =t  ct V  p

(1.13)

 Así, durante este período de tiempo, la tasa de declinación de presión es inversamente proporcional al volumen poroso llenado por el líquido, Vp. Este resultado lleva a una forma de pruebas de pozo algunas veces llamadas pruebas límites de yacimiento las cuales buscan determinar el tamaño del yacimiento a partir del descenso de presión en la cara del pozo con el tiempo. Otra forma de la ecuación 1.12 es útil para algunas aplicaciones. Esto involucra reemplazar la presión original del yacimiento, p i, con la presión promedio,  p dentro del volumen de drenaje del pozo. La presión promedia volumétrica dentro del volumen de drenaje del pozo puede hallarse de un balance de material. La caída de presión

(  pi -  p )

resultante de remover qB (RB/D) de fluido para t horas [un volumen total removido 5.615 qB(t/24) pies cúbicos] es  pi - p =

V  ct V 

=

5.615qB(t/ 24) ct (   r 2e h  )

Sustituyendo en la ecuación 1.12,

=

0.0744qBt   ct  h r 2e

(1.14)

 p wf  =  p +

0.0744qBt  0.0744qBt    ct  h r 2e   ct h r 2e

- 141.2

qB     r e   3  ln  -  kh   r w  4 

 p -  p wf  = 141.2

qB     r e   3  ln  -  kh   r w  4 

(1.15)

Las ecuaciones 1.12 y 1.15 serán más útiles en la práctica si incluyen un factor de daño para tener en cuenta el hecho de que la mayoría de los pozos o están dañados o estimulados. Por ejemplo, en la ecuación 1.15,

 p -  p wf  = 141.2

qB     r e   3  ln  -  + (  p  ) s , kh   r w  4 

 p - p wf  = 141.2

 qB     r e   3 ln +  s     kh   r w  4 

(1.16)

y  pi -  p wf  = 141.2

qB   0.000527kt    r    3  + ln e  - + s   kh    ct r 2e  r w  4 

 Además, se define una permeabilidad promedio, KJ, como  p -  p wf  = 141.2

qB     r e   3  ln  - 4  h k  J    r w  

(1.17)

= 141.2

 qB     r e   3 ln  - + s  ,  kh   r w  4 

de la cual    r e   3     r e   3   -  / ln  - + s  4    r w  4 r  w      

k  j = k ln

Esta permeabilidad promedio, k J, prueba tener considerable

(1.18)

valor en el

análisis de pruebas de pozos, tal como se verá más tarde. Observe que para un pozo dañado, la permeabilidad promedio k J es menor que la verdadera, permeabilidad de la formación k; en efecto, estas cantidades son iguales solamente cuando el factor daño, s, es cero. Algunas veces se estima la permeabilidad de un pozo de medidas del índice de productividad (IP), y desde luego el índice de productividad, J (STB/D/psi), de un pozo de aceite se define como  J =

q  p -  p wf 

=

k  j h

   r    3  141.2B ln e  -    r w  4 

(1.19)

Este método no necesariamente suministra un buen estimativo de la permeabilidad de la formación, k, Así, hay necesidad para un significado más completo de la caracterización de un pozo productor que excluya el uso de la información IP. Ejemplo 1.2 -Análisis de pruebas pozos a partir del índice de productividad (IP). Problema. Un pozo produce 100 STB/D de aceite a una presión de fondo

fluyendo (BHP) de 1500 psi. Un estudio de presiones reciente muestra que la presión promedio del yacimiento es 2000 psi. Los registros de pozo indican

una arena con un espesor neto de 10 pies. El pozo drena un área con un radio de drenaje, r e, de 1000 pies; el radio en la cara del pozo es 0.25 pies. Las muestras de fluidos indican que, a la actual presión del yacimiento, la viscosidad del aceite es 0.5 cp y el factor volumétrico de formación es 1.5 RB/STB. 1. Estimar el índice de productividad para el pozo probado. 2. Estimar la permeabilidad de la formación a partir de los datos. 3. Datos de corazón del pozo indican una permeabilidad efectiva al aceite de 50 md. Esto implica que el pozo esta dañado o estimulado? Cuál es el factor  daño aparente? Solución.

1. Para estimar el índice de productividad, se usa la ecuación 1.19:  J =

q  p -  p wf 

=

100 (2000 - 1500)

= 0.2 STB/  p s i - D

2. No hay suficiente información para estimar la permeabilidad; se puede calcular la permeabilidad promedio, KJ, solamente, la cual no es necesariamente una buena aproximación de la permeabilidad de la formación, K. De la ecuación 1.19,    r e   3  -    r w  4 

141.2JB ln k  J  =

h

  1000    - 0.75     0.25   

(141.2)(0.2)(1.5)(0.5)ln =

h

= 16 md.

3. Los datos de corazón generalmente suministran un mejor estimativo de la permeabilidad de la formación que las permeabilidades derivadas a partir del índice de productividad, particularmente para pozos altamente dañados. Debido a que los corazones indican una permeabilidad de 50 md, se concluye que el pozo está dañado. La ecuación 1.18 presenta un método para estimar  el factor daño, s:

  k     r e   3    50   1000  ln  -  =  ln  - 0.75  16     0.25    k  J    r w  4  

 s = 

= 16.33

Ecuaciones de flujo para geometrías generalizadas del yacimiento

La ecuación 1.16 está limitada a un pozo localizado en el centro de un área de drenaje circular. Una ecuación similar modela el flujo en estado seudoestable en formas de yacimiento más generales:  p -  p wf  = 141.2

qB   1

 10.06A  3    - + s ln  kh  2   C  Ar 2 w   4 

(1.20)

Donde  A = Área de drenaje, pies cuadrados, y C A = Factor de forma para una forma de área de drenaje y localización del pozo específicas, adimensional. Los valores de C A son dados en la Tabla 1.2; además la explicación de la fuente de estos valores de C A son dados en el capítulo 2. El índice de productividad, J, puede ser expresado para una geometría de área de drenaje general como

 J =

q  p -  p wf 

=

0.00708kh

 1  10.06A  3   - + s  B  ln 2  2   C  A r w   4  

(1.21)

Otras constantes numéricas son tabuladas en la Tabla 1.2 para permitir el cálculo de (1) el máximo tiempo transcurrido durante el cual el yacimiento actúa como infinito (así que la solución función Ei puede ser usada); (2) el tiempo requerido para que la solución del estado seudoestable prediga la

caída de presión dentro de una exactitud del 1%; y (3) el tiempo requerido para que la solución del estado seudoestable sea exacta. Para un yacimiento de geometría dada, el tiempo máximo en el que el yacimiento actúa como infinito puede ser determinado usando la entrada en la columna "Use la solución del sistema infinito con un error menor del 1% para tDA " y la relación t >

  ct  A t  DA 0.000264k 

Finalmente, el tiempo requerido para que la ecuación en estado seudoestable sea exacto se halla entrando en la columna " Para exacta t DA > ". Es útil una descripción gráfica de los regímenes de flujo que ocurre en rangos de tiempo diferentes. Las figuras 1.2 y 1.3 muestran la BHP, p wf , en un pozo fluyendo a tasa constante graficado como una función de tiempo en escalas logarítmicas y lineales. En la región transitoria, el yacimiento está actuando como infinito, y es modelado por la ecuación 1.11, la cual implica que p wf  es una función lineal de log t. En la región de estado seudoestable, el yacimiento es modelado por la

ecuación 1.20 en el caso general o las ecuaciones 1.15 y 1.12 en el caso especial de un pozo localizado en el centro en un yacimiento cilíndrico. La ecuación 1.12 muestra la relación lineal entre p wf  y t durante el estado seudoestable. Esta relación lineal también existe en yacimientos de geometrías generalizadas. Entre los tiempos del final de la región transitoria y el comienzo de la región de estado seudoestable está la región de transición, algunas veces llamada región transitoria tardía, como en las figuras 1.2 y 1.3. Una ecuación simple no es disponible para predecir la relación entre BHP y el tiempo en esta región. Esta región es pequeña (o, para propósitos prácticos es inexistente) para pozos centrados en áreas de drenaje circulares, cuadradas o hexagonales, como lo indica la tabla 1.2. Sin embargo para pozos descentrados de sus áreas de drenaje, la región transitoria tardía puede expandirse en una región de tiempo significativo, como también lo indica la Tabla 1.2. Observe que la determinación

de cuándo la región transitoria termina o

cuándo la región de estado seudoestable comienza es un tanto subjetiva. Por  ejemplo, los límites de la aplicabilidad de las ecuaciones 1.7 y 1.12 no es exactamente la misma como se da en la Tabla 1.2 pero la diferencia es despreciable. Otros autores consideran la desviación de la ecuación 1.7 suficiente para t > 379

2 φμc tr e /k  que

una región transitoria tardía exista aún

para pozos centrados en un yacimiento cilíndrico entre este límite y un límite superior de 1136φμc tr e2/k. Estas opiniones aparentemente contradictorias no son más que diferentes juicios a cerca de cuando las soluciones se aproximan ligeramente, las ecuaciones 1.7 y 1.12 pueden estar siendo consideradas idénticas a la solución exacta, ecuación 1.6. Estos conceptos pueden ser ilustrados en el ejemplo 1.3 Ejemplo 1.3 - Análisis de flujo en yacimientos de geometría generalizada

Problema. 1. Para cada uno de las siguientes geometrías generalizadas,

calcule el tiempo en horas para lo cual (a) el yacimiento está actuando como infinito; (b) el estado seudoestable es exacto; y (c) la ecuación de estado seudoestable es aproximada dentro del 1%. (1) Pozo centrado en un área de drenaje circular, (2) pozo centrado en área de drenaje cuadrada, y (3) pozo centrado en un cuadrante de área de drenaje cuadrada. En cada caso,  A = 17.42x 106  pies cuadrados( 40acres),  = 0.2,  = 1 cp, -1

-5 ct = 1x 10  p s i  , y

k = 100 md.

2. Para cada uno de los pozos en la parte 1, estime IP y la tasa de producción estabilizada con  p -  pwf  = 500 p s i ,

si

h = 10  pies,  s = 3.0, r w = 0.3 pies, y  B = 1.2 RB/STB.

3. Para el pozo centrado en uno de los cuadrantes de un cuadrado, escriba las ecuaciones relacionando la tasa de flujo constante y las caídas de presión en la cara del pozo en lapsos de tiempos de 30, 200, y 400 horas. Solución.

1.

Primero

se

calcula

(0.2)(1)(1 x-5 )(17.42x106  ) = 0.000264k  (0.000264)(100)   ct  At  DA

el

grupo

= 1320t  DA

φμc  A t /0.000264

.

Entonces se prepara la siguiente tabla (valores de la Tabla (1.2)

k 

SOLUCION

ESTADO SEUDOESTABLE

INFINITA

ESTADO SEUDOESTABLE

(APROXIMADO)

GEOMETRIA

t  DA

t  (horas)

CIRCULAR

0.1

132

0.06

79.2

0.1

132

CUADRADO-

0.09

119

0.05

66.0

0.1

132

0.02

33

0.3

396

t  DA

t  (horas)

(EXACTO)

t  DA

t  (horas)

CENTRADO CUADRADOCUADRANTE

792

5

0.6

Para el pozo descentrado, la reducción en el tiempo para el cual la solución del sistema infinito es aproximada y el incremento en el tiempo requerido para alcanzar flujo en estado seudoestable es notable. 2. Para calcular IP y la tasa de producción estabilizada, se usa las ecuaciones  J =

=

0.00708kh

 1     A   3  - + s  B  ln 10.06  2 C  A r w   4  2    (0.00708)( 100)(10)

 1  (10.06)(17 .42x 106  )  3   (1.2)(1) ln + 3.0  2  C  A (0.3 )   4  2   

 J = 5.9 /(12.94 -

1 2

ln C  A ) ,

q = J(  p -  p wf  ) = 500J.

 Así, se prepara la siguiente tabla. GEOMETRIA CIRCULAR CUADRADO-CENTRADO

C A

J (STB/D-psi)

q (STB/D)

31.62

0.526

263

30.88

0.526

263

CUADRADO-CUADRANTE

4.513

0.484

242

3. (a) Para t= 30 horas, el yacimiento está actuando como infinito, y  pi - p wf  = - 70.6 

 qB    l688  ct  r 2 w  ln  - 2s  kh    kt    

(b) Para t= 200 horas, el yacimiento ya no actúa como infinito y la ecuación de estado seudoestable ya no es aproximada. Por lo tanto, una ecuación particular no puede ser escrita. (c) Para t= 400 horas, la ecuación de estado seudoestable es aproximada, y  p -  p wf  = 141.2

 qB   1  10.06A  3   ln + s   kh  2   C  A r 2 w   4 

Flujo radial en un yacimiento infinito con almacenamiento en la cara del pozo

La próxima solución de la ecuación de difusividad radial incluye un fenómeno causado por las tasas de flujo variables después que la producción ha comenzado. Este fenómeno es llamado almacenamiento en la cara del pozo, como se muestra en la figura 1.4, y supone que hay almacenamiento en la cara del pozo antes que se puede tratar con la solución de la ecuación de flujo que incluya este efecto. Considere un pozo de aceite cerrado en un yacimiento con presión uniforme y estable. La presión del yacimiento soportará una columna de líquido con alguna altura de equilibrio en la cara del pozo. Si se abre una válvula en la superficie y el flujo inicia, el primer aceite producido será el almacenado en la cara del pozo, y la tasa de producción de la formación en el pozo es cero. Con incrementos de tiempos de flujo, a tasa de producción en superficie constante, la tasa de flujo en el hueco (abajo) se aproximará a la tasa de flujo en superficie, y la cantidad de líquido almacenado en la cara del pozo se

aproxima a un valor constante. Seguidamente se desarrolla una relación matemática entre las tasas de flujo en la cara de la arena (formación) y en la superficie. Considere un pozo con una interfase líquido/gas en la cara del pozo, como se muestra en la figura 1.4, y suponga que hay algún mecanismo (bombeo o gas lift) para levantar el líquido a superficie. Deje la tasa de superficie q variable en el caso general. De un balance de masa en la cara del pozo, la tasa de líquido dentro es q sf  en RB/D; la tasa de líquido fuera es q B en RB/D; y la tasa de acumulación de líquido en el pozo es d   24 V wb  24 Awb dz   = d t    5.615   5.615 dt 

Entonces, suponiendo constante el área de la cara del pozo, A wb y constante el factor volumétrico de formación del aceite, B, lo mismo en la cara de la arena y en superficie, el balance es 24 5.615

 Awb

d  z  d t 

= ( q sf  - q)B

(1.22)

Para un pozo con presión en superficie p t,  p w =  pt +

   z   g  144  g c

(1.23)

Donde ρ es la densidad del líquido en la cara del pozo (lbm/pies cúbicos) y g/gc lbf/lbm. Entonces, d(  p w -  pt  ) dt 

=

   g  dz  144  g c dt 

(1.24)

 Así, (24)(144) g c

 Awb 5.615    g 

d(  p w -  pt  ) d t 

= ( q sf  - q)B

(1.25)

Define una constante de almacenamiento en la cara del pozo, C s: C  s =

144Awb  g c 5.615    g 

(1.26)

Entonces, q sf  = q +

24 C  s d(  p w -  pt  )  B

d t 

(1.27)

Para una presión en superficie constante o igual a cero, p t, q sf  = q +

24 C  s dpw  B

d t 

(1.28)

Para entender la solución a problemas de flujo que incluyen almacenamiento en la cara del pozo, es necesario introducir variables adimensionales, similares aquellas discutidas en el apéndice B. Llamando q i a la tasa en superficie para t=0 e introduciendo las definiciones de tiempo adimensional y presión adimensional: (  p -  p w )  p D = 0.00708kh i qi B 

t  D =

0.000264kt    ct r 2 w

(1.29)

(1.30)

Sustituyendo, d  p w d t 

=-

qi B 

0.000264k  d  p D  x 0.00708kh   ct  r 2 w d t  D

(1.31)

=-

 Así,

0.0373 qi B d  p D   ct  h r 2 w d t  D

q sf  = q -

0.894 qi C  s dp D  ct h r 2 w dt  D

(1.32)

Si definimos una constante de almacenamiento adimensional en la cara del pozo, CsD, como, C  sD = 0.894 C  s /  ct  h r 2 w

(1.33)

Entonces q

q sf  = qi 

 qi

- C  sD

dp D 



dt  D 

(1.34)

Para una tasa de producción constante [q(t)=qi], la ecuación 1.34 llega a ser  q sf  q

= 1 - C  sD

dp D

(1.35)

dt  D

La ecuación 1.35 es la condición de frontera importante para problemas con almacenamiento en la cara del pozo de flujo a tasa constante de un líquido ligeramente compresible. Observe que, para una pequeña C sD o para un pequeño dpD/dtD, qsf /q≈1 (es decir, serán despreciables el efecto de almacenamiento en la cara del pozo o la tasa en la formación). Como un segundo ejemplo, considere una cara de pozo (fig. 1.5) que contiene un fluido en una fase (líquido o gas) y que es producido a algunas tasas de superficie q. Si llamamos V wb el volumen de la cara del pozo abierto a la formación (barriles) y cwb la compresibilidad del fluido en la cara del pozo (evaluada a condiciones de la cara del pozo), los componentes del balance de masa son (1) tasa de fluido dentro =q sf B, (2) tasa de fluido fuera qB, y (3) tasa de fluido acumulado en la cara del pozo = 24 V wbcwb (dpw/dt). El balance viene a ser  ( q sf  - q)B = 24 V wb c wb

o

dpw dt 

(1.36)

q sf  = q +

24 V wb c w dpw  B

dt 

(1.37)

En este caso, haga Cs=cwbVwb. Entonces, q sf  = q +

24C  s dpw  B

dt 

(1.38)

La ecuación 1.38 es idéntica a la ecuación 1.28; la constante de almacenamiento en la cara del pozo C s simplemente tiene una definición diferente. Note sin embargo, que se forza a hacer una sencilla suposición significativa: Cuando aplicamos la ecuación 1.38 para un pozo de gas, c wb es la compresibilidad del gas en la cara del pozo, y es una función fuerte de presión (como aproximación, cwb=1/pwb). Así la constante de almacenamiento en la cara del pozo para un pozo de gas esta lejos de ser constante. Puesto que las ecuaciones 1.38 y 1.28 son idénticas, las ecuaciones 1.34 y 1.35 son también válidas para una cara de pozo que contiene un fluido en una fase. La ecuación radial de difusividad con la ecuación de almacenamiento en la cara del pozo (ecuación 1.35) como una condición de frontera importante, radio de drenaje infinito, presión de formación inicial uniforme, y daño o estimulación en la formación (caracterizado por el factor daño, s), han sido solucionadas tanto analítica como numéricamente en las referencias 6 y 7. La solución analítica es presentada en la figura 1.6. Para esta figura, el valor de pD (y así pw) puede ser determinada para un pozo en una formación con valores dados de tD, CsD y s.

Dos propiedades de esta gráfica log-log

requieren ser mencionadas en este punto. Presencia de la línea de pendiente unitaria.

 A tiempos tempranos para un valor dado de CsD, y para la mayoría de los

valores de s, una "línea de pendiente unitaria" (es decir, una línea con pendiente de 45 grados) está presente en la gráfica. Esta línea aparece y permanece en tanto que la producción venga de la cara del pozo y no de la formación. La ecuación 1.35 conduce a esperar esta línea. Para q sf /q=0, la ecuación es: 1 - C  sD

dp D dt  D

=0

o d t  D = C  sD d  p D

(1.39)

Integrando desde tD=0 (donde pD=0) a tD y pD, el resultado es C  sD p D = t  D

(1.40)

Tomando logaritmo a ambos lados de la ecuación, log C  sD + log p D = log t  D

(1.41)

 Así, ya que qsf =0, la teoría conduce a esperar que una gráfica de log p D vs log tD tendrá una pendiente unitaria; también lleva a esperar que cualquier punto (pD,tD) sobre la línea de pendiente unitaria debe satisfacer la relación C  sD p D t  D

=1

(1.42)

Esta observación es de valor en el análisis de pruebas de pozos. Fin de la distorsión del almacenamiento en la cara del pozo

Cuando el almacenamiento en la cara del pozo ha terminado (es decir, q sf  ≈ q);

por consiguiente se debe esperar que la solución a la ecuación de flujo sea la misma como si nunca hubiera habido algún almacenamiento en la cara del pozo - es decir, la misma en cuanto C sD=0. En la figura 1.6, observe, que las soluciones para CsD finito y para CsD=0 vienen a ser idénticas después de suficiente tiempo transcurrido. Una observación útil empírica es que este tiempo (llamado "fin de la distorsión del almacenamiento en la cara del pozo",twbs) ocurre aproximadamente a un y medio ciclos logarítmicos después que desaparece la línea de pendiente unitaria. Otra observación útil es que el tiempo adimensional a la cual la distorsión del almacenamiento en la cara del pozo termina es dada por  t  D = (60 + 3.5s) c sD

(1.43)

Estas observaciones son útiles en el análisis de pruebas de pozos. Flujo lineal

El flujo lineal ocurre en algunos yacimientos de petróleos con fracturas verticales largas y altamente conductivas. Por esta razón, es de interés mirar una de las ecuaciones fundamentales que describe el flujo lineal en un yacimiento. Considere una situación flujo lineal (en la dirección x, por conveniencia) de un fluido ligeramente compresible en un yacimiento infinito, homogéneo, inicialmente a presión uniforme, p i. El fluido es producido a tasa constante qB sobre un área A f  (pies cuadrados). [Si el área Af  representa una fractura vertical con dos alas de igual longitud, L f  (pies) y altura h (pies), Af =4hLf ,con flujo entrando de ambos lados de cada ala de la fractura]. Esta situación es modelada por la ecuación de difusividad en la forma 2   p =   ct   p  x 2 0.000264k  t 

(1.44)

Para las condiciones establecidas, la solución a esta ecuación a x=0 es 1/2

qB    t   

   pi -  p wf  = l6.26  k    c  A f    t  

(1.45)

Para flujo lineal en fracturas verticales, A f =4hLf , y 1/2

 pi -  p wf  = 4.064

qB    t   





h L f   k  ct  

(1.46)

1.4 Radio de investigación

El concepto de radio de investigación es un concepto de valor tanto cualitativo como cuantitativo en el análisis y diseño de pruebas de pozo. Por radio de investigación, r i, se entiende como la distancia que una presión transitoria ha recorrido en la formación como producto de un cambio en la tasa del pozo. Esta distancia relaciona las propiedades de los fluidos, de la roca de formación y el tiempo transcurrido después del cambio de la tasa.  Antes se desarrolló un significado cuantitativo del cálculo de r i sin embargo, se examinará una distribución de presión a cada incremento de tiempos para desarrollar un sondeo para el movimiento transitorio en la formación. La fig. 1.7 muestra la presión como una función del radio para 0.1, 1.0, y 100 horas después que un pozo comienza a producir de una formación originalmente a 2000 psi. Estas distribuciones de presión fueron calculadas usando la solución de la función Ei de la ecuación de difusividad. Para un pozo y una formación con características. q = 177 STB/D ,  = 1 cp,  B = 1.2 RB/STB,

k = 10 md, h = 150 pies,  = 0.15, -1

-6  ct = 70.3x 10  p s i  ,

r e = 3000  pies, r w = 0.1 pies, , y  s = 0.

Dos observaciones particularmente importantes son: 1. La presión en la cara del pozo (a r=r w) disminuye de manera estable con incrementos de tiempo de flujo; del mismo modo, las presiones a otros valores establecidos de r también disminuyen con el incremento de tiempo de flujo. 2. La distorsión de presión causada por la producción del pozo se transmite en el yacimiento a medida que el tiempo de flujo incrementa. Para el rango de tiempos de flujo mostrados, hay siempre un punto más allá a la cual la caída de presión respecto al valor original es despreciable.  Ahora considere un pozo en el cual instantáneamente se inyecta un volumen de líquido. Esta inyección introduce una distorsión

de presión dentro la

formación; la perturbación al radio r i alcanza su máximo al tiempo t m después de la introducción del volumen de fluido. Se ha de buscar la relación entre r i y tm. De la solución a la ecuación de difusividad para una línea fuente instantánea en un medio infinito,  p -  pi =

c1 - r 2 / 4 t  e t 

Donde ci es una constante, relacionada con la resistencia de fuente instantánea. Se halla el tiempo, t m, al cual la distorsión de presión es un máximo al radio r i por diferenciación e igualando a cero: 2 2 dp c c r  = - 21 e- r 2 /4 t + 1 3 e- r  /4 t = 0. dt  4 t  t 

 Así, 2

2

t m = r i  /4 = 948  ct  r i  /k 

Dicho en otra forma, en el tiempo t, una distorsión de la presión alcanza una distancia r i, la cual se llama radio de investigación , y está dado por la

ecuación 1/2

  kt     r i =  948   ct    

(1.47)

El radio de investigación dado por la ecuación 1.47 también suministra la distancia a la cual una distorsión de presión es propagada por la producción o inyección a una tasa constante. Por ejemplo, para la formación con distribuciones mostradas en la figura 1.7, la aplicación de la ecuación 1.47 arroja los siguientes resultados. t 

(horas)

r i

(pies)

0.1

32

1.0

100

10.0

316

100.0

1000

La comparación de estos resultados con la distribución de presión graficados muestran que r i calculado de la ecuación 1.47 es cercana al punto en el cual la caída de presión en el yacimiento causada por la producción del pozo llega ha ser despreciable. También se usa la ecuación 1.47 para calcular el radio de investigación alcanzado en algún tiempo después de algún cambio en la tasa en un pozo. Este resultado es significativo debido a que la distancia transitoria que se ha movido dentro de una formación es aproximadamente la distancia al pozo en el cual las propiedades de la formación están siendo investigadas en un tiempo particular en una prueba de pozo. El radio de investigación tiene varios usos en el análisis y diseño de pruebas de presión transitoria. Un uso cualitativo ayuda a explicar la forma de una curva de ascenso y descenso de presión. Por ejemplo, una curva de ascenso puede tener una forma difícil de interpretar o una pendiente en tiempos tempranos cuando el radio de investigación está en la zona de permeabilidad alterada, ks, cerca a la cara del pozo. Generalmente, una curva de ascenso de presión puede cambiar de forma en tiempos largos cuando el radio de investigación alcanza la vecindad de los límites de un yacimiento (tal como una falla sellante) o algunos yacimientos con heterogeneidades masivas. (En la práctica, se encuentra que una heterogeneidad o frontera influye en la respuesta de presión en un pozo cuando el radio de investigación calculado es del orden de dos veces la distancia a la heterogeneidad.) El concepto de radio de investigación suministra una guía para el diseño de pruebas de pozo. Por ejemplo, se puede desear muestrear las propiedades del yacimiento al menos en 500 pies de un pozo probado. Qué tan larga debe ser  corrida la prueba? Seis horas? veinticuatro horas?. No se está forzado a

adivinar -o a correr una prueba para una longitud arbitraria de tiempo que puede ser o bien corto o bien largo. Además, se puede usar el concepto de radio de investigación para estimar el tiempo requerido para una prueba a una profundidad deseada en la formación. La ecuación de radio de investigación también provee un medio para estimar  el tiempo requerido para alcanzar el flujo "estabilizado" (es decir, el tiempo requerido para que una presión transitoria alcance los límites de un yacimiento probado). Por ejemplo, si un pozo esta localizado en el centro de un área de drenaje cilíndrica de radio, r e entonces, haciendo r i = r e, el tiempo requerido para la estabilización, ts, es establecido por  t  s = 948  ct  r 2e /k 

(1.48)

No es coincidencia que este sea el tiempo al cual el flujo seudoestable comienza ( es decir, el tiempo en el cual la ecuación 1.12 llega a ser una aproximación de la solución exacta de la ecuación de difusividad). Una palabra de precaución: Para otras formas de área de drenaje el tiempo estabilizado puede ser totalmente diferente, como se ilustra en el ejemplo 1.3. Se previene al lector que el concepto de radio de investigación no es una panacea. Primero, observe que es exactamente correcto solamente para un yacimiento homogéneo, isotrópico y cilíndrico -las heterogeneidades del yacimiento disminuirán la exactitud de la ecuación 1.47. Además, la ecuación 1.47 es exacta solamente para describir el tiempo máximo al cual la distorsión de presión alcanza el radio r i seguida a una explosión instantánea de inyección o producción dentro de un pozo. La exacta localización del radio de investigación llega a ser mal definida para inyección o producción continua a tasa constante seguida de un cambio en la tasa. El concepto de radio de investigación puede ser útil, aunque sus

limitaciones deben mantenerse en

mente.

Ejemplo 1.4 - Cálculo del radio de investigación.

Problema. Se desea correr una prueba de flujo en un pozo exploratorio por 

suficiente tiempo para asegurar que el pozo pueda drenar un cilindro de más de 1000 pies. Inicialmente los análisis de datos de fluido y de pozo sugieren que k=100 md, φ=0.2, ct= 2x10-5 psi-1 y  μ =0.5 cp Qué tiempo es admisible para la prueba de flujo? Qué tasa de flujo sugiere? Solución. En el tiempo mínimo en la prueba de flujo la presión transitoria

puede propagarse aproximadamente 2000 pies del pozo (dos veces el radio mínimo de investigación por seguridad). El tiempo requerido es 2

t = 948  ct r i  /  k  2

=

(948)(0.2)(0.5)(2x 10-5 )(2000 ) 100

= 75.8 horas.

En principio, cualquier tasa de flujo satisface - el tiempo requerido para alcanzar un radio particular de investigación es independiente de la tasa de flujo. En la práctica, se requiere una tasa de flujo suficientemente grande tal que el cambio de presión con el tiempo pueda ser registrado con suficiente precisión para ser utilizado para el análisis. Lo que constituye suficiente presición depende en particular del manómetro usado en la prueba. 1.5 Principio de Superposición

En este punto, la solución más útil a la ecuación de flujo, la solución de la función Ei, puede ser aplicable solamente para describir la distribución de presión en un yacimiento infinito, causada por la producción de un solo pozo

en el yacimiento, y la más restrictiva de todas, producción del pozo a tasa constante comenzando en el tiempo cero. En esta sección, se demuestra como la aplicación del principio de superposición puede remover alguna de estas restricciones, y se concluye con el examen de una aproximación que simplifica grandemente el modelamiento de un pozo a tasa variable. Para estos propósitos, se establece el principio de superposición en la siguiente forma: La caída de presión total en algún punto de un yacimiento es la suma de las caídas de presión en este punto causado por el flujo de cada uno de los pozos en el yacimiento. La ilustración más simple de este principio es el caso de más de un pozo en un yacimiento infinito. Como ejemplo considere tres pozos, los pozos A, B y C, que comienzan a producir al mismo tiempo en un yacimiento infinito (figura 1.8). La aplicación del principio de superposición muestra que (  pi -  p wf  ) total en el  poz o A = (  pi -  p ) debidoal  poz o A + (  pi -  p ) debidoal  poz o B + (  pi -  p ) debidoal  poz oC 

En término de las funciones Ei y aproximaciones logarítmicas,

 q  B   1,688 ct  r wA   (  pi -  p wf  )total del  pozo A = - 70.6   A ln  - 2 s A   k h    k t     2

q  B  948 ct  r  AB   - 70.6   B  Ei  kh k t      2

q  B  - 948 ct  r  AC    - 70.6  c  Ei  kh k t      2

(1.49)

Donde q A se refiere a la tasa a la cual el pozo A produce; q B, al pozo B y q C, al pozo C. Observe que esta ecuación incluye un factor de daño para el pozo A, pero no incluye factores de daño para los pozos B y C. Debido a que la mayoría de estos pozos tienen factor de daño diferente a cero y que se esta modelando la presión alrededor de la zona de permeabilidad alterada cerca al pozo A. se debe incluir su factor de daño. Sin embargo, la presencia de factores de daño diferentes a cero para los pozos B y C afecta la presión solamente a los alrededores de sus zonas de permeabilidad alterada y no tiene influencia sobre la presión en el pozo A si el pozo A no esta dentro de la zona alterada del pozo B o C. Usando este método, se puede tratar cualquier número de pozos fluyendo a tasa constante en un yacimiento que actúa como infinito . Por 

consiguiente, se puede modelar las pruebas llamadas de interferencia, las cuales básicamente están diseñadas para determinar las propiedades del yacimiento a partir de la respuesta observada en un pozo ( tal como el pozo A ) debido a la producción de otros pozos ( tales como B y C ) en el yacimiento. Un método relativamente moderno de pruebas de interferencia, llamadas pruebas de pulso, están basadas en estas ideas. La próxima aplicación del principio de superposición es simular el comportamiento de la presión en yacimientos limitados . Considere el pozo

en la figura 1.9 a una distancia, L, de una frontera de no flujo (tal como una falla sellante ). Matemáticamente, este problema es idéntico a el problema de un pozo a una distancia 2L de un pozo "imagen" ( es decir, un pozo que tiene la misma historia de producción que el pozo real). La razón de este sistema de dos pozos es simular el comportamiento de un pozo cerca a una frontera que esta equidistante a una línea entre los dos pozos que puede mostrar ser una frontera de no flujo -es decir, a lo largo de esta línea el gradiente de presión es

cero, lo cual significa que esta línea puede ser de no flujo. Así, esto es solo un problema simple de dos pozos en un yacimiento actuando como infinito:  pi -  p wf  = - 70.6 

qB    1,688  ct  r 2 w   - 2s   ln kh   kt   

qB    - 948  ct (2L)    - 70.6   Ei  kh kt      2

(1.50)

De nuevo, observe que si el pozo imagen tiene un factor de daño diferente de cero es inmaterial. Su influencia exterior de su zona de permeabilidad alterada es independiente de si existe o no esta zona. Las extensiones de la técnica de "imágenes" también se puede usar, por  ejemplo, para modelar (1) distribución de presión para un pozo entre dos fronter  pozo entre dos fronteras paralelas; y (3) el comportamiento de la presión para pozos en varios sitios completamente rodeados por fronteras de no flujo en yacimientos de forma rectangular. Este último caso ha sido estudiado completamente; el estudio por Matthews y otros es uno de los métodos frecuentemente más usado para estimar la presión promedio en el área de drenaje a partir de pruebas de ascenso de presión. La aplicación final y más importante del principio de superposición es para modelar pozos produciendo a tasa variable. Para ilustrar esta

aplicación, se considera el caso (figura 1.10) de un pozo que produce a tasa q 1 del tiempo cero al tiempo t 1; en t1, la tasa cambia a q 2; y al tiempo t 2, la tasa cambia a q3. El problema que se desea resolver es: en algún tiempo t>t 2 cuál

es la presión en la cara de la arena del pozo?. Para resolver este problema, se usa superposición como antes, pero, en este caso, cada pozo que contribuye a la caída de presión total esta en la misma posición en el yacimiento - los pozos simplemente actúan a diferentes tiempos. La primera contribución a una caída en la presión del yacimiento es por la producción de un pozo a una tasa q 1 comenzando en t=0. Este pozo, en general, está dentro de una zona de permeabilidad alterada; así, su contribución a la caída de presión en el yacimiento es (  p)1 = (  pi -  p wf  )1 = - 70.6 

  q1 B   1688  ct  r w2   - 2s ln kh    kt    

Comenzando en el tiempo t 1, la tasa total nueva es q 2. Introduciendo un pozo 2, la producción a la tasa (q2-q1) comienza en el tiempo t 1, así que la tasa total después de t1 es la requerida q2. Observe que el lapso de tiempo total desde que este pozo comenzó la producción es (t-t1); además observe que este pozo está aún dentro de una zona de permeabilidad alterada. Así, la contribución del pozo 2 a la caída de presión del yacimiento es

(  p)2 = (  pi -  p wf  )2 = - 70.6 

   ( q 2 - q1 )B    1688  ct r w2   ln   2s    kh    k(t - t 1 )   

(75)

Similarmente, la contribución de un tercer pozo es    ( q3 - q2 )B    1688  ct  r w2   ln   2s (  p)3 = (  pi -  p wf  )3 = - 70.6     kh    k(t - t 2 )   

 Así, la caída total para el pozo con dos cambios en tasa es

 pi -  p wf  = (  p)1 + (  p)2 + (  p)3

 q1 B 

 1688  ct  r w2    - 2s  = - 70.6  ln kh    kt    

- 70.6 

- 70.6 

 ( q 2 - q1 )B

kh

 ( q3 - q 2 )B

kh

   1688  ct  r w2     ln     k(t - t 1 )  - 2s     

   1688  ct  r w2     ln     k(t - t 2 )  - 2s     

(1.51)

Procediendo en una forma similar, se modela un pozo real con docenas de cambios de tasa en su historia; también se representa la historia de la tasa para un pozo con una tasa cambiando continuamente (con un periodo de secuencia) - pero, en muchos de tales casos, este uso de superposición conduce a una ecuación larga, tediosa para usar en calculadoras manuales. Observe, sin embargo, que tal ecuación es válida solamente si la ecuación 1.11 es válida para el lapso de tiempo total desde que el pozo comienza a fluir  a su tasa inicial- es decir, para un tiempo t , r i debe