Capitulo 1 - Modelado de Lineas de Transmision - 2011

CAPITULO 1 MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISION

1.1 INTRODUCCION La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. En conjunto, estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica desde centros de generación hasta centros de consumo. La transmisión de dicha energía puede realizarse ya sea por corriente alterna (c.a.) o directa (c.d.), y de acuerdo al diseño de la línea puede ser de transmisión aérea o subterránea. En el caso de la transmisión subterránea, esta normalmente se realiza a través de cables de alta tensión, cuyo uso se ha venido incrementando durante las últimas décadas, debido a cuestiones de confiabilidad, estética y medio ambiente. Dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica, se tiene clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión, subtransmisión y distribución. En México y otros países, los niveles de voltajes desde 115 kV o mayores son considerados como de transmisión. Cuando se opera con voltajes de 34 hasta 115 kV se dice que la red es de subtransmisión. Por último, niveles de tensión menores a 34 kV están relacionados con redes de distribución. Por otro lado, excepto en pocas situaciones, la transmisión de energía eléctrica es aérea, de modo que el aislante común entre conductores sea el aire circundante a los conductores, además de que los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna trifásica. En base a esto, se tendrá como objetivo el desarrollar un modelo matemático que represente el comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica. Este modelo se caracteriza por cuatro parámetros principales: • • • •

Resistencia serie Inductancia serie Conductancia en derivación Capacitancia en derivación.

Primeramente, se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente, se obtienen los correspondientes al efecto en derivación. Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son analizados posteriormente.

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1.2 IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISION Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto, aunque previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia.

1.2.1 Resistencia de la Línea La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión, las cuales están dadas por la expresión I2R, donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la resistencia del mismo. Estas pérdidas tienen que ser mínimas, lo cual depende de un diseño adecuado de la línea, tomando en consideración factores como el calibre de conductores, número de estos por fase, tipo de material e influencia del medio ambiente, entre otros.

1.2.1.1

Resistencia de Corriente Directa

La resistencia de c.d. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida uniformemente en toda la sección transversal del conductor, la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente:

R0 =

ρl A

Ω

(1.1)

donde:

ρ = resistividad del material conductor (Ω-m) l = longitud del conductor (m) A = área efectiva de la sección transversal del conductor (m2) Si se utiliza el sistema inglés, en lugar del métrico decimal, entonces la longitud y área del conductor estarán dadas en ft y ft2, respectivamente. Sin embargo, puede usarse cualquier sistema congruente de unidades, de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o millas, que es lo más usual. El estándar internacional de conductividad es el cobre recocido. El cobre comercial estirado en frío tiene un 97.3% y el aluminio un 61% de la conductividad estándar del cobre recocido. ρ es igual a 1.77 ×10-8 Ω-m (10.66 Ω-cmil/ft) para el cobre estirado en frío a 20ºC. Para el aluminio a 20ºC, ρ es igual a 2.83 ×10-8 Ω-m (17.00 Ω-cmil/ft). Un circular mil (cmil) es el área de un círculo que tiene un diámetro de 1 mil (10-3 pulgadas); el área en mm2 es igual al área en cmil multiplicada por 5.067×10-4. Además, la resistencia de c.d. de conductores trenzados es mayor que el valor calculado mediante la ecuación (1.1), debido a la colocación en espiral de los filamentos individuales, la cual los hace más largos. Para cada milla en el conductor, excepto en el del centro, la corriente en todos los filamentos fluye a través de una longitud mayor. El incremento en la resistencia, debido al trenzado, se estima en 1% para conductores de tres filamentos y del 2% para conductores concéntricamente trenzados.

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1.2.1.2 Efecto de la Temperatura Sobre la Resistencia Un cambio en la temperatura causa una variación en la resistencia, en forma prácticamente lineal, dentro del margen normal de utilización de la línea de transmisión. Esta variación está dada por la siguiente ecuación: R2 T + t2 = R1 T + t1

(1.2)

donde R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2, respectivamente. La constante T varía de acuerdo al material conductor y se define como la temperatura a la cual la resistencia del conductor es igual a cero. Algunos valores de T son los siguientes: T = 234.5 para el cobre recocido con 100% de conductividad. T = 241.0 para el cobre estirado en frío con 97.3% de conductividad. T = 228.0 para el aluminio estirado en frío con 61% de conductividad.

La distribución uniforme de la corriente en la sección transversal de un conductor, solamente se presenta para la corriente directa. Conforme se incrementa la frecuencia para la corriente alterna, la no uniformidad de la distribución se hace más pronunciada. Un incremento en la frecuencia da origen a una densidad de corriente no uniforme. A este fenómeno se le conoce como efecto piel, el cual es descrito a continuación.

1.2.1.3 Efecto Piel Para el análisis de este efecto, será necesario considerar lo siguiente: 1. A partir de la Figura 1.1 se hará el análisis, donde se muestra la sección transversal de un conductor, en la cual se ha dibujado dos filamentos hipotéticos iguales además del centro. A B

Figura 1.1

Sección transversal de un conductor mostrando dos de sus filamentos.

2. Las dimensiones del conductor son uniformes, es decir, si se secciona el conductor en diferentes tramos, todas las secciones transversales resultarán ser iguales. 3. La corriente será la misma para toda la longitud del conductor, esto es, la corriente que entra por un extremo del conductor, será la misma que saldrá por el otro extremo. 4. Apoyándose en las dos suposiciones anteriores, puede suponerse que cualquier sección transversal del conductor será una superficie equipotencial.

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Al medir una caída de tensión en cada uno de los filamentos, ésta será la misma para ambos (suposición 4). En corriente directa, la condición anterior se satisface con la densidad de corriente uniforme que resultará en caídas de tensión por resistencia uniformes. Si se trata de corriente alterna, además de la caída de tensión por resistencia, existirá un voltaje inducido en cada filamento, resultante del campo magnético variante producido por la corriente en el propio conductor. Las líneas de flujo de este campo magnético circularán de acuerdo al eje del conductor y algunas encerrarán al filamento B sin hacerlo con el A, debido a la posición geométrica de ambos. Las reactancias alejadas del centro (como la del filamento A), serán menores que las de los filamentos alrededor del centro del conductor (como el filamento B). Por lo tanto, para producir caídas de tensión iguales, las densidades de corriente deben ser mayores cerca de la periferia del conductor, para compensar la reactancia menor. El resultado final es que la distribución de densidades de corriente a través de la sección transversal del conductor no será uniforme, siendo conocido como efecto piel, el cual causará que la resistencia de c.d. se incremente ligeramente. Esta es la llamada resistencia de c.a. Por otro lado, la inductancia debida al flujo interno en el conductor se verá disminuida. Si se expresa tales conclusiones mediante fórmulas, se tendrá lo siguiente:

Rca = Rcd α R y para la inductancia interna: ( Li )ca =( Li )cd α L

donde αR y αL son ligeramente mayor y menor que la unidad, respectivamente. Ejemplo 1.1. Las tablas de características eléctricas [1] dan para el conductor trenzado de aluminio marigold, una resistencia de c.d. de 0.01558 Ω por 1000 pies a 20ºC y una resistencia de c.a. de 0.0956 Ω/milla a 50ºC. El conductor tiene 61 filamentos y su tamaño de 1113 MCM (mil circular mils1). Entonces, considerando un incremento del trenzado del 2% a 20ºC, el valor de la resistencia de c.d. debe ser el siguiente: R0 =

17.0 × 1000 1113 × 1000

× 1.02 = 0.01558 Ω por 1000 pies de longitud.

De la ecuación (1.2), para la temperatura de 50ºC: R 0 = 0.01558

228 + 50 228 + 20

= 0.01746 Ω por 1000 pies de longitud.

En este caso, la relación entre las resistencias de c.d. y c.a. es la siguiente: 1

Un circular mil es el área de un círculo que tiene un diámetro de 1 mil = 10-3 pulgadas.

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R ca R0

=

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0.0956 = 1.03722 0.01746 × 5.2788

Es decir, el efecto piel causa un incremento del 3.722% en el valor de la resistencia de corriente directa.

1.2.1.4 Efecto Corona Aunque este fenómeno no afecta a la resistencia en una forma directa, sí influye en la eficiencia de operación de la línea de transmisión, debido a que su existencia producirá pérdidas adicionales. Este efecto está relacionado con la producción de campos eléctricos cuya intensidad es capaz de ionizar el aire circundante a los conductores de fase de la línea de transmisión. Una ionización extrema resultará en la presencia de arcos eléctricos entre conductores. Este efecto puede detectarse audiblemente por el zumbido que produce y visualmente por el aura luminosa que se presenta en cada conductor de fase. El efecto corona producirá pérdidas e interferencias radiofónicas. Tales pérdidas serán relativamente pequeñas en ambientes secos y tienden a incrementarse en ambientes más húmedos, llegando inclusive a magnitudes 15 veces mayores. Comúnmente, estas pérdidas son expresadas en kW/km, pero resulta difícil obtener un modelo analítico que permita calcularlas de manera exacta, debido a la gran cantidad de variables involucradas. Los resultados son obtenidos mediante relaciones empíricas y métodos estadísticos. Sin embargo, el efecto corona debe tomarse en cuenta para el diseño adecuado de líneas de transmisión.

1.2.1.5

Inductancia de Dos Conductores Paralelos

La inductancia es usualmente definida dividiendo los enlaces de flujo por la corriente. Para la inductancia propia, los enlaces de flujo de un circuito dado son divididos por la corriente en ese circuito, esto es: L=

λ 11 I1

donde λ 11 es el enlace de flujo en Weber-vuelta del circuito 1, debido a la corriente I1 en Amperes. La inductancia mutua es definida en forma semejante. El cálculo de la inductancia propia de un conductor cilíndrico recto de longitud finita es usualmente dividida en dos componentes: L = Li + Le

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donde Li es la inductancia del conductor debida a los enlaces de flujo internos, mientras que Le es la inductancia propia debida a los enlaces externos al conductor. Entonces, puede mostrarse que, para una densidad de corriente uniforme se tiene:

µω s 8π

Li =

H

donde:

µ ω = permeabilidad del conductor en H/m = 4 π × 10-7 H/m para materiales no ferrosos. s = longitud del conductor en metros. Los enlaces de flujo externos son definidos como:

λe =

⎞ µ m I 1 ⎛⎜ s+ s 2 + r 2 s ln − s 2 +r 2 + r ⎟ ⎟ r 2π ⎜ ⎝

Wb-vuelta

⎠

donde:

µ m = permeabilidad del medio circundante al conductor = 4 π × 10-7 H/m para el aire. r = radio del conductor en metros. Si s>>r como ocurre siempre con las líneas de transmisión de alta tensión, la expresión para la inductancia externa puede simplificarse en la forma siguiente: Le =

λe I1

=

µ m s⎛

2s ⎞ ⎜ ln − 1 ⎟ r 2π ⎝ ⎠

H

Sumando las inductancias interna y externa, se obtiene la inductancia de un conductor cilíndrico de longitud finita s: L=

µω s 8π

+

µ m s⎛

2s ⎞ ⎜ ln − 1 ⎟ 2π ⎝ r ⎠

H

En la mayoría de los casos, los conductores no están hechos con materiales ferromagnéticos y el medio circundante es el aire, de modo que µ m y µ ω son iguales y tienen un valor de 4 π ×10-7 H/m. Esto implica que debe suponerse que para conductores ACSR el material ferromagnético prácticamente no transporta corriente. Con esta aproximación, la inductancia puede escribirse como: 1 2s L = ×10 −7 s + 2 ×10 −7 s ⎛⎜ l n − 1 ⎞⎟ 2 ⎠ ⎝ r Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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o también como: 1 2s L = 2 ×10 −7 s ⎛⎜ + l n − 1 ⎞⎟ r ⎝4 ⎠

H

Por otra parte,

1 1 1 = ln = ln 4 0.7788 e −1/ 4 Aplicando las propiedades de los logaritmos: 1 2s 2s L = 2 × 10 −7 s ⎛⎜ l n − 1 ⎞⎟ + ln − 1 ⎞⎟ = 2 ×10 −7 s ⎛⎜ l n r ⎠ ⎠ ⎝ 0.7788 r ⎝ 0.7788 Para conductores cilíndricos se puede definir Ds = 0.7788r , de modo que la expresión anterior se puede rescribir como: ⎛ 2s ⎞ −1⎟ L = 2 × 10 −7 s ⎜ l n ⎝ Ds ⎠

H

o también, ⎛ 2s ⎞ −1⎟ L = 2 × 10 −7 ⎜ l n ⎝ Ds ⎠

H/m

1.2.2 Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas Como se mencionó anteriormente, este parámetro está compuesto por los efectos resistivo e inductivo de la línea. El desarrollo de esta parte del modelo considerará el efecto de retorno por tierra. Para condiciones normales de diseño, la reactancia correspondiente a la inductancia, xL = ωL, es la parte dominante de la impedancia serie, la cual determina el efecto sobre la capacidad de transmitir y la caída de tensión. Este dominio de la inductancia sobre la resistencia se aprecia por medio de la relación x/r >> 1 para líneas de transmisión de alta tensión. El efecto de retorno por tierra consiste en considerar que las líneas tienen un retorno por medio de un conductor ficticio de longitud infinita, situado debajo de la superficie del terreno que tiene una resistividad uniforme y paralelo a la línea. Además, este conductor tendrá un radio medio geométrico, denotado por Dsg , igual a la unidad de longitud de las coordenadas entre los conductores de la línea. La Figura 1.2 representa esta situación.

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Ia

a

a’

zaa'

+ Va

_ Dag

tierra local

zag

tierra remota

Vg = 0

ref

z gg'

g

I g = − Ia

g’

Figura 1.2 Línea monofásica considerando el efecto de retorno por tierra.

Al observar la Figura 1.2, las caídas de tensión están dadas por:

⎡ ∆Va ⎤ ⎡Va − Va' ⎤ ⎡ zaa' ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢∆Vg ⎥ ⎢Vg − Vg' ⎥ ⎢⎣ z ga ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

zag ⎤ ⎡ I a ⎤ ⎥⎢ ⎥ z gg' ⎥⎦ ⎢⎣ I g ⎥⎦

(1.3)

Sabiendo que Vg = Vg' = Va' = 0 , se deduce que Vg' − Va' = 0 . Restando renglones en la ecuación (1.3):

(

)

Va − Va' − Vg − Vg' = Va − Vg = Va Además,

(

)

(

)

zaa' I a + zag I g − zag I a − z gg' I g = zaa' − zag I a + zag − z gg' I g =Va Esta expresión puede escribirse en términos de una sola corriente, resultando:

(

)

(

)

(

)

Va = zaa' − zag I a + zag − z gg' (−I a ) = zaa' + z gg' − 2 zag I a = zaa I a

donde:

zaa = zaa' + z gg − 2 zag

(1.4)

cuyas componentes son impedancias primitivas, las cuales, a su vez, están definidas por las siguientes expresiones:

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zaa' = ra + jω k La z gg' = rg + jω k Lg

Ω/ul

(1.5)

zag = jω k M ag donde ra es la resistencia del conductor de la línea, rg es la resistencia del supuesto conductor que representa al efecto de retorno por tierra; ω es la frecuencia en rad/s; La y Lg son las inductancias propias de la línea y del efecto de retorno por tierra, respectivamente, mientras que M ag representa al efecto mutuo inductivo entre ambos conductores; ul representa cualquier unidad de longitud y k es una constante de conversión para unidades de longitud. Si se substituye las expresiones (1.5) en la ecuación (1.4), se obtiene lo siguiente:

(

)

(

zaa = ra + rg + jω k La + Lg − 2M ag

)

(1.6)

donde las inductancias están definidas por las expresiones siguientes:

2s −1 D sa 2s = ln −1 D sg

L a = ln Lg

M ag = l n

(1.7)

2s −1 D ag

En estas expresiones (1.7), s es la longitud del conductor a. Si se suma las inductancias, tal como se describe en (1.6), L a + L g − 2 M ag = l n

2 D ag

(1.8)

D sa D sg

Sabiendo que Dsg =1 , se definirá a la constante De como: De =

2 Dag

(1.9)

Dsg

y substituyendo en la ecuación (1.7), la impedancia de la línea estará dada por: z aa = ( r a + r g ) + j ω k l n

De

(1.10)

D sa

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En las expresiones anteriores, Dsa es el Radio Medio Geométrico (RMG) del conductor a. Para calcular el valor de la resistencia del efecto de retorno por tierra, Carson encontró que, empíricamente, ésta puede ser calculada mediante las fórmulas siguientes:

rg = 1.588 × 10−3 f

Ω/mi (1.11)

rg = 9.869 × 10

−4

Ω/km

f

donde f es la frecuencia en Hz. El cálculo de la constante De está dado por: De = 2160

ρ f

(1.12)

ft

siendo ρ la resistividad de la tierra en Ω-m.

1.2.3 Ecuaciones de Carson En 1926, el Dr. John R. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea. Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario. Las ecuaciones de Carson son las siguientes: ⎛ R S z ii = ri + 4ω Pii G + j 2ω G ⎜⎜ l n i + l n ii + 2Q ii Ri ⎝ D si z ij = 4ω Pij G + j 2ω G ( l n

S ij D ij

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

+ 2Q ij )

Ω/mi

Ω/mi

(1.13)

(1.14)

donde: zii = impedancia propia del conductor i. zij = impedancia mutua entre los conductores i y j. ri = resistencia del conductor i. ω = frecuencia en rad/s. G = 0.1609347 × 10 −3 Ri = radio exterior del conductor i. Los factores Pii , Pij , Qii y Qij son determinados mediante las Series de Carson siguientes: Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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Pij =

π 8

−

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1 3 2

k ij Cosθ ij +

( k ij ) 2 16

⎛ 2 Cos ( 2θ ij )⎜⎜ 0.6728 + l n k ij ⎝

⎞ ⎟ +... ⎟ ⎠

1 2 1 + Q ij = − 0.0386 + l n k ij Cosθ ij + ... 2 k ij 3 2 donde k ij = 8.565 × 10 −4 S ij

Las distancias Sij y

f

ρ

Dij se calculan de acuerdo a lo mostrado en la Figura 1.3, donde las

primeras relacionan a los conductores con sus imágenes. i Dij

j

Sij

S jj

θij Sii

j' i' Figura 1.3

Conductores de una línea monofásica y sus imágenes.

Normalmente, Sij >> Dij , de modo que los ángulos θij serán pequeños y las funciones Cos(.) dentro de las expresiones de la Serie de Carson podrán ser aproximadas a 1. Para una distancia Sij = 100 pies, una frecuencia de 60Hz y una resistividad de 100 Ω-m, se tiene que: Pij =

π 8

−

1 3 2

8.565 ×10

−4

(

8.565 ×10 −4 60 100 + 100 16

)2 (1 )⎛⎜ 0.6728 + ln ⎜ ⎝

2 8.565 ×10 −4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Pij =0.3927 −0.015637+ 0.001122078 =0.378184598 de modo que puede aproximarse a lo siguiente:

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Pij =

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π 8

De la misma manera, Q ij = − 0.03860 +

1 2 ln + 0.015637 = − 0.03860 + 1.44761 + 0.015637 = 1.42464711 2 k ij

que, de acuerdo a los resultados anteriores, puede simplificarse a: 1 2 Q ij = − 0.03860 + l n 2 k ij Analizando de manera más detallada la expresión anterior, se obtiene lo siguiente: ⎛ 1 ⎜ 2 Q ij = − 0.03860 + l n ⎜ 2 ⎜ ⎜ 8.565 ×10 −4 S ij ⎝ 1 ⎛ 2 = − 0.03860 + l n ⎜ ⎜ 2 ⎝ 8.565 × 10 −4

⎞ ⎟ ⎟ f ⎟⎟ ρ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ρ ⎞ ⎟ ⎞ 1 ⎜ f ⎟ 1 1 ⎜ ⎟ + ln ⎜ ⎟ = 3.8393 + l n ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 S ⎟ ⎜ ⎟ f ij ⎠ ⎜ S ij ⎜ ⎟ ρ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠

Resultando: ⎛ ρ ⎞ f ⎟ 1 ⎜ ⎟ Q ij = 3.8393 + l n ⎜ 2 ⎜ S ij ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Mediante estas aproximaciones, las ecuaciones de Carson pueden simplificarse de manera significativa. Tanto las impedancias serie como mutua están afectadas por el término 2Q, de tal manera que: ⎛ ρ ⎞ ⎜ f ⎟ ⎟ 2Q ii = 7.678603422 + l n ⎜ ⎜ S ii ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(1.15)

⎛ ρ ⎞ ⎜ f ⎟ ⎟ 2Q ij = 7.678603422 + l n ⎜ ⎜⎜ S ij ⎟⎟ ⎝ ⎠

(1.16)

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Substituyendo las expresiones anteriores en (1.13): ⎛ S ⎞ z ii = ri + r g + j 2ω G ⎜ l n ii + 2Q ii ⎟ ⎝ D si ⎠

(1.17)

donde: rg = 4 (2π f G )

π 8

(

)

= π 2 f G = (3.1416)2 0.1609347 ×10− 3 f

rg =1.58837 × 10−3 f

Ω/mi

(1.18)

2 G = 0.3218694 × 10 −3 = k

(1.19)

Substituyendo (1.15) dentro del paréntesis en (1.17), este resulta en lo siguiente:

ln

S ii D si

⎛ ρ ⎞ ⎛ ⎛ ρ ρ ⎞ ⎜ ⎜S ⎟ ⎜ f ⎟ f f ⎟ = l n ⎜ ii ⎟ + 7.678603422 = l n⎜ + 7.678603422 + l n⎜ ⎜ S ii ⎟ ⎜ D si S ii ⎟ ⎜ D si ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ρ ⎜ f = ln ⎜ ⎜ D si ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ + l n e 7.678603422 ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎛ 2161.5988 ρ ⎞ ⎟ ⎜ f ⎟ ⎟ + l n ( 2161.5988 ) = l n ⎜ ⎟ D si ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

Definiendo: De = 2161.5988 ρ

f

ft

Entonces, z ii = ri + r g + j ω k l n

De D si

Ω/mi

(1.20)

Ω/mi

(1.21)

De la misma manera: z ij = r g + j ω k l n

De D ij

Nótese la semejanza entre los valores que la referencia [8] presenta para k y para rg , los cuales se presentan en la Tabla 1.1.

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Tabla 1.1 Constantes para el cálculo de inductancias. Constante Unidad de Longitud Logaritmo Natural Logaritmo Base 10 k km 0.0002000 0.0004605 mi 0.0003219 0.0007411 2πk f = 50 Hz fk

ωk f = 60 Hz fk

ωk

1.2.4

km Mi

0.001257 0.002022

0.002893 0.004656

km mi

0.01000 0.01609

0.02302 0.03705

km Mi

0.06283 0.10111

0.14460 0.23280

km mi

0.01200 0.01931

0.02763 0.04446

km Mi

0.07539 0.12134

0.17360 0.27940

Impedancia Serie de la Línea Trifásica

El cálculo de la impedancia serie de la línea trifásica, considerando el efecto de retorno por tierra, se realiza similarmente al cálculo de impedancia serie de la línea monofásica. La configuración de los circuitos se muestra en la Figura 1.4, identificándose impedancias, voltajes y corrientes. Ia

a

+

_

zab

Ib

b Va

a’

zaa'

b’

zbb'

+ Vb

+

_

_Vc

zac

zbc

Ic

c

c’

zcc'

zbg tierra local

zag

zcg

tierra remota

Vg = 0

z gg' ref

g

g’

Ig Figura 1.4

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Línea trifásica incluyendo el efecto de retorno por tierra.

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De la Figura 1.4, se observará que: I g = − (I a + I b + I c )

(1.22)

y las caídas de tensión, en la dirección dada a las corrientes, se expresan como sigue:

⎡Vaa' ⎤ ⎡Va − Va' ⎤ ⎡ zaa' ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Vbb' ⎥ ⎢Vb − Vb' ⎥ ⎢ zba' ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ Vcc' ⎥ ⎢ Vc − Vc' ⎥ ⎢ zca' ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢V ⎥ ⎢V − V ⎥ ⎢ z ga g' ⎦ ⎣ ⎣ g g' ⎦ ⎣ g

zab'

zac'

zbb'

zbc'

zcb'

zcc'

z gb

z gc

zag ⎤ ⎥ zbg ⎥ ⎥ zcg ⎥ ⎥ z gg ⎥⎦

⎡ Ia ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ Ib ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ic ⎥ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎣ g⎦

(1.23)

Extendiendo al caso trifásico lo visto en la sección anterior, se tiene:

Va' − Vg' = 0;

Vb' − Vg' = 0;

Vc' − Vg' = 0;

V g = 0.

Además, se conoce el valor de I g , y partiendo de estas condiciones, puede establecerse el siguiente sistema de ecuaciones:

⎡Va ⎤ ⎡ zaa ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vb ⎥ = ⎢ zba ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vc ⎥ ⎢⎣ zca ⎣ ⎦

zab zbb zcb

zac ⎤ ⎥ zbc ⎥ ⎥ zcc ⎥⎦

⎡Ia ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ Ib ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ic ⎥ ⎣ ⎦

(1.24)

y en forma más compacta, la ecuación anterior puede escribirse como:

Vi = zij I i

(1.25)

donde las impedancias definidas en (1.24), de acuerdo a la ecuación (1.10), pueden calcularse tal como se muestra a continuación. Para las impedancias serie propias de cada fase:

z ii = ( ri + r g ) + j ω k l n

De D si

; i = a,b, c

(1.26)

Además, para las impedancias serie mutuas entre fases, se tiene la expresión siguiente:

z ij = r g + j ω k l n

De D ij

; i ≠ j , i , j = a ,b ,c

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(1.27)

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15

CAPITULO 1

MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

En ambos casos, las unidades estarán dadas en Ω/ul. Debe observarse que el efecto de retorno por tierra hace que en los elementos fuera de la diagonal de una matriz trifásica tengan una parte real, representada por rg . En caso de que el efecto de retorno por tierra no fuese considerado, esta componente no aparecería en la ecuación (1.27).

1.2.4.1 Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda Por lo general, en líneas que operan a voltajes mayores de 23 kV, se coloca conductores arriba de los correspondientes a cada una de las fases y aterrizados en cada subestacion, con la finalidad de proteger a la línea contra descargas atmosféricas. La Figura 1.5 representa una línea de estas características conteniendo dos hilos de guarda. Por simplicidad, las impedancias resultado de los efectos mutuos entre todos los conductores no son mostrados.

Iw

w

w’

z ww' Iv

v

v’

z vv ' Ia

a

+

Ib

b

Va

b’

zbb '

+

Ic

c

c’

zcc '

+

Vb

_

a’

z aa '

Vc

_ tierra

_

tierra remota

local

Vg = 0 z gg ' ref

g

g’

Ig Figura 1.5 Línea trifásica con dos hilos de guarda.

Para este circuito, el conjunto de ecuaciones que resulta es el siguiente:

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CAPITULO 1

⎡Va ⎤ ⎡ z '' ⎢ ⎥ ⎢ aa ⎢V ⎥ ⎢ '' ⎢ b ⎥ ⎢ zba ⎢ ⎥ = ⎢ '' ⎢Vc ⎥ ⎢ zca ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vv ⎥ ⎢ zva ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣Vw ⎥⎦ ⎢⎣ z wa

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'' zab

'' zac

zav

'' zbb

'' zbc

zbv

'' zcb

'' zcc

zcv

zvb

zva

zvv

z wb

z wa

z wv

zaw ⎤ ⎥ ⎥ zbw ⎥ ⎥ zcw ⎥ ⎥ zvw ⎥ ⎥ z ww ⎥⎦

⎡ Ia ⎤ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ b⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ic ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Iv ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ I w ⎥⎦

(1.28)

Donde resulta claro que, debido al aterrizaje de los conductores de guarda, sus correspondientes voltajes serán iguales a cero. Nótese que en (1.28) ya se ha realizado el proceso de reducir el efecto de retorno por tierra y donde cada elemento se determina ya sea con la ecuación (1.26) o la (1.27), dependiendo si se trata de un elemento diagonal o fuera de esta. Considerando la partición matricial mostrada en (1.28) y compactando cada bloque submatricial, se obtiene:

⎡Vabc ⎤ ⎡ z A ⎢ ⎥=⎢ ⎢⎣ Vvw ⎥⎦ ⎢⎣ zC

zB ⎤ ⎥ z D ⎥⎦

⎡ I abc ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ I vw ⎥⎦

(1.29)

El objetivo es que, a partir de (1.29), se obtenga un modelo matricial equivalente trifásico. Esto significa que se debe obtenerse un conjunto de ecuaciones que incluya únicamente a las fases a, b, c, y que, además, tenga incluidos los efectos de los conductores de guarda. Para esto, se aplica el procedimiento que se describe a continuación. Realizando las operaciones matriciales indicadas por la partición en la ecuación (1.29), se obtiene lo siguiente:

Vabc = z A I abc + z B I vw (1.30)

Vvw = zC I abc + z D I vw Debido a que los voltajes de los conductores de guarda son iguales a cero, la segunda ecuación de (1.30) se simplifica como sigue:

0 = zC I abc + z D I vw De esta última ecuación, puede despejarse a I vw en la forma siguiente:

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z D I vw = − zC I abc I vw = − z D−1 zC I abc

(1.31)

Substituyendo (1.31) en la primera expresión de (1.30):

Vabc = z A I abc + z B z D−1 zC I abc Factorizando a I abc :

(

)

Vabc = z A − z B z D−1 zC I abc

(1.32)

La ecuación (1.32) también puede escribirse en forma simplificada como:

Vabc = zabc I abc de donde:

zabc = z A − z B z D−1

⎡ zaa ⎢ zC = ⎢ zba ⎢ ⎢⎣ zca

zab zbb zcb

zac ⎤ ⎥ zbc ⎥ ⎥ zcc ⎥⎦

(1.33)

Podrá observarse que el conjunto de ecuaciones (1.28), se ha reducido de cinco renglones a tres. El efecto de los conductores de guarda está representado por el término negativo de (1.32). La ecuación (1.33) representa un procedimiento matricial conocido como Reducción de Kron. Este procedimiento es aplicable también a cualquier número de circuitos con cualquier número de hilos de guarda. La única condición es que los voltajes de la parte inferior del vector correspondiente a los voltajes sea igual a cero. Posteriormente, se mostrará como el método de eliminación Gaussiana aplicado parcialmente a la matriz de impedancias en (1.28) es equivalente. Ejemplo 1.2. Sea la línea de transmisión de 230 kV mostrada en la Figura 1.6, con la información siguiente y suponiendo una resistividad de 100 Ω-m y una frecuencia de 60 Hz, calcular la impedancia serie de la línea en Ω/km. Conductores de fase.

Hilos de guarda

Tipo: ACSR 954 MCM. Diámetro exterior: 1.196 pulgadas. RMG: 0.0403 ft. R (50 ºC): 0.1128 Ω/mi.

Tipo: EBB500 Diámetro exterior: 0.374 pulgadas. RMG: 0.001 ft. R (50 ºC): 6.03375 Ω/mi.

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v

w 5.14 m

a

b

5.75 m

c

18.2 m

5.75 m

Figura 1.6. Línea de transmisión de 230 kV, un conductor por fase y dos hilos de guarda.

La matriz de impedancias serie sin reducir es la siguiente: a 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.37670252 z abc , vw = 0.05921400 +j0.32444614 0.05921400 +j0.38515726 0.05921400 +j0.31758076

b

c

v

0.05921400 +j0.37670252 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.37670252 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.35456514

0.05921400 +j0.32444614 0.05921400 +j0.37670252 0.12931965 +j0.84025323 0.05921400 +j0.31758076 0.05921400 +j0.38515726

0.05921400 +j0.38515726 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.31758076 3.80918312 +j1.11892116 0.05921400 +j0.32444614

w 0.05921400 +j0.31758076 0.05921400 +j0.35456514 0.05921400 +j0.38515726 Ω/km 0.05921400 +j0.32444614 3.80918312 +j1.11892116

De acuerdo a la partición matricial definida en la ecuación (1.29) se tiene: 0.12931965 0.05921400 0.05921400 +j0.84025323 +j0.37670252 +j0.32444614 z A = 0.05921400 0.12931965 0.05921400 +j0.37670252 +j0.84025323 +j0.37670252 0.05921400 0.05921400 0.12931965 +j0.32444614 +j0.37670252 +j0.84025323

zC =

0.05921400 0.05921400 0.05921400 +j0.38515726 +j0.35456514 +j0.31758076 0.05921400 0.05921400 0.05921400 +j0.31758076 +j0.35456514 +j0.38515726

zB =

0.05921400 0.05921400 +j0.38515726 +j0.31758076 0.05921400 0.05921400 +j0.35456514 +j0.35456514 0.05921400 0.05921400 +j0.31758076 +j0.38515726

zD =

3.80918312 0.05921400 +j1.11892116 +j0.32444614 0.05921400 3.80918312 +j0.32444614 +j1.11892116

Calculando la matriz z D−1 y realizando las operaciones indicadas en la ecuación (1.33), se obtiene:

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0.17729475 0.10708398 0.10602364 +j0.80093306 +j0.33722973 +j0.28537291 −1 z abc = z A − z B z D z C = 0.10708398 0.17767188 0.10708398 +j0.33722973 +j0.80050272 +j0.33722976 0.10602364 0.10708398 0.17729475 +j0.28537291 +j0.33722976 +j0.80093306

Ω/km

Note que el efecto de los hilos de guarda sobre el equivalente trifásico es un incremento de la resistencia mientras que la reactancia disminuye con respecto a la matriz z A .

1.2.4.2 Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados por Fase Resulta claro que, conforme se incrementa la transferencia de potencia a través de una línea de transmisión, también se tiene un incremento en las pérdidas, así como en el efecto corona. Una manera de reducir las pérdidas es incrementando el nivel de tensión de las líneas. Otra forma de reducir estos efectos se basa en la definición de resistencia, la cual puede reducirse incrementando la sección transversal de cada conductor de fase. Sin embargo, si se utiliza un conductor único con sección transversal mayor en cada fase, éste tendría que ser de un calibre que, desde un punto vista de esfuerzos mecánicos, sería impráctico. Los conductores agrupados causan el mismo efecto de incrementar la sección transversal de los conductores de fase, permitiendo el transporte de altas cantidades de energía, reduciendo el problema del efecto corona y las pérdidas por transmisión, sin presentar los problemas de los conductores de calibres excesivos. A manera de ejemplo, la Figura 1.7 presenta una línea de transmisión con cuatro conductores agrupados en cada fase.

Figura 1.7 Líneas de transmisión con cuatro conductores por fase.

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La Figura 1.8 ilustra la secuencia para resolver el problema de modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados en cada fase. Por otro lado, la Figura 1.9 muestra el circuito representativo, en este caso, para la fase a de la línea. Es de suponerse que para las demás fases los circuitos serán semejantes y, además, estarán acoplados entre sí.

a’

r

a Transformación

b’

s

c’

t

b

c

Figura 1.8 Secuencia para modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados por fase.

I a1 a

Ia

zaa'

a’

zrr'

r’

Ir

+

r

Va

_

tierra local

tierra remota

Figura 1.9 Conductores agrupados para la fase a.

Utilizando las ecuaciones (1.26) y (1.27), puede calcularse la matriz de coeficientes para el siguiente conjunto de ecuaciones, la cual ya incluye el efecto de retorno por tierra, en cada uno de sus elementos. '' ⎡Va ⎤ ⎡ zaa ⎢ ⎢ ⎥ '' ⎢Vb ⎥ ⎢ zba ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vc ⎥ ⎢ z '' ⎢ ⎥ = ⎢ ca ⎢V ⎥ ⎢ z ⎢ r ⎥ ⎢ ra ⎢V ⎥ ⎢ z ⎢ s ⎥ ⎢ sa ⎢V ⎥ ⎢ ⎣ t ⎦ ⎣ zta

'' zab

'' zac

zar

zas

'' zbb

'' zbc

zbr

zbs

'' zcb

'' zcc

zcr

zcs

zrb

zrc

zrr

zrs

z sb

z sc

z sr

z ss

ztb

ztc

ztr

zts

zat ⎤ ⎥ zbt ⎥ ⎥ zct ⎥ ⎥ zrt ⎥ ⎥ ⎥ z st ⎥ ⎥ ztt ⎦

⎡ I a1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ I b1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ I c1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ r⎥ ⎢I ⎥ ⎢ s⎥ ⎢I ⎥ ⎣ t⎦

(1.34)

De la Figura 1.8, puede observarse las siguientes relaciones de corriente:

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I a = I a1 + I r ,

I b = I b1 + I s ,

I c = I c1 + I t

así como también las siguientes relaciones de voltaje:

Vr − Va = 0,

Vs − Vb = 0,

Vt − Vc = 0

Entonces, efectuando las restas indicadas, el conjunto de ecuaciones (1.34) se modificará y, en forma compacta, resultará en el siguiente:

⎡Vabc ⎤ ⎡ z A ⎥=⎢ ⎢ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ zC

zB ⎤ ⎥ z D ⎥⎦

⎡ I abc ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ I rst ⎥⎦

(1.35)

donde: '' ⎡ zaa ⎢ '' z A = ⎢ zba ⎢ ⎢ z '' ⎣ ca

zB

zC

zD

'' zab '' zbb '' zcb

'' ⎤ zac ⎥ '' ⎥ zbc ⎥ '' ⎥ zcc ⎦

'' ⎡ zar − zaa ⎢ '' = ⎢ zbr − zba ⎢ ⎢ z − z '' ⎣ cr ca

'' zas − zab

'' ⎡ zra − zaa ⎢ '' = ⎢ z sa − zba ⎢ ⎢ z − z '' ⎣ ta ca

'' zrb − zab

⎡ D11 ⎢ = ⎢ D 21 ⎢ ⎢⎣ D 31

D12 D 22 D 32

'' zbs − zbb '' zcs − zcb

'' z sb − zbb '' ztb − zcb

(1.36)

'' ⎤ zat − zac ⎥ '' ⎥ zbt − zbc ⎥ '' ⎥ zct − zcc ⎦

(1.37)

'' ⎤ zrc − zac ⎥ '' ⎥ z sc − zbc ⎥ '' ⎥ ztc − zcc ⎦

(1.38)

D13 ⎤ ⎥ D 23 ⎥ ⎥ D 33 ⎥⎦

(1.39)

donde cada elemento de la submatriz anterior se determina mediante las expresiones:

D pq = z pq − z iq − z ph + z ih i , h = a , b, c

(1.40)

p , q= r , s ,t Finalmente, la matriz equivalente trifásica z abc se calcula mediante la ecuación (1.33). Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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1.2.5 Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión Para cada línea de transmisión con un solo circuito, una matriz de impedancias puede formarse tal como se muestra en la Figura 1.10. Se considerará que los conductores de fase están integrados por un conductor principal y varios conductores agrupados. Entonces, la matriz de impedancias serie general debe construirse bajo el siguiente orden: 1. 2. 3.

Conductores principales. Conductores agrupados. Conductores de guarda. conductores principales

conductores agrupados

hilos de guarda

conductores principales conductores agrupados hilos de guarda Figura 1.10 Forma general de la matriz de impedancias serie.

Cuando la línea de transmisión sea del tipo multicircuitos, esto es, que la torre de transmisión soporte más de un circuito, o que se tengan varias torres sobre un mismo derecho de vía, entonces el orden anterior se modificará. Supóngase que se tienen dos circuitos A y B soportados en una misma torre de transmisión. En este caso, el orden para la formación de la matriz general de impedancias serie será como sigue: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Conductores principales de A Conductores principales de B Conductores agrupados de A Conductores agrupados de B Hilos de guarda de A Hilos de guarda de B

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

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La Figura 1.11(a) presenta dos circuitos por el mismo derecho de vía, cada uno con un conductor por fase, operando al mismo nivel de tensión. Además, la estructura incluye dos hilos de guarda. En este caso, si los dos circuitos están en paralelo, es decir, que la corriente en cada circuito es igual, entonces, el modelo equivalente se podrá reducir a un modelo trifásico de orden 3. En caso de que no sean circuitos paralelos, pero que como se observa en la fotografía, comparten el mismo derecho de vía, entonces, se tendrá un modelo de orden 6. En la Figura 1.11(b) se tiene seis circuitos por el mismo derecho de vía, dos de ellos a un nivel de tensión mayor y situados por arriba de los otros cuatro que operan a un nivel de tensión menor; además, también se tiene dos hilos de guarda en esta torre de transmisión. Si no hay circuitos paralelos, entonces, el modelo matemático de esta configuración será de orden 18; en caso de haberlos, el orden de este modelo será menor, de acuerdo a los circuitos en paralelo que existan.

(a)

(b)

Figura 1.11 Líneas de transmisión con circuitos múltiples por el mismo derecho de vía: (a) dos circuitos a un mismo nivel de tensión; (b) seis circuitos con dos niveles de tensión diferentes.

1.2.6 Aspectos Computacionales El diagrama de bloques para calcular las impedancias serie de líneas de transmisión mediante un programa de computadora digital, se muestra en la Figura 1.12. En los apartados siguientes se habrá de describir en detalle cada bloque, marcando las especificaciones generales que cualquier programa de computadora digital de este tipo debe contener.

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Lectura de datos Construcción de la matriz de distancias Dij Cálculo de la matriz general de impedancias Reducción de hilos de guarda Reducción de conductores agrupados por fase Figura 1.12 Diagrama de bloques de un programa de computadora digital para el cálculo de impedancias serie de líneas de transmisión.

1.2.6.1 Lectura de Datos Los datos que deben alimentar al programa son los siguientes:

• • • • • • • •

Número total de conductores Número de hilos de guarda Resistencia en Ω/ul de cada conductor Radio medio geométrico de cada conductor Coordenadas geométricas de cada conductor Frecuencia Resistividad del terreno Unidad de longitud deseada

1.2.6.2 Formación de la Matriz de Distancias Entre Conductores Los elementos de la matriz de distancias pueden calcularse mediante la siguiente ecuación:

Dij =

(xi

− xj

) 2 + (yi

− yj

)2

;

i≠j

(1.41)

donde:

xi, xj = coordenadas horizontales de los conductores i y j, respectivamente. yi, yj = coordenadas verticales de los conductores i y j, respectivamente. Podrá observarse que Dij = Dji, de modo que es suficiente formar una matriz de distancias entre conductores triangular superior o inferior, sin incluir la diagonal.

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1.2.6.3 Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie Como ya se mencionó anteriormente, el orden de la matriz será igual al número total de conductores que formen la línea de transmisión. Los elementos de la diagonal se determinan con la ecuación (1.26) y los no diagonales mediante la ecuación (1.27).

1.2.6.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Fases Aplicando la ecuación (1.33) se obtiene el equivalente trifásico de la impedancia serie de la línea de transmisión. Adicionalmente, puede obtenerse este equivalente mediante una eliminación Gaussiana parcial. Para esto, primeramente se reduce los hilos de guarda y, posteriormente de aplicar las ecuaciones (1.38)-(1.39), se reducirá los conductores agrupados en las fases. Este último paso puede representarse esquemáticamente como sigue. Primeramente, se tiene la matriz de impedancias por bloques de la ecuación (1.35):

⎡zA zoriginal = ⎢ ⎢⎣ zC

zB ⎤ ⎥ z D ⎥⎦

(1.42)

Entonces, aplicando el proceso de eliminación Gaussiana parcial, esta matriz por bloques se modifica a la siguiente:

zmodificada

⎤ ⎡ z' z B' A ⎥ ⎢0 L 0 1 ⎥ ⎢ = ⎢ ⎥ M M O ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎣ 0 L 0 0 L 1⎦

(1.43)

donde el equivalente trifásico de las impedancias serie de la línea estará dado por: zabc = z A'

(1.44)

1.3 ADMITANCIA EN PARALELO DE LINEAS DE TRANSMISION La admitancia en paralelo de líneas de transmisión está formada básicamente por dos parámetros: conductancia y capacitancia. Sin embargo, el primero de ellos se desprecia por las razones descritas a continuación.

1.3.1 Conductancia de Líneas de Transmisión Concretamente, para este parámetro todavía no existe un modelo matemático preciso y con la simplicidad apropiada para poderlo manejar. Este parámetro resulta de la observación de las Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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“corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. Principalmente, estas corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre, siendo función de la eficiencia del aislador, la cual varía significativamente con el calor, humedad atmosférica, contaminación y salinidad del ambiente, entre otros factores. Por esta razón, obtener un modelo matemático representativo de este fenómeno, resulta una tarea compleja. Por otro lado, es común despreciar este efecto de corrientes de fuga, debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las corrientes nominales de la línea.

1.3.2 Capacitancia Monofásica A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico:

ξ=

q

V/m

2π ε 0 r 2

(1.45)

donde ε 0 = 8.854×10-12 F/m, q es la carga en Coulombs y r es la distancia, en metros, de la carga al punto en el cual se mide el campo eléctrico. De acuerdo a la Figura 1.13, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por:

V12 =

q 2πε

ln

D2 D1

(1.46)

V

donde ε es la permitividad del medio circundante.

1 D1

q 2

D2

Figura 1.13 Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.

A partir de la ecuación (1.46), puede encontrarse la expresión para una línea monofásica, la cual se representa por la Figura 1.14.

qa

rb qb

ra

D Figura 1.14 Línea monofásica para el análisis de capacitancias.

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La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente: Vab =

qa D q r ln + b ln b 2πε ra 2πε D

(1.47)

y sabiendo que qa = − qb , la ecuación anterior se simplifica como sigue:

Vab

qa D2 ln = 2πε ra rb

V

(1.48)

Por definición, la capacitancia es:

C =

q Vab

F/ul

(1.49)

substituyendo (1.48) en (1.49), y considerando que ra = rb , Cab =

2πε ln ( D / r )

F/m

(1.50)

1.3.3 Capacitancia para Líneas de Transmisión En esta sección, se presenta el método general para determinar capacitancias para una línea con cualquier número de conductores, incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra. La Figura 1.15 muestra el esquema de cargas-imágenes, para considerar el efecto de tierra en el cálculo de capacitancias. Con este método, los voltajes involucrados se determinan mediante la ecuación siguiente: Vi =

1

n

H ij

q j ln 2πε ∑ D ij

(1.51)

j =1

donde: Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j. Si i = j, Hii es la distancia del conductor i a su propia imagen. Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j, Dii es el radio exterior del conductor i. qj = carga del conductor j. Note que: 1 2πε

=

1 2 π ( 8.854×10

−12

)

= 0.017975485×10 12 =17.9755485×109 F-1 m = 17.97554848×106 F-1 km

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CAPITULO 1

MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

qj D jn

Dij Din qi

qn H jn

H ji

H jj

H ii

H nn

H ni − qi

H in H nj

H ij

− qn

− qj Figura 1.15 Conductores con sus respectivas imágenes, representados por cargas.

La ecuación (1.51) puede compactarse para obtener: V = Pq

(1.52)

donde V es el vector de voltajes, P es una matriz de coeficientes de potencial y q es el vector que contiene a las cargas. La matriz de coeficientes de potencial se define como: Pii =

Pij =

1 2πε 1 2πε

ln

ln

H ii ri H ij D ij

; i= j F-1 m

(1.53)

; i≠ j

donde ri es el radio exterior del conductor i. Si la ecuación anterior se escribe en la forma: q = P −1 V

coul/m

(1.54)

F/ul

(1.55)

se podrá definir: C = P −1

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CAPITULO 1

MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

En términos fasoriales, para la densidad de carga Q y el voltaje V, la ecuación (1.54) se escribe como:

Q = CV

(1.56)

multiplicando ambos miembros por jω: I = jω Q = jω C V

(1.57)

y sabiendo que I = Y V, entonces Y = jω C

(1.58)

donde Y , en este caso, es la admitancia en paralelo de la línea de transmisión. 1.3.4

Aspectos Computacionales

La matriz de coeficientes de potencial P se maneja en la misma forma que la matriz de impedancias serie, desde que se forma hasta que se obtiene su equivalente trifásico. Se debe notar que la matriz P, para fines computacionales, será considerada como real. A diferencia de la matriz de impedancias, se requiere de la inversión matricial (1.55) y multiplicar por jω para obtener la matriz de admitancias equivalente. Esto puede observarse en la Figura 1.16. Los detalles de cada bloque se describen a continuación.

1.3.4.1 Lectura de Datos Bajo la suposición de que en un mismo programa de computadora se calculan todos los parámetros de la línea de transmisión, el único dato adicional, con respecto a los definidos para la impedancia serie, es el radio exterior de los conductores. Lectura de datos Construcción de la matriz de distancias H ij Cálculo de la matriz de coeficientes de potencial P Reducción de hilos de guarda y conductores agrupados por fase Obtención de la matriz de admitancias Yabc Figura 1.16 Diagrama de bloques para el cálculo de la matriz de admitancias en derivación Yabc , para líneas de transmisión trifásicas. Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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CAPITULO 1

1.3.4.2

MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

Formación de la Matriz de Distancias

Las distancias son calculadas en base a las coordenadas geométricas de los conductores. Considerando como referencia a la tierra para el eje vertical, entonces, la fórmula para encontrar tales distancias es:

(xi − x j )2

H ij =

1.3.4.3

(

+ yi + y j

)2

(1.59)

Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial

Para un programa de cómputo, las ecuaciones (1.53) pueden rescribirse como sigue: Pii =

1 H ii ln ; i=j k ' ri F-1 ul

Pij =

(1.60)

1 H ij ln ; i≠j k ' D ij

donde k’ puede tener los valores mostrados en la Tabla 1.2. El orden de la matriz será igual al número total de conductores de la línea. Constante k’

Tabla 1.2. Constantes para capacitancias en nF/ul Unidad de Longitud Logaritmo Natural Logaritmo Base 10 km 55.630 24.159 mi 89.525 38.880

(1/3) k’ f = 50 Hz f k’

ω k’ f = 60 Hz f k’

ωk’

km mi

18.543 29.842

8.053 12.960

km mi

2781.49 4476.24

1207.97 1943.99

km mi

17476.57 28125.04

7589.90 12214.42

km mi

3337.78 5317.49

1449.57 2309.33

km mi

20971.89 33750.07

9107.88 14657.32

nota: n = nano =10-9.

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CAPITULO 1

1.3.4.4

MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados

Este proceso se ejecuta en forma similar al descrito en la sección correspondiente a los parámetros serie.

1.3.4.5

Cálculo de la Matriz Yabc

La matriz de admitancias en derivación trifásica, se obtiene al invertir la matriz de coeficientes de potencial reducida, y multiplicándola por el término jω, tal como lo muestran las ecuaciones (1.55) y (1.58). El orden de la matriz por invertir es de 3, únicamente. La forma general de la matriz de admitancias en derivación será la siguiente:

Yabc

⎡ yaa ⎢ = ⎢− yba ⎢ ⎢⎣ − yca

− yab ybb − ycb

− yac ⎤ ⎥ − ybc ⎥ ⎥ ycc ⎥⎦

(1.61)

y las unidades pueden ser Siemens (Ω-1) o submúltiplos de Siemens/ul. Las más usuales son dadas en Siemens/milla y Siemens/kilómetro. Los signos de los elementos en (1.61) se deben a que todos los elementos de la matriz de coeficientes de potencial P son positivos. Ejemplo 1.4. Sea la línea de transmisión del ejemplo 1.2. Calcular la matriz de admitancias en derivación en términos de Siemens/km. Para esto, debe notarse que se tiene como datos a los diámetros exteriores de los conductores de fase y los hilos de guarda: 1.196 y 0.374 pulgadas, respectivamente, de manera que en los cálculos deben ser convertidos a radios exteriores y en las mismas unidades que las distancias entre los conductores de la línea. Primeramente, se calcula matriz de coeficientes de potencial del orden igual a los cinco conductores que conforman la línea. Esta matriz es la siguiente: a Pabc , vw =

b

140.0713040 33.4384651 33.4384651 140.0713040 21.5962639 33.4384651 37.6128693 30.4795589 22.1430225 30.4795589

c

v

21.5962639 33.4384651 140.0713040 22.1430225 37.6128693

37.6128693 30.4795589 22.1430225 165.4734340 25.7477341

w 22.1430225 30.4795589 37.6128693 25.7477341 165.4734340

µF-1 km

La partición matricial es la siguiente: PA =

140.0713040 33.4384651 21.5962639

33.4384651 140.0713040 33.4384651

21.5962639 33.4384651 140.0713040

PB =

37.6128693 30.4795589 22.1430225

22.1430225 30.4795589 37.6128693

µF-1 km

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µF-1 km

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PC = PD =

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37.6128693 22.1430225

30.4795589 30.4795589

22.1430225 37.6128693

165.4734340 25.7477341

25.7477341 165.4734340

µF-1 km

µF-1 km

La matriz de coeficientes de potencial reducida es la siguiente: Pabc =

129.8781890 23.9137173 23.9137173 130.3547670 13.1158962 23.9137173

13.1158962 23.9137173 129.8781890

µF-1 km

Una vez calculada esta matriz, se obtiene la matriz de admitancias en derivación equivalente de la línea de transmisión aplicando las ecuaciones (1.55) y (1.58):

Y abc =

-j0.515269 j3.081092 -j0.515269

j3.018729 -j0.515269 -j0.209976

-j0.209976 -j0.515269 j3.018729

µSiemens/km

1.4 TRANSPOSICIÓN DE CONDUCTORES EN LÍNEAS Hasta este momento, se ha calculado los parámetros serie y derivación de la línea de transmisión en por unidad de longitud. En general, se observa que los equivalentes trifásicos de líneas de transmisión presentan un cierto grado de desbalance. En esta sección, se presenta una técnica matemática que representa el efecto de las transposiciones de líneas, a fin de observar su efecto sobre tales desbalances. A manera de ilustración, únicamente se observa el efecto de la transposición sobre la impedancia serie, debido a que su efecto sobre la admitancia en derivación es similar. El equivalente trifásico de la impedancia serie, relacionando a los voltajes con las corrientes es el siguiente:

⎡Va ⎤ ⎡ z aa ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Vb ⎥ = ⎢ zba ⎢Vc ⎥ ⎢⎣ z ca ⎣ ⎦

z ab zbb z cb

z ac ⎤ zbc ⎥⎥ z cc ⎥⎦

⎡I a ⎤ ⎢ ⎥ ⎢Ib ⎥ ⎢Ic ⎥ ⎣ ⎦

(1.62)

Aquí, es clara la existencia de acoplamientos mutuos, de modo que las corrientes de cualquier conductor producirán caídas de tensión en los conductores adyacentes. Además, estas caídas de tensión pueden ser diferentes entre sí, aun para corrientes balanceadas, debido a que las impedancias mutuas dependen del arreglo físico de los conductores de la línea.

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Solamente se tendrá un efecto balanceado de los acoplamientos mutuos cuando la línea tenga un espaciamiento triangular equilátero, es decir, que Dab = Dbc = Dca. Sin embargo, este tipo de arreglo es pocas veces utilizado en la realidad, debido a cuestiones del diseño mecánico de la línea. Otra manera para balancear las impedancias mutuas consiste en la realización de transposiciones a lo largo de la línea. Una transposición es una rotación física de los conductores que puede ejecutarse a intervalos regulares o irregulares de la distancia total de la línea. En la práctica, solo las líneas de transmisión de alto voltaje y de longitud considerable presentan transposiciones (por ejemplo, líneas de 230 o 400 kV y de longitudes mayores a 100 km).

1.4.1

Método General de Transposiciones

Este método permite obtener parámetros de la línea con cualquier número de transposiciones y a cualquier distancia que se desee para cada transposición, tal como muestra la Figura 1.17, donde se presenta la transposición completa de la línea consistente en dos rotaciones. Esta transposición se dice que es completa, debido a que solo se requiere de dos rotaciones para balancear perfectamente el circuito trifásico. En la práctica, puede realizarse otra rotación adicional con el fin de mantener en la misma posición a las fases del circuito trifásico.

Ia Posición 1

Ib Posición 2

Ic Posición 3 Sección 1

s1

c

b

a

c

b

a

Sección 2

s2

Sección 3

s3

S Figura 1.17 Esquema de la transposición completa de una línea de transmisión.

Matemáticamente, para lograr las rotaciones se utiliza las matrices de rotación siguientes:

⎡0 0 1⎤ ⎢ ⎥ Rφ = ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 1 0⎦

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(1.63)

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MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

y su inversa: ⎡0 1 0⎤ ⎢ ⎥ R φ −1 = ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 0 0⎦

(1.64)

pudiéndose comprobar que Rφ−1 = Rφt . Un ciclo completo de transposición está dado por las transformaciones lineales:

(

)

Rφ Vabc = Rφ Z abc Rφ−1 Rφ I abc

(1.65)

que es llamada “Transformación Rφ” y, además,

(

)

Rφ−1 Vabc = Rφ−1 Z abc Rφ Rφ−1 I abc

(1.66)

la cual es conocida como “Transformación Rφ−1 ”. Si se desea analizar el efecto de la transposición, sin tomar en cuenta la longitud S de la línea, entonces se define lo siguiente para un ciclo completo: fk =

sk ; k = 1, 2 , 3 S

(1.67)

donde:

∑

fk = 1

(1.68)

Partiendo de la Figura 1.17, el cálculo de parámetros con transposiciones, para cada una de las secciones es como sigue: Primera sección: Z (1) = (Z abc ) (s1 )

Ω

(1.69)

Segunda sección:

(

)

Z (2 ) = Rφ−1 Z abc Rφ (s2 )

Ω

(1.70)

Tercera sección: Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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CAPITULO 1

(

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)

Z (3) = Rφ Z abc Rφ−1 (s3 )

Ω

(1.71)

Por último, se tendrá la impedancia serie total de la línea de transmisión: Z abc = Z (1) + Z (2 ) + Z (3)

Ω

(1.72)

De acuerdo a lo anterior, puede observarse que con este método puede calcularse transposiciones en cantidades y longitudes que se desee.

1.4.2

Línea No Transpuesta

La Figura 1.18 muestra una línea no transpuesta. El modelo matricial permite observar que el mayor grado de desbalance que puede existir entre los acoplamientos mutuos se presenta en este caso, cuya impedancia serie de la línea, considerando su longitud, se determina como sigue: s1 = S

(1.73)

s2 = s3 = 0

(1.74)

Z abc = Z (1)

(1.75)

Ia

a

Ib

b

Ic

c

Posición 1 Posición 2 Posición 3

Sección 1 S = s1 Figura 1.18 Línea No Transpuesta

1.4.3

Línea Con Transposiciones Parciales

Una transposición parcial es la que resulta de dividir a la línea en solo dos secciones de longitud y haciendo una rotación, tal como lo muestra la Figura 1.19.

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CAPITULO 1

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Ia

c

Ib

a

Ic

b

Posición 1 Posición 2 Posición 3 Sección 1

Sección 2

s1

s2 S

Figura 1.19 Línea de transmisión con transposición parcial.

En este caso, S = s1 + s2

(1.76)

s3 = 0

(1.77)

Z abc = Z (1) + Z (2 )

(1.78)

donde la rotación se logra aplicando las ecuaciones (1.69) y (1.70), para calcular Z (1) y Z (2 ) , respectivamente. Si se aplica la ecuación (1.71) en lugar de la (1.70), se logrará el mismo efecto, pero con una rotación en sentido opuesto. El grado de desbalance para el caso de líneas con transposiciones parciales será menor que en el caso de tener una línea no transpuesta, debido a que una rotación ayuda considerablemente al balanceo de los efectos mutuos. En general, los resultados de las dos secciones anteriores serán los siguientes:

Z abc

⎡ zaa ⎢ = ⎢ zba ⎢ ⎢⎣ zca

zab zbb zcb

zac ⎤ ⎥ zbc ⎥ ⎥ zcc ⎥⎦

(1.79)

donde: zab ≠ zac ,

zbc ≠ zba ,

zca ≠ zcb

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(1.80)

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CAPITULO 1

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La transposición completa de línea permite balancear perfectamente los efectos propios y mutuos. Sin embargo, cualquier tipo de transposición, ya sea parcial o total, económicamente resultará costosa, además de que los desbalances en los acoplamientos mutuos son relativamente pequeños, por lo que normalmente las líneas no se transponen, aun cuando los modelos matemáticos consideren balanceados los efectos mutuos. Ante una transposición ideal, el modelo trifásico de la línea de transmisión será:

Z abc

⎡Z ⎢ =⎢M ⎢ ⎢⎣ M

M Z M

M⎤ ⎥ M⎥ ⎥ Z ⎥⎦

(1.81)

Para los casos anteriores, se obtiene un modelo trifásico de los efectos serie y derivación de la línea de transmisión. Sin embargo, cuando se tiene el caso de dos o más líneas de transmisión sobre un mismo derecho de vía o dos o más líneas físicamente cercanas entre sí, el modelo que se obtiene será de orden mayor, lo cual es descrito a continuación.

1.5 LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON CIRCUITOS MULTIPLES Cuando una línea de transmisión contiene dos o más circuitos sobre el mismo derecho de vía, pero que no son paralelos, entonces se habla de un sistema de transmisión de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas, las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente: Vp = Z p I p

(1.82)

donde:

⎡Va ⎢ ⎢ Vb ⎢ ⎢ Vc ⎢ V p =⎢ M ⎢V ⎢ A ⎢V ⎢ B ⎢⎣ V C

⎡Ia ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ Ib ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ic ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ; I p =⎢ M ⎢I ⎥ ⎢ A ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ B ⎥ ⎢⎣ I C ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Z

p

⎡ z aa ⎢ ⎢ z ba ⎢ ⎢ z ca =⎢ M ⎢ ⎢z ⎢ Aa ⎢ z Ba ⎢ ⎢⎣ z Ca

z ab

z ac

L z aA

z aB

z bb

z bc

L

z bA

z bB

z cb

z cc

L

z cA

z cB

M

M

O

M

M

z Ab

z Ac

L z AA

z AB

z Bb

z Bc

L z BA

z BB

z Cb

z Cc

L z CA

z CB

z aC ⎤ ⎥ z bC ⎥ ⎥ z cC ⎥ M ⎥ ⎥ z AC ⎥ ⎥ z BC ⎥ ⎥ z CC ⎥⎦

(1.83)

El orden del conjunto de ecuaciones (1.82) será de 3 veces el número de circuitos múltiples. Por ejemplo, para una línea con dos circuitos múltiples, el modelo matricial será de orden 6. Como se explicó anteriormente, ante la presencia de circuitos múltiples se tiene que construir el modelo matricial de la siguiente manera: Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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CAPITULO 1

1. 2. 3. 4. 5. 6.

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Conductores principales de A Conductores principales de B Conductores agrupados de A Conductores agrupados de B Hilos de guarda de A Hilos de guarda de B

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.

1.6

TRANSFORMACIÓN LINEAL DE COMPONENTES SIMÉTRICAS

Esta transformación, definida desde un punto de vista práctico, en función de fasores, por C.L. Fortescue en 1918, puede justificarse matemáticamente, aplicando la teoría de transformaciones lineales.

1.6.1 Cambio del Marco de Referencia de Fases al de Referencia de Secuencias Considerando que se tiene un sistema trifásico balanceado perfectamente, cuya matriz de coeficientes es la siguiente:

Z abc

⎡Z ⎢ =⎢M ⎢ ⎢⎣ M

M Z M

M⎤ ⎥ M⎥ ⎥ Z ⎥⎦

(1.84)

Una transformación lineal permite trasladar un conjunto de ecuaciones definido en un marco de referencia a otro. Por ejemplo, en el “marco de referencia de circuitos trifásicos”, el modelo matricial que relaciona voltajes y corrientes es: Vabc = Z abc I abc

(1.85)

El cual puede trasladarse al “marco de referencia de las componentes simétricas”, aplicando la transformación lineal siguiente:

Vabc = Ts V012 = Z abc I abc = Z abc Ts I 012 o también,

TsV012 = Z abc Ts I 012

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CAPITULO 1

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Premultiplicando ambos miembros por Ts−1 : V012 = Ts−1 Z abc Ts I 012

y de aquí, se obtiene que: V012 = Z 012 I 012

(1.86)

donde: Z 012 = Ts−1 Z abc Ts

(1.87)

Entonces, el problema para pasar de un marco de referencia a otro consiste en encontrar la matriz de transformación, de modo que se obtenga alguna ventaja con respecto al marco de referencia original, ya sea en cuestión de conceptos o de simplificación de la resolución de problemas de redes eléctricas.

1.6.2 Obtención de la Matriz de Transformación de Componentes Simétricas Se conoce que dos matrices, A y B, están relacionadas por medio de la transformación lineal siguiente: A =T −1 BT

(1.88)

o viceversa, y también se conoce que los valores propios o eigenvalores de ambas matrices serán los mismos. Por esta razón, se dice que A y B son semejantes y que (1.88) se conoce como transformación de similaridad o semejanza. Si la matriz A, por ejemplo, es de la forma diagonal: ⎡ a 11 ⎢ ⎢ 0 A= ⎢ ⎢ M ⎢ 0 ⎣

0 a 22

M

0

0 ⎤ ⎥ L 0 ⎥ ⎥ O M ⎥ L a nn ⎥⎦ L

Entonces, el determinante característico es el siguiente:

λU − A =

λ −a 11

0

L

0

0

λ −a 22

L

0

M

M

O

M

0

0

L λ −a nn

el cual, al desarrollarlo, resulta en:

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CAPITULO 1

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λ U − A = (λ − a11 ) (λ − a22 )L (λ − ann ) donde U es la matriz identidad o unitaria. Si se iguala a cero este determinante característico, se obtiene el polinomio característico del arreglo matricial que, al resolverlo, se obtendrá los valores propios correspondientes. Es decir, si

(λ − a11 )(λ − a22 ) L (λ − ann ) = 0 entonces, se tiene:

λ1 = a11 , λ 2 = a22 ,L , λ n = ann Puede concluirse que los valores propios de una matriz completamente diagonal son precisamente sus correspondientes elementos diagonales. Ahora bien, si se requiere substituir una red trifásica por un sistema equivalente de redes desacopladas, entonces, se deberá obtener una matriz completamente diagonal, a partir de una matriz original Z abc , utilizando la transformación lineal (1.88). Esto obliga a pensar en obtener una matriz de transformación T de modo que la matriz semejante a Z abc , llamada matriz de componentes simétricas, denotada como Z 012 , sea completamente diagonal. En términos generales, un circuito trifásico puede representarse matricialmente como: ⎡ z aa ⎢ Z abc = ⎢ z ba ⎢ ⎣ z ca

z ab z bb z cb

z ac ⎤ ⎥ z bc ⎥ ⎥ z cc ⎦

donde los elementos no diagonales representan los acoplamientos mutuos entre fases y los diagonales son las impedancias propias de cada una de las fases. Si se supone que el circuito trifásico está perfectamente balanceado, entonces Z abc se simplifica a la matriz: ⎡Z ⎢ Z abc = ⎢ M ⎢ ⎣⎢ M

M Z M

M⎤ ⎥ M⎥ ⎥ Z ⎦⎥

El correspondiente determinante característico de este modelo matricial será el siguiente:

λ −Z

−M

−M

λU − Z abc = − M

λ −Z

− M =0

−M

−M

λ −Z

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Al desarrollar este determinante e igualarlo a cero, se obtiene el polinomio característico correspondiente y cuyas soluciones son:

λ 1 = Z + 2M λ 2 =Z −M

(1.89)

λ 3 =Z −M Para determinar la matriz de transformación lineal, Ts, debe calcularse los eigenvectores o vectores propios, los cuales representarán cada columna de la misma. Cada vector propio es la solución de un sistema de ecuaciones homogéneo [λiU – Z abc ]=0, donde U es la matriz identidad del mismo orden que Z abc . En este caso, se tienen tres valores propios, de modo que se resolverá tres sistemas de ecuaciones de este tipo. Para cuando se aplica λ1 = Z + 2 M , se tiene el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente: ⎡ Z + 2 M −Z ⎢ ⎢ −M ⎢ ⎣⎢ −M ⎡2M ⎢ ⎢ −M ⎢ ⎢⎣ −M

−M 2M −M

−M

−M

⎤ ⎡ x 11 ⎥⎢ −M ⎥ ⎢ x 21 ⎥⎢ Z +2 M −Z ⎦⎥ ⎣ x 31

Z + 2 M −Z −M −M ⎤ ⎡ x 11 ⎥⎢ −M ⎥ ⎢ x 21 ⎥⎢ 2 M ⎥⎦ ⎣ x 31

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ =⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

Dividiendo el conjunto de ecuaciones entre M : ⎡ 2 −1 −1 ⎤ ⎡ x 11 ⎥⎢ ⎢ ⎢ −1 2 −1 ⎥ ⎢ x 21 ⎥⎢ ⎢ ⎣ −1 −1 2 ⎦ ⎣ x 31

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

Al aplicar operaciones elementales de renglón, se reducirá este conjunto de ecuaciones a uno triangular superior: ⎡ 2 −1 −1 ⎤ ⎡ x 11 ⎥⎢ ⎢ ⎢ 0 1 −1 ⎥ ⎢ x 21 ⎥⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎦ ⎣ x 31

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

el cual tiene un número infinito de soluciones, incluyendo la trivial, donde cada una cumple que x11 = x21 = x31, de donde se obtiene que este vector propio será:

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CAPITULO 1

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⎡ x 11 ⎤ ⎡ k ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x 21 ⎥ = ⎢ k ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x 31 ⎦ ⎣ k ⎦ y se podrá observar que un caso particular es el siguiente: ⎡ x 11 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x 21 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x 31 ⎦ ⎣ 1 ⎦ Repitiendo el proceso para λ2 = Z − M , se obtiene el conjunto de ecuaciones homogéneo: ⎡ Z −M −Z ⎢ ⎢ −M ⎢ ⎢⎣ −M ⎡ −M ⎢ ⎢ −M ⎢ ⎢⎣ −M

−M −M −M

−M Z −M −Z −M

−M

⎤ ⎡ x 12 ⎥⎢ −M ⎥ ⎢ x 22 ⎥⎢ Z −M −Z ⎥⎦ ⎣ x 32

−M ⎤ ⎡ x 12 ⎥⎢ −M ⎥ ⎢ x 22 ⎥⎢ −M ⎥⎦ ⎣ x 32

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

Dividiendo entre − M y aplicando operaciones elementales de renglón, el conjunto de ecuaciones anterior se reduce a: ⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡ x 12 ⎥⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ x 22 ⎥⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎦ ⎣ x 32

⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ =⎢0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0⎦

El conjunto de ecuaciones anterior tiene un número infinito de soluciones, donde cada una de ellas estará definida por una combinación que cumpla con la igualdad x12 + x 22 + x 32 = 0 . Por ejemplo, este vector propio podría ser: ⎡ x 12 ⎢ ⎢ x 22 ⎢ ⎣ x 32

1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ −1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ o ⎥ = ⎢ −1/ 4 ⎥ = ⎢ 1/ 2 ⎥ = ⎢ 1 ∠120 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ o ⎦ ⎣ −3/ 4 ⎦ ⎣ 1/ 2 ⎦ ⎣ 1 ∠ 240

1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ o ⎥ = ⎢ 1 ∠ 240 ⎥ ⎢ o ⎦ ⎣ 1 ∠120

⎤ ⎥ ⎥ , etc. ⎥ ⎦

Debe mencionarse que una característica que debe tener la matriz de transformación es que sea invertible, de modo que los vectores propios que la conforman deben ser linealmente independientes. Normalmente, para que esto ocurra, los valores propios deben ser distintos entre Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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sí. En caso contrario, no será posible obtener una matriz semejante diagonal. Sin embargo, en este caso en particular, λ2 = λ3, aunque, debido a que se tiene dos grados de libertad para seleccionar valores, es posible definir dos vectores propios. Para el modelo trifásico balanceado, se define la matriz de transformación lineal: ⎡1 1 ⎢ Ts = ⎢1 a 2 ⎢ ⎢⎣1 a

1⎤ ⎥ a⎥ ⎥ 2⎥ a ⎦

(1.90)

donde a = 1∠120o y a 2 = 1∠240o . La inversa de Ts será: ⎡1 1 1⎢ Ts −1 = ⎢1 a 3⎢ ⎢⎣1 a 2

1⎤ ⎥ a2 ⎥ ⎥ a ⎥⎦

(1.91)

Anteriormente, se mencionó que el objetivo era encontrar una matriz diagonal representativa del sistema trifásico original mediante tres circuitos monofásicos independientes o desacoplados entre sí. Para ello, puede formalmente plantearse el problema de pasar de un sistema de coordenadas de fase (abc) al sistema de coordenadas de secuencia (012). En este caso, se parte de la relación lineal:

Vabc = Z abc I abc a la cual se le aplica la regla de transformación lineal, usando como matriz de transformación a la matriz de componentes simétricas Ts: Ts V012 = Z abc Ts I 012

Premultiplicando ambos lados de la expresión anterior por Ts −1 : V012 = Ts −1 Z abc Ts I 012

y en términos de las coordenadas de secuencia: V012 = Z 012 I 012

donde: Z 012 = Ts −1 Z abc Ts Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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Es fácilmente demostrable que realizando el producto matricial anterior, se obtiene una matriz diagonal de la forma: ⎡ Z + 2M ⎢ Z 012 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Z −M

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ Z − M ⎥⎦

(1.93)

donde se nota que los elementos diagonales son exactamente los valores propios de Z abc . La matriz (1.93) representará tres circuitos monofásicos desacoplados electromagnéticamente entre sí. Este concepto se ilustra en la Figura 1.20, donde se muestra un circuito trifásico y sus respectivas redes de secuencia monofásicas y desacopladas.

I0

a

a’

b

b’

c

c’

L0

R0

+

+

V0

V0'

I1

L1

R1

+

+

V1

V1' I2

L2

R2

+

+

V2

V2'

Figura 1.20 Red trifásica y redes monofásicas de secuencia desacopladas.

1.6.3

Transformación de un Sistema Trifásico de Circuitos Múltiples

Cuando una red eléctrica contiene dos o más circuitos trifásicos acoplados magnéticamente, entonces se habla de un sistema trifásico de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente: Vp = Z p I p

donde:

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⎡Va ⎢ ⎢ Vb ⎢ ⎢ Vc ⎢ V p =⎢ M ⎢V ⎢ A ⎢V ⎢ B ⎢⎣ V C

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⎤ ⎡Ia ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ib ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Ic ⎥ ⎢ ⎥; I p = ⎢ M ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ A ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ B ⎥⎦ ⎢⎣ I C

⎤ ⎡ z aa ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ba ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ca ⎥ ⎢ ⎥; Z p = ⎢ M ⎥ ⎢z ⎥ ⎢ Aa ⎥ ⎢ z Ba ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ z Ca

z ab

z ac

L z aA

z aB

z bb

z bc

L z bA

z bB

z cb

z cc

L

z cA

z cB

M

M

O

M

M

z Ab

z Ac

L z AA

z AB

z Bb

z Bc

L z BA

z BB

z Cb

z Cc

L z CA

z CB

z aC ⎤ ⎥ z bC ⎥ ⎥ z cC ⎥ M ⎥ ⎥ z AC ⎥ ⎥ z BC ⎥ ⎥ z CC ⎥⎦

Mediante una transformación lineal, puede establecerse que: V p = TV Ip = TI

donde: ⎡T s ⎢ T =⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ O ⎥ ⎥ Ts ⎦

(1.93)

Los vectores de voltaje y corriente de secuencia serán los siguientes: ⎡ V0 ⎢ ⎢ V1 ⎢ ⎢ V2 V = ⎢⎢ M ⎢V ⎢ O ⎢V ⎢ I ⎢⎣ V II

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ I0 ⎢ ⎢ I1 ⎢ ⎢ I2 I = ⎢⎢ M ⎢I ⎢ O ⎢I ⎢ I ⎢⎣ I II

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(1.94)

De manera similar al caso del circuito trifásico único, se tiene la expresión relacionando voltajes y corrientes de secuencia: V =ZI donde: Z = T −1 Z p T Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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En este caso, se tiene un modelo matemático en el marco de referencia de fase, caracterizado por acoplamientos mutuos entre fases, el cual se convierte en varios circuitos desacoplados entre sí, al pasar al marco de referencia de secuencias. Sin embargo, debe recordarse que la transformación de componentes simétricas se obtiene partiendo de un modelo de circuito trifásico perfectamente balanceado. Esto implica que para modelos que no cumplan con esta condición, el desacoplamiento de los circuitos de secuencia no será total. De hecho, una situación típica se presenta al aplicar la transformación al modelo de una línea con circuitos múltiples, donde se observa un fuerte acoplamiento entre las componentes de secuencia cero. El tratamiento de las transposiciones para líneas de transmisión con múltiples circuitos, es semejante a la aplicación de la transformación de componentes simétricas, es decir, las transformaciones lineales se aplican en forma de bloques diagonales, cuyo número dependerá de los circuitos múltiples involucrados.

1.7 MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISIÓN CONSIDERANDO SU LONGITUD En estado estacionario, la línea de transmisión puede modelarse como un circuito π de parámetros concentrados de una línea larga, donde la resistencia e inductancia totales son incluidas en la rama serie del circuito π, mientras que la capacitancia total se divide entre sus ramas en derivación. Para obtener este modelo, se parte del circuito de la Figura 1.21.

I ( x + ∆x )

Is +

+

Vs

V ( x + ∆x )

z ∆x

I (x )

Ir

+

y∆x

∆x

+

V ( x)

Vr

x

x=d Figura 1.21 Línea de transmisión con parámetros distribuídos.

Entonces, de acuerdo a lo anterior, se tienen las siguientes relaciones por unidad de longitud:

z = R + jω L Ω/ul (1.96) y = jωC Ω −1 /ul

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Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff: V ( x + ∆x ) =V ( x ) + z ∆x I ( x ) de donde:

V ( x + ∆x ) −V ( x ) =zI ( x ) ∆x Tomando el límite cuando ∆x → 0 : V ( x + ∆x ) − V ( x ) =zI ( x) ∆x ∆x→0 Lim

resulta que:

dV ( x ) = z I ( x) dx

(1.97)

De la misma manera, aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff:

I ( x + ∆x) = I ( x) + y ∆x V ( x + ∆x) Rearreglando: I ( x + ∆x ) − I ( x ) = yV ( x+ ∆x ) ∆x Tomando el límite cuando ∆x → 0 : dI ( x) dx

= yV ( x )

(1.98)

Derivando (1.97) y (1.98) con respecto a x: d 2V ( x) dx 2 d 2 I ( x) dx 2

=z

dI ( x) dx

=y

dV ( x ) dx

(1.99)

(1.100)

Substituyendo (1.97) en (1.100):

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d 2 I ( x) dx 2

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= yzI ( x)

(1.101)

y ahora substituyendo (1.98) en (1.99):

d 2V ( x ) dx 2

= y zV ( x )

(1.102)

Definiendo:

γ 2 = y z 1/ul 2

(1.103)

γ = y z 1/ul α = Re{γ}= constante de atenuación

(1.104)

β = Im{γ} = constante de fase

donde γ = α + jβ y se define como constante de propagación. Substituyendo γ en (1.101) y (1.102):

d 2V ( x ) dx

2

=γ 2 V ( x ) (1.105)

2

d I ( x) dx

2

=γ 2 I ( x )

Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma siguiente:

d 2V ( x) dx

2

d 2 I ( x) dx

2

−γ 2 V ( x ) = 0

(1.106)

−γ 2 I ( x ) = 0

(1.107)

siendo estas ecuaciones diferenciales homogéneas, las cuales tienen la solución:

V ( x) = A1 e

p1 x

+ A2 e

p2 x

(1.108)

Para determinar p1 y p2 se forma el polinomio característico de (1.106), haciendo:

p=

d d2 ; p2 = dx dx 2

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Substituyendo: p 2 V ( x )−γ 2 V ( x )=0

De aquí,

p 2 −γ

2

=0

Resolviendo para p:

p = ±γ de donde p1 = γ y p2 = - γ . Substituyendo en (1.108):

V ( x ) = A1 e γ x + A 2 e − γ x

(1.109)

Para determinar A1 y A2 se establecen las relaciones cuando x = 0:

V ( 0 ) =V r = A1 + A 2

(1.110)

Además, se supone una carga conectada en el extremo de recepción equivalente a la impedancia característica de la línea de transmisión:

zc =

L C

Ω

de modo que se establece el voltaje en tal extremo, en función de la corriente:

z c I ( 0 ) = z c I r = A1 − A 2

(1.111)

De la ecuación (1.111) se obtiene:

A1 = z c I r + A2

(1.112)

Substituyendo en (1.110):

V r = z c I r + A2 + A2 = z c I r + 2A2 Resolviendo para A2:

A2 =

Vr − z c I r

(1.113)

2

Substituyendo (1.113) en (1.112): Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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A1 = z c I r +

Vr − z c I r 1 = 2 z c I r + Vr − z c I r 2 2

(

)

Resultando:

A1 =

Vr + z c I r 2

(1.114)

Entonces, substituyendo (1.113) y (1.114) en (1.109):

V ( x )=

Vr + z c I r 2

z c I ( x )=

eγx +

Vr + zc I r 2

Vr − z c I r

eγx −

2

e −γ x

Vr − z c I r 2

(1.115)

e −γ x

(1.116)

Rearreglando:

V ( x) =

γx

e +e 2 γx

−γ x

e −e z c I ( x) = 2

Vr +

−γ x

e

Vr +

γx

e

−e 2

γx

−γ x

+e 2

(1.117)

zc I r −γ x

(1.118)

zc I r

Las funciones exponenciales de las dos últimas ecuaciones son las funciones seno y coseno hiperbólicas, es decir:

e γ x + e −γ x 2 e γ x − e −γ x Senh γ x = 2

Cosh γ x =

de modo que las ecuaciones (1.117) y (1.118) pueden escribirse en la forma:

V ( x) = Vr Cosh γ x + z c I r Senh γ x

(1.119)

1 Vr Senh γ x + I r Cosh γ x zc

(1.120)

I ( x) =

Estas ecuaciones son completamente adecuadas para determinar el comportamiento de la línea de transmisión, una vez conocidas z c , γ y las variables de voltaje y corriente en el extremo de recepción, Vr e I r . Para obtener los valores de voltaje y corriente en el extremo de envío: Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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Vs = V ( x )

I s = I ( x)

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x=d

x =d

= Vr Cosh γ d + z c I r Senh γ d

(1.121)

1 Vr Senh γ d + I r Cosh γ d zc

(1.122)

=

Aun cuando las ecuaciones (1.121) y (1.122) permiten determinar el comportamiento de la línea, un circuito π equivalente es más adecuado para el análisis nodal, debido a que la línea de transmisión se interconecta con otros componentes en un sistema eléctrico de potencia. Considérese el circuito π de la Figura 1.22, a partir del cual se definen el voltaje y la corriente en el extremo de envío y de recepción.

s

Is '

Is

Ir z

I s0 Vs

I r0

y 2

y 2

r

Vr

Figura 1.22 Circuito π de la línea de transmisión.

Para el voltaje de envío se tiene la siguiente relación en términos del voltaje y la corriente en el extremo de recepción:

y ⎞ ⎛ Vs = Vr + z I s ' = Vr + z ⎜ I r + Vr ⎟ 2 ⎠ ⎝ Esta expresión puede escribirse también como:

z y⎞ ⎛ Vs = ⎜1 + ⎟ Vr + z I r 2 ⎠ ⎝

(1.123)

Por otro lado,

I s = I s ' + I s0 = I r +

y y Vr + Vs 2 2

Substituyendo (1.123) en esta última ecuación:

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Is = Ir +

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⎤ y y ⎡⎛ z y⎞ Vr + ⎢⎜1 + ⎟ Vr + z I r ⎥ 2 2 ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦

de donde se obtiene:

⎛ z y⎞ z y 2 ⎞⎟ ⎛ I s = ⎜1 + V ⎟ I r + ⎜⎜ y + ⎟ r 2 ⎠ 4 ⎝ ⎝ ⎠

(1.124)

Comparando la ecuación (1.123) con la (1.121), se obtiene las siguientes igualdades:

z y⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ = Cosh γ d 2 ⎠ ⎝

(1.125)

z = z c Senh γ d

(1.126)

Substituyendo (1.126) en (1.125):

1+

y z c Senh γ d = Cosh γ d 2

Rearreglando:

(

)2

Cosh γ d −1 e γ d + e −γ d − 2 e γ d − e −γ d = = = Senh γ d 2 e γ d − e −γ d e γ d + e −γ d e γ d − e −γ d

zc y

(

)(

)

zc y e γ d / 2 − e −γ d / 2 = γ d /2 2 e + e −γ d / 2 El lado derecho de esta última expresión es la función tangente hiperbólica del argumento de los exponenciales, de modo que se simplifica a:

zc y γd = tgh 2 2 y de aquí,

γd y 1 = tgh 2 zc 2

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(1.127)

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Las ecuaciones (1.126) y (1.127) representan al circuito π de la Figura 1.22, en términos de los parámetros de la línea de transmisión. Sin embargo, para poder obtener este modelo es necesario aplicar la transformación de componentes simétricas a los modelos trifásicos de la línea. Esto es, debe calcularse:

[Ts ]

−1

⎡1 1 1 ⎢ [Z abc ][Ts ] = ⎢1 a 3 ⎢⎣1 a 2

1 ⎤ ⎡ z aa 2 a ⎥⎥ ⎢⎢ zba a ⎥⎦ ⎢⎣ z ca

z ab zbb z cb

z ac ⎤ ⎡1 1 2 zbc ⎥⎥ ⎢⎢1 a z cc ⎥⎦ ⎢⎣1 a

1 ⎤ ⎡ z 00 a ⎥⎥ = ⎢⎢ z10 2 a ⎥⎦ ⎢⎣ z 20

z 01 z11 z 21

z 02 ⎤ z12 ⎥⎥ z 22 ⎥⎦

Definiendo:

γ 0 = z 00 y 00 ; z c 0 = γ 1 = z 11 y 11 ; z c 1 = γ 2 = z 22 y 22 ; z c 2 =

z 00 y 00 z 11 y 11 z 22 y 22

Substituyendo valores:

z 0 = z c 0 Senh γ 0 d

(1.128)

z1 = z c1 Senh γ 1 d

(1.129)

z 2 = z c 2 Senh γ 2 d

(1.130)

Similarmente:

y0 γ d 1 tgh 0 = 2 2 zc 0

(1.131)

γ d y1 1 = tgh 1 2 2 z c1

(1.132)

y2 γ d 1 tgh 2 = 2 2 zc 2

(1.133)

Los circuitos π correspondientes a las ecuaciones (1.128)-(1.133) son mostrados en la Figura 1.23. Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

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MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISION Y CABLES

s

I s0

I r0

r

z0

y0 2

y0 2

Vs 0

Vro

(a) s

I s1

I r1

r

z1

y1 2

y1 2

Vs1

Vr 1

(b) s

Ir2

I s2

r

z2

Vs 2

y2 2

y2 2

Vr 2

(c) Figura 1.23 (a) Circuito de secuencia cero (0); (b) circuito de secuencia positiva (1); (c) circuito de secuencia negativa (2), después de haber aplicado la transformación de componentes simétricas al modelo trifásico de la línea de transmisión.

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