Capitulo 07 Distribuciones Discretas

PROBABILIDAD PROBABILI DAD E INFERENCIA INFERENCI A ESTADÍSTICA SEGUNDO AÑO

Capítulo 7 Distribuio!"s #" Probabili#a# Disr"tas E!"ro $%&'

DAR LA PRO(I)A *E+ LA DIST )ULTINO)IAL &, Ob-"ti.os #"l Capítulo

-

Definir Definir los términos términos distribuc distribución ión de probab probabilid ilidad ad y variable variable aleatoria aleatoria.. Distingu Distinguir ir entre entre una distribuc distribución ión de proba probabilid bilidad ad discreta discreta y una distr distribuci ibución ón de probabi probabilida lidadd continua. Calcular Calcular la media, media, la la varianza varianza y la desviac desviación ión estánda estándarr de una distri distribuci bución ón de probabil probabilidad idad discret discreta. a. Describi Describirr las caracter característi ísticas cas de la distrib distribución ución de probabi probabilidad lidad binomia binomiall y calcular calcular las probabili probabilidades dades utilizando esa distribución. Definir Definir las caract característ erísticas icas de la distri distribució buciónn hipergeom hipergeométri étrica ca y calcular calcular probabil probabilidade idadess con aplicación aplicación a tal distribución. Describi Describirr las caracte característ rísticas icas de la la distribu distribución ción de oisson oisson y calcul calcular ar las probabi probabilida lidades des emplean empleando do esa distribución.

Contenido &, $, 1, ', 3, 4, 7, 9, =, &%, &&, &&, &$, &1, &', &3, &4,

Ob-" Ob-"ti ti.o .oss #"l #"l Capí Capítu tulo lo Bibl Biblio io/r /ra0 a0ía ía #"l #"l Capí Capítu tulo lo E!la E!la" "ss I!t" I!t"r! r!"t "t I!tr !tro#ui ui2! 2! *ariab riabl" l" al"a al"ato tori riaa 56u 56u "s u!a u!a #istri #istribu bui2! i2! #" proba probabil bili#a i#a#8 #8 )"#ia )"#ia o .alor .alor "sp"ra#o "sp"ra#o #" u!a #istr #istribui ibui2! 2! #" probabi probabili#a li#a# # *aria!:a aria!:a ; #"s.iai #"s.iai2! 2! "sta!ual"s, Distribu Distribui2! i2! #" probabili#a# probabili#a# bi!o>ial bi!o>ial Tablas Tablas #" probabili probabili#a# #a# bi!o>ial bi!o>ial Distribu Distribui2! i2! #" probabili#a# probabili#a# au>ula#a au>ula#a Distribui2! #" probabili#a# probabili#a# bi!o>ial !"/ati.a Distribui2! #" probabili#a# @ip"r/"o>tria Distribu Distribui2! i2! #" Poisso! Poisso! E-"rii E-"riios os a#ii a#iio!al" o!al"ss

E-">plos a, b, , #, ", 0, /, @,

N>"ro N>"ro #" aras aras u" s" pu"#"! pu"#"! obt"!"r obt"!"r al la!:ar la!:ar u!a >o!"#a >o!"#a tr"s tr"s .""s .""s ?4, E-">plo E-">plo sobr" sobr" "l "p"ri>"! "p"ri>"!to to #" la!:ar la!:ar u! #a#o u!a .": ?4, *"!#"# !#"#or or #" ar arro ross ?9, ?9, *"!ta !ta #" r" r"0r"s 0r"so oss ?=, ?=, Bo>bi Bo>bill llos os #"0" #"0"t tuo uoso soss ?&&, ?&&, Co!# Co!#u uto tor" r"ss #" auto> auto>2. 2.il il"s "s ?&$, ?&$, La!: La!:a> a>i" i"!t !too #" #" u! u! #a# #a#oo Pla! Pla!ta ta #" "!sa> "!sa>bl blaa-""

i,

Los ' pr">ios

 -, Fabria!t" #" o>puta#oras , Lla> Lla>a# a#as as t"l" t"l"02 02!i !ia ass l, )al" )al"ta tass "tr "tra. a.ia ia#a #ass $, Biblio/ra0ía #"l Capítulo 7

-

"ind, pp. !#! - $$% &nderson, !'( - $!$ )ebster, !*$ !*$ - !!% "evin vin, pp. $(* + $%' riola, pp pp. !# + $ $( érez, pp pp. $/$ - $$

1, E!la"s I!t"r!"t

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http011222.vitutor.com1pro1(1b3g.html 1 roblemas 1  roblemas y e4ercicios de la distribución binomial http011222.scribd.c http011222 .scribd.com1doc1$#$%''*1!*-pr om1doc1$#$%''*1!*-problemas-distribuc oblemas-distribucion-hipergeom ion-hipergeometrica etrica.. 54ercicios de la distribución 6ipergeométrica 6ipergeométrica

', I!tro#ui2!

Durante el curso hemos estudiado la estadística descriptiva. Como organizar y presentar datos. 7imos 7imos las medidas de tendencia central como la media, la mediana y la moda para encontrar un valor representativo de los datos cercano al centro de todos ellos y estudiamos las medidas de dispersión como la desviación estándar y la varianza como una apro8imación a la variabilidad de los datos. 6asta ese punto en el curso nuestra atención estaba dirigida a evaluar y analizar algo 9ue ya había sucedido. osteriormente a través del estudio de las probabilidades nos apro8imamos a inferir, estimar y calcular  probabilidades sobre sobre eventos 9ue no habían sucedido basados basados en muestras representativas de de una población ob4eto de estudio o del conocimiento a priori de las probabilidades de ocurrencia. 5n este capítulo daremos inicio al estudio de las distribuciones de probabilidad comenzando por las de tipo discreto. 3, *ariab riabl" l" al"a al"ato tori riaa

:on los diferentes valores o resultados 9ue puede tomar un e8perimento aleatorio. 5ntendiéndose por e8perimento aleatorio a9uel 9ue se rige por el azar, por lo fortuito. ;na variable aleatoria puede ser discreta o continua dependiendo del n"r La!:a>i"!to : : : : C C C C

S"/u!#o La!:a>i"!to : : C C : : C C

T"r"r La!:a>i"!to : C : C : C : C

N>"ro #" Caras * ! ! $ ! $ $ (

robabilidad de obtener * caras es !1 B*,!$% B5vento * 1 esultado ! robabilidad de obtener obtener ! cara es !1 E !1 E !1 A (1 B*,('% B*,('% B5vento ! 1 esultados esultados $, ( y % % robabilidad de obtener $ caras caras es !1 E !1 E !1 A (1 B*,('% B5vento $ 1 esultados esultados , / y ' robabilidad de obtener ( caras es !1 B*,!$% B5vento ( 1esultado 

Probabili#a#

!1 !1 !1 !1 !1 !1 !1 !1

Fbserve 9ue las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los eventos definidos van desde * a ! y 9ue la suma de todos los eventos Bdado 9ue son mutualmente e8cluyentes es !. b E-">plo sobr" "l "p"ri>"!to #" la!:ar u! #a#o u!a .":

"os resultados posibles del e8perimento 9ue consiste en lanzar un dado una vez. a 5labore una distribución de probabilidad de estos resultados  b epresente en forma gráfica la distribución de probabilidad c ?Cuál es la suma de las probabilidades

R"sulta#os Posibl"s

! $ (  % /

La!:a>i"!to #" u! #a#o u!a .": ! $ (  % /

Probabili#a#

!1/ !1/ !1/ !1/ !1/ !1/

7, )"#ia o .alor "sp"ra#o #" u!a #istribui2! #" probabili#a#

"a denotamos con la letra griega, G y representa el valor promedio, el resultado promedio 9ue puede tomar la variable aleatoria en estudio. :e le conoce también como valor esperado. But the average, like the family with 1.7 children, is just a statistical abstraction.

"a media o valor esperado de una distribución de probabilidad discreta se calcula mediante la fórmula0 G A H I 8 B8 J donde B8 es la probabilidad de ocurrencia de cada valor posible de 8 5n el e4emplo visto anteriormente sobre el lanzamiento de una moneda tres veces tenemos 9ue la media de esta distribución de probabilidad discreta es0

( ?Caras, * ! $ (

P?(, !1 (1 (1 !1

 ( P?(,  * (1 /1 (1 &$H9  &J3 aras

:i repitiéramos este e8perimento muchas veces, a largo plazo el nos de refrescos, grande, mediano y pe9ue>o. "os precios de los refrescos son Os. !', !$ y / respectivamente. 5l due>o del negocio ha estudiado el comportamiento de las ventas de refrescos e8presados mediante la siguiente distribución probabilística. $*P la probabilidad de vender un refresco grande, %*P un refresco mediano y (*P pe9ue>o. a ?5s la distribución enunciada discreta@  b Calcule el precio promedio por venta de refrescos c ?Cuál es la varianza y la desviación estándar@ a :e trata de una distribución discreta ya 9ue solo hay tres precios para los refrescos  b recio promedio Pr"io para a#a ta>ao

Probabili#a# #" ourr"!ia

Bs 

P ?,

!' !$ /

c 7arianza

*,( *,% *,$ &

 P?,

*,' !,$% *,%

  Bs $J'

Pr"io para a#a ta>ao

Probabili#a# #" ourr"!ia

Bs 

P ?,

(,% $,% !,%

*,$ *,% *,( &

$

 $ P ?,

!$,$% /,$% $,

%$$J'3 1J&$3 %J473 4J$3

L $ A /,$% + $, $ A /,$% + %,'/ A *,# L A Os. *,'

&%, Distribui2! #" probabili#a# bi!o>ial

5s una distribución de probabilidad discreta, es decir 9ue la variable aleatoria es el resultado de un conteo de un nial

ara problemas donde el nos "l si/ui"!t" "-">plo sobr" o!#utor"s #" auto>2.il"s

;n estudio realizado recientemente reveló 9ue solo /*P de los conductores de automóviles se coloca el cinturón de seguridad al mane4ar. :e seleccionó una muestra de !* automovilistas.

-

?Cuál es la probabilidad de 9ue e8actamente siete se hayan colocado el cinturón@ ?Cuál es la probabilidad de 9ue ' o menos de los conductores lo lleven puesto@

;na vez asegurado 9ue este problema cumple con los re9uisitos del modelo binomial, calculamos directamente de la tabla las probabilidades correspondientes. "a primera respuesta es *,$!' y la segunda *,(( Fbserve 9ue la segunda respuesta también la hemos podido haber derivado utilizando la regla del complemento. ! menos la probabilidad de B8 X ' &1, Distribui2! #" probabili#a# bi!o>ial !"/ati.a

"as características de la distribución binomial negativa son los siguientes0 o

o

o

o

o

:olo hay dos resultados posibles en cada ensayo de un e8perimento. Qé8itoR y al otro QfracasoR "os resultados son mutualmente e8cluyentes. :i ocurre un resultado la primera vez no  puede ocurrir el otro resultado la primera vez. "a probabilidad de é8ito o fracaso sigue siendo la misma, ensayo tras ensayo, repetición tras repetición. Cada ensayo es independiente de cual9uier otro. 5s decir 9ue los resultados no siguen ningplo sobr" "l 0abria!t" #" o>puta#oras

;n fabricante de computadoras compra monitores a una nueva compa>ía 9ue realiza estrictos controles de calidad. 5l fabricante recibe !%* monitores y decide aceptarlos a todos si al seleccionar $% de manera

aleatoria, no encuentra ningana. "a probabilidad de 9ue un evento ocurra es proporcional a la amplitud, longitud o tama>o del intervalo. "a probabilidad de recibir una llamada en un día es distinta a la probabilidad de recibir una llamada en dos días. "a probabilidad de 9ue dos o más eventos ocurran en una pe9ue>ísima fracción del intervalo considerado es tan ba4a 9ue puede ser obviada.

"as probabilidades correspondientes a una distribución de oisson se calculan mediante la fórmula0  x

 µ 

e

− µ 

 xU

B8 A Donde0

G es la media de ocurrencias Bé8itos en un intervalo determinado e corresponde a la constante $,'!$ Bbase del sistema logarítmico neperiano 8 es el no de una cafetería con la finalidad de atraer más clientes ofrece gratuitamente rellenar la taza de los clientes 9ue han pedido café y 9uieren tomar más. Después de poner en práctica su estrategia durante un tiempo, logró conformar la siguiente tabla0 Ta:as #" Ca0 R"ll"!a#as por li"!t" * ! $ (

Por"!ta-" (* * $* !*

Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la distribución del numero de tazas de café rellenadas. ( * ! $ (

P ?, *.( *. *.$ *.!

 P ?, * *. *. *.(

1

1.1

$ * !  #

$ P ?, * *. *. *.# 2.1

G A H I 8 B8 J G A !.! L $ A H I 8 $  B8 J + G $ A $.! + !.! $ A $.! + !.$! A *.# L A *.# E-"riio 4

;na reconocida universidad estimó 9ue la distribución de las admisiones de estudiantes para el pró8imo a>o en base a la e8periencia previa. ?Cuál es el nio "! >il"s #" bolí.ar"s

* !* !** %**

Probabili#a# #" /a!ar #" a#a bol"to ."!#i#o #" la ri0a *.% *.(* *.$* *.*%

:i ;sted comprara un solo nas a#iio!al"s sobr" #istribuio!"s #isr"tas Copia#os si! "#itar ; saa#os #" la parioMprobabili#a#Hprobl">arioM probabili#a#s@t>l#istrib@ip"r E-"riio =

:e ha determinado 9ue el %P de los bombillos de una fábrica son defectuosos. ?Cuál es la probabilidad de 9ue al seleccionar al azar seis bombillos, ninguno sea defectuoso. ?Cuál es la probabilidad de 9ue solo uno sea defectuoso@?F e8actamente dos defectuosos@ ?F tres@ ?F cuatro@ ?F cinco@ ?F los seis@ evisar 9ue este problema cumple con todos los re9uisitos de la distribución binomial. E-"riio &%

:e ha determinado 9ue la trocha en la autopista Caracas + "a _uaira genera colas de más de /* minutos para los automovilistas $*P del tiempo. ;sted debe transitar por esa vía una vez al día durante los pró8imos ' dias y desea predecir el no del intervalo. "a probabilidad de 9ue dos o más eventos ocurran en una pe9ue>ísima fracción del intervalo considerado es tan ba4a 9ue puede ser obviada.

5ste e4ercicio cumple con todas las condiciones del modelo de oisson. 5l valor de G Bpromedio es *,%P de !.$** llamadas es de / llamadas ocupadas en un intervalo de !.$** llamadas = el valor de 8 es por lo menos % llamadas, es decir % o más. B8  % A ! + B8  

E-"riio $&

;na compa>ía grande de distribución de materiales de construcción cuenta con !% camiones de reparto. :uponga 9ue / de los !% camiones tienen malos los frenos. :e seleccionaron % camiones al azar para hacer envíos. a ?Cuál es la probabilidad de 9ue dos de los camiones seleccionados tengan los frenos defectuosos@ ustifi9ue la escogencia del modelo correspondiente para responder esta pregunta.  b Determine la probabilidad de 9ue al menos ! de los cinco camiones tenga los frenos malos. ustifi9ue la metodología utilizada para dar su respuesta. 58pli9ue el significado de la raíz cuadrada de esta fórmula0 L $ A H I B 8 + G  $  B8 J E-"riio $$

5n una estación de servicio llegan en promedio / carros por hora a poner gasolina. a ?Cual es la probabilidad de 9ue en una hora cual9uiera lleguen a poner gasolina e8actamente tres carros@ ustifi9ue la metodología utilizada para dar su respuesta. 58pli9ue el resultado en términos del problema.  b Fbtenga la probabilidad de 9ue llegue por lo menos un carro en una hora cual9uiera a poner gasolina. 58pli9ue la metodología utilizada para dar su respuesta. c Defina y presente mediante un e4emplo, el concepto0 Distribución de robabilidad. Comente sobre sus características, tipos y su valor esperado. Btres puntos E-"riio $1 5n una cantina se venden tres tama>os de refresco, grande, mediano y pe9ue>o, en la siguiente proporción, (*P, %%P y !%P respectivamente. 5l precio del refresco grande es ( veces mayor 9ue el pe9ue>o y el mediano es dos veces mayor 9ue el pe9ue>o. :i el ingreso medio esperado al vender !** refrescos es de Os. (*. ?Cuál es el precio 9ue se vende cada tama>o de refresco@ Comente los aspectos metodológicos 9ue considere convenientes. 54ercicio ?:e ha establecido 9ue el $%P de los administradores traba4an en empresas privadas. :uponga 9ue estos resultados se van a aplicar a un grupo de !% egresados de la universidad. Cuál es la probabilidad de 9ue cuando menos tres egresados vayan a traba4ar en una empresa  privada@.

E-"riio $' Probl">a 1&J pa/ &=4 #"l A!#"rso!

:e estima 9ue el %P de los camioneros son mu4eres. &suma 9ue se seleccionan al azar !* camioneros para una encuestas sobre las condiciones de traba4o. a  b

?Cuál es la probabilidad de 9ue dos de los camioneros sean mu4eres@ ustifi9ue la metodología utilizada. ?Cuál es la probabilidad de 9ue al menos uno sea mu4er@ ealice un gráfico en apoyo a su respuesta

E-"riio $3 Probl">a '3J pa/ $%& A!#"rso!

5n la central telefónica de la universidad llega en promedio una llamada cada dos minutos. a  b

?Cuál es la probabilidad de 9ue no lleguen llamadas en un período de % minutos@ ustifi9ue la metodología utilizada para resolver este problema.

5sta prueba incluye los conceptos e8plicados en clase sobre el capítulo ', BDistribuciones de robabilidad Discretas. "a prueba debe realizarse en má8imo dos horas.

E-"riio $4 ;na compa>ía grande de distribución de materiale s de construcción cuenta con !% ca miones de reparto. :uponga 9ue / de los !% camiones tienen malos los frenos. :e seleccionaron % camiones al azar para hacer envíos. a  b

?Cuál es la probabilidad de 9ue dos de los camiones seleccionados tengan los frenos defectuosos@ ustifi9ue la escogencia del modelo correspondiente para responder esta pregunta. Determine la probabilidad de 9ue al menos ! de los cinco camiones tenga los frenos malos. ustifi9ue la metodología utilizada  para dar su respuesta. 58pli9ue el significado de la raíz cuadrada de esta fórmula0 L $ A H I B 8 + G  $  B8 J

E-"riio $7 5n una estación de servicio llegan en promedio / carros por hora a poner gasolina. a  b

?Cuál es la probabilidad de 9ue en una hora cual9uiera llegue a poner gasolina e8actamente tres carros@ ustifi9ue la metodología utilizada para dar su respuesta. 58pli9ue el resultado en términos del problema. Fbtenga la probabilidad de 9ue llegue por lo menos un carro en una hora cual9uiera a poner gasolina. 58pli9ue la metodología utilizada para dar su respuesta.

E-"riio $9 5n una cantina se venden tres tama>os de refresco, grande, mediano y pe9ue>o, en la siguiente proporción, (*P, %%P y !%P respectivamente. 5l precio del refresco grande es ( veces mayor 9ue el pe9ue>o y el mediano es dos veces mayor 9ue el pe9ue>o. :i el ingreso medio esperado al vender !** refrescos es de Os. (*. ?Cuál es el precio 9ue se vende cada tama>o de refresco@ Comente los aspectos metodológicos 9ue considere convenientes.

E-"riio $=  ?Prob $=J pa/ &=4 A!#"rso!,

?:e ha establecido 9ue el $%P de los administradores traba4an en empresas privadas. :uponga 9ue estos resultados se van a aplicar a un grupo de !% egresados de la universidad. Cuál es la probabilidad de 9ue cuando menos tres egresados vayan a traba4ar en una empresa  privada@. ustifi9ue la metodología utilizada para resolver este problema.

E-"riio 1% &pro8imadamente el !*P de las botellas de vidrio 9ue salen de una línea de producción tienen defectos graves. :i se seleccionan %  botellas al azar para inspeccionarlas, ?Cuál es la probabilidad de obtener e8actamente dos botellas con defectos graves@ ?Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una botella con defectos graves@ ?Cuál es el valor esperado del no $8 E-"riio 1$

U! a/"!t" #" s"/uros ."!#" p2li:as a i!o p"rso!as #" la >is>a "#a# ; u" #is0ruta! #" bu"!a salu# S"/! las tablas atual"sJ la probabili#a# #" u" u!a p"rso!a "! "stas o!#iio!"s .i.a 1% aos o >"!os tr"s p"rso!as 1Eata>"!t" #os p"rso!as E-"riio 11 S" la!:a u!a >o!"#a uatro .""s Calular la probabili#a# #" u" sal/a! >it" u" u! !>"ro #" t"l0o!o #" a#a i!o "st< o>u!ia!#oJ 5uaru"! &% !>"ros #" t"l0o!o "l"/i#os al a:arJ s2lo o>u!iu"! #os8 E-"riio 13 La probabili#a# #" u" u! @o>br" ai"rt" "! "l bla!o "s &H' Si #ispara &% .""s 5u"!t" "! tr"s oasio!"s8 5Cubi! s" @a obs"r.a#o u" las #os i!0raio!"s so! i!#"p"!#i"!t"s U! /uar#ia #" tro para "sti>ar u" la propori2! #" i!0rator"s !o .aría al @a"r la s"l"i2! & D"t"r>i!ar la probabili#a# a #" u" "ata>"!t" tr"s o!#utor"s @a;a! o>"ti#o al/u!a #" las #os i!0raio!"s $ D"t"r>i!" la probabili#a# #" u" al >"!os u!o #" los o!#utor"s o!trola#os @a;a o>"ti#o al/u!a #" las #os i!0raio!"s E-"riio 17 La probabili#a# #" u" u! artíulo pro#ui#o por u!a 0abria s"a #"0"tuoso "s p  %%$ S" "!.i2 u! ar/a>"!to #" &%%%% artíulos a u!os al>a"!"s allar "l !>"ro "sp"ra#o #" artíulos #"0"tuososJ la .aria!:a ; la #"s.iai2! típia E-"riio 19

E! u!a ur!a @a; 1% bolasJ &% ro-as ; "l r"sto bla!as S" "li/" u!a bola al a:ar ; s" a!ota si "s ro-aV "l pro"so s" r"pit"J #".ol.i"!#o la bolaJ &% .""s Calular la >"#ia ; la #"s.iai2! típia E-"riio 1= U! laboratorio a0ir>a u" u!a #ro/a ausa #" "0"tos s"u!#arios "! u!a propori2! #" 1 #" a#a &%% pai"!t"s Para o!trastar "sta a0ir>ai2!J otro laboratorio "li/" al a:ar a 3 pai"!t"s a los u" aplia la #ro/a 5Cuo hubo / homicidios en el barrio la eri9uita. ara un mes seleccionado al azar, calcule la  probabilidad de 9ue el n