Capítulo 06 Torsión PDF

 

Cuarta Edición

6

CAPÍTULO

RESISTENCIA DE MATERIALES Resistencia de Materiales Autor: Dr. Víctor Vidal Barrena Universidad Ricardo Palma

orsión

© 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada E  C   d  u i   a  c r  i   t    ó   a n

 

RESISTENCIA DE MATERIALES

Víctor Vidal Barrena

6.1 Introducción.

Se estudia el efecto de torsión, sólo para tubos el casodedepared ejes de seccióno circular, delgada ejes de sección rectangular; como se muestran en las figuras 6.1 y 6.2. Estas cargas se presentan generalmente en forma de pares y que producen esfuerzos cortantes en los ejes. Fig. 6.1 Ejes de sección circular

Fig. 6.2 Ejes de sección rectangular.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.1 Introducción.

Las cargas de torsión se aplican  por medio dson e engranajes, poleas que mueven o de movidos por los ejes y las aplicaciones prácticas es en el campo del diseño de máquinas. La aplicación mas común es la transmisión de una turbina a un generador, o de un motor a una máquina herramienta, como en la figura 6.3 Fig. 6.3 Ejes de transmisión de potencia de sección secci ón circular. circular.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

Consideremos una barra de sección circulary sometida sujeta rígidamente en un extremo en el otro extremo a un par T, aplicado en un  plano perpendicular al eje, como se observa en la figura 6.3; se dice entonces que esta barra está sometida a torsión. Para deducir las fórmulas de torsión se debe realizar las siguientes hipótesis. • Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. • Las secciones circulares permanecen

circulares después de la torsión.

Fig. 6.4 Torque Torque aplicado en un eje de sección circular.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

• El diámetro del eje no varía

durante la torsión • Los esfuerzos están en el rengo elástico y se aplica la ley de Hooke. En ladefigura 6.5 se observan los efectos la aplicación de una carga de torsión a una barra, y estos son:

• Producir angular en laun barra.desplazamiento • Producir esfuerzos cortantes en

cualquier sección de la barra  perpendicular a su eje.

Fig. 6.5 Desplazamiento angular. angular.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

Al aplicar un torque T a uno de los extremos del eje y considerando una generatriz cualquiera, tal como AB paralela al eje; como se observa en la figura 6.6, se tuerce formando una hélice BAC y al mismo tiempo A ha

hacia la posición C  un ángulogirado θ. Consideremos un elemento dA  a una distancia ρ  de la línea de centros, y al mismo ángulo θ para el elemento diferencial, produciendo una deformación angular igual a DE.

Fig. 6.6 Deformación de un eje.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

6.2.1Esfuerzo Cortante.

Considerando un elemento dA  a una distancia ρ  de la línea de centros, y al mismo ángulo θ para el elemento diferencial, produciendo una. DE

deformación angular igual a

En la figura 6.7:  = Deformación angular angu lar,, rad θ = Angulo de torsión, rad. r = Radio del eje, m L = Longitud del eje, m ρ = Radio en el elemento diferencial

dS

Fig. 6.7 Deformación angular de un eje.

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

De las figuras 6.7 y 6.8 se tiene: dP   dA (1)

 

Por semejanza de triángulos: 



 max

r       ( ) max r    

 

(2)

Sustituyendo (2) en (1):      dP  ( ) max  dA (3)  r  

Fig. 6.8 Esfuerzo cortante en el elemento diferencial.

Multiplicando   en ambos miembros de   la ecuación (3):

   

 

Donde: dT    dP   (4)



  dP   ( )  dA (5)  r  max 

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

Sustituyendo (4) en (5) e integrando:



T 

0

dT 



  

0

 max   2dA (6) r 

Haciendo:



  

0

2    dA    J  (7)

Donde: J = Momento polar de 4

4.

m  o plg(7)  en (6): Sustituyendo  inercia, T

 max

r 

 J 

Fig. 6.9 Esfuerzo cortante en el elemento diferencial.

Donde:   T  r 

 max 

  J 

(6.1)

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.  Torsión. 

6.2.2 Ángulo de torsión. Ley de Hooke:   G   

Siendo: G = Módulo de elasticidad al corte.  = Deformación angular. Si:    max   max  G   max   (8) dS

 

Sustituyendo (6.1) en (8): Tr  J 

 G   max   (9) Fig. 6.10 Deformación angular de un eje.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión. De la figura 6.11:

dS  DE      (10) dS  DE  L  (11) Igualando (10) y (11):

   L  Si :   r    max Luego : r  L   max

 

dS

 max  r   (12) L Sustituyendo (12) y (9):

 r    J  G  L 

Tr

Fig. 6.11 Deformación angular de un eje.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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6.2 Deducción de las Fórmulas de Torsión.

 r    J  G  L 

Tr

De donde:

   

TL GJ 

(6.2)

Siendo:  = Ángulo de torsión, rad (°C o °F)

T = Torque Torque aplicado, N.m o lb.pulg

dS

L = Longitud del eje, m o pulg. G = Módulo de elasticidad al corte, N/m2 o lb/pulg2 J = Momento polar de inercia, m inercia,  m4 o plg4  Fig. 6.12 Deformación angular de un eje.

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Problemas Resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.clase:

El eje compuesto mostrado en la figura 6.13 se une a soportes rígidos. Para el segmento AB  de bronce, el diámetro es de 75 mm,  ≤ 60 MPa, y G = 35 GPa. Para el segmento de acero BC, el diámetro es de 50 mm,   ≤  80 MPa, y G = 83 GPa. Determinar torsión T que se puede aplicar aplicar..

Fig. 6.13 Bloque rectangular de acero.

el máximo par de

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.1:

a. El máximo pa par de torsión T  que se peje uede aplicar. ver la figura aplicar. a.1 DCL delpuede compuesto, 6.14. Por equilibrio. 0

T

sa h 

 T

 T br    0 T  Tac  T br   (1 (1)) a.2 Por deformación angular angular.. T

ac

Fig. 6.14 Bloque rectangular de acero.

   

Ecuación de compatibilidad, por el empotramiento.    br   ac   (2)

  Para el ángulo de utilizamos la ecuación (6.2):

torsión,

(6.2)

GJ 

Entonces:

 TL 

TL



 TL 

 GJ  br  GJ  ac

(3)  

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.1:

a.2.1Bronce, Datos: L  2 .5 m  2 5 0 0 m m d  75 mm G  35G P a  4 mm 4  mm 4 J    75 988,769.53  32

Fig. 6.15 Bloque rectangular de acero.

Reemplazando valores en (6.2): 3

 br 

 35  109

Tbr  (N  m )  2500mm  10 mm 2 N m   m 4  988, 769.53 mm  6 2 2 m 10 mm

2500T br   br   35  988 988,769. ,769.53 53 

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.1:

a.2.2 Acero. Datos: L  m  mm 2 2000 d  50 mm G  83G P a    50 4 mm 4 J  195,312.5 mm 4 32

Fig. 6.16 Bloque rectangular de acero.

Reemplazando valores en (6.2): Tac (N  m)  2000mm  ac  

 ac  

83  10

9

N m

 195, 312.5 mm  2

2000T ac  83  195 195,312. ,312.55 

4

103 mm m

2

106 mm 2

 

m

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Problema 6.1:

TL    TL  (3)  G    J  br  GJ   ac  

Reemplazando valores en (3): Fig. 6.17 Bloque rectangular de acero.

2500Tbr 2000T ac    35  988,7 ,7669.53 83  19 195,31 ,312.5  83  11995, 312.5Tbr  7  4  988, 769.53T ac Tbr

 1.708Tac   ( 4a )

Tac

 0.586Tbr   ( 4b)

 

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.1: MPa a a.3.1 Cuando: Para el bronce     60 MP a.3 Cálculo Cálcul o de T.  Utilizando la ecuación (5): Utilizando la ecuación (6.1) del esfuerzo cortante. 9 3 1 6 . 1 0 N T N m m m 6 br  6 0 1 0    2 3 3 3 2T 2T   T r Tr 75 m   m m m      4   3 d  r  d  J  16Tbr N   10 9  ( )3 6 N 60  1 0     75 3 m 2 2 2 8 m2 16T  3    (5) 6 0 7 5     ,970. 0.11N .m Tbr    4,97  d 3 3 16  10 Tbr   4.9 705 kN .m

 

Reemplazando valores en la ecuación (4b):

Tac   0.586(4. (4.9705 kN.m ) Fig. 6.18 Bloque rectangular de acero.

Tac   2.913 kN .m

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.1: MPa a a.3.1 Cuando: para el acero. a cero.     80 MP Utilizando la ecuación (5):

80  10 6



6

N m

2

N

16Tac N .m 10 9 m m 3   3 3 3    50 m m m 16Tac N   10 9



80 10 m 2    50 3 m 2 80     50 3  1,963.495 ,963.495 N .m Tac   3 16  10 Tac   1.9635 k N .m

Fig. 6.19 Bloque rectangular de acero.

a.5 Cálculo de T:

  Reemplazando valores en la ecuación   (4a):

Utilizamos:

Tbr  3.354 kN.m, y Tac  1  .9635 kN.m Reemplazando valores en (1):

Tbr 

 1.708  1.9635 kN.m

T   1.96 1.9635 35  3.35 3.3544

Tbr 

 3.354kN.m

T

 5.3175 kN .m

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.1:

Un eje hueco de bronce de 80 mm de diámetro exterior y 50 mm  de 50 mm de diámetro diámetro interior se desliza eje de acerosesólido y de la misma longitud que sobre el eje un hueco; como muestra en la figura 6.20. Los dos ejes están fijados rígidamente entre sí en sus extremos. Para el  bronce, G = 35 GPa, y para el acero, G = 83 GPa. Determinar el par de

torsión máximo quedesecorte puede ejeelde material exceder el esfuerzo de aplicar 60 MPaal en bronce o 80compuesto MPa en el para acero.no

Fig. 6.20 Eje hueco de bronce.

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.1:

6 21

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.1:

6 22

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.1:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.1:

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Problema 6.2:

Un eje está compuesto por los segmentos de AC, CD, y DB; está sujeta aConsiderar los soportes y cargado como; aluminio, se muestra figura para rígidos el bronce, , y la6.21. del  G = 35 GPa G =en28laGPa acero, G = 83 GPa. Determinar el esfuerzo cortante máximo desarrollado en cada segmento.

Fig. 6.21 Eje compuesto con soportes rígidos.

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.2:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.2:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.2:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.2:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.2:

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Problema 6.3:

La varilla de aluminio AB (G = 27 GPa) está unida a la barra de latón BD (G = 39 GPa), como se observa en la figura 6.22. La  parte CD  de la varilla de latón es hueca y tiene un diámetro interior de 50 mm, determinar el ángulo de torsión en A.

Fig. 6.22 Varilla de aluminio.

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.3:

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Problema 6.4:

Un eje de acero sólido con módulo de elasticidad al corte es de 83 GPa,  se carga como se muestra en la figura 6.23. Determinar el diámetro requerido del eje, si el esfuerzo al corte se limita a 60 MPa y el ángulo de rotación en el extremo libre es que no exceda de 4°.

Fig. 6.23 Eje de acero s{olido.

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.4:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.4:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.4:

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.4:

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Problema 6.5:

La barra mostrada en la figura 6.20, está fabricada de un material con GPa y tiene una sección trasversal circular sólida. un módulo dedecorte de 80AB El diámetro las partes  y CD de las barras es 25 mm y el diámetro de la parte BC  es 50 mm. Determinar: a. las magnitudes de los máximos esfuerzos cortantes en las partes AB, BC  y CD, y b. el ángulo de giro del

extremo derecho de la barra con relación a la pared.

Fig. 6.24 Ejes AB, BC y CD.

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

a.

Máximos esfuerzos cortantes en las  partes AB, BC y CD.  Utilizamos la ecuación (6.1):   T  r  (1 (1))  max    J  Fig. 6.25 Ejes AB, BC y CD.

a.1.1Cálculo de TA: Siendo TA el torque en a.1 Tramo AB: Por equilibrio: el empotramiento. 

M

 A

0

sah 

T  A  8  4  2.2  0 T A

 1.8 kN.m

6.26 26 Tramo AB. Fig. 6.

M

 A

0

sh 

 T A  0 T AB  T  1.8 kN.m T AB

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

a.1 Tramo AB: Datos:

r

 d   25  12.5 mm 2

J  

d

2

4

32

 r 



4

2 4

mm

4

J      25

32 4 J  12,207.031 mm

Fig. 6.27 Tramo BC.

a.2 Tramo BC: a.2.1Cálculo de TBC: 

Reemplazando valores en (1):  AB max

 



1.8  103 N.m  12.5mm 109 mm 3  

12,207.031 mm

 AB  max  586.71MPa

4



m

3

M TBC

C 

0

sh 

 T AB  4  0

TBC   1.8  4  2.2 kN.m

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

a.2 Tramo BC: d 

Datos:

r

25 mm  2  50 2 

J  

d

4

32



 r 

4

2

   50 mm 4

4

J  

32 4 J  195,312.5  mm Fig. 6.28 Tramo CD.

Reemplazando valores en (1): BC  max

 



2.2  103 N .m  25 mm  

195,312.5 mm

BC   max  89.64MPa

4



109 mm 3 m

3

a.2 Tramo CD: a.2.1Cálculo de TCD: 

M

C 

0

sah 

TCD

 T A  4  8  0

TCD

 1.8  4  8  2.2 kN.m

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RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

a.2 Tramo CD: Datos:

r

 b

 d   25  12.5 mm 2

J  

De la figura:

2

d

4

32



 r 

mm

4

32 4 J  12,207.031 mm

   

2.2  10 N .m  12.5mm 3

  12,207.031  mm4

9



TL GJ 

 b.1 Tramo AB: 

Reemplazando valores en (1):

CD  max  717.1MPa

  AB  BC  CD  (2)

Para el cálculo del ángulo de giro de cada tramo, utilizamos la ecuación (6.2):

J      25

CD  max 



4

2 4

Ángulo de giro del extremo derecho con relación a la pared.

10 mm m3

3

Datos:

(3)) (3   1.8kN .m L AB  200 mm G  80G P a 4 4    25 mm J  

T AB

32 4 J  12,207.031 mm

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6 43

RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

 b.1 Tramo Tramo AB:  T AB L AB

 1.8kN .m sh  200 m m , d  25 m m G  80G P a    25 4 mm 4 J  12,207.031 mm 4 32

 

Reemplazando valores en (3):   AB

1.8  10 3 N .m  200 m m



80  10   AB

9

N 

 

 12, 207.031 mm 2

 4

10 9 m m 3 m

3

m

 0.117341758 rad 

Utilizamos la “regla  de la mano derecha” + en el sah  : el TAB esta en 

sh (- ), entonces θAB es (-).

Fig. 6.29 Regla de la mano derecha.

Convirtiendo a °C, utilizamos la relación:

C  Ra

3 60

C  

2  180  

Entonces:

 0. 0.11 11734 73417 1758 58  6. 6.723 72322

  AB 

   6.7232 C 

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

 b.2 Tramo Tramo BC:  TBC   5.8 kN .m LBC   200 m m ,

sh d  50 m m

 80GPa 4 4    50 mm  195,312.5  mm 4 J

G

32

 

Reemplazando valores en (3):  BC 

5.8  10 3 N .m  200 m m



80  10  BC 

9

N 

 

 195, 312.5 mm 2

 4

10 9 m m 3 m

3

m

 0.023631325 rad 

Utilizamos la “regla  de la mano derecha” + en el sah  : el TBC esta en 

sh (- ), entonces θBC es (-).

Fig. 6.30 Regla de la mano derecha.

Convirtiendo a °C, utilizamos la relación:

C  Ra

360

C  

2  180  

Entonces:

 0. 0.02 02363 36313 1325 25  1. 1.35 3544

 BC  

   1.354 C 

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

 b.2 Tramo Tramo CD:  TCD LCD

 2.2kN .m sah  24 0 m m , d  25 m m G  80G Pa    25 4 mm 4  12,207.03125  mm 4 J 32

   CD

Reemplazando valores en (3): 2.2  10 3 N .m  240 mm



80  10  CD

9

N  m

 

 12, 20 207.03125 mm 2

 4

10 9 m m 3 m

3

 0.0172101242 rad 

Utilizamos la “regla  de la mano derecha” + en el sah  : el TCD esta en 

sah (+ ), entonces θCD es (+).

Fig. 6.31 Regla de la mano derecha.

Convirtiendo a °C, utilizamos la relación:

C  Ra

3 60

C  

2  180  

Entonces:

 0. 0.01 01721 72101 01242 242  9. 9.86 8611

 CD 

  C   9.861

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Problema 6.5: SOLUCIÓN

Reemplazando valores en (2):

6.7232 32  1. 1.35 3544  9.86 .861  6.72     AD  1.7838 C    AD

Fig. 6.32 Regla de la mano derecha.

Fig. 6.33 Regla de la mano derecha.

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Problema 6.6:

Un eje sólido de acero cuyo módulo de rigidez es de 80 GPa, se  3m de largo; se fija firmemente a un eje muestra en la figura 6.30, de hueco de bronce cuyo módulo de rigidez es de 40 GPa,  de 2m  de largo. Determine: a) El esfuerzo cortante máximo de torsión en el eje,  b) La rotación del extremo derecho respecto de la pared.

Fig. 6.34 Eje hueco y sólido.

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.6:

Fig. 6.35 Eje hueco y sólido.

6 48

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6 49

RESISTENCIA DE MATERIALES

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Problema 6.6:

a.

El esfuerzo cortante máximo de torsión en el eje. Ecuaciones a utilizar utilizar.. T  r  (6.1)  max  (1) J  TL    GJ  (2) (6.2) Fig. 6.36 Eje hueco. Datos: d 120 d  80 a.1 Tramo AB. r2    60 mm ; r2    40 mm 2 2 2 2 a.1.1 Cálculo de TA: Siendo TA el torque en el empotramiento. 

M

 A

T  A

0

sh 

 25  100  0

a.1.2 Cálculo de 4J:   r 4   J AB



J  AB



2  

2



2

( r2  r 14 )

( 6 0 4  40 4 ) 4

T A

 75 kN.m

J AB

 5200,000 mm

Fig. 6.37 Eje hueco AB.

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Problema 6.6:

a.1 Tramo AB. d  120 Datos: r2  2  2  60 mm d 

J AB

80  40 mm 2 2  5200,000 mm 4

T AB

 75 kN .m

r2





Reemplazando valores en (1):   AB

  AB

(75  103 N .m)  (60mm)   1m 3 4 4 4  (60  40 )mm  3 3 2 10 mm  275.46 MPa



Fig. 6.38 Eje hueco.

a.1 Tram Tramoo BC. Datos: d 

80  40 mm 2 2 4 4 4 r  40 mm J BC     1280,000 mm 4 2 2

r1



TBC 



 25 kN .m

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Problema 6.6:

a.1 Tramo BC. Datos: d  r1   80  40 mm 2 2 r

4



4

 40 mm

J BC 



TBC 

 25 kN .m

4

2 2 4 J BC   1280,000 mm

 

Utilizamos la “regla  de la mano derecha” + en el sah  : el TBC esta en sh Fig. 6.39 Eje hueco. (-). El esfuerzo cortante máximo de torsión Reemplazando valores en (1): en el eje, es en el tramo AB. (25  103 N .m)  ((440mm) Datos:   BC     AB   275.46   MPa 3 1 m 1280,000 mm 4  9 10 mm3   BC   248.68 MPa

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Problema 6.6:

 b.

La rotación del extremo derecho  b.1 Tram Tramoo BC. respecto de la pared. 80 40 mm, Datos: r1  d  Utilizamos la ecuación (6.2). 2 2     

(6.2)

TL GJ 

L  1m

G  80GPa

(2)

JBC  

r 4



2

 404 mm 4

2

 1280,000 mm 4

TBC   25kN.m

Utilizamos la “regla  de la mano derecha” + en el sah  : el TBC esta en sh (), entonces θBC es (-).   Fig. 6.40 Eje hueco.

Reemplazando valores en (2).   BC 

25  103 N .m  1m

 80  10

De la figura: 

 BC   AB (3)

  BC 

9

 N m

2

 0.0777rad 

000 mm   1280, 00 4

1m 4 12

10

mm

4

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Problema 6.6:

Convirtiendo a °C, utilizamos la relación:

C

Ra

360  2  180

C  

 

 0. 0.07 0777 77  4. 4.45 4522

Entonces:  CD   4.452   C  θCD es (-). Fig. 6.41 Eje hueco.  b.2 Tramo BC.  b.2.1 Angulo de giro en el tramo AB. Datos:

d  80   40 mm, L  2m 2 2 d  120  60 mm r2   2 2 G  40GPa, T AB  75kN.m

Reemplazando valores en (2).

r1 

J  AB 

 

2

(60 4  404 )

J AB  5200,000 mm 4

75  10  N .m  2m 3

  AB

  AB



40  10

9

 N m

2

 5200, 000 mm  4

1m 12

4

10 mm

4

 0.2296rad 

Utilizamos la “regla  de la mano derecha”  + en el sah   : el TAB  esta en sah (+), entonces θAB es (+).

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Problema 6.6:

 

Convirtiendo a °C, utilizamos la relación:

C

Ra

360  2  180

C  

 

Entonces:

  AB 

 0. 0.22 2296 96  13.1 13.166

  C  θAB es (+)  13.16

Fig. 6.42 Eje hueco.

Reemplazando valores en (3):   AC   

 4.452  1 3.16  8.708C 

Fig. 6.43 Eje hueco.

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Problema 6.7:

La varilla de aluminio AB está unida a la barra de latón BD, como se CD de la varilla de latón es hueca y tiene observa en lainterior figura 6.40 parte un diámetro de .45Lamm , Considere los módulos de elasticidad del aluminio y del latón de 27 GPa y 39 GPa respectivamente. Determinar: a: el ángulo de giro del extremo izquierdo de la barra con relación a la pared (desde el punto A hasta el punto D).

Fig. 6.44 Eje de Aluminio y Latón.

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6 56

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Problema 6.7:

a.

El án ángulo de giro de del ex extrem emoo iz izquierdo de la barra con relación a la  pared. Ecuaciones a utilizar utilizar..

De la figura:  (6.2)

  AB  BC  CD  (1) (1)

    TL (2) GJ 

Fig. 6.45 Eje hueco.

Momento Polar de inercia: J Eje macizo: Eje Hueco:

J   J



 r4  

32



 d 4

(3) (3 )

2 32 ( D 4  d 4 ) ( 4 )

a.1 Tramo AB. a.1.1 Cálculo de TA: Siendo TA el torque en el empotramiento. 

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Problema 6.7:

a.

El án ángulo de giro de del ex extrem emoo iz izquierdo de la barra con relación a la  pared. Ecuaciones a utilizar utilizar..

De la figura:  (6.2)

  AB  BC  CD  (1) (1)

    TL (2) GJ 

Datos:

Momento Polar de inercia: J 4 4  r  d  Eje macizo:  (3) (3 ) J   2

J



d

2



120  60 mm ; 2



d 

2



80  40 mm 2

a.1.2 Cálculo de 4J:   r 4  

( 4)

M

 A

0

  ( r2  r 14 ) 2 2 sh    4 4 J  AB  ( 60  40 ) J AB

a.1 Tramo AB. 2 torque en a.1.1 Cálculo de TA: Siendo TA el T  2 5 1 0 0 0     A el empotramiento. 

r2

32

   (D 4  d 4 ) 32

r2

Fig. 6.46 Eje hueco.

T A

J AB

 75 kN.m

 5200,000 mm

4

Fig. 6.47 Eje hueco AB.

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6 58

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Problema 6.8:

El eje compuesto que se muestra en la figura 6.48,  tiene un tramo de 70 mm de diámetro y un tramo de acero de 50 mm de diámetro. aluminio de el Determinar máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones: ac  100 MPa, al  70 MPa, y el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 15°. Use los valores Gac = 83 GPa y Gal = 28 GPa.

Fig. 6.48 Eje compuesto.

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.8:

6 59

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.8:

6 60

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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema 6.8:

6 61

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