Capitulo 01 Planteo de Ecuaciones
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO MATEMÁTICO
COMPENDIO ACADÉMICO 1
Un aspecto importante en las Ciencias (Matemáticas !"sicas In#enier"as etc$ es el %e intent intentar ar sintet sinteti&a i&arr 'n pro prolem lema a coti% coti%ian iano o a 'n mo%e mo%elo lo ma matem temáti ático co )acie )acien% n%o o 'so 'so %e ec'aciones ec'aciones la c'al a*'%ar"a a resol+er interpretar interpretar * pre%ecir res'lta%os relaciona%os relaciona%os con el prolema, Este capit'lo nos a*'%ará tra%'cir prolemas coti%ianos simples a 'n len#'a-e matemático 'tili&an%o para ello ec'aciones * apartir %e ellas resol+erlas, ENUNCIADO DE PROEMA
ENUAE ENUAE MATEMÁTICO MATEMÁTICO
TRADUCCIN TRADUCCIN
Una Una ec'aci ec'aci.n .n es la i#'al% i#'al%a% a% %e %os %os e/pre e/presio siones nes al#er al#eraic aicas as en las 0'e 0'e inter inter+ie +ienen nen canti%a%es constantes * canti%a%es +ariales llama%as inco#nitas, E-ms, 2/7 3 / 7 :* < 3 8 5 6 6 :9 7 48 59 / 7 : / < 3 8 2 / < ; / 2 / < 4* 7 15 8 5 6/ 7 1
=
EL ARTE DE PLANTEAR UNA ECUACIÓN Un prolema m'* remoto 0'e sol"an plantear n'estros antecesores %ec"a
SOLUCIÓN : Oser+emos el si#'iente es0'ema ni@a
PROBLEMA
>Una +i'%a estaa oli#a%a a repartirse con el )i-o 0'e %e"a nacer 'na )erencia %e :255 mone%as 0'e le %e-. s' mari%o, ?i nac"a 'na ni@a %e ac'er c'er% %o con las las le* le*es roman omana as %eer"a reciir el %ole %e la )i-a, ?i nac"a 'n ni@o, a ma%re la mita% %e la part parte e %el )i-o )i-o,, Pero ero,,, ,,, Bnac Bnacie ierron melli&os 'n ni@o * 'na ni@a, C.mo reparti. %ic)a )erencia la +i'%aF
EC.mo po%re %i+i%ir la )erencia para c'mplir con las con%iciones imp'estasF
mamá <
ni@o <
Recie el %ole %e la ni@a
8 : 255
Recie el %ole %e la mamá mamá
Entonces %i+i%ien%o :255 entre 4 partes nos res'lta a ?G, 255 ca%a parte, El reparto reparto %ee eHect'arse eHect'arse %el si#'iente si#'iente mo%o Recie Ni@a Ni @a ?G, 255 Mamá Mamá ?G, 1555 Ni@o Ni @o ?G, 6555 6555 Otra Horma %e plantear 'tili&an%o ec'acines es
el
prolema
?ea > / el monto 0'e correspon%e a la ni@a n Ii@Ja
m2 am á ni2 @J o I 2J I / < 6/ < 3/ 8 :255
4/ 8 :255 K /8255 Por lo tanto ca%a 'no recie
LLL,antorai,com,pe
9
Ál#era
Compen%io Aca%mico I
Recie Ni@a /8 ?G, 255 Mamá 6/86(255$8?G, 1555 Ni@o 3/83(255$8?G, 6555
ENUNCIADO (Forma verbal)
EXPRESIÓN MATEMTICA (Forma !"mb#l"$a)
a s'ma %e %os nQmeros consec'ti+os más :
(/$ < (/ < 1$ < :
♦
♦
El pro%'cto %e 2 nQmeros consec'ti+os
es m
(/$(/ < 1$(/ < 6$(/ < :$(/ < 3$ 8 m O%ra &orma 'e la%ear: (a 6$(a 1$(a$(a < 1$(a < 6$ 8 m
♦
Tres menos %e %os +eces 'n nQmero x
6/ :
♦
Tres menos %os +eces 'n nQmero x
: 6/
♦ ♦ ♦ ♦ ♦
♦
A e/ce%e a en 3 A es ma*or 0'e en 3 El e/ceso %e A sore es 3 es e/ce%i%o por A en 3 a %iHerencia entre A * es 3
A
A 8 < 3
So /* lo 0'e ten#o 65 ?ea >* lo 0'e ten#o 65$ ?ean >/ e >* los nQmeros *6 ?ean >/ e >* los nQmeros *$6
3* < 3(* < /6 < (/ <
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
COMPENDIO ACADÉMICO 1
♦ ♦ ♦ ♦
♦
A es a como : es a 2 a relaci.n entre A * es :G2 A * están en la ra&.n %e : a 2 A es a : como es a 2 Por ca%a : Wc)as ro-as ten#o 3 Wc)as a&'les,
Pro$e'"m"e%o ara la%ear *a e$*a$"# : 1,7 eer ien el en'ncia%o %el prolema, :,7 !i-ar la inc.#nita me%iante 'na +ariale, 2,7 Resol+er la ec'aci.n,
Problema / El e/ceso %e ; +eces 'n nQmero sore Y5 e0'i+ale al e/ceso %e Y5 sore 4 +eces el nQmero Calc'lar %ic)o nQmeroF a$ Y $ ; c$ 15 %$ 4 e$ Sol*$"#: Rec'er%a 0'e E/ceso (%iHerencia entre 6 canti%a%es$
A
O
12/8165
⇒
A'rora recii. tres %.lares t'+o entonces tres +eces más %e lo 0'e )'iera teni%o si )'iera per%i%o lo recii%o, C'ánto ten"a al comien&oF a$ 3 $ Y c$ ; %$ 2 e$ 4
LLL,antorai,com,pe
NX Wc)as ro-as NX Wc)as A&'les
2V
A : 8 2
:V 2V NX Wc)as ro-as : 8 NX Wc)as a&'les 3
6,7 ?eparar los %atos, 3,7 !i-ar 'n plan %e sol'ci.n,
?ea >/ el %inero %e A'rora al inicio Recii. tres %olares / : ?i )'iera per%i%o lo recii%o / : Rec'er%e 0'e +1 ve$e! m2! 3*e * 4mero. e0'i+ale a %ecir el $*a'r*lo 'el 4mero 'e#o plantean%o la ec'aci.n / : 3 / : Operan%o Resol+ien%o
/ : 3/ 16 12 :/ /8
2
R%a0
Al retirarse 13 personas %e 'na re'ni.n se oser+a 0'e sta 0'e%. %ismin'i%a en s's 6G, C'ántos 0'e%aronF a$ 3 $ 25 c$ Y5 %$ 45 e$ ;5 Sol*$"#: ?ea >/ el nQmero %e personas al inicio
/8 ;
Problema ,
Sol*$"#:
:V
Problema 1
?ea >/ el nQmero El e/ceso %e ; +eces el nQmero sore Y5 ;/ Y5 El e/ceso %e Y5 sore 4 +eces el nQmero Y5 4/ Plantean%o %e ac'er%o al en'ncia%o ;/ Y5 Y5 4/ Resol+ien%o R%a0
A
?e retiran 13 personas
/ 13 6 / ['e%. %ismin'i%a en s's 6G 6 / Del en'ncia%o tenemos / 13 / 4 / 13 / ⇒ Resol+ien%o / 16Y 4/ 6/ 16Y ⇒ / Y: //
Ál#era
Compen%io Aca%mico I
['e%aron en la re'ni.n R%a0
Y: 13
3Z
Tome en c'enta el si#'iente #ráWco para po%er plantear el prolema Y 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3314%"a 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3; 63 )oras
Problema 5 ?i al triple %e la e%a% 0'e ten#o le 0'ito mi e%a% a'menta%a en ; a@os9 ten%r"a 1Y a@os [' e%a% ten#oF a$ 11 a@os $ 15 a@os c$ 12 a@os %$ 1: a@os e$ 16 a@os Sol*$"#: ?ea >/ mi e%a% act'al El triple %e mi e%a% :/ Mi e%a% a'menta%a en ; /['e%an %el %"a )oras menos 0'e las *a transc'rri%as si#niWca 0'e la %iHerencia entre la )ora act'al * lo 0'e Halta transc'rrir es es %ecir / (63 /$ Resol+ien%o / 63 / :: / 1Y2 )oras / 6 3:5 p,m, / / 1Y) :5 min R%a0 Problema 8
Entre %os personas tienen Y55 soles si 'no %e ellos %iera 155 soles al otro amos ten%r"an la misma canti%a%, C'ánto tiene 'no %e ellosF a$ :25 soles $ 625 soles c$ 355 soles %$ :55 soles e$ 325 soles Sol*$"#: ?ea > / lo 0'e tiene la /ra er!oa Entre los amos tienen Y55 soles po%emos s'poner 0'e la ,'a er!oa tiene Y55 /
o 0'e ten#o más lo 0'e %eo es 6655, ?i pa#ara lo 0'e %eo me 0'e%ar"an 1555 soles C'ánto %eoF a$ 355 soles $ 255 soles c$ Y55 soles %$ 455 soles e$ ;55 soles Sol*$"#: ?ea >/ lo 0'e %eo Como la s'ma %e lo 0'e ten#o * lo 0'e %eo es 6655 po%emos aWrmar 0'e
C'an%o %ice >?i 'no %iera al otro 155 soles amos ten%r"an la misma canti%a% si#niWca 0'e la %iHerencia entre amos es el %ole %e 155 / (Y55 /$ 655 Resol+ien%o 6/ ;55 / Y55 / 655 / 355 o 0'e tienen amos es /ra0 er!oa 355 soles ,'a0 er!oa Y55 355 655 soles
o 0'e ten#o será 6655 / >?i pa#ara lo 0'e %eo me 0'e%ar"a 1555 soles (6655 /$ / 1555 es %ecir Resol+ien%o 6655 6/ 1555 6655 1555 / / Y55 6 'e#o lo 0'e %eo es Y55 R%a0
355 soles
R%a0
Problema 7 A Mario le pre#'ntan la )ora * respon%e >['e%an %el %"a )oras menos 0'e las *a transc'rri%as, [' )ora esF a$ 312 p,m , $ :25 p,m , c$ :32 p,m, %$ 365 p,m , e$ 3:5 p,m, Sol*$"#:
16
Problema Jallar 'n nQmero entero positi+o saien%o 0'e el e/ceso %el c'a%ra%o %e %ic)o nQmero sore 11 es i#'al al %c'plo %el e/ceso %el nQmero sore ;, a$ 1: $ 13 c$ 12 %$ 1Y e$ 14 Re!ol*$"#: ?ea el >/ el nQmero Del en'ncia%o plantean%o tenemos / 6 11 15(/ ;$ Operan%o * resol+ien%o
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
COMPENDIO ACADÉMICO 1
/6 15/ : 1:(:$
/6 11 15/ ;5 (/ 15$ / I%entiWcan%o el +alor
/
1:
R%a0
Problema 9 Dos nQmeros consec'ti+os son tales 0'e la tercera parte %el ma*or e/ce%e en 12 a la 0'inta parte %el menor, El nQmero ma*or es a$ 115 $ 15 c$ 22 %$ 111 e$ 23 Sol*$"#: ?ea El nQmero menor / El nQmero ma*or /?i me %as ?G, 4 ten%r el %ole %e lo 0'e posees tQ, * A'rora le contesta >TQ tienes más 0'e *o p'es si me %as ?G, 2 ten%r"amos canti%a%es i#'ales, C'ánto tiene El"asF a$ ?G, 36 $ ?G, 2: c$ ?G, 3; %$ ?G, 3 e$ ?G, 31 Sol*$"#: En este prolema 'tili&aremos %os +ariales, ?ean o 0'e tiene El"as / o 0'e tiene A'rora * Tra%'cien%o el en'ncia%o / 4 6(* 4$ \, 1ro El"as %ice a A'rora (1$ / 2 * 2 6%o A'rora contesta \,, (6$ * / 15 De (6$ %espe-an%o tenemos \,, (:$ Reempla&an%o (:$ en (1$ tenemos / 4 6 (/ 15$ 4 Resol+ien%o / 4 6(/ 14$ LLL,antorai,com,pe
/ 4 6/ :3
/ :3 4
/ 31 En la ec'aci.n (:$ )allamos el +alor %e >* * :1 * 31 15 Por lo tanto Elias tiene
?G, 31
R%a0
Problema // ?e )an compra%o por Y555 soles cierto nQmero %e escritorios si se )'iera compra%o :5 más con la misma canti%a% %e %inero ca%a 'no )'iera costa%o 1;5 soles más arato, Calc'lar el nQmero %e escritoriosF a$ 15 $ 65 c$ :5 %$ 35 e$ 25 Sol*$"#: En este prolema 'tili&aremos %os +ariales, ?ean El nQmero %e escritorios n El +alor %e ca%a escritorio / Del en'ncia%o >Como el +alor %e to%os los escritorios es Y555 n/ Y555 \(I$ >?i se )'iera compra%o :5 más con la misma canti%a% %e %inero ca%a 'no )'iera costa%o 1;5 soles más arato po%emos plantear (n :5$(/ 1;5$ Y555 \ ( II $ I#'alan%o ( I $ * ( II $ n/
Resol+ien%o
(n :5$(/ 1;5$
n/
:5/ 1;5n 2355
n/
1;5n :5/ 2355
/ Yn 1;5
\ ( III $
M'ltiplican%o por >n a (III$ /n Yn6 1;5n Reempla&an%o %e (I$ Y555 Yn6 1;5n 1555 n6 (n :5$ n
:5n n6 :5n 1555 65(25$ I%entiWcan%o el +alor n 65 R%a0 Problema /, En 'na Westa inHantil a Iet)e le oHrecieron Y5 #alletas l'e#o %e 1 )ora le pre#'ntaron por las #alletas 0'e se comi. a lo 0'e ella respon%i. >Com" 6 +eces más %e lo 0'e no com" menos 35 #alletas, C'ántas #alletas comi. Iet)eF a$ :2 $ 65 c$ :5 %$ 32 e$ :4 /1
Ál#era
Compen%io Aca%mico I
Sol*$"#: ?ea >/ lo 0'e comi., De las Y5 #alletas lo 0'e no comi. es Y5 / El en'ncia%o %ice >Com" , ve$e! m2! %e lo 0'e no com" menos 35 #alletas recor%ar 0'e >, ve$e! m2! es e0'i+alente al %r"le entonces po%emos plantear / :(Y5 /$ 35 Resol+ien%o / 1;5 :/ 35 / :2 3/ 135 :2 R%a0 o 0'e comi. Problema /1 ?e tienen 23 mone%as las c'ales se separan en tres #r'pos %el primero se pasan al se#'n%o tantas mone%as como )a* en ste9 %el se#'n%o al tercero tantas mone%as como la mita% 0'e ten"a ste otenin%ose i#'al canti%a% %e mone%as en ca%a #r'po, El primer #r'po ten"a a$ 62 mone%as $ :5 mone%as c$ 6Y mone%as %$ 16 mone%as e$ 63 mone%as Sol*$"#: Anali&an%o ?i al Wnal se tiene 0'e %e las 23 mone%as estas se reparten en i#'al canti%a% entonces el nQmero %e mone%as %e ca%a #r'po es 23 : 1; mone%as, ?i en el tercer #r'po )a"an >/ mone%as * le lle#an la mita% %e lo 0'e ten"a se c'mple 0'e / :/ / 1; 1; / 16 6 6 ]amos a representar #ráWcamente la repartici.n 1X /
/ 7 * 8 1;
6X
n, C'ál %e estos nQmeros representa al ma*orF n n 1 1 a$ $ c$ : : : 1 n %$
: 1 n
e$ !,D,
10 a %iHerencia entre el c'a%ra%o ma*or * el c'a%ra%o %el menor %e nQmeros consec'ti+os es i#'al a 2, nQmeros son a$ 2 * Y $ 3 * 2 c$ : %$ : * 3 e$ 1 * 6
%el %os os 6 *
50 Jallar el menor %e tres nQmeros impares consec'ti+os tales 0'e la s'ma %e los %os Qltimos sea 6 más 0'e el primero, a$ 62 $ 64 c$ 6: %$ 1 e$ 61 60 Jallar tres nQmeros nat'rales consec'ti+os tales 0'e %os +eces el menor sea 2: menos 0'e tres +eces el ma*or, a$ :4 :; : $ 64 6; 6
1;
/-0 A 'n cierto nQmero par se le s'ma los %os nQmeros pares 0'e le prece%en * los %os nQmeros impares 0'e le si#'en otenin%ose en total 15; 'ni%a%es, El pro%'cto %e los %"#itos %el nQmero par es a$ 6 $ 15 c$ 3 %$ Y e$ ; //0 a s'ma %e Y nQmeros pares consec'ti+os es 125 encontrar el nQmero ma*or, a$ :5 $ 35 c$ 25 %$ Y5 e$ 45 /,0 A cierto nQmero par se le s'ma los %os nQmeros pares 0'e le prece%en * los %os nQmeros impares 0'e le si#'en otenin%ose en total Y; 'ni%a%es, El pro%'cto %e los %"#itos %el nQmero par %e reHerencia es a$ 36 $ :; c$ :Y %$ :6 e$ :3 /10 Jallar el ma*or %e : nQmeros consec'ti+os tales 0'e el c'a%ra%o %el nQmero me%io sea ma*or en 'na 'ni%a% 0'e el pro%'cto %e los %os restantes, a$ InWnito $ :2 c$ :Y %$ ;2 e$ Y5 /50 Jallar el menor %e 6 nQmeros enteros consec'ti+os tales 0'e la 0'inta parte %el ma*or e/ce%a a la sptima parte %el menor en :, a$ 32 $ 34 c$
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3 %$ 21
COMPENDIO ACADÉMICO 1
e$ 2:
/60 a %iHerencia %e %os nQmeros más Y5 'ni%a%es es i#'al al c'á%r'ple %el menor menos 25 'ni%a%es, Jallar los %os nQmeros sien%o la s'ma %e ellos 45, a$ 65 * 25 $ 35 * :5 c$ 15 * Y5 %$ Y2 * 2 e$ :2 * :2 /70 ?i al c'a%ra%o %e la canti%a% 0'e ten#o le %ismin'*o el %ole %e la misma 0'e 0'e%ar"a ?G, 165, C'ánto ten#oF a$ ?G, ; $ ?G, c$ ?G, 15 %$ ?G, 11 e$ 16 /80 El e/ceso %e Y +eces 'n nQmero sore 25 e0'i+ale al e/ceso %e 25 sore 3 +eces el nQmero, El nQmero es a$ ; $ 16 c$ 15 %$ 12 e$ 1; /0 a s'ma %e %os nQmeros es :YY al %i+i%ir el primero entre el se#'n%o el cociente es Y * el resi%'o 654, a %iHerencia %e estos nQmeros es a$ 635 $ 6;6 c$ 6;3Y %$ 6:6 e$ 6Y4 /90 Entre %os personas tienen ?G, 1Y55 si 'na %e ellas %iera ?G, 32 a la otra amas ten%r"an la misma canti%a%, a canti%a% ma*or entre ellas es a$ ?G, Y5 $ ?G, ;32 c$ ?G, ;:2 %$ ?G, ;12 e$ ?G, 4;5 ,-0 a s'ma el pro%'cto * la %iHerencia %e %os nQmeros son entre s" como 2 16 * 1, Jallar el menor, a$ 3 $ 6 c$ ; %$ 1Y e$ 16 ,/0 Al comprar 11 lapiceros * liros #ast ?G, 21, ?i )'iera compra%o lapiceros * 11 liros )ar"a #asta%o ?G, 3, C'ál es el costo %e : lapiceros * %e 6 lirosF, a$ ?G, 1: $ ?G, 15 c$ ?G, 12 %$ ?G, 14 e$ ?G, 1 ,,0 Ten"a ?G, 3;5 * #ast los :G2 %e lo 0'e no #ast, C'ánto no #astF a$ ?G, 6;5 $ ?G, :15 c$ ?G, :55 %$ ?G, :Y5 e$ ?G, :25 ,10 ?e llaman nQmeros >pl'tonianos a a0'ellos 0'e consec'ti+amente se +an %iHerencian%o en >/ 'ni%a%es, aime toma 2 >pl'tonianos consec'ti+os el menor %e los c'ales +ale >a < * al s'marlos se otiene ; +eces el +alor %el 0'e le si#'e al primero, C'ánto +ale >/F LLL,antorai,com,pe
a$ 6(an soles entre los %os, ?i el primero %iera >m soles al se#'n%o ste ten%r"a el triple %e lo 0'e le 0'e%ar"a al primero, C'ánto tiene el se#'n%oF n n m n m a$ $ c$ 3 m 3 3 3n m :n m %$ e$ 3 3 190 A+eri#'an%o el nQmero %e miemros %e 'na Hamilia 'n )i-o +ar.n respon%i. >Ten#o el %ole %e )ermanos 0'e )ermanas, Pero 'na )i-a contest. >Mis )ermanos son el
65
triple %e mis )ermanas, El total %e miemros %e %ic)a Hamilia es a$ 1: $ 12 c$ 13 %$ 1Y e$ 16 5-0 Para 'na instalaci.n %e '& Carlos pi%i. 13 n'e+os soles por ca%a instalaci.n %e Hoco incl'*en%o el material * la mano %e ora * pens. #anar Y46 n'e+os soles pero )i&o 'na rea-a %e 6 n'e+os soles por Hoco * #an. solamente 33; n'e+os soles, C'ántos Hocos instal. CarlosF a$ 1Y5 $ 116 c$ 135 %$ 145 e$ 162 5/0 ?e tiene 'n mont.n %e ; mone%as %e 15 centa+os * otro %e :; mone%as %e 2 centa+os, Estas %os clases %e mone%as pesan respecti+amente 15 * 62 #, C'ántas mone%as %een pasar %e 'n mont.n a otro para 0'e los montones pesen i#'al sin +ariar el nQmero %e mone%as %e ca%a 'no %e ellosF a$ 15 $ ; c$ Y %$ 3 e$ 6 5,0 Cierto nQmero %e personas al0'ilan 'n 's en :65 en el momento %e la sali%a Haltan 6 personas * por eso los %emás tienen 0'e pa#ar ca%a 'na ; más, Para c'ántas personas se )a"a contrata%o el 's inicialmenteF a$ ; $ c$ 15 %$ 16 e$ 11 510 Pe%ro %ice >So ten#o tantos )ermanos como el %ole %el nQmero %e mis )ermanas más 69 pero EriVa )ermana %e Pe%ro %ice >El triple %el nQmero %e mis )ermanas9 más 6 es i#'al al nQmero %e mis )ermanos, C'ántos )ermanos son en totalF a$ 13 $ 12 c$ 16 %$ 1: e$ 1Y 550 ?i compro 4 c'a%ernos * : lapiceros #asto 33 soles * mientras 0'e si compro 4 lapiceros * : c'a%ernos #asto :Y soles, C'ánto se #asta compran%o 6 lapiceros * 'n c'a%ernoF a$ 11 $ 15 c$ 16 %$ 1: e$ 13 560 C'an%o Anita le pre#'nta la )ora a Carlitos ste respon%e >!altan transc'rrir %el %"a >n )oras más %e las transc'rri%as, [' )ora esF n n Y n a$ 16 $ 16 c$ 6 6 6 Y n 16 n %$ e$ 6 6
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
COMPENDIO ACADÉMICO 1
570 os a)orros %e 'n ni@o constan %e ( P + 1) ( :P − 2) * ( P + :) mone%as %e 2 15 * 65 soles respecti+amente, A c'ánto ascien%en s's a)orros si al camiarlo en mone%as %e 62 soles el nQmero %e mone%as oteni%as es el %ole %el nQmero %e mone%as %e 2 centa+osF a$ 55 $ 322 c$ :32 %$ 355 e$ :Y5 580 En la act'ali%a% la e%a% %e Pe%ro es el %ole %e la e%a% %e Romel más 6 a@os, Jace : a@os la relaci.n %e s's e%a%es era como : es a 1, Dentro %e 2 a@os la s'ma %e s's e%a%es %e Romel * Pe%ro será a$ :Y a@os $ :5 a@os c$ 6Y a@os %$ 65 a@os e$ 1; a@os 50 ?e reparten ?G, :555 entre c'atro personas %e tal manera 0'e a la primera le correspon%a ?G, 355 más 0'e a la se#'n%a9 a sta :G2 %e lo 0'e le correspon%e a la tercera * a sta ?G, Y55 más 0'e a la c'arta persona, C'ánto recii. la se#'n%a personaF a$ 255 $ 35 c$ 242 %$ Y55 e$ ;55 590 Un %eportista ap'esta a tirar al lanco con la con%ici.n %e 0'e por ca%a tiro 0'e acierte reciirá >a soles * pa#ará > soles por ca%a 'no %e los 0'e Halle, Desp's %e >n tiros recii. >c soles, C'ántos tiros %io en el lancoF an c n c a$ $ c$ a a c n c a an c n c %$ e$ a a 6-0 a inscripci.n como socio %e 'n cl' %e nataci.n c'esta 125 soles para las 16 semanas %e la tempora%a %e +erano, ?i 'n socio in#resa %esp's %e comen&a%a la tempora%a s's %erec)os se W-an proporcionalmente, C'ántas semanas %esp's %e inicia%a la tempora%a in#resaron 6 socios al mismo tiempo si pa#aron -'ntos 142 solesF a$ Y $ 2 c$ 3 %$ 4 e$ ; 6/0 a e%a% en a@os %e 'na tort'#a es ma*or en 65 0'e el c'a%ra%o %e 'n nQmero N9 * menor en 2 0'e el c'a%ra%o %el nQmero si#'iente a N, C'ántos a@os tiene la tort'#aF a$ 64Y $ 632 c$ 165 LLL,antorai,com,pe
%$ 1;
e$ 1Y3
6,0 En 'n e/amen %e a%misi.n %on%e no )a* p'nta-e en contra la pre#'nta ien contesta%a en la parte n'mrica +ale Y p'ntos * en la parte +eral 3, Un al'mno %e la aca%emia respon%e correctamente i#'al nQmero %e pre#'ntas %e ca%a parte * otiene 135 p'ntos, Para otener en la parte +eral el mismo p'nta-e 0'e ot'+o en ciencias el nQmero %e pre#'ntas a%icionales %e letras 0'e %ei. respon%er ien es a$ 4 $ 1: c$ 15 %$ 3 e$ : 610 Un orero #ana %iariamente las %os terceras partes %e s' -ornal para mantenimiento * la 0'inta parte en otras atenciones, En 'n mes )a economi&a%o ?G, 25 )aien%o %e-a%o %e traa-ar 6 %"as, C'ál es el -ornal %el oreroF a$ 65 $ 1; c$ 1Y %$ 12 e$ 62 650 Dos +inos %e %iHerentes precios se me&clan por 'n la%o en relaci.n %e : a 2 * por otro la%o en relaci.n %e 1 a 6 respecti+amente, El +ol'men %e las me&clas res'ltantes es como 3 a : * s's precios como :2 a 64, Jallar la relaci.n %e precios por litro %e los +inos p'ros, a$ YG14 $ 2G1; c$ 2G14 %$ 2G11 e$ YG11 660 Pe%ro piensa >?i compro ghg ci#arrillos me sorar"an g?g soles pero si compro g?g ci#arrillos necesito gg soles más, [' canti%a% %e %inero tiene Pe%roF a$ ?h $ (/?6$G(?/$ c$ (??$G/ %$ (/ < ? 6$G(?/$ e$ ?De 0' te 0'e-as si *o tomara 'n saco mi car#a ser"a el %ole %e la t'*a, En camio si te %o* 'n saco t' car#a se i#'alará a la m"a, C'ántos sacos lle+aa la m'laF a$ 63 $ 1; c$ 1Y %$ 13 e$ 4 7-0 C'atro )ermanos tienen 32 soles, ?i el %inero %el primero es a'menta%o en 6 soles el %el se#'n%o re%'ci%o en 6 soles se %'plica el %el tercero * el %el c'arto se re%'ce a la mita% to%os los )ermanos ten%rán la misma canti%a% %e soles, C'ánto %inero ten"a ca%a 'no al principioF a$ 3 15 2 * 6Y soles $ 4 16 Y * 65 soles c$ Y 13 4 * 1; soles %$ ; 16 2 * 65 soles e$ 4 15 3 * 63 soles
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