Capitolul 3 Microeconomie-Stelian Stancu

Capitolul 3 Alegeri optimale la nivelul consumatorului, pe piaţa produselor şi serviciilor Prof. dr. Stelian STANCU

3.1. Cererea necompensată şi cererea compensată Există două situaţii: - Prima situaţie - primala. Fie pentru aceasta - un consumator ce  doreşte să cumpere două tipuri de bunuri;  dispune de un venit V x2

V p2 x2*

u max

u2 u1 0 x1

V p1

x1

Figura 3.1. Alegerea optimă atunci când venitul consumatorului şi vectorul preţurilor bunurilor sunt cunoscute

100

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

Problema de optim: [max]U ( x1 , x 2 )  x1 , x2  p1 x1  p 2 x 2  V

(3.1)

Rezolvare: Pasul 1: Se construieşte lagrangeanul problemei:

L( x1 , x 2 ,  )  U  x1 , x 2     p1 x1  p 2 x 2  V  . Pasul 2: CNO:  L  x  0 U m1  x   p1  0  1   L  0  U m2  x   p 2  0  p x  p x V  x 2 2 2  1 1  L  0   de unde se deduce că: U m1 x  p1  U m2 ( x) p 2 sau mai mult: U m1  x  U m2 ( x)  (legea a II-a a lui Gossen). p1 p2

(3.2)

(3.3)

(3. 3 )

Se obţin: x1*  x1*  p1 , p 2 ,V  x2*  x2*  p1 , p2 ,V 

(3.4)

cerere necompensată sau cerere walrasiană (sau de tip Marshall). Pasul 3: CSO - diferenţiala totală de ordinul 2 a lagrangeanului în punctul x1* , x2* să fie negativă. Observaţie: Funcţiile de cerere marshalliană sunt omogene de grad zero în vectorul dat de preţuri şi de venit.





Capitolul 3. Alegeri optimale la nivelul consumatorului



101

Interpretarea economică a multiplicatorului lui Lagrange ()

Aplicând diferenţiala totală în problema (3.1), se obţine:

dU ( x)  U m1 ( x)dx1  U m2 ( x)dx 2   p1dx1  p 2 dx 2  dV

(3.5)

sau:

dU ( x)   ( p1dx1  p 2 dx 2 )  dV  p1 dx1  p 2 dx 2 dU , adică utilitatea marginală a venitului (cu cât creşte utilitatea la o dV creştere cu o unitate a venitului).

şi deci  

- A doua situaţie – duala: [min]{ p1 x1  p 2 x 2 }  x1 , x2  pe restrictia U ( x , x )  u 1 2  care implică parcurgerea următorilor paşi: Pasul 1. Se construieşte lagrangeanul problemei:

L( x1 , x 2 , )  p1 x1  p 2 x 2  U  x1 , x 2   u  Pasul 2. CNO:  L  x  0  1  L 0   x 2  L  0  

=>

 p1  U m1  0   2  p 2  U m  0  U ( x)  u

U m1  x  p1 U m1  x  U m2 ( x) de unde: 2  sau  . p1 p2 U m ( x) p2

(3.6)

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

102

Se obţin:

 x1**  x1**  p1 , p2 , u   ** **  x2  x 2  p1 , p2 , u 

(3.7)

cunoscută şi sub denumirea de cerere compensată sau de tip Hicks. Pasul 3. CSO - diferenţiala totală de ordinul 2 a lagrangeanului în punctul fie pozitivă.

x

** 1

, x2**



să

x2

V2 p2 Vmin p2 V1 p2

u1 u x1 0

V1 p1

Vmin p1

V2 p1

Figura 3.2. Alegerea optimă atunci când utilitatea consumatorului şi vectorul preţurilor bunurilor sunt cunoscute

3.2. Alegeri optimale în funcţie de tipul preferinţelor (al bunurilor) 

Pentru bunuri substituibile [max]U ( x1 , x 2 )  x1  x 2  x1 , x2  pe restrictia de buget p x  p x V 2 2  1 1

(3.8)

Capitolul 3. Alegeri optimale la nivelul consumatorului

103

Rezolvarea numerică: - se construieşte lagrangeanul problemei:

L( x1 , x 2 ,  )  x1  x 2   p1 x1  p 2 x 2  V   L  x  0  1  L 0 - CNO:   x 2   L  0   de unde:  x1* ( p1 , p 2 , V )  x1 , x1  0 ales arbitrar  p1 V  *  x 2 ( p1 , p 2 , V )   p x1  p  2 2  p1  atunci când: .  p2 x2

curbele de indiferenţă când V B p2

 p1   p2

curba de indiferenţă U(x)= u (panta 

u2

dreapta bugetului (panta = 

p1 ) p2

u1 A 0 V p1

x1

Figura 3.3. Alegerea optimă în cazul bunurilor substituibile şi

 p1  p1   , respectiv  p2  p2

 ) 

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

104

-

dacă

 p1  :  p2  *  V   x1 ( p1 , p 2 , V )  x1  0,    p1    x * ( p , p , V )   p1 x *  V  0, V . 1    2 1 2 p2 p2  p2  

-

dacă

(3.9)

 p1  :  p2 V  *  x1  p1 ,p 2 ,V   p1  *  x 2  p1 ,p 2 ,V   0

-

dacă

 p1  , conduce la alegerea optimă:  p2  x1*  p1 , p 2 , V   0   x *  p , p , V   V (vezi figura 3.4, punctul D)  2 1 2 p2  x2 V D p2

curbele de indiferenţă când

 p1   p2

u2 dreapta bugetului (panta =-

p1 ) p2

u1 C 0

V p1

Figura 3.4. Alegerea optimă în cazul bunurilor substituibile şi

x1  p1   p2

Capitolul 3. Alegeri optimale la nivelul consumatorului

105

 Pentru bunuri complementare [max]U ( x1 , x 2 )  min{x1 ,x 2 }  x1 , x2  p1 x1  p 2 x 2  V x2

(3.10)

V p2

u1

A

C

u2 u3

B V p1

0

x1

Figura 3.5. Alegerea optimă în cazul bunurilor complementare

Soluţia optimă:

  *  x1 ( p1 , p 2 , V )   p   p V 1 2    x 2* ( p1 , p 2 , V )  V   p1   p 2

(3.10’)

 Pentru preferinţe de tip Cobb-Douglas:

[max]U ( x1 , x 2 )  x1 x 2 x ,x  1 2  p1 x1  p 2 x 2  V

(3.11)

Se obţine:

  *  x1 ( p1 , p 2 ,V )         x 2* ( p1 , p 2 , V )     

V p1 V p2

(3.11’)

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

106

 Pentru preferinţe neconvexe: x2

V p2

A

C B

u2 u1 V p1

0

x1

Figura 3.6. Alegerea optimă în cazul preferinţelor neconvexe

 Pentru preferinţele concave. - pentru cazul 1. x2

V p2 B

A 

u1 0

u2

u3

D 

u4 V C p1

x1

Figura 3.7. Alegerea optimă în cazul preferinţelor concave, pentru cazul 1

Capitolul 3. Alegeri optimale la nivelul consumatorului

107

V  *  x1 ( p1 , p 2 , V )  alegerea optimă este:  p1  x 2* ( p1 , p 2 ,V )  0

- pentru cazul 2 x2 B V p2

A

u4

u1

u2

u3 v / p1 0 x1 Figura 3.7’. Alegerea optimă în cazul preferinţelor concave, pentru cazul 2  x1* ( p1 , p 2 , V )  0  alegerea optimă este:   x 2* ( p1 , p 2 , V )  V  p2

C

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

108

- pentru cazul 3: x2 V B p2

A 

u4

u1

u2 C

u3

V x1 p1 Figura 3.7 ’’. Alegerea optimă în cazul preferinţelor concave, pentru cazul 3

0

V  *  x1* ( p1 , p 2 , V )  0 x ( p , p , V )    V alegerea optimă este:  1 1 2 p1 sau  * x 2 ( p1 , p 2 , V )  *  x 2 ( p1 , p 2 , V )  0  p2

 Pentru cazul pachetelor de bunuri care includ un bun neutru, respectiv un produs rău, alegerea optimă este dată de: x1* ( p1 , p 2 , V )  x 2* ( p1 , p 2 , V )  0 (3.13) unde bunul 1 a fost presupus neutru, respectiv rău.

3.3. Indicatori ai cererii. Tipuri de bunuri în funcţie de aceşti indicatori Se porneşte de la funcţiile de cerere marshalliană: x1*  x1* ( p1 , p2 , V ) şi x2*  x2* ( p1 , p2 , V )  Modificarea cererii din bunul i la o schimbare a preţului aceluiaşi  dx  bun  i  , ceilalţi factori rămânând constanţi.  dpi 

Capitolul 3. Alegeri optimale la nivelul consumatorului

109

Presupunem că - preţul bunului i scade; - preţul celuilalt bun şi venitul rămân constante. dx i În funcţie de semnul expresiei avem că: dp i -

bunul i este normal, dacă:

dxi '  0 , cu dpi  pi  pi  0 , pentru cazul discret dpi x2 alegerea optimă înainte şi după modificarea preţului bunului 1 V p2

B noua dreaptă a bugetului u2

A

u1

0

dx1>0

V p1

Figura 3.8. Cazul bunului normal,

-

V p1

dx1 0 dp1

bunul i este bun Giffen, dacă: dxi  0 , cu dp i  pi'  p i  0 pentru cazul discret dpi

x1

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

110

x2 V p2

alegerea optimă înainte şi după modificarea preţului bunului 1 B

A noua dreaptă a bugetului u2

u1 0

dx10

V p1

V p1

x1

Figura 3.10. Bunul 1 este normal şi, de asemenea, bunul 2

Microeconomie. Comportamentul agenţilor economici. Teorie şi aplicaţii

112

dxi 0 dV Curba lui Engel: modificarea cererii dintr-un bun în funcţie de venit, în condiţiile în care preţurile bunurilor rămân nemodificate. x2

bunul i este inferior dacă:

-

V' p2

B

V p2

u4 u3 A

u2 u1 0

dx1