Capitol o 01

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

Capitolo 1 I sistemi di riferimento. 1.1 - La sfera delle direzioni.

La determinazione vettoriale della posizione di un astro sulla volta celeste, rispetto ad un punto prefissato di riferimento, nel quale l’osservatore si trova o si immagina di trovarsi, è dato dal vettore (V-O); questa sem plicissima forma richiede però la conoscenza di due quantità: il modulo il modulo del vettore e il verso del segmento che congiunge O con V. Osservando l’astro V   con un solo strumento astronomico, in generale, non è possibile determinare tutti gli elementi che definiscono il vettore;  per questi motivi è molto utile e spesso usata la rappresentazione del vettore (V-O) mediante (V-O) mediante il prodotto del modulo per il versore: mostrando così la parte che dipende dalla sola direzione orientata nella quale V  è  è visto da O e che può essere determinata per mezzo di strumenti indipendentemente dalla distanza OV; in OV; in moltissimi casi la distanza di V da V  da O può essere non indispensabile quando si introduce la sfera la sfera delle direzioni. direzioni.

Figura 1.1 – Sfera delle direzioni 1

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

Consideriamo, allora, gli infiniti versori uscenti dal punto O: essi individuano una superficie appartenente ad una sfera di raggio unitario, avente il centro nel punto O; questa O; questa superficie è detta sfera detta sfera delle direzioni; direzioni; infatti, ogni direzione orientata uscente da O corrisponderà univocamente ad un astro della sfera celeste proiettato su di essa. Con l’uso della sfera delle direzioni tutti i problemi goniometrici dello spazio presentano una rapida ed agevole soluzione; infatti, qualunque  piano diametrale taglia la superficie sferica lungo un cerchio massimo ed è da questo univocamente determinato. L’angolo fra due direzioni orientate è misurato dall’arco di cerchio massimo compreso fra i due punti che determinano sulla sfera le due direzioni suddette; l’angolo diedro formato da due piani diametrali è uguale all’angolo fra i due corrispondenti archi di cerchio massimo (v. figura 1.1): α  =  AA1 ,  β  =  BB1 ,  λ =  A1 B1

Le relazioni fra rette e piani che passano per uno stesso punto vengono così tradotte in relazioni fra punti e cerchi massimi sulla superficie sferica. Le trasformazioni di coordinate, fra un riferimento ed un altro, trovano una via più comoda applicando la proprietà delle matrici di rotazione.

1.2 La matrice di rotazione.

Sia (V-O) un (V-O) un versore appartenente al piano con Oxy il Oxy il sistema di riferimento levogiro e con Ox l’asse Ox l’asse polare. Le coordinate di V  rispetto   rispetto al sistema sono: z

z'

O y

a

V 

y' x'

x

Figura 1.2 – Rotazione del sistema di riferimento nel piano

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(V

 ⎡ x ⎤  ⎡cosα ⎤ − O) = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥   y sin α  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.1)

Ruotando il sistema di riferimento attorno all’asse  z   nel senso orario dell’angolo θ  si ottiene:  x ' = cos(α

+ θ ) = cosα cosθ − sinαsinθ      y' = sin(α + θ ) = sinα cosθ + cosαsinθ  

(1.2)

che possono essere scritte in forma matriciale: V  − O

⎡ x'⎤ ⎡ x cosθ  - y sin θ ⎤ =⎢ ⎥=⎢ ⎥=  y '  x sin θ   y cos θ  + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

cosθ 

- sin θ   x

sin θ 

cosθ 

⋅

(1.3)

 y

Considerando il versore (V-O)  (V-O)  riferito al sistema tridimensionale, l’espressione precedente assume la forma più generale:

V  − O

 x'

cos θ 

− sin θ 

0  x

=  y ' =

sin θ 

cos θ 

0  y

 z '

0

0

1  z 

= M V 

(1.4)

con M  con M  matrice  matrice di rotazione e V  versore  versore (V-O). Inoltre si fa osservare che una rotazione di segno contrario (-θ  (-θ  ) permette  ) permette di ritrovare il versore di partenza:

V  − O

 x

cos( −θ )

0 x'

sin( −θ )

− sin(−θ ) cos(−θ )

=  y =  z 

0

0

1 z'

0 y'

cos θ 

= − sin θ  0

sin θ 

0 x'

cos θ  0 y' 0

=  B V

1 z'

T 

con B=M  con B=M   matrice trasposta di M. di M. Si ricava facilmente che il prodotto T   MM   =I con I  con I  matrice  matrice unitaria. Passiamo, ora alla generalizzazione e definizione della matrice di rotazione rispetto ad un asse generico di rotazione, dato che il caso considerato può essere visto come caso particolare dell’asse di rotazione coincidente con uno degli assi di riferimento. Sia U, Sia U, il  il versore dell’asse di roT  tazione di componenti (u1 ,u2 , u3 )  rispetto ad un generico sistema di riferimento. Per una rotazione dell’angolo θ  ,   , dalla figura 1.3 si ricava la seguente espressione vettoriale: 3

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

Figura1.3 – Rotazione del sistema di riferimento nello spazio V'= O

+ NX '

 

con ON   invariante, dato che qualunque sia la rotazione attorno ad U , rappresenta la proiezione di V  e  e di V ’ lungo l’asse di versore U . Operando per mezzo di operazioni vettoriali si ha: ON  = (U • V )U   NX  = V  − (U • V )U 

(1.5)

 NX  = V  − (U • V )U  =  NX '

= V ' sin φ  = U × V 

essendo  NX  =  NX ' = NV  e NX⊥NV . Calcolando  NX  come   come somma di vettori lungo le direzioni NX  direzioni NX  e NP   e NP  si  si ha:  NX ' = (V

− (U • V )U ) cosθ + (U × V ) sinθ 

4

(1.6)

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con θ   angolo di rotazione. La sostituzione di ON  e  NX   permette di esprimere la relazione precedente nel seguente modo: V ' = (U • V )U

+ (V − (U • V )U ) cosθ + (U × V )sinθ 

e tenendo presente le seguenti notazioni matriciali: u12

u1u2

u1u3 x

u1u2

u22

u2 u3 y

u1u3

u2 u3

u1 x (U • V )U

= (UU T )V =

u1

u2

u 3 u2 y

=

u3 z

i

 j

k 

U × V  = u1

u2

u3

 x

 y

 z 

u 2 z − u 3 y

=

0

− u3

u32

z

u2 x

u 3 x − u1 z  = u 3

0

− u1

y

u1 y − u 2 x

u1

0

z

− u2

=  PV 

= QV 

con  P e Q matrice simmetrica ed asimmetrica; dopo queste proprietà l’espressione di V’  diventa:  diventa: V ' = [ P + ( I  − P ) cos θ  + Q sin θ ]V  = MV 

(1.7)

con M  con M  matrice  matrice di rotazione, i cui elementi sono dati dalla seguente espressione:

+ (1 − u12 ) cosθ  u1u2 (1 − cosθ ) − u3 sin θ  u1u3 (1 − cosθ ) + u2 sin θ   M  = u1u2 (1 − cosθ ) + u3 sin θ  u22 + (1 − u22 ) cosθ  u2u3 (1 − cosθ ) − u1 sin θ  u1u3 (1 − cosθ ) − u2 sin θ  u2u3 (1 − cosθ ) + u1 sin θ  u32 + (1 − u32 ) cosθ  u12

(1.8) Un'importante proprietà della matrice M  matrice  M   si ottiene associando a V  e V’  alternativamente i versori degli assi di riferimento: i ' = Mi ,  j ' =  Mj , k' =  Mk 

inoltre, per la proprietà precedentemente trovata, il versore V  sarà   sarà dato T  T  dal prodotto matriciale M  matriciale M  V’  con M   con M   matrice trasposta di M: di M: 5

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

V  = M T V ' e

 MM T  =  I 

In molte applicazioni occorre, per passare da un sistema di riferimento ad un altro, effettuare delle rotazioni; fra i tanti metodi geometrici e trigonometrici l’uso delle matrici di rotazione, in molti casi, si fa preferire  per la sua semplicità di applicazione. Una generica rotazione rispetto ad un asse di rotazione comunque orientato può sempre essere il risultato di due o più rotazioni rispetto agli assi di riferimento. Si ricava facilmente che la matrice di rotazione M  rotazione  M  as assume una forma molto semplice quando la rotazione avviene attorno un asse del sistema di riferimento; così se la rotazione avviene intorno all’asse Ox il Ox il versore U  ha  ha le seguenti componenti: u1 U  = u2 u3

1

=

0   e la matrice  M   per una rotazione oraria di

α=θ  assume

la

0

forma: 1

0

0

 M  x (α ) = 0

cos α 

− sin α   

0

sin α 

cos α 

(1.9)

In seguito il pedice della matrice rappresenta l’asse di rotazione. 0

0

Con lo stesso metodo, essendo i versori U  y = 1 e U z = 0  e per rotazio0

1

ni β e γ, si ottengono le matrici di rotazione per gli assi Oy assi Oy ed Oz:

 M  y ( β ) =

cos β 

0

sin β 

0

1

0

− sin β 

0

cos β 

cos γ  e  M  z (γ ) = sin γ  0

− sin γ 

0

cos γ 

0 

0

1

(1.10)

Da quanto trovato sulle matrici di rotazione può essere enunciata la seguente regola:

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 La trasformazione tr asformazione di coordinate, da un u n sistema sis tema di riferimento ad un alal tro, generata da una generica rotazione e con l’asse di rotazione non coincidente con uno degli assi del sistema di riferimento, potrà essere realizzata mediante la combinazione di due o più rotazioni rispetto agli assi, esistendo la proprietà:  M (θ ) = M  x (α ) M  y ( β ) M  z (γ ) .

Con l’angolo di rotazione θ   positivo nel senso orario. E’ importante ri9cordare che in molte applicazioni, dove è usata la terna levogira, il verso positivo dell’angolo di rotazione è quello antiorario; in queste ap plicazioni le matrici di rotazioni (1.9) e (1.10) assumono la seguente forma: 1  M  x (α ' ) = 0 0

cos β ' 0  M  y ( β ' ) =

0

0

cos α '

− sin α '

sin α '   cos α '

− sin β '

cos γ ' , M z (γ ' ) =

0

1

0

sin β '

0

cos β '

(1.9.1)

− sin γ ' 0

sin γ '

0

cos γ ' 0 0

1

(1.10.1)

1.3 - Relazioni trigonometriche fondamentali

Sulla sfera di raggio unitario, come introdotto nel paragrafo 1.1, è possi bile eseguire sia delle operazioni di rotazione di vettore espresso in termini di coordinate rettangolari che definire trasformazioni che operano su coordinate sferiche rispetto ad una circonferenza massima ed un polo di riferimento. In moltissimi casi, operando sulla superficie sferica, sono molto utili delle relazioni trigonometriche che utilizzano sia lati sia angoli di un generico triangolo sferico. Sia  ABC  un   un triangolo sferico (v. figura 1.4) ed OXYZ  la   la terna cartesiana con l’asse OZ   passante per il polo  B   B  e l’arco  AB   AB  appartenente al  piano OBX  con   con il punto A punto A di  di coordinata negativa (- x).  x). La terna rettangolare così definita permette di determinare le coordinate rettangolari dei tre vertici:

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 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

− sinc  A =

0

− sina cos Bˆ

0 ,  B

=

cos c

0

e

C  =  sinasin Bˆ  

1

(1.11)

cos a

Operando una rotazione intorno all’asse OY   dell’angolo c  in modo da  portare l’asse OZ  a   a passare per il punto A punto  A,, si possono ricavare le coordinate del punto C :  sinb cos Aˆ  y ' =  sinbsin Aˆ  

 x' C  =

 z '

(1.12)

cos b

Figura 1.4 – Rotazione del sistema di riferimento sulla sfera delle direzioni

ed il seguente prodotto matriciale permette di esprimere le coordinate di C  rispetto  rispetto al secondo sistema di riferimento:

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C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

− sina cos Bˆ

 x

 x'

cos c

=  sinasin Bˆ =  A (c) y ' = 0

C  =  y

 y

 z 

cos a

 z '

 ) 

− sin a cos B  ) 

C  sin a sin B cos a

=

 sinc

0

− sinc  sinb cos Aˆ

1

0

 sinbsin Aˆ

0

cos c

cos b

sin b cos c cos Aˆ − sin c cos b ˆ   sin b sin A cos b cos c + sin b sin c cos Aˆ

(1.13)

Dall’uguaglianza degli elementi dei due vettori dati dalla (1.13) si ottengono le tre relazioni fondamentale della trigonometria sferica note come relazioni di Gauss:  ) 

cos a

= cos b cos c + sin b sin c cos A

sin a

=

 ) 

sin A

sin b

formula di Eulero

,   teorema dei seni

 ) 

sin B

sin a cos B

,

 ) 

= cos b sin c − sin b cos c cos A

,   teorema delle proiezioni

Allo stesso risultato si arriva utilizzando alcune proprietà dell'analisi vettoriale. Siano l, m, n , i versori che definiscono i vertici A, vertici A, B, C  del  del triangolo sferico dal centro O (v. figura. 1.4); il prodotto vettoriale l x m è m  è un vettore di modulo sinc modulo sinc e  e perpendicolare al piano AOB piano  AOB;; allo stesso modo, il prodotto vettoriale l x n è un vettore di modulo sinb modulo  sinb e  e perpendicolare al piano AOC  piano AOC . L’angolo fra i due vettori è dato dall’intersezione dei citati piani ( Aˆ ). Considerando il prodotto scalare dei due vettori calcolati si ha: (lxm) ⋅ (lxn) = sincsinb cos Aˆ

= l ⋅ [mx(lxn)] = l ⋅ [l (m ⋅ n) − n(l ⋅ m)] = (m ⋅ n) - (l ⋅ n)(l ⋅ m) = cosa - cosbcosc da cui si ricava l’equazione fondamentale dell’Astronomia sferica ( I  formula di Eulero): Eulero): cos a

= cos b cos c + sin b sin cos Aˆ  

(1.14)

Seguendo lo stesso procedimento si ottengono per rotazione le altre due relazioni: 9

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

= cos a cos c + sinasin cos Bˆ   ˆ cos c = cos a cos b + sinasinb cos C  cos b

(1.15)

Le relazioni relative al teorema dei seni sono possibili ricavarle mediante il seguente prodotto vettoriale: (l  x m) x (l  x n) = (l ⋅ m x n)l 

Per definizione di prodotto vettoriale a primo membro, si ha:  ) 

( sinbsincsin A)l  = (l ⋅ m x n)l   ) 

 sinbsincsin A = l ⋅ m x n

e per rotazione ciclica dei lati e degli angoli:  ) 

 sincsinasin B = m ⋅ n x l   ) 

 sinasinbsinC  = n ⋅ l  x m

Per la proprietà di prodotto vettoriale e scalare i secondi membri delle tre equazioni trovate sono uguali per cui è possibile scrivere la seguente uguaglianza: ˆ  sinbsincsin Aˆ = sincsinasin Bˆ = sinasinbsinC 

   ) 

 sin A  sina

=

 sin Bˆ  sinb

 ) 

,

 sin A  sina

 ) 

=

 sinC   sinc

 ) 

 ) 

,

 sin B  sinb

(1.16)

=

 sinC   sinc

La dimostrazione della terza formula della terna di Eulero è dimostrata nel paragrafo relativo alle relazioni trigonometriche dei quattro elementi consecutivi.

1.3.1 - Relazioni di prima specie

Il confronto fra le componenti del vettore a primo membro e quelle del vettore dell’ultimo membro permette di ricavare tre relazioni che rappre-

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sentano le equazioni fondamentali della trigonometria sferica per un generico triangolo sferico:

 sina cos B

= cos bsinc − sinb cos c co cos a

(Teorema delle proiezioni) proiezioni)

 sinasinB = sinbsinA cos a

(Teorema dei seni) seni)

= cosb co cos c + sinbsinc cos A

(1.17)

( Formula  Formula di Eulero) Eulero)

Esse sono dette anche relazioni di prima specie; per rotazione dei lati e degli angoli è possibile trovare tutte le altre formule corrispondenti; seguendo la successione dei lati e degli angoli

⎛ a ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ c

 ⎞ ⎟ b⎟ ⎟  ⎠

,

⎛ Aˆ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ˆ ⎝ C 

 ⎞ ⎟ ˆ  B ⎟ . ⎟⎟  ⎠

Dalla terza si ottengono: Formule di Eulero:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Aˆ cos b = cos c cos a + sin c sin a cos Bˆ  

(1.18)

ˆ cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C   per le quali vale seguente regola:

I n un tr iangolo sfer sfer ico, il cos coseno di un lato èdato èdato ddal al pr odo odotto tto dei dei cose coseni de degli gli altr i due lati più i l prodotto pr odotto dei dei seni de degli gli stes tessi lati pe perr il cose coseno dell ’ angolo compreso compreso ed ed opposto opposto al pri pr i mo lato l ato (v. Figura. 1.5 – il lettore potrà usare lo schema riportato in figura). 11

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

Figura 1.5 – Triangolo sferico: schema di calcolo

Si dimostra che esistono anche le seguenti relazioni applicate agli angoli, dette relazioni correlative:

ˆ + sin Bˆ sinC  ˆ cos a cos Aˆ = − cos Bˆ cos C  ˆ cos Aˆ + sinC  ˆ sin Aˆ cos b cos Bˆ = − cos C  ˆ = − cos Aˆ cos Bˆ + sin Aˆ sin Bˆ cos c cos C 

 

(1.19)

Per le quali vale la seguente regola:

I n u n tr iangolo sfer sfer ico, il cos coseno di un angolo èdato èdato dal dal pr odo odotto tto deii cose de coseni de degli gli altr i due angoli cambiato di segno più pi ù il prodotto pr odotto dei dei seni de degl glii stess tessi angol i pe perr i l cose coseno del l ato compr eso ed ed opposto opposto al pri mo angolo. angolo. Dalla seconda si ottengono le formule riguardanti il teorema dei seni: Teorema dei seni:  sina  sinA

=

 sinb  sinB

=

 sinc

 

 sinC 

(1.20)

Per le quali vale la seguente regola:

I n u n tr t r iangolo sfer sfer ico, il seno di un elemento lemento diviso pe per il seno dell l ’ angol o oppo de oppossto èugu èugu ale al e al seno seno di un secondo lato l ato divi so il seno dell cor r i spondente angol o oppos de opposto  to . Infine, dalla prima si ottengono le formule concernenti il teorema delle  proiezioni: Teorema delle proiezioni: 12

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

Figura 1.6 – Triangolo sferico: schema di calcolo

= cos bsinc − sinb cos c cos Aˆ ˆ = cos csinb − sinc cos b cos Aˆ  sina cos C  ˆ = cos csina − sinc cos a cos Bˆ  sinb cos C     sinb cos Aˆ = cos asinc − sina cos c cos Bˆ ˆ  sinc cos Aˆ = coassinb − sina cos b cos C  ˆ  sinc cos Bˆ = cos bsina − sinb cos a cos C   sina cos Bˆ

(1.21)

Riferendoci alla prima equazione si può enunciare la seguente regola:

I n un u n tr iangolo sf sf er ico il seno di un lato(a) per per il cos coseno dell dell ’ angolo adiacente(   B  Bˆ ) èdato dal pr odott odottoo del cosen cosen o del secon secondo do l ato(b) ato( b) ed op-  posto posto al pr imo im o angolo per per i l seno seno del del te t er zo lato(c) dimin dim in ui to del del pr odot-  to del se seno del secondo secondo lato(a) l ato(a) pe perr i l cose coseno del te t er zo lato(c) l ato(c) e per per i l co-  seno del del l’ angolo opposto opposto al pri pr i mo lato(  A  Aˆ )  . (v. figura 1.6; nelle formule successive gli angoli non sono più soprassegnati) Le corrispondenti correlative sono:  sinA cos b = cos BsinC + sinB cos Csina  sinA cos c = cos CsinB + sinC cos B cos a  sinB cos a = cos AsinC + sinA cos C cosb  sinB cos c = cos CsinA + sinC cos cosb  sinC cos b = cos BsinA + sinB cos A cos c  sinC cos a

 

= cos AsinB + sinA cos B cosc

 per le quali si può enunciare la seguente regola:

13

(1.22)

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

I n un tr iangolo sf sf er ico il prodotto de dell se seno di un angolo(A) angolo(A ) per per il coseno di un lato adiacente (b) èdato dal prodotto del coseno dell l ’ angol o(B) de o(B ) per per i l seno seno del terzo angolo (C (C)) più pi ù i l seno seno del se secondo angolo(B ) per per i l cose coseno del terzo (C) per per i l seno del lato l ato (a) opposto opposto al pri mo angolo(A). (v. figura 1.7)

Figura 1.7 – Triangolo sferico: schema di calcolo

1.3.2 - Relazioni di seconda specie. Formule di Vieta

Le relazioni di Vieta sono note come formule dei quattro elementi consecutivi; si ricavano direttamente operando il rapporto fra una relazione dei seni ed una relazione del teorema delle proiezioni: sin b sin C = sin c sin B sin b cos C = cos c sin a − sin c cos a cos B Operando il rapporto si ottiene: tan C =

sin c sin B cos c sin a − sin c cos a cos B

Ovvero cot C =

cot csina − cos a cos B  sinB

cot csina = cos a co cos B + sinB cot C    

(1.23)

Si può enunciare la seguente regola:

I n un u n tr iangolo sf sf er ico la cotange cotangente nte di di u n primo pr imo lato l ato (c) (c) per per il seno di un secondo l ato (a) èugu ale al e al al prodotto pr odotto del coseno coseno di questo questo secon-  secon-  14

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

do lato (a)pe ( a)perr il cose coseno dell’ dell ’ angolo compr eso(B) più il prodotto pr odotto del del se-  no di quest’ quest’ ul timo ti mo angolo per per l a cotange cotangente nte ddeel l’ angolo adiacente(C). adiacente(C). (v. figura 1.8)

Figura 1.8 – Triangolo sferico: schema di calcolo

Dalla relazione di Vieta trovata, per rotazione, si possono facilmente ricavare tutte le altre relazioni: cot csinb = cos b co cos A + sinA cot C   cos B + sinB cot A = cosb co cot asinc = cos c co cos B + sinB cot A cot bsina = cos a co cos C + sinC cot B cot bsinc = cos c co cos A + sinA cot B cot asinb

⎛ a ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ c

 ⎞ ⎟ b⎟ ⎟ ⎟  ⎠

,

⎛ A ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ C 

 ⎞ ⎟  B ⎟ ⎟ ⎟  ⎠

(1.24)

1.3.3 - Relazioni di seconda specie.

L’espressione trigonometria relativa al teorema delle proiezioni può essere facilmente trovata per mezzo di una qualunque relazioni dei quattro elementi consecutivi. Infatti prendendo la prima delle (1.24) e moltiplicandola per sin c si ha: cos c sin b = cos b cos A sin c + sin c sin A cot C 

Ma per il teorema dei seni, essendo: sin c sin C 

=

sin a sin A

, sin c sin A = sin a sin C 

15

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

Sostituendo l’uguaglianza trovata a secondo membro della precedente si ha: cos c sin b = cos b cos A sin c + sin a cos C 

Ovvero sin a cos C  = cos c sin b − sin c cos b cos A

Che rappresenta una delle relazioni date dalle (1.21).

1.4 - Relazioni per triangoli sferici rettangoli e rettilateri.

Il triangolo sferico diventa rettangolo o rettilatero quando un suo angolo o lato è uguale a 90 a 90°  ° . Sulla sfera di riferimento si possono definire triangoli sferici che hanno uno o più angoli retti ed uno o più lati retti.; caso estremo è quello del triangolo sferico con tre angoli retti e tre lati retti. Se nel triangolo sferico (v. figura 1.9) supponiamo che l’angolo A= l’angolo  A= 90°  90°  ,  allora le relazioni fondamentali della trigonometria sferica si trasformano per dare le formule di Nepero e dalle quali è possibile definire due regole fondamentali per i triangoli sferici rettangoli e rettilateri.

Figura 1.9 – Triangolo sferico rettangolo

Dalla relazione fondamentale applicata al lato a e con A= con  A= 90°  90 °  oppure alla correlativa si ottengono le seguenti due relazioni: cos a

cos c + sinbsinc cos A = cos b co

 A = 90 cos a

o

= cos b cos c = sin(90 − b )sin(90 − c )

cos A = − cos B cos C + sinBsinC cos a 0 = − cos B cos C + sinBsinC cos a cos a

= cot B cot C  16

 

(1.25)

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

Si ottengono le stesse relazioni quando si utilizzano una relazione dei seni ed una delle formule di proiezione:  sina cos B = sinbsinA  A = 90

o

 sinb = cos(90 − b ) = sinasinB cos b co cos A = sinb cot c − sinA cot C   0 =  sinb cot c − cot C 

 

(1.26)

cos(90 − b) = cot C cot(90 − c )

Procedendo con lo stesso metodo ed utilizzando le altre possibili relazioni si possono ottenere le seguenti relazioni:  sincsinA = sinasinC   sinc = sinasinC  cos(90 − c) = sinasinC   cos c cos A =  sinc cot b − sinA cot B 0 =  sinc cot b − cot B

;  sinc

= cot B tan b  

(1.27)

cos(90 − c ) = cot B cot(90 − b)

cos B = − cos C cos A + sinAsinC cosb cos B = sinC cos b cos B = sinCsin(90 − b ) cos c co cos B = sinc cot a − sinB cot A cos c cos B = sinc cot a cos B = cot(90 − c) cot a

17

 

(1.28)

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

cos C = − cos A cos B + sinAsinB cos c cos C = sinB cos c cos C = sinBsin(90 − c)

= sinb cot a − sinC cot A cos b cos C = sinb cot a   cos C = cot(90 − b) cot a cos b co cos C

(1.29)

Segue la regola di NEPERO:

I n u n tr iangolo sf sf er ico r ettangolo, sos sostitu titu endo ai cateti cateti il lor o co com-  m-  plemento, ili l coseno coseno di un el emento èdato dal pr odotto del del l e cotangenti cotangent i degli de gli el eme ment ntii adiacenti adiacenti o dal prodotto pr odotto dei dei seni de degli gli elementi lementi l ontani . Lo studente nell’applicare questa regola può utilizzare il seguente schema per la scelta, fissato l’elemento incognito con A angolo retto, degli elementi vicini o quelli lontani (v. figura 1.10):

Figura 1.10 – Triangolo sferico rettangolo e schema per

l’applicazione delle formule di Nepero

Per esempio, con B con B elemento  elemento centrale da calcolare, si ottengono le due seguenti relazioni:

= cot(90 − c) cot a   cos B = sin (90 − b) sinC  cos B

(1.30)

Per i triangoli sferici rettilateri (v. figura 1.11) vale la seguente regola (si consideri a=90): a=90):

18

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

I n un u n tr iangolo sf sf er ico re r ettilate tti laterr o, sos sostitu titu endo agli agli angoli adiacenti adiacenti il l oro complemento complemento ed al al l’ angolo opposto opposto ili l suo suppl suppleeme ment nto, o, il cose cose-  no di un elemento lemento èdato dal pr odotto dell dell e ccotange otangenti nti de degli gli element lementii adiacenti adiacenti o dal prodotto dei dei seni seni de degli gli element lementii l ontani. ontan i.

Figura 1.11 – Triangolo sferico rettilatero e schema per

l’applicazione delle formule di Nepero

Considerando c  come elemento cercato, si possono ricavare facilmente le due seguenti relazioni : cos c = cot(90 − B ) cot(180 − A) cos c = sin(90 − C) sinb

 

(1.31)

1.5.1 - Relazi Relazi oni di terza spe specie. cie. In molti casi si presenta la necessità di esprimere gli elementi di un generico triangolo sferico per mezzo di semi elementi (angoli o lati). In astronomia sono molto utilizzate le  formule di Borda  Borda  e le  Analogie di  Nepero.

1.5.2 1.5 .2 - For mul e di Bor da. Queste formule si ricavano facilmente partendo dalla formula fondamentale della trigonometria sferica applicata al lato a:

19

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

cosa = cosb cosc + sinb sin c cos cosa − cosb cosc = sinb sin c cos A cos A =

cosa − cosb cosc

sinb sin c  A sinb sin c + cosb cosc − cosa 1 − cos A = 2 sin2 = 2 sinb sin c  può essere ulteriormente sviluppata applicando le formule di addizione, sottrazione e quelle di Prostaferesi:

2 sin 2

 A 2

=

cos(b − c) − cos a

2 sin

=−

 sinbsinc a +b+c a −b+c  sin  sin  A 2 2  sin 2 = 2  sinbsinc

b−c+a b−c−a  sin 2 2  sinbsinc

Questa relazione è ulteriormente trasformata tenendo presente le relazioni:

20

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

a+b+c

= 2 p

 p

=

a+b+c 2

a + b + c − 2a

= 2 p − 2a

 p − a

=

a + b + c − 2b

= 2 p − 2b

 p − b

=

a + b + c − 2c

= 2 p − 2c

 p − c

=

b−a+c 2 a −b+c 2 a+b−c 2

con le quali si ottiene la seguente relazione:  sin 2

 A

=

2

 sin( p − b) sin( p − c)  sinbsinc

ovvero

 sin

 A 2

=±

 sin( p − b) sin( p − c )  sinbsinc

(1.32) Si ottiene un'analoga relazione, in termini della funzione coseno, procedendo nel seguente modo: 2 cos 2

 A 2

= 1 + cos A =

cos a − (cos b co cos c − sinbsinc )

 sinbsinc a +b+c a−b−c  sin  sin 2 2 = −2  sinbsinc

=

cos a − cos(b − c )

 sinbsinc a +b+c b+c−a  sin  sin 2 2 =2  sinbsinc

dalla quale si ottiene: cos 2

 A 2

=

 sinpsin ( p − a)

ovvero

 sinbsinc

cos

 A 2

=±

 sinpsin ( p − a )  sinbsinc

e quindi la relazione finale: tan

 A 2

=±

 sin ( p − b) sin( p − c )  sinpsin ( p − a )

e per rotazione ciclica di angoli e lati: 21

 

(1.33)

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

tan

 B 2

=±

sin( p − c) sin( p − a) sin  p sin( p − b)

e tan

C  2

=±

sin( p − a ) sin( p − b) sin  p sin( p − c)

(1.34) Quando sono noti gli angoli interni degli stessi, è possibile calcolare i lati con le formule correlative; queste relazioni si trovano introducendo la definizione di eccesso sferico:  Nei triangoli triango li sferici, al contrario di quanto avviene nel piano, la somma degli angoli interni può superare 180°; la differenza tra la somma degli angoli e 180° definisce l'eccesso sferico del triangolo sferico: σ  =  A + B + C − π   

(1.35)

L'eccesso sferico σ può raggiungere il valore massimo quando si considera un triangolo sferico trirettangolo (caso di triangolo sferico coincidente con i lati sferici rappresentati dai cerchi massimi passanti per gli assi di riferimento (v. figura 1.12).

Figura 1.12 – Triangolo sferico trirettangolo e trirettilatero

L'eccesso sferico è usato per trovare le formule correlative del Borda. Ricordando che per trovare le correlative è sufficiente sostituire ai lati i corrispondenti supplementi degli angoli opposti si ha:

2 p

= a+b+c ,

a

→ π  − A , b → π  − B , c → π  − C 

e quindi: 22

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

2 p

 p

= (π  − A) + (π  − B) + (π  − C ) = 3π  − ( A + B + C ) = 2π  − σ 

= π  −

σ  2

, p − a

⇔  A −

σ  2

, p − b

⇔  B −

σ  2

, p − c

⇔ C −

σ  2

Sostituendo le relazioni trovate nella prima relazione di Borda si ha:

tan

 A 2

 sin( p − b) sin( p − c)

=±

 sinpsin ( p − a)

cot

a 2

=±

⇒

a

tan(90 − ) 2

 sin ( B −

σ 

=±

) sin(C −

 sin( B −  sin(π  −

σ  2 σ  2

) sin(C − ) sin( A −

2 σ  2

) )

σ 

) 2   σ  σ   sin( ) sin( A − ) 2 2 2

σ 

(1.36)

Con la quale è facile ricavare le tre relazioni correlative di Borda:

tan

a 2

tan

c 2

=±

σ  σ  sin( ) sin( A − ) b 2 2 , tan σ  σ  2 sin( B − ) sin(C − ) 2 2

=±

σ  σ  sin( ) sin(C − ) 2 2 σ  σ  sin(C − ) sin( A − ) 2 2

=±

σ  σ  sin( ) sin( B − ) 2 2 , σ  σ  sin(C − ) sin( A − ) 2 2

(1.37)

1.5.33 - Anal 1.5. A nal ogie di di N epe perr o. Le analogie di Nepero, molto usate in Astronomia, legano i tre lati e i tre angoli sotto forma di semi somma e semi differenza degli elementi. Esse si ricavano direttamente dalle seguenti formule di Delambre:

23

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

 A b+c  sin  sin 2 2

 B − C  a  sin 2 2

 A b−c , cos  sin 2 2

= cos

 B − C  a  sin 2 2

=  sin

Operando il rapporto fra la prima e la seconda:

Figura 1.13 – Triangolo sferico

tan

 B − C  2

= cot

 A 2

 sin  sin

b−c 2

b+c

 

(1.38)

2

Operando, invece, sulle due seguenti equazioni di Delambre: a  B + C  b+c  A cos cos  sin = cos 2 2 2 2

,

a  B + C  b−c  A cos  sin cos =  sin 2 2 2 2

Si ottiene una seconda relazione:

tan

 B + C  2

= cot

 A 2

cos cos

b−c 2

b+c

 

(1.39)

2

Per rotazione si ottengono le rimanenti equazioni:

tan

C − A 2

= cot

 B 2

 sin  sin

c−a 2

,

c+a 2

tan

C +  A 2

= cot

 B 2

cos cos

c−a 2

c+a 2

(1.40)

24

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

tan

 A − B

=

2

cot

 sin C  2

 sin

a −b 2 a+b

,

tan

 A + B 2

=

cot

C  2

2

cos cos

a −b 2 a+b 2

(1.41) Seguendo il metodo già esposto, si possono anche ricavare le formule correlative:

tan

tan

tan

b−c 2

c−a 2

a−b 2

=

 B − C   sin a 2 tan  B + C  2  sin 2

= tan

= tan

b 2

c 2

 sin  sin

 sin  sin

,

tan

C − A 2

C +  A

,

tan

b+c 2

c+a 2

=

 B − C  cos a 2 tan  (1.42)  B + C  2 cos 2

= tan

b 2

2

 A − B 2

 A + B

,

tan

2

a+b 2

= tan

c 2

cos cos

cos cos

C − A 2

C +  A

 (1.43)

2

 A − B 2   (1.44)  A + B 2

1.6 –Tr asf asf ormaz or mazion ionee di coordi nate fr a siste sistemi mi di r if er i me mento nto Le relazioni trigonometriche ottenute per la sfera delle direzioni non sempre trovano applicazione quando si considerano figura geometriche di dimensione finite oppure quando occorre passare dalla sfera delle direzioni ad una terna di riferimento locale. Questo problema si incontra spesso quando si effettuano delle trasformazioni di coordinate da sistemi inerziali: • uranografico equatoriale; • uranografico eclittico. ai sistemi terrestri:

•

equatoriale terrestre; 25

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

•

topografico locale.

In questi casi è preferibile utilizzare le proprietà delle matrici di rotazione.

1.6.11 –Tr asf 1.6. asf ormaz or mazion ion e f r a due ge generi ci siste sistemi mi di r i f er ime im ento Sia  R   R  un vettore generico riferito ai due sistemi di riferimento Oxyz e Ouvw (v. figura 1.14) con il loro origine coincidente:

⎡ X ⎤ ⎢ ⎥  R = Y   e ⎢ ⎥ ⎢⎣ Z ⎥⎦

⎡U ⎤ ⎢ ⎥  R = V    ⎢ ⎥ ⎢⎣W ⎥⎦

(1.45)

i cui assi sono rappresentati dai seguenti versori:

⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ i= 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ u= 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦

,

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥  j = 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦

,

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ v= 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦

,

⎡0⎤ ⎢ ⎥ k  = 0   ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦

(1.46)

,

⎡0⎤ ⎢ ⎥ w= 0   ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦

(1.47)

Il vettore  R,  R, del primo sistema, può essere definito per mezzo dello stesso vettore rappresentato rispetto al secondo sistema per mezzo della seguenre notazione matriciale: Ouvw [ R]Oxyz  = H Oxyz  [ R]Ouvw  

(1.48)

L’epressione della matrice di rotazione può essere calcolata applicando la matrice di rotazione (1.8) precedentemente studiata. Alle stesse conclusioni si può arrivare studiando la rappresentazione del il vettore R vettore R nei  nei due riferimenti.  Nella figura 1.14, il vettore  R   R  è rappreasentato per mezzo delle sue rispettive componenti rispetto alle due terne di riferimento i cui assi sono definiti dai versori [i,  j , k ] e [u, v, w] ; l’estremità del vettore  R ha rispettivamente coordinate: [ X , Y , Z ]  e [U , V , W ] . Il vettore R vettore R è  è dato da:  R

=  Xi + Yj + Zk  = Uu + Vv + Ww   26

(1.49)

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

Figura 1.14 – Sistemi di riferimento Oxyz  e  e Ouvw 

Inoltre, le rispettive componenti possono anche essere rappresentate in termini del prodotto scalare di R di R per  per i rispettivi versori:  X  = i T  R

= Ui T u + Vi T v + Wi T w  

(1.50)

Y  =  j T  R

= Uj T u + Vj T v + Wj T w  

(1.51)

 Z  = k T  R = Uk T u + Vk T v + Wk T  w  

ed esprimendo in forma matriciale le tre equazioni:

27

(1.52)

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

⎡ X ⎤ ⎡ i T u ⎢ Y ⎥ = ⎢ j T u ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣k T u

i T v

i T w ⎤ ⎡U ⎤

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T  ⎥ k  w⎦ ⎢⎣W ⎥⎦

 j T v  j T w⎥ V    k T v

(1.53)

La (1.53) giustifica la relazione (1.48); inoltre, per definizione di  prodotto scalare di versori (vettori) la matrice di rotazione può esprimersi anche nel seguente modo:

Ouvw  H Oxyz 

⎡ cos(θ iu ) = ⎢⎢cos(θ  ju ) ⎢⎣cos(θ ku )

cos(θ iv )

cos(θ iw )⎤

⎥ ⎥ cos(θ kv ) cos(θ kw )⎥⎦ cos(θ  jv ) cos(θ  jw )

(1.54) La (1.54), apparentemente molto complessa, è identica alla già citata matrice (1.8); con semplici considerazioni, si ricavano le sue espressioni  per rotazioni attorno ad un singolo asse: 0 0 ⎤ ⎡1 ⎢ ⎥  R x (α ) = 0 cos α  − sin α  ⎢ ⎥ ⎢⎣0 sin α  cos α  ⎥⎦ ⎡ cos β  0 sin β  ⎤ ⎢ 0 ⎥  R y ( β ) = 1 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣− sin β  0 cos β ⎥⎦ ⎡cos γ  − sin γ  0⎤ ⎢ ⎥  R z (γ  ) = sin γ  cos γ  0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

0 0 ⎤ ⎡1 ⎢ ⎥  R x (α ' ) = 0 cos α ' sin α ' ⎢ ⎥ ' ' ⎢⎣0 − sin α  cos α  ⎥⎦ ⎡cos β ' 0 − sin β ' ⎤ ⎢ ⎥  R y ( β ' ) = ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢⎣ sin β ' 0 cos β ' ⎥⎦

⎡ cos γ  ' ⎢  R z (γ  ' ) = ⎢− sin γ  ' ⎢⎣ 0

sin γ  '

0⎤

cos γ  '

0⎥

0

  (1.55)

⎥

1⎥⎦

le matrici a sinistra sono valide per un rotazione oraria (positiva) per un sistema destrosso, quelle a sinistra per una rotazione positica in un sistema levogiro.

28

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

Figura 1.15 – Sistemi inerziali di riferimento: G XYZ  e G X’Y’Z’ 

1.6.2 –A ppli cazi cazi oni In navigazione satellitare si affrontano problemi di trasformazione di coordinate per passare dal sistema di riferimento inerziale a quello geocentrico terrestre e successivamente a quello locale centrato sul punto dell’antenna del ricevitore satellitare.

1.6.3. 1.6. 3. –I l si stema tema inerziale i nerziale ter ter r estr e (ECI ) Il sistema inerziale centrale ( ECI – Earth Centered Inertial  Inert ial ) definisce la  posizione del satellite rispetto rispett o alla terna centrata nel n el baricentro della terra, l’asse G Z   coincidente con l’asse terrestre, il piano G XY   coincidente con il piano equatoriale, l’asse G X  orientato verso il punto vernale gamma ( γ   - punto equinoziale) e l’asse GY  levogiro. Com’è ben noto questo sistema rappresenta il riferimento uranografico equatoriale perciò la posizione del satellite è:

29

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

⎡ X ⎤ ⎡cos δ  cos α ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥  R = Y  = R  cos δ  sin α    ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ sin δ  ⎥⎦

(1.56)

Un analogo sistema inerziale si ottiene quando si considera una terna levogira con il piano di riferimento coincidente con il piano orbitale, l’asse G X  orientato verso il nodo ascendente dell’orbita.

1.6.44 –I l sistema 1.6. istema geoce geocent ntrr ico te t er r estr e (ECEF (ECE F ) Questo sistema ( ECEF,  ECEF, Earth Centered Earth Ear th Fixed ) ha lo stesso centro di riferimento del sistema inerziale ( ECI   ECI ) con l’asse G X  orientato con il  piede del meridiano di Greenwich. Rispetto al sistema inerziale, questo sistema è fisso rispetto alla terra perciò esso ruota con la velocità angolare della terra. L’angolo tra il riferimento inerziale ( ECI ) e quello terrestre ( ECEF   ECEF ) è rappresentato dal tempo sidereo (T  (T  s). Il calcolo del tempo sidereo è studiato nel capitolo 2. Le coordinate del satellite, rispetto a questo sistema, sono:

⎡ x ⎤ ⎡cos φ cos λ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥  R =  y = R  cos φ sin λ    ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ sin φ  ⎥⎦

(1.57)

Il passaggio dal sistema inerziale a quello terrestre è possibile per mezzo di una rotazione attorno all’asse Z(z) all’asse Z(z)::

⎡ x ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡ cos T  s ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢  R =  y =  H  z (T  s ) Y  = R  − sin T  s ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ 0

sin T  s cos T  s 0

0⎤ ⎡cos α  cos δ ⎤

⎥⎢ ⎥⎢ 1⎥⎦ ⎢⎣

⎥ ⎥ ⎥⎦

0 sin α  cos δ    sin δ 

(1.58)

con T  s positivo (senso antiorario) per una terna levogira.

1.6.55 –I l si stema 1.6. tema topocentr topocentr ico piano pi ano (L TP) Questo sistema è quello classico del piano tangente alla superficie della terra ( LTP  LTP – Local Tangent Tan gent Plan P lan). ). L’asse G Z  coincidente con la verticale, il piano G XY  coincidente con il piano tangente, l’asse G X  orientato nel 30

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

verso della latitudine crescente (verso il nord) e l’asse GY  tangente al parallelo e rivolto verso est; gli angoli sul piano si contano nel senso orario a partire dall’asse tangente al meridiano: orientamento utilizzato in navigazione per la misura delle direzioni (azimut  (azimut ). ).

1.6.66 –I sistemi 1.6. istemi topoce topocentr ico ENU E NU -NED -N ED Questi due sistemi, simili al sistema topocentrico piano, differiscono per il loro orientamento.

Figura 1.16 – Sistema di riferimento ECEF  e  e ENU 

Il sistema topocentrico locale ENU  locale ENU  (  ( East – North No rth – Up U p) è un sistema di riferimento levogiro con l’origine sull’asse East, l’asse north orientato verso il polo e l’asse perpendicolare al piano tangente con il verso positivo verso l’alto (terna (terna levogira). levogira). Il sistema topocentrico locale NED locale  NED ( North  North – East – Down ) Down ) è una terna oraria con l’asse Cx coincidente con il meridiano meridiano tangente all’origine, l’asse C y tangente  y tangente al parallelo e l’asse C z  coincidente  coincidente con la perpendicolare al piano ma con il verso positivo verso il basso. Il passaggio dal sistema ENU  sistema  ENU  al  NED   NED  è data dalla seguente matrice di rotazione:

31

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

⎡0  ENU   R NED = ⎢⎢1 ⎢⎣0

1 0 0

⎤ ⎥ 0   ⎥ − 1⎥⎦ 0

(1.59)

Il sistema NED sistema  NED è  è utilizzato in navigazione aerea dato che l’asse longitudinale dell’aereo forma un angolo con la direzione del meridiano coincidente con la prora dell’aereo ed il piano tangente coincidente con piano d’assetto dell’aereo.

Figura 1.17 – Sistemi di riferimento ENU  –  – NED

Per quanto visto usando i versori delle terne di riferimento, i versori della terna ENU  terna ENU  in  in coordinate ECEF  coordinate ECEF  sono:  sono:

⎡− sin λ ⎤ ⎢ ⎥ u E  = cos λ  , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎡− cos λ sin φ ⎤ ⎢ ⎥ u N  = − sin λ sin φ  , ⎢ ⎥ ⎢⎣ cos φ  ⎥⎦

⎡cos λ cos φ ⎤ ⎢ ⎥ uU  = sin λ cos φ    ⎢ ⎥ ⎢⎣ sin φ  ⎥⎦

(1.60)

Quelli del sistema ECEF  sistema ECEF  rispetto  rispetto alla terna ENU  terna ENU  sono:  sono:

⎡ − sin λ  ⎤ ⎢ ⎥ u X  = − cos λ sin φ  , ⎢ ⎥ ⎢⎣ cos λ cos φ  ⎥⎦

⎡ cos λ  ⎤ ⎢ ⎥ uY  = − sin λ sin φ  , ⎢ ⎥ ⎢⎣ sin λ cos φ  ⎥⎦

⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ u Z  = cos φ    ⎢ ⎥ ⎢⎣ sin φ ⎥⎦

(1.61)

Viceversa il passaggio dal sistema  NED ad  ECEF   fornisce i seguenti versori:

32

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

⎡− cos λ sin φ ⎤ ⎢ ⎥ u N  = − sin λ sin φ  , ⎢ ⎥ ⎢⎣ cos φ  ⎥⎦

⎡ − sin λ ⎤ ⎢ ⎥ u E  = − cos λ  , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

u D

⎡− cos λ cos φ ⎤ = ⎢⎢ − sin λ cos φ ⎥⎥   ⎢⎣ − sin φ  ⎥⎦

(1.62)

mentre il passaggio da ECEF  da ECEF  a NED  a NED è  è dato dai seguenti versori:

⎡ − cos λ sin φ ⎤ ⎢ − sin λ  ⎥ , u X  = ⎢ ⎥ ⎢⎣− cos λ cos φ ⎥⎦

⎡ − sin λ sin φ ⎤ ⎢ cos λ  ⎥ , uY  = ⎢ ⎥ ⎢⎣− sin λ cos φ ⎥⎦

⎡ cos φ  ⎤ ⎢ 0 ⎥  u Z  = ⎢ ⎥ ⎢⎣− sin φ ⎥⎦

(1.63)

La verifica della matrice di rotazione (1.59) può essere fatta considerando un vettore rappresentato nel sistema levogiro (antiorario) ENU ed uno nel sistema NED orario (v. figura 1.18).

Figura 1.18 – Rappresentazione del vettore R nella terna ENU ed NED

Dalle rappresentazioni del generico vettore R  di modulo  ρ   si ricavano le componenti dello stesso vettore:

⎡ E ⎤ ⎡cos α  cos β ⎤ ⎢ N ⎥ =  ρ ⎢ sin α  cos β  ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣U ⎥⎦ ⎢⎣ sin β  ⎥⎦ ⎡ N ⎤ ⎡ sin α  cos β  ⎤ ⎢ E ⎥ =  ρ ⎢cos α  cos β ⎥   ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ D ⎥⎦ ⎢⎣ − sin β  ⎥⎦ 33

(1.64)

(1.65)

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

Allora, se si applica la matrice di rotazione (1.59) al primo vettore, si deve ottenere il secondo:

⎡ N ⎤ ⎡0 ⎢ E ⎥ =  ρ ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ D ⎥⎦ ⎢⎣0

1 0 0

⎤ ⎡cos α  cos β ⎤ ⎡ sin α  cos β  ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 sin α  cos β  =  ρ  cos α  cos β    ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − sin β  ⎥⎦ − 1⎥⎦ ⎢⎣ sin β  ⎥⎦ 0

(1.66)

con (α , α , β )  gli angoli che definiscono il vettore nei due sistemi di riferimento. In effetti si può osservare che il vettore (1.66), ottenuto per rotazione (1.59) è identico a vettore (1.65) per proiezione con considerazioni geometriche.

1.7 –V i si bil bi l i tà tàde deii satelli atell i ti GPS La posizione dei satelliti calcolata per mezzo dei parametri orbitale è definita nel sistema  ECI,   ECI,  dopo due rotazioni per il passaggio dal sistema orbitale a quello inerziale; le due rotazioni sono forniti dall’angolo i (inclinazione del piano orbitale) e dall’angolo Ω   longitudine del nodo ascendente per passare dall’asse orientato verso il nodo ascendente all’asse inerziale orientato verso il punto equinoziale γ  :

⎡cos u ⎤ ⎢ ⎥  RGxyz  = R  sin u , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎡cos u ⎤ ⎢ ⎥  RGXYZ  = R   H  Z  (Ω ) H  x (i ) sin u   ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎡cos u cos Ω − sin u sin Ω cos i ⎤ ⎢ ⎥  RGXYZ  = R  cos u cos Ω + sin u sin Ω cos i   ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ sin u sin i T  s

= T  s (t o ) + (t − t o )

2π  43082

 

(1.67)

(1.68)

(1.69)

con R con R,, in prima approssimazione, dato dal semiasse maggiore dell’orbita  pari a 26500000 m. Le coordinate ECEF  coordinate ECEF  si  si ricavano compiendo una successiva rotazione attorno all’asse Z  all’asse Z  dell’angolo  dell’angolo pari al tempo sidereo T  s :

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C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

⎡cos u cos Ω − sin u sin Ω cos i ⎤ [ RGXYZ  ] ECEF  =  R Z  (T S  )R ⎢⎢cos u cos Ω + sin u sin Ω cos i ⎥⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ sin u sin i   ⎡cos u cos(Ω + T S  ) − sin u sin (Ω + T S  ) cos i ⎤ = R ⎢⎢cos u cos(Ω + T S  ) + sin u sin (Ω + T S  ) cos i ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ sin u sin i

(1.70)

Rimane il problema di definire le corodinate  ENU   oppure le  NUD   NUD  del satellite rispetto al ricevitore posto sulla superficie della terra. Per ottenere queste coordinate occorre effettuare una traslazione per  passare dalla terna  ECEF   geocentrica alla terna topocentrica ed effettuare una rotazione per passare dalla ECEF  dalla ECEF  ad ENU   ad ENU ( NEU   NEU ). ). Il passaggio dalla terna ECEF  terna ECEF  a  a quella locale ENU  locale ENU levogira levogira è dato dalal seguente trasformazione di copordinate cos λ  ⎡e ⎤ ⎡ − sin λ  ⎢n ⎥ ⎢− sin φ cos λ  − sin φ sin λ  = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣u ⎥⎦ ENU  ⎢⎣ cos φ cos λ  cos φ sin λ 

⎤ ⎡Δ X ⎤ ⎥⎢ ⎥   cos φ  ΔY  ⎥⎢ ⎥ sin φ ⎥⎦ ⎢⎣ Δ Z ⎥⎦ ECEF  0

(1.71)

(φ , λ )   sono le coordinate geografiche del punto locale T  appartenete al piano tangente sulla terra e [Δ X  ΔY  Δ Z ]  il vettore che

nella quale

rappresenta l’oggetto osservato dal punto locale (Slant (Slant vector ). ). Da questa trasformazione si ricava l’azimut e l’altezza dell’oggetto osservato rispetto alla terna levogira con l’asse principale e  orientato verso il punto cardinale Est:

− Δ X sin λ  + ΔY cos λ  ⎡e ⎤ ⎡cos α  cosh ⎤ ⎡ ⎤ ⎢n⎥ =  ρ ⎢ sin α  cosh ⎥ = ⎢− Δ X sin φ cos λ  − sin φ sin λ  + Δ Z cos φ ⎥   (1.72) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣u ⎥⎦ ⎢⎣ sinh ⎥⎦ ⎢⎣ Δ X cos φ cos λ  + cos φ sin λ  + Δ Z sin φ  ⎥⎦ con l’azimut α   contato, nel senso levogiro, a partire dal punto Est. La trasformazione delle coordinate dal sistema  ECEF   al sistema rappresentato dalla terna destrogira  NEU , (coordinate alto azimutali comunemente utilizzate in navigazione), è rappresentata dalla seguente relazione matriciale: 35

 M  ARIO V ULTAGGIO ULTAGGIO

⎡ N ⎤ ⎡Δ X ⎤ ⎢ E ⎥ =  R Y  (90 − φ ) R Z  (180 − λ )⎢⎢ ΔY ⎥⎥   ⎢ ⎥ ⎢⎣U ⎥⎦  NEU  ⎢⎣ Δ Z ⎥⎦  ECEF  ⎡− sin φ cos λ  − sin φ sin λ  ⎢ − sin λ   R (φ , λ ) = cos λ  ⎢ ⎢⎣ cos φ cos λ  cos φ sin λ 

(1.73)

cos φ ⎤

⎥  ⎥ sin φ ⎥⎦ 0

(1.74)

Con l’asse  N   tangente al meridiano, rivolto verso le latitudini positive; gli angoli sono contati nel senso orario a partire dall’asse N  dall’asse N . Lo sviluppo del prodotto madriciale dato dalla (1.73) fornisce l’azimut A l’azimut A z e l’altezza h dell’oggetto osservato e definito nel sistema ECEF  sistema ECEF :

⎡ ⎤ − Δ X sin λ  + ΔY cos λ  ⎥   X  sin φ  cos λ  Y  sin φ  sin λ   Z  cos φ  − Δ − Δ + Δ ⎣ ⎦

(1.75)

⎡ Δ X cos φ cos λ  + ΔY cos φ sin λ  + Δ Z sin φ ⎤ ⎥  2 2 2  X  Y   Z  Δ + Δ + Δ ⎣ ⎦

(1.76)

 A z  = tan −1 ⎢

h = sin −1 ⎢

 ρ  =

Δ X 2 + ΔY 2 + Δ Z 2  

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(1.77)

C   I S  ISTEMI DI RIFERIMENTO  APITOLO 1 –  I S  RIFERIMENTO

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