CAPITALIZACION_Y_ACTUALIZACION_SIMPLE.pdf

Matemática Financiera

Carlos A. Martínez Zaragoza

CAPITALIZACIÓN SIMPLE La capitalización simple  es un tipo de capitalización de recursos financieros que se caracteriza porque la variación que sufre el capital no es acumulativa. Los intereses que se generan en cada periodo no se agregan al capital para el cálculo de los nuevos intereses del siguiente periodo. De esta manera los intereses generados en cada uno de los periodos serán iguales.

Se dice también que la capitalización constituye un medio de financiamiento para las empresas, mediante la inyección de capital para poder desarrollar sus proyectos, al respecto hay dos opciones que tienen las empresas, por una parte, el financiamiento propio y por otro el financiamiento externo, en donde nuevamente se encuentra con dos opciones, por una parte la posibilidad de recurrir al mercado crediticio y por tanto solicitar un préstamo de consumo a un banco (sin perjuicio del costo de oportunidad). La capitalización simple se utiliza generalmente para operaciones a corto plazo es decir menores a un año. De la fórmula de Interés Simple tendremos capital más intereses:

     Sacando P factor común en la expresión anterior, tendremos:

     Donde: VF:

Es el monto (M) = Capital más interés simple.

P:

El capital o dinero prestado

n:

Tiempo o Período (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, días)

i:

Tasa de interés (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, días) 1 - 11

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EJEMPLOS: Una persona contrae una deuda por $120,000.00 que debe pagar dentro de 9 meses. Si la tasa de interés cargada a la operación es de 14% simple anual, determine qué suma se deberá pagar para cancelar la deuda. Diga cuánto se habrá de pagar por concepto de intereses.

 Antonio Sánchez depositó $136,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el ⅞ %

mensual. ¿Cuál será el balance de la cuenta al cabo de 7 meses

ACTUALIZACIÓN SIMPLE La actualización o el descuento simple es la operación inversa a la capitalización simple. Consiste en la obtención del valor en la fecha actual o presente de un capital que se recibirá o que vencerá en una fecha futura. Al Valor Actual  también se le conoce como Valor Presente, Capital o Principal y, generalmente, trata sobre el valor que habría que invertir para disponer al cabo de un tiempo de un monto predeterminado. Se refiere también al valor de una deuda, en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento.

La actualización simple se utiliza generalmente para operaciones a corto plazo es decir menores a un año. De la fórmula de capitalización, despejando tendremos: 2 - 11

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      Donde: VF:

Es el monto (M) = Capital más interés simple.

VP:

El capital (P) o dinero prestado.

n:

Tiempo o Período (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, días)

i:

Tasa de interés (Anual, Trimestral, Bimestral, Mensual, días)

EJEMPLO: ¿Qué suma se debe invertir hoy al 12% simple anual para poder disponer de $90,930.00 dentro de 5 meses?

Ruddy Lugo tomó prestada una suma de dinero al 18½ % simple anual y a los 10 meses la canceló pagando $363,562.50. Determine la cuantía del préstamo y cuánto pagó por concepto de intereses.

Javier Gómez recibe un documento cobrable dentro de 9 meses por un valor final de $130,610.00. Si para recibir efectivo anticipadamente negocia el documento con una compañía que opera en base a una tasa del 15% simple semestral, determine qué suma recibirá el Sr. Gómez.

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DIAGRAMAS UTILIZADOS EN MATEMATICA FINANCIERA La representación de los datos de la decisión en forma grafica puede mejorar en gran manera la compresión del problema. Los diagramas del flujo de efectivo son medios para ayudar al tomador de decisiones a comprender y resolver estos problemas. Durante la construcción de un diagrama de flujo de efectivo, la estructura de un problema con frecuencia se hace distintiva. Por lo general es ventajoso definir primero el tiempo en el que ocurren los flujos de efectivo. Esto establece la escala horizontal, que se divide en periodos, por lo general en años. Los ingresos y desembolsos entonces se ubican en la escala de tiempo según las especificaciones del problema. Los pagos o recepciones individuales se designan por líneas verticales; las magnitudes relativas pueden sugerirse por la altura de las líneas, pero realizar una escala es una perdida de tiempo. Si un flujo de efectivo es positivo o negativo depende del punto de vista que se representa.  Aunque los diagramas de flujo de efectivo son simples repres entaciones graficas de los ingresos y egresos, deben exhibir tanta información como sea posible. Es útil mostrar la tasa de interés, y podría ayudar a identificar que debe resolverse en un problema.  Algunas veces puede clasificarse la situación al poner en línea punteada las flechas que representan los flujos de efectivo de magnitud desconocida

DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR Este diagrama es una gráfica que consiste en un segmento de recta horizontal (eje de tiempo) sobre el cual se indican mediante flechas verticales las sumas de dinero o capitales, ubicándolas en sus correspondientes vencimientos

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EJEMPLOS 

Valor de Vencimiento con Descuento en Diagrama de Tiempo Valor.



Valor de Vencimiento con Descuento en Fecha Focal Diagrama de Tiempo Valor

DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA Mide la relación entre los ingresos y egresos.

INGRESOS

(+) n

0

(-)

EGRESOS EJEMPLOS 

Préstamo Hipotecario de $100,000.



Ahorro para estudio de Maestría.

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ELECCIÓN ENTRE VARIAS OPCIONES DE PAGO O ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN. Con mucha frecuencia se presentan situaciones en las que, disponiendo de varias opciones, se debe elegir la forma de pago o la alternativa de inversión que convenga más a los intereses de quien realiza el análisis. Para llevar a cabo la evaluación, el dinero sería la base de comparación. De esta manera, en el caso del pago de una deuda, se obtienen los valores actuales (o valores de contado equivalentes) de los pagos asociados a las diferentes opciones, eligiéndose la que envuelva la menor erogación. Si se tratara de elegir una alternativa de inversión, esto podría hacerse comparando, o las tasas de rendimiento de la inversión o los montos a que ascenderían tales inversiones al cabo de un periodo de tiempo, todo bajo el supuesto de un mismo nivel de riesgo. En los ejemplos incluidos a continuación que envuelven varias opciones de pago de una deuda, se introducirá el uso de los diagramas de tiempo-valor o diagramas temporales para visualizar mejor los pagos, las fechas y la(s) incógnita(s) del problema a resolver.

EJEMPLOS: Una persona dispone de 3 formas de pago para saldar una deuda: a) $52,000.00 de contado; b) $55,120.00 dentro de 5 meses; c) $20,000.00 de inicial, $15,560.00 al cabo de 3 meses y $19,360.00 dentro de 9 meses. ¿Qué forma de pago le resultaría más ventajosa a dicha persona, si pudiera invertir en forma segura el dinero disponible a un 15% simple anual? a) Es el mismo valor en el momento cero, por consiguientes es $52,000

Concluiremos que conviene la opción b, por ser la de menor erogación de dinero. 6 - 11

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¿Qué es más ventajoso: a) Depositar en una cuenta de ahorros que abona el 9.5% simple anual, o b) Invertir en una industria láctea que garantiza que lo invertido se aumente en un 31% cada 3 años?

Un cliente debe a un centro de capacitación $20,000 que vencen dentro de 30 días y otro capital de $20,000 que vence dentro de 60 días. Este cliente solicita liquidar esta deuda haciendo un único pago dentro de 75 días. ¿Cuál será el importe de este pago si el interés pactado es el 12% anual?

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EQUIVALENCIAS FINANCIERAS DE CAPITALES Cuando disponemos de diversos capitales de importes diferentes, situados en distintos momentos puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más atractivo desde el punto de vista financiero. Para definir esto, es necesario compararlos, pero no basta fijarse solamente en los montos, fundamentalmente debemos considerar, el instante donde están ubicados los capitales. Equivalencia financiera es el proceso de comparar dos o más capitales situados en distintos momentos a una tasa dada, observando si tienen el mismo valor en el momento en que son medidos. Para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras de capitalización o descuento.

PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES Si el principio de equivalencia se cumple en un momento concreto, no tiene por qué cumplirse en otro (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento).  Afectando esta condición la fecha en que se haga el estudio comparativo, el mismo, que condicionará el resultado.

Dos capitales, VA 1 y VA2, que vencen en los momentos n 1 y n2 respectivamente, son equivalentes cuando, comparados en un mismo momento n, tienen igual valor . Este principio es de aplicación cualquiera sea el número de capitales que intervengan en la operación. Si dos o más capitales son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no existiendo preferencia por ninguno en particular. Contrariamente, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia que nos llevará a elegirlo.

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA El canje de uno o varios capitales por otro u otros de vencimiento y/o valores diferentes a los anteriores, sólo puede llevarse a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para determinar si dos alternativas son financieramente equivalentes tendremos que valorar en un mismo momento y precisar que posean iguales montos. Al momento de la valoración se le conoce como Fecha Focal o simplemente como fecha de análisis. Para todo esto el acreedor y el deudor deberán estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales: Momento a partir del cual calculamos los vencimientos. Momento en el cual realizamos la equivalencia, sabiendo que al cambiar este dato varía el resultado del problema. Tasa de valoración de la operación. Establecer si utilizamos la capitalización o el descuento.  

 

No se debe olvidar que solo se pueden sumar o restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha. 8 - 11

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CÁLCULO DEL CAPITAL COMÚN INTERÉS SIMPLE Es el VA de un capital único que vence en el momento n, conocido y que sustituye a varios capitales VA1, VA2, …, VAn, con vencimientos en n 1, n2, … , nn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y tiempos. Para calcularlo debemos valorarlos en un mismo momento a la tasa acordada, por una parte, los capitales iniciales y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.

EJEMPLO Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de $1,000, $3,000, $3,800 y $4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés simple fuera de 15% anual.

CÁLCULO DEL VENCIMIENTO COMÚN INTERÉS SIMPLE Es el instante n en que vence un capital único C conocido, que suple a varios capitales VA1, VA 2, …, VAn, con vencimientos en n 1, n 2 … n n, todos ellos conocidos en valores y tiempos. La condición a cumplir es: Para determinar este vencimiento procedemos de la misma forma que en el caso del capital común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único. 9 - 11

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EJEMPLO Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de $2,000, $3,000, $3,800 y $4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola de $14,000. ¿Determinar el momento del abono con una tasa de interés simple de 15% anual? La fecha de análisis es el momento cero.

CÁLCULO DEL VENCIMIENTO MEDIO INTERÉS SIMPLE Es el instante n en que vence un capital único VA, conocido, que suple a varios capitales VA1, VA2, …, VAn, con vencimientos en n 1, n2, … ,n n, todos ellos conocidos. La condición a cumplir es: V A

= V A 1 + V A 2  + ...+ VA n 

El cálculo es semejante al vencimiento común, lo único que varía es el valor del capital único que suple al conjunto de capitales iniciales, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de los montos a los que remplaza. El vencimiento es una media aritmética de los vencimientos de los capitales iniciales, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderación.

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EJEMPLO Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de $1,000, $3,000, $3,800 y $4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola. ¿Determinar el valor futuro y el momento de pago si la tasa de interés simple fuera de 15% anual. La fecha de análisis es el momento cero? La fecha de análisis es el momento cero. 1° Calculamos la Media Aritmética de los vencimientos de los Capitales. 

                      

2° Calculamos el valor actual de los capitales, actualizándolos al instante cero.  

                                          

3° Calculamos el monto total a pagar en 8.23 meses            

BIBLIOGRAFICA  Alfredo Díaz Mata y Victor Aguilera (2008). “ Matemática Financiera”, Cuarta edición,

Editorial Mc Graw Hill, México. Javier Miner (2003). “ Curso de Matemática Financiera”, Segunda Edición, Editorial Mc

Graw Hill, Madrid, España. Cesar Aching Guzmán, “Matem áticas Empresariales”, Serie Mypes.

Financieras

para

toda

de

Decisiones

Tulio A. Mateo Duval. Interés Simple, Apuntes, Santo Domingo, Republica Dominicana. http://apuntesingenieriaeconomica.blogspot.com/2010/10/diagramas-de-flujoefectivo.html 12/08/2012

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