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Capítulo 5: Linealización Linealización por Realimentación

Capítulo 5 Linealización por Realimentación La linealización por realimentación es una técnica de control que permite linealizar en forma exacta una clase de sistemas no lineales, sin recurrir a aproximaciones, los cuales han producido atractivos muy grandes en las investigaciones de años recientes. La idea central de este método es el de obtener una transformación algebraica de la dinámica del sistema no lineal en una (total o parcial) lineal , tal que las técnicas de control lineal puedan ser aplicadas. Esta técnica es diferente de la linealización convencional (jacobiano de un modelo no lineal), en el que la linealización, alrededor de un punto de operación, produce una aproximación lineal de la dinámica del sistema; luego del cual se pueden emplear técnicas de control lineal. La linealización por realimentación, conocida también como Linealización Exacta, tiene que ser usada para enfrentar problemas prácticos de control. Entre sus aplicaciones, incluyen el control de helicópteros, altos rendimientos en aeronaves, robots industriales, y equipos biomédicos. A continuación se verán algunos aspectos intuitivos, que definen los conceptos básicos de la linealización por realimentación, usando ejemplos simples.

5.1 Introducción a la Linealización por Realimentación y Formas Canónicas En forma simple, la linealización por realimentación tiene por objeto cancelar las no linealidades en un sistema no lineal, tal que la dinámica en lazo cerrado esté en su forma lineal. Para verificar esta idea simple, se presenta el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.1:  Considerar el control de nivel “h” de un fluido en un tanque (ver figura 1) par un específico nivel deseado “hd”. La señal de control es el flujo “u” en el tanque, y el nivel inicial es “ ho”. u

h Flujo de salida

Figura 5.1: Control de nivel de líquido en un tanque.

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Capítulo 5: Linealización Linealización por Realimentación

La ecuación dinámica que gobierna el tanque de nivel de líquido es: d 

 h  A(h)dh  = u (t ) − a 2 gh  dt   ∫0 Donde: A(h): sección transversal del tanque a : sección transversal del conducto de salida La dinámica del sistema puede ser reescrita como:  A(h)h& = u − a 2 gh

(1)

u (t ) = a 2 gh +  A(h)v

( 2)

Asumiendo:

donde “ v ” es una entrante equivalente lineal. Reemplazando la ecuación (2) en (1), se obtiene: h&  = v

(3)

Caso 1: Seleccionando ~ v = −α h = −α (h (t ) − hd  (t ))

( 4)

~ h = h(t ) − hd  (t )

(5)

Donde

Siendo hd  (t ) = cte la altura deseada, y entonces:

un valor positivo, es decir α 〉 0 ,

~ h& = h&

(6)

Reemplazando (4) y (6) en (3) obtenemos: ~ ~ h& + α h = 0

(7)

La solución a la ecuación (7) es: ~ ~ h (t ) = e −α t h (0)

(8)

~

Si t  → ∞ ⇒ h (t ) → 0 ________________________________________________________________________ M. Sc., Ing. Raúl Benites Saravia Lima - Perú

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

Caso 2: Seleccionando ~ v = h&d  (t ) − α h

(9)

donde ~ h = h(t ) − hd  (t )

(10)

Siendo hd  (t )  la altura deseada variante en el tiempo, y α   un valor positivo, es decir 〉 0 , entonces, derivando la ecuación (10) con respecto al tiempo se obtiene: ~ h& = h&(t ) − h&d  (t )

De (3):

~ h& = v = h&d  (t ) − α h

(11)

(12)

Reemplazando (12) y (11) obtenemos: ~ ~ h& = h&d  (t ) − α h − h&d  (t ) = 0

(13)

Luego: ~ ~ h& + α h = 0

(14)

Obteniéndose la misma ecuación que en el caso 1, pero con la diferencia ~ que la variable del error h depende de la altura deseada hd  (t )   que es variante en el tiempo. La idea de la Linealización por Realimentación es el de cancelar los términos no lineales, y obtener una dinámica lineal deseada, que puede ser simplificada aplicando una clase de sistemas no lineales descritas por la llamada forma “companion” o forma canónica controlable. Se dice que en un sistema está en su forma compañía, si su dinámica está representada por: ( n)

 x =  f  ( x ) + b( x )u

(15)

donde: ( n)

 x =

d n x dt n

 x  : salida escalar de interés u  : ley de control escalar

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  x =  x  x& ... 

Capítulo 5: Linealización por Realimentación

T 

  x  : vector de estado 

( n −1)

 f  ( x ) , b( x) : funciones no lineales de los estados ( n −1)

Si:  x1 =  x ,  x 2 =  x& ,  x3 =  x&&, K ,  x n = x Entonces la representación en espacio de estado pueda ser reescrita como:  x 2    x&1            x3   x& 2     M =  M      x n  x& ( n −1)      x    f  ( x) + b( x)u      & n    

Para sistemas que pueden expresarse en su forma canónica controlable, se puede usar una ley de control no lineal que anule las no linealidades, de la forma: u=

1 b( x)

(v −  f  ( x))

(16)

Reemplazando (16) en (15) se obtiene: (n)

 x =  f  ( x) + b( x ).

1 b( x )

(v −  f  ( x ))

(n)

 x = v

(17)

La ecuación (17) es una ecuación lineal. Esta ecuación es función de la señal equivalente v , la cual puede seleccionarse dependiendo del tipo de control lineal a emplearse, que puede ser localización de polos, control óptimo, etc. 

Si seleccionamos una ley de control por regulación de la forma: ( n −1)

v = −k 0 x − k 1 x& − k 2 x && − L − k n −1 x

(18)

Reemplazando (18) en (19) se obtiene: (n)

( n −1)

 x + k n −1  x + L + k 2 x && + k 1 x& + k 0 x = 0

(19)

el cual implica que si t  → ∞ ⇒  x(t ) → 0 , que puede representarse con la gráfica 5.1:

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x(t)

t

Figura 5.1: Respuesta del sistema de control por regulación. Nota:  La determinación de los valores de la ganancia k 0, k 1, k 2, …, k n-1  es ya conocido.



Si seleccionamos una ley de control de seguimiento, que incluya la referencia o salida deseada x d (t), de la forma:

(n−1)

(n)

v = xd − k 0e − k 1e& − k 2&e& −L− k n−1 e

(20)

Reemplazando la ecuación (20) en (17), considerando obtenemos: (n)

e(t ) =  x(t ) −  x d  (t ) ,

( n −1)

(n)

(  x −  x d  ) + k n −1 e + L + k 2 &e& + k 1e& + k 0 e = 0 ( n)

( n −1)

e + k n −1 e + L + k 2 &e& + k 1e& + k 0 e = 0

( 21)

el cual implica que si t  → ∞ ⇒  x(t ) → 0 , que puede representarse en la figura 5.2: x(t) x(t)

xd(t)

t

Figura 5.2: Respuesta del sistema de control de seguimiento. ________________________________________________________________________ M. Sc., Ing. Raúl Benites Saravia Lima - Perú

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

5.1.2 Linealización Entrada-Estado Considere un sistema no lineal de la forma:  x& =  f  ( x, u )

(22)

La técnica de linealización entrada-estado resuelve este problema en dos etapas: 1. Encontrar una transformación de estado z=z(x) y una transformación de entrada u=u(x,v), tal que la dinámica del sistema no lineal se transforma en una dinámica equivalente lineal invariante en el tiempo, en la forma:  z& =  Az +  Bv

( 23)

2. Usar técnicas de control lineal, como por ejemplo la técnica de localización de polos, para diseñar v .

Ejemplo 5.2: Ilustremos con un ejemplo de un sistema de segundo orden, dado por:  x&1 = −2 x1 + ax 2 + sen x1

( 24)

 x& 2 = − x 2 cos x1 + u cos ( 2 x 2 )

(25)

Aunque el diseño de controladores lineales pueda estabilizar el sistema en una región alrededor del punto de equilibrio (0, 0), no resulta obvio que todos los controladores puedan estabilizar en una región grande. Una dificultad específica es la no linealidad en la ecuación (18), que no puede ser directamente cancelada por la entrad de control “u ”. Sin embargo, si consideramos un nuevo conjunto de variables de estado:  z1 =  x1  z 2 = ax 2 + sen x1

(26) (27)

Derivando las nuevas variables de estado dadas por las ecuaciones (26) y (27), se obtiene:

 z&1 = −2 z 1 +  z 2

(28)

 z& 2 = −2 z1 cos z1 + cos  z 1 sen  z 1 + au cos( 2 z1 )

(29)

Observar que las nuevas ecuaciones de estado también tienen un punto de equilibrio en (0, 0). La ecuación (28) es lineal, por lo que solo tenemos que seleccionar una ley de control no lineal para la ecuación (29) que depende de “ u ”. ________________________________________________________________________ M. Sc., Ing. Raúl Benites Saravia Lima - Perú

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Entonces seleccionando la ley de control: u=

1 a cos( 2 z1 )

(v − cos z1 sen z1 + 2 z1 cos z1 )

(30)

y reemplazándola en la ecuación (29) obtenemos:  z& 2 = v

(31)

Por lo que las ecuaciones (28) y (29) pueden ser reescritas como:  z&1 = −2 z 1 +  z 2

(28)

 z& 2 = v

(29)

Considerando que la nueva dinámica es lineal y controlable, entonces podemos aplicar una ley de control de regulación por localización de polos: v = − Kz = −[k 1

  z1  k 2 ]    z 2 

v = −k 1 z1 − k 2 z 2

Ya es bastante conocida la determinación de los valores de k 1 y k 2  del controlador por localización de polos. En la figura 5.3 se puede representar el mecanismo de la técnica de Linealización por Realimentación.

r=0

+

v=-Kz

u = u(x, v)

 x& =  f  ( x, u )

x

Lazo de linealización Lazo de localización de polos

 z =  z ( x)

Figura 5.3: Diagrama de bloques representativo de la Técnica de Linealización por Realimentación

5.1.3 Linealización Entrada/Salida Consideremos el problema de control de seguimiento, para ello considerar el siguiente sistema no lineal:  x& =  f  ( x, u )

(30)

 y = h ( x)

(31)

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

El objetivo es que la salida y(t) siga a la trayectoria de referencia y d(  t). La dificultad del diseño de control de seguimiento se reduce si podemos encontrar una relación simple y directa entre la salida del sistema “ y ” y la señal de control “u ”. Esta idea es la base de la denominada linealización I/O para el diseño de sistemas de control no lineal.

Ejemplo 5-3: Consideremos el siguiente sistema de tercer orden:  x&1 = sen x 2 + ( x 2 + 1) x 3

(32a )

 x& 2 =  x15 +  x3

(32b )

 x& 3 =  x12 + u

(32c )

 y =  x1

(32d )

Para generar una relación directa entre la salida “y ” y la entrada “u ”, debemos derivar tantas veces la salida hasta que aparezca “u ”. Derivemos tantas veces sea necesario la ecuación (32d) hasta que aparezca “u ”. Veamos:  y& =  x&1 = sen x 2 + ( x 2 + 1) x3  y && = cos x 2  x& 2 +  x& 2  x3 +  x 2  x& 3 +  x& 3 =  x& 2 (cos x 2 +  x3 ) +  x& 3 ( x 2 + 1) 5

2

= ( x1 +  x3 )(cos x 2 +  x3 ) + ( x1 + u )( x 2 + 1) 5

2

= ( x1 +  x 3 )(cos x 2 +  x3 ) + ( x 2 + 1) x1 + ( x 2 + 1)u

(33)

Efectuando la siguiente asignación: 5

2

 f  ( x ) = ( x1 +  x 3 )(cos x 2 +  x3 ) + ( x 2 + 1) x1 b ( x ) = ( x 2 + 1)

La ecuación (33) queda en la forma:  y && =  f  ( x ) + b ( x)u

(34)

Eligiendo: u=

1 b( x)

(v −  f  ( x))

(35)

y reemplazando en (34), tendremos:  y && = v

(36)

Considerando el error de seguimiento e =  y −  y d  , y asumiendo: v =  y &&d  − k 1e − k 2 e&

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(37) 8

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

Reemplazando (37) en (36) se obtiene:  y && =  y &&d  − k 1e − k 2 e& &e& + k 2 e& + k 1 e = 0

(38)

La ecuación (38) representa la dinámica del error exponencialmente estable. Si las condiciones iniciales: e(0) = e&(0) = 0 ⇒ e(t ) ≡ 0 , ∀ t  ≥ 0   se activa el perfecto seguimiento, o lo que es lo mismo decir que e(t) converge a cero. Se puede observar que:  

La ley de control “u ” no está definido en x 2  = -1. La implementación de la ley de control requiere que todos los estados estén disponibles.

Observaciones: 1. Si requerimos derivar la salida “r” veces para generar una relación explícita entre “y ” y “u ”, entonces se dice que el sistema tiene grado relativo ”r”. 2. La ecuación &e& + k 2e& + k 1e = 0  solo toma en cuenta parte de la dinámica a bucle cerrado debido a que es de orden 2 y la dinámica total es de orden 3. Una parte de la dinámica (descrito por una componente de estado) ha sido puesto como inobservable en la linealización I/O. Esta parte de la dinámica será denominada “dinámica interna”, porque no puede ser observada a partir de la ecuación  y && =  f  ( x) + ( x 2 + 1)u Para el ejemplo tratado, el estado interno puede ser seleccionado como x 3 (porque  x3 ,  y e  y& constituyen un nuevo conjunto de estados), y la dinámica interna estará representada por la ecuación (32c), que a continuación se reescribe:  x& 3 =  x 12 + u

( 39 )

Reemplazando (37) en (35) y luego (35) en (39) tendremos: 2

 x& 3 =  x1 +

1 ( x 2 + 1)

( y &&d  (t ) − k 1e − k 2 e& −  f  ( x ))

( 40)

Si esta dinámica interna es estable, entonces los estados permanecerán acotados en seguimiento. En este sentido, el problema de diseño del control está resuelto.

Ejemplo 5.4: Considere el sistema no lineal:

  x&1    x23 + u     =    x& 2    u  

(41)

 y =  x1

( 42)

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

Asuma que el objetivo es que la salida “ y ” siga a la trayectoria deseada “y d(  t)”. Derivemos la salida hasta que aparezca “u ”. Veamos:  y& =  x&1 =  x 23 + u

(43)

Seleccionando la ley de control: 3

u = − x 2 − e(t ) +  y& d  (t )

( 44)

Reemplazando (44) en (43) tendremos que:  y& =  x 23 −  x 23 − e(t ) +  y& d  (t )  y& −  y& d  (t ) = −e(t ) ;

e& =  y −  y d  (t )

⇒ e& + e = 0

( 45)

La ecuación (45) es de primer orden. Dinámica interna:  x& 2 = u  x& 2 = − x 23 − e(t ) +  y& d  (t )

Luego: 3

 x& 2 +  x 2 =  y& d  (t ) − e(t )

(46)

Si “e” es acotado y asumiendo que  y& d   es acotado, entonces:  y& d  (t ) − e ≤  D

Donde “D” es una constante positiva ( D〉 0 ). De la ecuación (46) se puede concluir que:  x2 ≤ D1 / 3

Entonces:  x& 2 〈 0

cuando  x 2 〉 D 1 / 3

 x& 2 〉 0

cuando  x 2 〈 −  D1 / 3 ,

o

−  x2

〉 D1 / 3

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

5.1.4 Linealización Exacta de sistemas en la Forma Canónica Controlable De las consideraciones tratadas en las secciones anteriores, podemos establecer que la clase de sistemas no lineales representados en la forma:  x&1 =  x 2  x& 2 =  x3  x& 3 =  x 4

( 47)

M

 x& n −1 =  x n  x& n =  f n ( x1 , x 2 , K , x n ) + u g n ( x1 , x 2 ,K , x n )

son exactamente linealizables  mediante una redefinición de la variable de control “u ” en términos del estado y de una entrada auxiliar externa “ v ”. La ecuación (47) exhibe una cadena de integración pura y, además, todas sus no linealidades, así como la variable de control, están adscritas a la última ecuación diferencial. Un sistema con tal estructura es llamado sistema no lineal en la forma canónica controlable . En la figura 5.4 se muestra la estructura de este sistema.

u

 f n ( x ) + u g n ( x)

 x& n

∫

xn

∫

xn-1

x2

∫

x1

Figura 5.4: Diagrama de bloques no lineal del sistema en forma canónica controlable

Veamos el procedimiento de linealización: 1. Considerando la última línea de la ecuación (47), podemos definir la entrada auxiliar equivalente “v ” como: v =  f n ( x1 ,K , x n ) + u g n ( x1 ,K , x n )

(48)

Entonces, reemplazando (48) en (47) se obtiene un sistema perfectamente lineal, que exhibe una estructura de cadena de integración pura:

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación  x&1 =  x 2  x& 2 =  x3  x& 3 =  x 4

( 49)

M

 x& n −1 =  x n  x& n = v

A la estructura del sistema (49) se le llama forma canónica de Brunovsky. 2. La variable auxiliar de control “v ” es entonces la ley de control que realimenta linealmente las variables de estado. Por ejemplo, la ley de control lineal por localización de polos del tipo regulador sería: v = −a1 x1 − a 2 x 2 − K − a n −1 x n −1 − a n x n

(50)

Reemplazando la ecuación (50) en (49), obtendremos:  x&1 =  x 2  x& 2 =  x 3  x& 3 =  x 4

(51)

M

 x& n −1 =  x n  x& n = − a1 x1 − a 2 x 2 − K − a n −1 x n −1 − a n x n

donde los coeficientes a1 , a 2 , K, a n   son los elementos de ganancia del regulador, tal que el sistema en lazo cerrado es estable, debido a que la estabilidad del sistema lineal (51) está determinada por la ubicación de las raíces del polinomio característico:  p ( s ) = s n + a1 s n −1 + K + a n −1 s + a n

Para estabilidad, todas las raíces del polinomio característico deben ubicarse en el semiplano izquierdo del plano complejo, entonces diremos que es p(s) es Hurwitz. 3. Comparando (47) con (51) nos permite establecer la siguiente relación:  f n ( x1 , x 2 , K, x n ) + u g n ( x1 , x 2 , K, x n ) = v = −a1 x1 − a 2 x 2 − K − a n −1 x n −1 − a n x n

de la que se deduce la ley de control no lineal:

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u= u=

Capítulo 5: Linealización por Realimentación

v −  f n ( x1 , x 2 ,K , x n ) g n ( x1 , x 2 ,K , x n )

(− a1 x1 − a 2 x 2 − K − a n −1 x n −1 − a n x n ) −  f n ( x1 , x 2 , K, x n ) g n ( x1 , x 2 , K , x n )

(52)

La linealización exacta obtenida será válida y útil, solamente en dos circunstancias: 1. La linealización es válida en todo el ambiente del espacio de estado donde se cumpla: g n ( x1 , x 2 ,K , x n ) ≠ 0

(53)

2. La linealización es útil en la medida en que el sistema lineal en lazo cerrado sea asintóticamente estable  a cero. La linealización que acabamos de obtener, es una linealización exacta de entrada-estado.

5.1.5 Sistemas reducibles a la Forma Canónica Controlable Un sistema en la forma canónica controlable dada por (47), es linealizable en forma exacta. Sin embargo, esta clase de sistemas se restringe a sólo algunos ejemplos que pudieran incluso carecer de significación física. En general, los modelos de los sistemas dinámicos no se presentan en esta forma; por lo que es necesario buscar mecanismos y condiciones que permitan transformar la representación dinámica de un sistema dado a la forma canónica controlable. Un modelo suficientemente general de un sistema no lineal puede ser descrito por ecuaciones diferenciales de la forma:  x&1 =  f 1 ( x1 , x 2 ,K , x n ) + u g1 ( x1 , x 2 , K , x n )  x& 2 =  f 2 ( x1 , x 2 ,K , x n ) + u g 2 ( x1 , x 2 ,K , x n )  x& 3 =  f 3 ( x1 , x 2 , K, x n ) + u g 3 ( x1 , x 2 ,K , x n )

(54)

M

 x& n −1 =  f n −1 ( x1 , x 2 , K, x n ) + u g n −1 ( x1 , x 2 , K, x n )  x& n =  f n ( x1 , x 2 ,K , x n ) + u g ( x1 , x 2 , K , x n )

El sistema dado por (54) puede ser reescrito en forma compacta (como sistema afín):  x& =  f  ( x ) + u g ( x )

(55)

donde: ________________________________________________________________________ M. Sc., Ing. Raúl Benites Saravia Lima - Perú

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

 x = ( x1 , x 2 , K, x n ) T 

  f 1 ( x1 , x 2 ,K, x n )   g1 ( x1 , x2 ,K, x n )    f  ( x , x , K, x )  g ( x , x , K, x )  n  n  2 1 2 2 1 2   f  ( x ) = ; g ( x) =      M M     K K  f   x  x  x g  x  x  x ( , , , ) ( , , , ) n  n   n 1 2  n 1 2 La clase de sistemas representada por (55) recibe el nombre de sistemas afines de control, debido a que dicho conjunto de ecuaciones diferenciales son precisamente lineales en el control. Las funciones f(x) y g(x) reciben el nombre de campos vectoriales, que son diferenciables, respecto de las componentes de x, un número infinito de veces. Entonces diremos, que f(x) y g(x) son campos vectoriales infinitamente diferenciables. Diremos también que estos campos vectoriales son campos suaves . Veamos un ejemplo que nos permita transformar un sistema no lineal a su forma canónica controlable.

Ejemplo 5.5: Consideremos el siguiente sistema no lineal:  x&1 =  x1 x 2 + u  x& 2 =  x 2 − u

(56)

Como el sistema es de segundo orden (n = 2), deberemos seleccionar una primera variable de estado, por ejemplo z 1, que al derivarlo respecto del tiempo sea independiente del control, y pueda ser definida como segunda variable de estado (z 2 ). Si a esta segunda variable de estado “ z 2”  se le deriva, deberá aparecer la variable de control “u ”. Veamos:  z1 =  x1 + x 2

(57)

Derivando z 1 y usando (56), tendremos:  z&1 =  x&1 +  x& 2 =  x1 x2 + x 2

(58)

Como vemos, esta primera derivada es independiente del control, entonces pasa a ser z 2  , así:  z 2 =  x1 x 2 + x 2

(59)

Aplicando la derivada respecto del tiempo a la variable z 2  , se obtiene:

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

 z& 2 =  x&1 x 2 + ( x1 + 1) x& 2 = ( x1 x 2 + u ) x 2 + ( x1 + 1)( x 2 − u ) 2

 z& 2 =  x1 x 2 +  x1 x 2 +  x 2 + u ( x 2 −  x1 − 1)

(60)

Como podemos apreciar de la ecuación (60), la derivada de la nueva variable “z 2 ” depende de la señal de control a través de las variables originales “ x ”. Por consiguiente, de las ecuaciones (57) y (59) las nuevas variables de estado se pueden escribir en función de las variables originales, así:

  z1     x1 +  x2     =   +  z  x  x  x 2 1 2 2        

(61)

Nos falta conocer si este cambio de coordenadas es invertible; para ello debemos de verificar que el determinante de la matriz Jacobiana de (61) es diferente de cero (no singular). Veamos: La matriz Jacobiana de (61) es:

 ∂ z1  ∂ z ∂ x = 1 ∂ x  ∂ z 2  ∂ x   1

∂ z1  

 1 1    =     ∂ z 2   x  x + ( 1 )   2 1     x ∂ 2   ∂ x 2

(62)

y el determinante es:

 ∂ z  = +  x − x  1 1 2  ∂ x 

det

Sería singular, en el conjunto de puntos donde 1 +  x1 − x 2 = 0 ; por consiguiente podemos concluir que el cambio de coordenadas dada por (61) es invertible para todo valor de ( x1 , x2 )  tal que 1 +  x1 − x 2 ≠ 0 . Ahora, de (61) podemos obtener las siguientes posibles soluciones locales   de la inversión:

 x1 =  z1 −

(1 +  z1 ) + (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 2 (63)

 x 2 =

(1 +  z1 ) + (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 2

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

O bien,

 x1 =  z1 −

(1 +  z1 ) − (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 2 (64)

 x 2 =

(1 +  z1 ) − (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 2

Si consideramos como solución válida las expresiones dadas por (64), entonces, reemplazando (64) en (58) y (60) se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales del sistema transformado, en nuevas variables de estado “ z ”, dado por:  z&1 =  z 2

   (1 +  z1 ) − (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2    (1 +  z1 ) − (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2    ×  z& 2 =  2 +  z1 −   2 2         (1 +  z1 ) − (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2    + u [(1 + 2 z1 ) + (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 − 1] (65) 2   Obteniéndose así un nuevo sistema en su forma canónica controlable. La ley de control no lineal para este nuevo sistema será: u=

1 2

((1 + 2 z1 ) + (1 +  z1 ) − 4 z 2 − 1)

[v −  f  ( z )]

Si (1 + 2 z1 ) + (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 − 1 = ( x2 − x1 − 1) = 0 , entonces la ley de control “ u ” se desvanece, es decir no está definida. Por consiguiente, la estrategia de control que diseñemos será válida para (1 + 2 z1 ) + (1 +  z1 ) 2 − 4 z 2 − 1 = ( x 2 − x1 − 1) ≠ 0 .

5.1.6 Condiciones de existencia para la transformación a la Forma Canónica Controlable Ahora estamos en la posibilidad de formular en forma más precisa las condiciones de existencia de una transformación del vector de estado que torna al sistema original en un sistema en forma canónica controlable. La condición necesaria y suficiente   para que exista una transformación del vector de estado que lleve a un sistema no lineal de la forma (55) es que exista una función escalar diferenciable h(x) tal que se cumpla: ________________________________________________________________________ M. Sc., Ing. Raúl Benites Saravia Lima - Perú

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1. existencia de la transformación inversa:

 ∂h( x)   ∂ x   (1)   ∂ h ( x)  rango  ∂ x  = n  M   ( n −1)   ∂ h ( x)     ∂ x 

(66)

2. Las (n-1) primeras derivadas de h(x) no dependen del control: ∂h ∂u

=

∂h& ∂u

( n −1)

=K=

∂ h ∂u

=0

(67)

(i ) (i )

donde h ( x) =

∂ h ( x) ∂ x

i

3. La derivad n-ésima depende explícitamente del control: (n)

∂ h ( x, u ) ∂u

≠0

(68)

Ejemplo 5.6: Control de la orientación de un artefacto espacial Supóngase que deseamos controlar la posición angular θ   de un artefacto espacial, como el que se muestra en la figura 5.5. Para controlar este artefacto se dispone de una tobera que puede girar alrededor de su base sobre un pivote especial. El ángulo de orientación de la tobera respecto al eje principal del cuerpo de la astronave es  β   . La tasa de variación del ángulo de la tobera es directamente proporcional a u . L  es la distancia desde el punto de apoyo de la tobera en el cuerpo del artefacto hasta el centro de gravedad de la nave (c. g.). Se supone que la fuerza F   de reacción, debido a la expulsión de los gases de la combustión del motor del artefacto, está aplicada sobre el punto de apoyo de la tobera. Como consecuencia de la fuerza F   el artefacto gira alrededor de su centro de gravedad en uno u otro sentido. El problema de control consiste en mantener el ángulo θ   en un valor fijo θ d  , usando como control la velocidad de variación u del ángulo  β   de la tobera.

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θ 

c.g  F

 β 

 L

Figura 5.5: Esquema de un artefacto espacial

Las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento del sistema se obtienen de la segunda ley de Newton: F  sen β  L =  J 

d 2θ  dt 2

(69)

El ángulo  β   crece o decrece, de acuerdo al control aplicado u  mediante la ley de variación: d  β  dt 

=  Ru

(70)

donde R   es una constante conocida que representa una ganancia estática del actuador o transductor que convierte la señal de control u   en velocidad de variación del ángulo  β . Supondremos que existe cierta limitación en los valores de u , los cuales adscribiremos, arbitrariamente, al intervalo cerrado [-1, 1]. Considerando las siguientes variables de estado:  x1 = θ   x2 = θ & = ω   x3 =  β 

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

y reemplazándolas en las ecuaciones (69) y (70), se obtienen las siguientes ecuaciones de estado:  x&1 =  x 2  x& 2 =

FL

 J   x& 3 =  Ru

(71)

sen  x 3

De (71) encontramos que los puntos de equilibrio son:  X 1 = arbitrario = θ d  ;  X 2 = 0 ;  X 3 = 0 ; U  = 0

Podemos considerar que la salida es el error de posición, dada por: h( x) =  x1 −  X  . Haciendo:  z1 =  x1 −  X  = h( x )  z 2 =  x 2 = h&( x )  z 3 =

FL  J 

sen  x3 = h&&( x )

Esta transformación es invertible, al menos localmente, pues: ∂ z ∂ z1  ∂h( x)       1  ∂& x   ∂ x1 ∂ x 2 ∂ z  ∂h( x)  =  ∂ z 2 ∂ z 2 =  ∂ x  ∂ x   ∂ x1 ∂ x 2  h&&  x   ∂ ( )   ∂ z 3 ∂ z 3   ∂ x    ∂ x1 ∂ x 2  ∂ z  FL det  = cos  x 3 ≠ 0 ⇒  x  J  ∂    

∂ z1  

      0 1 0  ∂ z 2   ; 0  = 0 1  ∂ x3  FL  0 0 cos  x3  ∂ z 3   J       ∂ x3   ∂ x3

− π  / 2 〈  x3

〈 π  / 2

Con dichos valores de x 3,  se cubre todos los valores prácticos del ángulo de posicionamiento de la tobera medido desde el eje principal de la nave. La transformación inversa está dada por:  x1 =  z1 +  X   x 2 =  z 2

  Jz 3      FL 

 x3 = sen −1 

Entonces, el sistema transformado resulta:

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 z&1 =  x&1 =  x 2 =  z 2  z& 2 =  x& 2 =

 z& 3 =

FL  J 

FL  J 

sen  x3 =

cos  x 3  x& 3 =

FL  J 

 

  Jz 3      =  z 3   FL  

sen  sen −1 

 

2   −1   Jz 3    FLR     Jz 3      cos  sen  1−    Ru =  u   J  FL  J  FL               

FL

Resumiendo:

 z& 1 =  z 2  z& 2 =  z 3  z& 3 =

2      Jz      1 −  3  u  J     FL      

FLR

La señal de control no lineal que linealiza al sistema no lineal transformado es:

u=

         J   v  J   − k 1 z1 − k 2 z 2 − k 3 z 3   =   2  2 FLR   Jz 3    FLR    Jz 3    1 −    − 1         FL     FL    

Si el controlador es un regulador por localización de polos, cuyos polos deseados en lazo cerrado son: α 1 , α 2 y α 3 , entonces el polinomio característico deseado es:  p( s) = ( s + α 1 )( s + α 2 )( s + α 3 ) 3

2

= s + (α 1 + α 2 + α 3 ) s + (α 1α 2 + α 1α 3 + α 2α 3 ) s + α 1α 2α 3

( I )

Además el sistema transformado lineal, es:

  z&1   0 1 0   z1   0         & = 0 0 1  z  2   z 2  +  0 v  z&   0 0 0  z   1    3       3      Entonces el polinomio característico en lazo cerrado del sistema de control es:

sI  − ( A +  BK ) =

s

−1

0

0

s

−1

− k 1

− k 2

s − k 3

3

2

= s − k 3 s − k 2 s − k 1

( II )

Igualando coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), obtenemos las ganancias del regulador: ________________________________________________________________________ M. Sc., Ing. Raúl Benites Saravia Lima - Perú

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Capítulo 5: Linealización por Realimentación

k 1 = −α 1α 2

3

k 2 = −(α 1α 2 + α 1α 3 + α 2α 3 ) k 3 = −(α 1 + α 2 + α 3 )

Entonces, la señal de control no lineal que linealiza al sistema no lineal transformado, es:

u=

     z  z  z α  α  α  α  α  α  α  α  α  α  α  α  − − + + − + + ( ) ( )  J   1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3 3   2 FLR  Jz       1−  3      FL   

En coordenadas originales el controlador resulta ser:

 − α  α  α  ( x −  X ) − (α  α  + α  α  + α  α  ) x − (α  + α  + α  ) FL sen  z  1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3 3  J    J  u=   FLR cos  x3    

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