CAP3 - 31 Método Del Valor Presente

 

CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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MÉTODOS DE SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS

Evaluación de alternativas económicas En las decisiones económicas se necesita tomar en cuenta los flujos de efectivo, tanto los ingresos o egresos de las mismas, analizarlos y llevar a cabo evaluaciones comparativas con otras oportunidades alternas de inversión y de selección. En nuestra selección no debe estar basada en juicios intuitivos o en factores emotivos y actitudes que no puedan reducirse a términos con sentido cuantitativo, debemos considerar diversas situaciones de nuestras oportunidades alternas de inversión, que nos permitan medirlas y evaluarlas en forma sistemática sus principales consecuencias de carácter económico. Se debenoestablecer de decisión que incorporen algún significativas índice, medida de equivalencia, una base criterios de comparación que resuma las diferencias en las alternativas de selección. Es fundamental el poder reducir los diferentes planes de inversión a un común denominador; esto nos permitirá compararlos con el objeto de decidir cual es el más favorable, desde el punto de vista económico. Las bases de comparación más comunes en ingeniería económica son: el valor  presente, el costo anual y la tasa de recuperación.

Una oportunidad de inversión se describe usualmente por el flujo actual de entradas y desembolsos que se anticipan, si se lleva a cabo la inversión. Cuando nosotros representamos en un diagrama o tabla estas cantidades decimos que contamos con un flujo de efectivo de la inversión. Cuando contamos con entradas y salidas simultáneas en una oportunidad de inversión, se calcula el flujo de efectivo neto, que es la suma aritmética de los ingresos y desembolsos que ocurren en el mismo punto en el tiempo. Tipos de propuestas de inversión Es importante hacer distinción entre alternativas y propuestas de inversión, esta última se considera como un proyecto simple y una posibilidad de inversión. La alternativa es una opción de una decisión.

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Las propuestas de inversión se consideran alternativas; sin embargo, una alternativa de inversión puede consistir de un grupo de propuestas de inversión. Ejemplo si se consideran dos propuestas "p" y "q", es posible tener entonces cuatro opciones ó alternativas de decisión: a) Rechazar ambas propuestas  b) Aceptar solamente a "p" c) Aceptar solamente a "q" d) Aceptar ambas propuestas También es posible representar como alternativa la opción de "no hacer nada" o la de rechazo de ambas propuestas. Las propuestas las podemos clasificar en independientes y dependientes. Una propuesta independiente es aquella cuando su aceptación no tiene efecto sobre la aceptación de cualquiera de las otras propuestas del conjunto. Una propuesta dependiente la tenemos cuando las propuestas contenidas en un conjunto de ellas se relacionan de tal forma que la aceptación de una de ellas influirá en la aceptación de las otras. Cuando tenemos una propuesta que una vez aceptada, ésta impide que se puedan aceptar cualquiera de las otras de un conjunto de propuestas, decimos que las propuestas son mutuamente excluyentes. Esto ocurre cuando tratando de satisfacer una necesidad y se tiene una variedad de propuestas las cuales cada una satisface esa necesidad. Una vez iniciada una propuesta, surgen un número de inversiones auxiliares como resultado de la inversión inicial. A estas inversiones auxiliares se les conoce como  propuestas contingentes, pues su aceptación está condicionada a la aceptación de otras  propuestas. Sin embargo la aceptación de una propuesta inicial es independiente de las propuestas contingentes. Alguna terminología utilizada en evaluaciones económicas: Los ingresos de operación son la suma de dinero recibida por las ventas y/o renta de  bienes y/o servicios. Los costos de operación son la suma de dinero que se requiere para producir los bienes y/o servicios, incluyen usualmente mantenimiento, inspección, pruebas, ventas , administración. El costo inicial es la suma del costo de compra, fletes, impuestos, instalación y todo aquellos gastos relacionados con la puesta en marcha.

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El valor de desecho o valor de salvamento es la suma obtenida al vender una propiedad que se retira del servicio. su monto es el precio de venta menos otros gastos relacionados con el retiro de la propiedad, fletes etc. Podemos encontrar valores de desecho negativos, si los costos por retirar un activo son mayores que los ingresos que se obtienen por su venta. Vida económica de una propiedad es el número de años de servicio que el usuario espera retener la propiedad para su uso. Es aquel período de operación que minimiza el costo anual. Los gastos de depreciación son la diferencia del costo inicial menos el valor de desecho, durante la vida del bien. Impuestos sobre los ingresos es la cantidad requerida para pagar los impuesto. Tasa de rendimiento mínima atractiva ( TREMA ) es el porcentaje de rendimiento anual efectivo sobre la inversión que satisface el mínimo aceptable para el inversionista. Estas definiciones las utilizaremos en las evaluaciones de alternativas por los métodos del valor presente, del costo anual y de la tasa de recuperación.

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3.1 Método del valor presente En este método se reduce la serie de ingresos y egresos efectuados durante la vigencia de cada una de las alternativas a un valor presente equivalente, lo que permite hacer una comparación y elegir la más favorable. El hecho de que el valor presente se aplique tanto a costos como a ingresos, puede causar confusiones. Sólo deberá recordarse que el valor presente de una serie de costos es un costo y que la alternativa más económica es la más baja, mientras que el valor presente de una serie de ingresos es un ingreso y la alternativa más económica es la más elevada. Con el único fin de una comparación económica es la de seleccionar una de las alternativas, es importante considerar sólo las diferencias entre las alternativas, el valor  presente de cada alternativa es un valor presente comparativo, y la comparación de valor  presente debe hacerse sobre el mismo número n úmero de años, para cada alternativa.

3.1.1 Comparación de alternativas con vidas útiles iguales. La comparación de alternativas que tienen vidas útiles iguales por el método del valor  presente Si lases2directa. alternativas se utilizan en idénticas condiciones se denominan alternativas de igual servicio y los ingresos anuales tienen el mismo valor numérico. Por consiguiente el flujo de caja sólo comprende desembolsos, caso en el cual es conveniente omitir el signo menos de los desembolsos. Ejemplo Realizar una comparación por el método del valor presente, para las máquinas de igual servicio para cuyos costos se muestran a continuación. Si el i = 10 % Costo inicial Costo anual de operación CAO Valor de salvamento VS Vida útil ( años ) 

Tipo A  $ 250,000  $ 90,000 $ 20,000  5

Tipo B  $ 350,000  $ 70,000 $ 35,000  5 

La representación gráfica será:

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El flujo de efectivo en forma tabular también se puede representar de la forma siguiente: FIN DEL AÑO 0 

PROPUESTA A

21  3  4  5  5 

PROPUESTA B 

- $ 250,000

- $ 350,000 

-$ -$ -$ -$ $

-$ -$ -$ -$ $

90,000  90,000  90,000  90,000  20,000 

70,000  70,000  70,000  70,000  35,000 

La solución nos pide seleccionar una de las propuestas por el método del valor  presente, lo que indica que todos los valores debemos encontrar su valor presente, para tener una base de comparación y elegir la más favorable. %,5)  VPa    $250, 000  $90, 000( P / A ,10%, 5)  $20 ,000( P / S,10%, 5

VPa 

250 0,000  $90,000  $25    1  .  1

000 01.15  $578   ,752.38   1    $20,00  0.101.15     

VP b    $350, 000  $70,000( P / A ,10%, 5)  $35, 000( P / S,10%, %,5) 

   1  . 15  1     $35,0001.15  $59 VP b  $350,00 000 0  $70,000   593   3,62 622 2.82    0.101.15     

Seleccionamos la máquina tipo "a" pues el VPa  VPb   Cuando se dice que ambas propuestas son de igual servicio, es porque las utilidades que se obtienen ya sea con una máquina o con la otra son iguales, en este caso no es necesario que se tomen en cuenta para la comparación de igual manera este problema fue considerado los flujos de efectivo con sus respectivos signos. Estas propuestas son mutuamente excluyentes pues al seleccionar una de ellas, la otra se elimina.

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Ejemplo Se tienen cuatro alternativas para evaluar, seleccione la más conveniente si el capital  puede invertirse a una tasa del 10 %. Considere los datos siguientes: s iguientes: FIN DE AÑO  0  1  2  3 

ALTERNATIVA A1  - $ 10,000  - $ 2,500  - $ 2,500  $ 1,000 

ALTERNATIVA A2  - $ 12,000  - $ 1,200  - $ 1,200  $ 1,500 

ALTERNATIVA A3  - $ 12,000  - $ 1,500  - $ 1,500  $ 1,500 

ALTERNATIVA A4  - $ 15,000  - $ 400  - $ 400  $ 3,000 

Solución: VPA1   $10, 000  $2, 500( P / A, 10%, 2)  $1, 000( P / S,10%, 3)   VPA1

  1  . 12  1     $1,0001.13  $ 13,587.50    $10,000  $2,500    0.101.12     

VPA2   $12, 000  $1, 200( P / A, 10%, 2)  $1,500( P / S,10%, 3)  VPA 2

   1  . 12  1     $1,5001.13  $ 12,95 955 5.65   200 0    $12,000  $1,20  0.101.12     

VPA3   $12, 000  $1, 500( P / A,10%, 2)  $1, 500( P / S,10%, 3)  VPA3

  1 . 12  1     $1,5001.13  $ 13,476.30    $12,000  $1,500    0.101.12     

VPA4   $15,000  $ 400( P / A ,10%, %, 2)  $3, 000( P / S,10%, % , 3)  2    1.  1  1     $3,0001.13  $ 13,440.30   VPA 4  $15,000  $ 400    0.101.12     

Lógicamente la alternativa que se selecciona es la A2 ya que es la que minimiza el costo.

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Ejemplo Un inversionista necesita tres máquinas para su proceso productivo, un torno un taladro y una fresadora. La compañía maneja un trema del 15 %, espera que sus máquinas duren 8 años. Le presentan las siguientes propuestas:

PROPUESTAS DE TORNOS  A1  A2  A3  PROPUESTAS DE TALADROS  B1  B2  B3  B4  PROPUESTAS DE FRESADORA S  C1  C2 

INVER NVERSI SI N INICIAL   - $ 10,000  - $ 20,000  - $ 30,000 

INGRESOS NETOS ANUALES  $ 3,000  $ 6,400  $ 8,000 

- $ 5,000  - $ 10,000  - $ 15,000  - $ 20,000 

$ 1,000  $ 5,200  $ 6,200  $ 7,100 

- $ 15,000  - $ 30,000 

$ 4,500  $ 8,400 

El primer paso es el de calcular el valor presente de cada una de las alternativas y  puesto que son mutuamente excluyentes, seleccionar de cada cad a grupo, la más conveniente. Tornos   1.15   8  1    VPA1  $10,000  $3, 000  $3,461.95    0.151.158      8   1.15     1    VPA 2  $20,000  $6, 400  $8,718.85 *   8  0.151.15     8   1.15     1   VPA3  $30,000  $8, 000  $5,898.55    0.151.158     

 ____________________________ ________________________________________  _________________________________________________________ ___________ Taladros   1.15   8  1    VPB 1  $  5,000  $1,000    $  512.70    0.151.158        1.15   8  1    VPB 2  $10,000  $5,  200  $13,334.00 *    0.151.158     

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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VPB 3

VPB 4

  1.15   8  1     $15,000  $6, 200  $12,821.40    0.151.158        1.15   8  1     $20,000  $7 ,100  $11,860.00    0.151.158     

 ____________________________ ________________________________________  _________________________________________________________ ___________ Fresadoras   1.15   8  1    VPC1  $15,000  $4, 500  $5,192.95    0.151.158         1.158  1     $7,693.50  *   VPC2   $30,000  $8,400 8 0.15 51.15 1.15    0.1

La elección de cada alternativa puede considerarse como un problema separado, puesto que cada alternativa es independiente. Seleccionamos, la propuesta A2 de la alternativa 1; la propuesta B2 de la alternativa 2 y la propuesta C2 de la alternativa 3. El comprar estas máquinas $20,000+$10,000+$30,000 = $ 60,000

nos

representa

una

inversión

total

de

Es importante considerar las limitaciones de capital para invertir, lo que nos obliga hacer cambios, si no contamos con los $ 60,000 tenemos que hacer otro tipo de análisis, más adelante lo trataremos.

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Ejemplo Una compañía que opera taxis desea determinar ¿ cuál es el mejor tipo de automóvil  para usarlo como taxi ? Después de hacer varios estudios se descubre que los autos más caros atraen a los clientes y que su conservación es menos costosa que la de los autos más  baratos (...). La siguiente tabla son datos estimados para una vida v ida económica de 5 años.

AUTOMÓVIL 

COSTO 

VALOR DE SALVAMENTO 

A  B  C  D  E 

- $ 40,000  - $ 52,000  - $ 62,000  - $ 84,000  - $ 120,000 

$ 16,000  $ 20,000  $ 24,000  $ 27,000  $ 40,000 

COSTO ANUAL DE OPERACIÓN Y CONSERVACIÓN   - $ 20,600  - $ 19,000  - $ 18,800  - $ 17,200  - $ 14,000 

INGRESOS ANUALES  $ 42,000  $ 44,000  $ 47,000  $ 53,000  $ 57,000 

Si la tasa mínima de rendimiento requerido es del 20 %. ¿ cuál automóvil es más ventajoso, utilizando el método del valor presente ? VPA

VPB

VPC

VPD

VPE

  1. 25  1     $16,0001.25    $  30,429.13  $40,000  ($42,000  $20,600   ) 5  0 . 20 1 . 2       5          1. 2  1   $52,000  ($44,000  $19,000  )  $20,0001.25    $  30,802.84 5  0.201.2      5          1. 2  1  000 0  ($47,000  $18,800  )  $24,0001.25    $  31,980.31  $62,00 5  0.201.2      5          1. 2  1   $84,000  ($53,000  $17,200  )  $27,0001.25    $  33,914.60  0.201.25        1. 25  1         $40,0001.25    $  24,671.40   )  $120,000  ($57,000  $14,000  0.201.25         

El automóvil más ventajoso es el "D" cuyos ingresos son mayores que los demás.

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Cuando el dinero disponible tiene un límite. Supongamos un problema de decisión, en donde existen propuestas independientes, mutuamente excluyentes y contingentes, y que además existe limitación en cuanto al capital. En este caso, se deben listar todas las posibles combinaciones de propuestas y el flujo de efectivo debe determinarse para las diferentes alternativas mutuamente excluyentes, eliminando aquellas que requieran más capital que el disponible y evaluando sólo las factibles. Ejemplo Se tiene el siguiente problema de inversión. Existen las siguientes propuestas mutuamente excluyentes en A, B, C, ( A1, A2; B1, B2; C1 ) . Sin embargo, como alternativas son independientes, A, B y C. El inversionista cuenta sólo con $ 35,000 y su tasa mínima atractiva de rendimiento es del 8 % anual. PROPUESTA 

COSTO INICIAL 

A1  A2  B1  B2  C1 

- $ 10,000  - $ 12,000  - $ 20,000  - $ 30,000  - $ 35,000 

INGRESO NETO DEL AÑO 1 AL 10   $ 2,000  $ 2,100  $ 3,100  $ 5,000  $ 4,500 

VALOR DE RECUPERACIÓN   $ 1,000  $ 2,000  $ 5,000  $ 8,000  $ 10,000 

VALOR PRESENTE  $ 3,883  $ 3,018  $ 3,117  $ 7,255  - $ 173 

Para reducir el número de combinaciones mutuamente excluyentes que deben ser consideradas, es usual que primero se calcule el valor presente de cada propuesta. Esto lo haríamos de la siguiente manera:  Costo osto inic inicia iall + Ingreso Ingreso anua anuall (P / A, A,8%,10) 8%,10) + Val alor or de recu recuperac peración ión (P / S,8%,10) S,8%, 10)  VPPROP.     C

Si cualquiera de las propuestas tiene un valor presente negativo, se puede eliminar (como en el caso C1 ). Las propuestas restantes se arreglan en diferentes alternativas y su flujo de efectivo se lleva a valor presente, como enseguida se muestra: PROPUESTAS 

ALTER.  NATIVAS 1  2 3 4 5 6 7 8 9

PROPUESTAS ACEPTADAS 

A1 

A2 

B1 

B2 

0  1 0 0 0 1 1 0 0

0  0 1 0 0 0 0 1 1

0  0 0 1 0 1 0 1 0

0  0 0 0 1 0 1 0 1

 NINGUNA A1 A2 B1 B2 A1,B1 A1,B2 A2,B1 A2,B2

COSTO INICIAL  

$0 - $ 10,000 - $ 12,000 - $ 20,000 - $ 30,000 - $ 30,000 - $ 40,000 * - $ 32,000 - $ 42,000 *

INGRESO  NETO

VALOR DE

AÑO 1-10 

RECUPER. 

$0 $ 2,000 $ 2,100 $ 3,100 $ 5,000 $ 5,100 $ 7,000 $ 5,200 $ 7,100

$0 $ 1,000 $ 2,000 $ 5,000 $ 8,000 $ 6,000 $ 9,000 $ 7,000 $ 10,000

VALOR PRESENTE 

$0 $ 3,883 $ 3,018 $ 3,117 $ 7,255 $ 7,000 $ 11,138 ** $ 6,135 $ 10,273 **

Las alternativas que tienen un (*) rebasan la capacidad de capital, por lo que sus valores presentes (**) no pueden ser considerados. La alternativa seleccionada será la número 5 con ingresos mayores de $ 7,255.

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3.1.2 Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes. Cuando el método del valor presente se utiliza para comparar alternativas que tienen vidas útiles diferentes, sólo podremos utilizarlo cuando las alternativas tengan el mismo número de años. Sería injusto hacer una comparación entre dos alternativas de un largo  período de servicio ( y su largo flujo de d e costos ) con otro corto ( con su flujo corto de costos ), entonces es evidente que las alternativas deben compararse para períodos iguales de tiempo. Para realizar ésto, cuando las alternativas tienen vidas diferentes, necesitamos hacer ajuste que nos permitan aplicar el método, entonces, buscaremos un común denominador de las vidas útiles, de tal forma que podamos comparar dichas vidas y así tener una referencia igual entre las alternativas. Ejemplo, si deseamos comparar alternativas con vidas útiles de 3 y 4 años, estas alternativas deberán compararse sobre un período de 12 años, suponiendo una reinversión al final del ciclo de vida útil de cada una de ellas. Ejemplo Una compañía trata de decidirse por una reparación mayor de una máquinas "A" , o la compra de otra máquina "B", cuyos datos de las dos máquinas se detallan a continuación, ninguna cuenta con valor de recuperación. Determinar la selección en base de una comparación del valor presente utilizando una tasa de interés del 10 %. COSTO INICIAL  GA GASTO STOS S DE DE O OPER PERACI ACI N  VIDA TIL 

M QUI QUINA " A " 

M QUI UINA NA " B " 

$ 8,000  $ 16,000  3 A OS 

$ 40,000  $ 11,000  8 A OS 

La comparación se tendrá que hacer sobre el mínimo común de las vidas, para este caso será de 24 años, por lo que el ciclo de la máquina "A" se repite 8 veces, y el de "B" tres veces, tal como se muestra:

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Para la solución, entonces encontraremos el valor presente de estos dos diagramas 3

VPA

 

6

 $ 8,000  $ 8,0001.1 15

 $ 8,0001.1

 $ 8,0001.1 18

 $ 8,0001.1

9

 $ 8,0001.1 21

 $ 8,0001.1

12

 $ 8,0001.1



 

 1.1 24  1    $16,000  0.11.124      

 

VPA    $ 172,659.10  

8

VPB  $ 40,000  $ 40,0001.1

16

 $ 40,00 000 01.1

 1.1 24  1     $ 11,000  0.11.124      

 

VPB   $ 166,197.64

Seleccionamos la alternativa "B" por ser de menor costo, compramos la nueva máquina.

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Ejemplo Una planta de cemento espera abrir una nueva cementera. Se han diseñado dos planes  para el movimiento de materia prima de la cantera a la planta. El plan A requiere la compra de dos palas removedoras de tierra y la construcción de una terminal de descarga . El plan B requiere la construcción de una banda transportadora desde la cantera a la  planta. Los costos para cada plan aparecen en la siguiente tabla. ¿ Qué plan debe seleccionarse, si el valor actual del dinero es del 15 %. PLAN A  PALA  COSTO INICIAL  COSTO ANUAL DE OPER.   VALOR DE SALVAMENTO   A OS 

$ 90,000 / 2 Palas  $ 6,000  $ 10,000  8 

PLAN B  TERMINAL 

TRANSPORTADORA 

$ 28,000  $ 300  $ 2,000  12 

$ 175,000 $ 2,500 $ 10,000 24

La alternativa "A" tiene una vida de 8 años las palas, ésta debe conjuntarse con la terminal que tiene un vida de 12, esta alternativa se comparara con una de 24 años de duración, por lo que tenemos que encontrar el mínimo común de las vidas para su solución. Por lo que el ciclo de las palas se repite 3 veces y el de la terminal 2 veces, como se muestra.

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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El valor presente de la alternativa "A" será: 8

VP palas  $90,000  $90,0001.15 8

   $10,0001.15

16

 $90,0001.15

  1.15   24  1     $6,000   0.151.1524       

 

 $10,0001.1516  $10,0001.1524   $ 162,954.61

VPter min al  $28,000  $28,0001.15

12

  $2,0001.1512  $2,0001.1524 

  1.15   24  1      $34,719.85    $300  0.151.1524     

 

VPA  $162 162,95 954 4.61    $34,719.85   $197   ,67 674 4.46  

El análisis de la alternativa "B" será:

Su valor presente se obtiene por: 24   1. 15        1  24  VPB  $175,00 000 0  $2,500 000 01.15 735 5.08      $10,00   $ 190,73 24  0.151.15     

Seleccionamos la alternativa "B" construir la transportadora Al considerar servicio, no se toman ingresos, por lo que algunos autoresalternativas considerande losigual signos de los costos como encuentra positivos (los ejemplo anterior ), sin embargo el resultado de la selección no se ve afectada. La alternativa "B" es menor en un total de $ 6,939.38 de costo menor que la alternativa "A".

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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3.1.3 Cálculo del costo capitalizado. Cuando nuestros proyectos ha realizar son de una duración muy grande, como podrían ser la construcción de una presa, escuelas, puentes, canales etc. es apropiado analizarlos por los costos capitalizados. Una comparación de costos capitalizados es una comparación de valor actual por un  período que se supone infinito o muy grande. Si alternativas de este tipo van a ser comparadas es conveniente saber a que converge (P/A, i %, n) cuando "n"     1  i n  1     dividimos numerador y denominador por (S/P, i %,n) (P / A, i%, n )    i1  i n       

y aplicamos limites cuando n   

1   i n n 1 1  1 n li lim m  1  i  1 1  i  ( P/A, i %, n )      n i i n    i 1 i 1  i n lim lim

 1 (  P / A,  i %, n )    n i

Entonces el valor presente de una anualidad que parte del período uno al infinito es: P

  A  

i

El valor de "P" es el costo capitalizado, es el valor presente de un proyecto perpetuo.

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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Podemos decir que si nosotros depositamos $100 a una cuenta que paga el 15 % anual, nosotros podemos hacer retiros de $15 al final del primer año, quedando nuevamente en la cuenta $ 100 los cuales nuevamente van ha ganar el 15 %, por lo que el siguiente año  podemos hacer hac er nu nuevamente evamente un retiro de $ 15, repitiéndose la situación nuevamente, por lo que lo podremos hacer en forma indefinida, si no cambian las condiciones. A = Pi A = 100 (0.15 ) = $ 15 por año En forma inversa podremos preguntarnos ¿ qué cantidad debemos depositar de tal manera podamos retirar en forma indefinida $ 15 anuales? Si la tasa de interés es del 15 %.   A P i   $15 P  $100 0.15

En el cálculo del costo capitalizado de un proyecto es importante considerar varios aspectos. a) Hacer el diagrama del proyecto.  no recurrentes o sea los que ocurren una sola vez.  b) Identificar los los gasto gastosoeingresos ingresosrecurrentes c) Identificar y dibujarlos al menos dos ciclos. d) Obtener el valor presente de todos llos os gastos no recurrentes. e) Obtener el costo anual uniforme equivalente ( A ) de todos los gastos e ingresos recurrentes y de las series de costos anuales uniformes. f ) Encontrar el costo capitalizado del costo anual uniforme equivalente.

Ejemplo Encontrar el costo capitalizado del proyecto siguiente si la tasa de interés es del 8% anual.

Los valores no recurrentes son los de $75,000 y $60,000 entonces su valor presente será:   

5

VP  $75,000  $60,0001.08



$700 0.08

1.089  $120   ,212.17  

Como puede observarse la anualidad que va desde el período 10 al infinito, encontramos un valor presente un período atrás de la primera anualidad, por medio de la fórmula del costo capitalizado, y este valor lo trasladamos al presente. Ejemplo Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un costo adicional de inversión de $50,000 a los 10 años. Los costos anuales de operación son de $ 5,000 los primero 4 años y de $8,000 de allí en adelante. Además, se espera que haya un costo recurrente de reoperación de $ 15,000 cada 13 años. Suponga una i = 5 %.  ______________________________________________________________________  ________________________ ____________________________________________________________ ______________

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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Calculamos el valor presente de los valores no recurrentes   

10

VP1  $150 150,000  $50   ,0001.05

  ,69 695 5.65    $180

Los costos recurrentes de $15,000 los convertimos a una anualidad, para realizar esto, consideramos que los $15,000 como una "S" y la convertimos en 13 anualidades, con dado Encontrar el costo capitalizado del proyecto siguiente si la tasa de interés es del 8% anual. "S" encontrar "A". Esto sería idéntico para los siguientes valores de $15,000 que se encuentran en el período 26, y los siguientes que se encuentren más adelante que serían los de los períodos de 39,52 etc.   0.05     $847   A1  $15,000    1.0513  1     

Estos valores de $847 que van desde el período uno al infinito los podemos sumar a la anualidad uniforme de $5,000, que también va del período uno al infinito A2   $5, 000  $847  $5, 847  

Encontramos su valor presente, por medio de la fórmula del costo capitalizado. VP2 

$5, 847 0. 05

 $116, 940 

Enseguida sólo nos falta encontrar el valor presente de los $3,000 que van del período 5 al infinito. ¿ por qué $3,000 ? Si consideramos que los $5,000 no sólo por 4 períodos sino que los consideramos hasta el infinito, entonces a partir del período 5 serían $8,000-$5,000 = $ 3,000.

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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Entonces nuestro valor presente de los $3,000 del período 5 al infinito lo encontramos en el período 4, de este lo trasladamos al valor presente. VP3 

$3,00 000  0   0.05

  ,362.15     1.054  $49

El valor presente total será: VPtotal  VP1  VP2  VP3

  VPtotal  $180, 695. 00  $116, 940  $49, 362 .15  $346, 997 .80

También se puede trabajar las anualidades de $5,000 durante 4 períodos y las anualidades de $8,000 desde el período 5 en adelante.    VP1  $150 150,000  $50   ,69 695 5.65     ,0001.0510  $180   0.05     $847   A1  $15,000    1.0513  1      VP2  $847  $16, 940   0. 05

Si ahora consideramos solamente 4 anualidades de $5,000 y encontramos su valor  presente dado "A" encontrar "P".   1.05   4  1    VP3  $5,000    $17,729.75    0.051.054     

Los $8,000 van desde el período 5 en adelante aplicamos costo capitalizado y luego los trasladamos al presente. VP4 

$8,000    0.05

131   1,632.4     1.054  $13

Entonces su valor presente total es: VPtotal  VP1  VP2  VP3  VP4

  VPtotal  $180, 695. 00  $16, 940  $17, 729. 75  $131, 632. 40  $346, 997.80

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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3.1.4 Comparación del costo capitalizado de dos alternativas Cuando se analizan dos o más alternativas, en las cuales su vida útil se considera que es muy grande, utilizamos la fórmula del costo capitalizado. Ejemplo Una presa cuyo costo de construcción es de $100,000 mdd, tendrá un desembolso anual de $ 15,000 por concepto de mantenimiento y operación y otro diseño cuesta $150,000 mdd con $10,000 de desembolsos anuales por mantenimiento y operación, ambas construcciones se consideran como permanentes, y la tasa mínima requerida por rendimiento es del 5 %. Seleccione una de ellas.

Para encontrar el valor presente de estos diagramas, debemos considerar que las anualidades se repiten desde el período uno hasta al infinito para ambas alternativas, este  problema estamos comprando alternativas de vida de servicio iguales. VPA    $100 100, 000  $15, 000 VPB    $150 150, 000  $10, 00 000 0

 1 0. 05  1 0. 05

 $400, 000   $350, 000 

Seleccionamos la alternativa "B" por ser la de menor costo. Como se observa, para encontrar el valor presente de la anualidad, utilizamos la fórmula del costo capitalizado, que es cuando "n" tiende a infinito.

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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Ejemplo Compare dos máquinas cuyos datos se muestran a continuación. Considere una tasa de interés del 20 % anual.

COSTO INICIAL COSTO COST O ANUAL DE OPERA OPERACI CI N VALOR DE SALVAMENTO REP.. GRAL. REP GRAL. CAD CADA A 6 A OS VIDA TIL

M QUINA A  $ 50,000  $ 62,0 62,000 00  $ 10,000  ---------  7 

M QUINA B  $ 200,000  $ 24,000  -----  $ 4,000 

 



Este problema es una comparación entre dos alternativas de vida útil diferente,  procederemos a encontrar el mínimo el común de las vidas, que es infinito, por lo que la máquina "A" tendremos que repetirla en forma indefinida. Los diagramas correspondientes serán:

El valor presente de la máquina "A" será: VPA1   $50, 000  VPA2   $50, 000  $10, 000  $40, 000 en el año 7  

Estos $40,000 se repiten cada en el año 14, 21, 28, etc., así indefinidamente, para calcular su valor presente es necesario convertir en una anualidad uniforme para los  primeros 7 años los cuales se repetirán indefinidamente. Entonces: Entonces :   0.20      $3,096.957    1.27  1     

A  $40,000

Esta anualidad va desde el período uno al infinito por lo que podemos aplicar el costo capitalizado.  ______________________________________________________________________  ________________________ ____________________________________________________________ ______________

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CAPITULO III- ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

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VPA2 

  $3, 096. 957 0. 20

 $15, 484. 78 

El valor presente de las anualidades es: VPA3 

 $62, 000 0. 20

 $310, 000  

Entonces el valor presente total VPtotal  VPA1  VPA2  VPA3

VPtotal  $51, 000  $15, 484. 78  $310, 000  $375, 484. 78

 

El valor presente de la máquina "B" es: VPB 1   $200, 000  Igualmente como procedimos en la alternativa anterior, cada 6 años se tienen costos de reparación de $ 4,000 los cuales se repiten en los períodos 12, 18, 24, etc., por lo que este valor lo convertimos a una serie anual uniforme durante 6 períodos.   0.20      $402.8229   6    1.2  1 

A  $4,000

Esta anualidad va desde el período uno al infinito, aplicamos el costo capitalizado. VPB 2  VPB 3  VPtotal

 $402.8229

0. 20  $24, 000

 $2,014 .11 

 $120, 000  0. 20  VPB 1  VPB 2  VPB 3

VPtotal  $200, 000  $2, 014.11  $120, 000  $322, 014.1149

 

La alternativa que tiene menores costos es la "B" la que seleccionamos.

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