CAP13-1 Pernos 2

Corte en los pernos: φR n = 0.75Fnv mA b =0.75*60*2*0.4418=39.8 kips por perno Asumiendo que la distancia libre al borde L c es mayor o igual a 2d, la resistencia al aplastamiento es: φR n = φ2.4dtFu =0.75*2.4*0.375*0.75*80=40.5 kips/perno # de pernos=96/39.8=2.4 Usar 4 pernos ¾” A325-X. La distancia al borde debe ser al menos 1.25” de acuerdo a AISC tabla J3.4

3.5.3. Determinar el número de pernos de ¾” A325 con agujeros estándar requeridos para soportar: D=7 kips L=43 kips Acero A36. Asumir que el empalme doble es tipo aplastamiento con hilo excluido del plano de corte, y doble fila de pernos.

La carga factorada es: T u=1.2D+1.6L=77 kips Se asumirá que la plancha central controla la resistencia a tensión. 2 Ag=10*0.25=2.5in 2 An=[10-2(3/4+1/8)]0.25=2.06 in 2 An ≤ 0.85Ag =0.85*2.5=2.13 in (según AISC J4.1) 2 Ae=An=2.06 in

φTn = φFy A g =0.9*36*2.5=81 kips (controla)

φTn = φFu A e =0.75*58*2.06=90 kips La resistencia de la plancha es mayor que T u → OK Corte en los pernos, A325-X φR n = 0.75Fnv mA b =0.75*60*2*0.4418=39.8 kips/perno Aplastamiento: φR n = φ2.4dtFu =0.75*2.4*0.25*0.75*58=19.6 kips/perno # de pernos=77/19.6=3.9 pernos=77/19. 6=3.9 Usar 4 pernos ¾”  Estructuras Metálicas. Semestre I 2009. Rodrigo Silva M.

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La falla del bloque de corte debe ser chequeada. La configuración preliminar de los pernos considerando las distancias al borde y espacio entre pernos adecuados es como sigue:

2

Anv=2*[5-1.5(3/4+1/8)]0.25=1.84 in 2 Ant=2*[2-0.5(7/8+1/8)]0.25=0.78 in 2 Agv=2*5*0.25=2.5 in Fluencia en corte - ruptura en tensión ( 0.6Fy A gv < 0.6Fu A nv )? 54 < 64.032

φTn = 0.75 0.6Fy A gv + Fu U bs A nt = 0.75*(0.6*36*2.5+58*1*0.78)=74 kips El bloque de corte controla sobre la fluencia en el área bruta. La resistencia de diseño es menor que la demanda, por lo tanto el diseño en insatisfactorio. Opciones: Colocar una plancha de mayor espesor, o 3 pernos por fila (también podrían espaciarse más los pernos, sin embargo esto no es usual y complica el detallamiento).

3.6. Conexiones criticas al deslizamiento De acuerdo a la figura figura (**), la la resistencia resistenc ia al corte es la la fuerza fuerza friccional µT . El coeficiente de fricción o de deslizamiento, µ, depende de las condiciones de la superficie. Este coeficiente varía en el rango de 0.2 a 0.6. Para permitir que el diseño de conexiones slip critical sea similar al de conexiones tipo aplastamiento, se divide la fuerza de fricción µT por el área del perno para obtener un pseudo esfuerzo de corte en el perno. Ejemplo. Determinar la fuerza P requerida para causar deslizamiento de un perno A325 de 7/8”, si µ=0.33. Calcular el ‘esfuerzo de corte” f v=P/Ab

La carga de pretensión viene de la tabla AISC J3.1 (pagina 15 guía) Tb=39 kips  Estructuras Metálicas. Semestre I 2009. Rodrigo Silva M.

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P= µTb =0.33*39=12.9 kips f v=P/Ab=12.9/0.6013=21.4 ksi AISC J3.8 permite que las conexiones críticas al deslizamiento sean diseñadas para prevenir deslizamiento como estado límite de servicio o de resistencia. De todos modos, la falla real será por corte de los pernos o aplastamiento, lo cual debe ser verificado de acuerdo a lo visto anteriormente. Se recomienda que las conexiones slip critical con agujeros estándar o alargados perpendiculares a la carga se diseñen basado en serviciabilidad. Cualquier deslizamiento que pudiera ocurrir causaría cambios menores en la geometría. Las conexiones con agujeros agrandados o alargados paralelos a la carga deben diseñarse para prevenir deslizamiento como estado límite de resistencia. En estos casos se presume que un deslizamiento causará un aumento significante de la carga en los pernos. La resistencia al deslizamiento de una conexión depende de tres factores: - coeficiente de deslizamiento de las superficies en contacto - método de pretensión - tamaño y forma del agujero La resistencia nominal para conexiones slip critical es: R n = µD u h sc N s T b µ=coeficiente de deslizamiento para superficies clases A o B, o determinado por tests. = 0.35 para clase A = 0.5 para clase B Du=1.13, razon entre pretensión del perno provista y pretensión mínima hsc=1.0 para agujeros estándar; 0.85 para agujeros agrandados y de ranura corta; 0.70 para agujeros de ranura larga Ns=numero de planos de deslizamiento Tb= tensión mínima del perno de acuerdo a tabla J3.1

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La resistencia de diseño será φR n , con φ =1.0 si el deslizamiento es estado límite de servicio, o φ =0.85 si el deslizamiento es estado límite de resistencia. Nota: La especificación RCSC para pernos estructurales en sección 5.4.1 y 5.4.2 establece ecuaciones levemente diferentes a las provistas por la especificación AISC para edificios de acero.

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Ejemplos 1) Determinar la capacidad a tensión de la conexión del ejemplo 3.5.1., considerando que sea slipcritical, con superficie tipo A. Usar pernos A325 de 7/8”, agujeros estándar, planchas de acero A572 Gr. 50. R n = µD u h sc N s T b =0.35*1.13*1.0*1*39=15.4 kips El factor φ para agujeros estándar para estado límite de serviciabilidad se considera 1.0.

φR n =1.0*15.4=15.4 kips La capacidad de la conexión es φTn =15.4*4=61.7 kips < resistencia a tensión de las planchas=122 kips

φTn =1.2D+1.6L=6.0D 61.7=6.0D D=10.3 kips L=3D=30.9 kips T=D+L=41.2 kips Los requerimientos de espaciamiento son los mismos que para conexión tipo aplastamiento. 2) Rediseñar la conexión del ejemplo 3.5.2 como slip-critical usando a) agujeros agrandados, b) agujeros estándar. Superficie clase A, pernos de 5/8” A325 en doble fila. La resistencia φTn calculada previamente es 96 kips a) R n = µD u h sc N s T b =0.35*1.13*0.85*2*19=12.8 kips El factor φ para agujeros agrandados para estado límite de resistencia se considera 0.85.

φR n =0.85*12.8=10.9 kips # de pernos=96/10.9=8.8 Usar 10 pernos 5/8” A325-SC b) El factor φ para agujeros estándar para estado límite de serviciabilidad se considera 1.0. La capacidad de la conexión es φR n =1.0*12.8=12.8 kips # de pernos=96/12.8=7.5 Usar 8 pernos 5/8” A325-SC

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30

3.6. Corte excéntrico

Existen dos métodos de diseño: 1) Método tradicional, análisis elástico vectorial, en que se desprecia la fricción, las planchas se asumen rígidas y los pernos elásticos; 2) Análisis plástico o a la resistencia, donde se asume que el grupo de pernos rota alrededor de un centro instantáneo de rotación, y la deformación de cada perno es proporcional a su distancia del centro de rotación. AISC no prescribe el método de análisis para este caso, por lo tanto la elección queda a criterio del diseñador. Las ecuaciones para ambos métodos se describen en el manual AISC sección 7-6.

Método vectorial

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Despreciando la fricción entre las planchas, el momento debe ser igual a: M = R 1d1 + ... + R 6 d 6 La deformación en cada perno se asume proporcional a su distancia del centro de torsión. Si todos los pernos son elásticos y de igual área, la fuerza R en cada perno es también proporcional a su distancia. R R1 = ... = 6 d1 d6 Reescribiendo las fuerzas en función de R 1 y d1, R 1 = Reemplazando, M =

R1 d1

[d

2 1

+ d 22 + ... + d 62 ] =

La fuerza en el perno 1 será R 1 = R=

∑

Md 1

∑

d2

R1 d1

∑d

R 1d 1 d1

; R2 =

R 1d 2 d1

; …; R 6 =

R 1d 6 d1

2

, y similarmente para cada perno se puede escribir:

Md

∑d

2

Si se quisiera determinar el esfuerzo, habría que dividir por el área, el denominador sería Ad , que es el momento polar de inercia J c/r al centro de rotación para el grupo de pernos. Esta 2

ecuación es similar a la fórmula de torsión para sección circular, Tr/J. y x Las componentes verticales y horizontales de R son: R x = R ; R y = R d d My Mx = Reemplazando en la ecuación anterior, R x = ; R y d2 d2

∑

2

2

Como d =x +y , My Rx = ; Ry = 2 x + y2

∑

∑

∑

2

Mx

∑x + ∑y 2

2

La fuerza R para un perno debido al momento es: R =

2

2

Rx + Ry

La fuerza de corte en un perno debido a corte directo es R v=P/N La fuerza total R es: R =

[R

+ R v ] + R 2x 2

y

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32

Ejemplo Determinar la carga de corte en el perno más solicitado. Todos los pernos tienen la misma área.

Se puede observar que los pernos superior e inferior derecho son los más cargados. La excentricidad es e=2+3=5” M=24*5=120 kips-in 2 2 2 x2 + y 2 =6*2 +4*3 =60 in

∑

∑

My

Rx =

∑

Ry =

∑

2

x +

∑

y2

Mx 2

x +

∑

y2

=120*3/60=6 kips (hacia la derecha) =120*2/60=4 kips (hacia abajo)

Rv=P/N=24/6=4 kips (hacia abajo) R=

[R

+ R v ] + R 2x =10 kips 2

y

Ejemplo Calcular la fuerza en el perno superior derecho de la conexión. e=6.6” M=10*6.6=66 kips-in 2 2 d 2 =4*3.61 =52 in

∑

Rx = Ry =

My

∑

d2

Mx

∑

d2

=66*3/52=3.81 (hacia la derecha) =66*2/52=2.54 kips (hacia abajo)

Rvx=Pcosα /N=10*0.8/4=2 kips (hacia la derecha) Rvy=Psinα /N=10*0.6/4=1.5 kips (hacia abajo) R=

[R

+ R vv ] + [R x + R vx ] =7.08 kips 2

y

2

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33

Método por resistencia o método plástico La aplicación de la carga P provoca traslación y rotación del grupo de pernos. Esta traslación y rotación puede reducirse a una rotación pura c/r a un punto definido como centro instantáneo de rotación. Los requerimientos de equilibrio son: N

∑F

H

=0;

∑R

i

sin θ i − P sin δ = 0

i =1 N

∑ F = 0 ; ∑ R cos θ − P cos δ = 0 ∑M = 0 ; ∑ R d − P(e + x cos δ + y sin δ) = 0 V

i

i

i =1

N

i

i

0

0

i =1

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34

Estas ecuaciones tienen 3 incógnitas (P, x 0, y0). Cuando la fuerza resistente R i es proporcional a la deformación, o cuando el ángulo δ es igual a 0 o 90 o, el ángulo α es igual a δ y la ecuación anterior se reduce a:

∑

N

M = 0;

∑R d i

i

− P(e + r0 ) = 0

i =1

donde r0 es la distancia entre el centro instantáneo de rotación y el centroide de la conexión CG. El concepto de centro instantáneo es idéntico para el método elástico cuando la resistencia R i se asume proporcional a la deformación (material lineal). Para ambos métodos la deformación es proporcional a la distancia d i desde el centro instantáneo. Para el método plástico en conexiones tipo aplastamiento, el deslizamiento se desprecia de manera tal que la deformación de cada perno es proporcional a su distancia desde el centro de rotación instantáneo. La resistencia de cada perno se relaciona con su deformación según su ley esfuerzodeformación. Experimentalmente se ha encontrado la siguiente expresión: R i = R ult (1 − e

)

−10 ∆ 0.55

e: base Neperiana

donde Rult=τu Ab. Los coeficientes 10 y 0.55 fueron encontrados experimentalmente y el máximo ∆ en falla fue aproximadamente 0.34”. Para pernos A325, la resistencia última al corte τu es aproximadamente 70% de la resistencia a tensión.

Ejemplo Determinar la resistencia nominal P n del grupo de pernos de la figura. Asumir que la máxima deformación ∆max en falla es 0.34 in.

Para pernos A325 de 7/8”, R i = R ult (1 − e

∑

)

−10 ∆ 0.55

=0.7*120*0.6013*(1-e

-10∆ 0.55

)

-10∆ 0.55

=50.5(1-e

)

La carga se aplica en la dirección y, por lo tanto δ=0. Se tiene que sinθi=y /d i i y cosθi=x /d i i Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio, y x R i d i = Pn (e + r0 ) Ri i Ri i =0; = Pn ; di di

∑

∑

Además de la hipótesis de deformación proporcional a la distancia,  Estructuras Metálicas. Semestre I 2009. Rodrigo Silva M.

35

∆i =

di d max

∆ max =

di d max

0.34

El proceso de solución es iterativo. Se necesita un valor inicial. Probar con r 0=3”

∑R

∑R d i

i

i

∑ Ri

∑R d i

i

xi

r0

3

Perno 1 2 3 4 5 6

xi 1 1 1 5 5 5

= Pn

yi 3 0 -3 3 0 -3

,i di Ri Ri*xi/di Ri*di 3.162278 0.184391 45.93639 14.52636 145.2636 1 0.05831 32.22425 32.22425 32.22425 3.162278 0.184391 45.93639 14.52636 145.2636 5.830952 0.34 49.56598 42.50248 289.0169 5 0.291548 48.97636 48.97636 244.8818 5.830952 0.34 49.56598 42.50248 289.0169 195.2583 1145.667

Pn

195.2583

= Pn (e + r0 )

Pn

143.2084

r0

2.06

Perno 1 2 3 4 5 6

xi 0.06 0.06 0.06 4.06 4.06 4.06

xi

di

di

= Pn

= Pn (e + r0 )

yi 3 0 -3 3 0 -3

di 3.0006 0.06 3.0006 5.048128 4.06 5.048128

,i 0.202095 0.004041 0.202095 0.34 0.273448 0.34

Ri 46.70159 8.551773 46.70159 49.56598 48.66942 49.56598

Ri*xi/di 0.933845 8.551773 0.933845 39.86386 48.66942 39.86386

Ri*di 140.1328 0.513106 140.1328 250.2154 197.5979 250.2154

138.8166 978.8074 Pn

138.8166

Pn

138.6413

Por lo tanto, la capacidad del grupo de pernos es P n=139 kips. Estudios han demostrado que es método plástico es un approach más racional para obtener la resistencia de conexiones de corte excéntrica. El método vectorial (elástico) fue encontrado conservador. Sin embargo, como dicho método no refleja el comportamiento real, los márgenes de seguridad son variables. Para este caso, la capacidad de la conexión usando el método elástico sería: Rn (de un perno)=60*0.6013=36.1 kips Pn=24/10*R=2.4*60*0.6013= 86.6 kips La capacidad de la conexión usando el método plástico no sería precisamente 139 kips, pues el corte nominal de un perno no puede exceder 36.1 kips, y el perno con más corte tiene 49.6 kips. Por lo tanto, la resistencia calculada debe reducirse por un factor 36.1/49.6. Así, P n=36.1/49.6*139=101.2 kips.

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36

El manual AISC posee tablas para corte excéntrico basado en el método plástico. Para este ejemplo, el espaciamiento horizontal de 4” no aparece en las tablas, por lo tanto es necesario interpolar. De tabla 7-8 para 3” y tabla 7-9 para 5 ½”, Tabla 7-8: s=3”; n=3; e=5”; coeficiente C=2.59 Tabla 7-9: s=3”; n=3; e=5”; coeficiente C=2.96 C interpolado= 2.59+(2.96-2.59)/(5.5-3)*(4-3)=2.74 Pn=C*Rn=2.74*36.1=98.9 kips Que es levemente menor al valor calculado previamente

Fórmula de diseño para momento en una línea de pernos

n: número de pernos requeridos por fila n=

6M Rp

(ver deducción en página 150 Salmon&Johnson 4th Ed. ) Esta ecuación permite estimar el número de pernos requeridos por fila, aunque igual es conveniente verificar la capacidad de la conexión usando el método descrito previamente. Para más de una fila de pernos, multiplicar R por un factor mayor a 1, que puede ser hasta 2 para una configuración de pernos cuadrada.

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37

Ejemplo Determinar el número de pernos A325 de 7/8” requeridos en una línea vertical de pernos en el clip de la figura. La conexión es tipo aplastamiento con hilo incluido en el plano de corte.

Pu=1.2*7+1.6*41=74 kips Resistencia de diseño de un perno, cizalle doble R n = Fnv mA b =48*2*0.6013=57.7

φR n = 0.75Fnv mA b =43.3 kips Aplastamiento, limitando deformación bajo cargas de servicio, R n = 2.4dtFu =2.4*0.875*0.5*58=60.9 kips (asumiendo los espaciamientos mínimos

φR n = 0.75 * 2.4dtFu =45.7 kips n=

6M Rp

=

6M u

φR n p

=

6 * 74 * 6 43.3 * 4

=3.9

Probar con 4 pernos

∑R

∑R d i

i

i

xi

r0

2.55

Perno 1 2 3 4

xi 2.55 2.55 2.55 2.55

yi 6 2 -2 -6

,i di Ri Ri*xi/di Ri*di 6.519394 0.439092 50.15492 19.61763 326.9797 3.240756 0.21827 47.28467 37.20611 153.2381 3.240756 0.21827 47.28467 37.20611 153.2381 6.519394 0.439 092 5 0.154 92 19.61763 326 .9797 113.6475 960.4356

di

= Pn

= Pn (e + r0 )

Pn

113.6475

Pn

112.3316

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38

La solución anterior es válida para cizalle simple e hilo excluido del plano de corte. Al considerar hilo en el plano de corte, la resistencia no puede exceder R n=48*0.6013=28.86 kips. La resistencia calculada se debe multiplicar por el siguiente factor: 28.86/50.2*2 (cizalle doble) φPn =0.75*28.86/50.2*2*112.3=96.8 kips > 74 kips OK Si se utilizan las tablas del AISC, Tabla 7-7, n=4; e=6”; s=3”, C=1.73 n=4; e=6”; s=6”, C=2.81 C interpolado= 2 1.73+(2.81-1.73)/3=2.09 φPn =0.75*48*0.6013*2*2.09=90.5 kips OK Nuevamente da levemente menor que el valor calculado. Rn Nota: la distancia al borde L c debe satisfacer ecuación 7, L c ≥ , con Rn=Ru / φ la fuerza en el KFu t perno más cargado.

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39

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40

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41

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42

3.7. Pernos en tensión pura

φR n = 0.75Fnt A b

1

Efecto de la pretensión en pernos bajo tensión externa

Antes de aplicar la carga externa, la situación es como la de la figura (b). Por equilibro, la fuerza de compresión en las planchas es C i=Tb. Luego se aplica la fuerza externa P como indica la figura (c). P+Cf =Tf  T − Tb La fuerza P alarga el perno en δ b = f  , entre el borde inferior de la cabeza del perno y la AbE b superficie de contacto entre las planchas. Al mismo tiempo, la compresión entre las planchas C − C f  disminuye y la plancha se extiende en δ b = i . Por compatibilidad de deformaciones, δb=δp. ApE p Tf  − Tb AbEb

=

C i − C f  ApEp

=

Tb − Tf  + P ApEp

.

El módulo de elasticidad para pernos y planchas es aproximadamente el mismo. Resolviendo Ap P para Tf  da: (Tf  − Tb ) 2 = Tb − Tf  + P . Finalmente, Tf  = Tb + 1+ Ap Ab Ab

Ejemplo

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43

Pernos A325 7/8”, espaciados a 3” y 1 ½” distancia al borde, el área tributaria se asume A p=9 in . Si se aplica la máxima carga de tensión permitida por el método LRFD por sobre la tensión inicial para pernos pretensados, cuanto aumenta la tensión en el perno? La razón carga viva/carga muerta es 4. 2

φR n = 0.75Fnt A b =0.75*90*0.6013=40.6 kips Ru=1.2D+1.6L=7.6D=40.6 D=5.342; L=21.368 Carga de servicio: D+L=26.7 kips Tensión inicial según tabla 4.4.1, pagina 15, T b=39 kips Tensión final en el perno: P 26.7 Tf  = Tb + =40.7 kips = 39 + 1 + Ap Ab 1 + 9 0.6013 El aumento de tensión es 4.3 %, lo cual no es considerable.

Ejemplo Determinar el número de pernos A490 ¾”. D=10% y L=90% de la carga mostrada.

φR n = 0.75Fnt A b =0.75*113*0.4418=37.4 kips Tu=1.2*0.1*140+1.6*0.9*140=218 kips n=Tu / φR n =218/37.4=5.8 Usar 6 pernos

3.8. Interacción corte-tensión La conexión de la figura a) es una conexión típica viga-columna rotulada, con doble clip apernado-soldado. Los pernos superiores estarían sometidos a corte y tensión. Sin embargo, solo una pequeña rotación es necesaria para cambiar de una condicion de borde rígida a rotulada. Además, el alma solo toma una parte menor del momento flector. Por lo tanto, este tipo de conexión prácticamente no transmitirá momento y no habrá tension en los pernos. En el caso b), la situación es diferente. Los pernos soportan una mayor tensión porque se debe transmitir un mayor momento. Las conexiones de la figura c) y d) son casos típicos de interacción corte-tensión.  Estructuras Metálicas. Semestre I 2009. Rodrigo Silva M.

44

Conexiones slip-critical con interacción corte-tensión (no se verá) Conexiones tipo aplastamiento Según estudios experimentales, 2

2

  f t     f v     +   = 1 F F   nt     nv   f t: esfuerzo de tensión requerido debido a las cargas mayoradas f v: esfuerzo de corte requerido debido a las cargas mayoradas El código AISC tiene una expresión simplificada para la interacción (AISC ec. J3-3a)

  f t     f v     +   = 1.3 F F φ φ   nt     nv  

3

La resistencia a tensión disponible para un cierto nivel de esfuerzo de corte, F’ nt, puede determinarse multiplicando ambos lados de la ecuación 12 por F nt y resolviendo para f  /  t φ F' nt =

f t

φ

= 1.3Fnt −

Fnt

φFnv

f v≤ Fnt

4

El esfuerzo de tensión en el perno debe satisfacer: R ut Ab



Fnt



φFnv

≤ φF' nt = φ 1.3Fnt −



f v  ≤ φFnt



5

Rut: carga de tensión facturada en el perno φ =0.75  Estructuras Metálicas. Semestre I 2009. Rodrigo Silva M.

45

Para pernos A325, el valor F nt /Fnv es igual a 1.9 y 1.5 para hilo incluido e excluido del plano de corte respectivamente. Así, 6  φF' nt = φ[117 − 1.9f v ] ≤ φFnt para pernos A325-N

φF' nt = φ[117 − 1.5f v ] ≤ φFnt para pernos A325-X

7 

OJO: AISC J3.7 dice:

Ejemplo Verificar los pernos de la conexión de la figura. A325, 7/8”. Conexión tipo aplastamiento, hilo excluido del plano de corte. D=10%, L=90% de la carga mostrada.

Pu=1.2*0.1*75+1.6*0.9*75=117 kips Pux=0.8*117=93.6 kips Puy=0.6*117=70.2 kips Tensión y corte mayorados por perno: Tu=93.6/6=15.6 kips Vu=70.2/6=11.7 kips Esfuerzo de corte mayorado: [f v=Vu /Ab=11.7/0.6013=19.5 ksi] > [0.2 φFnv =0.2*0.75*60=9 ksi] Por lo tanto, la interacción corte-tensión debe verificarse.  Estructuras Metálicas. Semestre I 2009. Rodrigo Silva M.

46

F' nt = 1.3Fnt −

Fnt

φFnv

F' nt = 1.3 * 90 −

φR nt

f v≤ [Fnt = 90ksi] 90

19.5 = 78 ksi 0.75 * 60 = 0.75F' nt A b =0.75*78*0.6013=35.2 kips > T u=15.6 kips OK

Ejemplo Determinar la máxima carga P para el ejemplo anterior asumiendo conexión con hilo incluido en el plano de corte. Pu=1.2*0.1*P+1.6*0.9*P=1.56P Pux=0.8*Pu=1.25P Puy=0.6*Pu=0.94P Tensión y corte mayorados por perno: Tu=1.25P/6=0.208P Vu=0.94P/6=0.156P Esfuerzo de corte mayorado: F F' nt = 1.3Fnt − nt f v≤ [Fnt = 90ksi] φFnv f v=Vu /Ab=0.156P/0.6013=0.26P F' nt = 1.3 * 90 −

φR nt

90

0.26 P =117-0.65P 0.75 * 48 = 0.75F' nt A b =0.75*(117-0.65P)*0.6013=52.8-0.293P

52.8-0.293P=0.208P P=105 kips F' nt = 117-0.65P=48.7 ksi