cap12 hibbeler

1.2

12

EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE

Deflexión de vigas y ejes

569

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO A menudo es necesario fijar límites sobre la cantidad de deflexión que puede experimentar una barra o un eje cuando están sometidos a una carga, por ello en este capítulo se analizarán diferentes métodos para determinar la deflexión y la pendiente en puntos específicos de vigas y ejes. Los métodos analíticos incluyen el método de integración, el uso de funciones de discontinuidad y el método de superposición. Además, se presentará una técnica semigráfica llamada método del momento de área. Al final del capítulo se usarán estos métodos para determinar las reacciones en los soportes de una viga o un eje estáticamente indeterminado.

12.1 La curva elástica Con frecuencia, debe limitarse la deflexión de una viga o eje con el fin de proporcionar integridad y estabilidad a una estructura o máquina, y así evitar el agrietamiento de cualquier material frágil unido a la viga como el concreto o el vidrio. Además, las restricciones de código suelen exigir que estos elementos no vibren o se desvíen de manera importante a fin de poder soportar con seguridad las operaciones de carga previstas. Si se analiza un elemento estáticamente indeterminado, resulta importante encontrar las deflexiones en puntos específicos de una viga o eje. Antes de determinar la pendiente o el desplazamiento en un punto de una viga (o eje), a menudo es útil trazar laforma flexionada de la viga cuando ésta soporta una carga para “visualizar” cualquier resultado calculado y por tanto verificar parcialmente estos resultados. La curva de deflexión del eje longitudinal que pasa porel centroide de cada área de sección transversal de una viga se denominacurva elástica. Para la mayoría de las vigas, la curva elástica puede trazarse sinmucha dificultad. Sin embargo, al hacerlo es necesario conocer la manera en que la pendiente o el desplazamiento están restringidos en diferentes tipos de soportes. En general, los soportes fuerza desplazamienque se resisten a una un pasador, restringen el fija, restringen to y aquellos que se resisten, como a unmomento , como una pared la rotación o la pendiente, así como el desplazamiento. Considerando esto,

en la figura 12-1 se muestran dos ejemplos típicos de las curvas elásticas para vigas cargadas (o ejes cargados), los cuales se dibujan a una escala exagerada.

P

P

Figura 12-1

569

1

2

570

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

�M

Si la curva elástica de una viga parece difícil de establecer, se sugiere primero dibujar el diagrama de momentos para la viga. Si se usa la convención de signos para una viga que se estableció en la sección 6.1, un momento interno positivo tiende a doblar laviga de manera cóncava hacia arriba, figura 12-2a. Del mismo modo, un momento negativo tiende a doblar la viga de forma cóncava hacia abajo, figura 12-2b. Por lo tanto, si se conoce el diagrama de momentos resultará fácil construir la curva elástica. Por ejemplo, la viga de la figura 12-3a se muestra en la figura 3.12b junto con su diagrama de momentos asociado. Debido a los soportes de rodillo y pasador, el desplazamiento enB y D debe ser cero. Dentro de la región de momento negativo,AC, figura 12-3b, la curva elástica debe ser cóncava hacia abajo y dentro de la región de momento positivo,CD, la curva elástica debe ser cóncava hacia arriba. Por consiguiente debe haber unpunto de inflexión en el punto C, donde la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, puesto que éste es un punto de momento nulo. Si se emplean estos hechos, es posible dibujar la curva elástica de la viga como se muestra en la figura 12-3c. También debe tenerse en cuenta que los desplazamientos ¢A y ¢E son especialmente críticos. En el puntoE la pendiente de la curva elástica escero y la deflexión de la viga puede ser un máximo. El hecho de que¢E sea en realidad mayor que¢A, depende de las magnitudes relativas deP1 y P2, y la ubicación del rodillo enB. Con base en estos mismos principios, observe cómo seconstruyó la curva elástica de la figura 12-4. Aquí, la viga está en voladizo con un soporte fijo en A y, por lo tanto, la curva elástica debetener desplazamiento y pendiente con valor de cero en este punto. Además, el mayordesplazamiento se producirá en D, donde la pendiente es cero, oen C.

�M

12 Momento interno positivo, cóncavo hacia arriba (a)

2 �M

�M

Momento interno negativo, cóncavo hacia abajo (b)

3

Figura 12-2

4

5

6

7 P1

P2 P

B

(a)

A

D C

8

E

(a)

M

A D

C

M

(b)

M

x

9

Diagrama de momentos

(b)

x

Diagrama de momentos

10

�E

B

(c)

D C

�A

C A

E

(c)

�C

A

�D

Punto de inflexión Punto de inflexión

11

Curva elástica

Figura 12-3

D

Curva elástica

Figura 12-4

12.1

LA CURVA ELÁSTICA

Relación momento-curvatura. Ahora se desarrollará una rela-

571 12

ción importante entre el momento interno yel radio de curvaturar (rho) de la curva elástica en un punto. La ecuación resultante se utilizará para establecer cada uno de losmétodos presentados en el capítulo para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos sobre la curva elástica. El siguiente análisis requerirá el uso de tres coordenadas en esta sección y en la siguiente. Como se muestra en la figura 12-5 a, el eje x positivo se extiende a la derecha, a lo largo del eje longitudinal inicialmente recto de la viga. Se usa para localizar elelemento diferencial, que tiene una anchura no deformada dx. El eje y se extiende positivo hacia arriba del eje x. Mide el desplazamiento de la curva elástica. Por último, una coordenaday “localizada” se emplea para especificar la posición de una fibra en el elemento de viga. Se midepositivo hacia arriba desde el eje neutro (o curva elástica) como se muestra en la figura 12-5b. Recuerde que esta misma convención de signos para x y y se utilizó en la obtención de la fórmula de la flexión. Para deducir la relación entre el momento interno yr, se limitará el análisis al caso más común de una viga en un principio recta, la cual se deforma elásticamente por las cargasaplicadas perpendicularmente al eje x de la viga, y se encuentra en el planox-y de simetría para la sección transversal de la viga. Debido a lascargas, la deformación de la viga es causada tanto por la fuerza cortante interna como por el momento flexionante. Si la viga tiene una longitud que es mucho mayor que su peralte, la mayor deformación será causada por la flexión y, por lo tanto, hay que prestar atención a sus efectos. Las deflexiones causadas por la fuerza cortante se analizarán en el capítulo 14.

2

3

4

5

6

7 O

¿

8

du r

r

9

v ¿

ds

ds P

w

y

dx M

y

dx

M

M

10

x dx

u

Antes de la deformación

x

(a)

Después de la deformación (b)

Figura 12-5

11

572

CAPÍTULO 12

O

12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

2

du r

r

¿

ds

ds

3

1

P =

y

4

Cuando el momento internoM deforma al elemento de la viga, el ángulo entre las secciones transversales se convierte endu, figura 12-5b. El arco dx representa una porción de la curva elástica que cruza eleje neutro para cada sección transversal. El radio de curvatura para este arco se define como la distancia r, que se mide desde el centro de curvaturaO¿ hasta dx. Cualquier arco distinto adx en el elemento está sometido a una deformación normal. Por ejemplo, la deformación en elarco ds, localizado en una posición y desde el eje neutro esP = (ds¿ - ds)>ds. Sin embargo, ds = dx = r du y ds¿ = (r - y) du, por lo que P = [(r - y) du - r du]>r du o bien

¿

dx M

y

Antes de la deformación

dx

Después de la deformación (b)

M

-

y

r

(12-1)

Si el material es homogéneo y se comporta de una manera elástico lineal, entonces aplica la ley de Hooke,P = s>E. Además, como aplica la fórmula de la flexión, s = -My>I. Al combinar estas dos ecuaciones y sustituirlas en la ecuación anterior, se tiene

Figura 12-5 (cont.)

1

M =

r

5

EI

(12-2)

donde r=

el radio de curvatura en el punto sobre la curva elástica (1>r se conoce como la curvatura) M = el momento internoen la viga en el punto E = el módulo de elasticidad del material

6

I

7

v

O¿

�M

�r

M

M

�M

Punto

8

r

de inflexión M

�

0 O¿

=

el momento de inercia de la viga respecto al eje neutro El producto EI de esta ecuación se conoce como larigidez a la flexión, y siempre es una cantidad positiva. Por lo tanto, el signo der depende de la dirección del momento. Como se muestra en la figura 12-6, cuandoM es positivo, y se extiende por encima de la viga, es decir, en la direccióny positiva; cuando M es negativo, r se extiende por debajo de la viga, o en la dirección y negativa. Si se usa la fórmula de la flexión,s = -My>I, también es posible expresar la curvatura en términos delesfuerzo en la viga, a saber,

Figura 12-6

1 9

10

11

s =

r

-

Ey

(12-3)

Las ecuaciones 12-2 y 12-3 son válidas para radios de curvatura pequeños o grandes. Sin embargo, el valor der casi siempre se calcula como una cantidad muy grande. Por ejemplo, considere una viga de acero A-36fabri3

en un perfil W14* 53en(apéndice dondeyE=ac ;=729(10 ksi ycada sY =con 36 base ksi. Cuando el material las fibras B), exteriores, pulg,)está a punto deceder, entonces r = ;5639 pulg de acuerdo con la ecuación 12-3. Los valores de s calculados en otros puntos a lo largo de la curva elástica de la viga pueden ser aúnmayores, puesto que s no puede ser superior a sY en las fibras exteriores.

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

573

12.2 Pendiente y desplazamiento

12

La ecuación de la curva elástica de una viga puede expresarse matemáticamente comoy = f(x). Para obtener esta ecuación, primero es necesario representar la curvatura (1>r) en términos de y y x. En la mayoría de los libros de cálculo se demuestra que esta relaciónes

2

por integración

1

2

2

d v> dx

=

[1

r

1dv> dx22]3>2

+

3

Sustituyendo en la ecuación 12-2, hemos 2

2

d v> dx

[1

M

1dv> dx22]3>2

+

=

EI

(12-4)

Esta ecuación representa una ecuación diferencial no linealde segundo orden. Su solución, que se denominaelástica, da la forma exacta de la curva elástica, suponiendo que las deflexiones de la viga se producen sólo debido a la flexión. Mediante el uso de matemáticas superiores, las soluciones elásticas se han obtenido sólo para casos simples de lageometría y la carga de una viga. La ecuación 12-4 puede modificarse con el fin de facilitar la solución de un mayor número de problemas de deflexión. La mayoría de los códigos de diseño de ingeniería especificanlimitaciones sobre las deflexiones por tolerancia o por fines estéticos, y como resultado las deflexiones elásticas para la mayoría de las vigas y ejes forman curvas poco pronunciadas. En consecuencia, lapendiente de la curva elástica, que sedetermina a partir de dy>dx será muy pequeña, y su cuadrado será insignificante comparado con la unidad.* Por lo tanto, la curvatura definida como se hizo anteriormente puede aproximarse mediante 1>r = d 2y>dx 2. Con esta simplificación, la ecuación 12.4 puede escribirse como 2

d v

M =

2

dx

(12-5)

EI

También es posible escribir estaecuación en dos formas alternativas. Si se diferencia cada lado con respecto ax y se sustituye V = dM>dx (ecuación 6-2), se obtiene d dx

¢

2

EI

d v 2

dx

≤

=

V1x2

2 2

dx

*Vea el ejemplo 12.1.

¢

2

EI

d v 2

dx

≤

=

1x2

w

5

6

7

8

9

(12-6)

Al diferenciar de nuevo, y usarw = dV>dx (ecuación 6-1), se obtiene d

4

10

(12-7) 11

574

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Para la mayoría de los problemas, la rigidez a la flexiónEI ( ) será constante en toda la longitud de la viga. Si se supone que éste es el caso, los resultados anteriores pueden reordenarse en el siguienteconjunto de tres ecuaciones:

12

4

2

EI

d v =

4

dx

w

1x2

(12-8)

V1x2

(12-9)

M1x2

(12-10)

3

EI

d v =

3

dx

3

2

d v EI dx2

4

5

6

7

8

P

w A

D B

C

(a)

9

=

La solución de cualquiera deestas ecuaciones requiere integraciones sucesivas para obtener ladeflexióny de la curva elástica. Para cada integración, es necesario introducir una “constante de integración” y luego despejar todas las constantes para obtener una solución única para un problema particular. Por ejemplo, si la carga distribuidaw se expresa como una función de x y se usa la ecuación 12-8, entonces deben evaluarse cuatro constantes de integración; sin embargo, si se determina el momento interno M y se usa la ecuación 12-10, sólo deben encontrarse dos constantes de integración. La elección de la ecuación con la que se empezará depende del problema. Sin embargo, por lo general resulta más fácil determinar el momento interno M en función de x, integrar dos veces y evaluarsólo dos constantes de integración. Recuerde de la sección 6.1 que si la carga sobre una viga es discontinua, es decir, que consiste en varias cargas diferentes concentradas ydistribuidas, entonces deben escribirse varias funciones para el momento interno, cada una con validez dentro de la región entre las discontinuidades. Además, para mayor comodidad en la escritura de cada expresión de momento,el srcen para cada coordenada x puede seleccionarse de manera arbitraria. Por ejemplo, considere la viga mostrada en la figura 12-7 a. El momento interno en las regionesAB, BC y CD puede escribirse en términos de las coordenadas x1, x2 y x3 seleccionadas, como se muestra en la figura 12-7b o la figura 12-7c, o de hecho en cualquier forma que produzcaM = f (x) de una manera tan simple como sea posible. Una vez que estas funciones se integran dos veces usando la ecuación 12-10 y las constantes de integración determinadas, las funciones proporcionarán la pendiente y la deflexión (curva elástica) para cada región de la viga en la que son válidas.

P

w P

10

A

D B

w

C A

x1

D B

x2 x1

x3

11

(b)

C x2

x3

(c)

Figura 12-7

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

575

Convención de signos y coordenadas. Cuando se aplican las ecuaciones 12-8 a 12-10, es importante emplear los signos adecuados para M, V o w según lo establecido por la convención de signos que se usó enla obtención de estas ecuaciones. Para su revisión, en la figura 12-8 a se muestran estos términos en susdirecciones positivas. Por otra parte, recuerde que la deflexión positivay es hacia arriba y, como resultado,el ángulo u de la pendiente positivase medirá en sentido antihorariodesde el eje x cuando x es positivo hacia la derecha. La razón de esto se muestra en la figura 128b. Aquí los incrementos positivosdx y dy en x y y crean un u aumentado con un sentido antihorario. Sin embargo, six positivo está dirigido a la izquierda, entonces y tendrá un sentido horario positivo, figura 12-8c. Observe que si se supone quedy>dx es muy pequeña, la longitud srcinal horizontal del eje de la viga y elarco de su curva elástica serán aproximadamente iguales. En otras palabras,ds en la figura 12-8b y 12-8c es aproxima- El diseño de un sistema de techado requiedamente igual adx, puesto que ds = 21dx22 + 1dv22 = 21 + 1dv> dx22 dx re considerar con cuidado la deflexión. Por L dx. Como resultado de esto, se supone que los puntos sobre la curva ejemplo, en ciertas áreas del techo puede lluvia, lo que ocasiona un enelástica se desplazan verticalmentey no horizontalmente. Además, como acumularse charcamiento y después una deflexión. Lueal ángulo u de la pendiente será muy pequeño, su valor en radianes puede go ocurre un encharcamiento mayor y hasta determinarse directamente de u L tan u = dy>dx. una posible falla del techo.

12

2

3

4

5

6

�w

7 �M

�M �V

�V

Convención de signos positivos

8

(a)

O¿

v

O¿

�r

9

�r

Curva elástica

Curva elástica

�r

du

ds

du

�r

ds

�u

�u

�dv

v

dv

�v

�v

x �x

x

dx

dx

10

�x

Convención de signos positivos

Convención de signos positivos

(c)

(b)

11 Figura 12-8

576 12

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Condiciones de frontera y de continuidad. Cuando se re-

TABLA 12-1

suelven las ecuaciones 12-8, 12-9 o 12-10, las constantes de integración se determinan mediante la evaluación de las funciones para la fuerza cortante, el momento, la pendiente o el desplazamiento en un punto determinado de la viga donde se conoce el valor de la función. Estos valores se denominan condiciones de frontera. En la tabla 12-1 se presentan varias condiciones de frontera que suelen utilizarse para resolver problemas de deflexión en vigas (o ejes). Por ejemplo, si la viga se sostiene mediante un rodillo o pasador (1, 2, 3, 4), es necesario que el desplazamiento seacero en estos puntos. Además, si estos apoyos seencuentran en losextremos de la viga (1, 2), el momento interno en la viga también debe ser cero. En el soporte fijo (5) la pendiente y el desplazamiento son ambos cero, mientras que la viga con un extremo libre (6) tiene tanto momento como fuerza cortante iguales a cero. Por último, sidos segmentos de una viga están conectados mediante un pasador “interno” o bisagra (7), el momento debe ser cero en esta conexión. Si la curva elástica no puede expresarse con una sola coordenada, entonces se deben usarcondiciones de continuidadpara evaluar algunas de las constantes de integración. Por ejemplo, considere la viga de la figura 12-9a. Aquí se eligen dos coordenadasx con orígenes en A. Cada una es válida dentro de las regiones 0… x1 … a y a … x2 … (a + b). Una vez que se obtienen las funciones para la pendiente y la deflexión, se deben dar los mismos valorespara la pendiente y la deflexión en el puntoB para que físicamente la curva elástica seacontinua. Expresado de manera matemática, esto requiere que u1(a) = u2(a) y y1(a) = y2(a). Estas condiciones pueden utilizarse para evaluar dos constantes de integración. Si en lugar de lo an-

1 �0 M�0

Rodillo

2

2 �0 M�0

Pasador

3

3

�0

Rodillo

4

4

�0

Pasador

5

5

u�0

�0

Extremo fijo

6

6 V�0 M�0

… terior elástica se expresa términos las coordenadas 0x … … b, que a y 0 …lax2curva se muestran en en la figura 12-9de b, entonces la continuidad de la pendiente y la deflexión enB requiere que u1(a) = - u2(b) y y1(a) = y2(b). En este caso particular, es necesario un signonegativo para que las pendientes en B coincidan puesto quex1 se extiende positivo hacia la derecha, mientras quex2 se extiende positivo a la izquierda. En consecuencia, 1

Extremo libre

7

7

M�0

Pasador interno o bisagra

u1 es positivo en sentido antihorario yu2 es positivo en sentido horario. Vea

8

las figuras 12-8b y 12-8c.

9 ,

v1 v2

v1

v2

P

a

10

P

B

a

b

A

C

B

b

A

C v

v

x1

x1

u

u

x2

(b)

11

(a)

Figura 12-9

x2

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

Procedimiento de análisis

577 12

El siguiente procedimiento proporciona un método para determinar la pendiente y la deflexión de una viga(o eje) usando el método de integración. 2

Curva elástica. •

•

•

Dibuje una vista exagerada de la curvaelástica de la viga. Recuerde que en todos los soportes fijos se produce pendiente cero y desplazamiento cero, y que en todos los soportes de pasador y de rodillo ocurre desplazamiento cero.

3

Establezca los ejes de coordenadas x y y. El eje x debe ser paralelo a la viga sin deflexión y puede tener susrcen en cualquier punto a lo largode la viga, con una dirección positiva ya sea a la derecha o a la izquierda. Si existen varias cargas discontinuas presentes, establezcalas coordenadas

4

x que son válidas para cada región de la viga entre las discontinuidades.

Elija estas coordenadas de modo que simplifiquen el trabajo algebraico posterior. •

En todos los casos, el eje positivo y asociado debe estar dirigido hacia arriba.

5

Función de carga o de momento. •

Para cada región en la que hay una coordenada x, exprese la carga w o el momento interno M como una función de x. En particular,siempre suponga que M actúa en la dirección positivacuando se aplica la ecuación

de equilibrio de momentos para determinarM = f(x). Pendiente y curva elástica. •

•

•

6

7

Siempre que EI sea constante, aplique la ecuación de cargaEI > = w(x), que requiere cuatro integraciones para obtenery = y(x), o la ecuación de momentos EI d2y>dx2 = M(x), que requiere sólo dos integraciones. Para cada integración, es importante incluir una constante de integración. d4y

dx4

Las constantes se evalúan usandolas condiciones de frontera para los soportes (tabla 12-1) y las condiciones de continuidad que se aplican a la pendiente y el desplazamiento en lospuntos donde coinciden dos funciones. Una vez que las constantes se evalúan y sesustituyen de nuevo en las ecuaciones de pendiente y deflexión, es posible determinar la pendiente y el desplazamiento enpuntos específicos de la curva elástica. Los valores numéricos obtenidos pueden verificarse de manera gráfica al compararlos el dibujotienen de la sentido curva elástica. Observe que los valores positivos paracon la pendiente antihorario si el eje x positivo se extiende a la derecha, y sentido horario si el eje x positivo se extiende hacia la izquierda. En cualquiera de estos casos, eldesplazamiento positivo es hacia arriba.

8

9

10

11

578 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.1 La viga en voladizo de la figura 12.10a se somete a una carga verticalP en su extremo. Determine la ecuación de la curva elástica.EI es constante.

2

SOLUCIÓN I Curva elástica. La cargatiende a provocar deflexión en la viga como se muestra en la figura 12-10a. Por inspección, el momento interno puede representarse a través dela viga usando una sola coordenada x.

3

Función de momento. A partir del diagrama de cuerpo libre, con M actuando en la dirección positiva, figura 12-10b, se tiene M = -Px

4 v

Pendiente y curva elástica. Si se aplica la ecuación 12-10 y se integra dos veces, resulta 2

P

5

EI B

A vA

d v 2

x

EI

uA

Curva elástica

x

2

dv dx

Px = -

EIv = -

L

(a)

+

C1

(2)

+

C1 x + C2

(3)

0= -

P

0= M V

(b)

Figura 12-10

6

en x = L, las ecuaciones 2 y 3 se convierten en

7

x

Px

Mediante el uso de las condiciones de fronteradv>dx = 0 en x = L y y=0

PL

2

2 PL

+

C1

+

C1L + C2

3

6

Por lo tanto, C1 = PL2>2 y C2 = -PL3>3. Si se sustituyen estos resultados en las ecuaciones 2 y 3 conu = dy>dx, se obtiene P u =

9

2EI P

v =

10

2 3

6

8

(1)

= - Px

dx

6EI

1L2

- x

1 - x3

+

2

2 2

3L x - 2L

2

Resp.

En A(x = 0) se producen la pendiente y el desplazamiento máximos, para los cuales PL2

11

3

uA

=

vA

=

2EI 3 PL -

3EI

(4) (5)

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

El resultado positivo para uA indica una rotaciónantihoraria y el resultado negativo para yA indica que yA es dirigida hacia abajo. Esto concuerda con los resultados trazados en la figura 12-10 a. Con el fin de obtener una idea de lamagnitud real de la pendiente y del desplazamiento en el extremoA, considere que la viga mostrada en la figura 12-10a tiene una longitud de 15 pies, soporta una carga de P = 6 kip y está hecha con acero A-36 que tieneEac = 29(103) ksi. Usando los métodos de la sección 11.2, si esta viga se diseñó sin un factor de seguridad suponiendo que el esfuerzo normal permisible es igual al esfuerzo de cedencia s = 36 ksi; entonces puede considerarse adecuado un perfil W12 *perm 26 ( I = 204 pulg4). A partir de las ecuaciones 4 y 5 se obtiene 6 kip115 pies22112 pulg> pie22

uA

=

vA

=

2[2911032 kip> pulg 2]1204 pulg 42

=

0.0164 rad

6 kip115 pies23112 pulg > pie23 -

3[2911032 kip> pulg 2]1204 pulg 42

=

-

579 12

2

3

4

1.97 pulg

Como uA2 = (dy>dx)2 = 0.000270 rad2 1, se justifica el uso de la ecuación 12-10, en lugar de aplicar la ecuación 12-4 que es más exacta, para el cálculo de la deflexión de las vigas. Además, puesto que esta aplicación numérica es para una viga en voladizo, se han obtenido valores más grandes de u y y de los que se hubieran obtenido si la viga se sostuviera mediante pasadores, rodillos u otros soportes fijos.

5

6

SOLUCIÓN II

Este problema también puede resolverse mediante la ecuación 12-8, EI d4y>dx4 = w(x). Aquíw(x) = 0 para 0… x … L, figura 12-10a, de manera que

7

al integrarse una vez se obtiene la forma de la ecuación 12-9, es decir, 4

EI

d v =

4

0

dx

8

3

EI

d v dx

3

=

œ

C1

V

=

La fuerza cortante constanteC 1¿ puede evaluarse en x = 0, puesto que VA = -P (negativo de acuerdo con la convención de signos para una viga, figura 12-8a). Así, C 1¿ = -P. Al integrar de nuevo se obtiene la

9

forma de la ecuación 12-10, es decir, 3

EI

d v dx

EI

d 2v dx

2

3

= -P

= - Px +

10 œ

C2 = M

Aquí M = 0 en x = 0, por lo que C 2¿ = 0, y como resultado se obtiene la ecuación 1 y la solución procede de lamisma forma que antes.

11

580 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.2 La viga simplemente apoyada que se muestra enla figura 12-11a soporta la carga triangular distribuida. Determine su deflexión máxima. EI es constante.

2

1 2

2w0

x x

L

w0 x �

w0

3

2

L

2w0 w

�

L x

M

4

x

Curva elástica

x L

L

2

2

V x

3

w0 L

4 (a)

(b)

5

6

Figura 12-11

SOLUCIÓN I Curva elástica. Debido a la simetría, sólo se necesita una coordena-

7

8

x para obtener la solución, en este caso 0… x … L>2. La viga experida menta la deflexión mostrada en la figura 12-11a. La deflexión máxima se produce en el centro ya que en esepunto la pendiente es cero.

Función de momento. En la figura 12-11b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de la izquierda. La ecuación para lacarga distribuida es

w

=

2w0 L

(1)

x

9

Por lo tanto, 10

w

+ ©MNA =

0;

M +

2

x

0

L

x

w

ab 3

-

3

11

M = -

w0x

3L

+

L 0

4

w0L

4

x

12 x

=

0

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

Pendiente y curva elástica. Si se usa la ecuación 12-10 y se integra dos veces, resulta 2

EI

d v 2

=

M = -

dx EI

dv dx

= -

EIv = -

w0

12L w0

60L

w0

3L

x

4

x

5

x

3

w0L

+

4

w0L

+

8 w0L

+

24

2 +

C1

3

+

C1 x + C2

x

12

(2)

x

2

x

581

3

Las constantes se obtienen al aplicar frontera y = 0 ende x =integración 0 y la condición de simetría dy>dx =la0 condición en x = L>2.de Esto conduce a C1

5w0L =

-

3

C2

192

=

4

0

Por lo tanto, EI

dv dx

= -

EIv = -

w0

12L w0

60L

x

x

4

5

w0L

+

8 w0L

+

24

3

2

x

-

5w0L

5

192 3

3

x

-

5w0L 192

x

Al determinar la deflexión máxima enx = L>2, se tiene vmáx

w0L =

-

6

4

Resp.

120EI

SOLUCIÓN II

7

Como la carga distribuida actúa hacia abajo, esnegativa de acuerdo con la convención de signos. Si se usa la ecuación 1 y se aplica la ecuación 12-8, se tiene 4

EI

d v dx

4

= -

2w0 L

8 x

3

EI

d v dx

3

=

w0

V = -

L

2

x

+

œ

C1

Como V = +w0L>4 en x = 0, entonces C 1¿ = w0L>4. Al integrar de nuevo resulta 3

EI

d v dx

3

=

V = -

w0

L

x

2

+

w0L

4

10

2

EI d v = M = x 2 3L dx w0

3

+

9

w0L

4

œ

x + C2

Aquí M = 0 en x = 0, por lo que C 2¿ = 0. De este modo se obtiene la ecuación 2 y la solución procede de la misma forma que antes.

11

582 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.3 La viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 12-12 a está sometida a la fuerza concentradaP. Determine la deflexión máxima de la viga. EI es constante.

2

v

P

2a

a B

A

3

C

C

A

uD

D

x1

�

0

(b)

x2

(a)

4

x

vD

D

SOLUCIÓN Curva elástica. La viga experimenta la deflexión mostrada en la figura 12-12b. Deben usarse dos coordenadas, puesto que la función de momentos cambiará en P. Aquí se tomará x1 y x2, con el mismo srcen en A.

5

Función de momentos. A partir de los diagramas de cuerpo libre mostrados en la figura 12-12c, 6 M1

P

M1

=

M2

=

x1

3 P

x2

3

x1

-

P1x2

2P

2a2

-

=

3

13a

-

x22

V1

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10 para M1, con 0 … x1 6 2a, y al integrar dos veces se obtiene

P

7

3

P (x2 �

EI

M2

B

EI

A x2

V2

3 P

=

6

x1

x1

P

18

2

x1

3

(1)

C1

+

+

(2)

C1x1 + C2

De la misma manera, paraM2, con 2a 6 x2 … 3a, 2

Figura 12-12

EI

d v2 dx2

2

=

2P 13a 3

=

2P 3ax2 3

=

2P 3 2 ax 3 2 2

-

x22 2

2

EI dv dx2

11

dv1 dx1

P =

3

(c)

10

2

EIv1 =

P

9

d v1 dx1

2a

8

2

2a)

EIv2

-

x2

+

2 -

x2

6

(3)

C3

3 +

C3x2

+

C4

(4)

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

12

Los cuatro constantes se evalúan usandodos condiciones de frontera, a saber, x1 = 0, y1 = 0 y x2 = 3a, y2 = 0. Además, deben aplicarse dos condiciones de continuidad en B, es decir, dy1>dx1 = dy2>dx2 en x1 = x2 = 2a y y1 = y2 en x1 = x2 = 2a. La sustitución especificada resulta en las siguientes cuatro ecuaciones: v1

=

0 en x1

=

0;

0

=

v2

=

0 en x2

=

3a;

0

=

dv112a2 dx1 v112a2

=

=

dv212a2 dx2

P

;

0

+

¢

2P 3 2

12a2

6 P

v212a2;

0

18

C1

+

12a23

2

a13a2

2

=

13a23

-

6

≤

¢

C2

+

=

+

C313a2

-

12a22

+

C4

3

2P 3a12a2 3

C112a2

+

2

C2

+

3

583

2P 3

2

¢

3 2

≤

+

2

a12a2

C3

-

12a23 6

≤

+

C312a2

+

C4

4

Al resolver, se obtiene 4

C1

=

-

2

Pa

9

22

C3

=

-

C2 2

Pa

9

C4

=

0 4

=

3

5 3

Pa

Así, las ecuaciones 1-4 seconvierten en dv1 dx1 v1 dv2 dx2 v2

P =

6EI

x1

P =

=

18EI 2Pa EI Pa

=

EI

-

x1

x2

x2

2

2

3

(6)

7

2

x2

3EI

2

22Pa 9EI

-

(7)

2

P -

(5)

4Pa2 x1 9EI

-

P -

6

4Pa2 9EI

9EI

x2

3

22Pa 9EI

-

3

x2

+

4Pa 3EI

(8)

8

Por inspección de la curva elástica, figura 12-12 b, la deflexión máxima ocurre en D, en algún lugar dentro de la regiónAB. Aquí la pendiente debe ser cero. De la ecuación 5, 9 1 6

x1

2

x1

4 -

=

9

2

a

=

0

1.633a

Sustituyendo en la ecuación 6,

10 3

vmáx

=

-

0.484

Pa

EI

El signo negativo indica que ladeflexión es hacia abajo.

Resp.

11

584 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.4 La viga de la figura 12-13a está sometida a la carga P en su extremo. Determine el desplazamiento enC. EI es constante.

2 P

x1

x2

A

3

vC

B

2a

C

a

(a) P

4 x2

x1 M2

M1

V2

V1

5

P

2

(b)

Figura 12-13

6

SOLUCIÓN Curva elástica. La viga experimenta deflexión en la forma mostra-

7

a da en xla, afigura carga, se considerarán dos coorde6 2a y 0 a… la nadas saber,12-13 0… x.1 Debido x2 6 a, donde x2 está dirigida hacia la izquierda desde C, puesto que el momento interno es fácil deformular.

Funciones de momento. Mediante el uso de los diagramas de cuerpo libre mostrados en la figura 12-13b, se tiene 8 P M1

9

=

-

2

x1

2

…

x1

…

2a:

EI

d v1 dx1

EI

11

=

-

Px2

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10,

Para 0 10

M2

2

dv1 dx1

EIv1

P = -

= -

2 P

4 P

= -

12

x1

x1

2

+

C1

3

+

C1x1

x1

(1) +

C2

(2)

12.2

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

12

2

Para 0

x2

…

…

a:

EI

d v2 dx2

EI

585

= - Px2

2

dv2

P = -

dx2

2 P

EIv2

= -

6

x2

2

x2

3

+

+

(3)

C3

C3x2

(4)

C4

+

2

Las cuatro constantes de integración se determinan mediante tres condiciones de frontera, a saber,y1 = 0 en x1 = 0, y1 = 0 en x1 = 2a y y2 = 0 en x2 = a, así comouna ecuación de continuidad. Aquí la continuidad de la pendiente en el rodillo requiere que dy1>dx1 = -dy2>dx2 en x1 = 2a y x2 = a. ¿Por qué hay un signo negativo en esta ecuación? (Observe que la continuidad del desplazamiento enB se ha considerado de manera indirecta en las condiciones de frontera, ya que y1 = y2 = 0 en x1 = 2a y x2 = a.) Al aplicar estas cuatro condiciones se obtiene

3

4

5 v1 =

0 en x1

=

0;

0

=

v1 =

0 en x1

=

2a;

0

= -

v2 =

0 en x 2

=

a;

a

dv

dv 1

1 2 2

dx1

= -

0

0

+

P

12

+

C2

12a23

+

C112a2 + C2

6

P 3 a + C3a + C4

0

= -

-

P 2a 2

6

a

12

2

dx2

;

4

1 2

+

C1

= -

a 12

+

C4

3

-

P a 2

2

C3

b

7

Resolviendo, se obtiene 8

2

C1

Pa =

3

C2

=

0

7

C3

=

6

2

Pa

=

-

Pa

Al sustituir C3 y C4 en la ecuación 4 se obtiene v2 = -

9 2

P

6EI

x2

7Pa

3

+

6EI

3

x2 -

Pa

EI

10

El desplazamiento enC se determina tomandox2 = 0. Resulta 3

vC

Pa =

-

EI

Resp.

11

586

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

12

F12-1. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo.E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

2

Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. La viga está hecha de maderacon un módulo de elasticidad deEw = 1.5(103) ksi y una sección transversal rectangular deb = 3 pulg y h = 6 pulg. F12-4.

30 kN m �

3

100 lb/pie

A

3m A

B

F12-1

4

12 pies

F12-4

5

F12-2. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo.E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4.

Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E = 200 GPa e I = 39.9(10-6) m4. F12-5.

6

10 kN

40 kN· m A

7

10 kN· m

A

B

10 kN m �

3m

6m

F12-2

F12-5

8

Determine la pendiente del extremo A de la viga en voladizo. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4. F12-3.

Determine la pendiente enA de la viga simplemente apoyada, E = 200 GPa e I = 39.9(10-6) m4. F12-6.

9

20 kN 10 kN 3 kN/m

10

kN 10 · m

kN 10 · m

A

B

A

11

3m

F12-3

3m

3m

F12-6

12.2

587

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

PROBLEMAS

12

12-1. Una solera de acero A-36, con un grosor de 10 mm y una anchura de 20 mm se dobla en forma de arco circular con radio r = 10 m. Determine el esfuerzo flexionante máximo de la solera. 12-2. Se toma una fotografía de un hombre que realiza un salto con pértiga y se estima que el radio mínimo de curvatura de la garrocha es de 4.5 m. Si la pértiga tiene 40 mm de diámetro y está fabricada de un plástico reforzado con vidrio •

Determine las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadasx1 y x2. EI es constante. *12-4.

2 P

3

Eg = 131 GPa, determine el esfuerzo flexionante para el cual máximo en la garrocha. a L

4

x2

x1

Prob. 12-4

12-5. Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga usando las coordenadasx1 y x2. EI es constante. •

r

�

4.5 m

P

5

6

A

Prob. 12-2 B

x1

Cuando la clavadista se coloca en el extremo C del trampolín, provoca una deflexión hacia abajo de 3.5 pulg. Determine el peso de la clavadista. El trampolín está fabricado de un material que tiene un módulo de elasticidad de E = 1.5(103) ksi. 12-3.

x2

7

L

L

2

Prob. 12-5

8

Determine lasecuaciones dela curva elástica para la viga usando las coordenadasx1 y x2. Especifique la deflexión máxima de la viga.EI es constante. 12-6.

9 P

B

A

3.5 pulg C

3 pies

9 pies

A

2 pulg

10

18 pulg

B

x1

L

L

2 x3

Prob. 12-3

Prob. 12-6

11

588

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

La viga está fabricadacon dos barras y se somete a la carga concentrada P. Determine la deflexión máxima de la viga si los momentos de inercia de las barras sonIAB e IBC, y el módulo de elasticidad esE. 12-7.

12

Determine la pendiente máxima y la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada, la cual está sometida al momento de par M0. EI es constante. 12-10.

2 M0

P

A

B A

B

C

3

L

l

Prob. 12-10

L

Prob. 12-7

4

Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga usando las coordenadasx1 y x2. Especifique la deflexión máxima de la viga.EI es constante. 12-11.

Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga usando las coordenadasx1 y x2. EI es constante. *12-8.

5 P

P

6

A x1

B x1

x2

a

L

L

2

7

2a

x2

2

Prob. 12-11

Prob. 12-8

8

12-9. Determine las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadasx1 y x2. EI es constante. •

9

P

A

10

P

B x1

P

a

a

A

a

B

b x1

x2

11

Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga usando las coordenadasx1 y x2. Especifique la pendiente en A y el desplazamiento máximo de la viga.EI es constante. *12-12.

x2

L

Prob. 12-9

L

Prob. 12-12

12.2

12-13. La barra se sostiene medianteun apoyo de rodillos en B, el cual permite un desplazamiento verticalpero resiste

la carga axial y el momento. Si la barra se somete a la carga mostrada, determine la pendiente enA y la deflexión en C. EI es constante.

589

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

La tabla para cerca se coloca entre los tres postes lisos fijos. Si los postes permanecen sobre la misma línea, 12 determine el esfuerzo flexionante máximo en la tabla. Ésta tiene una anchura de 6 pulg y un grosor de 0.5 pulg.E = 1.60 (103) ksi. Suponga que el desplazamiento de cada extremo de la tabla en relación con su centro es de 3 pulg. *12-16.

2 P

pies 4

C A

pies 4

B

3 3 pulg

L

L

2

2

A

C

B

Prob. 12-16 Prob. 12-13

4

El eje simplemente apoyadotiene un momento de inercia de 2I para la región BC y un momento de inerciaI para las regionesAB y CD. Determine la deflexión máxima de la viga debido a la cargaP. 12-14.

Determine las ecuaciones de la curva elástica para el eje usando las coordenadasx1 y x2. Especifique la pen5 diente en A y la deflexión enC. EI es constante. •12-17.

M

A

P

B

A

C

B

x1

D

L –

4

L –

4

L –

4

4

6

x2 L

L

L –

0

C

7

2

Prob. 12-17

Prob. 12-14

Determine la ecuación de la curva elástica para la viga usando la coordenadax. Especifique la pendiente enA y la deflexión máxima.EI es constante. 12-19. Determine la deflexión en el centro de la viga y la pendiente en B. EI es constante.

8

12-18.

Determine las ecuacionesde la curva elásticapara el eje usando las coordenadasx1 y x3. Especifique la pendiente en A y la deflexión en el centro del eje.EI es constante. 12-15.

9

P

P

A

M0

B

M0

10

x1 x3 a

A

b

Prob. 12-15

a

B

x

L

Probs. 12-18/19

11

590

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Determine las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadasx1 y x2, y especifique la pendiente enA y la deflexión en C. EI es constante. *12-20.

12

2

La viga está sometida a la carga distribuidavariante linealmente. Determine la deflexión máxima de la viga.EI es constante. *12-24. La viga está sometida a la carga distribuida variante linealmente. Determine la deflexión máxima de la viga. EI es constante. 12-23.

8 kip

A

C

B

3 x1

�

20 kip pie

x2

2

pies 0

10 pies

w0

Prob. 12-20

4

A

Determine la curva elástica en términos de las coordenadas x1 y x2, y la desviación del extremo C de la viga con voladizo.EI es constante.

B

•12-21.

5

x L

Probs. 12-23/24 w

6 A

C

B x1

7

x2

12-25. Determine la ecuación de la curva elástica para la viga simplemente apoyada usando la coordenadax. Determine la pendiente en A y la deflexión máxima.EI es constante. •

L 2

L

Prob. 12-21

8

Determine la curva elástica parala viga en voladizo W14 * 30 usando la coordenadax. Especifique la pendiente máxima y la deflexión máxima.E = 29(103) ksi. 12-22.

9

12 kN/m

3 kip/pie

10 A

A B

x

9 pies

B x

6m

6m

11 Prob. 12-22

Prob. 12-25

12.2

Determine las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadas x1 y x2, y especifique la pendiente y la deflexión en B. EI es constante. 12-26.

591

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR INTEGRACIÓN

Determine la pendiente en el extremo B y la deflexión máxima de la placa triangular en voladizo que tiene 12 un grosor constantet. La placa está fabricada de un material con un módulo de elasticidadE. *12-28.

b

2

2

b 2

L w

A

3

w C

A

t

B

x1 a

4

x2

x B

L

Prob. 12-28

Prob. 12-26

La viga está fabricada de un material que tiene un 5 peso específico g. Determine el desplazamiento y la pendiente en su extremo A debidos a su peso. El módulo de elasticidad del material esE. •12-29.

6

Los postes de madera utilizados para retener un muro de contención tienen un diámetro de 3 pulg. Si la presión del suelo a lo largo de un poste varía uniforme mente desde cero en la parte superiorA hasta un máximo de 300 lb>pie en la parte inferiorB, determine la pendiente y el desplazamiento de la parte superior del poste.Ew = 1.6(103) ksi. 12-27.

L

b

h

A

7

Prob. 12-29

La viga está fabricada de un material que tiene un peso específico g. Determine el desplazamiento y la pendiente en su extremo A debidos a su peso. El módulo de elasticidad del material esE. 12-30.

8

9 A

r

10

6 pies

A

B

300 lb/pie

Prob. 12-27

L

11 Prob. 12-30

592

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

La viga ahusada tiene una sección transversal rectangular. Determine la deflexión de su extremo libre en términos de la carga P, la longitud L, el módulo de elasticidad E y el momento de inerciaI0 de su extremo fijo. 12-31.

12

La viga ahusada tiene una sección transversal rectangular. Determine la deflexión de su centro en términos de la carga P, la longitud L, el módulo de elasticidadE y el momento de inerciaIc de su centro. •12-33.

2 P

b

L — 2

b

3

L — 2 A

P

4

L

Prob. 12-33

Prob. 12-31

6

7

El ensamble de resortes de hoja está diseñado para someterse al mismo esfuerzo máximo en toda su longitud. Si las placas de cada hoja tienen un grosort y pueden deslizarse libremente entre sí, demuestre que el resorte debe tener la forma de un arco circular a fin de que pueda volverse plano cuando se aplique una cargaP suficientemente grande. ¿Cuál es el esfuerzo normal máximo en el resorte? Considere que el resorte se hace al cortar lasn tiras de una placa que tiene forma de diamante con un grosort y una anchura b. El módulo de elasticidad del material esE. Sugerencia: Demuestre que el radio de curvatura del resorte es constante. 12-34.

5

La viga está fabricada de una placa que tiene un constante y una anchura que varía linealmente. La placa se corta en tiras para formar una serie de hojas que se apilan para hacer un resorte de hojas consistente enn hojas. Determine la deflexión en el extremo de la viga cuando está cargada. No tome en cuenta la fricción entre las hojas. *12-32. grosor t

nb

8 P

b x

9

P

10 b x

11

L

Prob. 12-32

L

L

2

2

Prob. 12-34

12.3

FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD

593

*12.3 Funciones de discontinuidad El uso del método de integración para encontrar la ecuación de la curva elástica de una viga o eje resulta conveniente si la carga o momento interno puede expresarse como una función continua a lo largo de toda la longitud de la viga. Sin embargo, sisobre la viga actúan variascargas diferentes, la aplicación del método se hace más tediosa porque deben escribirse funciones de carga o de momento independientes para cada región de la viga. Además, la integración de estas funciones requiere la evaluación de las constantes de integración, utilizando tanto las condiciones de frontera como de continuidad. Por ejemplo, para la viga dela figura 12-14 es necesario escribir cuatro funciones de momento. En ellas se describe el momento en las regionesAB, BC, CD y DE. Al aplicar la relación de momento-curvatura,EI d 2y>dx2 = M, e integrar dos veces cada ecuación de momentos, deben evaluarse ocho constantes de integración. Lo anterior implica dos condiciones de frontera que requieren desplazamiento cero en los puntos A y E, y seis condiciones de continuidad tanto para la Por motivos de seguridad, estas vigas en pendiente como para el desplazamiento enlos puntosB, C y D. voladizo que soportan hojas de madera En esta sección se analizará un método para encontrar la ecuación de contrachapada deben diseñarse tanto para resistencia como para una cantidad resla curva elástica de una viga con múltiples cargasusando una sola expre- la tringida de deflexión. sión, ya sea formulada a partir de la carga sobre la viga,w = w(x), o del momento interno de la viga,M = M(x). Si la expresión paraw se sustituye en EI d 4y>dx4 = w(x) y se integra cuatro veces, o si la expresión paraM se sustituye en EI d 2y>dx2 = M(x) y se integra dos veces, las constantes de integración se determinarán sólo a partir de las condiciones de frontera. Como las ecuaciones de continuidad no están involucradas, el análisis se simplifica en gran medida.

Funciones de discontinuidad. Con el fin de expresar la carga sobre la viga o el momento interno dentro de ésta usando una sola expresión, se emplearán dos tipos de operadores matemáticos conocidos comofunciones de discontinuidad.

2

3

4

5

6

7

8

9

w

P

12

M0

A

E B

C

D

10 Figura 12-14

11

594 12

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

TABLA 12-2

(1)

2

Cortante V

Función de carga w = w(x)

Carga

w(x)dx



Momento

M

Vdx



M0

w

x



M08x

a9

�

�

2

V

M08x



a9

�

�

1

M



M08x

0

a9

�

a

(2)

P w

3



P8x

a9

�

�

1

V

x

P8x



a9

�

0

M



P 8x

a9

�

1

a

(3)

w0 w

x

4



w08x

0 a9

V

�

w08x



a9

�

1

M



w0

2

a

(4) pendiente



a9

�

2

m w

x

8x



m8x

a9

�

1

V

m 

8x

2

a9

�

2

M

m 

6

8x

a9

�

3

a

5

Funciones de Macaulay. A fin de determinar la deflexión de una 6

viga o un eje, pueden usarse las funciones de Macaulay,llamadas así en hocargas distribuidas. nor al matemático W. H. Macaulay, para describir las Estas funciones pueden expresarse en forma general como n

8x

9

- a

7

8

9

10

=

b

0 1x

para para

2

- a

n Ú

n

x 6 a x Ú a

(12-11)

0

Aquí x representa la coordenada de posición de un punto a lo largo de la viga y a es la ubicación sobre la viga donde ocurre una “discontinuidad”; es decir, el punto dondecomienza una carga distribuida. Observe que la función de MacaulayHx - aI n se escribe con paréntesis angulares para distinguirla de la función ordinaria x( - a)n, escrita entre paréntesis. Según lo establecido por la ecuación,Hx - aI n = (x - a)n sólo cuando x Ú a, de lo contrario su valor es cero. Por otra parte, estas funciones son válidas sólo para valores exponenciales den Ú 0. La integración de las funciones de Macaulay sigue las mismas reglas que para las funciones habituales, es decir,

L

8x

-

n

a9 dx

=

8x

-

n

n+1

a9 +

1

+

C

(12-12)

Observe que las funciones de Macaulay describen tanto lacarga uniforme w0(n = 0) como la carga triangular (n = 1), que se muestran en la tabla 11

12-2 en las filas 3 y 4. Por supuesto, este tipo de descripción puede extenderse para cargas distribuidas que tienen otras formas.Además, es posible emplear la superposición de las cargas uniforme y triangulara fin de crear

12.3

595

FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD

la función de Macaulay para una carga trapezoidal. En la tabla también se muestra el uso de la integración en las funciones de Macaulay para el cortante, V = µw(x) dx, y el momento, M = µV dx.

P

12 P w

�

P

Funciones de singularidad. Estas funciones sólo se utilizan para describir la ubicación de las fuerzas concentradas o momentos de par que actúan sobre una viga o eje. En específico, una fuerza concentradaP puede considerarse como un caso especial de una carga distribuida, donde la intensidad de la carga esw = P>P de tal manera que su longitud seaP, donde P S 0, figura 12-15. El área bajo este diagrama de carga es equivalente a P, positiva hacia arriba, por lo que se usará la función de singularidad

w

= P8x - a9

-1

=

b

0 P

para para

x Z a

a

�

P

3

(12-13)

x = a

2

x

x a

4

Figura 12-15

para describir la fuerzaP. Aquí n = -1 de modo que las unidades dew son de fuerza por longitud, como debían ser. Además, la función toma el valor de P sólo en el punto x = a donde se produce la carga, de lo contrario su valor es cero. M0, considerado positivo en senDe manera similar, un momento de par tido horario, es un límite cuandoP S 0 de dos cargas distribuidas como las mostradas en la figura 12-16. Aquí, lasiguiente función describe su valor.

5 P

w

w

= M08x - a9

-2

=

b

0 M0

para para

x Z a x = a

-

n

a9 dx

=

8x

-

n+1

a9

2

P

6

(12-14) x

w

El exponente n = -2, tiene la finalidad de garantizar que semantengan las unidades de w, fuerza por longitud. La integración de las dos funciones de singularidad anteriores sigue las reglas del cálculo operacional yproduce resultadosdiferentes a los obtenidos mediante las funciones de Macaulay. En específico, x

�

P

M0

P �

�

P

a

L8

M0

P �

2

P

P

7 = M0

8

,n

= -

1,

-

2

(12-15)

Usando esta fórmula, observe cómoM0 y P, que se describen en la tabla 12-2 en las filas 1 y 2, se integran una vez y luego dos veces para obtener la fuerza cortante y el momento interno en la viga. La aplicación de las ecuaciones 12-11 a 12-15 proporciona un medio más directo para expresar la carga o elmomento interno en una viga como función dex. Al hacer esto, debe prestarse atención especial a los signos de lastabla cargas externas. Como se indicó anteriormente, y como seson muestra en la 12-2, las fuerzas concentradas y las cargas distribuidas positivas . Si se hacia arriba, y los momentos de par son positivos en sentido horario sigue esta convención de signos, entonces lafuerza cortante y el momento interno estarán en concordancia con la convención de signos parauna viga establecida en la sección 6.1.

x a

Figura 12-16

9

10

11

596

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Como un ejemplo de la manera en que se aplican las funciones de discontinuidad para describir la carga o el momento interno, considere la viga cargada que se muestra en la figura 12-17a. Aquí la fuerza de reacción de 2.75 kN creada por el rodillo, figura 12-17b, es positiva ya que actúa hacia arriba, y el momento de par de 1.5 kN m también es positivo puesto que actúa en sentido horario. Por último, la carga trapezoidal es negativa y se ha separado en cargas triangular y uniforme. Por lo tanto, en la tabla 12-2 la carga en cualquier puntox sobre la viga es

12

∙

2

3 w

4

5

= 2.75 kN8x - 09

-1

+ 1.5 kN

# m8x

- 3 m9

0

- 3 kN> m8x - 3 m9

2

- 1 kN> m

1

8x

- 3 m9

La fuerza reactiva en B no se incluye aquí porquex nunca es superior a 6 m y, además, este valor no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la pendiente o la deflexión. Ahora es posible determinar la expresión del momento directamente de la tabla 12-2, en vez de integrar esta expresión en dos ocasiones. En cualquier caso,

1

M = 2.75 kN8x - 09

+ 1.5 kN

# m8x

- 3 m9

6 0

= 2.75x + 1.58x - 39

7

-2

- 1.58x - 39

2

1 -

6

0

-

8x

3 kN> m 2

8x

- 3 m9

2

-

1 kN> m 6

2

8x

3

- 3 m9

3

- 39

La deflexión de la viga puede determinarse después de que esta ecuación se haya integrado dos veces sucesivas y las constantes de integración se hayan evaluado empleando las condiciones de frontera dedesplazamiento cero en A y B.

8 6 kN/m

3 kN/m 1.5 kN m �

B

A

9

3m

3m (a)

m

�

10

3 kN/m 3m 1.5 kN m

�

1 kN/m2



3 kN/m 3 kN/m Bx

m 3 2.75 kN

m 3 (b)

11 Figura 12-17

By

12.3

FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD

Procedimiento de análisis El siguiente procedimiento proporciona un método mediante el cual se emplean funciones de discontinuidad para determinar la curva elástica de la viga. Este método es particularmente ventajoso para resolver los problemas de las vigas o ejes sometidos a varias cargas, puesto que las constantes de integración pueden evaluarse usando sólo las condiciones de frontera, mientras que las condiciones de compatibilidad se satisfacen de manera automática.

597 12

2

3

Curva elástica. •

•

•

Dibuje la curva elástica de la viga y determine las condiciones de frontera en los soportes.

4

En todos los soportes de pasador y rodillo ocurre desplazamiento cero mientras que en los soportes fijos se produce pendiente cero y desplazamiento cero. Establezca el eje x de modo que se extienda hacia la derecha y tenga su srcen en el extremo izquierdo de la viga.

5

Función de carga o momento. •

•

Calcule las reacciones en los soportes en x = 0 y luego use las funciones de discontinuidad en la tabla 12-2 para expresar la carga w o bien el momento interno M como una función de x. Asegúrese de seguir la convención de signos para cada carga que se aplica en esta ecuación. Observe que para ser válidas las cargas distribuidas deben extenderse en toda la viga hasta su extremo derecho. Si esto no ocurre, use el método de superposición, que se ilustra en el ejemplo 12.6.

6

7

8

Pendiente y curva elástica. •

•

•

Sustituya w en EI d4y>dx4 = w(x), o M en la relación de curvatura-momento EI d 2y>dx2 = M, e integre para obtener las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de la viga. Evalúe las constantes de integración usando las condiciones de frontera y sustituya estas constantes en las ecuaciones de la pendiente y la deflexión para obtener los resultados finales. Cuando las ecuaciones de la pendiente y la deflexión se evalúan en cualquier punto de la viga, unapendiente positiva tiene un sentido antihorario y un desplazamiento positivo es hacia arriba.

9

10

11

598 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.5 Determine la deflexión máxima de la viga que se muestra en la figura 12-18a. EI es constante. 8 kip

2

120 kip pie

D

�

B

vC

vD

A

3

C

20 pies

10 pies

(a)

4

8 kip 120 kip pie �

5

kip 6

x

kip 2

10 pies 30 pies

6

(b)

Figura 12-18

SOLUCIÓN 7

8

Curva elástica. La viga experimenta deflexión como se muestra en la figura 12-18a. Las condiciones de frontera requieren desplazamiento cero en A y B. Función de carga. Se han calculado las reacciones que se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-18 b. La función de carga para la viga puede escribirsecomo w

9

= -

8 kip 8x

-

09 - 1

+

6 kip 8x

-

10 pies9 - 1

El momento de par y la fuerza enB no se incluyen aquí porque están situados en el extremo derecho de la viga yx no puede ser mayor a 30 pies. Al integrar dV>dx = w(x), se obtiene 0

V = - 88x - 09

+

0

68x - 109

10

De manera similar, dedM>dx = V resulta M = - 88x -

11

=

1 - 8x

+

091 68x

+ -

1091 109 2 kip # pie

68x

-

1

12.3

FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD

Observe cómo esta ecuación también puede establecersedirectamente usando los resultados de la tabla 12-2para el momento.

599 12

Pendiente y curva elástica. Al integrar dos veces se obtiene 2

EI

d v dx

EI

2

= -

8x

= -

4x2

dv dx

EIv = -

4

68x

+

+

3

x

2

1091

-

38x

-

1092

+

C1

8x

-

1093

+

C1x + C2

+

(1)

3

3

A partir de la ecuación 1, la condición de fronteray = 0 en x = 10 pies y y = 0 en x = 30 pies da 0 = - 1333 + 0 = - 36 000

110 - 1023 + C11102 + C2 3 + 130 - 102 + C11302 + C2

4

Si se resuelven estas ecuaciones de manera simultánea paraC1 y C2, se obtiene C1 = 1333 y C2 = -12000. Así, EI

dv dx

= -

EIv = -

4x2 4 3 x 3

+

38x

-

1092

+

1333

8x

-

1093

+

1333x

+

-

12 000

(3)

De la figura 12-18a, el desplazamiento máximo puede ocurrir enC o en D, donde la pendientedy>dx = 0. Para obtener el desplazamiento de C, establezca x = 0 en la ecuación 3. Resulta 12 000 kip # pie3 vC

=

-

Resp.

EI

El signo negativo indica que el desplazamiento eshacia abajo como se muestra en la figura 12-18a. Para localizar el puntoD, use la ecuación 2 con x 7 10 pies y dy>dx = 0. Se obtiene 0 = - 4xD xD

2

2

+

+

31xD - 102

5

(2)

2

+

6

7

8

1333

60xD - 1633 = 0

Si se despeja la raíz positiva,

9

xD = 20.3 pies

Por lo tanto, de la ecuación 3,

vD =

4

120.323 + 120.3 3 5006 kip # pie3

EIvD = -

-

1023

+

1333120.32

-

12 000

10

EI

Al comparar este valor conyC, se observa que ymáx = yC.

11

600 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.6 Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo que se muestra en la figura 12-19a. EI es constante.

2

SOLUCIÓN

12 kN

8 kN/m

Curva elástica. Las cargas hacen que la viga presente deflexión como se muestra en la figura 12-19a. Las condiciones de frontera requieren que la pendiente y eldesplazamiento sean iguales a cero enA.

50 kN m �

A

C B

5m

3

4m

Función de carga. Se han calculado las reacciones en el soporte A, las cuales se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-19b. Dado que la carga distribuida en la figura 12-19b no se extiende hasta C como se requiere, se puede usar la superposición de cargas mostrada en la figura 12-19b para representar el mismo efecto. Por lo tanto,

(a)

4

12 kN

8 kN/m

258 kN m �

considerando la convención de signos, la carga de laviga es = 52 kN8x - 09

w

A 52 kN

5

B 50 kN m �

5m

-1

- 258 kN

# m8 x

- 09

-2

0

- 8 kN> m8x - 09

C

+ 50 kN

8 kN/m

# m8x

- 5 m9

-2

+ 8 kN> m8x - 5 m9

0

4m

La carga de 12 kN no se incluye aquí, puesto que x no puede ser superior a 9 m. ComodV>dx = w(x) por integración, y sin tomar encuenta la constante de integración porque las reacciones se incluyen en la función de carga, se tiene

(b)

Figura 12-19

6

0

V = 528x - 09

-

2588x - 09

-1

-

1

88x - 09

508x - 59

+

-1

1

88x - 59

+

Además, dM>dx = V, por lo que al integrar de nuevo se obtiene 7

090

M = - 2588x =

1 - 258

+

52x

528x

+ -

4x2

+

091

-

1 1828x 2

508x

-

590

-

+

-

48x

092

+

508x

-

590

+

1 1828x 2

-

592

592) kN # m

-

Este mismo resultado puede obtenersedirectamente de la tabla 12-2. 8

Pendiente y curva elástica. Si se aplica la ecuación 12-10 y se integra dos veces, resulta 2

EI

d v dx

9 EI

2

dv dx

= - 258 +

52x

= - 258x +

2

EIv = - 129x +

10

-

26x 26 3

2

2

4x

4 -

3

x -

3 1 3

+

3

x

508x

+

-

508x

59

-

0

+

48x

1

59

4

2

x + 258x - 59 +

4 +

1 3

3

-

59

8x

-

8x

-

2

59

4

59

3

+

+

C1

C1 x + C2

Como dy>dx = 0 en x = 0, C1 = 0; y y = 0 en x = 0, de manera que C2 = 0. Por lo tanto, v =

11

1 EI

a

2

- 129x

26 +

3

3

x -

1 3

4

8 9 8 9b

x + 25 x - 5

2

1

+

3

x - 5

4

m

Resp.

12.3

601

FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD

PROBLEMAS

12

El eje está fabricado de acero y tiene un diámetro de 15 mm. Determine su deflexión máxima. Los cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje.Eac = 200 GPa. 12-35.

El eje soporta las dos cargas de las poleas que se muestran en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica. Los cojinetes enA y B ejercen sólo reacciones ver- 2 ticales sobre el eje.EI es constante. 12-38.

15 mm A

A

B

B

3

x

200 mm

300 mm

20 pulg

200 mm

20 pulg

20 pulg

40 lb 250 N

N 80

60 lb

4

Prob. 12-38

Prob. 12-35

Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4. 12-39.

La viga está sometida a las cargas mostradas.Determine la ecuación de la curva elástica.EI es constante. *12-36.

5

30 kN

6

15 kN

4 kip

2 kip

4 kip pie

A

�

A

B

B

x

8 pies

8 pies

m2

8 pies

m2

Prob. 12-39

Prob. 12-36

Determine la deflexión en cada una de las poleas C, D y E. El eje es de acero y tiene un diámetro de 30 mm. Los cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje. Eac = 200 GPa. •12-37.

C

7

2m

8

Determine la ecuación de la curva elástica, la pendiente en A y la deflexión en B de la viga simplemente apoyada. EI es constante. •12-41. Determine la ecuación de la curva elástica y la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada.EI es cons- 9 tante. *12-40.

E

D

A

B M0

M0

10

A

250 mm

250mm 150N

250mm

60N Prob. 12-37

150N

250 mm

D

B

C

L

L

L

3

3

3

Probs. 12-40/41

11

602

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Determine la ecuación de la curva elástica, la pendiente en A y la deformación máxima de la viga simplemente apoyada. EI es constante. 12-42.

12

Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E = 200 GPa e I = 65.0(106) mm4. 12-46.

20 kN P

2

15 kN/

m

P

A B

A

3

L

L

L

3

3

3

1.5 m

1.5 m

B

3 m

Prob. 12-46 Prob. 12-42

4

La viga de madera está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica. Si Ew = 12 GPa, determine la deflexión y la pendiente en el extremo B. 12-47.

Determine la deflexión máxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tieneE = 200 GPa e I = 65.0(106) mm6. 12-43.

5 15kN

30 kN/m

2 kN/m

6 kN

4 kN

A

6

B

A

x

m3 1.5 m

7

1.5 m

1.5 m

1.5 m

400 mm

Prob. 12-43

200 mm

La viga está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica.EI es constante. •12-45. La viga está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine el desplazamiento enx = 7 m y la pendiente en A. EI es constante.

Prob. 12-47

*12-44.

8

La viga está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine las pendientes enA y B y el desplazamiento en C. EI es constante. *12-48.

9 30 kN

50 kN

12 kN/m

3 kN/m

10 B

A

A

C

m 4

B

x

x

m 3

11 Probs. 12-44/45

3m

m

3

m

5

Prob. 12-48

12.3

Determine la ecuación de la curva elástica de la viga simplemente apoyada y después encuentre la deflexión máxima. La viga es de madera con una módulo de elasticidad E = 1.5(103) ksi. •12-49.

603

FUNCIONES DE DISCONTINUIDAD

La viga de madera está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine la ecuación de la curva 12 elástica. Especifique la deflexión en el extremoC. Ew = 1.6(103) ksi. *12-52.

2 600 lb

0.8 kip/pie

500 lb/pie

1.5 kip

3 pulg 6 pulg

A

B

6pies

3pies

A

C

12 pulg

x

9 pies

3 pies

9 pies

6 pulg

Prob. 12-52

Prob. 12-49

La viga está sometidaa la carga que se muestra en la figura. Determine las ecuaciones de la pendiente y la curva elástica. EI es constante. 12-50.

2 kN/m

3

B

4

Para la viga mostradaen la figura, determineel desplazamiento en C y la pendiente enA. 12-53.

8 kip/ pie

8 kN m

5

6

�

C

B

A

A B

x

7

x

m

5

m

pies 6

3

pies 9

Prob. 12-53

Prob. 12-50

8

La viga está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica.EI es constante. 12-51.

La viga está sometida a la carga que se muestra en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica.EI es constante. 12-54.

20 kN

6 kN/m

9

6 kip/pie

10 B B

A

1.5 m

3m

Prob. 12-51

1.5 m

A x

pies 9

15pies Prob. 12-54

11

604

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

*12.4 Pendiente y desplazamiento por

12

el método del momento de área

El método del momento de área proporciona una técnica semigráfica para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de una viga o eje. La aplicación del método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momentos de la viga; entonces, si este diagrama se compone de formas simples, el uso delmétodo es muy conveniente. Por lo general, esto es asícuando la viga se carga con fuerzas concentradas y momentos de par. Para desarrollar el método del momento de área se harán los mismos supuestos que se usaron en el método de integración: la viga está inicialmente recta, se deforma elásticamente debido a las cargas, de manera que la pendiente y la deflexión de la curva elástica son muy pequeñas, y las deformaciones sólo son causadas por la flexión. El método del momento de área se basa en dos teoremas, uno se usa para determinar la pendiente y el otro para encontrar el desplazamiento en un punto sobre la curva elástica.

w

2 A

B dx

3 B

A

uB/A

tan B

tan A

Curva elástica

4

(a)

M

M

Teorema 1. Considere la viga simplementeapoyada con su curva elás-

du

5

tica asociada, que se muestra en la figura 12-20a. Un segmento diferencial dx de la viga se aísla en la figura 12-20b. Aquí, el momento internoM de la viga deforma el elemento de modo que lastangentes a la curva elástica a cada lado del elemento se intersecan a un ángulodu. Este ángulo puede determinarse a partir de laecuación 12-10, escrita como

dx

(b)

6

2

EI

d v 2

dx

=

EI

d

a b dv

dx

dx

=

M

Como la pendiente es pequeña, u = dy>dx y, por lo tanto,

7 A

dx

Diagrama

8 (c) Figura 12-20

B

du

x

M =

EI

(12-16)

dx

Si se construye el diagrama de momentos para la viga y se divide entre la rigidez a la flexión,EI, figura 12-20c, entonces esta ecuación indica que du es igual al área bajo el “diagramaM>EI” para el segmentodx de la viga. Al integrar desde un punto A seleccionado sobre la curva elástica hasta otro punto B, se tiene

9

uB>A

=

L

B

A

M EI

dx

(12-17)

Esta ecuación es la base para el teorema del primer momento de área. 10

11

Teorema 1:

El ángulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera

sobre la curva dos puntos . elástica es igual al área bajo el diagrama M >EI entre estos La notación uB>A se conoce como el ángulo de la tangente enB medido con respecto a la tangente en A. De la comprobación resulta evidente que este ángulo se mide en sentido antihorario, desde la tangente A hasta la tangente B, si el área bajo el diagramaM>EI es positiva. Por el contrario,

12.4

605

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

si el área es negativa, o se encuentra por debajo del ejex, el ángulo uB>A se mide en sentido horario desde la tangenteA hasta la tangente B. Por otra parte, con base en las dimensiones de la ecuación 12-17,uB>A estará en radianes.

w

12 A

B dx

Teorema 2. El segundo teorema del momento de área se basa en la

2

desviación relativa de las tangentes a la curva elástica. En la figura 12-21 a se muestra una vista muy exagerada de ladesviación verticaldt de las tangentes a cada lado del elemento diferencialdx. Esta desviación se debe a la curvatura del elemento y se ha medido a lolargo de una línea verticalque pasa por el puntoA de la curva elástica. Como se supone que la pendiente

tan A

x

dx

A tA/B

dt

B

ds¿ du

tan B

3

de la curvalaelástica y sudedeflexión sontangente muy pequeñas, satisfactorio aproximar longitud cada línea medianteresulta x y el arco ds¿ por medio de dt. Si se usa la fórmula de arco circulars = ur, donde r es la longitud x y s es dt, puede escribirse dt = x du. Al sustituir la ecuación 12-16 en esta ecuación y al integrar desdeA hasta B, puede determinarse la desviación vertical de la tangente enA con respecto a la tangente en B; es decir, M

(a)

4

— EI

tA>B

=

L

B

x

A

M EI

dx

(12-18)

5 A

Como el centroide de un área se encuentra a partir dex¯ µdA = µx dA y µ(M>EI) dx representa el área bajo el diagramaM>EI, también se puede

x

B

_ x

(b)

escribir

6 B

tA>B

=

x

L

A

M EI dx

(12-19) 7

Aquí x es la distancia desdeA hasta el centroide del área bajo el diagrama M>EI entre A y B, figura 12-21b. tan B Ahora el segundo teorema delmomento de área puede enunciarse con M referencia a la figura 12-21a de la manera siguiente:

Teorema 2:

La distancia vertical entre la tangente en un punto (A) sobre la curva elástica y la tangente extendida desde otro punto (B) es igual al momento del área bajo el diagrama M>EI entre estos dos puntos (A y B). Este momento se calcula respecto al punto (A) donde debe determinarse la distancia vertical (tA>B).

Observe que tA>B no es igual a tB>A, lo cual se muestra en la figura 12.21c. En específico, el momento del área bajo el diagramaM>EI entre A y B se calcula respecto al puntoA para determinartA>B, figura 12-21b, y se calcula tB>Apositiva respecto al punto Bela momento fin de determinar , figura M 12-21 . >EIcentre Si se encuentra de un área A y B para tA>B, esto indica que el puntoA está por encima de la tangente extendida desde el puntoB, figura 12-21a. Del mismo modo, las áreasM>EI negativas indican que el punto A está por debajo de la tangente extendida desde el punto B. Esta misma regla es válida paratB>A.

B

A

tA/B

tB/A

tan A

8

EI

x

_ x

A

¿

B

9

(c)

Figura 12-21

10

11

606

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Procedimiento de análisis

12

El siguiente procedimiento proporciona un método que puede usarse para aplicar los dos teoremas del momento de área. 2

Diagrama M>EI. •

3

Determine las reacciones en los soportes y dibuje el diagrama M>EI de la viga. Si la viga se carga con fuerzas concentradas, el diagrama M>EI consistirá en una serie de segmentos de línea recta y las áreas y sus momentos requeridos por los teoremas relativamente fáciles M de>EI calcular. Si la carga consistede enmomento una serie de área cargasserán distribuidas, el diagrama consistirá en curvas parabólicas o tal vez curvas de orden superior, y se sugiere el uso de la tabla ubicada en la página final de este libro (al reverso de la contraportada) para localizar el área y el centroide bajo cada curva.

4

Curva elástica. •

5

•

6

7

•

•

8

9

•

•

11

Si le resulta difícil dibujar la forma general de la curva elástica, utilice el diagrama de momento (o M>EI). Tenga en cuenta que cuando la viga está sometida a un momento positivo, ésta se curvará cóncava hacia arriba, mientras que los momentos negativos curvan a la viga cóncava hacia abajo. Por otra parte, cuando el momento en la viga (o M>EI) es igual a cero se produce un punto de inflexión o cambio en la curvatura. El desplazamiento desconocido yla pendiente que va a determinarse deben indicarse en la curva. Como los teoremas del momento de área se aplican sólo entre dos tangentes, es necesario prestar atención a la manera en que se construyen las tangentes para que los ángulos o la distancia vertical entre ellos conduzcan a la solución del problema. En este sentido,deben considerarse las tangentes en los apoyos, puesto que en esos puntos la viga tiene desplazamiento y pendiente cero.

Teoremas del momento de área. •

10

Dibuje una vista exagerada de la curva elástica de la viga. Recuerde que en un soporte fijo siempre ocurren puntos de pendiente cero y desplazamiento cero, y que en todos los soportes de pasador y de rodillo se produce desplazamiento cero.

Aplique el teorema 1 para determinar el ángulo entre dos tangentes cualesquiera sobre la curva elástica y el teorema 2 para determinar la distancia vertical entre las tangentes. El signo algebraico de la respuesta puede comprobarse con base en el ángulo o la distancia vertical indicada en la curva elástica. Un uB>A positivo representa una rotación antihoraria de la tangente enB con respecto a la tangente en A, y un tB>A positivo indica que el punto B sobre la curva elástica se encuentra por encima de la tangente extendida desde el puntoA.

12.4

EJEMPLO

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

12.7

607 12

Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22 a en el punto B. EI es constante. 2

M EI

L

P

B

A

A B L

�

(a)

3

PL

(b)

EI

tan A

uB/A

A

x

B

uB

tan B

(c)

4

5

Figura 12-22

SOLUCIÓN Diagrama M>EI. Vea la figura 12-22b. Curva elástica. La fuerza P hace que la viga experimente deflexión como se muestra en la figura 12-22c. (La curva elástica es cóncava ha-

cia abajo, puesto queM>EI es negativo.) Se indica la tangente enB ya que se desea encontraruB. Además, se muestra la tangente en elsoporte (A). Esta tangente tiene una pendiente ceroconocida. Mediante la construcción, el ángulo entre tanA y tan B, es decir uB>A, es equivalente a uB, o bien

6

7

8

uB = uB>A

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 1,uB>A es igual al área bajo el diagramaM>EI entre los puntos A y B; es decir, 9 uB

=

>

uB

1 A

=

2

a

PL -

EI

b

L

2

PL =

-

2EI

Resp.

El signo negativo indica que el ángulo medido desde la tangente enA hasta la tangente en B tiene un sentido horario. Con esto se verifica la solución, ya que la viga tieneuna pendiente hacia abajo enB.

10

11

608 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.8 Determine el desplazamiento de los puntosB y C de la viga mostrada en la figura 12-23a. EI es constante.

2

A

B L

C

M

M0

EI

L

L

2

2 (a)

3

tan B

L

2

A

B

C

x

tan A tB/A � B

A

�M

0

L

EI

tC/A � C

B

4 (b)

(c) C

4

2

tan C

Figura 12-23

SOLUCIÓN

5

6

Diagrama M>EI. Vea la figura 12-23b. Curva elástica. El momento de par en C hace que la viga sufra deflexión, como se muestra en la figura 12-23c. Se indican las tangentes en B y C, ya que es necesario encontrar¢B y ¢C. Además, se muestra la tangente en el soporte (A) puesto que es horizontal. Ahora, los desplazamientos requeridos pueden relacionarse de manera directa con la distancia vertical entre las tangentes enB y A y C y A. En específico, ¢ B = tB>A ¢ C = t C> A

7

8

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 2, tB>A es igual al momento del área en grisoscuro bajo el diagramaM>EI entre A y B calculado con respecto al puntoB (el punto sobre la curva elástica), ya que es el punto donde debe determinarse la distancia vertical. Por lo tanto, a partir de la figura 12-23b,

>

¢ B = tB

9

10

A

a bB¢ L 4

-

M0 EI

≤a bR L 2

= -

M0L

2

8EI

Resp.

Del mismo modo, paratC>A se debe determinar el momento del área bajo todo el diagrama M>EI desde A hasta C con respecto al punto C (el punto de la curva elástica). Se tiene ¢ C = tC

A

>

11

=

=

L

a bB¢ 2

-

M0 EI

L

≤1 2R

= -

M0L

2

Resp.

2EI

NOTA: Como ambas respuestas son negativas, los puntos B y C se encuentran por debajo de la tangente en A. Esto concuerda con la figura 12-23c.

12.4

EJEMPLO

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

12.9

609 12

Determine la pendiente en el puntoC del eje en la figura 12-24a. EI es constante. 2

P

A

B C

D L

L

L

4

2 M

PL

EI

4 EI

3

4

(a)

PL

8 EI

D

4 x

C

L

4 (b)

5

tan C C

D

uC

tan D (horizontal)

uC/D

(c)

6

Figura 12-24

SOLUCIÓN Diagrama M>EI. Vea la figura 12-24b. Curva elástica. Como la carga se aplica simétricamente en la viga, la curva elástica es simétrica y la tangente enD es horizontal, figura 12-24c. Además, se dibuja la tangente enC porque se desea encontrar la pendiente uC. Mediante la construcción, el ángulouC>D entre las tangentes en tan D y C es igual a uC; es decir,

7

8

uC = uC>D

Teorema del momento de área. Si se usa el teorema 1, uC>D es igual al área en gris bajo el diagramaM>EI entre los puntos D y C. Se tiene PL u C

= u

=

C D

>

8EI

L

PL

1 +

a ba b 4

2

a

4EI

¿Qué indica el resultado positivo?

PL -

8EI

L

3PL =

ba b 4

2

64EI

9

10 Resp.

11

610 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.10 16 kN

Determine la pendiente en elpunto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25a. Considere Eac = 200 GPa, I = 17(106) mm4.

A

B

SOLUCIÓN

C

2 2m

m4 (a)

Diagrama M>EI. Vea la figura 12-25b. Curva elástica. La curva elástica se muestra en la figura 12-25c. Se indica la tangente enC porque se desea encontraruC. También se construyen las tangentes en lossoportes, A y B, como se muestra en la figura.

m2

3

4

M

El ángulo uC>A es el ángulo entre las tangentes enA y C. La pendiente en A, uA, en la figura 12-25c puede encontrarse usando0 uA 0 = 0 tB>A 0 >LAB. Esta ecuación es válida puesto quetB>A es realmente muy pequeña, de modo que el valor de tB>A en metros puede aproximarse mediante la longitud de un arco circular definido por un radio deLAB = 8 m y una amplitud de uA en radianes. (Recuerde ques = ur.) A partir de la geometría de la figura 12-25c, se tiene

24

EI

EI

8 EI

5

A

C

m2

B

m4

6

uC

(1)

>

1 A =

2

1 2a 2m

8 kN # m

EI

b

2 8 kN # m =

EI

Si se aplica el teorema 2, tB>A es equivalente al momento del área bajo el diagrama M>EI entre B y A respecto al punto B (el punto sobre la curva elástica), ya que este es el punto donde debe determinarse la distancia vertical. Se tiene,

7

uA

A

B

>

tB

tan B

C uC

tan C

A =

(c)

Figura 12-25

a

1 2b c 1 2a a 1 2b c 1 2a 1

2m + 2

tB/A

+

uC/A

9

- ƒ uC>A ƒ

8

Observe que el ejemplo 12.9 también podría resolverse usando este método. Teoremas del momento de área. Si se usa el teorema 1, uC>A es equivalente al área bajo el diagrama M>EI entre los puntosA y C; es decir,

2m (b)

8

tB>A

ƒ uC ƒ = ƒ uA ƒ - ƒ uC>A ƒ =

x

3

1

6m

3

2

1

2m

2

6m

2m

24 kN # m

EI

24 kN # m

EI

bd

bd

320 kN # m

3

tan A

=

EI

Al sustituir estos resultados en laecuación 1, se obtiene 2 320 kN # m

uC

10

=

18 m2EI

2 8 kN # m -

EI

2 32 kN # m =

EI

b

Este resultado se calculó en unidades de kN y m, por lo que al convertir

EI a estas unidades resulta uC

11

32 kN # m2 =

6

[200110 2 kN> m2][17110 62 m4] -

=

0.00941 rad b

Resp.

12.4

EJEMPLO

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

12.11

611 12

Determine el desplazamiento enC para la viga mostrada en la figura 12-26a. EI es constante. M

2

EI M0

M0

EI

2EI

B

C

A

M0

L

L

2

2

A

C

L

2

L

2

(a)

B

x

3

(b) tan A

L A

L

2

2

tA/B

tan C

B

�C

�¿

4

tC/B

C

(c)

tan B

5

Figura 12-26

SOLUCIÓN Diagrama M>EI. Vea la figura 12-26b. Curva elástica. Se dibuja la tangente en C sobre la curva elástica ya que se desea encontrar¢C, figura 12-26c. (Observe que C no es la ubicación de la deflexión máxima de la viga, debido a que la carga y por ende

la curva elástica no son simétricas.) En la figura 12-26c también se indican las tangentes en los soportesA y B. Se observa que¢C = ¢¿ – tC>B. Si se determina tA>B, entonces ¢¿ puede encontrarse mediante triángulos semejantes, es decir, ¢¿>(L>2) = tA>B>L o bien ¢¿ = tA>B>2. Por lo tanto, t A> B

¢C =

2

>

tC

>

a 1 2b B 1 2 ¢ ≤ R a a bbB a b¢ ≤R 1

B

B

=

=

3

1

L

M0

L

2

M0L

=

EI

1

L

1

L

M0

3

2

2

2

2EI

6EI M0L =

¢C = =

2

M0L2

8

2

9 2

48EI

Al sustituir estos resultados en laecuación 1 resulta 1

7

(1)

- tC>B

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 2 para determinar tA>B y tC>B, se tiene tA

6

10

M0L2

¢ ≤ ¢ ≤ 6EI

M0L

-

48EI

2

16EI

T

Resp.

11

612 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.12 Determine el desplazamiento en el puntoC para la viga con voladizo de acero que se muestra en lafigura 12-27a. Considere Eac = 29(103) ksi, I = 125 pulg4.

2

M EI

5 kip

3

A

12pies

12pies x

A

C

B

B

12pies

12pies

�60

10 kip (a)

5 kip

4

C

EI

(b)

Figura 12-27

SOLUCIÓN Diagrama M>EI. Vea la figura 12-27b. 5

Curva elástica. La carga hace que la viga sufra deflexión, como se muestra en la figura 12-27c. Se debe encontrar¢C. Al construir tangentes en C y en los soportesA y B, se observa que ¢C = 0 tC>A 0 - ¢¿. Sin embargo, ¢¿ puede relacionarse con tB>A mediante triángulos semejantes, esto es, ¢¿>24 = 0 tB>A 0 >12 o bien ¢¿ = 2 0 tB>A 0 . Por lo tanto,

6

¢C =

(1)

tB>A

Teorema del momento de área. Si se aplica el teorema 2 para determinar tC>A y tB>A, se tiene

7

tan A A

tC

�¿

tan B tB/A

tC/A

B

>

8

C

(c)

A =

1

12 pies

2a 1

2a

1 24 pies 2

60 kip # pie -

EI

bb

8640 kip # pie 3

�C

9

- 2

t C> A

=

tan C

>

tB

A =

-

EI

a1

1 12 pies 3

2b c 1

2a

1 12 pies 2

60 kip # pie -

EI

bd

1440 kip # pie 3 =

-

EI

¿Por qué estos términos son negativos? Al sustituir los resultados en la ecuación 1 se obtiene ¢C =

#

8640 kip pie 3 EI

- 2

¢

#

1440 kip pie 3 EI

≤

=

#

5760 kip pie 3 EI

T

10

Tomando en cuenta que los cálculos se realizaron en unidades de kip y pies, se tiene ¢C = 11

5760 kip # pie 311728 pulg 3> pie 32 [2911032 kip> pulg 2]1125 pulg 42

= 2.75 pulg T

Resp.

12.4

613

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F12-7. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo.E = 200 GPa e I = 65.0(10-6)m4.

12 F12-10. Determine la pendiente y la deflexión en el punto A de la viga en voladizo.E = 29(103) ksi, I = 24.5 pulg4.

2 6 kN

3 kip 2 kip/pie

B

A

3 A

20 kN m �

B

3m

pies 3

pies 3

4

F12-10 F12-7

5 F12-8. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo.E = 200 GPa e I = 126(10-6) m4.

Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E = 200 GPa e I = 42.8(10-6) m4. F12-11.

6 20 kN 20 kN

10 kN

10 kN m

10 kN m

�

7

A

A

B

�

B C

m

1

m

1

3m

F12-8

F12-9. Determine la pendiente y la deflexión del extremo A de la viga en voladizo.E = 200 GPa e I = 121(10-6) m4.

3m

F12-11

8

Determine la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. E = 200 GPa e I = 39.9(10-6) m4.

9

F12-12.

60 kN

30 kN m �

40 kN m

10 kN m

�

A B

B

A

1m

m

1

10

�

6m

11 F12-9

F12-12

614

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

PROBLEMAS

12

Determine la pendiente y la deflexión en C. EI es constante. 12-55.

12-58. Determine la pendiente en A y la deflexión máxima. EI es constante.

2

15 kip 20 kip pie

3

kip20

�

�

pie

A C A

C B

B

pies 6

30 pies

12 pies

pies 6

15 pies

Prob. 12-58

4 Prob. 12-55

5

Determine la pendiente y la deflexión en C. EI es constante. *12-56.

Determine la pendiente y la deflexión en C. EI es constante. 12-59.

6 10 kN

20 kip pie

kip20

�

A

�

pie

C A

C

7

B

B

pies 6

6m

12 pies

pies 6

3m

Prob. 12-59 Prob. 12-56

8

Determine la deflexión del extremo B de la viga en voladizo. EI es constante. •12-57.

9

P

Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje, determine la pendiente enA y la deflexión máxima del eje.EI es constante. *12-60.

P

10

50 lb pie

50 lb pie

�

B

A

�

A

B C

11

L

L

2

2

Prob. 12-57

pies 2

D

pies 4

Prob. 12-60

pies 2

12.4

615

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

Determine la pendiente máxima y la deflexión máxima de la viga.EI es constante. •12-61.

M0

Determine la posición a del soporte de rodillo B en términos de L, para que la deflexión en el extremoC sea igual a la deflexión máxima de la regiónAB en la viga con voladizo. EI es constante. •12-65.

12

2

M0 P

B

A

L

3

C

A

L

B

Prob. 12-61

a

Prob. 12-65

4

Determine la deflexión y la pendiente en C. EI es constante. 12-62.

A

B

Determine la pendiente en el punto A de la viga simplemente apoyada.EI es constante. 12-66.

P

C

6

M0

L

5

A

L

B

2L 3

Prob. 12-62

L

7

3

Prob. 12-66

Determine la pendiente en el punto A de la viga con voladizo. E = 200 GPa e I = 45.5(106) mm4. *12-64. Determine la deflexión en el punto C de la viga con voladizo. E = 200 GPa e I = 45.5(106) mm4. 12-63.

8

La viga está sometida a una carga P, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerzaF que debe aplicarse al extremo C del voladizo para que la deflexión en C sea cero. EI es constante. 12-67.

9

30 kN

F P

10

30 kN m �

A A

B

C

C

B

4m

Probs. 12-63/64

2m

a

a

Prob. 12-67

a

11

616

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Si los cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje, determine la pendiente enA y la deflexión máxima. *12-68.

12

2

M0



Pa

A

P

B C

P

D

2a

a

3

*12-72. Determine el valor de a para que el desplazamiento en C sea igual a cero.EI es constante.

A

C

B

a a

P

L 2

Prob. 12-68

L 2

Prob. 12-72

4

La viga se somete a la carga mostrada. Determine la pendiente en A y el desplazamiento enC. Suponga que el soporte en A es un pasador y en B es un rodillo. EI es constante. •12-69.

5

P

P

El eje se somete a la carga mostradaen la figura. Si los cojinetes en A y B ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje, determine la pendiente enA y el desplazamiento en C. EI es constante. •12-73.

P

6 M0

M0 A

C

B

A

aaaa

a

Prob. 12-69

8

9

B

C

7

a

Prob. 12-73

El eje sostiene un engrane en su extremo C. Determine la deflexión en C y las pendientes en los cojinetesA y B. EI es constante. 12-71. El eje sostiene un engrane en su extremo C. Determine su deflexión máxima dentro de la regiónAB. EI es constante. Los cojinetes ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje. 12-70.

Determine la pendiente en A y la deflexión máxima en la viga. EI es constante. 12-74.

12 kip

10

24 kip pie �

A

B

C A

L ––

B

L ––

2

2

11 Probs. 12-70/71

P

6 pies

12 pies

Prob. 12-74

6 pies

12.4

617

PENDIENTE Y DESPLAZAMIENTO POR EL MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

La viga está fabricada deun material cerámico. Con el fin de obtener su módulo de elasticidad, se somete a la carga elástica mostrada en la figura. Siel momento de inercia es I y la viga tiene una desviación máxima medida¢, determine E. Los soportes en A y D ejercen sólo reacciones verticales sobre la viga. 12-75.

La barra se construye a partir de dos ejes para los cuales el momento de inercia deAB es I y el de BC es 2I. 12 Determine la pendiente y la deflexión máximas de la varilla debido a la carga. El módulo de elasticidad esE. 12-78.

2 P P

P

C

B B

A

C

A

3

D

a

L 2

a

L 2

Prob. 12-78

L

4

Prob. 12-75

Determine la pendiente en el punto D y la deflexión en el punto C de la viga simplemente apoyada. La viga es de un material que tiene un módulo de elasticidadE. El momento de inercia de los segmentosAB y CD en la viga es I, 5 mientras que el momento de inercia del segmentoBC es 2I. 12-79.

*12-76. La barra se sostiene mediante un apoyo de rodillos en B, el cual permite el desplazamiento vertical pero resiste

la carga axial y el momento. Si la barra se somete a la carga mostrada, determine la pendiente enA y la deflexión en C. EI es constante.

P

P

P

6

C A

B

A

D C

B

L — 2

L — 2

L

L

L

4

2

4

7

Prob. 12-79

Prob. 12-76

La barra se sostiene mediante el apoyo de rodillos en C, el cual permite el desplazamiento vertical pero resiste la carga axial y el momento. Si la barra se somete a la carga mostrada, determine la pendiente y el desplazamiento enA. EI es constante. •12-77.

8

Determine la pendiente en el punto A y la deflexión máxima de la viga simplemente apoyada. La viga es de un material que tiene un módulo deelasticidadE. El momento de inercia de los segmentosAB y CD en la viga es I, mientras que el momento de inercia del segmentoBC es 2I. 9 *12-80.

P P

P

B

10

C A A a

D

Prob. 12-77

C

B

2a

L

L

L

4

2

4

Prob. 12-80

11

618

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Determine la posición a del rodillo de soporte B en términos de L, de modo que la desviación en el extremo C sea igual a la deflexión máxima de la regiónAB de la viga simplemente apoyada con voladizo.EI es constante. •12-81.

12

*12-84. Determine la EI es constante.

pendiente en C y la deflexión en B.

2

w C A C

B

3

A

M0

B a

a L

a

Prob. 12-84

Prob. 12-81

4

Determine la pendiente en B y el desplazamiento en C. El elemento es una T de acero estructural A-36 para el cual I = 76.8 pulg4. •12-85.

La viga en voladizo W10 * 15 está fabricada de acero A-36 y se encuentra sometida a la carga mostrada en la figura. Determine la pendiente y el desplazamiento en su extremo B. 12-82.

5

5 kip 1.5 kip/ pie

6 3 kip/pie B

A C

B

7

3 pies

A

6 pies

6 pies

3 pies

Prob. 12-85

Prob. 12-82

8

El eje de acero A-36 se usa para sostener un rotor que ejerce una carga uniforme de 5 kN>m dentro de la región CD del eje. Determine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. Los cojinetes ejercen sólo reacciones verticales sobre el eje. 12-86.

La viga en voladizo se somete a la carga mostrada en la figura. Determine la pendiente y el desplazamiento en C. Suponga que el soporte enA está fijo. EI es constante. 12-83.

9

P

10

5 kN/m A

B

w

A

11

C

B a

a

Prob. 12-83

C 20 mm 100 mm

40 mm 300mm

Prob. 12-86

D 20 mm 100mm

12.5

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

12.5 Método de superposición La ecuación diferencial EI d 4y>dx4 = w(x) cumple con los dos requisitos necesarios para aplicar elprincipio de superposición; es decir, la cargaw(x) se relaciona linealmente con ladeflexión y(x), y se supone que la carga no cambia de modo significativo la geometría srcinal de la viga o eje. Como resultado, es posible superponer las deflexiones para una serie de cargas separadas que actúan sobre una viga. Por ejemplo, siy1 es la deflexión para una carga y y2 es la deflexión para otra carga,la deflexión total para las dos cargas actuando en conjunto es la suma algebraicay1 + y2. Si se usan los resultados tabulados para diferentes cargas sobre una viga, como los que se presentan en el apéndice C, o las que pueden encontrarse en distintos manuales de ingeniería, es posible encontrar la pendiente y el desplazamiento en un punto sobre una viga sometida a varias cargas diferentes al sumar algebraicamente los efectos desus distintas partes componentes. Los siguientes ejemplos ilustran cómo se utiliza el método de superposición para resolver los problemas de deflexión, donde la deflexión se produce no sólo por deformaciones de la viga,sino también por desplazamientos de cuerpo rígido, como los que se producen cuando la viga está sostenida por resortes.

619 12

2

3

4

5

6

7

8

9

10

La deflexión resultante en cualquier punto de esta viga puede determinarse mediante la superposición de las deflexiones causadas por cada una de las cargas que actúan de manera separada sobre la viga.

11

620 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.13 Determine el desplazamiento en el puntoC y la pendiente en el soporte A de la viga mostrada en la figura 12-28a. EI es constante. 8 kN

2

2 kN/m

2 kN/m B

A uA

vC

B

A

=

C

C

(uA)1

(vC)1

3 4m

4m

4m

4m

(a)

4

(b) +

Figura 12-28

8 kN

B

A C

(uA)2

(vC)2

5 4m

4m (c)

6

SOLUCIÓN La carga puede separarse en dos componentes como se muestra en las figuras 12-28b y 12-28c. El desplazamiento enC y la pendiente enA se encuentran mediante el uso de la tabla del apéndice C para cada parte. Para la carga distribuida,

7

1uA21 = 1vC21 =

8

3wL

128EI 5wL

=

312 kN> m218 m2

=

128EI 4 512 kN> m218 m2

=

768EI

#

24 kN m

2

b

EI

53.33 kN # m EI

3

T

Para la fuerza concentrada de 8 kN,

9

1vC22 =

PL

16EI PL

=

8 kN18 m2 16EI

32 kN m

=

=

8 kN18 m2 48EI

2

b

EI

#

3

3

48EI

#

2

2

85.33 kN m

=

EI

3

T

El desplazamiento enC y la pendiente en A son las sumas algebraicas de estas componentes. Por lo tanto, 1 + b2

11

=

4

768EI

1uA22 =

10

3

3

1+ T2

uA

vC

= 1uA21 + 1uA22 = = 1vC21 + 1vC22 =

#

56 kN m2

EI

#

3

139 kN m

EI

Resp.

b

T

Resp.

12.5

EJEMPLO

621

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

12.14

12

Determine el desplazamiento en el extremoC de la viga con voladizo que se muestra en la figura 12-29a. EI es constante.

10 kN 5 kN/m C

A

SOLUCIÓN Como la tabla del apéndice Cno incluye vigas con voladizos, la viga se separará en una parte simplemente apoyada y una porción en voladizo. En primer lugar se calculará la pendiente enB, causada por la carga distribuida que actúa sobre el segmento simplemente apoyado, figura

2

B

4m (a)

2m =

1uB21

wL =

=

24EI

=

g

EI

¢

#

2

13.33 kN m

EI

≤

4 +

10 kN (uB)2

#

3

26.67 kN m

=

2m

(b)

Como este ángulo es pequeño, (uB)1 L tan(uB)1, y el desplazamiento vertical en el puntoC es 1vC21 = 12 m2

B

(uB)1 4m

2 13.33 kN # m

24EI

20 kN m �

c

EI

A B

4 m Figura 12-29 2m

A continuación, la carga de 10 kN sobre el voladizo ocasiona una fuerza estáticamente equivalente de 10 kN y un momento de par de 20 kN m en el soporte B del segmento simplemente apoyado, figura 12-29c. La fuerza de 10 kN no causa un desplazamiento o una pendiente en B; sin embargo, el momento de par de 20 kN m produce una pen-

(c)

diente. La pendiente enB debida a este momento es

(d)

(uB)2 (vC)2

20 kN # m14 m2

M0L =

3EI

3EI

C

2m

(

v C

)3

7

2

b

EI

6

B

26.67 kN # m =

C

10 kN

∙

=

5

+

∙

1uB22

(vC)1

(uB)1

A 3

5 kN> m14 m2

3

3

C

5 kN/m

12-29b.

Figura 12-29

de modo que el punto extendidoC se desplaza 1vC22 = 12 m2

¢

#

26.7 kN m

EI

2

≤

=

#

53.33 kN m

8

3

EI

T

Por último, la parte en voladizo BC se desplaza debido a la fuerza de 10 kN, figura l2-29d. Se tiene 1vC23 =

PL

3

3

3EI

=

10 kN12 m2 3EI

=

#

9

3

26.67 kN m

EI

T 10

Sumando estos to del punto C, resultados algebraicamente, se obtiene el desplazamien1+ T2

vC = -

26.7

EI

+

53.3

EI

+

26.7

EI

=

#

53.3 kN m

EI

3

T

Resp.

11

622 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.15 Determine el desplazamiento en el extremoC de la viga en voladizo que se muestra en la figura 12-30.EI es constante.

2

4 kN/m

3 vB

B A

C

vC uB

4 m

6

m

2

Figura 12-30

5

SOLUCIÓN 6

Si se usa la tabla del apéndice C para la carga triangular, la pendiente y el desplazamiento en el puntoB son

3

3

uB

=

vB

=

7

w0L 24EI

=

2

36 kN # m EI

=

4

4

3 172.8 kN # m

4 kN> m16 m2

w0L

30EI

4 kN> m16 m2 24EI

=

30EI

=

EI

8

9

La región descargadaBC de la viga permanece recta, como se muestra en la figura 12-30. Dado queuB es pequeño, el desplazamiento enC se convierte en

1+ T2

vC

=

+

uB1LBC2

#

10

172.8 kN m

= = 11

vB

#

244.8 kN m

2

36 kN m

+

EI

EI

#

3

EI

12 m2

3

T

Resp.

12.5

EJEMPLO

623

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

12.16

12

La barra de acero que se muestra en la figura 12-31 a se sostiene mediante dos resortes en sus extremosA y B. Cada resorte tiene una rigidez de k = 15 kip>pie y en un inicio está sin deformar. Si la barra se carga con una fuerza de 3 kip en el punto C, determine el desplazamiento vertical de la fuerza. No tome en cuenta el peso de labarra y tomeEac = 29(103) ksi, I = 12 pulg4.

2 3 kip 3 pies

6 pies B

A k

SOLUCIÓN

�

C

15 kip/pie

k

�

15 kip/pie

3

(a)

Se calculan las reacciones en los extremosA y B, como se muestran en la figura 12-31b. Cada resorte experimenta una deflexión de

=

3 kip

1vA21 1vB21

=

15 kip> pie

=

15 kip> pie

0.1333 pie

(vA)1

6 pies

C

(vC)1

(vB)1

4

B

A

1 kip =

Posición srcinal

3 pies

2 kip

=

0.0667 pie 2 kip

Desplazamiento de cuerpo rígido

1 kip

5

(b)

Si se considera que la barra esrígida, estos desplazamientos causan que se mueva hasta la posición mostrada en la figura 12-31 b. Para este caso, el desplazamiento vertical enC es 1vC21 = 1vB21 +

6 pies

+

3 kip 3 pies

9 pies 2 [0.1333 pie - 0.0667 pie] = 0.1111 pie T 3

Desplazamiento de cuerpo deformable (c)

=

Pab

6EIL

1L2 -

2

b

-

2

a

7

Figura 12-31

El desplazamiento en C causado por la deformación de la barra, figura 12-31c, puede encontrarse mediante el uso de la tabla del apéndice C. Se tiene 1vC22 =

6

(vC)2

[1vA21 - 1vB21]

= 0.0667 pie +

6 pies

8

2

3 kip 13 pies216 pies2[19 pies22 - 16 pies22 - 13 pies22]

9

6[2911032 kip> pulg 2]1144 pulg 2> 1 pie 22112 pulg 4211 pie 4> 20 736 pulg 4219 pies2

= 0.0149 pie T 10

Sumando las dos componentes de desplazamiento, seobtiene 1+ T2

vC

= 0.1111 pie + 0.0149 pie = 0.126 pie = 1.51 pulg T Resp.

11

624

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

PROBLEMAS

12

La viga W12 * 45 simplemente apoyada está fabricada de acero A-36 y se somete a la carga mostrada en la figura. Determine la deflexión en su centroC.

Determine la pendiente en B y la deflexión en el punto C de la viga simplemente apoyada.E = 200 GPa e I = 45.5(106) mm4.

12-87.

2

12-91.

12 kip

9 kN/m

10 kN

3

50 kip pie 

B

A

A

C

4

B

C

12pies

12pies m

Prob. 12-87

3

m

3

Prob. 12-91

5

La viga en voladizo W10 * 15 está fabricada de acero A-36 y se encuentra sometida a la carga mostrada en la figura. Determine el desplazamiento enB y la pendiente en A. *12-88.

*12-92. Determine la pendiente en A y la deflexión en el punto C de la viga simplemente apoyada. El módulo de elasticidad de la madera esE = 10 GPa.

6 6 kip

4 kip 3kN

3kN

100 m

7

A

B

pies 6

C

A

200 m

B

pies 6 1.5m

Prob. 12-88

1.5m

8

3m

Prob. 12-92

Determine la pendiente y la deflexión en el extremo C de la viga con voladizo.EI es constante. 12-90. Determine la pendiente en A y la deflexión en el punto D de la viga con voladizo.EI es constante. •12-89.

9

La viga simplemente apoyada W8 * 24 está fabricada de acero A-36 y se somete a la carga mostrada en la figura. Determine la deflexión en su centroC. •12-93.

w

6 kip/ pie

10

5 kip pie �

A

C D

A

B

B C

a

a

11 Probs. 12-89/90

a

pies 8

pies 8

Prob. 12-93

12.5

Determine la deflexión verticaly la pendiente en el extremo A de la ménsula. Suponga que ésta se sostiene fijamente en su base, y no tome en cuenta la deformación axial del segmento AB. EI es constante. 12-94.

625

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

*12-96. Determine la deflexión en el extremo E de la viga CDE. Las vigas están hechas de madera con un módulo de 12 elasticidad E = 10 GPa.

2

3 pulg

3

2m 1.5 m

B

C

1.5 m

A

1m 75 mm D a

a

150 mm

6 pulg a E

A

4

Sección a-a a

B

3 kN

5

Prob. 12-96

8 kip

6

Prob. 12-94

El ensamble de tubería se compone de tres tubos del mismo tamaño con rigidez a la flexiónEI y rigidez a la torsión GJ. Determine la deflexión vertical en el puntoA. •12-97.

La viga simplemente apoyada es de acero A-36 y se somete a la carga mostrada en la figura. Determine la deflexión en su centroC. I = 0.1457(10-3) m4.

7

12-95.

8

9 L –

C

2

20 kN 4 kN/m

10 L –2

P A

B

C

5m

A

L –

2

B

5m

11 Prob. 12-95

Prob. 12-97

626

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Determine la deflexión vertical en el extremo A de la ménsula. Suponga que la ménsula se sostiene fijamente en su base B y no tome en cuenta la deflexión axial.EI es constante. 12-98.

12

a

2

P

A

b

3

La viga I de ala ancha actúa como un voladizo. Debido a un error se instala a un ángulou con la vertical. Determine la relación enA de su deflexión en la dirección x sobre su deflexión en la direccióny, cuando se aplica una carga P en este punto. Los momentos de inercia sonIx e Iy. Para la solución, descompongaP en sus componentes y use el método de superposición.Nota: El resultado indica que en vigas delgadas,Iy V Ix, pueden ocurrir grandes deflexiones laterales (direcciónx), cuando están mal instaladas de esta manera. Para mostrar esto numéricamente, calcule las deflexiones en las direccionesx y y para una viga W10 * 15 de acero A-36, conP = 1.5 kip, u = 10° y L = 12 pies. •12-101.

B u

4

Prob. 12-98

Vertical

Determine la deflexión verticaly la pendiente en el extremo A de la ménsula. Suponga que la ménsula se sostiene fijamente en su base y no tome en cuenta la deformación axial del segmentoAB. EI es constante. 12-99.

5

P y u

L 20 lb/ pulg

A 80 lb

B

6

x

Prob. 12-101

A

4 pulg 3 pulg

7

Prob. 12-99

8

*12-100. El bastidor consta de dos vigas en voladizo CD y BA y una viga simplemente apoyadaCB, todas de acero

9

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniforme de 2 kip>pie. Las restricciones de código, debidas a un techo de yeso, requieren que la deflexión máxima no exceda 1>360 de la longitud del tramo. Seleccione del apéndice B la viga I de ala ancha de acero A-36 con menor peso que cumpla este requisito y soporte con seguridad la carga. El esfuerzo flexionante permisible essperm = 24 ksi y el esfuerzo cortante permisible estperm = 14 ksi. Suponga que A es un pasador y B un soporte de rodillos. 12-102.

C

A-36. Si cada viga tiene un momento de inercia respecto a su eje principal de Ix = 118 pulg4, determine la deflexión en el centro G de la viga CB. A

15 kip

10

8 kip

8 kip 2 kip/pie

B D C

G

8 pies

16 pies

8 pies A

B

4 pies

8 pies

11 Prob. 12-100

Prob. 12-102

4 pies

12.6

627

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

12.6 Vigas y ejes estáticamente

12

indeterminados

Las barras cargadas axialmente y los ejes cargados a torsión que son estáticamente indeterminados se analizaron en las secciones 4.4 y 5.5, respectivamente. En esta sección se ilustrará un método general para determinar las reacciones sobre vigas y ejes estáticamente indeterminados. En específico, un elemento de cualquier tipo se clasifica comoestáticamente indeterminado si el número de reacciones desconocidasexcede el número disponible de ecuaciones de equilibrio. Las reacciones adicionales en los soportes de la viga o eje queno son necesarias para mantenerlo en equilibrio estable sellamanredundantes. El número de estas redundantes se conoce como elgrado de indeterminación. Por ejemplo, considere la viga mostrada en la figura12-32a. Si se dibuja el diagrama de cuerpo libre, figura 12-32b, habrá cuatro reacciones desconocidas en los soportes, y como hay tres ecuaciones de equilibrio disponibles para la solución, la viga se clasifica como indeterminada de primer grado. Ay, By o MA pueden clasificarse como redundantes, porque si cualquiera de estas reacciones se elimina, la viga se mantiene estable y en equilibrio (Ax no puede clasificarse como redundante, porque al retirarla no se satisface ©Fx = 0.) De manera similar, la viga continua de la figura 12-33a es indeterminada de segundo grado, puesto que hay cinco reacciones desconocidas y sólo tres ecuaciones de equilibrio disponibles, figura 12-33 b. Aquí, las dos reacciones redundantes en lossoportes pueden elegirse entre Ay, By, Cy y Dy. P

2

3

4

5

6

P

Ay

7

MA B

A

Ax

(a)

(b)

By

8

Figura 12-32

9

P1

P2

P1

P3

P2

P3

10

Ax A

D

B

C

Ay

(a)

Figura 12-33

By

(b)

Cy

Dy

11

628 12

2

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Para determinar las reacciones en una viga(o eje) que es estáticamente indeterminada, primero es necesario especificar las reacciones redundantes. Estas redundantes pueden determinarse a partir de las condiciones de geometría conocidas como lascondiciones de compatibilidad. Una vez encontradas, las redundantes se aplican a la viga y lasreacciones restantes se determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio. En las siguientes secciones se ilustrará este procedimiento de solución mediante el método de integración, sección 12.7; el método del momento de área, sección 12.8; y el método de superposición, sección 12.9.

3

12.7 Vigas y ejes estáticamente 4

5

6

7

indeterminados: método de integración

El método de integración, analizado en la sección 12.2, requiere dos integraciones de la ecuación diferenciald 2y>dx2 = M>EI una vez que el momento interno M en la viga se expresa como una función de la posiciónx. Sin embargo, si la viga es estáticamente indeterminada,M también puede expresarse en términos de las redundantesdesconocidas. Después de integrar dos veces esta ecuación, habrá dos constantes de integración junto con las redundantes a determinar. Aunque esto sea así, lasincógnitas siempre pueden encontrarse a partir de las condiciones de frontera y continuidad para el problema. En los siguientes problemas de ejemplo se ilustran aplicaciones específicas de este método usando el procedimiento de análisis descrito en la sección 12.2.

8

9

10

Ejemplo de una viga estáticamente indeterminada que se usa para soportar la losa de un puente.

11

12.7

EJEMPLO

629

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE INTEGRACIÓN

12.17

12

La viga está sometida a la carga distribuida de la figura 12-34 a. Determine la reacción enA. EI es constante.

w0

A

SOLUCIÓN

B

Curva elástica. La viga experimenta deflexión, como se muestra en la figura 12-34a. Sólo se requiere una coordenadax. Por conveniencia se tomará dirigida a la derecha, puesto que el momento interno es fácil de formular.

L

(a)

3

Función de momento. La viga es indeterminada de primer grado como se indica en el diagrama de cuerpo libre, figura 12-34 b. El momento interno M puede expresarse en términos de la fuerza redundante en A usando el segmento mostrado en la figura 12-34c. Aquí, M

1

Ayx

=

-

6

w0

1wL 0 2

d2 v 2

=

dx

dv EI dx

=

EIv

=

Ay x 1 2

1 -

Ayx2

1

6

w0

2 L 3

Ay

1 L 3

24

x4 L

w0

-

120

+

x5 L

1

3

6 Ayx

(b)

5

w0

1 w x2 0 L 2

C1

x x

0, v

=

dv L, dx

=

L, v

=

=

0; =

0 0;

0

0;

0

=

=

=

0 1 2 1 6

-

0

+

AyL

2

AyL

3

0

-

-

+

C2

1 24

w0

1 120

x L

6

M

C2

+

Ay

=

w0

A

C1x

+

Las tres incógnitasAy, C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones de frontera x = 0, y = 0; x = L, dy>dx = 0, y x = L, y = 0. Al aplicar estas condiciones se obtiene x

MB

x3 L

1 -

4 Bx

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10, se tiene EI

By

A

x3 L

2

x

2x 3

1x 3

V

(c)

7

Figura 12-34

8

L3

+

L4

w0

C1

+

C1L

+

C2 9

Al resolver, Ay C1

1 =

10

w0L 1

=

-

w0L3

Resp. C2

=

0

10

120

NOTA: Si se usa el resultado de Ay, las reacciones enB pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio, figura 12-34b. Demuestre que Bx = 0, By = 2w0L>5 y MB = w0L2>15.

11

630 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.18 La viga de la figura 12-35a está soportada fijamente en ambos extremos y se somete a la carga uniforme mostrada en la figura. Determine las reacciones en los soportes. No tome en cuenta elefecto de la carga axial.

2

SOLUCIÓN Curva elástica. La viga sufre deflexión, como se muestra en la figura 12-35a. Al igual que en el problema anterior, sólo se requiere una coordenada x para obtener la solución ya que la carga es continua en

3

todo el segmento. Función de momento. A partir del diagrama de cuerpo libre, figura 12-35b, las reacciones cortante y demomento respectivas enA y B deben ser iguales, puesto que hay simetría de las dos cargasy la geometría. Debido a esto, la ecuación de equilibrio,©Fy = 0, requiere

4 w

A

VA

B

L

(a)

M

6

2

VA

�

wL

7 MA

�

wL

VB

2

M¿

L

L

2

2 (b)

Resp.

2

=

wL

2

w

-

x

2

x

2

-

M¿

wx wL

9 M¿

MB

wL

2

�

M¿

EI

dx dv dx

=

=

EIv =

wL

2 wL 4 wL

12

x -

x

2

x

3

x

M¿

(c)

M

V

w

2

x

- M¿

2 -

-

x

2

2

�

d v

w

6

x

w

24

3

x

4

- M ¿ x + C1

-

M¿ 2

2

x

+ C1x + C2

Las tres incógnitasM¿, C1 y C2, pueden determinarse a partir de las tres condiciones de fronteray = 0 en x = 0, de donde se obtieneC2 = 0; dy>dx = 0 en x = 0, que resulta enC1 = 0 y y = 0 en x = L, de donde se obtiene

8

11

=

Pendiente y curva elástica. Al aplicar la ecuación 12-10, se tiene EI

10

wL

VB

La viga es indeterminada de primer grado, dondeM¿ es redundante. Si se usa el segmento de viga de la figura 12-35c, el momento interno M puede expresarse en términos deM¿ de la siguiente manera:

x

5

=

=

wL2 12

Resp.

Si se usan estos resultados, puede observarse que debido a la simetría la condición de frontera restantedy>dx = 0 en x = L se satisface de manera automática.

Figura 12-35

NOTA: Seadecuado debe tenercuando en cuenta este método soluciónxespara generalmente sólo que se requiere una de coordenada describir la curva elástica. Si se necesitan varias coordenadasx, es indispensable escribir las ecuaciones de continuidad, lo que complica el proceso de solución.

12.7

631

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE INTEGRACIÓN

PROBLEMAS

12

Determine las reacciones en los apoyos A y B, después dibuje el diagrama de momento.EI es constante. 12-103.

Determine las reacciones en los soportes, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento.EI es constante. 12-106.

M0

2

P

3

A B L A

B L

Prob. 12-103

L

4 Prob. 12-106

Determine el valor de a para el cual el momento positivo máximo tiene la misma magnitud que el momento negativo máximo.EI es constante. *12-104.

12-107. Determine las reacciones portes A y B. EI es constante.

P

de momento en los so-

P

6

P

A

a L

5

B a

7

a L

Prob. 12-104

Prob. 12-107

8 •12-105. Determine las reacciones en los soportes A, B y C; después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante.

*12-108. Determine las reacciones en el soporte de rodillo A y en el soporte fijoB.

9

w P

P

10 A A

B

C L

B L

L

L

L

2L

2

2

2

2

3

3

Prob. 12-105

Prob. 12-108

11

632

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Use funciones de discontinuidad y determine las reacciones en los soportes, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento.EI es constante. •12-109.

12

Determine las reacciones de momento en los soportes fijos A y B. EI es constante. *12-112.

w0

2 3 kip/pie A

C

3

A

B L

B

pies 8

L

2

10 pies

2

Prob. 12-112 Prob. 12-109

4

La viga tiene una constante E1I1 y se sostiene mediante la pared fija en B y la barra AC. Si la barra tiene un área A2 en su sección transversal y el material tiene un módulo de elasticidadE2, determine la fuerza en la barra. •12-113.

Determine las reacciones en los soportes, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento.EI es constante. 12-110.

5

C

6

w0

w

L2

A A

B

C

B

7

L1

L

L

Prob. 12-113

Prob. 12-110

8

La viga está soportada mediante un pasador en A, un rodillo en B y un poste que tiene un diámetro de 50 mm en C. Determine las reacciones en los soportesA, B y C. El poste y la viga son del mismo material con un módulo de elasticidad E = 200 GPa, y la viga tiene un momento de inercia constanteI = 255(106) mm4. 12-114.

12-111. Determine las reaccionesen el soporte de pasador A y en los soportes de rodilloB y C. EI es constante.

9

15 kN/m w

10 A

A

C

B

L

1m L

6m

6m

11 Prob. 12-111

B

C

Prob. 12-114

12.8

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

633

*12.8 Vigas y ejes estáticamente

12

indeterminados: método del momento de área

Si se usa el método del momento de área para determinar las redundantes desconocidas de una vigao eje estáticamente indeterminado, entonces debe dibujarse el diagrama M>EI de modo que en él se representen las redundantes como incógnitas. Una vez que se ha establecido el diagrama M>EI, pueden aplicarse los dos teoremas del momento de área para obtener las relaciones adecuadas entre las tangentes de la curva elástica a fin de satisfacer las condiciones de desplazamiento y la pendiente en los soportes de la viga. En todos los casos, el número de estas condiciones de compatibilidad será equivalente al número de redundantes, por lo que es posible obtener una solución para al s redundantes.

2

3

4

Diagramas de momento construidos por el método de superposición. Como la aplicación de los teoremas del momento de área requiere el cálculo tanto del área bajo eldiagramaM>EI como de la ubicación centroidal de esta área, amenudo resulta conveniente usarpor separado diagramas M>EI para cada una de las cargas y redundantes conocidas en vez de emplear el diagrama resultante para calcular estas cantidades geométricas. Esto es en especial cierto si el diagrama de momento resultante tiene una forma complicada. El método para dibujarel diagrama de momento en partes se basa en elprincipio de superposición. La mayoría de las cargas sobrevigas o ejes en voladizo son una combinación de las cuatro cargas mostradas en la figura 12-36. La construcción de M los diagramas de momento asociados, también se muestra en esta figura, de acuerdo con el análisis de los ejemplos del capítulo 6. Con base en estos resultados, ahora se mostrará cómo emplear el método de superposición para representar el diagrama de momento resultante de una serie de diagramas de momento separados para la viga en voladizo de la figura 1237a. Para ello, primero se sustituirán las cargas por un sistema de cargas �PL estáticamente equivalente. Por ejemplo, las tres vigas en voladizo mostra-

5 P

6

L

x

Línea de inclinación (a)

8

w0

w

M0

9 L

L

L

M

M M M0

7

x

x

10

Línea de inclinación cero

(b)

Curva cúbica

Curva parabólica

x

�wL2 2

(c)

Figura 12-36

�w0L2 6

(d)

11

634 12

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

M (kN

5 kN

4 kN/ m

13 kN



m) 2

30 kN m 

A

m2

58 kN m

m2



�

2

�

�

M (kN

2m

�

(m)

x

(m)

x

(m)

x

(m)

40



m) 2

A

3

x

10

�

58

4 kN/ m

8 kN

4

�

4

8



8 kN m

�

�

M (kN

m)



A

30 kN m

2m



�

�

4

2

30 kN m

4

5



30

� M (kN

5 kN



m)

5 kN

2 A

4m

20 kN m

�

4

20



6

Superposición de cargas

Superposición de diagramas de momento

(a)

(b)

Figura 12-37

7

8

9

das en la figura 12-37a son estáticamente equivalentes a la vigaresultante, ya que la carga en cada punto de la viga resultante es igual a la superposición o la adición de las cargas en las tres vigas separadas. Por lo tanto, si se dibujan los diagramas de momento para cada viga separada, figura 12-37b, la superposición de estos diagramas resultará en el diagrama de momentos para la viga resultante, que se muestra enla parte superior. Por ejemplo, a partir de cada uno de los diagramas de momento separados, el momento en el extremoA es MA = 8 kN m 30 kN m 20 kN m = 58 kN m, como se verifica con el diagrama de momentos de la par−

10

11

−

∙

−

∙

−

∙

∙

te superior. ejemplo que en de ocasiones resulta más fácil construir porEste separado unademuestra serie de diagramas momento estáticamente equivalentes para la viga,en vez de construir un diagrama de momento resultante más complicado. Como es obvio, es más fácil establecer el área y la ubicación del centroide decada porción que determinar estos valores a partir del diagrama resultante.

12.8

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

M (kN



635

m)

12

70 5 kN/ m 20 kN m

20 kN m





12 x �

6

20

12 m

�

(m)

20

2

Diagrama de momento resultante

�

�

M (kN



m) 90

3 5 kN/ m x

(m)

12

6

4

12 m

�

M (kN



m)

20 kN m 

� 6

�

12

x

(m)

5

20

12 m M (kN

�



m)

�

6

20 kN m 

6

12 �

x

(m)

20

12 m Superposición de cargas

Superposición de diagramas de momento

(a)

(b)

7

Figura 12-38

8

De manera similar, el diagrama de momento resultante también puede representarse para unaviga simplemente apoyadamediante una superposición de los diagramas de momento para cada carga que actúa sobre una serie de vigas simplemente apoyadas. Por ejemplo, las cargas sobre una viga que se muestran en la parte superior de la figura 12-38 a son equivalentes a la suma de las cargas sobre la viga que se muestran debajo de la misma. En consecuencia, la suma de los diagramas de momento para cada una de estas tres cargas puede emplearse en lugar del diagrama de momento b. puntos y resultante que se muestra la partepara superior de algunos la figurade 12-38 Los siguientes ejemplosen servirán aclarar estos mostrar cómo se utilizan los teoremas del momento de área para obtener las reacciones redundantes en vigas y ejes estáticamente indeterminados. Las soluciones siguen el procedimiento de análisis descrito en la sección 12.4.

9

10

11

636 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.19 La viga se somete a la fuerza concentrada que se muestra en la figura 12-39a. Determine las reacciones en lossoportes.EI es constante. M EI

2 P

ByL EI

B A

3

� L

L

PL � 2EI

(a)

2L

L

PL EI

x

(c)

P MA

4

tB/A

Ax Ay

L

tan A B

(b)

6

0

L

By

5

�

A

B

tan B

(d)

Figura 12-39

SOLUCIÓN Diagrama M>EI. En la figura 12-39 b se muestra el diagrama de cuerpo libre. Si se usa el método de superposición, los diagramasM>EI separados para la reacción redundanteBy y para la cargaP se muestran en la figura 12-39c. Curva elástica. La curva elásticapara la viga se muestra en la figura

7

12-39d. Se han construido las tangentes en los soportesA y B. Como ¢B = 0, entonces tB>A = 0

Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 2, se tiene 8

>

tB A

a bB ¢ ≤ R a bc a b c a b1 2d 2

=

3

L

2

+

3

1

ByL

2

EI

L

9

L

1

- PL

2

EI

By

=

+

L

L

- PL

2

EI

=

1 2d L

0

2.5P

Resp.

Ecuaciones de equilibrio. Si se usa este resultado, las reacciones en A mostradas en el diagrama de cuerpo libre, figura 12-39b, son 10

+ © F = 0; x

+ c © Fy

= 0;

d + © MA = 0;

11

Ax = 0

:

- MA

+ 2.5P - P = 0 Ay = 1.5P + 2.5P1L2 - P12L2 = 0 MA = 0.5PL

Resp.

- Ay

Resp. Resp.

12.8

EJEMPLO

637

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DEL MOMENTO DE ÁREA

12.20

12

La viga se somete a un momento de par en su extremoC como se muestra en la figura 12-40a. Determine la reacción enB. EI es constante.

C

B

M0

A L

L

SOLUCIÓN

2

(a)

Diagrama M>EI. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 12-40b. Por inspección, la viga es indeterminada de primer grado. Con el fin de obtener una solución directa, seelegiráBy como la redundante. Usando la superposición, los diagramasM>EI para B y M , cada y uno aplicado a una viga simplemente apoyada, se muestran en 0la figura 12-40c. (Observe que para una vigade este tipoAx, Ay y Cy no contribuyen a un diagrama M>EI.) Curva elástica. La curva elástica para la viga se muestra en la figura 12-40d. Se han establecido las tangentes enA, B y C. Como ¢A = ¢B = ¢C = 0, entonces las distancias verticales indicadas deben ser proporcionales; es decir, tB>C

1 t A> C 2

=

By Ax

M0

L

3

L

Ay

Cy

(b)

M EI

4

ByL

2EI 2L

L

(1)

�

�

M0

2EI

�

(c)

x M0

5

2EI M0 EI

A partir de la figura 12-40c, se tiene 6 tB

>

a b B ¢ ≤1 2R a b B ¢ ≤1 2R a b B ¢ ≤1 2R 1 2 B ¢ ≤ 1 2 R a 1 2b B ¢ ≤ 1 2 R 1

C =

3

+

>

tA C

=

L

L

1

ByL

2

2EI

L

L

- M0

2

2EI

1

ByL

2

2EI

2

+

3

L

1

- M0

2

2EI

L

tA/C A

L

2

+

3

2L

1

- M0

2

EI

2L

C

tanC

tan B tan A

B

L

(d)

L

2L

tB/C

A

7

tan B L

tanC

B tB/A

L

Al sustituir en la ecuación 1 y al simplificar se obtiene (e)

By

3M0 =

2L

Resp.

tC/A

8

tan A

Figura 12-40

9

Ecuaciones de equilibrio. Ahora es posible determinar las reacciones en A y C a partir de las ecuaciones de equilibrio, figura 12-40 b. Demuestre que Ax = 0, Cy = 5M0>4L y Ay = M0>4L. Observe, con base en la figura 12-40e que este problema también se

10

puede manejar en términos de las distancias verticales, tB>A

1 =

2

tC>A

11

638

3

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

PROBLEMAS

12

2

CAPÍTULO 12

12-115. Determine las reacciones de momento en los soportes A y B, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento.EI es constante.

A B

M0

Determine las reacciones en los soportes, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento.EI es constante. 12-118.

M0

M0

A

L

C

B L

Prob. 12-115

L

4

Prob. 12-118

La barra está fija en A y la conexión enB consiste en un alojamiento de rodillos que permite el desplazamiento vertical pero se resiste a la carga axial y al momento. Determine las reacciones de momento en estos soportes.EI es constante. *12-116.

5

Determine las reacciones en los soportes, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento.EI es constante. El soporteB es un cojinete de empuje. 12-119.

6 P

w

B

C

B

A

7

A

L

L

Prob. 12-116

L

L

2

2

Prob. 12-119

8

Determine el valor de a para el cual el momento positivo máximo tiene la misma magnitud que el momento negativo máximo.EI es constante. •12-117.

9

*12-l20. Determine las reacciones de portes A y B. EI es constante.

P

10

momento en los so-

w

a

B

A L

11 Prob. 12-117

L –

L –

2

2

Prob. 12-120

12.9

639

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

12.9 Vigas y ejes estáticamente

12

indeterminados: método de superposición

El método de superposición se ha utilizado previamente para resolver las cargas redundantes en barras cargadas axialmente y ejes cargados a torsión. Para aplicar este método en la solución de vigas (o ejes) estáticamente indeterminadas, primero es necesario identificarlas reacciones redundantes en los soportes, como se explica en lasección 12.6. Aleliminarlos de la viga se obtiene la llamada viga primaria, que es estáticamente determinada y estable, además está sometidasólo a la carga externa. Si a esta viga se le agrega una sucesión de vigas apoyadas de manera similar, cada una cargada con una redundante separada, entonces por el principio de superposición, se obtiene la viga cargada real. Por último, con el fin de despejar las redundantes, es necesario escribir lascondiciones de compatibilidad que existen en los soportes donde actúa cada una de las redundantes. Como de esta manera las fuerzas redundantes se determinan directamente, el método de análisis se denomina en ocasionesmétodo de fuerza. Una vez que se obtienen las redundantes, las otras reacciones sobre la vigapueden determinarse a partir de lastres ecuaciones de equilibrio. Para aclarar estos conceptos, considere la viga de la figura 12-41 a. Si se elige la reacción By en el rodillo como redundante, entonces la viga primaria es la mostrada en la figura 12-41b, y la viga sobre la que actúa la redundante By se muestra en la figura 12-41c. El desplazamiento en el rodillo debe ser igual a cero, y como el desplazamiento del puntoB sobre la

P

A

1+ c 2

0

œ vB

= - vB +

2

vB

=

5PL3 48EI

œ

y

vB

ByL3 =

L

2

Viga real (a)

3

5 P

4

A L

vB

L

B

2 2 Redundante By eliminada (b)

5 B

1

v¿B

A L

By

Sólo se aplica la redundante

By

6

(c) P

Ay Ax MA

Los desplazamientosyB y y¿B pueden obtenerse mediante cualquiera de los métodos descritos en las secciones 12.2 a 12.5.Aquí se obtendrán directamente de la tabla del apéndice C.Se tiene

B L

¿ B By causa de viga primaria es yBla , yecuación que el punto B se desplace es posible escribir compatibilidad enB comohacia arribay ,

2

L

L

2

2

7 5 P 16

(d)

Figura 12-41

8

3EI

Al sustituir en la ecuación de compatibilidad, se obtiene ByL3

3

0 = -

5PL

48EI

+

3EI

9

5

By

=

P

16

Ahora que se conoce By, las reacciones en la pared se determinan a partir de las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas al diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 12-41d. Los resultados son Ax

=

0

MA

Ay 3 =

16

11 =

PL

16

10

P

11

640

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

P

12 (a)

B

A L

L

2

2

Viga real

2

� P

3

(b)

A

B L uA

L

2 2 Redundante MA eliminada

4

�

MA

(c)

A

B u¿A

Sólo se aplica la redundante

5

MA

Figura 12-42

Como se estableció en la sección 12.6, la elección de la redundante es 6

7

arbitraria siempre que la viga primaria se mantenga estable. Por ejemplo, el momento enA para la viga de la figura 12-42a también se puede elegir como redundante. En este caso, la capacidad de la viga para resistirMA

se elimina, por lo que la viga primaria es la que se sostiene mediante un pasador en A, figura 12-42b. A ésta se le agrega la viga sobre la cual actúa la redundante en A, figura 12-42c. Si a la pendiente en A causada por la carga P se le denominauA y a la pendiente enA causada por la redundante MA se le llama uA¿ , la ecuación de compatibilidad para la pendiente enA requiere œ

1e + 2

0 = uA + uA

8

De nuevo, si se usa la tabla del apéndice C, se tiene 2

uA

9

=

PL

œ

y

16EI

uA

=

MAL

3EI

Por lo tanto, 2

0 =

10

PL

16EI

+

MAL 3EI

MA = - 3 PL 16

11

Este es el mismo resultado que se determinó previamente. Aquí, el signo negativo para MA sólo significa queMA actúa en sentido opuesto a la dirección mostrada en la figura 12-42c.

12.9

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

P1

P2

B

(a)

C

641 12

D

A

Viga real

�

2 P1

(b)

P2

B

C

vB

vC

D

A

Redundante By y Cy eliminadas

3

� By

B

(c)

C

D

A vB ¿

4

vC ¿

Sólo se aplica la redundante

By

� Cy

B

(d)

C

5

D

A vB ¿¿

vC ¿¿

Sólo se aplica la redundante

Cy

6

Figura 12-43

En la figura 12-43a se proporciona otro ejemplo que ilustra este método. En este caso, la viga es indeterminada de segundo grado y, por lo tanto, se necesitarándos ecuaciones de compatibilidad para obtener la solución. Se elegirán las fuerzas en los soportes de rodilloB y C como redundantes. La viga primaria (estáticamente determinada) se deforma de la manera mostrada en la figura 12-43b cuando se retiran las redundantes. Cada fuerza redundante deforma esta viga como se muestra en las figuras 12-43c y 12-43d, respectivamente. Por superposición, las ecuaciones de compatibilidad para los desplazamientos enB y C son

1+ T2

0 =

vB

+

œ vB

+

fl vB

1+ T2

0 =

vC

+

œ vC

+

fl vC

7

8

9

(12-20)

10

Aquí, las componentes del desplazamiento yB¿ y yC¿ se expresarán en términos de la incógnita By, y las componentes y B– y y C– se expresarán en términos de la incógnitaCy. Cuando estos desplazamientos se hayan determinado y sustituido en la ecuación 12-20, entonces las ecuaciones By y Cy. podrán resolverse de manera simultánea para las dosncógnitas i

11

642

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Procedimiento de análisis

12

2

El siguiente procedimiento proporciona un medio para aplicar el método de superposición (o el método de fuerza) para determinar las reacciones en vigas o ejesestáticamente indeterminados.

Curva elástica. •

3 •

4 •

5

6

•

•

•

8

minada y estable. Mediante el principio de superposición, dibuje la viga estáticamente indeterminada y muéstrela como una secuencia delas vigas estáticamente determinadascorrespondientes. La primera de estas vigas, la viga primaria,soporta las mismas cargas externas que la viga estáticamente indeterminada, y cada una de las otras vigas “agregadas” a la viga primaria muestra a la viga cargada con una fuerza o momento redundante independiente. Dibuje la curva de deflexión para cada viga e indique de manera simbólica el desplazamiento (pendiente) en elpunto de cada fuerza redundante (momento).

Ecuaciones de compatibilidad. •

7

Especifique las fuerzas o momentos redundantes desconocidos que deben retirarse de la vigacon el fin de hacerla estáticamente deter-

•

Escriba una ecuación de compatibilidad para el desplazamiento (pendiente) en cada punto donde haya una fuerza (momento) redundante. Determine todos los desplazamientos o pendientes mediante un método adecuado, como se explica en las secciones 12.2 a12.5. Sustituya los resultados en las ecuaciones de compatibilidad y despeje las redundantes desconocidas. Si el valor numérico de una redundante es positivo, tiene el mismo sentido que la dirección prevista en un principio. Del mismo modo, un valor numérico negativo indica que la redundante actúa ensentido opuesto a la dirección supuesta.

9

Ecuaciones de equilibrio. •

10

Una vez que las fuerzas y los momentos redundantes se han determinado, las reacciones desconocidas restantes pueden encontrarse a partir de las ecuaciones de equilibrio aplicadas a las cargas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga.

11

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación deeste procedimiento. Por razones de brevedad, todos losdesplazamientos y pendientes se determinarán usando la tabla del apéndice C.

12.9

EJEMPLO

643

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

12.21

12

Determine las reacciones en el soporte derodillosB de la viga mostrada en la figura 12-44a, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante.

8 kip (a)

SOLUCIÓN

2 kip/ pie

5 pies

2

B A

10 pies

Principio de superposición. Por inspección, la viga es estáticamente indeterminada de primer grado. El soporte de rodillo B ense B se determinarádirectamente. elegirá como la redundante por lo que En las figuras 12-44b y 12-44c se muestray la aplicación del principio de superposición. Aquí se ha supuesto que By actúa hacia arriba sobre la (b) viga.

Viga real

�

3

8 kip

2 kip/ pie

5 pies

vB

4

B 10 pies Redundante By eliminada

Ecuación de compatibilidad. Si se considera que el desplazamiento positivo es hacia abajo, la ecuación de compatibilidad enB es

�

1+ T2

0 =

vB

-

B

œ

(1)

vB

Estos desplazamientos pueden obtenerse de manera directa en la tabla del apéndice C. 18 kip (d)

vB

= =

vœ

B

=

L4

w

+

5PL3

3EI

10 pies Sólo se aplica la redundante 8 kip

0

5 pies

+

By110 pies23

3EI

518 kip2110 pies23

=

48EI 333.3 pies 3 By EI

=

#

c

EI

T

10 kip (kip)

18 5 �



Al sustituir en la ecuación 1 y al resolver se obtiene

=

3333 EI By

=

x (pie)

8

40

Figura 12-44

9

333.3By -

10

x (pie)

25 5

0

7

8

(e) M (kip pie)



6

5 pies

V (kip)

3333 kip pie 3

5

By By

2 kip/ pie

�

8EI

=

¿

40 kip pie

8EI 48EI 2 kip> pie 110 pies24

PL3

vB

(c)

EI

10 kip

Resp.

10

Ecuaciones de equilibrio. Si se emplea este resultado y se aplican las tres ecuaciones de equilibrio, se obtienen los resultados mostrados en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 12-44 d. En la figura 12-44e se muestran los diagramas de fuerza cortante y de momento.

11

644 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.22 La viga de la figura 12-45a está empotrada a la pared enA y conectada mediante un pasador a una varillaBC de 1¬2 pulg de diámetro. Si E = 29(103) ksi para los dos elementos, determine la fuerza desarrollada en la barra debido a la carga.El momento de inercia de la viga respecto a su eje neutro esI = 475 pulg4.

C

2 8 pies

8 kip

8 kip

FBC

B

3 B

A

5 pies

5 pies

v¿¿ B

A

vB

v¿ B

A

B

Redundante FBC eliminada

Viga y barra reales

Sólo se aplica la redundante

(b)

4

FBC

(c)

Figura 12-45

SOLUCIÓN I 5

6

Principio de superposición. Por inspección, este problema es indeterminado de primer grado. Aquí,B experimentará un desplazamiento desconocido, yB–, puesto que la barra se estira. La barra se tratará como la redundante y por ende la fuerza de la barra se retira de la viga en B, figura 12-45b, y después se vuelve a aplicar, figura 12-45c. Ecuación de compatibilidad. En el punto B se requiere fl vB

1+ T2 7

vB

-

œ vB

(1)

Los desplazamientos yB y y¿B se determinan a partir de la tabla en el apéndice C. yB– se calcula con base en la ecuación 4-2. Si se usan unidades de kilolibras y pulgadas, se tiene

8 fl

9

=

vB

=

vB

=

œ

=

vB

PL AE

5PL3 48EI PL

3

3EI

FBC18

=

pies2112 pulg> pie2

1p> 42 A 12 pulgB 2 [2911032 kip> pulg 2]

= =

518 kip2110 pies23112 pulg > pie23 48[2911032 kip> pulg 2]1475 pulg 42 FBC110

pies23112 pulg > pie23

3

3[291102 kip> pulg 2]1475 pulg 42

= 0.01686FBC T = 0.1045 pulg T

= 0.04181FBC c

10

Por lo tanto, la ecuación 1se convierte en 1+ T2 11

0.01686FBC = 0.1045 - 0.04181FBC FBC

= 1.78 kip

Resp.

12.9

645

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

12 C

C

vC

FBC

C

8 kip

vBC

vC ¿

2

8 kip B B

A

5 pies

A

vB ¿

A B

5 pies

Viga y barra reales

Redundante FBC eliminada

(d)

(e)

Sólo se aplica la redundante

FBC

3

(f)

Figura 12-45 (cont.)

4

SOLUCIÓN II Principio de superposición. Este problema también puede resolverse al retirar el soporte de pasador enC y al mantener la varilla conectada a la viga. En este caso, la carga de 8 kip hará que los puntos B y C se desplacen hacia abajo lamisma cantidad yC, figura 12-45e, puesto que no existe fuerza en la barraBC. Cuando se aplica la fuerza redundante FBC en el punto C, ésta hace que el extremoC de la barra se desplace la cantidadyC¿ hacia arriba y que el extremoB de la viga se desplace la cantidady¿B hacia arriba, figura 12-45f. La diferencia en estos dos desplazamientos, yBC, representa el estiramiento de la varilla y¿ = y + y¿ BC B debido 12-45 a FBCd, ,de modo que f,Cla compatibilidad . Por lodel tanto, a partir de las figuras 12-45 e y 12-45 desplazamiento en el punto C es 1+ T2

0 =

vC

- 1vBC +

œ vB2

vBC

œ

vB

vB

=

0.1045 pulg

=

fl v

=

0.01686FBC c

=

0.04181FBC c

9

Por lo tanto, la ecuación 2 seconvierte en 1+ T2

7

8

=

B

6

(2)

A partir de la solución I, se tiene vC

5

10

0 = 0.1045 - 10.01686FBC + 0.04181FBC2 FBC

= 1.78 kip

Resp.

11

646 12

CAPÍTULO 12

EJEMPLO

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

12.23 Determine el momento enB para la viga mostrada en la figura 12-46a. EI es constante. No tome en cuenta losefectos de la carga axial.

2

3

4

SOLUCIÓN Principio de superposición. Como no se toma en cuenta la carga axial sobre la viga, no habrá una fuerza vertical ni un momento enA y B. Aquí hay sólo dos ecuaciones de equilibrio disponibles©(M = 0, ©F = 0) por lo que el problema es indeterminado de segundo grado. Se y supondrá que By y MB son redundantes, de modo que por el principio de superposición, la viga se representa como un voladizo cargadode manera separada por la carga distribuida y las reaccionesBy y MB, figuras 12-46b, 12-46c y 12-46d.

5 3 kip/ pie

6

(a)

A

B

6 pies

6 pies Viga real

� 3 kip/ pie

7 (b)

A

vB

6 pies

6 pies

B

uB

Redundantes MB y By eliminadas

8

�

(c)

By

A

9

vB ¿

B

12 pies Sólo se aplica la redundante

uB ¿

By

� MB

10

(d)

A ¿¿

vB B

12 pies Sólo se aplica la redundante

11

Figura 12-46

MB

uB ¿¿

12.9

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

Ecuaciones de compatibilidad.En relación con el desplazamiento y la pendiente enB, se requiere 1e + 2

0 =

1+ T2

0 =

uB

vB

œ

+

uB

+

œ

vB

fl

+

uB

(1)

+

fl

(2)

vB

Si se usa la tabla del apéndice C para calcular las pendientes y los des-

647 12

2

3

plazamientos, se tiene

uB

=

vB = œ

uB

=

œ = vB

fl

uB

=

L3

w

48EI

=

3 kip> pie 112 pies23 48EI

4

b

EI

#

713 kip> pie2112 pies24 1134 kip pie 3 7wL4 = = T 384EI 384EI EI PL2

2EI PL3

3EI ML

=

By112 pies2 2

ML2

2EI

=

2EI 3

= =

By112 pies2

=

3EI MB112 pies2

EI fl = vB

#

108 kip pie 2

=

=

72By EI

576By EI

12MB

EI

=

5 b

T

6

b

EI

MB112 pies22

2EI

=

72MB EI

7

T

Al sustituir estos valores en las ecuaciones 1 y 2, y al cancelar el factor común EI, se obtiene 1e + 2

0

=

108

+

1+ T2

0

=

1134

72By

+

+

576By

12MB

+

8

9

72MB

Si se resuelven estas ecuaciones de manerasimultánea resulta

10

3.375 kip

By

=

-

MB

=

11.25 kip # pie

Resp.

11

648

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

12

Determine las reacciones en el soporte fijo A y en el rodillo B. EI es constante. F12-13.

F12-16.

Determine la reacción en el rodillo B. EI es cons-

tante.

2

40 kN M0

3

A C

B A

B m

4

m

L

2

F12-16

4

5

L

F12-13

Determine las reacciones en el soporte fijo A y en el rodillo B. EI es constante. F12-14.

6

F12-17.

Determine la reacción en el rodillo B. EI es cons-

tante.

50 kN

w0

A

C

B

7

A

B

4m

L

2m

6m

F12-17

F12-14

8

Determine las reacciones en el soporte fijo A y en el rodillo B. El soporte en B se asienta 2 mm. E = 200 GPa, I = 65.0(10-6) m4. F12-15.

9

Determine la reacción en el soporte de rodillos B si éste se asienta 5 mm.E = 200 GPa e I = 65.0(10-6) m4. F12-18.

10 kN/m

10 kN/m

10 B

A

6m

A

C

B

m

6

m

6

11 F12-15

F12-18

12.9

649

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

PROBLEMAS

12

Determine las reacciones en los soportes de cojinete A, B y C del eje, después dibuje los diagramasde fuerza cortante y de momento.EI es constante. Cada cojinete ejerce sólo reacciones verticales sobre el eje. •12-121.

A

B

El ensamble consiste en una barra de acero y una barra de aluminio, cada una de ellas tiene 1 pulg de grosor, están fijas en sus extremosA y B, y se conectan mediante 2 un pasador con el eslabón corto yrígido CD. Si se aplica una fuerza horizontal de 80 lb al eslabón como se muestra, determine los momentos creados enA y B, Eac = 29(103) ksi, Eal = 10(103) ksi. *12-124.

3

C

C m1

m1

m1

80 lb

D

m1

400 N

1 pulg

Acero

400 N

Prob. 12-121

4 30 pulg Aluminio

0.5 pulg A

Determine las reacciones en los soportes A y B. EI es constante. 12-122.

5

B

Prob. 12-124

Determine las reacciones en los soportes A, B y 6 C, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante. •12-125.

P

kN 10 A

L

L

2

C

A

Prob. 12-122

B

3m

Determine las reacciones en los soportes A, B y C, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento. EI es constante.

12 kip

3m

3m

Determine las reacciones en los soportes A y B. EI es constante. 12-126.

3 kip/ pie

C

M0

6 pies

12 pies

Prob. 12-123

9

10

A B

B

pies 6

8 3m

Prob. 12-125

12-123.

A

7

kN 10

B

L

11 Prob. 12-126

650

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

Determine las reacciones en el soporte C. EI es constante para ambas vigas. 12-127.

12

Determine las reacciones en A y B. Suponga que el soporte en A sólo ejerce un momento sobre la viga.EI es constante. 12-130.

P

2

P D B

A A

B

C

3

L

L

2

2

L

L

–2

–2

Prob. 12-127

Prob. 12-130

4

Los segmentos de la viga compuesta se unen en el centro mediante un contacto liso (rodillo). Determine las reacciones en los soportes fijosA y B cuando se aplica la carga P. EI es constante. *12-128.

5

La viga se sostiene mediante soportes atornillados en sus extremos. Cuando están cargados, estos soportes no actúan como una conexión fija real, sino que permiten una ligera rotación a antes de volverse fijos. Determine el momento en las conexiones y la deflexión máxima de la viga. 12-131.

P P

6 A C

B

L

7

L

Prob. 12-128

L — 2

L — 2

Prob. 12-131

8

La viga tiene una E1I1 constante y se sostiene mediante la pared fija en B y la barra AC. Si la barra tiene un área A2 en su sección transversal y el material tiene un módulo de elasticidadE2, determine la fuerza en la barra. •12.129.

9

La viga se sostiene mediante un pasador en A, un resorte que tiene una rigidezk en B y un rodillo en C. Determine la fuerza que ejerce el resorte sobre la viga.EI es constante. *12-132.

C w

10

L2

w A B

B

A

11

L1

Prob. 12-129

C k

L

L

Prob. 12-132

12.9

651

VIGAS Y EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

La viga está fabricada de un material suave elástico lineal que tiene unaEI constante. Si en un inicio se encuentra a una distancia¢ de la superficie de su soporte extremo, determine la distanciaa sobre la que descansa en este soporte cuando está sometida a lacarga uniformew0, que es lo suficientemente grande como para hacer que estosuceda. •12-133.

El eje de acero A-36 con un diámetro de 1 pulg, se sostiene mediante cojinetes rígidos enA y C. El cojinete en 12 B descansa sobre una viga I de ala ancha de acero simplemente apoyada, que tiene un momento de inerciaI = 500 pulg4. Si cada una de las cargas de la banda sobre la polea es de 400 lb, determine las reacciones verticales enA, B y C. 12-135.

2

3 3 pies

5 pies

A

w0

2 pies

�

5 pies

4

B

400 400 lb lb

a L

C

5

5 pies

Prob. 12-133

Prob. 12-135

6

Antes de que la carga uniformemente distribuida se aplique sobre la viga, hay un pequeño espacio de 0.2 mm entre la viga y el poste enB. Determine las reacciones en los soportes A, B y C. El poste en B tiene un diámetro de 40 mm y el momento de inercia de la viga esI = 875(106) mm4. El poste y la viga son de un material que tiene un módulo de elasticidadE = 200 GPa. 12-134.

Si la temperatura del poste CD de 75 mm de diá- 7 metro se incrementa en 60°C, determine la fuerza desarrollada en el poste. El poste y la viga están fabricados de acero A-36 y el momento de inercia de la viga esI = 255(106) mm4. *12-136.

8

9

3m

3m

A

30 kN/

B

m

C

3m A

10

C

1m

B

0.2 mm

6m

D

6m

11 Prob. 12-134

Prob. 12-136

652

12

2

CAPÍTULO 12

DEFLEXIÓN DE VIGAS Y EJES

REP ASO DE CAPÍT ULO La curva elástica representa la deflexión de la línea central de una viga o eje. Su forma puede determinarse mediante el diagrama de momento. Los momentos positivos causan que la curva elástica sea cóncava hacia arriba y los momentos negativos ocasionan que sea cóncava hacia abajo. El radio de curvatura en cualquier punto se determina a partir de 1

3

=

r

M

x

Diagrama de momento

M EI

Punto de inflexión Curva elástica

4

5

6

7

La ecuación de la curva elástica y su pendiente pueden obtenerse al encontrar primero el momento interno en el elemento como una función dex. Si hay varias cargas que actúan sobre el elemento, entonces deben determinarse funciones de momento separadas entre cada una de las cargas. Al integrar estas funciones una vez usando EI(d 2y>dx2) M(x) se obtiene la ecuación para la pendiente de la curva elástica, y al integrar de nuevo resulta la ecuación para la deflexión. Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones de frontera en

u v

� �

0 0

v

0

Condiciones de frontera

=

los soportes o, en los casos donde hay varias funciones de momento involucradas, debe satisfacerse la continuidad de la pendiente y la deflexión en los puntos donde estas funciones se unen.

�

P

v1

�

v2

x1 x2 dv1 dx1

dv2 �

dx2

Condiciones de continuidad

8

9

10

11

Las funciones de discontinuidad permiten expresar la ecuación de la curva elástica como una función continua, sin importar el número de cargas sobre el elemento. Este método elimina la necesidad de utilizar condiciones de continuidad, ya que las dos constantes de integración pueden determinarse sólo a partir de las dos condiciones de frontera.

653

REPASO DE CAPÍTULO

El método del momento de área es una técnica semigráfica para determinar la pendiente de las tangentes o la distancia vertical entre las tangentes en puntos específicos sobre la curva elástica. Se requiere encontrar segmentos de área bajo el diagrama M>EI, o el momento de estos segmentos sobre los puntos de la curva elástica. El método funciona bien para los diagramasM>EI compuestos de formas simples, como los que se producen mediante fuerzas concentradas y momentos de par.

12 M EI

uB/A

tan B

uB/A

Área

x tan A

A

M EI

A

�

B

A

tan B

tB/A

�

_ x

(Área)

¿

B

tB/A tan A

A

2

B

_ x

¿

B

3

x

4

La deflexión o la pendiente en un punto de un elemento sometido a combinaciones de cargas puede determinarse mediante el método de superposición. La tabla en el apéndice C está disponible para este fin.

5

6

7

Las vigas y los ejes estáticamente indeterminados tienen más reacciones desconocidas en los soportes que ecuaciones de equilibrio disponibles. Para resolverlas, primero identifique las reacciones redundantes. Para determinar las redundantes desconocidas puede usarse el método de integración o el teorema del momento de área. También es posible encontrar las redundantes empleando el método de superposición, donde se consideran las condiciones de continuidad en la redundante. Aquí, el desplazamiento debido a la carga externa se determina al eliminar la redundante, y de nuevo al aplicar la redundante con la carga

8

9

10

externa eliminada. Las tablas en elapéndice C pueden emplearse para determinar estos desplazamientos necesarios.

11