CAP Matematica a 10

ÍNDICE

PARTE 1 • GUIÃO DO PROFESSOR  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PARTE Intr In trod oduç ução ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan Pl anifific icaç ação ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Módul Mó duloo Inic Inicia iall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geom Ge omet etri riaa no Pla Plano no e no Esp Espaço aço I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funções Fun ções e Gráf Gráfico icos. s. Fun Função ção Mód Módulo ulo.. Funçõ Funções es Pol Polino inomia miais is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estatí Est atísti stica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suge Su gest stõe õess de Re Reso solu lução ção de Alg Algum umas as Act Activ ivid idad ades es Prá Prátitica cass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actitivi Ac vida dade de Prá Prátitica ca G1 G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actitivi Ac vida dade de Prá Prátitica ca G3 G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actitivi Ac vida dade de Prá Prátitica ca G4 G4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actitivi Ac vida dade de Prá Prátitica ca G6 G6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actitivi Ac vida dade de Prá Prátitica ca G7 G7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actitivi Ac vida dade de Prá Prátitica ca G8 G8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa F3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa F5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa F8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activi Act ividad dadee Prátic Práticaa E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Guião Gui ão de Uti Utiliz lização ação de Tran Transpar sparênc ências ias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 5 11 18 24 25 25 26 28 29 30 33 36 37 39 41 42 44 45 46 47

PARTE 2 • MATERIAL FOTOCOPIÁVEL . PARTE FOTOCOPIÁVEL  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test estee diagnó diagnósti stico co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Folha Fol ha de Res Respos posta ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz Mat riz de Corre Correcção cção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Avaliação Final Matriz Mat riz dos Test Testes es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test estee A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test estee B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test estee C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test estee D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluçõe Sol uçõess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grelha Gre lha de Aval Avaliaç iação ão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cons Co nstr truç ução ão de de um Mo Mode delo lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trab rabalh alhoo de Grup Grupoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trab rabalh alhoo de Pesq Pesquis uisaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test estee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 52 58 59 61 62 65 68 71 74 77 77 78 79 80

PARTE 1

GUIÃO DO PROFESSOR

INTRODUÇÃO

Pretendemos neste guião do Caderno de Apoio ao Professor fazer algumas sugestões para uma melhor utilização do nosso projecto para a disciplina de Matemática A do 10. o ano. O projecto engloba um Manual, um Caderno de Exercícios, um Caderno de Actividades Práticas e um conjunto de materiais que são exclusivos do professor: 11 Transparências, este Caderno de Apoio ao Professor, Banco de Imagens, Recursos para Aulas de Substituição e o CD-ROM A história do   . Tendo por base as linhas orientadoras do Programa em vigor, decidimos elaborar um manual que não se limitasse a uma apresentação de exemplos repetitivos e rotineiros, mas partisse da intuição e da experiência do quotidiano dos alunos para chegar à formalização dos conceitos. Assim, a introdução dos conteúdos é feita, sempre que possível, partindo de uma situação da vida real, conceptualizada e consolidada através de exemplos e dos exercícios propostos. Tendo em vista as finalidades da disciplina no Ensino Secundário, vão surgindo, ao longo do texto, indicações para serem efectuadas as actividades práticas, que utilizam, na maioria dos casos, as novas tecnologias aplicadas à Matemática. Para tal, é conveniente que o Departamento de Matemática possua o software  indicado (The Geometer’s  Sketchpad, Cinderella, Graphmatic e Modellus ), calculadoras gráficas, viewscreens  e sensores (para as presentes actividades, o CBR). Sugere-se igualmente a aquisição dos vídeos produzidos por «Project MATHEMATICS!», cujas versões portuguesas foram adaptadas pelo Projecto «Matemática em Acção» (estes vídeos podem ser adquiridos através do Departamento do Ensino Secundário). As actividades práticas devem ser executadas em «Laboratórios de Matemática» convenientemente apetrechados. As aulas de laboratório são espaços privilegiados para avaliar o processo da aprendizagem, permitindo ao professor conhecer de um modo mais individualizado os seus alunos, observando-os, interpolando-os e discutindo os diferentes métodos de resolução dos problemas sugeridos nas actividades. Por isso, sugere-se que, antes de iniciar a primeira actividade, seja feita uma leitura conjunta e comentada da página 2 do Caderno de Actividades Práticas, sobre estratégias a adoptar para a resolução de problemas. A perspectiva histórico-cultural não foi esquecida e tentou-se, através da rubrica A Vida da Matemática, «(...) mostrar a Matemática como ciência em construção e em constante interacção com outras ciências (...)», esperando, assim, fomentar nos alunos o gosto pela pesquisa. Ainda neste Guião do Professor, apresentamos uma planificação, algumas sugestões metodológicas, a resolução de alguns dos exercícios e da maioria das actividades propostas no manual, assim como um Guião de Utilização de Transparências. No Material Fotocopiável, que consta na segunda parte deste Caderno de Apoio ao Professor, são apresentados: um teste diagnóstico, quatro testes globais e alguns exemplos de grelhas para avaliação. O Caderno de Exercícios oferece ao aluno mais exercícios para consolidação dos conteúdos dados. O professor poderá utilizá-los tendo como objectivo a remediação, a consolidação ou o enriquecimento dos conhecimentos, pois os exercícios propostos apresentam graus de dificuldade diferentes e permitem uma aplicação gradual. Como acreditamos que a partilha de experiências nos ajuda a encontrar o caminho para ensinarmos os nossos alunos a ter gosto pela Matemática, agradecemos desde já a todos as sugestões que nos permitam vir a melhorar o projecto que vos apresentamos.

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PLANIFICAÇÃO

No Programa da disciplina de Matemática A está prevista uma carga horária semanal de 4h 30min, divididas por aulas de 90 minutos, ao longo de 33 semanas. Apresenta-se, em seguida, uma sugestão de planificação para 78 aulas, conforme a distribuição feita pelo Programa, Prog rama, dos diferentes temas a leccionar. As restantes aulas destinam-se a testes escritos e outros instrumentos de avaliação que o professor considerar oportunos. Não se optou por uma planificação mais pormenorizada pois as características das turmas, as áreas escolhidas, o Projecto Educativo de cada escola e o meio em que está inserida são factores que influenciam essa mesma planificaçã planificação. o. Devido aos objectivos específicos do Módulo Inicial, decidiu-se não fragmentar o número de aulas pois considera-se que tal só terá sentido depois de se conhecer as respectivas turmas. Salienta-se ainda que, segundo as orientações do Programa, «se recomenda fortemente que, em cada período, mais do que um dos elementos de avaliação, seja obrigatoriamente uma redacção matemática... que reforce a importante componente da comunicação matemática(...)» Devem ser propostos aos alunos vários instrumentos de avaliação tanto a nível de sala de aula, como de trabalho de pesquisa, apresentação oral e escrita de relatórios e de composições. Por fim, e «para garantir um equilíbrio entre as diversas formas de avaliação, recomenda-se que o peso dos testes escritos não ultrapasse, em regra, metade do peso do conjunto dos diferentes momentos de avaliação».

Temas

N.o de aulas

Módulo Inicial

9

Geometria no Plano e no Espaço I

27

Resolução de problemas de Geometria no plano e no espaço

10

Geometria Analítica

10

Vectores livres no plano e no espaço

3

Colinearidade de vectores

2

Equação reduzida da recta no plano e a equação x = x 0

2

Funções e Gráficos. Função Módulo. Funções Polinomiais

27

Generalidades sobre Funções

6

Função Módulo

3

Função Quadrática

8

Funções Polinomiais

10

Estatística

4

15

Estatísticas – Generalidades

2

Organização e interpretação de caracteres estatísticos

9

Referência a distribuições bidimensionais

4

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MÓDULO INICIAL

N. O D E A U L A S : 9 No Módulo Inicial propõem-se vários problemas e actividades que têm como objectivo recordar os conhecimentos adquiridos no 3. o Ciclo e detectar possíveis dificuldades ou lacunas nos mesmos. Para facilitar este processo recomenda-se a resolução do teste diagnóstico apresentado nas pág. 52 a 57. Juntamente com este teste deve ser entregue a cada aluno uma «Folha de Resposta», (pág. 58), que será posteriormente completada pelo professor de acordo com a matriz de correcção (págs. 59 e 60).

Sugestões metodológicas Ao apresentar o exemplo 1 (pág. 8) pretende-se recordar os conceitos de proporcionalidade entre medidas e de razão de semelhança entre figuras. Apresentar a transparência n.o 1. Pensamos que a resolução dos exercícios das margens deve ser feita como acompanhamento imediato do desenvolvimento dos conteúdos. Caso a turma não esteja familiarizada com a resolução de actividades e com o seu objectivo pedagógico, aconselhamos a leitura, seguida de análise, da pág. 2 do Caderno de Actividades Práticas. Sugere-se a realização da Act. G1 (pág. 3) como motivação para a resolução deste tipo de actividades. A resolução desta actividade está apresentada na pág. 25. O exemplo 2 (pág. 11) pretende recordar as designações dos diferentes poliedros e respectivas características. Apresentar a transparência n.o 2. Podem utilizar-se diferentes modelos de sólidos, de madeira, de acrílico, polydrons , etc., e explorar o exemplo, diagnosticando as dificuldades surgidas. Sugere-se a realização da Act. G2, pelo que é conveniente solicitar aos alunos o material necessário com antecedência. A avaliação desta actividade pode, por exemplo, ser feita utilizando uma grelha como a que se sugere na pág. 77 deste Caderno de Apoio ao Professor. Sugere-se a resolução do exercício 4 (pág. 11). Neste exercício pode ser pedida uma composição e assim diagnosticar as dificuldades da turma na comunicação matemática. A resolução dos exercícios propostos tanto pode ser feita como acompanhamento imediato do desenvolvimento dos conteúdos, como no final do tema. A escolha dos exercícios, assim como o momento para a realização da escolha múltipla, deve depender das características da turma e das dificuldades surgidas. No exemplo 3 (pág. 13) recordam-se as posições relativas de rectas e planos, áreas e volumes de sólidos. Considera-se importante que os alunos conheçam as características da perspectiva cavaleira. Propõe-se a leitura do texto apresentado em A Vida da Matemática (págs. 28 a 29). Com o objectivo de levar os alunos a fazerem pequenas demonstrações, apresenta-se o exemplo 4 (pág. 18). Sugere-se a resolução do exercício 10 da pág. 18. ©2007

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No exemplo 5 (pág. 18) reforçam-se os conhecimentos sobre a posição relativa de rectas e planos, calculo de áreas e de volumes de sólidos. No exemplo 6 (pág. 20) pretende-se que os alunos recordem o cálculo de valores aproximados de números irracionais e a resolução de equações do 2. o grau. Propõe-se a resolução do exercício proposto 14 da pág. 33. O exemplo 7 (pág. 22) tem como objectivo não só reforçar os conceitos já anteriormente utilizados como, também, averiguar se os alunos têm conhecimentos bem consolidados de Trigonometria. Propõe-se a resolução dos exercícios propostos 17, 18 e 19 da pág. 34. O exemplo 8 (pág. 24) tem como objectivo interessar os alunos pelos problemas históricos e sua respectiva resolução. Sugere-se a resolução do exercício 17 da pág. 25. Propõe-se a resolução dos exercícios propostos 32 e 35 da pág. 38.

Sugestões de resolução de alguns exercícios das margens 4. (pág. 11) As conclusões que podemos tirar ao resolver este exercício dependem, evidentemente, da marca de água escolhida. No entanto, podemos afirmar que, em relação a todas as marcas por nós conhecidas, não se verifica a existência de proporcionalidade entre as respectivas medidas. Repare-se que as tampas são todas iguais e não são proporcionais ao tamanho de cada garrafa. Se desprezarmos as irregularidades das garrafas assim como o gargalo, e considerarmos apenas a altura e o diâmetro das mesmas, então, poderá existir proporcionalidade entre as suas dimensões. 10. (pág. 18) 10.1 Os triângulos [ ABD ] e [AMQ ] são semelhantes porque têm um ângulo comum, o ângulo em A , e os dois lados que formam o ângulo atrás referido são proporcionais. Os pontos M e Q são os pontos médios de [ AB ] e de [AD ] respectivamente, ou seja,

   M    = 1 .  Q  A  = A    2 A   B   D  A 

A razão de semelhança entre os dois triângulos é

1 2

.

10.2 Os triângulos [ AMQ ] e [CNP ] são semelhantes ao triângulo [ ABD ] (como se pode 1 1     Q =   D  B   e    N  P =   D  B   então    M   Q +   N  P =  D  B   . verificar). Logo, M  2 2

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Usando um raciocínio análogo, prova-se que os triângulos [QPD ] e [MNB ] são semelhantes ao triângulo 1 1 1 [ADC ] , cuja razão de semelhança é  . Logo,    P =      +   =    Q  A  C  e    M  N =    A  C  então Q  P  M  N    A  C  . 2 2 2 Donde, a medida do perímetro do paralelogramo [MNPQ ] é igual à soma dos comprimentos das diagonais do quadrilátero [ABCD ] . 10.3 Quando

traçamos as diagonais do quadrilátero [ABCD ] , verificamos que o quadrilátero fica dividido em quatro triângulos. Seja R o ponto de intersecção das diagonais. Cada um destes triângulos pode ainda ser dividido em quatro triângulos de igual área. Por exemplo, a área do triângulo [ ARD ] é quatro vezes a área de cada um dos triângulos pequenos e o mesmo se passa para os outros três triângulos. Então, podemos concluir que a área do paralelogramo [MNPQ ] é metade da área do quadrilátero [ABCD ] .

16.

(pág. 24) 16.1 Sabemos

que

e que, no presente caso, o perímetro mede 31,4 cm, logo, 31,4 = 2r ⇔ r  5 cm .

P = 2 r

16.2 Atendendo

à figura, sabemos que a distância, d , entre os dois planos é dada por d = 2a , e aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 82 = 52 + a 2 ⇔ a  6,2 , então

d = 12,4 cm .

(a > 0)

16.3 A =

2Rh + Abase , em que R  é a medida do raio do modelo esférico e altura entre os dois planos que seccionaram o referido modelo. A = 2 × 8 × 12,4 +  × 52  701,83 , logo, precisamos de 70,2 dm 2 tinta.

16.4

h 

1 2 2 2 h (3r  + 3 R  + d  ) , 6 a medida do raio da base maior e d  a altura entre os

A capacidade da jarra é determinada através do volume da mesma, tal que em que

a

V  = 

é a medida do raio da base menor, R  1 dois planos. V =   × 12,4 (3 × 52 + 3 × 52 + 12,42) 1972,2 cm3 . Então, a capacidade da jarra é de 6 r 

aproximadamente 2 . 17.

(pág. 25) A área do quadrado é dada por Aq = 16 cm2 . A área do círculo de raio   O   A é

2 Ac =  × 2  

2 ⇔

Ac = 8 , pois r 2 + r 2 = 42

⇔

r

(r > 0)

= 2   2.

A área de cada uma das zonas a tracejado é dada por: AT =

8 – 16  4 

⇔

A área de cada um dos semicírculos é As.c. = zona sombreada é

As = 4 × [2

AT = 2 – 4 2

2  2 

×

⇔

As.c. = 2

, então, a área da

– (2 – 4)] = 16 cm 2 .

Concluímos que a área do quadrado é igual à área sombreada.

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18. (pág. 27) Hipótese: α // β , γ ∩ α = AB , γ ∩ β = CD  Tese: AB  //CD  Dem.: as rectas AB  e CD  são duas rectas distintas pertencentes ao plano γ , logo, ou são paralelas ou concorrentes. As rectas AB  e CD  não podem ser concorrentes, pois se assim fosse tinham um ponto de intersecção que pertenceria ao plano α e ao plano β , o que não é possível, pois, por hipótese, α é paralelo a β . Donde se conclui que AB  é paralela a CD .

Sugestões de resolução de alguns Exercícios Propostos 20.1 (pág. 34) Considere os dados das figuras ao lado: 92 + x 2 = 15 2 ⇔ x 2 = 225 – 81 ⇔ x  = 12 (cm). (x > 0)

20.2 (pág. 34) 1 1 V =  h (R 2 + r 2 + R × r ) , então V =   × 12(142 + 52 + 14 × 5) = 3656,81 cm 3  3,7 dm 3 3 3 A capacidade da taça é de aproximadamente 3,7 .

22.6 (pág. 35) Para calcular a área do telhado a ser pintada deve-se recorrer à noção de tangente de um ângulo agudo. 0,9 tg 20o =  ⇔ alt.  2,4727 ⇔ alt.  2,5 m , logo, a área é dada por: alt. 1,8 ×2,5 ⇔ A = 18 m2 A=8×  2 donde se conclui que são necessários dois litros de tinta para pintar o telhado. 25.3 (pág. 36) 70o o o o 180 – 110 = 70 e  = 35o 2 sen 35o =

h  

2

⇔ h = 2sen 35 o ⇔ h  1,15 (cm)

x  ⇔ x = 2cos 35 o ⇔ x  1,64 (cm) cos 35o =  2 3,28 × 1,15 Atriângulo   = 1,886 (cm 2) Arectângulo = 6 × 3,28 = 19,68 (cm 2) 2 Abase = 19,68 + 2 × 1,886 = 23,452 (cm 2) Tendo em atenção a planificação do sólido, Alateral = (6 + 2 + 2 + 6 + 2 + 2) × 16 = 320 (cm 2) . Então, ATotal = 2 × 23,452 + 320 = 366,904 (cm 2) . Determinemos a área do cartão: A = 30 × 40 = 1200 (cm 2). Para sabermos quantas caixas é possível construir com uma folha de cartão, basta dividir a área da folha pelo valor calculado para a área total do 1200 sólido:   3,27. Podemos construir três embalagens. 366,904

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31. (pág. 37)

Exploração do problema: o aluno deve estudar várias hipóteses e propor a melhor escolha, justificando a resposta. 31.1 A forma mais adequada para a caixa é um paralelepípedo. 31.2 Apresentamos

dois esquemas: Esquema 1

ou

Esquema 2

31.3 A área da caixa E1 é dada por:

A1 = 2 × (28 × 13,5 + 37 × 13,5 + 28 × 37) = 3827 cm2

A área da caixa E2 é dada por: A2 = 2 × (27 × 18,5 + 28 × 18,5 + 27 × 28) = 3547 cm2

Deve escolher a caixa E2, pois é a que necessita de menos material. 33. (pág. 38)

Fazer a contagem das diagonais, começando pelo: • Quadrado • Pentágono • Hexágono • Octógono

– – – –

2 diagonais 5 diagonais 9 diagonais 20 diagonais

– – – –

4 lados 5 lados 6 lados 8 lados

Se o polígono tem n  vértices, então tem n  lados. O número de vezes que se podem unir 2 pontos é n (n  – 1) . Como ao unir o vértice A com o B  se obtém o mesmo segmento que ao unir B  com A , podemos concluir n (n – 1) que o número de vezes que se podem unir dois pontos é dada por  . 2 Como ao unir dois vértices consecutivos obtém-se um lado do polígono, temos de subtrair ao número anterior n  vezes:

2

n (n – 1) n  – 3n    – n =  

2

2

34. (pág. 38)

No relatório, os alunos devem ter em conta os seguintes aspectos: • tipo de polígonos regulares que permitem a pavimentação; • qual desses polígonos tem maior área. Sugere-se a consulta dos livros Fascínios da Matemática  de Theoni Pappas, Editora Replicação, e A Matemá-  tica na Vida das Abelhas , APM, Julho 1988. 35. (pág. 38)

Problema histórico com um certo grau de dificuldade. A utilização do modelo do Sketchpad é aconselhável. ©2007

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35.1

Aplicando o teorema de Pitágoras, facilmente obtemos o valor da altura do trapézio:

 2

a  2



= h 2 +

 4

a  2

(h > 0)

a  a + 

A área do trapézio será:

2

A=

 2

h =

⇔



×

4

3  a  

3a 2  3  

4

16

  ⇔ A =  

35.2 Seja A1

a área da semicircunferência de diâmetro a  três semicircunferências de diâmetro  . 2

 2 =  = 

3  a    

a

; A2 a área da zona em branco e

A3

a área das

a  2



A1

×





2

× a 

8

2





e

A2 = 

8

a 2

3a 2  3  

–  ⇔ A2 = 16

2a 2 – 3a 2   3

 16

a  2



A3 = 3 ×



4  2

⇔

3a 2 A3 =  32

3 3a 2 2a 2 – 3a 2    Apintada =  – 32 16



a 2



Apedida =  +

32

– a 2 + 6 a 2  3  

 32

⇔

⇔

Apintada =

Apedida =

– a 2 + 6a 2  3  

 32

logo,

3a 2  3  

  16

As áreas têm o mesmo valor.

35.3 Hipócrates

não foi bem sucedido. Sugere-se a leitura de História Concisa das Matemáticas  de Dirk J. Struik, Gradiva e História da Matemática , de Carl B. Boyer, editora Edgard Blücher, Ltd. Na Internet pode ser consultado o site : www-groups.dcs.st.and–ac.uk/~history/PrintHP/Squaring_the_circle.html

10

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GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

N. O D E A U L A S : 2 7

Resolução de problemas de Geometria no Plano e no Espaço Sugestões metodológicas É aconselhável que a abordagem deste tema seja feita baseada na manipulação de sólidos de madeira, acrílico, polydrons  ou construídos pelos alunos em cartolina, palhinhas, etc. Salienta-se também que as actividades propostas permitem, através da construção, «visualizar» melhor as características e propriedades dos sólidos. A Act. G3 pretende levar o aluno a recordar o conceito de pavimentação, indicando quais os polígonos a utilizar na construção de poliedros regulares, que características devem ter, etc. A partir das conclusões, provar que só existem cinco poliedros regulares. Seria vantajosa a leitura comentada dos dois textos transcritos de A Vida da Matemática (págs. 58-60), o primeiro relativo à existência de cinco poliedros regulares, o segundo relativo à correspondência feita por Platão entre os poliedros regulares e os elementos do Universo. Uma sugestão de correcção da Act. G3 é apresentada na pág. 26 deste Caderno. Com a Act. G4 pretende-se construir duais. Sugere-se que no fim da aula se apresentem os restantes duais, ou caso não existam na escola, se distribua uma fotocópia da pág. 28 deste Caderno.

Sugestão de resolução do exercício 3 da margem (pág. 44) 3.1 Dupla pirâmide hexagonal

3.2 V = A b × alt. V = 18   2  7 × 10 ⇔ V = 540   3 cm3, pois P  36 A b =   × ap ou seja, A b =  ×   7 ⇔ A b = 18  2  7  2  2 2 O cálculo do valor do apótema é feito a partir do teorema de Pitágoras: 6 2 = 32 + x 2 ⇔ x =   2  7 cm (x > 0)

3.3 O volume das duas pirâmides é dado por: 1 3

V = 2 ×  ×

6  2  7 9 ×  × 5 ⇔ V = 135   3 cm3   2

(  2  7 )2 = ap2 +

2

7 2 9   2   ⇔ ap =  2  2



135   3 1 3.4 V dual = k × V prisma , ou seja, k =  ⇔ k =  .  4 540   3 ©2007

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11

A Act. G5 tem como objectivo visualizar as secções feitas num cubo por diferentes planos. Os alunos devem, com os cubos de «esponja» e o X-acto, experimentar quais as secções possíveis. Como a secção pentagonal e a hexagonal são as mais difíceis de obter, podemos utilizar para estes casos cubos com líquido colorido ou areia. Como conclusão, podem ser apresentadas as transparências n.os 4, 5 e 6 . No exercício 5 (pág. 46) deve salientar-se aos alunos que o pentágono não é regular, pois como é obtido por um corte em cinco faces de um cubo, irá ter sempre dois pares de lados paralelos. No exemplo 4 (pág. 53), apresenta-se o número de ouro, φ . Atendendo à importância desta proporcionalidade, por exemplo, no Mundo das Artes, sugere-se que se relacione a História da Matemática com o referido tema. Para a Act. G6 sugere-se que sejam formados pequenos grupos e que as conclusões sejam apresentadas oralmente. Caso os grupos não cheguem à resposta correcta, o professor pode distribuir uma fotocópia da pág. 29, com a respectiva resolução. No exemplo 6 (pág. 54), relaciona-se o volume do cuboctaedro com o volume do octaedro de aresta a , que o originou. Após explorar o exemplo, sugere-se a leitura das págs. 59 e 60 de A Vida da Matemática .

Sugestões de resolução de alguns Exercícios Propostos 12. (pág. 66) A = 160  , logo,

r 2

= 160 ⇔ r =     16  0 ⇔ r = 4   10 . (r > 0)

Atendendo aos dados da figura e aplicando o teorema de Pitágoras:

 

2

x 2 + 4  10 = 202 ⇔ x 2 = 400 – 160 ⇔ x = 4    15 .    (x > 0)

O plano deve estar a uma distância de 4     15 cm do centro da esfera.

19.3.1 (pág. 68) Tendo em conta a semelhança de triângulos, podemos considerar que: h ’ 15 ⇔ h ’ = 12 = 5  1  1 4  1  1

 

10 ’  =  ⇔ ’=8 5  1  1 4  1  1 a 

 a 

1 então, V =  × 82 × 12 ⇔ V = 256 . O volume da pirâmide pequena é 256 cm 3 . 3

24. (pág. 70) Neste exercício pretende-se avaliar o rigor e a criatividade na construção da Stella e também o rigor no cálculo dos volumes e apresentação da conclusão. No Material Fotocopiável encontrará uma grelha de avaliação que poderá adaptar. Sugere-se a consulta da revista «Educação e Matemática», n. o 26, de Geometria – Temas Actuais , de Eduardo Veloso, Instituto de Inovação Educacional, APM, Lisboa, e do site  home.comcast.net/~tpgettys/stellate.html 12

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Geometria Analítica Sugestões metodológicas A introdução a este tema é feita através de um percurso numa planta da cidade de Lisboa. Seria interessante distribuir plantas com as características indicadas no exemplo e solicitar aos alunos a localização de diferentes pontos, de modo a evidenciar a necessidade da utilização de referenciais. Os conceitos introduzidos no plano podem, caso o professor assim o entenda, ser introduzidos simultaneamente no espaço. O tema também poderá ser abordado explorando a imagem da pág. 35 deste caderno, chamando a atenção para os vários referenciais ali apresentados, sugerindo inclusivamente aos alunos a marcação, com cores diferentes, de todos os indivíduos que pertençam ao mesmo referencial. A utilização da calculadora gráfica a partir daqui é uma constante. Embora as instruções para a calculadora TEXAS sejam dadas no manual junto a cada exemplo, acrescentamos mais algumas informações. • Verificar sempre se a calculadora tem os gráficos estatísticos desactivados: STAT PLOT (gráfico estatístico). Caso não esteja, deve fazer 2nd Y= e verificar quais os Plot activados. Se for o primeiro, fazer ENTER e mover o cursor para off e voltar a clicar ENTER . • Confirmar também se o referencial é adequado à representação das rectas: ZOOM (Zdecimal ou Zstandard). Como a calculadora só representa geometricamente funções, as rectas verticais têm de ser desenhadas com a opção DRAW , ou seja:

2 : LINE (desenha um segmento de recta) LINE (1, 2, 3, 6) (segmento de recta de extremos (1, 2) e (3, 6))            











(x 1, y 1) (x 2, y 2)

3 : HORIZONTAL (desenha uma recta horizontal) HORIZONTAL 3 ----- recta horizontal y = 3 4 : VERTICAL 4 ----- recta vertical x = 4 DRAW F (desenha uma função) DRAW F 2x  + 3 Enter 7 : SHADE SHADE (2x + 3, x 2) ----- Sombreado sempre y 1  y 2              

y 1

  

y 2

9 : CIRCLE (desenha um círculo de centro C  e raio r ) CIRCLE (2, 3, 4)            





  

C (2, 3) r = 4

Para domínios planos: y   4 ------- SHADE (4, 10) recta

limite superior até ao topo do ecrã porque a janela está definida em –10  x  10 e –10  y  10 . ©2007

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13

y 



4 ------- SHADE (–10, 4) limite inferior

y   2 ------- SHADE

recta

(–11, 11, –10, –2)              

  

lim de y  lim de x 

y   x  ------- SHADE

(–11, x , –10, –2)              

  

lim de y  lim de x 

y   x  ------- SHADE (x , 11, –10, 10)

ou, simplesmente, seleccionar na opção Y= o símbolo à esquerda de Y1: colocando o cursor sobre os símbolos e clicar ENTER consecutivamente.

••

Para uma resolução mais correcta da Act. G7, sugere-se uma breve referência à Lógica (págs. 100 a 103) fazendo a comparação entre intersecção, reunião e complementação de conjuntos em IR e em IR 2 . A Act. G7 é uma actividade de exploração das potencialidades da calculadora gráfica. Sugere-se que o colega utilize o view-screen e assim efectue a correcção da actividade. A resolução desta actividade é apresentada nas págs. 30 a 32 deste guião. A Act. G8 e a Act. G9 surgem em alternativa. O professor decidirá consoante a turma qual a actividade a desenvolver. Sugere-se, no entanto, a Act. G8 como actividade de laboratório e a Act. G9 como trabalho de casa. A resolução da Act. G8 é apresentada nas págs. 33 e 34 deste guião. Para uma melhor visualização das simetrias no espaço aconselha-se a apresentação da transparência n.o 7 (Simetrias no Espaço).

Sugestões de resolução de alguns exercícios das margens 44. (pág. 99) 44.1 Se contém os vértices da base, então tem como raio, a distância de V  a, por exemplo, A, ou seja: r =   V   A = (–2)2 + 22 + (–6)2 ⇔ r = 2  1 , pelo que a equação pedida é: x 2 + y 2 + z 2 = 44 .  1  44.2 Se a esfera tem de diâmetro [ AC ] , então o centro é o ponto médio de [ AC ] e o raio terá como medida metade do comprimento de [ AC ] . O ponto médio, como facilmente se determina, tem de coordenadas (0, 0, 6) e o raio de medida, r , aplicando a fórmula da distância entre dois pontos ou o teorema de Pitágoras, é r = 2   2 . O condição que define a esfera é dada por: x 2 + y 2 + (z – 6)2  8 . 14

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45. (pág. 99) x = 3 define um plano paralelo ao plano yOz  e intersecta o eixo Ox no ponto de coordenadas (3, 0, 0) . (x – 2)2 + (y – 1)2 + z 2 = 9 , define uma superfície esférica de centro C (2, 1, 0 ) e raio r = 3 . A intersecção do plano com a superfície esférica, define uma circunferência contida no plano e de centro C' (3, 1, 0 ) . Para o cálculo do raio r ' , basta aplicar o teorema de Pitágoras: 2

r ’2 =   C   C  ’ + r 2 ⇔ 9 = 1 + r 2 ⇔ r 2 = 8 ⇔ r =    8 (r > 0)

Sugestões de resolução de alguns Exercícios Propostos 13. (pág. 115) Chamar a atenção que a equação da mediatriz estabelece a relação entre as variáveis x  e y  , logo, para um ponto pertencer à mediatriz deve satisfazer a seguinte condição: 10x + 3 10x + 3  , ou seja, o ponto P  terá de coordenadas x ,   . y =  8



8



21. (pág. 118) Para facilitar a correcção deste exercício, sugere-se a apresentação da transparência n.o 7 (Coordenadas dos Pontos no Espaço).

25.1 (pág. 119) Esquematizar a base do prisma apenas no plano xOy . Como o hexágono é regular, o comprimento do raio da circunferência em que está inscrito tem a mesma medida que o lado do hexágono. O triângulo [ BOC ] é equilátero. Atendendo ao teorema de Pitágoras podemos calcular a altura do triângulo, ou seja, a abcissa do ponto B : 42 = x 2 + 2 2 ⇔ x  =   1  2 , então B (  1  2 , 2, 0) e F (  1  2 , 2, 12) ; como G é simétrico a F em relação ao plano yOz , então tem de coordenadas (–   1  2 , 2, 12) .

Vectores livres no Plano e no Espaço Sugestões metodológicas Deve-se fazer uma breve abordagem ao conceito de vector e tentar relacioná-lo, sempre que possível, com os conceitos de Física. Mesmo que os alunos não tenham no seu currículo a disciplina de Física, podem sempre fazer-se associações com situações da vida real como, por exemplo, puxar, empurrar, levantar, etc. Na Act. G10, os colegas que não estão familiarizados com o programa Modellus  podem ser levados a pensar que esta actividade não é para utilizar, mas é um engano. A actividade é muito simples e são suficientes as instruções dadas ao longo da actividade. ©2007

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O objectivo principal é fazer variar os vectores parcela, em relação ao comprimento, direcção e sentido, e verificar o que sucede ao vector resultante. Não são necessários mais que trinta minutos para executar a tarefa com sucesso onde para a maioria dos alunos, será, provavelmente, uma primeira utilização de um programa de computador na aula de Matemática.

Sugestões de resolução de alguns exercícios da margem 69. (pág. 133) Demonstração feita por decomposição em triângulos. O triângulo [ HDG ] é semelhante ao triângulo [ ADC ] , a razão 1 1 de semelhança é  , logo a razão das áreas será  . 2 4 1 O triângulo [ EBF ] é semelhante ao triângulo [ ABC ] e analogamente a razão é  , logo a razão das áreas é 2 1 também  . 4 O mesmo raciocínio se pode fazer para o triângulo [ AEH ] e para o triângulo [ GCF ] , logo: 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

A[HDG ] + A[EBF ] =  A[ADC ] +  A[ABC ] =  A[ABCD ] A[HAE ] + A[GCF ] =  A[DAB ] +  A[DCB ] =  A[ABCD ]

1 1 mas A[HDG ] + A[EBF ] + A[HAE ] + A[GCF ] = 2 ×  A[ABCD ] =  A[ABCD ] , então pode concluir-se, que a área do paralelo4 2 1 gramo [EFGH ] é  da área do quadrilátero [ ABCD ] . 2

70. (pág. 133) Demonstração feita a partir de operações com vectores:

 

1 ⇔  (AB + BC ) = M1  M 2 2 

AB 

BC 

   ⇔ ⇔  

M 1B + BM 2 = M1  M 2 ⇔





2

1 2

+

 AC  



2

= M1  M 2

= M1  M 2

Então podemos concluir que AC  é colinear com M1  M 2 , ou seja [M 1M 2] é paralelo a [ AC ] . 

Para a Act. G11, sugere-se a colocação do sensor num ponto fixo, por exemplo, em cima de um banco alto e marcar no chão, com giz, uma distância de três metros ao sensor. Caso a escola não possua um CBR, o colega pode utilizar vários gráficos do tipo dos apresentados na transparência n.o 8. 16

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Sugestões de resolução de alguns Exercícios Propostos 46. (pág. 155) AB  + BP  = AP 

  AB  + BP  = AM + AM  (1) AM + AM  = AP   



















DC + DC  = DP 

  DC + CP  = DM  + MP  (2) DM + MP  = DP   



















Adicionando membro a membro (1) e (2) obtemos: AB  + BP  + DC + CP  = AM + MP + DM + MP  ⇔ ⇔ AB  + DC + BP  + CP  = 2MP + AM + DM  ⇔ AB  + DC  = 2MP  



































47. (pág. 155) Considere num referencial a medida de [ AD ] igual a uma unidade e, atendendo aos dados, determine o ponto médio de [EF ] .

58. (pág. 156) Visto que o declive, m  , é dado pela tangente trigonométrica da inclinação da recta, podemos concluir 1,20 que m =  ⇔ m = 0,60 , ou seja m = 60% . 2

67. (pág. 158) 67.1 Como o ponto V  tem de coordenadas (3, 3, 12) e é o vértice de uma pirâmide quadrangular recta, o ponto M , centro da base da referida pirâmide, terá a mesma abcissa e a mesma ordenada do vértice. Quanto à cota, visto a altura da pirâmide ser igual à medida da aresta do cubo, esta terá de ser igual a metade de 12, ou seja, 6. O ponto M  tem assim coordenadas (3, 3, 6) .    U  Q = 6 . O ponto U  pertence igualmente à base superior do cubo, logo também tem 6 como cota, ou seja    [VMU ] é um triângulo rectângulo em M , logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras: U 2 V      

      M 2 + M  U 2 (1), pelo que ainda temos que calcular o valor de    M  U :        = V 

   S  U 2 = 62 + 62 ⇔ S  U = 6   M  U = 3           2 , então    2. ( S    U  > 0)

U = 3       Voltando a (1) obtemos V  6 .

67.3 O volume do cubo é dado por: V = 62 × z = 36z  e o volume da pirâmide por: 1 V =  × 62 × 6 = 72 3 Logo, o volume do paralelepípedo será dado por: V = 63 × 36z  Então, 36z = 72 + 216 – 36 z ⇔ 72z = 288 ⇔ z = 4 , pelo que se conclui que o ponto terá cota z = 4 . ©2007

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FUNÇÕES E GRÁFICOS. FUNÇÃO MÓDULO. FUNÇÕES POLINOMIAIS

N. O D E A U L A S : 2 7

Generalidades sobre Funções Sugestões metodológicas Este tema deve, sempre que possível, estar relacionado com situações ligadas à Biologia, à Física, à Economia, etc. Os exemplos apresentados tentam, de um modo prático e concreto, levar os alunos a compreender os conceitos, primeiro de um modo intuitivo, e só depois formalizando-os. O estudo das funções, além de ser feito por um processo analítico, também deve recorrer à representação gráfica, utilizando sempre que necessário a Geometria Analítica. A utilização da calculadora gráfica é imprescindível e quando possível sugere-se o emprego de software  (Graphmatic, Excel ...) relacionado com a Matemática como é proposto nas várias actividades. A história da Matemática pode ser bastante motivadora para a introdução do tema. Sugerimos a leitura de algumas passagens de A Vida da Matemática (págs. 24 e 25). Na Act. F1 pretende-se que os alunos relacionem os conceitos matemáticos e aproveitem o programa Excel , para os ajudar a interpretar situações do dia-a-dia. A calculadora gráfica pode, sem prejuízo do «sucesso» da actividade, substituir o computador. A resolução é apresentada na pág. 36 deste Caderno. A Act. F2 com a ajuda das indicações dadas é relativamente fácil e acessível. Sugere-se que a composição seja avaliada tendo em conta: • a comparação entre os gráficos; • a duração da viagem; • as velocidades atingidas; • o momento de encontro dos dois grupos. Uma sugestão de resolução desta actividade é apresentada na pág. 37. A Act. F3 utiliza o programa de computador Graphmatic . Caso a escola não possua o referido programa, a actividade pode ser resolvida com a calculadora gráfica. Pretende-se assim, que os alunos compreendam de um modo intuitivo as transformações das funções e sejam capazes de retirar as conclusões necessárias. Uma sugestão de resolução é apresentada nas pág. 39 e 40 deste Caderno.

Função Módulo Sugestões metodológicas Sugere-se que este capítulo seja iniciado pela Act. F4 e que se faça uma pequena revisão dos conceitos do 3. o Ciclo referentes à noção de módulo. 18

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Com os exemplos apresentados pretende-se levar os alunos pouco a pouco e de um modo intuitivo à formalização dos conceitos. A Act. F4 pretende modelar uma certa situação e a partir daí explorá-la do modo mais adequado às características da turma. Seria interessante, caso possível, pedir aos alunos que apresentassem, com a ajuda do view-screen  as conclusões a que cada grupo chegou. Nas pág. 41 deste Caderno apresenta-se uma sugestão de resolução. Para melhor exploração desta situação, aconselha-se a utilização da transparência n.o 9. O exercício resolvido da pág. 46, que relaciona a medida do perímetro de uma superfície líquida com o comprimento de um dos lados da referida superfície, pode ser explorado de um modo mais atractivo através da animação feita no Skechtpad . As funções definidas por ramos não fazem parte obrigatória do actual Programa, mas considerou-se interessante e útil, caso haja tempo, fazer uma abordagem sucinta do assunto.

Função Quadrática Sugestões metodológicas Seguindo as orientações do Programa, sugere-se a utilização de uma determinada situação ligada à Geometria para introdução do tema. A leitura da primeira parte de A Vida da Matemática (pág. 69) pode também servir de introdução. Após a definição de função quadrática, decidiu avançar-se para as transformações. A Act. F5 tem como objectivo relacionar os parâmetros da parábola com a sua representação gráfica, caracterizando a concavidade, a localização do vértice, a existência de zeros, o sinal e a monotonia. Esta actividade pode ser desenvolvida com o programa Modellus , caso o professor assim o entenda. Nas págs. 42 e 43 deste Caderno apresenta-se uma sugestão de resolução. Com a Act. F6 pretende-se que o aluno encontre um modelo matemático que se adapte a uma situação real. O aluno deve procurar os pontos de referência necessários para poder definir a função. Para tal, tem de escolher um referencial conveniente, a unidade adequada e fazer algumas medições. Com o auxílio da calculadora deve encontrar a parábola que melhor se ajusta à trajectória da bola. O relatório a apresentar pode ser elaborado individualmente ou em grupo. Nas págs. 63 e 64 é feita uma breve referência à parábola apresentando, apenas como curiosidade, processos de construção para obter geometricamente pontos da referida cónica. Não foi apresentada nenhuma actividade pois, como foi dito, o assunto é facultativo e o número de aulas também não o permite. Na pág. 67 do manual, faz-se uma breve referência aos Quantificadores.

Sugestões de resolução de alguns Exercícios Propostos 11.3 (pág. 74) ax 2 + bx + c = 0 ⇔ x = x 1 + x 2 =

 2  c    –b    b  –   4 a  então, a soma das raízes é dada por: 2a 



    c    –b +   b  –   4 a      c    – b –        c  –b +   b  –   4 a  –   4 a  –2b  b      c    = –b –   b  –   4 a   b  +     = – = 2a  a  2a  2a  2a  2

2

2

2



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O produto das raízes é dado por: x 1 · x 2 =

 2  c    –b +   b  –   4 a  2a 

 2  c    –b –   b  –   4 a  2a 

c   2  c    )2 (–b )2 –(   b  –   4 a   = = a  4a 2

   ·     + = 0 ⇔ – –  + = 0 ⇔ + + = 0 , 0

x 2 – Sx  P 

 x 2

b  c    x  a  a 



 ax 2 bx  c 

a 

12. (pág. 74) g  é uma função par, contínua em IR e cujo gráfico tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ]– ,0] . Se o gráfico de g  é parte de uma parábola, a função fica definida no intervalo ]– ,0] por uma expressão

polinomial do 2. o grau, uma função quadrática, que tem no máximo dois zeros. Como a função é par no intervalo ]– ,0] , esta terá no máximo dois zeros (tantos quantos os que existirem no intervalo ]– ,0] ). Pelas razões apresentadas a função g , em IR , terá no máximo quatro zeros.

15. (pág. 75) V 2 2202 15.1 P =  ⇔ 1000 =  ⇔ R  48,4 ohms R 

R 

V 2

15.2   1500 ⇔ V 2  4500 ⇔ V  ]–; –150   2 [  ]150   2 ; +[ 30 Mas a tensão só pode variar entre 170 e 240 volts, logo o conjunto solução é: ]212, 240[ V .

16. (pág. 75) 16.1 Como a distância alcançada pela água é de 2 metros, o ponto médio situa-se a 1 metro. A altura máxima é 4 metros , logo o vértice da parábola terá coordenadas (1, 4) . Utilizando y = a (x – h )2 + k em que (h , k ) são as coordenadas do vértice, obtemos: y  = a (x  – 1)2 + 4 . O ponto (0, 0) pertence à parábola, então podemos substituir as coordenadas na expressão e obtemos o valor de a e a expressão que define a situação: y = –4(x – 1)2 + 4. 16.2.1 Visto que a água alcança a mesma distância na horizontal mas o dobro na vertical, as coordenadas do vértice são (1, 8) e a expressão pedida é: y = –8(x – 1)2 + 8 16.2.2 A água atinge a mesma altura mas alcança na horizontal o triplo da distância, ou seja, 6 metros. Neste caso, o vértice terá como coordenadas (3, 4) e a expressão que define a situação é: 4 y = –  (x – 3)2 + 4 9 17. (pág. 75) 17.1 Pela primeira vez o tempo é zero ou seja d (0) = 155 metros. 17.2 A menor distância corresponde ao mínimo da função. Analiticamente, ou com a ajuda da calculadora, obtemos as coordenadas do mínimo, que são (3, 20) . Ao fim de 3 segundos e à distância de 20 metros. 17.3 d (t )  300 ⇔ 15t 2 – 90t + 155 – 300  0 ⇔ 15t 2 – 90t – 145  0 Resolvendo a inequação obtemos a resposta ao problema: a partir dos 7,3 segundos. 20

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Funções Polinomiais Sugestões metodológicas Neste capítulo é, mais uma vez, necessário chamar a atenção dos alunos para os valores a atribuir à janela da calculadora e como valores mal escolhidos podem levar a erros graves e a falsas interpretações. Sugere-se a leitura de algumas passagens de A Vida da Matemática (págs. 100 e 101), ao longo do capítulo.

Sugestões de resolução de alguns exercícios da margem 22. (pág. 91) 22.3 x 4 – 2x 2  5(9x – x 3 + 13) ⇔ x 4 + 5x 3 – 2x 2 – 45x – 65  0 ⇔ x  ]–3,24; 3,01[ (aprox. a menos de uma centésima) Estes valores foram determinados recorrendo à calculadora gráfica, pois trata-se de uma inequação do 4. o grau . Com a determinação dos zeros, pela calculadora, facilmente se chega à solução. Este exercício tem especial interesse por ser necessário definir uma janela na calculadora que permita visualizar a função.

22.4 3x 5 + 15x  x 6 + 5x 2 ⇔ –x 6 + 3x 5 – 5x 2 + 15x  0 ⇔ x  [0, 3] Esta resolução é feita recorrendo à calculadora gráfica. No entanto, este exercício pode ser feito analiticamente com os conhecimentos actuais dos alunos. Analiticamente: x (–x 5 + 3x 4 – 5x + 15)  0 ⇔ x (x – 3)(–x 4 – 5)  0 O valor 3 foi encontrado com a calculadora. No entanto, aplicando a regra de Ruffini, verifica-se o valor do zero encontrado e o respectivo quociente Q (x ) = –x 4 – 5 . Construindo um quadro de sinais obtemos a solução já indicada. ©2007

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A Act. F8 tem como objectivo relacionar a variação dos parâmetros de uma função polinomial com a sua representação gráfica e as suas características. Para o 10. o ano tem especial interesse a função afim, a quadrática e a cúbica. Apresenta-se a resolução na pág. 48 deste Caderno. Sugestões de resolução de alguns Exercícios Propostos 15. (pág. 105)

A capacidade da jarra é dada pela expressão do volume do cilindro. A medida do diâmetro da base do cilindro designou-se por x  , logo a altura é dada por ( x  + 10) . O volume será definido pela expressão: V (x )

x 3 5 · (x  + 10) ⇔ V(x ) =   +   x 2 2 4 2

x  2 



=

À capacidade de 157 cl corresponde 1570 cm 3 , logo podemos igualar a expressão do volume a 1570 e, assim, recorrendo à calculadora gráfica, determinar os zeros de:  5   x 3 +  x 2 – 1570 = 0

4

2

Atenção aos valores a introduzir na janela da calculadora. Sugere-se a utilização dos valores apresentados em baixo, no entanto para o colega, caso entenda aproveitar o exemplo e apresentar uma representação de domínio IR , pode fazê-lo desde que, chame a atenção para os valores da variável no contexto do problema.

A jarra deverá ter 10 cm de medida de diâmetro e 20 cm de altura.

Nota: Estes procedimentos e ecrãs, bem como todos os outros que oportunamente surgirão neste Caderno de Apoio ao Professor referem-se à

utilização da calculadora TEXAS.

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17. (pág. 106) 17.1 Para determinar a área do triângulo basta pensar que a medida da base é dada pela soma das abcissas, em valor absoluto, dos pontos A e B . 2x × x 2 A altura é a ordenada dos referidos pontos, ou seja x 2 . Logo, A =  ⇔ A = x 3 . 2 17.2 Se a altura é 16 cm, o valor da variável x  é   1  6 = 4 . Substituindo o valor de x  na expressão da área obtemos o valor pedido: A = 43 . 17.3 x 3 = 125 ⇔ x =   1 2  5 ⇔ x = 5 . A base do triângulo terá 10 cm de comprimento e a altura 25 cm. 3

18. (pág. 106) 18.1 O gráfico assemelha-se a uma função polinomial do 3. o grau. 18.2 Com um referencial adequado optou-se pelos seguintes pontos de coordenadas: (0, 1) , (3, 0) , (4, –1) e (–1, 2)

18.3 Considere a função y  = ax 3 + bx 2 + cx  + d  e ao substituir as coordenadas dos pontos encontrados em 18.1 obtemos:

 d = 1  27a + 9b + 3c + 1 = 0   64a + 16b + 4c + 1 = –1  –a + b – c + 1 = 2

⇔…⇔

 d = 1 1  a = –  15   c = – 19  30  3  b =  10

1 3 19 logo, a função pedida é y = –  x 3 +  x 2 –  x + 1 . 15 10 30

Outra resolução pode ser feita utilizando a calculadora no MODE estatístico e definir a curva cúbica de regressão.

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ESTATÍSTICA

N. O D E A U L A S : 1 5

Estatística – Generalidades Sugestões metodológicas Após uma abordagem histórica sobre a origem da Estatística e a sua importância para o mundo actual, sugere-se a leitura acompanhada de A Vida da Matemática (págs. 12 e 13). Pode propor-se aos alunos a realização de um trabalho escrito de pesquisa, assim como a realização da Act. E1. É importante neste momento diagnosticar os conhecimentos adquiridos no 3. o Ciclo e, na medida do possível, encontrar estratégias de remediação ou de enriquecimento. Muitos dos conceitos apresentados neste tema já foram referidos no 3. o Ciclo e consoante os conhecimentos dos alunos, assim o professor optará pelos exemplos e pelos exercícios mais adequados.

Organização e interpretação de variáveis estatísticas Sugestões metodológicas Caso a turma tenha conhecimentos bem consolidados do 3. o Ciclo, sugere-se que seja feito apenas um rápido estudo das variáveis discretas incidindo mais nas variáveis contínuas. Ter uma especial atenção para os diagramas de extremos e quartis e para a função cumulativa e sua representação gráfica. Sugere-se a discussão na turma das representações gráficas apresentadas na pág. 22 e/ou na transparência n.o 10. A Act. E2 pode ser resolvida com a calculadora gráfica, mas sugere-se que seja feita com o programa Excel , pois é uma boa oportunidade para alguns alunos «descobrirem» o programa e até tentarem utilizá-lo em outras situações. A realização da actividade é fácil e as instruções dadas ao longo do texto são suficientes, mesmo para quem não possua muita experiência com o programa em questão. A resolução da actividade é apresentada na pág. 45 deste Caderno. A leitura de A Vida da Matemática (pág. 52) pode ser motivo para debate na aula.

Referência às distribuições bidimensionais Sugestões metodológicas O estudo das distribuições bidimensionais é muito intuitivo. Os alunos devem apenas representar a distribuição por um diagrama de dispersão. Verificar se os pontos se distribuem ao longo de uma recta de declive positivo ou negativo, indicando se a correlação linear é positiva ou negativa, forte ou fraca. Sugere-se a apresentação da transparência n.o 11. Na Act. E3 pretende-se levar os alunos a interpretar o conceito de recta de regressão e a identificar os diferentes tipos existentes. Na pág. 46 deste Caderno apresenta-se a resolução desta actividade. Considera-se importante a leitura de A Vida da Matemática (pág. 70) pois é feita uma breve biografia de dois importantes estatísticos do século XX. 24

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SUGESTÕES DE RESOLUÇÃO DE ALGUMAS ACTIVIDADES PRÁTICAS

ACTIVIDADE PRÁTICA G1

Tangram 1. Com todas as peças do Tangram é possivel construir a letra M , (por exemplo) como mostra a figura.

2. O Tangram é constituído por um quadrado, um paralelogramo e por cinco triângulos rectângulos de dimensões diferentes. Para ser mais fácil a identificação das figuras, vamos numerá-las.

Como o lado do quadrado mede 10 cm, a sua área é 100 cm 2. A soma das áreas dos dois triângulos 1 é igual a metade da área do quadrado inicial, logo a área de cada um dos triângulos é 25 cm 2. Como a medida do lado do triângulo 2 é metade da medida do lado do quadrado inicial, a área do triângulo é 55  = 12,5 (cm2) . 2 A área dos dois triângulos 3 é igual à área do triângulo 2, logo a área de cada um dos triângulos é 6,25 cm 2. A área do quadrado 4, assim como a do paralelogramo, é igual á área dos dois triângulos 3, logo é igual a 12,5 cm 2. ©2007

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ACTIVIDADE PRÁTICA G3

Sólidos e Planificações

• Com 3 triângulos no mínimo e 5 no máximo. • Com 6 triângulos obtemos uma figura plana.

• Podemos juntar 3 quadrados de modo a ser possível a construção de um sólido. • Com 4 quadrados obtemos uma figura plana.

• Podemos juntar 3 pentágonos de modo a ser possível a construção de um sólido. • Com 4 pentágonos não é possível a construção de um sólido nem obter uma pavimentação, pois há sobreposição de polígonos.

• Não, porque com 3 hexágonos obtemos uma figura plana.

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Sólidos Platónicos Conclusão: O sólido obtido tem: • 4 faces triangulares • 4 vértices • 6 arestas A este sólido dá-se o nome de Tetraedro.

Conclusão: O sólido obtido tem: • 8 faces triangulares • 6 vértices • 12 arestas A este sólido dá-se o nome de Octaedro.

Conclusão: O sólido obtido tem: • 20 faces triangulares • 12 vértices • 30 arestas A este sólido dá-se o nome de Icosaedro.

Conclusão: O sólido obtido tem: • 6 faces quadrangulares • 8 vértices • 12 arestas A este sólido dá-se o nome de Cubo.

Conclusão: O sólido obtido tem: • 12 faces pentagonais • 20 vértices • 30 arestas A este sólido dá-se o nome de Dodecaedro.

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ACTIVIDADE PRÁTICA G4

Duais dos Sólidos Platónicos

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Sólido

Dual

Tetraedro

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Octaedro

Cubo

Icosaedro

Dodecaedro

Dodecaedro

Icosaedro

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Desenho

ACTIVIDADE PRÁTICA G6

Quantos Cubos Aqui Estão? Existem oito cubos de dois tamanhos diferentes que se vêem em quatro perspectivas diferentes.

O Cubo e o Bicho da Madeira O passeio que o bicho da madeira pretendia fazer obedecendo às condições impostas é impossível. Apresentamos duas soluções. Uma delas respeita a primeira condição de iniciar o passeio no centro da face, mas não obedece à segunda condição de terminar no centro do cubo. O percurso do bicho da madeira está representado pela sequência dos números indicados em cada um dos cubinhos.

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ACTIVIDADE PRÁTICA G7

Domínios Planos I 1.

A

B

Semiplanos fechados delimitados respectivamente pelas rectas x = – 2 e y = – 1 .

2.

Domínio plano fechado delimitado pelas rectas x = – 2 e y = – 1 .

3.

4. x



2 ∧ x  – 2

Conclusão: A conjunção de duas condições p (x ) e q (x ) é uma condição que se representa por p (x ) ∧ q (x ) e cuja solução é a intersecção dos conjuntos solução formada por todos os elementos que satisfazem simultaneamente as duas condições, ou seja, P  Q .

II A 1.

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B

2.

3.

y



–2∨x



1

Domínio plano que resulta da reunião dos conjuntos dos pontos anteriores.

A disjunção de duas condições p (x ) e q (x ) é uma condição que se representa por p (x ) ∨ q (x ) e cuja solução é a reunião dos conjuntos solução formada por todos os elementos que satisfazem pelo menos uma das condições, ou seja P  Q . Conclusão:

III A

B

1.

A negação de uma condição p (x ) , representa-se por ~ p (x ) e é formada por todos os elementos que não verificam a condição p (x ) . Se à condição p (x ) corresponde o conjunto P  , então à condição contrária ~ p (x ) corresponde o conjunto complementar de P , que se representa por   P  . Conclusão:

IV 1.

~ [(x   – 2) ∧ (y   x )] ©2007

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31

2.

e 3.

Representa o mesmo número domínio plano.

Conclusão:

• ~ [p (x ) ∧ q (x )] ⇔ ~ p (x ) ∨ ~ q (x ) ∩  P        Q =   P  ∪ Q    •  

4.

(x  – 1) ∨ (y  x )

~ [(x   – 1) ∨ (y   x )]

5. Compare o conjunto de pontos obtido com o conjunto anterior.

São iguais.

6.

~ (x   – 1) ∧ ~ (y   x )

7. Compare o conjunto de pontos obtido com o conjunto anterior.

São iguais.

Conclusão:

• ~ [p (x ) ∨ q (x )] ⇔ ~ p (x ) ∧ ~ q (x ) ∪   Q =   P  ∩ Q   • P     32

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ACTIVIDADE PRÁTICA G8

Equação da Circunferência – Equação da Elipse 1. Se o plano que intersecta o cone é paralelo à base, a secção obtida é uma circunferência. 2.

3. Equação da Circunferência x 2 y 2 x 2 + y 2 = 16 ⇔  +  = 1

16 16

Equação da Elipse Como x = x ’ e y = 2y ’

x ’2

(2y ’)2 16 16 x ’2 4y ’2 ⇔  +  = 1 ⇔ 16 16 x ’2 y ’2 ⇔  +  = 1 16 4  +  = 1 ⇔

Eixo Maior 2a = 8 ⇔ a = 4 Eixo Menor 2b = 4 ⇔ b = 2

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Exercícios: 1. a = 2 b = 5

2 2 Então a equação de elipse é: x  + y  = 1 4 25

2. Como 25  36, ou seja a  b , então a elipse tem os focos sobre o eixo Oy . Sendo b 2 = 36 , então b = 6 , logo o eixo maior tem de comprimento 2 b = 12 . Do mesmo modo a 2 = 25 , então a = 5 , logo o eixo menor tem de comprimento 2 a = 10 .

3.

4. Como a 2 = 5 ⇔ a =    5 logo, V 1(   5 , 0) ; V 2(–   5 , 0) (a > o)

e como b 2 = 4 ⇔ b = 2 logo, V 3(0, 2) ; V 4(0, –2) (b > o)

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Referenciais Tridimensionais Tente identificar, entre as 16 figuras, as que se encontram no mesmo referencial.

M. C. Escher, Relatividade , litografia de 1953

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ACTIVIDADE PRÁTICA F1

O Consumo da electricidade 1. Trata-se de uma função pois é uma correspondência unívoca entre dois conjuntos A e B , isto é, a todo o elemento, x , do primeiro conjunto, corresponde um e um só elemento, y , do segundo conjunto. 2.

3. D = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril, Maio, Junho, Julho, Agosto, Setembro, Outubro, Novembro, Dezembro} 4. O consumo de electricidade varia entre 200 kWt e 517 kWt, ou seja, D ’ = [200, 517] . 5. O consumo foi mínimo no mês de Agosto, provavelmente porque houve menos movimento em casa devido ao facto de ser o mês habitual de férias. 6. O consumo de electricidade foi máximo no mês de Dezembro, por ser a época mais fria e haver necessidade de ter mais aparelhos eléctricos ligados.

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MESES

CONSUMO

DESPESA

JAN.

497

44,73

FEV.

344

30,96

MAR.

360

32,40

ABR.

350

31,50

MAI.

350

31,60

JUN.

290

26,10

JUL.

290

26,10

AGO.

200

18,00

SET.

285

25,65

OUT.

340

30,60

NOV.

445

40,05

DEZ.

517

46,53

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7. O maior consumo verificou-se entre Setembro e Dezembro. 8. A coluna das despesas dá-nos o valor despendido ao longo deste ano.

Nota: A resolução apresentada foi feita com o programaExcel .

ACTIVIDADE PRÁTICA F2

A Viagem ao Porto Um grupo de amigos fez uma viagem de automóvel de Lisboa ao Porto que demorou 6 h. Percorreram 310 km. Durante a viagem fizeram os seguintes registos. t  (h)

1

2

3,5

4

5

6

d  (km)

70

110

110

140

250

310

1.

Inserindo na calculadora gráfica os valores da tabela nas listas L1 e L2, o modelo matemático que melhor se aproxima dos valores registados tem equação y = 46 x –1 . Consideraram-se os valores arredondados às unidades.

2. Recorrendo à calculadora gráfica e utilizando a opção CALC, temos: Ao fim de 4h e 30 min a distância percorrida seria aproximadamente 207,5 quilómetros.

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3. Recorrendo à calculadora gráfica e utilizando a opção CALC, obtemos o ponto de intesecção:

Demoraram cerca de 5h e 38 min a percorrer 260 quilómetros.

4.

5.1. Depois de introduzir, na calculadora gráfica, os dados do 2. O gráfico nas listas L3 e L4 e com a opção DRAW Line, desenhar os gráficos dos dois trajectos.

A velocidade média do 2. o automóvel é aproximadamente 203,7 km/4,6h (isto é, 44,28 km/h).

5.2. O 2.o automóvel ultrapassa o 1. o automóvel ao fim de aproximadamente 4,56 h, ou seja 4 horas e 34 minutos. 5.3. O aluno na composição deve fazer referência aos seguintes tópicos: • duração e distância percorrida; • as velocidades médias de cada automóvel; • se houve ou não paragens durante cada um dos percursos; • se os automóveis se encontraram e em que instante essa situação ocorreu. 38

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ACTIVIDADE PRÁTICA F3

Transformações de uma Função Gráfico da função, real de variável real, definida pela expressão f ( x ) = x 3 – 4x :

I Os gráficos das funções deslocaram-se segundo o eixo Oy . O gráfico da função f 1 desceu uma unidade e o gráfico da função f 2 subiu duas unidades, ou seja, em relação ao gráfico da função f , o gráfico de f 1 sofreu uma translação associada ao vector (0, –1) , e o gráfico f 2 sofre uma translação associada ao vector (0, 2) .

II Os gráficos das funções deslocaram-se segundo o eixo Ox  . O gráfico da função f 3 deslocou-se duas unidades para a direita e o gráfico da função f 4 deslocou-se uma unidade para a esquerda, ou seja, em relação ao gráfico função f , o gráfico da função f 3 sofreu uma translação asociada ao vector (2, 0) e o gráfico de f 4 uma translação associada ao vector (–1, 0) .

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39

III Os gráfico das funções alongaram-se segundo o eixo Oy .

IV Os gráficos das funções sofreram uma contracção segundo o eixo Ox  .

DESLOCAÇÕES E DEFORMAÇÕES DE UMA FUNÇÃO Parâmetro f  (x )

+ k 

f  (x  + k )

kf  (x )

f  (kx )

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Alteração da função em relação à função inicial f  

k   0

Desloca-se para cima k  unidades, isto é, segundo o vector (0, k ) .

k   0

Desloca-se para baixo k  unidades, isto é, segundo o vector (0, k ) .

k   0

Desloca-se para a esquerda k  unidades, isto é, segundo o vector (k , 0) .

k   0

Desloca-se para a direita k  unidades, isto é, segundo o vector (k , 0) .

k   1

Alonga-se segundo o eixo Oy  .

0  k   1

Contrai-se segundo o eixo Oy .

–1  k   0

Contrai-se segundo o eixo Oy  e fica simétrica em relação ao eixo Ox  .

k   –1

Alonga-se segundo o eixo Oy  e fica simétrica em relação ao eixo Ox  .

k   1

Contrai-se segundo o eixo Ox  .

0  k   1

Alonga-se segundo o eixo Ox  .

–1  k   0

Contrai-se segundo o eixo Ox  e fica simétrica em relação ao eixo Oy  .

k   –1

Alonga-se segundo o eixo Ox  e fica simétrica em relação ao eixo Oy  .

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ACTIVIDADE PRÁTICA F4

O Voo dos Patos 1. É possível escolher vários referenciais embora alguns facilitem mais os cálculos. Apresentamos duas dessas hipóteses:

2. A posição dos patos sugere o gráfico de uma função módulo.

3. No primeiro referencial, usando as unidades representadas, podemos escolher os pontos: A (–2,5; 0) , B (2,5; 0) e C (0, 3) .

No segundo referencial podemos escolher os pontos D (0, 0) , E (2,5; 3,5) e F (5, 0) .

4. Em relação ao primeiro referencial temos que o vértice tem coordenadas (0; 3) , logo podemos escrever: y = a |x – 0| + 3

3 Como o gráfico passa pelo ponto (2,5; 0) , então 0 = a |2,5 – 0| + 3 ⇔ a = –  ⇔ a = –1,2 . 2,5 Obtemos assim uma expressão que se ajusta ao gráfico dado: y = –1,2 | x – 0| + 3 ⇔ y = –1,2 | x | + 3

De um modo semelhante obtém-se uma expressão relativa à função representada no segundo referencial. ©2007

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ACTIVIDADE PRÁTICA F5

Transformações da Parábola I 1.

2.

3. y  = ax 2

Domínio

Contradomínio

Cresce

Decresce

Eixo de simetria

Sentido da concavidade

a   0

IR

[0, +∞[

[0, +∞[

]–∞, 0]

x = 0

Para cima

a   0

IR

]–∞, 0]

]–∞, 0]

[0, +∞[

x = 0

Para baixo

Sinal Positiva IR/{0} Negativa IR/{0}

Vértice (0, 0) (0, 0)

4. Se a  0 , a concavidade está voltada para cima; se a  0 , a concavidade está voltada para baixo.

II 1.

2.

y  = ax 2 + k 

Domínio

Contradomínio

Cresce

Decresce

Extremos relativos

Vértice

a   0

IR

[k , +∞[

[0, +∞[

]–∞, 0]

Mínimo = k 

(0, k )

a   0

IR

]–∞, k ]

]–∞, 0]

[0, + ∞[

Máximo = k 

(0, k )

4. Se a  0 , a concavidade está voltada para cima; se a  0 , a concavidade está voltada para baixo, como no caso anterior. 42

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III 1. y = x 2 – 6x + 9 = ( x – 3)2

2. y = 2x 2 – 12x + 18 = 2( x – 3)2

3. Os gráficos das duas primeiras funções deslocaram-se segundo o eixo Oy , a primeira subiu uma unidade e a segunda desceu uma unidade.

4. A primeira tem a concavidade voltada para cima e a segunda tem a concavidade voltada para baixo. Ambas têm o mesmo vértice: V (3, –1) . 5. Desloca-se o gráfico da função y  = 2 x 2 , três unidades para a direita, seguido de um deslocamento de uma unidade para cima. 6. Desloca-se o gráfico da função y = ax 2 , h unidades segundo o eixo Ox  e k  unidades segundo o eixo Oy . 7. y = 2x 2 – 4x + 5 = 2(x – 1)2 + 3

8. As coordenadas do vértice são V (h , k ) . 9. Escrever a expressão analítica que define a função por uma outra expressão equivalente, do tipo y = a (x – h )2 + k  e, assim, identificar as coordenadas do vértice. 10. Conforme a concavidade, o vértice será um máximo ou um mínimo. Se a > 0 , o vértice é um mínimo; se a < 0 o vértice é um máximo. ©2007

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43

ACTIVIDADE PRÁTICA F8

Identificação de Curvas 1.

2. • Uma recta pode intersectar uma parábola em três pontos. • A amplitude de uma parábola definida pela expressão ax 2 - bx + c  depende do parâmetro c . • Uma parábola tem sempre dois zeros. • A trajectória de um projéctil pode ser definida por uma parábola. • O contorno de um casco de um barco pode ser definido por um polinómio do 3. o grau. • A função polinomial cujo gráfico está representado ao lado, tem apenas dois zeros distintos. • Uma função com apenas dois zeros distintos, pode ser definida por um polinómio do 5. o grau. • É sempre possível decompor em factores do 1. o grau um polimónio do 4. o grau. • Um polinómio do 5. o grau pode-se decompor em 5 factores do 1.o grau. • Um polinómio de grau n , tem no máximo n raízes. 44

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F F F V V V V F V V

ACTIVIDADE PRÁTICA E2

Trajecto de casa–escola Exemplo de resolução. Os dados apresentados são relativos a uma turma fictícia.

1.

3.

Valores 3 3 5 5 5 5 8 10 10 10

10 10 12 12 12 12 13 14 15 15

20 20 21 22 22 25 35 45 45 55

Moda

10

Mediana

12

Média

16,6

4. Classes

x i 

f i 

F i 

fr i 

Fr i 

[0, 10[

55

57

57

23%

523%

[10, 20[

15

13

20

43%

567%

[20, 30[

25

56

26

20%

587%

[30, 40[

35

51

27

53%

590%

[40, 50[

45

52

29

57%

597%

[50, 60[

55

51

30

53%

100%

N = 30

5.

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45

ACTIVIDADE PRÁTICA E3

Altura e número de sapato Exemplo de resolução. Os dados apresentados são relativos a uma turma fictícia.

1.

3. ALTURA (cm)

N.o SAPATO

ALTURA (cm)

N.o SAPATO

156 166 167 168 150 160 155 180 177

34 35 37 37 35 36 35 40 39

164

36

1479

328

4. e 5. Coeficiente de correlação r = 0.901 665 126

7. e 8.

46

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PREVISÕES

ALTURA (cm)

N.o SAPATO

100 168 164 …

24.871 5 37.097 9 36.378 7 …

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GUIÃO DE UTILIZAÇÃO DE TRANSPARÊNCIAS

1 • Classificação de Quadriláteros Objectivos Identificar os diferentes tipos de quadriláteros.

Sugestões de exploração Esta transparência serve de apoio à possível revisão da classificação de quadriláteros.

2 • Sólidos Geométricos Objectivos Identificar poliedros regulares, não regulares e sólidos de revolução.

Sugestões de exploração Esta transparência serve de apoio ao Módulo Inicial, nomeadamente às revisões das características dos sólidos como, por exemplo, a identificação dos polígonos das faces, o número de arestas e o número de vértices, confirmando assim a fórmula de Euler.

3 • Planificação de Sólidos Objectivos Relacionar um sólido com a respectiva planificação.

Sugestões de exploração Esta transferência serve de apoio à resolução de alguns exercícios de geometria.

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47

4, 5 e 6 • Cortes no Cubo – Secções no Cubo Objectivos Representar num cubo algumas secções obtidas por cortes. Apresentar um quadro-síntese sobre a posição do plano de corte e a respectiva secção.

Sugestões de exploração Propomos uma apresentação progressiva de cada secção após a resolução da Act. G2 feita pelo aluno.

7 • Coordenadas dos Pontos no Espaço • Simetrias no Espaço Objectivos Identificar as coordenadas de pontos no espaço. Identificar pontos simétricos.

Sugestões de exploração Por ser difícil a representação de pontos num referencial tridimensional, propomos a apresentação desta transparência para apoio à correcção do exercício 21, pág. 118. Pode ser também utilizada no início do estudo dos referenciais cartesianos no espaço (pág. 88) para a determinação das coordenadas de pontos. Na segunda parte apresenta-se o octaedro usado como exemplo para introdução das simetrias no espaço (pág. 92). Pode ser utilizado em simetrias em relação aos planos coordenados, aos eixos e à origem, preenchendo tabelas do tipo das apresentadas na pág. 93.

8 • Equação Reduzida da Recta Objectivos Reconhecer a existência de vários tipos de rectas e a sua relação com as seguintes grandezas físicas: tempo, espaço percorrido e velocidade.

Sugestões de exploração Esta transparência serve de apoio à Act. G11 no caso de não existir o sensor CBR na escola. 48

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9 • Função Módulo Objectivos Escolher o referencial mais apropriado à situação. Identificar a função módulo. Modelar a situação dada.

Sugestões de exploração Esta transparência serve de apoio à resolução da Act. F4. Aproveitar esta transparência para chamar a atenção dos alunos para a escolha de referenciais adequados à situação apresentada, de modo a simplificar os cálculos a efectuar.

10 • Gráficos Estatísticos I Objectivos Análise de gráficos estatísticos apresentados em revistas e jornais.

Sugestões de exploração Nesta transparência apresentam-se diferentes gráficos estatísticos que poderão servir de apoio às explicações do professor, no sentido de estimular a discussão sobre a validade dos gráficos que surgem nos órgãos de comunicação social. Esta apresentação pode ser feita, tanto como motivação para o tema, como na continuidade da discussão dos gráficos apresentados na pág. 22 do manual.

11 • Gráficos Estatísticos II Objectivos Análise de gráficos estatísticos apresentados em revistas e jornais.

Sugestões de exploração Os gráficos desta transparência sugerem diagramas de dispersão e rectas de regressão, podendo cada um deles ser utilizado e explorado como introdução ao estudo das distribuições bidimensionais.

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49

A informação apresentada nos gráficos é incompleta, permitindo que a sua exploração seja feita da forma que o professor melhor entender. A seguir, reproduzem-se os referidos gráficos completos.

NOVO SÉCULO, MAIS CASAS  A ano 2000 bateu todos os recordes de construção dos últimos 30 anos Casas 120 000 Total

100 000

Média

80 000 60 000 40 000

20 000

in  Focus,

      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9      0     o       7      7      7      7      7      7      7      7      7      7      8      8      8      8      8      8      8      8      8      8      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      0     n       9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      9      0       1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      1      2      A

de 19/08/01, Fonte: INE

PLACA DE GELO A DERRETER Diminuição da superfície de gelo no Pólo Norte (em milhões de quilómetros quadrados)

km2

8

Média 7

6

5

Medições Janeiro Fevereiro

4

Março Novembro Dezembro

0

1980

82

84

86

in  Focus, de 04/09/00, Fonte: New York Times

50

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88

90

92

94

96

98 ano

PARTE 2

M AT E R I A L F O T O C O P I Á V E L

NOME NO ME:: _________________________ ____________________________________________________ ______________________________________ ___________ TURMA TUR MA:: ______ N.0: ______

TESTE DIAGNÓSTICO Leia os enunciados das perguntas com atenção e escolha a resposta correcta. Registe a sua opção na «Folha de Resposta» na pág. 58.



5 2

1. Considere o conjunto A = –     , –1 ,   2 ,

3 5

    , 

,

1 . Qual das seguintes afirmações é verdadeira? 6



    

5 2

A. –  ∈ IN B.   2  ∈ QI

  5 1 D. – , –1,  2 6 C. – 1,   2 ,     



lR

  

2. As fracções equivalentes às dizimas 0,(3) e 0,(21) são respectivamen respectivamente: te: 3 10

21 100

A.  e 

1 3

B.

 e

7 33



3 10

191 900

C.  e 

3. As expressões E = –5 + 3 + 2 – 1 + 5

  1  × –    3

1 1 1 F =  + 5 +  × –  2 2 3 1 1 G = –  × 3 + 5 –  2 2



designam, respectivamente, os seguintes valores: 28 6 16 B. E = 4 ; F =  ; G = –3 3 5 C. E = 8 ; F = –  ; G = –1 8 168 108 D. E = 4 ; F =  ; G = –  36 36

A. E = 4 ; F =  ; G = –1

4. A equação 5x – 3(2x  + 1) = 5 tem como conjunto solução:

52

A. {–2}

C. {–8}

B. {–4}

D. {2}

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D.

1 3

7 3

 e 

1 2

5. Em QI , o conjunto solução da equação A. ∅

1 3

 

3 2

 x +  = –  (1 – 2x ) é:

2 3

 

B. –

C.



2 3

11 15



 

D. – 



6. Seja P  o perímetro de um quadrado de lado x , ou seja, P  = 4x . Podemos afirmar que se trata de uma:

A. proporcionalidade directa de razão 4. B. proporcionalidade inversa de razão 4. C. função cujo gráfico é uma recta oblíqua, que passa pelo ponto (0, 4 ) . 1 4

D. proporcionalidade directa de razão . 7. As afirmações. «A Maria tem mais dois anos que o João.» «Se juntarmos o meu dinheiro com um quarto do teu, ficamos com 410 euros.» são traduzidas em linguagem matemática pelas condições:

A. x + y = 2 ; B. x = y – 2 ; C. x = y – 2 ; D. x = y + 2 ;

1 x –  y = 410 4 x + 4y = 410 1 x +  y = 410 4 x + 4y = 410

8. Qual dos seguintes pares de triângulos são semelhantes? A.

C.

B.

D.

9. Observe a figura e determine o valor de a .

A. a = 5

B. a = 0,8

C. a = 3,8

D. a = 1,8 ©2007

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53

10. A figura representa dois triângulos e um quadrado:

A soma dos ângulos internos de cada um dos polígonos apresentados é:

A. 180o ; 180o ; 360o B. 90o ; 180o ; 360o

C. 90o ; 180o ; 180o D. 180o ; 180o ; 180o

11. Considere os dados da figura seguinte.

Então, podemos concluir que: A. α = 85o e β = 100o B. α = 55o e β = 135o C. α = 85o e β = 135o D. α = 55o e β = 100o

12. Com quais das seguintes formas é possível escolher um par para fazer uma pavimentação? I

A. I e II

II

B. I e III

III

IV

C. IV e IV

D. II e III

13. Considere as seguintes figuras:

As isometrias utilizadas em cada uma delas são, respectivamente:

A. rotação, simetria, rotação. B. rotação, translação, simetria. C. translação, rotação, translação. D. translação, translação, simetria. 54

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14. Determine o valor de x  de modo que o triângulo [ ABC ] seja rectângulo em A .

A.     11  11 9

B. 7

C. 13

D.     17 17

15. As expressõe expressõess A = (x + 3)2 e B = (x – 5) (x + 5) são equivalentes a: A. A = x 2 + 6x + 9 e B = x 2 – 25 B. A = x 2 + 9 e B = x 2 – 25 C. A = x 2 + 6x  + 9 e B = x 2 + 25 D. A = x 2 + 9 e B = x 2 – 10  16. O seguinte sistema  2x x –+y y ==39 tem como solução o ponto de coordenadas:  9 3

A. (3, 0)

C.  ,  2 2

B. (4, 1)

D. (6, –3)

17. O conjunto solução da inequação x + 3  2x –1 é: A. ]–∞, 4[ B. ]–∞, –4[ C. ]4, + ∞[ 2 3

D. ]–∞, [ 18. Os conjuntos solução de cada uma das equações x 2 – 3x  = 0 e x 2 + 2x  – 3 = 0 são, respectivamente: A. S1 = {0, 3} e S2 = {–1, 3} B. S1 = {0} e S 2 = {1, –3} C. S1 = {3} e S2 = {1, 3} D. S1 = {0, 3} e S2 = {1, –3} 19. As afirmações: A: «Conjunto de pontos da recta real cuja distância ao ponto de abcissa –3 não é superior a 5.» B: «A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 4.» São traduzidas em linguagem matemática por:

A. x  – 3 5 e x 2 + 3x  = 4 B. x  + 3 5 e 2x  + 3x  = 4 C. x  – 3 5 e x 2 +

x  3

 =4

D. x  + 3 5 e x 2 + 3x  = 4 ©2007

MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

55

20. Tendo em conta os dados da figura, então:

3 5

A. cos α = 

3 5

4 5

B. sen α = 

4 5

C. tg α = 

D. sen α = 

C. 14,6 cm

D. 5,3 cm

21. Na figura sabe-se que A  D = 5 cm e DA^ C = 70o . Então, o comprimento de [ CD ] é:

A. 13,7 cm

B. 1,8 cm

22. Atendendo aos dados da figura, qual deve ser o comprimento da escada? A.     28 unidades B.     14 unidades

C. 10 unidades D. 50 unidades

23. Observe o cubo representado na figura ao lado. Qual a planificação que lhe corresponde?

56

A.

C.

B.

D.

©2007

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24. Considere um prisma quadrangular com 100 cm 3 de volume e 10 cm de altura. O comprimento da aresta da base é: B.     10 cm

A. 5 cm

C. 1 cm

D. 10 cm

25. Tendo em conta os dados das figuras seguintes, os volumes são, respectivamente:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

A. V 1 = 63 , V 2 = 120 , V 3 = 90

C. V 1 = 21 , V 2 = 100 , V 3 = 90

B. V 1 = 63 , V 2 = 40 , V 3 = 90

D. V 1 = 63 , V 2 = 40 , V 3 = 60

26. A área lateral da seguinte figura mede:

A. Al = 66 cm2

B. Al = 84 cm2

C. Al = 48 cm2

D. Al  = 26,4 cm 2

27. Em relação à figura abaixo, que representa um prisma recto triangular, quais das seguintes afirmações são verdadeiras?

I A recta AD é perpendicular ao plano DEF . II A recta AC  é paralela à recta DF . III O plano ABC  é oblíquo ao plano ABE . IV As rectas DE  e BC  são complanares. A. II e III

B. I e IV

C. I , II , III e IV

D. I e II

28. A área lateral de um prisma triangular regular de aresta de base 6 e altura 10 é de: A. 31,2 unidades

B. 180 unidades

C. 60 unidades ©2007

D. 38 unidades MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

57

NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.0: ______

TESTE DIAGNÓSTICO FOLHA DE RES POSTA QUESTÃO

RESPOSTA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 58

©2007

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DIAGNÓSTICO

TESTE DIAGNÓSTICO MATRIZ DE CORRECÇÃO

A

B

1

Não reconhece o conjunto IN .

Não reconhece o conjunto QI .

2

Não sabe a definição de período de uma dízima.

Não sabe passar de dízima para fracção.

Não sabe simplificar fracções.

3

Não sabe a prioridade das operações.

Não sabe operar com números racionais.

Não sabe operar com números fraccionários.

4

Aplica a propriedade distributiva mas não aplica a regra de sinais.

Não aplica a propriedade distributiva.

Não sabe os princípios de equivalência das equações.

5

Não reconhece o conjunto QI .

Não sabe operar com números racionais.

Não sabe aplicar a propriedade distributiva.

Não identifica a proporcionalidade directa.

6

C

D Não reconhece o conjunto QI .

Não identifica o gráfico de proporcionalidade directa.

Não identifica a constante de proporcionalidde directa.

7

Não traduz a linguagem corrente em linguagem matemática.

Não distingue o conceito de múltiplo do de submúltiplo.

8

Não sabe os casos de semelhança.

Não sabe os casos de semelhança.

Não reconhece figuras semelhantes.

9

Não sabe aplicar a razão de semelhança.

Não sabe aplicar a semelhança de triângulos.

Não sabe a regra de três simples.

10

Não sabe a relação entre a amplitude dos ângulos internos de um triângulo.

Não sabe a relação entre a amplitude dos ângulos internos de um triângulo e de um quadrado.

Não sabe calcular a amplitude dos ângulos internos de um quadrado.

11

12

Não sabe a relação entre a amplitude de ângulos suplementares.

Não reconhece os múltiplos nem os submúltiplos.

Não sabe a relação entre as amplitudes de ângulos internos de um triângulo nem amplitudes de ângulos suplementares.

Não sabe a relação entre a amplitude de ângulos internos de um triângulo.

Não tem noção das regras de pavimentação.

Não tem noção de pavimentação.

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Não tem noção das regras de pavimentação.

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59

A

13

Não reconhece translações.

14

Não identifica os lados de um triângulo rectângulo.

B

D

Não reconhece transformações geométricas.

Não reconhece rotações.

Não aplica o teorema de Pitágoras. Não aplica o caso notável (a + b )2 .

15

Não aplica o teorema de Pitágoras. Não aplica o caso notável (a - b )(a + b ) .

Não aplica casos notáveis.

Não sabe aplicar o método da substituição na resolução de sistemas.

Não sabe resolver equações literais.

16

Não sabe resolver equações.

17

Não sabe a propriedade da monotonia parcial da multiplicação em lR .

Não sabe adicionar números relativos.

18

Não sabe aplicar a fórmula resolvente.

Não sabe a lei do anulamento do produto.

Não sabe resolver equações do 2.o grau.

19

Não sabe o significado de módulo.

Não distingue o quadrado de um número do seu dobro.

Não distingue o triplo de um número da sua terça parte.

20

Não sabe a definição de co-seno de um ângulo. Não sabe a definição de co-seno de um ângulo.

21 22

Não sabe calcular o quadrado de um número.

Não sabe os princípios de equivalência de inequações.

Não sabe a definição de tangente de um ângulo.

Não sabe a definição de seno de um ângulo.

Não sabe aplicar as razões trignométricas ao problema.

Não sabe a definição de seno de um ângulo.

Não sabe o teorema de Pitágoras. Não sabe planificar um sólido.

Não sabe resolver equações do 2.o grau. Não visualiza a posição relativa das faces.

Não visualiza a posição relativa das faces.

24

Não sabe calcular a raiz quadrada de um número inteiro.

Não sabe a fórmula do volume de um prisma.

Não sabe resolver equações de um 2.o grau.

25

Não sabe calcular o volume de uma pirâmide.

Não sabe calcular o volume de um prisma nem aplicar o teorema de Pitágoras.

Não sabe calcular o volume de um cilindro.

26

Não tem a noção de área lateral.

Não sabe calcular a área de triângulos.

27

Não sabe a posição relativa de rectas e de planos.

Não sabe a posição relativa de rectas.

28

Não sabe determinar a área lateral nem a área da base de um prisma.

23

60

C

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MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

Não distingue a noção de volume de área. Não sabe a posição relativa de rectas e de planos. Não sabe determinar a área lateral nem a área de uma face de um prisma.

Não sabe determinar a área lateral nem o perímetro da base de um prisma.

A VA L I A Ç Ã O F I N A L MATRIZ DOS TESTES A

B

x

x

x x

x x

C

D

Geometria no Plano e no Espaço I Resolução de Problemas de Geometria no Plano e no Espaço Cortes num poliedro por um plano dado Poliedros obtidos por truncatura de um cubo Breve estudo sobre radicais Relações métricas entre figuras planas e entre poliedros Geometria Analítica Referenciais cartesianos no plano Conjunto de pontos no plano. Condições em lR2 Distância entre dois pontos no plano Lugares geométricos no plano Referenciais cartesianos no espaço Conjunto de pontos no espaço. Condições em lR3 Distância entre dois pontos no espaço Lugares geométricos no espaço Referência à elipse Vectores livres no plano e no espaço Operações com vectores Componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado Vector como diferença de dois pontos Coordenadas do vector soma. Produto de um número real por um vector Norma de um vector Colineariedade de vectores Equação vectorial da recta no plano e no espaço Equação reduzida da recta no plano e a equação x = x 0

x x

x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x

x x x

x x

x

x

x

Generalidades sobre funções Estudo intuitivo das propriedades das funções e seus gráficos Transformações de funções Função módulo Estudo da função módulo Inequações com módulos Função quadrática Estudo da função quadrática Inequações do 2.º grau Funções polinomiais Operações com polinómios Regra de Ruffini Teorema do resto. Zeros de um polinómio Decomposição de polinómios em factores Inequações de grau superior a dois Funções polinomiais de grau n 

x

x x

x

x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

x x x x

Estatística – Generalidades População e amostra. Recenseamento e sondagem. Variáveis estatísticas Organização e interpretação de caracteres estatísticos Análise gráfica de atributos qualitativos. Determinação da moda Análise de atributos quantitativos. Variáveis discretas e contínuas. Função cumulativa Medidas de localização de uma amostra: Moda ou classe modal; Média aritmética; Mediana ou classe mediana; Quartis Medidas de dispersão de uma amostra: Amplitude; Variância e Desvio Padrão. Amplitude interquartis Referência às distribuições bidimensionais Diagrama de dispersão Coeficiente de correlação e sua variação em [-1, 1] Definição de centro de gravidade de um conjunto finito de pontos. Sua interpretação física Ideia intuitiva de recta de regressão; sua interpretação e limitações

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x x x

x

x x

x x x

MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

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NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.0: ______

A VA L I A Ç Ã O F I N A L TESTE A 1.a Parte As seis primeiras questões são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Seleccione a correcta. → = (–1,3) . 1. Considere os pontos A (6,1) , B (–3,4) e o vector u  →  Os vectores AB  e → u  :

A. têm o mesmo sentido. B. têm o mesmo comprimento. C. são simétricos. D. têm direcções diferentes. 2. A região do plano sombreada na figura é definida pela condição:

2 3 2 B. y  ≤  x + 2  x  ≥ 2 3

A. y  ≥  x + 2  y  ≥ 2

C. y  ≥ –3 x + 2  y  ≥ 2 2 3

D. y  ≥  x + 2  y  ≥ 2 3. Seja f  uma função de domínio lR e contradomínio [-3 , 2] . O contradomínio de | f | é: A. [0, 3] B. [0, 2] C. [2, 3] D. [–2, 3] in Exame Nacional 1.a fase 1.a chamada, 2000 (adaptado)

62

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4. O valor real de k , de modo que o polinómio x 3 + 2kx – 3k  admita como factor o binómio x + 3 , é: A. 1 B. –3 C. 3 D. –9

5. Esqueceram-se de colocar os valores respectivos no seguinte diagrama de extremos e quartis.

Sabendo que o diagrama é relativo à seguinte distribuição:  x  i 

640

900

1100

1300

1500

1800

f  i 

10

18

15

6

7

2

então,

A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

→ → → →

640

2

640

2

640

2

0

2

→ → → →

900

3

900

3

900

3

640

3

→ → → →

1051

4

1100

4

1100

4

1051

4

→ → → →

1300

5

1300

5

0900

5

1300

5

→ → → →

1800 1800 1800 1800

6. Relativamente às seguinte distribuições D 1 e D 2 sabemos que, x –1 e x –2 representam a média, e x ~1 e x ~2 representam as respectivas medianas. Podemos afirmar que:

A. x –1 = x ~1 e x –2 = x ~2 B. x –1 = x ~1 e x –2 > x ~2 C. x –1 > x ~1 e x –2 > ~x 2 D. x –1 < x ~1 e x –2 = x ~2

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63

2.a Parte 1. Considere o cubo representado no referencial cartesiano ao lado. Sabe-se que o volume do cubo mede 343 cm 3 e que os vértices B  e G  pertencem, respectivamente, aos eixos Ox  e Oz .

1.1 Indique as coordenadas dos pontos B , D , G  e E . 1.2 Identifique a secção obtida no cubo quando intersectado pelo plano AEG  e determine a medida do respectivo perímetro.

1.3 Escreva uma equação do plano que contém a face [ EFGH ] .

2. Numa praça estão instalados cinco altifalantes distribuídos em dois conjuntos: um deles com dois altifalantes e o outro com três. A distância que os separa é de 50 metros. Atendendo a que a intensidade do som diminui proporcionalmente com o quadrado da distância, obtemos a seguinte expressão, em que x  designa a distância em metros, que separa o ponto procurado do conjunto de dois altifalantes. 2(50 – x )2 = 3x 2

2.1 Determine os pontos onde uma pessoa se deve colocar para que o som de ambos os conjuntos se oiça com igual intensidade.

2.2 Considere a função, real de variável real, S (x ) = 2(50 – x )2 – 3x 2 . 2.2.1 Esboce o gráfico da função S , com o auxílio da calculadora gráfica. 2.2.2 A partir de que valores da variável x , a função S é decrescente? 2.2.3 Indique os valores que verificam a condição S (x ) ≤ 2000 .

3. A tabela seguinte apresenta a relação entre a tensão máxima W  do vapor de água e a temperatura T . T  (oC)

–2

–1,6

–0,2

0,6

1,8

2,3

3,6

W (mm Hg)

3,955

4,078

4,531

4,801

5,228

5,416

5,930

3.1 Construa o diagrama de dispersão das variáveis apresentadas e conclua sobre o tipo de correlação existente. 3.2 Desenhe a recta de regressão. 3.3 Para a temperatura de 0 oC, qual a previsão para a tensão máxima, aproximada às centésimas? 3.4 Para se atingir a tensão máxima aproximada de 6,05 mm Hg, qual o valor correspondente para a temperatura?

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NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.0: ______

A VA L I A Ç Ã O F I N A L TESTE B 1.a Parte As seis primeiras questões são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Seleccione a correcta. → = (2, 5) e v  → = (k , 2) são colineares se: 1. Os vectores u 

A. k = 0 B. k = 0,8 C. k = 1 D. k = 2 2. A região a sombreado está definida pela condição:

x 2 y 2 A.  +  ≥ 1  –3 ≤ x  ≤ 3  –2 ≤ y  ≤ 2 4 9 x 2 y 2 B.  +  ≤ 1  –2 ≤ x  ≤ 2  –3 ≤ y  ≤ 3 4 9 x 2 y 2 C.  +  ≥ 1  –3 ≤ x  ≤ 3  –2 ≤ y  ≤ 2 9 4 x 2 y 2 D.  +  > 1  –2 ≤ x  ≤ 2  –3 ≤ y  ≤ 3 4 9

3. A altura, em metros, atingida por um foguete em função do tempo, em segundos, é dada pela função a (t ) = 20 t –t 2 . O referido foguete atingiu a altura máxima ao fim de:

A. 20 seg. B. 100 seg. C. 50 seg. D. 10 seg. ©2007

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65

4. Na figura está representada parte do gráfico de uma função, real de variável real f , polinomial do terceiro grau. Um máximo relativo da função f é 2. Seja g uma função, real de variável real, de domínio lR , definida por g (x) = f (x) –2 . Quantos são os zeros de g ?

A. Quatro. B. Três. C. Dois. D. Um. 5. Através do seguinte diagrama de extremos e quartis representou-se a distribuição de salários, em euros, dos trabalhadores de duas empresas, A e B .

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A. A maioria dos trabalhadores das duas empresas recebem salários idênticos. B. Pelo menos 50% dos trabalhadores da empresa B recebem entre 800 e 1200 euros. C. Os trabalhadores da empresa A recebem em média 800 euros. D. Pelo menos 25% dos trabalhadores da empresa B recebem 800 euros. 6. Na tabela seguinte, registou-se o comprimento e a medida do perímetro cefálico, em cm, de oito bebés à nascença. C (cm)

50

48

52

48

51

43

47

53

P (cm)

35

32

37

36

37

31

32

37

O tipo de correlação linear entre as variáveis C  e P  é:

A. positiva. B. negativa fraca. C. nula. D. negativa forte. 66

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2.a Parte 1. Considere o poliedro representado no referencial o.n. ( O, x, y, z) . Sabe-se que: • O vértice O  do poliedro é a origem do referencial. • O vértice E  do poliedro tem coordenadas (2, 2, 2) . • A altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo.

1.1 Indique as coordenadas do ponto simétrico de E  em relação ao plano yOz .

1.2 Escreva a equação vectorial da recta que contém os pontos A e F . 1.3 Justifique que o ponto F  não pertence à superfície esférica de diâmetro [ PQ ] . 1.4 Determine a área da secção definida no poliedro pelo corte do plano ADQ . in Exame Nacional 1.a fase 1.a chamada, 2000 (adaptado)

2. Considere o seguinte gráfico representativo da função real variável real , g . 2.1 Indique o domínio e o contradomínio de g . 2.2 Estude a função dada quanto à monotonia. 2.3 Indique o conjunto solução de: 2.3.1 g (x) > 0 2.3.2 g (x) ≤ 16 1 2.4 Represente graficamente a função  g (x) . 2

3. Na Loja das Gangas registou-se, por tamanhos, o número de calças vendidas ao longo de uma semana e construiu-se a seguinte tabela:

Tamanho ( x  i ) N.o de calças vendidas (f  i )

34

36

38

40

42

44

46

10

12

10

5

6

5

2

3.1 Determine a média e o desvio padrão da distribuição. 3.2 Defina a função cumulativa. 3.3 Determine a percentagem de calças de ganga de número superior a 38, que foram vendidas nessa semana. ©2007

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NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.0: ______

A VA L I A Ç Ã O F I N A L TESTE C 1.a Parte As seis primeiras questões são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Seleccione a correcta.

1. O simétrico do ponto P (–7, 2, 3) , relativamente ao plano xOz , tem de coordenadas: A. (7, –2, –3)

B. (7, –2, 3)

C. (–7, –2, 3)

D. (7, 2, 3)

y  3

2. As rectas r  e s são definidas, respectivamente, pelas condições x –  = 1 e 4 x + y + 1 = 0 . Qual a sua representação gráfica?

A.

B.

C.

D.

3. Sabe-se que a representação gráfica de uma função h de domínio lR , é uma parábola com as seguintes características: • tem por mínimo, o valor –3. • h (–4) = 0 e h (2) = 0 . A expressão analítica de h (x ) é:

A. 3(x – 2)(x + 4)

68

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1 3

B.      (x – 2)(x + 4)

MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

1 3

C. –  (x – 2)(x + 4)

D. 3(x + 2)(x – 4)

4. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g , polinomial do terceiro grau. A função g admite um máximo relativo igual a 3, para x  = –1 e admite um mínimo relativo igual a –2, para x = 1 .

Qual o conjunto dos valores de b  para os quais a equação g(x)  = b  tem três soluções distintas?

A. ]–∞, 3[ B. ]–2, + ∞[ C. [–2, 3] D. ]–2, 3[

in Exame Nacional 2.a fase, 2001

5. Os tempos obtidos pelos diversos atletas numa «Mini Maratona» escolar, foram registados no seguinte histograma:

O número mínimo de atletas que obtiveram um tempo superior à média foi:

A. B. C. D.

31 21 18 31

6. Em relação aos seis primeiros elementos do Grupo I da Tabela Periódica, sabe-se que: Raio covalência Raio atómico

0,32

1,23

1,54

2,03

2,16

2,35

0,79

2,05

2,23

2,77

2,98

3,34

O tipo de correlação entre as variáveis é:

A. positiva forte. B. negativa forte. C. positiva fraca. D. negativa fraca. ©2007

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2.a Parte 1. Considere o paralelepípedo cujas faces são paralelas aos planos coordenados. O ponto B  tem de coordenadas (3,5,2) ,   A  B = 9 e  C  B   = 5 .

1.1 Indique as coordenadas do ponto simétrico de B  em relação ao plano xOy . 1.2 Determine as coordenadas dos pontos C  e D . 1.3 Escreva a equação do plano que contém a face [ BCGF ] . 1.4 Sabendo que o volume do prisma é de 90 u.v., indique a equação do plano EFG . 2. Considere a função, real de variável real, definida analiticamente por g (x ) = x 3 – x 2 – 8 x  + 12 . Com o auxílio da calculadora gráfica:

2.1 Estude a função quanto à existência de zeros e quanto à variação de sinal. 2.2 Esboce o gráfico de g . 2.3 Investigue sobre a existência de extremos relativos e determine-os. 2.4 Indique o conjunto solução da seguinte condição, g (x) ≥ 28 . 3. Numa empresa registaram-se os tempos que os trabalhadores gastam na deslocação de casa ao trabalho e obteve-se a seguinte tabela de frequência relativa acumulada.

Tempo (x i  ) Frequência acumulada (F i )

[0, 10[

[10, 20[

[20, 30[

[30, 40[

[40, 50[

[50, 60[

[60, 70[

[70, 80[

10

25

47

67

80

90

98

100

3.1 Qual a classe modal? 3.2 Qual é o tempo médio que os trabalhadores levam a chegar à empresa? 3.3 Determine graficamente a mediana e os quartis da distribuição recorrendo ao histograma de frequências relativas acumuladas. in Exame Nacional, 1995

70

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NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.0: ______

A VA L I A Ç Ã O F I N A L TESTE D 1.a Parte As seis primeiras questões são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Seleccione a correcta.

1. Considere que o cubo representado na figura tem 3 cm de aresta. A medida do perímetro da secção obtida no cubo pelo plano DEG  é:

A. 3  6 cm 3

B.     18 cm C. 9  2 cm D. 27 cm 2. Considere a recta s representada no seguinte referencial. Qual das seguintes expressões define uma recta paralela a s que passe pelo ponto (–2,1) ? 1 2 B. y = 2x + 5

A. y = –  x + 2 C. y = –2x + 2 1 2

D. y = –  x  3. Qual dos seguintes gráficos satisfaz as condições: • f (0) = 3 . • O máximo de f  é 4 . • Em lR+ , a função é sempre positiva. A.

B.

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71

C.

D.

4. A área de um rectângulo em função do comprimento x , é dada por A(x ) = 60 x – 5x 2 . A área máxima que um rectângulo nestas condições pode ter é de: A. 180 B. 6 C. 300

D. nenhuma das opções apresentadas.

5. A seguinte distribuição corresponde às idades de 87 crianças que frequentam um dado colégio. Idade (anos)

3

4

5

6

7

8

9

10

N.o de crianças

4

5

10

18

17

15

8

10

A percentagem de crianças com idade superior ou igual a 7 anos é de:

A. 12,5%

B. 57,5%

C. 67%

D. 37,9%

6. Qual das seguintes distribuições bidimensionais poderá ser representada pela seguinte recta de regressão?

A.

C.

72

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x 

2

4

5

6

y 

4

7

7,5

8

x 

2

4

5

6

y 

4

6

7

8

MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

B.

D.

x 

2

4

5

6

y 

3

0

2,5

1

x 

2

4

5

6

y 

4

3

2,5

2

2.a Parte 1. Considere os pontos representados no seguinte referencial.

1.1 Indique as coordenadas do ponto B’  simétrico de B  em relação à origem. 1.2 Escreva a equação reduzida da recta AD . 1.3 As rectas AD  e BC  são paralelas? Justifique. 1.4 Determine os valores reais de m  e n  de modo que as rectas AC  e DB  sejam concorrentes no ponto E  de 11 coordenadas 2m + 1, n +  . 6





2. Uma fábrica produz latas cilíndricas para empacotamento de géneros alimentícios. Sabe-se que o valor da área total destas latas é de 10 dm 2.

2.1 Mostre que a capacidade destas latas, em função da medida do raio r , é dada por C (r ) = 5r – r 3 . 2.2 No contexto do enunciado indique o intervalo de valores possíveis para a variável r . 2.3 Determine, com aproximação às décimas, as dimensões da lata de capacidade máxima. 2.4 Considere a função, real de variável real, f (x ) = 5r – r 3, e esboce o gráfico de f , indicando os respectivos zeros e os intervalos de monotonia.

3. Na tabela seguinte apresenta-se os efectivos acumulados associados às idades, em anos, dos empregados de caixa de um hipermercado.

Idades (x i ) Efectivos acumulados (F i )

21

22

23

24

25

26

27

28

29

2

5

9

15

21

29

33

38

40

3.1 Construa a tabela de frequências absolutas e relativas. 3.2 Qual a percentagem de empregados com mais de 25 anos? 3.3 Represente graficamente a distribuição. 3.4 Calcule a idade média dos empregados. 3.5 Defina a respectiva função cumulativa. ©2007

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73

SOLUÇÕES Teste A

3.3 y = 0,35 x + 4,6 Para uma temperatura de 0 oC a tensão máxima é 4,6 mm Hg.

1.a Parte

3.4 6,05 = 0,35 x + 4,6

1. D

A temperatura deverá ser, aproximadamente, 4,14 oC.

2. D 3. A 4. B

Teste B

5. B

1.a Parte

6. B

1. B 2.a Parte

2. C

1.1 B (7, 0, 0) ; D (0, –7,0) ; G (0, 0, 7) ; E (7, –7,7) 1.2 Paralelograma; P = 14 + 14   2 1.3 z = 7

3. D

2.1 Deve colocar-se a 22,5 m do conjunto de 2 altifa-

6. A

4. C 5. B

lantes e a 27,5 m do conjunto de 3 altifalantes.

2.2.1

2.a Parte 1.1 (–2, 2, 2) 1.2 (x, y, z ) = (2, 0, 0) + k (–2, 2, 2) , k  ∈ lR 1.3 (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 9 ; O ponto F  não pertence à superfície esférica.

1.4 A = 8  2 2.1 D = lR ; D’ = lR 2.2 Crescente: ]– ∞, –2] ; e [2, + ∞[ ; 2.2.2 S  é decrescente no intervalo [–100, + ∞[ 2.2.3 C.S = ]–∞ , –214[ ∪ [14 , +∞[ 3.1 Correlação linear positiva forte. 3.2

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Decrescente: [–2, 2]

2.3.1 ]–4, + ∞ [ \ {2} 2.3.2 ]–∞, 4] 2.4

3.1 x – = 38,32 e 3.2 1

f (x) =



 

= 3,54

< 34 34 ≤ x < 36 ≤ x < 38 ≤ x < 40 ≤ x < 42 ≤ x < 44 ≤ x < x ≥ 46

0 se x

10 22 32 37 43 48 50

se se se se se se se

36 38 40 42 44 46

3.1 Classe Modal: [20, 30[ 3.2  x  = 33,3 3.3

3.3 36% Teste C 1.a Parte

Teste D

1. C

1.a Parte

2. C 3. B

1. D

4. D

2. D

5. B

3. B

6. A 2.a Parte 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1

4. A

B’ (3, 5 , –2)

5. B

C (–2, 5, 2) ; D (–2, –4,2)

6. D

y = 5 h = 2 ; z = 4

2.a Parte 1.1 B’ (–3,–2) 1.2 AD : y = 3x – 2 1.3 Não são paralelas porque têm declives

2.2 zeros: {–3, 2} ; positiva: ]–3, + ∞[ \ {2} ; negativa: ]– ∞, –3[

2.3 Máximo relativo (aproximado): 18,5 Mínimo relativo: 0

2.4 C. S. = [4, + ∞[

diferentes. 5 5 1.4 m =  e n =  6 6

2.1 Como h =

2

10 – 2r    , então 2 r 

C (r ) = 5r – r 3 .

2.2 O raio deve variar entre entre 0 e 1,26 dm. 2.3 r = 0,7 dm e h = 1,6 dm . ©2007

MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

75

2.4 Zeros: {–1,26 ; 0 ; 1,26} (valores aproximados às centésimas) Crescente: [–0,7; 0,7] (valores aproximados à décimas)

3.2 62,5% das empregadas têm mais de 25 anos. 3.3

Decrescente: ]– ∞, –0,7] ∪ [0,7; +∞[ (valores aproximados às décimas)

3.4 –x = 25,2 3.5

3.1

76

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x i 

f i 

F i 

fr i 

21

2

2

0,050

22

3

5

0,075

23

4

9

0,100

24

6

15

0,150

25

6

21

0,150

26

8

29

0,200

27

4

33

0,100

28

5

38

0,125

29

2

40

0,050

MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

f (x) =

              

10

se x  < 21

12

se 21 ≤ x  < 22

15

se 22 ≤ x  < 23

19

se 23 ≤ x  < 24

15

se 24 ≤ x  < 25

21

se 25 ≤ x  < 26

29

se 26 ≤ x  < 27

33

se 27 ≤ x  < 28

38

se 28 ≤ x  < 29

40

se x  ≥ 29

G R E L H A D E A VA L I A Ç Ã O CONSTRUÇÃO DE UM MODELO

Apresentação oral

Grupo

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    : _    0 . _ _    N _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    : _ _    A _    M _    R _ _    U _    T _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    :_ _ _    O _    V _    I    :     T     C     A    E     L     L     O    O     C     S    N     E     A

Construção do modelo

Introdução do tema Rigor

Criatividade

Descrição e caracterização

Linguagem adequada

Rigor científico

Classificação

Cotação

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MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

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G R E L H A D E A VA L I A Ç Ã O TRABALHO DE GRUPO _ _ _ _ _ _ _ _ Auto-Avaliação do elemento do grupo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Frequentemente Regularmente Raramente Nunca _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Participação activa no trabalho _ _ _ _ _ _ _ _ Apresentação de sugestões _ _ _ _ _ _ _ _ Respeito pelo trabalho dos colegas _ _ _ _ _ _ Utilização do tempo disponível _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Avaliação dos outros elementos do grupo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Frequentemente Regularmente Raramente Nunca _ _ _ _ _    : _    O Participação activa no trabalho _    P _    U _    R _    G Apresentação de sugestões _ _ _ _ Respeito pelo trabalho dos colegas _ _ _ _ _ _ _ Utilização do tempo disponível _ _ _ _ _ _ _    : _    0 . _ Avaliação do grupo _    N _ _ _ _ _ _ _ _ _ Frequentemente Regularmente Raramente Nunca _ _ _ _ _    : _    A _ Troca de ideias _    M _    R _    U _    T Entendimento no grupo _ _ _ _ _ Avaliação do trabalho _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Excelente Bom Razoável Fraco _ _ _ _ _ _ _ _ Trabalho realizado _    / _ _ _ _ _ Apresentação do trabalho _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Dificuldades sentidas no grupo: ____________________________________________________________________ _    : _ _    O _    I     V ______________________________________________________________________________________________ _    :     T     C     A    E     L     L ______________________________________________________________________________________________     O    O     C     S    N     E    A ______________________________________________________________________________________________

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MATEMÁTICA A  –  10 . o AN O

G R E L H A D E A VA L I A Ç Ã O TRABALHO DE PESQUISA

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    : _    0 . _ _    N _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    : _ _    A _    M _    R _ _    U _    T _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    :_ _ _    O _    V _    I    :     T     C     A    E     L     L     O    O     C     S    N     E     A

   o     ã    ç    a    l    c    a     i     f    n     i     i    s    f    s    a     l     C    o     ã    ç    a     )     2    t     (    n    l    e    a    s    r    o    e    r    p     A    o     ã    ç    a    c     i     f     i    s    s    a     l     C

 .    a     i     f    a    r    g    o    t    r    o    e    o     ã    ç    a    u    t    n    o    p    e     d    s    a    r    g    e    r    s    a     d    o     ã    ç    a    c     i     l    p    a    ;  .    o    e     i    r    t     á    r     l    o    u    p     b    u    a    s    c    e    o    d    v    l    o    a     d    i    r    a    e    t     i    c    a    n    m     ê    ;    n    a     i    t    s    r    e    o    p    r    o    g    e    i    e    r     d    e    a    a     d    d    e    a     i    r    u    a    q    v    e    ;     d    o    t    a    x    e    t    m    e    o    g     d    a    a    u    g     i    n    c    i    n    l     ê    r    ;    a    t    e    i    o    r    c    c    ;    s    o    t    e    x    o    e    t     ã    ç    o    a     d    t    n    e    a    r    s    u    t    e    r    u    p    r    t    a    s    a    e     à    m    :    o    o    c     ã    a    ç    i    n    c    n    e    t     ê    a    r    r    e    e    o     T    C

    )     1     (

   o    o    c     d    i    a    t    s     d     í     i    u    u    g     C    n     i     l

   o    o    c     d    i    a    f     í    t     d     i    n    u    i    e     C    c    e    a    s     d    i    u    u    q    a    r    s     G   e    p    e     d    a     d     i     l    a    n     i    g     i    r     O    o     ã    s    u     l    c    n    o     C    o    t    o    n     ã    e    ç     i    m    a    v    z     l     i    n    o    a    v    n    g    r    e     O    s    e     D

   :    o    t     i    r    c    s    e    o     h     l    a     b    a    r     T

   o     ã    ç    u     d    o    r    t    n     I    o     ã    ç    a    t    n    e    s    e    r    p     A    s    o    p    u    r     G

   o     ã    ç    a    t    o     C

    )     )     1     (     2     (

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