Cap 8

Libreto Capitulo 8: Equilibrios de cuerpos rígidos 8.1 Condiciones de equilibrio 8.2 Diagrama de cuerpo libre 8.3 Ejercicios. 8.4 Equilibrio de cuerpos rígidos en tres dimensiones. 8.5 Ejercicios.

Autor: M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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8.1 Condiciones de equilibrio Cuando la fuerza y el momento son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Por lo tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtener igualando a cero las sumatorias de momentos y de fuerzas. ΣF = 0

ΣMο = Σ(r X F) = 0

Reduciendo cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares, se pueden expresar las condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes. ΣFx = 0 ΣMx = 0

ΣFy = 0 ΣFz = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0

8.2 Diagrama de cuerpo libre Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rígido es esencial que se consideren todas las fuerzas que actúan sobre este; además, es igualmente importante excluir cualquier fuerza que no esté aplicada directamente sobre dicho cuerpo. Omitir o agregar una fuerza extraña podría destruir las condiciones de equilibrio. Por lo tanto el primer paso en la solución del problema debe ser el dibujar un diagrama de cuerpo libre. 8.3 Pasos para elaborar el diagrama de cuerpo libre 1- Aislar el cuerpo del suelo y de todos los demás cuerpos. 2- Indicar todas las fuerzas externas. Estas fuerzas representan las acciones ejercidas sobre el cuerpo libre por el suelo y por los cuerpos que han sido separados por el mismo; estas fuerzas deben aplicarse en los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre está apoyado en el suelo o está conectado a otros cuerpos. También se debe incluir entre las fuerzas externas del cuerpo libre, puesto que representa la atracción ejercida por la tierra sobre las distintas partículas que lo constituyen. 3- Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas deben señalarse claramente. 4- Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través de las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre obligándolo a permanecer en la misma posición por lo cual, algunas veces reciben el nombre de fuerza de restricción. Las reacciones se ejercen en los puntos donde el cuerpo Libreto Capitulo 8 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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libre está apoyado o conectado a otros cuerpos y deben indicarse con claridad. 5- También debe incluir dimensiones puesto que estas se pueden necesitar para el cálculo de momentos de fuerzas Como regla general, si un soporte previene la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces una fuerza es desarrollada sobre el cuerpo en esa dirección. Igualmente si una rotación es prevenida, sobre el cuerpo se ejerce un momento de par.

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 Tabla 8.1 Reacciones en apoyos y conexiones en un plano

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Ejercicio.- Una grúa tiene una masa de 1000 kg y se emplea para levantar una carga de 5400 kg. Se mantiene en su lugar por un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa se localiza en G. Determínese las componentes de las reacciones en A y B.

Primer paso. Elaboración de diagrama de cuerpo libre. Empezamos dibujando únicamente la grúa ya que es el cuerpo rígido analizar. Expresamos las masas en fuerzas multiplicándolas por la aceleración de la gravedad. Dibujamos las reacciones del apoyo en A que es un perno y tiene dos reacciones Ax y Ay. En estos apoyos debemos sugerir un sentido buscando la lógica de reacción del apoyo contra la pared, la explicación del porque se dibujo hacia el lado izquierdo Ax obedece a que en ese apoyo la grúa por efecto de su propio peso y del cuerpo que está cargando pareciera que se quiere desprender de la pared y el perno reacciona evitando esta desunión. Ay la expresamos hacia arriba puesto que todos las masas van hacia abajo alguna fuerza debe contra restar este esfuerzo siguiendo el principio de equilibrio. En B solamente hay una fuerza de reacción por tratarse de un apoyo de balancín esta deberá ser perpendicular hacia la pared, veámoslo así, si Ax va en sentido opuesto la suma de ambas de ser cero

1000 kg x 9.81 m/s² = 9,810 N 5400 kg x 9.81 m/s² = 52,974 N Segundo paso. Elaboración de ecuaciones. Libreto Capitulo 8 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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Observando el diagrama de cuerpo libre determinamos que tenemos cinco fuerzas involucradas directamente con el cuerpo rígido a analizar. De estas cinco dos son conocidas (9.81kN y 52.974kN). Las tres restantes son incógnitas y se solicita calcularlas (Ay, Ax y B). Para buscar estas fuerzas desconocidas echáremos mano de la información conocida y que sabemos que el sistema se encuentra en equilibrio y podemos formar sumatoria de fuerzas y momentos igualándolas a cero. Iniciaremos calculando sumatoria de fuerzas en x, donde en una ecuación igualada a cero colocaremos todas aquellas componentes en x.

∑x = 0 ∑x = -Ax + Bx= 0 Los dos valores son desconocidos por consiguiente no podemos resolver. Realizamos sumatoria de fuerzas en y. ∑y = 0 ∑y = Ay – 9810N – 52,974 = 0 Despejamos Ay Ay = 9810 + 52,974 Ay= 62,784 N Para resolver las dos incógnitas restantes (Ax y B) utilizaremos sumatoria de momentos en algún punto del cuerpo rígido. La recomendación para seleccionar este punto es escoger aquel donde se encuentre una de las incógnitas para que esa fuerza se elimine y poder resolver la restante. Para este ejemplo realizaremos sumatoria de momentos en A para resolver la fuerza B. ∑MA = 0 ∑MA = (– 52,974) (6m) – (9810) (2m) + Bx (1.5) =0 Despejamos B B = (370,818 + 19,620)/1.5 B = 390,438/1.5 = 224,680 N B = 224,680 N Por último resolvemos Ax de la sumatoria de fuerzas en x. ∑x = -Ax + 224,680 N = 0 Despejamos Ax. Ax = 224,680 N Como aclaración es importante mencionar que si al resolver las incógnitas obtenemos un valor negativo las causas pueden ser un mal despeje o propusimos una dirección en un sentido erróneo. Libreto Capitulo 8 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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Ejercicios .8.1 Se aplican tres cargas a una viga como se muestran en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determínense las reacciones en A y B cuando P=15 kips.

8.2 Un carro de carga se encuentra en reposo sobre un carril que forma un ángulo de 25 grados con respecto a la vertical. El peso total del carro y su carga es de 5500 lb y éste actúa en un punto que se encuentra a 30 in. Del carril y que es equidistante a los dos ejes. El carro se sostiene por medio de un cable que está unido a éste en un punto que se encuentra a 24 in del carril. Determínese la tensión en el cable y la reacción en cada par de ruedas.

8.3 Dos cajas, cada una con 350 kg de masa, se colocan en la parte trasera de una camioneta de 1400 kg como se muestra en la figura. Determínense las reacciones de las llantas a) traseras A b) delanteras B.

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R. Ay = 12,131.7 N, By = 8,469.3 N 8.4 Determine las reacciones en los apoyos A y B.

R. A = 7.36 kip, Bx = 0.5 kip, By = 16.6 kip 8.5 Determine la tensión en el cable y las reacciones horizontal y vertical en el punto A. El cilindro tiene un peso de 80 lb. Descarte la fricción de la polea en D.

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R. T = 74.6 lb, Ax = 33. 4 lb, Ay = 61.3 lb

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8.4 Equilibrio de cuerpos rígidos en tres dimensiones.

 Tabla 8.2 Reacciones en apoyos y conexiones en el espacio

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Ejercicio 8.2 Un botalón de 2.4 m se sostiene mediante un apoyo de rótula en C y por medio de dos cables AD y AE. Determínese la tensión en cada cable y la reacción en C

Primer paso. Elaboración de diagrama de cuerpo libre. Como podemos observar en este sistema son 4 fuerzas las que interactúan para mantener las condiciones de equilibrio. Dentro de este diagrama dibujaremos el sentido y dirección de las fuerzas.

Segundo paso. Representación de las fuerzas a vector. Libreto Capitulo 8 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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Empezaremos con la fuerza más sencilla que cuenta únicamente con una componente que es la fuerza en el punto A. FA = - 6kN j En el punto C sabemos que tiene un apoyo de tipo rotula por lo que mantiene tres componentes y las representamos de la siguiente manera: Fc = Cxi + Cyj + Czk 

Para las tensiones en los cables utilizaremos el vector unitario dejando como incognita las magnitudes de las tensiones. FAD AD= -0.8i + 0.6j – 2.4k dAD² = -0.8² + 0.6² - 2.4² dAD= 2.6 FAD= TAD [(-0.8/2.6)i + (0.6/2.6)j – (2.4/2.6)k] FAD= TAD (-0.3077) i + TAD (0.2308) j – TAD (0.9231) k FAE AE= 0.8i + 1.2j – 2.4k dAE²= 0.8² + 1.2² - 2.4² dAE= 2.8 FAE= TAE[(0.8/2.8)i + (1.2/2.8)j – (2.4/2.8)k FAE= TAE (0.2857) i + 0.4286 T AE j – 0.8571 TAE k

Tercer paso. Sumatoria de momentos. La finalidad de utilizar sumatoria de momentos es de establecer tres ecuaciones igualadas a cero con el menor número de incógnitas a resolver para fines prácticos. Siendo así debemos seleccionar un punto donde tomar como referencia el calculo de momentos buscando anular incógnitas, para este ejercicio el punto idóneo resulta ser C ya que eliminaríamos las tres componentes de la fuerza en C (Fc = Cxi + Cyj + Czk). Por lo tanto nuestra ecuación se expresa: ΣMC =0 ΣMC = (rCA X TAD) + (rCA X TAE) + (rCA X -6j) Resolviendo cada una de los producto cruz: i j k 0 2.4 rCA X TAD = 0 -.3077 TAD 0.2308 TAD-0.9231 TAD = i [-2.4 (0.2308 T AD)] + j [2.4(-.3077 T AD)] + k (0) = -0.5539 TAD i – 0.7385 TAD j Libreto Capitulo 8 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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rCA X TAE =

i j k 0 0 2.4 0.2857 TAE0.4286 TAE-0.8571 TAE

= i [-2.4 (0.4286 T AE)] + j [2.4(-.0.2857 T AE)] = -1.0286 T AE i + 0.6857 TAE j

rCA X -6j=

i 0

j 0

k 2.4

0

-.6

0

= i [-6(2.4)] = 14.4i Igualamos a cero la suma de componentes: ΣMcx = 0 -0.5539 TAD – 1.0286 TAE + 14.4 = 0 ΣMcy = 0 -0.7385 TAD + 0.6857 TAE = 0 Debido a que tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (T AE y TAD) despejamos de ΣMcy  TAE.  TAE = TAD (0.7385/0.6857)  TAE = 1.077TAD Obteniendo esta igualdad sustituimos en la ecuación de ΣMcx -0.5539 TAD – 1.0286 (1.077 TAD) = -14.4 1.6617 TAD = 14.4 TAD = 8.6658N Una vez con el valor de T AD sustituimos en la igualdad.  TAE = 1.077(8.6658 N) TAE = 9.333 N

Cuarto paso. Sumatoria de fuerzas.

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Formamos tres ecuaciones igualadas a cero con la sumatoria de componentes y despejamos y resolvemos las incognitas a partir de los valores recien conocidos. ΣFx=0  TAE (0.2857) – 0.3077(T AD) + Cx = 0 9.33 N(0.2857) – 0.3077(8.6658 N) + Cx = 0 2.6656 – 2.6664 = -Cx Cx= 0 ΣFy=0 0.4286 (TAE) + 0.2308(TAD) – 6 + Cy= 0 0.4286(9.333 N) + 0.2308(8.6658 N) – 6 + Cy= 0 4 + 2 – 6 +Cy =0 Cy =0 ΣFz= 0 -0.8571(TAE) – 0.9231(T AD) + Cz =0 -0.8571(9.333 N) – 0.9231(8.6658 N) + Cz =0 -7.9967 – 8 + Cz= 0 Cz = 15.9961 N

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Ejercicios. 8.6 Un anuncio de densidad uniforme de 5 X 8 ft pesa 270 lb y está apoyado por una rótula en A por dos cables. Determínese la tensión en cada cable y la reacción en A.

R. TEC = 315 lb, TBD = 101.25 lb, Ax= 337.5lb, Ay= 101.25lb, Az= -22.5 lb 8.7 El poste ABC de 6 m de longitud de esta sometido a una fuerza de 455N en la forma mostrada en la figura. El poste se sostiene por un apoyo de rotula en A y por los cables BD y BE . Cuando a = 3m . Determínese la tensión en cada cable.

R. TBE = 390, TBD = 780, Ax = -195, Ay = 1170, AZ = 130

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8.8 La barra doblada ABDE se sostiene por medio de rótulas en A y E mediante el cable DF. Si una carga de 60 lb se aplica en C tal como se muestra en la figura, determínese la tensión en el cable.

R. TDF= 85.32 lb

8.9 La plataforma soporta tres cargas como se muestra en la figura. Determine la reacción en cada una de las ruedas.

R. FA = 663 lb, F B = 449 lb, Fc = 569 lb

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8.10 La tubería de la figura soporta una fuerza de 3 kN y 4 kN y es sostenida por dos cables del punto B hacia la pared, un apoyo rotula en A de como se muestra. Determine la tensión en cada uno de los cables y la reacción en A.

R. TBC = TBD = 17 kN Az = 0, Ay = 11.3 kN, Ax = - 15.7 kN 8.11 La barra de la figura esta soportada en los puntos A, B, C por conexiones lisas. Calcula las componentes de las reacciones en los apoyos A, B, y C que producen las fuerzas F1 = 300lb y F2 = 250lb. F1 actúa sobre el plano x-y. Las conexiones están debidamente alineadas sobre los ejes y no ejercen reacción en el sentido de la barra.

R. Ay = -141lb, Az = 633lb, By = 895 lb, Bz = - 721 lb, Cx = 200lb, Cy = - 506lb-

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