Cap 7

Libret Libreto o Capitu Capitulo lo 7: CUERP CUERPOS OS RIGIDO RIGIDOS: S: SISTE SISTEMA MA DE FUERZAS EQUIVALENTES 7.1 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS 7.2 Principio de Transmisibilidad, Fuerzas equivalentes. 7.3 Momento de una fuerza alrededor de un punto 7.4 Calculo de momentos en forma escalar

Autor: M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

Libreto Capitulo 7 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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7. CUERPOS RIGIDOS: SISTEMA DE FUERZAS EQUIVALENTES En esta sección examinaremos el efecto de las fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido apoyándonos con el concepto de momentos alrededor de un punto. 7.1 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS A las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo rígido se pueden clasificar en fuerzas internas y externas. Fuerzas internas : son las que mantienen unidas las partículas que forman el cuerpo rígido. Este tipo de fuerzas no las tomaremos en cuenta en este curso. Fuerzas Externas: representan la acción de otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración.

Figura 7.1 Fuerzas externas Por ejemplo en la figura 7.1 las fuerzas externas que se aplican son los puntos de apoyo del camión con el piso, el peso del camión y la fuerza de los hombres.

Figura 7.2 Representación de fuerzas 7.2 Principio de Transmisibilidad, Fuerzas equivalentes. Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán sin cambio si una fuerza F que actúa en un punto del cuerpo rígido se sustituye por una fuerza F’ de la misma magnitud y dirección, pero que actúan en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Libreto Capitulo 7 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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Figura 7.3 Principio de transmisibilidad La figura 7.3 muestra el principio de transmisibilidad y podemos observar que la fuerza F que esta jalando el camión puede ser sustituida por una fuerza que empuje a el camión por la parte de atrás F´, siempre y cuando F´ tenga la misma magnitud, dirección y sentido teniendo así el mismo efecto. 7.3 Momento de una fuerza alrededor de un punto El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje. Por ejemplo: considere la fuerza horizontal F x que actúa perpendicularmente al mango de la llave y está localizada a una distancia dy del punto O, se ve que esta fuerza tiende a girar el tubo alrededor del eje z. Entre mayor es la fuerza o la distancia d y, mayor es el efecto de rotación. A esta tendencia a la rotación causada por Fx se llama Momento de una fuerza (Mo) z

Existen dos formas para calcular el momento de una fuerza con respecto a un punto esto puede ser de manera escalar o de manera vectorial. 7.4 Calculo de momentos en forma escalar Libreto Capitulo 7 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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Esta forma de calcular el momento con respecto a un punto aplica exclusivamente para fuerzas en un plano o sea dos dimensiones. Magnitud La Magnitud de el momento con respecto a aplicando la siguiente formula: Mo = Fd

O (Mo) se obtiene

Donde F es la fuerza y d es la distancia perpendicular a la línea de acción de la fuerza con respecto al origen o punto de análisis. Dirección: La dirección de Mo será especificada por la ley de la mano derecha. Para hacer esto, los dedos de la mano derecha son enrollados conforme al sentido de rotación y el pulgar señala a lo largo del vector del eje de momento. En dos dimensiones el momento siempre va ser perpendicular al plano formado de la fuerza y la distancia. Sentido: Los momentos positivos giran en sentido contrario de las manecillas del reloj. Ejemplo 7.1 Calcular el momento con respecto al punto o de la fuerza de 50 N que aparece en la siguiente imagen.

Magnitud (Mo = Fd): Utilizaremos la distancia que corre perpendicular a la línea de acción de la fuerza con respecto a O por lo tanto son los 0.75m, sustituyendo obtendríamos:

Mo = Fd = ( 50 N ) ( 0.75 m) = 37.5 N m La dirección se obtiene a partir de la mano derecha. El sentido este se obtiene a partir de donde se genere la tendencia a el giro en la figura este giro viene expresado por una flecha azul, y su sentido es a favor de las manecillas del reloj quiere decir que es un momento negativo. Por lo cual el resultado se expresaría: Mo = - 37.5 N m

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Ejercicios: Calcule el momento con respecto a O de las siguientes imágenes: 7.1 -

R. Mo = 20 N m 7.2 -

R. Mo = - 150 Nm 7.3 -

R. ) Mo = 229 lb pie 7.4 -

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R. Mo = 24 kN m Ejemplo 7.2 Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza que actúa en la siguiente figura sabiendo que θ = 30°.

Solución: En ejercicios pasados las fuerzas solamente tenían una componente rectangular, ósea que caían en uno de los ejes, el obtener la distancia perpendicular de la fuerza al punto donde se solicitaba calcular el momento no era ningún problema. La solución para estos problemas es obtener las componentes rectangulares de la fuerza y después calcular el momento con la sumatoria de momentos que producen estas dos fuerzas. a) Descomposición de la fuerza: De la imagen representamos la fuerza en coordenadas polares para des pues descomponerla: Coordenadas polares F = 40 lb, 330° Componentes rectangulares Fx = F cos θ = 40 lb cos 330° = 34.64 lb Fy = F sen θ = 40 lb sen 330° = - 20 lb

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Al

obtener

sus

componentes

obtendríamos

lo

siguiente:

b) Sumatoria de momentos. De esta imagen es posible visualizar las distancias perpendiculares al punto A con respecto a las fuerzas y así es posible calcular el momento producido: ∑MA = -Fx (2 ft) – Fy ( 8 ft) = - (34.64 lb)(2 ft) – (20 lb)(8 ft) = - 69.28 160 = -229.28 ft lb ∑MA = -229.28 ft lb Notese: que la fuerza de 20 lb se marco positiva ya que para momentos el signo se asigna según hacía donde produce el giro, el signo fuera del paréntesis es el signo que corresponde al sentido del giro (a favor de las manecillas es negativo) por eso las dos fuerzas producen momentos negativos.

Ejercicios: 7.5 - Calcular el momento resultante que producen las fuerzas de la figura con respecto a el punto O.

R. Mo = 15.16 kN m 7.6 -Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la barra con respecto al punto O.

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R. Mo = - 214 N m 7.7 Determine el momento resultante de las tres fuerzas con respecto a el punto A.

∑M A = - 11.193 kip lb

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7.5 Calculo de momentos en forma vectorial Esta forma aplica tanto para dos dimensiones como para tres dimensiones y consiste en multiplicar fuerza por distancia pero en forma vectorial. Mo = r X F Este tipo de multiplicación se le conoce como producto cruz de dos vectores y antes de seguir explicaremos como se resuelve. Sean los vectores cualquiera P = Pxi + Pyj + Pzk y Q = Qxi + Qyj + Qzk y se multiplican vectorial mente resultando un tercer vector V, todo lo mencionado anteriormente se expresa: V = P X Q. Esta multiplicación consiste en ubicar los dos vectores dentro de una determinante colocándolos en el orden siguiente respetando el orden de multiplicación de producto cruz:

V=

i Px Qx

 j Py Qy

k  Pz Qz

Empezamos resolviendo la columna de las i eliminado las columnas y multiplicando de manera cruzada, de esta manera obtenemos la componente en x del vector V.

= i (Py Qz – Pz Qy) Continuamos con j las para obtener la componente del vector V en y:

= - j (Px Qz - Pz Qx ) Por último con las k para obtener la componente de las Z:

= k (Px Qy – Py Qx)  Juntamos las componentes para representar el vector V. V = i (Py Qz – Pz Qy) - j (Px Qz - Pz Qx ) + k (Px Qy – Py Qx)

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Una vez que se conoce como se resuelve una multiplicación de dos vectores procederemos a analizar la formula Mo = r X F, donde r es un vector de distancia del punto donde se desea calcular el momento a un punto sobre la línea de acción de la fuerza. F obviamente es la fuerza representada en vector. Para que quede más claro resolvamos el ejercicio 7.2 pero de esta manera. Ejemplo 7.3 Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza que actúa en la siguiente figura sabiendo que θ = 30°.

Primer paso. Obtener vector r. Este vector se obtiene tomando las distancias que avanzamos sobre cada uno de los ejes para llegar del punto A a donde se aplica la fuerza. Nuestro vector r resultaría: . r = 8 ft i + 2 ft j Segundo paso. Representar la fuerza F en vector. Esta información ya la tenemos del ejemplo 7.2 cuando sacamos las componentes rectangulares. F = 34.64 lb i - 20 lb j  Tercer paso resolver producto cruz.

M A =

i 8 ft 34.64 lb

 j 2 ft - 20 lb

k  0ft 0lb

M A =i [ (2 ft)(0) – (0) (-20 lb)]- j [(8 ft)(0) – (0)(34.64 lb)] + k [(8 ft) (-20 lb) – (2 ft) (34.64

lb)] M A =i (0) – j (0) + k [(8 ft) (- 20 lb) – (2 ft) (34.64 lb)]

MA = -229.28 ft lb k

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Para ejercicios de tres dimensiones se sigue el mismo criterio la diferencia resulta que en tres dimensiones la fuerza se representa utilizando vector unitario o cosenos directores como lo practicamos en ejercicios de secciones anteriores.

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Ejercicios.-

7. 8 Un poste de 6 m está mantenido en pie por tres tirantes, según se indica. Hallar el momento respecto a O de la fuerza ejercida por el tirante BE en el punto B. Se sabe que la tensión en el tirante BE es de 210 kg.

R.

Mo

= 360i – 240j – 1260k m kg

7.9 El poste soporte una señal de tránsito que tiene una masa de 10 kg. Usando vectores cartesianos determine el momento del peso de la señal de tránsito con respecto a la base del poste en A. Considere d = 3 m y h = 4 m.

R. MA = (- 254.9i + 147.2j) N m

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7.10 El tubo circular tiene un radio de 3m. Si se aplica una fuerza determine el momento de esta fuerza con respecto al punto O.

F  =

80 N en el punto A,

R. Mo = (-128 i + 128 j – 257 k) N m

7.11 La fuerza F = 600 N i + 300 N j – 600 N k actúa al final de la barra. Determine el momento con respecto al punto A.

R. M A = (-720 i + 120 j – 660 k) N m

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