Cap 7 y 8 Ejercicios investigacion operaciones

286

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

El método para encontrar la solución óptima a un problema de PL, probando la utilidad o el nivel de costos en cada punto esquina de la región factible. La teoría de la PL establece que la solución óptima debe estar en uno de los puntos esquina. No acotamiento Condición que existe cuando una variable solución y la utilidad se pueden hacer infinitamente grandes, sin violar cualquiera de las restricciones del problema en un proceso de maximización. Precio sombra El aumento del valor de la función objetivo que resulta de un aumento de una unidad en el lado derecho de la restricción. Precio (valor) dual Mejoramiento en el valor de la función objetivo que resulta de aumentar una unidad en el lado derecho de esa restricción. Problema de mezcla de productos Problema común de PL que implica una decisión sobre qué productos debería fabricar una empresa dado que tiene recursos limitados. Programación lineal (PL) Técnica matemática utilizada para ayudar al gerente a decidir cómo hacer más efectivo el uso de los recursos de una organización. Programación matemática Categoría general de modelado matemático y técnicas de solución utilizadas para asignar recursos mientras optimiza una meta medible. La PL es un tipo de modelo de programación. Punto esquina o punto extremo Punto que se encuentra en una de las esquinas de la región factible, lo cual significa que se encuentra en la intersección de dos rectas de restricción. Recta de isocosto Línea recta que representa todas las combinaciones de X1 y X2 para un nivel de costo específico.

Método del punto esquina

Línea recta que representa todas las combinaciones no negativas de X1 y X2 para un nivel de utilidad particular. Redundancia Presencia de una o más restricciones que no afectan la región de solución factible. Región factible Área que satisface todas las restricciones de recursos del problema, es decir, la región donde se traslapan todas las restricciones. Todas las soluciones posibles al pro-blema se encuentran en la región factible. Restricción Limitación de los recursos disponibles para una empresa (expresada en la forma de una desigualdad o una ecuación). Restricción no precisa Restricción con una cantidad positiva de holgura o excedente para la solución óptima. Restricción precisa Restricción con holgura o excedente cero para la solución óptima. Restricciones de no negatividad Conjunto de restricciones que requiere que cada variable de decisión sea no negativa, es decir, cada Xi debe ser mayor que o igual a 0. Solución factible Un punto situado en la región factible. Básicamente, es cualquier punto que satisface todas las restricciones del problema. Solución no factible Cualquier punto que se encuentre fuera de la región factible. Viola una o más de las restricciones establecidas. Solución óptima múltiple o alternativa Situación en que es posible más de una solución óptima. Surge cuando la pendiente de la función objetivo es la misma que la pendiente de una restricción. Variable de decisión Una variable cuyo valor puede elegir quien toma la decisión. Recta de isoutilidad

Problemas resueltos Problema resuelto 7-1

Personal Mini Warehouses planea ampliar su exitoso negocio de Orlando hacia Tampa. Para hacerlo, la compañía debe determinar el número de almacenes de cada tamaño que tendría que construir. Su objetivo y sus restricciones son las siguientes: Maximizar las ganancias mensuales 5 50X1 1 20X2 sujetas a 2X1 + 4X2 … 400 (presupuesto disponible para publicidad) 100X1 + 50X2 … 8,000 (pies cuadrados requeridos) X1 … 60 (límite de renta esperado)

donde:

X1, X2 Ú

0

X1 5 número de espacios desarrollados grandes X2 5 número de espacios desarrollados pequeños Solución Una evaluación de los cinco puntos esquina en la gráfica adjunta indica que el punto esquina C genera ingresos mayores. Consulte la gráfica y la tabla.

PROBLEMAS RESUELTOS

PUNTO ESQUINA

VALORES DE X1, X2

A B C D E

287

VALOR DE LA FUNCIÓN OBJETIVO ($)

(0, 0)

0

(60, 0)

3,000

(60, 40)

3,800

(40, 80)

3,600

(0, 100)

2,000

X

2

X

1

≤

60

200

180

160 100X1 + 50

140

X

2

≤ 8,000

120

100

E D

80

60

40

20

A

Problema resuelto 7-2

C

Región

X

2

factible

1

+ 4

X

2

≤ 400

B 20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 220 240

X

1

La solución obtenida con QM para Windows en el problema resuelto 7-1 se da en el siguiente programa. Úselo para responder las siguientes preguntas. a) Para la solución óptima, ¿cuánto se gasta del presupuesto en publicidad? b) Para la solución óptima, ¿cuántos pies cuadrados se utilizarán? c) ¿Cambiaría la solución si el presupuesto fuera tan solo de $300 en vez de $400? d) ¿Cuál sería la solución óptima, si la utilidad de los espacios grandes se redujera de $50 a $45? e) ¿Cuánto aumentarían las ganancias si el requerimiento de pies cuadrados se incrementara de 8,000 a 9,000?

288

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

Solución a) En la solución óptima, X1 5 60 y X2 5 40. Usando estos valores en la primera restricción nos da:

2X1 + 4X2 = 21602 + 41402 = 280 Otra forma de encontrar esto es considerando la holgura: Holgura para la restricción 1 5 120 así, la cantidad usada es 400 2 120 5 280 b) Para la segunda restricción, tenemos: 100X1 1 50X2 5 100(60) 1 50(40) 5 8,000 pies cuadrados En vez de calcular esto, simplemente se observa que la holgura es 0, por lo que se utilizarán todos los 8,000 pies cuadrados. c) No, la solución no cambiaría. El precio dual es 0 y hay holgura disponible. El valor 300 se encuentra entre el límite inferior de 280 y el límite superior infinito. Tan solo podría cambiar la holgura para esta restricción. d) Puesto que el nuevo coeficiente de X1 se encuentra entre el límite inferior (40) y el límite superior (infinito), el punto esquina actual sigue siendo óptimo. Entonces, X1 5 60 y X2 5 40, y únicamente cambian los ingresos mensuales. Ingresos 5 45(60) 1 20(40) 5 $3,500 e) El precio dual para esta restricción es 0.4, y el límite superior es de 9,500. El aumento de 1,000 unidades se traducirá en un aumento en los ingresos de 1,000(0.4 por unidad) 5 $400. Problema resuelto 7-3

Resuelva gráficamente la siguiente formulación de PL, utilizando el método de la recta de isocosto: Minimizar costos = 24X1 + 28X2 sujeto a 5X1 + 4X2 … 2,000 X1 X1 + X2 X2 X1, X2

Ú Ú Ú Ú

80 300 100 0

PROBLEMAS RESUELTOS

289

Solución En seguida se presenta una gráfica de las cuatro restricciones. Las flechas indican la dirección de factibilidad de cada restricción. La siguiente gráfica ilustra la región de solución factible y las gráficas de las dos posibles rectas de costo de la función objetivo. La primera, $10,000, se seleccionó arbitrariamente como punto de partida. Para encontrar el punto esquina óptimo, se necesita mover a la recta del costo en la dirección de menor costo, es decir, hacia abajo y a la izquierda. El último punto donde una recta de costos toca la región factible, ya que se mueve hacia el origen, es el punto esquina D. De este modo D, que representa X1 5 200, X2 5 100, y un costo de $7,600, es óptimo. X

2

X

1

≥ 80

500

400

5

X

1

X

+ 4

2

≤ 2,000

300

X

1

+

X

2

≥ 300

200

X

100

0

80 100 200

300

400

2

≥ 100

X

500

1

X2

$10,000 = 24X1 + 28X 2

500

B

400 300 200

Región factible

A

C Recta de costo óptima 100 Solución $7,600 = 24X1 + 28X 2 D óptima 100 200 300 400 500 X1

Problema resuelto 7-4

Resuelva el siguiente problema, usando el método del punto esquina. Para la solución óptima, ¿cuánta holgura o excedente hay en cada restricción?

Maximizar utilidad sujeta a

=

30X1 + 40X2 4X1 + 2X2 … 16 2X1 - X2 Ú 2 X2 … 2 X1, X2 Ú 0

290

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

Solución La gráfica se presenta a continuación con la región factible sombreada.

PUNTO ESQUINA

COORDENADAS

A B C D

X1 5 1, X2 5 0 X1 5 4, X2 5 0 X1 5 3, X2 5 2 X1 5 2, X2 5 2

UTILIDAD ($) 30 120 170 140

La solución óptima es (3, 2). Para este punto,

4X1 + 2X2 = 4132 + 2122 = 16 Por lo tanto, la holgura 5 0 para la restricción 1. Asimismo, 2X1 - 1X2 = 2132 - 1122 = 4 7 2 Entonces, el excedente 5 4 2 2 5 2 para la restricción 2. Además, X2 = 2 Por lo tanto, holgura 5 0 para la restricción 3. X

2

8

7

4

6

X

1

1 2X ≤ 16 2

5

4

2

X

1

–

X

2

≥2

3

D

2

C

X

2

≤2

Región

1

factible

0

B

A

X

1

1

2

3

4

5

–1

–2

La utilidad óptima de $170 está en el punto esquina C.

AUTOEVALUACIÓN

291

Autoevaluación d

d d

Antes de resolver la autoevaluación, consulte los objetivos de aprendizaje al inicio del capítulo, las notas en los márgenes y el glosario del final del capítulo. Consulte la solución en la parte final del libro para corregir sus respuestas. Estudie de nuevo las páginas que correspondan a cualquier pregunta que haya contestado incorrectamente o al material con el que se sienta inseguro.

1. Cuando se utiliza un procedimiento de solución gráfica, la región limitada por el conjunto de restricciones se llama la a) solución. b) región factible. c) región no factible. d) región de utilidad máxima. e) ninguna de las anteriores. 2. En un problema de programación lineal, por lo menos un punto esquina debe ser la solución óptima, si existe una solución óptima. a) Verdadero. b) Falso. 3. Un problema de programación lineal tiene una región factible acotada. Si el problema tiene una restricción de igualdad (5), entonces, a) este debe ser un problema de minimización. b) la región factible debe constar de un segmento de recta. c) el problema debe ser degenerado. d) el problema debe tener más de una solución óptima. 4. ¿Cuál de las siguientes acciones causaría un cambio en la región factible? a) aumentar el coeficiente de la función objetivo en un problema de maximización. b) agregar una restricción redundante. c) cambiar el lado derecho de una restricción no redundante. d) aumentar el coeficiente de la función objetivo en un problema de minimización. 5. Si se elimina una restricción no redundante de un problema de programación lineal, entonces, a) la región factible se hará más grande. b) la región factible se volverá más pequeña. c) el problema sería no lineal. d) el problema sería no factible. 6. En la solución óptima de un problema de programación lineal, hay 20 unidades de holgura para una restricción. Por esto se sabe que a) el precio dual para esta restricción es de 20. b) el precio dual para esta restricción es 0. c) esta restricción debe ser redundante. d) el problema debe ser un problema de maximización. 7. Se resolvió un programa lineal y se efectuó el análisis de sensibilidad. Se encontraron los intervalos de los coeficientes de la función objetivo. Para la utilidad en X1, el límite superior es de 80, el límite inferior es de 60 y el valor actual es de 75. ¿Cuál de los siguientes enunciados debe ser verdadero, si la utilidad de esta variable se redujo a 70 y se encontró la solución óptima? a) un nuevo punto esquina será el óptimo. b) se puede aumentar la utilidad total máxima posible. c) los valores de todas las variables de decisión permanecerán constantes. d) todo lo anterior es posible.

8. Un método gráfico tan solo se debería utilizar para resolver un problema de programación lineal, cuando a) únicamente hay dos restricciones. b) hay más de dos restricciones. c) solamente hay dos variables. d) hay más de dos variables. 9. En la PL, las variables no tienen que ser valores enteros y pueden tomar cualquier valor fraccionario. Esta suposición se llama a) proporcionalidad. b) divisibilidad. c) adición. d) certeza. 10. En la solución de un problema de programación lineal, no existe solución factible. Para resolver este problema, se podría a) agregar otra variable. b) agregar otra restricción. c) eliminar o relajar una restricción. d) intentar con otro programa de cómputo. 11. Si la región factible se hace más grande debido a un cambio en una de las restricciones, el valor óptimo de la función objetivo a) debe aumentar o permanecer constante para un problema de maximización. b) debe disminuir o permanecer constante para un problema de maximización. c) debe aumentar o permanecer constante para un problema de minimización. d) no puede cambiar. 12. Cuando existen soluciones múltiples óptimas en un problema de programación lineal, entonces, a) la función objetivo será paralela a una de las restricciones. b) una de las restricciones es redundante. c) dos restricciones serán paralelas. d) el problema también será ilimitado. 13. Si un programa lineal es no acotado, quizás el problema no se haya formulado correctamente. ¿Cuál de las siguientes sería la causa más probable de ello? a) una restricción fue omitida inadvertidamente. b) se agregó una restricción innecesaria al problema. c) los coeficientes de la función objetivo son demasiado grandes. d) los coeficientes de la función objetivo son demasiado pequeños. 14. Una solución factible a un problema de PL a) debe cumplir simultáneamente con todas las restricciones del problema. b) no es necesario que cumpla con todas las restricciones, tan solo con algunas de ellas. c) debe ser un punto esquina de la región factible. d) debe dar la utilidad máxima posible.

292

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

Preguntas y problemas para análisis Preguntas para análisis

7-1 Analice las similitudes y las diferencias entre los problemas de minimización y de maximización, con los métodos de solución gráfica de PL. 7-2 Es importante entender las suposiciones subyacentes al uso de cualquier modelo de análisis cuantitativo. ¿Cuáles son las suposiciones y los requisitos para un modelo de PL que deben formularse y utilizarse? 7-3 Se ha dicho que cada problema de programación lineal con una región factible tiene un número infinito de soluciones. Explique su respuesta. 7-4 Usted acaba de formular un problema de programación lineal de maximización y se está preparando para resolverlo de forma gráfica. ¿Qué criterios debería tener en cuenta, para decidir si sería más fácil resolver el problema con el método del punto esquina o con el método de la recta de isoutilidad? 7-5 ¿En qué condiciones es posible que un problema de programación lineal tenga más de una solución óptima? 7-6 Desarrolle su propio conjunto de ecuaciones de restricción y desigualdades, y utilícelas para ilustrar gráficamente cada una de las siguientes condiciones: a) un problema no acotado. b) un problema no factible. c) un problema que contiene restricciones redundantes. 7-7 El gerente de producción de una gran empresa de manufactura en Cincinnati declaró una vez lo siguiente: “Me gustaría usar PL, pero es una técnica que opera en condiciones de certeza. Mi planta no tiene certezas: es un mundo de incertidumbre. De manera que la PL no se puede utilizar aquí”. ¿Cree que esta afirmación tiene algún mérito? Explique por qué el gerente pudo haberlo dicho. 7-8 Las siguientes relaciones matemáticas se formularon por un analista de investigación de operaciones en la compañía de sustancias químicas Smith-Lawton. ¿Cuáles son inválidas para su uso en un problema de PL, y por qué? Maximizar utilidad = 4X1 + 3X1X2 + 8X2 + 5X3 sujeta a 2X1 + X2 + 2X3 … 50 Ú 6 3X3 Ú 21 0.35X3 = 17 5X1 + 4X2 + 3 2X3 … 80 -X1 - X2 + X3 = 5 7-9 Discuta el rol del análisis de sensibilidad en la PL. ¿En qué circunstancias es necesario, y en qué condiciones cree usted que no sea necesario? X1

1.5X21

- 4X2 + 6X2 + 19X2 -

7-10 Un programa lineal tiene el objetivo de maximizar la utilidad 5 12X 1 8Y. La utilidad máxima es de $8,000. Usando una computadora se encuentra que el límite superior para la utilidad de X es 20 y el límite inferior es 9. Analice los cambios a la solución óptima (los valores de las variables y la utilidad) que se producirían si la utilidad de X se incrementara a $15. ¿Cómo cambiaría la solución óptima si la utilidad de X se incrementara a $25? 7-11 Un programa lineal tiene una utilidad máxima de $600. Una restricción de este problema es 4X 1 2Y # 80. Usando una computadora se encuentra que el precio dual para esta restricción es 3, y que hay un límite inferior de 75 y un límite superior de 100. Explique qué significa esto. 7-12 Desarrolle su propio problema de PL original con dos restricciones y dos variables reales. a) Explique el significado de los números en el lado derecho de cada una de sus restricciones. b) Explique la importancia de los coeficientes tecnológicos. c) Resuelva gráficamente el problema para encontrar la solución óptima. d) Ilustre gráficamente el efecto de aumentar la tasa de contribución de la primera variable (X1) en 50% sobre el valor que le asignó la primera vez. ¿Cambia esto la solución óptima? 7-13 Explique cómo un cambio en un coeficiente tecnológico puede afectar la solución óptima de un problema. ¿Cómo puede un cambio en la disponibilidad de recursos afectar una solución? Problemas

7-14 La corporación Electrocomp fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y ventiladores de gran tamaño. El proceso de ensamblado para cada uno es similar en tanto que requieren una cierta cantidad de cableado y de perforación. Cada acondicionador de aire tarda 3 horas de cableado y 2 horas de perforación. Cada ventilador tiene que pasar por 2 horas de cableado y 1 hora de perforación. En el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de cableado y hasta 140 horas de tiempo de perforación que se pueden utilizar. Cada aparato de acondicionador de aire vendido genera una utilidad de $25. Cada ventilador ensamblado se puede vender con una utilidad de $15. Formule y resuelva esta situación de la mezcla producción de PL para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que genera la mayor utilidad. Use el método gráfico de punto esquina. 7-15 La gerencia de Electrocomp se da cuenta que olvidó incluir dos restricciones fundamentales (véase el problema 7-14). En particular, la gerencia decide que debería haber un número mínimo de equipos de acondi-

Nota: significa que el problema se resuelve con QM para Windows; indica que el problema se resuelve con Excel; y quiere decir que el problema se resuelve con QM para Windows y/o Excel.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS

7-16

7-17

7-18

7-19

cionador de aire producidos con la finalidad de cumplir un contrato. Además, debido a un exceso de oferta de ventiladores en el periodo anterior, se debería poner un límite en el número total de ventiladores producidos. a) Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 20 acondicionadores de aire, pero no más de 80 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima? ¿Cuánta holgura hay para cada una de las cuatro restricciones? b) Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 30 acondicionadores de aire, pero no más de 50 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima? ¿Cuánta holgura hay en cada una de las cuatro restricciones en la solución óptima? El candidato a la alcaldía en un pequeño pueblo asignó $40,000 para propaganda de último minuto en los días anteriores a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a unas 3,000 personas. Cada anuncio de televisión cuesta $500 y llega a un estimado de 7,000 personas. En la planeación de la campaña de propaganda, la jefa de la campaña quiere llegar a tantas personas como sea posible, aunque ha establecido que se deben utilizar al menos 10 anuncios de cada tipo. Asimismo, el número de anuncios de radio debe ser al menos tan grande como el número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberían utilizar? ¿A cuántas personas llegarán? La corporación Outdoor Furniture fabrica dos productos, bancos y mesas de picnic, para su uso en jardines y parques. La empresa cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (mano de obra) y el suministro de madera de secoya para fabricar muebles. Durante el siguiente ciclo de producción están disponibles 1,200 horas de mano de obra de acuerdo con el sindicato. La empresa también cuenta con un inventario de 3,500 pies de secoya de buena calidad. Cada banco que produce Outdoor Furniture requiere de 4 horas de mano de obra y de 10 pies de secoya, en tanto que cada mesa de picnic toma 6 horas de mano de obra y 35 pies de secoya. Los bancos terminados darán una utilidad de $9 cada uno; y las mesas una utilidad de $20 cada una. ¿Cuántos bancos y mesas debería fabricar Outdoor Furniture para obtener la mayor utilidad posible? Utilice el método gráfico de la PL. El decano del Western College of Business debe planear la oferta de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen que sea necesario ofrecer un mínimo de 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado durante el semestre. Los contratos de los profesores también dictan que se ofrezcan al menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido cuesta a la universidad un promedio de $2,500 en salarios de docentes, y cada curso de posgrado cuesta $3,000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado se deberían impartir en otoño, de manera que los salarios totales del profesorado se reduzcan al mínimo? La corporación MSA Computer fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La empresa contrata a cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada mes,

293

en su línea de ensamble. La gerencia insiste en que se mantenga pleno empleo (es decir, las 160 horas de tiempo) para cada trabajador durante las operaciones del siguiente mes. Se requiere 20 horas de trabajo para ensamblar cada equipo Alpha 4 y 25 horas de trabajo para ensamblar cada modelo Beta 5. MSA desea producir al menos 10 Alfa 4 y por lo menos 15 Beta 5 durante el periodo de producción. Las Alfa 4 generan $1,200 de utilidad por unidad, y las Beta 5 producen $1,800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el próximo mes. 7-20 El ganador de la lotería de Texas ha decidido invertir $50,000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una empresa petroquímica y de una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener el mayor rendimiento posible, está considerando el riesgo que implica la compra de las acciones. Un índice de riesgo en una escala de 1-10 (donde 10 es el más riesgoso) se asigna a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolios se encuentra al multiplicar el riesgo de cada una de las acciones por el dinero invertido en esa acción. La siguiente tabla proporciona un resumen de la rentabilidad y el riesgo: ACCIÓN Petroquímica Servicios públicos

RENDIMIENTO ESTIMADO 12% 6%

ÍNDICE DE RIESGO 9 4

El inversionista quiere maximizar el rendimiento sobre la inversión, pero el índice de riesgo promedio de la inversión no debería ser mayor a 6. ¿Cuánto debería invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? 7-21 Con referencia a la situación de la lotería de Texas del problema 7-20, supongamos que el inversionista ha cambiado su actitud respecto a la inversión y desea considerar más el riesgo de la inversión. Ahora el inversionista desea minimizar el riesgo de la inversión, siempre y cuando se genere al menos 8% de rendimiento. Formule esto como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto se debería invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? 7-22 Resuelva el siguiente problema de PL utilizando el método gráfico del punto esquina. En la solución óptima, calcule la holgura para cada restricción:

Maximizar la utilidad sujeta a

= 4X 3X X 5X

+ 4Y + 5Y - 2Y + 3Y X, Y

… … … Ú

150 10 150 0

294

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

7-23 Considere esta formulación de PL: Minimizar el costo = $ X + 2Y sujeto a

X + 3Y Ú 90 + 2Y Ú 160 + 2Y Ú 120 Y … 70 X, Y Ú 0

8X 3X

Muestre gráficamente la región factible y aplique el procedimiento de la recta de isocosto, para indicar qué punto esquina genera la solución óptima. ¿Cuál es el costo de esta solución? 7-24 La casa de bolsa Blank, Leibowitz and Weinberger analizó y recomendó dos acciones a un club de inversionistas de profesores de la universidad. Los profesores estaban interesados en factores tales como el crecimiento a corto plazo, el crecimiento intermedio y las tasas de dividendos. Los datos de cada acción son los siguientes: ACCIÓN ($) FACTOR

LOUISIANA GAS AND POWER

TRIMEX INSULATION COMPANY

.36

.24

1.67

1.50

Potencial de crecimiento a corto plazo por dólar invertido Potencial de crecimiento intermedio (en los siguientes tres años) por dólar invertido Potencial de tasa de dividendos

4%

8%

Cada miembro del club tiene una meta de inversión de: una ganancia de no menos de $720 a corto plazo, una ganancia de al menos $5,000 en los siguientes tres años, y un ingreso por dividendos de al menos $200 anuales. ¿Cuál es la inversión más pequeña que puede hacer un profesor para alcanzar estas tres metas? 7-25 Woofer Pet Foods elabora un alimento bajo en calorías para perros con condición de sobrepeso. Este producto está hecho con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90, y cada libra de grano cuesta $0.60. Una libra de alimento para perro debe contener al menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne de res contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de grano tiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Formule este como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perro. ¿Cuántas libras de carne y de granos se deberían incluir en cada libra de alimento para perro? ¿Cuáles son el costo y el contenido de vitaminas del producto final? 7-26 El rendimiento estacional de las aceitunas de un viñedo de Pireo, Grecia, está muy influido por el proceso de la poda de las ramas. Si los olivos se podan cada dos se1. 2.

3.

manas, la producción aumenta. Sin embargo, el proceso de poda requiere considerablemente más mano de obra que permitir que los olivos crezcan por sí mismos y den como resultado una aceituna de menor tamaño. También, permitiría que los olivos estén más cercanos. La producción de 1 barril de aceitunas mediante la poda requiere 5 horas de trabajo y un acre de terreno. La producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal requiere tan solo 2 horas de trabajo, pero 2 acres de terreno. Un oleicultor dispone de 250 horas de mano de obra y un total de 150 acres para el cultivo. Debido a la diferencia de tamaño, 1 barril de aceitunas producidas en los árboles podados se vende por $20, mientras que un barril de aceitunas regulares tiene un precio de mercado de $30. El oleicultor ha determinado que debido a la incertidumbre de la demanda, se deben producir no más de 40 barriles de aceitunas de árboles podados. Use la PL gráfica para encontrar a) la utilidad máxima posible. b) la mejor combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y no podados. c) el número de acres que el oleicultor debería dedicar a cada proceso de crecimiento. 7-27 Considere las siguientes cuatro formulaciones de PL. Usando un método gráfico, determine a) que formulación tiene más de una solución óptima. b) que formulación es no acotada. c) que formulación no tiene una solución factible. d) que formulación es correcta como está. Formulación 1

Maximizar 10X1 2X1 2X1

sujeta a

+

10X2

… 10 + 4X2 … 16 4X2 … 8 X1 = 6

Formulación 2

Maximizar X1 + 2X2 sujeta a X1 … 1

2X2 2X2

Maximizar 3X1

sujeta a

+ 2X2 X1 + X2 Ú 5 X1 Ú 2 2X2 Ú 8

Formulación 4

Maximizar 3X1 + 3X2 sujeta a 4X1 + 6X2 … 48

12 X1 + 3 2 7-28 Grafique el siguiente problema de PL e indique el punto de solución óptima: Maximizar la utilidad = $3X + $2Y sujeta a 2X + Y … 150 2X + 3Y … 300 a) ¿Cambiaría la solución óptima si la utilidad por unidad de X cambia a $4.50? b) ¿Qué sucede si la función de utilidad hubiera sido $3X + $3Y? 7-29 Gráficamente analice el siguiente problema: Maximizar la utilidad = $4X + $6Y sujeta a X + 2Y … 8 horas 6X + 4Y … 24 horas … …

2 2

Formulación 3

4X1

+ 2X2 … 3X2 Ú Ú 2X1

PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS

) ¿Cuál es la solución óptima? ) Si la primera restricción se modifica como 1 3 # 8, ¿cambiarían la región factible o la solución óptima? 7-30 Examine la formulación de PL en el problema 7-29. La segunda restricción del problema indica: 6 1 4 # 24 horas (tiempo disponible en la máquina 2) Si la empresa decide que 36 horas de tiempo pueden estar disponibles en la máquina 2 (es decir, 12 horas adicionales) a un costo adicional de $10, ¿deberían agregar horas? 7-31 Considere el siguiente problema de PL: a b

X

X

Y

Y

Maximizar utilidad

= 5X + 6Y 2X + Y … 2X + 3 Y … X, Y Ú

120 240 0 ) ¿Cuál es la solución óptima para este problema? Resuélvalo gráficamente. ) Si se produjo un gran avance técnico que elevó la utilidad por unidad de a $8, ¿afectaría esto la solución óptima? ) En vez de un aumento en el coeficiente de utilidad a $ 8, suponga que la utilidad se sobreestimó y tan solo debería haber sido de $3. ¿Cambia esto la solución óptima? 7-32 Considere la formulación de PL dada en el problema 7.31. Si la segunda restricción se cambia de 2 1 3 # 240 a 2 1 4 # 240, ¿qué efecto tendrá este cambio en la solución óptima? 7-33 El resultado de computadora que se presenta a continuación es para el problema 7.31. Úselo para contestar las siguientes preguntas. ) ¿Cuánto podría aumentar o disminuir la utilidad de sin necesidad de cambiar los valores de y de en la solución óptima? ) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 1 unidad, ¿cuánto aumentaría la utilidad? sujeta a

a

b

) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 10 unidades, ¿cuánto aumentaría la utilidad? 7-34 Los resultados por computadora que se muestran en la siguiente página son de un problema de mezcla de productos donde hay dos productos y tres restricciones de recursos. Utilice tales resultados para ayudarle a responder las siguientes preguntas. Suponga que desea maximizar las utilidades en cada caso. ) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberían producir? ) ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando? ¿Cuánta holgura hay en cada restricción? ¿Cuáles restricciones son obligatorias, y cuáles no son obligatorias? ) ¿Cuáles son los precios duales para cada recurso? ) Si se pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esto? ) ¿Qué le pasaría a la utilidad sí, con los resultados originales, la gerencia decidiera elaborar una unidad más del producto 2? 7-35 Resuelva gráficamente el siguiente problema: c

a

b

c

d

e

Maximizar la utilidad sujeta a

X

c

X

X

X

Y

Y

a

X,

b

Resultado del problema 7-33

X

Y

295

= 8X1 + 5X2 X1 + X2 … 10 X1 … 6 X1, X2 Ú 0

) ¿Cuál es la solución óptima? ) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto aumenta la utilidad como consecuencia de esto? ) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuyen las utilidades como resultado de esto? Examine la gráfica, ¿qué sucedería si el valor del lado derecho se reduce por debajo de 6? ) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en vez de 10) y resuelva el problema.

a b

c

d

296

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

Resultados para el problema 7-34

Resultados para el problema 7-35

¿Cuánto disminuye la utilidad con respecto a la utilidad original como resultado de esto? ) Utilizando los resultados por computadora de esta página, ¿cuál es el precio dual de la restricción 1? ¿Cuál es su límite inferior? ) ¿Qué conclusiones se obtienen de estos resultados con respecto a los límites de los valores del lado derecho y al precio dual?

e

f

7-36 Serendipity* Los tres príncipes de Serendip hicieron un pequeño viaje. No podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron dudar. Planearon llevar pequeñas cantidades. Cuando regresaron a Ceilán

descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su alegría, el príncipe William encontró un montón de cocos en el suelo. “Cada uno aportará 60 rupias”, dijo el príncipe Richard con una sonrisa. Como casi se tropieza con una piel de león. “¡Cuidado!”, grito el príncipe Robert con alegría cuando observó más pieles de león debajo de un árbol. “Estas valen aún más: 300 rupias cada una. Si tan solo pudiéramos llevarlas todas a la playa”. Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero cargaron todo y lo hicieron con ánimo. El barco para regresar a la isla era muy pequeño

*La palabra serendipity fue acuñada por el escritor inglés Horace Walpole con base en un cuento de hadas titulado Los tres príncipes de Serendip. Se desconoce el

origen del problema.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS

15 pies cúbicos de capacidad de equipaje, eso era todo. Cada piel de león ocupó un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo guardado se hicieron a la mar y en el trayecto calculaban lo que su nueva riqueza podría ser. “¡Eureka!”, gritó el príncipe Robert, “Nuestra riqueza es tan grande que no hay otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora sé que voy a escribir, a mi amigo Horacio, en Inglaterra, porque seguramente tan solo él puede apreciar nuestro serendipity”. Formule y resuelva Serendipity con PL gráfica para calcular “cuál podría ser su nueva riqueza”. 7-37 A Inversiones Bhavika, un grupo de asesores financieros y planeadores de jubilación, se le ha pedido que aconseje a uno de sus clientes cómo invertir $200,000. El cliente ha estipulado que el dinero se debe poner en cualquier fondo de acciones o de mercado monetario, y que el rendimiento anual debería ser de al menos de $14,000. También se le han especificado otras condiciones relacionadas con el riesgo, y se desarrolló el siguiente programa lineal para ayudar con esta decisión de inversión.

Minimizar el riesgo = 12S + 5M sujeto a S + M = 200,000 la inversión total es de $200,000 0.10S + 0.05M Ú 14,000 el rendimiento debe ser al menos de $14,000 M Ú 40,000 al menos $ 40,000 deben estar en fondos del mercado monetario S, M Ú 0 donde S 5 dólares invertidos en el fondo de acciones M 5 dólares invertidos en fondos del mercado monetario Resultados para el problema 7-37

297

En la parte inferior se muestran los resultados en QM para Windows. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el riesgo total? b) ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? c) ¿Cambiaría la solución si la medida de riesgo de cada dólar en el fondo de acciones fuera de 14 en vez de 12? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es el cambio en el riesgo? e) ¿Podría cambiar la solución si la cantidad que se deba invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000? 7-38 Consulte el caso de Inversiones Bhavika (problema 7-37), una vez más. Se ha decidido que, en vez de minimizar el riesgo, el objetivo debería ser maximizar el rendimiento, haciendo una restricción a la cantidad del riesgo. El riesgo promedio no debería ser de más de 11 (con un riesgo total de 2,200,000 de los $200,000 invertidos). Se reformuló el programa lineal, y los resultados QM para Windows se muestran en la siguiente página. a) ¿Cuánto dinero se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? b) ¿Cuál es el riesgo total? ¿Cuál es el riesgo promedio? c) ¿Cambiaría la solución, si el rendimiento por cada dólar en el fondo de acciones fuera de 0.09 en vez de 0.10? d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es la tasa de rendimiento marginal? e) ¿Cuál sería el cambio de la rentabilidad total, si la cantidad que se debe invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000? Los problemas 7-39 a 7-44 prueban su capacidad para formular problemas de PL que tienen más de dos variables. No se pueden resolver gráficamente, pero le dará una oportunidad de formular un problema más grande. 7-39 El rancho Feed ‘N Ship engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de carne en

298

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

Resultados para el problema 7-38

Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho intentan determinar las cantidades de alimento para el ganado a comprar, de manera que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se reduzcan al mínimo los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos puede estar formada por tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:

DEPARTAMENTO

UTILIDAD PRODUCTO CABLEADO PERFORACIÓN ENSAMBLE INSPECCIÓN POR UNIDAD ($) XJ201

0.5

0.3

0.2

0.5

9

XM897

1.5

1

4

1

12

TR29

1.5

2

1

0.5

15

BR788

1

3

2

0.5

11

ALIMENTO (OZ.) INGREDIENTE

A B C D

MEZCLA X

3 2 1 6

MEZCLA Y

2 3 0 8

MEZCLA Z

4 1 2 4

El costo por libra de las mezclas X, Y y Z es de $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mensual mínimo por vaca es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del ingrediente B, 1 libra de ingrediente C y 8 libras de ingrediente D. El rancho enfrenta una restricción adicional: tan solo puede obtener 500 libras mensuales de la mezcla Z del proveedor de alimento, independientemente de su necesidad. Como en general hay 100 vacas en el rancho Feed ‘N Ship en un momento dado, esto significa que no se pueden contar con más de 5 libras de la mezcla Z para su uso en la alimentación mensual de cada vaca. a) Formule esto como un problema de PL. b) Resuelva usando software de PL. 7-40 La corporación de Weinberger Electronics fabrica cuatro productos muy avanzados que vende a empresas aeroespaciales que tienen contratos con la NASA. Cada uno de los productos debe pasar por los siguientes departamentos antes de que se envíen: cableado, perforación, ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas para cada unidad producida y su correspondiente valor de utilidad se resumen la siguiente tabla:

La producción mensual disponible en cada departamento y el requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los contratos son los siguientes:

CAPACIDAD DEPARTAMENTO (HORAS)

Cableado Perforación Ensamble Inspección

15,000 17,000 26,000 12,000

PRODUCTO

NIVEL DE PRODUCCIÓN MÍNIMO

XJ201 XM897 TR29 BR788

150 100 300 400

El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los niveles de producción de cada producto para el siguiente mes. Ayúdelo a formular (es decir, a establecer las restricciones y la función objetivo) el problema de Weinberger con PL. 7-41 Outdoor Inn, un fabricante de equipo para campamento en el sur de Utah, está desarrollando un programa de producción para un tipo popular de tienda de campaña, la Doble Inn. Se han recibido 180 pedidos que se entregarán a finales de este mes, 220 se entregarán a finales del próximo mes, y 240 que se entregarán al final del tercer mes. Esta tienda de campaña se pueden fabricar a un costo de $120, y el número máximo de tiendas de campaña que se pueden fabricar en un mes es de 230. La compañía puede fabricar algunas tiendas de cam-

PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS

paña extra en un mes y mantenerlas en el almacén hasta el mes siguiente. El costo por mantener estas en el inventario durante 1 mes se estima en $6 por tienda, por cada unidad dejada hasta final del mes. Formule este como un problema de PL para minimizar los costos y, al mismo tiempo, satisfacer la demanda y que no se exceda la capacidad de producción mensual. Resuélvalo utilizando cualquier software. (Sugerencia: Defina las variables que representan el número de tiendas de campaña que quedan a final de cada mes). 7-42 Outdoors Inn (véase el problema 7-41) amplió por un periodo más largo sus operaciones de elaborar tiendas de campaña. Aunque aún fabrica la tienda Double Inn, también está haciendo una tienda más grande, la Family Rolls, que tiene cuatro secciones interiores. La compañía puede producir hasta un total mensual combinado de 280 tiendas. La siguiente tabla muestra la demanda que debe cumplir y los costos de producción para los próximos 3 meses. Observe que los costos aumentarán en el mes 2. El costo por mantenimiento para tener una tienda de campaña en el inventario a fines de mes para su uso en el mes siguiente se estima en $6 por tienda Double Inn y $8 por tienda Family Rolls. Desarrolle un programa lineal para minimizar el costo total. Resuélvalo utilizando cualquier software.

MES

1 2 3

DEMANDA COSTO DE DEMANDA COSTO DE PARA LA PRODUCIR PARA LA PRODUCIR DOBLE LA DOUBLE FAMILY LA FAMILY INN INN ROLLS ROLLS

185 205 225

$120 $130 $130

60 70 65

$150 $160 $160

7-43 La corporación Modem of America (CMA) es el mayor productor del mundo de dispositivos de comunicación por módem para microcomputadoras. CMA vendió 9,000 del modelo regular y 10,400 del modelo “inteligente” en este mes de septiembre. Su estado de resultados del mes se presenta en la siguiente tabla. Los costos presentados son típicos de meses anteriores y se espera que permanezcan en los mismos niveles en un futuro próximo. La empresa se enfrenta a varias restricciones conforme prepara su plan de producción de noviembre. En primer lugar, ha experimentado una gran demanda y no ha sido capaz de mantener un inventario significativo en existencia. No se espera que cambie esta situación. En segundo lugar, la empresa está ubicada en un pequeño poblado de Iowa, donde no hay mano de obra adicional disponible. Sin embargo, los trabajadores se pueden alternar de la producción de un módem a otro. Para fabricar los 9,000 módem regulares en septiembre se requirieron 5,000 horas de mano de obra directa. Los 10,400 módem inteligentes absorbieron 10,400 horas de mano de obra directa.

299

TABLA PARA EL PROBLEMA 7-43

Estado de resultados de fin de mes al 30 de septiembre, CMA MÓDEMS MÓDEMS REGULARES INTELIGENTES Ventas $450,000 $640,000 Menos: Descuentos 10,000 15,000 Devoluciones 12,000 9,500 Reemplazos por garantía 4,000 2,500 Ventas totales $424,000 $613,000 Costos totales Mano de obra directa 60,000 76,800 Mano de obra indirecta 9,000 11,520 Costo de materiales 90,000 128,000 Depreciación 40,000 50,800 Costo de ventas $199,000 $267,120 Utilidad bruta $225,000 $345,880 Gastos de ventas y generales Gastos generales: variables 30,000 35,000 Gastos generales: fijos 36,000 40,000 Publicidad 28,000 25,000 Comisiones por ventas 31,000 60,000 Costo operativo total $125,000 $160,000 Ingresos antes de impuestos $100,000 $185,880 Impuestos sobre ingresos (25%) 25,000 46,470 Ingreso neto $ 75,000 $139,410

En tercer lugar, CMA está experimentando un problema que afecta el modelo de módem inteligente: su proveedor de componentes tan solo puede garantizar 8,000 microprocesadores para entrega en noviembre. Cada módem inteligente requiere uno de estos microprocesadores de fabricación especial. No hay proveedores alternos disponibles con poca antelación. CMA quiere planear la combinación óptima de los dos modelos de módem para producir en noviembre, con la finalidad de maximizar sus utilidades. a) Usando datos de septiembre, formule el problema de CMA como un programa lineal. b) Resuelva gráficamente el problema. c) Analice las implicaciones de su solución recomendada. 7-44 Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la George Washington Universities, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio fertilizante, llamado “Golding-Grow”, el cual consiste en cuatro compuestos químicos: C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por libra de cada compuesto: COMPUESTO QUÍMICO

COSTO POR LIBRA ($)

C-30 C-92 D-21 E-11

0.12 0.09 0.11 0.04

300

CAPÍTULO 7 • MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODOS GRÁFICOS Y POR COMPUTADORA

Las especificaciones del Golding-Grow son las siguientes: 1. E-11 debe constituir al menos el 15% de la mezcla; 2. C-92 y C-30 en conjunto deben constituir al menos el 45% de la mezcla; 3. D-21 y C-92 en conjunto pueden constituir no más del 30% de la mezcla; y 4. Golding-Grow se empaqueta y se vende en bolsas de 50 libras. a) Formule un problema de programación lineal para determinar qué mezcla de los cuatro productos químicos permitirá a Golding minimizar el costo de una bolsa de 50 libras del fertilizante. b) Resuélvalo usando una computadora para encontrar la mejor solución. 7-45 Raptor Fuels produce tres tipos de gasolina: regular, premium y súper. Todas ellas se producen al mezclar dos tipos de petróleo, crudo A y crudo B. Los dos tipos de crudo contienen ingredientes específicos que ayudan a determinar el octanaje de la gasolina. Los ingredientes importantes y los costos están contenidos en la siguiente tabla:

Costo por galón Ingrediente 1 Otros ingredientes

CRUDO A

CRUDO B

$0.42 40% 60%

$0.47 52% 48%

Con la finalidad de alcanzar el octanaje deseado, al menos 41% de la gasolina regular debería ser del ingrediente 1; al menos 44% de la gasolina premium debe ser del ingrediente 1, y por lo menos 48% de la gasolina súper debe ser del ingrediente 1. Debido a compromisos contractuales vigentes, Raptor Fuels tiene que producir al menos 20,000 galones de regular, al menos 15,000 galones de Premium y al menos 10,000 galones de súper. Formule un programa lineal que se podría utilizar para determinar la cantidad de crudo A y de crudo B, que se debería utilizar en cada una de las gasolinas, para satisfacer la demanda con el costo mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo? ¿Qué cantidad de crudo A y de crudo B se utiliza en cada galón de los diferentes tipos de gasolina?

Problemas de tarea en Internet Visite nuestra página en Internet, en www.pearsonenespañol.com/render, para problemas de tarea adicionales, problemas 7-46 a 7-50.

Estudio de caso Mexicana Wire Works

Ron García se sintió bien en su primera semana como aprendiz administrativo en Mexicana Wire Winding, Inc. Aún no había desarrollado ningún conocimiento técnico sobre el proceso de fabricación, pero había recorrido toda la planta, ubicada en los suburbios de la ciudad de México, y conoció a muchas personas en diversas áreas operativas. Mexicana, una subsidiaria de Westover Wire Works, una empresa de Texas, es un fabricante de tamaño medio de bobinas de alambre utilizadas en la fabricación de transformadores eléctricos. Carlos Álvarez, el gerente de control de producción, describió el embobinado a García como de diseño estandarizado. La visita de García a la planta, distribuida por tipo de proceso (véase la figura 7.20), siguió la secuencia de fabricación de bobinas: estirado, extrusión, embobinado, inspección y embalaje. Después de la inspección, el producto bueno se empaca y se envía al almacén de productos terminados; el producto defectuoso se almacena por separado hasta que pueda reprocesarse. El 8 de marzo, Vivian España, la gerente general de Mexicana, se detuvo en la oficina de García y le pidió que asistiera a una junta de personal a la 1:00 P.M. “Empecemos con el negocio en cuestión”, dijo Vivian, al iniciar la junta. “Todos ustedes ya se han reunido con Ron García, nuestro nuevo gerente en capacitación. Ron estudió adminis-

tración de operaciones en su programa de maestría en el sur de California, así que creo que es competente para que nos ayude con un problema que hemos estado analizando durante mucho tiempo sin poder resolverlo. Estoy segura de que cada miembro de mi personal dará a Ron su total cooperación”. Vivian se dirigió a José Arroyo, gerente de control de producción: “José, ¿por qué no describes el problema que enfrentamos?”. “Bien”, dijo José, “el negocio marcha muy bien en este momento. Estamos registrando más pedidos de los que podemos cumplir. Tendremos algunos equipos nuevos en línea en los próximos meses, que se encargarán de los problemas de capacidad, pero eso no nos ayudará en abril. He localizado a unos empleados jubilados que trabajaron en el departamento de estirado, y tengo la intención de contratarlos como empleados temporales en abril, para aumentar la capacidad de ese departamento. Debido a que estamos planeando refinanciar nuestra deuda a largo plazo, Vivian quiere que nuestras utilidades de abril sean tan buenas como sea posible. Estoy teniendo dificultades para decidir qué órdenes ejecutar y cuáles poner en espera, de manera que el resultado final sea el mejor posible. ¿Puedes ayudarme con esto?”. García se sintió sorprendido y temeroso de recibir una tarea tan importante y de alto perfil tan pronto en su carrera. Recuperán-

301

ESTUDIO DE CASO

FIGURA 7.20 Mexicana Wire Winding, Inc.

Oficina

Estirado de alambre

Almacén de producto terminado

Embalaje

Departamento de reprocesamiento

Embobinado

Recepción y almacenamiento de materia prima

Almacén de producto rechazado

Extrusión Inspección

dose rápidamente, dijo: “Dame tus datos y déjame trabajar con esto durante un par de días”.

Órdenes de abril 1,400 unidades 250 unidades 1,510 unidades 1,116 unidades

Vivian España dio su palabra a un cliente clave de que va a fabricar 600 unidades del producto W0007X y 150 unidades del producto W0075C para él durante abril. Nota:

Costo estándar

W0075C W0033C W0005X W0007X

$33.00 25.00 35.00 75.00

ESTIRADO EXTRUSIÓN EMBOBINADO EMBALAJE 4,000

Producto W0075C Producto W0033C Producto W0005X Producto W0007X

PRODUCTO MATERIAL

Capacidad de la planta (horas)

MANO DE COSTOS PRECIO DE OBRA GENERALES VENTA

$ 9.90 7.50 10.50 11.25

$23.10 17.50 24.50 63.75

$100.00 80.00 130.00 175.00

Datos operativos seleccionados Producción promedio por mes 5 2,400 unidades Utilización promedio de máquinas 5 63% Porcentaje promedio de producción del departamento de reprocesamiento 5 5% (básicamente del departamento de embobinado) Número promedio de unidades rechazadas en espera de reprocesamiento 5 850 (sobre todo del departamento de embobinado)

4,200

2,000

2,300

La capacidad de inspección no es un problema; se pueden trabajar horas extras, cuando sea necesario, para adaptarse a cualquier horario.

Nota:

Costos de mano de obra (horas/unidad) PRODUCTO ESTIRADO EXTRUSIÓN EMBOBINADO EMBALAJE W0075C W0033C W0005X W0007X

1.0 2.0 0.0 1.0

1.0 1.0 4.0 1.0

1.0 3.0 0.0 0.0

1.0 0.0 3.0 2.0

Preguntas para análisis 1. ¿Qué recomendaciones debería hacer Ron García y con qué justificación? Elabore un análisis detallado con tablas, gráficos e impresiones de computadora incluidos. 2. Analice la necesidad de contar con trabajadores temporales en el departamento de estirado. 3. Analice la distribución de la planta.

Fuente: Profesor Víctor E. Sower, Sam Houston State University. El material

de este caso se basa en una situación real, con nombres y datos cambiados por razones de confidencialidad.

Estudio de caso en Internet Consulte nuestra página en Internet, en www.pearsonenespañol.com/render, para este estudio de caso adicional: Corporación Agri Chem. Este caso se refiere a la respuesta de una empresa a una falta de energía.

330

CAPÍTULO 8 • APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL

PROGRAMA 8.10 Solución del problema de bicicletas de Top Speed con Excel 2010

Registro de parámetros y opciones en Solver

Fórmulas clave

Set Objective: H6 By Changing cells: B5:G5 To: Min Subject to the Constraints: H9:H11 = J9:J11 H12:H13