Cap. 5 - Sistemas de Un Grado de Libertad

5 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.1 INTRODUCCIÓN Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solución de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, así como ser parte de la solución de problemas con mayor número de variables que pueden reducirse a una combinación de sistemas de un GDL. "Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ] • El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente.

•

Las [ Ref. # ] indican las referencias bibliográficas listadas al final de cada Capítulo.

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

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SECC. 5.3: ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

5.2 MODELOS

F(t) - k.u = m.ü

La viga simplemente apoyada o el pórtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden ser representados aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL). m

Normalmente es más conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual el equilibrio dinámico puede ser enforzado en cualquier instante añadiendo a las fuerzas externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleración, m.ü, que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio será: (Fig. 5.3)

k

u m

(5.2)

u

u k

k

m

F (t ) = F . f (t )

k

∆

∆ m

u m

k

F (t ) = F . f (t )

m

k∆ = mg

Posición Neutra

Fig. 5.1 Sistemas de un grado de libertad (1 GDL)

Se han desarrollado, inclusive, métodos modernos para el análisis inelástico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta características fuerza-deformación inelásticas y multilineales [ Ref. 10 ].

uestático u m

F

F (t ) = F . f (t )

u est = F / k

F(t) - k.u - m.ü = 0 m.ü + k.u = F(t) = F.f(t)

b) Equilibrio Estático

c) Equilibrio Dinámico

k ( ∆ + u est ) = mg + F

a) Posición de Reposo

uestático u dinámico

Fig. 5.2 Diagrama de cuerpo libre

5.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de múltiples maneras: a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio. c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales. d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservación de la energía del sistema. En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se puede apreciar que la masa está sometida a una fuerza F(t), que varía con el tiempo. El resorte es elástico, así que la fuerza interna es siempre igual al producto de “ k.u ” . Nótese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posición neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 . En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso. La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración imprimida. O sea: F = m.a

(5.1)

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ku ku

m

mu&&

u&& u&&

m

F (t )

mu&&

F (t )

Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posición neutra por ello no se incluye el .................. peso

ó

F(t) - k.u - m.ü = 0

(5.3)

m.ü + k.u = F(t) = F.f(t)

(5.4)

Esta ecuación relaciona la aceleración ü (d 2 u / d t 2), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. Corresponde a una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solución da la respuesta del sistema, o sea, la variación de u con el tiempo. Esta puede ser escrita como Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

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SECC. 5.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

la suma de la solución general de la ecuación homogénea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integración, y cualquier solución particular de la ecuación completa o general. Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt) en el origen del tiempo t = to (normalmente to = 0 ).

u

uo

Amplitud

−u o

5.4 VIBRACIÓN LIBRE

a) Desplazamiento inicial

Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibración libre. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibración. La ecuación de movimiento es en este caso una ecuación homogénea cuya solución corresponde a la solución general de la ecuación diferencial. En este caso la solución de: m.ü + k.u = 0

Haciendo ω =

es

u = A sen

k k t + B cos t m m

(5.5)

u u& o

ω

−

Amplitud

u& o

ω

b) Velocidad incial

Fig. 5.4 Vibración libre de un grado de libertad (1 GDL)

k y los desplazamientos y velocidad iniciales: m

La Ec. (5.6) da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es periódico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armónico con una frecuencia natural o período dados por:

u (t = 0) = u 0 u& (t = 0) = u& 0

Frecuencia natural circular o angular ( ω ):

Evaluando las condicione iniciales se consigue: u=(

u& 0

ω

) sen ωt + u 0 cos ωt

ω= (5.6)

k m

, radianes/segundo (s- 1)

(5.7)

, Hertz (Hz) o ciclos/segundo

(5.8)

Frecuencia natural ( f ):

f=

ω 1 = 2π 2π

k m

Período natural ( T ): T=

1 = 2π f

m , segundos (s) k

(5.9)

5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

Es útil analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples, que tienen una solución analítica, a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del período en la respuesta.

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

SECC. 5.5.1: FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA ( FAD )

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La solución de la Ec. (5.4) consta de dos partes: la solución homogénea uh, que corresponde a la solución general de la vibración libre vista en la sección anterior; más la solución particular, up -que es cualquier solución que satisface la ecuación diferencial- y que por lo general corresponde a una que tiene la misma forma matemática que la función excitadora.

La fuerza en el resorte será 2 F1. Para este caso entonces, la variación en el tiempo del FAD será:

u = up + A sen ω t + B cosω t

Cualquier fuerza aplicada súbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado, como máximo una amplificación de 2. (Veremos más adelante sin embargo que cuando la fuerza varía en el tiempo después de su aplicación inicial pueden presentarse amplificaciones mayores).

(5.10)

Considérese el caso de una fuerza aplicada súbitamente y mantenida indefinidamente. En este caso up = constante. Reemplazando en la ecuación de movimiento up = F1/k (donde lógicamente F1 es constante). Suponiendo que el sistema está inicialmente en reposo (desplazamiento y velocidad iniciales iguales a cero). u=

F1 ( 1 - cos ω t ) k

(5.11)

FAD (t) = 1 - cos ω t

F1

(5.14)

5.5.1.A) Pulso Finito.- Si la fuerza mostrada en la Fig. 5.5 es aplicada por un cierto tiempo td , la solución tiene que obtenerse en dos tramos. Uno hasta que t ≤ td y otro cuando t > td. Para el primer caso la solución anterior es aplicable. Pero cuando t > td ya la fuerza no está actuando y se tiene vibración libre con las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad que habían en el instante t = td :

u=

En la Fig. 5.5 se observa la variación de la respuesta con el tiempo. Partiendo de cero, la respuesta alcanzará un máximo de 2F1/k. u=

FAD 2

y u = u est ⋅ FAD (t)

F1 ( 1- cos ωt) k

, para t ≤ td (5.15)

F1 F ( 1- cos ω t d )cos ω(t- t d )+ 1 sen ω t d senω ( t − t d ) , para t > td (5.16) k k

simplificando la Ec. (5.16): u=

F1 [ cos ω (t - t d ) - cos ω t] k

, para t > td (5.17)

El FAD para ambos casos, Ecs. (5.15) y (5.17), con ω = 2π T , son los correspondientes a las Ecs. (5.18) y (5.19), es decir:

Fig. 5.5 Carga constante. Factor de amplificación dinámica

5.5.1 Factor de Amplificación Dinámica ( FAD ) FAD = ( 1- cos ωt)

Una forma conveniente de adimensionar la respuesta consiste en expresarla en términos de un factor de amplificación dinámica, FAD en forma resumida. El FAD es la relación (cociente) entre la respuesta y la deformación (desplazamiento) estática que sería causada por F1, o sea: FAD =

F u u u = = , u est = 1 F1 u estático u est k k

FAD= 1- cos 2π

(5.12)

FAD = cos 2π(

(5.13)

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, para t ≤ td (5.18)

FAD = cos ω (t - t d ) - cos ω t

Por consiguiente para el caso anterior, de la fuerza aplicada súbitamente: u máx = 2 u est

t T

t td t - ) - cos 2π T T T

, para t > td (5.19)

Es conveniente adimensionar el parámetro tiempo como se indica en las ecuaciones anteriores, donde T es el período natural. Esto también sirve para enfatizar el hecho que

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

la razón del tiempo de duración a período natural, td /T -más que el valor real de cualquiera de esas cantidades- es el parámetro importante. De la Ec.(5.11) y de la Fig. 5.5 podemos visualizar que el valor máximo del FAD=2 sólo se alcanzará si td es igual a T/2 y en este caso no importa cuanto más dure la aplicación de la fuerza puesto que el máximo seguirá siendo 2. Si td < T / 2, entonces el FAD será < 1. En la Fig. 5.6 se observa la respuesta típica para dos casos de td. En ambos casos el efecto del período es muy significativo. Veamos a continuación que sucede cuando el periodo es relativamente largo o corto: -

Si el período es relativamente corto, lo cual es carácterístico de un sistema rígido, el sistema responde rápidamente, alcanzando la máxima respuesta antes de que la aplicación de la fuerza se detenga, resultando el FAD > 1. Ello es lógico puesto que antes de que alcanze td ya habrá sobrepasado T/2 y por ende alcanzado el máximo no importando cuanto mas dure la carga.

-

Por otro lado, si el período es relativamente largo, lo cual es característico de un sistema flexible, la respuesta máxima ocurre después de que se ha detenido la fuerza, y el efecto de la misma disminuye, y el FAD < 1.

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SECC. 5.6: EXCITACIÓN SÍSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE

u=

F1 senω (t - t r ) [1 + - senωt] k ω tr

, para t > tr (5.21)

En la Fig. 5.7 se muestran dos casos. Veamos: -

Cuando la relación del tiempo de subida de la fuerza al período es grande ( tr / T = 5 / 2 ), el sistema vibra relativamente rápido y la respuesta simplemente sigue a la curva estática de carga. Por consiguiente la máxima respuesta dinámica difiere muy poco de la respuesta estática a F1 ( FAD = 1).

-

Por otro lado, si la relación es pequeña ( tr / T = 1 / 4 ) el sistema responde lentamente debido al período largo. Esto resulta en un primer retraso, y después en un "sobrepasar" a la curva estática de carga. La respuesta dinámica es considerablemente mayor que la estática. Esta es una observación importante, ya que los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificación Dinámica.

Fig 5.7 Carga constante con incremento triangular inicial (rampa)

5.6 EXCITACIÓN SÍSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE

Fig 5.6 Pulso rectangular finito

5.5.1.B) Carga Rampa.- Lo constituye una carga que varía linealmente hasta alcanzar todo su valor en un tiempo tr (este tipo de carga es otro caso de interés). La respuesta debe ser obtenida en dos etapas, o sea: u=

F1 kt r

(t -

sen ωt

ω

)

, para t ≤ tr (5.20)

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Un sismo produce un movimiento de la base de apoyo del sistema. En este caso la ecuación del movimiento para el sistema de la Fig. 5.8 es aquella que relaciona la fuerza inercial del sistema m.ü y la fuerza que se produce en el resorte k.y, es decir: m.ü + k.y = 0

(5.22)

donde: ü , es la aceleración absoluta requerida para el cálculo de la fuerza inercial

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

y , es el desplazamiento relativo de la masa con respecto al terreno, o sea la distorsión del resorte requerida para el cálculo de la fuerza producida en el resorte al ocurrir el movimiento en la base de apoyo del sistema. u y = u −u

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SECC. 5.7: AMORTIGUAMIENTO. TIPOS

El movimiento de la base está definido por uG(t). Por facilidad podría descomponerse en una constante arbitraria uGo multiplicada por una función adimensional del tiempo, f(t). Por otro lado los desplazamientos absolutos y relativos se relcionan mediante y = u uG (ver Fig. 5.8), la cual al ser sustituida en la Ec. (5.22) resulta:

G

m

m

mu&&

m

ky k

luego se cumple :

u( t ) = u G ( t ) + y( t ) u&& = u&&G + &y&

m.ü + k.(u - uG) = 0

(5.23)

m.ü + k.u = - k uGo f(t)

(5.24)

Esta ecuación es idéntica a la Ec. (5.4) en donde F(t) ha sido reemplazada por k.uG(t) o F1 por k.uGo. Por consiguiente las soluciones analíticas obtenidas para fuerzas aplicadas pueden usarse directamente en este caso. Es interesante analizar los casos límite(Fig. 5.9). Veamos el comportamiento para: -

Sistemas muy flexibles(Fig. 5.9a), en este caso el suelo alcanzará su máximo desplazamiento antes de que la masa tenga tiempo de reaccionar y por consiguiente el desplazamiento relativo máximo será igual al máximo desplazamiento de la base (ymáx.=uGo). Al mismo tiempo, la aceleración máxima de la masa será muy pequeña comparada con la aceleración de la base.

-

Por otro lado, para sistemas muy rígidos(Fig. 5.9b), la masa simplemente sigue a la base resultando en una aceleración máxima de la masa igual a la máxima aceleración de la base y el desplazamiento relativo es prácticamente cero.

uG (t ) = u Go . f (t ) Fig. 5.8 Sistema de 1 GDL sometido a movimiento de la base

Sistemas Flexibles

m

u&& →0 u&&G

k →0

T →∞ u = y máx. = u Go (a)

Sistemas Rígidos

m

m

k →∞

T →0 u (b) Fig. 5.9 Casos límites INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

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u&& = u&&G

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

El desplazamiento relativo es posiblemente la variable más importante ya que es indicativo del esfuerzo en el resorte (o sea la estructura). Es común especificar el movimiento de la base en términos de aceleración más que de desplazamiento, ya que los sismos son precisamente registrados de esta manera. Más aún, la solución en este caso da el desplazamiento relativo en vez de la respuesta del desplazamiento absoluto. Al derivar la expresión que relaciona los desplazamientos relativos y absolutos se obtiene ü = ÿ + üG la cual al ser sustituida en la ecuación de movimiento (5.22) nos da: m.ÿ + k.y = - m üG (t) = - m üGo f(t) (5.25)

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SECC. 5.7.1: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

El amortiguamiento se manifiesta como una disminución de la amplitud del movimiento en cada ciclo debido a la disipación de energía. 5.7.1 Amortiguamiento Viscoso

Matemáticamente la forma más simple de considerar el amortiguamiento corresponde a la existencia de un amortiguador viscoso con una resistencia proporcional a la velocidad de deformación (Fig. 5.10). La ecuación de movimiento se convierte en: m.u&& + c.u& + k.u = F(t)

dividiendo entre m: ÿ + ω2.y = - üG (t) = - üGo f(t)

(5.26)

donde c es la constante de amortiguamiento.

La Ec. (5.25) es nuevamente la ecuación de movimiento normalmente usada en que la fuerza aplicada es -m.üG(t), y la incógnita representa un desplazamiento relativo (y) en vez de uno absoluto. Para el caso de un sismo üG(t) no sigue una función analítica simple y será necesario recurrir a procedimientos de integración numérica para conocer la respuesta del sistema (esto se verá en la Secc. 5.11). Existe una relación importante entre los valores máximos de la aceleración absoluta y el desplazamiento relativo. Observando la Fig. 5.8 y la ecuación de movimiento, Ec..(5.22), es evidente que los valores máximos de m.ü y k.y deben ocurrir simultáneamente. Es decir: m.ümáx + k.ymáx = 0

(5.27)

k .( y máx ) m

(5.28)

u&&máx = -

ümáx = - ω .ymáx 2

(5.29)

Esta es una expresión general que siempre se cumple excepto cuando hay amortiguamiento en que hay un ligero error. Indica que la fuerza máxima en el resorte puede ser calculada, a partir la fuerza de inercia (m.ümáx) o de la distorsión del resorte (k.ymáx). 5.7 AMORTIGUAMIENTO. TIPOS

En toda la discusión anterior se ha ignorado la presencia del amortiguamiento. La mayoría de las estructuras y suelos presentan amortiguamiento, pequeño en las estructuras, mayor en los suelos. Su efecto, sin embargo, no es importante para respuestas de corta duración, o sea cuando la respuesta máxima ocurre en uno o dos ciclos de vibración. Sin embargo, para respuestas de larga duración que se extienden por varios ciclos puede ser extremadamente importante. Este es precisamente el caso de las excitaciones sísmicas.

uu

c

ccu u&.

c

m M

F (t ) F(t)

mu&& -Mü m M

kk

F (t ) F(t)

ku ku

Fig 5.10 Sistema de 1 GDL con amortiguamiento viscoso

La solución de la ecuación homogénea es de la forma: u = e -βωt (A sen ω Dt + B cos ω Dt) donde:

ω= β=

1 2

k ; ωD=ω m c km

=

1- β2

(5.31) (5.32)

c cω = mω 2 2k

La diferencia entre la frecuencia no amortiguada, ω , y la frecuencia amortiguada Para estructuras normales este valor es pequeño y la diferencia puede ser ignorada. Por ejemplo para β = 0.05 según la Ec. (5.32) se tiene ω D = 0.9987 ω .

ω D depende de β .

En la Secc. 5.7.2 se mostrarán expresiones para cuando el movimiento es libre amortiguado. A continuación sólo se mostrarán como es que varía β pero de una manera general para que así se pueda entender con claridad el concepto del mencionado coeficiente de amortiguamiento. Basado en lo dicho en el párrafo anterior se tiene que:

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(5.30)

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO O ESTRUCTURAL

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- β debe ser < 1: u

Para que exista la vibración (o sea para que ω D sea un número real en las Ec. (5.32)). Ese es el caso de un sistema sub-amortiguado. La respuesta a una perturbación inicial (Fig. 5.11) todavía será un movimiento armónico pero multiplicado por una exponencial decreciente, e − βωt , que es el efecto del amortiguamiento. Este tipo de sistemas es el de mayor interés en la dinámica de sistemas sometidos a sismos. u uo

uo

u o .e − βωt Fig 5.12 Sistema sobre amortiguado. No hay vibración

Es conveniente expresar la variable β como una fracción del amortiguamiento crítico: c crÍt = 2

−u o

β=

u = e-ωt (A + Bt)

(5.33)

El valor de c en el que ß = 1 se denomina el amortiguamiento crítico por consiguiente el sistema está críticamente amortiguado. No hay vibración ya que de la Ec. (5.32) ω D = 0.

- Cuando β > 1

u = e- βωt (A senh ω D ' t + B cos h ω D ' t)

ccrÍt

(5.36)

En realidad el amortiguamiento viscoso y el concepto de viscosidad están asociados con el comportamiento de los fluídos (o flujo plástico en materiales estructurales). Bajo condiciones normales las estructuras presentan una cantidad insignificante de viscosidad. Las pérdidas de energía bajo movimientos cíclicos se deberán principalmente a la fricción y al comportamiento inelástico (no lineal) de los materiales. 5.7.1.1 Amortiguamiento por Fricción o de Coulomb

Este tipo de amortiguamiento se introduce en la ecuación de movimiento, agregando una fuerza de fricción R, con el signo apropiado, dependiendo de la dirección del movimiento.

(5.34) ó

ω D '= ω

c

(5.35)

Para estructuras el valor equivalente de ß puede estar entre 0,01 y 0,05; para suelos puede alcanzar entre 0,10 y 0,20, o para grandes deformaciones a veces más.

Fig 5.11 Vibración libre con desplazamiento y amortiguamiento

- Cuando β = 1

km

m.ü + ku ± R = F(t)

(5.37)

m.ü + ku ± R = 0 (para el caso de vibración libre)

(5.38)

2

β -1

En este caso el sistema está sobre-amortiguado (Fig. 5.12). Tampoco habrá movimiento vibratorio. La masa retornará a su posición original monotónicamente con velocidad decreciente.

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La solución de esta ecuación es un poco más complicada porque es necesario seguir la fuerza de fricción R que depende del signo de la velocidad. Por ejemplo para el caso de un desplazamiento inicial uo cuando t = to y no hay velocidad inicial, la respuesta sería [ Ref. 2 ] : Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

⎧⎡ T ⎞ R⎫ R⎤ ⎛ u = (−1) n ⎨⎢uo − (2n + 1) ⎥ cos ω ⎜ t − to − n ⎟ + ⎬ k⎦ 2⎠ k⎭ ⎝ ⎩⎣

(5.39)

Interpretar las pérdidas histeréticas en la forma de un amortiguamiento equivalente es difícil para el caso de la vibración libre. Por ejemplo, se tiene que: -

Para el resorte elástico-perfectamente plástico, aún si el desplazamiento inicial uo fuera mayor que el desplazamiento de fluencia uy, la respuesta , mostrada en la Fig. 5.15a, permanecería elástica con la masa oscilando entre uo y uo - 2uy sin ninguna pérdida de energía.

-

Para un resorte con características fuerza deformación bilineal, si uo > uy habrá un número finito de ciclos o lazos de histéresis de ancho decreciente y el movimiento se estabilizará eventualmente permaneciendo elástico alrededor de una posición deformada permanentemente. Lo dicho se observa en la Fig. 5.15b.

-

Un comportamiento similar al caso anterior, mostrado el la Fig. 5.15c, puede esperarse para una curva fuerza deformación curvilínea genérica.

El movimiento se detendrá cuando t = nT/2 donde n es el entero más pequeño que hace R ≥ kuo/2n+1. En la Fig. 5.13 se muestra esquemáticamente la variación del desplazamiento con el tiempo para este caso. u

uo

u = uo − 4

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SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERÉTICO O ESTRUCTURAL

R t k T

F

F

uo u

−u o

F

uo

u

u

Fig 5.13 Amortiguamiento por fricción o de Coulomb [ Ref. 3 ]

La pérdida de energía por el comportamiento nolineal de un resorte con características fuerza-deformación inelásticas resultará, bajo movimientos cíclicos, de la existencia de ciclos de histéresis. (Fig. 5.14). El área encerrada por cada lazo representa la energía disipada por ciclo. Para introducir este tipo de amortiguamiento en el análisis sería necesario escribir una ecuación de movimiento nolineal de la forma: m.ü + k(u) . u = F(t) (5.40) donde k(u) representa la rigidez secante del resorte para el desplazamiento u. F

k

F

u

k

b)

a)

5.7.1.2 Amortiguamiento Histerético o Estructural

F

k

u

Fig. 5.15 Comportamiento inelástico

5.7.2 Casos de Amortiguamiento Viscoso y definición del término Decremento Logarítmico. La razón por la cual en la sección anterior no se trataron algunos casos que se desprenden al variar el comportamiento de la fuereza en la Ec. (5.30) es debido a que se pretendía que en dicha sección el lector entienda de manera clara y concisa el significado del Amortiguamiento Viscoso. A continuación presentaremos la vibración libre con amortiguamiento (Secc. 5.7.2.1), definiendo a su vez el término decremento logarítmico (Secc. 5.7.2.1.1); luego, presentaremos la vibración forzada con amortiguamiento, cuando la fuerza es constante (Secc..5.7.2.2). 5.7.2.1 Vibración Libre con Amortiguamiento

u

u

c a)

b)

c)

c)

m

k

Fig 5.14 Resortes inelásticos INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

cu&

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mu&& m

ku

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CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Fig 5.16 Vibración libre amortiguada

Ecs..(5.45a) y (5.45b). Luego al resolver esta última, la cual es una ecuación polinómica de segundo grado, se tiene:

Recordando que el amortiguamiento viscoso al ser considerado como una resistencia proporcional a la velocidad de deformación es matemáticamente la forma más simple, procedemos a plantear la ecuación diferencial que define el movimiento del sistema mostrado en la Fig. 5.16: mü + cu& + ku = 0

(5.41)

la solución general supuesta y sus derivadas son: u = Ce r

t

(5.42)

u& = C r e r

t

u&& = C r e

r t

2

(5.44)

( mr 2 + cr + k ) ⋅ Ce r t = 0

mr 2 + cr + k = 0

r2 +

2 ⎛ ⎞ c ⎛ c ⎞ ⎟ − ⎜ r2 = ω ⎜⎜ − ⎟ −1 ⎟ 2 2 m ω m ω ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.48)

u=e

⎛ c ⎞ −ω ⎜ ⎟ ⋅t ⎝ 2 mω ⎠

(5.45)

(5.45b)

La Ec. (5.45) nos indica que en realidad la solución general sería la dada por la Ec..(5.46) y no como se supuso(Ec.(5.42)): t

⎡ ω ⎛⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎝ ⎢C1e ⎢ ⎣

2 ⎞ ⎛ c ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎟⋅t ⎟ ⎝ 2 mω ⎠ ⎠

+ C2 e

2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎛ c ⎞ ⎟ −ω ⎜ ⎜ ⎟ −1 ⎟⋅t ⎜ ⎝ 2 mω ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.49)

En la sección anterior β = c 2mω = c c crítico fue definido. Entonces según esto, la Ec..(5.49) quedaría como se muestra en la Ec. (5.49a): ⎡ ω ⎛⎜ u = e −ω β t ⎢C1e ⎝ ⎣

(5.45a)

c r +ω 2 = 0 m

u = C1e r1 t + C 2 e r2

(5.47)

(5.43)

Al reemplazar las Ecs. (5.42), 5.43) y (1.44) en la Ec. (5.41) se tiene:

ó

2 ⎞ ⎛ c ⎛ c ⎞ ⎟ ⎜ r1 = ω ⎜ − + ⎜ ⎟ −1 ⎟ 2 2 m ω m ω ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

reemplazando estas ecuaciones en la Ec. (5.46) y luego factorizandola, se tiene la solución general de la vibración libre amortiguada:

donde C es una constante distinta a la constante c de amortiguamiento.

donde:

19

SECC. 5.7.2.1: VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

⎠

+ C2 e

−ω ⎛⎜ β 2 −1 ⎞⎟⋅t ⎝ ⎠

⎤ ⎥ ⎦

(5.49a)

A continuación veremos las ecuaciones que definen el movimiento de vibración libre amortiguada como resultado del comportamiento de β . a) Sub Amortiguamiento ( β