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MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 5 Integrales Impropias

5 5.1 LÍMITES INFINITOS 5.2 INTEGRANDOS INFINITOS

Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales sobre regiones no acotadas y resuelva problemas de aplicación relacionados con las integrales impropias

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Se trata ahora de trabajar con regiones que estén limitadas por curvas no acotadas, que tengan asíntotas horizontales y verticales 5.1 LÍMITES INFINITOS. ∞

Se presentan cuando se plantean integrales de la forma

∫

f ( x)dx ,

o

a

∞

a

de la forma

∫

f ( x) dx ,

o de la forma

−∞

∫

f ( x) dx .

−∞

En este caso, es una integral impropia porque uno de los límites de integración o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deberá tratárselas con propiedad. Es decir: ∞

∫ a

a

∫

−∞

⎡N ⎤ ⎢ ⎥ f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥ N →∞ ⎢ ⎥ ⎣a ⎦

∫

⎡a ⎤ ⎢ ⎥ f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥ N → −∞ ⎢ ⎥ ⎣N ⎦

∫

y finalmente la última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así: ∞

∫

∞

a

f ( x)dx =

−∞

∫

−∞

f ( x)dx +

∫

f ( x)dx

a

Ejemplo 1 ⎧y = e −x ⎪ Hallar el área de la región R : ⎨ y = 0 , en el primer cuadrante. ⎪x = 0 ⎩ SOLUCIÓN: Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:

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∞

El área de la región estaría dada por A =

∫

e − x dx , la cual es una integral impropia, que

0

∞

escribiéndola con propiedad tenemos: A =

∫ 0

⎡N ⎤ ⎢ ⎥ −x e dx = lím ⎢ e dx ⎥ N →∞ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

∫

−x

Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:

⎡N ⎤ ⎢ ⎥ −x lím ⎢ e dx ⎥ = lím − e − x N →∞ N →∞ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

∫

[

]

N 0

[

]

= lím 1 − e − N = 1 − e − ∞ = 1 N →∞

En este caso se dice que el área converge a 1 ( A = 1 u ) 2

Ejemplo 2 1 ⎧ ⎪y ≤ x ⎪ Hallar el área de la región R : ⎨ x ≥ 1 ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎩ SOLUCIÓN:

∞

El área de la región estaría dada por A =

∫

1 dx , la cual es una integral impropia, que x

1

∞

escribiéndola con propiedad tenemos: A =

∫ 1

⎡N ⎤ ⎢ 1 ⎥ 1 dx = lím ⎢ dx ⎥ N →∞ x x ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

∫

Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:

⎡N ⎤ ⎢ 1 ⎥ lím ⎢ dx ⎥ = lím [ln x ]1N = lím [ln N − ln 1] = ln ∞ − ln 1 = ∞ N →∞ N →∞ N →∞ x ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

∫

En este caso se dice que la integral DIVERGE ( A = ∞ ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande.

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Ejemplo 3 1 ⎧ ⎪y ≤ x ⎪ Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar la región R : ⎨ x ≥ 1 , alrededor ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎩ del eje x. SOLUCIÓN:

∞

El volumen del sólido estaría dado por V = π

∫

2

⎛1⎞ ⎜ ⎟ dx , esto es una integral impropia, que ⎝x⎠

1

⎡N ⎤ 2 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ escribiéndola con propiedad tenemos: V = π ⎜ ⎟ dx = π lím ⎢ ⎜ ⎟ dx ⎥ ⎥ N →∞ ⎢ ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ 1 ⎣1 ⎦ ∞

∫

∫

Al calcular la integral definida y luego tomar límite resulta:

⎡N ⎤ N 1 ⎥ = π lím ⎡− 1 ⎤ = π lím ⎡1 − 1 ⎤ = π dx π lím ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ N →∞ ⎢ x 2 N →∞ ⎢ N →∞ ⎢ ⎣ x ⎦1 ⎣ N⎦ ⎣1 ⎦

∫

Note que mientras el área era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la integral depende de su forma algebraica.

Ejemplo 3 Determina el valor de "k" para que el área bajo la curva de y =

k 1+ x 2

1.

SOLUCIÓN:

Dibujando la curva para un k positivo sería:

∞

El área estaría dado por A =

∫

k 1+ x 2

dx .

−∞ ∞

Como es una función par, aplicando simetría, tendremos A = 2

∫ 0

Escribiéndola con propiedad y resolviendo:

100

k 1+ x 2

dx .

sea iguala a

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N

∫

A = 2 lím

N →∞

k 1+ x 2

dx

0 N

= 2k lím

N →∞

∫

1 1+ x 2

dx

0

= 2k lím [arctg x ]0N N →∞

= 2k [arctg ∞ − arctg 0] = 2k

π 2

A = kπ Si la condición es que A = 1 u entonces kπ = 1 por tanto k = 2

1 π

Ejemplo 4 ∞

Determine para que valores de "p" la integral impropia

∫

1 xp

dx converge y para

1

que valores diverge. SOLUCIÓN:

N

Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos: lím

N →∞

∫

1 xp

dx

1

Se observa que hay que considerar 2 casos: si p = 1 y si p ≠ 1 Primero si p = 1 tenemos: N

lím

N →∞

∫

1 dx = lím [ln x ]1N = lím [LnN − ln 1] = ∞ (Diverge) N →∞ N →∞ x

1

Segundo si p ≠ 1 tenemos: N

lím

N →∞

∫

N

x

−p

⎡ N 1− p 11− p ⎤ ⎡ x − p +1 ⎤ dx = lím ⎢ − ⎥ ⎥ = lím ⎢ N →∞ ⎢ − p + 1 ⎥ N →∞ ⎢ 1 − p 1 − p ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦1

1

de lo último hay que considerar dos casos:

⎡ N 1− p

Si p < 1 entonces lím ⎢

N →∞ ⎢ 1 −

⎣

p

⎡ N 1− p

Si p > 1 entonces lím ⎢

N →∞ ⎢ 1 −

⎣

∞

Por lo tanto:

∫ 1

1 xp

p

−

11− p ⎤ 1 = ∞ (diverge) ⎥ =∞− 1 − p ⎥⎦ 1− p

−

11− p ⎤ 1 1 1 = 0− (converge) ⎥= − 1 − p ⎥⎦ ∞ 1 − p 1− p

; p ≤1 ⎧∞ ⎪ dx = ⎨ 1 ⎪ p −1 ; p > 1 ⎩

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5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no acotadas, las graficas de las curvas tienen asíntotas verticales Ejemplo 1 1 ⎧ ⎪y ≤ x ⎪ Hallar el área de la región R : ⎨ x ≥ 0 . ⎪y ≤ 0 ⎪ ⎩ SOLUCIÓN: La región referida sería:

1

La integral para el área es: A =

∫

1 1 dx note que la función f ( x) = no está definida en x x

0

x = 0 por tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolviendo resulta: 1

A=

∫

1

1 dx = lím+ t →0 x

0

t

Ejemplo 2 2

Calcular

∫ −1

SOLUCIÓN:

102

∫

1 x2

dx

1 dx = lím+ [ln x ]1t = lím+ [ln 1 − ln t ] = 0 − ln 0 + = ∞ (diverge) t →0 t →0 x

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La función no está definida x = 0 , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente manera: t

2

∫

1 x

2

dx = lím− t →0

−1

∫

2

1 x

dx + lím+

2

t →0

−1

∫

1 x2

dx

t

t

2

⎡ 1⎤ ⎡ 1⎤ = lím− ⎢− ⎥ + lím+ ⎢− ⎥ t →0 ⎣ x ⎦ −1 t →0 ⎣ x ⎦ t

1⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ = lím− ⎢− 1 − ⎥ + lím+ ⎢ − ⎥ t →0 ⎣ t ⎦ t →0 ⎣ t 2 ⎦ = ∞+∞ 2

∫

1 x2

dx = ∞(diverge)

−1

Ejercicios propuestos 5.1 1.

Evalúe la integral impropia dada o demuestre que es divergente.

∞

1.

∫

∞

e x dx

4.

∫

dx

5.

x + 2x + 5 2

−∞ ∞ 3.

∫

x2 + 4

−∞ ∞

1 ∞

2.

∫(

x

)

2

∫

9 + x2

∫

x + x−2

dx

xdx

3 3

e− x sen x dx

6.

0

dx 2

0

2. Dada la curva y = e − x , determine el área bajo la curva para x ≥ ln 2 . 3. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje

{

R = ( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ x

−1

}

y.

4. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por y = x,

y=

1 , x

y = 0;

alrededor del eje x (en el primer cuadrante).

5. Sea R la región del primer cuadrante bajo la curva y = x a) b)

−2

3 y a la izquierda de

Determine el área de la región R. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje

x = 1.

y = −1 .

1

6. Encuentre los valores de "p" para los cuales la integral

∫

1 xp

dx converge y los valores para los

0

cuales diverge.

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Misceláneos ⎧

1. Sea la región R definida por R = ⎨(x, y ) ∈ IR 2 / x ≥ 0 ∧

⎩

a) b)

x ⎫ ≤ y ≤ 1⎬ . Calcule si es posible: x +1 ⎭

El área de la región R. El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta

2. Calcular si es posible la longitud de la espiral r = e

−2θ

y =1

; θ ≥ 0.

3. Encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación de la región limitada por y = e x ,

y = 0 , x = ln 3 ; alrededor del eje x . 4. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por

y=

1 ; x

x > 0 y los ejes coodenados; alrededor del eje y .

⎧

5. Si R = ⎨(x, y ) ∈ IR 2 / 0 ≤ y ≤

⎩

⎫ ∧ x ≥ 0⎬ . x +1 ⎭ 1

Determine si es posible el área de la

2

región R.

⎧

1 ⎫ ⎬ . Si es posible calcule el volumen del sólido x3 ⎭ ⎩ que se genera al rotar la región R alrededor del eje x = 1 . 1 ∧ y = 0. 7. Determine el valor del área de la región, en el primer cuadrante, limitada por y = (x − 1)2 6. Si R = ⎨(x, y ) ∈ IR 2 / y ≥ 0 ∧ x ≥ 1 ∧ y ≤

⎛1⎞ ⎝2⎠

x

8. Encuentre el área de la región limitada por las y = ⎜ ⎟ , y los ejes coordenados en el primer cuadrante.

9. Calcular si es posible el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x, donde

{

R = (x, y ) ∈ IR 2 / y ≥ 0 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y ≤ e − x

}

.

10. Determine el volumen del sólido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje "y" la región bajo la 2

y = e −x ;

x≥0. 11. Determine los valores de c, c > 0 , tal que el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del 1 exista. eje x, de la región limitada por el eje x, x ≥ 1 y la función f ( x) = xC curva

{

}

12. Sea R la región definida por R = (x, y ) ∈ IR 2 / ln x ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ e . Calcule si es posible: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje

y.

13. Determine el perímetro de la región ubicada en el plano polar, que está limitada por: a)

Una parte de la recta

θ = ln 2 r = 1 + cos θ

b) El tramo de la cardioide −θ c) La espiral r = 2e ,

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para

0 ≤ θ ≤ ln 2

π ≤ θ ≤ 2π , y