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Escuela Superior Politécnica del Litoral Algebra Lineal Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #4
BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Definii!n" Un conjunto finitos de vectores v1 ,v2 ,...,vn es una base para un espacio vectorial si!
a) v1, v 2 ,..., v n es linealmente independiente. b) v1, v 2 ,..., v n genera a V .
"odo conjunto de n vectores lineal#ente independiente en n .
E$EMPLOS
n es una base de
V
2
x / x,y y x 1 0 1 0 ˆ xi yˆj x y gen , y 0 1 0 1 2 1 0 Una Base cano ica par es Bc , 01
Sea V 3 . Encuentre una base para el conjunto de vectores $ue est%n en el plano.
x
W y x+* y z ' ( z x* y z ' ( y x* z' x x & ( & (
W y x+* z' x * z ' gen )* '
& ( ' Una Base canonic para a es Bw *)' ( & TEOREMA
v1 ,v2 ,...,vn es una base para , si v V ) entonces e-iste un conjunto nico de
Si
escalares
c
&
)c * )...) c
n
tales $ue! v
c&v& c * v * ... c n v n
DEMOSTRACION v c1v1 c 2v 2 ... c n v n v d 1v1 d 2v 2 ... d n v n
1 2
1 2 c1v1 c 2v 2 ... c n v n d 1v1 d 2v 2 ... d n v n c1v1 c 2v 2 ... c n v n d 1v1 d 2v 2 ... d n v n 0
c1 d 1 v1 c 2 d 2 v 2 ... c n d n v n c1 d 1 0
0
c1 d 1 c 2 d 2 c n d n
Por tanto para cada vector v V ) e-iste un conjunto nico de escalares) tales $ue)
cual$uier vector v V se lo puede e-presar co#o una co#binaci/n lineal del conjunto nico.
TEOREMA
Sea V n , v1, v 2 ,...,v m ) # vectores de . Si v1, v 2 ,...,v m es lineal#ente dependiente.
m n ) entonces
Sea v1, v 2 ,..., v m vectores de
n
c1v1 c 2v 2 ... c m v m 0
a11 a12 a1m a21 a22 a2 m v1 ; v 2 ;...; v m M M M an1 an 2 anm
a11 a12 a1m 0 a21 a22 a2 m c1 c 2 ... c m 0 M M M 0 an1 an 2 anm a11c1 a12c 2 ... a1m c m 0 a21c1 a 22c 2 ... a 2 m c m 0 M
M
M
an1c1 a n 2c 2 ... a nm c m 0
En un siste#a 0o#ogéneo de n ecuaciones con # variables) cuando
m n el
conjunto tiene infinitas soluciones) por lo tanto es lineal#ente dependiente.
DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL Definii!n" Si el espacio vectorial tiene una base finita) entonces la di#ensi/n de es el n#ero de vectores en todas las bases , se lla#a espacio vectorial de di#ensi/n finita. La di#ensi/n de se la denota co#o! di# . E1EMPL2S!
Si V Pn Si V M 2 2 Si V M 2 3
dim Pn n 1 dim M 2 2 4 dim M 2 3 6
"odo espacio vectorial $ue tenga un subespacio de di#ensi/n infinita es ta#bién de di#ensi/n infinita. Si 3 es un subespacio de , dimV n ) entonces!
W 0 dim W 0 ii W genv dim W 1 iii W genv , v , v dim W 3 i
1
1
2
3
E$ERCICIOS% 4eter#ine una base para el espacio generador S gen 2 x y 3 z, 4 x 2 y 6 x , 6 x 3 y 9 z. Encuentre su di#ensi/n.
2 x y 3z 0
4 x 2 y 6z 0 6 x 3 y 9z 0 2 1 3 M0 2 1 3M0 4 2 6 M0 0 0 0M0 2 x y 3z 0 6 3 9M0 0 0 0M0 x x x x H y /2 x y 3z 0 y /2 x 3z y y /2 x 3z z z z z x 1 0 1 0 y / x2 z3 H 2 ,3 dim H 2 z 0 1 0 1
4eter#ine una base para el espacio generador S gen1 x x , 2 x x , x x , 1 x x 2
2
2
2
. Encuentre su di#ensi/n.
& x x * ( & & & ( & & & ( & & * * x x ( * & & ( ' ( ( ( & ( * ( & & ( & ( * ( & ( x x ( ( ( & x x * ( & & & ( ( ( * ( & & & ( & & & ( & & & ( & & ( ( ( & ( ( ( & ( ( ( ( ( ( * ( ( ( * ( ( ( & ( ( ( ( * ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( * B x ) x)& di# ' s
& (
( ( * ( * ( ( ( (
& ( ( ( & ( ( ( (
E&e'iio(% &.5 6alifi$ue cada una de las siguientes proposiciones co#o verdaderas o falsas) en caso de ser verdaderas) de#uestrelas , en el caso de ser falsas de un contraeje#plo. a7 Sea V & ) V * ) V ' ) V 8 un conjunto generador de , V & ) V ; ) V : ) V 9 un conjunto lineal#ente dependiente en ) entonces DimV ' b7 "odo conjunto generador de un espacio vectorial de di#ension n) tiene e-acta#ente n vectores. c7 El conjunto V & ) V * es lineal#ente independiente en si , solo si V & , no son #ultiplos escalares d7 Si B u v) u v) v w es una base de un espacio vectorial ) entonces u w) v w)*u v w es un conjunto generador de . e7 El conjunto G vectorial
V
& & & ) ( : ' M **
(
& ) & &
&
( ) * &
&
V *
es una base del espacio
(
f7 Sean W gen w& ) w* ) w' , U genu& ) u * ) u ' ) u 8 dos subespacios de ) entonces W ! U * ' g7 Si V P ' , W p?U
V & ) V * ) V ' ) X es lineal#ente dependiente
*.5 Sea > un subespacio del espacio vectorial
R
'
.Sea!
& ' 8 S * ) & ) & : * 8 un conjunto generador de >. a74eter#ine si los vectores son lineal#ente independientes b7En caso de ser lineal#ente independientes) co#plete un base para '.5 4eter#ine las di#ensiones de los siguientes espacios vectoriales a7 El conjunto de vectores en R n b7 El conjunto de las #atrices si#etricas de n por n c7 El conjunto de las #atrices antisi#etricas de n por n d7 El conjunto de los nu#eros co#plejos
R
'
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