Cap. 4 Variables Aleatorias Contínuas Y Distribuciones De Probabilidad

~ J '::~:: ::~::FF u 'n c i onesd e d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d "';2:; , . ;;. - ""

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Una variable aleatoria (va) disc discret retaa es una cuyo cuyoss valore aloress pos osibl ibles es 0 constituye tituyen n un conju conjunn-to fi finito nito 0 bien pue pueden ser pues puestos tos en lista en una una secuencia ecuencia infinita infinita (una una lis lista en la cual cual existe un primer  elemento lemento,, un segund segundo o element elemento o, etc. tc.). Una variable variable alcatoria lcatoria euyo conjunto conjunto de valores posible posibles es un inte interv rvalo alo comp comple leto to de nume numero ross no es es dis disereta j Recuerdes Recuerdese de acue acuerd rdo o con con el capf capftu tullo 3 que una una vari variaa ble aleatoria aleatoria X es continua si I) sus valores valores pos posible ibles comp compre rend nden en un solo solo inte inter valo sobr  sobr e la \fnea \fnea de numer acion cion (par (paraa al B ,  B , cualquier guna A < lquier num numeer o x entre A y B es un valor  pos posib ible le)) a una una unio union de inter  inter va vallos dis dis juntos  juntos y 2) P (X =c) =0 para cualquie ualquier numer o c que que sea un valor posi posi bl  blee d e X. X.

I

Eje m p lo 4.1 4.1

i

! ilid ilidaa d

e l I

a. Determine el valor d e k  con el cuaI.f(x) es una funci6n de densidad de probabilidad legitima.  b. Obtenga la funci6n de distribuci6n acumulativa. c. Use la funci6n de d istribuci6n acumulativa de ( b) para determinar la pr o ba bilidad d e que el inter valo d e tiempo exceda de 2 segundos y tambien la proba bilid ad de que el intervale este entre 2 y 3 segund os. d. Obtenga un valor medio d el inter valo d e tiempo y su desviaci6n estandar . e. i,Cual es la probabilidad de que el intervalo d e tiempo quede dentro de una desviaci6n estand ar d el valor medio?

· a dis per \i.)11 !Ia\ (7'2

=

-4

21.

Un ec610go desea marcar una regi6n de muestr eo circular  de 10 m d e radio. Sin embargo, el r adio d e la regi6n r esultante en realid ad es una varia ble aleatoria R con funci6n d e densidad de probabilidad 

 fer )

L~(l - (10- 1 ' ) 2 ] 4 = ~ lOd e

a. Si la mediana d e la ~istribucion Xes jl: ,d cmucstre ~ 1.8jl + 32 es la medlana de la dlstnbuclOl1 Y .

9;:;,.;:; II

 b. LComo esta r elacionado el 90° per centil Jc la d iMr i b. cion Y  con el 90 Q de la distribucion X? Veritiquc suc~  jetur a. c. Mas general mente, si Y =£IX + h, Lcomo C';13 r elacir , nado cualquier percentil de la distribuci6n Y  C ( II I el Jl e r. centil corres pond iente d e la distribucion X i

10 contr ario

LCual es el ar ea es per ad a d e la region cir cular resultante? 22.

La demanda semanal de gas pr o pano (en miles de galones) d e una instalacion par ticular  es una var ia ble aleatoria X con funci6n de densid    ad de pro   babilid ad 

 f ( x)

 j (

=

l· 2 I - -:;-) I;:; X  x-

o

26. ;:;

2

d e 10 contrario

a. Ca1cule la funci6n d e d istri buci6n acumulativa de X.  b. Obtenga una ex presi6n para el (IOO p)O per centiL LCual es el valor de jl? c. Calcule E(X ) y V eX) . d . Si 1500 galones estan en existencia al principio de la semana y no se es pera ningun nuevo suministro dur ante la semana, Lcuantos de los 1500 galones se espera que queden al final d e la semana? ISu ger e ncia: Sea he x) = cantidad que queda cuando la d emanda es x.) 23.

Si la temperatur a a la cual cierto compuesto se fund e es una variable aleatoria con valor medio d e 120°C y desviacion est:indar de 2°C, Lcuales son la temper atur a media y la desviacion est:indar medidas en OF? [Su ger e ncia: O F = 1.8°C +32.]

24.

La funcion d e de  nsid ad de pr o ba bilidad  de Pareto de X es

r~~ l

d e al gasto maximo que sale d el bolsillo d e $2500. Lue., go escriba una expresi6n para Y  como una f uncicindeX. (la cual implique varios precios dif er entes) y caiculed . valor esper ado d e la funci6n.)

 f ( x; k, 0) =  x~+ I

introducida en el e jercicio 10. a. Si k >I, calcule E(X).  b. iQue se pued e d ecir  so br e E(X) si J .: =I? c. Si k >2, demuestr e que V eX) = k fj2 (k - 1)-2(k  -

I

27.

2r 

l .

d. Si k =2, Lque se puede decir  so br e V eX )? e. LQUe condiciones en cuanto a k  son necesarias para gar antizar que E(X") es finito? 25.

Sea X los gastos medicos totales (en miles d e d (llares)~ curr idos por un individuo particular dur ante un ano d a&! Aunque X es una variable aleatoria discr eta. su ponga qll su distribucion es bastante bien aproximad a pur  una dis\!i.  buci6n continua con funcion de densid    ad d e pr o ba bili~ f ix) =k(l + xl2.5)-7 con x ~ O. a. iCual es el valor de k?  b. Dibuje la funci6n de d ensid ad de pro   ba bilidacl de X . c. LCmiles son el valor es per ado y la desviaci0n estand a d e los gastos medicos totales? d. Un individuo esta cubierto por un plan de ascguramienm. que Ie impone una pr ovision deducible de S500 (aslq ll los primeros $500 d e gastos son pagados por el individuo) Luego el plan pagani 80% de cualquier  gasto adicionalq ll exced a de $500 y el pago maximo por parte d el ind ividoo (incluida la cantidad deducible) es d e $2500. Sea ria C 3lf  tidad de gastos medicos de este individuo pagaclos por  b compania de seguros. LCual es el valor  es perad o de r. [Su ger e ncia: Primer o indague que valor de X  corr es poo..

Sea X la temperatura en °C a la cual ocurr e una r eaccion qUImica y sea Y  la temperatura en OF(as 1 q ue Y  =1.8X + 32).

Cuando se lanza un dardo a un blanco cir cular. consid er e b i ubicacion del punto de ater ri  za je res pecto al cenlro. SeaX el angulo en gr ados medido con respecto a la horizontal _ 

y suponga que X esta uniformemente distribuida en 1 0 . 3 60 } Defina Y  como la variable transformad a Y  =iIIX) =

;1 ·

(2'IT/360)X - 'IT, por 10 tanto, Ye s el angulo med id o en f a diancs y Yesta entre -'IT y 'IT.Obtenga E(Y) y (rr o btcniend o  primero E(X) y ax y luego utilizando el hechod c que h (X I es una funci6n lineal d e X.

, i

I ' La disuibucion nomlal es la mas importante en toda la probabilidad y estadfstica. Muchas ~  blaciones numericas tienen distribuciones que pueden ser representadas muy tiel mente p e r una curva normal apropiada. Los ejemplos incluyen estaturas, pesos y otras caracter fs  ticas f i· sicas (el famoso articulo Biometrica 1903 "On the Laws of Inheritance in Man" discuti6 mu' chos ejemplos de esta clase), errores de medicion en experimentos cientfficos, mediciones antropometricas en fosiles, tiempos de reaccion en experimentos psicologicos, mediciones de inteligencia y a ptitud , calificaciones en varios examenes y numerosas medid as e indicad ores economicos. Incluso cuando la distribucion subyacente es discreta, la curva normal a menu' d o da una excelente aproximacion. Ademas, aun cuando Ias variables individuales no esten

X es jl. 25) =0 l;j.:'6

--+1/

I

0

\~

z Area sombreada

I

= 0.01

En general, la fila y la columna d e la tabla A.3 d el apendice, d ond e el ingr ~', localizad o identif ican el (lOOp)O per centil ( p. ej., el 67° percentil se ohtienc In, . 0.6700 en el cuerpo de la ta bla;la cual d a Z =0.44). Si p no aparece, a menuclo ',e ' numer o mas cercano a el, aunque la interpolaci6n lineal da una res puesta m;ls pr,:'. ejemplo, par a encontr ar  el 95° per centil, se busca 0.9500 adentro d e la ta bla. Aunqd no apar ece, tanto 0.9495 como 0.9505 sf , correspondientes a z =1.64 Y 1.65, r ,' , mente. Como 0.9500 esta a la mitad  entr e las dos proba bilidades que sf  apar ecen. "'. ni 1.645 como el 95° per centil y - 1.645 como el 5° percentil.

No tac io n

Za

En inf er encia estadf stica, se necesitan valores so br e el e je horizontal areas d e cola pequefia bajo la cur va nor mal estand ar .

denotara el valor  sa bre el eje z para el cual recha d e z a' (Yease la figura 4.19.)

 Za

Par  e jemplo,

Zo.1O

om .

0'

7.q ue C!pr.1i'·

del area bajo la cur va z quec b

captur a el area de cola superior 0.10 Y

Zo.O I

ca ptur a el ar ea d e

.

J ;.

L',)h!

'

Como 0' del area bajo la curva Z  queda a la d er echa de Za '  I - 0' d el iir ea ( j'l' . izquierda. POl' 10 tanto, z a es eL 1000 - 0')0 percentiL de La distribucion nor ma! / . Par  simetrf a el area bajo la curva normal estandar a la izquierda d e - za tam b j.;n t ' :. valores z a en gener al se conocen como valores criticos z. La tabla 4.1 incluye lu~ i" .. les Z y los valores za mas utiles.

Per centil a (area de cola)  z a =100(1 - a)"  per centil

Eje m p lo 4.15

90 0.1

1.28

95 0.05 1.645

97.5 0.025 1.96

99 0.01 2.33

99.5 0.005 2.58

99.9 0.001 3.08

.t;."; q~ )

(J.i jliU·

:; .. '~.' '~

es el J OO(l - 0.05)0 =9SO percentil de la distribuci6n normal estanclar . pur  Zoos = 1.645. El ar ea bajo la cur va normal estand ar a la izquierda de - Z005 rambi":; j· (Yease la figura 4.20.)

Zo .os

'r

"

Ingreso!

 ' _ ." " G :!

e loc al ~/:: 1(10

10 s e u tili?!

e!

.s prcClsa

(z ) par a z negativo? i,Que pr o pied ad  d e la, cur va normal estand ar  justif i ca su r es puesta? Consider e los be bes nacid os en el rango "normal" de 37-43 semanas de gestaci6n. Datos extensos sustentan la suposici6n d e que el peso de nacimiento d e estos be bes nacidos en Estad os Unid os esta nor malmente distr i buid o con med ia d e 3432 g y desviaei6n estandar  d e 482 g. [EI articulo "Ar e Ba", bies NomlalT (T he Amer ican S tatistician (1999): 298-302) analiz6 d atos d e un ano particular ; con una selecci6n sensi ble d e inter valos de c1ase, un histograma no parecia del tod o normal per o d es pues d e una investigaci6n se d etermin6 que esto se de bia a que en algunos hos pitales med ian el peso en gramos. en otr os 10 med ian a la onza mas cer cana y luego 10 convertian en gr amos. Una selecci6n modif icad a de inter va10s de c1ase que permitia esto pr odujo un histogr ama que er a deserito muy bien par una distri buci6n normaL] a. i,Cual es la proba bi!id ad d e que el peso d e nacimiento d e un be be seleccionad o al azar d e este tipo exced a de 4000 gr amos? i,Este entr e 3000 y 4000 gr amos?  b. LCual es la pr o babilid ad de que el peso d e nacimiento de  un be be seleccionad o al azar d e este ti po sea d e menos d e 2000 gr amos 0 de mas de 5000 gr amos? c. i,Cual es la pr o ba bilid ad d e que el peso d e nacimiento d e un bebe seleccionado al azar d e este tipo exeed a d e 7 libr as? d. i ,C 6m   o car acterizaria el 0.1 % mas extr emo d e todos los  pesos de nacimiento? e. 5 i X es una var iable aleator i a con una distribuci6n nor mal y a es una constante numer ica (a "'" 0), entonees Y  = aX  tam bien tiene una d istribuci6n normal. Use esto  par a d eterrninar la distr i buci6n de pesos de nacimiento ex presados en libras (f orma, media y d esviaci6n estan-

En res puesta a pr eocupaciones sob re  e] Clli1t>:' , t!w n de las comid as r a pid as. McDonald 's ha ~ zar a un nuevo aceite d e cocinar  par a ~U'. p""" q ue r ed ucira sustancialmente ios nivele:; (le:" incr ementara la cantid ad de gr asa poJi;n~;.""",.

53.

Si X  tiene una distri buci6n binomial l'\' j'l "., p, ca\cule cad a una d e las siguienlcs p'otd ..,j, la apr oximaci6n normal (con Ja COITCCC[,,'l\ p,,: en los casos p =0.5, 0.6, y 0.8 y com par e ("" dades exaetas calculad as con la ta bla A. j d e! .T'

a. P(l5

X S 20) S

 b. P(X S15) c. P(20 S X) 54.

Suponga que 1 0% de tod as las tlecha\ (k  "".  por medio de un pr oceso no cum plen con b,'. , . nes per o pued en ser  relr a ba jada\ (en lug,:r  d  d as). Consid ere una Illuestr a alealor i~l d e 2',': X el numer o entr e estas que no cumph:o e'm ' ciones y pued en ser r etr a ba jad as, (,C,\~ \i,', apr oximada d e que X sea . a. Cuand o mucho 30'1  b. Menos q ue 3D? c. Entr e 15 y 25 (inclusive)?

55.

Suponga que s610 75% d e tod os los COlid uu", do us an con r egularid ad el cinturon d e "< :'1,,, ;,1 , ciona una muestr a aleator ia d e son conduC!' .,.  pr o ba bilidad  de que a. Entr e 360 y 400 (inclusive) d e ]u, "u,." muestr a usen con r egularid ad el cirnur ,'.';  b. Menos d e 400 d e aq uellos en Ia mU,;,I'..1 • larid ad  el cintur6n d e segur idad '!

~6. Demuestn ral y el pc esta secci, ~1. a.

Demu,  par am neal d · les SOl E()'} )

 buciol que ir  Xy lu d e del  b. Si cu, menu d ar d , tem p'