Cap 4 Modos y Criterios de Falla (c) Version 2012

Mecánica Estructural CAPITULO 4: Modos y Criterios de Falla

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COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS DE FALLA PARA FLUENCIA GENERALIZADA Los criterios de fluencia presentados en las secciones precedentes solamente definen métodos de cómo combinar los componentes individuales de un estado de esfuerzo multiaxial en un esfuerzo uniaxial efectivo o equivalente. El esfuerzo uniaxial es luego comparado con una propiedad del material, usualmente el esfuerzo de fluencia, para determinar si es que la fluencia se ha producido. Dependiendo del tipo de elemento en consideración, el inicio de la fluencia puede proporcionar o no una medida adecuada de la resistencia final de un elemento. En este capítulo se define la carga de falla para un estado de fluencia general como la carga para la cual la curva de Carga vs. Deflexión se vuelve no lineal. No se consideran acá las concentraciones de esfuerzos en la forma general de la curva de Carga vs. Deflexión para materiales dúctiles por ser de poca importancia. Esta definición de la carga de falla lleva a una carga límite inferior para un modo de falla generalizado. Para elementos que están hechos de un material elastoplástico perfecto, la carga plástica última es un límite superior para la falla por fluencia generalizada, ya que dicha carga es aquella para la cual toda la sección transversal ha entrado en fluencia En la figura 4.24, se muestran las curvas de carga versus deformación en forma adimensional para dos elementos estructurales simples. El elemento A está sometido a carga uniaxial de tracción y el elemento B es una viga de sección rectangular sometida a flexión pura. Ambos elementos están hechos del mismo material, que por simplicidad asumimos como elastoplástico perfecto (segmentos OCD)

Figura 4.24. Curvas adimensionales carga-deformación, para dos elementos del mismo material

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Para el elemento A, si la carga P llega a la fluencia la denotamos por Pf, es decir la carga axial que causa que algún punto del elemento alcance el esfuerzo de fluencia f. Para el elemento B, Si el esfuerzo externo  ext   f , entonces el momento M  M f momento de fluencia, que es el momento para el cual en un punto de la fibra extrema de la viga se alcanza el esfuerzo de fluencia  f . Entonces, para elementos de sección rectangular de ancho “b” y peralte “h”, las cargas Pf y M f son:

Pf   f bh

M f   f bh2 / 6

(4.40)

Estas cargas se definen en este capítulo como las cargas de falla para fluencia generalizada. Ahora evaluemos las cargas de plasticidad total en estos elementos. Si llamamos  a la deformación unitaria en cualquier punto del elemento A y a un punto de la fibra extrema del elemento B, y llamamos f a la deformación unitaria asociada al inicio de la fluencia (esto es,  f   f / E ), se tendrá que la curva carga vs. deformación del elemento A es OCD y la del elemento B es OCF. Dado que el elemento A tiene una distribución uniforme de esfuerzos sobre su sección transversal y el material tiene un comportamiento elastoplástico perfecto, el elemento no puede soportar ninguna carga mayor a Pf . Por tanto, la carga Pf para la que se inicia la fluencia es también la carga plástica última Pp . Entonces, para el elemento A, la carga plástica última es:

Pp   f bh  Pf

(4.41)

El comportamiento del elemento B es bastante diferente que el del elemento A. Desde que el momento M f produce fluencia solamente en las fibras extremas de la viga mientras que las fibras interiores no han entrado aún en fluencia, la viga es capaz de soportar valores sustancialmente mayores de momento flector. Por tanto, la curva de carga vs. deformación del elemento B, OCF, continúa creciendo hasta que todas las fibras de la sección transversal de la viga hayan entrado en fluencia, ya sea en tracción o en compresión. En ese instante, el momento es M p , donde:

M p   f bh2 / 4  1.5M f

(4.42)

Para la sección rectangular. En general, M p  f  M f , donde el factor “ f ” se conoce como el factor de forma de la sección transversal, calculado como f  M p / M f  Z / S , donde Z es el módulo plástico de la sección y S es el módulo elástico de la sección. Se aprecia entonces que en el elemento A, el inicio de la fluencia y la fluencia extendida ocurre para el mismo valor de la carga P  Pf  Pp . Sin embargo, para el elemento B, el inicio de la fluencia ocurre con M  M f ,

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mientras que la fluencia extendida ocurre con M  M p  1.5·M f ; en consecuencia, el factor f en la sección rectangular resulta ser f  1.5 . En general, se asume que la falla ocurre cuando la fluencia se inicia en algún punto del elemento estructural. Bajo este concepto, para los dos elementos simples de la figura 4.24, la falla ocurre para las cargas que corresponden al punto C del diagrama. Sin embargo, la práctica corriente de diseño plástico emplea el concepto de la carga plástica total, la cual se requerirá calcular en ciertos casos. Para materiales con endurecimiento por deformación, la carga plástica total así definida puede calcularse para ser considerada como el límite inferior de la capacidad de un elemento con endurecimiento. Comparación de los Criterios de Falla La gran evidencia experimental indica que los criterios de Tresca y de Von Mises son aplicables a la fluencia de los materiales dúctiles. Examinamos ahora los valores críticos para estos dos criterios y otros más. Una curva típica de esfuerzo vs. Deformación para un acero dúctil se muestra en la figura 4.25. Cuando el espécimen empieza a fluir, las seis cantidades siguientes alcanzan sus valores críticos para la misma carga de fluencia Pf . 1.

El máximo esfuerzo principal (  max  Pf / A ) alcanza el valor del esfuerzo de fluencia del material  f

2.

La máxima deformación unitaria principal (  max   max / E ) alcanza el valor

 f  f / E 3.

La densidad de energía de deformación Uo absorbida por el material por unidad 2 de volumen alcanza el valor U of   f /( 2 E )

4.

El máximo esfuerzo cortante (  max  Pf / 2 A ) alcanza el valor del esfuerzo

5.

cortante de Tresca (  f   f / 2 ) La densidad de energía de distorsión UD absorbida por el material alcanza el 2 valor U Df   f / 6G

6.

El

esfuerzo

cortante

octaédrico

oct

alcanza

el

valor

 OCTf  ( 2 / 3) f  0.471 f Estas seis cantidades determinadas en un ensayo uniaxial, se ilustran en la Tabla 4.1. Puede notarse que el esfuerzo cortante octaédrico y la densidad de energía de distorsión, a pesar de ser cantidades físicas distintas, representan ambas el mismo criterio de fluencia, de Von Mises. Los seis valores críticos de la Tabla 4.1 ocurren simultáneamente en el espécimen cargado hasta la fluencia en tracción uniaxial. Por lo tanto, es imposible determinar de un ensayo de tracción cuál de las seis cantidades es el mejor indicador del comportamiento inelástico para estados de esfuerzos multiaxiales. Sin embargo, en un estado biaxial o triaxial de esfuerzos, estas seis cantidades no ocurren simultáneamente.

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Figura 4.25. Diagrama esfuerzo – deformación típica para un material dúctil Tabla 4.1. Tabla de criterio de fluencia y valor crítico en términos del ensayo en tracción Criterio de fluencia Valor crítico en términos del ensayo en tracción Máximo Esfuerzo Principal P f  f A Máxima deformación unitaria lineal

f 

f E

Densidad de energía de deformación

U Of 

f2 2·E

Máximo esfuerzo cortante

Pf

f 

2·A



f 2

Densidad energía de distorsión

U Df 

f2 6·G

;G 

E 2·(1   )

Esfuerzo cortante octaédrico

 OCT 

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2 · f 3

 0.471· f

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Significado de los Criterios de Falla Un procedimiento racional de diseño requiere que se considere un modo general de falla, por ejemplo la falla por fluencia o por fractura. Para un determinado modo de falla, cada criterio de falla identifica una cantidad que causa la falla. Esto significa que la falla ocurre cuando el valor de esa cantidad alcanza su valor crítico. Por lo tanto, debe escogerse una cantidad tal como el esfuerzo o la deformación unitaria que puede ser asociada con el inicio de la falla. Debemos determinar un valor crítico de la cantidad seleccionada para limitar las cargas, esto es, debe realizarse un ensayo adecuado del material para determinar el valor crítico. Este valor crítico es referido frecuentemente como la resistencia máxima utilizable del material. En muchos casos, un ensayo de tracción es considerado el ensayo adecuado para determinar el valor crítico o máximo de esta cantidad. Idealmente, desearíamos ensayar el material en el mismo estado de esfuerzos que experimentará en el elemento estructural real. Si esto fuera posible, no habría necesidad de criterios de falla. Si pudiésemos ensayar el elemento bajo las condiciones reales, conoceríamos el límite de falla directamente, pero esto es innecesario y antieconómico. Es importante entender cómo el criterio de falla se incorpora en un proceso de diseño racional. Lo ideal es que un único criterio de falla se aplique a todas las condiciones en que se utilice el elemento estructural que recibe cargas. Desafortunadamente, esto es mucho pedir ante la cantidad de tipo de materiales diferentes, los modos de falla (que van desde la fluencia dúctil a la fractura frágil), y las condiciones simplificatorias que se requieren para un ensayo práctico. En general, estamos limitados a dos ensayos para determinar las propiedades de los materiales, el ensayo uniaxial de tracción o compresión y el ensayo de torsión. Interpretación de los Criterios de Falla para Fluencia General Los criterios de Tresca y de Von Mises se representaron gráficamente en la figura 4.16. Allí se mostró que las mayores diferencias entre ambos criterios se dan cuando un ensayo de tracción se emplea para predecir las cargas en corte puro, como en un elemento a torsión. En la tabla 4.2, se da interpretación a cinco de las cantidades presentadas anteriormente cuando se aplican a un ensayo de tracción y a un ensayo de torsión. En la columna (2) se usa cada cantidad para predecir el esfuerzo de tracción de fluencia f. Luego, cada cantidad se usa para obtener el esfuerzo de corte en fluencia, f, de un espécimen hueco en torsión (columna (3)). Finalmente, cada una de las cinco cantidades se usa para predecir la relación entre  f y  f , en la columna (4). Si todas las cantidades fueran precisas en predecir la falla, todas ellas deberían predecir la misma relación entre  f y  f . Datos experimentales indican que  f  0.5 f para ciertos metales (especialmente los metales elastoplásticos perfectos), y que  f   f / 3 para algunos otros metales, en general el valor  f cae entre 0.5 f y  f / 3 para la mayoría de los metales restantes. Por lo tanto, la evidencia experimental indica que tanto el criterio del máximo esfuerzo cortante como el criterio del esfuerzo cortante octaédrico pueden ser empleados para predecir las cargas de falla de los metales que fallan por fluencia generalizada.

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Tabla 4.2. Tabla de comparación de máximos valores utilizados de un material, según diferentes criterios de fluencia, para estados de esfuerzo en ensayos de: tensión (Figura a) y torsión (b)

(1) CRITERIO DE FLUENCIA

(2) Predicción del valor máximo utilizable del ensayo de tracción ( Figura a)

(3) Predicción del valor máximo utilizable del ensayo de torsión ( Figura b)

Máximo Esfuerzo Principal

 max   f

 max   f

Máxima deformación unitaria lineal (   0.25 )

 max   f / E

Máximo esfuerzo cortante

 max   f

Máximo esfuerzo cortante octaédrico Máxima densidad de energía de distorsión

 oct. f

1 2 2  f 3

U Df 

 2f 6G

 max 

5f 4 E

 max   f

 oct. f  U Df 

2 f 3

 2f 2G

(4) Relación entre valores de  f y

 f si el criterio es correcto para ambos estados de esfuerzo (col.2=col.3)  f  f 4 5

f  f 1 2 1 f  f 3

f  f

f 

1 f 3

Los estados de esfuerzo en los ensayos de tracción y de torsión representan un rango amplio de casos de elementos que fallan en fluencia ante cargas estáticas. Así tenemos que en el ensayo de tracción:  max /  max  2 , y en el ensayo de torsión:  max /  max  1 . Para la barra sometida a flexión y torsión de la figura 4.26, se comparan cinco criterios diferentes para un estado de esfuerzos biaxial (esfuerzo normal  y cortante  ), con estados de esfuerzo tal que  max /  max se encuentre entre 1 y 2. Esta condición se da en un eje cilíndrico sometido a un momento torsor T y a un momento flector M . Se denota con “ ds ” al diámetro mínimo del eje necesario para prevenir el comportamiento inelástico de acuerdo al criterio del máximo esfuerzo cortante, y con “d” al diámetro mínimo de acuerdo a cualquier otro criterio (por ejemplo del máximo principal, el máximo esfuerzo octaédrico, etc). En la figura 4.26, la relación “d/ds” se grafica en

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función de la relación de momentos T / M . El rango de valores T / M varía desde 0 para M actuando sólo, hasta para T actuando sólo ( T / M   ). El caso de T / M   , se representa con la asíntota horizontal (lado derecho del gráfico). El criterio del máximo esfuerzo cortante predice el diámetro requerido más grande para todos los valores T / M  0 . Para T / M  0 todos los criterios predicen diámetros iguales.

Figura 4.26. Comparación de criterios de falla La aplicación de los criterios de Tresca y de Von Mises a estados biaxiales de esfuerzo normal  y cortante  , se muestran en la figura 4.27 en forma adimensional. Las ecuaciones que representan estas curvas se encuentran de la siguiente manera: Para Tresca Si para el criterio de Tresca, la función de fluencia es: f = e - f / 2 = 0, reemplazando para un estado plano, se tiene: 1 - 2 = f Profesor: José Acero Martínez

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Además, se sabe que los esfuerzos principales se calculan con las siguientes expresiones

1  2 

x  y 2

x  y 2



x  y 2  xy 2



x  y 2  xy 2

4

4

Para el caso de la figura 4.27, donde x   y xy   , se tendrá:

1 



2 

2



 2



2 4

 2

2 4

 2

Estas ecuaciones reemplazando en la función de fluencia, se obtiene la ecuación (4.43).

f   2     2 2 2

ó

    f

2

2

     4    1      f 

(4.43)

Para Von Mises Similarmente, de acuerdo al criterio del esfuerzo cortante octaédrico (Von Mises), la fluencia se inicia cuando se cumple la ecuación (4.44).

2 f 2· 2  6· 2  3 3

ó

    f

2

    3      f

2

  1  

(4.44)

Las ecuaciones 4.43 y 4.44 se pueden también escribir de la siguiente manera: 2 + 4  2 = f 2

(Tresca)

2 + 3  2 = f 2

(Von Mises)

y son válidas en la medida que en el punto en estudio sólo actúe una componente de esfuerzo normal  y una componente de esfuerzo cortante  . Este es el caso de vigas o barras unidimensionales sometidas a cargas externas, produciendo fuerzas internas como fuerza normal, momento flector, fuerza cortante o momento torsor (alguna o todas estas fuerzas internas). En cada caso, los esfuerzos internos  ,  se pueden determinar con las expresiones conocidas de Mecánica de Materiales. Las ecuaciones 4.43 y 4.44, se grafican en la figura 4.27, están se muestran en forma adimensional.

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Figura 4.27. Comparación de criterio de Von Mises y Tresca Ejemplo 4.4. Graficar la relación de diámetros mínimos entre los criterios de máximo esfuerzo cortante octaédrico o Von Mises (“dvm”) y máximo esfuerzo cortante (“ds”), en función de la relación T/M (momento torsor entre momento flector). Para el estado de esfuerzos de la viga circular de la figura 4.26. Sabemos que el esfuerzo normal  y cortante , debido al momento flector y torsor son: M (d / 2) M (d / 2) 32M   I (d 4 / 64) d 3





T (d / 2) M (d / 2) 16T   J (d 4 / 32) d 3

(a)

(b)

Reemplazando (a) y (b) en la ecuación (4.43) de Tresca (criterio de máximo esfuerzo cortante), se tiene el diámetro mínimo “ds”: 2

 32M   16T     3  3  2d s   d s

ds  6

1024

 2 2f

2    f 4  2

(M 2  T 2 )

(c)

Reemplazando (a) y (b) en la ecuación (4.44) de Von Mises (criterio de esfuerzo cortante máximo octaédrico), se tiene el diámetro “dvm”:

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 32M 2 3  d vm

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2

2

  16T    6 3   2 2f   d vm 

d vm  6

1024M 2  768T 2

 2 2f

(d)

Dividiendo (d) entre (c), se obtiene: d vm 6 M 2  0.75T 2  ds M 2 T2

(e)

Dividiendo dentro del radical entre M 2 , se tiene:

T  1  0.75  d vm M  6 2 ds T  1   M 

2

Graficando esta relación se tiene:

Ejemplo 4.5. El elemento de la figura, tiene un diámetro de 20mm y está hecho de un material dúctil. Las cargas estáticas P y Q son paralelas a los ejes “y” y “z”, respectivamente. Determinar la magnitud del esfuerzo de fluencia del material si la fluencia es inminente (Problema 4.26 del Libro de Boresi – 5ta edición – Página 161)

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Obteniendo los momentos en ambas direcciones se tiene: M x  150(1500)  225000 N .mm M y  200(600)  120000 N .mm

Calculando la resultante de momentos:

M  M x2  M y2  255000 N .mm Calculando el esfuerzo normal y esfuerzo cortante:



P Mc 600 4(255000)(10)     326.6MPa 2 A I  10  104



Tc 300000(10)(2)   191.0MPa J  104

Luego el esfuerzo de fluencia será:

    326.6  2     2  f     191.0 2 2 2     2

 max

2

 f  502.6MPa Otros Factores a Considerar Los criterios de falla no toman en cuenta todas las condiciones que el ingeniero debe considerar en el problema de falla, incluso para falla por fluencia de materiales dúctiles sometidos a cargas estáticas a temperaturas ordinarias. Debe recordarse que la definición de falla empleada en este capítulo está limitada al inicio de la fluencia. Se ha demostrado que una viga tiene una reserva de capacidad de sobre el momento flector que causa la primera fluencia. En realidad, para una sección rectangular, el momento de

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colapso es 50% mayor que el momento de fluencia. En otros casos, una fluencia localizada puede darse sin destruir la utilidad del elemento. Esta incursión en la fluencia produce un reajuste de esfuerzos que puede permitir un incremento notable de cargas en el elemento. En conclusión, debe remarcarse que a pesar de la capacidad de un material al endurecimiento le permitirá tener cargas mayores en su diseño, las especificaciones de diseño actuales no toman normalmente en cuenta el endurecimiento. Esto quiere decir que el concepto del denominado “diseño plástico” se basa en la carga totalmente plástica en un material con comportamiento elastoplástico perfecto. Se ha aprendido que es relativamente simple el calcular las cargas de plasticidad últimas en elementos de pórticos simples, como las vigas. Sin embargo, para el caso de elementos o partes masivas más complicadas, el cálculo de la carga plástica última se vuelve extremadamente difícil por el efecto de los estados de esfuerzo más complicados (triaxiales) en la fluencia general. Además, para elementos de pared delgada, las cargas plásticas últimas puede que nunca se alcancen. En su lugar, puede ocurrir la inestabilidad (pandeo local) después del inicio de la fluencia, lo cual complica la determinación de la capacidad de carga última de un elemento. Finalmente, en muchas instancias, la incertidumbre en la magnitud de las cargas aplicadas en las estructuras es relativamente alta. En consecuencia, los factores de carga o los factores de seguridad son también altos. Esto conlleva a aproximaciones conservadoras pero relativamente gruesas del comportamiento. 4.3 COMPORTAMIENTO INELÁSTICO DE MATERIALES Y ESTRUCTURAS SIMPLES SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN Introducción Hasta ahora el comportamiento de los materiales se ha considerado como lineal elástico, con esfuerzos que están por debajo del esfuerzo de fluencia f. Si las cargas actuantes en una estructura llegan a alcanzar en alguna sección o fibra el esfuerzo de fluencia f, el material se dice entra al rango inelástico. Pasado el límite de fluencia, la relación entre los esfuerzos y las deformaciones deja de ser lineal. Limitaciones en el uso de resultados de ensayos  -  a) Temperatura del recinto de ensayo es diferente a la de la estructura. Por ejemplo si un metal es ensayado a tracción a una temperatura sustancialmente baja, puede fallar de manera frágil. b) Velocidad de aplicación de la carga o desplazamiento El ensayo de un material, puede darse por carga por unidad de tiempo ó desplazamiento por unidad de tiempo. En el Laboratorio de Estructuras de la PUCP se usa por ejemplo para ensayos en: Tracción Flexión Corte uniones encoladas Corte uniones clavadas

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: : : :

10 mm / min 5 mm / min 0.5 mm / min 1 a 2 mm / min

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c) Efectos de la descarga y carga en reverso Si se asume que la curva - es una idealización lineal por tramos (OABCD en la figura 4.28, adaptada de Sidebottom y Chang, 1952) existen desviaciones de esta relación ideal que son básicamente las siguientes: i) ii)

La descarga no sigue la línea elástica ideal El esfuerzo de fluencia en compresión es ligeramente inferior en valor al esfuerzo de fluencia del material original

A este comportamiento se le denomina EFECTO BAUSCHINGER. La figura 4.28 muestra este comportamiento d) Efectos de estados multiaxiales de esfuerzo: en estos casos, la fluencia debe definirse por medio de algún criterio de fluencia con el denominado esfuerzo efectivo e.

Figura 4.28. Diagrama esfuerzo-deformación en tracción y compresión para acero templado de alto carbono considerando carga y descarga

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Respuesta elástica no lineal La figura 4.29 muestra diferentes tipos de respuesta no lineal: a) b) c) d)

Elástica no lineal Plástica Viscoelástica Viscoplástica

Figura 4.29. Respuesta típica no lineal: (a) elástica no lineal, (b) Plástica, (c) Viscoelástica y (d) Viscoplástica Modelos típicos para análisis inelástico La figura 4.30, muestra curvas esfuerzo deformación - idealizadas para representar matemáticamente las relaciones y poder así efectuar análisis plástico no lineal. a) b) c) d)

Respuesta elastoplástica perfecta Respuesta elástica con endurecimiento por deformación. Respuesta rígida elástica - plástica perfecta Respuesta rígida elástica con endurecimiento por deformación plástica

Una idealización común del acero es el diagrama - elastoplástico perfecto o bilineal, donde se desprecia el endurecimiento por deformación. Si el material se sigue deformando, eventualmente llegará a la rotura; si en cambio se produce una descarga hasta cero, se tendrá deformaciones permanentes o remanentes. Profesor: José Acero Martínez

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Figura 4.30. Curvas esfuerzo deformación idealizadas: (a) Elasto-plástico perfecto, (b) Elásto-plástico con endurecimiento por deformación, (c) Elasto-plástico perfectamente rígido, (d) Elásto-plástico con endurecimiento por deformación perfectamente rígido En esta parte del curso se trabajará con relaciones - elastoplástica perfecta (figura 4.30a) y en algunos casos, con relación bilineal entre - (figura 4.30b) Hipótesis básicas 1. El equilibrio es estable hasta llegar a la “fluencia total” 2. Las deformaciones son pequeñas hasta antes de la fluencia total, no se altera la geometría 3. El material es homogéneo, isotrópico y elastoplástico perfecto 4. Se cumple la hipótesis de Navier (Secciones planas) 5. El diagrama - es simétrico en tracción y compresión: los módulos de elasticidad y los esfuerzos de fluencia son iguales: Etrac = Ecomp, f trac=f comp. 6. Se asume un estado de cargas proporcional, es decir todas las cargas crecen simultáneamente en la misma proporción.

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