Cap 4 Esfuerzos y Deformaciones en Una Masa de Suelo

Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo

1. Introducción: Por lo general el esfuerzo sobre un punto no es igual en todas las direcciones, y por lo tanto es necesario estudiar el estado general de tensiones que existe en un punto y considerar la relación que existe entre los esfuerzos en direcciones direcciones diferentes Por suerte, en muchos problemas interesan los esfuerzos que actúan en una sola dirección, por ejemplo: Dirección vertical: •

•

Capacidad resistente y deformaciones en fundaciones

• Dirección •

horizontal:

Presiones de tierra en un muro de contención

2.- Concepto de esfuerzo efectivo (o tensión efectiva) Consideremos una masa de suelo saturado como muestra la figura: Nivel Freatico

Nivel Terreno

La columna de suelo por encima de X-X tiene un peso total W  z 

W= W  s + W w

Donde W  s = peso del sólido W w = peso del agua en los vacíos

X

X  Area A

Las partículas de suelo por debajo del nivel freático están sometidas a un empuje U , de tal manera que su peso efectivo W  s’  esta dado por: W  s’ = W  s - U

Luego : W  s= W  s’ + U  Y remplazado en la expresión para el peso total  W W= W  s + W w  W= W  s’ + U + W w

Como V  s = Volumen de partículas V w = Volumen de agua El empuje U  es igual a: U  = rw g V  s (principio de Arquímedes)

El peso del agua W w = rw g V w  W= W  s’ + rw g(V  s+ V w ) Como esta saturado  V  s+ V w = V; y V= A*z  W   A



W  s ' A

 r w gz 

El concepto de peso divido por unidad de área , se le conoce como tensión o esfuerzo y es representado por s, Cuando se considera el peso total de la columna, se le llama esfuerzo total s = W/A y cuando se trabaja con el peso efectivos, esfuerzo efectivo s’ = W’/A Dado que el plano X-X esta a una profundidad  z  por debajo del nivel freático, el término rw gz constituye la presión intersticial hidrostática en X-X, y se representa por u

s

 s ' u

Esta relación se le conoce como el principio de esfuerzo efectivo Y propone: En cualquier punto de una masa de suelo saturado el esfuerzo total en cualquier dirección es igual a la suma algebraica de del esfuerzo efectivo en esa dirección y la presión intersticial

3.- Esfuerzo debido al peso propio El esfuerzo vertical que existe en una masa de suelo, debido solamente a su peso propio, se denomina, esfuerzo de sobrecarga: Nivel Terreno Desnsidad sobre el Nivel Freatico= r

W= r   g(z-z w )A+ r  s gz w A

Donde:

Nivel Freatico

r= densidad aparente  r  s= densidad saturada  g = aceleración de la gravedad

 z   z w

sv s v= r   g(z-z w ) + r  s gz w

X

X  Area A

Desnsidad bajoel Nivel Freatico= rs

Considerando la presión hidrostática u a una profundidad  z w: u  rw gz

El esfuerzo vertical efectivo (o presión de sobrecarga efectiva) sobre X-X:

s 'v

 s ' u

Y sustituyendo u y sv

s 'v s 'v

  r g ( z  zw )  r s gzw   r w gz w   r g ( z  zw )   r s  r w  gz    w

Y como la densidad efectiva r’ = rs - rw

presion de sobrecarga efectiva: s 'v

 r g ( z  zw )  r ' gz w

Ejercicio: Un perfil de suelo se compone de 5 m de arena, depositados sobre 4 m de grava que descansa sobre el lecho rocoso. El nivel freático (NF) esta 2 m. Por debajo de la superficie horizontal de arena.

Nivel Freatico

 2 m.  Arena

 3 m.

4 m.

Grava

a) Determinar la distribución del esfuerzo vertical total, la presión intersticial, y el esfuerzo vertical efectivo en función de la profundidad, si se sabe que la densidad aparten de la arena sobre el NF = 1,7 T/m3, la densidad saturada de la arena por debajo del NF = 2,05 T/m 3 y la densidad saturada de la grava = 2,15 T/m 3

En la superficie:  s v =0; u=0   s ’v  = s v –  u = 0

 A dos metros de profundidad: s v =1,70*9,81*2=33,35 kN/m2 ; u=0 s ’v  = s v –  u = 33,35 kN/m2  A cinco metros de profundidad: s v =33,35+2,05*9,81*3=93,69 kN/m2 u=1*9,81*3=29,43 kN/m2 s ’v  = s v –  u = 64,26 kN/m2

NF

 2 m.

 3 m. 29,4

 4 m.

 A nueve metros de profundidad: s v =93,69+2,15*9,81*4=178,05 kN/m2 u=1*9,81*7=68,67 kN/m2 s ’v  = s v –  u = 109,38 kN/m2

 Arena

33,4

64,3

93,7 

s' v

u

sv

Grava 68,7

109,4

178,1

4.- Esfuerzos debidos a cargas aplicadas: •

Los esfuerzos se producen en la masa de suelos por la aplicación de cargas.

•

Las cargas son la resultante de obras de construcción

•

•

Edificaciones

•

Presas

•

Caminos

•

Obras Civiles

Depende de variados factores:  –

Espesor

 –

Uniformidad

 –

Tamaño

 –

Forma del área cargada

 –

propiedades de esfuerzo deformación del suelos

Propiedad de esfuerzo deformación 

El comportamiento de esfuerzo-deformación de los materiales rara vez es simple, y en el caso del suelo es más complejo

Modelos para la relación esfuerzo deformación de los materiales: F

Esfuerzo

Esfuerzo

Esfuerzo

F

R

Deformación

ELASTICO

Esfuerzo

F

Deformación

Deformación

“REAL”

PLASTICO-RIGIDO

Esfuerzo

F

F: Falla

R

Deformación

ELASTICO- PLASTICO

Deformación

ELASTICO- PLASTICO CON ABLANDAMIENTO

R: Valor Residual

Boussinesq 

En 1885 Boussinesq desarrollo expresiones matemáticas para obtener el incremento de esfuerzo en una masa semiinfinita de suelos debido a la aplicación de una carga puntual en una superficie.



Masa Semiinfinita: es una limitada por una superficie horizontal y se extiende al infinito verticalmente hacia abajo con horizontalmente en todas las direcciones

Esfuerzo causado diferentes cargas: 4.1.- CARGA PUNTUAL: P x

y

q

r z

Dsr 

Dsv

Dsq

3 P

Ds v 

2  (r 2

3

 z 2 )5 2 Dsq

 3r z   1  2  Ds r    2 2 5 2  2 2  2 2 2   (r  z  ) r  z  z r  z    P

Dsv

Dsr 

z 

2

 z  1 Ds q   1  2   2 2 3 2  2  r2  z2  z  (r  z  )

  2 2 r  z  

 P

v

Dt rz  

3 P 2  ( r 2

rz 

 z 2 )3 2

v

t

rz 

s

t

rz 

r 

t

s

s

s

r 

r 

r 

rz 

t

rz 

s

v

4.2.- CARGA PUNTUAL POR METRO DE LARGO:

q x   x

y

z Dsx

z

Ds v  Ds  x 

3

2q

z 

  (r 2

 z 2 )2

2q

x 2 z 

  (r 2

 z 2 )2

Dt rz  

2

2q

xz 

  (r 2

 z 2 )2

Dsv

4.3.- CARGA UNIFORMENETNE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA  B q





q

Ds v 

  sen  cos   2      

Ds x 

q

  sen  cos   2      

 z 

Ds xz  

Dsx

Dsv

q

 

sen  cos 

 2 

 

4.4.- CARGA TRIANGULARMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA  B q

 R1

Ds v 

 R2

  x

Dsx

Dsv

Ds x

  z 

 x   1 sen2       B 2 q

2 x  z  R 1 1     ln 2  sen 2  B R 2 2    B 

Dt xz  

q

1  cos 2   2 z    B  2   q

4.5.- CARGA UNIFORMENETNE DISTRIBUIDA SOBRE UN AREA RECTANGULAR Estudiaremos el caso del incremento del esfuerzo vertical Dsv en un punto debajo de una esquina de un área rectangular flexible uniformemente cargada: La solución se expresa como : Dsv = qI  Donde  I  es el factor de influencia, y depende del las dimensiones del área cargada ( BxL) y de la profundidad z en que se encuentra el punto. Definiendo m=B/z y n=L/z 2 2  2mn m 2  n 2  1 m 2  n 2  2  1 2 mn m  n  1  tan  I   * 2  2 2  2 2 2 2 2 2 2   4  m  n  m n  1 m  n  1 m  n 1  m n  

1

Cuando m y n son pequeños, el argumento de tan-1 es negativo, entonces: 2 2  2mn m2  n2  1 m2  n2  2  mn m n 2   1  1  2 2  I   * 2  tan     2 2  2 2 2 2 2    4  m  n  m n  1 m  n  1 m  n  1 m n     

1

Grafico del  I  =factor de influencia

q

 B  L

  z

m=B/z n=L/z

 Al conocer como calcular el incremento de presión en un punto bajo una esquina, podemos utilizarlo para saberlo en cualquier punto, ¿cómo? (1)

(2)

A

(3)

(4)

 Aplicando superposición: Dsv = q(I 1+ I 2 + I 3 + I 4 )

¿cómo lo haríamos para el siguiente caso?  b

Dsv = q(I area axb I area cxd  ) a d c

A

4.6.- CARGA UNIFORMENETNE DISTRIBUIDA SOBRE UN AREA CIRCULAR En el centro del área circular ( r =0)

 R

q

Ds v

z r

3/ 2     1    q * 1     2  1   R / z   

Dsv

Para otros puntos se usan gráficos que entregan un factor de influencia

5.- DEFORMACIONES BASADOS EN LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD En la práctica, las deformaciones que interesan son las verticales, y las llamamos asentamientos. Utilizando la teoría de la elasticidad se pueden predecir los asentamientos, en base a los siguientes parámetros del suelo: •

Módulo de Elasticidad :  E

•

Modulo de Poisson : 

El problema, es la dificultad práctica de encontrar valores representativos de estos parámetros para los suelos.

Para las arenas,  E   varían con el ancho del área cargada y la profundidad, y  varía con en grado de deformación, por lo que las estimaciones se realizan por métodos empíricos

En las arcillas saturadas, los asentamientos que se presentan inmediatamente durante la construcción, (asentamientos instantáneos o inmediatos) se producen sin ningún drenaje del agua intersticial del suelo  no hay cambio de volumen y  = 0,5 y se puede estimar razonablemente  E

Rango aproximado para E  y  : Modulo de Elasticidad  E TIPO SUELO

Lb/pulg2 

MN/m2

Modulo de Poisson 

 Arena Suelta

1.500 - 3.500

10.35 - 24.15

0.20-0.40

 Arena densa media

2.500 - 4.000

17.25 – 27.60

0.25-0.40

 Arena densa

5.000 - 8.000

34.50  – 55.20

0.30-0.45

 Arena limosa

1.500 - 2.500

10.35  – 17.25

0.20-0.45

 Arena y graba

10.000-25.000

69.00  – 172.5

0.15-0.35

 Arcilla suave

600 - 3.000

4.1  – 20.70

 Arcilla media

3.000 - 6.000

20.7  – 41.7

 Arcilla firma

6.000 -14.000

41.4  – 96.6

0.20-0.50

El asentamiento en la superficie de una masa de suelo semiinfinita para una fundación flexible superficial ( D f =0 y H=) don carga uniforme, según Harr (1966)

qB(1   )   2

S e S e

 

 E  qB(1   2 )  E 

2  

(en la esquina) (al centro )

con:  E  = Modulo de elasticidad del suelo

  = Modulo de Poisson del suelos

1

 1  m12  m1   1  m12  m1     m1 l n    =  ln  2 2  1  m1  m1       1  m  m  1 1      m1   L / B  L  Ancho de la fundacion  B  = Largo de la fundacion

Valores de :

 Asentamiento promedio Fundacion flexible S e



2 qB(1    )

 E 

 prom

Fundacion rigida S e



qB(1   2 )  E 

 r 

Pero si D f =0 y H