Cap 3, Sec 3.2, Teorema de Rolle y V.M

 

CAPÍTULO 3 SECCIÓN 3.2 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio ■ Comprender el uso del teorema de Rolle. ■ Comprender el uso del teorema del valor medio.

Teorema de Rolle El teorema del valor extremo (sección 3.1) establece que una función continua en un intervalo cerrado [a b! debe tener tanto un m"nimo como un m#ximo en el intervalo. $mbos valores sin embar%o pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle nombrado as" en &onor del matem#ti mate m#tico co franc's franc's ic&el ic&el Rolle Rolle (1*+,1 (1*+,1-1) -1) proporc proporciona iona las condici condiciones ones que %aranti/ %aranti/an an la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.

TEOREMA DE ROLLE ic&ell Ro ic&e Rolle lle mat matem# em#ti tico co fra franc nc's 's fu fue e el pr prime imero ro en pu publi blicar car en 1 11 1 el te teore orema ma qu que e lle lleva va su nombre. 0in embar%o antes de ese tiempo Rolle fue uno de los m#s severos cr"ticos del c#lculo sealando que 'ste proporcionaba resultados erróneos 2 se basaba en ra/onamientos infundados. osteriormente Rolle se dio cuenta de la utilidad del c#lculo.

EXPLORACIÓN Valores Valore s ext extremo remos s en un inte interval rvalo o cer cerrado rado 4ibu5ar un plano de coordenadas rectan%ular en un peda/o de papel. arcar los puntos (1 3) 2 (* 3). 6tili/ando un l#pi/ o una pluma dibu5ar la %r#fica de una func función ión derivable derivable f que empie/a en (1 3) 2 termina en (* 3). 7Existe al menos un punto sobre la %r#fica para el cual la derivada sea cero8 70er"a posible dibu5ar la %r#fica de manera que no &ubiera un punto para el cual la derivada es cero8 Explicar el ra/onamiento.

TEOREMA 3.3 TEOREMA DE ROLLE 0ea f continua en el intervalo cerrado [a b! 2 derivable en el intervalo abierto ( a b). 0i ƒ ( a ) =ƒ ( b ) entonces existe al menos un n9mero c en (a b) tal que

f ' ( c )= 0 .

DEMOSTRACIÓN 0ea ƒ ( a )= d =ƒ ( b ) . Caso Ca so 1: 0i

ƒ ( x  x ) =d   para pa ra todo todo  x en [a b! f es constante en el intervalo 2 por el teorema +.+

f  ( x )=0   para todo x en ' 

Caso Ca so 2: 0uponer que

(a , b ) .

ƒ ( x )> d   par para a al%9n al%9n  x en (a b). or el teorema del valor extremo se sabe ƒ ( c )> d

que f tiene un m#ximo en al%9n punto c en el intervalo. $dem#s como  este m#ximo no puede estar en los puntos terminales. 4e tal modo f tiene un m#ximo en el intervalo abierto (a b).

 

Esto implica que f (c ) es un m#ximo relativo 2 por el teorema 3.+ c es un n9mero cr"tico de f . or  9ltimo como f es derivable en c  es posible concluir que f ' (c )= 0. Caso Ca so 3: 0i

ƒ ( x )< d   para al%9n x en (a b) se puede utili/ar un ar%umento similar al del caso +

pero implicando el m"nimo en ve/ del m#ximo.

De acuerdo con el teorema de Rolle, puede verse que si una función b]

y derivable en (a, b), y si

f

es continua en [a,

ƒ ( a )=ƒ ( b ) ,  debe existir al menos un valor x entre a y b en

el cual la gráca de f tiene una tangente !ori"ontal, como se muestra en la  gura #$% a$ &i se elimina el requerimiento de derivabilidad del teorema de Rolle, f seguirá teniendo un n'mero crtico en ( a, b), pero qui"á no produ"ca una tangente !ori"ontal$ n caso de este tipo se presenta en la gura #$%b$

FIGURA 3. EJEMPLO 1 Il!"tra#$%& del teorema de Rolle Encontrar las dos intersecciones en x de 2 f   (( x )= x − 3 x + 2 2 demostrar que

f ' ( x )=0  en al%9n punto entre las dos intersecciones en  x .

que f es derivable en toda la recta real. :%ualando a ;

E& lo" e,er#$#$o" 3- 4 32 #o0$ar la 8r+$#a 4 d$*!,ar la re#ta "e#a&te a la m$"ma a tra'" de lo" 0!&to" 5a  ƒ5a66 4 5b  ƒ5b66. De"0!" d$*!,ar #!al1!$er re#ta ta&8e&te a la 8r+$#a 0ara #ada 'alor de c 8ara&t$>ada 0or el teorema del 'alor med$o.

 

0olución>

0olución>

 

!edacci#n E& lo" e,er#$#$o" 33 a 3 e/0l$#ar 0or 1! el teorema de 'alor med$o &o "e a0l$#a a la !&#$%& ƒ e& el $&ter'alo

0olución>

 

35. f  ( ( x ) =

 1

 x − 3

0olución>

36.

f   (( x ) =| x − 0olución>

3

|

2 3B. eorema del valor medio Considerar la %r#fica de la función f   (( x )=− x + 5 . a) 4eterminar la

ecuación de la recta secante que une los puntos (,1 G) 2 (+ 1). b) 6tili/ar el teorema del valor medio para determinar un punto c en el intervalo (,1 +) tal que la recta tan%ente en c sea paralela a la recta secante. c )) Encontrar c . la ecuación la recta tan%ente que pasa por representar d  6tili/ar despu's una de &erramienta de %raficación para eorema ma del valor medio Consid Considerar erar la %r#fica de la función f   (( x )= x 2− x − 12 . a). Encontrar la 3. eore ecuación de la recta secante que une los puntos (,+ ,) 2 (G ;). b) Emplear el teorema del valor  medio para determinar un punto c en el intervalo (,+ G) tal que la recta tan%ente en c sea paralela a

 

la recta secante. c ) 4eterminar la ecuación de la recta tan%ente que pasa por c . d ) 6tili/ar despu's una &erramienta de %raficación para representar

E& lo" e,er#$#$o" 3: a ( determ$&ar "$ el teorema del 'alor med$o 0!ede a0l$#ar"e a  ƒ "o*re el $&ter'alo #errado

 x 1 , − ,2  x + 1 2

[ ]

 

50. f   (( x ) = x −2 se senx nx , [− π , π  ] ]

0olución>

51. f  ( ( x ) =√  x  x , [ 1, 9 ]

0olución>

 

52. f  ( ( x ) = x

0olución>

4

−2 x 3+ x2 , [ 0, 0,6 6]

 

73. Movimiento vertical @a altura de un ob5eto tres se%undos despu's de que se de5a caer desde 2 una altura de 3;; metros es s ( t )=− 4,9 t  + 300 . a) Encontrar la velocidad promedio del ob5eto durante los primeros tres se%undos. b) 6tili/ar el teorema del valor medio para verificar que en al%9n momento durante los primeros tres se%undos de la ca"da la velocidad instant#nea es i%ual a la velocidad promedio. 4eterminar ese momento. 0olución>

7(. Ventas 6na compa"a introduce un nuevo producto para el cual el n9mero de unidades vendidas S es

(

 ( t )= 200 5−

 )

 9 2 + t 

donde t es el tiempo en meses. a) Encontrar el valor promedio de cambio de S(t ) durante el primer ao. b) 74urante qu' mes del primer ao SJ(t ) es i%ual al valor promedio de cambio8 0olución>

De"arrollo de #o&#e0to"

 

77. 0ea < continua en [ a b! 2 derivable en (a b). 0i existe c en (a b) tal que

-. Velocidad 4os ciclistas empie/an una carrera a las H>;; a.m. $mbos terminan la carrera + &oras 2 1* minutos despu's. 4emostrar en qu' momento de la carrera los ciclistas via5an a la misma velocidad. 0olución>

2.  $celera  $celeraci#n ci#n  $ las >13 a.m. un automóvil automóvil deportivo deportivo via5a a 3* millas por &ora. 4os minutos despu's se despla/a a H* millas por &ora. 4emostrar despu's 4emostrar que en al%9n momento durante este intervalo intervalo la aceleración del automóvil es exactamente i%ual a 1 *;; millas por &ora al cuadrado. 0olución>

3. Considerar la función

f  ( ( x )=3cos

2

(  ) πx 2

.

a) 6tili/ar una &erramienta de %raficación para representar < 2 ' 

74. f  ( x )= 4, ( 0, 1)

0olución> 75. f  ( x )=2 x , ( 1, 0) ' 

0olución> 76. f  ( x )=2 x + 3, ( 1, 0) ' 

0olución> )Verdadero o (also* E& lo" e,er#$#$o" BB a ; determ$&ar "$ el e&!&#$ado e" 'erdadero o al"o.

S$ e" al"o e/0l$#ar 0or 1! o dar !& e,em0lo 1!e lo dem!e"tre. BB. El teorema del valor medio puede aplicarse a ƒ ( x )= 1 / x  en el intervalo [,1 1!. 0olución>

B. 0i la %r#fica de una función tiene tres intersecciones con el e5e  x  entonces debe tener al menos dos puntos en los cuales su recta tan%ente es &ori/ontal. 0olución>

B:. 0i la %r#fica de una función polinomial tiene tres intersecciones con el e5e  x  entonces debe tener  al menos dos puntos en los cuales su recta tan%ente es &ori/ontal. 0olución>

;. 0i ƒ ' ( x )=0  para todo x en el dominio de 4emost stra rarr que que si a > 0   2 n es cualquie cualquierr entero entero positiv positivo o entonce entonces s la función función polinom polinomial ial -. 4emo 2 n+ 1  p ( x  x )= x  no puede tener dos ra"ces reales. 0olución>

 

2. 4emostrar que si ƒ ' ( x )=0  para todo x en el intervalo (a b) entonces < es constante en ( a b). 0olución>

2 3. 0ea  p (  xx )= $ x + %x + C  . 4emostrar que para cualquier intervalo [ a b! el valor c %aranti/ado por 

el teorema del valor medio es el punto medio del intervalo. 0olución>

2 3 2 (. a) 0ea ƒ (  xx ) = x  y g ( x )=− x + x + 3 x + 2 . Entonces ƒ (−1)= g (−1)   2

ƒ ( 2 )= g ( 2 ) . 4emostrar 

que &a2 al menos un valor c en el intervalo (,1 +) donde la recta tan%ente a < en ( c 