Cap 2 Esfuerzos y Deformaciones en Pavimentos Flexibles

CAPITULO 2

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES

1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES la teoría de Boussinesq se usa para determinar

esfuerzos, deformaciones y deflexiones en la sub base, si la relación de módulos entre el pavimento y sub base es cerca de la unidad. Si es mayor dicha relación la ecuación debe ser modificada.

1.1 SOLUCIONES POR CUADROS Foster y Ahlvin (1954) presentan cuadros para determinar esfuerzos verticales del z, esfuerzo radial r, esfuerzos tangenciales t, esfuerzos cortantes rz y la deflexión vertical Wo La carga es aplicada sobre un área circular de radio “a” y carga “q” porque la relación de Poisson tiene un efecto relativamente en los esfuerzos y deflexiones.

Los mismos Foster y Ahlvin asumen un espacio (medio) que es incomprensible con una relación de Poisson de 0.5.

Ahlvin y Ulery mejorarán este trabajo presentando una serie de ecuaciones y tablas mediante las cuales peden ser calculados los esfuerzos, deformaciones y deflexiones para cualquier módulo de Poisson. Después de obtener los esfuerzos en los cuadros las deformaciones pueden ser calculadas con las siguientes expresiones t 

1  t    z   r  

z 

1  z    r   t  

1  r   r    t   z  

Si el área de contacto consiste en dos círculos los esfuerzos y deformaciones pueden ser calculados por superposición.

EJERCICIO N 01 (Pág. 52) En la figura se muestra un espacio (medio) cargado con dos cargas circulares cada una de 10 in de diámetro y espaciado a 20 m del centro. La presión sobre el área circular es 50 psi. El espacio medio tiene un modulo e elasticidad de 10000psi, µ = 0.5. determinar el esfuerzo y deformación vertical en el punto A, el cual esta localizado 10 in debajo del centro de uno de los círculos

1.2 SOLUCIONES EN EL EJE DE

SIMETRÍA Cuando la carga es aplicada sobre el área circular cargada, el esfuerzo más crítico, la deformación y la deflexión ocurren debajo del centro del área circular, en el eje de simetría donde rz= 0 y r = t por lo tanto z y r son los esfuerzos principales.

PLACA FLEXIBLE La carga aplicada de la llanta, hacia el pavimento es similar a la placa flexible con un radio “a” y una presión uniforme ”q”. Los esfuerzos debajo del centro de la placa puede ser determinados por:  z3  z  q 1  2 2  a  z



 1.5  



 q 21   z z3  r  1  2     2 2 0. 5 2 2 1.5 2  a  z  a  z  

1   q 1  2  z   E



a

2 z 2

 z2 

0. 5



Para todo µ=0.5



  a 2  z 2 1.5  z3

1   qa  E



r 

a

 2 2  a  z







0.5



1   q 1  2  21   z



1  2 2 a  z2 a

3qa 2

2E a 2  z 2

 

2E





0.5

En la superficie del espacio medio z = 0





2 1   2 qa 0  E

0.5

a



 z  

2

 z2



0.5



 1.5  a 2  z 2 



z3



EJEMPLO N 02 (Pág. 53 ) Igual que el ejemplo N 01 excepto en que solamente exista una area acragada y el modulo de Poisson es de 0.3, como se muestra en la figura. Determinar esfuerzos, deformaciones y Deflexiones en el punto A

SOLUCIÓN.-

PLACA RIGIDA Todos los análisis acerca del tema están basados en asumir que las cargas aplicadas en una placa flexible, por la llanta de la goma. Si la carga es aplicada en una placa rígida, como es usado en el ensayo de una placa cargada, la deflexión es las misma en todos los puntos de la placa, pero la presión distribuida debajo de la placa no es uniforme, las diferencias entre una placa rígida y otra flexible se muestra en el siguiente gráfico:

La distribución de presiones debajo de la placa rígida, puede ser expresada como: qr  



qa

2 a2  r 2



0.5

r : distancia del centro al punto donde calculamos la presión q : presión promedio la cual es igual al total de la carga dividida por el área. La presión más pequeña es la que se encuentra en el centro y es igual a la mitad de la presión promedio; la presión en el borde de la placa es infinita. La deflexión debida a todas las cargas puntuales se puede dar por: 0 

 1   2 qa 2E

1.3 MASA NO LINEAL La soluciones de Boussinesq están basadas en la suposición que el material que constituye el medio espacio es linealmente elástica, es conocido que el suelo de la sub capa no es elástica y se encuentra en una deformación permanente debajo de las capas estacionarias. No obstante está aplicada repetidamente a cargas de tráfico en movimiento. La mayoría de las deformaciones son recuperables y pueden ser consideradas elásticas. Por consiguiente es posible seleccionar módulos elásticos que correspondan a las velocidades de carga en movimiento. La deformación axial del material elástico lineal debajo del esfuerzo axial debe ser independiente de la presión de confinamiento. Esto evidentemente no es verdadero para suelos porque las deformaciones axiales dependen fuertemente de la magnitud de la presión de confinamiento.

MÉTODO ITERATIVO

Se muestra al efecto de no linealidad de materiales granulares en esfuerzos verticales y deflexiones, Huang dividio el espacio en siete capas y aplico la teoría de capas de Boussinesq para determinar los esfuerzos a la mitad de cada capa, en la cual la última capa se considera rígida y con un módulo de elasticidad grande.

Después de haber obtenido los esfuerzos, el módulo de elasticidad de cada capa esta dada por

E  E0 1     : Son los esfuerzos que no varían o se suman los tres esfuerzos normales E : Módulo de elasticidad debajo de los esfuerzos invariantes dados Eo: Es el módulo de elasticidad inicial o el modulo de elasticidad cuando el esfuerzo es cero  : Constante de suelo que indica el incremento del módulo de elasticidad por unidad de incremento en esfuerzo invariante

Nótese que los esfuerzos invariantes deben incluir los efectos de las cargas aplicadas así como los esfuerzos geostáticos que pueden ser expresados como

   z   r   t   .z 1  2 K 0  z,r,t : Esfuerzos vertical, radial y tangencial  : Peso unitario específico de suelo z : Distancia entre la superficie de suelo Ko: Coeficiente de presión del suelo (tierra en reposo)

Primero se asume el módulo de elasticidad para cada capa y se obtienen los esfuerzos aplicando la teoría de capas. Basado en los esfuerzos así obtenidos. Se itera hasta que los módulos en las dos últimas iteraciones sean iguales o aproximadas.

Los esfuerzos verticales no son afectados por la distancia radial, puede utilizarse r = 0 ó r =  para su determinación. Pero los desplazamientos verticales son tremendamente afectados.

Huang utiliza el método de los elementos finitos y encontró que las características no lineales de los suelos tienen un gran efecto en los desplazamientos verticales y radiales.

MÉTODO APROXIMADO En este método se divide el medio o espacio en un número de capas, en las cuales los puntos medios de dichas capas se calculan los esfuerzos con la teoría de Boussinesq basados en la teoría lineal. Los módulos de elasticidad de cada capa son determinados por la ecuación E=E0(1+). La deformación en cada capa es la diferencia en deflexión entre la parte superior y baja de cada capa basadas en E dados, estas pueden ser obtenidos empezando de la base rígida o altura más lejana de la superficie donde el desplazamiento vertical puede ser asumido como cero, las deformaciones son añadidas de varias alturas

Cálculo de deformación para cada capa

Diferencias en los esfuerzos y módulos entre las soluciones de Boussinesq y Burmister

2. SISTEMAS DE CAPAS 2.1 SISTEMA DE DOS CAPAS El caso exacto de un sistema de dos capas es el full-depth, construido en cada espesor de capa de un HMA es colocado directamente en la sub capa. Si un pavimento esta compuesto por tres capas, de una capa de una superficie de asfalto, de una capa de base granular y de una sub capa, es necesario la combinación de la capa de la base y de la sub base dentro de una capa simple para calcular los esfuerzos y deformaciones en la capa de asfalto o la combinación de la superficie de asfalto y la capa de la base para calcular los esfuerzos y deformaciones en la sub capa.

ESFUERZOS VERTICALES Los esfuerzos verticales en la parte superior de la sub base es un factor importante en el diseño de pavimentos. La función de un pavimento es reducir el esfuerzo vertical en la sub base, por lo tanto las deformaciones perjudiciales del pavimento no ocurrirán. La fatiga por el esfuerzo vertical dado en una sub capa dependen de las deformaciones o módulos en la sub capa. La combinación de efectos, esfuerzos y deformaciones, el esfuerzo de compresión vertical puede ser usado más frecuentemente como un criterio de diseño. Esta simplificación es válida para pavimentos de super carreteras y aeropuertos porque la deformación vertical es causada primordialmente por el esfuerzo vertical y el efecto del esfuerzo horizontal es relativamente pequeño

La deformación vertical no es buen indicador de los esfuerzos verticales, los esfuerzos en los sistemas de dos capas depende de la relación de capas E1/E2 y al relación entre la altura y el radio del area cargada h/a, y solo es aplicable cuando h=a o h/a= 1 y la relación de Poisson para todos los casos es de 0.5. Se puede ver que los esfuerzos verticales decrecen significativamente con el incremento de la relación de los módulos

DEFLEXIÓN VERTICAL EN LA SUPERFICIE Las deflexiones verticales de la superficie puede ser usado como un criterio de diseño de pavimentos. La figura 2.17 puede ser usada para determinar la deflexión vertical en la superficie para un sistema de dos capas. Estas deflexiones están en función de la carga q, del area “a” y de un factor de deflexión F2. 0 

1.5qa F2 E2

Si la carga es aplicada en una carga rígida la ecuación es: 0 

1.18 qa F2 E2

F2 se calcula en el cuadro siguiente

DEFLEXIONES VERTICALES EN LA INTERFASE La deflexión vertical en la interfase puede ser usada también como un criterio de diseño. El cuadro 2.19 puede ser usado para determinar la deflexión vertical en la interfase en un sistema de dos capas. La deflexión esta expresada en términos del factor de deflexión F, de la carga Q y del radio “a” qa  F E2

; donde F2  F, donde F se halla en los cuadros 2.19

DEFORMACIONES POR TENSION CRÍTICA La deformaciones por tensión critica en la parte baja de la capa de asfalto, puede ser usada como criterio de diseño para prevenir la rotura por fatiga del pavimento. Dos tipos de deformaciones principales pueden ser considerados, una es la deformación completa de las seis capas componentes normales y los esfuerzos cortantes. El otro es la deformación principal horizontal basada en el esfuerzo normal y cortante únicamente. Las deformaciones por tensión critica para la interfase de un sistema de dos capas puede calcularse con:

Las deformaciones por tensión critica están en función de la carga q, de E y de un factor de deformación “e” q e Fe E1

Fe: Se determina de la tabla

RUEDA SIMPLE.En muchos casos las deformaciones por tensión critica ocurre debajo del centro del area cargada donde el esfuerzo cortante es cero, siempre que entre ambas relaciones H1/a y E1/E2 sean pequeñas. Las deformaciónes por tensión critica ocurren a algunas distancias del centro debido al efecto predominante de los esfuerzos cortantes, debido a esta situación la deformación de tensión critica esta a una distancia radial de 0.05a, a y 1.5a de centro

Ejemplo.-

a

qp

 *q

a

9000  a  6.50in 3.1416 * 67.7

h 8 h    1.23 a 6.5 a E1 150000 E   1  10 E 2 15000 E2

Entrando a la tabla 2.21 con h1/a = 1.23 y E1/E2 = 10 obtenemos Fe = 0.72 Sabemos que : e

q 67 .7 Fe  e  * 0.72  e  3.25  10  4 E1 150000

RUEDA DOBLE O DUALES El factor de deformación para una rueda dual con un radio de contacto “a” y un doble espaciamiento Sd (distancia entre ejes), depende de Sd/a conjuntamente con E1/E2 y h1/a. Para este caso se usa la tabla 2.23. En este método la rueda dual es remplazado por una rueda simple con el mismo radio de contacto “a” así que la figura 2.21 puede ser usada. El factor de deformación para una rueda dual es mayor que para un rueda simple.

La multiplicación del factor de conversión por el factor de deformación obtenido de la figura 2.21 nos da el factor de deformación para una rueda doble, mientras la relación h/a y Sd/a permanece constante el factor de deformación permanece constante sin importar si el radio de contacto es mayor o menor.

Considerando Sd = 24 inch y un radio a = 3 inch el factor de deformación para h1, E1/E2, puede ser calculada con el factor de conversión de la figura 2.23, considerando también Sd = 24 inch y un radio de 8 inch se calculara otro factor de conversión con dicho factor y de la ecuación 2.19 se calcula el factor de conversión de la rueda dual. Para obtener los factores de conversión de cada caso mencionado (a=3 inch, a=8inch) se utilizara las formulas 2.18a y 2.18b (2.18b para entra en el cuadro 2.23). como se dijo la figura 2.23 esta basada en un Sd = 24 inch. Para la conversión de cualquier valor de Sd a un Sd = 24 inch usamos la misma proporción para el cambio de “a” y h1, haciendo permanecer que h1/a y Sd/a mantengan su valor.

Dicho procedimiento se muestra a continuación.

24 a'  a Sd 24 h1 '  h1 Sd Para determinar el factor de conversión de la rueda simple a la dual utilizaremos la siguiente ecuación: C = C1 + 0.2(a’-3) x (C2 - C1)

RUEDA DUAL TANDEM El uso de los graficos siguientes, es similar al grafico 2.23 manteniendo Sd = 24 inch y haciendo variar un St (Espaciamiento Tandem) a 24”, 48”, 72” el procedimiento para cada caso es similar al de una rueda dual. El Sd dado se debe a un Sd de 24 in manteniendo la misma relación del Sd dado con el Sd de 24 y haciendo variar el radio de contacto “a” se calcula el St nuevo, este piede ser St = 24,48,72 y 120, caso contrario se deberá interpolar para determinar el coeficiente de variación con dos tablas que contengan dicho St

SISTEMA DE TRES CAPAS La figura 2.29 muestra un sistema de 3 capas y un esfuerzo en la interfase y que se encuentra en el eje axial de simetría. Este esfuerzo incluye el esfuerzo vertical en la interfase1, z1 , el esfuerzo vertical en la interfase 2, z2 y el esfuerzo radial en la base de la capa 1, r, el esfuerzo radial encima de la capa 2 r1’, el esfuerzo radial en el fondo de la capa 2 r2 y un esfuerzo radial encima de la capa 3 r2’ .

Nótese que en el eje el esfuerzo axial de simetría, el esfuerzo tangencial y radial son idénticos y el esfuerzo de corte igual a cero. Cuando Poisson igual a 0.5 la ecuación 2.1 será: 1 ( z   r ) E 1  r  ( r   t ) E

z 

La relación entre las dos ecuaciones es:

 z  2 r

En la ecuación anterior se puede visualizar físicamente para el hecho de un material incompresible con una relación de Poisson de 0.5 la deformación horizontal es igual a una porción de la deformación vertical y la suma z, r, t es igual a cero.

TABLA DE JONES Los esfuerzos en los sistemas de tres capas dependen de las relaciones: K1 

E1 E2

A

a h2

K2 

E2 E3

H

h1 h2

Con las tablas de Jones podemos determinar z1, z1-r1, z2, z2-r2 también se tiene z1-r1’ (encima de la capa 2) y z2-r2’ (encima de la capa 3).  z1   ' r 1   z2   'r 2 

 z1   r 1 K1

 z2   r2 K2

Las tablas presentadas por Jones para valores de K1, K2 igual a 0.2, 20, 200 las soluciones para valores intermedios de K1,K2, se puede interpolar, pero esta interpolación no es práctica para el diseño prefiriéndose Kenlayer. La tabla 2.3 presenta factores de esfuerzo para un sistema de tres capas  z1  q( ZZ1)  z 2  q ( ZZ 2)  z1   r1  q ( ZZ1  RR1)  z 2   r 2  q ( ZZ 2  RR2)

DIAGRAMAS DE PEALTIES Este permite evaluar las deformaciones radiales en la base de la capa 1, estas deformaciones radiales Er se pueden evaluar en función de la carga y de los módulos de elasticidad y establece que la deformación radial es:

r 

q  RR1  ZZ 1    E 2 