Cap 13 Sears

14

 

MOVIMIENTO PERIÓDICO

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE  Al e studi ar e ste c apítu lo, u sted   apre nder á:

• Cómo describ describir ir las oscilac oscilacione iones s en términos de amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular. • Cómo efec efectuar tuar cálc cálculos ulos de movimiento armónico simple, un tipo de oscilación importante. importante.

Los perros caminan mucho más rápido que los humanos. ¿Esto se debe

a que las patas de los perros son más cortas que las piernas de ? principalmente los humanos, menos masivas que las piernas de los humanos, o es resultado de ambas cosas?

armónico simple. • Cómo aplic aplicar ar los los concepto conceptos s relacionados con el movimiento

M

uchos tipos de movimiento movimiento se repiten una y otra vez: la vibración de un cristal de cuarzo en un reloj de pulso, el péndulo oscilante de un reloj con pedestal, las vibraciones sonoras sonoras producidas por un clarinete clarinete o un tubo de órgano y el movimiento periódico de los pistones de un motor de combustión. A esta clase de movimiento le llamamos movimiento periódico u oscilación, y será será el tema del presente capítulo. Su comprensión será indispensable para nuestro estudio posteriorr de las ondas, el sonido, la corriente terio corriente alterna alterna y la luz. Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición posición y se suelta, entra en acción una fuerza o torca para hacerlo regresar regresar al equilibrio. Sin embargo, para cuando llega ahí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su movimiento hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado impulsado nuevamente nuevamente hacia su posición de equilibrio. Imagine una pelota que rueda de un lado a otro dentro de un tazón redondo, o un péndulo que oscila pasando pasando por su posición vertical. vertical. En este capítulo, nos concentraremos en dos ejemplos sencillos de sistemas con movimiento periódico: los sistemas resorte-masa resorte-masa y los péndulos. También También veremos por qué algunas oscilaciones oscilaciones tienden a detenerse con el tiempo, y otras tienen desplazamientos cada vez mayores con respecto al equilibrio cuando actúan fuerzas periódicamente variables.

14.1

• Cómo utili utilizar zar los los concepto conceptos s de energía para analizar el movimiento

armónico simple en diferentes situaciones físicas. • Cómo analiz analizar ar los movimi movimiento entos s de un péndulo simple. • Qué es es un péndul péndulo o físico físico y cómo calcular las propiedades de su movimiento. • Qué determ determina ina la la duración duración de una oscilación. • Cómo una una fuerza fuerza aplica aplicada da a un oscilador en la frecuencia adecuada puede causar una respuesta o resonancia muy grande.

Descripción de la oscilación

Uno de los sistemas más sencillos que puede tener movimiento periódico se muestra en la figura 14.1. Un cuerpo con masa m se mantiene sobre una guía horizontal sin fricción, como una pista o un riel riel de aire, de modo que solo puede desplaza desplazarse rse a lo largo largo del eje  x . El cuerpo está conectado a un resorte de masa despreciable que puede estirarse o comprimirse. comprimirse. El extremo izquierdo izquierdo del resorte está fijo, y el derecho está unido al cuerpo. La fuerza del resorte es la única fuerza horizontal que actúa sobre el cuerpo; las fuerzas normal y gravitacional verticales en este caso suman cero.

14.1 Sistema que puede tener movimiento

periódico.  y

Posición de equilibrio (resorte relajado)

Resorte O

 x 

m

437

 

438   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.2 Modelo de movimiento periódico.

Lo más sencillo es definir nuestro sistema de coordenadas con el origen O en la posición de equilibrio, donde el resorte no está estirado posición estirado ni comprimido. Así,  x  es la componente x  del desplazamiento del cuerpo con respecto al equilibrio y también es el cambio de longitud del resorte. La componente  x  de la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo es F  x  y la componente  x  de la aceleración, a x , est estáá dada dada por por a ) a x  F  x m. La figura 14.2 muestra el cuerpo para tres desplazamientos diferentes del resorte.  x  0: el deslizador  F x  0, así que  a x  0: se desplaza a la dereel resorte estirado tira Siempre que el cuerpo se desplaza con respecto a su posición de equilibrio, la fuerza cha desde la posición del deslizador hacia la del resorte tiende a regresarlo a dicha posición. Llamamos a una fuerza con esa caracde equilibrio. posición de equilibrio. terística fuerza de restitución. Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de a x   y  y restitución que tiende a regresar el sistema a la posición de equilibrio. Analicemos cómo se da la oscilación en este sistema. Si desplazamos el cuerpo a n F  x   x  F  x  la derecha hasta  x   A y lo soltamos, la fuerza total y la aceleración aceleración son hacia la iz x   x  quierda (figura 14.2a). La rapidez aumenta conforme el cuerpo se aproxima a la posimg ción de equilibrio O. Cuando el cuerpo está en O, la fuerza neta neta que actúa sobre sobre él es cero (figura 14.2b), pero, a causa causa de de su movimi movimiento, ento, rebasa la posición de equilibrio.  b ) En el otro lado de esa esa posición, posición, el cuerpo se sigue sigue moviendo moviendo a la izquierda, izquierda, pero la  x   0: el resorte relajado no ejerce ninguna fuerza total y la aceleración son a la derecha (figura 14.2 c ); por lo tanto, la rapidez tanto, rapidez fuerza sobre el deslizador, de manera que este tiene aceleración cero. disminuye dismin uye hasta que el cuerpo se detiene. detiene. Después demostra demostraremos remos que, con un resorte resor te ideal, el punto en el que se detiene detiene es  x   A. Ahora el cuerpo acelera hacia  y  y la derecha, derecha, rebasa otra otra vez el equilibrio, equilibrio, y se detiene en el punto punto inicial x  A, li list sto o n para repetir todo el proceso. ¡El cuerpo está oscilando! Si no hay fricción u otra O  x   x  fuerza que elimine energía mecánica del sistema, el movimiento se repetirá eternamg mente; la fuerza de restitución tirará perpetuamente del cuerpo hacia la posición de Cuando el cuerpo está desplazado con respecto a la posición de equilibrio en  x  0, el resorte ejerce una fuerza de restitución dirigida hacia la posición de equilibrio.   =

  =

  =

5

  =

-

=

c  )  x 

 F x 

0, así que  a x  el resorte comprimido empuja el deslizador hacia la posición de equilibrio. a  y

0: el deslizador se desplaza a la izquierda desde la posición de equilibrio.  y  x 

equilibrio, por la cual el cuerpo pasará una y otra vez. En situaciones situaciones diferentes, diferentes, la fuerza puede depender depender de diversas diversas maneras del desplazamiento x con respecto al equilibrio, equilibrio, pero siempre habrá oscilación si la fuerza 0: es de restitución y tiende a regresar al sistema al punto de equilibrio.

 x 

n

F  x 

F  x 

 x 

 x  mg

Amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular Veamos algunos términos que usaremos al analizar movimientos periódicos de todo tipo: La amplitud del movimiento, movimiento, denotada con A, es la magnitud magnitud máxima del del desplazamiento zamient o con respecto al equilibrio, equilibrio, es decir, decir, el valor máximo máximo de  x   x  y siempre es positiva. Si el resorte de la figura 14.2 es ideal, el rango global del movimiento es 2 A. La unidad de A en el SI es el metro. Una vibración vibración completa, completa, o ciclo, es un viaje redondo (de ida y vuelta), vuelta), digamos de  A a  A y de regreso a  A, o bie bien, n, de O a  A, reg regres resando ando por O hasta  A y volviendo a O. Observe que el movimiento de un lado al otro (digamos,, de  A a A) es medio ciclo, no un ciclo completo. mos completo. -

-

-

 Aplicación Frecuencias de las alas El colibrí garganta rubí (Archilochus (Archilochus colubris ) normalmente bate sus alas en aproximadamente 50 Hz, produciendo su sonido carac terístico. Los insectos pueden batir sus alas a un ritmo aún más rápido, desde 330 Hz para una mosca doméstica y 600 Hz para un mosquito, hasta una cifra increíble de 1040 Hz para el diminuto jején (Ceratopogonidae ). ).

El periodo, T , es el tiempo que tarda tarda un ciclo, y siempre es positiv positivo. o. La unidad del periodo en el SI es el segundo, aunque a veces se expresa como “segundos por ciclo”. La frecuencia, f , es el número de ciclos ciclos en la unidad unidad de tiempo, y siempre es posipositiva. La unidad de la frecuencia en el SI es el hertz: 1 hertz

=

1 Hz

=

1 ciclos

=

1s

1

-

Esta unidad se llama así en honor del físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894), un pionero en la investigación de las ondas electromagnéticas. La frecuencia angular, v, es 2p veces la frecuencia: v

=

2p f 

Pronto veremos para qué sirve v; representa la rapidez de cambio de una cantidad angular (no necesariamente relacionada con un movimiento de rotación) que siempre se mide en radianes, radianes, de modo que sus unidades son rads. Puesto que f está en cicloss, podemos considerar que el número 2p tiene unidades de radciclo. Por las definiciones de periodo T y frecuencia f , es evidente que uno es el recíproco del otro:

 f 

  =

  T  1

T 

  =

1 ƒ

(relaciones entre frecuencia y periodo)

 

(14.1)

 

14.2 Movimiento armónico simple

439

También, por la definición de v, v =

Ejemplo 14.1

2pƒ   =

2p T 

(frecuencia angular)

 

(14.2)

Periodo, frecuencia y frecuencia angular

Un transductor ultrasónico empleado para el diagnóstico médico oscila con una frecuencia de 6.7 MHz = 6.7  * 106 Hz. ¿Cuánto tarda cada oscilación, y qué frecuencia angular tiene?

EJECUTAR: De las ecuaciones (14.1) y (14.2), T   = v =

SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Nuestras incógnitas son el periodo T  y la

=

frecuencia angular v. Podemos obtener esas variables empleando la frecuencia f en las ecuaciones (14.1) y (14.2), respectivamente.

=

1

1

-7 = 1.5   * 10 s   = 0.15 ms 6.7   * 106 Hz 2p f   = 2p 16.7   * 106 Hz2

ƒ

=

  12 p rad> ciclo216. 7   * 10 6  ciclo > s 2 4.2   * 10 7 rad> s

EVALUAR: Esta es una vibración vibración muy rápida, rápida, con  f y

v grandes y T  pequeño. Una vibración lenta tiene f y v peque pequeñas, ñas, y T grande.

Evalúe su comprensión de la sección 14.1

Un cuerpo como el de la figura 14.2 oscila de un lado a otro. Para cada uno de los siguientes valores de la velocidad v x  y la aceleración a x  del cuerpo, indique si el desplazamiento x es positivo, negativo o cero. a) v x  7 0 y a x  7 0; b) v x  7 0 y a x  6 0; c) v x  6 0 y a x  7 0; d ) v x  6 0 y a x  6 0; e) v x  = 0 y a x  6 0; f ) v x  7 0 y a x  = 0.

14.2

Movimiento armónico simple

El tipo de oscilación más sencillo sucede cuando la fuerza de restitución F  x es directamente proporcional al desplazamiento x desplazamiento x con respecto al equilibrio. Esto ocurre si el resorte de las figuras 14.1 y 14.2 es ideal y obedece la ley de Hooke. La constante de proporcionalidad entre F  x y x   x es es la constante de fuerza k . (De ser necesario, necesario, repase la ley de Hooke y la definición de la constante de fuerza en la sección 6.3). En ambos lados de la posición de equilibrio, F  x y x  siempre tienen signos opuestos. En la sección  x siempre 6.3, repres representamos entamos la fuerza fuerza que actúa sobre un resorte ideal estirado como F  x  = kx . La componente x componente  x de la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo es el negativo de esta, así que la componente componente x   x de de la fuerza F  x  sobre el cuerpo es F   x  = -kx 

(fuerza de restitución ejercida por un resorte ideal)

 

(14.3)

14.3 Un resorte ideal ejerce una fuerza

Esta ecuación da la magnitud y el signo correctos de la fuerza, ya sea x  sea x positi positivo, vo, negativo o cero (figura 14.3). La constante de fuerza k siempre es positiva y tiene unidades de N m (también resultan útiles las unidades de kg s2). Estamos suponiendo que no hay fricción, fricción, así que la ecuación (14.3) da la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. Cuando la fuerza de restitución es directamente proporcional proporcional al desplazamiento con respecto respe cto al equilibrio, como en la ecuación ecuación (14.3), la oscilación se denomina denomina movimiento armónico simple, que se abrevia como MAS. La aceleración a x  = d 2 x dt 2 = F  x m de un cuerpo en MAS está dada por

de restitución que obedece la ley de Hooke, F  x  = -k  x . La oscilación con esta fuerza de restitución se denomina movimiento armónico simple. Fuerza de restitución F  x   x  , 0

F   x  . 0

Desplazamiento  x 

a x   =

d 2 x  dt 2

  = - 

k     x  m

O

(movimiento armónico simple)

 

(14.4)

El signo menos indica que la aceleración y el desplazamiento siempre tienen signos opuestos. Esta aceleración no es constante, así que olvídese de usar las ecuaciones para para aceleración constante del capítulo 2. Más adelante veremos cómo resolver esta ecuación para obtener el desplazamiento x  desplazamiento  x en en función del tiempo. Un cuerpo que está en movimiento armónico simple se denomina oscilador armónico.

 x  . 0

F   x  , 0

La fuerza de restitución ejercida por un resorte ideal es directamente proporcional al desplazamiento (ley de Hooke, F  x  5 2kx ): ): la gráfica de F  x  contra  x  es  es una recta.

 

440   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.4 En casi todas las oscilaciones reales,

¿Por qué es importante el movimiento armónico simple? Tenga presente que no todos los movimientos periódicos son armónicos simples; en el movimiento periódico en general, la relación entre la fuerza fuerza de restitución y el desplazamiento desplazamiento es más complicada que la ecuación (14.3). No obstante, en muchos sistemas, sistemas, la fuerza de restitución es aproximadamente proporcional al desplazamiento si este es lo suficientemente pequeño (figura 14.4). 14.4). Es decir, decir, si la amplitud es pequeña, las oscilaciones de tales sistemas son más o menos armónicas armónicas simples y, por lo tanto, la ecuación (14.4) las describe en forma aproximada. Así, podemos usar el MAS como modelo aproximado de muchos movimientos periódicos distintos, distintos, como la vibración del cristal cristal de cuarzo de un reloj de pulso, pulso, el movimiento de un diapasón, la corriente eléctrica en un circuito de corriente alterna y las vibraciones de los átomos en moléculas y sólidos.

se aplica la ley de Hooke siempre que el cuerpo no se aleje tanto del equilibrio. En tal caso, las oscilaciones tienen amplitud pequeña y son casi armónicas simples. Caso ideal: la fuerza de restitución obedece la ley de Hooke (F  (F  ), así que la gráfica  x  5 2kx ), de F  x  contra  contra x   es una línea recta.  x  es Fuerza de restitución F   x 

Caso típico real: la fuerza de restitución se desvía de la ley de Hooke ... O

Desplazamiento x  Desplazamiento x 

Movimiento circular y ecuaciones del MAS Para explorar las propiedades del movimiento armónico simple, debemos expresar el desplazamiento  x  del cuerpo oscilante en función del tiempo,  x (t ). ). La segunda derivada de esta función, d 2 x dt 2, debe ser ser igual igual a (-k m) multiplicado por la función misma, como lo pide la ecuación (14.4). Ya hemos mencionado que las fórmulas para aceleración constante de la sección 2.4 no son útiles aquí, porque la aceleración cambia constantemente al cambiar el desplazamiento  x . En cambio, obtendr obtendremos emos  x (t ) aprovechando la notable similitud entre el MAS y otra forma de movimiento que ya estudiamos. La figura 14.5a muestra la vista superior de un disco horizontal de radio  A con una esfera pegada a su borde en el punto Q. El disco gira con rapidez angular constante v

... pero F   x  5 2kx  puede ser una buena aproximación a la fuerza si el desplazamiento x  desplazamiento  es suficientemente pequeño.  x  es

(que se mide en rads), así que la esfera tiene movimiento circular uniforme. Un haz de luz horizontal incide en el disco y proyecta la sombra de la esfera en una pantalla. La sombra en el punto P oscila conforme la esfera se mueve en un círculo. Luego instalamos un cuerpo sujeto a un resorte ideal, como la combinación de las figuras 14.1 y 14.2, de modo que el cuerpo oscile paralelo a la sombra. Demostraremos que el movimiento del cuerpo y el movimiento de la sombra de la esfera son idénticos, cuando la amplitud de la oscilación del cuerpo es igual al radio del disco  A, y si si la la frecuencia angular 2p f del cuerpo oscilante es igual a la rapidez angular v del disco. Esto es, el movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uni forme sobre un diámetro. Podemos comprobar esta notable afirmación calculando la aceleración de la sombra en P y comparándola comparándola con la aceleración aceleración de un cuerpo cuerpo en MAS, MAS, dada por la ecuación (14.4). El círculo en el que la esfera se mueve, de modo que su proyección coincide con el movimiento del cuerpo oscilante, se denomina círculo de referenc referencia ia; llamaremos a Q el  punto de referencia. Tomamos el círculo círculo de referencia referencia en el plano

14.5   a ) Relación entre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple.  b ) La sombra de la esfera se mueve exactamente como

un cuerpo que oscila unido a un resorte ideal. a ) Aparato para crear el círculo de referencia

Pantalla vertical iluminada Mientras en la tornamesa la esfera Q se mueve con movimiento circular uniforme, su sombra P se mueve de un

 2 A

 

P

O

 A

b ) Representación abstracta del movimiento en a )

Sombra de la esfera en la pantalla Sombra de la esfera

 y

Q

Esfera en la tornamesa giratoria

Q  A

La bola se mueve con movimiento circular uniforme.

 A u

La sombra oscila en MAS sobre el eje x  eje x .

P

 x 

O 

lado a otro en movimiento armónico simple en la pantalla.

v

Iluminación Mesa

Haz de luz

 

 x  A cos

u

 

14.2 Movimiento armónico simple

  441

 xy, con el el origen origen O en el centro del círculo (figura 14.5 b). En el instante t , el vec vecto torr OQ del origen al punto de referencia Q forma un ángulo u con el eje + x. Al girar Q en el círculo de referencia con rapidez angular constante v, el vect vector or OQ gira con la misma rapidez angular. Un vector giratorio así se denomina fasor. (Este término estaba en uso mucho antes de inventarse el arma del mismo nombre del programa de TV “Viaje a las estrellas”. El método de fasores para analizar oscilaciones es útil en muchas áreas de la física. Usaremos los fasores cuando estudiemos los circuitos de corriente corrie nte alterna alterna en el capítulo 31, volume volumen n 2, y la interferencia interferencia de la luz en los capícapítulos 35 y 36, 36, volume volumen n 2). La componente x del fasor en el instante t es la coordenada x del punto Q:  x  =  =  A cos

u

 

(14.5)

Esta es también la coordenada  x de la sombra P, que es la la  proyección de Q sobre el eje x. Por lo tanto, tanto, la velocidad velocidad x de la sombra P en el eje x es igual a la componente x  del vector velocidad del punto de referencia Q (figura 14.6a) y la aceleración x de P es igual a la componente x del vector aceleración de Q (figura 14.6b). Puesto que Q está en mov movimie imiento nto cir circula cularr unif uniform orme, e, su vec vector tor acel acelera eración ción  a Q sie siempr mpree apunt apuntaa hacia hacia O. Además, Adem ás, la magni magnitud tud de  a Q es cons constant tantee y es es igual igual a la vel velocid ocidad ad angul angular ar al al cuadra cuadrado do multiplicada por el radio del círculo (véase la sección 9.3): S

S

14.6   a ) La velocidad x y  b ) la aceleración

de x de la sombra de la esfera representada por el punto P (véase la figura 14.5) son las componentes x de los vectores velocidad y aceleración aceler ación,, respe respectiv ctivament amente, e, de la esfer esferaa Q. a ) Uso del círculo de referencia para

determinar la velocidad x  del   del punto P  y

aQ   =   v2 A

(14.6)

v

Q

u

Q

S

La figura 14.6b muestra que la componente  x  de  a Q es a x   = -aQ cos u. Combinando esto con las ecuaciones (14.5) y (14.6), vemos que la aceleración del punto P es

a x   =

2

- aQ cos u   = - v  A cos u

o

 

(14.7)

2

a x   =

- v  x 

 

k  m

 

o

v =

 b ) Uso del círculo de referencia para

determinar la aceleración x  del   del punto P  y Q

A 

k 

(14.9)

u

aQ

m

Hemos estado usando el mismo símbolo v para la rapidez angular del punto de referencia Q y la  frecuencia angular del punto oscilante P. La razón es que ¡estas cantidades son iguales! Si Q completa una revolución en un tiempo T , P completa un ciclo de oscilación en el mismo tiempo; por lo tanto, T  es el periodo de la oscilación. Durante el tiempo T , el pu punt nto o Q gira 2p radianes radianes,, así que su rapidez rapidez angular angular es v   = 2pT. Esta es la ecuación (14.2) para la frecuencia angular de P, lo cual cual verifica verifica nuestra afirmación acerca de las dos interpretaciones de v. Por ello, ello, introdu introdujimos jimos la la frecuencia angular en la sección 14.1; es la cantidad que vincula la oscilación y el movimiento circular. Así, reinterpretamos la ecuación (14.9) como una expresión de la frecuencia angular del movimiento armónico simple para un cuerpo de masa m, sobre el que actúa una fuerza de restitución con constante de fuerza k :

A 

k 

m

 x 

  5 2vQ sen u  x 

v

u

v =

P

(14.8)

La aceleración del punto P es directamente proporcional al desplazamiento  x y siempre tiene el signo opuesto. Estas son precisamente las características distintivas del movimiento armónico simple. La ecuación (14.8) es exactamente igual a la ecuación (14.4) para la aceleración de un oscilador armónico, armónico, siempr siempree que la rapidez angular angular v del punto de referencia Q esté relacionada con la constante de fuerza k y la masa m del cuerpo oscilante por 2 v =

u

O

(movimiento armónico simple)

 

(14.10)

Cuando un cuerpo comienza a oscilar en un MAS, no podemos elegir el valor de v, pu pues es está predeterminado por los valores de k  y m. Las unidades de k son Nm, o bien bien,, kgs2, as asíí que que k m está en (kgs2)kg = s-2. Cuando obtenemos obtenemos la raíz cuadrada cuadrada en la ecuación (14.10), (14.10), obtenem obtenemos os s-1 o, me mejo jorr dicho, dicho, ra rad ds, porque se se trata de una una frecuencia angular (recuerde que el radián no es una unidad verdadera).

O

P

 x 

a x   5 2aQ cos u 

 

442

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico

periodo o T son De acuerdo con las ecuaciones (14.1) y (14.2), la frecuencia f y el period

ƒ =

T   =

14.7 Cuanto mayor sea la masa m de

2 

los brazos de un diapasón, más baja será la frecuencia de oscilación ƒ   =   11 > 2 p2  k  k>  m y más bajo será el tono del sonido producido por el diapasón. Brazos con masa m grande: frecuencia baja  f    128 Hz 5

1 ƒ

v

=

2p =

2p v

1 2p =

A 

k 

 

(movimiento armónico simple)

m

A 

2p 

m k 

 

(14.11)

(movimiento armónico simple)   (14.12)

A partir de la ecuación (14.12), vemos que una masa mayor m, con su mayor mayor inercia, inercia, tiene menos aceleración, se mueve más lentamente y tarda más en completar un ciclo (figura 14.7). En cambio, un resorte más rígido rígido (con mayor constante de fuerza k ) ejerce una mayor fuerza para una deformación  x  dada, causand causando o una mayor mayor aceleaceleración,, rapide ración rapideces ces más altas y ciclos más cortos. cortos.

CUIDADO No confunda frecuencia con frecuencia angular Podemos meternos en problemas, si no distinguimos entre frecuencia  f y frecuencia angular v   = 2p f. La frecuencia nos indica cuántos ciclos de oscilación ocurren por segundo; mientras que la frecuencia angular nos dice a cuántos radianes por segundo corresponde esto en el círculo de referencia. Al resolver problemas, fíjese bien si el objetivo objetivo es obtener f o v.

Periodo y amplitud en el MAS Las ecuaciones (14.11) y (14.12) indican que el periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple están determinados solamente por la masa m y la constante

Brazos con masa m pequeña: frecuencia alta  f    4096 Hz 5

de fuerza k. En el movimiento armónico simple, el periodo y la frecuencia no dependen de la amplitud A. Para valores valores dados dados de m y k , el tiempo de de una oscilación oscilación completa es el mismo, sea la amplitud grande o pequeña. La ecuación (14.3) muestra por qué esto es lógico. Una mayor A implica que la masa alcanza valores mayores de  x   x  y está sujeta a fuerzas de restitución mayores. Esto aumenta la rapidez media del cuerpo durante un ciclo completo, lo cual compensa exactamente la necesidad de recorrer una mayor distancia, distancia, de modo que el tiempo total es el mismo. En esencia, esencia, las oscilaciones oscilaciones de un diapasón diapasón son movimient movimiento o armónico simple, simple, lo que significa significa que tal instrumento siempre siempre vibra con la misma frecuencia, frecuencia, sea cual fuere la amplitud. Esto permite usar el diapasón como estándar para el tono musical. Si no fuera por esta característica del movimiento armónico simple, sería imposible hacer que los relojes mecánicos y electrónicos que conocemos fueran exactos, y tampoco podríamos tocar afinadamente la mayoría de los instrumentos musicales. Si encontramos un cuerpo oscilante cuyo periodo sí depende de la amplitud, su movimiento no es armónic armónico o simple. simple.

Ejemplo 14.2 Frecuencia angular, angular, frecuencia y periodo del MAS Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Se conecta una balanza de resorte al extremo libre y se da un tirón hacia la derecha (figura 14.8a), indicando que la fuerza de de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un desplazamiento de 0.030 m. Quitamos la balanza de resorte y conectamos un deslizador de 0.50 kg al extremo, extremo, tiramos de él hasta moverlo 0.020 m a la derecha por una pista de aire sin fricción, y lo soltamos a partir del reposo (figura 14.8b). a) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcule la frecuencia frecuencia angular, la frecuencia f y el periodo T  de la oscilación resultante.

SOLUCIÓN

14.8   a ) La fuerza ejercida sobre el resorte (indicada por el vector F )

tiene componente x : F  x  = +6.0 N. La fuerza ejercida por el resorte tiene componente x : F  x  = -6.0 N.  b ) Un deslizador está unido al mismo resorte y se le permite oscilar.

   6.0 N

a )

F 

 x  m

   0

 x 

5

 b )

   0.030 m

  x  m

5

   0.50 kg 5

 x 

IDENTIFICAR y PLANTEAR: Puesto que la fuerza del resorte (con magnitud igual a la fuerza de estiramiento) es proporcional al desplazamiento, el movimiento es armónico armónico simple. Encontramos Encontramos la constante de la fuerza k  usand usando o la ley ley de Hooke Hooke,, ecuaci ecuación ón (14.3), (14.3), y v,  f  y T , usando las ecuaciones (14.10), (14.10), (14.11) y (14.12), respectivamente.

5

   0

 x 

5

   0.020 m

  x 

5

 

  

443

14.2 Movimiento armónico simple

EVALUAR: La amplitud de la oscilación es de 0.020 m, la distancia que movimos el deslizador conectado al resorte antes de soltarlo. No necesitamos esta información información para calcular la frecuencia angular, angular, la frecuenciaa ni el periodo porque, cuenci porque, en el MAS, ningu ninguna na de esas cantidades cantidades depende de la amplitud. El periodo por lo regular se da en “ segundos”, y no en “segundos por ciclo”.

EJECUTAR: a) Cuando  x   = 0.030 m, la fuerza que que el resorte ejerce ejerce sobre la balanza de resorte es F  x  = -6.0 N. De acuerdo con la ecuación (14.3),

k   =

- 

F   x 

 x 

= - 

 N 0.030 m - 6.0

200 N> m   = 200 kg> s2

=

b) Usando m  = 0.50 kg en la ecuación (14.10), vemos que

k 

v = ƒ = T   =

=

m

20 0  kg > s 2

A  B   v

2p 1 ƒ

=

=

0.50 kg 20  rad> s 

2 p rad> ciclo 1

3. 2  ciclos > s

=

20  rad> s

3. 2  ciclos > s   = 3. 2  Hz

=

0.31 s

=

Desplazamiento, velocidad y aceleración en el MAS Aún necesitamos obtener el desplazamiento x en función del tiempo para un oscilador armónico. La ecuación (14.4) para un cuerpo en movimiento armónico simple en el eje x es idéntica a la ecuación (14.8), (14.8), para la coordenada coordenada x del punto de referencia en movimiento ci circular un uniforme co con ra rapidez an angular co constante v   = k > m . Por lo k  tanto, la ecuación ecuación (14.5),  x   =  A cos   u, descri describe be la coordena coordenada da  x  para ambas situaciones. Si en t   = 0, el fas fasor or OQ forma un ángulo f (letra griega phi) con el eje + x , entonces en cualquier instante posterior t , est estee ángulo ángulo será será u   =   vt   +  f  f.. Sustituimos esto en la ecuación (14.5) para obtener

 2 

 x   =  A cos 1vt   +   f2

(desplazamiento del MAS)

 2 

 

PhET: Motion in 2D ActivPhysics 9.1: Position Graphs and Equations ActivPhysics 9.2: Describing Vibrational Motion ActivPhysics 9.5: Age Drops Tarzan

(14.13)

donde v   = k>  m . La figura 14.9 muestra una gráfica de la ecuación (14.13) para el k  caso específico en que f = 0. El desplazamiento x es una función periódica del tiempo, como se espera en el MAS. También podríamos haber escrito la ecuación (14.13) en términos términ os de la función seno en vez de coseno, usando la identidad identidad cos a   = sen( sen(a a +  p2). En el movimiento armónico simple, la posición es una función periódica sinusoidal del tiempo. Hay muchas otras funciones periódicas, pero ninguna tan sencilla como una función seno o coseno. El valor del coseno siempre está entre -1 y 1, por lo que en la ecuación ecuación (14.13) (14.13) x  siempre está entre - A y A. Esto confirma que A es la amplitud del movimiento. El periodo T es lo que tarda un ciclo de oscilaci oscilación, ón, como se muestra en la figura 14.9. La función coseno se repite cada vez que la cantidad entre paréntesis de la ecuación

14.9 Gráfica de x contra t [véase la ecua-

ción (14.13)] para el movimiento armónico simple. El caso mostrado tiene f = 0.  x 

    A

 x 

máx

1 2 T 

1 2  T 

5

O

t 

T   x 

2

   

máx

5

2T 

 A

2

 = 0, el tiempo (14.13) aumenta en 2p 2p radianes. Si comenzamos en t  = tiempo T para completar un ciclo está dado por

vT   =

A 

k 

m

T   = 2p

 

 

 

o

A 

T   = 2p 

m k 

que es exactamente la ecuación (14.12). Un cambio de m o de k modifica el periodo de oscilación, oscilación, como se muestra en las figuras 14.10a y 14.10b. El periodo no depende de la amplitud A (figura 14.10c). 14.10 Variaciones del movimiento armónico simple. En todos los casos, f a ) m aumenta;  A y k  son  son iguales

 x 

O

2

0 [véase la ecuación (14.13)].

 b ) k  aumenta;  aumenta;  A y m son iguales

La masa m aumenta de la curva 1 a la 2 a la 3; incrementar solamente m aumenta el periodo. 1

=

 x 

3

 y m son iguales c  )  A aumenta; k  y

La constante de fuerza k  aumenta  aumenta de la curva 1 a la 2 a la 3; incrementar solamente k  reduce  reduce el periodo.

 x 

La amplitud  A aumenta de la curva 1 a la 2 a la 3. El cambio de  A no afecta el periodo.

3 2 1 t 

O

t 

O

1 2 3

 

t 

 

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico

444

14.11 Variaciones del MAS:

desplazamiento contra tiempo para el desplazamiento mismo oscilador armónico, armónico, pero ángulos de fase f distintos. Estas tres curvas muestran el MAS con periodo T  y  y amplitud  A iguales, pero ángulos de fase f distintos.

La constante f de la ecuación (14.13) es el ángulo de fase, que nos indica en qué punto del ciclo se encontraba el movimiento cuando t = 0 (o en qué parte del círculo estaba el punto Q en t = 0). Denotamos la posición en t = 0 con x 0. Sustituyendo t = 0 y x  =  =  x 0 en la ecuación (14.13) obtenemos (14.14)

 x 0   =  A cos f

 x 

f50 f5 p 4 f5 p 2

 A O

Si f   = 0, ento entonces nces x 0 = A co coss 0 =  A; por lo tanto, el cuerpo parte del desplazami desplazamiento ento  

t 

2 A T 

T 

4

2

T 

3T  4

positivo máximo. Si f = p, ent entonce oncess x 0 = A cos p = - A; por lo tanto, la partícula partícula parte del desplazamiento negativo máximo. Si f   =  p 2, ento entonces nces x 0 =  A cos( cos(p p2)   = 0; por lo tanto, la partícula parte del origen. La figura 14.11 muestra el desplazamiento x  contra el tiempo para tres diferentes ángulos de fase. Encontramos la velocidad v x  y la aceleración a x  en función del tiempo para un oscilador armónico derivando la ecuación (14.13) con respecto al tiempo:

v x  

a x   = 14.12 Gráficas de:  a ) x contra t ,  b )  v x  contra

t y c  ) a x  contra t para un cuerpo en MAS. Para el movimiento representado en estas gráficas, f = p3.

d v x  dt 

=

=

dx  dt 

d 2 x  dt 2

1vt   +   f2

= - v A sen

2

1vt   +   f2

  = - v  A cos

 x  5  A  A

 x máx 5  A  A

cos (vt  1 f)

O

t 

 x máx 5 2 A

T 

2T  T 

 b ) Velocidad v x  en función del tiempo t  v

 x 

v

 5 2v A sen (vt  1 f)

 x 

5 v A máx 

v

t 

O

2vmáx 5 2v A

T 

T 

2 La gráfica v x 2t  se  se desplaza por 1  4 de ciclo con respecto respecto a la gráfica x 2t . c  ) Aceleración a  x  en función del tiempo t  a x 

a x  5 2v  A 2

cos (vt  1 f)

amáx 5 v  A 2

t 

O

2amáx 5 2v  A 2

T  1

2T 

La gráfica a x -t se desplaza 4 de ciclo con respecto a la gráfica v x -t  y 1 ciclo con 2 respecto a la gráfica x -t .

(aceleración en el MAS)   (14.16)

La velocidad v x  oscila entre vmáx   = +v A y   -vmáx = -v A, y la ace aceler lerac ació ión n a x  oscila 2 2 entre a = +v  A y -a = -v  A (figura 14.12). Si comparamos la ecuación (14.16) máx máx con la (14.13) y recordamos que v2 = k m [ecuació [ecuación n (14.9)], vemos que

a ) Desplazamiento x  en  en función del tiempo t   x 

(velocidad en el MAS)   (14.15)

a x   =

2

- v  x   = -  

k     x  m

que es justamente la ecuación (14.4) para el movimiento armónico simple. Esto confirma que es correcta la ecuación (14.13) para  x en función del tiempo. Ya antes dedujimos geométricamente la ecuación (14.16), tomando la componente  x del vector aceleración del punto de referencia Q. Esto se hizo en la figura 14.6b y la ecuación (14.7) (recuerde que u   =  v t +  f  f). ). Del mismo mismo modo, modo, podría podríamos mos haber haber deriderivado la ecuación (14.15) tomando la componente  x  del vector velocidad de Q (figura 14.6b). Dejamos los detalles al lector. Observe que la gráfica sinusoidal de desplazamiento contra tiempo (figura 14.12a) está desplazada un cuarto de periodo con respecto a la de velocidad contra tiempo (figura 14.12b), y medio periodo con respecto respecto a la de aceleración contra contra tiempo (figura 14.12c). La figura 14.13 muestra por qué ocurre así. Cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio equilibrio y el desplazamiento desplazamiento es cero, la velocidad velocidad es vmáx, o bi bien en,, -vmáx (dependiendo de la dirección de movimiento) y la aceleración es cero. Cuando el cuerpo está en su desplazamiento máximo positivo ( x  =  = + A) o negativo ( x   x  =  = - A), la velocidad es cero y el cuerpo se encuentra momentáneamente en reposo. En estos puntos,, la fuerza de restitución puntos restitución F  x = -kx  y la aceleración del cuerpo tienen su magnitud máxima. En x  = ace- = + A la aceleración es negativa e igual a -amáx. En  x  =  = - A, la ace leración es positiva: a x  = +amáx. Si conocemos la posición y la velocidad iniciales  x 0 y v0 x  del cuerpo cuerpo oscilante, oscilante, podemos determinar la amplitud A y el ángulo de fase f como sigue. v0 x  es la velocidad inicial en t = 0; si sustitui sustituimos mos v x  =  v 0 x  y t  = (14.15), vemos que  = 0 en la ecuación (14.15), v0 x  

= - v A sen f

(14.17)

 

 

445

14.2 Movimiento armónico simple

Para calcular f, divida la ecuación (14.17) entre la (14.14). (14.14). Esto elimina A y produce una ecuación de la que podemos despejar f:

14.13 Cómo varían la velocidad v x  y la

aceleración a x  durante un ciclo en un MAS.  x 

v0 x 

 x 0

=

- v A sen f

 A cos f

= - v tan f  x  

 

5

f   = arctan

a

- 

v0 x 

v x 0

b

(ángulo de fase en el MAS)

 

 A  x  

2

 0

x    A

5

5

(14.18)  A

2

 A /2  A  /2

 

0

2

 A /2  A  /2 a x  

 

 A

amáx

 2

También es fácil calcular la amplitud  A si conocemos  x 0 y v0 x . Bosqu Bosquejaremos ejaremos la deducción y dejaremos los detalles al lector. Eleve al cuadrado la ecuación (14.14); luego divida la ecuación (14.17) entre v, elével elévelaa al cuadrado y súmela súmela al cuadrado de la ecuación (14.14). El miembro derecho será  A2(sen2 f + cos2 f), que es igua iguall a A2. El resultado final es

v

   0

 x 

 x 

5

a x 

 x 

v

 x 

v

   

 x 

5

a x  

 0

5

 x 

v

2

máx

a x 

 x 

v

 x 

 A   =

B 

 x 02 +

a x  

2

v0 x 

v2

(amplitud en el MAS)

 

(14.19)

v

   0

 x 

 amáx

5

 x 

5

a x 

 x 

v

 x 

Observe que si el cuerpo tiene tanto un desplazamiento inicial  x 0 como una velocidad inicial v0 x disti distinta nta de cero, cero, la amplitud amplitud  A no es igual al desplazamiento inicial. Eso es lógico; si el cuerpo parte de un x 0 positivo y se le imparte una velocidad positiva positiva v0 x , llegará más lejos que x 0 antes de regresar.

a x  

 0

5

   vmáx

v

5

 x 

a x  v

 x 

 x 

a

   

 x 

5

2

a

máx v

 x 

   0

 x 

Estrategia para resolver problemas 14.1

 x 

5

Movimiento armónico simple I: descripción del movimiento

IDENTIFICAR los conceptos importantes: Un sistema oscilante tiene

EJECUTAR la solución como sigue:

movimiento armónico simple (MAS) únicamente si la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento.

1. Use las ecuaciones ecuaciones dadas dadas en las secciones secciones 14.1 y 14.2 para obtener obtener las incógnitas. 2. Para encon encontrar trar los los valore valoress de x ,  v x  y a x  en diversos diversos instantes, use las ecuaciones ecuacio nes (14.13), (14.13), (14. (14.15) 15) y (14.16), resp respectiv ectivamente amente.. Si se dan la posición x 0 y la velocidad inicial v0 x , se puede determin determinar ar el ángulo de fase f y la amplitud  A a partir de las ecuaciones (14.18) y (14.19). Si el cuerpo tiene un desplazamiento inicial positivo  x 0 pero velocidad inicial cero ( v0 x   = 0), la amplitu amplitud d es  A =  x 0 y el ángulo de fase es f   = 0. Si el cuerpo tiene velocidad inicial posi-

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos: 1. Identifique Identifique las las cantidades cantidades conocida conocidass y desconocida desconocidas, s, y determine determine cuáles son las incógnitas. 2. Disti Distinga nga entre entre dos clases clases de cantidade cantidades. s. Las  propiedades básicas del sistema incluyen la masa m, la constante constante de fuerza fuerza k y las cantidades derivadas de m y k , como el el periodo periodo T , la frecue frecuencia ncia f  y la frecuencia angular . Estas soncómo independientes  propiedades del movimiento, quevdescriben se comportadeellas sistema cuando se pone en movimiento de una forma específica, e incluyen la amplitud  A, la velocidad velocidad máxima máxima vmáx, el ángulo ángulo de fase fase f y los valores de x ,  v x  y a x  en un instante dado. 3. Si es es neces necesari ario, o, defi defina na un un eje eje x como en la figura figura 14.13, con la posición de equilibrio en x  =  = 0.

tiva v0 x  pero ningún desplazamiento inicial ( x   x 0   = 0), la amplitu amplitud d es  A =   v0 x v y el ángulo de fase es f   = -p2. Exprese todos los ángulos de fase en radianes. asegurarse de EVALUAR la respuesta: Compruebe sus resultados para asegurarse que sean congruentes. congruentes. Por ejemplo, suponga que usó  x 0 y v0 x  con la finalidad de obtener expresiones generales para  x y   v x  en el instante t . Si sustituye t   = 0 en estas expresiones, deberá obtener los valores valores correctos de x 0 y v0 x .

Ejemplo 14.3 Descripción del MAS Al deslizador del ejemplo 14.2 le impartiremos un desplazamiento inicial  x 0  = +0.015 m y una velocidad inicial v0 x  = +0.40 ms. a) Determine el periodo, la amplitud y el ángulo ángulo de fase del movimiento. para desplazamiento, velocidad y aceleración en b) Escriba ecuaciones para función del tiempo.

SOLUCIÓN en eldesarrolladas ejemplo 14.2,en lasesta oscilaciones IDENTIFICAR y PLANTEAR: son de un MAS. Usamos las Como ecuaciones sección y los valores dados k  =  = 200 Nm, m  = 0.50 kg, x 0 y v0 x  para calcular las incógnitas A y f y las expresiones para x ,  v x  y a x . Continúa

 

446   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico b) El desplazamiento, la velocidad y la aceleración en cualquier instante están dados por por las ecuaciones (14.13), (14.13), (14.15) y (14.16), (14.16), respectivamente. Sustituyendo los valores, obtenemos

EJECUTAR: a) En el MAS el periodo y la frecuencia angular son  proamplitud,  piedades del sistema que dependen solo de k  y m, no de la amplitud, y por lo tanto son iguales que en el ejemplo 14.2 ( T   = 0.31 s y v   = 20 rads). De acuerdo con la ecuación (14.19), la amplitud es  A   =

B 

 x 02

+

2 v0 x  

  =

2

v

B 1

2 11

0.015  m

2

+

>2 >2

0.40  m s 20  rad s

2   =

2

 1

2 31 > 2 1   > 2 31   > 2 1   > 2 31   > 2

v  x  

0.025 m

= -

a x   =

Para obtener el ángulo ángulo de fase, usamos la ecuación (14.18): (14.18):

-

=

arctan

- 

- 

 

v x 

sustituyendo

t   = 0 y evaluando el resultado. Deberá obtener  x   =  x 0   = 0.015 m y v x  =  v 0 x  = 0.40 ms.

v x 0

0.40 m s

4

10 m s2 cos  20 rad s t   - 0.93 rad

EVALUAR: Podrá comprobar los resultados para  x  y

0 x 

a b  > a 1   > 21

4

0.50 m s  sen   20 rad s t   - 0.93  rad

v

f   = arctan

4

 x   = 0.025 m  cos  20 rad s t   - 0.93 rad

2b

20 rad s 0.015 m

 rad

  = - 53°   = - 0.93

Evalúe su comprensión de la sección 14.2

Se une un deslizador a un resorte, como se indica en la figura 14.13. Si el deslizador se mueve mueve a x  =  = 0.10 m y se suelta del reposo en el tiempo t  = oscilará ará con amplitud amplitud A  = 0.10 m y ángulo de  = 0, oscil fase f = 0. a) Suponga ahora que en t  =  = 0 el deslizador está en  x  =  = 0.10 m y se mueve a la derecha como se indica en la figura 14.13. En tal situación, ¿la amplitud es mayor, mayor, menor o igual que 0.10 m? ¿El ángulo de fase es mayor, mayor, menor o igual que cero? b) Suponga ahora que en t  =  = 0 el deslizador está en  x  =  = 0.10 m y se mueve a la izquierda como se muestra e n la figura 14.13. En tal situación, ¿la amplitud es mayor, mayor, menor o igual que que 0.10 m? ¿El ángulo de fase es mayor, mayor, menor o igual que cero?

14.3 PhET: Masses & Springs ActivPhysics 9.3: Vibrational Energy ActivPhysics 9.4: Two Ways to Weigh Young Tarzan ActivPhysics 9.6: Releasing a Vibrating Skier I ActivPhysics 9.7: Releasing a Vibrating Skier II ActivPhysics 9.8: One- and Two-Sprin Two-Spring g Vibrating Systems ActivPhysics 9.9: Vibro-Ride

Energía en el movimiento armónico simple

Podemos aprender aún más acerca del movimiento armónico simple usando consideraciones de energía. Examinemos otra vez el cuerpo que oscila en el extremo de un resorte en las figuras 14.2 y 14.13. Ya señalamos que la fuerza del resorte es la única fuerza horizontal que actúa sobre el cuerpo. La fuerza ejercida por un resorte ideal es conservati conser vativa va y las fuerzas verticales verticales no efectúan efectúan trabajo, así que se conser va la energía mecánica total del sistema . También supondremos que la masa del resorte es despreciable. 1 La en eneergía cinét étiica del cuer erpo po es K   = 2 mv2 y la en eneergía potenc nciial del res esor ortte es 1 U   = 2 kx 2, igual que en la sección 7.2. (Sería útil repasar dicha sección). No hay fuerzas no conservativas conservativas que efectúen trabajo, así que se conserva conserva la energía mecánica total E = K + U :

 E   =

1 1 2 2 2  mv x  + 2  kx  =

(14.20)

constante

(Puesto que el movimiento es unidimensional,  v 2 =  v x 2). La energía mecánica total  E también está relacionada directamente con la amplitud  A del movimiento. Cuando el cuerpo llega al punto  x  = despla plazami zamiento ento máximo máximo  =  A, su des con respecto al equilibrio, se detiene momentáneamente antes de volver hacia la posición de equilibrio. equilibrio. Es decir, cuando x  = Aquí, la energía energía es solo  = A (o bien,  - A),  v x = 0. Aquí, 1 1 2 potencial, y  E   = 2 kA . Puesto que  E es co con nstante, esta cant ntiidad es igual a 2 kA2 en cualquier otro punto. Combinando esta expresión con la ecuación (14.20), obtenemos

 E   =

1 1 1 2 2 2 2  mv x  + 2  kx  = 2  kA =

constante

Podemos verificar esta ecuación sustituyendo  x  y (14.15), (14.15 ), y usando usando v2 = k m de la ecuación (14.9):

 

1

v x 

1

2

(14.21)

de las ecuaciones (14.13) y

24 3 1 1 2

1 1 1 1 2 2 2  A cos + 2  k  A 2  mv x  + 2  kx  = 2  m - v A sen vt   +   f 1 1 2 2 2 2 = 2  kA  sen vt   +   f   + 2  kA  cos vt   +   f 1 2 = 2  kA

 E   E   =

 

3

(energía mecánica total en un MAS)

24

vt   +   f

2

   

14.3 Energía en el movimiento armónico simple

447

14.14 Gráficas de E , K y U contra desplazamiento en un MAS. La velocidad del cuerpo no es constante, de manera que las imágenes del cuerpo en posiciones equidistantes no están igualmente espaciadas en el tiempo. a x  5 amáx

v

a x  5 2 amáx 1

 5 0

 5 6

v

 x 

 x 

Å 

3 4

a x    5    0

a x  5 2  2 amáx

 5 6   vmáx  

v

 

v

vmáx

a x  5 2amáx

1

 x 

 5 6

 x 

Å 

3 4

v

v

máx

 5 0

 x 

 x 

 2 A

 2 1  A

O

 

2

1

A

 A

2

 c   e  r    o

 c   e  r    o

 c   e  r    o

 E   5  K  1  U

E   5  K  1  U

E   5  K  1  U

E   5  K  1  U 

 es solo  E  es energía potencial.

 es parcialmente  E  es tanto energía potencial como cinética.

 es solo  E  es energía cinética.

 es parcialmente  E  es tanto energía potencial como cinética.

 

E   5  K  1  U 

 es solo  E  es energía potencial.

(Recuerde que sen2a  + cos2a  = 1). Por lo tanto, nuestr nuestras as expresiones expresiones para el desplazamiento y la velocidad en un MAS son congruentes con la conservación de la energía, como debe ser. ser. Podemos usar la ecuación (14.21) para calcular la velocidad v x  del cuerpo en cierto desplazamiento x : k  v

 =  

m 

A 

 x 

2 

2 2  A -  x 

(14.22)

El signo ; implica que, que, para un valor valor de x dado, el cuerpo se puede estar moviendo moviendo en cualquiera cualqui era de las dos direcci direcciones. ones. Por ejemplo, cuando x = ; A2,

A  B   a b  2 > A  k 

v  x  

=  

m

2  A -

 

 A

 

k  m , k 

vmáx

 =

A  A  3

=    

2

La ecuación (14.22) también indica que la rapidez zando la ecuación (14.10), v   =

2

4

k   A   m

 

máxima   vmáx

se da en x  =  = 0. Utili-

encontramos que k   A     =   v A m

(14.23)

Esto concuerda con la ecuación (14.15), la cual reveló reveló que v x  oscila entre -v A y +v A.

Interpretación de  E,   K  y

U  en

el MAS

La figura 14.14 muestra las energías  E , K y U en x  = figura ra  = 0, x = ; A2 y  x  =  = ; A. La figu 14.15 es una representación gráfica de la ecuación (14.21); la energía (cinética, potencial y total) se grafica grafica verticalmente, verticalmente, y la coordenada  x , horizon horizontalment talmente. e. La curva  y la energía mecánica a ) La energía potencial U  y

 b ) La misma gráfica que en a ), ahora también

total  E  para  para un cuerpo en un MAS en función del desplazamiento  x 

muestra K , la energía cinética

La energía mecánica total  E  es  es constante. Energía 1 2 U  5  2 kx 

En  x  5 6 A toda la energía es potencial; la energía cinética es cero. En  x  5 0 toda la energía es cinética; la energía potencial es cero.

 E 

Energía

K 

U 

U  2 A

O

x 

 E  5 K  1 U  

K  A

 x 

2 A

O

A

En estos puntos la energía es mitad cinética y mitad potencial.

 x 

14.15 Energía cinética K , ene energ rgía ía potencial U y energía mecánica total E en función de la posición en un MAS. Para cada valor de x , la suma suma de K y U es igual al valor constante de E . ¿Puede usted demostrar que 1 en x   =    2 A   , la l a energía es mitad cinética y mitad potencial?

2 

 

448

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 1

parabólica de la figura 14.15a representa la energía potencial U   = 2 kx 2. La línea horizontal representa la energía mecánica total  E , que es constante constante y no varía varía con x . En cualquier valor de  x  entre - A y A, la distancia distancia vertical vertical entre el eje x  y la parábola es U ; como E  =  = K + U , la distancia vertical restante hasta la línea horizontal es K . La figura 14.15b muestra tanto K como U  en función de  x. La línea horizontal para  E  interseca la curva de energía potencial en  x = - A y  x   =  A, donde la energí energíaa es solo solo potencial, potenci al, la energía cinética cinética es cero y el cuerpo está momentáneamente momentáneamente en reposo antes de invertir su dirección. Cuando el cuerpo oscila entre - A y  A, la ener energía gía se transforma continuamente de potencial a cinética, y viceversa. La figura 14.15a muestra la relación entre la amplitud  A y la energía mecánica 1 total co correspondiente,  E   = 2 kA2. Si tr tratáramos de de ha hacer qu que  x  fuera mayor que  A (o menor que - A), U sería mayor que  E , y K tendría que ser negativa. Esto es imposible, sib le, así que x no puede ser mayor que  A ni menor que - A.

Estrategia para resolver problemas 14.2

Movimiento armónico simple II: energía

La ecuación de energía del MAS (ecuación 14.21) es una relación útil entre velocidad, posición y energía energía mecánica total. Si el problema implica una relación entre entre posición, velocidad y aceleración sin referencia al tiempo, considere usar la ecuación (14.4) (de la segunda segunda ley de Newton) o la (14.21) (de la conservación de la energía); puesto que en

esta última intervienen x 2 y v x 2, debem debemos os inferir inferir los signos de x y de v x  de la situación. Por ejemplo, ejemplo, si el cuerpo se mueve mueve de la posición posición de equilibrio hacia al punto de desplazamiento positivo máximo,  x  y v x  serán valores positivos.

Ejemplo 14.4 Velocidad, aceleración y energía en el MAS a) Calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el deslizador del ejemplo 14.2. b) Calcule las aceleraciones máxima y mínima. c) Determine la velocidad v x  y la aceleración a x  cuando el deslizador se ha movido a la mitad del camino desde su posición inicial a la posición de equilibrio x  =  = 0. d ) Determine las energías total, potencial y cinética en esta posición.

SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El problema se refiere a propiedades del movimiento en diversas  posiciones, no en instantes específicos. Esto nos sugiere que podemos usar las relaciones de energía que dedujimos en esta sección. La figura 14.13 muestra que elegimos el eje  x . El desplazamiento máximo con respecto al equilibrio es A  = 0.020 m. Usaremos las ecuaciones (14.22) y (14.4) con la finalidad de obtener v x  y a x  para una  x  dada. Entonces usaremos la ecuación (14.21) para  x  y v x  dadas para obtener las energías total, potencial y cinética E , U y K .

EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (14.22), la velocidad v x  para cualquier desplazamiento x es v x  

= 

A  2  k 

m

 

 A2

2

-  x 

La rapidez máxima del deslizador ocurre cuando el cuerpo pasa por  x  =  = 0: vmáx

 =

k 

 A   =

200 N> m

 

A 

10.020  m2   = 0.40  m> s

 

B 

m 0.50  kg Sus velocidades máxima y mínima (más negativa) son +0.40 ms y -0.40 ms, que ocurren cuando el cuerpo cuerpo pasa por x   = 0 hacia la derecha y hacia la izquierda, respectivamente.

b) De acuerdo con la ecuación (14.4), a x   = -(k m) x . La aceleración máxima del deslizador (más positiva) ocurre en el valor más negativo de x , est esto o es, es, x  =  = - A:

amáx   =

- 

k  m

1 - A2   =

- 

 

20 0  N> m 0.50  kg

1 - 0.020  m2   = 8. 0  m> s 2

 

La aceleración mínima (más negativa) es amín  = -8.0 ms2 y ocurre en  x  =  = + A  = +0.020 m. c) El punto a la mitad del camino de x  =  =  x 0  =  A a x  =  = 0 es x = A2 = 0.010 m. Según la ecuación (14.22), en este punto v x  

B 

= - 

200 N> m 0.50  kg

 

2 1

0.020 m22

-

  10.010  m22

= - 0.35

 m> s

Elegimos la raíz cuadrada negativa porque el deslizador se mueve de  x  =  =  A hacia x  =  = 0. A partir de la ecuación (14.4),

a x   =

- 

200 N> m 0.50 kg

10.010 m2   =

 

 m> s2

- 4.0

En la figura 14.14, se muestran las condiciones en x  =  = 0,  ; A2 y ; A. d ) Las energías son

 E   = U   = K   =

 N> m210.020 m22 = 0.040 J 1 1 2 2 2 kx  = 2 1200 N> m210.010 m2 = 0.010 J 1 2  2 1 2 m  x    = 2 10.50 kg21 - 0.35 m> s2 = 0.030 J

1 1 2 2 kA = 2 1200  

 

 

v

 

 =  A2, la energía es una cuarta parte energía potencial potencial EVALUAR: En x  =

y tres cuartas partes energía cinética. Podrá comprobar este resultado examinando la figura 14.15b.

 

14.3 Energía en el movimiento armónico simple

449

Ejemplo 14.5 Energía y momento lineal en el MAS Un bloque con masa M , unido a un resorte horizontal horizontal con constante constante de fuerza k , se desplaza en movimiento movimiento armónico simple con amplitud amplitud A1. En el instante en que el bloque pasa pasa por su posición de equilibrio, equilibrio, un trozo de masilla con masa m se deja caer verticalmente sobre el bloque desde una altura moderada y se adhiere a él. a) Calcule la amplitud y el periodo ahora. b) Repita el inciso a) suponiendo que la masilla se deja caer sobre el bloque en un extremo de su trayectoria.

14.16 Nuestros diagramas para este problema. a )

Masilla

SOLUCIÓN

Posición de equilibrio

IDENTIFICAR y PLANTEAR: El problema implica el movimiento en una posición dada, no un instante dado, así que usaremos usaremos métodos de energía para resolverlo. La figura 14.16 muestra nuestros bosquejos. Antes de que la masilla caiga, la energía mecánica mecánica del sistema constituido por el bloque y el resorte es constante. En el inciso a) la colisión entre la masilla y el bloque es un choque totalmente inelástico: inelástico: se conserva la componente componente horizontal del momento lineal, pero disminuye la energía cinética, cinética, y aumenta la cantidad cantidad de masa que está oscilando. oscilando. Después del choque, la energía mecánica se mantiene constante constante con un valor diferente. En el inciso b) también aumenta la masa que oscila, pero el bloque no se está moviendo cuando se agrega la masilla; no hay efectivamente efectiv amente una colisión, y no hay pérdida de energía mecánica. mecánica. Calculamos la amplitud  A2 después del choque considerando la energía final del sistema usando la ecuación (14.21) y la conservación del momento lineal. El periodo T 2 después del choque es una  propiedad  del sistema, por lo que es igual en los incisos a) y b); lo encontram encontramos os mediante la ecuación (14.12).

 b )

Posición de equilibrio

Puesto que  E  2 tenemos  

v1

A 

 =

Durante el choque, choque, se conserva conserva la componente x  del momento lineal del sistema conformado por el bloque y la masilla. (¿Por qué?). Justo antes del choque, esta componente componente es la suma de  M v1 (para el bloque) y cero (para la masilla). masilla). Justo después del choque, choque, el bloque y la masilla se mueven juntos con rapidez v2, y su componente componente x del momento lineal combinada es ( M  M + m)v2. Por la conservación conservación del momento momento lineal,

 1

2

 M v1   + 0   =  M   M   +   m

 

v2

 

así 

v2

 M 

 =

 M   +   m

 v1

Suponemos que el choque no dura mucho, Suponemos mucho, así que poco después, después, el bloque y la masilla aún están en la posición de equilibrio. La energía sigue siendo exclusivamente exclusivamente cinética, pero menor que antes del choque:

1

1  E 2   = 2 

=

2

 M   +   m v2  2   M   M 

1 = 2 

 M   +   m

A 1 M   12 B   =  M   +   m 2  

 

v

 M 2

 a

1

 M   +   m

2 

 a

  M 

 M   +   m

A 

b

 

1 2 2 kA1

   

  M 

 M   +   m

Usando la ecuación ecuación (14.12), el periodo de oscilación oscilación después del choque es

A 

T 2   = 2 p 

 M   +   m k 

b) Al caer la masilla masilla sobre el bloque, este se encuentra momenmomentáneamente en reposo (figura 14.16b); la componente x del momento lineal es cero tanto antes como después del choque. El bloque y la masilla tienen energía cinética cinética cero justo antes del choque, y también inmediatamente después. Toda la energía es energía potencial almacenada en el resorte, por lo que la adición de la masa masa no afecta la energía mecá1 nica. Es decir, E 2   =   E 1   = 2  kA12, y la amplitud después del choque es

la misma: A2  =  A1. El periodo es de nuevo T 2   = 2 p 

2 1

2>

 M   +   m k .  M 

EVALUAR: La energía se pierde en el inciso a) porque la masilla se

b

 E 1

total de un sistema masa-resorte oscilando con MAS, ¿en qué factor se debe aumentar la amplitud? i. 4; ii. 2; iii. 2   = 1.414; iv. 4 2   =   1.189. b) ¿En qué factor cambiará la frecuencia como resultado de tal incremento de amplitud? i. 4; ii. 2; iii. 2   = 1.414; iv. 4 2   = 1.189; v. no cambia.

1 

2

 A2   =   A1  

duplicar la energía energía Evalúe su comprensión de la sección 14.3   a) Para duplicar

1  2 

2

desliza contra el bloque en movimiento movimiento durante el choque, choque, y la energía se disipa por fricción cinética. No se pierde energía en el inciso b), ya que no hay deslizamiento durante la colisión.

 2  v

  M 

kA 2, donde A es la amplitud después del choque,

 

2

 

1

k   A   1  M 

1

1 2 2  kA2   =

choque, la energía mecánica mecánica total del bloque EJECUTAR:   a) Antes del choque, y el resorte es E 1   = 2  kA12. El bloque está en x  = lo que U  =  = 0, por lo  = 0 y la energía es puramente cinética (figura 14.16a). Si v1 es la rapidez del 1 1 2 bloque en este punto, entonces E 1   = 2 kA12 = 2 M    v1 y



   

450   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.4

Aplicaciones del movimiento armónico simple

Hasta ahora, ahora, hemos examinado examinado globalmente una situación donde hay movimiento armónico simple (MAS): (MAS): un cuerpo conectado conectado a un resorte ideal horizontal. horizontal. No obstante, el MAS se puede presentar en cualquier sistema donde haya una fuerza de restitución que sea directamente directamente proporcional al desplazamiento desplazamiento con respecto al equilibrio equilibrio,, de acuerdo con la ecuación (14.3), F  x  = -kx . La fuerza de restitución se originará de diferentes manerass y en distintas situaciones, manera situaciones, por lo que se debe determinar determinar la constante de fuerza k para cada caso, examinando la fuerza neta que actúa sobre el sistema. Una vez hecho esto, es fácil calcular calcular la frecuencia angular v, la frecuenc frecuencia ia f  y el periodo T ; bas basta ta con con sustituir el valor de k en las ecuacio ecuaciones nes (14.10), (14.10), (14.11) y (14.12), respec respectiva tivamente. mente. Utilicemos estas ideas para examinar varios ejemplos de movimiento armónico simple.

MAS vertical Suponga que colgamos un resorte con constante de fuerza k (figura 14.17a) y suspendemos de este un cuerpo de masa m. Las oscilaciones ahora serán verticales; ¿seguirán definiéndose como MAS? En la figura 14.17b, el cuerpo cuerpo cuelga cuelga en repos reposo, o, en equiliequilibrio. En tal posición, el resorte se estira estira una distancia ¢l apenas suficiente para que la fuerza vertical hacia arriba k  ¢  ¢l del resorte sobre el cuerpo equilibre su peso mg:

k   ¢ l   = mg Sea  x  =  = 0 la posición de equilibrio, equilibrio, con la dirección dirección + x  hacia arriba. Cuando el cuerpo está una distancia  x arriba de su posición de equilibrio (figura 14.17 c), la exextensión del resorte es ¢l  -  x . Entonces, la fuerza hacia hacia arriba que ejerce ejerce sobre el el cuerpo es k (¢l - x ), ), y la component componentee x neta de la fuerza sobre el cuerpo es

F neta   = k 1 ¢ l   -  x 2   +   1 - mg2   = - kx  esto es, una fuerza neta hacia abajo de magnitud kx . Asimismo, Asimismo, cuando el cuerpo cuerpo está debajo de la posición de equilibrio, hay una fuerza neta hacia arriba arriba de magnitud kx . En ambos casos, casos, hay una fuerza de restitución de magnitud kx. Si el cuerpo cuerpo se pone en movimiento vertical, vertical, oscilará en MAS con la misma frecuencia angular que si fuera horizontal, v   =   2 k  k>  m . Por lo tanto, el MAS vertical no difiere en esencia del horizontal. El único cambio real es que la posición de equilibrio  x  =  = 0 ya no corresponde al punto donde el resorte no está estirado. Las mismas ideas son válidas cuando un cuerpo con peso mg se coloca sobre un resorte compresible (figura 14.18) y este se comprime una distancia ¢l.

14.17

Un cuerpo se adhiere a un resorte

a )

colgante.

 b ) Cuerpo suspendido del resorte. Se

c   ) Si el cuerpo se mueve con respecto

encuentra en equilibrio cuando el resorte está estirado lo suficiente como para que la fuerza hacia arriba del resorte tenga la misma magnitud que el peso del objeto.

al equilibrio, la fuerza neta sobre él será proporcional a su desplazamiento. Las oscilaciones son propias de un MAS.

l

l

Dl 2  x   x 

Un resorte colgante que obedece la ley de Hooke

l

Dl

F  5 k  Dl

 x  5 0

F  5 k  k ((Dl 2  x   x )

 x  mg

mg

 

451

14.4 Aplicaciones del movimiento armónico simple

Ejemplo 14.6 MAS vertical en un automóvil viejo Los amortiguadores de un automóvil viejo con masa de 1000 kg están gastados. Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto en su centro de gravedad, gravedad, el auto baja 2.8 cm. Cuando el auto (con la persona a bordo) cae en un bache, comienza a oscilar verticalmente verticalmente en MAS. Modele el auto y a la persona como un solo cuerpo unido únicamente a un resorte, y calcule el periodo y la frecuencia frecuencia de la oscilación.

Por lo tanto, la constante de fuerza efectiva efectiva (incluido el efecto de toda la suspensión) es

F  980 N  x  4 2 k   = -   = -  = 3.5   * 10  kg> s  x  - 0.028 m La masa de la persona es wg = (980 N)(9.8 ms2) = 100 kg. La masa oscilante total es m  = 1000 kg + 100 kg = 1100 kg. El periodo T es

SOLUCIÓN

A 

T   = 2 p 

IDENTIFICAR y PLANTEAR: La situación es similar a la de la figura

m k 

=

B 

2 p 

1100  kg

3. 5   * 10 4  kg > s 2

 =

1.11 s

14.18. La compresión del resorte cuando se agrega el peso del individuo nos da la constante de de fuerza, que podemos usar para para obtener el periodo y la frecuencia (las incógnitas).

y la frecuencia es  f  =  = 1T  =  = 1(1.11 s) = 0.90 Hz.

EJECUTAR: Cuando la fuerza aumenta en 980 N, N, el resorte se com-

1 segundo es muy molesta. El propósito de los amortiguadores es eliminar estas oscilaciones (véase la sección 14.7).

prime otros 0.028 m, y la coordenada x  del auto cambia en -0.028 m.

EVALUAR: Una oscilación persistente con un periodo aproximado de

MAS angular La figura 14.19 ilustra la rueda de balance de un reloj mecánico. La rueda tiene un momento de inercia  I  alrededor de su eje. Un resorte en espiral ejerce una torca de restitución t z que es proporcional al desplazamiento angular u con respecto a la posi-

14.18 Si el peso mg comprime el resorte una distancia ¢l, la constante constante de fuerza fuerza es k = mg¢l y la frecuencia angular para

ción de equilibrio. Escribimos t z  = -ku, do donde nde k (la letra griega kappa) es una constante llamada constante de torsión. Empleando la analogía rotacional de la segunda ley de Newton para un cuerpo rígido, © t z   =  I a z   =  I  d 2u> dt 2, podemos encontrar la ecuación del movimiento:

u AS verestuviera tical es vsuspendido k > m; idel guaresorte l que sinelMcuerpo (véase la figura 14.17).

- ku   =  I a

 

 

d 2u

o

dt 2

  = - 

k

u

 

 I 

La forma de esta ecuación es idéntica a la de la ecuación (14.4) para la aceleración en movimiento movimi ento armónico simple, susti sustituyendo tuyendo x por u y k m por k I . Así, estamos tratando con una forma de movimiento armónico simple angular . La frecuencia frecuencia angular v y la frecuencia  f están dadas por las ecuaciones (14.10) y (14.11), respectivamente, con la misma sustitución:

v =

k

 

 

ƒ =

y

1 2p

 I 

A 

El movimiento está descrito por la función

 

k

(MAS angular)

 

(14.24)

 I 

A 

u   = ™  cos1vt   +   f2

 =

 2 

Se coloca un cuerpo en la parte superior del resorte; el equilibrio se presenta cuando la fuerza hacia arriba ejercida por el resorte comprimido es igual al peso del cuerpo. F  5 k Dl

Un resorte que obedece la ley de Hooke

Dl

mg

14.19 Rueda de balance de un reloj

mecánico. El resorte ejerce una torca de restitución que es proporcional al desplazamiento angular u; por lo tanto, el movimiento es MAS angular. Rueda de balance

Resorte

donde ™ (la letra griega theta mayúscula) desempeña el papel de una amplitud angular. Es bueno que el movimiento de una rueda de balance sea armónico simple. Si no lo fuera, la frecuencia frecuencia podría podría depender de la amplitud, amplitud, y el reloj se adelantaría adelantaría o se reretrasaría, al ir disminuyendo disminuyendo la tensión del resorte. t z

Vibraciones de moléculas En la siguiente explicación de las vibraciones de las moléculas se usa el teorema binomial. Si el lector no está familiarizado con dicho teorema, le recomendamos estudiar la sección respectiva de su libro de matemáticas. Cuando dos átomos están separados menos de unos cuantos diámetros atómicos, pueden ejercer fuerzas de atracción entre sí. Por otro lado, si los átomos están tan cercanos que sus capas electrónicas se traslapan, las fuerzas entre ellos son de repulsión. Entre estos límites, hay una separación de equilibrio donde los átomos forman una desplazan ligeramente ligeramente del equilibrio, equilibrio, oscila oscilarán. rán. molécula. Si los átomos se desplazan

u

La torca del resorte t z se opone al desplazamiento angular u.

 

452

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico

14.20   a ) Dos átomos con sus centros separados una distancia r .  b ) La energía potencial U de la interacción de Van der Waals en función de r  c  )

La fuerza F r  sobre el átomo derecho en función de r .

a ) Sistema

de dos

átomos

 b ) Energía potencial U  del  del sistema

Distancia entre los centros de los átomos.

F r 

U 

2U 0 U (r )

r 

Parábola

U 

0

O

10U 0 /  R0 Cerca del equilibrio, U   puede aproximarse mediante una parábola.

 R0

 Fuerza ejercida sobre el átomo derecho por el izquierdo.

2 R0

1.5 R0

Átomos F r  

c  ) La fuerza F r  en función de r 

de dos átomos

en función de r 

r 

O

2 R0

1.5 R0

r 

2

El punto de equilibrio está en r     R0 (donde U  es  es mínima).

El punto de equilibrio está en r     R0 (donde F   es cero). 5

5

2U 0

 R0

5U 0 /  R0

U 0

2

Cerca del equilibrio, F   se puede aproximar mediante una recta. r 

5U 0 /  R0

2

5

F r (r )

10U 0 /  R0

2

r 

Como ejemplo, consideremos un tipo de interacción entre átomos llamada interacción de Van der Waals. Waals . Nuestr Nuestro o objetivo objetivo inmediato inmediato es estudiar estudiar las oscilacio oscilaciones, nes, así  que no entraremos en detalles con respecto al origen de la interacción. Tomemos el centro de un átomo como el origen; el otro estará a una distancia r  r (figura (figura 14.20a 14.20a). La distancia de equilibrio entre los centros es r = R0. Se ha observado experimentalmente experimentalmente que tal interacción se puede describir con la función de energía potencial

U   =   U 0

 R0 r 

ca b

12

0 2  R r 

6

a bd

-

(14.25)

donde U 0 es una constante positiva con unidades de joules. Si los átomos están muy separados,  U   = 0; si están separados por la distancia de equilibrio r   = R0, U   = -U 0. separados, U  La fuerza sobre el segundo átomo es la derivada negativa de la ecuación (14.25):

F r   =

- 

dU  dr 

=   U  0

 

c

12 R012 r 13

  -

2 

6 R06 r 7

 d

U 0 12     R0

 =

13

7

c a b  a b d  R0

 R0

-

r 

r 

(14.26)

La energía potencial y la fuerza se grafican en las figuras 14.20b 14.20b y 14.20c 14.20c, respec respectiv tivaamente. La fuerza es positiva para r  6  6  R0 y negativa para r  7 es una fuerza fuerza  7  R0, así que es de restitución restitución.. Examinemos la fuerza de restitución F r  en la ecuación ecuación (14.26). (14.26). Introd Introducimos ucimos la la cantidad x  cantidad  x para para representar el desplazamiento con respecto al equilibrio:

 

 

así que

 x   =   r   -   R0

r   =   R0   +   x 

En términos de x  de x , la fuerz fuerzaa F r  de la ecuación (14.26) se convierte en

U 0  F r  = 12     R0 U 0

  = 12     R0

13

7

c a b  a b d c 1 > 2 1 > 2  d   R0

 R0  +  x 

-

1

1 +  x  R  R0

13

 -

  R0

 R0  +  x 

(14.27)

1

1 + x  R  R0

7

Esto no se parece a la ley de Hooke, F  Hooke, F  precipitarnos a la conclusión  x = -kx , y podríamos precipitarnos de que las oscilaciones moleculares no pueden ser MAS. Sin embargo, limitémonos a oscilaciones de amplitud pequeña, pequeña, de modo que el valor absoluto absoluto del desplazadesplazamiento x  miento sea pequeño en comparación con R con  R0, y el valor absoluto  x sea absoluto de la razón razón x  R0 sea mucho menor que 1. Ahora podemos simplificar la ecuación (14.27) usando el teorema binomial: binomial:

1

2

1   + u

n

=

1   +   nu   +

1

2

n n - 1

2!

u2

 

1

21

2

n n - 1 n - 2 +

3!

u3

 

+ Á

(14.28)

 

14.5 El péndulo simple

453

Si u es mucho menor que 1, cada término término sucesivo sucesivo de la ecuación (14.28) (14.28) es mucho n menor que el anterior, y podemos aproximar (1 + u) con solo los dos primeros términos. En la ecuación (14.27), u se reemplaza con  x  R0 y n es igual a -13 o -7 , de manera que

 

1

> 2  1 > 2

1

13

1   +  x  R  R0

1

1

7

 =

 +

- 13

-7

 x  R0

L

L

1 +

 1 2

 +

- 13

-

 x 

 

 R0

 x   

> 2  1 > 2  1 2 c a  1 2 b  a  1 2 b d a  b   1   +  x  R0

U 0 F r   L 12     R0

1   +  x  R  R0

 =

1 +

- 13

 x 

 

 R0

1

 -

1 +

-7

1

 x 

 

 R0

7  R0

 = -

72U 0  R02

 x 

(14.29)

Esta es la ley de Hooke con constante de fuerza k = 72U 0 R02. (Obse (Observe rve que que k tiene las 2 unidadess correctas unidade correctas,, Jm o bie bien, n, Nm). Así, Así, las oscilaciones oscilaciones de las moléculas unidas por interacción de Van der Waals Waals pueden ser movimiento armónico simple, si la amplitud es pequeña en comparación con R0, haciendo válida válida la aproximación aproximación  x   x  R0 V 1 empleada al deducir la ecuación (14.29). También podemos demostrar que la energía potencial U  de la ecuación (14.25) se 1 2 2 puede escribir como U  L donde nde C  =  L 2 kx  + C , do  = -U 0 y k es de nuevo igual a 72U 0 R0 . La suma de una constante a la energía energía potencial no afecta la interpretación física, así  que el sistema de dos átomos no es fundamentalmente distinto de una masa unida a 1 2 un resorte resorte horizontal, horizontal, para el que U  =  = 2 kx  .

Ejemplo 14.7

Vibración molecular

Dos átomos de argón pueden formar una molécula débilmente unida, Ar2, gracias a una interacción de Van der Waals Waals con U 0 = 1.68 * 10-21 J -10 y R0 = 3.82 * 10 m. Calcule la frecuencia de oscilaciones pequeñas de un átomo de Ar alrededor de su posición de equilibrio.

De acuerdo la ecuación (14.11), (14.11), si uno de los átomos está fijo y el otro oscila,

ƒ =

1 2p

A 

k 

 

m

=

1 2p

B 

>

0.829 N m

 

6.63   * 10

- 26

 kg

=

5.63   * 10 11 Hz

SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR Es como la situación que se muestra en la figura 14.20. Puesto que las oscilaciones son pequeñas, podemos usar la ecuación (14.29) para obtener la constante de fuerza k , y la ecuaci ecuación ón (14.11) para encontrar la frecuencia del MAS.

- 21

=

11

22

una fuerza externa neta neta sobre la molécula, su centro de masa (situado a la mitad de la distancia entre entre los dos átomos) no tiene aceleración, así  que ambos átomos deben oscilar con la misma amplitud en direcciones opuestas. Podemos explicar esto sustituyendo m por m2 en la expre expre-sión para  f . Esto aumenta  f en un fac acto torr de de 2, 2, as asíí que que la fre recu cuen enci ciaa 11 11 correcta es  f  = 2 5.63   * 10 Hz  = 7.96   * 10 Hz. Un Unaa comcom = plicación plicac ión adicional adicional es que, para la escala atómica, atómica, debem debemos os usar mecánica cuántica, en lugar lugar de mecánica mecánica newtonia newtoniana, na, para describ describir ir el movimiento; por fortuna, fortuna, la frecuencia tiene el mismo valor en mecá11 nica cuántica: f  = Hz.  = 7.96 * 10

1 

1 

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (14.29), k   = 72U 0  R 02

Nuestra ra respu respuesta esta para f no es del todo correcta. Si no actúa EVALUAR: Nuest

>

72 1.68   * 10 J   = 0.829 J m2 - 10 3.82   * 10 m 2

=

>

0.829 N m

(Esta constante de fuerza es comparable con la de los resortes de juguete laxos, laxos, como Slinky Slinky™). Según el apéndice apéndice D, la masa atómica media del argón es (39.948 u)(1.66 * 10-27 kg1 u) = 6.63 * 10-26 kg.

1

2

Evalúe su comprensión de la sección 14.4

Un bloque unido a un resorte ideal colgante oscila verticalmente con un periodo de 10 s en la Tierra. Si usted se lleva el bloque y el resorte a Marte, donde la aceleración debida a la gravedad es solo el 40% de la terrestre, ¿cuál será el nuevo periodo de oscilación? oscilación? i. 10 s; ii. más de 10 s; iii. menos de 10 s.

14.5

El péndulo simple

Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de una cuerda no expansible y de masa despreciable. Si la masa se mueve a un lado de su posición de equilibrio vertical descendente, oscilará alrededor de dicha posición. Situaciones ordinarias, como una bola de demolición en el cable de una grúa o un niño en un columpio (figura 14.21 a) se modelan como péndulos simples.

PhET: Pendulum Lab ActivPhysics 9.10: Pendulum Frequency ActivPhysics 9.11: Risky Pendulum Walk ActivPhysics 9.12: Physical Pendulum

   

454

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico

14.21 Dinámica de un péndulo simple. a ) Un péndulo real

La trayectoria de la partícula puntual con masa (llamada en ocasiones pesa o lenteja) no es una recta, sino el arco de un círculo lenteja) círculo de radio L radio L igual a la longitud de la cuerda (figura 14.21b 14.21b). Usamos como coordenada la distancia x  distancia x medida medida sobre el arco. Si el movimiento movimiento es armónico simple, la fuerza de restitución debe ser directamente proporcional a x  a x , o bien bien a u (porque (porque x   x  =  =  Lu). ¿Lo es? En la figura 14.21b 14.21b, representamos las fuerzas que actúan sobre la masa en términos de componentes tangencial y radial. La fuerza de restitución F u es la componente tangencial de la fuerza neta:  

F u  = -mg sen u

 b ) Un péndulo simple idealizado

La cuerda se supone no expansible y de masa despreciable.

u

T 

La lenteja se modela como una masa puntual.

 L

 x 

La fuerza de restitución se debe a la gravedad; la tensión T  T solo solo actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza de restitución es proporcional no a u sino a sen u, así que el movimi movimiento ento no es armónico simple. simple. Sin embargo, embargo, si el ángulo  u es (figura 14.22). Por ejemplo, ejemplo, si u = 0.1 rad  pequeño,, sen u es casi igual a u en radianes (figura  pequeño (unoss 6°) (uno 6°),, sen u   = 0.0998, una diferencia diferencia de solo 0.2%. Con Con esta aproxim aproximación, ación, la ecuación (14.30) se convierte en

 x  F u   = - mgu   = - mg   L mg F u   = -    x     L

A  B  k 

v = u

o (14.31)

La fuerza de restitución es entonces proporcional a la coordenada para desplazamientos peque pequeños ños,, y la consta constante nte de fuer fuerza za es k   = mg L. De acuerdo con la ecuación (14.10), (14.10 ), la frecuencia angular angular v de un péndulo simple con amplitud pequeña es

m

La fuerza mg sen u de restitución sobre la lenteja es proporcional a sen u, no a u. Sin embargo, para valores de u pequeños, sen u   u, de manera que el movimiento es aproximadamg mente armónico simple.

(14.30)

m

mg cos u

>

mg  L  L

=

m

=

A 

g

 L

(péndulo simple, amplitud pequeña)

(14.32)

Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son

^

ƒ =

T   = 14.22

pequeños desplazamientos angularesPara u, la fuerza de restauración en un péndulo simple F u  = -mg sen u es aproximadamente igual a -mgu; es decir, es aproximadamente proporcional al desplazamiento u. Por lo tanto, tanto, para ángulos pequeños, las oscilaciones oscilaciones son armónicas simples. F u 2mg

F u 5 2mg sen u (real) F u 5 2mgu (aproximada)

mg 2p / 2   2p / 4

O 

2mg 22mg

p / 4

 

p / 2

u (rad)

2p v

  v

=

2p

=

1 ƒ

1 2p

=

A 

(péndulo (péndul o simple, amplit amplitud ud pequeña)

 

(14.33)

A 

(péndulo (péndul o simple, amplitu amplitud d pequeña)

 

(14.34)

 

2p 

g

 L

 L g

Observe que en estas expresiones no interviene la masa de la partícula. La razón es que la fuerza de restitución, restitución, una componente componente del peso de la partíc partícula, ula, es proporcional proporcional a m. Así, la masa masa aparece aparece en ambos miembros de © F m a y se elimina. (Se trata del mismo principio físico que explica por qué dos cuerpos con diferente masa caen con la misma aceleración en el vacío). Si la oscilación es pequeña, el periodo de un péndulo para un valor dado de g depende solo de su longitud. La dependencia de L de L y g en las ecuaciones (14.32) a (14.34) es justo lo esperado. Un péndulo largo tiene un periodo más largo que uno corto. Si aumenta g, aume aumenta nta la fuerza de restitución, restitución, causando un aumento aumento de la frecuen frecuencia cia y una disminución del periodo. Destacamos nuevamente que el movimiento de un péndulo es aproximadamente armónico simple. Cuando la amplitud no es pequeña, la divergencia con respecto al MAS puede ser considerable. considerable. Pero, Pero, ¿qué significa significa “pequeña” en este caso? El periodo se puede expresar con una serie infinita; cuando el desplazamiento angular máximo es ∫, el period periodo o T  T está está dado por S



 L 12 12 # 32 2™ 4™ + + Á   1 +  sen    sen   2 2# 2 g 2 2 2 2 4

A  a

T   = 2p 

S

b

(14.35)

Podemos calcular el periodo con la precisión deseada tomando suficientes términos de la serie. Compruebe que si ∫ = 15° (a cada lado lado de la posición posición central), central), el periodo periodo

 

14.6 El péndulo físico

455

verdadero es más largo que la aproximación dada por la ecuación (14.34) en menos del 0.5%. La utilidad del péndulo en relojes depende de que el periodo sea  prácticamente independiente de la amplitud, amplitud, siempre que esta sea pequeña. Así, al perder impulso un reloj de péndulo y disminuir un poco la amplitud de las oscilaciones, la exactitud del reloj casi no se altera.

Ejemplo 14.8 Un péndulo simple Calcule el periodo y la frecuencia de un péndulo simple de 1.000 m de longitud en un lugar donde g 9.800 ms2.

EJECUTAR: De acuerdo con las ecuaciones (14.34) y (14.1),

A 

  =

T 

  =

SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este es un péndulo simple, simple, utiliz utilizaremo aremoss las ideas de esta sección. Usaremos la ecuación (14.34) (14.34) para determinar el periodo T  de un péndulo a partir de su longitud, longitud, y la ecuación (14.1) para obtener la frecuencia  f a partir de T .

Evalúe su comprensión de la secciónn 14.5

ƒ

2 p  1

  =

T 

 L g

=

A 

2 p 

1 =

2.007 s

=

1.000 m

9.800 m> s 2

 

=

2.007 s

0.4983 Hz

aproximadamente de 2 s. De hecho, hecho, cuando se EVALUAR: El periodo es aproximadamente estableció el sistema métrico, el segundo se definió como la mitad del periodo de un péndulo péndulo de 1 m. Sin embargo, este no fue un estándar estándar muy adecuado para el tiempo, porque el valor de g varía según el lugar. Ya hablamos de estándares de tiempo más modernos en la sección 1.3.

Cuando un cuerpo que oscila

en un resorte horizontal pasa por su posición posición de equilibrio, su aceleración es cero (véase la figura 14.2b). Cuando la lenteja de un péndulo oscilatorio simple pasa por su posición de equilibrio, ¿su aceleración es cero?

14.6

El péndulo físico

Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo cuerpo de tamaño finito, finito, en contraste con el modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequeñas, el análisis del movimiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple. La figura 14.23 muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto O. En la posición de equilibrio, el centro de gravedad gravedad está directamente abajo del pivote; en la posición que se muestra en la figura, el cuerpo está desplazado del equilibrio un ángulo u que usamos como coordenada para el sistema. La distancia de O al centro de gravedad es d , el momento de inercia inercia del cuerpo cuerpo alrededor alrededor del eje de rotación a través de O es  I  y la masa total es m. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, muestra, el peso mg causa una torca de restitución t z

  =

-

1mg21d  sen u2

(14.36)

El signo negativo indica que la torca de restitución es en sentido horario, si el desplazamiento es en sentido antihorario, y viceversa. Cuando el cuerpo se libera, oscila alrededor de su posición de equilibrio. El movimiento no es armónico simple porque la torca t z es proporcional a sen  u , y no no a u mismo. mis mo. No obstant obstante, e, si u es pequeño, podemos aproximar aproximar sen u con u en radiane radianes, s, tal como lo hicimos al analizar el péndulo simple. Entonces, el movimiento es aproximadamente armónico simple. Con esta aproximación,

La ecuación de movimiento es g t z

1mgd 2u

t z

  =

  =

  I a z , así que

-

2 -

1mgd 2u

  =

  I a z

d 2u 2

dt 

  =

  I   d  u dt 2

mgd   

=

-

 

 I 

 u

(14.37)

14.23 Dinámica de un péndulo físico. Pivote

El cuerpo tiene libertad para  girar alrededor del eje z eje z..

Cuerpo de forma  O irregular

 z La fuerza gravitacional actúa sobre el cuerpo en su centro de gravedad (cg).

u

d  d sen u cg mg sen u

 cos u mg cos mg La torca de restitución sobre el cuerpo es mg proporcional a sen u, no a u. Sin embargo, para valores de u pequeños, sen u   u, de manera que el movimiento es aproximadamente armónico simple. , ,

  

456

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico

Si comparamos ecuación (14.4), vemos que el papel de (k m) en el siscomparamos esto con la ecuación tema masa-resorte lo desempeña aquí la cantidad (mgd  I ). ) . Por lo tanto tanto,, la frecuen frecuencia cia angular está dada por

A 

mgd 

v

  =

 I 

(péndulo (péndul o físico, amplit amplitud ud pequeña)

 

(14.38)

La frecuencia f es 12p veces esto, esto, y el periodo periodo T es

T 

  =

A 

2p 

 I 

mgd 

(péndulo (péndul o físico, amplitu amplitud d pequeña)

 

(14.39)

La ecuación (14.39) es la base de un método común para determinar experimentalmente el momento de inercia de un cuerpo de forma compleja. Primero, se localiza el centro de gravedad del cuerpo por balanceo. Luego, se suspende el cuerpo de modo que oscile libremente libremente alrededor alrededor de un eje, y se mide el periodo T  de oscilaciones de amplitud amplit ud pequeña. Por último, usando la ecuación (14.39) (14.39) se puede calcular el momento de inercia I del cuerpo alrededor de ese eje a partir de T , la masa masa del cuerpo cuerpo m y la distancia d del eje al centro de gravedad (véase el ejercicio 14.53). Los investigadores en biomecánica usan este método para calcular los momentos de inercia de las extremidades de un animal. Esta información es importante para analizar cómo camina un animal, como veremos en el segundo de los dos ejemplos que siguen

Ejemplo 14.9

Péndulo físico contra péndulo simple Suponga que el cuerpo de la figura 14.23 es una varilla uniforme de longitud L cuyo pivote se encuentra en un extremo. Calcule el periodo de su movimiento.

  =

IDENTIFICAR y PLANTEAR: Nuestra incógnita es el periodo de oscilación de una varilla, la cual actúa como un péndulo físico. físico. Necesitamos encontrar el momento de inercia inercia de la varilla en la tabla 9.2, y después determinar T usando la ecuación (14.39).

EJECUTAR: El momento de inercia de una varilla uniforme con 1

?

respecto a un eje en su extremo es  I  3 ML2. La distancia del pivote al centro de gravedad de la varilla es d   L2. Así, de acuerdo acuerdo con la ecuación (14.39),   =

  =

 I    =

A 

2p

mgd 

=

1 2   3 ML

2 p   MgL> 2

B 

1.00 m) y g

  =

  =

9.80 ms2,

entonces,

T 

SOLUCIÓN

T 

EVALUAR: Si la varilla es un metro ( L

B 

2 p 

2 11.00  m2  

3 19.80  m> s 2 2  

2 

=

1.64  s

2 El periodo es menor en un factor de 0.816 que el de un pén3 dulo simple con la misma longitud (véase el ejemplo 14.8). El 1 2 momento de inercia de la varilla alrededor de un extremo,  I  3 ML   , es un tercio del que tiene un péndulo simple, y el cg de la varilla está a la mitad de la distancia a partir del pivote, pivote, en comparación con un péndulo simple. Se puede demostrar demostrar que, junto con la ecuación (14.39), (14.39), 2 estas est as dos dos dife diferen rencia ciass contr contribu ibuyen yen al fact factor or con el q que ue l los os p pénd éndulo uloss 3 difieren.  

=

  =

2 

2 L =

A 

2 p 

3g

Ejemplo 14.10 Tyrannosaurus rex  y el péndulo físico Todos los animales que caminan, incluido el ser humano, Todos humano, tienen un ritmo (paso) natural natural para desplazarse, desplazarse, es decir, un número de pasos por minuto que resulta más cómodo que un ritmo más rápido o más lento. Suponga que este ritmo natural corresponde a la oscilación de las piernas como un péndulo físico. a) ¿Cómo depende el paso natural de la longitud L de la pierna, medida de la cadera al pie? Considere Considere la pierna como una varilla uniforme con pivote en la cadera. b) Pruebas fósiles demuestran que el Tyrannosaurus rex , un dinosaurio dinosaurio bípedo que vivió hace 65 millones millones de años, tenía una longitud longitud de pierna pierna L 3.1 m y una longitud de zancada S 4.0 m (la distancia de una huella a la siguiente del mismo pie; figura 14.24). Estime la rapidez con que caminaba el T . rex.

14.24 La rapidez al caminar del Tyrannosaurus rex se puede esti-

mar a partir de la longitud de su pierna L y la de su zancada S.

  =

=

SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Nuestras incógnitas son a) la relación entre el ritmo al caminar y la longitud de la pierna, pierna, y b) la rapidez con que caminaba el T rex . Trataremos Trataremos la pierna como un péndulo péndulo físico, con el

Longitud de zancada S 

Longitud de pierna  L

 

14.7  Oscilaciones amortiguadas

periodo de oscilación que determinamos en el ejemplo 14.9. Podemos obtener la rapidez al caminar a partir del periodo y la longitud de la zancada.

2 

de manera que su rapidez al caminar era v 

1 

EJECUTAR:   a) De acuerdo acuerdo con el ejemplo 14.9, el periodo de oscilación de la pierna es T   = 2 p  2 L > 3 g, que es proporcional a  L. Cada paso toma medio periodo, así que el ritmo de la caminata (en pasos por segundo) es el doble de la frecuencia de oscilación  f  =  = 1T , que es proporcional a 1 >  L. A mayor longitud  L de piern pierna, a, menor será el ritmo del paso. nuestro modelo del ritmo del andar natural, el b) De acuerdo con nuestro tiempo que el T . rex tardaba en dar una zancada era  

1 

A 

T   = 2 p 

2 L 3g

=

B 

2 p 

2 13. 1  m2

2. 9  s

 

3 19. 8  m> s 2 2

=

 

  457

=

  S  T 

=

4.0 m 2.9 s

=

1.4 m> s   = 5.0 km> h   = 3.1 mi> h

Esta es más o menos la rapidez con que camina un ser humano.

EVALUAR: Una varilla uniforme no es un buen modelo de una pierna. Las piernas de muchos muchos animales, entre ellos el T. rex y los humanos, humanos, no son uniformes; hay mucho más masa entre la cadera y la rodilla que entre esta y el pie. Así, el centro de masa está a menos de L2 de la cadera; una estimación razonable sería  L4. Por lo tanto, tanto, el momento momento de inercia es significativamente menor que ML23, tal vez del orden orden de  ML215. Use el análisis del ejemplo 14.9 con estas correcciones; obtendrá un periodo de oscilación más corto y una rapidez al andar aún mayor para el T. rex.

Evalúe su comprensión de la sección 14.6

El centro de gravedad de un péndulo simple de masa m y longitud L se ubica en la posición de la lenteja del péndulo, péndulo, a una distancia L del punto del pivote. El centro de gravedad de una varilla uniforme de la misma masa m y longitud 2 L que pivota en un extremo también está a una distancia L del punto del pivote. ¿Cómo se compara el periodo de esta varilla uniforme con el periodo de un péndulo simple? i. La varilla tiene un periodo más largo; ii. la varilla tiene un periodo más corto; iii. la varilla tiene el mismo periodo.

14.7   Oscilaciones

amortiguadas

Los sistemas oscilantes idealizados que hasta ahora hemos visto no tienen fricción; no hay fuerzas no conservativ conservativas, as, la energía mecánica total es constante, constante, y un sistema puesto en movimiento sigue oscilando eternamente sin disminución de la amplitud. Sin embargo, los sistemas del mundo mundo real siempre tienen fuerzas disipativ disipativas, as, y las oscilaciones cesan con el tiempo, a menos que un mecanismo reponga la energía mecánica disipada (figura 14.25). Un reloj mecánico de péndulo sigue andando porque la energía potencial potenci al almacenada almacenada en el resorte, o en un sistema de pesos colgantes, colgantes, repone la enerenergía mecánica perdida por fricción en el pivote y los engranes. A final de cuentas, el resorte perderá su tensión o los pesos llegarán al fondo de su trayecto. Al no haber más energía disponible, dispon ible, la amplitud de las oscilaciones oscilaciones del péndulo disminuirá, disminuirá, y el reloj se detendrá. detendrá. La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipativas se denomina amortiguamiento, y el movimiento correspondi correspondiente ente se llama oscilación amortiguada. El caso más sencillo para un análisis detallado es un oscilador armónico simple, con una fuerza de amortiguamiento por fricción directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los automóviles o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite. Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción, fricción, F  donde de v x  =  dx dt es la velocidad y b es una constante que describe la inten x  = -bv x , don sidad de la fuerza amortiguadora. El signo menos indica que la fuerza siempre tiene dirección opuesta a la velocidad. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es, entonces entonces,,

a F  x   =

- kx   -   bv x 

(14.40)

y la segunda ley de Newton para el sistema es

 

- kx   -   bv x   =   ma x 

 

o

- kx   -   b 

dx  dt 

=   m 

d 2 x  dt 2

(14.41)

La ecuación (14.41) es una ecuación diferencial en  x ; sería igual a la ecuación (14.4), que da la aceleración (14.4), aceleración en un MAS, except excepto o por el término adicional adicional -bdx dt . La de esta es Si unlaproblema en ecuaciones diferenciales, peroresolución no entraremos aquíecuación en detalles. fuerza desencillo amortiguamiento es relativamente pequeña, el movimiento movimiento está descrito descrito por

 x   =   Ae- 1b>2m2t  cos1v ¿ t   +   f2 (oscilador con poco amortiguamiento)

  (14.42)

14.25 Si una campana que oscila se deja de impulsar, impulsar, tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras (resistencia del aire y fricción en el punto de suspensión) harán que deje de moverse.

 

 

458   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.26 Gráfica de desplazamiento contra

tiempo para un oscilador con poco amortiguamiento [véase la ecuación (14.42)] y ángulo de fase f = 0. Se muestran curvas para dos valores de la constante de amortiguamiento b.  0.1 km km (fuerza de amortiguamiento débil) b   0.4 km km (fuerza de b 

 





amortiguamiento más fuerte)

 x   A

O

2 A

2(b /2 m)t 

 Ae

T 0

2T 0

3T 0

4T 0

5T 0

t 

Con mayor amortiguamiento (b más grande): • La amplitud disminuye más rápidamente (curvas punteadas. • El periodo T  aumenta  aumenta   (T 0   periodo sin amortiguamiento). 

La frecuencia angular de la oscilación v¿ está dada por v¿

=

B 

k 

m

-

2   b

(oscilador con poco amortiguamiento)

4m2

El fluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativa de los dos extremos de la unidad. Cilindro superior conectado al armazón del auto: permanece relativamente estacionario.

(14.43)

El lector podrá verificar que la ecuación (14.42) es una solución de la ecuación (14.41) calculando la primera y segunda derivadas de  x , susti sustituyénd tuyéndolas olas en la ecuaecuación (14.41) y verificando si los miembros derecho e izquierdo son iguales. Este procedimiento es sencillo, aunque algo tedioso. El movimiento descrito por la ecuación (14.42) difiere del caso no amortiguado en dos aspectos. aspectos. Primero, la amplitud Ae-(b2m)t  no es constante, constante, sino que disminuye con el tiempo a causa del factor exponencial decreciente e-(b2m)t . La figura 14.26 es una gráfica de la ecuación (14.42) para el caso f   = 0; muestra que, que, cuant cuanto o mayor sea el valor de b, la amplitud disminuirá más rápidamente. Segundo, Segun do, la frecuencia frecuencia angular v , dada por por la ecuació ecuación n (14.43), (14.43), ya no es es igual igual a k > m sino un poco menor, k  menor, y se vuelve cero si b es tan grande que v   =   2  9

k  m

-

2   b

4m2

 

 =

0

 

o

b =

2  1 km km

(14.44)

Si se satisface la ecuación (14.44), la condición se denomina amortiguamiento crítico. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar oscilar cuando se le desplaza y suelta. Si   b es mayor que 2 1 km km , la condición se denomina sobreamortiguamiento. Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema regresa regresa al equilibrio más lentamente lentamente que con amortiguamiento crítico. Para Para el caso sobreamortiguado, las soluciones de la ecuación (14.41) tienen la forma  x   =   C 1e

automóvil. 14.27 Un amortiguador de automóvil.

 

- a1t 

+   C 2e

-a2t 

donde C 1 y C 2 son constantes que dependen de las condiciones condiciones iniciales, y a1 y a2 son constantes determinadas por m, k y b. Cuando b es menor que el valor crítico, crítico, como en la ecuación (14.42), (14.42), la condición se llama subamortiguamiento. El sistema oscila con amplitud constantemente constantemente decreciente. En un diapasón o una cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos el mínimo amortiguamiento posible. En cambio, el amortiguamiento es benéfico en las oscilaciones oscilaciones de la suspensión de un automóvil. Los amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pase por un bache, no siga rebotando eternamente (figura 14.27). Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debería estar críticamente amortiguado o un poco subamortiguado. Demasiado amortiguamiento sería sería contraproducente: contraproducente: si la suspensión está está sobreamortiguada y el auto cae en otro bache, bache, justo después del primero, los resortes de la la suspensión todavía estarán estarán comprimidos un poco por el primer golpe, y no podrán absorber plenamente el impacto.

Energía en oscilaciones amortiguadas En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservativa; conservativa; la energía mecánica mecáni ca del sistema no es constante, constante, sino que disminuye continuamente continuamente,, acerc acercándose ándose a cero después de un tiempo largo. Con la finalidad de deducir una expresión para la rapidez de cambio de energía, primero escribimos una expresión para la energía mecánica total E en cualquier instante:

Pistón Fluido viscoso

1 1 2 2  E   = 2 mv x  + 2 kx 

Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, cantidad, la derivamos con con respecto al tiempo: dE 

Cilindro inferior unido al eje Empujado y la rueda: hacia arriba sube y baja. Empujado hacia abajo

d v x  dx  =   mv x   +   kx  

dt 

dt 

dt 

Pero d v x dt  =  =  a x , y dx dt  =  =  v x , as asíí que que dE  dt 

=   v x 1ma x   +   kx 2

 

14.8 Oscilaciones forzadas y resonancia

De acuerdo con la ecuación (14.41), ma x  +  kx  = que  = -bdx dt  =  = -bv x , por lo que

dE  dt 

2 =   v x 1 - bv x 2   = - bv x 

(oscilaciones amortiguadas)

 

(14.45)

El miembro derecho de la ecuación (14.45) es negativo, siempr siempree que el cuerpo cuerpo que que oscila esté en movimiento, independientemente de que la velocidad v x  sea positiva o negativa. negati va. Esto indica indica que conforme el cuerpo cuerpo se mueve, la energía dismin disminuye, uye, aunque 2

no con una tasa uniforme. El término -bv x  = (-bv x )v x  (fuerza multiplicada por velocidad) es la rapidez con que la fuerza amortiguadora efectúa trabajo (negativo) sobre el sistema sistema (es decir, decir, la potencia amortiguadora). Esto es igual a la tasa de cambio de la energía mecánica total del sistema. Se observa un comportamiento similar en circuitos eléctricos que contienen inductancia, capacita capacitancia ncia y resistenc resistencia. ia. Hay una frecuenci frecuenciaa de oscilación oscilación natural, natural, y la resistencia desempeña el papel de la constante de amortiguamiento b. Estudiaremos estos circuitos con detalle en los capítulos 30 y 31 (volumen 2). Evalúe su comprensión de la sección 14.7

Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Si una ráfaga de viento golpea la punta del aparato y la e leva, la punta se balanceará verticalmente hasta que finalmente el avión regrese a su altitud original. ¿Estas oscilaciones son i. no amortiguadas, ii. subamortiguadas, iii. críticamente amortiguadas o iv iv.. sobreamortiguadas?

14.8

Oscilaciones forzadas y resonancia

Un oscilador amortiguado aislado dejará de moverse tarde o temprano; no obstante, podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódica o cíclicamente, con periodo y frecuencia definidos. Por ejemplo, considere que su primo Morton está sentado en un columpio. Puede mantenerlo oscilando con amplitud constante dándole un empujoncito a la vez en cada ciclo. Llamamos a esta fuerza adicional fuerza impulsora.

Oscilación amortiguada con una fuerza impulsora periódica Si aplicamos a un oscilador armónico amortiguado una fuerza impulsora que varíe periódicamente con frecuencia angular vd, el movimiento movimiento resultante resultante se llama oscilación forzada, o bien bien,, oscilación impulsada, y es diferente diferente del movimiento movimiento que se se da cuando el sistema se desplaza del equilibrio y luego se deja solo, solo, en cuyo caso el sistema oscilará con una frecuencia angular natural v¿ determinada por m, k y b, co como mo en la ecuación (14.43). (14.43). En una oscilació oscilación n forzada, en cambio, la frecuencia frecuencia angular con que la masa oscila es igual a la frecuencia angular de la fuerza impulsora,   vd, la cual no tiene que ser igual a la frecuencia angular v¿ con que el sistema oscilaría sin una fuerza impulsora. Si usted sujeta las cuerdas del columpio de Morton, puede obligar al columpio a oscilar con cualquier frecuencia que desee. Suponga que se obliga al oscilador a vibrar con una frecuencia angular vd casi igual a la frecuencia angular v¿ que tendría sin una fuerza impulsora. ¿Qué sucede? El oscilador tiende naturalmente a oscilar con v = v¿, y esperaríamos esperaríamos que la amplitud amplitud de la oscilación resultante fuera mayor que cuando las dos frecuencias son muy diferentes. Análisis y experimentos detallados muestran que esto es lo que sucede. El caso más fácil de analizar es una fuerza impulsora que varía sinusoidalmente, di diga ga-mos, F (t ) = F máx cos vdt . Si variamos la frecuencia vd de la fuerza fuerza impulsora, impulsora, la amplitud de la oscilación forzada resultante variará de manera interesante (figura 14.28). Cuando hay muy poco amortiguamiento ( b pequeña) pequeña),, la amplitud amplitud tendrá tendrá un pico marcado conforme la frecuencia angular impulsora vd se acerca a la frecuencia angular de oscilación natural v¿. Cuando aumenta el amortiguamiento (b mayo mayor), r), el pico pico se ensancha y se hace más bajo, desplazándose hacia menores frecuencias. Podríamos deducir una expresión que muestre cómo la amplitud  A de la oscilación forzada depende de la frecuencia de una fuerza impulsora sinusoidal, con valor

459

   

460   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.28 Gráfica de la amplitud A de oscilación forzada en función de la frecuencia angular vd de la fuerza impulsora. El eje horizontal indica el cociente de vd y la frecuencia angular v   =   2 k  k>   m de un oscilador no amortiguado. Cada curva tiene un valor distinto de la constante de amortiguamiento b.

 A

Cada curva muestra la amplitud  A de un oscilador sujeto a una fuerza impulsora con diversas frecuencias angulares vd. Desde el azul hasta el dorado, las curvas sucesivas sucesiv as representan cada vez mayor amortiguamiento.

5F máx / k  k 

b 5 0.2 km km

 

Un oscilador ligeramente amortiguado presenta un pico de resonancia puntiagudo, cuando vd está cerca de v (la frecuencia angular natural de un oscilador no amortiguado).

4F máx / k  k  F  k  máx

3

   0.4 km

 / 

b 5

2F máx / k  k 

b 5 0.7 km km

  b 5 1.0 km km

F máx / k  k 

Mayor amortiguamiento reduce y ensancha el pico, desplazándolo hacia frecuencias más bajas. Si b $  2km, el pico desaparece por completo.

b 5 2.0 km km

 

0

0.5

1.0

1.5

2.0

 / 

v d  v

La frecuencia impulsora vd es igual a la frecuencia angular natural v de un oscilador no amortiguado.

máximo F máx. Ello implicaría resolver ecuaciones diferenciales para las que aún no estamos preparados, preparados, aunque el resultado resultado sería:  A   =

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F máx

2 1k   -   mvd2 22

2

+  b

2

(amplitud de un oscilador impulsado)   (14.46)

vd

Cuando k  -  mvd2 = 0, el primer primer término término bajo el radical radical es cero, cero, y A tiene un máximo cerca de vd   =   2 k  k > m . La altura de la curva en este punto es proporcional a 1b; cuanto menor sea el amortiguamiento, más alto será el pico. En el extremo extremo de baja frecuenci frec uencia, a, con vd   = 0, obt obtene enemos mos A   = F máxk . Esto corresponde a una fuerza constante F máx y un desplazamiento constante  A   =   F máxk  con respecto al equilibrio, como esperaríamos.

Resonancia y sus consecuencias  Aplicación Resonancia canina A diferencia de los humanos, los perros no  tienen glándulas sudoríparas, de manera que deben jadear para enfriarse. La frecuencia con la que jadea un perro está muy cerca de la frecuencia de resonancia de su sistema respiratorio. Esto hace que la m áxima cantidad de aire entre y salga del cuerpo del perro, y

El hecho de que haya un pico de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas cercanas a la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia. En física, abundan los ejemplos ejemplos de resonancia; uno es aumentar aumentar las oscilaciones oscilaciones de un niño en un columpio, empujando con una frecuencia igual a la frecuencia natural del columpio. Un ruido vibratorio en un automóvil que se escucha solo a cierta rapidez del motor o de rotación de las ruedas es un ejemplo muy conocido. Los altavoces de bajo precio a menudo emiten un retumbo o zumbido

así se minimiza el esfuerzo que el animal debe ejercer para enfriarse por sí mismo.

molesto, una nota coincide con la frecuencia frecue nciaejemplos de resonancia del conoque del altavoz ocuando de la carcasa. Enmusical el capítulo 16 estudiaremos otros de resonancia implican sonido. La resonancia también ocurre en los circuitos circuitos eléctricos, como veremos en el capítulo 31 (volumen 2). Un circuito sintonizado en un radio o un televisor responden vigorosamente a ondas con con frecuencias cercanas cercanas a su frecuencia frecuencia de resonancia, resonancia, y aprovechamos aprovech amos esto para seleccionar una estación específica y rechazar las demás. La resonancia en los sistemas mecánicos puede ser destructiva. Un escuadrón de soldados una vez destruyó un puente marchando sobre él al mismo paso; la frecuencia de sus pasos era cercana a una frecuencia de vibración natural del puente, y la oscilación resultante tuvo suficiente amplitud para resquebrajar el puente. Desde Desde entonces, se ha ordenado a los soldados que rompan el paso antes de cruzar un puente. Hace algunos años, las vibraciones de los motores de cierto avión tuvieron justo la frecuencia adecuada para resonar con las frecuencias naturales de las alas. Las grandes oscilaciones se acumularon acumula ron y, finalmen finalmente, te, las alas se desprendier desprendieron. on. Evalúe su comprensión de la sección 14.8

Al impulsarse con una frecuencia cercana a su frecuencia natural, natural, un oscilador con muy poco amortiguamiento tiene mucho mayor respuesta, que el mismo oscilador con más amortiguamiento. Cuando se impulsa con una frecuencia que es mucho mayor o mucho menor que la frecuencia natural, ¿qué oscilador tendrá la mayor respuesta: i. aquel con muy poco amortiguamiento o ii. el que tiene más amortiguamie amortiguamiento? nto?

   

CAPÍTULO

14

   r    o    t   s    u    n    T   o    i    t    o    u    e    l    d    i   o    V    S

  RESUMEN

Movimiento periódico: Un movimiento periódico se repite en un ciclo definido; se presenta siempre que un cuerpo tiene una posición de equilibrio estable y una fuerza de restitución que actúa cuando el cuerpo se desplaza a partir del equilibrio. El periodo T es el tiempo que tarda un ciclo. La frecuencia f es el número de ciclos por unidad de

ƒ =

  T  1

1

T   =

ƒ

 x  =  = 2 A

2p

v   = 2pƒ   =

(14.2)

a x 

T 

0

   0

n

F  x 

F  x 

a x   =

v =

ƒ =

T   =

(14.3)

F   x 

= - 

m

k   x    m

(14.4)

A  1

=

=

ƒ

 E   =

mg

 x   A O

T 

t 

2T 

(14.10)

m

2p

 x 

mg

2 A

k 

v

n

 x 

mg

- kx 

a x 

 y

 x 

F   x   =

 x  =  =  A

x  .

   y

A  A 

1

2p

k 

 

(14.11)

m

m

2 p 

(14.12)

k 

(14.13)

1 1 1 2 2 2 2  mv x  + 2  kx  = 2  kA =

         

Energía

constante

 E  5 K  1 U 

U  K 

2 A

Movimiento armónico simple angular: En el MAS angular, la frecuencia y la frecuencia angular están relacionadas con el momento de inercia I y la constante de torsión k.

x  =  =

 y

n

 x   =   A cos1vt   +   f2

Energía en el movimiento armónico simple: La energía se conserva en un MAS. La energía total se puede expresar en términos de la constante de fuerza k y la amplitud A. (Véase los ejemplos 14.4 y 14.5).

   0

 x  ,

tiempo. La frecuencia angular v es 2p 2p veces la frecuencia. (Véase el ejemplo 14.1).

Movimiento armónico simple: Si en el movimiento periódico la fuerza de restitución F  x  es directamente proporcional al desplazamiento x , el movimiento se denomina armónico armónico simple (MAS). En muchos muchos casos, esta condición se satisface si el desplazamiento con respecto al equilibrio es pequeño. La frecuencia angular, angular, la frecuencia y el periodo en un MAS no dependen de la amplitud, amplitud, solo dependen de la masa m y la constante de fuerza k. En un MAS, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son funciones sinusoidales del tiempo; la amplitud A y el ángulo de fase f de la oscilación están determinados por la posición y velocidad iniciales del cuerpo. (Véase (Véase los ejemplos 14.2, 14.2, 14.3, 14.6 y 14.7).

 x 

(14.1)

v =

A  I   k

y

 

1

ƒ =

2p

A 

 

k

O

A

Rueda de balance

 x 

Resorte

 I  t z

u

La torca t z del resorte se opone al desplazamiento angular u.

Péndulo simple: Un péndulo simple consiste en una masa puntual m en el extremo de una cuerda de longitud  L y masa despreciable. Su movimiento es aproximadamente aproximadamente armónico simple si la amplitud es lo bastante pequeña; entonces, la frecuencia frecuencia angular, angular, la frecuencia y el periodo dependen solo de g y L, no de la masa ni de la amplitud. amplitud. (Véase el ejemplo 14.8).

v =

T   =

A 

ƒ =

2p

1

g

 L

=

v

ƒ

v 2p =

1

=

2p

A 

2 p 

 L g

A 

 

g

(14.33) (14.32)

 L

 L

(14.34) u

T  mg cos u mg cos

mg sen u mg

Péndulo físico: Un péndulo físico es un cuerpo suspendido de un eje de rotación. La frecuencia angular y el periodo para oscilaciones de amplitud pequeña son independientes de la amplitud, aunque dependen de la masa m, la distanc distancia ia d  del eje de rotación a su c entro de gravedad y del momento de inercia I con respecto al eje. (Véase los ejemplos 14.9 y 14.10).

v =

B 

mgd 

 O

 I 

u

d sen u

  I  mgd 

A 

T   = 2p 

 z

(14.38)

(14.39)

mg sen u

d  cg mg cos u

mg

461

   

 

462

  CAPÍTULO 14 Movimiento periódico

Oscilaciones amortiguadas: Si a un oscilador armónico simple se le aplica una fuerza F  x  = -bv x  proporcional a la velocidad, el movimiento se denomina oscilación amortiguada. Si b   6 2 2 km km (condición de subamortiguamiento), el sistema oscila con amplitud decreciente y una frecuencia angular v que es más baja de la que tendría sin amortiguamiento. Si b   = 2 1 km km (condición de amortiguamiento crítico) o b   7 2 1 km km (condición de sobreamortiguamiento), amortiguami ento), cuando el sistema se desplaza regresando regresando

 x   =   Ae -1b>2m2t  cos 1v ¿ t   +   f2

v¿

=

B 

k 

m

-

 x   A

(14.42)

  b2

 Ae2(b / 2m)t 

(14.43)

4m 2

t 

O

9

T 0

  2T 0   3T 0   4T 0   5T 0 b 5 0.1 km km

  b   0.4 km km

 A

2

5

a su posición de equilibrio sin oscilar.

Oscilaciones impulsadas y resonancia: Si a un oscilador armónico amortiguado se aplica una fuerza impulsora que varía sinusoidalmente, sinusoidalmente, el movimiento resultante resultante se denomina oscilación forzada. La amplitud es función de la frecuencia impulsora vd y alcanza un máximo con una frecuencia impulsora cercana a la frecuencia natural del sistema. Este comportamiento se denomina resonancia.

PROBLEMA PRÁCTICO

 A   =

F máx

2 1k   -   mvd222 +   b2vd2

(14.46)

 A

5F máx máx / k 

   0.2 km km

b

4F máx máx / k  3F máx máx / k  2F máx máx / k  F máx máx / k 

5

   0.4 km km    0.7 km km b   1.0 km km b   2.0 km km

b

5

b

5

5

 

0 0.5 1.0 1.5 2.0

5 vd  v

 / 

Oscilar y rodar

Dos cilindros cilindros sólidos uniformes, uniformes, de radio  R y masa total  M , est están án conectados a lo largo de su eje común mediante una varilla corta y ligera, y descansan sobre una mesa horizontal (figura 14.29). Un anillo sin fricción en el centro de la varilla está unido a un resorte con constante de fuerza k ; el otro extremo del resorte está fijo. Se tira de los cilindros hacia la izquierda una distancia  x , estir estirando ando el resorte resorte,, y luego se suelta suelta el sistema a partir del reposo. Debido a la fricción entre la mesa y los cilindros, estos últimos ruedan ruedan sin resbalar, resbalar, conforme oscilan. oscilan. Demuestre que el movimiento del centro de masa de los cilindros es armónico simple, y encuentre su periodo.

14.29  M 

 x   R

k 

GUÍA DE SOLUC SOLUCIÓN IÓN  Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar una solución con Video Tutor.

IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. ¿Qué condición condición se debe cumplir cumplir para que que el movimiento movimiento del centro de masa de los cilindros sea armónico simple? ( Sugerencia: Véase la sección 14.2). 2. ¿Cuále ¿Cuáless ecuaciones ecuaciones se deberían utilizar utilizar para describir describir los movimovimientos de traslación y de rotación de los cilindros? ¿Qué ecuación se debe utilizar para describir la condición de que los cilindros ruedan sin resbalar? (Sugerencia: Véase la sección 10.3). 3. Dibuje la situación y elija un un sistema de coordenadas. coordenadas. Elabore una lista de las cantidades desconocidas y determine cuál es la incógnita.

EJECUTAR 4. Dibuje Dib uje un una diagr diagrama ama de x cuerpo lib re equilibrio. para los cilindros cilindros cuando cuando se desplazan distancia a partirlibre del 5. Resuelva las ecuaciones con con la finalidad de encontrar una expresión expresión para la aceleración del centro de masa de los c ilindros. ¿Qué le dice esta expresión? 6. Utili Utilice ce el resultado resultado del paso 5 para encontrar encontrar el periodo periodo de oscilación del centro de masa de los ci lindros.

EVALUAR 7. ¿Cuál sería sería el periodo periodo de oscilación oscilación si no hubiera fricción fricción y los cilindros no hubieran rodado? ¿Este periodo es mayor o menor que el resultado del paso 6? ¿Es esto razonable?

 

Ejercicios

Problemas

  463

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, , : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores. CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas. .

..

.. .

PREGUNTAS PREGUNT AS PARA ANÁLISIS P14.1 Un objeto se mueve con MAS de amplitud  A en el extremo de un resorte. Si la amplitud se duplica, ¿qué sucede con la distancia total total que el objeto recorre en un periodo? ¿Qué sucede con el periodo? ¿Qué sucede con la rapidez máxima del objeto? Analice la relación entre estas respuestas. P14.2 Piense en varios ejemplos cotidianos de movimiento que sea, al menos aproximadamente, armónico simple. ¿Cómo difiere difiere cada uno del MAS? P14.3 ¿Un diapasón u otro instrumento de afinación similar tiene MAS? ¿Por qué es algo esencial para los músicos? P14.4 Una caja que contiene un guijarro se conecta a un resorte horizontal ideal y oscila sobre una mesa de aire sin fricción. Cuando la caja ha alcanzado su distancia máxima a partir del punto de equilibrio, equilibrio, repentinamente el guijarro se retira verticalmente sin perturbar la caja. ¿Las siguientes características del movimiento aumentarán, disminui disminuirán rán o permanecerán iguales en el movimiento subsiguiente de la caja? Justifique cada respuesta. a) Frecuencia; b) periodo; c) amplitud; d ) energía cinética máxima de la caja; e) rapidez máxima de la caja. P14.5 Si un resorte uniforme uniforme se corta a la mitad, ¿qué constante de fuerza tendrá cada mitad? Justifique su respuesta. ¿Cómo diferiría la frecuencia del MAS usando la mitad del resorte en comparación con la frecuencia producida usando la misma masa y el resorte completo? P14.6 En el análisis del MAS de este capítulo se despreció la masa del resorte. ¿Cómo cambia esta masa las características del movimiento? P14.7 Dos deslizadores idénticos en un riel de aire están conectados por un resorte ideal. ¿Podría tal sistema experimentar un MAS? Explique su respuesta. ¿Cómo sería el periodo en comparación con el de un solo deslizador unido a un resorte, donde el otro extremo está unido rígidarígidamente a un objeto estacionario? Explique su respuesta. marcianos, lo llevan a su nave nave y P14.8 Imagine que lo capturan unos marcianos, lo duermen con un sedante. Tiempo Tiempo después, despierta y se encuentra encerrado en un compartimento pequeño sin ventanas. Lo único que le dejaron es su reloj digital, su anillo de graduación y su larga cadena cadena de plata. Explique cómo podría determinar si todavía está en la Tierra o si se encuentra en Marte. P14.9 El sistema que se muestra en la figura 14.17 se monta en un elevador.. ¿Qué sucede con el periodo del movimiento (aumenta, disminuvador ye o no cambia), cuando el elevador elevador a) acelera hacia arriba a 5.0 m s2; b) se mueve hacia arriba a 5.0 m s constantes; c) acelera hacia abajo a 5.0 ms2? Justifique sus respuestas. periodo de 2.5 s en la Tierra, ¿qué perioP14.10 Si un péndulo tiene un periodo do tendría en una estación espacial en órbita terrestre? Si una masa colgada de un resorte vertical tiene un periodo de 5.0 s en la Tierra, ¿qué periodo tendrá en la estación espacial? Justifique sus respuestas. P14.11 Un péndulo simple se monta en un elevador. ¿Qué sucede con el periodo periodo del péndulo (aument (aumenta, a, dismi disminuye nuye o no cambia), cambia), cuando el elevador a) acelera hacia arriba a 5.0 ms2; b) se mueve hacia arriba a 5.0 ms constantes; c) acelera hacia abajo a 5.0 ms2 ; d ) acelera hacia abajo a 9.8 ms2? Justifique sus respuestas. P14.12 ¿Qué debe hacerse a la longitud de la cuerda de un péndulo simple para a) duplicar su frecuencia,  b ) duplicar su periodo,  c ) duplicar su frecuencia angular?

P14.13 Si un reloj de péndulo se sube a la cima de una montaña, ¿se adelanta o se atrasa? Explique, suponiendo que marca la hora correcta a menor altitud. P14.14 Si la amplitud de un péndulo simple aumenta, ¿debería aumentar o disminuir su periodo? Mencione un argumento cualitativo; no se base en la ecuación (14.35). ¿Su argumento también es válido para un péndulo físico? P14.15 ¿Por qué los perros pequeños (como los chihuahueños) caminan con zancadas más rápidas que los perros grandes (como los daneses)? P14.16 ¿En qué punto del movimiento de un péndulo simple es máxima la tensión en la cuerda? cuerda? ¿Y mínima? En cada caso, explique su razonamiento. P14.17 ¿Un estándar de tiempo podría basarse en el periodo de cierto péndulo estándar? ¿Qué ventajas y desventajas tendría tal estándar con respecto al estándar actual descrito en la sección 1.3? P14.18 Para un péndulo péndulo simple, diferencie claramente entre entre v (la velocidad angular) y v (la frecuencia angular). ¿Cuál es constante y cuál es variable? P14.19 Un deslizador está conectado a un resorte ideal fijo y oscila sobre una pista de aire horizontal sin fricción. Se coloca una moneda encima del deslizador para que oscile con este. ¿En qué puntos del movimiento es máxima la fuerza de fricción sobre la moneda? ¿En qué puntos es mínima? Justifique sus respuestas. estructuras en una región de alta sismicidad, ¿qué reP14.20 Al diseñar estructuras lación debe haber entre las frecuencias naturales de oscilación de una estructura y las frecuencias típicas de un terremoto? ¿Por qué? ¿La estructura debe tener mucho o poco amortiguamiento?

EJERCICIOS Sección 14.1 Descripción de la oscilación persona canta, sus cuerdas vocales vocales BIO   a)  Música. Cuando una persona vibran en un patrón repetitivo que tiene la misma frecuencia que la nota que está cantando. Si alguien canta la nota si bemol, bemol, que tiene una frecuencia de 466 Hz, ¿cuánto tiempo duran las cuerdas cuerdas vocales de la per-

14.1

  .

sona vibrando para para completar un ciclo completo, y cuál es la frecuencia angular de las cuerdas? b)   Oído. Cuando las ondas sonoras inciden sobre el tímpano, tímpano, esta membrana vibra vibra con la misma frecuencia frecuencia que el sonido. El tono más alto que los seres humanos normales pueden oír tiene un periodo de 50.0 ms. ¿Cuáles son la frecuencia y la frecuencia angular del tímpano vibrando por este sonido? c) Vista. Cuando luz que tiene vibraciones de frecuencia angular que van desde 2.7 * 1015 rads a 4.7 * 1015 rads incide en la retina del ojo, estimula las células receptoras ahí y se percibe como luz visible. ¿Cuáles son los límites del periodo y la frecuencia de la luz? d ) Ultrasonido. Se utilizan ondas sonoras de alta frecuencia (ultrasonido) para examinar el interior del cuerpo, de forma similar a como como lo hacen los rayos x. x. Para detectar objetos pequeños, pequeños, tales como tumores, tumores, se utiliza una una frecuencia de alrededor de 5.0 MHz. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia angular de las vibraciones moleculares causadas por este pulso de sonido? 14.2 Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, resorte, se desplaza desplaza y después después se suelta, suelta, oscila oscilará. rá. Si se desplaza desplaza 0.120 m a partir de su posición de equilibrio y se suelta con rapidez   .

 

464   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico inicial cero, luego de 0.800 s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una una vez durante este intervalo. Calcule a) la amplitud, b) el periodo y c) la frecuencia. 14.3 La punta de un diapasón efectúa 440 vibraciones completas en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento. 14.4 En la figura E14.4 se muestra el desplazamiento de un objeto oscilante en función del tiempo. Calcule a) la frecuencia, b) la amplitud, c) el periodo y d ) la frecuencia angular de este movimiento.

plitud del movimiento es 0.090 0.090 m, el bloque tarda 2.70 s en viajar de  x   = 0.090 m a  x   = -0.090 m. Si se duplica duplica la amplitud, amplitud, a 0.180 m, ¿cuánto tiempo tarda el bloque de viajar a) de  x   = 0.180 m a  x   = -0.180 m y b) de x  =  = 0.090 m a  x  =  = -0.090 m? 14.15 BIO Peso de los astronautas. Este procedimiento se utiliza realmente para “pesar” a los astronautas en el espacio. Se une una silla de 42.5 kg a un resorte y se le deja oscilar cuando está vacía; la silla tarda 1.30 s en efectuar una vibración completa. En cambio, con un astronauta astronauta sentado sentado en ella, sin tocar el piso piso con sus pies, la

Figura E14.4

silla tarda 2.54 s en completar un ciclo. ¿Cuál debe ser la masa del astronauta? 14.16 Un objeto de 0.400 kg en MAS tiene a x  = -2.70 ms2 cuando  x = 0.300 m. ¿Cuánto tarda una oscilación? fricción, un deslizador 14.17 Sobre una pista de aire horizontal sin fricción, oscila en el extremo de de un resorte ideal, cuya constante de fuerza fuerza es 2.50 Ncm. En la figura E14.17 la gráfica muestra la aceleración del deslizador en función del tiempo. Calcule a) la masa del deslizador; b) el desplazamiento máximo del deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el deslizador.

  .

  .

 x  (cm)

  .

  .

10.0

  .

t O

 

5. 0

10.0

15.0

(s)

–10.0

Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 14.5 5.00 Hz y amplitud de 1.80 cm. ¿Cuánto tarda la pieza en ir de  x = 0 a x  =  = -1.80 cm?   ..

Figura E14.17 a x  (ms2)

Sección 14.2 Movimiento armónico simple En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel de 14.6 aire de 0.200 kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo transcurrido entre la primera vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por este punto es de 2.60 s. Determine la constante de fuerza del resorte. 14.7 Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza de 120 N m. Se observa que vibra con una frecuencia de 6.00 Hz. Calcule a) el periodo del movimiento; b) la frecuencia frecu encia angular, angular, y c) la masa del cuerpo. oscila en un resorte resorte ideal, la 14.8 Cuando una masa de 0.750 kg oscila frecuencia es de 1.33 Hz. a) ¿Cuál será la frecuencia si se agregan 0.220 kg kg a la masa origin original, al, y b) si se restan de la masa original? Intente resolver este problema sin calcular la constante de fuerza del resorte. 14.9 Un objeto está experimentando MAS con un periodo de 0.900 s y una amplitud de 0.320 m. En t  =  = 0 el objeto está en  x  =  = 0.320 m y se encuentra instantáneamente en reposo. Calcule el tiempo que tarda en

12.0 6.0

  ..

  .

  .

  ..

O

–6.0 –12.0

t

(s)

0.10 0.1 0 0.2 0.20 0 0.3 0.30 0 0.40

14.18 La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte está dada en función del tiempo por v x (t ) = -(3.60 cms) sen[(4.71 s-1)t   - p2]. Calcule a) el periodo, b) la amplitud, c) la aceleración máxima de la masa y d ) la constante de fuerza del resorte. 14.19 El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte está dado por la e cuación   .

  .

 x (t ) = (7.40 cm) cos[(4.16 s -1)t   - 2.42]

Calcule a) el tiempo que tarda una vibración completa; b) la constante de fuerza del resorte; c) la rapidez máxima de la masa; d ) la fuerza máxima que actúa sobre la masa; e) la posición, rapidez y aceleración de la masa en t   = 1. 1.00 00 s, s, y  f ) la fuerza que actúa sobre la masa en ese momento.

 = 0.320 m a x  =  = 0.1  = 0.160 m a  x  =  = 0. ir a) de x  = 0.160 60 m, y b) de x  = 14.10 Un pequeño bloque está unido a un resorte ideal y se mueve con MAS sobre una una superficie horizontal, sin fricción. Cuando el bloque se encuentra en x = 0.280 m, la aceleración del bloque bloque es -5.30 ms2. ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? 14.11 Un bloque bloque de 2.00 kg, kg, que resbala resbala sin fricción fricción,, se conecta conecta a un resorte ideal con con constante de fuerza fuerza de 300 Nm. En t = 0, el re re-sorte no está estirado ni comprimido, y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12.0 ms. Calcule a) la amplitud y b) el ángulo de fase. c) Escriba una ecuación para la posición en función del tiempo. 14.12 Repita el ejercicio 14.11, pero suponga suponga que en t = 0 el bloque tiene una velocidad de -4.00 ms y un desplazamiento de +0.200 m. 14.13 La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS, sobre el eje x con una frecuencia de 2.5 Hz. En t  = componentes es  = 0, sus component de posición y velocidad son, respectivamente,   +1.1 cm y -15 cms. a) Calcule la componente de aceleración de la aguja en t   = 0. b) Escriba ecuaciones para las componentes componentes de posición, velocidad y ace-

14.20 BIO Peso de un virus. En febrero de 2004, científicos de la Universidad de Purdue utilizaron una técnica altamente sensible para medir la masa de un virus vaccinia (del tipo usado en la vacuna contra la viruela). El procedimiento implicó la medición de la frecuencia de oscilación de una pequeña placa de silicio (de solo 30 nm de largo) con un láser, primero sin virus y luego con el virus virus unido al silicio. La diferencia de masa provocó un cambio en la frecuencia. Podemos modelar este proceso como una masa en un resorte. a) Demuestre que la proporción entre la frecuencia con el virus adjunto ( f   f S + V) y la frecuencia ƒS +V 1 sin el virus ( f S) está dada por la fórmula , =  f S 2 1   +   1mV>mS2

leración de la punta en función del tiempo. 14.14 Un pequeño bloque está unido a un resorte ideal y se mueve con MAS sobre una superficie superficie horizontal, sin fricción. Cuando la am-

togramos? 14.21 CALC Tirón. Una cuerda de guitarra vibra a una frecuencia de 440 Hz. Un punto en su centro se mueve con MAS con una

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donde mV es la masa del virus y mS es la masa de la placa de silicio. Observe que no es necesario conocer o medir la constante de fuerza del resorte. b) En algunos datos, la placa de silicio tiene una masa de 2.10 * 10-l6 g y una frecuencia de 2.00 * 1015 Hz sin el virus, virus, y 2.87 * 1014 Hz con el virus. ¿Cuál es la masa del virus, en gramos y en femfem  ..

 

Ejercicios amplitud de 3.0 nm y un ángulo de fase de cero. a) Escriba una ecuación para la posición del centro de la cuerda como función del tiempo. b) ¿Cuáles son los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración del centro de la cuerda? c) La derivada de la aceleración con respecto al tiempo es una cantidad llamada el tirón. Escriba una ecuación para el tirón del centro de la cuerda como función del tiempo, y encuentre el valor máximo de la magnitud del tirón. tirón.

Sección 14.3 Energía en el movimiento armónico simple

Para el objeto oscilante de de la figura E14.4, ¿cuáles son a) su 14.22 velocidad máxima y b) su aceleración máxima? 14.23 Un pequeño bloque está unido a un resorte ideal y se mueve con MAS sobre una superficie horizontal, horizontal, sin fricción. La amplitud del movimiento es de 0.120 m. La rapidez máxima del bloque es 3.90 m s. ¿Cuál es la magnitud máxima de la aceleración del bloque? 14.24 Un pequeño bloque está unido a un resorte ideal y se mueve con MAS sobre una superficie horizontal, horizontal, sin fricción. La amplitud del movimiento es de 0.250 m y el periodo es de 3.20 s. ¿Cuáles son la rapidez y la aceleración del bloque cuando  x  =  = 0.160 m? 14.25 Las dos puntas de un diapasón rotulado con 392 Hz están vibrando con una amplitud de 0.600 mm. a) ¿Qué rapidez máxima tiene una punta? b) Una mosca común ( Musca domestica) con masa de 0.0270 g está sujeta en el extremo de una de las puntas. Al vibrar la punta, ¿qué energía cinética máxima tiene la mosca? Suponga que el efecto de la masa de la mosca sobre la frecuencia de oscilación es despreciable. Un oscilador armónico tiene frecuencia angular v y ampli14.26 tud  A. a) Calcule la magnitud del desplazamiento y de la velocidad cuando la energía potencial elástica es igual a la energía cinética. (Suponga que U  =  = 0 en el equilibrio). b) ¿Cuántas veces sucede eso en cada ciclo? ¿Cada cuándo sucede? c) En un instante en que el desplazamiento es igual a  A2, ¿qué fracción de la energía total del del sistema es cinética y qué fracción es potencial? 14.27 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k  = MAS con una  = 450 Nm, está en MAS amplitud de 0.040 m. Calcule  a ) la rapidez máxima del deslizador; b) su rapidez cuando está en  x   = -0.015 m; c) la magnitud de su aceleración máxima; d ) su aceleración en  x   = -0.015 m; e) su energía mecánica total en cualquier punto de su movimiento. 14.28 Una porrista ondea un pompón en MAS con amplitud de 18.0 cm y frecuencia de 0.850 Hz. Calcule a) la magnitud máxima de la aceleración y de la velocidad; b) la aceleración y rapidez cuando la coordenada del pompón es  x   = +9.0 cm; c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la posición de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d ) ¿Cuáles de las cantidades pedidas en los incisos a),  b ) y c) pueden obtenerse empleando el método de energía de la sección 14.3 y cuáles no? Explique su respuesta. 14.29 PA Para la situación descrita en el inciso a) del ejemplo 14.5, ¿qué masa m deberá tener la masilla para que la amplitud después del choque sea la mitad de la amplitud original? Con ese valor de m, ¿q ¿qué ué fracción de la energía mecánica original se convierte en calor? 14.30 Un juguete de 0.150 kg está en MAS en el extremo de un resorte horizontal con constante de fuerza k = 300 Nm. Cuando el objeto está a 0.0120 m de su posición de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 ms. Calcule a) la energía total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud del movimiento; c) la rapidez máxima alcanzada por el objeto durante su movimiento. 14.31 Usted observa un objeto que se mueve en MAS. Cuando   ..

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  ..

465

equilibrio, tiene una velocidad velocidad de 2.20 2.20 ms a la derecha y una aceleración de 8.40 ms2 a la izquierda. ¿A qué distancia de este punto se desplazará el objeto, antes de detenerse momentáneamente momentáneamente para iniciar su movimiento a la izquierda? En una mesa horizontal sin fricción, fricción, una caja de 5.20 kg 14.32 abierta de arriba se sujeta a un resorte ideal, cuya constante de fuerza es de 375 Nm. Dentro de la caja hay una piedra de 3.44 kg. El sistema oscila con una amplitud de 7.50 cm. Cuando la caja ha alcanzado su rapidez máxima, la piedra se sale repentinamente repentinamente de la caja hacia   ..

arriba sin tocarla. Calcule a) el periodo y b) la amplitud del movimiento resultante de la caja. c) Sin realizar cálculos, cálculos, ¿el nuevo periodo es mayor o menor que el periodo original? ¿Cómo lo sabe? 14.33 Una masa oscila con amplitud  A en el extremo de un resorte. ¿A qué distancia (en términos de  A) se encuentra esta masa con respecto a la posición de equilibrio del resorte cuando la energía potencial elástica es igual a la energía cinética? 14.34 Una masa m está unida a un resorte de constante de fuerza 75 Nm y se deja oscilar. La figura E14.34 muestra una gráfica de la velocidad v x  como función del tiempo t . Determine a) el periodo, movimiento.. d ) ¿Cuál b) la frecuencia y c) la frecuencia angular de este movimiento es la amplitud (en cm), y en qué momento momento la masa alcanza esta posiposición? e) Determine la aceleración máxima de la masa y los momentos en que se produce. f ) ¿Cuál es la masa m?   ..

  ..

Figura E14.34 (cms)

v    x 

  ..

  .

  ..

  .

  .

  ..

dicho objeto está desplazado 0.600 m a la derecha de su posición de

20 10

t

1 s2 

0.2 2 0.6 0.6 1 .0 .0 1 .4 .4 1. 1.6 6 –10 0. –20

vehículo de prueba de la NASA, NASA, se tira de una 14.35 Dentro de un vehículo esfera de 3.50 kg mediante un resorte ideal horizontal que está unido a una mesa sin fricción. La constante de fuerza del resorte es de 225 N m. El vehículo tiene una aceleración constante de 5.00 m s2, y la esf esfera era no oscila. De repente, cuando la rapidez del vehículo llega a 45.0 ms, sus motores motores se apagan, apagan, elimin eliminando ando así su aceleració aceleración, n, pero no su velocidad. Calcule a) la amplitud y b) la frecuencia de las oscilaciones resultantes de la esfera. c) ¿Cuál será la rapidez máxima de la esfera en relación con el vehículo?   .

Sección 14.4 Aplicaciones del movimiento armónico simple 14.36 Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pescado de 65.0 kg de un resorte ideal de masa despreciable. El pescado estira el resorte 0.120 m. a) Calcule la constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 cm hacia abajo y luego se suelta. b) ¿Qué periodo de oscilación tiene el pez? c) ¿Qué rapidez máxima alcanzará? 14.37 Un deslizador de 175 g sobre una pista de aire horizontal sin fricción está unido a un resorte resorte ideal fijo, cuya constante de fuerza es de 155 Nm. En el momento en que usted mide el deslizador, este se mueve a 0.815 ms y se ubica a 3.00 cm de su posición de equilibrio. Utilice la conser vación de la energía para calcular a) la amplitud del movimiento y b) la rapidez máxima del deslizador. c) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones? 14.38 Un gato con masa de 4.00 kg que gusta de las emociones fuertes está unido mediante un arnés a un resorte ideal de masa despre  .

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  .

ciable y oscila verticalmente con MAS. La amplitud es de 0.050 m y,

 

466   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico en el punto más alto del movimiento, movimiento, el resorte tiene su longitud longitud natural sin estirarse. Calcule la energía potencial elástica del resorte (suponga que es cero cuando el resorte no está estirado); la energía cinética del gato; la energía potencial gravitacional del sistema relativa al punto más bajo del movimiento; y la suma de estas tres energías cuando el gato está a) en su punto más alto, b) en su punto más bajo y c) en su posición de equilibrio. 14.39 Una esfera de 1.50 kg y otra de 2.00 kg se pegan entre sí colocando la más ligera debajo de la más pesada. La esfera superior

Sujeta un extremo de la cuerda, en tanto que el otro extremo está unido más arriba a la cara de una roca. Como la saliente no está muy lejos de la cara de la roca, la cuerda forma un ángulo pequeño con la vertical. En el punto más bajo de su balanceo, el alpinista planea soltarse y dejarse caer una distancia corta hacia el suelo. a) ¿Cuánto tiempo después de que comienza a balancearse el alpinista alcanzará su punto más bajo? b) Si falla en la primera oportunidad oportunidad de soltarse, ¿cuánto tiempo después de iniciar su balanceo, el alpinista llegará a su punto más bajo por segunda vez?

se conecta a un resorte resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza fuerza es de 165 Nm, y el sistema vibra verticalmente verticalmente con una amplitud de 15.0 cm. El pegamento que une une las esferas es poco resistente, y de repente falla cuando las esferas están en la posición más baja de su movimiento. a) ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto más bajo que en algún otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones después de que la esfera inferior se despega. 14.40 Un disco uniforme sólido de metal con masa de 6.50 kg y diámetro de 24.0 cm cuelga en un plano horizontal, apoyado en su centro con un alambre metálico vertical. Usted sabe que se requiere una fuerza horizontal de 4.23 N tangente al borde del disco para girarlo 3.34°, y así torcer el alambre. Ahora usted elimina esta fuerza fuerza y suelta el disco del reposo. a) ¿Cuál es la constante de torsión para el alambre metálico? b) ¿Cuáles son la frecuencia y el periodo de las oscilaciones de torsión del disco? c) Escriba la ecuación del movimiento para u(t ) del disco.

14.47 En San Francisco un edificio tiene aditamentos ligeros que consisten en bombillas bombillas pequeñas de 2.35 kg con pantallas, que cuelgan del techo en el extremo de cuerdas ligeras y delgadas de 1.50 m de longitud. Si ocurre un terremoto leve, leve, ¿cuántas oscilaciones por sesegundo realizarán tales aditamentos? 14.48 Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿Qué periodo tendrá en la superficie de Marte,, dond Marte dondee g = 3.71 ms2? 14.49 Después de posarse en un un planeta desconocido, desconocido, un exploraexplorador espacial fabrica un péndulo simple con longitud de 50.0 cm y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿Cuánto vale g en ese planeta? 14.50 Una esfera pequeña de masa m está unida a una varilla de masa despreciable de longitud L con un pivote en el extremo de arriba, formando un péndulo péndulo simple. Se tira del péndulo péndulo hacia un lado, hasta que la varilla forma un ángulo ∫ con la vertical y se suelta desde el reposo. a) Dibuje un diagrama del péndulo justo después de soltarse;

Cierto reloj despertador hace tic cuatro veces cada segundo, 14.41 y cada tic representa medio periodo. La rueda de balance consiste en un aro delgado con 0.55 cm de radio, conectado al vástago de balance por rayos de masa despreciable. La masa total de la rueda es de 0.90 g. a) ¿Qué momento de inercia tiene la rueda con respecto a su eje? b) ¿Qué constante de torsión tiene la espiral (figura 14.19)? 14.42 Un disco metálico delgado Figura E14.42 con masa de 2.00 * 10-3 kg y radio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga (figura E14.42). Si el disco se tuerce tuerce y se suelta, oscila oscilará rá con un periodo de 1.00 s. Calcule la constante de torsión de la fibra. 14.43 Usted desea determinar  R el momento de inercia de una pieza mecánica mecáni ca complicada, complicada, con respecto respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsión de 0.450 N mrad. Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones oscilaciones en 265 s. ¿Cuánto vale el momento momento de inercia buscado?? 14.44 CALC La rueda de balance de un reloj vibra con amplitud angular ∫, frecu frecuencia encia angula angularr v y ángulo de fase f  = 0. a) Deduzca expresiones para la velocidad angular d udt  y la aceleración angular d 2udt 2 en función del tiempo. b) Calcule la velocidad angular y la aceleración angular de la rueda rueda de balance, cuando su desplazamiento angular sea ∫ y cuando su desplazamiento angular sea ∫2 y u esté disminuyendo. (Sugerencia: Trace una gráfica de u contra t ). ).

incluya vectores que representen las  fuerzas que actúan sobre la esfera pequeña y la aceleración de esta última. ¡La exactitud es importante! En este punto, punto, ¿qué aceleración lineal tiene tiene la esfera? b) Repita el inciso a) para el instante en que el ángulo de la varilla con la vertical es ∫2. c) Repita el inciso a) para el instante en que la varilla del péndulo está vertical. En ese punto, ¿qué rapidez lineal tiene la esfera? esfera? 14.51 Un péndulo simple de 2.00 m de largo oscila con un ángulo máximo de 30.0° con la vertical. Obtenga Obtenga su periodo, a) suponiendo una amplitud amplitud pequeñ pequeña, a, y b) utilizando los primeros tres términos de la ecuación (14.35). c) ¿Cuál de las respuestas a los incisos a) y b) es más exacta? Para la que es menos exacta, ¿de qué porcentaje es el error con respecto a la más exacta?

  ..

  .

  ..

  ..

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  .

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  ..

  .

  ..

Sección 14.6 El péndulo físico 14.52

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Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y

14.45 Se tira de un péndulo simple de 0.240 m de longitud para moverlo 3.50° 3.50° hacia un lado y luego se suelta. a) ¿Cuánto tarda la lenteja del péndulo en alcanzar su rapidez máxima? b) ¿Cuánto tarda si

hacer ques.tenga oscilación completa cada 2.0 ¿Qué una radio debe tener el aro? con ángulo pequeño una vez 14.53 El filo de una navaja colocada Figura E14.53 horizontalmente actúa como pivote para una biela de 1.80 kg de un motor de combustión, como se muestra en la figura E14.53. El centro de gravedad de la d    0.200 m biela se encontró por balanceo y está a 0.200 m del pivote. Cuando la biela se cg pone a oscilar oscilar con amplitud amplitud corta, corta, completa 100 oscilaciones en 120 s. Calcule el momento de inercia de la biela con respecto al eje de rotación que pasa por el pivote. 14.54 Una llave inglesa de 1.80 kg tiene su pivote a 0.250 m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño es de 0.940 s. a) ¿Qué momento de

el péndulo se suelta a un ángulo de 1.75° en vez de 3.50°? 14.46 Un alpinista de 85.0 kg kg planea balancearse, partiendo del reposo, desde una saliente utilizando utilizando una cuerda ligera de 6.50 m de largo largo..

inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b) Si la llave inicialmente se desplaza 0.400 rad de la posición de equilibrio, ¿qué rapidez angular tiene al pasar por la posición de equilibrio?

?

  ..

,

Sección 14.5 El péndulo simple   ..

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5

  ..

   

Problemas

14.55 Dos péndulos tienen las mismas dimensiones (longitud  L) y masa total (m). El péndulo  A es una esfera muy pequeña que oscila en el extremo de una varilla uniforme de masa despreciable. En el péndulo  B, la mitad de la masa masa está en la esfera y la otra mitad mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada péndulo para oscilaciones pequeñas. ¿Cuál tarda más tiempo en una oscilación? 14.56 PA Un adorno navideño con forma de esfera hueca de masa  M  0.015 kg y radio  R 0.050 m se cuelga de una rama mediante una espira de alambre unida a la superficie de la esfera. Si el adorno   .

  467

14.62 Una masa está vibrando en el extremo de un resorte de constante de fuerza 225 N m. La figura E14.62 muestra una gráfica de la posición x como una función del tiempo t . a) ¿En qué momentos no se mueve la masa? b) ¿Cuánta energía tenía este sistema originalmente? c) ¿Cuánta energía pierde el sistema entre t  1.0 s y t  4.0 s? ¿A dónde se fue esta energía?   ..

  =

  =

  ..

  =

  =

se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como péndulo físico con fricción despreciable. Calcule su periodo. (Sugerencia: Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de la esfera con respecto al pivote en la rama). Cada uno de los dos péndulos que se ilustran en la figura 14.57 E14.57 consiste en una esfera sólida uniforme de masa  M  sostenida por una varilla varilla de masa despreciable; no obstante, la esfera del péndulo A es muy pequeña, en tanto que la esfera del del péndulo B es mucho más grande. Obtenga el periodo de cada péndulo para desplazamientos cortos. ¿Qué esfera tarda más en completar una oscilación?

Figura E14.62  x 1 c cm m2 

5

  ..

1

O

2

3

4

t 1 s2 

–5

Sección 14.8 Oscilaciones forzadas y resonancia 14.63 Una fuerza impulsora que varía sinusoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado. a) ¿Qué unidades tiene la constante de amortiguamiento b? b) Demuestre que la cantidad 2 km km tiene las mismas unidades que b. c) Determine, Determine, en términos términos de F máx y k , la am am-plitud de vd 2 k  0.2  2 km k>  m cuando i. b km y ii. b 0.4 2 km km? Compare sus resultados con la figura 14.28. 14.64 Una fuerza impulsora que varía sinusoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y ma masa sa m. Si la constante de amortiguamiento amortiguamiento tiene el valor b1, la amplitud amplitud es A1 cuan cu and do la la fr frec ecue uenc ncia ia an ang gul ular ar im impu puls lsor oraa es es 2 k  térm min ino os de de A1, k > m. En tér ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora F máx, si la constan constante te de amoramortiguamiento es a) 3b1 y b) b12?   .

Figura E14.57  A

 B

  =

 L / 2  L

  =

  =

  .

 L

 M   M 

Sección 14.7 Oscilaciones amortiguadas

PROBLEMAS

14.58 Una roca de 2.50 kg está unida en el extremo de una delgada cuerda muy ligera de 1.45 m de largo. Es posible comenzar a balancearla soltándola cuando la cuerda cuerda forma un ángulo de de 11° con la vertical. Usted registra la observación de que solo se eleva a un ángulo de 4.5° con la vertical vertical después de 10 balanceos. a) ¿Cuánta energía ha perdido este sistema durante ese tiempo? b) ¿Qué pasó con la energía “perdida”? Explique cómo podría haberse “perdido”. 14.59 Un ratón ratón de 0.300 0.300 kg, nada contento, contento, se mueve mueve en el extreextremo de un resorte con constante de fuerza k  2.50 Nm, somet sometido ido a la acción de una fuerza amortiguadora F  x  bv x . a ) Si la constante b 0.900 kgs, ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? b) ¿Con qué valor de b el amortiguamiento será crítico? 14.60 Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte cuya constante de fuerza es k  25.0 Nm. Su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora F  x   –bv x  actúa sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguamiento b. 14.61 CALC El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito mediante la ecuación (14.42). Sea el ángulo de fase f 0. a) De acuerdo con con la ecuación, ¿cuánto vale x en t 0? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en t 0? ¿Qué nos nos dice el resulresultado acerca de la pendiente de la curva de  x  contra t cerca de t 0? c) Deduzca una expresión para la aceleración a x  en t 0. ¿Para qué

Un objeto experimenta un MAS con periodo de 1.200 s y 14.65 amplitud de 0.600 m. En t  0 el objeto está en  x  0 y se mueve en la dirección negativa x . ¿Qué tan lejos se encuentra el objeto con respecto a la posición de equilibrio cuando t  0.480 s? 14.66 Un objeto experimenta un MAS con periodo de 0.300 s y una amplitud de 6.00 cm. En t  0 el objeto se encuentra instantáneamente en reposo en  x  6.00 cm. Calcule el tiempo que tarda el objeto en pasar de x  6.00 cm a x  1.50 cm. 14.67 PA MAS en un motor de combustión. combustión. El movimiento del pistón de un motor de automóvil es aproximadamente armónico simple. a) Si la carrera del pistón (el doble de la amplitud) es de 0.100 m y el motor trabaja a 4500 revmin, ¿qué aceleración tiene el pistón en el extremo de su carrera? b) Si el pistón tiene una masa masa de 0.450 kg, ¿qué fuerza neta debe ejercerse sobre él en ese punto? c) ¿Qué rapidez y energía cinética tiene el pistón en el punto medio de su carrera? d ) ¿Qué potencia media se requiere para acelerar el pistón desde el reposo, repos o, hasta la rapidez rapidez determinada determinada en el inciso c)? e) Repita los incisos b), c) y d ) considerando que el motor trabaja a 7000 revmin. 14.68 Cuatr Cuatro o pasajeros, pasajeros, cuya masa combina combinada da es de 250 kg, comprimen 4.00 cm los resortes de un automóvil con amortiguadores muy gastados cuando se suben en él. Modele el auto y a los pasajeros como un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el automóvil cargado tiene un periodo de vibración vibración de 1.92 s, ¿qué periodo tiene cuando está

valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en t 0, la aceleración es negativa, negativa, cero y positiva? Analice cada caso en términos de la forma de la curva de  x  contra t  cerca de t  0.

vacío? 14.69 Un deslizador oscila con MAS y amplitud  A1 en un riel de aire. Usted lo frena hasta reducir la amplitud a la mitad. a) ¿Qué pasa con su periodo, periodo, frecuencia y frecuencia frecuencia angular? b) ¿Y con su energía

  .

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  =

  =

-

  =

  ..

  =

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  ..

  =

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  =

  ..

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  .. .

  =

  =

  =

  =

-

  .

  .

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468

  CAPÍTULO 14

Movimiento periódico

mecánica total? c) ¿Con su rapidez máxima? d ) ¿Con su rapidez en  x  =  = ; A14? e) ¿Y con sus energías cinética y potencial en  x  =  = ; A14? PA Un niño malcriado está deslizando su plato de 250 g de 14.70 un lado a otro, otro, sobre una superficie superficie horizontal en MAS MAS con amplitud de 0.100 m. En un punto a 0.060 m de la posición de equilibrio, equilibrio, la rapidez del plato es de 0.400 m s. a) Calcule el periodo. b) Encuentre el desplazamiento cuando la rapidez es de 0.160 ms. c) En el centro del plato hay una rebanada de de zanahoria de 10.0 g, que está a punto de resbalar en el extremo de la trayectoria. Calcule el coeficiente de fric-

tical en un líquido con densidad r . a) Calcule la distancia vertical desde la superficie del líquido a la parte inferior del objeto flotante en equilibrio. b) Una fuerza hacia abajo con magnitud F  se aplica en la parte superior del objeto. objeto. En la nueva nueva posición de equilibrio, equilibrio, ¿a qué distancia por debajo de la superficie del líquido está la parte inferior del objeto con respecto a su posición en el inciso a)? (Suponga que parte del objeto permanece por encima de la superficie del líquido). c) El resultado del inciso b) indica que si la fuerza se retira de repente, el objeto va a oscilar hacia arriba y abajo en MAS. Calcule el periodo

ción estática entre la rebanada de zanahoria y el plato. 14.71 Una charola horizontal uniforme de 1.50 kg está unida a un resorte ideal vertical con constante de fuerza de 185 N m, y una esesfera metálica de 275 g está en la charola. El resorte está debajo de la charola, así que puede oscilar verticalmente. verticalmente. La charola se empuja hacia abajo al punto  A, el cual está 15.0 cm por debajo de la posición de equilibrio, y se suelta del reposo. a) ¿Qué tan alto por encima del punto  A estará la charola cuando la esfera metálica salga de la charola? (Sugerencia: Esto no ocurre cuando la esfera y la charola llegan a sus rapideces máximas). b) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que el sistema se libera en el punto  A hasta que la esfera sale de la charola? c) ¿Qué tan rápido se mueve la esfera justo cuando sale de la charola? 14.72 PA Un bloque de masa M descansa en una superficie sin fricción y está conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k . El otro extremo del resorte está fijo a una pared (figura P14.72). Un segundo bloque de masa m está sobre el primero. El coeficiente de fricción estática entre los bloques es ms. Determine la amplitud de osci-

de este movimiento en términos de la densidad r  del líquido, líquido, la masa M  y el área de sección transversal A del objeto. Puede despreciar el amortiguamiento debido a la fricción del fluido (véase la secc ión 14.7). 14.77 PA Una boya cilíndrica de 950 kg puede flotar verticalmente en agua salada. El diámetro de la boya es de 0.900 m. a) Calcule la distancia adicional que se hunde la boya cuando un hombre de 70.0 kg se coloca en la parte superior de la misma. [Utilice la expresión deducida en el inciso b) del problema 14.76]. b) Calcule el periodo del MAS vertical resultante cuando el hombre se zambulle. (Utilice la expresión derivada en el inciso c) del problema 14.76 y, y, al igual que en ese problema, se puede despreciar el amortiguamiento debido a la fricción del fluido). PA ¡Tarzán al rescate! Tarzán observa a un chimpancé 14.78 de 35 kg en grave grave peligro, por lo que se balancea para para rescatarlo. Se agarra de su fuerte pero muy ligera liana, liana, la que por primera primera vez se detendrá 4.0 s después después de comenzar su balanceo, y en ese momento su liana forma un ángulo de 12° con la vertical. a) ¿Qué longitud tiene la liana de Tarzán, Tarzán, suponiendo que se balancea balancea del extremo inferior de la misma? b) ¿Cuáles son la frecuencia y la amplitud (en grados) de la oscilación de Tarzán? c) Cuando pasa por el punto más bajo de su oscilación, Tar Tarzán zán agarra el chimpancé desde el suelo y lo salva de las fauces del peligro. Si la masa de Tarzán Tarzán es de 65 kg, encuentre la frecuencia y la amplitud (en grados) de la oscilación con Tarzán cargando al agradecido chimpancé. PA Un objeto cuadrado de 14.79 Figura P14.79 masa m se construye con cuatro varas uniformes unifo rmes idénticas, idénticas, cada una con lonlonGancho gitud  L, unida unidass entre sí. sí. Este objeto objeto se   L cuelga de su esquina superior en un  L gancho (figura P14.79). Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qué frecuencia oscilará de un lado  L a otro?  L 14.80 A un objeto con masa 0.200 kg se le aplica una fuerza de restitución elástica con constante de fuerza de 10.0 Nm. a) Trace la gráfica de la energía potencial elástica U  en función del desplazamiento x en un intervalo de x que va de -0.300 m a +0.300 m. En su gráfica, gráfica, sea 1 cm = 0.05 J verticalmente y 1 cm = 0.05 m horizontalmente. El objeto se pone en oscilación con una energía potencial inicial de 0.140 J y una energía cinética inicial de 0.060 J. Conteste las siguientes preguntas en relación con la gráfica. b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? c) ¿Cuál es la energía potencial cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud? d ) ¿En qué desplazamiento son iguales las energías cinética y potencial? e) ¿Cuál es el valor del ángulo de fase f si la velocidad inicial es positiva y el desplazamiento inicial es negativo? 14.81 CALC Una cubeta de 2.00 kg que contiene 10.0 kg de agua cuelga de un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 125 Nm, y oscila verticalmente con una amplitud de 3.00 3.00 cm. De repente, en la

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lación máxima que no permite que el bloque superior resbale.

Figura P14.72 ms

k 

 

m

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  .. .

  ..

 M 

PA Una masa de 10.0 kg viaja hacia la derecha con rapidez de 2.00 ms sobre una superficie horizontal lisa, y choca contra una segunda masa de 10.0 kg que inicialmente está en reposo pero unida a un resorte ligero con constante de fuerza de 110.0 N m. a) Calcule la frecuencia, la amplitud y el periodo periodo de las oscilaciones subsiguiensubsiguientes. b) ¿Cuánto tiempo tarda el sistema en regresar por primera vez a la posición que tenía inmediatamente después del choque? 2 14.74 PA Un cohete acelera hacia arriba a 4.00 m s desde la plataforma de lanzamiento en la Tierra. Tierra. En su interior, interior, una esfera pequeña de 1.50 kg cuelga del techo mediante un alambre ligero de 1.10 m. Si la esfera se desplaza desplaza 8.50° 8.50° de la vertical vertical y se suelta, encuen encuentre tre la amplitud y el periodo de las oscilaciones resultantes de este péndulo. 14.75 Una manzana pesa 1.00 N. Cuando se cuelga del extremo de un resorte largo con constante de fuerza 1.50 N m y de masa despreciable, rebota hacia arriba y hacia abajo en MAS. Si se se detiene el rebote y la manzana oscila de un lado al otro a través de un ángulo pequeño, la frecuencia de este péndulo simple es la mitad de la frefrecuencia de rebote. (Debido (Debido a que el ángulo ángulo es pequeño, las oscilaciones hacia adelante y hacia atrás no causan ningún cambio apreciable en la longitud del resorte). ¿Cuál es la longitud del resorte sin estirar (quitando la manzana)? 14.73

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PA MAS de un objeto flotante. Un objeto con altura h, masa M y área de sección transversal transversal uniforme A flota en posición ver14.76

cubeta se registra una fuga fuga en la base, goteando agua con una una tasa constante de 2.00 g s. Cuando la cubeta queda a la mitad de su capacidad,

 

Problemas

  469

calcule a) el periodo de oscilación y b) la razón con la que el periodo cambia con respecto al tiempo. ¿El periodo se vuelve más largo o más corto? c) ¿Cuál es el periodo de oscilación más corto que este sistema puede tener? PA Un alambre colgante tiene 1.80 m de longitud. Cuando 14.82 una bola de acero de 60.0 kg se suspende suspende del alambre, este se estira 2.00 mm. Si se tira de la bola hacia abajo una distancia pequeña adicional y se le suelta, ¿con qué frecuencia frecuencia vibrará? Suponga Suponga que el esfuerzo aplicado al alambre es menor que el límite proporcional

El barco tarda 3.5 s en efectuar un ciclo completo de subida y bajada. Cuando se encuentra en su punto más alto, la cubierta está a la misma altura que el muelle estacionario. Al ver cómo se mece el barco, el turista (con masa de 60 kg) comienza comienza a sentirse mareado, debido en parte a que la noche anterior anterior cenó bacalao noruego, noruego, por lo que se niega a subir a bordo, a menos que la cubierta se encuentre encuentre a menos de 10 cm del nivel del muelle. ¿De cuánto tiempo dispone para abordar el barco cómodamente durante cada ciclo de movimiento vertical? 14.90 PA Un ejemplo ejemplo inter interesante esante,, aunqu aunquee muy poco prácti práctico, co, de

(véase la sección 11.5). 14.83 Una perdiz de 5.00 kg cuelga de un peral mediante un resorte ideal de masa despreciable. Si se tira de la perdiz para bajarla 0.100 m con respecto a su posición de equilibrio y se se suelta, vibra con un periodo de 4.20 s. a) ¿Qué rapidez tiene al pasar por su posición de equilibrio? b) ¿Qué aceleración tiene cuando está 0.050 m arriba de dicha posición? c) Cuando está subiendo, ¿qué tiempo tarda en moverse de un punto 0.050 m debajo de su posición de equilibrio a un punto que está 0.050 m arriba? d ) La perdiz se detiene y se retira del resorte. ¿Cuánto se acorta este? 14.84 Un perno de 0.0200 kg se mueve en MAS con amplitud de 0.240 m y periodo de 1.500 s. El desplazamiento del perno es de Calcul culee a) el desplazamiento del perno cuando +0.240 m cuando t  =  = 0. Cal t  =  = 0.500 s; b) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el perno en t = 0.500 s; c) el tiempo mínimo que el perno tarda en moverse de su posición inicial al punto donde x = -0.180 m; d ) la rapidez del perno cuando x = -0.180 m. PA MAS de una 14.85 una báscula báscula de carnice carnicero. ro. Un resorte de masa despreciable y constante de fuerza k  =  = 400 Nm cuelga verticalmente, y una bandeja de 0.200 kg se suspende suspende de su extremo inferior. inferior. Un carnicero deja caer un filete de 2.2 kg sobre la bandeja desde una altura de 0.40 m. El choque es totalmente inelástico y el sistema queda en MAS vertical. Calcule a) la rapidez de la bandeja y el filete justo después del choque; b) la amplitud del movimiento posterior; c) el periodo de ese movimiento. 14.86 Una viga uniforme de 225 kg se suspende horizontalmente de dos resortes verticales idénticos que sujetan cada extremo de la viga con el techo. Un saco de 175 kg de grava se coloca sobre el punto medio de la viga. Esta oscila en MAS con amplitud de 40.0 cm y frecuencia de 0.600 cicloss. a) El saco de grava se cae de la viga cuando esta tiene su desplazamiento máximo hacia arriba. Calcule la frecuencia y amplitud del MAS subsiguiente de la viga. b) Suponga ahora que el saco de grava se cae cuando la viga tiene su rapidez máxima. Calcule

oscilación es el movimiento de un objeto que se deja caer por un agu jero que va de un lado de la Tierra a otro pasando por el centro. Suponiendo que la Tierra es una esfera con densidad uniforme (una suposición que no es realista), demuestre que el movimiento es armónico armónico simple y calcule el periodo. [ Nota: La fuerza gravitacional sobre el objeto en función de la distancia r del objeto al centro de la Tierra se dedujo en el ejemplo 13.10 (sección 13.6). El movimiento es armónico simple si la aceleración a x  y el desplazamiento con respecto al equilibrio  x  están relacionados por por la ecuación (14.8), y el periodo es entonces T  =  = 2pv]. 14.91 PA Una bala de un rifle con masa de 8.00 g y una velocidad horizontal inicial de 280 ms se dispara y se incrusta en un bloque con masa de 0.992 kg, que descansa sobre una superficie superficie sin fricción y está unido a un extremo de un resorte ideal. El otro extremo del resorte está unido a la pared. El impacto comprime el resorte una distancia máxima de 18.0 cm. Después del impacto, el bloque se mueve mueve con MAS. Calcule el periodo de este movimiento.

la frecuencia y amplitud del MAS subsiguiente de la viga. PA En el planeta Newtonia, un péndulo simple tiene una 14.87 lenteja con masa de 1.25 kg y longitud de 185.0 cm. Cuando la lenteja se suelta del reposo, tarda 1.42 s en describir un ángulo de de 12.5° hasta un punto donde otra vez tiene rapidez cero. Se determinó que la circunferencia de Newtonia es de 51,400 km. Calcule la masa del planeta. 14.88 Una fuerza de 40.0 N estira un resorte vertical 0.250 m. a) ¿Qué masa debe colgarse del resorte para que el sistema oscile con un periodo de 1.00 s? b) Si la amplitud del movimiento es de 0.050 m y el periodo es el especificado en a), ¿dónd ¿dóndee está el objeto objeto y en qué qué dirección se mueve 0.35 s después de haber pasado la posición de equilibrio cuando se dirige hacia abajo? c) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) ejerce el resorte sobre el objeto cuando este se encuentra 0.030 m bajo la posición de equilibrio al subir? 14.89 Que no lo deje el barco. En una visita a Minnesota (“la Tierra de los 10,000 lagos”), un turista se inscribe en una excursión por uno de los lagos más grandes. Cuando llega al muelle donde está atra-

mo-l10 écula de KCl es U -28  A31 R0  > 8r  2 1> r 4, donde  R0 2.67 10 m, A  = 2.31 * 10 J m y r es la distancia entre los dos átomos. Use esto para a) demostrar que la componente radial de la fuerza sobre cada átomo es F r   =  A31 R 07 > r 92   - 1> r 24. b) Demuestre que  R0 es la separación de equilibrio. c) Calcule la energía potencial mínima. d ) Use r =  R0   +  x  y los primeros dos términos del teorema binomial (ecuación 14.28) para demostrar que F r   L - 17 A> R 03 2 x , de modo que la constante de fuerza de la molécula sea k   = 7 A> R 03. e) Si los átomos de K y Cl vibran en direcciones contrarias en lados opuestos del centro de masa de la molécula, m 1m 2>1 m 1   + m 22   = 3.06   * 10 -26 kg es la masa que debe usarse para calcular la frecuencia. Calcule la frecuencia de las vibraciones de amplitud pequeña. 14.94 PA Dos esferas sólidas uniformes, cada una con masa  M   = 0.800 kg y radio  R  = 0.0800 m, están conectadas por una varilla corta ligera que pasa a lo largo de un diámetro de cada esfera y se encuentran en reposo sobre una mesa horizontal. Un resorte con constante de fuerza k  =  = 160 Nm tiene un extremo fijo a la pared y el otro extremo

cado el barco de 1500 kg, ve que la embarcación oscila verticalmente sobre las olas, en movimiento armónico simple simple con amplitud de 20 cm.

unido a un anillo sin fricción que pasa por encima de la varilla en el centro de masa de las esferas, esferas, que está a la mitad de la distancia entre entre

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  ..

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  ..

  ..

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14.92

cierto oscilador oscilador,, la fuerza neta neta que actúa PA CALC Para cierto sobre el cuerpo de masa m está dada por F  x  = -cx 3. a) ¿Qué función de energía potencial describe describe este oscilador, oscilador, si tomamos U   = 0 en  x   = 0? b) El cuerpo se mueve de x = 0 a x = A en un cuarto de periodo. Calcule este tiempo tiempo y, y, por consigui consiguiente, ente, el periodo. periodo. [Sugerencia: Inicie con la ecuación (14.20), modificada para incluir la función de energía energía potencial que obtuvo en el inciso a), y despeje despeje la velocidad velocidad v x  en función de  x . Lueg Luego, o, susti sustituya tuya v x  por dx   / dt  dt  y separ separee la variable variable escribiendo escribiendo todos los factores que contienen  x de un lado y los que contienen t del otro, de manera que pueda integrarse integrarse cada lado. En la integral integral de  x , haga el cambio de variable u   =  x   /   A. La integral resultante se puede evaluar usando métodos numéricos en una computadora y tiene el va1 lor 1 0 du> 2 1   - u4 = 1.31]. c) De acuerdo con el resultado obtenido en el inciso b), ¿el periodo depende depende de la amplitud amplitud  A del movimiento? ¿Las oscilaciones son armónicas simples? 14.93

  ..

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PA CAL CALC C Una aproximación de la energía potencial de una

 7

 =

8

 -

 =

*



  .. .

 

470   CAPÍTULO 14 Movimiento periódico los centros de las dos esferas. Se tira de cada una de las esferas la misma distancia desde la pared, estirando el resorte, y luego se suelta. Hay una fricción suficiente entre la mesa y las esferas para que estas rueden sin resbalar conforme se mueven hacia atrás y hacia adelante en el extremo del resorte. Demuestre que el movimiento del centro de masa de las esferas es armónico simple y c alcule el periodo. figura P14.95, P14.95, la 14.95 PA En la figura Figura P14.95 esfera superior se suelta del reposo, choca contra la esfera inferior es-

14.100 PA CALC Una varilla uniforme de longitud  L oscila con ángulo pequeño alrededor de un punto a una distancia  x  de su centro. gx >31 a) Demuestre que su frecuencia angular es 2 gx  >31 L2 > 12 2   +  x 2 4. b) Demuestre que su frecuencia angular máxima se presenta cuando  x   =  L> 1 12 12 . c) ¿Qué longitud tiene la varilla si la frecuencia angular máxima es 2p rads?

tacionaria y queda unida a ella. Ambas cuerdas tienen 50.0 cm de longitud. La esfera superior tiene una masa de 2.00 kg y está inicialmente 10.0 cm más alta que la inferior infer ior,, cuya masa masa es de 3.00 kg. Calcule la frecuencia y el desplazamiento angular máximo del mo10.0 cm vimiento después del choque. 14.96 PA   BIO T. rex. Modele PA la pierna del T. rex  del ejemplo 14.10 (sección 14.6) como dos varillas uniformes con longitud de 1.55 m cada una y unidas rígidamente por un extremo. La varilla inferior tiene masa  M , y la la sup super erio iorr, 2 M . El objeto compuesto pivota en torno a la parte superior de la varilla de arriba. Calcule el periodo de oscilación de este objeto para oscilaciones de amplitud pequeña. Compare su resultado con el del ejemplo 14.10. 14.97 CALC Una varilla metá- Figura P14.97 lica delgada y uniforme con masa  M  pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante de fuerza k se conecta al extremo inferior de la varilla, y el otro extremo del resorte se fija a un soporte u rígido. La varilla se desplaza un ángulo pequeño ∫ con respecto a la vertical (figura P14.97) y se suelta. Demuestre que se mueve en MAS angular y calcule su periodo. (Sugerencia: Suponga que ∫ es suficientemente pequeño para que las aproximaciones sen ∫ L ∫ y cos ∫ L 1 sean válidas. El movimiento es armónico simple si d 2udt 2 = - v2u y el periodo es entonces T  =  = 2pv). El problema de la campana que suena en silencio. Una 14.98 campana grande de 34.0 kg cuelga de una viga de de madera, de modo que puede oscilar con fricción despreciable. Su centro de masa está 0.60 m bajo el pivote, pivote, y su momento de inercia con respecto respecto a un eje que pasa por el pivote es de 18.0 kg m2. El badajo badajo es pequeño, pequeño, con una masa de 1.8 kg, y cuelga del extremo de una varilla delgada delgada de longitud  L y masa despreciable. El otro extremo de la varilla está sujeto al interior de la campana, de modo que puede oscilar libremente sobre el mismo eje de la campana. ¿Qué longitud  L debe tener la varilla para para que la campana suene en silencio, es decir, decir, para que el periodo de oscilación de la camFigura P14.99 pana sea igual al del badajo? Dos varillas delgadas 14.99 idénticas, idént icas, cada una una con masa masa m y longitud L, se unen en ángulo ángulo recto recto  L  L para constituir un objeto en forma

Constante de fuerza 14.101 Figura P14.101 efectiva de dos resortes. Dos rea ) sortess con la sorte la misma misma longitud, longitud, sin k 1 m estirar, pero diferentes diferentes constantes de fuerza k 1 y k 2, se unen unen a un bloque bloque k 2 de masa m en una superficie nivelada y sin fricción. Calcule la constante de fuerza efectiva k efe en cada  b ) uno de los tres casos a), b) y c) de la m  k 1 k 2 figura P14.101. (La constante de fuerza efectiva está definida por ). d ) Un objeto de masa ©F  x  = -k eff  x ). suspendido ndido de un resorte resorte uniforuniform, suspe me con constante de fuerza k , vi vibr braa c  ) con una frecuencia f 1. Si el resorte se m parte a la mitad y el mismo objeto k 1   k 2 se cuelga cuelga de una de las las mitades, mitades, la frecuencia es  f 2. Determine la relación f 2 f 1. 14.102 Dos resortes, resortes, cada uno con una una longitud longitud de 0.200 0.200 m, sin estirar, pero con diferentes constantes constantes de fuerza k 1 y k 2, están unido unidoss a extremos opuestos de un bloque con masa m sobre una superficie nivelada y sin fricción. Los extremos exteriores de los resortes están ahora unidos a dos pernos P1 y P2, a 0.100 m de las posiciones posiciones original originales es de los extremos de los resortes (figura P14.102). Sean k 1 = 2.00 Nm, k 2  = 6.00 Nm y m  = 0.100 kg. a) Encuentre la longitud de cada resorte, cuando el bloque está en su nueva posición de de equilibrio después de que los resortes se han unido a los pernos. b) Determine el periodo de vibración del bloque si se desplaza ligeramente de su nueva posición de equilibrio y se libera.

de L, el cual se se balancea balancea sobre sobre la cúspide de un triángulo agudo (figura P14.99). El objeto en forma de L oscila cuando se desvía un poco. Calcule la frecuencia de oscilación.

que la rapidez deextremo los emo puntos a lo largoladel resorte varía linealmente con la distancia extr fijo, y que mas masa a  M del resorte está distril al buida de manera uniforme a todo lo largo del resorte. Calcule la energía cinética del resorte en términos de  M  y v. (Sugerencia: Divida el resorte en partes de longitud dl; determine la rapidez de cada parte en términos de l,  v y L; determine la masa de cada parte e n términos de dl,

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PROBLEMAS DE DESAFÍO   .. .

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Figura P14.102 0.100 m 0.200 m

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0.200 m

0.100 m

m P1

 

P2

?

  .. .

14.103 CALC Resorte con masa. En todos los problemas anteriores del capítulo, hemos supuesto que que los resortes tienen masa despreciable, precia ble, aunqu aunque, e, desde luego, luego, ningú ningún n resorte resorte carece por completo completo de masa. Para determinar el efecto efecto de la masa de un resorte, resorte, considere un resorte de masa M , con longitud longitud de equilibrio equilibrio L0 y constante de fuerza k . Si el resorte se estira o se comprime a una longitud  L, la ene energ rgía ía 1 potencial es 2 kx 2, don donde de x  =  = L - L0. a) Considere un resorte como este con un extremo fijo y el otro en movimiento con rapidez v. Suponga   .. .

 

Respuestas 1

 M  y  L; e integre integre de 0 a  L. El resultado no es  2 M v2, ya que no todo todo el resorte se mueve con la misma rapidez). b) Obtenga la derivada de la ecuación de conservación de la energía (ecuación 14.21) con respecto al tiempo, para una una masa m que se mueve en el extremo de un resorte de   masa despreciable. Comparando sus resultados resultados con la ecuación ecuación

471

(14.8), que define v, demuestre que la frecuencia (14.8), frecuencia angular de oscilación oscilación k>  m. c) Aplique el procedimiento del inciso b) para obes v   =   2    k  tener la frecuencia angular de oscilación v del resorte considerado en el inciso a). Si la masa efectiva M  del resorte está definida por v   =   2 k  k>  M ¿ , exprese M  en términos de M . 9

9

Respuestas

Pregunta inicial del capítulo   ? La longitud de la pierna es más importante. El movimiento hacia adelante y hacia atrás de una pierna al caminar es como un péndulo físico, para el que el periodo de oscilación es T   = 2 p 2   I > mgd  [véase la ecuación (14.39)]. En esta expresión  I  es el momento de inercia del péndulo, m es su masa y d  es la distancia desde el eje de rotación en el centro de masa del péndulo. El momento de inercia I es proporcional a la masa m, por lo que la masa se elimina de esta expresión para el periodo T . Por consiguiente, solo importan las dimensiones de la pierna. pierna. (Véase los ejemplos 14.9 y 14.10).

Preguntas de las secciones Evalúe su comprensión 14.1 Respuestas:  a  a))  x * 0,  b))  x + 0,  c))  x * 0,  d )  x + 0,  e))  x + 0, 0, b 0, c 0, d  0, e  f )  x 0 La figura 14.2 indica que la componente x  de la fuerza total F  x  y la aceleración a x  son positivas cuando x  6  6 0 (así que el cuerpo se desplaza hacia la izquierda y el resorte se comprime); F  x  y a x  son negativas cuando x  7  7 0 (así que el cuerpo se desplaza hacia la derecha y el resorte se estira). Por lo tanto,  x  y a x  siempre tienen signos opuestos. Esto es válido si el objeto se mueve a la derecha (v x  7 0), a la izquierda izquierda (v x  6 0) o no se mueve ( v x  = 0), ya que la fuerza ejercida ejercida por el resorte depende de si se comprime o se estira, y con qué distancia. distancia. Esto explica las respuestas de los incisos a) a e). Si la aceleración es cero como en  f ), ), la fuerza fuerza neta también también debe debe ser cero cero y, por ello, ello, el resorte resorte debe estar relajado; por lo tanto,  x  =  = 0. 14.2 Respuestas:  a  a))  A + 0.10 m, f * 0;  b  b))  A + 0.10 m, f + 0 En ambas situaciones, la velocidad velocidad v0 x  inicial (t   = 0) no es cero, cero, de manera que de acuerdo acuerdo con la ecuación (14.19), la amplitud  A   = 

2  x 02 +   1v0 x 2  > v2 2 es mayor que la coordenada inicial  x 0   = 0.10 m. Según la ecuación ecuación (14.18), el ángulo de fase es f  = arctan(-v0 x v x 0), el cual es positivo si la cantidad -v0 x v x 0 (el argumento de la función arcotangente) arcotangen te) es positiva, positiva, y es negativo negativo si -v0 x v x 0 es un valor negativo. En el inciso a) x 0 y v0 x  son ambos positivos, así que -v0 x v x 0  6 0 y  f   6 0. En el inciso b)  x 0 es positivo y v0 x  es negativ negativo, o, por lo que -v0 x v x 0  7 0 y f 7 0. 1 14.3 Respuestas:  a  a)) iii, b iii, b)) v. Para aumentar la energía total  E   = 2 kA2

en un factor factor de 2, la amplitud A debe aumentar en un factor de 1 2  . Puesto que se trata de MAS, un cambio de amplitud no afecta afecta la frecuencia. 14.4 Resp Respuest uesta: a: i. El periodo de oscilación de un cuerpo de masa m unido a un resorte colgante con constante de fuerza k  está dado por

T   = 2 p  2 m> k  , la misma expresión que para el cuerpo unido al resorte horizontal. Ni m ni k  se modifican cuando el aparato se lleva a Marte, por lo que el periodo permanece inalterable. inalterable. La única diferencia es que en el equilibrio, el resorte se estirará una una distancia más corta en en Marte que en la Tierra, debido a la fuerza de gravedad más débil. 14.5 Re Respu spuest esta: a: no Al igual que para un objeto que oscila en un resorte, en la posición de equilibrio la rapidez de la lenteja del péndulo no cambia cambia instantáneamente instantáneamente (aquí, la rapidez rapidez es máxima, así que su derivada deriva da en este tiempo es cero). cero). Sin embargo, embargo, la dirección del movimiento es variable porque la lenteja del péndulo sigue una trayectoria circular.. Por ello, la lenteja debe tener una componente de aceleración circular aceleración perpendicular a la trayectoria y hacia el centro del círculo (véase la sección 3.4). Para originar esta aceleración en la posición de equilibrio cuando la cuerda es vertical, vertical, la fuerza de tensión hacia arriba arriba en esta posición debe ser mayor que el peso de la lenteja. Esto provoca una fuerza neta hacia arriba sobre la lenteja y una aceleración hacia arriba, dirigida al centro de la trayectoria circular. circular. 14.6 Resp Respuest uesta: a: i. El periodo de un péndulo físico está dado por la ecuación (14.39), T   = 2 p 2   I > mgd  . La distancia d   =  L desde el pivote hasta el centro de gravedad es la misma tanto para la varilla como para el péndulo péndulo simple, cuando la masa masa es m. Esto significa que para cualquier ángulo de desplazamiento u, actúa la misma torca de restitución sobre la varilla y sobre sobre el péndulo simple. Sin embargo, embargo, la va1 4 rilla tiene un momento de inercia mayor:  I rod   = 3 m12 L22 = 3  mL2 e  I simple   =   mL2 (toda la masa del péndulo está a una distancia L del pivote). Por lo tanto, la varilla tiene un periodo mayor. mayor. 14.7 Resp Respuest uesta: a: ii. Las oscilaciones son subamortiguadas con una amplitud decreciente en cada ciclo de oscilación, oscilación, como las que se grafican en la figura 14.26. Si las oscilaciones oscilaciones fueran fueran no amortiguadas, continuarían con la misma amplitud indefinidamente. Si fueran críticamente amortiguadas o sobreamortiguadas, la punta no se balancearía en forma vertical, sino que regresaría suavemente suavemente a su posición de equilibrio original sin sobrepasarla sobrepasarla.. 14.8 Resp Respuest uesta: a: i. La figura 14.28 indica que la curva de amplitud contra frecuencia impulsora se mueve hacia arriba con todas las frecuencias, conforme el valor valor de la constante de amortiguamiento amortiguamiento b disminuye. Así, para valores valores fijos fijos de k  y m, el oscilador con el amortiguamiento amortiguamiento mínimo (el menor valor de b) tendrá la respuesta más grande en cualquier frecuencia impulsora.

Problema práctico Respuesta :   T   = 2 p 2 3 M > 2 k