Cap 11 y 189
September 7, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Un cuerpo sólido que ocupa el espacio 0 , está inicialmente a la temperatura T 0 . En el instante t comprendido desde la supe superf rfic icie ie situ situad adaa en y 0 elev elevaa br brus usca came ment ntee su temp temper erat atur uraa a T 1 manten manteniendo iendo dicha 0 . Encontrar los perfiles de temperatura en función del tiempo y la temper tem peratu atura ra par paraa t posición T y, t . Solución 11.1-1 11. 1-1 Cal Calen entam tamien iento to de una lámina lámina semiinf semiinfin inita ita.. y 0 hasta y
De 11.1-2
2T 2 T 2T T ˆ C p k 2 2 2 x y z t
Definimos:
Luego:
T T 0 T1 T0
2 T k T ˆ y 2 t C p
T 2T 2 t y
1 T T T1 T 0 T1 T0 2T T1 T 0 2
2 T1 T 0 T1 T 0 2 t y
2 2 t y
11.1 3
ˆ donde: k / C p . Las condiciones inicial y límite son: C.I: para t 0, T T 0 , para cualquier valor de y
C.L.1:
para
y 0, T T 1 ,
0 para cualquier valor de t
C.L.2:
para
y , T T 0
0 , para cualquier valor de t
y 4 t
y
t
y ;
siendo t
4 t
También definimos: A continuación vamos a operar por separado con cada miembro, en la ecuación 11.1-3: Primer miembro, de la ecuación 11.1-3:
d t d t
y dt 1/ 2 y 1 3/ 2 y 11 1/ 2 1/ 2 t 1/ 2 1/ 2 t 2 dt 2 t 2 t 2 2 (t ) 2 1/ 2t 1/ 2
(2)
dt 1/ 2 1 1/ 2 2 1/ 2 2 t 1/2 dt dt 2 t (3) ; 1/ 2
d
Además de:
(1)
1/ 2
y 11 y 1/2 y d 1/2 1/ 2 2 t 2 t 4 t t 1/ 2 2 dt Entonces con (3), en (2): t y d 1 d 2 2 dt dt t
(4)
d 12 d . d d dt d por tanto reemplazando (4) (4) en (1): t d t ; t d t
(5)
Segundo miembro, de la ecuación 11.1-3:
2 d d d 2 y 2 y y d d y d 2 y
Puesto que:
d y d y
De (7):
d 1 y d
4 t 2
1 1 y 4 t
(6) (7)
2
1 1 y 2 1 d y 2 2 d 2 2
Por lo tanto reemplazando (8) en (6):
y
2
(8)
2
(9)
En consecuencia, consecuencia, reemplazando las ecuaciones (5) y (9) en la ecuación 11.1-3, resulta:
d 2 2 d d 2 2 2 2 dt d d t y
A su vez como:
es evidente que:
0
2 4 t
4 t
0
d
2
d d
dt d
(10)
2
2 t
2
; desde que 0
t
d 2 dt
d 2
a t 0
(11)
d
2
dt
Luego cancelando la integración, en (11), y ordenando resulta:
(12)
2
d 2 d d 2 d
Por tanto, reemplazando (12) en (10), se obtiene Las condiciones inicial y límite adquieren la forma: C.L.1: Para 0 con y 0, con t 0 T T 1 C.I.+C.L.2:
con y , y
Para
t
0 T T 0
1
(11.1-5)
0
(11.1-6)
Hacemos un cambio de variable, para simplificar la solución: Luego en 11.1-4:
2
d
d
2
2
d
d
0
d
2
ln
2 2
Integrando por primera vez:
ln C 1
ln
C 1
tomando antilogaritmos: C1e
2
y como:
para 0 ,
1
0
De la CL 2: para Por lo tanto en 11.1-8:
;
C1 e 0
0 C1
0
e
y erf
erf
4 t
0
e
2
2
2
0
T 0 1 erf T1 T 0 T
2
2
2
d
0
e d 1
2
2 1 4 t y
2
d
d
d
0 pero: la solución de la ecuación 11.1-4 es:
1
e
2
e 1 0 0 e
;
d C2
d 2
d
2
Ce 1
;
d C1e 2 d
2
2
(11.1-8)
1 C1 0 C2
;
2 d
0
,
d
d 2
2 d
d
d
C1 e d C2
e integrando por segunda vez: De la CL1:
d
d
d
d
2 0
(11.1-4)
d
0
1
1
C 1
; 2
0
e 0
1
d
C 2 1
2
2 e d
1
2
2
d
(11.1-9)
2
e
d
como
y / 4 t
0
T T 0 T1 T 0
y
y 4 t
2
e d
y /
0
4 t
e
y 2 / 4 t
d
(11.1-10)
4 t y
(11.1-11) o temperatura, para n 1, puede adaptarse completamente a este caso para describir los perfiles de temperatura, siendoo la orden siend ordenada ada T T0 / T1 T0 y la abscisa y / 4 t . el “espesor de penetración térmica” Si se precisa calcular la temperatura en una lámina de espesor finito, La es: T 4 t densid den sidad ad de flujo flujo de calo calorr en la par pared ed pued puedee cal calcul culars arsee a par partir tir de la ecu ecuaci ación ón 11. 11.1-1 1-11: 1: T
q y
y 0
T k y
y 0
T 2 T1 T0 y y 0 y
Puesto que:
y / 4 t
0
e
y 2 / 4 t
dy d
4 t y 0 y
1 1 1 T 2 y 2 / 4 t e T1 T0 T1 T0 1 y y 0 t y 0 2 t q y
1 k T1 T 0 k T1 T0 y 0 t t
Entonces: (11.1-13) 1/2 Por tanto, el espesor de penetración varía con t y la densidad de flujo de calor en la pared varía con t 1/2 . 11.1-2 11.1 -2 Calentamien Calentamiento to de una placa finita: finita: Una placa sólida que ocupa el espacio entre y = -b, y y = +b está inicialmente a la temperatura T 0 . En el instante t = = 0, las superficies situadas en y b elevan súbitamente su temperatura a T 1 y se mantienen a esa temperatura. Encontrar T y,t ). ( y ). Solución;Para este problema definimos las siguientes variables adimensionales: 2T 2T 2T T ˆ C p k 2 2 2 x t y z
de 11.1-2:
T1 T
T1 T 0 y b
1
y b
2t b
1 T1 T 0
. T
2 k T T ˆ y 2 t C p
T 2T 2 t y
T T0 T 1
1
2T T0 T 1 2
1
2 2 y 2 y b b
2 t
y 2 b2 2
t b 2
b
Reemplazando equivalencias en la ecuación (1): T0 T1 T0 T1 2 2 2 (b / ) b 2
Por lo tanto:
T0 T1
b2
;
2
b2
2 2
11.1 17
Las condiciones límite se dan en la l a siguiente tabla: Condición
T0 T1 2
T
y
T
T1 T T1 T 0
,
y b
Inicial Límite 1
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