Cap 11 Davis

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Modelos do inventorios .§.i¡l:rlt,,ri::,i1:tiiirt,

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I

Modelo de.CEP.con Modplo de CEP con agotamientos (se penniten fgs Oe.didoS retroactiyos) Modelo del tarnañq de . produCeién lote.de de Broduceién lote

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481

INTRODUCCION se hq hecho hincapié en los modelos determinísticos lineales; es decir, programación lineal, programación en enteros, modelos de redes, modelos de transporte, progromoción de metos y similares. Sin embargo, una de las primeras rireas en las que se utilizaron los modelos cuqntitotivosfue el antílisis de inventarios. En 1915, F. W. Hurris desarrolló lo que se ha llegudo a conocer como modelo de la contidad económico de pedido (el modelo CEP), que sirve para determinar la contidad óptima de materiales o artículos que deben adquirirse o fabricarse. A principios de los años 1930, F. E. Raymond omplió el modelo de Harris. Partiendo de los trabaios iniciales de estos investigadores, el cqmpo ha crecido en formo tremenda; en la actualidad, la bibliografía acerca de lo ciencia de la sdministración incluye modelos que abordan el problema de la csntidad económica de pedido, de los puntos óptimos de reorden, de los pedidos retroactivos, equilibramiento de los inventarios y de los descuentos por cantidud, entre otros. No debe resultqr sorprendente que el antílisis de inventorios seo un temu clsve en la ciencia de la administración, dado que los inventarios son uno parte integral de la moyoría de las organizaciones. Confrecuencia, los inventorios son el concepto de moyor magnitud que opsrece en el lqdo de los activos del balance general de una empreso y en muchas compoñías representa hasto el 35 o 40Vo de los activos totales. Cuando se considera esle hecho, resultq evidente que unq reducción en los inventarios, aun en un porcentaje pequeño, puede representar cantidades monetqrios de ahorro muy grandes. Contemplados como una demando del capital de unu organización, es necesurio reducir los inventarios, pero ontes es conveniente considerar los efectos que esto tiene sobre otros aspectos de la organización. Los fabricantes, al igual que los detallistas, montienen inventarios paro satisfacer la demanda de los clientes, sin imporlor si el cliente es un moyorista o un detqllista. Si se llevan inventarios a niveles elevados, entonces puede maximizarse el servicio a los clientes. Entonces, desde el punto de vista del cliente los inventarios elevados son deseables.

En todo el texto

Caso: Video lnc

483

Es evidente que uno empresa no puede reducir inventarios para disminuir la inversión en activos y, al mismo tiempo, msntener inventorios considerables para satisfacer lo rJemanda de los clientes. Pero puede olcanzarse un equilibrio entre la sotisfacción del cliente y los inversiones en activo a través de una buena odministración de inventsrios apoyado en modelos bdsicos. El objetivo de este capítulo es presentar algunos conceptos btisicos de administración de inventarios e identificar modelos específicos que pueden utilizorse en su un(ilisis. En este capítulo se analizartín modelosdeterminísticos, lal¿s como el modelo cltisico de la cantidud económica de pedido o de orden, modelos de CEP con reabastecimiento ne instantdneo y modelos con descuento por compros en grandes canfidades. Las últimas secciones del copítulo se refieren a otros conceptos de

inventarios. Antes de considerar olgunos de los conceptos btÍsicos de sndlisis de inventarios se examins un problemo clásico de ests dreu.

CASO

Video lnc.

Video lnc., es una empresa que se dedica a la venta al menudeo de sistemas de video de rayos catódicos que se utillzan en minicomputadoras. LaVideo ordena directamente al fabricante y vende a sus clientes al menudeo. John Jefferson, agente de compras de la Video, por lo general ordena sólo uno o dos sistemas de video a la vez, puesto que el fabricante siempre entrega de inmediato todos los pedidos. Sin embargo, debido a un aumento en la demanda, Jefferson decidió pedir 20 sistemas el mes pasado. Su decisión de pedir una mayor cantidad de sistemas se basó en el hecho de que el costo de procesar un pedido era $20. Pensó que un número menor de pedidos daría como resultado un ahorro considerable en los costos de pedidos. Existe espacio suiiciente para conservar en inventario 20 sistemas. Bob Benson, presidente de la Video, revisó el informe mensual de operación de la compañía y le señaló a Jefferson que el costo de los inventarios de la empresa habÍa aumentado en forma drástica. Benson apuntó: " Hemos proyectado que el costo anual de conservación en inventario para cada sistema de video es de aproximadamente el 2Oo/o del precio de compra, que es de $500. Esto significa que la compañía gastaría $100 por cada sistema que se conserva en inventario durante'un año. Me parece que la adquisición de 20 sistemas no es una decisión inteligente, aun cuando puedan ahorrarse costos de pedido. Me gustaría que justificara más ampliamente su deci-

sión. " Benson señaló que la demanda anual pronostjcada era de aproximadamente 365 sistemas.

Jefferson volvió a su oficina y comenzÓ a analizar

el problema y, en particular, el factor de costos de inventario. Utilizando los datos que le había proporcionado, Benson pensó que si la compañía tenía $1 00 de costos por cada unidad conservada en inventario durante un año, entonces los costos diarios de los inventarios serían

_-$100/ año 365

días/año

o bien $0.274 por día por unrdad

Después, razonó que el número de unidades (sistemas) en inventario por dÍa estaba en función de la demanda diaria y del tamaño del pedido presentado al fabricante. Si la demanda era de 365 unidades por año, esto significaría que la demanda diaria sería, en promedio; 1 unidad. Después, Jefferson necesitó determinar el inventario con base en diferentes tamaños de pedido suponiendo que la demanda fuera de 1 unidad por día. Para determinar esto, trazó lo que pensaba que sería

una "representación de los inventarios" fig. 11-1). Para un tamaño de pedido de 2, el inventario serÍa de 2 unidades para la primera mitad de dÍa (suponiendo que el pedido de ese día se envÍa durante el mismo), de 1 unidad hasta el mediodía del día siguiente

/.' {

484

Capitulo 11

.

Modelos de inventarios

I I I I

I I

6 5

4 3 2 1

0

234

123

56

días

FIGURA 11-1. lmagen de los inventarios

y de cero unidades durante el resto del segundo dÍa.

Después, examinó su tamaño de lote de20.Para

Al final del día se recibiría un nuevo pedido. De un

este tamaño de pedido determinó que el inventario

envío a otro, Ia compañía incurriria entonces en 2 días-

sería de 200 unidades-día. Eso significaba que los costos de inventarios en los que se incurririan entre pedi-

unidad de inventario, es decir, (1/2)(2\

+ (1X1) +

(yz)(o)

:

dos serían de 2

(0.274)(200)

=

$54.8

Para un pedido de 6, el inventario sería de 18 díasen comparación con el costo de pedidos de $20. Ese costo era muy elevado. En realidad, pedir 20 unida-

unidad, es decir, (v,)(6) + (1X5)

+ (1)(a) + (1X3) +

(1)(2)

+ (1X1) + (v,Xo) :

des no era una buena decisión. 18

Utilizando estos datos, Jefferson calculó los costos de mantener inventarios por cada pedido, es decir, por ciclo de inventario, de la siguiente manera: (0.274)(2)

=

$0 548 por ciclo de inventario

Este resultado convenció a Jefferson de que su decisión de ordenar más de 2 unidades era razonable: el costo de los pedidos para 2 unidades era de $20.00, en tanto que el costo de mantener el inventario entre los pedidos era de aprox¡madamente $0.55. Jefferson recordó que en un curso breve, tomado en la compañía, acerca del control de inventarios, el instructor había señalado que cuando se tiene una administración de inventarios de costo mínimo, los costos de conservar los inventarios son iguales, o casi, a los costos

de los pedidos.

.:hr:-

Entonces, Jefferson decidió elaborar una tabla que reflejara los costos de mantener inventarios para diferentes tamaños de pedido. La tabla l1-1 es el resultado de sus esfuerzos. Con base en estos datos, Jefferson concluyó que la mejor decisión serÍa adquirir 12 unidades por pedido dado que el costo del pedido ($20) quedaría casi equilibrado con los costos de conservar inventarios entre cada pedido. Volvió a la o{icina de Benson para comentar lo que habia descubierto. A Benson le agradó el análisis pero planteó varias preguntas: ¿Se mantendrán sus resultados todo el año? ¿Cuál sería el impacto sobre los resultados si el fabricante

no pudiera hacer las entregas en forma inmediata? O, en términos más realistas, ¿qué sucederÍa si el fabricante tuviera un tiempo variable de entrega? También, si vamos a adquirir varios sistemas, ¿es posible obtener descuentos en el precio? y, sr es así, ¿cómo afecta esto sus resultados?

Conceptos y terminologia

485

TABLAll-1.

Costo de conservacón de los inventarios para diversos tamaños de pedido, Video inc.

Ta,naño del pedido

Inventario

(unidades)

(unidades-días)

Costo de conservación por unidad-día ($)

Costo totol de montenimiento entre pedidos (8)

2

2

0.274

0.548

4

8

0.2-14 0.27 4

2.192 4.932

6

l8

8

-1¿

l0 12 14

50 72 98

l6

t28

t8

162 200

20

8.768 3.700 19.728

0.274 0.274

r

0.2'74 0.27 4 0.27 4

26.852

0.274

44.3 88

0.2'7 4

s4.800

Después de esta entrevista con Benson, disminuyó un tanto el entusiasmo de Jefferson; algunas de las

35.012

preguntas que Benson habia planteado parecian no tener respuesta.

CONCEPTOS Y TERM!NOLOGIA Un modelo simple de cantidad de pedido ayudará a responder algunas de las preguntas que planteó Benson, así como a resolver el dilema del señor Jefferson. Sin embargo, antes de elaborar un modelo es necesario Comprender mejor la terminología del análisis de inventarios y algunas de las compensaciones de costos que es necesario considerar. En la siguiente sección se examinan algunos de estos conceptos y relaciones.

Las funciones de los inventar¡os Definidos en términos amplios, los inventarios son recursos utilizables que se encuentran almacenados en algún punto determinado del tiempo. En un medio ambiente fabril, el inventario incluiría materias primas, artículos semiterminados (trabajo en proceso) y artículos terminados. En empresas comerciales, por lo general se contempla el inventario como el conjunto de artículos que están disponibles para su venta. Sin embargo, los inventarios pueden incluir también activos no físicos tales como dinero en efectivo, cuentas por cobrar y personal. Desde el punto de vista tradicional, el inventario se asocia con empresas manufactureras y comerciales; sin embargo, el equipo, los materiales y el personal son inventarios integrales para organizaciones como hospitales, universidades y otras de servicio público. Así, los modelos de inventarios pueden aplicarse a estas áreas al igual que a la manu-

factura y la comercialización. La función básica de los inventarios

es el desglose. En una empresa manufacturera los inventarios permiten desglosar o separar las actividades de producción, distribución

486

Capítulo 11

.

Modelos de inventarios

y comercialización. Los inventorios de materias primas permiten tomar decisiones de producción a corto plazo en forma independiente de la actividad del mercado de materias primas (materiales). Por ejemplo, es frecuente que se acumulen materias primas debido a descuentos en el precio (por compras en grandes cantidades), como protección contra los aumentcs en los precios, o como protección en contra de huelgas en las empresas proveedoras . Los inventarios de materiules en proceso permiten el desglose de las etapas del proceso de producción; es decir, estos inventarios permiten que los diversos departamentos de producción operen sin una dependencia directa del programa de producción de los departamentos anteriores. Los inventarios de artículos terminados permiten sepa' rar la función de producción y la demanda de los clientes. Por ejemplo, cuando se sabe que la demanda de un artículo es variable o estacional, puede resultar más económico mantener inventarios en vez de permitir que oscile el nivel de producción. Esto puede ocurrir cuando los costos de contratación y capacitación de trabajadores nuevos, de compensación por desempleo, de tiempo extra que se requiere para satisfacer la demanda en periodos pico, preparación adicional de maquinaria para iniciar las corridas de producción, la fabricación para satisfacer pedidos atrasados, y similares, son superiores que los costos de mantener inventarios adicionales. La función de los inventarios no se limita a la manufactura; también se aplica de igual manera a las ventas al detalle. Un comprador espera que el comerciante tenga el artículo que desea. Si el artículo no está disponible en el momento en que el cliente lo solicita, entonces el comerciante pierde al cliente en lo que se refiere a ese artículo y, quizá, con respecto a artículos futuros. Para absorber las fluctuaciones en la demanda y, de esta manera dar un mejor servicio a los clientes, se requiere que los comerciantes conserven inventarios. Desde el punto de vista opuesto, el comerciante debe conservar inventarios para compensar la variabilidad de los tiempos de reabastecimientos (entrega) de los proveedores. En el hogar, la existencia de alimentos (inventarios) permite el desglose de las actividades de preparación y planeación de Ia dieta con respecto a la compra de los alimentos. En los hospitales, el aprovisionamienio de materia'les médicos separa las actividades de los quirófanos y de atención diaria a la salud de esos mismos materiales. En el área del medio ambiente, las presas y los embalses sirven para separar la variabilidad de las lluvias y las necesidades de agua de las comunidades. En este último caso, los costos que deben compensarse son los de construir la pre§a o el embalse en comparación con el costo en que se incurriría al tener comunidades sin agua durante periodos variables.

Terminología EI análisis de inventarios es similar al análisis de colas o líneas de espera en cuanto que no es aplicable un sólo modelo a todos los problemas de inventarios. Más bien, existen varios modelos que dependen de las características del problema. En seguida se presentan algunas de las características representativas de los diferentes modelos. Modelas comerciales comparados con modelos de producción. Los modelos comerciales son aquellos en los que los inventarios de reabastecimiento se adquieren de proveedores externos a la empresa. Los modelos de producción son aquellos en los que los inventarios para reabastecimiento se fabrican internamente en la compañía. El concepto clave que diferencia a estos modelos es la forma en que se reabastecen los inventarios. Los modelos

I

Conceptos y terminologÍa 487

I l

comerciales suponen que los inventarios se reabastecen en forma instantánea al recibir los pedidos, en tanto que los modelos de producción casi siempre suponen que el reabas-

tecimiento ocurre en forma paulatina. Demanda. Si se conoce la demanda con certidumbre y se supone que es constante en el tiempo, entonces al modelo se le denomina modelo determinístico de demanda. Sin embargo, el que se clasifique un modelo como determinístico no implica que la demanda sea constante; Ia demanda puede ser "variable" y el modelo puede seguir siendo determinístico. En los casos que examinaremos se supondrá que la demanda es constante.

El tiempo de adelanto (demora en la entrega). El tiempo de adelanto es el tiempo que transcurre entre el inicio de la actividad de reabastecimiento (el pedido o la producción) y la recepción o entrega del reabastecimiento de los inventarios. Al igual que en el caso de la demanda, el tiempo de adelanto puede ser constante y puede conocerse con certidumbre o ser de naturaleza probabilística. Examinaremos sólo modelos en los que el tiempo de adelanto es constante y se conoce con certidumbre. En el capítulo l4 (Simulación) consideraremos el caso en el que el tiempo de adelanto es variable. de pedidos. Dos decisiones básicas que deben resolverse en cualquier sistema de inventarios son la cantidad que debe pedirse (o fabricarse) y cuándo se debe pedir. Esta última decisión depende en gran medida del sistema de pedidos que el modelo utilice. Existen dos tipos de sistemas de pedidos: de punto de orden y de revisión periódica. Los sistemas de punto de orden, a los que con frecuencia se denomina "sistemas de inventarios perpetuos", son aquellos en los que se mantiene un registro perpetuo de los inventarios. Los registros se revisan en forma continua.,Cuando el inventario llega a un nivel predeterminado, que se denomina punto de reorden, se inicia un pedido de reabastecimiento (actividad) para una cantidad fija de artículos. Con frecuencia, los sistemas de punto de orden se utilizan cuando es relativamente grande el número de artículos que se solicitan por transacción y cuartdo los costos de mantener los inventarios son considerables. En un sistema de revisión periódica, los inventarios no se revisan en forma continua; más bien, se hacen evaluaciones a intervalos fijos y predeterminados. Los inventarios de reabastecimiento que se solicitan (o fabrican) varían. El inventario disponible se compara con el nivel deseado y la diferencia entre los dos niveles es la cantidad que se solicita

Política

punto de orden revisión periódica

punto de reorden

o fabrica. Existen variaciones y combinaciones entre los dos sistemas. Por ejemplo, podría revisarse en forma periódica el nivel de los inventarios, estimar la probabilidad de un agotamiento (carencia absoluta de inventarios) durante el intervalo fijo y ordenar después una cantidad variable con base en la estimación de probabilidades. En este capítulo se consideran sólo los sistemas de punto de orden.

Agotamientos ffalta de existenciasl. Ocurren agotamientos en los inventarios cuando la demanda excede a la cantidad disponible. Los agotamientos pueden ser accidentales o planeados. Sin importar cuál sea su causa, debe elaborarse una política que aborde este problema. Un modelo que toma en consideración los agotamientos al compenpedidos sarlos en una fecha posterior utiliza lo que se conoce como pedidos retroactivos. Los retrooctivos modelos que no consideran los agotamientos (es decir, modelos en los que no se hacen pedidos retroactivos para compensar los agotamientos) utilizan lo que se denomina una política de ventas perdidas.

488

CapÍtulo

'l

1.

Modelos de inventarios

Estructura del sistema. Los sistemas de inventarios son de etapa única o de etapas múltiples. Un sistema de etapa única es aquel en el que los inventarios se utilizan en forma directa para satisfacer la demanda. Algunos ejemplos serían los inventarios que un comerciante conserva con el objeto de satisfacer Ia demanda de sus clientes; los inventarios de

artículos terminados que un fabricante conserva con el objeto de satisfacer la demanda de sus propios clientes; los materiales médicos que un hospital conservaría con el objeto de satisfacer sus necesidades cotidianas. Los sistemas de etapas múltiples son aquellos en los que existen bancos múltiples de inventarios o puntos múltiples de almacenamiento. Si consideráramos como un sistema el ciclo de fabricante a detallista y detallista a consumidor, tendríamos un sistema de etapas múltiples. De la misma manera, sería adecuado clasificar un empresa manufacturera como un sistema de tres etapas puesto que podrían existir inventarios de materias primas, de material en proceso y artículos terminados, cada uno de ellos para atender demandas diferentesifEn esencia, los sistemas de etapas múltiples son sistemas de etapa única que se consideran en forma conjunta en vez de independiente. Debido a la complejidad de los modelos de etapas múltiples, examinaremos sólo los sistemas de etapa única.

Horizonte de tiempo del modelo. Los modelos de inventarios tienen un horizonte

de

tiempo finito o infinito. En los capítulos anteriores en los que se aplicó a los problemas de producción e inventarios la programación lineal, programación en enteros, programación de metas y algoritmos de transporte, se tenía un horizonte de tiempo finito. En la mayoría de estos casos se consideraron periodos únicos pero en varios casos también se examinaron periodos múltiples. En los modelos que se examinan en este capítulo, se considera que el horizonte de tiempo es infinito.

Criterios de costos Al llevar a cabo un análisis de inventarios

deben tenerse en cuenta diversos factores,

tales como rendimiento sobre la inversión, rotación de activos y ciclo de vida del producto' Muchos de estos factores se consideran y se revisan en documentos contables y financieros que se elaboran cada mes en las empresas. Por desgracia, incluir estos factores en modelos de intervalos continuos para los inventarios requiere técnicas analíticas complejas. Por tanto, la mayor parte de los modelos básicos de inventarios se basan en compensaciones o intercambios de costos como criterios para el análisis. En general, se consi-

deran cuatro factores de costos: (1) de pedidos (preparación); (2) de mantenimiento (conservación); (3) de agotamiento (falta de existencias) y (4) de adquisición (producción).

costos de

pedido

Costos de pedido (preparación). Se incurre en costos de pedido (de preparación) en cualquier momento en que ocurre alguna actividad para reabastecer los inventarios. para Ios modelos comerciales, se utiliza el término costos de pedido. Ese costo consta primordialmente de aquellos costos administrativos y de oficina, asociados con todos los pasos y actividades que deben emprenderse desde el momento en que se emite la requisición de compra hasta el momento en que se recibe el pedido, se le coloca en el inventario y se paga. Algunos elementos representativos de los costos de pedido incluyen procesael miento y manejo de las órdenes de compra, el transporte, la recepción, inspección, colocación en inventario, contabilización y auditoría, y pago al proveedor. por lo general,

Conceptos y terrninología 489 se considera que los costos de pedido son independientes del tamaño del

lote; Io más

común es que se utilice un cargo fijo por pedido. costos de En los modelos de producción, se utiliza el término costos de preparación en vez preparación de costos de pedido. Estos costos de preparación por lo general incluyen muchos costos administrativos y de oficina asociados con el apoyo a la producción (tales como requisiciones, recepción, inspección, colocación en inventario y contabilización); sin embargo, lo más frecuente es que los costos más importantes sean los de mano de obra y materiales asociados con la preparación de la maquinaria para producir. Para los rnodelos que examinaremos, se supondrá que el costo de pedido (de preparación) es constante; es decir, el costo es independiente del número de unidades que se pidan o del número de unidades que se incluyan en una corrida de producción. Costos de conservación (mantenimiento). Estos costos son aquellos en qqe se incurre al tener un determinado nivel de inventarios durante un periodo específicoJEn esencia, este costo consta de los costos explícitos e implícitos asociados con el mantenimiento y la propiedad de los inventarios. Este costo incluye el costo de oportunidad del dinero invertido en ellos, el costo del almacenamiento físico (renta, calefacción, iluminación, refrigeración, conservación de registros, seguridad, etc.), depreciación, impuestos, seguros, y deterioro y obsolescencia de los productos. El costo de conservación se expresa como un costo por unidad de tiempo. Para simplificar el análisis se supone que es propor-

cional al número promedio de unidades del inventario. Costos de agotamientos (falta de existencias). Estos costos son aquellos en los que se incurre al no poder satisfacer una demanda. La magnitud del costo depende de si se permiten los pedidos retroactivos. Si éstos no se permiten, entonces un agotamiento de inventario dará como resultado la pérdida permanente de ventas para los artículos que se demandaban y que no estaban disponibles. Podría incurrirse en un costo adicional de "buena voluntad" si el cliente deja de comprarle a la organización. Cuando se permiten los pedidos retroactivos, los costos relevantes de agotamiento son los costos administrativos y de oficina asociados con esta actividad y que incluyen el costo de esfuerzos especiales en estas áreas, tiempo extra, manejo y transporte especial, y seguimiento. Los agotamientos con pedidos retroactivos pueden dar como resultado la pérdida de algunos clientes; por ello, también podría incurrirse en "costos de buena voluntad". Por lo general, se mantiene un inventario de seguridad para protegerse en contra de agotamientos. El costo de agotamiento se calcula en forma diferente, dependiendo de la situación. El caso más general supone un costo fijo por agotamiento, sin importar cuál sea su magnitud o el periodo durante el cual ocurre. Un método más directo consiste en suponer un costo de agotamiento por unidad. En algunas situaciones puede resultar más aplicable considerar tanto el número de unidades que no se tienen como laduración del agotamiento. Es evidente que si se ha establecido un acuerdo contractual que imponga cierto castigo por agotamiento, el cálculo de los costos debe incluir este factor. Costos de adquisición (producción). Para los modelos comerciales, el costo directo asociado con la compra real de un artículo se denomina costo de compra o de adquisición. Para los modelos de producción, éste se denomina costo de producción. En cualquier caso, y por lo general, se supone que el costo unitario es constante sin importar cuál

490

Capítulo

1.,1

.

Modelos de inventarios

sea la cantidad que se compra o se fabrica. Sin embargo, debe relajarse este supuesto si se permiten rupturas o cambios bruscos de cantidad y/o de precios para tamaños específicos de los lotes, o si pueden reducirse los costos unitarios a través de corridas grandes de producción. Este último caso puede ocurrir como resultado de economías por operación a gran escala. Se examinará el caso en el que se consideran los descuentos por com-

pras en grandes cantidades; sin embargo, el principal objetivo del capítulo será evaluar Ios modelos en los que el costo unitario es constante.

MODELOS DETERM¡NISTICOS En esta sección

se

analiza una serie de conceptos y modelos básicos de inventarios. En

forma específica, examinaremos: 1. el modelo clásico de la cantidad económica de pedido (CEP) 2. el punto de reorden y el tiempo de adelanto, y la forma en que

se relacionan

con la

cantidad de pedido

3. 4. 5. 6.

el análisis de sensibilidad, con respecto al modelo clásico de CEP los modelos de CEP con descuentos en los precios

la CEP con pedidos retroactivos el modelo del tamaño de lote de producción

En primer lugar se analiza el modelo básico, seguido de modelos cada vezmás complejos.

Al

pasar de un modelo al siguiente, se relajarán una o más de las consideraciones del modelo básico. En todos los modelos se supone que el objetivo es minimizar el costo total. Dentro de este objetivo, se identificará la cantidad óptima de pedido (Q*), el punto óptimo de reorden (R*), y algunos factores adicionales, tales como el tiempo entre pedidos y los costos totales.

Modelo clásico de Ia cant¡dad económ¡ca de pedido (CEP) El modelo más simple de inventarios es el clásico, al que con frecuencia se le denomina modelo de la CEP. Al analizar este modelo, al igual que otros de esta sección (exceptuando el modelo del tamaño de lote de producción), se supondrá que el modelo se refiere a una función comerciol. Consideraciones del modelo. Las siguientes consideraciones caracterizan almodelo clásico:

1. Se conoce la demanda con certidumbre y es constante con el tiempo. 2. FI tiempo de adelanto o espera es cero; es decir, un pedido se recibe en el momento en que se ordena.

3. Se empleó un sistemade punto de orden y, así, los inventarios se revisan en forma continua. 4. El inventario se reabastece cuando ha Ilegado exactamente al nivel de cero. No se utiliza existencia de seguridad y no se permiten agotamientos (carencia de existencias).

Modelos determrnÍsticos 491

5.

El reabastecimiento de los inventarios es instantáneo; es decir, el pedido total se recibe

en un solo lote.

6. 7. 8. 9.

La cantidad de pedido es constante para cada orden.

El problema implica un sistema de etapa única. Se considera Se

un horizonte de tiempo infinito y continuo.

considera que todos los costos son constantes en el horizonte infinito de tiempo.

La figura ll-2 es una representación del comportamiento de los inventarios en el modelo clásico, basado en las consideraciones anteriores. La línea que desciende hacia la derecha indica que el inventario se reduce con el tiempo a una tasa constante, es decir, que la demanda es constante. Dado que el tiempo de adelanto es cero y el reabastecimiento es instantáneo, el punto de reorden R, se determina en forma automática cuando el

inventario llega

a

cero. La cantidad que se ordena en cada punto de reabastecimiento es Q.

Planteqmiento del modelo. El objetivo de este modelo, tal como se observaba antes, es determinar la cantidad óptima de pedido (g*) y el punto de reorden (R*), de manera que se minimicen los costos totales de los inventarios. Dado que mediante una deducción lógica hemos determinado que el punto óptimo de reorden, R*, es cero, el objetivo se reduce a determinar la cantidad económica de pedido, Q*. (Por ello, el nombre de "modelo de CEP" resulta apropiado.) Dado que se ha considerado que no ocurren agotamientos, su costo es cero; por tanto, minimizaremos la suma de los costos de pedido y los costos de mantenimiento. Para elaborar el modelo, es necesario examinar las relaciones que existen entre estos dos tipos de costos. La figura l1-3 ilustra su conducta al aumentar la cantidad de pedido, Q. Al aumentar la cantidad del pedido (número de unidades por pedido), resultan necesa-

Nivel de inventario

o

Tiempo 0 FIGURA 11-2. Comportam¡ento de los inventarios: modelo clásrco

492

Caprtulo 11

.

lVodelos de rnventarios

Costo

Costo total de inventario Costo de conservación

CT

Costo de pedidos

00*

Cantidad del pedido (O)

FIGURA 11-3. Costo de los inventarios: modelo clásico

rios menos pedidos; por tanto, los costos de éstos se disminuyen. Por otro lado, al aumentar el tamaño del pedido se tienen más unidades en los inventarios y, por ello, aumentan los costos de mantenimiento. Dado que los dos tipos de costos responden en formas opuestas al aumento en el tamaño del pedido, Ia cantidad óptima de pedido, 9*, es el punto en donde los costos de pedido son iguales a los costos de mantenimiento.'(Esto se muestra en la figura 11-3, en el punto en que las dos curvas se intersectan.) El objetivo es minimizar el costo total de los inventarios. Observe en la figura I l-3 que el costo total del inventario primero disminuye al aumentar el tamaño del pedido, debido a la reducción en los costos de los pedidos, y después aumenta al convertirse los costos de mantenimiento en los costos predominantes. Observe también que el punto mínimo de la curva de costo total (Cr,,,,,,) es aquel en el que los costos de mantenimiento son iguales a los costos de los pedidos. Para desarrollar un modelo matemático general que represente la estructura de costos de los inventarios, tal como se muestra en la figura I l-3, deben definirse sus variables y sus parámetros. Los símbolos que se utilizan en el modelo son:

: C" : C, :

costo por pedido que se coloca

C,,

costo de conservación por unidad y por periodor{_._lgrlbo costo total del inventario por periodo de tiempo

Q: D=

Cantidad que se pide (tamaño de pedido) unidades que se piden por periodo de riempo

La variable de decisión para el modelo, es decir, la variable para Ia que se busca una solución, es la cantidad de pedido, Q.El criterio que es necesario minimizar es el I Debe observarse que el costo de pedidos es igual al costo de mantenimiento al nivel Q* para un problema de inventario que satisfaga la consideración básica del modelo clásico. Esto no se aplica todos los modelos de invenTario.

a

493

Modelos determinísticos

costo total de los inventarios, Cr. Coy Cc son parámetros para el modelo, como se verá más adelante, y son constantes que se utilizan para determinar los costos de los pedidos y los costos de mantenimiento para varios tamaños del pedido. Un planteamiento del modelo general es MTNIMIzART costo

total del inventario

:

costo de los pedidos + costo de conservación

(

1

l. l )

El costo de los pedidos

es simplemente el costo por cada uno de ellos, Cr, multiplicado por el número de pedidos que se hacen por cada periodo. Dado que la demanda por periodo, D, es conocida, el número de pedidos por periodo es la cantidad de la demanda dividida entre el tamaño del pedido (D/Q). por ello, el costo de los pedidos es

costo de pedidos

:

C6

x DIQ

(11.2)

El costo de conservación es igual al costo de conservar o mantener una unidad por periodo, C", multiplicado por el número promedio de unidades que se conservan en inventario. Entonces, para determinar los costos de conservación debe calcularse primero el inventario promedio. El inventario promedio es un poco distinto del inventario en unidades-días que calculó Jefferson para el problema de la Video Inc. En este caso, se calculó el número total de unidades que se conservaban entre dos pedidos y se multiplicó esta cifra por el costo unitario diario de conservación. Hubiera podido calcularse el inventario promedio por día y multiplicar éste por el costo para el periodo. Por ejemplo, para un tamaño de pedido de 6, se calculó que el número total de unidades en el inventario sería 18. Si promediamos esto para los 6 días, el inventario promedio es de 3 unidades. Entonces, el costo de conservación sería cosro de conservación:

: :

(;I';f""

promedio

)

. (;::';.?il:i:T r,^)

(3) x (0.274)(6) 4.932

Este costo es idéntico a la cifra que se muestra en la tabla I de 6.

l-l

para un tamaño de pedido

De la figura ll-2 debe resultar evidente que el inventario promedio es Q/2. Para demostrar esto, considere la ilustración de los inventarios que aparece en la figura I l-4. En teoría, el inventario promedio es el área bajo la línea de los inventarios dividida entre la longitud del periodo. La longitud de cada una de las porciones diagonales del inventario se define como el ciclo de inventario 1". Así, el inventario promedio se calcu-

la como sigue:

Inventario promedio:

área bajo una línea de inventario longitud del periodo

ixalturaxbase l"

494

Capítulo 11

o

Modelos de inventarios

Nivel de inventario

Nivel máximo

de inventario

o

Tiempo

r__

0

tc __-______1

FIGURA 11-4. Nivel promedio de inventarios para el modelo clásico

_ix

Q x,t, l"

o bien promedio inventario '2

: io

(11.3)

Si se calcula el inventario para varios ciclos, de cualquier manera debe obtenerse un inventario promedio de Q/2. Por ejemplo, si examinamos cuatro ciclos de inventario, inventario promedio

: 4 x yz(e)e) -T:;

O

El costo de mantenimiento se expresa entonces: costo de conservación

:

Cs

x Ql2

(11.4)

Ahora el problema puede expresarse de la siguiente manera: MTNIMÍZAR:

Cr:

Co

"

DIQ + C, x Ql2

(

l r.s)

Solución al modelo. En la figura I l-3, se señalaba gráficamente que la cantidad óptima de pedido, O*, se encantraba en el punto en que los costos de pedido son iguales a los costos de mantenimiento. Puede demostrarse utilizando cálculo diferencial, que esto es así si se optimiza (minimiza) la ecuación (l l-5). Para optimizar C. primero se obtiene su derivada; es decir,

Modelos determinísticos

495

dC, -coD c2 dO: -Or- * T Igualando la ecuación resultante a cero (puesto que la pendiente de la curva C, en el punto mínir4o) y despejando Q, se tiene

es

cero

#.+:, Q,2

C"D:

C,

d:zCoD 'C. Por tanto,

e.: ,lzcoDn

(l l.ó)

Si Q* es la cantidad óptima de pedido, los costos de mantenimiento deben ser iguales a los costos de pedido para ese valor de la cantidad de pedido. Esto puede verificarse elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación (11.6) multiplicando también ambos términos por C", y dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 2Q*:

Q*C,

CoD

2:O.

Por tanto, los costos son iguales y la ecuación (l1.6) es el modelo de la cantidad óptima de pedido. Q* y R* son la cantidad óptima de pedido y el punto óptimo de orden para el modelo;sin embargo, con bastante frecuencia a los administradores les interesa conocer el número de pedidos por periodos que se emitirán bajo la política óptima y el tiempo que transcurre entre dos pedidos sucesivos. También es muy probable que resulte deseable conocer el costo total en el que se incurre al utilizar la política óptima de pedidos. Es posible calcular estos valores una vez que se conoce

Q*; sin embargo, también pueden

desarrollarse fórmulas generales para estos factores. El número óptimo de pedidos por periodo, con base en la cantidad óptima de pedi-

do,Q*,essimplementelademandaporperiododivididaentreQ*,esdecir,N* = D/Q*. Q* = ,'lTeD@ en la ecuación, se tiene,

Sustituyendo

N*_-

D

Jf"otc, ,[Fc, ,l2CoD

Por tanto,

¡¡*:

,[DeJzco

(1r.7)

496

Capitulo 11

.

Modelos de inventarios

El tiempo que transcurre entre dos pedidos sucesivos, o ciclo de inventario 1", es el inverso del número óptimo de pedidos, N*, por lo que t" = l/N*. Sustituyendo N* =

,/-oc¿zc.

en la ecuación, se tiene

l.-,,:

.

..,

I

'c

- lDe;TTco 1'.

Por tanto,

\: Jzcli6e,

(11.8)

Debe observarse que las unidades de tiempo de l. serán las mismas que las de la demanda, D. Si D se expresa como la demanda anual, entonces l" estará expresada en años. Para determinar el costo asociado con la política óptima de pedidos, simplemente se sustituye Q* en la fórmula del costo total [ecuación (11.5)], es decir,

ci:Co"&*r,*T Sustituyendo

en la ecuación, se tiene

Q* = ''l2CoDIe,

Cr, ,lTefifQ C6 x D ^*' \l2CoDlCc 2 zcoD +

crx ,{IeoolCrx rlzcoolc, 2,!re,úc,

:: 2C6D + 2CoD 2l2CoDlCc

ffi,J-c,{W Por tanto,

CT: ,ITC,C,D Utilizando

las ecuaciones

(l1.6)

a

(l1.9),

es

(11.e)

posible describir en forma completa la políti-

ca de inventarios para el modelo clásico de CEP.

Aplicación del modelo ckísico a la Yideo Inc. Para probar el modelo, puede examinarse el caso de la Video Inc. Los parámetros para el modelo son Co

Cc

=

:

D=

$20 Por orden $100 por urtidad por año 365 unidades por año

Modelosdeterminísticos 497

Aplicando la ecuación (11.6), la cantidad económica de Pedido

es

Q*: (2)(20)(36s) 100

:

"1T46

:

12.08

un análisis de ciclo único' Esto es muy similar al valor que Jefferson calculó usando por año es pedidos utilizando la ecuación (it.z), el número óptimo de

(36s)(100)

(2X20)

: ,FIT.s :3A.2

Eltiempoentrepedidossucesivos,ociclodeinventarioenestecaso,empleando la ecuación (11.8), es

: : si

se desea expresar

-tzttzol

V

(365x100)

0.0331 años

por 365' Por l. en días, entonces debe multiplicarse el resultado

tanto r"

: (365X0.0331) - 12.08 días

El costo total asociado con la política óptima de Q* la ecuación (11'9),

es

cl :

,l2coccD

í,

: \(,1zo1i6o-o6t : JT¡6-óI00 :

s1208.30

=

12 unidades, utilizando

498

Capítulo 11

r

Modelos de inventarios

Unidades de medición asociadas con los parámetros del modelo. Al aplicar el modelo clásico al caso de la Video Inc., el periodo de tiempo para el análisis fue de un año (?" = I año). Observe también que la demanda, D, se expresó en forma anual y el costo de mantenimiento, C6., se expresó en $ por unidad por año. Al aplicar el modelo, es importante que estos parámetros, D y C", e§tén expresados sobre la misma base temporal. No es necesario expresar los parámetros en forma anual, pero deben ser consistentes con la longitud definida para el análisis. Por ejemplo, suponga que expresamos el periodo de la Video Inc., como 6 meses. Entonces la demanda, D, sería 182.5 unidades por 6 meses y el costo de mantenimiento, C¿., sería de $50 por unidad por 6 meses. Empleando estos datos, la cantidad económica de pedido seguiría siendo 12.8. Es decir, 2CoD

Q*:

cc

: ,lT4 -

12.08

De Ia misma manera pueden calcularse los factores restantes la estructura de tiempo de 6 meses.

(N*, /,, y Cf ) utilizando

Punto de reorden y tiempo de adelanto Una de las consideraciones del modelo clásico de CEP es que el tiempo de adelanto es cero. En la práctica, es poco probable que esta consideración resulte cierJa. En esta sección se examinará un caso en el que

Se

conoce el tiempo de adelanto y

eS

mayor que

cero y, por otra parte, la demanda es constante' Cuando se definió el modelo básico de CEP se hicieron ocho consideraciones básicas. Para definir una situación en la que el tiempo de adelanto sea mayor de cero, pueden relajarse las consideraciones 2 y 4. Relajar estas consideraciones no afecta la cantidad óptima de pedido, Q*, 9or tanto, la ecuación (l1.6) y las (l1.7) y (l1.9) siguen siendo pertinentes cuando se emite un pedido de reabastecimiento. El tamaño del pedido es entonces Q*; la cuestión que debe abordarse ahora es cuándo debe emitirse el pedido. Existen dos situaciones referentes al tiempo de adelanto y que se relacionan con el punto de reorden. La primera es cuando el tiempo de adelanto l. es inferior al ciclo de inventario f". Esto se ilustra en la Figura ll-5' La demanda durante cualquier periodo de adelanto es trD. Para la situación en la que tt 1 t",la demanda durante el tiempo de adelanto es inferior a Q*, puesto que Q* : t, D y t, 1 /". Por tanto, si se neordena en el momento que el nivel de inventario llega a R* , en donde R* = t tD, el inventario de reabastecimiento llegará al final del ciclo de inventario. Este reabastecimiento conducirá el nivel de los inventarios a Q*. Uno de los requerimientos básicos para éste, al igual que para varios otros modelos de inventario, es que Ia llegada del inventario de reabastecimiento ocurra al final del ciclo; el reordenamiento al nivel de R* asegura que esto ocurre. La segunda situaóión que puede ocurrir es cuando el tiempo de adelanto es mayor que el ciclo (t. > l.). Esto se ilustra en la figura ll-6.

Modelos determinísticos

499

La demanda durante el tiempo de adelanto es trD para la situación en la que lL > 1,, de la misma manera que cuando lt 1 t,. Sin embargo, la demanda durante

el tiempo de adelanto ahora es mayor que la cantidad de pedido q*. Esto significa que deben colocarse los pedidos en periodos anteriores, en vez de hacerlo en el periodo corriente, para satisfacer la demanda durante el tiempo de adelanto. En esencia, para satis-

facer la demanda durante el tiempo de adelanto, se utilizan el inventario que se tiene disponible en el momento de reordenar (que sería R*) más los inventarios de reabastecirniento que lleguen durante el periodo de adelanto. Así, /.demanda

durante \ :

\el tiempo de adelanto/

/nivel de inventario

¡. /reabastecimientos de inventarios \ \al momento de colocar el pedido/ \que llegan durante el tiempo de adelanto/

Expresado en términos matemáticos, t

tLD: R* *' /reaba.stecimientos de inventarios \que llegan durante el tiempo Oe aaetanto) Si se acepta que el número de pedidos de reabastecimiento que llegan durante el tiempo de adelanto es igual al número de ciclos completos de inventario, y se recuerda que Q* es el tamaño de cada pedido, entonces los inventarios de reabastecimiento serán

(número de ciclos completos de inventario) x Q* Si se acepta que el número de ciclos completos de inventario puede determinarse dividien-

do

l.

entre l. y tomando la parte entera de esta operación, los inventarios de reabasteci-

miento serán Nivel de inventario

-1

r¿ F-. ---l rc

Tiempo

--------l

FIGURA 11-5. Puntos de reorden cuando el tiempo de adelanto es inferior al tiempo del ciclo.

500

Capítulo

11

¡

Modelos de inventarios

N¡vel de inventario

Tiempo

FIGURA 11.6. Tiempos de reorden cuando el tiempo de adelanto es ma'r/or que el tiempo del ciclo

Itr

lt"l x Q*

ltr/t") es la parte entera que resulta de dividir /. entre mático completo se convierte en

en donde

1".

,\si, el modelo mate-

tr,D: R* + UL/t"78* Despejando R, se tiene

R*:tLD-lrrlt"lQ*

(r

l.l0)

Este modelo de punto de reorden puede utilizarse cuando tL > t,, pero es igualmente aplicable cuando tL 1 t, (situación l). Para demostrar esta afirmación, supóngase que el tiempo de adelanto para la Video Inc., es de 7 dias (t, = 7). Del análisis anterior sabemos que Q* = 12 unidades, D = I unidad por día (365 unidades por año), y t, 12 dÍas. Sustituyendo en la ecuación (ll.l0), se tiene

=

R*

: (7 días) x (l unidad/día) -

[7 días/12 días] x (l2unidades)

:7 unidades

en donde Í7/l2l = 0. Esto concuerda con los resultados que se describieron en la situación en la que /, ( l" en donde R* = ttD. Considérese el caso en el que el tiempo de adelanto es de 30 días. Sustituyendo en Ia ecuación (ll.l0), se tiene

R** (30 días) x (lunidad/día) - t30 días/12 díasl x : 30unidades - [2] x (12 unidades)

(12 unidades)

Modelos determinÍsticos 501

:30

:

unidades

-

24 unidades

6 unidades

=

Estos resultados indican que si se ordenan 12 unidades (Q* 12) cadavez que el nivel de inventarios baje a 6 unidades, se recibirán suficientes surtidos de pedidos para satisfacer la demanda durante el tiempo de adelanto. En este caso, las 30 unidades que se requieren para satisfacer la demanda del tiempo de adelanto serían las 6 unidades que se tienen en inventario al momento de colocar el pedido, 12 unidades que llegan 6 días después de éste y 12 unidades que llegan después de 18 días. Al final del trigésimo día, llega el inventario que reabastece por completo. Para el caso en el que f. < /", los inventarios de reabastecimiento llegan al final del ciclo de inventario corriente. Para el caso en que l¿ > 1., los inventarios de reabas-

tecimiento llegan al final de un ciclo de inventario futuro.

Aná!isis de senslbilidad En el análisis del modelo clásico de CEP [ecuación (11.6)], se supuso implícitamente que se conocía con certidumbre el costo de los pedidos, C¿, el costo de conservación por unidad por periodo, C", y la demanda por periodo, D. En realidad, lo más común es que se estimen estos tres factores. Debido al error potencial de estimación, sería deseable tener algún medio de evaluar el impacto que tendrían sobre Q* errores en las estimaciones. Además, es posible que nc, podamos ordenar exactamente O* unidades; por ejemplo, si los proveedores imponen re:tricciones sobre las cantidades de los pedidos, podría exigírsenos ordenar alguna cantidad de unidades que no fuera Q*. Por ello, se requiere una técnica para examinar el impacto debido a cambios en los parámetros del modelo o en la ordenación de cantidades diferentes a Q*. Es posible emplear el análisis de sensibi-

lidad para examinar estos aspectos. Debe señalarse que el análisis de sensibilidad que se utiliza en los modelos de inventarios es diferente al que se empleó antes en los modelos lineales. En la programación lineal, sólo se consideraron los efectos de cambiar una variable alavez; en los análisis de inventarios, se evalúa en forma simultánea el efecto de cambiar diversas variables.

Planteamiento delmodelo. Al desarrollar un modelo de análisis de sensibilidad, es deseable exprbsar el efecto de los errores o de cambios en las variables y/o parámetros en forma de razón. Esta razón sería la cantidad económica de pedido real dividida entre la cantidad óptima estimada del pedido. Por tanto, sean

D :valor real de la demanda

D -valor estimado de la demanda

C'6:valor real del costo de pedidos

Co

Ci:valor real del costo de conservación

C. -valor estimado del costo de conservación

-valor estimado del costo de pedidos

Entonces, la cantidad económica del pedido estimada se representa (como se observaba antes) a través de la ecuación (l1.6), en tanto que la cantidad real económica de pedido es

a'-

/

502

Capítulo

11

.

Modelos de inventarios

Si se define k como larazóndel CEP real (es decir, Q') entre el CEP estimado (es decir,

Q*), entonces

,lrerÚm

(ll.lr)

r:«;w

(ll.l2)

.Q' 8* Expresado en forma más breve,

,lw|d,

Esta expresión puede utilizarse para evaluar el efecto que tendrían los errores o variaciones en los parámetros y/o variables. Por ejemplo, supóngase que para un problema determinado los factores de costo real son exactamente iguales a los factores estimados de costo, pero que la demanda real, D', es 1,450 unidades, en tanto que la demanda estimada, D, fuera 2,265. Sustituyendo en la ecuación, encontramos

k:

,lT4sol226:i-r|

:,16f,

:

0.80

Dado que k = Q'/Q*,y 2,265/1,450 es 156.290, esto señala que un error del 56.2v/o en la demanda estimada da como resultado 20s/o de error en el tamaño del pedido. Es decir, la cantidad real de pedido, Q', es sólo el 8090 de la cantidad económica de pedido estimada, Q*. @odría llevarse a cabo un análisis similar para los errores o cambios en los factores cle costo, si existen.)

Impacro que tiene sobre los costos no utilizar Q*. Utilizando la ecuación (ll.l2), es posible evaluar los efectos que tienen los errores o cambios en la cantidad de pedido. Ahora deseamos evaluar la forma en que esos cambios afectan el costo total. Supóngase que la cantidad real del pedido es Q', en vez de la cantidad estimada del pedido, Q*.Utilizando la ecuación (11.5) se sabe que el costo total estimado es

cr:

@d@lQ) + (cd(Qlz)

Por tanto, el costo total sería

c;: Dadoque

(c)(DlQ) + Gd(Q'12)

k -- 9'/9*, sesabequsO' = kQ*i

C;:

entonces, Cipuedeexpresarsecomo

(C)(DlkQ*) + (C)(kQ*

12)

Sustituyendo el valor de Q* de la ecuación (11.6), se tiene entonces

c';- (Cd[" -

(o

,l*)l+

(cc)

(rt¡--')

Modelos determinísticos

503

Agrupando términos se tiene

.':(i) lT.o :(-.i) :u;u De la ecuación (11.9),

C): ,,lW;

@;ea

por tanto,

';:(t:{)c Dividiendo ambos términos de la ecuación entre C?, se tiene C',

ci-

k+tlk

Si se reconoce que Cr/C*r es la razón del costo total de una cantidad de pedido de Q' con respecto al costo total cuando la cantidad de pedido es O*, y definiendo esta

razón como

/, es decir,

'-.

C'T

ci

entonces se puede escribir

,

k+ 2

llk

(11.13)

Entonces esta razón k proporciona una medida relativa del efecto de los cambios sobre Q*, en tanto que la razón lproporciona una medida relativa del efecto de los cambios sobre C*r. Además, puede relacionarse el impacto de los cambios de Q sobre C*7, pu€sto que / es función de k. Para comprender mejor las razones k y l, y la forma en que se relacionan con la cantidad de pedido, examinemos la curva de costo total que se elaboró antes. La figura I l-7 es esa curva de costo total que se tomó de la figura I l-3. La razón k es simplemente la cantidad Q' , o Q', dividida entre Q*. Si Q' es menor eue O*, lo cual es el caso para Q'r, entonces el cociente es inferior a l; si Q'es mayor que Q*,lo cual es el caso para Q'r, entonces k es mayor que l. (Cuando Q' = 9'*, k = l.) Lal1z§l_l_esLQ-dividido qrltrq_C-r:_-SI qgpg.gq _g-b!e_rve que / nunca será !¡ferio¡ a I pueqto que 9! costo se incremcnt-a -qin- impqrtSr qr¡é Ql 9{_marojg-. ry-glo_i que O*.Además, debe observarse que larazon l(C'r/C*) es la misma para Q'r/Q*

y

a';/q.

Puede verificarse este último punto utilizando las ecuaciones k y /. Supóngase que inferior a Q*, y gue Q'z es 250/o mayor que O*. Por ejemplo , si Q* 300, Q' , es 20s/o

entonces

Q't :

240 Y Q'z

:

:

375. Por tanto,

504

Capítulo

1'l .

Modelos de inventarios

k,-Qi/Q,-2401300

- 0.80 Utilizando la ecuación

(ll.l3),

, k, + lfk, tt:---T-

0.8

+ l/0.8

:2.os0/2

-

1.025

Para Q'2, se tiene

k2: fe.i De la ecuacion tr

:

1

375l3OO 1.25

rYifl

,

.2:-

1.25

+ lll.25

:2.050/:

-

1.025

Por ello, si Q' es 250/o mayor o 200/o menor eue O*, el costo total se incrementará en 2.590. Esto señala dos cosas: en priqter tqgar, y las cantidades del nedido (Ror e.!g*p19, rloAeto Ae CgP no soq sggUl::

lgtg:gen

Costo

c'r

ci

oi FIGURA

1l-7.

o'|

O¡

Cantiaad del pedido

Curva de costo total: costo comparado con cantidad del pedido

Modelos determinísticos

505

un error de + 25t/o o -20§/o en la cantidad del pedido da como resultado un aumento de de sólo 2.50/o en C*.. En segundo lugar, el modelo de CEP es más sensible a valores de Q' menores que O* que a los que son mayores que éste. Este último punto es lo que esperaríamos al analizar la curva de costos; observe en la figura I l-7 que Ia curva tiene una pendiente más pronunciada en el lado izquierdo de Q* que en su lado derecho. Para ilustrar el uso de las razones k y /, supongamos que se han estimado los valores 250 unidades utilizando el modelo de CEP, d,e C6, Ccy D y que se ha calculado Q* pero que sólo es posible ordenar las unidades en lotes de 100. Entonces, las alternativas 200 unidades,lk 0.80 y / serían hacer pedidos de 200 o 300 unidades. Para Q'

:

1.025;parao' =t00unidades,

:

k: l.2yl:

:

:

1.0167. Deestamanera,deberíanordenarse 300 unidades puesto qu el castigo en los costos por ordenar 200 es 2.5§/o , en comparación con el aumento de l.67Vo al ordenar 300.

Sensibilidad del tiempo que transcurre entre pedidos sucesivos, /". Utilizando la ecuación (11.8), es posible calcular el tiempo óptimo entre pedidos, l. (con base en C., Coy D); sin embargo, con frecuencia se enfrentan decisiones de pedido en momentos que no son el óptimo calculado. Al igual que es importante conocer el impacto de utilizar una cantidad de pedido que difiera del tamaño óptimo estimado inicial, también es importante conocer el impacio que tienen sobre el costo total tiempos distintos de pedido.

Dadoque

t,: l/N* yly'* : D/Q*,t, = Q*/D. Paraserconsistentesconlanota/* : fc; por tanto,

ción que se ha utilizado en el análisis de sensibilidad, haremos que

t*:g"lD Si ahora utilizamos

t'

para representar un tiempo entre pedidos que no sea

{:

f*,

entonces

Q'./D

Expresando estas relaciones en forma de razón, se tiene

t' O'lD O' f-Q+lD-Q*-* Dadoque

k: Q'/Q*,t'/t*

de la razón /

(ll.l3),

es

(l l.l4)

igualak. Deestamanera, puedeutilizarselaecuación

para determinar,el efecto que tiene sobre los costos los cambios

en los tiempos entre pedidos. Para ilustrar esto, supóngase que se han estimado los valores de C¿, Cc Y D, Y que se ha calculado [empleando la ecuación (l1.8» el tiempo óptimo entre pedidos, /*, y que es igual a 22.6 días. Supóngase también que los administradores han implantado una política de colocar pedidos una vez al mes (cada 30 días). Para determinar el impacto que esta decisión tendría sobre los costos, se calcula primero k:

r' k:=-

tO

ZZÁ:1.327

Aplicando entonces la ecuación (11.13),

,

k+ 2

l/k

506

Capítulo 11

o Modelos de inventarios r.327

:

+ rlr.327

1.0403

De esta manera, de un aumento del 32.7V0 en el tiempo entre pedidos se produóe sólo un aumento de 4.0390 en el costo total.

Aplicación del andlisis de sensibilidad a la Yideo Inc. Para demostrar el uso del análisis de sensibilidad para evaluar el efecto de diversos tipos de cambios, se continuará con la revisión del caso de la Video Inc. Es conveniente recordar los siguientes datos que se proporcionaron para el problema original: Co = $20 por pedido, Cc = $100 por unidad por año,

yD

:

Q*: lz.ogunidades íi* -N* :3}.zpedidos por año t" - t* : 12.08 días cÍ

Apartir

365 unidades por año.

:,

ir

(

de_estos datos se

calculó lo siguiente:

".)

: s1208.30

Supóngase ahora que Jefferson acepta que es difícil ordenar unidades fraccionarias l2 unidades en lugar de 12.08. Por ello, le gustaría

y que el tamaño real del pedido sería de

determinar el impacto que tiene redondear el tamaño del pedido a 12. Puesto que Q'/Q*, la razón es entonces k

:

12.00

:

12.08

0.99338

Por tanto, , Entonces, dado que I

_k + tlk

_0.99338

+

1.00667:1.000022

2

: C'rlCí, C;: lcl, c;

: ( 1.000022)(1208.30) : s1208.33

El nuevo tiempo entre pedidos, f', se calcularía de la siguiente manera: t' ¡*

:k

Por tanto,

{:kt* : (0.99338X12.08) : 12 días

k:

Modelos determinísticos I

507

Al redondear la cantidad de pedido a 12, Jefferson puede ordenar cada12 días. El efecto de esta decisión sería

insignificante puesto que el costo sólo aumenta en S0.03 (de $ 1,208.30

a $1,208.33). Supongamos ahora que después de terminar este análisis, Jefferson deseaba probar 12.08) a cambios en los factores de costo. Pensó queesto le ayudaríaaaclarar las dudas de Benson. Jefferson planteó el siguiente problema: "Supongamos que el costo de mantenimiento fuera de $70 en vez de su valor actual de $100. ¿Cuál sería el tamaño del pedido y cuál sería

la sensibilidad de los resultados originales (es decir, cuando Q*

=

el costo respectivo?" Dado que la razón k se expresa de la siguiente manera,

r:\rc;(r.¿ y dado que no se afectan ni la demanda ni los pedidos, larazón de C'o/C', a Co/C, será de l/70 a l/100. Por tanto,

,',(r*4)

k:

: Puestoquek

:

1.19524

Q'/Q*,sabemos queQ' = kQ*. Portanto,eltamañodepedidoresultan-

te es: Q'

: (1.19524X 12.08) :

14.44 unidades

Para calcular el costo total asociado con este tamaño de pedido, debe utilizarse la ecuación (l1.9). La ecuación (l l.l3) no es aplicable en este momento; se cumple sólo para el caso en el que cambia Qpero Cs, Cc y D son constantes. Así, el costo asociado es C',

:

: -

,Ee6C'rD

'|TTñ;10V165 s1010.94

Con una reducción del309o en el costo de mantenimiento (de $100 a $70), el costo total cambia en 16.3390 (de $1,208.30 a $1,010.94).

El modelo de CEP con descuentos (descuentos por compras en grandes cant¡dades) En todos los modelos que se han presentado hasta aquí se supuso que el precio unitario de compra era constante, y por ello no se le incluyó como factor en los modelos. En la práctica no es raro que los proveedores otorguen descuentos en los precios si los pedi-

508

Capítulo 11

o Modelos de inventarios

dos son lo suficientemente grandes. Son posibles varias situaciones distintas (políticas) de descuento; sin embargo, sólo consideraremos el caso en que se permite un descuento

único. Estructura del modelo. Un método para evaluar el impacto de un sólo descuento es comparar el costo total para la política de inventario óptima sin descuentos con el costo total al acepiar el descuento. Recuerde a partir del análisis del modelo clásico de CEP que el costo total se definió como sigue:

cr:

(c)(DlQ) +

Gd.l(Ql2)

(l l.s)

Las ecuaciones del costo total para evaluar los descuentos deben incluir el costo de las compras por periodo; por tanto, las ecuaciones de costo total serían: Cr,

:

+ (D)(P'i, descuento)

(Cd(D I Q*) + (Cr)(Q* l2)

(ll.r5)

para el caso en el que no hay descuento, donde

P.in C r,

:

d".","n,.: precio sin descuento por unidad (C )(D I 00".","n,d)

*

(C.) (g¿"*u.

no

I 2)

+

(D)(Po","u"n,o )

(l r.l6)

para el caso con descuerito,

donde

: Pdescuento : Qd.r"u"n,o

cantidad que se compra al precio con descuento cantidad al precio descontado unitario

Cr,es en realidad el punto mínimo de la curva de costo total, y C¡, es el punto de la curva de costo con descuento por cantidad, en la que I es la cantidad mínima que se requiere para recibir el descuento. Obsérvese que tanto en el caso con descuento [ecuación (ll.l6)] como en el caso sin descuento [ecuación (l l.l5)], el costo de mantenimiento, C6., es constante, aun cuando originalmente se definió que era función del precio de compra. Un C¿ constante no es condición obligatoria para el desarrollo de las ecuaciones; sin embargo, simplifica el análisis. En todo este análisis supondremos que C. es constante y que es función del precio original sin descuento. La relación de compensaciones de costos que ocurre cuando se consideran descuentos se muestra en la figura ll-8. La curva de costos sin descuentos se da más elevada que para el caso con descuento, puesto que el precio del producto es mayor sin el descuento. La cantidad mínima de pedido que se requiere para recibir el descuento se denomina Qo"r.r"r,o

La curva de costo real que es aplicable para el análisis con descuento es la porción oscurecida de las dos curvas. Si la cantidad del pedido es inferior a Q","u"n,o, no se permite el precio con descuento; por tanto, la curva relevante es la superior. Si la cantidad del pedido es igual o mayor eu€ Odescuento, se utiliza la curva inferior. Parte del objetivo en el análisis de descuentos es determinar si el punto inferior de la curva de costos sin descuentos, C7., es menor o mayor que el límite inferior sobre la curva de costos con descuentos, C.rl Si C,, u Crz(lo cual es el caso en la figura

Modelos deterministicos 509

C,

"r,

(sin descuentos)

Cr(con descuentos)

,,,

I

F I

0

O*

Odescuenro Cantidad del pedido

FIGURA 11'8. Estructura de inventarios para el descuento por compra en grandes cantidades

ll-8), entonces debe "considerarse" el descuento. Se utiliza la palabra "considerar" debido a que existen otros factores que podrían ser más importantes que Cr, ) C7r, tales como falta de espacio de almacenamiento, utilización no deseada de capital (efectivo), incapacidad del área de recepción para aceptar el volumen adicional de bienes, deterioros, etcétera. Aplicación de los descuentos por comprfls en grandes cantidades a la Video Inc. Para demostrar la aplicación del análisis de descuentos por compras en grandes cantidades, supongamos que al mismo tiempo que Jefferson estaba terminando la evaluación de su política de pedidos, el fabricante lo llamó y le ofreció un descuento del 290 sobre el costo normal unitario de $500 si la empresa compraba en cantidades de 20 o más. Esto emocionó mucho a Jefferson, puesto que era exactamente la cantidad que había

adquirido el mes pasado. Utilizando los valores

:

:

-

de P 365 unidades por año, Q* $500 por unidad, D 12.08 unidades (redondeado a un tamaño práctico de lote, Q* l2), Co = $20 por pedido, y cc $100 por unidad por año, Jefferson calculó el costo total en el punto óptimo de pedido [ecuación (ll.l5)].

=

:

- I::?:',':i:f:?,]','ilo"'' o"2) + :

(365x5oo)

s183,704.33

Eso significa que si Jefferson utiliza una política de CEP sin descuentos, la compañía incurriría en costos de $183,704.33 al año. Utilizando la ecuación (11.16), con P = $490 y Q = 20 (la cantidad mínima del pedido que permite lograr el descuento), Jefferson calculó el costo total bajo la política de descuento.

510

Capítulo 11

o Modelos de inventarios

Cr,:

(20)(36sl2o) + (100X20/2) + (365X4e0)

:365+1000+178,850

:

s180,215.00

Comparando los componentes individuales de costos para los dos modelos, puede observarse que el costo de los pedidos se reduce conforme aumenta el tamaño de pedido, al

tiempo que aumentan los costos de conservación. La reducción en el costo de pedido no compensa el aumento en los costos de conservación, pero el descuento del 2t/o en el precio más que compensa ese aumento en los costos. El resultado neto es un ahorro de $3,489.33. Jefferson estaba encantado.

Modelo de CEP con agotamientos (se permiten los ped¡dos retroactivos) Hasta aquí se ha supuesto que cada uno de los pedidos de reabastecimiento se recibe en el

momento en que el nivel de inventario llega a cero, sin importar si el pedido se coloca en el momento en que el inventario llega a cero (lo cual es el caso cuando el tiempo de adelanto es cero) o si se coloca en un punto anterior del ciclo de inventario para tomar en cuenta el tiempo de adelanto. Por ello, siempre se obtenía suficiente inventario para satisfacer toda la demanda. Ahora relajaremos esta consideración y permitiremos que ocurran agotamientos de los inventarios. Existen dos tipos de modelos de agotamiento: aquellos en los que se contemplan los agotamientos como demanda perdida (no satisfecha) y aquellos en los que los agotamientos se satisfacen en forma retroactiva. Se examina sólo este último caso, en el que la demanda se satisface. Sin importar cuál de los modelos de agotamiento se utilice, se incurre en costos por falta de existencias. Para el caso de la demanda perdida, los costos son utilidades no logradas, y para el modelo de pedidos retroactivos los costos están asociados con esfuerzos especiales administrativos y de oficina, tiempo extra, expedición, transporte especial y seguimiento. Resulta lógico preguntarse por qué un comerciante adopta una política de pedidos retroactivos si eso le cuesta dinero. Al ordenar pedidos para satisfacer demanda atrasada, un comerciante puede demorar sus compras al proveedor; en consecuencia, se requiere un número menor de pedidos y se reduce su costo. También pueden mantenerse niveles inferiores de inventario, puesto que parte de cada uno de los pedidos de reabastecimiento que llega se asigna de inmediato a una demanda atrasada. Si los inventarios pueden ser menores, los costos de conservación pueden disminuir. Lo que busca el comerciante es equilibrar los costos de agotamiento que aumentan en relación con los costos decrecientes de pedido y el costo de

conservación que cambia. Planteamíento del modelo. Con excepción de la cuarta consideración, todas las consideraciones asociadas con el modelo clásico de CEP son aplicables al modelo de agotamientos (con pedidos retroactivos). Por ello, se supone la demanda conocida y constante, el tiempo de adelanto de cero, un reabastecimiento instantáneo del inventario, una cantidad constante de pedido, un sistema de una sola etapa y un horizonte de tiempo continuo e infinito.

Modelos determinísticos 511

EI modelo de agotamiento se ilustra en la figura ll-9. Dado que se permiten los pedidos retroactivos, el nivel de inventario puede caer por abajo de cero. El tamaño del pedido retroactivo se denota como B (B = número de unidades que se ordenaron retroactivamente por ciclo de inventario). El nivel de inventario es siempre inferior a la cantidad del pedido, g, puesto que se surten los pedidos atrasados al recibir los pedidos retroactivos. El nivel máximo de inventario es S, que es igual a Q- B. EI tiempo del ciclo de inventario, f", se subdivide como sigue: l, = tiempo del ciclo en el que hay inventario disponible; lz : tiempo del ciclo en e[ que existen agotamientos. EI planteamiento general del modelo de agotamientos, tal como se representa en

la figura 11-9,

es

MINIMTZAR: COstO total de inventario

:

costo de los pedidos +costo de conservación + costo de agotamiento (11.17)

El componente de los costos de pedidos para el modelo se define de la misma manera que en el modelo clásico, es decir, el costo de los pedidos es igual al número de pedidos

por periodo multiplicado por el costo por pedido. Por tanto, costo de pedidos

:

(ColQlQ)

(

I 1.18)

El costo de conservación también se define como en el modelo clásico, es decir, igual al costo de mantenimiento por unidad y por periodo, C6, multiplicado por el número promedio de unidades que se tienen en inventario. Sin embargo, el inventario

es

promedio difiere del que se emplea en el modelo clásico. En el modelo con agotamientos, el inventario promedio es el inventario promedio para la porción del ciclo de inventario. Es posible calcular el costo de conservación de la siguiente manera:

Nivel de inventario

TT

ll II Ii tt

t1-

Tiempo

rttc--

I

|

FIGURA 11-9. Comportamiento de los inventarios: modelo clásico con agotamientos (pedidos retroact¡vcs)

512

Capítulo 11

¡

Modelos de inventarios

inventario promedio por ciclo

: (|ffiff'r"-ilitffi::"ff'nou) * (longitud del ciclo) _ (l/2X^SXr,) t,

Utilizando la relación entre triángulos semejantes, puede observarse que

lt

tt+t2

s: o :a lc

Por tanto, (r")(.s) ,t: --e-

Sustituyendo en la ecuación del inventario promedio, se tiene inventario promedio por ciclo

- (l),", W# s'2 :,o

Dado que la conducta de los inventarios es repetitiva, el inventario promedio considerado para un número grande de ciclos sería también §/2Q. Por tanto, el costo de mantenimiento se expresa de la siguiente manera: costo de conservación

: $'1/zQ)Cc

(11.19)

El tercer componente del costo es el de los agotamientos. Si se define C, como el costo de agotamientos por unidad por periodo, entonces el componente del costo de agotamientos es igual a Cr multiplicado por el número promedio de unidades que no se tienen disponibles. Este número promedio de unidades que no se tienen disponibles por ciclo se calcula de manera similar al inventario promedio por ciclo:

promedio f área bajo la línea\ / longitud\ deunidades :ldrrunt. l*f¿.1 I faltantes por ciclo \el agotamiento / \cicto I _(tlzxBxtr)

número

lc

Utilizando la relación de triángulos similares,

12 tt+12

B: O

:al"

Por tanto,

tz: t8/Q

Modelos determinÍsticos

513

Sustituyendo en la ecuación de los faltantes promedio, se tiene número promedio de unidades faltantes : (l/2)@r¿P por ciclo 82 :,0

Al igual que en el caso del inventario promedio, si se promediara el número de unidades de agotamiento para un número grande de ciclos, el número promedio de unidades de agotamiento sería B'z/2Q. Por ello, el costo de agotamiento se expresa de la siguiente manera: costo de agotamiento

:

@'1

l2Q)Cs

(l

1.20)

Si se combinan los tres componentes de costos, la función de costo total para el

modelo

es:

Cr: Dado que

B=

MrNrMrzAR:

Q

cr:

-

Cox D/Q + C¿.x S'1lzQ + Cs x Bzl2Q

(r

l.2l)

S, el modelo es entonces

co x DIQ

* cc x s2/2Q + cs(Q -

s)'lzQ

(t1.22)

Se indicó antes que lasoluciónóptima al modelo delos agotamientos cuando los costos de pedidos se equilibran con los de agotamientos y los de conservación o mantenimiento. Es lógico por ello que sea posible igualar estos componentes,

Solucióndelmodelo. se da

c6 x Dl Q

:

cs(Q

- s)' lzQ + C, x §lz2

y despejar la cantidad óptima de pedido, O*. Sin embargo, existen dos problemas que complican el proceso. En primer lugar, puede tenerse la seguridad (por anticipado) de que el costo de mantenimiento se reducirá con los pedidos retroactivos; es posible que el inventario promedio aumente puesto que bajo este esquema se ordenan cantidades mayores. Por tanto, la ecuación anterior será aplicable sólo si los costos de conservación se reducen con los pedidos retroactivos. En segundo lugar, aun en el caso de que se conociera con certidumbre la dirección del cambio en los costos de conservación existirían dificultades para determinar Q*. La función del costo tiene ahora una segunda variable de decisión, S, el nivel máximo del inventario. Para despejar O* y §* en la ecuación tendríamos que utilizar el proceso de ensayo y error. Sin embargo, es posible resolver el modelo si se aplica el cálculo diferencial. Obteniendo las derivadas parciales de la ecuación (11.22) con respecto a Q y S, igualando cada una de ellas a cero y resolviendo en forma simultánea los dos conjuntos de ecuaciones, se tiene lo siguiente:2 2En elApéndice Cse proporciona un desarrollo detallado de la solución por derivadas.

514

Capitulo 11

o

Modelos de inventarios

Q*:

2CoD

s*:

2CoD

(

l r.23)

cc

cc

x

(tt.24)

Las soluciones óptimas para el número de pedidos, N*, el tiempo entre pedidos, l*., y el costo total, C*r, son, de la misma'manera:

:

,[ocrl2cox

(l

t!:

,[zco¡oc, x

(l1.26)

,[zc"c"o

(lt.27)

N*

cl:

x

1.2s)

Aplicación del modelo de agotamienlos. Para ilustrar el uso del modelo de agotamientos, considérese el siguiente caso: H & G Outlet Inc. es una compañía que vende equipo de excursionismo. La compañía es distribuidora exclusiva de una tienda de campaña ligera en el noreste de Estados Unidos. La demanda de la tienda tiende a ser constante en 1,000 unidades al mes (12,000 unidades por año). El costo unitario de conservación por concepto de almacenamiento y manejo es de $5 al año. El fabricante está ubicado en un suburbib cercano y puede garantizar una entrega inmediata. El costb de colocar un pedido es de $20. Los administradores de I{ & G consideran que su clientela es relativamente estable puesto que existe una competencia limitada en el área noreste. Debido a esta situación, a la compañía no le preocupan demasiado los agotamientos, puesto que es posible satisfacer en forma retroactiva la demanda pendiente. Los adnlinistradores estiman que el costo de los agotamientos es de $0.50 por unidad por año aproximadamente.

Utilizando las ecuaciones (l 1.23) y (11.24), es posible calcular la cantidad óptima de pedido y el nivel máximo de los inventarios. La cantidad de pedido es

Q*:

2CoD CC

(2X20)(1000)(12)

: (309.84X3.3 : 102'1.7

Q+

t

7)

*

lo2g

Modelos determinísticos

Dado que Q* parael modelo de agotamientos

515

simplemente la CEP del modelo clásico puede determinarse con facilidad el impacto de la política de agotamientos. En este caso, la cantidad de pedido es aproximadamente 1,028 unidades, que es 3.317 veces más grande que la cantidad de la CEP clásica, de aproximadamente 310 unidades. El nivel máximo de inventario, §*, es

(Q = ,'DeDTeJ multiplicada por

s*:

es

@ + CJ7Q,

2CoD

cc

: (309.84)(0.30r5) :93.42

.s* = 93

Por ello, el nivel máximo de inventario se reduce de 310 unidades para la CEP clásica a aproximadamente 93 unidades para el modelo de agotamientos. En este ejemplo, resulta evidente que el número máximo de unidades que no se tienen disponibles, B*, será muy grande. Bajo la política de pedidos retroactivos, H & G ordenaría aproximadamente 1,028 tiendas, pero el nivel máximo de inventarios sería de sólo 93 unidades. Esto significa que se ordenarán retroactivamente 935 (1,028 - 93). En la ecuación (l I .27) se observa que el costo total relacionado con la política de

pedidos retroactivos es el costo asociado con el modelo clásico de CEP multiplicado por r[e/@ +@. Puesto que se calculó que este factor es igual a 0.3015 (al estar calculando §*) el costo total de los pedidos retroactivos sería sólo 30.1590 del costo del modelo clásico. En forma específica:

ci:

:

,DCE,D

,rcJG;+TJ

J(rXrOGnTooOn fd.r(5^o-fT¡'-,

: (r549.1e)(0.30r5). : $467.08 El tiempo entre pedidos, f.*, y el número de pedidos, N*, se calculan como sigue: utilizando la ecuación (11.26) y expresando el periodo en días (l año = 365 días),

: (3ó5)

(2)(20)

(r000x12x5)

516

CapÍtulo 11

.

Modelos de inventarios

: :

(365)(0.02582X3.317) (e.424\(3.317)

:31.26 = 3l

días

Utilizando la ecuación (11.25), DC, 2Co

(r000)(r2x5) (2X20)

:

(38.73)(0.3015)

:

I 1.68

=

12 pedidos por año

Con base en estos resultados, H & G debe ordenar aproximadamente una vez al mes con un tamaño de pedido cercano a 1,028 unidades. Esta política da como resultado un agotamiento máximo de 935 unidades pero reduce el costo total de los inventarios de la tienda en casi elTOVo. En términos de Ia satisfacción de la demanda de los clientes, la política significa que un cliente puede esperar que se le surta su orden cuando más en 30 días. Et modelo de agotamientos y el tiempo de adelanto. El modelo de agotamientos supone que el tiempo de adelanto, f¿, es igual a cero y, por ello, el punto de reorden, R*, eS cero. Puedin relajarse estas consideraciones de la misma manera que se hizo para el modelo clásico de CEP. Al igual que para este modelo, relajar estas consideraciones no afecta la cantidad óptima de pedido, Q* , ni ninguna de las ecuaciones asociadas; es decir, las ecuaciones (11.23)-(11.27) siguen siendo aplicables. Utilizando Ia lógica que empleamos para desarrollar Ia ecuación (l 1.10), puede mostrarse que el punto de reorden para el modelo de agotamientos con demanda constante se expresa como sigue:

R*

:

tLD

-

ÍtrlQ, + tz\\Q* - (0*

-

S*)

(11.28)

Examinaremos ahora la forma en que esto se aplica a Ia H & G Outlet Inc. Supondremos que el tiempo de adelanto /, es de 5 días en vez de cero y que la demanda es constante, al igual que antes, y de 12,000 unidades por año (1,000 unidades por mes). Examinando la ecuación (l L28), parecería que es necesario calcular /r y /2 antes de aplicar el modelo. sin embargo, debe recordarse que t, = tt + f2' Por ello, Ia ecuación del punto de reorden puede expresarse como sigue:

R*

: tLD -

Urlr"lQ*

-

(0*

- .§*)

Modelos determinísticos

517

La demanda, D, debe expresarse en unidades por día en vez de unidades por año, puesto que l¿ y /. están expresados en días. La demanda diaria es 12,000/365 32.877 unidades por día; por tanto,

:

R*

: (5)(32.877\ - ls l3rl(1021.6) : 164.39 - [0](1027.6) - 934.r8 : - 769.79

(1027.6

-

e3.42)

R*=_770unidades

Esto indica que cuando los pedidos atrasados llegan a 770 unidades, es necesario colocar con el fabricante un pedido de 1,028 unidades. Los pedidos atrasados aumentarán hasta aproximadamente 934 unidades durante el tiempo de adelanto (5 días). Al llegar el nuevo pedido, se surte toda la demanda atrasada. Antes de terminar el análisis de los modelos de agotamiento, es necesario hacer comentarios adicionales sobre el ejemplo de la H & G Outlet. Para este caso particular, el costo por agotamiento por unidad, Cr, fue muy reducido en relación con el costo de conservación por unidad, C6; por tanto, resultó más ventajoso para la compañía incurrir en agotamientos. En la mayoría de los casos, la diferencia entre Cr y C. no será tan grande como en este ejemplo. De hecho, en muchos casos, C, será mayor que Cc. Si Cc < Cr, tampoco puede concluirse que no se debe utilizar una política de agotamientos. Por ejemplo, supongamos que se tienen los siguientes datos para un problema

determinado:

C,: $200 Por unidad Por año Cc: §100 por unidad Por año Co: S50 por pedido D

:

4900 unidades por año

Aplicando la ecuación (11.27),

ci :

,llc,c,D *

: (7000x0.8 : s57 I s.50

r

/€(c.J cJ: \mso)fio-OG90d,

x J20o^ro0 + zo0)

65)

Esto indica que al utilizar el modelo de CEP, el costo óptimo sería de $7,000, en tanto que el modelo de agotamientos daría como resultado un costo total de $5,715.50. Esto es una reducción de más del l89o en los costos, aun cuando C5 es el doble de C..

Modelo del tamaño de lote de producción se ha supuesto que el pedido de reabastecimiento se recibe completo en un instante. Para la mayor parte de los establecimientos comerciales este es un supuesto viilido; pero en una situación fabril, el reabastecimiento se produce a través de una corrida de producción, y ésta puede consumir una cantidad

En todos los modelos que se han considerado hasta aquí

considerable de tiempo para llegar a su fin. La figura I l-10 representa la conducta de

518

Capitulo 11

.

Modelos de inventarios

N¡vel de inventario

Nivel

Nivel

máximo de inventario

inventario

promedio de

o

+___ __ __

M

.L

'1'

''{: . :l.r ':

-1-: ¡ ':'i:' 1: :.i

''r1..

r.

'

.l ,.,

l--,,-f-

). ,,

.,

tz-1

Tiempo

tr----]

FIGURA 11-'10. Comportamiento de los inventarios: reabastecimiento no instantáneo

los inventarios en una operación productiva, en la que la producción pasa al inventario de articulos terminados y los bienes que se demandan se extraen de aquí. La figura 1l-10 ilustra el caso de una operación de reabastecimiento de inventario a través de producción, con tiempo de adelanto de cero y en la que no se permiten agotamientos. Al igual que antes, es posible relajar estas consideraciones, pero en esta sección nos concentraremos sólo en el modelo básico. El término "modelo de tamaño de lote de producción" es el nombre que se utiliza para describir este modelo básico. La variable de decisión para el modelo es O*, el tamaño óptimo del lote de producción.

Planteamiento del modelo. Exceptuando la quinta consideración, todas las demás consideraciones asociadas con el modelo clásico de CEP se aplican al modelo del tamaño de lote. Con base en estas consideraciones, podría concluirse que el tamaño óptimo de lote sería igual a Q* para el modelo clásico. Sin embargo, observando la figura ll-10 puede verse que el nivel máximo de inventario para el modelo de tamaño de lote es inferior a Q. Por ello, el inventario promedio será menor que Q/2, que era el inventario promedio para el modelo de CEP. Dado que el inventario promedio es menor, los costos de mantenimiento serán menores que para el modelo clásico. Con este panorama general del modelo, comenzaremos proporcionando el planteamiento general del modelo de tamaño de lote: MINIMIZAR:

costo total de los inventarios

-

costo de preparacióú+ costo de conservación

(1r.2e)

Observe que se utiliz4 terminología diferente para los costos. En vez de costos de pedido, tenemos costos de preparación, que constan de los costos de mano de obra y materiales asociados con la preparación de la maquinaria para una corrida de producción.

a

Modelosdeterminísticos 519 Si hacemos que C, = costo de preparación por corrida de producción del tamaño del lote, entonces el componente de los costos de preparación es idéntico al componente de los costos de pedido para el modelo clásico. Por tanto, costó de preparación

-

(Co\@lQ\

Si hacemos que C¿' = costo de conservació¡ por unidad por periodo, entonces este componente de costo puede definirse de manera similar al costo de conservación para el modelo de CEP, es decir, el costo de conservación es igual a C. multiplicado por el número promedio de unidades que se conservan en el inventario. Sin embargo, tal como se acaba de señalar, el inventario promedio para el modelo de tamaño de lote difiere del modelo clásico. Antes de poder desarrollar la ecuación del costo de conservación debe calcularse el inventario promedio.

El inventario promedio por ciclo la siguiente manera: inventario promedio

por ciclo

se define, para todos los modelos anteriores, de

: ( :::1ff :.r,:,ili.ff":,'Junou * ( :lT::,,t"1ff1,," )

)

Pero antes de poder calcular eláreaque está debajo de la curva de demanda, debe calcularse M, el nivel máximo del inventario (observe la figura ll-10). Para calcular M, es necesario definir la tasa de producción (reabastecimiento) y la tasa de demanda (uso).

Por tanto, sean

rt

=

número de unidades por periodo que resultan del proceso de producción. (Esta es la tasa a la cual se colocan los artículos en el inventario. Se supone que esta tasa es constante.)

12 :

número de unidades que se demandan por periodo. (Esto equivale a D en el modelo clásico de CEP.)

En un modelo factible, la tasa de producción,

\ )

/,,

debe ser mayor que la tasa de uso,

rz). Si no es así, el departamento de producción no estaría en posibilidades de satisfacer la demanda. Por tanto, inmediatamente después de que se coloca

r,

(es decir,

-

un pedido en producción, el nivel de inventario aumenta a una tasa constante (r, rr), hasta el final del periodo 1,, y en este momento el nivel de inventario es igual a M. Durante el periodo fr, el inventario se reduce a la tasa constante de demanda rr. Puesto que rr es la tasa de producción, Q/ r, es igual a tr, el periodo que se invierte en fabricar el pedido completo. El número de unidades que se demandan durante el

periodo tt es 12

x

/r. Sustituyendo

l, :

Q/rr,

demanda durante

el periodo

tt

: (Qlr')r'

Por tanto,

M:Q_(QIñ,,:Q

-rG)

(I

r.30)

520

Capítulo 11

¡

Modelos de inventarios

Habiendo definido

M,

puede calcularse el inventario promedio por ciclo,

invenrario promedio por ciclo

_(llz')Mt\ + (llz)Mt, tt+t2 lz)lQ

-

QQ,lr,)lt, + (t l2)ÍQ tt+t2

(t l2)l.Q

-

QQ,lr,)l{t, +

(t

-

QQzl rt)ltz

t2)

tt+12

:(i)(, - ,;) Dado que la conducta del inventario es repetitiva, el inventario promedio tomado en un número grande de ciclos sería también (Q/2) (l - rr/ rt). Por tanto, el costo de conservación se expresa como costo de conservación:

(?)(, -7)r,

(l r.3r)

Combinando los factores de costo de conservación y preparación, entonces el mode-

lo de tamaño de lote de producción MTNTNTZAR: Cr-=

es

(Co\@10 + €)(Ql2)|

- (rrlr)l

(r

r.32)

Solucíón del modelo. Dado que sólo hay dos factores de costo implicados en la función de costo total, Cr, puede encontrarse el tamaño del lote, O*, que minimiza C7, utilizando cálculo diferencial. Sugerimos al lector realizar el ejercicio de determinar C7*, f"* y N*. Las ecuaciones finales se expresan como sigue:

C..tl

-

(rrlr,\l

(r (

CcDÍl

- (rrlr,)l - (rrlrr\l

r.33)

l r.34)

( l 1.35)

(r

r.36)

Aplicación delmodelo deltamaño de lote. Para demostrar el uso de este modelo, considérese el siguiente problema: la Hammel Company ha decidido comenzar a fabricar una refacción que antes adquiría de un proveedor externo. La demanda es de 1,000 unidades al mes; el costo de preparación por corrida es $20 y el costo de mantenimiento es $5 por unidad al año. Una vez que una máquina está operando, puede fabricar esas partes arazónde 2,500 unidades por mes. Por lo general, la compañía opera aproximadamente 300 días hábiles al año. A los administradores de la Hammel les gustaría saber cuál

I

Modelos determinísticos 521 es el lote de producción con el que deben trabajar, con qué frecuencia deben realizarse las corridas y el costo total asociado con el tamaño recomendado de la corrida.

De la información que se proporciona, se observa lo siguiente:

Co = Cc :

costo de preparación

:

$20

costo anual de conservación, por unidad

= $5 = 2,5@

rt = tasa de producción.en unidades por mes 12 = D= demanda mensual en unidades : 1,0O0 Por ello, el tamaño óptimo del lote, O*,

(2)(20X1000)( l2)

Q*

Q*

€s

(5)tr

-

-

(r000/2500)l

400 unidades por lote

D (1,000) por 12 con el objeto de expresar la demanda en forma anual. Utilizando la ecuación (11.36), es posible calcular el tiempo que transcurre entre dos corridas sucesivas de producción.

Observe que multiplicamos

,l:300ffi : (300x0.0333) - l0 días Utilizando la ecuación (11.34), el costo total del sistema de inventario, asociado con un tamaño de lote de 400, es

cf: : JTTMFOO :

$r200

Aunque no se solicitó, podríamos calcular el nivel m¿iximo de inventarios, M, de la siguiente manera: la tasa de producciófl¡ r¡¡ €s 2,500 unidades al mes, o 100 unidades diarias (suponiendo un mes de 25 días, es decir, 3N/12 = 25). Con un lote de 400 unidades, se requerirían cuatro días para realizar una corrida de producción. La demanda, 12, es de 1,000 unidades por mes o 40 unidades diarias (1,000,/25 = 40). El nivel de inventario para los primeros cuatro días aumenta entonces 60 unidades diarias (100 producidas - 40 usadas : 60 en inventario). Por ello, el nivel máximo de producción es de 4 x 6O o 240 unidades. Utilizando la ecuación (11.30),

522

Capítulo 11

.

Modelos de inventarios

M-Q-QUrlr') :400 - 400(r000/2s00) :400 - 400(0.4)

: 240 unidades

OTROS CONCEPTOS DE INVENTAR¡O En todo el capítulo hemos centrado Ia atención en los modelos de punto de reorden. Para no concluir que estos son los sistemas de control de inventarios que se utilizan con mayor frecuencia, Ies de inventario

se

repasan en forma breve algunos conceptos de controles generasistemas.

y algunos otros modelos o

El sistema de clasificac¡ón A-B-C Los modelos que se han examinado en todo el capítulo se refieren a un solo artículo. Para diversos negocios y empresas no resulta práctico controlar cada uno de sus artículos utilizando el análisis de CEP; en vez de eso, resulta necesario utilizar diferentes sistemas de inventarios, dependiendo del análisis de valor y volumen de los artículos. Un método para diferenciar artículos de inventario es el sistema de clasificación A-B-C. En este método, se dividen todos los artículos en tres grupos, A, B y C, con base en algún criterio de control tal como costo, valor monetario anual del inventario, frecuencia de uso o algún otro factor. Para propósitos de este análisis utilizaremos el valor monetario como criterio de clasificación. En la figura I I - I I se presenta una gráfica del esquema de clasificación de inventarios A-B-C, en donde el eje x representa el porcentaje de volumen del inventario y el eje / representa el valor porcentual de los artículos. Por lo general, la categoría A incluye el l09o de los artículos de una empresa que comúnmente constituyen aproximadamente el'7}t/o del valor monetario anual total (costo) del inventario. Es necesario utilizar procedimientos detallados, tales como análisis y modelos de CEP para los artículos de esta categoría. Los artículos de la categoría B incluyen el l09o de los artículos del inventario, pero por lo general les corresponde sólo alrededor del 20s/o del valor total del inventario. Los artículos de este grupo justifican un menor control que el que se ejerce sobre los artículos de la categoría A. Para estos artículos resulta aplicable un análisis de CEP, pero Ia frecuencia con la que se adapta y revisa el inventario es inferior a la de la categoría A. Las categorías A y B j untas constituyen cerca del 20ü/o del total de los artículos del inventario y es posible que les corresponda aproximadamente el 90s/o del valor monetario. Por ello, en la categoría C se incluyen cerca del 8090 del total de los artÍculos pero que corresponden sólo al l09o del valor monetario del inventario. No se requiere un análisis de CEP para los artículos de esta categoría. Por lo general el valor de estos artículos es tan poco que el esfuerzo que se requiere para determinar Ia cantidad económica del pedido o para revisarlos con frecuencia no se justifica en términos económicos.

Otros conceptos de

inventario 523

Porcentaje de valor

del inventario 100

90 80 70

60 50

40 30 20

t0

20

40

50 60 70

80

90

100

Porcentaje de artículos del inventario (cantidad) FIGURA 11-1 1. Clasificación del inventario

Sistemas de revisión periód¡ca Muchos de los artículos que caen en la categoría B pueden manejarse a través de un sistema periódico de revisión. Recuerde de la introducción que en un sistema de revisión periódica los inventarios no se revisan en forma continua; más bien, se hacen verificaciones a intervalos predeterminados yfijos detiempo. La figura 1l-12 es una representación gráfica de un sistema de este tipo. Si el nivel del inventario está por debajo del nivel de reorden predeterminado R, al revisar el inventario (a intervalos fijos de tiempo), se coloca un pedido de tamaño Q,, en donde Q,esla diferencia entre el nivel máximo del inventario (§y el nivel existente de la l-ésima revisión [o al final de la (i - l) revisión]. Las principales desventajas del sistema de revisión periódica son que se requiere una cantidad de inventarios de seguridad relativamente alta y los tarnaños de pedido no uniformes pueden conducir a gastos e inconveniencias adicionales.

Planeación de requerimientos de materiales (PRM) Los sistemas de punto de reorden y de revisión periOdica requieren pronósticos de la demanda para cada artículo del inventario. Sin embargo, la demanda de todos los artícu-

524

Capítulo 11

.

Modelos de inventarios

Nivel de

inventar¡o

z

l_-1 I

-----1-

s

-----l

tI

o2

F r.--1

[--

t.--1

Ft¿i

Tiempo

FIGURA 11-12. Sistema de revisión periódica: ciclo fijo de pedidos y cantidad variable

los no es necesariamente independiente y por ello un sistema de punto de reorden para todoslos artículos no eS necesariamente una buena política. Considere, por ejemplo, una operación de manufactura en la que se fabrican lámparas. Se puede calcular la demanda de las partes componentes que conforman el ensamble después que se ha hecho un pronóstico del número de lámparas que se requerirán y después de haber elaborado un plan para el ensamblado de las lámparas. La demanda de las partes componentes se determina en su totalidad a través de las necesidades del ensamble; por tanto, el término demanda dependiente describe en forma más apropiada esta situación. Para presentar un ejemplo, suponga que existe una demanda mensual de 400 lámparas (cada cuatro semanas). Entonces, la demanda semanal de pantallas de lámpara sería 0, 0, 0, 400. Si se utilizara una demanda promedio de 100 unidades semanales como demanda pronosticada independiente y se empleara uno de los modelos de punto de reorden para establecer el punto de reorden y la cantidad del pedido, es probable que existiera un inventario excesivo durante tres semanas cada mes y que hubiera muy poco durante la semana final. Es posible utilizar un sistema de planeación de requerimientos de materiales (PRM) para resolver este problema. La PRM comienzapor pronosticar cuál es el artículo final de la producción y por elaborar ün esquema msestro de producción. Este esquema o diagrama maestro se explota o desglosa para que refleje las partes componentes. Se hace esto utilizando la carta de materiqles, en la cual se describen las partes componentes que conforman el producto final. El resultado de la explosión de la carta de materiales es una lista de requerimientos brutos,listados por artículo y sus respectivas cantidades. Después, a través de la PRM, se comparan los requerimientos brutos con el inventario

Resumen 525 existente de cada componente

y

se determinan los requerimientos netos. Además, en

los sistemas de PRM se identifica cudndo se necesitan los requerimientos netos.

'

A partir

de la experiencia del pasado reciente de varias empresas, se ha

demostrado que

un sistema de PRM da como resultado menos agotamientos y menores inventarios que los modelos de CEP para artículos con demanda independiente. Sin embargo, los beneficios de la PRM no carecen de sus propios costos. Es necesario describir con precisión los pronósticos, los esquemas maestros de producción, las cartas de materiales y las actividades de reabastecimiento de inventarios. Resulta indispensable un sistema computadorizado debido debido a que se requieren grandes bases de datos; ocurren con frecuencia (a veces diaria) cambios considerables en el mantenimiento de los datos. J. Orlicky realiza una descripción detallada de la estructura y utilización de la

PRM.3

RESUMEN En este capítulo se intentó desarrollar modelos básicos que puedan utilizarse en la planea-

ción y control de los inventarios.

Al igual que en el caso de la teoría de colas, el modelo de inventario que se requiere para un problema específico depende tanto del problema como de su medio ambiente. Por ejemplo, el modelo clásico de cantidad económica de pedido (el modelo CEP) es aplicable a un establecimiento de ventas al menudeo en el que la demanda es constante, el tiempo de adelanto es cero, no se requiere inventario de seguridad y el reabastecimiento es instantáneo.

El problema del tamaño de lote de producción

es idéntico al problema

de las ventas, excepto que el reabastecimiento ocurre con el transcurso del tiempo, en vez de ser instantáneo. En el capítulo se elaboraron diversos modelos, incluyendo aquellos en los que el tiempo de adelanto no era igual a cero, en los que se permitían descuentos y en los que se permitían pedidos retroactivos. En cada uno de esos casos, se desarrollaron soluciones cerradas que permiten el cálculo directo de Q*, R *, ¡/*, t"* Y Cr* . Además, se presentó el análisis de sensibilidad para el modelo básico de CEP con tiempos de adelanto constantes. Es obvio que estos modelos sólo son soluciones aproximadas si las consideraciones en que se basan no reflejan el medio ambiente del problema que se analiza. Sin embargo,

con mucha frecuencia los valores aproximados son muy diferentes a los óptimos. De este capítulo, debe resultar evidente que los modelos de inventarios son más complejos que los modelos de sistemas lineales y que en la mayoría de ellos se hacen varias consideraciones básicas. Esto no reduce la credibilidad de los modelos; más bien, permite reforzar el hecho de que los modelos deben utilizarse como auxiliares para la toma de decisión y no como un reemplazo del proceso. Los modelos de inventario que se incluyeron en este capítulo identifican las diferentes clases de modelos, pero esta cobertura es sólo a nivel introductorio. En muchas de las áreas de los modelos se ha llevado a cabo una gran cantidad de investigación. Sin embargo, este nivel de presentación está fuera del alcance de este texto. 3

J. Orlicky, Material Requirements Planning (New York: McGraw-Hill),

1974.

526

Capitulo 11

.

Modelos de inventarios

GLOSARIO agotamiento (carencia de existencias): condición en la que la demanda excede la cantidad disponi-

ble de inventario. costos de adquisición: costos asociados con la compra real de un artículo para leabastecer los inventarios. costos de agotamiento: costo asociado con un agotamiento. Cuando se permiten los pedidos retroactivos, los costos son los gastos asociados con actividades de oficina y administrativas. costos de conservacién (mantenimiento): son aquellos costos asociados con la conservación de un nivel determinado de inventarios durante un periodo especificado. costo de pedidos: costo asociado con la actividad de reabastecimiento de inventario. Este costo está dado primordialmente por gastos administrativos y de oficina y por los costos asociados con las acciones y actividades que se llevan a cabo desde el momento en que se emite una solicitud de compra hasta que se recibe el pedido, se coloca en el inventario y se paga. costos de preparacién: son primordialmente costos de mano de obra y de materiales asociados con la preparación de maquinaria para fabricar artÍculos. cosfos de producción: costo asociado con la fabricación de los inventarios para reabastecimiento. modelo clásico de CEP: se refiere al modelo básico de inventarios en el que la demanda es constante, el tiempo de adelanto es cero, el reabastecimiento del inventario es instantáneo y no se permiten agotamientos. La variable de decisión para el modelo es la cantidad del pedido que iguala los costos de mantenimientos, C6,, con los costos de pedido, Co. modelos comerciales: aquellos modelos en los que el inventario se adquiere de proveedores externos a la empresa. modelo de producción: son los que se caracterizan porque la empresa fabrica en forma interna los inventarios para reabastecimiento. modelo del tamaño del lote de producción: modelo básico de CEP en el que el abastecimiento de los inventarios ocurre con el transcurso del tiempo, en vez de hacerlo en forma instantánea. pedidos retroactivos: demanda que se demora debido a agotamientos de inventarios. La demanda se acumula y se satisface cuando se reciben (o fabrican) los inventarios de reabastecimiento. planeación de requerimientos de materiales (PRM): sistema de control de inventarios que opera a través de las siguientes actividades:.pronósticos de la demanda de artículos finales, elaboración de un esquema maestro de producción, explosión del esquema utilizando una carta de materiales y, por último, determinación de los requerimientos netos comparando los requerimientos brutos con los niveles existentes de inventario. punto de reorden: nivel en el cual se emiten los pedidos para reabastecimientos en un sistema de inventarios de punto de reorden. sistema de clasificación A-B-C: método de clasificación para separar artículos de inventarios en tres grupos, A, B y C, con base en algún criterio de control tal como costo, valor anual monetario de los inventarios, frecuencia de uso o algún otro factor. sistema de punto de orden: sistema de inventario en el que se mantiene un registro perpetuo de los mismos. Se emiten órdenes de reabastecimiento cuando el inventario desciende un nivel predeterminado al que se denomina punto de reorden, sistem¡ de revisión periédica: sistema de inventario en el que los inventarios se revisan a intervalos fijos de tiempo. La cantidad que se ordena bajo este sistema es Ia diferencia entre el inventario real y el deseado. tiempo de adelanto: tiempo que transcurre entre la iniciación de las actividades de reabastecimiento (o de producción) y la recepción de los inventarios.

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Preguntas de

repaso 527

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PREGUNTAS DE REPASO

1. 2. 3. 4.

Explique la diferencia ent¡e modelos de inventarios determinísticos y estocásficos. Identifique las funciones básicas de los inventarios. Explique la dilerencia que existe entre un modelo comercial y uno de producción. Defina cada uno de los siguientes términos. a. tiempo de adeianto

b. agotamiento c. pedidos retroactivos

d. estructura de sistema e. horizonte de tiempo del modelo

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. f3. 14. 15. 16.

¿Cuáles son los factores de costo que se consideran en Ia mayoría de los modelos de inventarios? Explique cuáles son las compensaciones de costos que se hacen entre estos factores. ¿Cuáles son las consideraciones básicas en las que se basa el modelo clásico de CEP? Desglose la relación de intercambios o compensaciones entre inventarios y costos para el modelo clásico de CEP. ¿Cómo se determina R*, punto óptimo de reorden, para el modelo clásico de CEP?

Explique la relación que existe entre punto de reorden, tiempo de adelanto y demanda constante. Esboce el "esquema de inventarios" para el modelo básico en el que el tiempo de adelanto es mayor que cero, tL ) 0, y el tiempo del ciclo, /", es menor que el tiempo de adelanto, es decir, f. > /c. Explique el modelo para esta situación.. ¿Cómo se maneja la situación de demanda variable para el caso que se presentó en la pregunta l0? Explique cuál es la diferencia clave entre el análisis de sensibilidad que se utilizó para inventarios y el que se usa para modelos lineales. ¿Desde el punto de vista práctico, cuáles son los beneficios del análisis de sensibilidad? Explique las diferencias que existen entre el modelo clásico de CEP y el modelo de CEP con agotamientos. Utilice diagramas en su explicación. ¿En qué difiere el modelo del tamaño de lote de producción del modelo clásico de CEP? Emplee diagramas en su explicación. Explique el sistema de clasificación A-B-C. Utilice un diagrama en su explicación.

Defina el término planeación de requerimientos de moterisles. Explique la diferencia que existe en el sistema PRM en el manejo de la demanda independiente y dependiente.

528

Capitulo

1l .

lVodelos de inventarios

PROPOSICIONES FALSO/VERDADERO

l. ) 3. 4.

5. 6.

El análisis de inventarios es semejante al análisis de colas en que un modelo simple no

es

aplicable para todos los problemas de inventario. Un modelo de inventarios con demanda determinística significa que la demanda se conoce con certidumbre y es constante. Un modelo que toma en consideración los agotamientos, al surtir-en una fecha posterior los pedidos atrasados, utiliza lo que se conoce como carencia de existencias. El modelo clásico de la cantidad económica de pedido (CEP) supone que no se requieren existencias de seguridad y que no se permiten agotamientos (carencia de existencias). El número óptimo de pedidos por periodo (para el modelo clásico de CEP) es igual a la cantidad óptima de pedido, Q*, dividida entre la demanda por periodo.

El siguiente modelo de punto de reorden

Rt es aplicable cuando

lr >

t(., pero

:

tt.D

- ft,lt,|Q*

no cuando

tt 1

t,..

E.

Existen disponibles modelos de inventarios que permiten evaluar el efecto de errores o variaciones en los parámetros y/o variables, tales como D, Coy Cs, de un modelo básico. Al utilizar estos modelos, no sería raro encontrar que un error del 5090 en la estimación de la demanda, D, diera como resultado un 5090 de error en el tamaño del pedido, Q. Los únicos factores que deben considerarse en el modelo básico con descuento en el precio

9.

Se requiere sólo un

1.

son

10.

P d.r.u"nro' no d",.u"nro Y tipo de modelo de agotamiento de existencias para manejar todos los

Cr, Cc, Q, O d","u"n,o, P

tipos de agotamientos. Este modelo se denomina "modelo de CEP con agotamientos" (se permiten 1os pedidos retroactivos). Para el modelo de tamaño de lote de producción, son aplicables todas las consideraciones asociadas con el modelo clásico de CEP (con la única excepción del reabastecimiento instantáneo de los inventarios) y los niveles máximos de inventarios para los dos modelos son iguales.

PROBLEMAS 1.

La Heath Manufacturing Company adquiere de un proveedor externo una refacción número se utiliza en la producción de equipo estereofónico. La Heath espera fabricar aproximadamente 100,000 sistemas que utilizan esa parte durante el año. La demanda es relativamente constante durante todo el año. El costo asociado con los pedidos es de $25 por cada uno. La política de costo de inventario que la Heath ha utilizado tradicionalmente es cargar el 2090 del costo de compra como costo anual de conservación de inventarios para cualquier artículo. El precio que paga la Heath por cada una de las partes número 644 es $6.25.

64{, que

a. Determine

la cantidad óptima de pedido que debe utilizar la Heath con el objeto de minimizar sus costos. b. ¿Cuál es el costo total asociadó con la cantidad óptima de pedido? c. ¿Cuántos pedidos haría la Heath en el año? d.'¿Qué consideraciones ha hecho usted para resolver las partes (a), (b) V (c)

)

La compañía zapateta Delta compra grandes cantidades de piel para fabricar sus zapatos. En la actualidad, la compañía adquiere todas sus pieles en la Reggins Company, puesto que esta compañía siempre le ha atendido con entrega inmediata de pedidos de piel normal. Debido a que la Delta ha estado en posibilidades de obtener entrega inmediata de sus pedidos,

Problemas 529 la compañía no ha utili2ado ninguna política específica de pedidos. El nuevo gerente de planta de la Delta opina que se podrían lograr ahorros si se utilizara una política apropiada de pedidos. Se ha determinado que el costo asociado con los pedidos es aproximadamente $20 por cada uno. El costo de conservar una unidad de piel (aproximadamente 20 pies cuadrados) en inventario es de $40 por año. La Delta ha pronosticado que durante el año se necesitarán aproximadamente 6,400 unidades de piel. La demanda de piel es bastante constante durante todo el año. Al gerente de la planta le gustaría determinar lo siguiente. a. La cantidad óptima de pedido.

b. El nivel promedio (esperado) de inventario. c. El costo total asociado con la política calculada en la parte (a). d. El número de días entre pedidos para la polÍtica de pedidos determinada e.

en el paso (a).

Suponga que la compañía opera 360 días al año. El número óptimo de pedidos por año.

3.

Grafique el nivel de inventarios para el problema 2.

4.

El uso de cierto producto

es constante y de 100 artículos por mes; el costo por pedido es de $5 cada uno, y el costo de mantenimiento de inventarios es de $0.40 por mes por unidad. Determine la cantidad económica de pedido y su costo mínimo asociado. ¿Cuántas semanas

transcurren entre pedidos consecutivos? (Suponga que un mes es igual a cuatro semanas.) 5.

t6.

Calcule la cantidad óptima de pedido para el problema 4 considerando que el consumo es de 8,000 unidades por mes, el costo de pedido es de $15 cada uno y el costo de mantenimiento es de $0.30 por semana. Suponga que la Heath Company (problema

a. b.

l)

opera 50 semanas al año y 6 días a la semana.

Calcule el punto de reorden asociado con la política óptima de pedidos, suponiendo que el tiempo de adelanto de un pedido es 4 días. Calcule el punto de reorden si el tiempo de adelanto es de 8 días; lo mismo si es de l0 días.

1.

Calcule el punto de reorden para la compañía zapatera Delta (problema 2) si el tiempo de adelanto es 9.0 días.

8.

La Heath Company (problemas I y 6) ha decidido ordenar cada 2 semanas con una cantidad de pedido de 4,000 unidades. Calcule el castigo en costos en el que incurrirá la empresa

al utilizar esta política. 9.

Debido a una reorganización interna, a la compañía zapatera Delta le gustarÍa considerar la colocación de todos sus pedidos cada 10 dÍas. Determine el impacto que tendría la política que se propone.

10.

La Home Mart Inc., una distribuidora grande de muebles, adquiere artículos en grandes cantidades. En la actualidad, la compañía está examinando la política de compras paracada uno de los artículos que maneja. El costo de ordenar y manejar un artículo específico es de $40 por pedido. El artículo le cuesta al distribuidor §240. El costo anual en que incurre la empresa por artículos que se encuentran en el inventario es de 250lo del precio de compra. Los registros históricos muestran que la demanda anual es en esencia constante en 240 unidades.

a. Calcule la cantidad óptima de pedido que debe utilizar la Home Mart. b. Calcule cuál es la cantidad óptima de pedidos si a la compañía sólo se le permite adquirir el artículo en múltiplos de l0 unidades. 11.

La compañía XYZ es una tienda grande de departamentos y de descuento. Debido a que la compañía ordena grandes cantidades de algunos artículos, con frecuencia puede obtener

s30

Capítulo 11

.

lVodelos de inventarios

descuentos. En la actualidad la compañía enfrenta la siguiente situación para uno de sus artículos de menor volumen: la dernanda anual es de 400 unidades; el costo por pedido es de $15; el costo anual de mantener los inventarios es 2070 del precio de compra. Si ia compañía ordena en cantidades de 50 o mayores se le otorga un descuento del 4Vo en el precio. El precio sin descuento del artículo es de $50. ¿Debe aprovechar la compaiíaXYZ el descuento? Si es así, ¿qué cantidad debe pedir? (Los costos de conservación se mantienen constantes en $10 por artículo por año, sin importar los descuentos que se obtengan.)

12.

La Deering Company enfrenta la siguiente situación: la demanda de un artículo es de 1,200 unidades por año; el costo de pedido es áe $5; el costo anual de conservación de inventarios por unidad es el 1690 del precio de compra. El precio normal sin descuento es de $2.50. El proveedor al cual la Deering le compra el artículo le otorga un descuento del 590 cuando adquiere 100 artículos, y del l09o cuando compra 300. ¿Cuál descuento, si es que lo hay, debe aprovechar la Deering? (El costo de conservación se mantiene constante en $0.40 por unidad por año, sin importar los descuentos que se obtengan.)

13.

La Beta Corporation utiliza cajas de almacenamiento y envÍo para empacar sus productos especializados. La compañía adquiere Ias cajas con un proveedor externo. El plan de descuen-

to del proveedor Cantidad del

es:

pedido

l-599 199 t200-t799 1800 ¡nás 600-1

Precio por caja $12.00 11.50 I 1.10 I 1.00

ha determinado que el costo por pedido es $16. La política de inventarios para la empresa cargar un costo de conservación del 2090 del precio de compra para el inventario promedio que se mantiene durante el año. La Beta ha pronosticado que necesitará en el año 2,200 cajas. ¿Qué cantidad de pedido debe utilizar la Beta para minimizar sus costos totales? (El costo de conservación se mantiene constante sin importar qué descuentos se obtengan.) Se

es

14.

Suponga que para la Heath Manufacturing Company (problema l) es de $0.25 por unidad por año.

se

permiten agotamientos

y que su costo

a. Determine la cantidad óptima de pedido. b. ¿Cuál es el nivel máximo de inventario asociado con la política de inventario óptimo? ¿Cuál es el tamaño máximo del pedido retroactivo? c. Calcule el costo total asociado con la política óptima.

d. ¿Cuál es el tiempo entre órdenes para la cantidad de pedido encontrada en la parte e. icuántos pedidos se requerirán de acuerdo con la política de inventario óptimo? 15.

16.

(a)?

El gerente de planta de la Delta Company (problema 2) considera que la cornpañía puede reducir sus costos significativamente mediante el empleo de una política de pedidos retroactivos, la cual permitiría la reducción de inventarios. Se ha estimado que el costo de agotamiento por unidad por año será de aproximadamente $2.00. Calcule la cantidad de pedido óptima, Q*, el costo total, C !, y el número de pedidos por año, ly'*, así como el tiempo entre pedidos, f |. ¿Como se compara estos factores con la política de "no pedidos retroactivos"? ¿Sería adecuado para la compañía emplear una política de pedidos retroactivos dado que el estimado del costo de pedido retroactivo sea correcto? ¿Cuál sería el tamaño m¿iximo de pedido retroactivo si se adopta esta política? La D & H Manufa'cturing Company es una empresa especializada que fabrica motores para puertas de cocheras y para sistemas de apertura tipo persiana. A partir de datos anteriores,

Problemas 531 la compañía ha pronosticado que habrá una demanda de 20,000 motores para el año siguiente. Los datos anteriores muestran que esta demanda es razonablemente constante en todo el año. La compañía opera 250 días al año y puede fabricar 160 motores diarios. El costo de preparación de la producción asociado con cada corrida es de $150. El costo anual de mantenimiento de cualquier motor que se fabrica y que se almacena en los inventarios es de $ 16.

a. Calcule el tamaño de lote óptimo de producción que la D & H debe utilizar. b. ¿Cuál es el costo asociado con el plan de producción de la parte (a)? Identifique las partes componentes.

c. 17.

¿Cuál es el tiempo que transcurre (en días) entre corridas de producción?

La Acoustic Sound Company fabrica y vende sistemas y partes de sonido estereofónico. La compañía es una orgahización multinacional que tiene oficinas y expendios en todo el mundo. La compañÍa ha proyectado que se requerirán 60,000 amplificadores A1-X mensuales durante el próximo año. Debido a restricciones de construcción y a limitaciones de otros recursos, la compañía ha decidido adquirir la mitad de los amplificadores con un proveedor externo. (El proveedor tiene un si§tema de amplificación equivalente al Al-X.) El proveedor puede entregar los amplificadores el mismo día en que se piden. A la compañÍa le cuesta $30.00 producir el A1-X; el precio del proveedor es $34.80. El costo de pedido por la adquisición externa de las unidades es de $35.00 por pedido. El costo anual de conservar los inventarios es l59o del precio de producción o compra. El costo de preparación asociado con la fabricación del Al-X es $50.00. La Acoustic Sound tiene capacidad de producción para fabricar 150,000 amplificadores A1-X por mes. a. Calcule la cantidad óptima de pedido que debe adquirirse con el proveedor externo. b. Determine el tamaño óptimo de lote de producción interno. c. ¿',Cuál es el costo total de los inventarios para el Al-X?

d. Calcule el número óptimo de pedidos por mes. e. Calcule el número óptimo de corridas de producción por mes' 18.

La Ethel Company fabrica un sistema de engranes que se utiliza en equipo pesado de construcción. El sistema de engranes se fabrica en una línea de ensamble continua que opera a una velocidad de 120 unidacles por dia. En un torno especial se fabrica un subensamble que se utiliza en el sistema de engranes. La operación del torno puede ser a una velocidad de 400 subensambles por día. Debido a que la operación del torno puede ser más veloz que la de la línea de ensamble, ahí se manejan varias operaciones, incluyendo la producción de las partes del sistema de engranes. Cuando se están fabricando las partes en el torno, se hacen las entregas en forma directa a la línea de ensamble; cuando no es así, la Iínea de ensamble

obtiene las partes del inventario" Dada la siguiente información: Costos de mantenimiento de inventario por pieza Costo de preparación

=

:

$2 al ano

$110

Tiempo de adelanto : 10 días de trabajo Días hábiles por año : 250

a. Determine la cantidad económica b. c. 19.

de producción (de pedido) para la operación del torno que la línea de ensamble requeriría. Determine el punto de reorden. Suponga que aumenta (disminuye) la velocidad de producción de la línea de ensamble. ¿Alteraría esto las respuestas de la parte (a)? ¿De qué manera?

Una compañía que da servicio de automóviles de lujo utiliza gasolinaarazón de 11,900 $ l I 2 por galón con un costo de preparación (de entrega) de $500. El costo de conservación de los inventarios es de $0.02 por galón al mes.

galones por mes. La gasolina cuesta

532

Capítulo

ll

o Modelos de inventarios no se permiten agotamientos, determine la cantidad y los tiempos (la frecuencia) de los pedidos. b. Suponiendo que los agotamientos cuestan $0.45 por galón por mes, determine la cantidad y los tiempos de los pedidos. c. Suponiendo que el costo de la gasolina se reduce a $ I .02 por galón si se adquieren cuando menos 65,000 galones, determine la cantidad y los tiempos de los pedidos. (Suponga que no se permiten agotamientos.) d. Suponga que el costo de la gasolina se basa en la siguiente tabla: a. Suponiendo que

0-2000

galones

$1.12lgalón

2001-4000galones S1.O8/galón 4001-6000galones $1.05/galón 6001 y

y no

20.

más

$1.02lgalón

se permiten agotamientos. Dete¡mine

la cantidad y los tiempos de los pedidos.

La compañía importadora XYZ importa aceitunas, al igual que otros artículos que se utilizan en restaurantes de especialidades. La compañía ha determinado que los costos por pedido para una orden de aceitunas extra finas es de $90 y que los costos de mantenimiento son de 40Vo del valor promedio del inventario. LaXYZ adquiere aproximadamente $1,350,000 de aceitunas al año. En la actualidad, la compañía importa las aceitunas con base en una CEP óptima, pero se le ha ofrecido la alternativa de adquirir las aceitunas con un 5090 de descuento si las compras se hacen exactamente seis veces al año. ¿Debe la compañía aceptar el trato? Explique su respuesta.

Y

744

Apéndices solución redondeada: xt : 1, xz : 2, Z : 5 o xt b. solución óptima de PE:x, : 2, xz: l, Z :7

9-4.

se envían 40 de Douglas a Nueva se envían 25 de Rome a Atlanta se envían 35 de Rome a Chicago se envían 5 dd Rome a

Nueva York

a Los Angeles

Athens

-

*

Columbia

x,

: l, Z :

7

Yoik

se envían 15 de Rome

9-6. Atlanta

2,

--

Chattanooga

--

Birmingham

*

Atlanta

es necesario consiste en expresar las restricciones de disponibilidad (ofertas) como restricciones de menor o igual que, en vez de igualdades estrictas.

9-8. El cambio que

9-10. comité: Cooper, Rainey, Rubin y Earey 9-12. enviar 200 de Charlotte a Richmond enviar 250 de High Point a Atlanta enviar 50 de High Point a Creensboro 9-14. se utiliza se utiliza se utiliza se utiliza 9-16. x,

:

2,

el suministro I para el suministro I para el suministro 2 para el suministro 2 para

xz: l, Z :

la demanda la demanda la demanda la demanda

2 3

I 4

5

9-18. Joe Jock debe tomar educación física 101, química 110, dibujo l12 e inglés

CAPíTULO

102

1O

l0-2. la ruta más corta: A-C-F-G l0-4. la ruta más largal.l-2-6-7 ,:

13 unidades

l0-7. soluciones en millones:

Seattle I I Denver 3 3 Chicago 2 3 NuevaYork 4 3

3 3 1

3

10-9. ropa, libros y artículos personales 10-12. la política óptima es reemplazar los motores en los años 2 o 3 y después conservarlos hasta el año 5, lo cual da un costo mensual de $1425.

CAPíTULO

11

ll-2. a. 80 b.

40

c. §3200 d. 4.5 días e. 80

tl-4.

§

2

\ APéndice

D

o

Respuestas a problemas seleccionados

745

ll-6. a. l333funidades b.

666 3, 1333

l

11-8. $625

l1-10. a.

b.

17.888

1.174

11-12. aprovechar el descuento del l09o

l1-14. a. 4898.98 b. 816.5, 4082.48

c. $1020.62 d. 17.89 días e. 20.41

ll-16. a. b.

866.025 3464.10 de PreParación 3464. i 0 de inventario en Proceso

@ñm c.

10.83

ll-18. a.1816.59 b. r200 c. sÍ, se utilizaría un modelo

de CEP con demanda incierta

CAPíTULO 12 t2-2. a. Alternativa

2

,

Aumento

tosa -$5,000 $7,000

de la

t2-4.

a.

Construir la casa para venderla después (41)

Dos modificaciones de casas (A2) c. A, (dos modificaciones de casas) d. A, (dos modificaciones de casas)

Sin cambio

s10,000 7,000

que el costo es un pago negativo. Por tanto, la alternativa elegida a través del maximín de los pagos debe ser igual que la alternativa que se elija a través del minimax de los costos. d. Un optimista escogería la alternativa que produzca el mínimo costo esperado . con base en las expectativas optimistas de costo con re§pectoa cada alternativa. e. Los costos de oportunidad para una tabla de co§to se caleulan restando el costo de cada alternativa del menor costo en los mismos estados de la naturaleza, en tanto que las tablas de pagos se calculan restando el pago de cada alternativa del mayor pago en los mismos estados de la naturaleza. f. Para una tabla de costos, la estrategia a elegir es la que tenga el menor costo promedio; para una tabla de pagos se elige la estrategia con el pago más elevado.

t2-6. c. Puede considerarse

l2-8. b. empezar en Cowee Road

c. empczar en Cowee Road