Cap 1, Secc 1.4 Continuidad y Limites Laterales

1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales ■ Determinar la continuidad en un punto y en un intervalo abierto. ■ Determinar límites laterales o unilaterales y continuidad en un intervalo cerrado. ■ Usar propiedades de continuidad. ■ Comprender y aplicar el teorema del valor intermedio.

EXPLORACIÓN De modo informal, se podría decir que una función es continua en un intervalo abierto si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápi del papel. Utiliar una !erramienta de graficación para representar  las siguientes funciones en el intervalo indicado. De las gráficas, "qu# funciones se dice que son continuas en dic!o intervalo$ "%e puede confiar en los resultados obtenidos gráficamente$ &'plicar  el raonamiento. Función 2 3, 3 ) a ¿  y = x + 1 (−3,3

b ¿ y =

c ¿ y =

1

 x −2

Intervalo

(−3, 3 )

sen sen x (− π , π )  x 2

 x − 4 d ¿ y = (−3, 3)  x + 2

{

e ¿ y = 2 x −4, x ≤ 0 (−3, 3)  x + 1, x > 0

Continuidad en un punto y en e n un intervalo aierto &n matemáticas, el t#rmino continuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano. Decir, de manera informal, que una función f es continua en  x =c

significa que no !ay interrupción de la

gráfica de f en c . &s decir, la gráfica no tiene saltos o !uecos en c . &n la figura (.)* se identifican tres valores valores de  x en los que la gráfica gráfica de f no es continua . &n los demás puntos del intervalo + a, b, la gráfica de f no sufre interrupciones y es !ontinua.

&n la figura (.)*, parece que la continuidad continuidad en  x =c

puede destruirse mediante cualquiera de las

siguientes condiciones.

1. -a función no está definida en  x =c . ". o e'iste el límite de f + x   x  en  x =c . #. &l límite de f  ( ( x )  en  x =c e'iste, pero no es igual a f  ( ( c ) . %i no se se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función f es !ontinua en c , como lo se/ala la importante definición que sigue.

$E%INICIÓN $E CON&IN'I$A$ Una func funció ión n f es !ont Contin Continuid uidad ad en un punto: punto: Una !ontin inua ua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes0

1. f  ( ( c )  está definida. lim f  ( x )  e'iste ".  x→ c #.

lim f  ( ( x ) =f  ( c )  x→ c

Continuidad en un intervalo abierto: Una función es !ontinua en un intervalo aierto (a) b* si es

continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los n1meros reales (−∞ , ∞ )  es !ontinua en todas partes . Considerar un intervalo abierto  I  que contiene un n1mero real c . %i una función función f está definida en  I  +e'cepto, posiblemente, en c  y no es continua en c , se dice que f tiene una

dis!ontinuidad en c . -as discontinuidades se clasifican en dos categorías0 evitales o removiles e inevitales o no una disco discont ntin inui uida dad d en c es evit evitab able le o removi removibl ble e si f se puede !acer  removiles. %e dice que una  ( c ) .   2or ejemplo, las funciones en las continua continua definiendo definiendo +o redefiniendo redefiniendo apropiadamente apropiadamente f  (

&n la figura (.)*, parece que la continuidad continuidad en  x =c

puede destruirse mediante cualquiera de las

siguientes condiciones.

1. -a función no está definida en  x =c . ". o e'iste el límite de f + x   x  en  x =c . #. &l límite de f  ( ( x )  en  x =c e'iste, pero no es igual a f  ( ( c ) . %i no se se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función f es !ontinua en c , como lo se/ala la importante definición que sigue.

$E%INICIÓN $E CON&IN'I$A$ Una func funció ión n f es !ont Contin Continuid uidad ad en un punto: punto: Una !ontin inua ua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes0

1. f  ( ( c )  está definida. lim f  ( x )  e'iste ".  x→ c #.

lim f  ( ( x ) =f  ( c )  x→ c

Continuidad en un intervalo abierto: Una función es !ontinua en un intervalo aierto (a) b* si es

continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los n1meros reales (−∞ , ∞ )  es !ontinua en todas partes . Considerar un intervalo abierto  I  que contiene un n1mero real c . %i una función función f está definida en  I  +e'cepto, posiblemente, en c  y no es continua en c , se dice que f tiene una

dis!ontinuidad en c . -as discontinuidades se clasifican en dos categorías0 evitales o removiles e inevitales o no una disco discont ntin inui uida dad d en c es evit evitab able le o removi removibl ble e si f se puede !acer  removiles. %e dice que una  ( c ) .   2or ejemplo, las funciones en las continua continua definiendo definiendo +o redefiniendo redefiniendo apropiadamente apropiadamente f  (

figuras (.)3a y c presentan discontinuidades evitables o removibles en c , mientras que la de la figura l.)3b presenta una discontinuidad inevitable o no removible en c .

%I+'RA 1.", EJEMPLO 1

Continuidad de una función

Analizar la continuidad de cada función. 2

{

 x −1  x + 1, x ≤ 0 a ¿ f  ( ( x )=  b ¿ g ( x  x )= c ¿ h ( x )= 2 d ¿ y = sen sen x  x  x −1  x + 1, x > 0 1

-olu!in a* &l dominio de f lo constituyen todos los n1meros reales distintos de cero. 4 partir del teorema (.5, se puede concluir que f es continua en todos los valores de  x de su dominio. &n  x =0 , f tiene una discontinuidad inevitable, como se muestra en la figura (.)6 a. &n otras palabras, no !ay modo de

 ( 0 )  para !acer que la nueva función sea continua en  x =0 . definir f  ( b* &l dominio de g lo constituyen todos los n1meros reales e'cepto

 x =1 . 4plicando 4plicando el teorema teorema

(.5, se puede concluir que g es continua en todos los valores de  x de su dominio. &n  x =1 , la función presenta una discontinuidad evitable, como se muestra en la figura (.)6 b. %i %i

g ( 1 ) se

define como ), la 7nueva8 función es continua para todos los n1meros reales. c * &l domi domini nio o de h está está form formad ado o por por todo todos s los los n1mer n1meros os real reales. es. -a func funció ión n h es continua en lim h ( x )=1 (−∞ , 0 )   y en (0, ∞ ) ,   y puest puesto o que  x→ 0 , h es continua en toda la recta real, como

ilustra la figura (.)6 c .

d * &l dominio de y está conformado por todos los n1meros reales. Del teorema (.3, se puede concluir que la función es continua en todo su dominio (−∞, ∞ ) ,  como se muestra en la figura

(.)6d .

%I+'RA 1."/ A0'$A $E E-&'$IO  4lgunas veces se llama a la función del ejemplo ( ª   7discontinua8. 2ero se !a encontrado que esta terminología es confusa. &s preferible decir que la función tiene una discontinuidad en

 x =0 , es

decir, que f  es discontinua.

Límites laterales y !ontinuidad en un intervalo !errado 2ara comprender la noción de continuidad en un intervalo cerrado, es necesario estudiar antes un tipo diferente de límite, llamado límite lateral. 2or ejemplo, el límite por la dere!a  significa que  x  se apro'ima a c por valores superiores a c +ver la figura (.)9a. &ste límite se denota como +¿

 x → c f  ( x )= L lim ¿

¿

-ímite por la derec!a.

Del mismo modo, el límite por la i23uierda significa que x se apro'ima a c por valores inferiores a c  +ver la figura (.)9b. &ste límite se denota como −¿

 x → c f  ( x )= L lim ¿

-ímite por la iquierda.

¿

-os límites laterales son 1tiles al calcular límites de funciones que contienen radicales. 2or ejemplo, si n es un entero dado +¿  n

√  x =0

 x → 0

lim ¿ ¿

EJEMPLO 2 'n límite lateral

&ncontrar el límite de

f  ( x )=√ 4 − x

2

cuando x se apro'ima a :) por la derec!a.

-olu!in Como se muestra en la figura (.);, el límite cuando  x se apro'ima a :) por la derec!a es +¿ 2  x → −2 √ 4− x = 0. lim ¿ ¿

-os límites laterales pueden usarse para investigar el comportamiento de las un!iones es!aln. Un tipo com1n de función escalón es la un!in parte entera o mayor entero

⟦ x ⟧

, que se define

como

⟦ x ⟧ =¿

mayor entero n tal que n ≤ x

2or ejemplo,

⟦ 2.5 ⟧ =2

y

ediante un raonamiento similar, se puede concluir que la función parte entera o mayor entero tiene una discontinuidad en cualquier entero n. Cuando el límite por la iquierda no es igual al límite por la derec!a, el límite +bilateral no existe. &l siguiente teorema lo e'plica mejor. %u demostración se obtiene directamente de la definición de límite lateral.

&EORE5A 1.16 EXI-&ENCIA $E 'N L75I&E %i f es una función y c y L son n1meros reales, el límite de f + x  cuando x se apro'ima a c es L si y sólo si −¿

+¿

 x → c f  ( x )= L lim ¿ ¿

 x → c f  ( x )= L

y

lim ¿

¿

&l concepto de límite lateral permite e'tender la definición de continuidad a los intervalos cerrados. ?ásicamente, se dice que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el interior  del intervalo y posee continuidad lateral en los e'tremos. &sto se enuncia de manera formal como sigue.

$E%INICIÓN $E CON&IN'I$A$ EN 'N IN&ER8ALO CERRA$O Una función f es !ontinua en un intervalo !errado 9a) b: si es continua en el intervalo abierto + a, b y +¿

−¿

 x → a f  ( x )= f  ( a) lim ¿ ¿

 x → b f  ( x )= f  ( b )

y

lim ¿ ¿

-a función f es !ontinua por la dere!a en a y !ontinua por la i23uierda en b +ver la figura (.5(.

%e pueden establecer definiciones análogas para incluir la continuidad en intervalos con la forma + a, b@ y Aa, b, que no son abiertos ni cerrados o infinitos. 2or ejemplo, la función f  ( x )=√  x

es continua en el intervalo infinito

¿ ,  y la función

g ( x ) =√ 2 − x

es continua en el intervalo infinito

¿.

EJEMPLO 4 Continuidad en un intervalo !errado

 4naliar la continuidad de f  ( x )=√ 1− x

2

.

-olu!in &l dominio de f es el intervalo cerrado A:(, (@. &n todos los puntos del intervalo abierto +:(, (, la continuidad de f obedece a los teoremas (.B y (.*. 4demás, dado que +¿

 x → −1

2 √ 1− x =0 = f (−1) lim ¿

Continua por la derec!a.

¿

 −¿

 x → −1

√ 1− x 2= 0= f (1 ) lim ¿ ¿

Continua por la iquierda.

se puede concluir que f es continua en el intervalo cerrado A:(, (@, como se ilustra en la figura (.5).

&l siguiente ejemplo muestra cómo se puede aplicar un límite lateral con el fin de determinar el cero absoluto en la escala elvin. EJEMPLO 5 Ley de Carles y !ero asoluto

&n la escala elvin, el cero absoluto es la temperatura = . 4 pesar de que se !an obtenido temperaturas muy cercanas a =  en laboratorio, nunca se !a alcanado el cero absoluto. De !ec!o, e'isten evidencias que sugieren la imposibilidad de alcanar el cero absoluto. "Cómo determinaron los científicos que =  es el 7límite inferior8 de la temperatura de la materia$ "Cuál es el cero absoluto en la escala Celsius$

-olu!in -a determinación del cero absoluto proviene del trabajo del físico franc#s Eacques C!arles +(6B3:(9)5, quien descubrió que el volumen de un gas a presión constante crece de manera lineal con respecto a la temperatura. &n la tabla siguiente se ilustra la relación entre volumen y temperatura. 2ara crear los valores que aparecen en la tabla, una mol de !idrógeno se mantiene a una presión constante de una atmósfera. &l volumen V es apro'imado y se mide en litros y la temperatura  se mide en grados Celsius.

&n la figura (.55 se muestran los puntos representados en la tabla. &mpleando dic!os puntos, se puede determinar que  y V se relacionan a trav#s de la ecuación lineal V =0.08213 T + 22.4334 o T =

V −22.4334 0.08213

>ediante el raonamiento de que el volumen del gas puede tender a = +pero nunca ser igual o menor  que cero se puede concluir que la 7temperatura mínima posible8 se obtiene por medio de

−22.4334

+¿  V 

V →0

0.08213

0−22.4334 Usar sustitucióndirecta . 0.08213 V → 0+¿ T =lim ¿

=

lim ¿

¿

¿

≈− 273.15

De tal manera, el cero absoluto en la escala elvin +=  es de apro'imadamente :)65.(*F en la escala Celsius. -a tabla que se encuentra a continuación muestra las temperaturas del ejemplo *, en la escala 4 2 x −5, x ≤ 4

76. f  ( x ) =

{

cosx −1 , x< 0  x 5 x , x * 0

En los e 0 Construir la gráfica de

sgn ( x )  y calcular los siguientes límites +si es posible.

−¿

 x → 0 sgn ( x ) b +¿  x → 0 sgn ( x ) c a ¿ lim lim lim sgn ( x ) ¿

¿

 x→ 0

11#. Modelo ,a$e,-$ico -a tabla recoge valores de la velocidad ' +en piesMs de un objeto tras caer  t segundos.

a Construir la curva con los datos. b "2arece e'istir una velocidad límite para el objeto$ &n caso afirmativo, identificar una posible

causa.

114. Elaboración de ,odelo Un nadador crua una piscina de una anc!ura b nadando en línea recta desde +=, = !asta +) b, b +ver la figura.

a %ea f una función definida como la coordenada y del punto sobre el lado más largo de la piscina

que se encuentra más cerca del nadador en cualquier momento dado durante su trayecto a trav#s de la piscina. &ncontrar la función f y construir su gráfica. "%e trata de una función continua$ &'plicar la respuesta. b %ea g la distancia mínima entre el nadador y el lado más largo de la piscina. &ncontrar la función g y construir la gráfica. "%e trata de una función continua$ &'plicar la respuesta.

11?. &ncontrar todos los valores de c tales que f sea continua en (−∞, ∞ ).

{

2

f  ( x )= 1− x ,x ≤c  x , x > c

11,. Demostrar que para todo n1mero real y e'iste un x en (−π  /2, π / 2)  tal que tan  x = y . 11/. %ea

2 f  ( x )=( √  x + c − c ) / x , c > 0 . "Cuál es el dominio de f( "Cómo se puede definir f en  x =0

con el fin de que sea continua en ese punto$

11. Demostrar que si

lim f  ( c + ) x ) =f  ( c ) ) x→ 0

, entonces f es continua en c .

11D. 4naliar la continuidad de la función h ( x )= x ⟦ x ⟧ . 1"6. a %ean f 1 ( x ) y f  2 ( x )   funciones continuas en el intervalo A a, b@. %i ( ) f 1 ( b )> f 2 ( b ) ,  demostrar que entre a y b e'iste c tal que f 1 c = f 2 ( c ) . b Demostrar que e'iste c en

[ 0, π / 2 ]

tal que

cos x = x

f 1 ( a )< f 2 ( a )

y

. Utiliar una !erramienta de graficación

para estimar c con tres decimales.

Prepara!in para el e;amen Putnam 2

1"1.  4firmar o desmentir0 si  x y y son n1meros reales con

 y * 0

2

 y ( y - 1 ) ≤ x .   ( x ) ¿ + 1  y  ( 0 )= 0. 2 1"". &ncontrar todas las polinomiales ) + x  tales que   ( x + 1 )=¿ 2

y

 x + 1 ¿ ,  y ( y + 1 ) ≤ ¿   entonces