Cap 08 Interseccion Recta Poliedro Superficie

Primera Edición

CAPÍTULO

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Geometría Descriptiva Autor: Víctor Vidal Barrena Universidad Nacional de Ingeniería

Intersección Recta Poliedro © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Primera Edición

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

INTERSECCIÓN DE RECTA CON POLIEDRO.

INTERSECCIÓN DE RECTA CON POLIEDRO © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

1-2

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.1 INTRODUCCIÓN.-

LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES INTERSECCIONES SON COMUNES EN LAS CONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOS LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE RECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONO IRREGULAR. © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7-3

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIÓN. SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DE ESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NO COPLANARES.

D VERTICE

A

DIAGONAL

C CARA

B H E

G F

ARISTA

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7-4

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.

a).- LAS CARAS: formadas por polígonos que limitan el poliedro. b).- LAS

ARISTAS:

que

son

los

lados

del

polígono.

c).- LOS VÉRTICES: que son los extremos de las aristas. d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vértices opuestos. e).- LOS DIEDROS: formados por dos

caras consecutivas.

f).- ANGULOS POLIEDRICOS: formados por aristas que concurren en un vértice. © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7-5

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS. 1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras y ángulos iguales. Ejemplo: F D

D A

C

C D

B

B

H B

A

E

C

G A F TETRAEDRO

HEXAEDRO

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OCTAEDRO

E

7-6

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS. 2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo: J

I J

K

I

H L

M

H

H

K I

L

M

K

C C

D

C

E

D

B

B

B F A PRISMA HEXAGONAL RECTO

D

E

A F

A

PRISMA HEXAGONAL OBLICUO

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

F

E PRISMA TRIANGULAR TRUNCADO

7-7

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS. 1) PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una línea poligonal o directriz J

A

I

K

H L

C

B

D

G A C B D

H

C

E

E

B F

A PRISMA HEXAGONAL

F D

G E

PRISMA TRIANGULAR

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F PRISMA CUADRADO

7-8

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS. 2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz.

V V

V

B

D

A

C

E

B D PIRAMIDE DE BASE CUADRADA

A

C

C PIRAMIDE TRIANGULAR

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B F

A PIRAMIDE HEXAGONAL

7-9

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.1:

Hallar la intersección de la recta MN con el prisma ABCD-EFGH. Mostrar la visibilidad de la intersección. M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) , A(10, 9, 17) , B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20), E(3,5,12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14), H(2, 3, 15). © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 10

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

SOLUCION 7.1: DH

20

CH

MH

19

AH

17 16 15

BH

HH GH

14

NH

13

EH

12 11

FH AF

9

MF

8

DF

7

BF

EF

5

CF

4

HH

NF

3

grafico de los puntos

FF

1

GF 2

3

4

5

6

9

10

12

13

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 11

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

SOLUCION 7.1. DH

20

CH

MH

19

a 17 16 15

AH

1

BH

d b

HH

2 GH

14

c

13

NH

EH

12 11

FH AF

9

MF

8

b

DF

7

B

1 E 5

F

c

a

2

CF

F

solucion final

4

HH

NF

3

FF

1

d

GF 2

3

4

5

6

9

10

12

13

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 12

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.2:

Hallar la intersección de la recta MN con la pirámide V – ABCD. Mostrar la visibilidad de la intersección. M(7.5, 9, 19), N(7.5, 2, 11) , A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15); V(1, 4.5, 13) © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 13

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PASO 1: GRAFICAR LAS COORDENADAS. MH

19

AH

18

DH

15

13

BH

VH

12

CH

11

NH DF

9

GRAFICO DE LAS COORDENADAS

MF CF

7

AF

5 4.5

VF 3

BF

NF

2

1

5

6.5

7.5

9.5

11

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7 - 14

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 2: SOLUCION. 19

H

AH

-1

18

PC

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

15

13

2

DH

BH 1

VH

12

CH RECTA

11

NH DF

9

MN MN

MF

H F + + +

H F INT H F BVC - + 1 - +

PLANO

+ ABCD +

-

2 +

-

CF

7 2

AF

5 4.5

1

VF 3

BF

2

NF 1

5

6.5

7.5

9.5

11

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7 - 15

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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SOLUCION SOMBREADA: H

AH

2

DH

BH 1

VH

SOLUCION SOMBREADA

CH NH DF

MF CF 2

VF

AF 1

NF

BF

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7 - 16

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PROBLEMA Nº 7.3:

ABCD y EFGH, son las bases de un prisma de base cuadrada determinar la intersección y mostrar la visibilidad de la recta MN con el prisma dado Hallar la tabla de visibilidad. A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20); E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14), H(2, 3, 15) M(8, 9, 20) N(8, 1, 11).

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 17

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.3: Solución M H DH

20

CH

19

AH

17 16 15

HH GH

14

12

GRAFICO DE LAS COORDENADAS

EH

11

FH

NH AF

MF

9

DF

7

BF

EF

5

3

BH

CF

HF FF

1

NF

GF 2

3

5

6

8

9

10

12

13

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7 - 18

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Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION: DH

MH

20

CH

19

PC -1

1

AH

17 16 15

BH

HH PC

GH

14

12

TABLA DE VIS

-2

2

FH

NH AF

MF

9

DF 1 EF

5

3

B

INT

H

F

AEDH +

-

1

+

-

BFCG -

+

2

-

H

F

PLANO

MN

+

+

MN

+

+

b 7

F

RECTA

EH

11

H

+

F

CF

HF

2 FF

1

NF

GF 2

3

5

6

8

9

10

12

13

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 19

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION SOMBREADA DH

MH

CH 1

AH

BH

HH GH

SOLUCION SOMBREADA

2

EH FH

NH AF

MF

1

DF

EF

B

F

CF

HF

2 FF GF

NF

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7 - 20

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.4

Si el poliedro tiene sección transversal convexa, la recta lo interseca en dos puntos; en cambio, si es cóncava, es posible que la recta interseque en más de dos puntos.

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 21

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.5:

Hallar la intersección de la recta MN con el prisma ABCD-EFGH. Mostrar la visibilidad de la intersección.

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 22

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.5

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 23

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.6:

Hallar la intersección de la recta MN con la Pirámide V-ABCD. Mostrar la visibilidad de la intersección.

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 24

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROBLEMA Nº 7.6

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 25

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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INTERSECCIÓN DE RECTA CON SUPERFICIE.

INTERSECCION DE RECTA CON SUPERFICIE © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

7 - 26

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.6 Superficies: Cono Cilindro.
CONO.-Es una superficie generada por una recta llamada generatriz, que se desplaza apoyada sobre una curva(directriz) y pasando siempre por un punto (vértice).
CILINDRO.-Es una superficie generada por una recta (generatriz) al desplazarse paralelamente a sí misma y apoyada sobre una curva(directriz).

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

11 - 27

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.7 REGLAS DE VISIBILIDAD 1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de intersección es visible. 2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas están ocultas, el punto de intersección es invisible. 3. Si dos círculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto de intersección es visible. 4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están ocultas, el punto de intersección es invisible. Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las generatrices, utilizando las reglas de visibilidad: 1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible. 2. No se plica la regla de los signos. © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

11- 28

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

7.8 Representación de Superficies. 7.8.1 REPRESENTACIÓN DE CONOS

El cono está engendrado por el movimiento de una línea recta llamada generatriz, que se desplaza sobre una curva directriz y que pasa siempre por un punto fijo llamado vértice; véase la figura 11.2.

Fig. 10.2 Representación de conos. © 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

11 - 29

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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7.9 Representación de Superficies. 7.9.1 Representación de Cilindros.

El cilindro es engendrado por el movimiento de una línea recta (generatriz) que se desplaza sobre una línea curva plana (directriz) permaneciendo siempre en todas sus posiciones paralela a su posición; véase la figura 11.3.

Fig. 10.3 Representación de cilindros.

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

11 - 30

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Problema 7.5:

Hallar la intersección de la recta MN con un cono oblicuo de base horizontal de 6 cm de diámetro; siendo O el centro de su base y V el vértice. Mostrar la visibilidad. M(5, 6, 16), N(13, 3, 12) , V(13.5, 7, 17) , O(8, 1.5, 13).

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11- 31

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SOLUCION 17

VH

MH

16

OH

13

NH

12

grafico de los puntos

7 6

VF

MF

3

NF

1.5

OF 5

8

13 13.5

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11- 32

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SOLUCION

RECTA H F GENER H 17

VH

MH

16

MN MN

+ +

+ +

EV FV

+ -

F INT H F + 1 + 2

+ -

+ +

M'H 1

OH

13

2 NH

12

AH EH

7

FH

solucion final

BH

VF

MF

6

M'F 1 3

1.5

2 NF

AF

EF 5

OF F F 8

BF 13 13.5

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11- 33

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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PROBLEMA 7.6:

AB es el eje de un cilindro de bases horizontales de 5cm de diámetro. Determinar la intersección y mostrar la visibilidad de la recta MN con el cilindro dado. Cortar al cilindro por el extremo B. A(7, 2.5, 15), B(12, 8.5, 19.5) , M(8.5, 1, 21) , N(8.5, 10, 12).

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11- 34

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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SOLUCION MH

21

BH

19.5

AH 15

GRAFICO DE LOS PUNTOS

NH

12

NF

10

BF

8.5

2.5

AF

1

MF 4

7

8.5

12

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11- 35

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

SOLUCION RECTA H F GENER H

F INT H F

MN MN

- 1 + 2

+ +

Z1 S2

+ +

+

+

+

MH

21

BH

M'H

19.5

YH

1

ZH

AH

2

15

solucion final

SH 12

NH NF

10

BF

8.5

XH

2 1 M'F

2.5

XF

SF

AF

1

ZF

YF MF

7

8.5

12

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11- 36

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

Problema PROBLEMA 11.3: 7.7:

HALLAR LA INTERSECCION DE LA RECTA AB CON EL CONO DE VERTICE V. VISIBILIDAD.

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Primera Edición

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SOLUCION:

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