Cap 04

Capítulo

4

Inequações e Programação Linear

Uma firma com freqüência precisa de diversos componentes para a fabricação dos artigos que ela produz e geralmente existem diversos estágios para a montagem de cada ar tigo e expedição final. Os custos e lucros da empresa dependem da disponibilidade destes componentes (como por exemplo, trabalho trabalho e matéria-prima), dos custos destes componentes, do lucro unitário para cada produto e de quantos produtos são necessários. Se as relações entre os vár ios recursos, as necessidades de produção, os custos e os lucros forem todas lineares, então estas atividades poderiam ser planejadas (ou programadas) da melhor maneira possível (ótima) por meio de programação linear. Como a programação linear é útil na n a solução de problemas envolvendo a distribuição de recursos limitados entre diversas atividades da melhor maneira possível, seu impacto foi enorme. Embora seja um avanço relativamente recente, ela é uma ferramenta-padrão para empresas de diversos por tes e sua aplicação tem gerado a economia de muitos milhares de dólares. Já foram escritos inúmeros livros didáticos sobre o assunto; nossa intenção aqui é apenas fornecer uma introdução ao método. Pelo fato de as restrições na maioria das atividades comerciais normalmente poderem ser expressas como inequações lineares, começamos este capítulo introduzindo métodos de resolução e de representação gráfica para inequações lineares. Mostraremos como os gráficos representando restrições dadas por inequações poderão ser usados para resolver problemas de programação linear. O método simplex fornece uma técnica para conversão de um sistema de inequações em um sistema de equações que pode ser usado para resolver problemas de programação linear.

1

2

Programação Linear  Capítulo 4  Inequações e Programação

 Aquecimento para o Capítulo Capítulo Tipo de Problema Pré-requisito

Resolva: (a) 3 x – 2 = 7

Para a Seção

Resposta

Seção para Revisão

(a) x = 3

1.1 Equações lineares

4.1

(b) 2( x – 4) =

 x

−3 3

(b) x =

.

Trace o gráfico da equação  y = 32 x – 2

21 5

1.3 Traçando o gráfico de equações lineares

4.1

Resolva os sistemas:

⎧ x +

2y

(a) ⎨2 x + ⎩

= =

10

1.5 Sistemas de equações lineares

4.2

(a) x = 6, y = 2

4.3

(b) x = 8, y = 16

⎧  x + 2 y + s1 = 10 ⎪ 2 x + y + s = 14 ⎨ 2 ⎪⎩ −2 x − 3 y + f  = 0

4.4 4.5 4.6

⎡ 1 2 ⎢ 2 1 ⎢ ⎢⎣ −2 −3

1

Escreva uma matriz equivalente à matriz A com o elemento na linha 1, coluna 2 igual a 1 e todos os demais elementos na coluna 2 iguais a 0. Primeiramente multiplique a linha 1 por 12 .

4.4 4.5 4.6

⎡ 12 ⎢ 3 ⎢ 2 ⎢⎣ − 12

⎧ x +

(b) ⎨ x + ⎩

y

0, 5 y y

14

= =

16 24

Escreva o sistema a seguir na forma de uma matriz aumentada:

A

2

⎡ 1 2 = ⎢⎢ 2 1 ⎢⎣ − 2 −3

1

0 0

10 ⎤

0

14 ⎥

0 0 1

0 ⎥⎦

0 1

⎥

0

−

10 ⎤

0

14 ⎥

0 0 1

0 ⎥⎦

1 2 1 2 3 2

5⎤

0 1

1 0

0 0

0 0 1 0 0 1

⎥

⎥ ⎥ 15 ⎥⎦ 9

3.3 Eliminação de Gauss-Jordan

3.3 Eliminação de Gauss-Jordan

4.1 Inequações Inequa ções Lineares e Uma Variável 

3

4.1 Inequações Lineares em Uma Variável OBJETIVO 

Resolver e representar graficamente inequações lineares em uma variável 

PRÉ-APLICAÇÃO A altura H em polegadas e a idade  A em anos para meninos entre 4 e 16 anos estão relacionadas de acordo com a seguinte equação H  = 2,31 A + 31,26

Para levar em conta a variação normal entre os meninos, a altura normal para uma dada idade se encontra em um intervalo de ± 5% da altura obtida pela equação.1 Podemos expressar o intervalo de altura normal de um menino de uma determinada idade na forma de uma inequação. Nesta seção resolveremos inequações envolvendo uma variável elevada à primeira potência (inequações lineares).

Resolvendo e Representando Graficamente Inequações

Uma inequação é uma afirmação de que uma quantidade é maior do que (ou menor do que) uma outra quantidade. quantid ade. Já tivemos a oportunidade de nos deparar com algumas inequações bem simples. Por exemplo, o número de artigos que uma empresa produz e vende, x, tem de ser uma quantidade não-negativa. Portanto, x é maior do que ou igual a zero, que é escrito na forma x ≥ 0. A inequação 3 x – 2 > 2 x + 1 é uma inequação de primeiro grau (linear) que afirma que o membro esquerdo da inequação é maior do que o direito. Certos valores da variável vão satisfazer a inequação. Esses valores formam o conjunto conjunt o solução da inequação. Por Por exemplo, 4 está no conjunto solução de 3 x – 2 > 2 x + 1, pois 3 ⋅ 4 – 2 > 2 ⋅ 4 + 1. Por outro lado, 2 não está no conjunto solução, so lução, pois 3 ⋅ 2 – 2 > 2 ⋅ 2 + 1. Resolver uma inequação significa encontrar seu conjunto solução, e duas inequações são equivalentes se elas tiverem o mesmo conjunto solução. Assim como acontece com as equações, achamos as soluções para inequações encontrando inequações equivalentes a partir das quais as soluções possam ser facilmente identificadas. Usamos as seguintes propriedades propriedad es para reduzir uma inequação a uma inequação simples equivalente.

INEQUAÇÕES

Propriedades

Exemplos

Propriedade da Substituição

A inequação formada pela substituição de uma expressão por uma outra igual é equivalente à inequação original.

5 x – 4 x < 6 x x + 6 2 x – 4 + 4 > x + 6 + 4 2 x > x + 10 2 x + (– x) > x + 10 + (– x) x > 10

4

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

INEQUAÇÕES

Propriedades

Exemplos

Propriedade I da Multiplicação

1  x > 8 2

A inequação formada pela multiplicação de ambos os lados de uma inequação pelo mesmo valor positivo é equivalente à inequação original.

3 x < 6

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 x ⎜ ⎟ < 6 ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠  x < 2

1  x(2) > 8(2) 2  x > 16

Propriedade II da Multiplicação

−3 x > −27

− x < 6 − x(− 1) > 6(− 1)  x > − 6

A inequação formada pela multiplicação de ambos os lados de uma inequação pelo mesmo valor negativo e pela inversão da direção do símbolo de desigualdade é equivalente à inequação original.

1⎞ ⎛  1 ⎞ − 3 x ⎛  ⎜ − ⎟ < −27 ⎜ − ⎟ ⎝  3 ⎠ ⎝  3 ⎠  x < 9

Podemos representar graficamente a solução de inequações em uma incógnita na reta real. Por exemplo, o gráfico de x < 2 consiste de todos os pontos à esquerda de 2 na reta real. O círculo vazado no gráfico da Figura 4.1 indica que todos os pontos até 2, mas sem incluir 2, pertencem ao conjunto solução. FIGURA 4.1

–6

–5

–4

E X E MP L O 1

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Inequações

Resolva a inequação  s

−2

< −4

e represente graficamente o conjunto solução. SOLUÇÃO

 s

−2

< −4

Multiplique ambos os lados por –2 e inverta a desigualdade.  s

−2

( − 2) > − 4 ( − 2 )  s > 8

O conjunto solução é { s:  s > 8}. O gráfico do conjunto solução é mostrado na Figura 4.2. FIGURA 4.2 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

4.1 Inequações Lineares e Uma Variável 

5

Para algumas inequações, são necessárias várias operações para se encontrar seus conjuntos soluções. Neste caso, a ordem na qual as operações são realizadas é a mesma daquela usada para resolver equações lineares. EXEMP LO 2

Solução de Inequações

Resolva a inequação

 x − 3

2( x − 4) <

3

.

SOLUÇÃO

2( x

− 4) <

−3

 x

3

− 4) < x − 3 6 x − 24 < x − 3 5 x < 21

6( x

 x

<

Elimine as frações Elimine os parênteses Faça as adições e subtrações

21

Multipli q ue por  15

5

Agora, se quisermos confirmar que esta solução é razoável, podemos substituir x pelos valores inteiros mais próximos de 21/5 na equação original. Observe que x = 4 satisfaz a inequação, pois 2[(4) − 4] <

( 4) − 3 3

mas que x = 5 não satisfaz, pois 2[(5) − 4]



(5)

−3

3

Portanto, x < 21/5 é uma solução razoável.

Também podemos resolver inequações do tipo a ≤ b. Isto significa que “a é menor do que b ou a é igual a b”. A solução de 2 x ≤ 4 é  x ≤ 2, pois  x < 2 é a solução de 2 x < 4 e  x = 2 é a solução de 2 x = 4. EXEMP LO 3

Solução de Inequações

Resolva a inequação 3 x – 2 ≤ 7. SOLUÇÃO

Essa inequação afirma que 3 x – 2 = 7 ou que 3 x – 2 < 7. Resolvendo da maneira usual, obtemos 3 x ≤ 9, ou seja, x ≤ 3. Então, x = 3 é a solução de 3 x – 2 = 7 e x < 3 é a solução de 3 x – 2 < 7 e, portanto, o conjunto solução de 3 x – 2 ≤ 7 é { x: x ≤ 3}. O gráfico do conjunto solução inclui o ponto  x = 3 e todos os pontos  x < 3 (ver Figura 4.3). FIGURA 4.3

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

6

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

PONTOS DE CONTROLE

Intervalos

FIGURA 4.4

Resolva as seguintes inequações em y. 1. 3 y – 7 ≤ 5 – y 2. 2 y + 6 > 4 y + 5

3. 4 – 3 y ≥ 4 y + 5

Lembre-se da Seção 0.2, “Números Reais”, que a inequação composta –2 2y

 y ≤ 3

 y <

4. [3, 6]; intervalo fechado

Nos Problemas 1 a 10, resolva cada inequação.

1. 2 x + 1 9 3( x − 1)

10.

2. 3 x – 1 ≥ 2 x + 2 4. 2( x + 1) > x – 1 6. 17 – x < –4 8.

≤  x − 2

2

9.

2, 9(2 x − 4) ≥

 x − 1 2

+ 1 >  x + 1

3, 6 x − 8, 5

2, 2(3,1 x − 5) ≤

5 3( 4, 6 − 6,1 x )

11. 3( x – 1) < 2 x 12. 2( x – 1) – 3 > 4 x + 1  x

12. 3( x + 2) ≥ 4 x + 1 14. 7 x + 4 ≤ 2( x – 1)

>  x − 1

3

16.

17. −3 x > 9 19.

3 x

20.

4 x

21.

3 x

22.

 x

4

−

6

<  x −

−3>

3 4

1

−

−

 x − 3

18.

2

2

 y ≤

2

−

1 7

5. [–6, 4); intervalo semi-aberto

1 2

+

4

−2 x 5

≥ 2 x

2( x − 1) 3 5x 12

5

3( x − 1) 10

−2

Nos Problemas 23 a 30, escreva uma inequação que descreva cada intervalo ou gráfico.

23. (– 12 , 3] 25. (1, 4) 27. 0 2

4

6

8

28.

4

6

8

0

24. [–3, 5) 26. [3, 7]

2

–22

29. –50

–30

–10

0

10

30

–2

0

2

4

6

Nos Problemas 31 a 40, expresse cada inequação ou gráfico usando a notação de intervalo e diga o tipo de intervalo. 31. 1 3x − 4 ⎩ y < 2 x + 3

15. ⎨

16. ⎨

⎧ 2 x + y < 3 ⎩  x − 2 y ≥ −1 ⎧ y ≥ 3 − 2 x ⎪ 19. ⎨ y ≥ 12 x + 12 ⎪ ⎩ y ≥ 3

17. ⎨

⎧3 x + y > 4 ⎩ − 2 y < −1 ⎧ y ≤ x + 1 20. ⎪⎨ y ≥ 2 x − 1 ⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩

18. ⎨  x

⎪ 21. ⎨2 x + 3 y ≤ 134

⎧− x + y ≤ 2 ⎪  x + 2 y ≤ 10 ⎪ 22. ⎨3 x + y ≤ 15 ⎪ ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0

⎧  x + 2 y ≤ 48 ⎪  x + y ≤ 30 23. ⎪⎨ ⎪ 2 x + y ≤ 50 ⎪⎩  x ≥ 0, y ≥ 0

⎧3 x + y ≤ 9 ⎪⎪3 x + 2 y ≤ 12 24. ⎨ ⎪  x + 2 y ≤ 8 ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0

⎧  x + 2 y ≥ 19 25. ⎪⎨3 x + 2 y ≥ 29 ⎪  x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩

⎧4 x + y ≥ 12 ⎪  x + y ≥ 9 26. ⎪⎨ ⎪  x + 3 y ≥ 15 ⎪⎩  x ≥ 0, y ≥ 0

⎧  x + 3 y ≥ 3 ⎪ 2 x + 3 y ≥ 5 ⎪ 27. ⎨2 x + y ≥ 3 ⎪ ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0

⎧  x + 2 y ≥ 10 ⎪2 x + y ≥ 11 ⎪ 28. ⎨ ⎪  x + y ≥ 9 ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0

⎧  x + 2 y ⎪ −3 x + 2 y 29. ⎪⎨  x ⎪ ⎪⎩  x ≥ 0, y

⎧ 3 x + 2 y ⎪− 3 x + 5 y ⎪ 30. ⎨  y ⎪ ⎪⎩  x ≥ 0, y

⎧ x + 5 y ≤ 200

⎪  x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩

≥ 20 ≤4 ≥ 12 ≥0

≥ ≥ ≤ ≥

75 30 40 0

APLICAÇÕES

31.  Administração A Wellbuilt Company produz dois modelos de plainas para madeira, Econômico e Luxo. O modelo Luxo requer 3 horas para a montagem e 1/2 hora para a pintura ao passo que o modelo Econômico precisa de 2 horas para a montagem e de

17

1 hora para a pintura. O número máximo de horas de montagem disponíveis por dia é de 24 ao passo que o número máximo de horas de pintura é de 8 por dia. (a) Escreva o sistema de inequações que descreve as restrições na fabricação destes modelos. (b) Represente graficamente a solução para o sistema de inequações e encontre os vértices da região de soluções. 32.  Ambientes de aprendizagem Uma experiência que envolve aprendizagem por parte dos animais exige a colocação de ratos brancos e coelhos em ambientes distintos e controlados, chamados de Ambiente I e Ambiente II. O tempo máximo disponível no Ambiente I é de 500 minutos ao passo que no Ambiente II é de 600 minutos. Os ratos brancos têm que passar 10 minutos no Ambiente I e 25 minutos no Ambiente II ao passo que os coelhos devem permanecer 15 minutos no Ambiente I e 15 minutos no Ambiente II. (a) Escreva um sistema de inequações que descreva as restrições na experiência. (b) Represente graficamente a solução para o sistema de inequações e encontre os vértices da região de soluções. 33.  Produção Uma empresa fabrica dois tipos de aparadores de sebe elétricos, um dos quais é sem fio. O modelo com fio precisa de 2 horas para ser fabricado e o sem fio, de 4 horas. A empresa tem apenas 800 horas de trabalho disponíveis para serem usadas na fabricação a cada dia e o departamento de embalagem é capaz de embalar apenas 300 aparadores por dia. (a) Escreva as inequações que descrevem estas restrições sobre a produção. (b) Represente graficamente a região determinada pelas inequações de restrições. 34. Manufatura Uma empresa fabrica parafusos de fixação para pára-choques e para pára-lamas de automóveis. Uma máquina é capaz de produzir 130 parafusos para pára-lamas por hora ao passo que uma outra produz 120 parafusos para pára-choques por hora. O número combinado de parafusos de fixação para pára-lamas e pára-choques que o departamento de embalagem é capaz de manipular é de 230 por hora. (a) Escreva as inequações que descrevem estas restrições sobre a produção. (b) Represente graficamente a região determinada por estas inequações de restrições. 35.  Propaganda A Apex Motors fabrica carros de luxo e utilitários esportivos. A clientela mais provável são homens e mulheres com altos salários. Os gerentes

18

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

da empresa querem iniciar uma campanha publicitápendendo de suas condições e da quantidade de aliria visando estes grupos de clientes. Eles pretendem mentos sólidos que eles precisam na sua dieta. Uma colocar anúncios breves de 1 minuto em programas combinação de duas dietas é usada para alimentos de negócios/investimentos, que podem atingir 7 misólidos, pois elas fornecem os nutrientes essenciais lhões de mulheres e 4 milhões de homens de seus para recuperação. A tabela a seguir sintetiza os grugrupos-alvo. Os gerentes também planejam lançar pos de pacientes e suas necessidades mínimas diárias. anúncios de 1 minuto durante eventos esportivos, quando podem atingir 2 milhões de mulheres e 12 Necessidades milhões de homens de seus grupos-alvo. A Apex Dieta A Dieta B Diárias acredita que os anúncios precisam atingir pelo menos 30 milhões de mulheres e pelo menos 28 milhões Grupo 1 4 onças por porção 1 onça por porção 26 onças de homens que são clientes em potencial. Grupo 2 2 onças por porção 1 onças por porção 18 onças (a) Escreva as inequações que descrevem as restrições que influenciam no alcance destes grupos-alvo. (a) Escreva as inequações que descrevem estas ne(b) Represente graficamente a região determinada cessidades. por estas inequações de restrições. (b) Represente graficamente a região determinada 36. Manufatura A Video Star Company fabrica dois por estas inequações de restrições. modelos diferentes de DVD players, que são montados em duas linhas de montagem. A Linha 1 é capaz 39. Manufatura Uma empresa de salsichas fabrica dois tipos de salsichas para cachorro-quente, norde montar 30 unidades do modelo Star e 40 unidades mal e especial. Cada libra de salsicha especial redo modelo Prostar por hora e a Linha 2 pode montar quer 0,75 lb de carne bovina e 0,2 lb de temperos e 150 unidades do modelo Star e 40 unidades do mocada libra de salsicha normal precisa de 0,18 lb de delo Prostar por hora. A empresa precisa produzir carne suína, 0,3 lb de carne suína e 0,2 lb de tempelo menos 270 unidades do modelo Star e 200 uniperos. Os fornecedores podem entregar no máximo dades do modelo Prostar para atender a um pedido 1.020 lb de carne bovina, no máximo 6.00 lb de carde compra. ne suína e pelo menos 500 lb de temperos. (a) Escreva as inequações que descrevem estas res(a) Escreva as inequações que descrevem estas netrições de produção. cessidades. (b) Represente graficamente a região determinada (b) Represente graficamente a região determinada por estas inequações de restrições. por estas inequações de restrições. 37.  Política Um candidato pretende usar uma combinação de anúncios de rádio e televisão em sua cam- 40. Manufatura Um fabricante produz dois tipos de cereais matinais, Senior Citizen’s Feast e Kids Co. panha. Pesquisas demonstraram que cada anúncio Cada libra de Senior Citizen’s Feast utiliza 0,6 lb de de 1 minuto na TV atinge 0,09 milhão de pessoas e trigo e 0,2 lb de xarope enriquecido com vitaminas e que cada anúncio de 1 minuto no rádio atinge 0,006 cada libra de Kids Co. utiliza 0,4 lb de trigo, 0,2 lb de milhão. O candidato acredita que ele precise atingir açúcar e libra de xarope enriquecido com vitaminas. pelo menos 2,16 milhões de pessoas e que ele deve Os fornecedores são capazes de entregar no máximo adquirir pelo menos 80 minutos de propaganda. 2.800 lb de trigo, no máximo 800 lb de açúcar e pelo (a) Escreva as inequações que descrevem suas nemenos 1.000 lb de xarope enriquecido com vitaminas. cessidades. (a) Escreva as inequações que descrevem estas ne(b) Represente graficamente a região determinada cessidades. por estas inequações de restrições. (b) Represente graficamente a região determinada 38.  Nutrição Em uma ala de um hospital, os pacientes por estas inequações de restrições. podem ser agrupados em duas categorias gerais de-

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

19

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos OBJETIVO 

Usar métodos gráficos para encontrar o valor ótimo de uma função linear sujeita a restrições

Regiões e Soluções Viáveis

PRÉ-APLICAÇÃO Muitos problemas práticos em negócios e economia envolvem relações complexas entre capital, matéria-prima, trabalho e assim por diante. Consideremos o exemplo a seguir. Suponha que duas fábricas químicas produzam três tipos de fertilizante: fertilizantes com baixo teor de fósforo (BTF), com médio teor de fósforo (MTF) e com alto teor de fósforo (ATF). O fertilizante é produzido em um único lote de modo que os três tipos de produtos são fabricados em proporções fixas. A fábrica localizada em M acon produz 1 t de BTF, 2 t de MTF e 3 t de ATF em uma única operação e e la cobra $ 600 por tudo aquilo que é produzido em uma operação, ao passo que uma operação da fábrica localizada em Jonesboro produz 1 t de BTF, 5 t de MTF e 1 t de ATF e cobra $ 1.000 por tudo aquilo que é produzido em uma operação. Caso um cliente precise de uma quantidade específica de cada tipo de fertilizante, o custo mínimo pode ser encontrado usando uma técnica matemática chamada programação linear. A programação linear pode ser usada para resolver problemas como este no em que caso as limitações nas variáveis (chamados de restrições) puderem ser expressas como inequações lineares e a função a ser maximizada ou minimizada (denominada função objetivo) for uma função linear.

Os problemas de programação linear geralmente envolvem muitas variáveis, porém, nesta seção nos restringiremos a problemas envolvendo duas variáveis. Com duas variáveis podemos usar métodos gráficos para ajudar a resolver o problema. As restrições formam um sistema de inequações lineares em duas variáveis que podemos resolver graficamente. A solução do sistema de inequações de restrições determina uma região, qualquer um de seus pontos pode fornecer o valor ótimo (máximo ou mínimo) da função objetivo. A região determinada pelas restrições devem ser convexa para que os métodos da programação linear sejam válidos. Uma região é convexa se para quaisquer dos pontos da região da reta ligando estes pontos fica inteiramente dentro da região. Restringimos nossas discussões à região convexa. Portanto, qualquer ponto da região determinada pelas restrições é chamado de uma solução viável e a região é chamada de região viável. Em um problema de programação linear procuramos a solução viável que maximize (ou minimize) a função objetivo. Suponhamos, por exemplo, que queiramos maximizar a função C  = 2 x + y sujeita às restrições x ≥ 0, y ≥ 0, x + 3 y ≤ 6 e x +  y ≤ 4. O conjunto solução (região viável) para o sistema de restrições é mostrado na Figura 4.16(a). Qualquer  ponto no interior da região sombreada ou em sua fronteira é uma solução viável para o problema. Para determinar qual ponto irá maximizar a função objetivo, traçamos C = 2 x + y, para diferentes valores de C , no mesmo gráfico que contém a região viável. Os diferentes valores de C  mudam a posição da reta, mas o coeficiente angular da reta não muda. Fazendo C = 0, 2, 3, 7 e 8, obtemos os gráficos indicados na Figura 4.16(b). Se qualquer parte da reta cair dentro da região viável, teremos soluções viáveis. Como estamos à procura dos valores de x e y que irão maximizar 2 x + y, sujeito às restrições, continuamos a tentar valores maiores para C enquanto algum trecho da reta interceptar a região viável. Observando a Figura 4.16(b), fica claro que qualquer valor de C maior do que 8 fará que a reta C = 2 x + y “caia fora” da região e, portanto, o valor máximo de 2 x + y, sujeito às restrições, é 8. O ponto onde a reta 8 = 2 x + y intercepta a região viável é (4, 0) e, portanto, a função 2 x + y é maximizada quando x = 4, y = 0.

20

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Observe que a função objetivo foi maximizada em um dos vértices da região viável. Suponha que queiramos maximizar P = x + 2 y na região de restrições mostrada na Figura 4.16(a). Novamente, poderíamos escolher diversos valores para P  e traçar as retas correspondentes (ver Figura 4.16(c)). A figura mostra que o valor máximo é P = 5 e que ele ocorre no vértice (3, 1). Observe que, em ambos os exemplos, a função objetivo foi maximizada em um dos vértices da região viável.  y

 y

 y

3

3

3

P   

(0, 2)

 x + 3 y = 6

2

C      

2

 x +  y = 4

(3, 1)

C      

1 C      

(4, 0)

2      

2

3

4

(a)

6   

P   

5   

7      

C      

(3, 1) 1

3      

P   

2  

(4, 0)

0      

 x

1

(0, 2)

8      

1

(0, 0)

2

C      

 x

1

2

C = 2 x +  y (b)

3

4

(0, 0)

 x

1

P   

0  

2

P

3

4

 x + 2 y (c)

FIGURA 4.16 Resolução gráfica

Soluções para Problemas de Programação Linear 

A região viável da Figura 4.16 é um exemplo de região fechada e limitada, pois ela é inteiramente englobada pelas retas (além de incluí-las) associadas às restrições. 1. Quando a região viável para um problema de programação linear for fechada e limitada, a função objetivo possuirá um valor máximo e um valor mínimo. 2. Quando a região viável não for fechada e limitada, a função objetivo poderá ter apenas máximo, apenas mínimo ou então nem máximo nem mínimo. 3. Se um problema de programação linear tiver uma solução, então o valor ótimo (máximo ou mínimo) de uma função objetivo ocorrerá em um vértice da região viável determinada pelas restrições. 4. Se a função objetivo assumir seu valor ótimo em dois vértices, então ela também assumirá este valor ótimo em qualquer ponto sobre a reta (fronteira) conectando estes dois vértices. Portanto, para uma região fechada e limitada, podemos encontrar o valor máximo ou mínimo da função objetivo, calculando a função em cada um dos vértices da região viável formada pela solução das inequações de restrições. Se a região viável não for fechada e limitada, teremos de fazer uma verificação para termos certeza de que a função objetivo possui um valor ótimo. Os passos envolvidos na resolução de um problema de programação linear são os seguintes.

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

21

PROGRAMAÇÃO LINEAR (MÉTODO GRÁFICO)

Procedimento

Exemplo

Para encontrar o valor ótimo de uma função sujeita a restrições:

Maximize C = 2 x + 3 y sujeita às restrições

1. Escreva a função objetivo e as inequações de restrições a partir do problema.

1. Função objetivo: C = 2 x + 3y Restrições: x + 2 y ≤ 10 2 x + y ≤ 14  x ≥ 0  y ≥ 0

2. Represente graficamente a solução do sistema de restrições. (a) Se a região viável for fechada e limitada, vá para o passo 3. (b) Se a região viável não for fechada e limitada, verifique se existe um valor ótimo. Se não existir, dê esta resposta. Se existir, vá para o passo 3.

2. Ver Figura 4.17 abaixo.

⎧  x + 2 y ≤ 10 ⎪⎪2 x + y ≤ 14 ⎨  x ≥ 0 ⎪ ⎪⎩  y ≥ 0

 y

6

4 C   

2

C    C   

C   

8   5   

4    x

2

4

6

8

10

Figura 4.17

3. Encontre os vértices da região viável resultante. Isso 3. Os vértices são (0, 0), (0, 5), (6, 2), (7, 0). pode exigir a solução simultânea de duas equações de fronteira. 4. Calcule a função objetivo em cada um dos vértices da região viável determinada pelas restrições.

4. Em (0, 0), C = 2 x + 3 y = 0 Em (0, 5), C = 2 x + 3 y = 15 Em (6, 2), C = 2 x + 3 y = 18 Em (7, 0), C = 2 x + 3 y = 14

5. Se dois vértices fornecerem o valor ótimo para a 5. A função é maximizada em x = 6, y = 2. O valor máfunção objetivo, então todos os pontos sobre a reta ximo é C = 18. de fronteira conectando estes dois vértices também otimizarão a função. EXEMP LO 1

Maximizando Receitas

A Chairco fabrica dois tipos de cadeiras, padrão e de luxo. Para as cadeiras padrão são necessárias 2 horas para montagem e acabamento, ao passo que para as cadeiras de luxo são necessárias 3 horas. Para as operações de tapeçaria são necessárias 1 hora para cadeiras padrão e 3 horas para as cadeiras de luxo. Há uma disponibilidade de 240 horas por dia para montagem e acabamento e 150 horas para as operações de tapeçaria. Se a receita proveniente de cadeiras padrão for de $ 89 por unidade e de cadeiras de luxo for de $ 133,50, quantas unidades de cada tipo deverão ser produzidas por dia para maximizar a receita?

22

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

SOLUÇÃO

Sejam x o número de cadeiras padrão produzidas por dia e y o número de cadeiras de luxo. Assim, a função para a receita diária será dada por R = 89 x + 133,5 y. Existem restrições para a montagem e acabamento (não mais do que 240 horas/ dia) e para as operações de tapeçaria (não mais do que 150 horas/dia). Portanto, temos o seguinte: Restrição de montagem/acabamento: Restrição para as operações de tapeçaria:

2 x + 3 y ≤ 240  x + 3 y ≤ 150

Como todas as quantidades devem ser não-negativas, também temos as restrições  x ≥ 0 e y ≥ 0. Portanto, procuraremos resolver o seguinte problema: Maximizar R = 89 x + 133,5 y sujeita a ⎧ 2 x + 3 y ≤ 240 ⎪ ⎨  x + 3 y ≤ 150 ⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩

O conjunto viável é a região sombreada, fechada e limitada, indicada na Figura 4.18. Os vértices da região viável são (0, 0), (120, 0), (0, 50) e (90, 20). Todos estes são óbvios, exceto (90, 20), que pode ser encontrado resolvendo simultaneamente 2 x + 3 y = 240 e x + 3 y = 150. Testando a função objetivo nos vértices, obtemos o seguinte: Em (0, 0), R = 89 x + 133,5 y = 0 Em (120, 0), R = 89 x + 133,5 y = 10.680 Em (0, 50), R = 89 x + 133,5 y = 6675 Em (90, 20), R = 89 x + 133,5 y = 10.680  y

120

2 x + 3 y = 240

80

50

 x + 3 y = 150

40

FIGURA 4.18

(90, 20)  x

40

80

120

160

Portanto, a receita máxima de $ 10.680 ocorre tanto no ponto (120, 0) quanto no ponto (90, 20). Isto significa que a receita será maximizada não somente nestes dois pontos como também em qualquer ponto sobre o segmento que os une. Por exemplo, o ponto (105, 10) se encontra sobre este segmento e a receita neste ponto também é de $ 10.680: 89 x + 133,5 y = 89(105) + 133,5(10) = 10.680

PONTO DE CONTROLE

1. A região sombreada na figura é determinada pelas seguintes restrições: ⎧ 2 x + 3 y ⎪4 x − 2 y ⎪ ⎨  x ⎪ ⎪⎩  y

≤ 12 ≤8 ≥0 ≥0

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

23

Encontre o valor máximo da função objetivo f = 4 x + 3 y na região.  y

4 3

(3, 2)

2 1

 x

1

2

3

4

5

6

7

Embora os exemplos até aqui tenham procurado maximizar uma função objetivo, os mesmos procedimentos se aplicam quando se busca um mínimo. EXEMPLO 2

Minimização

Minimize C = x + y sujeita às restrições ⎧3 x + 2 y ≥ 12 ⎪ ⎨  x + 3 y ≥ 11 ⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩

SOLUÇÃO

O gráfico do sistema de restrições é indicado na Figura 4.19. Observe que embora a região viável não seja fechada e limita, a função objetivo tem efetivamente um mínimo (mas não um máximo). Assim, os vértices ainda são a chave para a solução.  y

8 6

(0, 6) 3 x

4 2

2 y

12

(2, 3) C     

 x

3 y

11

C     

3    

(11, 0)

5    

 x

2

FIGURA 4.19

4

6

8

10

12

14

Os vértices (0, 6) e (11, 0) podem ser identificados a partir do gráfico. O terceiro vértice, (2, 3), pode ser encontrado resolvendo simultaneamente as equações das duas retas 3 x + 2 y = 12 e  x + 3 y = 11 como segue: 3 x + 2 y =

12

− 3 x − 9 y = −33 − 7 y = −21  y = 3  x = 2

24

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Examinando o valor de C em cada vértice, temos Em (0, 6), C = x + y = 6 Em (11, 0), C = x + y = 11 Em (2, 3), C = x + y = 5 Portanto, C é minimizado em (2, 3) com o valor mínimo de C = 5. Observe que para qualquer valor menor de C , o gráfico de C = x + y “fica fora” da região viável.

PONTO DE CONTROLE

2. Minimize a função objetivo g = 3 x + 4 y sujeita às seguintes restrições:  x + 2 y ≥ 12, 3 x + 4 y ≥ 30,

EXEMPLO 3

 x ≥ 0  y ≥ 2

Minimizando Custos de Produção

Retornemos ao exemplo da Pré-Aplicação, das duas indústrias químicas que produzem três tipos de fertilizantes: com baixo teor de fósforo (BTF), com médio teor de fósforo (MTF) e com alto teor de fósforo (ATF). Lembre-se que o fertilizante é produzido em um único lote, de modo que os três tipos de produtos são fabricados em proporções fixas. A fábrica localizada em Macon produz 1 t de BTF, 2 t de MTF e 3 t de ATF em uma única operação e ela cobra $ 600 por aquilo que é produzido em uma operação, ao passo que uma operação da fábrica localizada em Jonesboro produz 1 t de BTF, 5 t de MTF e 1 t de ATF e cobra $ 1.000 por aquilo que é produzido em uma operação. Se um cliente precisar de 100 t de BTF, 260 t de MTF e 180 t de ATF, quantos lotes de produção devem ser encomendados de cada fábrica para minimizar os custos? SOLUÇÃO

Se x representar o número de operações encomendadas da fábrica em Macon e y o número de operações encomendadas da fábrica em Jonesboro, então procuraremos minimizar o custo C = 600 x + 1000y

A tabela a seguir resume os recursos de produção e as necessidades do cliente. Fábrica de Macon

Fábrica de  Jonesboro

Necessidades

Unidades de BTF

1

1

100

Unidades de MTF

2

5

260

Unidades de ATF

3

1

180

Usando o número de operações solicitadas e o fato de as necessidades deverem ser atendidas ou ultrapassadas, podemos formular as seguintes restrições:  x +

y ≥ 100

2 x + 5 y ≥ 260 3 x +

y ≥ 180

 x ≥ 0, y ≥ 0

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

25

Representar graficamente este sistema fornece o conjunto soluções viáveis indicado na Figura 4.20. Novamente, a função objetivo tem um mínimo muito embora o conjunto de soluções viáveis não seja fechado e limitado. Os vértices são (0, 180), (40, 60), (80, 20) e (130, 0), onde (40, 60) é obtido resolvend o simultaneamente x + y = 100 e 3 x + y = 180 e onde (80, 20) é obtido resolvendo simultaneamente x + y = 100 e 2 x + 5 y = 260.  y

200 180

(0, 180)

160

3 x

y

180

140 120 100

 x

80

y

(40, 60)

60

2 x

40

5 y

260

(80, 20)

20

 x

20

60

FIGURA 4.20

100

140

180

(130, 0)

Calculando C = 600 x + 1.000 y em cada vértice, obtemos Em (0, 180), C = 180.000 Em (40, 60), C = 84.000 Em (80, 20), C = 68.000 Em (130, 0), C = 78.000 Portanto, para minimizar custos, o cliente deveria fazer pedidos de 80 lotes de produção da fábrica em Macon e 20 lotes da fábrica em Jonesboro.

A B C 1 2 3

EXE MPLO 4

Maximização Sujeita a Restrições

Use uma ferramenta gráfica para encontrar a região viável e o valor máximo de  f = 5 x + 11 y sujeita às restrições 5 x + 2 y ≤ 54 2 x + 4 y ≤ 60  x ≥ 0, y ≥ 0 SOLUÇÃO

Escrevemos as inequações correspondentes às inequações acima, isolando y. Traçar estas inequações usando uma calculadora gráfica, usando sombreamento, mostra a região fechada e limitada que satisfaz as inequações (ver Figura 4.21). Usando o comando INTERSECT nos pares de retas que formam as fronteiras desta região, vemos que as fronteiras se interceptam nos pontos (0, 0), (0, 15), (6, 12) e (10,8, 0). Estes pontos também podem ser encontrados algebricamente. Testando a função objetivo em cada um destes vértices, obtemos os seguintes valores de  f:

26

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

30

Em (0, 0), Em (0, 15), Em (6, 12), Em (10,8, 0),

0

FIGURA 4.21

 f = 0  f = 165  f = 162  f = 54

30 0

O valor máximo é f = 165 em x = 0, y = 15

SOLUÇÕES DOS PONTOS DE CONTROLE

1. Os valores de f nos vértices são encontrados como segue: Em (0, 0), Em (2, 0), Em (3, 2), Em (0, 4),

 f = 0  f = 8  f = 12 + 6 = 18  f = 12

O valor máximo de f é 18 em x = 3, y =2. 2. O gráfico da região viável é indicado na Figura 4.22. Os valores de g nos vértices são encontrados como segue: Em (0, 7,5), Em (6, 3), Em (8, 2),

 y

10 8

(0, 7,5)

 x

 g = 30  g = 18 + 12 = 30  g = 24 + 8 = 32

y

6

(6, 3) (8, 2)

4

 y

2  x

2

FIGURA 4.22

 x

4

6

8

10

12

14

y

O valor mínimo de g é 30 em (0, 7,5), bem como em (6, 3). Portanto, qualquer ponto na borda que une os pontos (0, 7,5) e (6, 3) fornecerá o valor mínimo de 30. Por exemplo, (2, 6) se encontra sobre esta borda e fornece o valor 6 + 24 = 30.

4.3

Exercícios

1. Os vértices de uma região viável em um problema de programação linear são (0, 0), (0, 8), (12, 0) e (6, 5). Qual(is) vértice(s) fornece(m) o valor máximo para a função objetivo f = 6 x + 3 y?

2. Os vértices de uma região viável em um problema de programação linear são (0, 2), (3, 4), (5, 3) e (7, 0). Qual(is) vértice(s) fornece(m) o valor máximo para a função objetivo f = 6 x + 2 y?

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

Nos Problemas 3 a 8, use a região viável determinada pelas inequações de restrições para encontrar o máximo e mínimo da função objetivo dada (se eles existirem).

27

7.  f = 3 x + 4 y  y

2 x

3. C = 2 x + 3 y

40

y

 x

 y

5 y

100

7

5

8 x

5 y

170  x

3

8.  f = 4 x + 5 y 1

 y

 x

1

3

5

7

7

4.  f = 6 x + 4 y

5

 y

3 7 1 5

 x

1

3

5

7

9

3

1  x

1

3

5

7

5. C = 5 x + 2 y

Em cada um dos Problemas 9 a 12, é mostrado o gráfico da região viável. Encontre os vértices de cada região viável e maximize ou minimize a função, conforme solicitado. 9. Maximize f = 3 x + 2 y  y

 y

2 x

40

y

5

 x

5 y

100

3

8 x

1

5 y

170  x

 x

2

6

10

14

10. Maximize f = 5 x + 8 y

6. C = 4 x + 7 y

 y

4 x

y

140

 y

(8, 6)

(4, 5)

 x

5

2 y

80

(1, 3 3)  x

y

50

(3, 1)

1

 x

1

3

5

7

9

 x

28

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

11. Minimize g = 3 x + 2 y

16. Maximize f = 7 x + 10 y sujeita a 3 x + y ≤ 9 3 x + 2 y ≤ 12 x + 2 y ≤ 0  x ≥ 0, y ≥ 0

 y

3 x

60

y

4 x

10 y

17. Minimize g = 9 x + 10 y sujeita a

280

x + 2 y ≥ 19

 x

 x

3 x + 2 y ≥ 29  x ≥ 0, y ≥ 0

40

y

12. Minimize g = x + 3 y

18. Minimize g = 5 x + 2 y sujeita a 4 x +  y ≥ 12 x +  y ≥ 9 x + 3 y ≥ 15  x ≥ 0, y ≥ 0

 y

3 x

45

y

 x

2 y

50

19. Minimize g = 12 x + 48 y sujeita a x + 3 y ≥ 3

 x

 x

y

35

Nos Problemas 13 a 20, encontre o valor máximo ou mínimo da função objetivo no problema de programação linear. Observe que as regiões viáveis para estes problemas são as regiões de soluções esboçadas nos Problemas 21 a 28 do conjunto anterior de exercícios.

13. Maximize f = 4 x + 9 y sujeita a x+

5 y ≤ 200 2 x + 3 y ≤ 134 x ≥ 0, y ≥ 0 14. Maximize f = 2 x + y sujeita a – x +  y ≤ 2 x+

2 y ≤ 10

3 x +

 y ≤ 15

x ≥ 0, y ≥ 0

15. Maximize f = 3 x + 2 y sujeita a x + 2 y ≤ 48 x +  y ≤ 30

2 x + y ≤ 50  x ≥ 0, y ≥ 0

2 x + 3 y ≥ 5 2 x +  y ≥ 3  x ≥ 0, y ≥ 0 20. Minimize g = 12 x + 8 y sujeita a x + 2 y ≥

2 2 x +  y ≥ 11 x+ y≥9  x ≥ 0, y ≥ 0 Nos Problemas 21 a 36, resolva os seguintes problemas de programação linear: 21. Maximize f =  x + 3 y sujeita a x + 2 y ≤ 4

2 x + y ≤ 4  x ≥ 0, y ≥ 0 22. Maximize f = 3 x + 2 y sujeita a 2 x + y ≤ 8 2 x + 3 y ≤ 12  x ≥ 0, y ≥ 0 23. Maximize f = 3 x + 4 y sujeita a x +  y ≤ 6 2 x +  y ≤ 10  y ≤ 4  x ≥ 0, y ≥ 0

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

24. Maximize f = x + 3 y sujeita a

32. Minimize f = 2 x + y sujeita a

x + 4 y ≤ 12  y ≤ 2

 x ≤ 12 x + 2 y ≥ 20

x +  y ≤ 9

–3 x – 2 y ≤ 4 x ≥ 0, y ≥ 0

 x ≥ 0, y ≥ 0

25. Maximize f = 2 x + 6 y sujeita a

33. Maximize f = x + 2 y sujeita a

x +  y ≤ 7

x + y ≥ 4

2 x +  y ≤ 12 x + 3 y ≤ 15  x ≥ 0, y ≥ 0

2 x + y ≤ 8  y ≤ 4 34. Maximize f = 3 x + 5 y sujeita a

26. Maximize f = 4 x + 2 y sujeita a

2 x + 4 y ≥ 8 3 x +  y ≤ 7  y ≤ 4

x + 2 y ≤ 20 x +  y ≤ 12

4 x +  y ≤ 36  x ≥ 0,  y ≥ 0

35. Minimize g = 40 x + 25 y sujeita a  x +  y ≥ 100

27. Minimize g = 7 x + 6 y sujeita a 5 x + 2 y ≥ 16 3 x + 7 y ≥ 27  x ≥ 0,  y ≥ 0

29

– x +  y ≤ 20 –2 x + 3 y ≥ 30  x ≥ 0, y ≥ 0 36. Minimize g = 3 x + 8 y sujeita a

28. Minimize g = 22 x + 17 y sujeita a

4 x – 5 y ≥ 50 – x + 2 y ≥ 4  x +  y ≤ 80  x ≥ 0, y ≥ 0

8 x + 5 y ≥ 100 12 x + 25 y ≥ 360 x ≥ 0,  y ≥ 0 29. Minimize g = 3 x + y sujeita a 4 x + 3 y ≥ 11 3 x + 2 y ≥ 12  x ≥ 0,  y ≥ 0 30. Minimize g = 50 x + 70 y sujeita a 11 x + 15 y ≥ 225 x + 3 y ≥ 27 x ≥ 0, y ≥ 0 31. Minimize f = x + 4 y sujeita a  y ≤ 30

3 x + 2 y ≥ 75 –3 x + 5 y ≥ 30 x ≥ 0, y ≥ 0

APLICAÇÕES

37. Manufatura A Wellbuilt Compan y produz dois modelos de plainas para madeira, Econômico e Luxo. O modelo Luxo precisa 3 horas para a montagem e 12 hora para a pintura, ao passo que o modelo Econômico precisa de 2 horas para a montagem e 1 hora para a pintura. O número máximo de horas disponíveis por dia para a montagem é de 24, ao passo que o número máximo de horas para pintura é de 8 por dia. Se o lucro no modelo Luxo for de $ 15 por unidade e o lucro no modelo Econômico for de $ 12 por unidade, quantas unidades de cada modelo irão maximizar o lucro? (Ver Problema 31 do conjunto de exercícios anterior.) 38.  Ambientes de aprendizagem Uma experiência que envolve aprendizagem por parte dos animais exige a colocação de ratos brancos e coelhos em ambientes distintos e controlados, chamados de Ambiente I e Ambiente II. O tempo máximo disponível no

30

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Ambiente I é de 500 minutos, ao passo que no Ambiente II é de 600 minutos. Os ratos brancos têm que passar 10 minutos no Ambiente I e 25 minutos no Ambiente II, ao passo que os coelhos devem permanecer 15 minutos no Ambiente I e 15 minutos no Ambiente II. Encontre o número máximo possível de animais que podem ser usados na experiência e o número de ratos brancos e de coelhos que podem ser usados. (Ver Problema 32 do conjunto de exercícios anterior.) 39. Produção Uma empresa fabrica dois tipos de aparadores de sebe elétricos, um dos quais é sem fio. O modelo com fio precisa de 2 horas para ser fabricado e o modelo sem fio 4 horas. A empresa tem apenas 800 horas de trabalho disponíveis para serem usadas na manufatura a cada dia e o departamento de embalagem é capaz de embalar apenas 300 aparadores de sebe por dia. Se a empresa vender o modelo com fio por $ 30 e o sem fio por $ 40, quantas unidades de cada tipo ela deveria produzir por dia de modo a maximizar suas vendas? (Ver Problema 33 do con junto de exercícios anterior.) 40. Manufatura Uma empresa fabrica parafusos de fixação para pára-choques e para pára-lamas de automóveis. Uma máquina é capaz de produzir 130 parafusos para pára-lamas por hora, ao passo que uma outra é capaz de produzir 120 parafusos para párachoques por hora. O número combinado de parafusos de fixação para pára-lamas e pára-choques que o departamento de embalagem é capaz de manipular é de 230 por hora. Quantas unidades de cada tipo a empresa deveria produzir por hora de modo a maximizar suas vendas se os parafusos para pára-lamas fossem vendidos a $ 1 e os parafusos para pára-choques fossem vendidos a $ 2? (Ver Problema 34 do conjunto de exercícios anterior.) 41.  Nutrição Um pesqueiro em um lago particular possui dois tipos de peixes, robalos e trutas. O proprietário fornece dois tipos de alimento, A e B, para esses peixes. Os robalos precisam de 2 unidades do alimento A e 4 unidades do alimento B e as trutas precisam de 5 unidades do alimento A e 2 unidades do alimento B. Se o proprietário tiver 800 unidades de cada alimento, encontre o número máximo de peixes que o lago pode sustentar. 42. Manufatura Uma empresa fabrica dois tamanhos diferentes de elevadores de barcos. É necessário que cada tipo passe um período no Departamento de Soldagem e Montagem e outro período no Departamento de Peças e Embalagem. O elevador menor precisa de 43 de hora na Soldagem e Montagem e 1 23 hora no Departamento de Peças e Embalagem. O elevador menor precisa de 1 12

hora na Soldagem e Montagem e 1 hora em Peças e Embalagem. A fábrica tem 156 horas/dia disponíveis na Soldagem e Montagem e 174 horas/dia disponível em Peças e Embalagem. Se a demanda por elevadores for de no máximo 90 elevadores grandes e de no máximo 100 elevadores pequenos e se, além disso, o lucro for de $ 50 para cada elevador grande e de $ 25 para cada elevador pequeno, quantas unidades de cada tipo deveriam ser produzidas por dia para maximizar os lucros? 43. Administração Um banco possui dois tipos de filiais. Uma filial-satélite emprega 3 pessoas, precisa de $ 100.000 para ser construída e aberta ao público e gera uma receita média diária de $ 10.000. Uma agência com serviços completos emprega 6 pessoas, precisa de $ 140.000 para ser construída e aberta ao público e gera uma receita média diária de $ 18.000. O banco tem até $ 2,98 milhões disponíveis para abrir novas agências e decidiu limitar as novas agências a um máximo de 25. Se, além disso, o banco decidir contratar no máximo 120 empregados novos, quantas agências de cada tipo o banco deveria abrir de modo a maximizar as receitas médias diárias? 44. Nutrição Em um zoológico, existe um hábitat contendo diversas áreas de alimentação. Uma delas serve como área de alimentação para duas espécies, I e II, e ela é abastecida cada dia com 120 lb do alimento A, 110 lb do alimento B e 100 lb do alimento C. Cada indivíduo da espécie I necessita de 5 lb do alimento A, 5 lb de B e 2 lb de C e cada indivíduo da espécie II necessita de 6 lb do alimento A, 4 lb de B e 3 lb de C. Encontre o número máximo de indivíduos destas espécies que podem ser sustentados. 45.  Política Um candidato pretende usar uma combinação de anúncios de rádio e televisão em sua campanha. Pesquisas mostraram que cada anúncio de 1 minuto na TV atinge 0,09 milhão de pessoas e que cada anúncio de 1 minuto no rádio atinge 0,006 milhão. O candidato acredita que ele precise atingir pelo menos 2,16 milhões de pessoas e que tenha de adquirir pelo menos 80 minutos de propaganda. Quantos minutos de cada mídia deveriam ser usados para minimizar os custos se o anúncio na TV custar $ 500/minuto e no rádio $ 100/minuto? (Ver Problema 37 no conjunto anterior de exercício.) 46. Nutrição Em uma ala de um hospital, os pacientes podem ser agrupados em duas categorias gerais dependendo de suas condições e da quantidade de alimentos sólidos que eles precisam na sua dieta. Uma combinação de duas dietas é usada para alimentos sólidos pois elas fornecem os nutrientes essenciais para recuperação, porém cada dieta possui uma substância considerada prejudicial. A tabela a seguir

4.3 Programação Linear: Métodos Gráficos

sintetiza os grupos de pacientes e suas necessidades mínimas diárias, além da quantidade de substância prejudicial. Quantas porções de cada dieta deveriam ser servidas a cada dia de modo a minimizar a ingestão da substância prejudicial? (Ver Problema 38 do conjunto de exercícios anterior.)

31

cessidades de A e B e, ao mesmo tempo, minimizar a quantidade ingerida do ingrediente C? 49. Manufatura A Janie Gioffre Draper y Compan y fabrica três tipos de cortinas em duas instalações. Na instalação I, ela é capaz de fabricar por dia 10 cortinas de luxo, 20 cortinas de qualidade superior e 13 cortinas comuns. Na instalação II, ela é capaz de fabricar 20 cortinas de luxo, 50 de qualidade superior Dieta A Dieta B Necessidades e 6 cortinas comuns por dia. A empresa tem pedidos Diárias de 2.000 cortinas de luxo, 4.200 cortinas de qualidade Grupo 1 4 onças por 1 onça por 26 onças superior e 1.200 cortinas comuns. Se os custos diários porção porção forem de $ 500 por dia na instalação I e de $ 800 por dia na instalação II, quantos dias a empresa deveria Grupo 2 2 onças por 1 onça por 18 onças programar em cada instalação de modo a atender porção porção os pedidos com custos mínimos? Encontre os custos Substância 918 onças 907 onças por mínimos. Prejudicial por porção porção 50.  Nutrição Dois alimentos contêm apenas proteínas, carboidratos e gorduras. O alimento A custa $ 2 por 47. Manufatura Duas fábricas produzem três tipos dilibra e contém 30% de proteínas e 50% de carboiferentes de eletrodomésticos para cozinha. A tabela dratos. O alimento B custa $ 3 por libra e contém a seguir sintetiza a capacidade de produção, o núme20% de proteínas e 75% de carboidratos. Que comro de cada tipo de eletrodoméstico encomendado e binação destes dois alimentos fornece pelo menos os custos operacionais diários das fábricas. Quantos 1 libra de proteína, 2 12 libras de carboidratos e 14 dias cada fábrica deveria operar para atender os pelibras de gorduras ao menor custo? didos com um custo mínimo? 51. Manufatura Uma empresa de salsichas fabrica dois tipos de salsichas para cachorro-quente, normal e especial. Cada libras de salsicha especial requer Quantidade 0,75 lb de carne bovina e 0,2 lb de temperos e cada Fábrica 1 Fábrica 2 Encomendada libras de salsicha normal precisa de 0,8 lb de carne Eletrodoméstico 1 80/dia 20/dia 1.600 suína, 0,3 lb de carne suína e 0,2 lb de temperos. Os fornecedores podem entregar no máximo 0,20 lb Eletrodoméstico 2 10/dia 10/dia 500 de carne bovina, no máximo 600 lb de carne suína Eletrodoméstico 3 20/dia 70/dia 2.000 e pelo menos 50 lb de temperos. Se o lucro for de Custo diário ($) 10.000 20.000 $ 0,60 a cada libra de salsicha especial e de $ 0,40 a cada libras de salsicha normal, quantos libras de cada uma delas deveriam ser produzidas para obter 48.  Nutrição Em uma experiência, são fornecidos dois o lucro máximo? Qual é o lucro máximo? alimentos distintos a animais de laboratório. Cada alimento contém ingredientes essenciais, A e B, para 52. Manufatura Um fabricante produz dois tipos de cereais matinais, Senior Citizen’s Feast e Kids Co. os quais os animais possuem uma necessidade míniPara cada libra de Senior Citizen’s Feast são necesma e cada alimento também possui um ingrediente sários 0,6 lb de trigo e 0,20 lb de xarope enriquecido C que pode ser prejudicial aos animais. A tabela a com vitaminas e para cada libra de Kids Co. são neseguir sintetiza estas informações. cessários 0,4 lb de trigo, 0,2 lb de açúcar e 0,2 lb de xarope enriquecido com vitaminas. Os fornecedores  Alimento 1 Alimento 2 Necessidade são capazes de entregar no máximo 2.800 lb de trigo, no máximo 800 lb de açúcar e pelo menos 1.000 lb de Ingrediente A 10 unidades/g 3 unidades/g 49 unidades xarope enriquecido com vitaminas. Se o lucro for Ingrediente B 6 unidades/g 12 unidades/g 60 unidades de $ 0,90 em cada libra de Senior Citizen’s Feast e de $ 1,00 a cada libra de Kids Go, encontre o númeIngrediente C 3 unidades/g 1 unidade/g ro de libras de cada cereal que deverá ser produzido para obter o lucro máximo. Encontre o lucro máximo. Quantos gramas dos alimentos 1 e 2 deveriam ser 53. Custos de transporte A TV Circuit possui 30 teleoferecidos aos animais de modo a satisfazer as nevisores em um depósito em Erie e 60 televisores em

32

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

um depósito em Pittsburgh. São necessários 35 de- 54. Construção Um empreiteiro constrói dois tipos les em uma loja em Blairsville e 40 em uma loja em de casa. Para o modelo Carolina são necessários um Youngstown. Há um custo de $ 18 para transporte lote, $ 160.000 de capital e 160 dias de trabalho, ao de Pittsburgh a Blairsville e de $ 22, de Pittsburgh passo que para o modelo Savannah são necessários a Youngstown, ao passo que o custo é de $ 20 de um lote, $ 240.000 de capital e 160 dias de trabalho. Erie a Blairsville e de $ 25 de Erie a Youngstown. O empreiteiro possui 300 lotes e tem $ 48.000.000 Quantos aparelhos deveriam ser remetidos de cada de capital e $ 43.200 dias de trabalho disponíveis. O depósito, para cada loja, para minimizar os custos de lucro no modelo Carolina é de $ 40.000 e no modelo transporte? Sugestão: Se o número transportado de Savannah, de $ 50.000. Determine os vértices da rePittsburgh para Blairsville for representado por  x, gião viável e encontre quantas de cada tipo de casa então o número transportado de Erie para Blairsville deveriam ser construídas para maximizar o lucro. será representado por 35 – x. Encontre o maior lucro possível.

4.4 O Método Simplex: Maximização OBJETIVO 

PRÉ-APLICAÇÃO

Usar o método simplex para maximizar funções sujeitas a restrições

A Solar Technology Company fabrica três tipos diferentes de calculadoras de bolso e as classifica em científicas, financeiras e gráficas de acordo com seus recursos de cálculo. Os três tipos possuem exigências de produção dadas pela seguinte tabela. Científcas

Financeiras

Gráfcas

Componentes eletrônicos

5

7

10

 Tempo de montagem (horas)

1

3

4

Estrutura Plástica

1

1

1

A empresa possui um limite mensal de 90.000 componentes eletrônicos, 30.000 horas de trabalho e 9.000 estruturas plásticas. Se o lucro for de $ 6 para cada calculadora científica, $ 13 para cada financeira e $ 20 para cada gráfica, o número de cada uma que deveria ser produzido para gerar o lucro máximo e o valor deste lucro máximo possível podem ser encontrados usando o método simplex de programação linear.

O Método Simplex

O método gráfico para resolver problemas de programação linear é prático apenas quando existem duas variáveis. Se houvesse mais de duas variáveis poderíamos encontrar ainda os vértices da região convexa resolvendo simultaneamente as equações das fronteiras. A função objetivo poderia então ser calculada nestes vértices. Entretanto, à medida que o número de variáveis e o número de restrições crescem, torna-se cada vez mais difícil descobrir os vértices e extremamente demorado calcular a função. Além disso, alguns problemas não têm solução e isto não pode ser determinado usando o método de resolver as equações simultaneamente. O método discutido nesta seção é chamado de método simplex para resolução de problemas de programação linear. Basicamente, este método fornece uma maneira sistemática de se mover de um vértice viável da região convexa para outro de forma que o valor da função objetivo aumente até que se alcance o valor ótimo ou que se descubra que não existe nenhuma solução. O método simplex foi desenvolvido por George Dantzig, em 1947. Uma das primeiras aplicações do método gráfico foi para o problema de programação de horários que surgiu em relação à ponte-aérea de Berlim, iniciada em 1948. Neste caso,

4.4 O Método Simplex: Maximização

33

o objetivo era maximizar a quantidade de mercadorias entregues, sujeita a restrições, como o número de pessoal, o número e o tamanho de aeronaves disponíveis e o número de decolagens. A partir daí, a programação linear e o método simplex têm sido usados para resolver problemas de otimização em uma ampla gama de negócios. De fato, em uma pesquisa entre as 500 maiores empresas da Fortune, 85% dos que responderam indicaram que usam programação linear. Em 1984, um pesquisador da Bell Labs chamado N. Karmarkar desenvolveu um novo método (que usa pontos internos em vez de vértices) para resolução de problemas de programação linear. Quando o número de variáveis for muito grande, o método de Karmarkar é mais eficiente do que o método simplex. Por exemplo, o Comando Aéreo Militar dos Estados Unidos e a Delta Airlines obtiveram enormes economias usando o método de Karmarkar em problemas com milhares de variáveis. Apesar da eficiência do método de Karmarkar em problemas de programação linear muito grandes, o método simplex é tão eficiente quanto ele para muitas aplicações e ainda é largamente usado. Ao discutirmos o método simplex, inicialmente nos restringiremos a problemas de programação linear que satisfaçam as seguintes condições: 1. A função objetivo deve ser maximizada. 2. Todas as variáveis são não-negativas. 3. As restrições são da forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≤ b

onde b > 0. Estas condições podem, à primeira vista, parecer limitar excessivamente os tipos de problemas, porém, em situações aplicadas em que a função objetivo deve ser maximizada, as restrições em geral satisfazem as condições 2 e 3. Antes de descrevermos um procedimento para o método simplex, desenvolvamos o procedimento e investiguemos seu raciocínio verificando como o método simplex se compara com o método gráfico. EXEMPLO 1

Método Simplex

Maximizar f = 2 x + 3 y sujeita a  x + 2 y ≤ 10 2 x +  y ≤ 14

Como partimos do pressuposto que, nestes problemas, x ≥ 0 e y ≥ 0, não iremos mais mencionar explicitamente estas condições. SOLUÇÃO

O método simplex usa métodos matriciais em sistemas de equações de modo a converter as inequações de restrições em equações, por meio de variáveis de folga. Ao escrevermos x + 2 y ≤ 10, isto significa que há algum número não-negativo  ⎯  digamos, s1 ⎯ tal que s1 adicionado a x + 2 y seja igual a 10. A variável s1 é chamada de variável de folga pois ela muda com x e y de forma que a soma seja sempre 10. Portanto,  x + 2 y + s1 = 10

Podemos usar uma outra variável de folga s2 para escrever 2 x + y ≤ 14 como 2 x + y + s2 = 14

34

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Se escrevermos a função objetivo como uma equação na forma –2 x – 3 y + f = 0 então teremos um sistema de equações que descreve o problema. = 10 ⎧  x + 2 y + s1 ⎪ + s2 = 14 ⎨ 2 x + y ⎪− 2 x − 3 y + f  = 0 ⎩

Procuramos maximizar f na última equação, sujeita às restrições nas duas primeiras equações. Podemos colocar este sistema de equações em uma matriz chamada de matriz simplex ou tabela simplex. Observe que a função objetivo se encontra na última linha desta matriz com todas as variáveis no lado esquerdo e que as d uas primeiras linhas correspondem às restrições.

⎡  x y ⎢ 1 2  A = ⎢ ⎢ 2 1 ⎢ −2 −3 ⎣

s1

s2

f 

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎤ 10 ⎥ restrição 1 ⎥ rição 2 14 ⎥ restr  ⎥ 0 ⎦ objetivo

A partir do gráfico na Figura 4.23, sabemos que (0, 0) é uma solução viável fornecendo um valor 0 para  f . Como a origem sempre é uma solução viável para o tipo de problemas de programação linear que estamos considerando, o método simplex começa a partir deste ponto e vai sistematicamente se movendo para novos vértices enquanto aumenta o valor de  f .  y

 x + 2 y = 10 6 5

2 x +  y = 14

(0, 5) 4 3

(6, 2)

2

FIGURA 4.23

1

(0, 0)

 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(7, 0)

Observe que se x = 0 e y = 0, então a partir das linhas 1, 2 e 3 podemos ler, respectivamente, os valores de s1, s2 e f .  s1 = 10

 s2 = 14

 f = 0

Lembre-se que a última linha ainda corresponde à função objetivo f = 2 x + 3 y. Se procurarmos melhorar (isto é, aumentar o valor de) f = 2 x + 3 y alterando apenas o valor de uma das variáveis, então, como o coeficiente de y é maior, a melhora maior pode ser feita aumentando y. Em geral, podemos encontrar a variável que irá melhorar mais f  procurando o valor mais negativo na última linha da matriz simplex. A coluna que contém este valor é chamada de coluna -pivô.

35

4.4 O Método Simplex: Maximização

A matriz simplex A é mostrada novamente a seguir com a coluna y indicada como coluna-pivô.  x

y

s1

s2

f 

⎡ 1 2  A = ⎢ 2 1 ⎢ ⎢⎣ −2 − 3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

10 ⎤ 10/2 = 5 menor  14 ⎥ 14/1 = 144

⎥

0 ⎥⎦

entrada mais negativa e, portanto, a coluna-pivô

A quantidade pela qual y pode ser aumentada é limitada pelas equações de restrições (linhas 1 e 2 da matriz simplex). Como mostra o gráfico na Figura 4.23 da página anterior, as restrições limitam y a ser menor do que y = 5. Observe que quando os coeficientes positivos na coluna y da matriz simplex dividirem as constantes no aumento, o menor quociente será 10/2 = 5. O 2 (envolto por um círculo) na linha 1, coluna 2 da matriz A é chamado de entrada-pivô. O quociente y = 5 é encontrado fazendo x = 0 e s1 = 0 na equação da linha 1. O ponto (0, 5) corresponde a um vértice adjacente a (0, 0) na região de restrições. Para prosseguir com este método de resolução, usamos matrizes para simular a movimentação para um outro vértice da região de restrições. Multiplicamos a primeira linha por 12 para converter o elemento-pivô em 1 e depois adicionamos múltiplos da linha 1 a cada uma das linhas restantes para tornar iguais a 0 todos os elementos da coluna-pivô, com exceção do elemento-pivô.

⎡ 1 2 ⎢ 1  A = ⎢ 2 ⎢⎣ −2 − 3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

⎡ 12 1 14 ⎥  ⎯ ⎯⎯⎯  → ⎢⎢ 2 1 ⎥ ⎢⎣ −2 − 3 0 ⎥⎦ 10 ⎤

⎡ 12 − R + R →R  ⎯ ⎯⎯⎯⎯  → ⎢⎢ 32 3 R + R → R ⎢⎣ − 12 1

2

2

1

3

3

1 R → R 1 2 1

1 0

−

0

1 2 1 2 3 2

0

0

1

0

0

1

1 2

0

0

0

1

0

0

0

1

5⎤

⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

14

5⎤

⎥ =  B ⎥ 15 ⎥⎦ 9

Isto “transforma” a matriz simplex A em uma matriz simplex B equivalente. Como o coeficiente de y é 1 em uma linha e 0 em todas as demais, dizemos que a variável y é básica. Quando observamos esta matriz simple x transformada, B, percebemos que a linha inferior representa – 12 x + 32 s1 + f = 15 e, portanto, f = 15 + 12 x – 32 s1 depende de x e  s1 e f = 15 se x = 0 e s1 = 0. Como x foi mantido em 0 e  s1 tem que ser nãonegativo, o valor máximo de f ocorre neste ponto quando s1 = 0. Usando x = 0 e s1 = 0, as linhas 1, 2 e 3 nos permitem ler, respectivamente, os valores de y, s2 e f .  y = 5

 s2 = 9

 f = 15

Esta solução corresponde ao vértice (0, 5) da Figura 4.23. Também observamos que o valor de f pode ser incrementado aumentando-se o valor de x e, ao mesmo tempo, mantendo-se o valor de s1 em 0. Isso fica claro a partir da equação  f = 15 +

1 2

x−

3 2

s1

ou observando que o número mais negativo da última linha ocorre na coluna x da nova matriz B.

36

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

O valor do aumento em x é limitado pelas restrições. Podemos descobrir as limitações em x dividindo o termo constante no aumento de cada linha pelo coeficiente de x (se positivo) e escolhendo o menor quociente. 5÷ 9÷

1

= (5)( 2) = 10

da linha 1

2 ⎞  = (9) ⎛  ⎜ ⎟  = 6 2 ⎝ 3 ⎠ 

da linha 2

2 3

O menor quociente é 6 e, portanto, a entrada-pivô se encontra na linha 2, coluna 1 de B (envolta abaixo por um círculo). Observe que se nos deslocarmos para um vértice adjacente a (0, 5) na região da Figura 4.23, o maior valor de x será 6 [em (6, 2)].  x

y

s1

s2

⎡ 12 ⎢  B = ⎢ 32 ⎢⎣ − 12

1

1 2 1 2 3 2

0

0

5⎤

1

0

9⎥

0

1

−

0 0

f 

⎥

15 ⎥⎦

Transformemos novamente a matriz simplex B multiplicando a segunda linha por 23 para converter o elemento pivô em 1 e depois eliminando x de todas as linhas exceto a linha-pivô (a segunda linha ) em B. A nova matriz simplex será C .

 B

 x

y

s1

s2

f 

⎡ 12 = ⎢⎢ 32 ⎢⎣− 12

1

1 2 1 2 3 2

0

0

1

0

0

1

0 0

−

⎡ ⎢ 2  ⎯ ⎯⎯⎯⎯ 1 R + R → R → ⎢ 2 ⎢⎣ −1 R2 + R1 →R1 2

3

3

5⎤

⎡ 12 ⎥ 9  ⎯ ⎯⎯⎯  → ⎢⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ − 12 15 ⎥⎦ 2 R → R 2 3 2

 x

y

s1

s2

f 

0

1

2 3 1 3 4 3

− 13

0

2 3 1 3

0

1

0

0

0

−

1

1

−

0 0

1 2 1 3 3 2

0

0

2 3

0

0

1

5⎤

⎥ ⎥ 15 ⎥⎦ 6

2⎤

⎥ = C  ⎥ 18 ⎥⎦ 6

A última linha desta nova matriz C corresponde a 4 1 4 1  s1 + s2 + f = 18 ou f = 18 − s1 − s2 3 3 3 3

e, portanto, qualquer aumento em  s1 ou  s2 provocará uma diminuição em  f . Ao observarmos este fato ou percebermos que todas as entradas da última linha são não-negativas, inferimos que temos a solução ótima quando s1 = 0 e s2 = 0. Usando isso, as linhas 1, 2 e 3 fornecem os valores, respectivamente, para y, x e f .  y = 2

 x = 6

 f = 18

Isto corresponde ao vértice (6, 2) no gráfico e ao valor máximo de 18 neste vértice (que foi encontrado na solução gráfica da tabela Procedimento/Exemplo da seção anterior).

4.4 O Método Simplex: Maximização

37

Na revisão feita na solução via simplex do Exemplo 1, observe que cada uma das soluções viáveis corresponde a um vértice ( x, y) da região viável e que duas das quatro variáveis x, y, s1 e s2 eram iguais a 0 em cada uma das soluções viáveis. Em (0, 0): x e y eram iguais a 0. Em (0, 5): x e s1 eram iguais a 0. Em (6, 2): s1 e s2 eram iguais a 0. Observe a Figura 4.24 para ter uma ilustração de como o método simplex nos moveu de vértice em vértice até chegarmos à solução ótima.  y

(0, 5) 6

2o pivô 2 x + y = 14

5 4

1o pivô

3 2

(6, 2) Solução ótima neste ponto

 x + 2 y = 10

1

(0, 0)

 x

1

FIGURA 4.24

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(7, 0)

Os valores que foram igualados a zero em cada solução viável são chamados de variáveis não-básicas para esta solução viável e as demais variáveis são chamadas de variáveis básicas para esta solução viável. A cada passo no método simplex podemos identificar as variáveis básicas diretamente da matriz simplex observando que suas colunas contêm uma única entrada igual a 1 com todas as demais entradas iguais a zero. (Verifique isto.) As colunas restantes identificam as variáveis não-básicas. Portanto, os valores das variáveis não-básicas e da função objetivo podem ser lidos a partir das linhas da matriz simple x pois as variáveis não-básicas são igualadas a 0 em cada passo. Método Simplex: Tarefas e Procedimento

Tareas do Método Simplex 

O método simplex envolve uma série de decisões e operações usando matrizes. Ele envolve três tarefas principais. Tarefa A: Tarefa B: Tarefa C:

Configurar a matriz para o método simplex. Determinar as operações necessárias e implementá-las para chegar a uma solução. Ler a solução a partir da matriz simplex.

A partir do Exemplo 1, deveria ficar claro que a escolha do pivô e das operações efetuadas sobre linhas na Tarefa B visam deslocar o sistema para o vértice que permite o maior aumento na função e, ao mesmo tempo, é sensível às limitações de não-negatividade das variáveis. O procedimento que combina estas três tarefas para maximizar uma função é dado a seguir.

38

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

PROGRAMAÇÃO LINEAR (MÉTODO SIMPLEX)

Procedimento

Exemplo

Para usar o método simplex para resolver problemas de pro- Maximize f = 2 x + 3 y sujeita às restrições gramação linear:  x + 2 y ≤ 10 2 x + y ≤ 14 1. Use uma variável de folga diferente para representar 1.  x + 2 y ≤ 10 se transforma em x + 2 y + s1 = 10. cada restrição na forma de uma equação, com constantes 2 x + y ≤ 14 se transforma em 2 x + y + s2 = 14. positivas do lado direito. Maximize f em –2 x – 3 y + f = 0. 2. Configure a matriz simplex. Coloque a função objetivo  x y s1 s2 f  na última linha com todas as variáveis à esquerda e ⎡ 1 2 1 0 0 10 ⎤ coeficiente 1 para f . 2. ⎢ 2 1 0 1 0 14 ⎥

⎢ ⎢⎣ −2 − 3

0

⎥

0 ⎥⎦

0

1

1

0

0

0

1

0

14 ⎥

0

0

1

0 ⎥⎦

3. Encontre o pivô: ⎡ 1 2 (a) A coluna-pivô é aquela com o valor mais negativo na 3. (a) ⎢⎢ 2 1 última linha. (Caso ocorra um empate, use qualquer ⎢⎣ −2 − 3 uma das colunas empatadas.)

10 ⎤

⎥

Entrada mais negativa e, portanto, coluna-pivô

(b) O coeficiente positivo na coluna-pivô que fornece o menor quociente quando dividirmos as constantes no aumento das linhas de restrições por ele é a entradapivô. Se houver um empate, qualquer um dos coeficientes poderá ser escolhido. Se não houver nenhum coeficiente positivo na coluna-pivô, não existirá nenhuma solução. Pare.

(b) Quociente da linha 1:

10

Quociente da linha 2:

=5

2 14 1

= 14

Portanto, a linha-pivô é a linha 1.

⎡ 1 2 ⎢ 2 1 ⎢ ⎢⎣ −2 − 3

10 ⎤

1

0

0

0

1

0

14 ⎥

0

0

1

0 ⎥⎦

⎥

A entrada-pivô está envolvida por um círculo.

4. Use as operações sobre linhas somente na linha que contém a entrada-pivô para tornar a entrada-pivô igual a 1 e todas as demais entradas na coluna-pivô iguais a 0. Isto torna a variável básica.

4. Operações sobre linhas: Multiplique a linha 1 por 12 . Adicione –1 vezes a nova linha 1 à linha 2. Adicione 3 vezes a nova linha 1 à linha 3.

⎡ 12 ⎢ Re sultado : 32 ⎢ ⎢⎣ − 12

1 0 0

−

1 2 1 2 3 2

0

0

1

0

0

1

    

5⎤

⎥ ⎥ 15 ⎥⎦ 9

Indicadores

5. As entradas numéricas da última linha são os indicadores 5. – 1 é negativo e, portanto, identificamos uma 2 do que fazer a seguir. nova coluna-pivô e a reduzimos novamente. (a) Se houver um número negativo, retorne para o 1 0 0 5 ⎤ 5 ÷ 12 = 10 ⎡ 12 1 passo 3. 2 ⎢ 3 0 −1 1 0 ⎥ (b) Se todos os indicadores forem positivos ou nulos, 9 ⎥ 9 ÷ 32 = 6 * 2 ⎢ 2 2 foi obtido um valor ótimo para a função objetivo. ⎢⎣− 12 − 3 0 1 15 ⎥⎦ 3 (c) Em uma solução completa, as variáveis que Coluna-pivô possuírem entradas positivas na última linha *6 é o menor quociente serão variáveis não-básicas.

(continua)

4.4 O Método Simplex: Maximização

39

PROGRAMAÇÃO LINEAR (MÉTODO SIMPLEX)

Procedimento

Exemplo

A nova entrada-pivô é 32 (envolvida por um círculo). Agora faça uma redução usando a nova linha-pivô para obter: ⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1 0

−

0

2 3 1 3 4 3

− 13

0

2 3 1 3

0

2⎤

⎥ ⎥ 18 ⎥⎦ 6

1

Todos os indicadores são iguais a 0 ou positivos e, portanto, a solução está completa. Variáveis não-básicas: s1 e s2. Variáveis básicas  x e y

6. Após igualar as variáveis não-básicas a 0, verifique os valores das variáveis básicas e da função objetivo a partir das linhas da matriz.

6.  f é maximizada em 18 quando y = 2, x = 6, s1 = 0 e s2 = 0.

Se analisarmos nosso trabalho, poderemos verificar o seguinte: 1. Os passos 1 e 2 completam a Tarefa A. 2. Os passos 3 a 5 completam a Tarefa B. 3. O passo 6 completa a Tarefa C. EX EM PLO 2

Tarefas do Método Simplex

Complete as Tarefas A, B e C para encontrar o valor máximo de f = 4 x + 3 y sujeita às restrições  x + 2 y ≤ 8 2 x + y ≤ 10 SOLUÇÃO

Tarefa A:

Introduzindo variáveis de folga, obtemos o sistema de equações a se-

guir: = 8 ⎧  x + 2 y + s1 ⎪ + s2 = 10 ⎨ 2 x + y ⎪ −4 x − 3 y + f  = 0 ⎩

Escrevendo isto em uma matriz, com a função objetivo na última linha, temos:  x

y

⎡ 1 2 1  A = ⎢ 2 ⎢ ⎢⎣ −4 − 3 ↑

s1

s2

f 

1

0

0

0

1

0

10 ⎥

0

0

1

0 ⎥⎦

Entrada mais negativa

Tarefa B:

8⎤

8 /1 = 8

⎥ 10 / 2 = 5 * *Menor  r quociente

A entrada mais negativa da última linha é –4 (indicada pela seta) e, portanto, a coluna-pivô é a coluna 1. O menor quociente formado dividindo as constantes no aumento pelos coeficientes positivos da coluna 1 é 5 (indicado pelo asterisco) e, portanto, a linha 2 é a linha-pivô. Portanto, a entrada-pivô se encontra na linha 2, coluna 1 (envolta por um círculo, na matriz A acima).

40

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Em seguida, use operações sobre a linha 2 para tornar a entrada-pivô igual a 1 e todas as demais entradas na coluna iguais a zero. As operações sobre linhas são: (a) Multiplique a linha 2 por 12 para obter um 1 como novo elemento-pivô. (b) Adicione –1 vezes a nova linha 2 à linha 1 para obter um 0 na linha 1 acima do elemento-pivô. (c) Adicione 4 vezes a nova linha 2 à linha 3 para obter um 0 na linha 3 abaixo do elemento-pivô. Isto dá:  x

y

s1

⎡ 0 32 1 ⎢ 1 0  B = ⎢ 1 2 ⎢⎣ 0 − 1 0 ↑

s2

f 

− 12

0

1 2

0

2

1

3⎤

⎥ ⎥ 20 ⎥⎦

3÷

5

Entrada mais negativa

5÷

3 2 1 2

= 2* = 10

*Menor quociente

A última linha contém uma entrada negativa e, portanto, localizamos uma outra coluna-pivô e prosseguimos. A coluna-pivô é indicada por uma seta e o menor quociente é indicado por um asterisco. A nova entrada-pivô está envolta por um círculo. As operações sobre linhas usando esta linha-pivô são: (a) Multiplique a linha 1 por 23 para obter um 1 como novo elemento-pivô. (b) Adicione – 12 vezes a nova linha 1 à linha 2 para obter um 0 na linha 2 abaixo do elemento-pivô. (c) Adicione a nova linha 1 à linha 3 para obter um 0 na linha 3 abaixo do elemento-pivô. Estas operações então geram:  x

y

s1

⎡ 0 ⎢ C  = ⎢ 1 ⎢⎣ 0

1

2 3 1 3 2 3

−

0 0

s2

f 

− 13

0

2⎤

2 3 5 3

0

4⎥

⎥

22 ⎥⎦

1

Como não há nenhum indicador negativo na última linha, o processo de resolução está completo. Tarefa C : s1 e  s2 são variáveis não-básicas e, portanto, iguais a zero. Logo,  f  é maximizada em 22 quando y = 2, x = 4, s1 = 0 e s2 = 0.

EXE MPLO 3

Maximização de Lucros

A Solar Technology Company fabrica três tipos diferentes de calculadoras de bolso e as classifica em científicas, financeiras e gráficas de acordo com seus recursos de cálculo. Os três tipos possuem exigências de produção dadas pela seguinte tabela. Científcas

Financeiras

Gráfcas

Componentes eletrônicos

5

7

10

 Tempo de montagem (horas)

1

3

4

Estrutura plástica

1

1

1

A empresa tem um limite mensal de 90.000 componentes eletrônicos, 30.000 horas de trabalho e 9.000 estruturas plásticas. Se o lucro for de $ 6 para as calculadoras científicas, $ 13 para as financeiras e $ 20 para as gráficas, quantas unidades de cada modelo deverão ser produzidas para gerar o lucro máximo? Quanto é este lucro máximo?

4.4 O Método Simplex: Maximização

41

SOLUÇÃO

Sejam  x1 o número de calculadoras científicas produzidas,  x2 o número de calculadoras financeiras produzidas e  x3 o número de calculadoras gráficas produzidas. Então o problema é maximizar o lucro f = 6 x1 + 13 x2 + 20 x3, sujeito a Inequações

Equações com Variáveis de Folga

5 x 1 + 7 x 2 + 10 x 3 ≤ 90.000

5 x 1 + 7 x 2 + 10 x 3 + s1 = 90.000

 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≤ 30.000

 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + s2 = 30.000

 x 1 +  x 2 +  x 3 ≤ 9.000

x1 + x2 +

x3 + s3 = 9.000

A matriz simplex, com a entrada-pivô envolta por um círculo, é a seguinte: Variáveis de folga     

 x1

x2

x3

s1

s2

⎡ 5 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎣ −6

7

10

1

0

0

0

3

4

0

1

0

0

30 . 000 ⎥

1

1

0

0

1

0

9 . 000⎥

− 20 0 ↑

0

0

1

0⎦

− 13

s3 f  90 . 000 ⎤

9 0. 00 0 / 1 0 = 9. 000

⎥

30.000/4 =

500

9 . 000 / 1 = 9. 000

⎥

Entrada mais negativa

*Menor quociente

Agora, usamos operações sobre linhas para mudar a entrada-pivô para 1 e criar zeros nos demais elementos da coluna-pivô. As operações sobre linhas são: 1. Multiplique a linha 2 por 14 para converter a entrada-pivô em 1. 2. Usando a nova linha 2: (a) Adicione –10 vezes a nova linha 2 à linha 1. (b) Adicione –1 vez a nova linha 2 à linha 3. (c) Adicione 20 vezes a nova linha 2 à linha 4. O resultado é a segunda matriz simplex. Variáveis de folga     

 x1

x2

x3

s1

s2

s3

f 

⎡ 52 ⎢ 1 ⎢ 4 ⎢ 34 ⎢ ⎢⎣ − 1 ↑

− 12

0

1

− 52

0

0

3 4 1 4

1

0

1 4 1 4

0

0

0

0

1

0

2

0

0

0

1

−

5

15 . 000 ⎤ 15 . 000 ÷ 5 = 6000 2 7.500⎥ 7.500 ÷ 14 = 30 . 000

⎥

1.500⎥ 1.500 ÷ 34 = 2000 *

⎥

150. 000⎥⎦

Entrada mais neg g ativa

*Menor quociente

Para esta nova matriz simplex verificamos os indicadores da última coluna. Como existe uma entrada que é negativa, repetimos o processo simplex. Novamente, a entrada-pivô é envolta por um círculo e aplicamos operações sobre linhas similares às indicadas acima. Quais são as operações sobre linhas agora? A matriz resultante é

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

 x1

x2

x3

s1

s2

s3

f 

0

− 43

0

1

− 53

0

10. 000 ⎤

0

2 3 1 3 7 3

1

0

0

7000 ⎥

0

0

2000 ⎥

0

4 3 4 3

0

0

1 3 1 3 14 3

− 103 − 13

1

152. 000⎥⎦

1 0

−

⎥ ⎥

42

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Verificando a última linha, percebemos que todas as entradas nesta linha são 0 ou positivas e, portanto, a solução foi atingida. Como a solução foi atingida, as variáveis que possuem coeficientes positivos na última linha ( x2, s2 e s3) são não-básicas e igualamos cada uma delas a 0. Com estas variáveis iguais a 0, observamos da matriz que x1= 2.000, x3 = 7.000, s1 = 10.000 e f = 152.000. Portanto, os números de calculadoras que deveriam ser produzidas são:  x1= 2.000 calculadoras científicas  x2 = 0 calculadoras financeiras  x3 = 7.000 calculadoras gráficas

de modo a se obter um lucro máximo de $ 152.000 por mês. Observe que o fato de  s1 ser não nulo significa que alguns componentes eletrônicos não são usados nesta situação ótima.

PONTO DE CONTROLE

1. Escreva as seguintes restrições na forma de equações usando variáveis de folga: 3 x1 + x2 + x3 ≤ 9 2 x1 + x2 + 3 x3 ≤ 8 2 x1 + x2 ≤5 2. Configure a matriz simplex para maximizar f  = 2 x1 + 5 x2 +  x3 sujeita às restrições discutidas no Problema 1. Usando a matriz simplex do Problema 2, resolva o seguinte: 3. Encontre a primeira entrada-pivô. 4. Use operações sobre linhas para tornar básica a variável da primeira entradapivô. 5. Encontre a segunda entrada-pivô e crie uma segunda variável básica. 6. Encontre a solução.

A B C 1 2 3

Observação Tecnológica

Conforme indica nossa discussão, o método simplex é bastante complexo, mesmo quando o número de variáveis é relativamente pequeno (2 ou 3). Por esta razão, geralmente são usados aplicativos na resolução de problemas de programação linear. Todos os programas mais populares para planilhas eletrônicas (como o Lotus 1-2-3, Microsoft  Excel  e Quattro Pro) dispõem de um recurso de programação linear interno ou então na forma de um módulo adicional. Também os aplicativos para matemática MATLAB e MAPLE possuem recursos de programação linear. Além disso, existem vários endereços na Web que resolvem problemas de programação linear on-line e outros que oferecem recursos gratuitos de programação linear que podem ser baixados. O NEOS (Network-Enabled Optimization System) é um endereço governamental centralizado na Web ( URL: http://www.mcs.anl.  gov/home/otc/Server/ ) contendo informações e programas para resolver problemas de otimização. (Devemos observar que muitos dos materiais disponíveis por meio do NEOS exigem que tanto o problema quanto o seu dual, discutido na próxima seção, sejam submetidos em uma formulação especial.) A tela do Excel a seguir ilustra entradas para começar a resolver o problema de programação linear que foi resolvido “a mão” pelo método simplex no Exemplo 3.

4.4 O Método Simplex: Maximização

A 1

B

43

C

Variáveis

2 3

# de calculadoras científicas (x)

0

4

# de calculadoras financeiras (y)

0

5

# de calculadoras gráficas (z)

0

6 7

Objetivos

8 9

Maximizar lucro

=6*B3+13*B4+20*B5

10 11

Restrições

12

Quantidade usada

Máximo

13

Componentes eletrônicos

=5*B3+7*B4+10*B5

90.000

14

Horas de trabalho

=B3+3*B4+4*B5

30.000

15

Estruturas plásticas

=B3+B4+B5

9.000

Resolver este problema de programação linear envolve o uso do Excel Solver. (Para mais detalhes da solução usando o Excel Solver, ver Excel Guide for Finite Mathematics and Applied Calculus.) A tela a seguir mostra a solução. A 1

B

C

Variáveis

2 3

# de calculadoras científicas (x)

2.000

4

# de calculadoras financeiras (y)

0

5

# de calculadoras gráficas (z)

7.000

6 7

Objetivos

8 9

Maximizar lucro

152.000

10 11

Restrições

12

Quantidade usada

Máximo

13

Componentes eletrônicos

80.000

90.000

14

Horas de trabalho

30.000

30.000

15

Estruturas plásticas

9.000

9.000

44

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Esta tela indica que o lucro é maximizado em $ 152.000 quando são produzidas 2.000 calculadoras científicas e 7.000 calculadoras gráficas. Note que em “Restrições” a diferença entre as colunas chamadas “Máximo” e “Quantidade Usada” fornece o valor de cada variável de folga e, portanto, s1 = 10.000, s2 = 0 e s3 = 0. Observe que esta é a mesma solução encontrada no Exemplo 3.

Soluções Não-Únicas: Soluções Múltiplas e Nenhuma Solução Conforme vimos nos métodos gráficos, um problema de programação linear pode ter soluções múltiplas quando o valor ótimo para a função objetivo ocorrer em dois vértices adjacentes da região viável. Considere o problema a seguir. Maximize f = 2 x + y sujeita a  x +

1 2

 y

y ≤ 16

33 30

 x + y ≤ 24

(0, 24); f = 24

27

 x

24

1  y 2

16

21 18

(8, 16); f = 32

15

 x  y

12

4

9 6 3  x

(0, 0)

3

6

9 12 15 18 21 24 27 30

(16, 0); f = 32

FIGURA 4.25

A partir da Figura 4.25 podemos ver graficamente que este problema possui infinitas soluções sobre o segmento ligando os pontos (8, 16) e (16, 0). Examinemos como podemos descobrir estas soluções múltiplas pelo método simplex. A matriz simplex para este problema (com as variáveis de folga introduzidas) fica  x

⎡ 1 ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ −2

y

s1

s2

f 

1 2

1

1

0 1

−1

0

0 0 0

16 ⎤

⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

24

0 1

O valor mais negativo na última linha é –2 e, portanto, a coluna  x é a coluna pivô. O menor quociente ocorre na linha 1; a entrada-pivô (envolta por um círculo) é 1. Transformando-a em uma variável básica, obtemos a seguinte matriz simplex transformada:  x

y

⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

1 2 1 2

0

s1

s2 1

0

f  0

−1 1 0 2

0 1

16 ⎤

⎥ ⎥ 32 ⎥⎦ 8

Esta matriz simplex não possui nenhum indicador negativo e, portanto, o valor ótimo de f foi encontrado ( f = 32 quando x = 16, y = 0). Observe que uma das variáveis não-básicas ( y) possui um indicador nulo. Quando isto ocorre podemos usar a coluna com o indicador 0 como coluna-pivô e geralmente obter uma nova

4.4 O Método Simplex: Maximização

45

solução que possui o mesmo valor para a função objetivo. No presente exemplo, se usássemos a coluna  y como coluna-pivô então poderíamos ter encontrado a segunda solução (em x = 8, y = 16). Pediremos que você faça isso no Problema 41 dos exercícios desta seção. Soluções Múltiplas

Quando a matriz simplex para o valor ótimo de  f  tiver uma variável não-básica com um indicador nulo em sua coluna, podem existir soluções múltiplas dando o mesmo valor ótimo para f . Podemos descobrir se existe uma outra solução usando a coluna desta variável não-básica como coluna-pivô. Observe que, com o Excel, podemos encontrar soluções múltiplas usando diferentes valores iniciais para as variáveis quando o problema for introduzido no Excel.

Nenhuma Solução

Também é possível um problema de programação linear ter uma solução ilimitada (e, portanto, nenhum valor máximo para f). EX EM PLO 4

Método Simplex Quando Não Existe Nenhum Máximo

Maximize f = 2 x1 + x2 + 2 x3 sujeita a  x1 – 3 x2 + x3  x1 – 6 x2 + 2 x3 se existir um máximo.

3 ≤6

≤

SOLUÇÃO

A matriz simplex para este problema (após a introdução de variáveis de folga) é  x1

⎡ 1 ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ − 2

x2

−3 −6 −1

x3

s1

s2

f 

1

1

0

0

2

0

1

0

6⎥

−2

0

0

1

0 ⎥⎦

3⎤

⎥

Vemos que a coluna  x1 e a coluna  x3 possuem o mesmo número negativo e, portanto, podemos usar qualquer uma delas como coluna-pivô. Usando a coluna x3 como coluna-pivô, vemos que o menor quociente é 3. Ambos os coeficientes fornecem este quociente e, portanto, podemos usar qualquer um dos coeficientes como entrada-pivô. Usando o elemento na linha 1 podemos tornar  x3 básica. A nova matriz simplex é  x1

x2

⎡ 1 −3 ⎢ −1 0 ⎢ ⎢⎣ 0 − 7

x3

s1

s2

f 

1

1

0

0

0

−2 −2

1

0

0⎥

0

1

6⎥⎦

0

3⎤

⎥

O valor mais negativo na última linha-matriz é –7 e, portanto, a coluna-pivô é a coluna x2. Porém, não existe nenhum coeficiente positivo na coluna x2; o que isto significa? Mesmo que pudéssemos pivotar usando a coluna  x2, as variáveis  x1 e  s1 permaneceriam iguais a 0. E as relações entre as variáveis remanescentes x2, x3 e s2 seriam as mesmas. –3 x2 + x3 = 3

ou  s2 = 0

 x3 = 3 + 3 x2

46

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

À medida que x2 aumenta, x3 também aumenta pois todas as demais variáveis permanecem não-negativas. Isto significa que não importa quanto  x2 seja aumentado todas as outras variáveis continuarão não-negativas. Além disso, à medida que aumentamos  x2 (e, portanto, x3), o valor de  f  também aumenta. Isto é, não existe nenhum valor máximo para f . Este exemplo indica que quando um problema de programação linear tiver uma solução ilimitada (e, portanto, nenhum valor máximo para f ), isto é identificado pelas seguintes condições no método simplex. Nenhuma Solução

Se, após encontrar a coluna-pivô, não houver nenhum coeficiente positivo nesta coluna, não existirá nenhuma solução máxima. Podem surgir algumas dificuldades no emprego do método simplex para resolver problemas de programação linear. No processo de resolução é possível que haja recorrência de uma mesma matriz simplex antes de um valor ótimo para a função objetivo ser obtido. Estas “degenerações” são discutidas em cursos mais avançados. Elas raramente ocorrem em problemas de programação linear aplicados e não as encontraremos neste texto.

SOLUÇÕES DO PONTO DE CONTROLE

1. 3 x1 + x2 + x3 + s1 =9 2 x1 + x2 + 3 x3 + s2 =8 2 x1 + x2 + s3 = 5

2. ⎡

3

1

1

1

0

0

0

⎢ 2 1 3 0 1 0 0 ⎢ ⎢ 2 1 0 0 0 1 0 ⎢ ⎣ − 2 −5 −1 0 0 0 1

9⎤ 8⎥

⎥

5⎥

⎥

0⎦

3. A primeira entrada-pivô é o 1 na linha 3, coluna 2. 4.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

1

0

0

−1 0 3 0 1 −1 0

4⎤ 3⎥

2

1

0

0

0

1 0

5⎥

8

0

−1 0 0

5 1

25 ⎦

1

0

0

⎥ ⎥

5. A segunda entrada-pivô é o 3 na linha 2, coluna 3. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

− 13

− 23 − 13

0

3⎤

0

0

1

0

1⎥ 5⎥

1 3

14 3

1

26 ⎥⎦

1

0

0 1

0

0

1

0

1 3

2

1

0

0 0

8

0

0

⎥ ⎥

6. Todos os indicadores são 0 ou positivos e, portanto, f  é maximizada em 26 quando x1 = 0, x2 = 5 e x3 = 1.Observe também que s1 = 3, s2 = 0 e s3 = 0.

4.4

Exercícios

1. Converta as inequações de restrições 3 x + 5 y ≤ 15 e 3 x + 6 y ≤ 20 para equações contendo variáveis de folga.

2. Converta as inequações de restrições 2 x + y ≤ 4 e 3 x + 2 y ≤ 8 para equações contendo variáveis de folga.

4.4 O Método Simplex: Maximização

Tarefa A: Nos Problemas 3 a 8, monte a matriz simplex para resolver cada problema de programação linear. Suponha que todas as variáveis sejam não-negativas.

3. Maximize f = 2 x + 4 y sujeita à 2 x + 5 y ≤ 30 x + 5 y ≤ 25

14. ⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

5. Maximize f = 4 x + 9 y sujeita à  x + 5 y ≤ 200 2 x + 3 y ≤ 134

15. ⎡

5 x +  y ≤ 50  x + 2 y ≤ 50

16. ⎡

7. Maximize f = 2 x + 5 y + 2z sujeita à 2 x + 7 y + 9z ≤ 100 6 x + 5 y + z ≤ 145  x + 2 y + 7z ≤ 90 8. Maximize f = 3 x + 5 y + 11z sujeita à 2 x + 3 y + 4z ≤ 60  x + 4 y + z ≤ 48 5 x +  y + z ≤ 145 Tarefa B: Nos Problemas 9 a 12, é fornecida uma matriz simplex. Em cada um dos casos, identifique o elemento pivô. 4 1

24 ⎤

0 0

⎢ 1 1 0 1 0 ⎢ ⎢⎣ − 4 − 11 0 0 1

10. ⎡

3

⎢ 4 ⎢ ⎢⎣ − 5

11. ⎡10

1

1

0

0

100 ⎤

3

6

0 1

0

⎥ 0 ⎥⎦

27

1

0 0

0

⎢ 4 51 0 1 0 0 ⎢ ⎢15 27 0 0 1 0 ⎢ ⎣−6 −7 0 0 0 1

12. ⎡

5

5

7

1

0 0

250 ⎥

0

0

3 1

2

0

1

2

0

2 1

4

1

⎥

15 ⎥ 15 ⎥⎦ 2⎤

⎥ ⎥ 12 ⎥⎦

0

4

3 4 5 8

0 0

12 ⎤

0

− 15 0

1

2

1

1

17. ⎡

1

4

4

1

0

⎢ 2 4 0 1 ⎢ ⎢ −3 −11 0 0 ⎢ ⎣ −3 −3 0 0

4

14 ⎤

0

⎥

12 ⎤

0

1

0

5⎥

1

0

0

6⎥

0

0 1

30 ⎦

0

2

0

12 ⎤

1

−1 0 −1 0

6⎥

0

4 1

150⎦

0

− 6 1 0 −3 0 − 6 0 1 −2 0

⎢ ⎢1 − 1 0 0 0 4 0 ⎢ ⎣0 − 9 −12 0 0 10 1

350 ⎥

⎥

525 ⎥⎦ 0

−1 0 1 − 5 0 0

5

⎥

11 ⎥

0

0

4

6⎥

0

4 −4 0 0 −3 ⎢0 1 − 4 2 5 0 0 ⎢ ⎢0 0 −1 −6 −3 1 0 ⎢ 6 −1 −3 0 1 ⎣0 0

18. ⎡1

⎡0 20

400 ⎥

⎥ ⎥

4⎥

⎥ ⎥

12 ⎤

100 ⎥

⎥

40 ⎥

⎥

380 ⎦ 5⎤

12 ⎥

⎥

6⎥

⎥

120 ⎦ 4⎤ 2⎥

⎥

6⎥

⎥

20 ⎦

8⎥

Tarefa C : Nos Problemas 21 a 26, é fornecida uma matriz simplex. Em cada um dos casos a solução está completa; portanto, identifique o valor máximo de  f e um conjunto de valores das variáveis que fornecem este valor máximo. Caso possam existir soluções múltiplas, indique este fato e localize o próximo pivô.

0⎦

21. ⎡1

⎥ 0⎦

⎢ 4 0 6 0 1 0 0 ⎢ ⎢ 0 1 1 0 0 1 0 ⎢ ⎣ −1 −3 − 1 0 0 0 1

0

4

20. ⎢0

200 ⎤

0

1

1 3

⎢ 1 0 1 0 1 0 0 ⎢ ⎢ 3 − 3 0 0 −2 1 0 ⎢ ⎣ − 2 −5 0 0 10 0 1

⎥ 0 ⎥⎦

1

− 34 0

1

⎢ −2 0 − 1 −2 ⎢ 2 −1 ⎢ 4 0 ⎢ 5 7 ⎣ −2 0

19. ⎡

5⎥

− 3 −4 0 0 1

0

⎢ −2 0 0 1 − −2 0 ⎢ 6 0 ⎢ 3 0 1 0 2 ⎢ 1 1 2 ⎢⎣ 4 0 0 0 2

6. Maximize f = x + 3 y sujeita à

2

2

⎢ 3 ⎢ ⎢⎣ −4

3 x + 7 y ≤ 20 7 x + 4 y ≤ 44

9. ⎡

Tarefa B: Nos Problemas 13 a 20, é fornecida uma matriz simplex. Examine os indicadores e determine se a solução está ou não completa. Se estiver completa, indique isto. Caso contrário, encontre o próximo elemento-pivô ou indique que não existe nenhuma solução.

13. ⎡

4. Maximize f = x + 5 y sujeita à

47

12 ⎤ 48 ⎥

⎥ ⎥

0

⎢0 1 ⎢ ⎢⎣0 0

3 4 5 12

− 34

0

11 ⎤

11 12

0

9⎥

2

4

1

⎥

20 ⎥⎦

48

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

22. ⎡ 0

− 15 0

4 1

⎢1 2 0 ⎢ ⎢⎣ 0 2 0

23. ⎡

4

1

1

2⎤

⎥

0

4⎥

12 ⎥⎦

2 1 3 4 8 5

0 0

4

14 ⎤

0

⎢ −2 0 0 1 − −2 0 ⎢ ⎢ 3 0 1 0 2 6 0 ⎢ 1 1 ⎢⎣ 4 0 0 0 2 2

6⎥

⎥

11 ⎥

⎥

525⎥⎦

− 3 − 1 −4 0 ⎢1 0 0 −2 − 1 − 5 0 ⎢ ⎢0 0 1 −1 2 1 0 ⎢ ⎣0 0 0 4 1 2 1

24. ⎡ 0

25. ⎡1

1

0

3

0

6

0

⎢0 0 4 1 −4 0 ⎢ ⎢0 1 −2 0 2 0 ⎢ ⎣0 0 9 0 0 1

26. ⎡ 0

1

12 ⎤

0

2

1

0

0

⎢1 0 6 1 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 −1 −2 1 0 ⎢ 4 0 0 1 ⎣0 0

16 ⎥

⎥

22 ⎥

⎥

150⎦

50 ⎤ 6⎥

⎥

10 ⎥

⎥

100 ⎦ 20 ⎤

50 ⎥

⎥

10 ⎥

⎥

88 ⎦

Nos Problemas 27 a 34, use o método simplex para maximizar as funções dadas. Suponha que  x ≥ 0, y ≥ 0 em todos os problemas. 27. Maximize f = 3 x + 10 y sujeita a

14 x + 7 y ≤ 35 5 x + 5 y ≤ 50 28. Maximize f = 7 x + 10 y sujeita a 14 x + 14 y ≤ 98 8 x + 10 y ≤ 100 29. Maximize f = 2 x + 3 y sujeita a  x + 2 y ≤ 10  x + y ≤ 7

30. Maximize f = 5 x + 30 y sujeita a 2 x + 10 y ≤ 96  x + 10 y ≤ 90 31. Maximize f = x + 3 y sujeita a  x + 2 y ≤ 12  y ≤ 5  x +  y ≤ 9

32. Maximize f = 2 x + 6 y sujeita a 2 x + 5 y ≤ 30 x + 5 y ≤ 25  x +  y ≤ 11 33. Maximize f = 2 x + y sujeita a – x +  y x + 2 y 3 x +  y

2 ≤ 10 ≤ 15 ≤

34. Maximize f = 3 x + 2 y sujeita a  x  x 2 x  x

+ 2 y ≤ 48 +  y ≤ 30 +  y ≤ 50 + 10 y ≤ 200

Nos Problemas 35 a 40, suponha que x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0. 35. Maximize f = 7 x + 10 y + 4z sujeita a

3 x + 5 y + 4z ≤ 30 3 x + 2 y ≤4 ≤8  x + 2 y 36. Maximize f = 64 x + 36 y + 38z sujeita a 4 x + 2 y + 2z ≤ 40 8 x + 10 y + 5z ≤ 90 4 x + 4 y + 4z ≤ 30 37. Maximize f = 20 x + 12 y + 12z sujeita a x+ z x + y y+ z

40 ≤ 30 ≤ 40 ≤

38. Maximize f = 10 x + 5 y + 4z sujeita a 2 x +  y + z ≤ 50 x + 3 y ≤ 20 y + z ≤ 15 39. Maximize f = 10 x + 8 y + 5z sujeita a 2 x +  y + z x + 2 y y + 3z

40 ≤ 10 ≤ 80 ≤

40. Maximize f = x + 3 y + z sujeita a x + 4 y ≤ 12 3 x + 6 y + 4z ≤ 48 y+ z ≤8

4.4 O Método Simplex: Maximização

Os Problemas 41 a 46 envolvem questões de programação linear que possuem soluções múltiplas ou que não têm nenhuma solução. As matrizes simplex mostradas nos Problemas 41 e 42 indicam que foi encontrada uma solução ótima, porém que é possível uma segunda solução. Encontre essa segunda solução.

41. ⎡1

1 2 1 2

1

2

0 1

0

0

⎢0 −1 1 0 ⎢ ⎢⎣0 0 2 0 1

42. ⎡1

0

⎢0 1 1 2 0 ⎢ ⎢⎣0 0 0 4 1

16 ⎤

⎥ ⎥ 32 ⎥⎦ 8

40 ⎤

15 ⎥

⎥

90 ⎥⎦

Nos Problemas 43 a 46, use o método simplex para maximizar cada função (sempre que possível) sujeita às restrições dadas. Se não houver nenhuma solução, indique este fato; caso existam soluções múltiplas, encontre duas delas. 43. Maximize f = 3 x + 2 y sujeita a  x – 10 y ≤ 10 – x +  y ≤ 40

44. Maximize f = 10 x + 15 y sujeita a –5 x +  y ≤ 24 2 x – 3 y ≤ 9 45. Maximize f = 3 x + 12 y sujeita a 2 x +  y ≤ 120 x + 4 y ≤ 200 46. Maximize f = 8 x + 6 y sujeita a 4 x + 3 y ≤ 24 10 x + 9 y ≤ 198

49

lote, $ 160.000 de capital e 160 dias de trabalho, ao passo que para o modelo Savannah são necessários um lote, $ 240.000 de capital e 160 dias de trabalho. O empreiteiro possui 300 lotes e tem $ 48.000.000 de capital disponível e 43.200 dias de trabalho. O lucro no modelo Carolina é de $ 40.000 e no modelo Savannah, de $ 50.000. (a) Construa a matriz simplex para maximizar o lucro. (b) Use o método simplex para encontrar quantas unidades de cada tipo de casa deveriam ser construídas para maximizar o lucro e encontre o maior lucro possível. 49. Manufatura A Standard Steel Company fabrica dois produtos, rodas e eixos para vagões. A produção requer o processamento em dois departamentos: o departamento de fundição (Departamento A) e o departamento de usinagem (Departamento B). O Departamento A tem 50 horas disponíveis por semana ao passo que o Departamento B tem 43 horas. Fabricar um eixo requer 4 horas no Departamento A e 3 horas no Departamento B. A fabricação de uma roda requer 3 horas no Departamento A e 5 horas no Departamento B. O lucro é de $ 300 por eixo e $ 300 por roda. (a) Monte a matriz simplex usada para maximizar o lucro da empresa. (b) Encontre o maior lucro possível e o número de eixos e rodas que irão maximizar o lucro. 50.  Experimentação Uma experiência envolve a colocação de machos e fêmeas de uma espécie de animal de laboratório em dois ambientes distintos e controlados. Há um tempo máximo disponível nestes ambientes e o pesquisador deseja maximizar o número de animais sujeitos às restrições descritas.

APLICAÇÕES

47. Manufatura A Newjet Inc. fabrica dois tipos de impressoras, uma a jato de tinta e a outra a laser. A empresa é capaz de fabricar um total de 60 impressoras por dia e tem disponível 120 horas de trabalho diárias. Fabricar uma impressora a jato de tinta consome 1 hora de trabalho, ao passo que para uma a laser este tempo sobe para 3 horas. O lucro é de $ 40 para uma impressora jato de tinta e de $ 60 para uma a laser. (a) Construa a matriz simplex para maximizar o lucro diário. (b) Encontre o lucro máximo e o número de cada tipo de impressora que irá maximizar o lucro. 46. Construção Um empreiteiro constrói dois tipos de casa. Para o modelo Carolina são necessários um

Machos

Fêmeas

Tempo Disponível 

Ambiente A

20 min

25 min

800 min

Ambiente B

20 min

15 min

600 min

Quantos machos e quantas fêmeas irão maximizar o número total de animais? 51. Transporte Um atacadista de produtos alimentícios determinou que leva 12 hora para separar e embalar uma caixa de tomates e 1 14 hora para uma caixa de pêssegos. A caixa de tomates pesa 30 kg e a de pêssegos pesa 25 kg. O atacadista tem 2.500 horas de trabalho disponíveis por semana e é capaz de remeter 60.000 kg por semana. Se os lucros forem de $ 1 por caixa de tomates e de $ 2 por caixa de pêssegos, quantas caixas de cada produto devem ser

50

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

separadas, embaladas e remetidas para maximizar o Se o número máximo de pacotes das mídias 1, 2 e 3 lucro total? Qual é o lucro máximo? que podem ser adquiridos for de, respectivamente, 18, 10 e 12, quantos pacotes deveriam ser adquiridos para 52. Manufatura Um fabricante possui dois recursos maximizar o número de exposições aos anúncios? disponíveis, R1 e R2. Estes recursos podem ser usados para produzir dois produtos diferentes, A e B, da 56.  Propaganda A Laposata Pasta Company dispõe seguinte maneira. de $ 12.000 para propaganda. A tabela a seguir fornece os custos por pacote de anúncios e o número 2 unidades de R1 e 5 unidades de R2 resultam em de pessoas expostas a eles em três mídias diferentes 1 unidade de A. (onde os números estão em milhares). 5 unidades de R1 e 5 unidades de R2 resultam em 1 unidade de B. Jornal Rádio TV   Há disponibilidade de 30 unidades de R 1 e 25 unida- Pacotes de Anúncios des de R2. Custo 2 2 4 O lucro para A é de $ 2 por unidade e para B é de $ 4 Audiência total 30 21 54 por unidade. Quantas unidades dos produtos A e B deMães que trabalham fora 6 12 8 veriam ser produzidas para maximizar o lucro total? 53.  Propaganda A Tire Corral tem $ 6.000 disponíveis por mês para propaganda. Os anúncios em jornal Se a audiência total disponível for de 420.000 e se a custam $ 100 cada e podem ser veiculados no máxiempresa desejar maximizar o número de exposições mo 21 vezes por mês. Os anúncios no rádio custam das mães que trabalham fora, quantos anúncios de $ 300 cada e podem ser veiculados no máximo 28 vecada tipo deveriam ser adquiridos? zes por mês. Cada anúncio de jornal atinge 6.000 ho- 57. Manufatura Uma empresa decidiu descontinuar a mens acima de 20 anos de idade, ao passo que cada produção de um produto que não gerava lucro. Isto anúncio de rádio atinge 8.000 dos homens dessa cacriará uma capacidade ociosa e a firma considera tegoria. A empresa deseja maximizar o número de então um ou mais de três possíveis produtos novos exposições deste grupo a anúncios. Quanto de cada A, B e C. Os horários semanais disponíveis na fátipo de anúncio a empresa deveria contratar? Qual é brica serão de 477 horas em ferramentas e moldes, o maior número possível de exposições? 350 horas nas máquinas de furar de bancada e 150 54. Manufatura Um fabricante de bicicletas produz horas nos tornos. As horas de produção necessárias um modelo com dez marchas e outro comum. O moem cada uma destas áreas são as seguintes para cada delo de dez marchas usa 2 unidades de aço e 6 unidaum dos produtos: des de alumínio em sua estrutura e 12 componentes especiais para o conjunto formado pelo eixo, roda Ferramentas Máquinas de Furar  dentada e engrenagens. A bicicleta comum precisa e Moldes de Bancada Torno de 5 unidades de aço e 5 unidades de alumínio para sua estrutura e 5 das componentes especiais. As reA 9 5 3 messas são tais que o aço é limitado a 100 unidades B 3 4 0 por dia, o alumínio a 120 unidades por dia e os componentes especiais a 180 unidades por dia. Se o lucro C 0,5 0 2 for de $ 30 em cada bicicleta de 10 marchas e de $ 20 em cada bicicleta comum, quantas unidades de cada Além disso, o departamento de vendas não prevê modelo deveriam ser produzidas para maximizar o nenhuma limitação na venda dos produtos A e C, lucro? Qual é o lucro máximo? porém prevê vendas de apenas 20 ou menos por se55.  Propaganda O orçamento total de uma empresa mana do produto B. Se os lucros unitários esperados disponível para propaganda é de $ 200.000. A tabeforem de $ 30 para A, $ 9 para B e de $ 15 para C, la a seguir fornece os custos por pacote de anúncios quantas unidades de cada produto deveriam ser propara cada tipo de mídia e o número de exposições duzidas para maximizar o lucro total? Qual é o lucro por pacote de anúncios (onde todos os números esmáximo? tão em milhares). 58.  Diagnóstico Uma clínica médica realiza três tipos de exames médicos que usam os mesmos equipamenMídia 1 Mídia 2 Mídia 3 tos. Os Exames A, B e C levam 15, 30 e 60 minutos Custo/pacote 10 4 5 para serem realizados com lucros, respectivamente, Exposições/pacote 3100 2000 2400 de $ 30, $ 50 e $ 100. A clínica tem 4 equipamentos

51

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização

disponíveis. Uma pessoa é qualificada para realizar o exame A, duas o exame B e uma o exame C. Se a clínica tiver uma grande procura de clientes para estes exames, quantos de cada tipo de exame ela deveria programar em um dia de 12 horas para maximizar seus lucros? 59. Manufatura Um fabricante de liquidificadores produz três tamanhos diferentes: Comum, Especial e Kitchen Magic. A produção de cada tipo requer os materiais e quantidades dados na tabela a seguir. Suponha que o fabricante esteja abrindo uma nova fábrica e preveja abastecimentos semanais de 90.000 componentes elétricos, 12.000 unidades de alumínio e 9.000 copos de liquidificador. O lucro unitário é de $ 3 para o modelo Comum, $ 4 para o Especial e de $ 8 para o Kitchen Magic. Quantas unidades de cada tipo de liquidificador deveriam ser produzidas para maximizar o lucro total? Qual é o maior lucro possível? Comum

Especial

Kitchen Magic 

Componentes elétricos

5

12

24

Unidades de alumínio

1

2

4

Copos de liquidificador

1

1

1

60. Construção Um empreiteiro constrói três tipos de casa: Aries, Belfair e Wexford. Cada casa usa um lote e a tabela a seguir fornece o número de horas de tra-

balho e o volume de capital necessários para construir cada tipo de casa, bem como o lucro na venda de cada tipo de casa. Existem 12 lotes, 47.500 horas de trabalho e $ 3.413.000 disponíveis para este fim. (a) Quantas casas de cada tipo deveriam ser construídas para maximizar o lucro? (b) Qual é o maior lucro possível?

Horas de trabalho Capital ($) Lucro ($)

 Aries

Belfair

Wexford 

3.000 205.000 20.000

3.700 279.600 25.000

5.000 350.000 30.000

61.  Receitas Uma proprietária possui um prédio com 26 apartamentos de um dormitório, 40 apartamentos de dois dormitórios e 60 apartamentos de três dormitórios disponíveis para serem alugados a estudantes. O valor do aluguel foi estabelecido da seguinte maneira: $ 500 mensais para as unidades de um dormitório, $ 800 mensais para as unidades de dois dormitórios e $ 1.150 mensais para as unidades de três dormitórios. Ela precisa alugar para um estudante por dormitório e leis de zoneamento a limitam a admitir um máximo de 250 estudantes neste prédio. Há uma procura suficiente para todos os tipos de apartamentos. (a) Quantas unidades de cada tipo de apartamento ela deveria alugar para maximizar suas receitas? (b) Qual é a receita máxima possível?

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização OBJETIVOS 



Formular o dual para problemas de minimização Resolver problemas de minimi zação usando o método simplex  no dual 

PRÉ-APLICAÇÃO Um produtor de gado de corte está considerando dois tipos diferentes de ração. Cada ração contém alguns ou todos os ingredientes necessários para a engorda dos animais. A ração da marca 1 custa 20 centavos por libra e a da marca 2 custa 30 centavos por libra. A Tabela 4.1 contém todos os dados relevantes sobre nutrição e o custo de cada marca e as necessidades mínimas por unidade de gado. O produtor gostaria de determinar quanto de cada marca comprar de modo a satisfazer as necessidades nutricionais dos ingredientes A e B a um custo mínimo.

TABELA 4.1 Marca 1

Marca 2

Necessidades Mínimas

Ingrediente A

3 unidades/libra

5 unidades/libra

40 unidades

Ingrediente B

4 unidades/libra

3 unidades/libra

46 unidades

Custo por libra

20 centavos

30 centavos

Nesta seção usaremos o método simplex para resolver problemas de minimização como o apresentado acima.

52

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Problemas Duais

Resolvemos problemas tanto de maximização quanto de minimização usando métodos gráficos porém o método simplex, conforme discutido na seção anterior, aplica-se apenas a problemas de maximização. Voltemos nossa atenção agora para estender o uso do método simplex para resolver problemas de minimização. Tais problemas poderiam surgir quando uma empresa procura minimizar seus custos de produção além de atender os pedidos dos clientes ou comprar os artigos necessários para a produção. Assim como nos problemas de maximização, limitaremos nossa discussão de problemas de minimização àqueles nos quais as restrições satisfazem as seguintes condições: 1. Todas as variáveis são não-negativas. 2. As restrições são da forma a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn ≥ b onde b é positivo. Nesta seção, mostraremos como os problemas de minimização deste tipo podem ser resolvidos usando o método simplex. EX EM PLO 1

Um Problema de Minimização e o seu Dual

Minimize g = 11 y1 + 7 y2 sujeita a

 y1 + 2 y2 ≥ 10 3 y1 +  y2 ≥ 15

SOLUÇÃO

Como o método simplex procura especificamente aumentar a função objetivo, ele não se aplica ao problema de minimização acima. Em vez de resolvermos este problema, resolvamos um problema diferente porém relacionado, chamado de problema dual. Para formarmos os problemas duais, construímos uma matriz  A que tem uma forma similar à matriz simplex, porém sem as variáveis de folga e com coeficientes positivos para as variáveis da última linha (e com a função a ser minimizada no aumento). A matriz para o problema dual é formada trocando as linhas e colunas da matriz A. A matriz B é o resultado deste procedimento e lembre que B é a transposta de A. ⎡ 1 2  A = ⎢ 3 1 ⎢ ⎢⎣11 7

10 ⎤ 15 ⎥

⎥  g ⎥⎦

⎡ 1 3 1  B = ⎢ 2 ⎢ ⎢⎣10 15

11 ⎤ 7⎥

⎥

 g  ⎥⎦

Observe que a linha 1 de  A torna-se a coluna 1 de B, a linha 2 de A torna-se a coluna 2 de B e a linha 3 de A torna-se a coluna 3 de B. Da mesma maneira que formamos a matriz  A, podemos agora “converter de volta” da matriz B para o problema de maximização que é o dual do problema de minimização original. Enunciamos este problema dual usando letras diferentes para enfatizar que se trata de um problema distinto do original. Maximize f = 10 x1 + 15 x2 sujeita a  x1 + 3 x2 ≤ 11 2 x1 +  x2 ≤ 7

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização

53

O método simplex se aplica efetivamente a este problema de maximização, com a seguinte matriz simplex:  x1

x2

3 ⎡ 1 ⎢ 2 1 ⎢ ⎢⎣ −10 −15

s1

s2

f 

1

0

0

0

1

0

7⎥

0

0

1

0 ⎥⎦

11⎤

⎥

As matrizes subseqüentes que ocorrem usando-se o método simplex no problema de maximização são mostradas a seguir, com cada entrada-pivô envolta por um círculo. Ao lado do problema de maximização temos a solução para o problema de minimização original, obtida empregando-se métodos gráficos. COMPARAÇÃO DE UM PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO COM O SEU DUAL

Problema de Maximização—Método Simplex 1.

 x1

Problema de Minimização—Método Gráfico  y2

x2

s1

s2

f 

3 ⎡ 1 ⎢ 2 1 ⎢ ⎢⎣ − 10 − 15

1

0

0

0

1

0

7⎥

0

0

1

0 ⎥⎦

11⎤

16

⎥

12

 A 3 y1  y2

15

 B  y1

2 y2

8

4

10

C   y1 4

8

12

16

FIGURA 4.26 2.

3.

⎡ 13 ⎢ 5 ⎢ 3 ⎢⎣ −5

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1 3 1 3

0

0

1

0

5

0

1

⎤ ⎥ ⎥ 55 ⎥⎦

2 5 1 5

− 15

0

3⎤

3 5

0

4

3

1

1

−

0 0 1 0 0

−

Vértices:  A = (0, 15) B = (4, 3) C = (10, 0)

11 3 10 3

⎧obtido resolvendo-se ⎨ ⎩simultaneamente

 g = 11 y1 + 7 y2 ; Em A,  g = 105 Em B,  g = 65 Em C ,  g = 110

⎥ ⎥ 65 ⎥⎦ 2

O valor máximo é f = 65 e ele ocorre em x1 = 2,  x2 = 3.

O valor mínimo é g = 65 e ele ocorre em y1 = 4, y2 = 3.

Ao compararmos as soluções dos dois problemas anteriores, a primeira coisa a ser notada é que o valor máximo de  f  no problema de maximização e o valor mínimo de g no problema de minimização são o mesmo. Além disso, observando a matriz simplex final também podemos encontrar os valores de y1 e y2 que fornecem o valor mínimo para g observando a última linha da matriz.

54

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

 x1

x2

s1

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1

2 5 1 5

− 15

0

3 5

0

4

3

1

0 0

−

s2

f  3⎤

⎥ ⎥ 65 ⎥⎦ 2

    

Esttes valores fornecem os valores para  y1 e y2 no problema d e minimização.

Dualidade e Resolução

Princípio da Dualidade

A partir deste exemplo vemos que o problema de minimização dado e seu problema dual de maximização estão intimamente ligados. Além disso, parece que quando os problemas satisfazem essa relação, o método simplex poderia ser usado para resolver ambos. A questão é se o método simplex irá ou não resolver sempre ambos os problemas. A resposta é sim. Este fato foi provado por John von Neumann e é sintetizado pelo Princípio da Dualidade.

1. Quando um problema de minimização e seu dual possuem uma solução, o valor máximo da função a ser maximizada é o mesmo valor que o valor mínimo da função a ser minimizada. 2. Quando o método simplex for usado para resolver o problema de maximização, os valores para as variáveis que resolvem o problema de minimização correspondente são as últimas entradas nas colunas correspondentes às variáveis de folga.

EX EM PLO 2

Minimização com o Método Simplex

Dado o problema Minimize 18 y1 + 12 y2 = g sujeita a 2 y1 +  y2 ≥ 8 6 y1 + 6 y2 ≥ 36 (a) Enuncie o dual deste problema de minimização. (b) Use o método simplex para resolver o problema dado. SOLUÇÃO

(a) O dual deste problema de minimização será um problema de maximização. Para formar o dual, escreva a matriz A (sem as variáveis de folga e com coeficientes positivos para as variáveis da última linha) para o problema dado. ⎡ 2 1 8⎤  A = ⎢ 6 6 36 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣18 12  g ⎥⎦

Transponha a matriz A para obter a matriz B. ⎡ 2 6 18 ⎤ 6 12 ⎥  B = ⎢1 ⎢ ⎥ ⎢⎣8 36  g  ⎥⎦

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização

55

Escreva o problema de maximização dual, atribuindo novos nomes às variáveis e à função. Problema Dual Maximize  f = 8 x1 + 36 x2 = g sujeita a

2x1 + 6x2 ≤ 18  x1 + 6 x2 ≤ 12 (b) Para resolver o problema de minimização dado, usaremos o método simplex em seu problema dual de maximização. É dada a matriz simplex completa para cada etapa e cada entrada-pivô está envolta por um círculo. 1. ⎡

2

6

1

0

0

⎢ 1 6 0 1 0 ⎢ ⎢⎣ −8 − 36 0 0 1  x1

3. ⎡1

x2

s1

s2

1

−1 0

0

⎢0 1 ⎢ ⎢⎣0 0

−

2. ⎡

18 ⎤

12 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

1

0 1

⎢ 1 1 0 ⎢ 6 ⎢⎣ −2 0 0

−1 0

6⎤

0

2⎥

6 1

72 ⎥⎦

1 6

⎥

f  6⎤

1 6

2 6

0

1⎥

2

4

1

84 ⎥⎦

⎥

As últimas entradas nas colunas referentes às variáveis de folga fornecem os valores de y1 e y2. Logo, y1 = 2, y2 = 4 e g = 84.

PONTO DE CONTROLE

Faça os passos a seguir para começar o processo de encontrar o valor mínimo de  g = y1 + 4 y2, sujeita às seguintes restrições: 2 y1 + 4 y2 ≥ 18  y1 + 5 y2 ≥ 15 1. 2. 3. 4. 5.

Construa a matriz associada ao problema de minimização. Encontre a transposta desta matriz. Enuncie o problema dual usando a matriz do Problema 2. Construa a matriz simplex do dual deste problema. O dual deste problema de minimização tem a seguinte matriz solução. Qual é a solução para o problema de minimização? ⎡1 0 ⎢0 1 ⎢ ⎢⎣0 0

−

5 6 2 3

− 16 0

5

2 1

1 3

0

⎤ ⎥ ⎥ 13⎥⎦ 1 6 2 3

Retornemos agora ao problema da Pré-Aplicação. EXE MPLO 3

Minimizando Custos

Um produtor de gado de corte está considerando dois tipos diferentes de ração. Cada ração contém alguns ou todos os ingredientes necessários para a engorda dos animais. A ração da marca 1 custa 20 centavos por libra e a da marca 2 custa 30 centavos por libra. Quanto de cada marca o produtor deveria comprar de modo a satisfazer as necessidades nutricionais dos Ingredientes A e B a um custo mínimo? A Tabela 4.2 contém todos os dados relevantes sobre a nutrição e o custo de cada marca e as necessidades mínimas por unidade de gado.

56

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

TABELA 4.2 Marca 1

Marca 2

Necessidades Mínimas

Ingrediente A

4 unidades/libra

5 unidades/libra

40 unidades

Ingrediente B

4 unidades/libra

3 unidades/libra

46 unidades

Custo por libra

20 centavos

30 centavos

SOLUÇÃO

Sejam y1 o número de libras da marca 1 e  y2 o número de libras da marca 2. Então, podemos formular o problema como segue: Minimize os custos C = 20 y1 + 30 y2 sujeito a 3 y1 + 5 y2 ≥ 40 4 y1 + 3 y2 ≥ 46 O problema de programação linear original é normalmente chamado de problema primal. Se o escrevermos na forma de uma matriz aumentada, sem as variáveis de folga, então poderemos usar a transposta para encontrar o problema dual. Portanto, o problema de maximização dual é Dual (com a função com um novo nome)

Primal

⎡ 3 5 ⎢ 4 3 ⎢ ⎢⎣ 20 30

40 ⎤ 46 ⎥ ⎥ C ⎥⎦

⎡ 3 4 ⎢ 5 3 ⎢ ⎢⎣ 40 46

20 ⎤

30 ⎥

⎥

 f  ⎥⎦

Logo, o problema de maximização dual é Maximize f = 40 x1 + 46 x2 sujeita a 3 x1 + 4 x2 ≤ 20 5 x1 + 3 x2 ≤ 30 A matriz simplex para este problema de maximização, com variáveis de folga incluídas, é 1. ⎡

3

4

1

⎢ 5 3 ⎢ ⎢⎣ −40 −46

2. ⎡

⎢ ⎢ ⎢⎣ −

3 4 11 4 11 2

1 0 0

1 4 3 4 23 2

−

20 ⎤

0

0

0 1

0

30 ⎥

0 0 1

0 ⎥⎦

0

0

⎥

5⎤

⎥ 1 0 15 ⎥ 0 1 230 ⎥⎦

3. ⎡ 0

1

⎢1 0 ⎢ ⎢⎣ 0 0

−

5 11 3 11

10

− 113 0

⎤ ⎥ 4 0 11 ⎥ 2 1 260⎥⎦ 10 11 60 11

A solução para este problema é  y1 = 10 libras da marca 1  y2 = 2 libras da marca 2

Custo mínimo = 260 centavos ou $ 2,60 por unidade de gado.

Em um estudo mais abrangente sobre programação linear, é possível mostrar que a relação de dualidade que usamos nesta seção como um meio para resolver problemas de minimização tem mais propriedades do que aquelas que menciona-

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização

57

mos. Por exemplo, no problema da Pré-Aplicação que acabamos de completar, o problema dual de maximização pode ser interpretado como segue:  x1 = custo por unidade do Ingrediente A  x2 = custo por unidade do Ingrediente B 3 x1 + 4 x2 ≤ 20 Custo por libra dos ingredientes para engorda na Marca 1 5 x1 + 3 x2 ≤ 30 Custo por libra dos ingredientes para engorda na Marca 2  f = 40 x1 + 46 x2 Maximizar o dinheiro gasto em ingredientes para engorda 10 Os valores  x1 = 60 11 centavos/unidade e  x2 = 11 centavos/unidade da solução para este problema dual de maximização são chamados de preços sombra (ou custos marginais) para os ingredientes desejados. Estes valores permitem ao produtor de gado estimar os custos adicionais associados a pequenas mudanças nas exigências mínimas dos Ingredientes A e B. Particularmente, se a exigência mínima de cada ingrediente fosse aumentada em 1 unidade, a variação aproximada no custo da ração por unidade do gado seria de 260 centavos/unidade O custo mínimo atual 60 + 11 centavos/unidade + 10 centavos/unidade 11

A B C 1 2 3

Custo de mais uma unidade do Ingrediente A Custo de mais uma unidade do Ingrediente B

Isso fornece ao produtor novos custos aproximados por unidade de gado iguais 70 a 260 11 centavos por unidade ou $ 2,66 114 por unidade, se cada ingrediente for aumentado em 1 unidade. Além disso, se o problema dado for um problema de maximização de lucros, então poderemos também formar seu dual, um problema de minimização, usando transposição de matrizes e podemos imaginar as variáveis duais como representativas dos “preços sombra” e interpretar seus valores como lucros marginais. Muitos dos recursos de programação linear disponíveis na Internet exigem que seObservação Tecnológica  jam submetidos tanto o problema primal quanto seu dual. Portanto, se o problema primal for de minimização, o dual será de maximização e vice-versa. Além disso, já vimos que esta relação de dualidade exige que as restrições tanto para o problema de maximização quanto para o de minimização tenham uma forma especial. É claro que, nas aplicações reais, as restrições podem não ser sempre “ ≤” para um problema de maximização nem sempre “≥” para um problema de minimização; ao contrário, elas podem estar misturadas. A próxima seção discute como lidar com restrições mistas. Quando usamos o Excel, os problemas de minimização são resolvidos de uma maneira similar aos problemas de maximização. A planilha a seguir é a entrada para o problema de minimização do Exemplo 3. A 1

B

C

Variáveis

2 3

# de libras da Marca 1

0

4

# de libras da Marca 2

0

5 6

Objetivo

7 8

Minimizar custos

=20*B3+30*B4

9

(continua)

58

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

A 10 11 12 13

B

C

Restrições Quantidade nas rações =3*B3+5*B4 =4*B3+3*B4

Ingrediente A Ingrediente B

Necessário 40 46

Em razão das restrições, o Solver para este problema tem direções diferentes nos símbolos de desigualdade. O Solver também é configurado para encontrar o valor min (o mínimo) em vez do máx (o máximo) da função objetivo. (Para detalhes sobre o emprego do Excel Solver, ver o Excel Guide for Finite Mathematics and  Applied Calculus.) A solução encontrada por meio do Solver, apresentada a seguir, é que o custo é minimizado em 260 centavos quando forem empregadas 10 lb da Marca 1 e 2 lb da Marca 2. Esta é a mesma solução daquela encontrada “a mão” pelo método simplex, no Exemplo 3. A 1

B

C

Variáveis

2 3

# de libras da Marca 1

10

4

# de libras da Marca 2

2

5 6

Objetivo

7 8

Minimizar custos

260

9 10

Restrições

11

SOLUÇÕES DO PONTO DE CONTROLE

1.

Quantidade nas rações

Necessário

12

Ingrediente A

40

40

13

Ingrediente B

46

46

⎡2 4 ⎢1 5 ⎢ ⎢⎣1 4

18 ⎤ 15 ⎥

⎥  g ⎥⎦

2. ⎡

2

1⎤

1

⎢ 4 5 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣18 15  g ⎥⎦

3. Encontre o valor máximo de f = 18 x1 + 15 x2 sujeita às restrições 2 x1 +  x2 4 x1 + 5 x2

1 ≤4 ≤

4. A matriz simplex para este problema dual é 1 ⎡ 2 ⎢ 4 5 ⎢ ⎢⎣ − 18 − 15

1

1⎤

0

0

0 1

0

4⎥

0 0

1

0 ⎥⎦

5. O valor mínimo é g = 13 quando y1 = 5 e y2 = 2.

⎥

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização

4.5

Exercícios

Nos Problemas 1 a 4, complete o seguinte: (a) Construa a matriz associada a cada problema de minimização dado e encontre sua transposta. (b) Escreva o problema dual de maximização. Certifiquese de dar novos nomes às variáveis. 1. Minimize g = 3 y1 + y2 sujeita a

5 y1 + 2 y2 ≥ 10  y1 + 2 y2 ≥ 6

3. Minimize g = 5 y1 + 2 y2 sujeita a

14. Minimize g = 12 y1 + 8 y2 + 10 y3 sujeita a  y1 + 2 y3 ≥ 10  y1 +  y2 ≥ 12 2 y1 + 2 y2 + y3 ≥ 8

 y1 +  y2 ≥ 19 y1 + 3 y2 ≥ 15

4. Minimize g = 9 y1 + 10 y2 sujeita a

Use o método simplex nos Problemas 15 a 20.

 y1 + 2 y2 ≥ 21 3 y1 + 2 y2 ≥ 27

15. Minimize g = 2 x + 10 y sujeita a

Nos Problemas 5 e 6, suponha que um problema primal de minimização e seu problema dual de maximização fossem resolvidos usando o método simplex no problema dual e fosse dada a matriz simplex final. (a) Encontre a solução para o problema de minimização. Use y1, y2, y3 como variáveis e g como função. (b) Encontre a solução para o problema de maximização. Use x 1, x 2, x 3 como variáveis e f como função.

− 53 0 0 0 − 2 − 11 1 0 5 1 − 1 − 52 0 0

⎢0 − 3 5 ⎢ ⎢0 − 54 ⎢ ⎢⎣0 2 0

6. ⎡0

0 1

2 5 1 5 3 5

⎢1 0 0 − ⎢ ⎢0 1 0 ⎢ ⎢⎣0 0 0 12

3

5⎤

8

⎥ 9⎥ ⎥ 252⎥⎦

2

0 1

5 3 11 3 2 3

4 15 1 5 2 3

0

15

20

−

4 y1 +  y2 ≥ 12  y1 +  y2 ≥ 9  y1 + 3 y2 ≥ 15 ≥1  y1 + 3 y2 4 y1 + 6 y2 + y3 ≥ 3 4 y2 +  y3 ≥1

3 y1 +  y2 ≥ 16 3 y1 + 4 y2 ≥ 12

0

12. Minimize g = 2y1 + 5y2 sujeita a

13. Minimize g = 12y1 + 48y2 + 8y3 sujeita a

2. Minimize g = 3 y1 + 2 y2 sujeita a

5. ⎡1 − 52

4 y1 +  y2 ≥ 11 3 y1 + 2 y2 ≥ 12 3 y1 +  y2 ≥ 6

3⎥

16 ⎤

0

19 ⎥

0

22 ⎥

1

554 ⎥⎦

⎥ ⎥

Nos Problemas 7 a 10, use o método simplex para resolver tanto o problema primal quanto o problema dual dos Problemas 1 a 4. Nos Problemas 11 a 14, escreva o problema dual de maximização e então resolva tanto o problema primal quanto o dual pelo método simplex. 11. Minimize g = 3 y1 + y2 sujeita a

2 x +  y ≥ 11  x + 3 y ≥ 11  x + 4 y ≥ 16 16. Minimize g = 8 x + 4 y sujeita a 3 x – 2 y ≥ 6  x +  y ≥ 11 17. Minimize g = 8 x + 7 y + 12z sujeita a  x + y + z ≥ 3  y + 2z ≥ 2 x≥2

18. Minimize g = 20 x + 30 y + 36z sujeita a  x + 2 y + 3z ≥ 48 2 x + 2 y + 3z ≥ 70 2 x + 3 y + 4z ≥ 96 19. Minimize g = 40 y1 + 90 y2 + 30 y3 sujeita a  y1 + 2 y2 +  y3 ≥ 16  y1 + 5 y2 + 2 y3 ≥ 18 2 y1 + 5 y2 + 3 y3 ≥ 38

20. Minimize w = 48 y1 + 20 y2 + 8 y3 sujeita a 4 y1 + 2 y2 + y3 ≥ 30 12 y1 + 4 y2 + 3 y3 ≥ 60 2 y1 + 3 y2 + y3 ≥ 40

59

60

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Nos Problemas 21 e 22, é fornecido um problema de maximização primal. (a) Forme o problema dual de minimização. (b) Resolva tanto o problema primal quanto o dual pelo método simplex. 21. Maximize f = 40 x1 + 20 x2 sujeita a

3 x1 + 2 x2 ≤ 120  x1 +  x2 ≤ 50 22. Maximize f = 28 x1 + 12 x2 sujeita a 7 x1 + 12 x2 ≤ 50 2 x1 + 6 x2 ≤ 100 APLICAÇÕES

 A

B

C 

I

200

200

400

II

100

200

100

1.000

3.000

4.000

Custo/semana ($)

Quantas semanas a empresa deveria programar em cada instalação de modo a atender aos pedidos a um custo mínimo e qual seria este custo mínimo? 26.  Nutrição Em uma ala de um hospital, os pacientes podem ser agrupados em duas categorias gerais dependendo de suas condições e da quantidade de alimentos sólidos que eles precisam na sua dieta. Uma combinação de duas dietas é usada para alimentos sólidos pois elas fornecem os nutrientes essenciais para recuperação, porém cada dieta possui uma substância considerada prejudicial. A tabela a seguir sintetiza os grupos de pacientes, suas necessidades mínimas diárias e a quantidade de substância prejudicial. Quantas porções de cada dieta deveriam ser servidas a cada dia de modo a minimizar a ingestão da substância prejudicial?

23. Manufatura A Video Star Compan y fabrica dois modelos diferentes de videocassetes que são montados em duas linhas de montagem distintas. A Linha 1 é capaz de montar 30 unidades do modelo Star e 40 unidades do modelo Prostar por hora, ao passo que a Linha 2 é capaz de montar 150 unidades do modelo Star e 40 unidades do modelo Prostar por hora. A empresa precisa produzir pelo menos 270 unidades do modelo Star e 200 unidades do modelo Prostar para atender a um pedido. Se o custo para manter Necessidades Dieta A Dieta B Diárias ativa a Linha 1 for de $ 220 por hora e de $ 400 por hora para a Linha 2, quantas horas cada uma das li- Grupo 1 120 g por 30 g por 780 g nhas deveriam estar ativas para atender o pedido a porção porção um custo mínimo? Qual é o custo mínimo? 60 g por 30 g por 540 g 24.  Nutrição Um criador de suínos está considerando Grupo 2 porção porção dois tipos diferentes de ração contendo os ingredientes necessários para atender às necessidades Substância 5 g por 2 g por Prejudicial porção porção nutricionais para engorda dos animais. A ração Red Star contém 9 unidades do Ingrediente A e 12 unidades do ingrediente B, ao passo que a ração Blue Chip 27.  Produção Duas fábricas produzem três tipos difecontém 15 unidades do Ingrediente A e 9 unidades rentes de eletrodomésticos para cozinha. A tabela a do ingrediente B. A necessidade nutricional dos suíseguir sintetiza a capacidade produtiva, o número nos é de pelo menos 120 unidades do Ingrediente A de cada tipo de aparelho encomendado e os custos e de pelo menos 138 unidades do ingrediente B. operacionais diários das fábricas. Quantos dias cada (a) Se a ração Red Star custar 50 centavos por libra e fábrica deveria operar para atender os pedidos a um a Blue Chip 75 centavos, quanto de cada marca o custo mínimo? produtor deveria comprar de modo a satisfazer as necessidades nutricionais a um custo mínimo? Quantidade (b) Qual é o custo mínimo? Fábrica 1 Fábrica 2 Encomendada 25.  Produção Uma pequena empresa fabrica dois 80/dia 20/dia 1600 produtos, I e II, em três instalações, A, B e C. Ela tem Aparelho 1 pedidos de 2.000 unidades do produto I e de 1.200 Aparelho 2 10/dia 10/dia 500 do produto II. A capacidade produtiva e o custo por 50/dia 20/dia 1900 semana para operar cada instalação estão sintetiza- Aparelho 3 dos na tabela no início da coluna à direita: Custo diário ($) 10.000 20.000

61

4.5 O Método Simplex: Dualidade e Minimização

28.  Nutrição Em uma experiência de laboratório, são fornecidos dois alimentos distintos aos animais. Cada alimento contém ingredientes essenciais, A e B, dos quais os animais possuem uma necessidade mínima e cada alimento também possui um ingrediente C que pode ser prejudicial aos animais. A tabela a seguir sintetiza estas informações. Alimento 1

Alimento 2

Necessidade

Ingrediente A

10 unidades/ 3 unidades/ grama grama

49 unidades

Ingrediente B

6 unidades/ grama

12 unidades/ grama

60 unidades

Ingrediente C 

3 unidades/ grama

1 unidade/ grama

Quantos gramas dos alimentos 1 e 2 deveriam ser oferecidos aos animais de modo a satisfazer as necessidades em relação a A e B e, ao mesmo tempo, minimizar a quantidade ingerida do ingrediente C? 29.  Política Um candidato pretende usar uma combinação de anúncios de rádio e televisão em sua campanha. Pesquisas mostraram que cada anúncio de 1 minuto na TV atinge 0,9 milhão de pessoas e que cada anúncio de 1 minuto no rádio atinge 0,6 milhão. O candidato acredita que ele precise atingir pelo menos 63 milhões de pessoas e que ele deverá adquirir pelo menos 90 minutos de propaganda. Quantos minutos de cada mídia deveriam ser usados se o anúncio na TV custa $ 500/minuto, no rádio $ 100/minuto e o candidato deseja minimizar os custos? 30.  Produção A James MacGregor Mining Company possui três minas, I, II e III. Nestas minas são extraídos três tipos de minérios, A, B e C. Para cada um deles o número de toneladas por semana disponíveis de cada mina e os números de toneladas por semana necessárias para atender aos pedidos são dados na tabela a seguir.

 Tipos de ⎫ Minérios ⎬

⎭

Custo/dia ($)

II

III

A

10

10

10

90

B

0

10

10

50

C

10

0

10

60

12.000

1 2 3

A B C

Reciclado

Branco  Acetinado

Branco Brilhante

Custo do Pacote

Pacote Geórgia

10

5

6

$ 120

Pacote Union

5

8

6

$ 140

Pacote Pacific

6

6

6

$ 126

32.  Dieta Uma empresa do ramo dietético oferece três tipos de alimentos, A, B e C, e agrupa seus clientes em dois grupos de acordo com suas necessidades nutricionais. A tabela a seguir fornece a porcentagem de necessidades nutricionais diárias que uma porção de cada alimento fornece e o número de onças de substâncias prejudiciais contidas em cada alimento. Determine a combinação de tipos de alimento que fornecerá pelo menos 100% das necessidades diárias e irá minimizar a substância prejudicial. Qual é a quantidade mínima da substância prejudicial?

Toneladas Necessárias/    Semana

I

6.000 8.000

A B C 1 2 3

Encontre o número de dias que a empresa deveria operar em cada mina de modo que os pedidos se jam atendidos a um custo mínimo. Encontre este custo mínimo. 31. Custos de fornecimento A loja DeTurris Office Supplies atualmente vende resmas de papel para impressoras a laser de três tipos: reciclado, branco acetinado e branco brilhante. Três atacadistas oferecem pacotes especiais para aquisição formados de quantidades diferentes de resmas destes três tipos, conforme mostrado na tabela a seguir. A DeTurris Office Supplies precisa de pelo menos 230 resmas de papel reciclado, 240 resmas de papel branco acetinado e 210 resmas de papel branco brilhante. (a) Quanto de cada pacote a DeTurris deveria adquirir para minimizar seu custo? (b) Qual é o menor custo possível?

Necessidades Diárias

 Alimento  A

 Alimento B

 Alimento C 

Grupo I 

30% por porção

10% por porção

20% por porção

100%

Grupo II 

30% por porção

20% por porção

40% por porção

100%

Substância Prejudicial 

0,1 onças 0,2 onças 0,25 onças por porção por porção por porção

62 1 2 3

A B C

A B C 1 2 3

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

33.  Nutrição Um hospital deseja fornecer pelo menos 24 unidades do nutriente A e 16 unidades do nutriente B em uma refeição minimizando, ao mesmo tempo, o custo da refeição. Se houver três tipos de alimentos disponíveis, com o valor nutricional e custos (por onça) dados na tabela abaixo: (a) Qual é o menor custo possível? (b) Quantas onças de cada alimento deveriam ser servidos para minimizar o custo? (c) Encontre uma segunda solução que forneça o custo mínimo. Unidades do Nutriente A

Unidades do Nutriente B

Custo

 Alimento I 

2

1

1

 Alimento II 

2

5

5

 Alimento III 

2

1

2

34.  Escalas de Plantão Cada enfermeira trabalha 8 horas consecutivas no Centro Médico Beaver. Este centro possui as seguintes necessidades em termos de pessoal, para cada turno de 4 horas.

Turno de Trabalho

Enfermeiras Necessárias

1 (7–11)

40

2 (11–15)

20

3 (15–19)

30

4 (19–23)

40

5 (23–3)

20

6 (3–7)

10

(a) Se  y1 representar o número de enfermeiras começando no período 1,  y2 o número de enfermeiras começando no período 2 e assim por diante, escreva o problema de programação linear que irá minimizar o número total de enfermeiras necessárias. (Observe que as enfermeiras que começam a trabalhar no turno 6 trabalham nos turnos 6 e 1 para cumprir suas 8 horas de trabalho.) (b) Resolva o problema em (a).

4.6 O Método Simplex com Restrições Mistas PRÉ-APLICAÇÃO

OBJETIVOS 



Resolver problemas de maximização com restrições mistas Resolver problemas de minimização com restrições mistas

Restrições Mistas e Maximização

A Laser Company fabrica dois modelos de aparelhos de som, o Star e o Allstar, em duas fábricas, localizadas em Ashville e em Cleveland. A produção máxima diária em Ashville é de 900 unidades e o lucro nesta fábrica é de $ 200 por unidade do modelo Allstar e de $ 100 por unidade do modelo Star. A produção máxima diária em Cleveland é de 800 unidades e o lucro nesta fábrica é de $ 210 por unidade do modelo Allstar e de $ 80 por unidade do modelo Star. Além disso, restrições na fábrica de Ashville fazem que o número de unidades do modelo Star não possa ultrapassar em mais de 100 unidades o número de unidades do modelo Allstar produzido. Se a empresa tiver um pedido urgente de 800 unidades do modelo Allstar e de 600 unidades do modelo Star, encontrar o número de unidades de cada modelo que deveria ser produzido em cada local para atender o pedido e obter o lucro máximo é um problema de programação linear com restrições mistas. A expressão restrições mistas é usada porque algumas inequações que descrevem as restrições contêm o sinal “≤” ao passo que outras contêm o sinal “≥”.

Nas duas seções anteriores usamos o método simplex para resolver dois tipos diferentes de problemas de programação linear. Estes tipos são sintetizados a seguir: Problemas de Maximização

Problemas de Minimização

Função

Maximizada

Minimizada

Variáveis

Não-negativas

Não-negativas

Restrições

a1 x 1 + a2 x 2 + ... + an x n ≤ b (b ≥ 0)

c 1 y 1 + c 2 y 2 + ... + c n y n ≥ d (d ≥ 0)

Método simplex

Aplicado diretamente

Aplicado ao dual

4.6  O Método Simplex com Restrições Mistas

63

Nesta seção mostraremos como aplicar o método simplex a problemas d e programação linear com restrições mistas, que não se encaixam exatamente em nenhum destes tipos. Começaremos considerando problemas de maximização com restrições que possuam uma forma diferente daquelas observadas na tabela da página anterior. Isto pode acontecer em uma das seguintes situações: 1. Se a restrição tiver a forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≤ b, onde b < 0, tal como em  x – 2 y ≤ –8. 2. Se a restrição tiver a forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≥ b, onde b ≥ 0, tal como em 2 x – 3 y ≥ 6. Note que, no último caso, multiplicar ambos os lados da inequação por (–1) a modifica como segue: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≥ b

passa a ser

–a1 x1 – a2 x2 – ... – an xn ≤ –b

Isto é, 2 x – 3 y ≥ 6 se transforma em –2 x + 3 y ≤ –6 Portanto, podemos observar que as duas possibilidades para restrições mistas são, na verdade, uma só: restrições com a forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ≤ b, onde b é uma constante qualquer. Chamamos estas restrições de restrições menores ou iguais a e as representamos como restrições ≤. Consideremos um exemplo e vejamos como poderíamos proceder em um problema deste tipo. EX EM PLO 1

Maximização com Restrições Mistas

Maximizar f = x + 2 y sujeita a  x +  y ≤ 13 2 x – 3 y ≥ 6  x ≥ 0, y ≥ 0 SOLUÇÃO

Começamos expressando todas as restrições na forma de restrições “≤”. Neste caso, multiplicamos 2 x – 3 y ≥ 6 por (–1) para obter –2 x + 3 y ≤ –6. Podemos agora usar variáveis de folga para escrever as inequações como equações e formar a matriz simplex.  x  x + y + s1 = 13

−2 x + 3 y + s2 = − 6 −  x − 2 y + f  = 0

⎡ 1 fornece ⎢ − 2 ⎢ ⎢⎣ − 1

y

s1

s2

f 

1

1

0

0

3

0

1

0

−2

0

0

1

13 ⎤

−6⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

O –6 na parte superior da última coluna é um problema. Se calcularmos valores para as variáveis x, y, s1 e s2 que estão associadas a esta matriz, obteremos s2 = – 6. Isso viola a condição do método simplex de que todas as variáveis são não-negativas. Para usar o método simplex temos de alterar o sinal de qualquer entrada negativa que apareça na parte superior da última coluna (acima da linha que separa a função das restrições). Sempre haverá uma outra entrada negativa na mesma linha do que esta entrada negativa, porém em uma coluna diferente. Escolhemos esta coluna como coluna-pivô pois pivotar com ela resultará em uma entrada positiva na última coluna.

64

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

 x

y

s1

s2

f 

⎡ 1 ⎢−2 ⎢ ⎢⎣ −1 ↑

1

1

0

0

3

0

1

0

−2

0

0

1

13 ⎤

−6⎥ ← ⎥ 0 ⎦⎥

 Ne gat ivo na última coluna

Coluna-pivô (entrada negativa na mesma linha da ent r  rada negativa na última coluna)

Assim que tivermos identificado a coluna-pivô, escolhemos a entrada-pivô formando todos os quocientes e escolhendo a entrada que fornece o menor quociente  positivo. Freqüentemente, isso significará pivotar por um número negativo, que é o caso deste problema.  x

y

s1

s2

f 

⎡ 1 ⎢ −2 ⎢ ⎢⎣ −1 ↑

1

1

0

0

3

0

1

0

−2

0

0

1

13 ⎤

−6⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

13 / 1 = 13 ( − 6 ) /( − 2 ) = 3*

Entrada-pivô envolta em círculo *Menor quociente positiv vo

Pivotar com esta entrada fornece a seguinte matriz:  x

y

s1

s2

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣ 0

5 2 3 2 7 2

1

1 2 1 2 1 2

− −

0 0

− −

f  10 ⎤ ⎫

0

⎥ ⎬  Nen hum ⎥ ⎭ 3 ⎥⎦

0

vall or negativo

3

1

↑ Mais negativo

Esta nova matriz não tem nenhum valor negativo na parte superior da última coluna e, portanto, prosseguimos com o método simplex conforme o usual. A nova coluna-pivô é encontrada a partir da entrada mais negativa na última linha (indicada) e o pivô é encontrado a partir do menor quociente positivo (envolto em círculo). Usar este pivô completa a solução.  x

y

s1

s2

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1

2 5 3 5 7 5

1 5 1 5 1 5

0 0

−

f  0

4⎤

0

9⎥

1

⎥

17 ⎥⎦

Vemos então que quando x = 9 e y = 4, o valor máximo de  f = x + 2 y é 17.

PONTO DE CONTROLE

1. Escreva a matriz simplex para maximizar f = 4 x + y sujeita às restrições x +  y ≤ 12 3 x – 4 y ≥ 6  x ≥ 0, y ≥ 0

2. Usando a matriz do Problema 1, encontre o valor máximo de f = 4 x + y sujeita às restrições.

4.6  O Método Simplex com Restrições Mistas

Restrições Mistas e Minimização

65

Se ocorrerem restrições mistas em um problema de minimização, o método simplex não se aplica ao problema dual. Entretanto, as mesmas técnicas usadas no Exemplo 1 podem ser ligeiramente modificadas e aplicadas a problemas de minimização com restrições mistas. Poderíamos reescrever todas as restrições como restrições “≥” (multiplicando por –1 conforme a necessidade) e então usar o dual. Alternativamente, se nosso objetivo fosse o de minimizar  f , então alteraríamos o problema de modo a maximizar – f e então prosseguiríamos como no Exemplo 1. EXEM EXEMPL PLO O2

Mini Minimi miza zaçã ção o com com Rest Restri riçõ ções es Mis Mista tass

Minimizar a função f = 3 x + 4 y sujeita às restrições  x +  y ≥ 20 x + 2 y ≤ 25 –5 x +  y ≥ 4 x ≥ 0, y ≥ 0 SOLUÇÃO

Em razão das restrições mistas, procuraremos maximizar – f = –3 x – 4 y sujeita a – x –  y ≤ –20 – x – 2 y ≤ –25 –5 x +  y ≤ 4 A matriz simplex para este problema é  x

⎡ −1 ⎢ −1 ⎢ ⎢ −5 ⎢ ⎣ 3

y

s1

s2

s3 − f 

−1 −2

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

4

0

0

0

−20 ⎤ ←  Neg at ativ ivos os 0 −25 ⎥  ← ⎥ 0 4⎥ ⎥ 1 0⎦ 0

Neste caso, existem duas entradas negativas na parte superior da última coluna. Quando isto acontece, podemos começar com qualquer uma delas; optaremos por –20 (linha 1). Na linha 1 (à esquerda de –20) encontramos entradas negativas nas colunas 1 e 2. Podemos escolher como coluna-pivô qualquer uma destas colunas; optaremos pela coluna 1. Assim que esta escolha for feita, o pivô é determinado a partir dos quocientes.  x

⎡ −1 ⎢ −1 ⎢ ⎢ −5 ⎢ ⎣ 3

y

s1

s2

s3 − f 

−1 −2

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

4

0

0

0

− 20 ⎤ 2 0 / ( −1) = 2 0* 0 −25 ⎥ − ⎥ − 25 /( −1) = 25 0 4 ⎥ 4 / ( −5 ) = −4 /5 ⎥ 1 0⎦ 0

↑ Coluna-pivô (entrada- pivô

*Menor quociente positivo

envolta por um círculo)

Pivotar com esta entrada nos fornece a seguinte matriz: y

s1

s2

s3 − f 

1 ⎡1 ⎢0 −1 ⎢ ⎢0 6 ⎢ ⎣0 1 ↑

−1 −1 −5

0

0

0

1

0

0

0

1

0

3

0

0

1

 x

20 ⎤

− 5 ⎥ ←  Neg at ivo ⎥ 104 10 4 ⎥ ⎥ − 60 ⎦

Entrada -pivô e nvolta em círculo

66

Programação Linear  Capítulo 4  Inequações e Programação

Agora, existe apenas uma entrada negativa na parte superior da última coluna. Procurando entradas negativas nesta mesma linha, observamos que podemos escolher a coluna 2 ou então a coluna 3 como coluna-pivô. Optamos pela coluna 2 e o pivô está envolto por um círculo. Pivotando, obtemos a seguinte matriz:  x

y

s1

s2

s3

− f 

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

−2

1

0

0

1

1

−1

0

0

5⎥

0

−11

6

1

0

74 ⎥

0

2

1

0

1

15 ⎤

⎥

⎥ −65 ⎦

Neste ponto temos todas as entradas na parte superior da última coluna com valores positivos e, portanto, portanto, o método simplex pode ser aplicado. (O valor negativo na parte inferior é aceitável pois nossa função é – f .) .) Observando os indicadores, vemos que a solução está completa. A partir da matriz temos que x = 15, y = 5 e – f = –65. Portanto, a solução é x = 15 e y = 5, fornecendo um valor mínimo para a função  f = 3 x + 4 y = 65. Uma revisão cuidadosa destes exemplos nos permite sintetizar os passos fundamentais do procedimento para resolução de problemas de programação linear com restrições mistas. Resumo: Método Simplex para Restrições Mistas

1. Se o problema for minimizar f , então maximize – f . 2. (a) Transforme todas as restrições em restrições “≤” multiplicando ambos os lados de qualquer restrição “≥” por (–1). (b) Use variáveis de folga e forme a matriz simplex. 3. Na matriz simplex, percorra a parte superior da última coluna buscando qualquer entrada negativa. (a) Se não existir nenhuma entrada negativa, aplique o método simplex. (b) Se houver entradas negativas, negativas, vá para o passo 4. 4. Quando existir um valor negativo na parte superior da última coluna, proceda conforme indicado abaixo: (a) Selecione qualquer entrada negativa na mesma linha e use sua coluna como coluna-pivô. (b) Na coluna-pivô, calcule todos os quocientes para as entradas acima da reta e determine o pivô a partir do menor quociente positivo. (c) Após completar completar as operações pivô, retorne ao passo 3. E XE MP LO 3

Progr Programa amação ção de Produç Produção ão para para Obtenç Obtenção ão de Lucro Lucro Máximo Máximo

A Laser Company fabrica fabri ca dois modelos de aparelhos de som, o Star e o Allstar, em duas fábricas, localizadas em Ashville e em Cleveland. A produção máxima diária em Ashville é de 900 unidades e o lucro nesta fábrica é de $ 200 por unidade do modelo Allstar e de $ 100 por unidade do modelo Star. S tar. A produção máxima diária em Cleveland é de 800 unidades e o lucro nesta fábrica é de $ 210 por unidade do modelo Allstar e de $ 80 por unidade do modelo Star. Além disso, restrições na fábrica de Ashville fazem que o número de unidades do modelo Star não possa

4.6  O Método Simplex com Restrições Mistas

67

ultrapassar o número de unidades do modelo Allstar produzido em mais de 100 unidades. Se a empresa tiver um pedido urgente de 800 unidades do modelo Allstar e de 600 unidades do modelo Star, quantas unidades de cada modelo deveriam ser produzidas em cada local para atender o pedido e obter o lucro máximo? SOLUÇÃO

A tabela a seguir identifica nossas variáveis x e y e relaciona outros fatores importantes no problema. Em particular, vemos que são necessárias apenas as variáveis x e y. Fábrica de Ashville

Total Necessário

Fábrica de Clev leveland 

Allstar

 x unidades produzidas (lucro = $ 200 cada)

800

800 – x unidades produzidas (lucro = $ 210 cada)

Star

 y unidades produzidas (lucro = $ 100 cada)

600

600 – y unidades produzidas (lucro = $ 80 cada)

Capacidade

900

_ __

800

Queremos maximizar o lucro e a partir da tabela vemos que o lucro total é dado por P = 200 x + 100 y + 210(800 – x) + 80(600 – y)

ou P = 216.000 – 10 x + 20 y

Podemos determinar as restrições de capacidade produtiva a partir de nossa tabela.  x + y ≤ 900 (Ashville)

(800 – x) + (600 – y) ≤ 800 ou  x + y ≥ 600 (Cleveland) Uma outra restrição da fábrica de Ashville descrita no enunciado do problema é que  y ≤ x + 100

ou – x + y ≤ 100

Portanto, nosso problema é maximizar P = 216.000 – 10 x + 20 y

sujeito a  x + y ≤ 900  x + y ≥ 600 – x + y ≤ 100  x ≥ 0, y ≥ 0

Temos que expressar x + y ≥ 600 como uma restrição “≤”; multiplicando ambos os lados por (–1) obtemos – x – y ≤ –600. A matriz simplex fica  x

y

s1

s2

s3

p

⎡ 1 ⎢ −1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣10

1

1

0

0

0

−1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

100 ⎥

− 20

0

0

0

1

216 216. 000 000⎦

900 ⎤ − 600 ⎥ ←  Ne gat ivo

⎥ ⎥

↑ Coluna-pivô

O valor negativo na parte superior da última coluna é indicado. Na linha 2 encontramos valores negativos negativos tanto na coluna 1 quanto na coluna 2 e, portanto, qualquer

68

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

uma destas poderia ser nossa coluna-pivô. Nossa opção está indicada e a entradapivô está envolta por um círculo. A matriz que resulta a partir das operações-pivô é dada a seguir.  x

y

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

s1

s2

s3

P 

0

1

1

0

0

1

0

0

0

600 ⎥

2

0

−1 −1

1

0

700 ⎥

−30

0

10

0

1

210. 000⎦

300 ⎤

⎥ ⎥

↑ Coluna-pivô

Nenhuma entrada na parte superior da última coluna é negativa e, portanto, podemos prosseguir com o método simplex. A partir dos indicadores vemos que a coluna 2 é a coluna-pivô (indicada acima) e a entrada-pivô está envolta por um círculo. A matriz simplex obtida depois de pivotar é a seguinte  x

y

s1

s2

s3

P 

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

1

1

0

0

0

0

0

300 ⎤ 400 ⎥

1

0

0

500 ⎥

0

0

− − −5

1 2 1 2

15

1

220. 500⎦

1 2 1 2

−

⎥ ⎥

↑ Coluna-pivô

A nova coluna-pivô está indicada e a entrada-pivô está envolta por um círculo. Pivotar nos leva à seguinte matriz  x

y

s1

s2

s3

P 

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

1

1

0

0

0

0

400 ⎥

0

1 2 1 2

0

1

1 2 1 2

0

500 ⎥

0

5

0

15

1

222. 000⎦

−

300 ⎤

⎥ ⎥

Esta matriz mostra que a solução está completa. Constatamos que x = 400 (portanto, 800 – x = 400), y = 500 (portanto, 600 – y = 100) e P = $ 222.000. Portanto, a empresa deveria operar a fábrica de Ashville com capacidade total e produzir 400 unidades do modelo Allstar e 500 unidades do modelo Star. O restante do pedido, 400 unidades do modelo Allstar e 100 unidades do modelo Star, deveria ser produzido na fábrica de Cleveland.

A B C 1 2 3

Observação Tecnológica

Até este ponto, discutimos formas pelas quais qualquer problema pode ser expresso como um problema de maximização com restrições “≤” (ou como um problema de minimização com restrições “≥”). Se tivermos problemas em qualquer uma destas formas “padrão”, então podemos formar o problema dual. Como observado anteriormente, o endereço da NEOS na Web ( http://www.mcs.anl.gov/home/otc/  Server/ ) possui links para programas de resolução de programação linear, porém muitos desses programas exigem o envio do problema tanto dual como do primal. Agora estamos equipados para transformar qualquer problema de programação linear de modo a podermos identificar um problema tanto primal quanto um dual  ⎯ e, portanto, tirar proveito dos recursos on-line.

4.6  O Método Simplex com Restrições Mistas

69

Entretanto, ao usarmos o Excel para resolver um problema de programação linear com restrições mistas, não será necessário mudar a forma das inequações. Elas poderão simplesmente ser introduzidas em sua forma “mista” e a função ob jetivo poderá ser maximizada ou minimizada com o Solver. SOLUÇÃO DO PONTO DE CONTROLE

1. ⎡ 1

2.

2 1

0

0

0

1

0

0

0 1

⎢ −3 4 ⎢ ⎢⎣ −4 −1 10 ⎡0 3 ⎢1 − 43 ⎢ ⎢⎣ 0 − 193

1

− 0 − 0

1 3 1 3 4 3

0 0 1

12 ⎤

−6⎥ ⎥ 0 ⎥⎦ 10 ⎤

⎡0 ⎥ ⎢ 2 → 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 8⎦ ⎡0 → ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1

3 10 2 5 19 10

1 10 1 5 7 10

0

3⎤

0

6

⎥ ⎥ 0 1 27 ⎥⎦ 10 3 1 0 30 ⎤ 2 1 0 0 12 ⎥ ⎥ 7 4 0 1 48 ⎥⎦ 0

− −

O valor máximo é f = 48 em x = 12, y = 0, s1 = 0 e s2 = 30.

4.6

Exercícios

Nos Problemas 1 a 4, expresse cada inequação na forma de uma restrição “≤”. 1. 3 x – y ≥ 5 2. 4 x – 3 y ≥ 6 3.  y ≥ 40 – 6 x 4. x ≥ 60 – 8 y

5. Escreva a matriz simplex usada para maximizar  f = 4 x + 5 y sujeita às restrições x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2 y ≤ 6 e 4 x + 2 y ≥ 12. 6. Escreva a matriz simplex usada para maximizar  f = 4 x + y sujeita às restrições x ≥ 0, y ≥ 0, 3 x + 5 y ≤ 6 e x + y ≥ 8. 7. Escreva a matriz simplex usada para maximizar  g = 2 x + 2 y sujeita às restrições x ≥ 0, y ≥ 0, 6 x + 4 y ≤ 24 e 5 x + 2 y ≥ 16. 8. Escreva a matriz simplex usada para maximizar  g = 10 x + 2 y sujeita às restrições x ≥ 0, y ≥ 0, 2 x + 3 y ≤ 16 e 2 x + y ≥ 8. Nos Problemas 9 a 12, faça os dois itens a seguir: (a) Enuncie o problema dado em uma forma a partir da qual a matriz simplex possa ser formada (isto é, como um problema de maximização com restrições “ ≤”). (b) Forme a matriz simplex e envolva o primeiro pivô em um círculo. 9. Maximize f = 2 x + 3 y sujeita a

7 x + 4 y ≥ 28 –3 x +  y ≥ 2  x ≥ 0, y ≥ 0 10. Maximize f = 5 x + 11 y sujeita a  x – 3 y ≤ 3 – x +  y ≤ 1 ≤ 10  x  x ≥ 0, y ≥ 0

11. Minimize g = 3 x + 8 y sujeita a 4 x – 5 y ≤ 50  x +  y ≤ 80 – x + 2 y ≥ 4  x ≥ 0, y ≥ 0 12. Minimize g = 40 x + 25 y sujeita a  x +  y ≤ 100 – x +  y ≤ 20 –2 x + 3 y ≥ 6  x ≥ 0, y ≥ 0

Nos Problemas 13 e 14, é fornecida uma matriz simplex final para um problema de minimização. Em cada caso, encontre a solução.

13.  x y z ⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

1

s1

 s2

7 3 2 3 4 3

1 3 1 3 2 3 4 3

0

0 1

−

0

0

0

0

4

14.  x y z

s1

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

0

0

0 1

−

− −

1

0

1

0

0

3

8⎤

− 23 0 8 3 4 3

⎥

0

12 ⎥ 6⎥

0

⎥ −120⎥⎦

2 1

 s2

2 5 1 5

– f 

 s3

2 5 1 5 8 5

1

 s3 – f  0 0 11 5 14 5

0

50 ⎤ 12 ⎥

0

30 ⎥

4

1

⎥

⎥ − 1200⎦⎥

70

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

Nos Problemas 15 a 34, use o método simplex para encontrar a solução ótima.

15. Maximize f = 4 x + y sujeita a 5 x + 2 y ≤ 84 –3 x + 2y ≥ 4  x ≥ 0, y ≥ 0 16. Maximize f = x + 2 y sujeita a – x + 2 y ≤ 60 –7 x + 4 y ≥ 20  x ≥ 0, y ≥ 0 17. Minimize f = 2 x + 3 y sujeita a  x ≥ 5  y ≤ 13 – x + y ≥ 2  x ≥ 0, y ≥ 0 18. Minimize f = 3 x + 2 y sujeita a  x ≤ 20  y ≤ 20  x + y ≥ 21  x ≥ 0, y ≥ 0 19. Minimize f = 2 x + y sujeita a  x ≤ 12  x + 2 y ≥ 20 –3 x + 2 y ≤ 4  x ≥ 0, y ≥ 0 20. Minimize f = x + 4 y sujeita a  y ≤ 30 3 x + 2 y ≥ 75 –3 x + 5 y ≥ 30  x ≥ 0, y ≥ 0 21. Maximize f = 5 x + 2 y sujeita a  y ≤ 20 2 x + y ≤ 32 – x + 2 y ≥ 4  x ≥ 0, y ≥ 0 22. Maximize f = 3 x + 4 y sujeita a 2 x + 3 y ≤ 90  x + y ≤ 35 – x + 2 y ≥ 10  x ≥ 0, y ≥ 0 23. Minimize f = 3 x + 2 y sujeita a – x + y ≤ 10  x + y ≥ 20  x + y ≤ 35  x ≥ 0, y ≥ 0

24. Minimize f = 4 x + y sujeita a – x + y ≤ 4 3 x + y ≥ 12  x + y ≤ 20  x ≥ 0, y ≥ 0 25. Maximize f = 2 x + 5 y sujeita a – x + y ≤ 10  x + y ≤ 30 –2 x + y ≥ –24  x ≥ 0, y ≥ 0 26. Maximize f = 3 x + 2 y sujeita a – x + 2 y ≤ 20 –3 x + 2 y ≤ –36  x +  y ≤ 22  x ≥ 0, y ≥ 0 27. Minimize f = x + 2 y + 3z sujeita a  x + z ≤ 20  x + y ≥ 30  y + z ≤ 20  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 28. Minimize f = x + 2 y + z sujeita a  x + 3 y + 2z ≥ 40  x +  y + z ≥ 30  x +  y + z ≤ 100  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 29. Maximize f = 2 x – y + 4z sujeita a  x + y + z ≤ 18  x – y + z ≥ 4  x + y – z ≥ 2  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 30. Maximize f = 5 x + 2 y + z sujeita a 2 x + 3 y + z ≤ 30  x – 2 y + z ≥ 20 2 x + 5 y + 2z ≥ 25  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 31. Maximize f = 2 x + 3 y – z sujeita a 3 x +  y + 2z ≤ 240 –2 x – 2 y + z ≥ 10  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 32. Maximize f = – x + 2 y + 4z sujeita a  x + y + z ≤ 40 – x + y + z ≥ 20  x + y – z ≥ 10  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

4.6  O Método Simplex com Restrições Mistas

71

deveriam ser produzidas em cada local para minimizar os custos? Encontre o custo mínimo. 38. Manufatura Reporte-se ao Problema 36. Suponha que os custos associados ao produto A sejam de $ 50 na instalação I e de $ 60 na instalação II e os custos associados ao produto B sejam de $ 40 na instalação I e de $ 25 na instalação II. Se o fabricante receber o mesmo pedido urgente de 1.500 unidades do produto A e de 1.300 unidades de B, quantas unidades de cada tipo deveriam ser produzidas em cada local para minimizar os custos? Encontre o custo mínimo. APLICAÇÕES 39.  Produção Uma empresa faz dois tipos de salsichas para cachorro-quente, normal e especial. Cada libra 35. Manufatura Uma empresa fabrica componentes de salsicha especial requer 0,75 lb de carne bovina de sistemas de aquecimento comerciais e fornalhas e 0,2 lb de temperos e cada libra de salsicha normal para uso doméstico em suas fábricas em Monaca, PA precisa de 0,18 lb de carne suína, 0,3 lb de carne suína e Hamburg, NY. A fábrica de Monaca não é capaz e 0,3 lb de temperos. Os fornecedores podem entrede produzir mais de 1.000 unidades por dia e o núgar no máximo 1020 lb de carne bovina, no máximo mero de componentes comerciais não pode exceder 600 lb de carne suína e pelo menos 0,2 lb de tempeem mais do que 100 unidades o número de fornalhas ros. Se o lucro for de $ 0,60 em cada libra de salsicha domésticas. A fábrica de Hamburg não é capaz de especial e de $ 0,40 em cada libra de salsicha normal, produzir mais de 850 unidades por dia. O lucro em quantas libras de cada tipo deveriam ser produzidas cada componente comercial é de $ 400 na fábrica de para obter-se o lucro máximo? Quanto é este lucro Monaca e de $ 390 na fábrica de Hamburg. O lucro máximo? em cada fornalha de uso doméstico é de $ 200 na fábrica de Monaca e de $ 215 na fábrica de Hamburg. 40. Manufatura Um fabricante produz dois tipos de cereais matinais, Senior Citizen’s Feast e Kids Co. Cada Se houver um pedido urgente de 500 componentes libra de Senior Citizen’s Feast requer 0,6 lb de trigo comerciais e de 750 fornalhas domésticas, quantas e 0,2 lb de xarope enriquecido com vitaminas e cada unidades de cada tipo deveriam ser produzidas em libra de Kids Co. utiliza 0,6 lb de trigo, 0,2 lb de açúcar cada fábrica, de modo a maximizar lucros? Encontre e 0,3 lb de xarope enriquecido com vitaminas. Os foro lucro máximo. necedores são capazes de entregar no máximo 1020 lb 36. Manufatura Uma empresa fabrica os produtos A de trigo, no máximo 600 lb de açúcar e pelo menos 0,2 e B nas instalações I e II. A instalação I é capaz de lb de xarope enriquecido com vitaminas. Se o lucro produzir no máximo 1.800 produtos e a produção de for de $ 0,90 a cada libra de Senior Citizen’s Feast e B pode ser de, no máximo, 200 unidades a menos que de $ 1,00 em cada libra de Kids Co., quantos quilos a produção de A. A instalação II é capaz de produzir de cada tipo deveriam ser produzidos para obter-se o não mais do que 1.200 produtos. O lucro no produto lucro máximo? Encontre este lucro máximo. A é de $ 100 na instalação I e de $ 90 na instalação II e o lucro no produto B é de $ 70 na instalação I 41.  Estações de tratamento Três estações de tratamento de água são capazes de tratar no máximo 10 e de $ 75 na instalação II. Se o fabricante tiver que milhões de galões em um determinado período. A atender a um pedido urgente de 1.500 unidades do estação 1 deixa 20% de certas impurezas e o custo produto A e de 1.300 unidades do produto B, quané de $ 20.000 a cada milhão de galões. A estação 2 tas unidades de cada tipo deveriam ser produzidas deixa 15% destas impurezas e o custo é de $ 30.000 a em cada instalação de modo a maximizar lucros? cada milhão de galões. A estação 3 deixa 10% de cerEncontre o lucro máximo. tas impurezas e o custo é de $ 40.000 a cada milhão 37. Manufatura Reporte-se ao Problema 35. Suponha de galões. O nível desejado de impurezas na água que o custo de cada componente comercial seja de das três estações juntas é de no máximo 15%. Se as $ 380 na fábrica de Monaca e de $ 400 na fábrica Estações 1 e 3 combinadas tiverem que tratar pelo de Hamburg. O custo de cada fornalha de uso domenos 6 milhões de galões, encontre o número de méstico é de $ 200 na fábrica de Monaca e de $ 185 galões que cada estação deveria tratar de modo a se na fábrica de Hamburg. Se houver o mesmo pediatingir o nível de pureza desejado a um custo mínido urgente de 500 componentes comerciais e de 750 mo. Encontre o custo mínimo. fornalhas domésticas, quantas unidades de cada tipo 33. Minimize f = 10 x + 30 y + 35z sujeita a  x + y + z ≤ 250  x + y + 2z ≥ 150 2 x + y + z ≤ 180  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 34. Minimize f = 2 x + 3 y – z sujeita a 3 x +  y + 2z ≤ 120 –2 x + –2 y + z ≥ 5  x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

72

Capítulo 4  Inequações e Programação Linear 

42. Compostos Químicos Um tanque de armazenamen- 43. Manufatura Um fabricante de bolas esportivas to de produtos químicos tem uma capacidade de 200 produz bolas de futebol, futebol americano e vôlei. t. Atualmente o tanque contém 50 t de um composto O gerente acredita que restringir os tipos de bolas químico com 10% de uma determinada substância fabricadas poderia significar um aumento de receiquímica ativa e de 1,8% de outras substâncias inerta. A tabela a seguir fornece o preço de cada bola, tes. Os proprietários do tanque querem reabastecer a o custo de matéria-prima e o lucro obtido em cada provisão no tanque e comprarão alguma combinação tipo de bola. O lucro mensal deve ser de pelo menos de dois compostos disponíveis. O Composto I contém $ 10.000 e os custos com matéria-prima não podem 70% da substância ativa e 3% de substâncias inertes; ultrapassar $ 20.000. Quantas bolas de cada tipo deseu custo é de $ 100 por tonelada. O Composto II veriam ser produzidas para maximizar a receita e contém 30% da substância ativa e 1% de substâncias qual é a receita máxima que poderia ser obtida? inertes; seu custo é de $ 40 por tonelada. O composto final desejado deve ter pelo menos 40% da substância ativa e no máximo 2% de substâncias inertes. Quantas Tipos de Custos com Preço por  Lucro por  toneladas de cada composto deveriam ser adquiridas Bolas Matéria-Prima ($) Bola ($) Bola ($) para se obter o composto final a um custo mínimo? Futebol 10 30 10 Encontre este custo mínimo. Observe que “pelo meAmericano nos 40% da substância ativa” significa Futebol 12 25 8 70% (Composto I) + 30% (Composto II) + 10% (composto disponível) ≥ 40% (Composto I + Vôlei 8 20 8 Composto II + composto disponível) PALAVRAS-CHAVE

Seção

Palavras-Chave

4.1

Inequações lineares Propriedades Soluções Gráficos Intervalos Abertos Fechados Semi-abertos

4.2

Inequações lineares em duas variáveis Gráficos Sistemas Região de soluções

4.3

Programação linear Função objetivo Restrições Valores ótimos Região viável Solução gráfica

4.4

Método simplex (maximização) Variáveis de folga Matriz simplex Entrada-pivô Variáveis básicas e não-básicas Soluções não-únicas

73

 Exercícios de Revisão

4.5

Método simplex (minimização) Problema dual Transposta Problema primal

4.6

Método simplex com restrições mistas

EXERCÍCIOS DE REVISÃO 11.  f = – x + 3 y

Seção 4.1

1. Resolva 3 x – 9 ≤ 4(3 – x) e represente graficamente a solução. 2. Resolva 52 x ≤ x + 4 e represente graficamente a solução. 3. Resolva 5 x + 1 ≥ 23 ( x – 6) e represente graficamente a solução. 4 ( x − 2 ) 4. Resolva 3 ≥ 3 x − 16 e represente graficamente a solução. 5. Determine se as expressões a seguir representam intervalos abertos, fechados ou semi-abertos. Escreva cada uma delas em notação de intervalo: (a) 0 ≤ x ≤ 5 (b) 3 ≤ x < 7 (c) –3 7 ⎪ 2 y ≤ 5 x ⎩

7. Expresse o seguinte problema de programação linear na forma de um problema de maximização com restrições “≤”. Suponha que x ≥ 0, y ≥ 0. Minimize g = 7 x + 3 y sujeita a ⎧− x + 4 y ≥ 4 ⎪ ⎨  x − y ≤ 5 ⎪ 2 x + 3 y ≤ 30 ⎩

8. Represente graficamente a inequação x > 2 (a) em uma reta real (b) no plano xy 9. A matriz simplex final para um problema é dada a seguir. Forneça as soluções tanto para o problema de maximização quanto para o problema dual de minimização. Identifique cuidadosamente cada solução.

Prova do Capítulo

77

$ 35 e o de cerveja escura é de $ 30. Os fornecedores são capazes de fornecer no máximo 1.200 lb de mi17 ⎥ ⎥ lho e no máximo 1.000 lb de lúpulo por mês. Formule 11 ⎥ um problema de programação linear que possa ser ⎥ 0 12 4 18 0 1 65 8⎦ usado para maximizar o lucro mensal da Cervejaria River. A seguir, resolva-o usando o método simplex. 10. Use métodos gráficos para minimizar g = 3 x + y su- 13. Um grupo de pesquisa de mercado realizando uma  jeita a pesquisa telefônica deve contatar pelo menos 150 5 x – 4 y ≤ 40 esposas e 120 maridos. Custa $ 3 para fazer uma liga x + y ≥ 80 ção telefônica durante o dia e (em razão dos custos 2 x –  y ≥ 4 de trabalho mais caros) $ 4 para fazer uma ligação noturna. Em média, as ligações durante o dia con11. Use o método simplex para maximizar f  = 70 x + 5 y seguem contatar as esposas em 30% das vezes, os sujeita a maridos em 10% das vezes e nenhum deles em 60%  x + 1,5 y ≤ 150 das vezes, ao passo que as ligações noturnas conse x + 0,5 y ≤ 90 guem contatar as esposas em 30% das vezes, os max ≥ 0, y ≥ 0 ridos em 30% das vezes e nenhum deles em 40% das 12. A Cervejaria River é uma microcervejaria que provezes. Questões de pessoal fazem que o número de duz dois tipos de cerveja: clara e escura. A produção ligações diurnas deva ser menor ou igual à metade de um barril de cerveja clara requer 3 libras de milho do total de ligações feitas. Formule um problema de e 2 libras de lúpulo. A produção de um barril de cerprogramação linear que possa ser usado para miniveja clara requer 2 libras tanto de milho quanto de mizar o custo para completar a pesquisa. A seguir, lúpulo. O lucro de cada barril de cerveja clara é de resolva o problema graficamente. ⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

3 − 0, 7 0 0 −0, 5 0 − 0, 8 − 2 − 0, 5 0 0 0 − 0, 6 − 1 − 2, 4 1 0

1

15 ⎤

Aplicações Ampliadas Projetos em Grupo

&

I. Transporte A Companhia de Equipamentos contra Incêndio Kimble tem duas instalações de montagem, a Instalação A em Atlanta e a Instalação B em Buffalo. Ela tem dois centros de distribuição, o Centro I em Pittsburgh e o Centro II em Savannah. A empresa é capaz de produzir no máximo 800 válvulas de alarme por semana na Instalação A e no máximo 1.000 por semana na Instalação B. O Centro I tem que ter pelo menos 900 válvulas de alarme por semana ao passo que o Centro II tem que ter pelo menos 600 válvulas de alarme por semana. Os custos por unidade para transporte das instalações para os centros de distribuição são os seguintes: Instalação A para o Centro de Distribuição I Instalação A para o Centro de Distribuição II Instalação B para o Centro de Distribuição I Instalação B para o Centro de Distribuição II

$2 $3 $4 $1

Que plano de remessa semanal atenderá às demandas de mercado e minimizará o custo total de transporte das válvulas das instalações de montagem para os centros de distribuição? Qual é o custo mínimo de transporte? A empresa deve eliminar a rota com o custo unitário de remessa mais caro? 1. Para ajudar a empresa na tomada destas decisões, use programação linear com as seguintes variáveis:  y1 = número de unidades transportadas da Instalação A para o Centro I  y2 = número de unidades transportadas da Instalação A para o Centro II  y3 = número de unidades transportadas da Instalação B para o Centro I  y4 = número de unidades transportadas da Instalação B para o Centro II

2. Forme as inequações de restrições que fornecem as limitações para as instalação e centros de distribuição e construa a função de custo total que deve ser minimizada. 3. Resolva o problema de restrições mistas para o custo mínimo de transporte. 4. Determine se alguma rota de transporte é desnecessária. A B C 1 2 3

II. Manufatura Um fabricante de aparelhos de televisão produz um ou mais de quatro modelos de aparelhos coloridos: um portátil de 19 pol, um modelo de mesa de 27 pol, um modelo de mesa de 35 pol. e um modelo de 35 pol. com móvel acoplado. As necessidades de tempo de teste e montagem para cada modelo são mostradas na tabela a seguir, juntamente com os tempos máximos disponíveis para montagem e teste. Além destas restrições, o fornecedor de tubos de imagem informou que não for-

78