Caos Para Todos- Ziauddin Sardar

Vin, yang y caos

Título original: Introducing Chaos

Publicado en inglés, en 2004, por Icon Books LId., Cambridge, R.U.

El antiguo pensamiento chino reconocía que el caos y el orden están rela­ cionados. En la mitología china, el dragón representa el principio del orden, yang, que emerge del caos. En algunos relatos chinos de la creación, un rayo de luz pura, yin, emerge del caos y construye el cielo. Yin y yang, los principios femenino y masculino, actúan para crear el uníverso. Pero inclu­ so después de emerger del caos, el yin y el yang aún conservan las carac­ terísticas de aquél. Un exceso de uno u otro lleva de nuevo al caos.

Traducción de Joan Vilaltella

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1998 Ziauddin Sardar (texto) 1998 Iwona Abrams (ilustraciones) 2006 de la traducción, Joan Vilaltella 2006 de todas las ediciones en castellano, Ediciones Paidós Ibérica, SA,

Mariano Cubí, 92 - 08021 Barcelona

http://www.paidos.com

ISBN: 84-493-1854-8

Depósito legal: B-1.342/2006

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Vivaldi, 5 - 08110 Montcada i Reixac (Barcelona)

Impreso en España - Printed in Spain

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Caos en la Antigüedad

Teoría del caos

Hesíodo, un griego del siglo VIII a.C., escribió la Teogonía, un poema cos­ mológico que afirma que «en el principio fue el Caos», y después la Tierra y todo lo estable. Según parece, los antiguos griegos aceptaban que el caos precede al orden, en otras palabras, que el orden proviene del desor­ den.

La teoría del caos es un nuevo y emocionante terreno de la investigación científica. El fenómeno del caos es un descubrimiento sorprendente y controvertido que hace sólo unas décadas muchos científicos respetables habrían califi­ cado de fantasía.

Si la teoría del caos realiza su potencial, cambiará dramáticamente la forma en Que vemos el mundo y anosotros mismos. 4

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Caos en la Antigüedad

Teoría del caos

Hesíodo, un griego del siglo VIII a.C., escribió la Teogonía, un poema cos­ mológico que afirma que «en el principio fue el Caos», y después la Tierra y todo lo estable. Según parece, los antiguos griegos aceptaban que el caos precede al orden, en otras palabras, que el orden proviene del desor­ den.

La teoría del caos es un nuevo y emocionante terreno de la investigación científica. El fenómeno del caos es un descubrimiento sorprendente y controvertido que hace sólo unas décadas muchos científicos respetables habrían califi­ cado de fantasía.

Si la teoría del caos realiza su potencial, cambiará dramáticamente la forma en Que vemos el mundo y a nosotros mismos. 4

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¿Por qué es emocionante el caos?

¿De dónde viene el caos?

El caos es emocionante por todas estas razones...

Tres importantes y recientes desarrollos han convertido «caos» en una palabra cotidiana.

Conecta nuestras experiencias cotidianas con las leyes de la naturaleza, revelando sutiles relaciones entre simplicidad y complejidad, entre orden y aleatoriedad. Presenta un universo que es determinista y obedece las leyes fisicas fundamentales, pero a la vez es capaz de desorden, complejidad e impredecibilidad.

iEs sorprendentemente hermoso! Shakespeare acertó cuando hizo que Hamlet dijera en el acto 1, escena 13...

1. La impresionante potencia de los ordenadores permite a los investigadores realizar centenares de millones de complicados cálculos en cuestión de segundos. 2. El aumento en la potencia de cálculo ha venido acompañado por un creciente interés científico en fenómenos irregulares como...

Ello es, Horado, que en el cielo y en la tierra hay más de lo que puede soñar tu filosofía.

Muestra que la predecibilidad es un fenómeno poco frecuente que se da sólo dentro de las restricciones que la ciencia ha seleccionado a partir de la rica diversidad del mundo. Abre la posibilidad de simplificar fenómenos complicados. Combina matemáticas imaginativas con la impresionante capacidad de procesamiento de los ordenadores actuales. Arroja dudas sobre los procedimientos científicos tradicionales para construir modelos. Muestra que hay límites inherentes a nuestra comprensión y predicción del futuro en todos los niveles de complejidad.

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Definiciones del caos 3. La teoría del caos nació cuando estos desarrollos se combinaron con la aparición de un nuevo tipo de matemáticas geométricas",

El caos se ha definido de muchas formas. He aquí sólo unos pocos ejemplos, .. «Un tipo de orden sin periodicidad.»

Más allá de las formas familiares de la geometría euclidiana...

...hasta las estructuras no euclidianas de la geometría fractal.

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«Un comportamiento recurrente aparentemente aleatorio en un sistema determinista simple (parecido a un reloj de péndulo),» «El estudio cualitativo del comportamiento aperiódico inestable en siste­ mas dinámicos no lineales deterministas.» y aquí hay otra de un matemático de esta disciplina, lan Stewart.

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Los fractales están por todas partes ... Los fractales también nos proporcionan un vínculo inmediato con la natu­ raleza. Los árboles y las montañas son ejemplos de fractales. Están por to­ das partes.

El conjunto de Julia Los fractales pueden dar lugar a bonitos gráficos, y algunos fractales se co­ nocen desde hace años. Gaston Julia y Pierre Fatou, durante la Pri­ mera Guerra Mundial, descubrieron el conjunto de Julia, que explora números ímaginarios en el plano complejo. Los números imaginarios apa­ recen cuando buscamos la raíz cuadrada de un número negativo. Se con­ sidera que la raíz cuadrada de -1 es; y que la raíz cuadrada de -4 es 2;. Pero, en aquel tiempo, nadie se dio cuenta de la relevancia de estos con­ juntos para la «física del mundo real».

Pero cuando representaban los números obtenían conjuntos de pautas: bonitas pautas sin ningún estilo en particular.

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Los fractales están por todas partes ... Los fractales también nos proporcionan un vínculo inmediato con la natu­ raleza. Los árboles y las montañas son ejemplos de fractales. Están por to­ das partes.

El conjunto de .Julia Los fractales pueden dar lugar a bonitos gráficos, y algunos fractales se co­ nocen desde hace años. Gaston Julia y Pi erre Fatou, durante la Pri­ mera Guerra Mundial, descubrieron el conjunto de Julia, que explora números imaginarios en el plano complejo. Los números imaginarios apa­ recen cuando buscamos la raíz cuadrada de un número negativo. Se con­ sidera que la raíz cuadrada de -1 es iy que la raíz cuadrada de -4 es 2i. Pero, en aquel tiempo, nadie se dio cuenta de la relevancia de estos con­ juntos para la «física del mundo real».

Pero cuando representaban los números obtenían conjuntos de pautas: bonitas pautas sin ningún estilo en particular.

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El uso de los fractales Hoy en día, la geometría fractal se usa para describir varios fenómenos complejos. Los fractales nos ayudan a entender la turbulencia, cómo apa­ rece e incluso cómo se mueve.

Mandelbrot también ha dado su nombre a un famoso fractal, conocido como (¿qué, si no?) el conjunto de Mandelbrot.

Los vasos sanguíneos también se pueden considerar fractales, puesto que tienen subdivisiones cada vez más pequeñas. Realizan lo que se ha des­ crito como «magia dimensional», comprimiendo un área grande en un vo­ lumen limitado.

Millones de personas en todo el mundo vieron las matemáticas de los frac­ tales, sin saberlo, al ir al cine para ver la trilogía de La guerra de las gala­ xias. Imágenes cinematográficas de paisajes extraterrestres fueron gene­ radas por ordenador utilizando fractales. Por supuesto, ahora los fractales forman parte importante de los efectos especiales en las películas.

Los pulmones y el sistema digestivo también son fractales.

y asimismo los terremotos. Se sabía que la distribución de terremotos se ajusta a una pauta matemática. Los geólogos recogieron datos y vieron que la pauta era fractal. Las dimensiones fractales en la superficie de un metal también nos dicen mucho de su resistencia.

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Edward Lorenz Edward Lorenz (n. 1917), un meteorólogo, fue el primero en registrar un caso conocido de comportamiento caótico. Lorenz empezó su trabajo pos­ doctoral en 1948 en el Departamento de Meteorología del Massachusetts Institute of Technology. En 1955, fue nombrado director de un proyecto para la predicción estadístíca del clima, un terreno en el que su departa­ mento era pionero.

Después, usando modelos informatizados de la atmósfera y los océanos de la Tierra, Lorenz estudió la interrelación no lineal entre tres factores me­ teorológicos: temperatura, presión y velocidad del viento.

El primer caos generado matemáticamente que encontré se producía usando un modelo primitivo de un sistema climático global. El modelo contenía doce variables y daba una idea aproximada del comportamiento real del clima,

Descubrí que cambios muy pequeños en las condiciones iniciales tenían consecuencias muy variadas eimpredecibles. ¿Cómo podía un modelo simple de tres ecuaciones dar un resultado tan extraño?

Siguiendo el ejemplo de los astrónomos de los siglos timó las soluciones calculando a mano.

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Lorenz se vio obligado a concluir que este comportamiento era inherente a su modelo. En 1963, publicó sus resultados en Journal of the Atmospheríc Sciences con un artículo titulado «Determínistic Nonperiodic Flow». Los in­ vestigadores necesitaron casi una década para comprender la relevancia de este artículo.

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Pequeñas diferencias, grandes consecuencias Una historia interesante suele estar ligada al descubrimiento del fenómeno del caos por Lorenz. Según ésta, un día de 1961 Lorenz decidió tomar un atajo con su máquina de predicción del clima. Ouería examinar una se­ cuencia más larga. Así que, en vez de empezar la ejecución informática entera desde el principio, empezó por la mitad. Introdujo directamente los números de un resultado anterior y se fue a por un café. Cuando volvió apenas dio crédito a sus ojos.

Las consecuencias de este descubrimiento fueron comentadas por Lorenz con estas palabras: «Implica que dos estados con diferencias impercepti­ bles pueden acabar evolucionando hacia dos estados considerablemente diferentes. Entonces, si hay cualquier error al observar el estado presente, y en cualquier sistema real tales errores parecen inevitables, una predic­ ción aceptable de un estado instantáneo en el futuro lejano podría muy bien ser imposible».

El nuevo clima generado no se parecía en nada al original. ¡Eran dos sis­ temas completamente diferentes! Entonces se dio cuenta de lo que había sucedido. Había introducido 0,506, el número registrado en la impresión, pero el número original en la memo­ ria del ordenador era 0,506127. La pequeña diferencia, una parte en cinco mil, no era irrelevante. Lorenz se dio cuenta de que ínfimas diferencias en las condiciones iniciales, como un soplo de viento, podían ser catastrófi­ cas.

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El ejemplo de la noria

Atractores extraños

Un ejemplo usado por Lorenz para explicar el caos es la noria. Este senci­ llo dispositivo mecánico es capaz de un comportamiento sorprendente­ mente complicado.

En general, los sistemas complejos exhiben una característica que los ma­ temáticos llaman atractores. Representan estados en los que se acaba estabilizando el sistema, dependiendo de sus propiedades.

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Con cierta lentitud, el sistema fun­ ciona bien.

Imagínese una bola rodando en un cuenco. La bola se acaba estabilizando en el fondo, como si el fondo la atrajera.

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Pero cuando se incrementa el flu­ jo de agua, la noria gira más rápi­ do, los baldes tienen poco tiempo para llenarse o vaciarse, y el com­ portamiento del sistema se vuelve caótico.

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Entonces el giro se ralentizará o incluso se invertirá. En estas con­ diciones, nunca se repite según una pauta predecible.

Cuando el comportamiento caótico de la noria se representa gráfica­ mente, da un resultado muy bonito: una doble espiral en el espacio lla­ mada «atractor extraño».

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Otra manera de pensar en los atractores consiste en observar algunas situa­ ciones del mundo real donde ciertos modos concebibles de comportamien­ to simplemente no ocurren. El péndulo de un reloj en buen estado no oscila lentamente unas veces y violentamente en otras. En el ecuador no se dan temperaturas árticas. Normalmente los cerdos no vuelan. Las cosas inusua­ les que sí ocurren, pues, pertenecen a un área especial o, para expresarlo técnicamente, un conjunto restringido. Éste es el conjunto de atractores.

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Atractores caóticos

Atractores culturales y de identidad El equivalente cultural de los atractores lo dan tal vez los jefes, las tribus, los Estados y lo que marca una identidad, como la religión, la clase social o la visión del mundo.

Además, hay un tipo de atractores un poco fuera de lo normal: se conocen como «caóticos» o «atractores extraños»,

Consisten en cantidades infinitas de curvas, supeliicies ovariedades de dimensiones superiores. De hecho, son objetos fractales.

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Los atractores extraños habitan una construcción matemática conocida como espacio de fase. El espacio de fase es un espacio imaginario: una manera de convertir los números en imágenes, creando un mapa dúc­ til con toda la información disponible. Definamos el «espacio de fase».

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Representación del espacio de fase Estamos familiarizados con los dibujos arquitectónicos que representan un edificio tridimensional en el plano bidimensional. Pero supongamos que en vez de un objeto fijo (un edificio) tenemos un objeto móvil: por ejemplo, un péndulo. Podemos representar el movimiento horizontal y vertical del pén­ dulo en un gráfico bidimensional.

Los ejes horizontal y vertical proporcionan información sobre la posición del péndulo.

De modo similar, el espacio de fase representa el estado de un objeto en un plano multidimensional. El movimiento de un péndulo simple puede re­ presentarse en un gráfico donde el eje «x» mide el ángulo de desplaza­ miento respecto a la vertical y el eje «y» la velocidad angular. En este dia­ grama de espacio de fase, el péndulo simple describe un círculo. El espacio de fase convierte aburridos datos estadísticos en una imagen expresiva. abstrayendo toda la información esencial de las partes en movi~._ miento Y proporcionando una pE:l~spectiva fácil de captar del comporta­ miento del sistema a lo largo del tiempo. En el espacio de fase, el conocimiento completo del estado de un sistema. dinámico en un instante determinado corresponde a un punto. que rep~ senta al sistema en dicho instante. En el instante siguiente el sistema ha­ brá cambiado, y así el punto se moverá.

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El espacio de fase facilita la visión de un sistema dinámico. ,\ : o

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Es la visión que una mosca volando por una habitación tendría de un sistema cambiante.

Yb) exhiben una dependencia s3nsible de las condiciones iniciales: trayec­ torias inicialmente próximas entre ellas y al atractor divergen rápidamente. Cuarto, y ésta es la parte curiosa, aunque los atractores extraños existen en un espacio de dimensión infinita (el espacio de fase), ellos sólo tienen dimensión finita.

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¿Qué es extraño en los atractores extraños? Pnmero, su aspec­ to. Un objeto imaginario multidimensional tiene que parecer extraño, Se­ gundo, el movimiento en los atractores extraños tiene una dependencia muy sensible de las condiciones iniciales. Tercero, los atractores extraños reconcilian efectos contradictorios: a) son atractores, en el sentido de que las trayectorias próximas convergen hacia ellos;

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Los bucles corresponden a la periodicidad; las torsiones, al cambio, y el espacio vacío, a la imposibilidad física.

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El atractor de Lorenz El atractor extraño más famoso se conoce como el atractor de Lorenz por el nombre de su descubridor. Tiene este aspecto.

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El término «atractor extraño» fue acuñado por David Ruelle, profesor de fí­ sica teórica en el Institut des Hautes Études Scientifiques, Bures-sur-Yvet­ te, Francia. Introdujo el término a principios de la década de 1970 en un ar­ tículo, escrito en colaboración, donde propuso la turbulencia fluida como un ejemplo de caos. Ha habido objeciones al término «atractor extraño». Por ejemplo, los mate­ máticos rusos Boris Chirikov y Felix Izrailve sugieren que los atrac­ tares extraños sólo se lo parecen a un extraño.

Estas pautas infinitamente complejas de curvas y superficies son exactamente lo que teníamos que esperar.

Aunque pocos lo esperaban realmente.

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Aun así, es una expresión demasiado atractiva para la mayoría de los cien­ tíficos y el término se mantiene. Los atractores extraños han alimentado el fuego de la teoría del caos, y ahora los investigadores los buscan por todas partes: en cualquier sistema que parezca estar actuando al azar.

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El efecto mariposa A Lorenz también se le asocia con la idea del «efecto mariposa». En 1972 presentó un artículo en un congreso en Washington, con el título «Does the Flap of a Buttertly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?». En realidad no contestó a la pregunta.

Dos factores aseguraban que «el efecto mariposa» se convertiría en un em­ blema del caos. Primero, entre los primeros sistemas caóticos estudiados por Lorenz estaba el famoso «atractor extraño» parecido a una mariposa. Naturalmente, algunos dieron por supuesto que «el efecto mariposa» se lla­ maba asi por el atractor. Segundo, «el efecto mariposa» adquirió una Impor­ tancia mítica gracias al best seller, Caos (1988), de James Gleick.

Pero indicó que si un simple aleteo podía generar un tornado, entonces también podía evitarlo, Además, el efecto de un aleteo concreto no sería ni inferior ni superior al de cualquier otro aleteo de cualquier otra mariposa.

El «efecto mariposa» subraya que en el caos las condiciones iniciales y las pequeñas perturbaciones son muy importantes.

En «El ruido de un trueno», un relato corto de Ray Bradbury, la muerte de una mariposa prehistórica cambia el resultado de unas elecciones presidenciales en la actualidad.

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David Ruelle

¿Qué es la turbulencia?

El físico y matemático David Ruelle dio arranque a la teoría del caos con su trabajo sobre la turbulencia. Durante décadas, la turbulencia había sido un problema importante para los físicos. Werner Heisenberg (1901­ 1976), que había contribuido a la física cuántica con el «principio de incer­ tidumbre», quizás incluso en su lecho de muerte pensaba aún en ello.

Se puede ver la turbulencia en acción con una visita rápida al baño, abrien­ do el grifo suavemente para que el agua fluya de manera estable. La co­ lumna de agua puede parecer inmóvil, pero por supuesto el grifo está abierto. Abriendo el grifo un poco más, cuidadosamente, se pueden conseguir pulsacio­ nes regulares de la colum­ na de agua. Se trata de uri movimiento periódico.

i Dios! ¿Por qué la relatividad? ¿y por qué la turbulencia?

Cuando el grifo se abre un poco más, las pulsaciones se vuelven irregulares. Fi­ nalmente, al abrir comple­ tamente el grifo, se obtie­ ne un flujo muy irregular. Ésta es la turbulencia.

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¿Cómo ocurre la turbulencia?

El enfoque de Ruelle

La turbulencia es un lío desordenado en todas las escalas. Es inestable y muy disipativa, en el sentido de que crea resistencia y absorbe energía. El problema es: ¿cómo se convierte un flujo suave y estable en turbulento?

De hecho, la mayoría de las veces las ecuaciones del flujo de un fluido son imposibles de resolver. Son ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Ruell e decidió intentar una alternativa abstracta al enfoque usual.

¿Cómo es posible Que un soplo de humo de cigarrillo Que fluye suavemente hacia arriba se divida de repente en varios hilillos?

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Sugerí Que tres movimientos independientes causan todas las complejidades de la turbulencia. Ruelle publicó su análisis en 1971, en un artículo titulado «On the Nature of Turbulence», del cual es coautor Floris Takens, un matemático holan­ dés. (En realidad, Ruelle era editor de la revista y admitió el artículo para su publicación. No es un procedimiento muy aconsejable, en general, pero él creyó que estaba justificado en este caso particular.)

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Aunque muchas de las matemáticas en el artículo de Ruelle eran poco ac­ cesibles o simplemente equivocadas, contenían elementos que dejaron una impresión duradera.

El flujo turbulento no se describe, como generalmente se supone, con superposiciones de varios modos, sino con atractores extraños.

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Su uso del término «atractores extraños» resultó decisivo.

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Surgieron nuevas cuestiones. ¿Cómo podia una infinidad de lazos y espi­ rales estar contenida en un espacio finito? ¿Cómo puede ocurrir tanto en un espacio tan pequeño? ¿Por qué una lógica del infinito para entender lo que hará un punto en el tiempo? Ruelle sospechaba que las pautas visi­ bles en el flujo turbulento, con su vaivén aleatorio, tenían que estar relacio­ nadas con algunas leyes aún por descubrir. Algo que ya se conocía de la turbulencia era que estaban presentes a la vez ciclos pertenecientes a un espectro muy amplio. Pero ¿cómo se podía representar esto? ¿Podía pro­ venir de ecuaciones simples? El atractor tendría que ser estable y repre­ sentar el estado final del sistema dinámico. También tendría que ser no pe­ riódico, sin repetirse nunca ni cortarse a sí mismo.

Para producir todos los ritmos, debería ser infinitamente largo en un espacio finito: un fractal.

Pero el término «atractor extraño» no era conocido entonces. Ruelle argumentó que debía existir.

, La aparición de atractores extraños en lugares tan distantes como Japón y Alemania le dio la razón.

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