Caos en el péndulo doble Proyecto para Cálculo Numérico Rafael Bravo email:
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Departamento de Física, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 307, Santiago 2, Chile (Dated: 28 de septiembre de 2015)
1.
Introducción
Un péndulo doble, es un sistema mecánico con dos grados de libertad, el cual consiste en dos péndulos coplanarios, uno unido al final del otro, como se muestra en la figura 1.1. Este sistema presenta un comportamiento dinámico de gran interés, ya que es muy sensible a las condiciones iniciales del problema. El sistema al tener dos grados de libertad, basándose en el formalismo lagrangiano (ecuaciones de Euler-Lagrange), está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, las cuales son no lineales. Éstas, en una primera aproximación, para pequeñas oscilaciones, pueden ser resueltas de manera analítica, pero en caso general no es posible, además, por encima de cierto valor de energía (elección de condiciones iniciales), el sistemá será caótico, es decir, para pequeñas diferencias entre condiciones iniciales, el sistema mostrará grandes diferencias en su comportamiento futuro, lo cual imposibilita su predicción a largo plazo.
Fig. 1.1: Esquema de un péndulo doble, en donde θ1 y θ2 son las coordenadas generalizadas del sistema Debido a la imposibildad de obtener soluciones analíticas, para el caso más general de movimiento, para conocer la evolución del sistema en el tiempo, se tienen que emplear métodos numéricos, para ellos existen diversos métodos, en nuestro caso estamos interesados en comparar los métodos de Runge-Kutta de orden 4 (de aquí en adelante RK4) y el método de Euler. El objetivo de este proyecto es poder realizar la simulación del movimiento de un péndulo doble, comparando los métodos mencionados anteriormente, analizar la estabilidad en el tiempo de la energía, y ver como afectan las distintas condiciones iniciales y tiempo de simulación, a la evolución del sistema, haciendo enfasis en su comportamiento caótico.
1
2 Teoría y metodología
2.
2
Teoría y metodología
2.1.
Dinámica del sistema
Fig. 2.1: Esquema de un péndulo doble, en donde θ1 y θ2 son las coordenadas generalizadas del sistema De acuerdo a la Figura 2.2, en coordenadas cartesianas, las posiciones de las masas del sistema, vienen dadas por x1 = l1 sin(θ1 ) , y1 = −l1 cos(θ2 ) , x2 = x1 + l2 sin(θ2 ) , y2 = y1 − l2 cos(θ2 ) a partir de esto, podemos escribir la energía cinética de cada partícula, tomando en cuenta que ésta viene dada por Ti = 12 mi x˙ 2i + y˙ i2 h i 1 1 m1 l12 θ˙12 , T2 = m2 l12 θ˙22 + l22 θ˙22 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos (θ1 − θ2 ) 2 2 P por lo tanto la energía cinética del sistema T = Ti es T1 =
i
h i 1 1 T = (m1 + m2 ) l12 θ˙12 + m2 l22 θ˙22 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos (θ1 − θ2 ) 2 2 P análogamente se tiene para la energía potencial gravitatoria, Vi = mgyi y V = Vi
(2.1)
i
V1 = −m1 gl1 cos(θ1 ) , V2 = −m2 g (l1 cos(θ1 ) + l2 cos(θ2 )) V = −g [(m1 + m2 ) l1 cos(θ1 ) + m2 l2 cos(θ2 )]
(2.2)
ya conociendo la energía del sistema, es posible construir su Lagrangiano, que viene dado por L = T − V h i L = 12 M l12 θ˙12 + 12 m2 l22 θ˙22 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos (∆θ) + g [M l1 cos(θ1 ) + m2 l2 cos(θ2 )] (2.3)
en donde se utilizó M = m1 + m2 y ∆θ = θ1 − θ2 , luego para encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema utilizamos las ecuaciones de Euler-Lagrange, las cuales son consecuencia directa del principio de mínima acción d ∂L ∂L − = 0, i = 1, 2 (2.4) ˙ dt ∂ θi ∂θi
2 Teoría y metodología
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utilizando (2.4) encontramos las siguientes ecuaciones para las coordenadas θ1 y θ2 l2 m2 ˙2 l2 m 2 ¨ g θ¨1 = − θ2 sin(∆θ) − θ2 cos(∆θ) − sin(θ1 ) l1 M l1 M l1
(2.5)
l1 l1 g θ¨2 = θ˙12 sin(∆θ) − θ¨1 cos(∆θ) − sin(θ2 ) l2 l2 l2
(2.6)
es posible ver que estas ecuaciones estan acopladas, para desacoplar, introducimos (2.2) en (2.3) y vice versa, con esto encontramos que las ecuaciones desacopladas para el sistema son −m2 sin(∆θ) l2 θ˙22 + l1 θ˙12 cos(∆θ) + g (m2 cos(∆θ) sin(θ2 ) − M sin(θ1 )) θ¨1 = (2.7) l1 m1 + m2 sin2 (∆θ) sin(∆θ) M l1 θ˙12 + m2 l2 θ˙22 cos(∆θ) + M g (cos(∆θ) sin(θ1 ) − sin(θ2 )) θ¨2 = (2.8) l2 m1 + m2 sin2 (∆θ) el caso de nuestro interés, corresponde a cuando el sistema tiene masas iguales y los brazos tienen la misma longitud, es decir m1 = m2 = m y l1 = l2 = l , con esta consideración las ecuaciones de movimiento para el sistema son las siguientes[4].
ω˙1 =
ω˙2 =
2.2.
θ˙1 = ω1
(2.9)
θ˙2 = ω2
(2.10)
− sin(∆θ) ω22 + ω12 cos(∆θ) +
g l 2
(cos(∆θ) sin(θ2 ) − 2 sin(θ1 ))
1 + sin (∆θ) sin(∆θ) 2ω12 + ω22 cos(∆θ) + 2g l (cos(∆θ) sin(θ1 ) − sin(θ2 )) 1 + sin2 (∆θ)
(2.11)
(2.12)
Métodos numéricos
Para la resolución del conjunto de ecuaciones diferenciales (2.9)-(2.12), como se mencionó anteriormente, se utilizaron dos métodos; RK4 y método de Euler y Adams-Moulton. De antemano se sabe que el método RK4 es más preciso y estable que el método de Euler, ya que este es 3 órdenes superior, cabe mencionar que RK4, contiene al método de Euler salvo por una constante. Por lo tanto se explicará, como utilizar el método RK4 en general y como caso particular veremos el método de Euler. Como se trata de un sistema caótico, en el cual las variables dinámicas cambian de manera impredecible, para corroborar que los métodos numéricos funcionen correctamente, se deben explotar las simetrías del sistema, ya que estas se conservan durante la evolución de este. En el caso del péndulo doble, una simetría del sistema es la energía, la cual se deberá conservar a medida que el sistema evolucione, entonces está servirá como un parámetro de control, para verificar la exactitud de los cálculos. Como se está haciendo una simulación numérica, es decir discreta, para obtener algo similar a la conservación de la energía, se considerará arbitrariamente que está se conservará, cuando presente variaciones menores a 10−5 [Joules].
2 Teoría y metodología
2.2.1.
4
Runge-Kutta de orden 4 (RK4)
El método de RK4, permite resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma dx = f (t, x) , x(t0 ) = x0 dt en este caso la solución de (2.13), utilizando rk4, será x(t + h) = x(t) + k1 = f (t, x) k3 = f t + h2 , x +
h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6
k2 2
(2.13)
(2.14)
k2 = f t + h2 , x + k21 k4 = f (t + h, x + k3 )
en donde h es la diferencia entre dos puntos consecutivos de la variable independiente, en este caso t, es decir ti+1 − ti = h, podemos identificar a h como el paso de tiempo. Ahora, si se quiere resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, como es el caso de nuestro interés, tendremos que extender este método a un sistema de la forma d2 x d2 y = f (t, x, v , y, v ) , = g(t, x, vx , y, vy ) x y dt2 dt2 sujeto a las condiciones iniciales de Cauchy dx dy x(t0 ) = x0 , = vx0 , y(t0 ) = y0 , = vy0 dt t0 dt t0
(2.15)
(2.16)
para aplicar el método, en este sistema, lo convertimos en uno de primer orden dx dvx dy dvy = vx , = f (t, x, vx , y, vy ) , = vy , = g(t, x, vx , y, vy ) dt dt dt dt luego la solución de (2.17) vendrá dada por x(t + h) = x(t) + h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) vx (t + h) = vx (t) + h6 (j1 + 2j2 + 2j3 + j4 ) y(t + h) = y(t) + h6 (r1 + 2r2 + 2r3 + r4 ) vy (t + h) = vy (t) + h6 (q1 + 2q2 + 2q3 + q4 )
(2.17)
(2.18)
en donde k1 = vx k2 = vx + j21 k3 = vx + j22 k4 = (vx + j3 ) r1 = vy r2 = vy + q21 r3 = vy + q22 r4 = (vy + j3 )
j1 = f (t, x, vx , y, vy ) j2 = f t + h2 , x + k21 , vx + j21 , y + r21 , vy + q21 j3 = f t + h2 , x + k22 , vx + j22 , y + r22 , vy + q22 j4 = f (t + h, x + k3 , vx + j3 , y + r3 , vy + q3 ) q1 = g(t, x, vx , y, vy ) q2 = g t + h2 , x + k21 , vx + j21 , y + r21 , vy + q21 q3 = g t + h2 , x + k22 , vx + j22 , y + r22 , vy + q22 q4 = g (t + h, x + k3 , vx + j3 , y + r3 , vy + q3 )
(2.19)
Finalmente, tendremos la solución numérica del conjunto de ecuaciones diferenciales, si vamos al caso de las ecuaciones (2.9)-(2.12), tendremos que hacer las siguientes identificaciones x = θ1 , y = θ2 , vx = ω1 ,
f (θ1 , ω1 , θ2 , ω2 ) =
− sin(∆θ) ω22 + ω12 cos(∆θ) +
vy = ω2 g l 2
(cos(∆θ) sin(θ2 ) − 2 sin(θ1 ))
1 + sin (∆θ)
(2.20)
(2.21)
3 Resultados
5
g(θ1 , ω1 , θ2 , ω2 ) =
sin(∆θ) 2ω12 + ω22 cos(∆θ) +
2g l
(cos(∆θ) sin(θ1 ) − sin(θ2 ))
2
1 + sin (∆θ)
(2.22)
en nuestro caso las funciones f y g , no dependen explícitamente del tiempo, por lo tanto omitimos su dependencia en el argumento de la función. 2.2.2.
Método de Euler
Como se mencionó anteriormente, el método de Euler, está contenido en el de rk4, y este corresponde al caso en donde solo utilizamos las variables con subíndice 1 (k1 , j1 , r1 , q1 ) y cambiamos la multiplicacion de una constante, es decir, para una ecuación diferencial, de la forma (2.15) su solución será x(t + h) = x(t) + hf (t, x)
(2.23)
Por lo tanto, con este método, la solución del sistema (2.17) será x(t + h) = x(t) + hk1 vx (t + h) = vx (t) + hj1 y(t + h) = y(t) + hr1 vy (t + h) = vy (t) + hq1
(2.24)
tomando en cuenta las mismas relaciones (2.19) para las variables con subíndice 1. Y para la resolución del sistema (2.9)-(2.12) tomamos en cuenta las mismas consideraciones (2.20)-(2.22).
2.3.
Implementación
Para poder resolver las ecuaciones de movimiento para el péndulo doble, se escribió un código en Matlab para implementar los métodos de RK4 y Euler. En primera instancia, para poder visualizar los resultados, se simuló el movimiento del péndulo para las mismas condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o , ω1 = ω2 = 0, mismo paso de tiempo h = 10−3 y tiempo de simulación de un minuto, escogidos arbitrariamente [1]. Con esto posteriormente se puede visualizar la trayectoria de ambas masas, la energía total del péndulo y su trayectoria en el espacio de fases. Posteriormente, para realizar un análisis en la estabilidad de los métodos, se escribió un código en donde solamente se calculara la energía total del péndulo, para diferentes pasos de tiempo h y a un tiempo de simulación grande, de 10000 segundos. Luego de haber identificado el mejor método y paso de tiempo para la resolución de las ecuaciones, se hizo una animación que mostrara la evolución en el tiempo del péndulo. Finalmente se analizó la estabilidad con respecto a distintas condiciones iniciales, en donde se puede además discriminar, cuando el péndulo mostrará comportamiento caótico, para poder realizar esto, será conveniente mirar la evolución del sistema en el espacio de fases, y con ello poder comparar diferentes condiciones iniciales.
3.
Resultados
Los resultados de las simulaciones, para el caso que se describió en la implementación, se muestra a continuación. En donde es directo ver, a través del espacio de fases, las notables diferencias en el movimiento, utilzando ambos métodos, si miramos la gráfica de energía en el tiempo, sabemos que el movimiento simulado con RK4 presenta variaciones en la energía del orden de 10−7 por lo tanto sabemos que realmente esa simulación es correcta. A diferencia de lo que se puede ver en la energía con el método de Euler.
3 Resultados
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Fig. 3.1: Resultados de la simulacion para condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o , ω1 = ω2 = 0 usando un paso de tiempo h = 10−3 y un tiempo de simulacion de 1 minuto, utilizando método RK4. 1: angulos en función del tiempo, 2 y 3: evolucion del sistema en el espacio de fases 4: energía en función del tiempo
Fig. 3.2: Resultados de la simulacion para condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o , ω1 = ω2 = 0 usando un paso de tiempo h = 10−3 y un tiempo de simulacion de 1 minuto, utilizando método de Euler. 1: angulos en función del tiempo, 2 y 3: evolucion del sistema en el espacio de fases 4: energía en función del tiempo
4 Análisis
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Fig. 3.3: Imágenes de distintos instantes de tiempo para la animación del péndulo doble, utilizando algoritmo de RK4, para un tiempo de 1minuto con un paso de tiempo h = 10−4
4.
Análisis
Para poder ver realmente la estabilidad de los métodos durante intervalos de tiempo más grandes que un minuto, se construyeron las siguientes gráficas
Fig. 4.1: Método de Euler, con condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o , ω1 = ω2 = 0 ; Izquierda: variaciones en la energía para distintos pasos de tiempo h. Derecha: Error acumulado en la variación de la energía. De las gráficas mostradas en la figura 4.1, es posible notar que el método de Euler nos asegura variaciones menores a 10−5 Joules en la energía, solo para los pasos de tiempo; h = 10−4 en un tiempo menor a 1 segundo, h = 10−5 hasta los 10 segundos y h = 10−6 hasta un tiempo de 100 segundos. Para el caso de h = 10−2 el algoritmo después de 10 segundos deja de funcionar, al parecer no es suficiente ese paso de tiempo para seguir encontrando soluciones.
4 Análisis
8
Fig. 4.2: Método RK4, con condiciones iniciales θ1 = θ2 = 90o , ω1 = ω2 = 0 ; Izquierda: variaciones en la energía para distintos pasos de tiempo h. Derecha: Error acumulado en la variación de la energía. Comparando la figura 4.2 con las gráficas de la figura 4.2, podemos notar cláramente que el método RK4 es más estable en el tiempo y presenta menores variaciones en la energía. Podemos asegurar variaciones de energía menores a 10−5 Joules en un tiempo de 10000 segundos, utilizando pasos de tiempo h ≤ 10−3 , también podemos asegurar la misma variacion de energía para un paso h = 10−2 pero solo para los dos primeros segundos de simulacion. A grandes rasgos todos los pasos de tiempo usados a priori presentan buenos resultados, en contraste al método de Euler. Observando el error acumulado para la energía [5], es posible ver que las soluciones más estables se consiguen con los pasos h ≤ 10−4 , en este caso el error acumulado en la energía será menor a 10−5 Joules. Considerando las observaciones anteriores y tomando en cuenta el tiempo que tarda la simulación en realizarse, para cada valor de h (entre más pequeño h, mayor será el tiempo que le tarda al programa completar la simulación), el valor de h óptimo para obtener resultados buenos (estables, con el mínimo error y utilizando el menor tiempo de cómputo) es de h = 10−4 . Considerando este paso de tiempo y miramos la energía en la evolución del sistema a diferentes condiciones iniciales θ1 = θ2 y ω1 = ω2 = 0, para distintos valores de θi se tiene
4 Análisis
9
Fig. 4.3: Variaciones en la energía del péndulo a diferentes condiciones iniciales utilizando algoritmo de RK4, para un tiempo de 1000 segundos con un paso de tiempo h = 10−4 De la figura 4.3 es posible observar que la solución más estable se obtiene para los 60o , para ángulos mayores a 90o es posible ver mayores variaciones en la energía, también por sobre estos valores de ángulos el movimiento será completamente caótico. Considerando las condiciones iniciales anteriores, se tendrá que el péndulo se dará vuelta cuando ambos ángulos sean mayores a 111o , para ilustrar la fuerte sensibilidad de este sistema a las condiciones iniciales, se tiene lo siguiente
Fig. 4.4: Resultados de la simulacion para condiciones iniciales, figura izquierda θ1 = θ2 = 110o , ω1 = ω2 = 0 , figura derecha θ1 = θ2 = 111o , ω1 = ω2 = 0 usando un paso de tiempo h = 10−4 y un tiempo de simulacion de 1 minuto, utilizando método RK4. 1: angulos en función del tiempo, 2 y 3: evolucion del sistema en el espacio de fases 4: energía en función del tiempo De la figura 4.4, podemos apreciar que una diferencia de 1o en las condiciones iniciales del sistema, lleva a que el sistema evolucione de manera completamente distinta, siendo tan drástico que se muestra justo el
5 Conclusión
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límite cuando el péndulo se da vuelta. Por lo tanto si consideramos condiciones iniciales en donde θ1 = θ2 y ω1 = ω2 = 0, sabemos que por debajo de los 111o en un tiempo de un minuto el péndulo no se dará vuelta.
5.
Conclusión
En síntesis, se puede afirmar que se pudo llegar a buenos resultados utilizando el método de RK4, se pudo conocer hasta donde es su alcance para asegurar estabilidad, como también la configuración óptima para su funcionamiento en el caso de resolver el péndulo doble. Más allá de los métodos empleados en solucionar el problema, la dinámica del problema en sí es de gran interés, con repecto a la sensibilidad a sus condiciones iniciales, como se mostró en la figura 4.4. Si bien no estaba en los intereses de este trabajo estudiar la física del sistema, sería interesante aplicar métodos de sistemas dinámicos para conocer más propiedades de este sistema, como secciones de Poincaré, exponentes de Lyapunov, etc. Finalmente se pudieron cumplir los objetivos mencionados anteriormente, donde podemos asegurar que para este tipo de simulaciones el método de RK4 es superior al de Euler. Si bien se pudo ir más allá achicando los pasos de tiempo, el computador no tuvo la suficiente memoria para poder realizarlo, sería interesante ver si con pasos de tiempo más pequeños, se pierde estabilidad, en este trabajo solo podemos asegurar hasta pasos de 10−7 . Si bien es un sistema conocido, puede resultar ser útil continuar su estudio, ya que hay autores [3, 4] que proponen métodos experimentales en base a un doble péndulo, para poder detectar ondas gravitacionales, lo cual es un tema de grán interés actualmente en la física.
Referencias [1] A C Calvão and T J P Penna. (27 May 2015). The double pendulum: a numerical study. European Journal of Physics, 36, 23pp. [2] H.J. Korsch H.-J. Jodl T. Hartmann. (2008). Chaos: A Program Collection for the PC. Verlag Berlin Heidelberg : Springer. [3] M. Stephens, P. Saulson and J. Kovalik. (1990). A double pendulum vibration isolation system for a laser interferometric gravitational wave antenna. Review of Scientific Instruments, 62, 924. [4] Mark A. Beilby, Gabriela Gonzalez, Michelle Duffy, Amber Stuver, Jennifer Poker. (1999). Development of a Double Pendulum for Gravitational Wave Detectors. 1999, de arXiv Sitio web: arXiv:gr-qc/9911027 [5] Hoai Nguyen Huynh , Thi Phuc Tan Nguyen, Lock Yue Chew. (2013). Numerical simulation and geometrical analysis on the onset of chaos in a system of two coupled pendulums. ELSEVIER, 18, 291-307.
