Cantidad de Movimiento - Física - Cuzcano
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CANTIDAD DE MOVIMIENTO ••• IMPULSION CHOQUES
Cuando muchas capitulo enfoque
se quiere medir el movimiento mecfmico de traslaci6n de las particulas, existen formas de abordarla; la primera de ellas y tal vez la mas sencilla 10 hicimos en el de cinematica. EI analisis fue meramente descriptivo, abordandoladesde un geometrico.
Las magnitudes ffsicas (asociadas af tiempo) fueron principalmente la posici6n, velocidad y aceleraci6n. Asi, por ejemplo para un m6vil que desarrolla un MRUV. t=t
A o
-
V
..!.
t=O hC'-'-
'.
j-' "'1'-' 15' p
••
~
~
__C,UZCANQ'----------------~
Como puede notarse la descripcion es vectorial, pero no se menciona las medidas de su inercia (masa) 0 sus interacciones (fuerzas). Posteriormente en el capftulo de trabajo y energfa el movimiento mecanico de traslacion 10 mediamo's asociando masa y rapidez, asf por ejemplo:
Como puede notarse en ambos casos se mide el movimiento mecanico, asociando 0 no a su masa. Surge una interrogante (.seran las (micas formas de medirla?, iciertamente no!, existen otras formas, y ese sera motivo de estudio en este fasc1culo. Detengamonos por un momento; calculemos la energfa cinetica de una esferita de 2kg en dos situaciones y analicemos :
hwi\Q 6m1s
o
m~~
0
0
1 Ek=Zx2x6
.LbMf
2
:. Ek=36J~ La energfa cinetica de la esferita es la misma en ambas situaciones a pesar de que la direccion de la velocidad es diferente. Sin embargo el efecto que produce sobre el coche es difer~nte; en la situacion (I) queda en reposo, mientras que en la situacion (II) adquiere mvvimiento.
La energfa cinetica es un rnagnitud ffsica escalar su medida es independiente de la direccion de su velocidad. Como el efecto producido por la esferita fue diferente, entonces surge entonces la necesidad de medir el movimiento en forma vectorial, asociando su masa; esto se hara justamente en este capftulo con la denominada cantidad de movimiento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
Tambien si recordamos en el capitulo anterior, y para el caso de la figura, el trabajo y la energia se relacionaban mediante magnitudes. Wpersona_ W lensi6n- .6.E AB
-AB
-
k
E =
Va
E kf ~
o k
..
~Jt~~~.
2· 2)
-
:t~~:!;.l:... ....
tensi6n.l";·o( = - m V -V . . - 2 "f 0.
W AB
Vf
~
A I
IB
d
En esta ecuacion las. interacciones y el movimiento estan relacionadas entre sf, en forma escalar, cosa que no nos brinda informacion precisa de la direccion de la velocidad. En este capitulo las interacciones (fuerzas 0 impulsiones) estarim relacionadas con su movimiento mecanico, todas exP\esadas en forma vectorial.
v.\ a
All., ~
La pelotita
.
Ilevaba
una direcci6n,
interactuar con I.araqueta,
al
esta modifica
su direcci6n.
EI siguiente cuadra nos i1ustra caracterfsticas analogas entre las magnitudes usadas en el capitulo de trabajo-energia y las que usaremos en este capitulo. . . '" ANALISI~:$OBRE:; f, lfEDlD~,ESCALAR . I.•..MEDIDA VECTORIAL -~
-
Transferencia 0 transmisi6n de movimiento mecanico
Trabajo Mecfmico (W)
. Medidas del movimiento mecanico de traslaci6n
Energia cinetica (Ek)
Cantidad de Movimiento(P)
Ek=~mV21
IP=mVI
Conservaci6n de:
La Energfa
-
Relaci6n
IW=f·dl
I
Trabajo - Energfa Wneto=~Ek
Impulso (I)
I I =F·T I ..
La Cantidad de Movimiento Impulso- Cantidad de Movimiento TR= AP
••
_ cuziiR
.AI!I
Q ---
CANTIDADDE M_O\ltMIENTO (fir Tambi~n denominado momentum, momentum lineal 0 fmpetu, esta magnitud ffsica es usada para medir vectorial mente el movimiento mecanico de traslacion de una particula asociada a su masa. (*) Se define; Unidad (5.1.) kgxm/s
~~
~4b (*)
Posteriormente
definiremos
~::
:~::idad
la cantidad de movimiento
de un sistema de partfculas.
Denominado tambien impulsion, esta magnitud ffsica nospermite medir la accion de un cuerpo sobre otro actuando durante cierto intervaJo de tiempo (usualmente, relativamente El resultado de la misma trae como consecuencia una modificaci6n en la pequeno). cantidad de movimiento de los cuerpos que interactUan. EI impulso del bate sobre la bola sera :
Itt:Fm' )1 I Fm : Fuerza
media
ilt : Intervalo de tiempo \
, Unidad : N-s
Si se· tiene una grafica F vs t, es posible calcular como :
I~CasliII
IIiI
I
DE LA FUERZA CONSTANTE EN EL T1EMPO.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
rc.i~oI II I
DE LA FUERZA VARIABLE EN EL TIEMPO.
!G~MiCa I·
El valor de Fmed. (valor media de la fuerza) no implica sea la mitad de Fmax; esta mas bien es tal que multiplicado par ~t en la grafica (II), es numericamente
.
igual al area debajo de la grafica F vs t en la grafica (I).
~
Historicamente Isaac Newton no enuncio su segunda ley, tal como 10 hemos formulado en el capitulo de dinamica. Una traduccion Iibre del latfn a sus escritos en su obra magistral "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", es el siguiente :
(*) Newton usa el termino "movimiento" a 10 que hay conocemos como cantidad de movimiento. Es decir, si suponemas una fuerza canstante sabre una superficie lisa.
(F)
actuando
sobre un blaque recostado
III
--
~ -- C·UZCA.Q---------------~
ma:
masa inicial
V : rapidez de la partfcula C : rapidez de la luz
Durante la interacci6n bola-raqueta, la fuerza media de la raqueta sabre la bola se mide:
v.o ---~
@';I~
P.; ~
m~V F :-m
~t
~.::=----
:. I~T= 4I5.j
-
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUL~Q"--~,~9UES
NotaL que la ecuacion expresa una dikrencia vectorial, donde la direccion de "P " coincide con la direccion de V .
:.
B'
J!j
C
:
A)
2.J7·
B)
3.J7
D)
s.J7
E)
J26
:~:
'Usando el nivel de referencia "NR2
v
:~:
~
+EpA = EKe + ~
.:.
.:.
.:.
1 2
O+mg h2 =-mVc
.:.
2
+0
10xO 6 =~V2 , 2
2J3m/s ~.
Vc =
RESOLUCION
Para calcular el impulso es necesario calcu- '.'':' lar las velocidades en Bye. .:.
.:.
(N.R: Nivel de referencia)
':'
.:.
••/~" VB
Vc
••'://'
····Ii
*
hI =0,8 m
*
h2 =0,6 m
Por principio de conservaci6n de la energfa ::: mecanica. .;. I) EMA
= EMB
Tomando de referencia "NRI ~
?S;;' , ,/.
:'!1iJ.
'.
,/
•
~Ih
.•.
.
"f?' C'
............. "
"
tl
+EpA =EKB + ~ 1 2 O+mghl ='2mVs lOxO,8 VB
=
V~
2 .
= 4 m/s~
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
l~vl=~(2J3t +4
2
I~vl=4.J7
m/sL
"
--
.. -~ CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
I=m!LlVI
*
I = 1 x 4J7 kg
x
mls
( 1=4J] N-s ]]
.•..•."""""''''''''''..••••..,..,.,..,...,g..
\70=(22 ;-4)mls
= (-400 ; 120)N ilt = 3xlO-3s
- Fmed.
Rpta.
:~:
':'"
m=0,06 kg I ---I-
Clave: C.:.
:~:Calculo de impulso Sem. CEPRE UNI .:. :.
.
Una pelota de tenis de 0,6 N tiene una velo- .:. T = (-400 ; 120) x 3 x 10-3 cidad V = (22i - 41) m/s antes de ser gol- :~: peada por una raqueta, la eual apliea una: [ ]' fuerza F=(-400i+1201)N. Eltiempode :~: :.I=(-1,2;O,36)N-s Rpta. (I) eontaeto es de 3 ms. .;. C 'I I d I .'. a cu 0 eave _ I) (.Que eomponentes "x", "y" tiene el lm- .;. pulso de la fuerza aplicada a la pelota ';' De : I = ilP '.' de tenis? (en N-s). .:.
Ioc id ad fimaI
.:.
II) (.Que eomponentes naI? (en mls).
tiene la veloeidad fi- .:.
A) (1,2; -0,36) ; (2; 10) B) (1,2; -0,36) ; (-2; -10) C) (-1,2; 0,36); (42; 10)
:::Reemplazando sus valores : :~ .:. :::
(-1,2;
0,36) = 0,06(\7f -(22 ; - 4)) (-20; 6)= Vf-(22; -4)
.:.
D) (-1,2.; 36) ; ~2;~) E) (-1,2,0,36) , (2,2)
::: .:.
~'.
-------
(~f= (2; 2) m/s] ••••••• ••••••• """""" ••••••• ~
Rpta. (II)
Clave: E
.:.
RESOWCION Esbozando el grafico :
~
.:.
.:. EI tubo Iiso mostrado ::: ra-bola de ecuaci6n .:. plano vertical. Una ::: B y sale por A con
tiene la forma de pay = x2, ubic?do en el masa ~'m" ingresa por VA = 3..[5 (i + 21) m/s.
::: Si el impulso recibido es J65 N x s. ::: eule
el valor
(en
kg)
de
la
('Calmasa?
::: (g = 10 mls2)
III
VIm)! 0-.: ,:· .:.
y
Para mayor facilidad,
dividimos el conjunto en tres bloques .
.:. Sem. CEPRE UNI ,.
PROBLEMA 64,
Un nino dispone de bloques eu.bicos de 5 em de arista heehos del mismo material formando la figura que se muestra, sobre el piso horizontal. Deternine la posicion del cen-
:~: ~: Luego :
tro de masa del eonjunto de bloques.
.:. .;. -rl - - ,
y
~: .>
.:.
.:.
...... -
.
_(52' .15)' - -(10' 5)2 ' - -(425' 5)2 ,r2 -
,-
. r3 -
,,-
.;. Las masas senin :
.
.:.
.:.
.
.;
..... ...1
X
I
_ ml
= 6m
; m2
=:=
2m
m3
= 5m
X
A) (14; 18,3; 5) em
(16; 8,3 ; 3) em C) (19; 9,2 ; 2,5) em D) (19; 8,3 ; 2,5) em B)
E) (19; 18,3; 2,5) em
.:.
.:. r = (247,5;13107,5) =(190' 83) .:. eM '-J.-,J , .....;.....
rx ry .. Finalmente la posicion del centro de masa .:. Podemos observar que 10s ladrillos estan eo- .:. .'. en los ejes X, Y, Z es : loeados en hilera; por tanto la posicion del.;. Rpta. centro 'de masa en la direecion (eje Z) que- ::: .. (reM = (19 ; 8,3 ; 2,5) Clave: D darfa definido en Z = ~ em = 2,5 em . :~:
RESOLUCION
.:.
em)
~ II-
~
C,UZCAIfCl ----------------~
CONS,ERVACION EN LA C'ANTIDAD DE MOVIMIENTO Para camprender este principio observemos 10 que ocurre en la siguiente situaci6n a modo de lectura. EI muchacho de la figura tiene una masa de 50 kg, ademas de una "frondosa cabellera". A su costado una joven fuerte y robusta capaz de levantar cargas pesadas de hasta 200 kg.
Es facH deducir que el valor de la fuerza de gravedad del muchacho sera (si g= 10 m/ s2 )
Fg
= SOON
Surge la siguiente interrogante : Si el muchacho fuera tirado de 105 cabellos, mediante LPodria ser levantado? Veamos:
I
@
una fuerza vertical de 600N.
La joven cage de los cabellos al muchacho usando 105 600N que se necesita luego como esta fuerza es mayor que Fg=500 N, entonces :
Ahora el muchacho hace el experimento de jalarse m6dulo de la fuerza. Ocurre que :
Realizado estos experimentos,
105
cabellos usando el mismo
surge la pregunta:
iPorque el muchacho puede ser levantado en un caso y en otro no? Para el analisis de estas interrogantes son relevantes extern as e -internas.
105
conceptos de sistema fisico, fuerzas
-
Ed(torial Cuzcano
.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
_-_.1~.g
,/
,~/.+..... -.
.. ,-J-\ ,, ,
G
. \.
.. ,
, ~,- ./
f '··'
. sistema ··· . . FN
.
..·---r:~OON ,,/~'-. ,,, ,
,-J-\
..
'\. .,
,
. - .: sistema ···i~ljH.-./
+ mg=500N
Se denomina as! a aquella regIOn que se encierra en forma real 0 hipotetica, sobre un conjunto de partfculas; cuando se realiza cierto analisis respecto de sus interacciones.
Un sistema mecanico es aislado cl.;'ando sobre el conjunto de partfculas, s610 estan actuando fuerzas internas.
En la termodinamica, en un sistema aislado ademas que no hay presencia de fuerzas externas, no hay transferencia de masa ni de energia, del medio exterior al sistema 0 viceversa.
Sistema termodinamico aislado
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUlSO
qJ Una esferita es impulsada,
- CHOQUES
para moverse en una superficie horizontal Iisa.
AI ser la superficie Iisa no actUan fuerzas en direccion horizontal, luego su velocidad sera constante (principio de inercia)
'Inicro.
'01 Dos
esferitas de masas iguales estan unidas mediante un resorte, el cual inicialmente es comprimido y Iiberado sobre una superficie horizontal Iisa.
~mK
m~
=~;
IDici~, .....
.......
.~ \.... . ., /V=O ,
....
m
".
..........
.. /'
._..__ ... (" sistema,
/ ..~..
.....~---.. -+_ , , m" m .... .... ... ....
V=O\
_._-_....................
/~~\
..
_-.-.------.--.-....-..-~
-- --Fe
Fe
····V··· -
-..•...•.............•....... -_ ........•..
m/
....
....
.)
~
~
__ CUZCAN. ------------------~
U¥Hlf4~ Cuando se conserva su cantidad de movimiento, fa velocidad de su centro de masas permanece constante.
(Relaci6n : Impulso - Cantidad de movimiento) La cantidad de movimiento no se conserva, si actUa una fuerza extern a resultante en el sistema. En este caso el cambio de la cantidad de movimiento esta relacionado con el impulso de la fuerza externa.
Una aplicacion de este principio serfa :
*
Un bloque de masa "m" reposa sobre el piso liso. Se aplica luego una fuerza extema "F", entonces :
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
NOTAS FINALES Analisis en particulas
qUE: se desintegran
:
Como las fuerzas que hacen posible esto son internas, entonces :
*
La trayectoria de su C.M. no cambia.
£::;..... It-
~
J:,UZCAIfQ ----------------~
~lfl8P.~~ Una persona de masa "m" esta parada sobre un tabl6n de masa "M"; esta a su vez reposa en un piso horizontalliso. La persona empieza a caminar avanzando de un extremo a otro. Diga usted si se conserva 0 n6 la cantidad de movimiento y cualley ffsica debe usarse en uno u otro caso si : I)
EI sistema a considerar es 5610 la persona.
II) EI sistema a considerar es 5610 el tab16n. III) Si el sistema a considerar es la persona y el tabl6n.
Si la persona empieza a caminar sobre el tabl6n, es porque implfcitamente existe fricci6n entre 105zapatos de la persona y el tab16n, luego esa fuerza de fricci6n hara que la persona y tabl6n se muevan.
mg~
~ f
t
Nt
______ el: ::::I. N:1
h.
tN2. m91·--·..
=t
,/t~'~
,
f f-= ..:..+-\
Nt': •.•....•... ~.. _-_ .... '
Vf
. ! sistema ,f---/
Se puede observar, que existen fuerzas externas tanto en la horizontal Gamo en la vertical, pero en esta ultima las fuezas se anulan.
-
,
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
·IMPUlSO·
CHOQUES
~1
~.eee_e.e
L
* Se puede
15 m/s
.:. Segun la condici6n del problema, gra- .:. ficamos instantes antes y despues de la co- ::: lisi6n. .;.
La Juerza con fa cuaf el microbus impufsa al carnian es : F21 =-Fl2
.:.
F21 =F12
-
~=15m1s
F21 = 16050 N
'-----------------
.:. .:.
.
.:
.:. Dos partfculas A y B se mueven a 10 largo ::: del eje X con cantidades de movimiento P A
m2 = 2500 kg
.•V (-) Por conservacion miento. .
4 500x15+2
y
PB (p B = -P A 12) .
Si inmediatamente .;. despues de ocurrida la colisi6n la partfcula .:. A queda en reposo. Determine el impulso ~:que la partfcula "!t' Ie comunica a B y vice:~:y
ml =4 500 kg V( +l.
de la cantidad de movi- :~:versa~ .:. A) 2P A
2P A
B)
::: C)
PA/2; -PAI2
D)
::: E)
-P A ; PA / 2
.:.
500xlO=(4
500+2 500)Vf
~:
; -
PA; -PA PA; -2PA
RESOWCION
(p
::: Seglin la condicion B = -PA 12); B y A .:. d· . .:. se mueven en lreCClOnesopuestas. , .:. Graficando : Calculo de la juerza de lmpacto entre .~ Vf = 13 21 m/s I , I-
los vehiculos
~:
La fuerza media con que el camion (1) 10- ::: gro modificar la velocidad del microbus (2) .:. .:. se evalua de :
.:.
Tl2=F12x~t=m2(~V2)
.. (Fl2. .m
A
::: * Si V~ =
.:.*
.:.
.:.
Rpta. :~: Clave: C·:'
---_.:.
L
-....[-o------------O:=.=_
:~:
(13,21-10)
= 16 050 N]
~
.:.
Fl2: Fuerza de 1 hacia 2 F12x 0,5 = 2500
Antes
----f}-------~f)-.--
B
A
a ; implica
B
P~ = 0
Por conservacion de la cantidad de movimiento . Po =Pf
PA +PB =P~ +p~
.....
~
--
CUZCARO ----------------~ -
PA
PA -2=0+PB -,
-,
PA
PB=2
:~:A) .:.
(mV/2)(-v'3
:~:B) .:.
(mV/2)(v'3
:~:C) .:. :~: D) .:. :~: E)
1- J)
1- J)
(mV/2)(-v'3 1+ J) (mV)(-v'3 1+ J) (2mV)(-v'3 1+ J)
:~:RESOWCION
IAB=~-[-P2AJ
:. [lAB =PA)
Rpta (I)
:~:Podemos notar rapidamente que las dos par.:. tfculas mostradas lIevan igual modulo de su .:. .:. cantidad de movimiento.
Por tercera ley de Newton :
IAB=-IAB
.. [!AB
=-PA]
Rpta. (II)
:~:Si graficamos 105 dos vectores .:. estas hacen entre sf 1200.
.:.
.:. La gran'ada se desintegra debido a fuerzas Clave: B :~:intemas entonces la cantidad de movimien.:. to del sistema se conserva.
PROBLEMA'78 ---------------_
Sem. CEPRE UNI .:.
Una granada ubicada en el origen de coordenadas, explota en tres fragmentos iguales. La figura muestra la salida de dos de ellos. Determine el vector cantidad de movimiento del tercer fragmento (en terminos de "m" y "V"). y
PI Y Pz;
..• Inicialmente la cantidad de movimiento es
:~:nula, entonces : .:. :~: :~: .:.
:~: ~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. A) 2,65 x 105 m/s :~:C) 8,48 x 108 m/s
B) 2,65 x 106 m/s D) 8,48x107
m/s
~: E) 2,65 x 104 m/s .:.RESOWCION :~:El nucleo del atomo que tiene por masa to';' tal: '.'
':' Emite una 'porcion de masa : -:'
x 10-27
::
ml = 6,6
~:
VI =1,5x107
kg
y rapidez
m/s
::: La parte restante tiene masa :
.,. :
.
y rapidez:
V2
?
PJ;>A PA P3 =--v3 i+- j
2
2
AI no existir fuerzas extemas la cantidad de :;: movimiento se conserva; ademas la direc~: cion de la velocidad V 1- es opuesta a V 2 • :: Luego: ,;.
.,. Po =Pf
,;. 0 = mI V 1 + m2 V 2 .:.
::: 0=6,6x10-27 x1,5x107 +3,734x10-25 x(-V2)
V2 = 2,65xlO
sm s
Rpta.
Sem. CEPRE UNI :~:
EI nucleo de cierto atomo radiactivo tiekg ne una masa de 3,8 x 10-25 y esta en reposo. Repentinamente emite una particula de masa 6,6xlO-27kg y rapidez 7 . 1,5 x 10 m Is. Encuentrese la rapidezde retroceso del nucleo.
:~: PROBLEMA 80
Sem, CEPRE UNI
::: Un cuerpo descansa sobre una mesa pulida ::: y se Ie apliea una fuerza durante un interva';' 10 de lO-4s de tal manera que el cuerpo se y ':. divide en dos partes de masas de 0,3 kg y :~:0,5 kg ias cuales sa/en en direcciones per-
__
~ CUZCAII.
- pendiculares entre si con rapidez de S m/s y .;. Catcuto de ta juerza media (F m ) 2 m/s respectivamente. Calcular la fuerza .;. aplicada. :~: A) 2m
kN
B) sm
C) 6m
kN
0) 10m
E) o,sm
kN
:~:
kN
kN·
:~: :~:
Fm x10-4=(o,sm
-0)
Fm=SOOOmN Segtin la condici6n del problema : t=10~s
~
~
t~:7:
VI
,,·:u--E-m __uu P.,=O
:~:
~
ml =0,3 kg m2=0,5 kg VI =5 m/s V2 =2 m/s
=mlVI =0,3x5=1,S
PI
P =
V
.. (Fm=Sv'i3kN ]) Rpta.
v
= 0 5 x 2 = 1, 0
Clave: B
.;. Un objeto de S kg que se encuentra en repo-
:~:so estalla en tres fragmentos, uno de 1 kS : sale despedido con una rapidez de 6 m/s -lo y el segundo de 2 kg con una rapidez de : 4 m/s sale despedido en una direcci6n per-lo pendicular al primero. iCuaI sera la rapidez ..) -lo del tercer fragmento? :~:A) 1 m/s B) 2 m/s : 0) 2,5 m/s E) 5 m/s ~.RESOWCION
~: Cuando el objeto estalla se debe a las fuer-
.'. ~~zas intemas, por tanto toman d'0 como 515La cantidad de movimiento del centro .;. tema dicho objeto; la cantidad de movimiende masa se conserva, luego : la canti- :~ to se conserva. dad de movimiento final sera : ~. L .~ uego: 2
m2 2
'
.~ .:. .:. .:.
IDIcki
~. .:.
Pf = J1,52 + 12 Pf =0,5m
kg
7l
.:. .:. .:.
~.
\l,=o
~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
T
r
Los tres vectores forman un polfgono cerra- .:. .:. do.
443m
1
.:. A) 4 :~:D) .:.
4../3/3
B) 4/3 E)
2../3/3
.:.
.:. De modo similar al problema anterior, la .:. cantidad de movimiento del sistema perrna.:. .:. nece constante.
Por geometrfa elemental :
P3 = 10
/:
:~:' = 10
2xV3
~ m='"
:. (V = 5 m)
.:.
3
-~
.:. Clave: E :~:
PROBLElotA 8'
S=. CEPRE UNI:
Una granada de 4 kg se desliza sobre una superficie horizontal Iisa con una rapidez de 5 m/s y cuando se encuentra a 4 m de la pared explota en 2 fragmentos que tambien se deslizan por la superficie horizontal. Uno de
105
fragmentos
de masa
:~: .:. :~ ':' '.' .:. :~: .:.
mA Y .:.
el otro de masa mB Began simultaneamente a la pared como se muestra en la figura;' determine mA / mB .
.:.
.:. ..::.. .:.
Y"
/ •••
Jtm
A......Y=:=_~~~-------,(~1~?~ __4_m -
iPr---
t...r,~O"
~
4i3 m
m~ .
...~
\Ii...... ~
1
--
~ CUZCANo. ----------------~
~ :~:A) (-1,81-2,4}); ::: B) (-.1,81-2,43)
(121 + 16}) ; (91+12}) ; (ls1+203)
; (-91-1~3)
(ls1+203);
(-91-123)
:~:C) (-1,81-2,43); .:.
:~:0) (-1,81 - 2,43) ; (ls1 + 203) ; (91 + 123) Podemos notar :
::: E) (-4,S1 + 2,43);
(-I,S1 - 203) -; (91 + 123)
h =: mAVAsen37°= mBVBsen600 VB ---x-mA
_
mB
-
VA
:~:RESOWCION
../3/2
:~:Seg(in la condicion del problema :
3/S
y(mJ Las partfculas llegan simultaneamente pared, entonces : d
t=-
=>
V Reemplazando
8
VA
VB
a la .:. :~:
~-
~~-~?-~-=·-~-;-·i~'
(II) en (I) :
mA
../3xs
8 -.-=-x-mB
S
-=-
S
2x3
.. [m. = 4,/3 r
*
Rplo.
3
ma
* Clave: D :~:
* *
Sem. CEPRE UNI :~: Por conservacion
.'. miento. Una granada de 800 g se encuentra en re- .;. poso en el origen de coordenadas, explota :~: en dos fragmentos. Uno de ellos de 300 g':' sale expulsado con terminar
V2Y
m,r/·/
V 1 = (31 + 43) ~/s
, de- :~:
las r:>0siciones de cada uJ1.o :~:
de los fragmentos S segundos despues de la :~: explosion. Oar respuesta en m/s y "m" res- .:. pectivamente. :~:
m1 =300 gr
V1=(3,4)m/s m2 =SOO gr V2 =?? de la cantidad de movi-
•
'
<
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
La posicion de la particula luego de 5 segundos se calcula por :
El 60% de la masa que se fragmenta saldra con velocidad : VI = 120% V
r=Vxt
1'1
_
Para hacer la solucion menos tediosa, imaginemos un nuevo sistema de coordenadas X' Y' donde inicialmente la granada se mueva en el eje X
= (3; 4)x5 = (15; 20)
.. [it =(15i+20J)m]
VI = 300 m/s 1_
=>
I •
Rpta. (2)
y'
:'
~~
J5::s::::m
:180
O,6"!...
/*'_
2
240
,;.;",
r2=(~; :. (i
d
~?~__
¥}5=(-9;
= (-9i-12J)m]
.' 37·
-12) Rpta. (3)
Clave: C
Una granada se mueve sobre una superficie horizontal XY lisa con velocidad
V ~ (240 l+ 70
j)
m/s, explota en dos frag-
mentos; el 60% de la masa sale con una rapidez 20% mayor desviimdose-37° de la velocidad inicial. Calcule aproxirriadamente la rapidez (en m/s) del otro fragmento. A) 125
B) 278
D) 405
E) 512
RESOLUCION La granada inidalmente
y =X240
,m'(250; 0) se mueve con :
; 70)" m/s
V = J2402 + 702 ,
V '= 250 m/s
:::::}' i
Por conservacion de la cantidad de movimiento antes y despues de la explosion.
L
= 0,6
. V2 = (106; .
,m'(240; 180) + 0,4,m' (~2)
-108) 0,4
=
(265;
V2 = ~2652 + (270)2 .' ,
:. (V2=318,3m/s]
Rpta.
_ 270)
~
.~
__
C·UZCAN~ ----------------~
PROBLEMA
85
Un prayectil es disparado con una velocidad de m6dulo 25 m/s que forma un angu10 de 370 con Ia horizontal. En el punto mas alto de la trayectoria, explota en dos fragmentos iguales uno de los cuales inicia su movimiento verticalmente en carda libre. Calcular Ia distancia del punto de lanzamiento al punta donde choca el fragmento que no sigue la trayectoria vertical. A) 90 m B) 60 m C) 30 m D) 15 m
E) 45 m
cesariamente Ia otra mitad del fragmento, deberfa de caer en "D", para que el centro ';' de masas de los dos fragmentos se ubique ',' .;. en "C". :~: ';' Por teoria del movimiento parab6lico :;: (Tramo AB) ':' ',' En la v~rtical : (MVCL) ,;, * (VI = Vi :~: :~: 0=15-10xt ,;. -:. t = 1,5 :> ~ ,;. .:.:.. En la horizontal : (MRU)
-gt]
.:. EI proyectil que tiene una rapidez inicial de .'.
tira de 25 m/s; describe una trayectoria ::: parab6lica; hasta el punta mas alto, donde .;. se fragmenta en dos pedazos iguales. :~:
d = 30 m 1_
Comolas fuerzas que hicieran posible la fragmentaci6n son intern3.s; entonces la trayectoria que sigue su centro de masa es la misma que seguirfa el prayectil si esta no se
:~:Luego, la distancia pedida sera: :~: Rpta. .;. Clave·; A :~:
fragmentara.
.:.
.;. PROBLEMA 86 La grafica que describe este movimiento es : .;. ~::Un proyectil de 10 kg se prepara para salir
:~:con una velocidad de (30i + 40]) m/s. Jus,;. to en el instante de salida se fragment3. en ,;. dos partes iguales, uno de ellos con veloci.:. :~:dad (64i + 48]) m/s y todo el conjunto bajo .;. la influencia de la gravedad t.~rresk~ . .:. 2.Que distancia horizontal alcanza el otro Haciendo uso de la geometrfa, es facil cal- :~:fragmento antes de impactar con el suelo? A -, cular la" componentes de la velocidad im- .;. B) lnr. .;. A) 61 , 2 m Sem. CEPRE UNI :~: Reemplazando La figura muestra dos masas una de las cua- :~: les es la masa pendular y la otra descansa .: .:.. sobre una mesa Iisa. La masa ml = 10 g.:. se deja caer desde hI = 3 cm de altura y :~:
llJ:2
~~---~:~-~
EMO
- I Rpta.
Ilz = 10,67 m/s I
1
= EMf
1
z
='2mV1
(VI =~) datos :
VI =~2xlOx3xlO-Z VI =M/5
m1s~
l:;A:NTlDAD
DE MOVIMIENTO
• IMPULSO
- CHOQUES
AnaHzamos ahara, instantes antes y despu€s .:. IPBOBLED"f131! de la eolision elastica. . .:. :~:Las esferitas de la figura ehaean elastica-
J
:~:mente en el punta A, si : £1 = 10 em ; ~ 1 .:. m1 = 0,2 kg; mz =0,2 kg ; casal ="2 y .:. 1 ~cas az = "6' Determinar la langitud £ z . il2 :~:
ill'
..,:-
~=O
---.• -G-----·
---6=~-~--
-
--~
:~: .:.
A', •,
'.m..z
... (I) .:. .:. A) 2 em
B) 4 em
: D) 6.em
E) 8 em
Del eaeficiente de restitucion :
.)
=e(V1-VZ)
~Z-~l
.:.RESOWCION .:.
::: Analizanda a la esferita ml desde que es .;. Iiberada hasta que lIega a A.
De (I) y (II) :
21lz - III = Ilz + III Ilz = 2111
V III =.....l
3 III
J151
= 15 m/s
Rpta. Clave:
C :~:
~
--
MMI!lJIII
C·UZCANG ----------------~ .;. Por geometria elemental : h2
EMB =EMA
=f2 -
f2
COS 0.2
Entonces : EpB =EKA mghl
z 1 I = -,-mV 2
.;. Por conservacion de la energia mecanica : .:.
VI
= J2g
VI
= J 2 x 10 x 5x 10-2
EMA
hI
=EMC
!;ri'!1~ =. ;ri'ghz 2
3
:. ( £2
\!z=o - ~~-----@---_.
=
63
Rpta. Clave:
D
Para la condicion mostrada, se sabe por teo- ::: ria (propiedad L pag. 98); luego de la coli- .;. PROBLEMA 132 sian: .;. .:. La grafica corresponde al movimiento de .:. .:. una pelota que rebota elasticamente sobre .:. una mesa. Determinar el modulo de su can.:. .:. tidad de movimiento y su energia cinetica ':' despues del enesimo rebote. (masa de la '.'
.:. pelota 0,5 kg) .:. .:. .:. V(m!s) .:. .:. .:. .:. .:.
.:. .:. .:.
.:.
.:. .:. .:.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
A) 20 N - s
100 J
B) 10 N -s
100 J
C) 20 N -s
50 J
0) lON-s
200J
.;. Respecto a la conservaci6n de la cantidad :~:de movimiento, sefiale la verdad (V) 0 false.,':' dad (F) de las siguientes proposidones.
E) 50 N - s ; 200 J
.:.;. . I) No se conserva
RESOWCION
.;.
Ffsicamente, el movimiento realizado por la partfcula es : (considerando positiva la velocidad dirigida hada arriba).
.; .:.. .;. II) Es imposible hacer un experimento en .:. .;. un piso horizontalliso, donde se conserve la cantidad de movimiento en esa direcd6n; debido a que la gravedad terrestre es una fuerza externa.
* .
,..-.....
~""",
I
I'
I
i i
i i
:!
l!
I I
I I
v:
I I
,
..:.
~r'i
.'
I I
vi'
t
-'!!..
j
':t':
..L
,f)::! ~ ••
la cantidad de movimiento de un ladrilJo cuando este desli-
:~:III) Es un sistema donde se conserva el momentum total no necesariamente se .:.:. . .;. conserva la energfa cinetica .
.:.
·;·A)VW
B) VFF
:~:C) WF
0) VFV
:~:E) FFF La rapidez antes y despues de la coli- .;. si6n es la misma. :~:RESOWCION
:~:IP-ropos~n I]] (V)
En el enesimo rebote : a)
':' Si hacemos O.C.L. alladrillo, deslizando en '.' .;. un piso rugoso.
P=mV P=0,5x20j
.:.
...
N -s
P=lOj
,~
--E
.. (P~lON-s]
~-=.
Slstema7:"~
b)
EK
1
=ZmV
2
1 EK =ZxO,5x20 EK =100J
.. (=~2..00J]
2
"f" : es una Juerza externa desequiIibrante, par tanto la cantidad de movimiento no se conserva.
:~: I Proposicion In 1(F) Rpta .. (II) :~:Hacemos O.c.L. al ladrillo en una superfiClave: B';' de lisa.
~
-
MJI!W!I.'I
C'UZCA.~ -----------------~ centro de masa comun cuando lIegan a la estacion.
*
En la horizontal: No hay fuerzas externas por tanto la cantidad de movimiento en esa direccion si se conserva.
= de
A)
(3,331+ 33,31) m/s
En la vertical : Hay fuerzas externas, aunque se anulan.
B)
(-3,331+33,31)
C)
-301 m/s
D)
301 m/s
E)
301 m/s
PH
*
IProposicffin
111I
I
Recordar por teorfa :
RESOWCION
- En una colision elastica se conserva la cantidad de movimiento y su energfa mecanica. -
En una colision plastica (totalmente inelastica) la cantidad de movimiento se conserva, mas no la energfa cinetica.
(E Las proposiciones
Kf
<
E
Ko )
del problema seran :
( VFV
m/s ,
l Rpta.
Los cuerpos en analisis estan en el espacio; por tanto consideraremos que estos no se encuentran afectados por el campo gravitatorio. Significa entonces que sus velocidades deben de ser constantes. Segun la condicion del problema, la colision entre la persona (A) y el elemento estructuraJ "B" debe ser plastica.
En la figura la velocidad del astronauta "A" de 100 kg es (401+301) m/s. La velocidad del elemento estructural "8" de 200 kg es (-20 1+30 1) m/s. Cuando se aproximan uno al otro el astronauta se sujeta del elemento estructural y permanece junto a el. Determine la velocidad (en m/s) de su
* Vf=VCM
*
mA
=100 kg
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES
*
~€ti- 1-1P~
V A = (40 ;, 30) m / s (A)
* mB = 200 kg * VB = (-20; 30) m/s
v: v:'
~i:;::~~
(B)
sera la uelocidad con la cual lIeguen .:. a la estacion. :~:A) 6 im/s
im/s E) -12 im/s B) -6
:~:D) 12 im/s mAVA + mBVB = (mA + mB)Vf 30) = (100+ 2oo)VCM
100(40; 30)+200(-20;
C) -8
im/s
';' RESOWCION :i: Seglin la figura A:
...
_------
:~:
.:.
VCM =
.. (V
CM
(0,90)
3
= 30 j
= 90 j
:~:
3
~s]
.:.
Rpta.
:~:
*
VI = 4i m/s
Clave: D :~:
*
VCM
(3m)VCM Recuerde la teorfa, si se'conserua la cantidad de mouimiento; entonces en el choque plastico cumple :
(3)( -~x(4i)
2
=-'3x4i
-
= mV1 + mV2 + mV3 )=4i+
V2 + V3
V2+V3=-12i
... (1)
:~:Analizando el choque plastico entre .:. m2 iiiiiii __
••••• iioiiiio
ioiiiioi
-m
VI = 4i -. s
MS-
S••e•.m.,._C ••E••P••R••E••.•• U••N•.1 :~:
La figura A muestra tres esferas identicas en movimiento tal que la velocidad del cen-V 2-V m tro de masa es CM ='--3 I Y s -
y
:~: :~: .'. .:. .
2m. V' .•..•.....
v
Un instante posterior m3 cho- .:;
ca plasticamente
v
con m2 y el conjunto
:~:
(m2 y m3) se mueve con rapidez V' como .:. se muestra en la figura B. Halle la rapidez :~: V'. .:. .:.
Po =Pf mV2 + mV3 = 2mV' V'= V2+V3 2
,:
~
C·UZCA ••
.4!11.
----------------
De (I) :
\1,=(-121)
P:2- P:l = e (\:\ -
2
:. ( V' = -6 i
m/S]
\12 )
P:2- P:l = 1 x (\1 - 0) Rpta.
... (II) .:. Resolviendo de (I) y (II) :
Sem. CEPRE UNI :~: .:;
Una particula
A de masa 1 kg que tiene .:.
una velocidad de tal y elasticamente
(41- 31)
m/s choca fron- :~: con otra masa de 2 kg .:.
( P:l = -2V/3)
( P:2
= V/3 )
61)
m. :~: en reposo en la posicion r = (-81Determine la posicion de la primera partfcu- .;. la 3s despues del impacto. .:.
.:.
A)
161m
C) (-16 E)
1)
B) 161m m
D)
Notar que la partfcula luego de 10 colisi6n.
"1" retrocede
(-8I)m
(-161) m
RESOWCION Para hacer mas practica su resolucion analizemos la colision elastica entre dos partfculas de masas "m" y 2m.
V1=V
~@
V2=O
j
.:. .:. .:.
.:.
.:. HaciendC> una analogfa con 10 resuelto an.:. teriormente, diremos que la masa ml, lue:~:go de la colision invierte la direccion de su .:. velocidad .
.:. Po =Pf
.:. Esta velocidad de retroceso sera : .:.
m V = mp:l + 2mP:2 (~i+2jlm/sl P:l=3~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
La posicion inicial en ese instante por dato .:. II) Si: .:es: .:. rj = (-8i m .:.
61)
-:-
La posicion final tres segundos despues del .:. impacto sera : :~:
Tf
= Tj +)Il t
Tf=(-8 ;-6)+( -~ ; 2}3 Tf = (-8 ; -
6):- (-8 ; 6)
Tf =(-16,
O)m
.. (Tf = -16
i:J
PROBLEMA 137!
.:. Resolviendo de (1) y (II) :
.:.
~~\
/12=-
Rpta.
Clave: A :~:Para el caso del problema : esbozando el .:. grafico del movimiento de las partfculas y a Sem. CEPREUNI :~:partir de los resultados anteriores.
Una partfcula de 1 kg que se mueve con :~: una velocidad (4i + 41) m / s choca frontal :~: e inelasticamente (e=6,5), con otra partf- .:. cula de 2 kg de masa en reposo en el origen de coordenadas. Hallese el desplazamiento (en m) de la partfcula de 2 kg, 6s despues del impacto. . A) 12(i+l) B) 6(i+l) C) 2(i+l) D) 24
(i + 1)
E) 8
(i + 1)
. Antes
-4.... . -".'
';' :;: .:. :~:.... :~: ~
:~:
,,:T"
~
~ 2
VI
V.=0
..~@
@-
__
ill
~
il:z
-@-..
..~'V~
.....,..
1
.ft~\~o.
RESOLUCION :~: .:. De modo identico. al problema anterior y de- ~ terminemos sus velocidades luego de la co- .:. Diremos : lision. :~: _
2
Si:
VI
=(41+41)
_ V (41+41) /12=_1 =--2
2
)I2 = (21 + 21)
L
.:. EI desplazamiento de la partfcula de 2 kg :~:luego de 6 segundos de la colision sera : .:. d="2,t .:. t"
:~: -:.
:~:
d = (2i + 21)·6
.. d=12(i+j)m
Rpta. Clave: A
II-
~a!a
c.u~c
MI~SCELANEA. Un cuerpo de masa "m" choca con rapidez V contra un cuerpo de ·masa "M" en reposo, el valor de la fuerza que surge durante la interacci6n de los cuerpos, crece I1nealmente durante el tiempo "t" desde cero hasta un valor Fo' disminuyendo despues linealmente hasta hacerse nul a en ese mismo tiempo "t" . Determinese las rapideces de los cuerpos despues de la interacci6n considerando que el choque fue central.
';' '.' .:. :~: ..::-. .:. :~: .:. ';' :;: .:. :~:Calculo de las velocidades
finales:
.:.
A) Fot/MFot/m
.:. a) Si analizamos al cuerpo 2, diremos : .:-
B) Fot/M
V+Fot/m
C) V + Fot/M
:~: .:.
; V -Fot/m
Dt Fot/M
V -Fot/m
E) Fot/M
-Fot/m
.:.
.:.
ffsicamente el fen6meno
de la :~: .:. .:.
V ----.. (1)
l
.:.
Pf=Po +
~€)
+
.:.
RESOLUCION Esbozando colisi6n.
Pf=I12
~ =??
III
1!2 ~ =?? ....';'
00. ~~ ~Q :~:
+m1J.1=+mV
121
+(_ ;2t) Fo
~y.':'.o .. (2)
(1)
(2)
.:.
·~V
.. ~
Fat
Rpta. (II)
Seglin el problema durante la colisi6n. Clave: D
(F12 = F21 = F) .. _.~
... ~
:~: PROBLEMA. 139
Sem. CEPRE UNI
.:. Una pelota fue liberada en el punta A; La fuerza impulsiva "F" varia seglin la grafi- ';' '.' colisiona con el piso y la fuerza impulsiva ca. ~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
varia segun el grafico cidjunto. Si la pelota es de 1 kg. LCuantC'len~rgia disminuy6 producto de la colisi6n. (Considerar la fuerza impulsiva mucho mayor que la gravitacional _ yg=lOm/s2).
Ai T 1
.;. :~: ';', :~:
e
=
Fax t __ 2_/_ Fax 3t 2
:~:
F(kN) Por propiedad
i
: instantes antes y des-
pues de la colisi6n, cumple :
2m
A) 20 J
B) 40 J
D) 80J
E) 100 J
C) 60J
RESOWCI0N Empecemos analizando el grafico F vs 1. .:.
o
I: Impulso
1.
.;. Para saber cuanto vari6 laenergia cinetica ::: antes y desp,ues de lacolisi6n es necesario .;. calcular dichas rapideces.
.;. Ccilculo de Vt .:.
e : Coeficiente de restituci6n
I(Fuerzas en el p~~OdO) de recuperaClon.
e=-------I(Fuerzas en el penOdO) de deformaci6n.
(EMA =EMB] 1 .
mgh=2mV1
2
·-Im
__cuifu..
AI1i!!I
. 1
fK = (0,02 t)mg
212
M: =-mV1 --mV2 2 2 M: = ~x .. (AE
fK=(O,02t)(8xlO)
1x( 180-1:°)
= 80J)
fK=1,6t~
Rpta. Cl
ave:
::: La fuerza de rozamiento va incrementandose ::: en forma lineal a medida que transcurre el D';' tiempo. .;.
.
.;. Hacienda.. una grafica
.:. Sem. CEPRE UNI .;•
f
t :
VB
.:.
Un bloque de 8 kg es lanzado con Vo = 10 m/s sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de friccion es Ilk = 0,02t; donde "t" esta expresado en segundos. GQue potencia desarrolla la fuerza de friccion para detener el bloque?
(g = 10 m/s2) A) lOW
B) 20 W
D) -40W
E) -20 W
':' :;: ::: .;. ::: .;. ~:
C) 40 W
.:.
..;..;:.. Por teoria
RESOWCION SegUn la condicion del problema :
:
Area = PI -Po -(1,6 t)(t) = 0 _ mV
2
0
1,6xt2 Si hacemos el D.C.L. aI bloque durante su ::: movimif'ntO, notamos : .;:..
.
nr.tl
.. ~-
=8x10
2
t:dOs~
CANTIDAD
La paten cia desarrollada friccion se calcula asf :
par la fuerza de .:. A) .:. .;. D) .:.
wk
pf:
DE MOVIMIENTO
- IMPUlSO
J3 V
B)
J3 V/4
2V1J3
E)
V/J3
C)
- CHOQUES
J3 V/2
.:. RESOWCION
t
:~:Analizando instantes antes y despues de la Pero la friccion hizo que el cuerpo cambie :~:colision elastica. su energfa cinetica, entonces : 1*paa pI :
wk : L\E .9 Los intervalos de tiempo s!'!calculan :
:~ {.
2V t1 -= - sen9 g
2e t2 =-Vsen9
0_
g
.> .:. En (I) : .:.
*
[2Vsene (2Vsena} (2vsene}2 + ...] -+ --
Si no e'xiste rozamiento es faeil concluir . que la componente horIZontal de la velocidad no cambia.
-;' '.' d=Vcose --+ .:. 9 :;~
La componente vertical de la veiocidad inicial de elevaei6n se modifica debido a que existe el coeficiente de restitueion, cada vez que la bola colisiona con el pisoo
.:. d = ---cas 2V sen9 ~. 9 + e + e 2 + e 3 +... )J- ... (II) ~: g ,, x . -:. .:. La suma limite se evalua : .:.
\
*
2e2 , t3 -Vsen9 = g
•
Es decir: (desco'Tlponiendo sus velocidades,
;.:
al inicio).
.:.
2
9
9
[rJ
x = 1 + e (1 + e + e2 + ...) = 1 + e (X)
.:. .:.
X=l+e(X)
.:.
x=_J._ 1
l-e
d
= 2V sen9cos9 = V sen29 2
g (1d2 = V cos 9
x t2
d3 =Vcos9
x t3
e)
g (1-
e)
.:.
Luego: d
2
= d1 + d2 + d3 + ...
d = V cos9(t1 + t2 + t3 + ... )
.:. .PROBLEMA
145
Sem. CEPRE UNI
:~:Un muchacho de 75 kg y una chica de ';' 60 kg permanecen de pie sin moverse '.' .:. en los extremos de una tabla de 16 m :~:de longitud y 25 kg de masa, que se -;' encuentra en reposo sobre una superfieie '.' .:. horizontal. Si intercatnbian posiciones A
pasa a B y B pasa a la 'posici6n original de A, que distanda (en m) se mueve la tabla. A) 1,5 B) 11,6 C) 1,8
.::~: -:.:.
D) 2,2
-:.:. Desarrollando
E) 0,8
:
15L 15xJ6
x=--=--160
IM~t~~il II Siel muehaeho y la ehiea empiezan a eaminar en direeciones opuestas, entonees debido a la fried6n entre los pies y el tabl6n; tambien el tabl6n se movera. Como la masa del muehaeho es mayor que la de la ehica entonees el tabl6n se habra desplazado
m]
=
:~: Rpta. .. ( x 1,5 -;---:-:- Il\Ietoaojn I -:::: AI no existir fuerzas externas en la h9rizon-:- tal, la eantidad de movimiento se eonserva
en diree F=O - 4 =-4 Si:
t=10
=> F=10-4=6
Como los demas tram os son de fuerzas cons- .:. tantes, esta sera : :~:
6 6
1
.. (f = IN )j
Rpta. Clave: C
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
PROBLEMA
150
Ex. de Admision UNI ::: Por conservacion
La masa um" de un pendulo simple choca eiasticamente con el bloque de masa 3m, en reposo sobre la superficie Iisa mostrada y ubicada en el punta mas abajo de la trayectoria del pendulo. 5i soltamos la masa um" desde una altura H respecto de la superfi-
::: nlca : .:.
de ta energra meca-
EMA = EMB
::
Ep9A = EKB 1 z mgH = "2 mVI
::: .~ ::
cie horizontal, (.que porcentaje de la energia .:. mecanica inicial del pendulo se transfiere al :::
f0.::U
VI
=" 2gH ~
... (a)
b!oque en la colisi6n y hasta que altura He- ::: Analizamos ahora instantes antes y despues ga el pendulo despues de la colisi6n? de la colisi6n elastica . ..:. :. .~ .:.
Despues
~: *
Asumimos que despues de la colisi6n las direcciones son las indicadas
.:.
Durante
.Antes
.:.
A) 50%; H/2
B) 75% ; H/4
C) 66%; H/3
D) 75%; H/2
.:. Por conservacion .:..:. vimiento
de ta cantidad de mo-
:
Po =Pf
E) 25%; H/4
.;. mV1 + 0 = mlll + 3mllz RESOWCION .:. Analizamos el movimiento de la esferita ';' Asociando un signa a los vectores velocidesde que es soltado hasta instantes antes :~ dad, resultara : .
de colisionar con el bloque.
:;:
m (-VI) = m (~1)+ 3m (-Ilz)
.:. Como la colisi6n es elastica cum pie :
.:.
~
,~
PUZCANQ ----------------~
II-
Resolviendo de (I) y (II) :
1 -mill 2
III = VI /21_ 112 = VI!
%x(i
21.
.:. Reemplazando La energia transferida al bloque se cal- .:. cula asi : - La esferita tiene una energfa cinetica:
EK -
0
4
m
vt'
:~: .:.
2
J
= mgh =gh
de "a" :
-21x [J22gh )2 = gh
.:.
:
R",olviendo,
[h ~ ~ ]
El bloque luego de la colisi6n tiene una ::: .:.
E
,1
=-(3m)1l2 K 2
2
(1 E'K = 75%
vf
1 =-x3mx-=2 4
"2 mVf
3(1 2) ':' PROBLEMA 151 -mVl -.4 2 . -:- La figura muestra dos partfculas antes de .:.
)
.:- que se produzca el choque entre ellas. Si ::: ~l es la velocidad de la partkula de masa
,-,:::--_--, --,--::-:::-:::---:---:__ --;---... :- mI' Oespues del imp acto, indique la verSe concluye que ef 75% de fa energfa I ::: dad falsedad (F) de las siguientes proposique llevaba fa esfera, fue transferida af ciones : bfoque. ::: (e : coeficiente de restitlu;ion)
J':-
°
.:.
.
Para calcular la altura a que subira la esfe- .:rita procedemos en el trayecto BA :::
.
.:
.:_ I) Si e= 1 y ml
!2
reposo
m2~
liso
* m2 => III = V
::: II) Si e = 0 => III = 0
.
.:
.:_ III) Si ml = m2 y 0 < e < 1 => III = V
-. . >.. : T .... A h
--
~Q-""":"":"~: ~1
~
.:.
-:- A) VVV
B) WF
.:- C) VFV
0) VFF
.:.
.:- E) FFF -:-RESOWCION .:. ::: Analizando las situaciones antes y despues -:- de la colisi6n :
.;I Caso .:. -Y-
.E!-
v=o
~fl ~ Por conservacion miento :
11111(F)
~~
.:.
III
=(,m -e,mJ'V=(~)V l' 2,m
2
de la cantidad de movi- -::~:
Po =Pf ... (I)
mlV=mllll+m21l2
Del dato del coeficiente de restitucion :
JK)
li2-iiI = e(Vl-
.:.
-:- PROBLEMA 152 Resolviendo de (I) y (II) am1logo alas pro;- :~:Un bloque Bl con masa igual a 1,0 kg Y piedades dadas en las colisiones : :~:velocidad de 8,0 mis, colisiona con un blo[ que identico B2, inicialmente en reposo. / "I = ml -e·m2 V •... -:- Despues de la colision ambos quedan peJ + -:ml m2 :~:gados y suben la rampa hasta comprimir el Analizando los casas particulares : .:. resorte M en 0,10 m, seg(ln muestra la figu.:. _:_ra. Despreciando los efectos por rozamienICasoW (F) -:- to y considerando g = 10 mls2, h=0,50 m, .:. Si: e=l /\ ml:F m2 -;e = 300.
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