Campos Direccionales

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN YCAMPOS DIRECCIONALES

Presentado por: MANUELA ALEJANDRA VELÁSQUEZ RIVERA JUAN DIEGO MUÑOZ LÓPEZ NATALIA ANDREA ORTIZ GONZÁLEZ Presentado a: LUIS HILDEBRANDO ALZATE

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MANIZALES FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERIA BIOMÉDICA – INGENIERÍA DE SISTEMAS MANIZALES 15/SEPTIEMBRE/2014

CONSULTA DE CAMPOS DIRECCIONALES

1. Defina con sus propias palabras qué es un campo direccional: Para las ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir de la forma dy/dx = f(x,y), es particularmente útil una interpretación geométrica de sus soluciones Dada que las soluciones son funciones y = f(x), sus representaciones geométricas corresponden a la gráfica de una función. Geométricamente, en cualquier punto (x,y), la pendiente dy/dx de la solución en ese punto está dada por f(x,y). Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el punto (x,y) con la pendiente f(x,y). La colección de todos esos segmentos rectilíneos se llama campo direccional de la ecuación diferencial.

2. ¿Qué representa un campo direccional? es un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en un sistema de coordenadas cartesianas xy (o simplemente plano xy), donde se muestra el comportamiento de la pendiente (derivada) que le corresponde a la curva solución.

3. ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial autónoma y una no autónoma? ¿Cómo influye en la gráfica de un campo direccional esta diferencia? Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Consid´erese una ecuaci´on del tipo x ′ = f(x) donde la inc´ognita es una funci´on x(t). Este tipo de ecuaciones se llaman aut ´onomas porque la funci´on f no depende de la variable independiente t. :::::::::::::::::: Una vez entendido con detalle el comportamiento de las soluciones de la ecuaci ´on aut´onoma pasamos al estudio de una situaci´on m´as complicada: la ecuaci´on no16 Cap´ıtulo 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en dimensi´on d = 1 aut´onoma unidimensional:

x˙ (t) = f (t, x (t)) x (t0) = x0 ∈ U, t0 ∈ I

(1.12) siendo f : I × U → R continua y I, U intervalos de R. Recu´erdese que dicha ecuaci´on es equivalente al sistema bidimensional:    s˙ (t) = 1, x˙ (t) = f (s (t), x (t)), s (t0) = t0 ∈ I, x (t0) = x0 ∈ U. El estudio de la ecuaci´on (1.12) es mucho m´as complejo que el de la ecuaci´on aut´onoma (pero mucho menos complicado que el de un sistema bidimensional general). La obtenci´on de f´ormulas expl´ıcitas ya no es posible en general. Una importante excepci´on la constituye la siguiente familia de ecuaciones:

4. Qué es un punto crítico de una ecuación diferencial? Cómo se halla y qué representa Cómo se clasifican? En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.