Campo magnético y fuerzas magnéticas-Física III

Capitulo 27 Campo magnético y fuerzas magnéticas Preguntas para análisis P27.1 ¿Puede una partícula con carga trasladarse a través de un campo magnético sin experimentar ninguna fuerza? De ser así, ¿cómo? En caso contrario, ¿por qué? Solución. →

→

No ha fuerza cuando v y  B son paralelos, si las cargas remueven a lo largo de las líneas de campo no habrá fuerza f uerza sobre la carga. P27.4 La fuerza magnética sobre una partícula con carga en movimiento siempre es perpendicular al campo magnético  B. ¿Es la trayectoria de una partícula con carga en movimiento siempre perpendicular a las líneas de campo magnético? Explique su razonamiento. Solución. No. Por ejemplo, si las líneas del campo magnético son líneas rectas una partícula cargada moviéndose inicialmente a lo largo de las líneas del campo no experimentará fuerzas magnéticas y continuará continuará moviéndose paralela paralela a las líneas del campo.

P27.5 Se dispara una partícula con carga hacia una región cúbica del espacio donde hay un campo magnético uniforme. Afuera de esta región no hay campo magnético alguno. ¿Es posible que la partícula permanezca dentro de la región cúbica? ¿Por qué? Solución. No. Si la velocidad inicial es perpendicular a las líneas del campo magnético la partícula viajará en un semicírculo pero luego l uego dejará el campo. P27.7 Una partícula con carga se traslada a través de una región r egión del espacio con velocidad (magnitud y dirección) constante. Si el campo magnético externo es cero en esta región, ¿se puede concluir que campo eléctrico externo en la región también es cero? Explique su respuesta. (El adjetivo externo se refiere a campos distintos a los producidos por la partícula con carga). Si el campo eléctrico externo es cero en la región, ¿se puede concluir que el campo magnético externo en la región también es cero? Solución. Si la espira de corriente debe ser cero. Un campo eléctrico produciría una fuerza neta no balanceada. No. La fuerza neta debe ser cero tal que no debe haber fuerza magnética sobre la partícula. Pero podría aun haber un campo magnético paralelo a la velocidad de la partícula. P27.9 ¿Cómo se podría hallar la l a dirección de un campo magnético efectuando sólo observaciones cualitativas de la fuerza magnética sobre un alambre recto que transporta una corriente? Solución. Encontrando la orientación del del alambre para la cual no hay fuerza; el campo magnético es paralelo a esta dirección. Entonces el alambre rota 90º tal que es perpendicular al

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1

→

campo. Las dos posibles direcciones de  B dan fuerzas en direcciones opuestas tal que →

la observación de la dirección de estas fuerzas determina la dirección de  B .

P2713 Una estudiante intentó hacer una brújula electromagnética suspendiendo una bobina de alambre de un cordel (con el plano de la bobina en posición vertical) haciéndole pasar una corriente. La estudiante esperaba que la bobina se alinease perpendicularmente a las componentes horizontales del campo magnético terrestre: en cambio, la botina adquirió lo que parecía ser un movimiento armónico simple angular, oscilando hacia atrás y hacia adelante en tomo a la dirección esperada. ¿Qué estaba ocurriendo? ¿Era el movimiento verdaderamente armónico simple? Solución. Si el torque magnético de la bobina inicialmente hace un ángulo φ 0 con la dirección del campo magnético habrás un torque restaurador sobre la bobina dirigida a alinear el torque magnético con el campo. La bobina gira gir a pasa su posición y nuevamente hay un torque restaurador que lo devuelve. La magnitud del torque restaurador es τ  = IBAsenφ . Para φ  pequeño, senφ  ≈ φ  y τ  = IBAφ  . Luego el torque es proporcional al desplazamiento y el movimiento es movimiento armónico simple angular. Tal que, si la amplitud angular del moviendo es pequeña, el movimiento es una buena aproximación al armónico simple.

P27.14 Se acelera un protón en un ciclotrón. Si se duplica la energía del protón, ¿por qué factor cambia el radio de la trayectoria circular? ¿Qué ocurre con el periodo orbital, esto es, el tiempo que toma una revolución de la partícula, cuando se duplica la energía? Solución. →

Aplicando

 R =

mv q B

→

∑ F  = m a al movimiento circular del protón da

. v=

2 K 

m

q B = mv /  R .

, si la energía cinética  K se duplica la rapidez v incrementa por un

factor de

2 y el radio R de la trayectoria circular se incrementa por un factor de 2 . 2π  R 2π m = El periodo orbital es T  = . El periodo no cambia cuado v y B incrementan. v q B La rapidez incrementa pero lo mismo ocurre con la circunferencia de la trayectoria circular de modo que el período que permanece constante. Esto es un comportamiento importante del movimiento. .

Ejercicios Sección 27.2 Campo magnético 27.1 Una partícula con una carga de -1,24 x l0 -4 C se desplaza con una velocidad →

4 instantánea v = (4,19 x 10 m/s) iˆ + (-3,85 x 10 m/s) ˆj . ¿Qué fuerza ejerce sobre esta partícula un campo magnético: →

→

ˆ? a)  B = (1,4T )iˆ , b)  B = (1,4T )k  Solución. →

→

→

(

− a)  F  = q v × B = ( −1,24 × 10 8 )(−3,85 × 10 4 )(1,40)  jˆ × iˆ

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) 2

→

⇒  F  = − (6,68 × 10 −4 N)k ˆ. →

→

→

[

(

) (

)(

)

− ˆ ˆ + 4,19 × 10 −8 iˆ × k  b)  F  = q v × B = = ( −1,24 × 10 8 )(1,40) (−3,85 × 10 4 )  jˆ × k  →

⇒  F  = (6,68 × 10 −4 (−3,85 × 10 4 )(−3,85 × 10 4 N) )iˆ + (7,27 × 10 −4 N ) jˆ .

27.5 Cada uno de los puntos con letras de los vértices del cubo de la figura r epresenta una carga positiva q que se desplaza con una velocidad de magnitud u en la dirección que se indica. La región de la figura se halla en un campo magnético B, paralelo al eje de las x y dirigido hacia la derecha. Copie la figura, encuentre la magnitud y dirección de la fuerza sobre cada carga y muestre la fuerza en su diagrama.

Solución. 27.5:

En la figura. Sea  F 0 = qvB, luego:

 F a = F 0 en la dirección − kˆ  F  = F  en la dirección +  jˆ b

0

 F c = 0, porque  B y la velocidad son paralelas  F  = F  sen 45o en la dirección −  jˆ d 

0

 F e =  F 0 en la dirección − (  jˆ + kˆ )

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3

27.6 Un electrón se traslada a 2,50 x 10 6 m/s a través de una región en la que hay un campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es de 7,40 x l0 -2 T. a) ¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima posibles de la aceleración del electrón debida al campo magnético? b) Si la aceleración real del electrón es de de la l a magnitud máxima del inciso (a), ¿cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético? Solución. a) La aceleración más pequeña pequeña posible es cero, cuando el movimiento es paralelo al campo magnético. La aceleración es mayor cuando la velocidad y el campo magnético se encuentran en ángulo recto: 6 −19 −2 (1,6 × 10 )(2,50 × 10 )(7,4 × 10 ) qvB 2 = = 3,25 × 1016 m s . a= −31 m (9,11 × 10 ) b) Si a =

1 4

(3,25 × 1016 ) =

qvB senφ  m

⇒ sen φ  = 0,25 ⇒ φ  = 14,5 . o

Sección 27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético 27.12 El campo magnético B en cierta región es de 0,128 T, y su dirección es la del eje de las + z en la figura . a) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie abcd de la figura? b) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie befc? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aefd ? d) ¿Cuál es el flujo neto a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado?

Solución. a) Φ B (abcd ) =  B ⋅ A = 0. b) Φ B (befc) = B ⋅ A = − (0,128)(0,300)(0,300) = - 0,0115 Wb. c) Φ B (aefd ) = B ⋅ A = BA cos φ =

3

(0,128)(0,500)(0,300) = + 0,115 Wb. 5 d) El flujo neto en el resto de la superficie es es cero ya que son paralelas a las de eje  x de manera que el total del flujo es la suma de todas las partes anteriores, que es cero

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4

27.13 Una estudiante de física afirma que ha acomodado imanes de modo tal que el →

(

)

campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura 27.4 1 es  B =  β  − γ  y 2  jˆ , 2 donde β  donde β = = 0,300 T y γ  = 2,00 T/m . a) Halle el flujo neto de B a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado de la figura 27.41. b) ¿Es plausible la afirmación de la estudiante? ¿Por qué?

Solución. →

(

)

a)  B =  β  − γ  y 2  jˆ y podemos calcular el flujo a través de cada superficie. Tenga en cuenta que no hay flujo a través de cualquier superficie paralela al eje  y. Así, el total del flujo a través de la superficie cerrada es: 1 2 2 Φ B (abe) = B ⋅ A = [− (0,300 − 0)] + 0,300 − (2,00) (0,300) × (0,400)(0,300) 2 = - 0,0108 Wb. b) La afirmación del del estudiante no es plausible, plausible, ya que se requiere requiere la existencia existencia de un monopolo magnético a consecuencia de un flujo neto distinto de cero a través de la superficie cerrada.

Sección 27.4 Movimiento de partículas con carga en un campo magnético

27.19 Se deja caer una esfera de 150 g con 4,00 x 10 8 electrones en exceso por un pozo vertical de 125 m. En el fondo del pozo, la esfera entra de improviso en un campo magnético horizontal uniforme con una magnitud de 0,250 T y una dirección de este a oeste. Si la resistencia del aire es tan pequeña que resulta insignificante, halle la magnitud y dirección de la fuerza que este campo magnético ejerce sobre la esfera en el momento en que entra en el campo. Solución. − -11 q = (4,00 × 10 8 )(−1,602 × 10 19 C) = 6,408 x 10 C. La velocidad en el fondo del pozo:

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1 2

mv 2 = mgy; v =

2 gy = 4,95 m/s.

5

←

→

→

→

→

v es hacia abajo y  B hacia el oeste, Luego v × B es hacia el norte. Como q < 0,  F  es hacia el sur.  F  = qvB senθ  = (6,408 × 10−11 )(49,5)(0.250) sen 90° = 7,93 x 10-10 N

27.20 En un experimento con rayos cósmicos, un haz vertical de partículas con una carga de magnitud 3e y una masa 12 veces la del protón entra en un campo magnético horizontal uniforme de 0,250 T y se dobla formando un semicírculo de 95,0 cm de diámetro, como se muestra en la figura. a) Encuentre la rapidez de las partículas y el signo de su carga. b) ¿Es razonable pasar por alto la fuerza de gravedad sobre las partículas? c) ¿Cómo es la rapidez de las partículas en el momento de entrar en el campo en comparación con su rapidez al salir del campo?

Solución. mv a)  R = qB v=

qBR m

⎛ 0,950 ⎞ ⎟ ⎝  2  ⎠

3(1,60 × 10−19 )(0,250)⎜ =

12(1,67 × 10 − 27 )

v = 2,84 x 10 6 m/s →

→

Como v × B es a la izquierda y las cargas van a la derecha, tienen que ser negativas -25 − b)  F grav = mg  = 12(1,67 × 10 27 )(9,80 ) =1,96 x 10 N − -13  F B = qvB = 3(1,6 × 10 19 )(2,84 × 106 )(0,250) = 3,41 x 10 N

Como  F B ≈ 1012 × F grav, Podemos no tomar en cuenta la gravedad. c) La velocidad no cambia ya que la fuerza magnética magnética es perpendicular perpendicular a la velocidad y, por tanto, no hace trabajo sobre las partículas.

27.27 Un electrón del haz de un cinescopio de televisor es acelerado por una diferencia de potencial de 2,00 kV, a continuación atraviesa una región donde hay un campo magnético transversal y describe un arco circular de 0,180 m de radio. ¿Cuál es la magnitud del campo? Solución. 1 2

mv = q ΔV  ⇒ v = 2

2 q ΔV 

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m

=

2(1,6 × 10

−19

) (2,0 × 103 )

(9,11 × 10

−31

)

7

= 2,65 x 10 m/s.

6

⇒  B =

mv q R

=

(9,11 × 10

−31

(1,60 × 10

)(2,65 × 107 ) −19

)(0,180)

= 8,38 x 10-4 T.

Sección 27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas con carga 27.29 Selector de velocidad. Un selector de velocidad se compone de un campo eléctrico y uno magnético, como se muestra en la figura. a) ¿Cuál debe ser la intensidad del campo magnético para que sólo los iones con una rapidez de 2000 km/s emerjan sin desviación, si el campo eléctrico es de 2,0 x l0 N/C? ¿Se separarán los iones positivos de los iones negativos? b) En cierto selector de velocidad, el campo eléctrico se produce mediante una batería de voltaje variable conectada a dos placas metálicas paralelas grandes separadas 3,25 cm, y el campo magnético proviene de un electroimán de intensidad de campo variable. Si el voltaje de la batería puede fluctuar entre 120 V y 560 y el campo magnético, entre 0,054 T y 0,180 T, ¿cuál es el intervalo de velocidades de iones que puede producir este selector con los ajustes correspondientes?

Solución. a)  F  B = F  E  así  q vB = q E ;  B =

 E 

= 0,10 T. v Equilibrio de fuerzas, para cualquier signo de q.  E  V  b)  E  = V  d  así  v = =  B d  B menor v : menor V , mayor B, v min =

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120 (0,0325)(0,180)

4

= 2,1 x 10 m/s

7

mayor v : mayor V , menor B, vmin =

560 (0,0325)(0,054)

5

= 3,2 x 10 m/s

27.31 Cómo determinar la masa de un isótopo. El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidad de un un espectrómetro de masas masas de Bainbridge es de 1,12 x l0 5 V/m, y el campo magnético en ambas regiones es de 0,540 T. Un torrente de iones selenio con una sola carga cada uno describe una trayectoria circular de 31,0 cm de radio en el campo magnético. Determine la masa de un ion selenio y el número de masa de este isótopo de selenio. (El número de masa es igual a la masa del isótopo en unidades de masa atómica, redondeado a enteros. Una unidad de masa atómica = 1 u = 27 1,66 x l0 kg).

Solución. − (0,310)(1,60 × 10 19 )(0,540) 2 mv mE   RqB 2 -25 = 2 ⇒ m= = = 1,29 x 10 kg  R = 5 (1,12 × 10 )  E  qB qB

⇒ m(amu) =

1,29 × 10 1,66 × 10

−25

− 27

= 78 unidades de masa atómica.

27.32 En un espectrómetro de masas de Bainbridge, la l a magnitud del campo magnético 6 del selector de velocidad es de 0,650 T, y los iones cuya rapidez es de 1,82 x 10 m/s lo atraviesan sin desviarse. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico del selector de velocidad? b) Si la separación de las placas es de 5,20 mm, ¿cuál es la diferencia de potencial entre las placas P y P’?

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Solución. 6 a)  E  = vB = (1,82 × 10 6 )(0.650) = 1,18 x 10 V/m. −

b)  E  = V  d  ⇒ V  = Ed  = (1,18 × 106 )(5,20 × 10 3 ) = 6,14 kV.

Sección 27.6 Fuerza magnética sobre un conductor qué transporta corriente

27.37 Un alambre situado a lo largo del ejes conduce una corriente de 3.50 A en la dirección negativa. Calcule la fuerza (expresada en términos de vectores unitarios) que los campos magnéticos siguientes ejercen sobre un segmento de 1,00 cm de alambre: →

a)  B = - (0,65T) ˆj ; →

→

ˆ; b)  B + (0,56T) k  →

ˆ; c)  B = - (0,31 T) iˆ d)  B = + (0,33 T) iˆ - (0,28 T) k  →

ˆ e)  B = + (0,74T)  jˆ - (0,36T) k  Solución. El alambre está en el eje  x y la fuerza sobre 1 cm es →

→

→

( ) ˆ ) = + (0,020 N)  jˆ (−3,50)(0,010)( + 0,56)(ˆi × k 

ˆ = + (0,023 N) k  ˆ. a)  F  =  I  l × B = ( −3,50 A)(0,010)( − 0,65) ˆi × k  →

→

→

→

→

→

(

)

→

→

→

(

)

→

→

→

b)  F  =  I  l × B =

c)  F  =  I  l × B = ( −3,50)(0,010)( − 0,31) iˆ × iˆ =0 ˆ = - (9,8 x 10-3 N)  jˆ . d)  F  =  I  l × B = ( −3,50)(0,010)( − 0,28) iˆ × k 

(

)

(

)

ˆ = e)  F  =  I  l × B = = (−3,50)(0,010) 0,74 iˆ ×  jˆ − 0,36 iˆ × k  ~ − (0,026 N)k ˆ − (0,013 N) j

27.40 Balanza magnética. El circuito que se muestra en la figura sirve para construir una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que se van medir, se cuelga del centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1,50 T dirigido hacia el

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plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60,0cm de largo y es de un material sumamente ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos incapaces de soportar una tensión apreciable; todo el peso de la masa suspendida m está sostenido por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistencia  R = 5,00 Ω en serie con la barra la resistencia del resto del circuito es mucho menor que ésta. a) ¿Cuál punto a o b, debe ser el borne positivo de la batería? b) Si el voltaje máximo de bornes de la l a batería es de 175 V, es la masa más grande que el instrumento puede medir?

Solución. a) La fuerza magnética magnética de la barra debe debe ser hacia hacia arriba de tal manera la corriente a través de ella debe debe ser hacia la derecha. derecha. Por lo tanto, a debe ser el terminal positivo. b) Para el equilibrio,  F B = mg   ILBsenθ   ILBsenθ  = mg  ⇒ mg  =  g  ε  175 = 35,0 A  I  = =  R 5,00 m=

(35,0)(0,600 )(1,50) 9,80

= 3,21 kg.

27.43 Una bobina circular de alambre de 8,6 cm de diámetro tiene 15 espiras y conduce una corriente de 2,7 A. La bobina está en una región donde el campo magnético es de 0,56 T. a) ¿Qué orientación de la bobina proporciona el momento de torsión máximo en la bobina, y cuál es este momento de torsión máximo? b) ¿Con qué orientación de la bobina es la magnitud del momento de torsión el 71% del hallado en el inciso (a)? Solución. a) El torque es máximo cuando cuando el plano de la espira espira es paralelo paralelo a  B. 2 τ  =  NIBA senφ  ⇒ τ max = (15)(2,7)(0,56)π (0,08866) sen90° = 0,132 Nm. b) El torque sobre la espira espira es 71% del máximo máximo cuando senφ  = 0,71 ⇒ φ  = 45°

27.44 Una bobina rectangular de alambre, de 22,0 cm por 35,0 cm y que conduce una corriente de 1,40 A, está orientada con el plano de su espira perpendicular a un campo magnético uniforme de 1,50 T, como se muestra en la figura.

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a) Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el campo magnético ejerce sobre sobre la bobina. b) Se hace girar la bobina un ángulo de 30,0° en torno al eje que se muestra, de modo que el lado izquierdo salga del plano de la figura y el lado derecho entre en el plano. Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el campo magnético ejerce ahora sobre la bobina. (Sugerencia: Para facilitar la visualización de este problema tridimensional, haga un dibujo minucioso de la bobina vista a lo largo del eje de rotación)

Solución. a) La fuerza sobre cada cada segmento segmento de la bobina es hacia el centro de la bobina, así así la fuerza y el torque netos son cero. b) Como se ve a continuación:

Las fuerzas en (a), se cancelan.  L ∑τ  = 2 F B sen θ  =  IlBL sen θ  = (1,40)(0,220)(1,50)(0,350) sen 30° 2 = 8,09 x 10 -2 Nm sentido antihorario.

Problemas →

27.53 Cuando una partícula con una carga q > 0 se traslada tr aslada con una velocidad v1 orientada a 45,0º con respecto al eje +  x en el plano xy, un campo magnético uniforme →

ejerce una fuerza  F 1 a lo largo del eje - z . Cuando la misma partícula se traslada con →

una velocidad v2 de la misma magnitud que pero a lo largo del eje + z , se ejerce sobre →

ella una fuerza  F 2 de magnitud F 2 a lo largo del eje + x. a) ¿Cuáles son la magnitud (en términos de q1, v1 y F 2) y la dirección del campo magnético?

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b) ¿Cuál es la magnitud de  F 1 en términos de  F 2?

Solución. →

→

→

a) Por inspección, inspección, usando  F  = q v × B = − B jˆ obtendremos la dirección correcta para cada fuerza. Usando cualquiera de las fuerzas, digamos  F 2,  B = b)  F 1 = q v1  B sen 45° =

q v 2  B

=

 F 2

2

2

 F 2 q v2

.

(porque v1 = v 2 ).

27.56 En el cañón de electrones de un cinescopio de televisor los electrones (carga: - e; masa: m) son acelerados por un voltaje V . Después de salir del cañón de electrones, el haz de electrones recorre una distancia  D hasta la pantalla; en esta región hay un campo magnético transversal de magnitud  B y ningún campo eléctrico, a) Demuestre que la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético es d  =

 BD 2

e

2 2mV  -5 b) Evalúe esta expresión con V = 750 V, D = 50 cm y B = 5,0 x l0 T (comparable al campo de la Tierra). ¿Es significativa esta desviación? Solución. a) El movimiento movimiento es es circular: circular:

 x 2 +  y 2 = R 2 ⇒  x = D ⇒  y1 =  R 2 − D 2 (trayectoria de la partícula deflectada) partícula no deflectada)  y 2 = R (ecuación para la tangente al círculo, trayectoria de la partícula

⎡  D 2 ⎤ d  =  y 2 −  y1 = R −  R − D =  R − R 1 − 2 = R ⎢1 − 1 − 2 ⎥  R  R ⎥⎦ ⎢⎣ ⎡ ⎛  1  D 2  ⎞⎤  D 2 ⎟ = Sí   R >> D ⇒ d  ≈  R ⎢1 − ⎜⎜1 − . 2 ⎟⎥ 2 2  R  R  ⎠⎦ ⎣ ⎝  2

 D 2

2

Para una particular moviéndose en un campo magnético,  R = Como

1 2

mv 2 = qV  , luego  R =

La deflexión es d  ≈

1

2mV 

 B

q

 D 2 B

q

2

2mV 

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=

mv qB

.

.

 D 2 B

e

2

2mV 

.

12

−5

(0,50) (5,0 × 10 ) 2

b) d  =

(1,6 × 10 2(9,11 × 10

2

−19

−31

)

)(750)

= 0,067 m = 6,7 cm.

d  ≈ 13% de D, cual es bastante significativa. 27.58 Una partícula con carga q > 0 se desplaza con rapidez v en la dirección + z a través de una región de campo magnético uniforme B. La fuerza magnética sobre la →

(

)

partícula es  F  =  F 0 3iˆ + 4 jˆ , donde F 0 es una constante positiva. a) Halle las componentes B x, B y y B z , o al menos tantas de las tres tr es componentes como sea posible a partir de la información dada. b) Si además se sabe que la magnitud del campo magnético es 6 F 0 / qv qv, averigüe todo lo →

que pueda acerca de las componentes restantes de  B . a) ˆ ˆ iˆ  jˆ k  iˆ  jˆ k  →

→

→

 F  = q v × B = q v x v y v z  = q 0 0 v  B x  B y  B z 

= − qvB y iˆ + qvB x jˆ

 B x  B y  B z 

→

Pero  F  = 3 F 0 iˆ + 4 F 0 jˆ , luego 3 F 0 = − qvB y y 4 F 0 = qvB x

⇒  B y = − b)  B =

3 F 0

qv 6 F 0 qv

,  B x =

4 F 0

qv

, B z  es arbitrario.

=  B x + B y + B z  =

⇒  B z  = ±

2

11 F 0

qv

2

2

 F 0 qv

9 + 16 + B z  = 2

 F 0 qv

25 + B z 

2

⋅

27.61 Una partícula con carga negativa q y masa m = 2,58 x 10-15 kg viaja a través de →

ˆ . En un una región que contiene un campo magnético uniforme  B = - (0,120 T) k  →

6

instante determinado la velocidad de la partícula es i v = (1,05 x l0 && y la magnitud de la fuerza sobre la partícula es de 1,25 N. m/s) − 3iˆ + 4 jˆ + 12k  a) Halle la carga q.

(

)

→

b) Determine la aceleración a de la partícula. c) Explique por qué la trayectoria de la partícula es una hélice, y proporcione el radio de curvatura R de la componente circular de la trayectoria helicoidal. d) Obtenga la frecuencia de ciclotrón de la partícula. e) Aunque el movimiento helicoidal no es periódico en el sentido estricto de la palabra, las coordenadas  x e y varían de manera periódica. Si las coordenadas de la partícula en t  = 0 son ( x, y, z ) = ( R  R, 0, 0), encuentre sus coordenadas en el tiempo t = 2 T , donde T es el periodo del movimiento en el plano  xy. Solución. →

→

→

[

]

[

a)  F  = q v × B = q (v y B z )iˆ − (v x B z ) jˆ ⇒  F 2 = q 2 (v y B z ) 2 − (v x B z ) 2

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]

13

⇒ q = 2

 F 2

1

2  z 

 B

(v y ) 2 + (v x ) 2

⇒ q=

− 1,25 N

1

0,120 T

[4(1,05 ×10 )] + [− 3(1,05 ×10 )] 6

2

6

2

= - 1,98

-6

x 10 C. → →

b) a =

→

 F  m

=

→

q v × B m

=

q m

[(v  B )iˆ − (v  B ) jˆ]  y

 z 

 x

 z 

→

⇒ a = 9,67 × 1013 m/s 2 (4iˆ + 3 jˆ ) → − 1,98 × 10 −6 (1,05 × 10 6 ) (−0,120) (4iˆ + 3 jˆ ) ⇒ a= −15 2,58 × 10 c) El movimiento es helicoidal helicoidal ya que que la fuerza está en el plano xy pero la velocidad tiene una componente  z . El radio de la parte circular del movimiento es: − (2,58 × 10 15 ) (5) (1,05 × 106 ) mv = = 0,057 m.  R = − (1,98 × 10 6 ) (0,120) qB d)  f  =

ω

2π 

=

qB 2π m

=

(1,98 × 10

−6

C) (0,120)

2π (2,58 × 10

−15

)

= 14,7 MHz.

e) Después de dos dos ciclos completos, los valores valores de x e y vuelven a sus valores originales, x = R e y = 0, pero z ha cambiado. 2v z  2(+12) (1,05 × 106 )  z  = 2Tv z  = = = 1,71 m. 1,47 × 107  f 

27.65 El cubo de la figura, de 75,0 cm por lado, está en un campo magnético uniforme de 0,860 T paralelo al eje de las  x. El alambre abcdef  conduce una corriente de 6,58 A en la dirección que se indica. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre cada uno de los segmentos ab, bc, cd, de y ef . b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total que actúa sobre el alambre?

Solución. →

a)

l ab :

→

→

ˆ = ( −4,24 N)k  ˆ  F  =  I l ab × B =  I (l ab B ) jˆ × iˆ = − (6,58)(0,750)(0,860)k 

⎡ (iˆ −  jˆ )⎤ ˆ =  I (l bc B )⎢ ⎥ × i = − (658)(0,750)(0,860) jˆ = (−4,24 N ) jˆ . ⎣ 2 ⎦ → → → ⎡ (k ˆ −  jˆ )⎤ ˆ. l cd  :  F  =  I l cd × B =  I (l cd  B )⎢ ⎥ × iˆ = (4,24 N)  jˆ + k  ⎢⎣ 2 ⎥⎦ →

→

→

l bc :  F  =  I l bc × B

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14

→

→

→

→

→

→

l de :  F  =  I l de × B l ef  :  F  =  I l ef  × B

[

]

ˆ × iˆ = − (6,58)(0,750)(0,860) jˆ = ( −424 N) jˆ . =  I (l de B ) − k 

=  I (l ef  B )[− iˆ × iˆ] = 0.

b) Sumando todas las fuerzas de de la parte (a) tenemos: →

 F total  = ( −4,24 N) jˆ . 27.66 Cañón electromagnético de rieles. Una barra conductora de masa m y longitud L se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente de voltaje mantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra, y un campo magnético vertical uniforme y constante  B llena la región comprendida entre los rieles. a) Proporcione la magnitud y dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra conductora. No tenga en cuenta ni la fricción, ni la resistencia del aire ni la resistencia eléctrica. b) Si la barra tiene ti ene una masa m, baile la distancia d que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir de una posición de reposo para alcanzar una rapidez u. c) Se ha sugerido que cañones de rieles basados en este principio podrían acelerar cargas hasta una órbita terrestre o más lejos aún. Halle la distancia que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles para alcanzar la rapidez de escape de la Tierra (11,2 km/s). 3 Sean B = 0,50T, I = 2.0 x l0 A, m = 25 kg y L = 50cm.

Solución. a)  F = ILB, a la derecha. v2 v 2m 2 b) v = 2ad  ⇒ d  = . = 2a 2 ILB (1,12 × 10 4 ) 2 (25) c) d  = =3,14 x 106 m = 3140 km. 2(2000)(0,50)(0,50)

27.70 Espectrógrafo de masas. El espectrógrafo de masas se utiliza utili za para medir masas de iones, o para separar iones de diferente masa. En cierto diseño de un instrumento de este tipo, se aceleran iones de masa m y carga q a través de una diferencia de potencial V , los cuales entran después en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, y son desviados en una trayectoria circular de radio  R. Un detector mide el punto donde los iones completan el semicírculo, y a partir de esto es fácil calcular R. a) Deduzca una ecuación para calcular la masa del ion a partir de mediciones de  B, V, R V, R y q. b) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para que los átomos de ‘2C ‘ 2C monoionizados tengan un R = 50,0 cm en un campo magnético de 0.150 T? 12 14 c) Suponga que el haz se compone de una mezcla de iones C y C. Si V y B tienen los mismos valores que en el inciso (b), calcule la separación de estos dos isótopos en el

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detector. ¿Considera usted que esta separación entre los haces basta para distinguir los dos iones?

Solución. a) Durante la aceleración aceleración de los iones: 1 qV  = mv 2 2 2qV 

v=

m En el campo magnético:  R = m=

mv qB

=

2 qV  m

m

qB

qB 2 R 2

b) V 

2V  qB 2 R 2 2m

=

(1,60 × 10

−19

)(0,150) 2 (0,500) 2

2(12)(1,66 × 10

− 27

)

V  = 2,26 × 10 4 V c) Los iones son separados separados por las diferencias en sus diámetros. diámetros.

 D = 2 R = 2

2Vm

qB 2

Δ D = D14 − D12 = 2 2

2Vm

qB 2

2( 2,26 × 104 )(1,66 × 10 (1,6 × 10

−19

)(0,150)

−2 14

−27

2

)

2Vm

qB 2

( 14 −

= 2 12

)

2V (1 amu)

qB 2

12 = 8,01 × 10

−2

( 14 −

)

12 =

m ≈ 8 cm

Fácilmente distinguible.

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27.72 La espira triangular de alambre que se muestra muestra en la figura conduce una corriente  I = 5,00 A en el sentido que se indica. La espira se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud  B = 3,00 T. orientado en la misma dirección que la corriente en el lado PQ de la espira. a) Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado diferente de cero, especifique su dirección. b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira? c) La espira gira alrededor de un eje situado a lo largo del lado PR. Con base en las fuerzas calculadas en el inciso (a), calcule el momento de torsión sobre cada lado de la espira. d) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión neto sobre la espira? Calcule el momento de torsión neto a partir de los momentos de torsión calculados en el inciso (c). ¿Coinciden estos resultados? e) ¿Está dirigido el momento de torsión de modo que hace girar el punto Q hacia el plano de la figura o hacia afuera de este plano?

Solución. →

→

→

a)  F  =  I  l × B ⇒  F  PQ = (5,00) (0,600) (3,00) sen(0°) = 0 N,

 F  RP  = (5,00) (0,800) (3,00) sen (90°) = 12,0 N (entrando a la página),

⎛ 0,800 ⎞ ⎟ = 12,0 N (saliendo de la página). ⎝  1,00  ⎠

 F QR = (5,00) (1,00) (300)⎜

b) La fuerza neta sobre sobre la espira triangular triangular de alambre es cero. c) Para calcular el torque sobre sobre un alambre alambre uniforme cabe suponer suponer que la fuerza sobre el alambre se aplica en su centro. Además, tenga en cuenta que nos encontramos con el torque con respecto a al eje PR (no alrededor de un punto), y, en consecuencia, el brazo de palanca será la distancia desde el centro del alambre al eje  x. →

→

→

τ  = r × F  = rF  sen (θ ) ⇒

τ  PQ

= r (0 N) = 0 ,

τ  RP  = (0 m) F  sen θ  =

0,

τ QR

= (0,300) (12,0) sen (90°) = 3,60 Nm ( hacia la derecha y paralela a PR).

d)

τ  = NIAB senφ =

⎛ 1 ⎞ (1)(5,00)⎜ ⎟(0,600)(0,800)(3,00)sen90º = 3,60 Nm, que concuerda ⎝ 2 ⎠

con la parte (c). e) El punto Q será rotado fuera del plano de la figura.

27.75 La espira rectangular de alambre que que se muestra en la figura tiene una masa de 0,15 g por centímetro de longitud y gira en torno al lado ab sobre un eje sin fricción. La corriente en el alambre es de 8,2 A, en el sentido que se indica. Encuentre la magnitud y

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dirección del campo magnético paralelo al eje y que provocará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30,0° con el plano  yz .

Solución. Sumando los torques sobre el alambre de la gravedad y el campo magnético nos permite encontrar el valor de campo magnético. τ  B =  IAB sen 60° =  B (8,2)(0,060)(0,080) sen 60° =(0,0341 Nm/T) B, Hay tres lados para considerar el torque de la gravedad, dando lugar a: τ  g  = m6 g l 6 senφ  + 2m8 g l 8 senφ , Donde

l6

es el brazo de momento del eje al lado lejano de 6 cm y la pierna y

l8

es el

brazo de momento del pivote a los centros de masa de las piernas de 8 cm. ⇒ τ  g  = (9,8 )sen 30°[(0,00015)(6) (0,080) + 2(0,00015)(8)(0,040)]

⇒

τ  g 

= 8,23 × 10−4 Nm −

⇒  B =

8,23 × 10 4 Nm 0,0341 Nm / T

= 0,024 T, en la dirección  y.

27.79 Bobina de voz. Se ha demostrado que la fuerza neta sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme es cero. La fuerza magnética sobre la bobina de voz de un altavoz es diferente de cero porque en la bobina el campo magnético no es uniforme.

Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras de alambre y un diámetro de 1,56cm, y la corriente en la bobina es de 0,950 A. Suponga que el campo magnético en cada punto de la bobina tiene una magnitud constante de 0,220 T y está dirigido a un ángulo de 60.0° hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina (Fig. 27.6 1). El eje de la bobina está en la dirección y. La corriente en la bobina tiene el sentido que se indica (en sentido contrario a las manecillas del reloj vista desde un punto encima de la

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bobina sobre el eje de las y). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética neta sobre la bobina.

Solución. Las componentes  y del campo magnético proporcionan fuerzas que se cancelan a medida que avanza en toda la espira. Las componentes  x del campo magnético, sin embargo, ofrecen una fuerza neta en el de dirección  y.

∫ 

 R 2π 

∫ 

 F  =  NIB d l sen 60° = NIB sin 60° d l = 2π  RNIB sen 60° = 0

2π (0,0156 / 2)(50)(0,950)(0,220) sin 60° = 0,444 N.

27.83 Un alambre aislado de masa m = 5,40 x l0-5 kg está doblado en forma de U invertida, de tal modo que la parte horizontal tiene una longitud l = 15,0 cm. Los extremos doblados del alambre están parcialmente inmersos en dos depósitos de mercurio, con 2,5 cm de cada extremo abajo de la superficie del mercurio. La estructura entera se halla en una región que contiene un campo magnético uniforme de 0,00650 T dirigido hacia la parte interna de la página . Se establece una conexión conexión eléctrica entre los depósitos de mercurio a través de los extremos del alambre. Los depósitos de mercurio están conectados a una batería de 1,50 V y a un interruptor S. Cuando se cierra el interruptor S, el alambre salta 35,0 cm en el aire, medidos respecto a su posición original, a) Determine la rapidez v del alambre en el momento en que sale del mercurio. b) Suponiendo que la corriente 1 a través del alambre fue constante desde el momento en que se cerró el interruptor hasta que el alambre salió del mercurio, halle l . c) Sin tener en cuenta la resistencia del mercurio y de los alambres del circuito, determine la resistencia del alambre móvil

. Solución.

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a) Δ y = 0,350 m − 0,025 m = 0,325 m, tenemos que restar la cantidad sumergida porque la barra se acelera cuando sale del depósito de mercurio y, por tanto, no ha alcanzado v0 aun.

v 2 = 0 = v0 − 2 g Δ y ⇒ v0 =

2 g Δ y ⇒ v0 =

2

2(9,8)(0,325) = 2,52 m/s.

b) En una distancia de 0,025 m la velocidad velocidad del alambre se incrementa de cero cero a 2,52 m/s. (2,52 ) 2 v2 2 ⇒a= = = 127 m/s . Pero 2Δ y 2(0,025)  F  = ILB − mg  = ma

⇒  I  =

m( g  + a)  LB

−

=

c) V  =  IR ⇒  R =

(5,40 × 10 5 )(127 + 9,8) (0,15) (0,00650)

V   I 

=

1.50 V  7.58 A

=7,58 A.

= 0,20 Ω.

27.85 Una espira circular de área  A yace en el plano xy. Vista a lo largo del eje z mirando en la dirección z hacia el origen, una corriente I circula en el sentido horario en →

torno a la espira. El torque que produce un campo magnético externo  B está dado por →

(

)

τ  =  D 4iˆ − 3 jˆ , donde D es una constante positiva, y con esta orientación de la espira la → →

energía potencial U  = μ . B es negativa. La magnitud del campo magnético es  B0 = 13 D /   IA. a) Determine el momento magnético vectorial de la espira de corriente. →

b) Proporcione las componentes B x, B y y B z  de  B . Solución. →

ˆ usando la regla de la mano derecha. a) μ  =  IAnˆ = − IAk 

iˆ

 jˆ

b) τ  = μ × B = 0

0

 B x

B y

→

→

→

ˆ k 

− IA = iˆ( IAB y ) −  jˆ( IAB x ) . Bz

→

Pero τ  = 4 Diˆ − 3 D jˆ , luego  IAB y = 4 D, − IAB x = −3 D

⇒  B x =

3 D

 IA

,  B y =

4 D

 IA

.

Pero  B0 =  B x +  B y + B 2

⇒  B z  = ±

12 D

 IA

2

2  z 

=

13 D

 IA

→ →

, luego

25 D 2

 I 2 A 2

+  B z 2 =

13 D

 IA 12 D

, pero U  = − μ . B < 0 , luego tomamos  Bz = −

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 IA

.

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