campo electrico

FÍSICA II. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 3: EL CAMPO ELÉCTRICO. CARGAS PUNTUALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Noviembre de 2015.

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

3.1.- CARGAS PUNTUALES. Campo eléctrico debido a una carga eléctrica. Ejemplo 3.1. Problema 37 del Tipler. Sexta Edición. Página 723. Una carga de 4.0  C está en el origen. ¿Cuál es el módulo y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en a) x  6 m y b) x  10 m ? c) Hacer un esquema de la función E x respecto a x, tanto para valores positivos como negativos de x. (Recuérdese que E x es negativo cuando E señala en el sentido negativo de las x.) Solución. Carga eléctrica: q  4.0  C a) Distancia de separación entre la carga q y la carga de prueba q0 : r = 10 m.

q

q0

E

6m

Campo eléctrico.

Ek

q r2

E  9  10 9

N.m 2 4  10 6 C  C2 (6 m) 2

E  1000 N/C b) Distancia de separación entre la carga q y la carga de prueba q 0 : r = 10 m.

q

q0

E

10 m

Campo eléctrico.

Ek

q r2

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

E  9  10 9

Cargas puntuales.

N.m 2 4  10 6 C  C2 (10 m) 2

E  360 N/C c) E  k

q r2

E  9  10 9

E

N.m 2 4  10 6 C  C2 x2

36000 x2

Ejercicios propuestos. 1. Determine el campo eléctrico producido por una carga puntual de 4.5  C en un punto P ubicado a 14 cm de la misma. Respuesta: E  2.0663 106 N/C 2. ¿A qué distancia de una carga puntual q  50  C , el campo eléctrico posee una intensidad de 200 N/C? Respuesta: r  47.43 m 3. [RH] ¿Qué magnitud tiene una carga puntual elegida de modo que el campo eléctrico a 75.0 cm de distancia posea la magnitud 2.30 N/C? Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Respuesta: 144 pC Relación entre la fuerza eléctrica y el campo eléctrico. Ejemplo 3.2. Una carga q  50  C se encuentra en una región que posee un campo eléctrico uniforme

E  2.5 N/C i  4 N/C j  10 N/C k . Determine la fuerza que dicho campo ejerce sobre la carga. Solución. Cuando se conoce el campo eléctrico en un punto del plano o del espacio, se puede conocer la fuerza eléctrica en dicho punto multiplicando el valor del campo eléctrico por la carga allí colocada.

F  qE F  50  10 6 C (2.5 N/C i  4 N/C j  10 N/C k )

F  (1.25 104 i  2 104 j  5 104 k ) N Ejercicios propuestos. 4. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica sobre un electrón en un campo eléctrico uniforme de magnitud 1920 N/C que apunta hacia el este? Respuesta: F  3.08  10 16 N i 5. [RH] El aire húmedo se divide (sus moléculas se ionizan) en un campo eléctrico de

3.0 106 N/C . ¿Qué magnitud tiene la fuerza eléctrica en a) un electrón y b) en un ión (con un solo electrón faltante) en este campo? Respuesta: E  4.8065 N/C 6. La fuerza eléctrica sobre una carga de 4.20  C es F  (7.22 104 N) j . ¿Cuál es el campo eléctrico en la posición de la carga? Respuesta: E  171.90 N/C j 7. Determine la intensidad de un campo eléctrico uniforme para que produzca una fuerza

F  1.2 104 N i  4.5 104 N j , sobre una carga q  8  C . Respuesta: E  1.5 109 N/C i  5.625 109 N/C j

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

8. [TM] Cuando se coloca una carga testigo q0  2  C en el origen, experimenta la acción de una fuerza de 8.010–4 N en la dirección positiva del eje de las y . a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? b) ¿Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de  4  C situada en el origen? c) Si esta fuerza fuera debida a una carga situada en el eje y en

y  3 cm , ¿cuál sería el valor de dicha carga? Respuesta: a) E  (400 N/C) j ; b) F  (1.6 10 3 N) j 9. [RH] Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.90 1015 N . Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón. Respuesta: E1  2.4341104 N/C 10. [RH] Una distancia de 11.7 cm separa dos cargas puntuales de magnitud q1  2.16  C y q2  85.3 nC . a) Obtenga la magnitud del campo eléctrico que una produce en el sitio de la otra. b) Obtenga la magnitud de la fuerza en ellas. Respuesta: a) E1  1.4182  10 6 N/C , E2  5.6003  10 4 N/C ; b) F  0.1210 N Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas. Ejemplo 3.3. Dos cargas q1 y q 2 cuando se combinan dan una carga total de 6.10 –6 C. Cuando están separadas 3 m, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8.10 –3 N. Determinar el campo eléctrico que actúa sobre cada carga. Solución. Carga total cuando están combinadas:

q1  q2  6  10 6 C

(1)

d =3m F = 810–3 N

E

F q

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

E1 

F q1

E2 

F q2

Cargas puntuales.

Para determinar el campo eléctrico se debe conocer el valor de las cargas individuales. Ley de Coulomb.

F k

q1 q 2 d 12 2

Al sustituir valores:

8 10 3  9 109

q1q2 32

q1q2  8 10 12

(2)

Se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2). De la ecuación (1): q2  6 10 6  q1 Al sustituir en la ecuación (2):

q1 (6 10 6  q1 )  8 10 12 6 106 q1  q12  8 1012 q12  6 10 6 q1  8 10 12  0 Al resolver la ecuación de segundo grado anterior:

q1  4 10 6 C , q2  2 10 6 C q1  2 10 6 C , q2  4 10 6 C Se toma el primer caso.

q1  4  10 6 C , q 2  2  10 6 C . Campo eléctrico debido a cada carga:

E1 

F q1

E1 

8 10 3 4 10  6

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

E 1  2000 N/C

E2 

F q2

E2 

8 10 3 2 10 6

E 2  4000 N/C En caso de las cargas ser de signos diferentes.

q1  q2  6 10 6 C

F12  k

(1)

q1q2 r2

8 10 3  9 109

q1q2 32

q1q2  8 10 12

(2)

De la ecuación (1): q2  q1  6 10 6 Al sustituir en la ecuación (2):

q1 (q1  6 10 6 )  8 10 12 q12  6 10 6 q1  8 10 12 q12  6 10 6 q1  8 10 12  0 Al resolver la ecuación de segundo grado anterior:

q1  7.1231 10 6 C , q2  1.123110 6 C Campo eléctrico debido a cada carga:

E1 

F q1

E1 

8  10 3 7.1231  10 6

E 1  1123.11 N/C

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

E2 

Cargas puntuales.

F q2

8  10 3 E2  1.1231  10 6

E 2  7123.14 N/C Ejemplo 3.4. Dos cargas puntuales q1  3  C y q2  9  C , están separadas una distancia de 2 m. a) ¿En qué punto el campo eléctrico es cero? b) Si q2  9  C , ¿En qué punto el campo eléctrico sería cero?

q1

q2 2m

Solución. Cuando el signo de las cargas es diferente, la tercera carga debe colocarse fuera del espacio comprendido entre ellas, y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto. Ubicamos la carga de prueba q 0 una distancia x a la izquierda de q1 . a)

E2

q0

E1

x

q1

q2 2m

Puesto que el campo eléctrico resultante sobre la carga q 0 es nula:

E1  E2  0 E1  E2 Campo eléctrico.

Ek

q r2

E1  k

q1 x2

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

E2  k

Cargas puntuales.

q2 (2  x) 2

Al igualar los campos:

k

q1 q2 k 2 x (2  x) 2

Al simplificar k:

q1 q2  2 x (2  x) 2 Reacomodando la expresión anterior:

(2  x) 2 q 2  q1 x2

q 2 x    2 q1  x  2

Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

2 x  x

q2 q1

2 x  x

9C 3 C

2 x  1.7321 x Finalmente se despeja x de la ecuación:

2  x  1.7321 x 2  1.7321 x  x 2  0.7321 x x

2 0.7321

x  2.7321

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

El campo eléctrico es nulo a una distancia de 2.7321 m de la carga de q1  3  C y 4.7321 m de la carga q2  9  C . b) Cuando el signo de las cargas es igual, la tercera carga debe colocarse dentro del espacio comprendido entre ellas, y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto. Ubicamos la carga de prueba q 0 una distancia x a la derecha de q1 .

q1

E2

q0

E1

q2

2m

x Puesto que el campo eléctrico resultante sobre la carga q 0 es nula:

E1  E2  0 E1  E2 Campo eléctrico.

Ek

q r2

E1  k

q1 x2

E2  k

q2 (2  x) 2

Al igualar los campos:

k

q1 q2 k 2 x (2  x) 2

Al simplificar k:

q1 q2  2 x (2  x) 2 Reacomodando la expresión anterior:

(2  x) 2 q 2  q1 x2 Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

q 2 x    2 q1  x  2

Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

2 x  x

q2 q1

2 x  x

9C 3 C

2 x  1.7321 x Finalmente se despeja x de la ecuación:

2  x  1.7321 x 2  1.7321 x  x 2  2.7321 x x

2 2.7321

x  0.7321 El campo eléctrico es nulo a una distancia de 0.7321 m de la carga de q1  3  C y 1.2679 m de la carga q2  9  C . Ejercicios propuestos. 11. [RH] Las cargas +q y –2q se encuentran fijas y separadas a una distancia d como se ve en la figura. Encuentre E en los puntos A, B y C. d

d

q

A

B

d

 2q

C

d/2 Respuesta: E A  

kq 12 k q 3k q i , EB  i , EB   i 2 2 d d 2d 2

12. Dos cargas puntuales Q1  2  C y Q2  5  C se encuentran separadas por una distancia de 5 cm. Si Q1 se encuentra a la izquierda de Q2 , diga en qué lugar (a la derecha, Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

a la izquierda o en el centro), el campo eléctrico producido por las dos cargas es nulo. Determine la distancia exacta con respecto a Q1 en que el campo se anula. Respuesta: A una distancia de 0.086 m de la carga de Q1 y 0.136 m de la carga Q2 13. [TM] Dos cargas puntuales, cada una de ellas de  4  C están sobre el eje x, una en el origen y la otra en x = 8 m. Hallar el campo eléctrico sobre el eje x en a) x = –2 m, b) x = 2 m, c) x = 6 m. y d) x = 10 m. e) ¿En qué punto del eje x es cero el campo eléctrico? f) Hacer un esquema de E x en función de x en el intervalo –3.0 < x < 11 m. Respuesta: a) E  (9360 N/C) i , E  (8000 N/C) i ; b) En el punto equidistante de las cargas 14. Tres partículas de carga qa  14 nC , qb  26 nC y qc  21 nC están dispuestas en línea recta. La partícula b está entre a y c, a una distancia de 120 mm de la a y 160 mm de la c. Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y c en la posición de la partícula b. Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de la partícula c. Respuesta: E  (1365.29 N/C) i , E  (390.08 N/C) i 15. Dos cargas de signos contrarios están separadas 12 cm. La magnitud de la intensidad eléctrica en el punto medio entre las cargas es de 5106 N/C. La suma algebraica de las dos cargas es de +4 µ C. Determine el valor de las cargas. Respuesta: q 1  3  10 6 C , q2  10 6 C 16. [MA] Se tienen dos cargas puntuales, 5  C y  10  C , distantes 1 m. a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0.6 m de la primera carga y a 0.8 m de la segunda. b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de estas dos cargas es cero. 17. [RS] En la figura, determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero. 1.00 m

 2.50  C Física II. Ing. Willians Medina.

6.00  C

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Respuesta: A 1.8209 m de la carga q1  2.50  C y 2.8209 m de la carga q2  6.00  C 18. Dos cargas 3q y –7q están separadas 50 cm. Determinar: a) El punto (o puntos) donde la intensidad del campo eléctrico es cero. b) La intensidad del campo eléctrico en el punto (o puntos) donde es igual debido a cada carga.

q1

q2 50 cm

Respuesta: a) A 94.78 m de la carga 3q y 144.78 m de la carga –7q; b) x  19.78 cm 19. [RH] En la figura, localice el punto (o puntos) donde el campo eléctrico es cero. a

 5q

 2q

Respuesta: A 2.7208 a de la carga 2q y 3.7208 a de la carga –5q 20. [TM] Una carga puntual de  5  C está localizada en x  3.0 cm y una segunda carga puntual de  8  C está localizada en x  4.0 cm . ¿Dónde debe situarse una tercera carga de 6  C para que el campo eléctrico en x  0 sea cero? Respuesta: En x  2.38 cm 21. Una carga q1 de +8 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 35 mm está ubicada otra carga

q2 . La intensidad del campo eléctrico en x = 45 mm es de 2107 N/C con la misma dirección del eje x. Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero. Respuesta: q2  1.7253  10 7 C , x  76.02 mm 22. Una carga q1 de +4 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 45 mm está ubicada otra carga

q2 . La intensidad del campo eléctrico en x = 55 mm es de 3.5107 N/C con la misma dirección del eje x. Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero. Respuesta: q2  2.5720  10 7 C , x  9.10 mm

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

23. [TM] Se colocan tres cargas puntuales de –5.00, +3.00 y 5.00  C sobre el eje x en los puntos x  1.00 cm , x  0 y x  1cm , respectivamente. Calcular el campo eléctrico en el eje x para x  15 cm . ¿Hay puntos donde el módulo del campo eléctrico es cero? Si es así, ¿qué puntos son? Respuesta: E 1  1.7357  10 6 N/C , x  6.95 cm 24. [TM] Una carga de  3.0  C está localizada en el origen; una segunda carga de

4.0  C está localizada en x  0.2 m , y  0 , y una tercera carga Q está situada en

x  0.32 m , y  0 . La fuerza que actúa sobre la carga de 4.0  C es 240 N, en dirección x positiva. a) Determinar la carga Q. b) Con esta configuración de tres cargas, ¿en qué punto a lo largo de la dirección x el campo eléctrico es cero? Respuesta: Q  9.7312  10 5 C , x  0.0508 cm Sistemas que involucran fuerza gravitacional. Ejemplo 3.5. [MA] ¿Cuál debe ser la carga de una partícula de masa 2 g para que permanezca en reposo en el laboratorio al colocarse donde el campo eléctrico está dirigido hacia abajo y es de intensidad 500 N/C? Solución.

Fe

m P

F

y

0

Fe  P  0

Fe  P qE  mg

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

q

mg E

q

2 10 3 kg  9.81 m/s 2 500 N/C

Cargas puntuales.

q  3.924 10 5 C Ejercicios propuestos. 25. [RS] ¿Cuál será la magnitud y la dirección del campo eléctrico que equilibre el peso de a) un electrón y b) un protón? Respuesta: a) 55.8 pN/C abajo; b) 102 nN/C arriba 26. [RH] Una partícula alfa, el núcleo de un átomo de helio, tiene una masa de

6.64 1027 kg y una carga de  2 e . ¿Qué magnitud y dirección del campo eléctrico balancearán su peso? Respuesta: E  2.0328  10 7 N/C 27. [RH] En un campo eléctrico uniforme cerca de la superficie terrestre una fuerza eléctrica de 3.0 106 N hacia abajo actúa sobre una partícula con una carga de

 2.0 109 C . a) Determine el campo eléctrico. b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza eléctrica ejercida sobre un protón puesto en este campo? c) ¿Cuál es la fuerza gravitacional ejercida sobre el protón? d) ¿Cuál es la razón de la fuerza eléctrica a la gravitacional en este caso? Respuesta: a) E  1500 N/C ; b) Fe  2.40  10 16 N ; c) Fg  1.64  10 26 N ; d) 1.46  1010 28. [TM] La Tierra tiene un campo eléctrico cerca de su superficie que es de, aproximadamente 150 N/C y que está dirigido hacia abajo. a) Comparar la fuerza eléctrica ascendente ejercida sobre un electrón con la fuerza gravitatoria dirigida hacia abajo. b) ¿Qué carga debería tener una moneda de 3 g para que el campo eléctrico equilibrase su peso cerca de la superficie de la Tierra? Respuesta: a) Fe  2.40  10 17 N , Fg  8.94  10 30 N ; b) q  1.962  10 4 C

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

29. [RH] En el experimento de Millikan, se balancea una gota de radio 1.64  m y de una densidad 0.851 g/cm3 cuando se aplica un campo eléctrico de 1.92 105 N/C . Calcule la carga en la gota en términos de e. Respuesta: 5 e 30. Una masa puntual “m” que posee una carga “q” se encuentra colgada de un hilo de masa despreciable. Si se establece un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal tal y como se muestra en la figura y la masa se mantiene en equilibrio formando un ángulo  con la vertical, determine el ángulo que adquiere el hilo con respecto a la vertical. Tómese:

m  20 g , q  2  C , E  2 104 N/C . ¿Qué pasa si se cambia el sentido del campo? ¿Qué pasa si se cambia el sentido de la carga?

 E

q Respuesta:   11.52º 31. Una esfera de masa “m” que posee una carga “q” se encuentra ubicada en un plano inclinado que forma un ángulo  con la horizontal como se muestra en la figura. Demuestre que para que la masa se mantenga en equilibrio se debe establecer un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal y sentido oeste de valor E  

mg tan i . q

q E

 32. [RS] Una pelota de corcho cargada con 1.00 g de masa está suspendida de un hilo muy ligero en un campo eléctrico uniforme, como se observa en la figura. Cuando

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

E  (3.00 i  5.00 j ) 105 N/C , la pelota está en equilibrio en   37.0º . Determine a) la carga sobre la pelota y b) la tensión en el hilo.

 E

q Respuesta: q  10.9 nC , T  5.44 nN 33. [DF] Dos esferitas idénticas de masa m y cargas iguales y opuestas de magnitud q, están suspendidas por cuerdas ligeras de longitud L. Un campo uniforme se aplica en la dirección x y las dos esferitas se ubican en equilibrio cuando los hilos forman un ángulo  . Determine la magnitud del campo eléctrico.

 E q Respuesta: E 

q

kq m g tan  2 q 4 L sen  2

34. [RS] Una pelota de corcho de 1.00 g con una carga de 2.00  C está suspendida verticalmente de un hilo ligero de 0.500 m de largo en un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo, de magnitud E  1.00 105 N/C . Si se desplaza ligeramente de la vertical, la pelota oscila como un péndulo simple. a) Determine el periodo de esta oscilación. b) ¿Deberán incluirse las fuerzas de la gravedad en el cálculo del inciso a? Diga por qué. Respuesta: a) 0.307 s; b) Si 35. [TM] Se coloca un péndulo simple de 1.0 m de longitud y 5 103 kg de masa en un campo eléctrico uniforme de masa E que se dirige verticalmente hacia arriba. La “lenteja” Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

del péndulo tiene una carga q  8.0  C . El periodo del péndulo es 1.2 s. Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico. Respuesta: E  (2858.82 N/C) j Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano. Ejemplo 3.6. Dos cargas puntuales q1  6  C y q2  6  C , están ubicadas como muestra la figura.

y q1 3 cm

P 4 cm

3 cm 6 cm

x

q2

S  a) ¿Cuál es la magnitud y dirección de E en el punto S? b) ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P? Solución. a) En el punto S. Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

y q1 3 cm

P 4 cm

3 cm 6 cm

x

q2 E1 q0 S E2

Campo eléctrico resultante.

ER  E1  E2 Puesto que los campos se encuentran en la misma dirección:

ER  E1  E2 Módulo de los campos individuales. Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0 .

E1  k

q1 r12

E1  9  10 9

N.m 2 6  10 6 C  C2 (9  10 2 m) 2

E1  6.67  10 6 N/C Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0 .

E2  k

q2 r22

E 2  9  10 9

N.m 2 6  10 6 C  C2 (3  10 2 m) 2

E2  60  10 6 N/C Física II. Ing. Willians Medina.

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174

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Campo eléctrico resultante.

ER  60 106 N/C  6.67 106 N/C ER  (53.33 106 N/C) j b) En el punto P.

y q1

r

3 cm

 4 cm

3 cm

q2

6 cm

P q0



x E1

E2

ER

S Campo eléctrico resultante.

ER  E1  E2 Campo

Componente x

Componente y

E1

E1 cos 

 E1 sen 

E2

 E2 cos 

 E2 sen 

ER

E1 cos   E2 cos 

 E1 sen   E2 sen 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1 cos   E2 cos  ) i  ( E1 sen   E2 sen  ) j E1  E2 E R  2 E1 sen  j Módulo del campo eléctrico resultante. Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0 .

Física II. Ing. Willians Medina.

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175

Capítulo 3. El campo eléctrico.

E1  k

Cargas puntuales.

q1 r12

Distancia de separación entre la carga 1 y la carga de prueba q 0 .

r

(3 10 2 m) 2  (4 10 2 m) 2

r  5 102 m E1  9  10 9

N.m 2 6  10 6 C  C2 (5  10 2 m) 2

E1  2.16  10 7 N/C Ángulo que forma el campo eléctrico ( E1 ) con la horizontal.

sen  

3 10 2 m r

sen  

3  10 2 m 5 10 2 m

sen   0.6 Campo eléctrico resultante.

E R  2  2.16  10 7 N/C  0.6 j

E  (2.592 107 N/C) j Ejemplo 3.7. Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 667. En las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura, existen cuatro partículas con carga. a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la ubicación de la carga q. b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica total ejercida sobre q?

q

2q

3q Física II. Ing. Willians Medina.

a

4q

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176

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Solución. Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0.

E3

E2

E1

q1

q2

q4

45º

q3

a Campo eléctrico resultante.

ER  E1  E2  E3 Campo

Componente x

Componente y

E1

E1

0

E2

E2 cos 45º

E2 sen 45º

E3

0

E3

ER

E1  E2 cos 45º

E2 sen 45º  E3

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1  E2 cos 45º ) i  ( E2 sen 45º  E3 ) j Módulo de los campos individuales. Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0 .

E1  k

q1 2q q k  2k 2 2 2 r1 (a) a

Campo eléctrico ejercido por la carga 2 sobre la carga de prueba q 0 . Física II. Ing. Willians Medina.

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177

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

q2 3q q k  3k 2 2 2 r2 2a ( 2 a)

E2  k

Campo eléctrico ejercido por la carga 3 sobre la carga de prueba q 0 .

q3 4q q k  4k 2 2 2 r3 (a) a

E3  k

Campo eléctrico resultante.

 2  2 q q q  i  3k q  ER   2 k 2  3 k   2k 2  j 2 2  a 2   2 a 2 2a a   ER  k

q a2

 3 2 2  i  k q  4  a2 

3 2    4 j  4   

ER  k

q a2

   3 2  3 2 i    4 j  2   4   4   

ER  k

q (3.0607 i  5.0607 j ) a2

Módulo del campo eléctrico resultante.

ER  k

q a2

(3.0607) 2  (5.0607) 2

E R  5.9142 k

q a2

Dirección del campo eléctrico resultante.

tan  

E R, y

tan  

5.0607 3.0607

E R, x

tan   1.6534

  58.83º Fuerza resultante sobre q .

F  qE Física II. Ing. Willians Medina.

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178

Capítulo 3. El campo eléctrico.

FR  q  k FR  k

Cargas puntuales.

q (3.0607 i  5.0607 j ) a2

q2 (3.0607 i  5.0607 j ) a2

FR  5.9142 k

q2 a2

La dirección de la fuerza es la misma del campo eléctrico. Ejemplo 3.8. Problema 76 del Tipler. Sexta Edición. Página 726. Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L , según se ve en la figura. Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor E es

8 k q  1  . 1 2  L  5 5 

q

q

q

q L

Solución. Campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados. Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0.

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179

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

q1

q2 E1



E4

q0 E3 E2 q3

q4 L Campo eléctrico resultante.

ER  E1  E2  E3  E4 Campo

Componente x

Componente y

E1

 E1 cos 

E1 sen 

E2

0

 E2

E3

0

 E3

E4

E4 cos 

E4 sen 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1 cos   E4 cos  ) i  ( E1 sen   E2  E3  E4 sen  ) j E1  E4 E 2  E3 E R  ( E1 cos   E1 cos  ) i  ( E1 sen   E2  E2  E1 sen  ) j E R  (2 E1 sen   2 E2 ) j E R  2 ( E1 sen   E2 ) j Módulo de los campos individuales. Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0 .

E1  k

q q 4k q k 5 2  2 2 ( L)  L 5 L2 4L 1 2

Física II. Ing. Willians Medina.

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180

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Campo eléctrico ejercido por la carga 2 sobre la carga de prueba q 0 .

E2  k

q q 4k q k 1 2  2 2 ( L) L 4L 1 2

Ángulo que forma el campo eléctrico ( E1 ) con la horizontal.

sen  

1 2

L

( L)  L 1 2

2

2



1 2 5 4

L 2

L



1 5

Campo eléctrico resultante.

 4k q 1 4k q  ER  2  2   2 j  5L L  5 

ER 

 8 k q  1  1 j 2  L  5 5 

ER 

8 k q  5  1 j  L2  25 

El campo eléctrico tiene dirección a lo largo del eje vertical y sentido hacia la carga negativa. Su módulo es:

ER 

5 8 k q   1  25  L2 

Ejercicios propuestos. 36. [RS] Tres partículas con carga están alineadas a lo largo del eje x, según se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en a) la posición ( 2.00 , 0 ) y b) ( 0 , 2.00 ) .

y 0.500 m

–4.00 nC 5.00 nC

0.80 m

3.00 nC

x

Respuesta: a) E  (24.21 N/C) i ; b) E  (4.21 N/C) i  (8.42 N/C) j

Física II. Ing. Willians Medina.

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181

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

37. Tres cargas puntuales están ordenadas como se muestra en la figura. a) Encuentre el vector campo eléctrico que crean en el origen de manera conjunta las cargas de 6 nC y –3 nC. b) Encuentre el vector fuerza sobre la carga de 5 nC.

y

0.35 m 5 nC 6 nC

x

0.2 m

–3 nC Respuesta:

E  (440.21 N/C) i  (674.07 N/C) j ;

a)

b)

F  (2.2010  10 6 i  3.3703  10 6 j ) N 38. Dos cargas eléctricas q1  4 10 5 C y q2  3 10 5 C están en los extremos de un triángulo rectángulo. Determinar la intensidad del campo eléctrico en: a) El punto C, b) El punto medio de la hipotenusa, c) Donde es nulo según la línea que une las cargas.

q1

30º

C

q2

8 cm

Respuesta:

a)

E  (4.2129  10 7 i  1.6852  108 j ) N/C ;

b)

E  (2.56 108 i  1.48 108 j ) N/C ; c) A 59.71 cm de la carga q 2 y 68.95 cm de la carga q1 sobre la línea que une q1 y q 2

39. Tres partículas con cargas q A  35 nC , qB  25 nC y qC  40 nC , están colocadas en las esquinas de un triángulo. La partícula A está en la esquina de 90 grados, a una distancia de 18 cm de la B y a 24 cm de C. Coloque el sistema de coordenadas centrado en Física II. Ing. Willians Medina.

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182

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

A, B en el eje x y C en el eje y , determine a) el campo eléctrico producido por las partículas b y c en la posición de la partícula a, b) el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de c. Respuesta: a) E A  (6934.84 i  6241.36 j ) N/C ; b) E  (1497.93 i  3463.95 j ) N/C 40. [RS] En los vértices de un triángulo equilátero existen tres cargas según se muestra en la figura. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2.00  C debido al campo de las cargas de 7.00  C y de  4.00  C . b) Utilice la respuesta del inciso a) para determinar la fuerza ejercida sobre la carga de 2.00  C .

7.0  C

0.50 m

60º

 4.0  C

2.0  C Respuesta: E  (18.0 103 i  218 103 j ) N/C

41. En un triángulo equilátero de lado 6 cm se colocan tres cargas eléctricas cuyos valores son: q 1 = 4.10–6 C, q 2 = –5.10–6 C, q 3 = –3.10–6 C. Determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio del lado AC.

q2 B

q1

q3 A

C

Respuesta: 7.20.107 N/C Física II. Ing. Willians Medina.

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183

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

42. Tres partículas con cargas iguales q están en las esquinas de un triángulo equilátero de lado d , determine el campo eléctrico en a) el centro del triángulo y b) en el punto medio de uno de sus lados.

q

q

q d

Respuesta: a) 0; b) E 

4k q 3d 2

43. [TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L (Figura). Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca en el otro vértice. ¿Dónde deberíamos colocar una cuarta carga puntual q para que el campo eléctrico en el centro del triángulo fuera cero? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices).

2q

q

q L

Respuesta: A una distancia

3 d desde el centro sobre la línea que une la carga 2 q con el

centro y del lado opuesto a la carga 2 q 44. [TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L (Figura). Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca Física II. Ing. Willians Medina.

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184

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

en el otro vértice. Se coloca una cuarta carga puntual q´ en el punto medio de la base, de tal forma que el campo eléctrico en el centro del triángulo es cero. ¿Cuál es el valor de q´? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices).

2q

q

q L

Respuesta: q  13 q 45. a) Determine el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas en A y B. b) repita el inciso a) pero considerando ahora que la carga en B es de signo contrario.

y A

Q

l Q

l

B

l O

Respuesta: a) E  

x

kq kq ( 3 i  3 j ) ; b) E  2 ( 3 i  j ) 2 2l 2l

46. [PT] Dos cargas iguales y opuestas, +q y –q, están colocadas en las esquinas de la base de un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud a. Muestre que la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el vértice superior es la misma, con o sin la presencia de una de las cargas. ¿Cuál es el ángulo entre los dos campos producidos de esta forma? Física II. Ing. Willians Medina.

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185

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Respuesta: E 

Cargas puntuales.

kq , 60º a2

47. Se coloca una carga de magnitud q en cada uno de los vértices de un cuadrado de arista a. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados. Suponga que q  8.8  C y a  0.100 m . Respuesta: E 

16 k q , Dirigido hacia el centro del cuadrado. E  1.1318  10 7 N/C 2 5 5a

48. Tres partículas con cargas positivas iguales q ocupan esquinas en un cuadrado de lado

d , determine el campo eléctrico a) en el centro del cuadrado, b) en la esquina vacante y c) en el punto medio de cada uno de los lados del cuadrado.

q

q

Respuesta:

E

a)

E

2k q (i  j ) ; d2

d

b)

q

 2kq  E  1  (i  j ) ;   d2 4  

4k q 4 k q  4   i  2 j E  i , Lado derecho: d 2  5 5 5 5d2

c)

Lado

inferior:

 j  

49. [RH] Determinar el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la figura. Suponga que

q  11.8 nC y que a  5.20 cm .

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186

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

 2q

q

q

2q

a

2 2kq j , E  (1.1093 105 j ) N/C 2 a

Respuesta: E 

50. [DF] Tres cargas puntuales Q1  3 106 C , Q2  2 106 C y Q3  106 C están en las esquinas de un paralelogramo, cuyos lados son a  3 m y b  2 m , como se muestra en la figura. ¿Cuál es el campo eléctrico resultante en la esquina vacante?

y

Q1

a b

30º

Q3

Q2

x

Respuesta: (1276 i  2330 j ) N/C Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano cartesiano. Ejemplo 3.9. Problema 44 del Tipler. Sexta Edición. Página 724. Dos cargas positivas iguales q están en el eje y; una está en y  a y la otra en y  a . a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje x está dirigido a lo largo de dicho eje con

Ex 

2k q x 3

(x 2  a 2 ) 2

. b) Demostrar que en las proximidades del origen, donde x es mucho

menor que a, E x 

2k q x 2k q . c) Demostrar que para x mucho mayor que a, E x  2 . 3 a x

Explicar por qué debería esperarse incluso antes de ser calculado. d) Demostrar que el Física II. Ing. Willians Medina.

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187

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

campo eléctrico para la distribución de cargas tiene su máximo valor en los puntos x  y x

a 2

a . 2

y q1

a q0

x

x a q2

Solución. Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0.

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188

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

y q1

r

a

E2



q0

x



ER

x

a

E1 q2

Campo eléctrico resultante.

ER  E1  E2 Campo

Componente x

Componente y

E1

E1 cos 

 E1 sen 

E2

E2 cos 

E2 sen 

ER

E1 cos   E2 cos 

 E1 sen   E2 sen 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

E R  ( E1 cos   E2 cos  ) i  ( E1 sen   E2 sen  ) j E R  ( E1  E2 ) cos  i  ( E1  E2 ) sen  j E1  E2 E R  2 E1 cos  i Módulo del campo eléctrico resultante. Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q 0 .

E1  k

q1 r2

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189

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Distancia de separación entre la carga 1 y la carga de prueba q 0 .

r 2  x2  a2 q x  a2

E1  k

2

Ángulo que forma el campo eléctrico ( E1 ) con la horizontal.

x

cos  

x2  a2

ER  2 k ER 

q  x  a2 2

2k q x 3

(x 2  a 2 ) 2

x x2  a2

i

i

b) Si x  a : x 2  a 2  a 2

ER 

2k q x

ER 

2k q x a3

3

(a 2 ) 2

c) Si x  a : x 2  a 2  x 2

ER 

2k q x

ER 

2k q x x3

ER 

2k q x2

3

(x2 ) 2

El campo obtenido es el equivalente al campo existente debido a una carga puntual cuyo valor es 2 q a una distancia x, esto es, el sistema se comporta como una carga puntual. d) E R 

2k q x 3

(x2  a2 ) 2

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190

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Para un valor máximo del campo eléctrico: 3

d ER 0 dx 1

d E R 2 k q ( x 2  a 2 ) 2  2 k q x  32 ( x 2  a 2 ) 2 (2 x)  dx ( x 2  a 2 )3 3

1

d ER 2 k q ( x 2  a 2 ) 2  6 k q x 2 ( x 2  a 2 ) 2  dx ( x 2  a 2 )3 1

d ER 2 k q ( x 2  a 2 ) 2 ( x 2  a 2  3 x 2 )  dx ( x 2  a 2 )3 d E R 2 k q (a 2  2 x 2 )  5 dx (x2  a 2 ) 2 a2  2 x2  0

2 x2  a2 x2  x

a2 2 a 2

Ejercicios propuestos. 51. [TM] Una carga puntual  5  C está localizada en x  4 m , y  2 m . Una segunda carga puntual de 12  C está localizada en x  1 m , y  2 m . a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x  1 m , y  0 . b) Calcular el módulo y la dirección de la fuerza sobre un electrón situado en x  1 m , y  0 . c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero. Respuesta: a) E  1.2949  10 4 N/C ,   231.31º ; b) F  2.0747  10 15 N ,   51.31º ; c) x  12.2834 m , y  9.2834 m

52. [TM] Una carga puntual 5  C está localizada en x  1 m , y  3 m y otra carga de

 4  C está localizada en x  2 m , y  2 m . a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x  3 m , y  1 m . b) Determinar el módulo y la dirección de la fuerza Física II. Ing. Willians Medina.

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191

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

sobre un protón en x  3 m , y  1 m . c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero. Respuesta: a) E  1938.90 N/C ,   226.91º ; b) F  3.1065  10 16 N ,   226.91º ; c) x  11.4721 m , y  49.3607 m

53. Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P ( 2 , 2 ) si se colocan dos cargas de igual magnitud 3.10–6 C en los puntos ( 2 , 0 ) y (  2 , 0 ) en un sistema de coordenadas cartesianas. Respuesta: (1205.81i  7343.57 j ) N/C 54. Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P ( 3 , 2 ) si se colocan tres cargas de igual magnitud q  10 6 C en los puntos ( 3, 0 ) , ( 2 , 0 ) y ( 0 , 2 ) en un sistema de coordenadas cartesianas. Respuesta: E  (1802.49 i  3854.63 j ) N/C 55. [RH] En la figura, demuestre que, suponiendo y  d , la magnitud de E en el punto P está dada por E y 

1

2q . 4  0 y 2

y y

q

q

x d 56. [TM] Dos cargas iguales positivas de valor q1  q2  6.0 nC están sobre el eje y en puntos y  3 cm e y  3 cm . a) ¿Cuál es el valor y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en x  4 cm . b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una tercera carga q0  2 nC situada en el punto x  4 cm ? Respuesta: E  (3.4512  10 4 i) N/C Física II. Ing. Willians Medina.

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192

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

57. Determine el campo eléctrico en las siguientes distribuciones. q1  2  C , q2  6  C ,

q3  6  C y q4  10  C .

y

y

q2

q2

q1

P q1

x (cm)

P

q3

x (cm)

y q1

q4 q3 Respuesta:

a)

P

q2

x (cm)

E  (2.7885  10 7 i  5.1158  10 7 j ) N/C ;

b)

E  (1.7975  108 i  3.3703  10 7 j ) N/C ; c) E  (8.0387  10 7 i  1.7201 108 j ) N/C

58. [TM] Dos cargas de 3.0  C están localizadas en x  0 , y  2.0 m y en x  0 ,

y  2.0 m . Otras dos cargas Q están localizadas en x  4.0 m , y  2.0 m y en x  4.0 m , y  2.0 m . El campo eléctrico en x  0 , y  0 es (4.0 103 N/C) i . Determinar Q. Respuesta: Q  4.98  10 6 C Interacción entre múltiples cargas eléctricas en el espacio. 59. Una partícula con carga  5.8 nC está colocada en el origen de coordenadas. a) Determine las componentes cartesianas del campo eléctrico producido en los puntos a)

(15 cm , 0 , 0 ) , b) (15 cm ,15 cm , 0 ) , c) (15 cm ,15 cm ,15 cm ) y d) (10 cm , 20 cm , 0 ) . e) Determine E en los mismos puntos. Física II. Ing. Willians Medina.

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193

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Respuesta:

a)

Cargas puntuales.

E  (2316.79 i) N/C ,

b)

E  (819.11i  819.11 j ) N/C ,

c)

E  (445.87 i  445.87 j  445.87 k ) N/C , d) E  (466.25 i  932.49 j ) N/C ; e) 2316.79

N/C, 1158.40 N/C, 772.26 N/C, 1042.56 N/C 60. [RS] Considere la distribución de cargas que se muestra en la figura. a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de

8 2kq . b) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el centro de la cara 3 3 a2

superior del cubo?

z

a A

y

x Respuesta: b) k Dipolo eléctrico. Ejemplo 3.10. Problema 60 del Tipler. Sexta Edición. Página 725. Un dipolo de momento 5e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de valor 4.0104 N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo cuando a) el eje del dipolo es paralelo al campo eléctrico, b) el dipolo es perpendicular al campo eléctrico, y c) el dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico. d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso. Solución. Física II. Ing. Willians Medina.

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194

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

p  5 e  5  (1.6  10 19 C) nm  8  10 19 C.nm p  8  10 28 C.m

a)

E

q

q

2a

  p E sen

  8  10 28 C.m  4.0  10 4 N/C  sen 0º  0 Energía potencial. U  8  10 28 C.m  4.0  10 4 N/C  cos 0º U  3.20  10 23 N.m

b)

q

E

q

2a

  p E sen

  8 10 28 C.m  4.0 10 4 N/C  sen 90º   3.20  10 23 N.m Energía potencial. U  8 10 28 C.m  4.0 10 4 N/C  cos 90º U 0 c)

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195

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

q

2a

30º

q

E

  p E sen

  8 10 28 C.m  4 10 4 N/C  sen 30º   1.60  10 23 N.m Energía potencial. U  8  10 28 C.m  4 10 4 N/C  cos 30º U  2.77  10 23 N.m

Ejercicios propuestos. 61. [RH] Calcule el momento dipolar de un electrón y de un protón separados por una distancia de 4.30 nm. Respuesta: p  6.89  10 28 C.m 62. [TM] Dos cargas puntuales q1  2 pC y q2  2 pC están separadas una distancia de 4 mm. ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas? Haga un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento dipolar. Respuesta: p  8  10 15 C.m dirigido de la carga negativa a la carga positiva 63. Un dipolo eléctrico de cargas q  2 10 6 C separadas 4 cm se coloca dentro de un campo eléctrico de 1.105 N/C. Determinar: a) El momento que ejerce el dipolo cuando forma un ángulo de 30º, b) ¿Qué cantidad de trabajo debe hacer un agente externo para girar el dipolo 60º? Respuesta: a) 4 10 3 J ; b) 4.10 3 J 64. Un dipolo se coloca dentro de un campo externo de 1.10 5 N/C. Si las cargas tienen una magnitud de 1.10–6 C y están separadas 2 cm. Determinar: a) El momento que ejerce el campo en el dipolo cuando forma un ángulo de 30°, b) La cantidad de trabajo que debe Física II. Ing. Willians Medina.

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196

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

hacer un agente externo para dar al dipolo ½ vuelta a partir de la posición colineal del campo.

q E q Respuesta: a) 10 3 J ; b)  2.10 3 J 65. [RH] Se mantienen a una distancia de 15.2 cm dos cargas iguales y opuestas de magnitud 1.88 107 C . a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de E en un punto intermedio entre las cargas? b) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) operaría en un electrón puesto allí? Respuesta: a) 585 kN/C, hacia la carga negativa; b) 93.6 fN, hacia la carga positiva 66. [RS] Considere el dipolo eléctrico que se ilustra en la figura.

y y q

q

x 2a a) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje x es E  

4k qa x i. ( x2  a 2 )2

b) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje y es E 

2k qa 3

( y2  a2 ) 2

c) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje x es E   d) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje y es E  Física II. Ing. Willians Medina.

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i.

4k qa . x3

2k qa . y3 197

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

67. [RH] En la configuración de carga de la figura demuestre que, suponiendo que r  d .

E (r ) en los puntos del eje horizontal está dado por E 

q  4d  1   4  0 r 2  r  1

r

q

q

q P

d

d

[Sugerencia: la configuración de la carga puede concebirse como la suma de una carga aislada y de un dipolo] 68. Un dipolo tiene cargas de magnitud 1.10–6 C separadas una distancia de 2 cm. Determinar: a) El campo eléctrico en la línea que une las cargas a una distancia de 4 cm de la carga positiva, b) El campo eléctrico en la perpendicular bisectriz a la línea que las une a una distancia de 4 cm.

q

q 2 cm

Respuesta: a) 1.69.10 7 N/C ; b) 8.35.106 N/C 69. [MA] En un sistema de coordenadas rectangulares una carga de 25  10 9 C se coloca en el origen y otra carga de  25 10 9 C se coloca en el punto x = 6 m, y = 0. ¿Cuál es el campo eléctrico a) en x = 3 m, y = 0?, b) en x = 3 m, y = 4 m? 70. Un dipolo centrado en el origen está formado por dos partículas, una con una carga de

 16 10 19 C situada en z  0.4110 10 m , y la otra con igual carga pero negativa y a la misma distancia pero de lado contrario. Determine p (momento bipolar). Determine el Física II. Ing. Willians Medina.

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198

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

campo eléctrico producido por el dipolo en el plano x y a una distancia de 1  m del origen. Resuelva el inciso anterior para una distancia de 2  m . Respuesta: p  1.312  10 28 C.m , E  1.1791 N/C , E  0.1474 N/C 71. Un dipolo con momento p  2 a q k está centrado en el origen. Determine E a lo largo del eje z en puntos alejados del dipolo, z >> a. Sugerencia: Utilice el desarrollo en serie de un binomio. 72. [RH] Un tipo de cuadripolo eléctrico se compone de cuatro cargas ubicadas en los vértices de un cuadrado de lado 2 a . El punto P está a una distancia x del centro del cuadripolo en una línea paralela a ambos lados del cuadrado, según se aprecia en la figura. Cuando x  a , demuestre que el campo eléctrico en P está dado aproximadamente por

E

3 (2 q a 2 ) . (Sugerencia: tratar el cuadripolo como dos dipolos). 2  0 x4 q

q

P

x q

q

2a 73. [RH] La figura muestra un tipo de cuadripolo eléctrico. Lo constituyen dos dipolos cuyos efectos en los puntos externos no se cancelan del todo. Demuestre que el valor de E sobre el eje del cuadripolo en los puntos a una distancia x de su centro (suponga que x >> d) está dado por E 

3Q 4  0 x

4

donde Q  2 q d 2 es el momento cuadripolar de la distribución

de carga.

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199

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

y

x q

q

P

x d

d

Movimiento de cargas en un campo eléctrico. Ejemplo 3.11. [MA] Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y choca en la superficie de la placa opuesta, distante 2.0 cm de la primera, en un intervalo de 1.510–8 segundos. a) Calcular el campo eléctrico entre las placas, b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa.

2 cm

Solución.

v0  0 y  2 cm  2 10 2 m

t  1.5 108 s

E ? vf  ?

F  qE F  ma q E  ma E

ma q

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200

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Aceleración del electrón.

y  y0  12 a t 2

y0  0 y  12 a t 2

a

2y t2

a

2  2 10 2 m (1.5 10 8 s) 2

a  1.7778 1014 m/s 2 Campo eléctrico.

9.1094 10 31 kg 1.7778 1014 m/s 2 E 1.602 10 19 C

E  1010.78 N/C b) Velocidad final del electrón.

v f  v0  a t

v0  0 v f  at

v f  1.7778 1014 m/s 2 1.5 108 s v f  2.6667 106 m/s Ejemplo 3.12. Problema 53 del Tipler. Sexta Edición. Página 724. Un electrón tiene una velocidad inicial de 2 106 m/s en la dirección del eje de las x. Entra  en el interior de un campo eléctrico uniforme E  300 N/C j que tiene la dirección y. a) Hallar la aceleración del electrón. b) ¿Cuánto tiempo tardará el electrón en recorrer 10 cm en la dirección x? c) ¿Cuál será el módulo y la dirección de la velocidad del electrón después de haber recorrido 10 cm en la dirección x? Solución.

v0 x  2.0 106 m/s Física II. Ing. Willians Medina.

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201

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

E  300 N/C j a) a  ? b) t  ?

x  10 cm  10 10 2 m c) v  ?

x  10 cm  10 10 2 m

F  qE F  ma q E  ma a

qE m

a

1.602  10 19 C  300 N/C 9.1094  10 31 kg

a  5.2759  1013 m/s 2 b) x  v0 x t

t

x v0 x

t

10 10 2 m 2.0 10 6 m/s

t  5 10 8 s c) v x  2.0 106 m/s

v y  a t

v y  5.2759  1013 m/s 2  5  10 8 s Física II. Ing. Willians Medina.

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202

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

v y  2.6379  10 6 m/s V  (2.0  10 6 i  2.6379  10 6 j ) m/s Dirección de la velocidad.

tan   tan  

vy vx 2.6379  10 6 2.0  10 6

tan  1.3190

  52.83º por debajo del eje horizontal. Ejemplo 3.13. [MA] Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 N/C dirigido verticalmente hacía abajo. La velocidad inicial del electrón es de 107 m/s y forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal. a) Calcular el tiempo requerido para que el electrón alcance su altura máxima. b) Calcular la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. c) ¿Que distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial? d) Dibujar la trayectoria del electrón. Solución.

30º E  500 N/C v0  107 m/s

  30º a) t max  ? b) y max  ? c) x  ? a) Tiempo en alcanzar la altura máxima. Física II. Ing. Willians Medina.

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203

Capítulo 3. El campo eléctrico.

t

Cargas puntuales.

v0 sen  a

Cálculo de la aceleración del electrón.

F  qE F  ma q E  ma a

qE m

a

1.602 10 19 C  5000 N/C 9.1094 10 31 kg

a  8.79411014 m/s 2 Tiempo máximo.

2 10 7 m/s  sen 30º t 8.79411014 m/s 2

t  1.137110 8 s b) y max 

ymax 

v02 sen 2 2a

(10 7 m/s ) 2  sen 2 30º 2 (8.79411014 m/s 2 )

ymax  0.0142 m ymax  1.42 cm c) x  v0 cos  t Tiempo de vuelo.

t

2 v0 sen  a

t

2 10 7 m/s  sen 30º 8.79411014 m/s 2

t  1.137110 8 s Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

Distancia horizontal recorrida.

x  107 m/s  cos 30º1.137110 8 s

x  0.0985 m x  9.85 cm Ejercicios propuestos. 74. Determine la magnitud de la aceleración que experimenta un electrón en un campo eléctrico de 576 N/C. ¿Cómo depende la dirección de la aceleración de la dirección del campo en ese punto? Respuesta: a  1.01 1014 m/s 2 75. [MA] Entre las placas de deflexión de un osciloscopio de rayos catódicos, existe un campo eléctrico de 30000 N/C. a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón colocado en esta región? b) ¿Qué aceleración adquiere el electrón debido a esta fuerza? Compararla con la aceleración de la gravedad. Respuesta: E  4.8065  10 15 N , a  5.2764  1015 m/s 2 76. [RH] Un arma, considerada en la defensa antimisiles, utiliza haces de partículas. Por ejemplo, un haz de protones que golpea un misil enemigo podría anularla por completo. Los haces pueden producirse en “armas” que se sirven de campos eléctricos para acelerar las partículas cargadas. a) ¿Qué aceleración experimentará un protón si el campo eléctrico es 2.16 104 N/C ? b) ¿Qué velocidad alcanzará el protón si el campo actúa en una distancia de 1.22 cm? Respuesta: a) a  2.0690  1012 m/s 2 ; b) v  2.2469  105 m/s 77. [RH] Un campo eléctrico acelera un electrón hacia el este a 1.84 109 m/s 2 . Determinar la magnitud y la dirección del campo. Respuesta: E  (1.0462  10 2 N/C) i 78. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio donde un protón experimenta una aceleración de 1.8 millones de la gravedad? Respuesta: E  1.8434  10 7 N/C

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

79. [TM] La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de la relación carga/masa de la partícula. a) Calcular e/m para un electrón. b) ¿Cuál es el módulo y dirección de la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. c) ¿Cuándo la velocidad de un electrón se aproxima a la velocidad de la luz c, debe utilizarse la mecánica relativista para determinar su movimiento; sin embargo, a velocidades bastante menores que c puede utilizarse la mecánica newtoniana. Calcular, con la mecánica de Newton, el tiempo que tarda un electrón, partiendo del reposo en un campo eléctrico de valor 100 N/C, en alcanzar una velocidad de 0.01c . d) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en ese tiempo? Respuesta: a) e / m  1.7588  1011 C/kg ; b) a  1.7588  1011 m/s 2 (opuesta al campo eléctrico); c) t  1.7045  10 7 s ; d) d  0.2554 m 80. [TM] La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de su relación carga/masa. a) Calcular e/m para un protón y hallar su aceleración en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. b) Hallar el tiempo que tarda un protón inicialmente en reposo en dicho campo en alcanzar la velocidad de 0.01c (siendo c la velocidad de la luz). (Cuando la velocidad del protón se aproxima a la de la luz, debe usarse la cinemática relativista para calcular el movimiento, sin embargo, para una velocidad 0.01c o menor, la cinemática clásica es una suficiente aproximación. Respuesta: a) e / m  9.5788  10 7 C/kg ; a  9.5788  109 m/s 2 ; b) t  3.1297  10 4 s 81. [MA] Una carga de 2.5  108 C . Se coloca en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5.0 10 4 N/C dirigido hacia arriba. ¿Cuál es el trabajo que la fuerza eléctrica efectúa sobre la carga cuando ésta se mueve a) 45 cm hacia la derecha? b) 80 cm hacia abajo? c) 260 cm a un ángulo de 45º por encima de la horizontal? 82. [RH] Un electrón de 115 eV se dispara hacia una gran hoja plana de plástico cuya densidad de carga superficial es de  2.08  C/m 2 . ¿De qué distancia debemos dispararlo, para que no golpee la hoja? (Prescinda de los efectos relativistas). Respuesta: d  9.79  10 4 m Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

83. [RS] Un campo eléctrico uniforme existe en una región entre dos placas con carga contraria. Se libera del reposo un electrón en la superficie de una placa de carga negativa y 14.7 ns más tarde golpea la superficie de la placa contraria, a 1.95 cm de distancia. a) ¿Qué velocidad lleva el electrón al chocar contra la segunda placa? b) ¿Qué magnitud tiene el campo eléctrico? Respuesta: a) v f  2.6531 10 6 m/s ; b) 1026.14 N/C 84. [RS] Un protón es proyectado en la dirección positiva de x al interior de una región de un campo eléctrico uniforme E  6.00 105 i N/C en el instante t  0 . El protón recorre una distancia de 7.00 cm antes de llegar al reposo. Determine a) la aceleración del protón, b) su rapidez inicial y c) el intervalo de tiempo en el cual el protón queda en reposo. Respuesta: a  1.0553  1017 m/s 2 ; b) v0  1.2155  108 m/s ; c) t  1.1518  10 9 s 85. Un electrón con una velocidad inicial v0  27.5 106 m/s viaja paralelo a un campo eléctrico uniforme de magnitud E  11.4 103 N/C . a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón antes de detenerse? b) ¿qué tiempo pasará para que regrese al punto de partida? Respuesta: a) d  0.1886 m ; b) t  1.3715  10 8 s 86. [RH] Un electrón que se desplaza con una velocidad 4.86 106 m/s se dispara paralelamente a un campo eléctrico uniforme de magnitud 1030 N/C, dispuesto de modo que retrase el movimiento. a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en el campo antes de detenerse (momentáneamente) y b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá? C) Si el campo electrico termina de modo abrupto al cabo de 7.88 mm, ¿qué fracción de su energía cinética perderá el electrón al atravesarlo? Respuesta: a) 6.53 cm; b) 26.9 ns; c) 0.121 87. [TM] Un electrón partiendo del reposo, se acelera por la acción de un campo eléctrico uniforme E  1.50 1010 N/C j . Después de que ele electrón recorra 1.0  m , ¿cuál es su velocidad? Despreciar la fuerza gravitacional sobre el electrón. Respuesta: v  7.2639  10 3 m/s

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207

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

88. [RS] Un protón se acelera a partir del reposo en un campo eléctrico uniforme de 640 N/C. Poco tiempo después su rapidez es de 1.20 Mm/s (no relativista, ya que v es mucho menor que la rapidez de la luz) a) Determine la aceleración del protón. b) ¿En qué intervalo de tiempo el protón alcanza esta rapidez? c) ¿Qué distancia recorre en ese intervalo de tiempo? d) ¿Cuál es su energía cinética al final del intervalo? Respuesta: 6.13  1013 m/s 2 ; b) 19.5  s 89. [TM] Una masa de 2 g localizada en una región de campo eléctrico uniforme

E  300 N/C i contiene una carga Q. La masa, liberada del reposo en x  0 , posee una energía cinética de 0.12 J en x  0.50 m . Determinar la carga Q. Respuesta: Q  8  10 4 C 90. [RS] Los electrones en un haz de partículas tienen cada uno una energía cinética K. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que detendrá a estos electrones en una distancia d? Respuesta: K / e d en la dirección del movimiento 91. [RS] Entre dos placas paralelas separadas 4.00 cm existe un campo eléctrico uniforme de magnitud 640 N/C. De manera simultánea se libera un protón de la placa positiva y un electrón de la negativa. a) Determine la distancia a la placa positiva en el momento en que ambos se cruzan. (Ignore la atracción eléctrica entre el protón y el electrón). b) Repita el inciso a) ahora con un ión de sodio (Na+) y con un ión de cloro (Cl–). Respuesta: a) 21.8  m ; b) 2.43 cm 92. [DF] Entre dos grandes placas metálicas paralelas separadas por una distancia

d  10 cm existe un campo eléctrico uniforme. De la placa negativa se suelta un electrón y simultáneamente de la placa positiva se suelta un protón. Se desprecia la fuerza de interacción entre las dos partículas y la fuerza de gravedad. ¿En qué lugar se cruzan las dos partículas? Respuesta: 5.45  10 5 m 93. Un electrón es lanzado con una velocidad inicial de 1107 m/s dentro de un campo eléctrico uniforme. El electrón entra al campo eléctrico por un punto situado a igual Física II. Ing. Willians Medina.

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208

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

distancia de las placas. Si el electrón pasa por el borde de la lámina superior cuando sale del campo. Determinar la intensidad del campo eléctrico.

1 cm

v0

2 cm

Respuesta: 14218.75 N/C 94. [RS] Un protón se mueve a 4.50 105 m/s en dirección horizontal, y entra en un campo eléctrico vertical uniforme con una magnitud de 9.60 103 N/C . Si ignora cualquier efecto debido a la gravedad, determine a) el intervalo de tiempo requerido para que el protón recorra 5.00 cm horizontalmente, b) su desplazamiento vertical durante el periodo que viaja los 5.00 cm horizontalmente y c) las componentes horizontales y verticales de su velocidad después de haber recorrida dicha distancia. Respuesta: a) 111 ns; b) 5.68 mm; c) 11.7 m; d) 1.20 fJ 95. Un electrón entra perpendicularmente a un campo eléctrico uniforme de intensidad 1.2104 N/C con una energía de 3.210-16 J. Determinar la desviación del electrón cuando recorre 1.5 cm horizontalmente. Respuesta: y  3.375 10 4 m 96. [RS] Dos placas metálicas horizontales, cada una de 100 mm de lado, están alineadas una sobre la otra con una separación de 10.0 mm. Se les proporciona cargas de igual magnitud y de signo opuesto de manera que se genere un campo eléctrico uniforme hacia debajo de 2000 N/C entre las placas. Una partícula con masa 2.00 1016 kg y con una carga positiva de 1.00 106 C parten del centro de la placa negativa inferior con una Física II. Ing. Willians Medina.

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209

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

rapidez inicial de 1.00 105 m/s en un ángulo de 37.0º sobre la horizontal. Describa la trayectoria de la partícula. ¿Contra qué placa se impactará?, ¿y dónde se impactará en relación con su punto de partida? Respuesta: La placa inferior; 9.61 10 4 m 97. [RH] Como se ve en la figura, se proyecta un electrón a una velocidad de

v0  5.83 106 m/s y en un ángulo de   39.0º ; E  1870 N/C dirigido hacia arriba,

d  1.97 cm y L  6.20 cm . ¿Golpeará a una de las placas? Si lo hace, ¿Cuál de ellas golpeará y a qué distancia del lado izquierdo?

E

v0 d



L

Respuesta: La placa superior; 4.06 cm 98. [TM] Un electrón parte de la posición indicada en la figura con una velocidad inicial

v0  5 106 m/s formando un ángulo de 45º con el eje x. El campo eléctrico tiene dirección y positiva y su módulo es de 3.5 103 N/C . Sobre qué placa y en qué lugar chocará el electrón? Respuesta: La placa inferior. x  9.851 cm 99. Un electrón es lanzado dentro de un campo eléctrico uniforme de intensidad 5.10 3 N/C. Si la velocidad inicial es de 1.107 m/s y forma un ángulo de 30° con la horizontal. Determinar ¿Con cuál placa choca el electrón?

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210

Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

E

v0 2 cm

10 cm

100. [DF] En la región entre dos placas metálicas paralelas de longitud L y separación d se establece un campo eléctrico uniforme E. Un electrón entra por el borde de la placa inferior con una velocidad inicial v0 formando un ángulo  con la placa. ¿Para cuáles valores de E el electrón no chocará con ninguna de las dos placas? (Se desprecia la acción de la fuerza de gravedad)

E

v0 d



L

m v02 sen 2 m v02 sen 2 E Respuesta: 2ed eL 101. [DF] En la región entre dos placas metálicas paralelas de longitud L  0.5 m y separación

d  0.1 m

se establece un campo eléctrico uniforme de magnitud

E  8 103 N/C . Un protón entra por el borde de la placa inferior con una rapidez inicial v0  8 105 m/s en dirección formando un ángulo  con la placa, como se ilustra en la figura. ¿Para cuáles valores del ángulo  el protón no chocará con ninguna de las dos placas? Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

E

v0 d



L 1  e L E      sen 1 Respuesta: 12 sen  2   m v0 

2e d E m v02

102. [DF] Un haz de electrones entra en una región entre dos placas paralelas de longitud L donde existe un campo eléctrico uniforme E. El haz de electrones incide en una dirección formando un ángulo  , como lo ilustra la figura. ¿Cuál es la rapidez inicial de los electrones?



d

v0



L Respuesta: v0 

e E L cos  m cos  sen (   )

103. [MA] En la figura se lanza un electrón con una velocidad inicial de 2.107 m/s en la dirección de un eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre las placas, tiene una intensidad de 20000 N/C y está dirigido hacia arriba. a) ¿Qué distancia perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa por el

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

extremo de las placas? b) ¿Qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas? c) ¿A qué distancia por debajo del eje choca con la pantalla fluorescente S?

2 cm

v0

4 cm

12 cm

Respuesta: a) 7.033.10 3 m; b) 4.22 cm 104. [RS] Se proyectan varios protones con una rapidez inicial vi  9.55 km/s en una región donde está presente un campo eléctrico uniforme E  (720 j ) N/C , como se muestra en la figura. Los protones deben alcanzar un objetivo que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo eléctrico. Determine a) los dos ángulos de proyección  que logren el resultado esperado y b) el tiempo de vuelo (intervalo de tiempo durante el cual el protón pasa por encima del plano en la figura) para cada una de las trayectorias.

Respuesta: a)   36.9086º ,   53.0914º ; b) t  1.6631 10 7 s , t  2.2144  10 7 s Física II. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. El campo eléctrico.

Cargas puntuales.

105. [TM] Una partícula sale del origen con una velocidad de 3 106 m/s , formando un ángulo de 35º con el eje x. Se mueve en un campo eléctrico constante E   E0 j . Determinar E0 para que la partícula cruce el eje x en x  1.5 cm si a) se trata de un electrón y b) es un protón. Respuesta: a) E  3205.65 N/C ; b) E  5.8861 10 6 N/C 106. Dos planos paralelos de largo 0.2 m tienen densidades de carga  1  6 10 8 C/m 2 y

 2  6 10 8 C/m 2 C/m2 respectivamente. Se dispara un electrón en A con una velocidad v0  2 10 7 m/s m/s hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir de entre los planos?

1

 2

0.2 m

v A

Respuesta: v  1.1919 107 m/s 107. Un electrón con una velocidad inicial v0  (9.80 104 j ) m/s entra en una región donde

E  (2.0 i  8.0 j ) 104 N/C . a) Determine el vector aceleración del electrón como función del tiempo. b) ¿A qué ángulo  se está moviendo con respecto a su posición inicial en

t  1.0 nS ? Respuesta: a) a  (3.5176  1015 i  1.4071 1016 j ) N/C ; b)   75.87º .

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