campo electrico y ley de gauss

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS Física III Ciclo: II/2012 CAMPO ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS.

Contenido. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12.

Campos escalares y vectoriales. El campo eléctrico. El campo eléctrico de las cargas puntuales. Líneas de campo eléctrico. Campo eléctrico de las distribuciones continuas de carga. Una carga puntual en un campo eléctrico. Un dipolo en un campo eléctrico. El flujo de un campo vectorial. El flujo del campo eléctrico. La ley de Gauss. Un conductor cargado aislado. Aplicaciones de la ley de Gauss.

2.1 CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES. Campo. Definición. Es una región en la cual existe una magnitud física asociada a cada punto del espacio, cuyas características dependen de las coordenadas de ese punto. Por ejemplo: la temperatura en diferentes puntos de una habitación, T  x , y , z  , la presión en cualquier punto en el interior de un fluido, p  x , y , z  y la densidad en cualquier punto del mismo, . Estos son campos escalares, ya que las magnitudes en cuestión son escalares. Si las magnitudes son vectoriales, entonces los campos son vectoriales, por ejemplo: La velocidad de flujo de un fluido en diferentes puntos, ; el campo gravitatorio terrestre, fuerza gravitacional terrestre por unidad de masa sobre una masa de prueba. 



F g (2.1) m0 Si los campos no cambian con el tiempo se llaman campos estáticos. El concepto de acción gravitatoria a distancia o de interacción directa e instantánea entre cuerpos

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(masa  masa) viola la teoría especial de la relatividad. El concepto de interacción gravitatoria entre el campo de un cuerpo y el otro cuerpo (masa  campo  masa), no contradice la teoría especial de la relatividad, cualquier movimiento del primer cuerpo se transmite por el espacio a la velocidad de la luz, como límite; llegando esta información al segundo cuerpo en un tiempo finito y no en forma instantánea. El campo desempeña el papel de intermediario de la interacción entre los dos cuerpos. 2.2 EL CAMPO ELECTRICO. Así como el caso gravitatorio, la interacción eléctrica entre cuerpos cargados vista como acción a distancia (carga  carga) viola la teoría especial de la relatividad, entonces debe introducirse al campo como intermediario de la interacción (carga  campo  carga), llamado en este caso campo eléctrico. La primera carga establece un campo eléctrico a su alrededor y la segunda carga interactúa con el campo eléctrico de la primera carga. Así mismo el campo eléctrico de la segunda carga interactúa con la primera carga. Definición: El campo eléctrico asociado con un cierto conjunto de cargas en términos de la fuerza ejercida sobre una carga de prueba positiva 

q0 , se define por:



F E (2.2) q0 Dimensionalmente el campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga; en el SI las unidades del campo eléctrico son newton / coulomb. La dirección del campo eléctrico E, en el punto donde q0 se encuentra, figura1 (b) es la misma que la dirección de la fuerza F, que actúa sobre la carga de prueba, un escalar positivo, figura 1 (a). El conjunto de cargas que produce a E y a F no se muestra. Conocido el campo eléctrico en el punto P, la fuerza que actuaría sobre cualquier carga puntual q en ese punto sería, F = qE, su magnitud es F  qE y su dirección es la misma que la de E si q es positiva y opuesta a la de E si q es negativa.

Figura 1. Dirección de E en el punto p .

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La interacción entre dos cargas puntuales descrita en la unidad anterior, en términos del campo eléctrico se debe interpretar como se muestra en la figura 2. Una carga q 1 colocada en el punto A , produce un campo E1 en el punto B , figura 2 (a); la carga q2 en el punto B , experimenta una fuerza F21 =q2E1; de la misma manera, q2 situada en el punto B , produce un campo E2 en el punto A , donde q1 se encuentra, figura 2 (c), entonces esta experimentará una fuerza F12 = q1E2, figura 2(d) Aunque los campos son diferentes, ya que las cargas que los producen son diferentes, las fuerzas son iguales en magnitud, pero en direcciones opuestas, como se mencionó en la unidad I. En un procedimiento operativo para medir E, q0 debe ser lo más pequeña posible, para no afectar la distribución de cargas que produce el campo, entonces:

E  lim

q0 0

F q0

(2.3)

Figura 2. El campo eléctrico como intermediario de la interacción entre dos cargas puntuales.

Problema muestra. Un electrón  q   e  colocado cerca de un cuerpo cargado, experimenta una fuerza vertical hacia arriba de magnitud 3.60  10 8 N, (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en ese lugar?, (b) ¿Qué fuerza ejercería el mismo cuerpo cargado sobre una partícula alfa  q  2e  puesta en el sitio ocupado antes por el electrón? La fuerza sobre el electrón es Fe   eE , hacia arriba, entonces el campo eléctrico en el punto donde el electrón se encuentra es E  Fe e   2.25  1011 N C , dirigido UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

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hacia abajo. La fuerza sobre la partícula alfa es F  2e E  7.20 108 N, dirigida hacia abajo. La fuerza sobre la partícula alfa es el doble en magnitud que la fuerza sobre el electrón, debido a que la carga de la partícula alfa es dos veces la del electrón pero positiva. Ver la siguiente figura.

2.3 EL CAMPO ELECTRICO DE LAS CARGAS PUNTUALES. La magnitud de la fuerza sobre una carga de prueba q0 , situada a una distancia

r de

una carga puntual q , está dada por la ley de Coulomb:

F 

1 4 0

qq0 r2

(2.4)

La magnitud del campo eléctrico en el punto donde q0 se encuentra es: E

F q  q0 4 0 r 2

(2.5)

La dirección de E es la de F, a lo largo de una línea radial que parte de q , apuntando hacia afuera si q es positiva y hacia adentro si q es negativa. La figura 3 (a) muestra la dirección del campo eléctrico producido por una carga puntual positiva y la figura 3 (b) el de una carga puntual negativa. El campo eléctrico producido por una carga puntual en forma vectorial se escribe multiplicando la magnitud E por un vector unitario en dirección radial, desde la carga que produce el campo hasta el punto donde se está calculando el campo; en este caso se escribe la carga con su signo.

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E

q 4 0 r

2

r q  r r 4 0 r 3

(2.6)

Para hallar E de un grupo de N cargas puntuales, el procedimiento es el siguiente: (1) calcular Ei debido a cada carga i en el punto dado como si ésta fuera la única carga presente. (2) sume vectorialmente estos campos calculados por separado para hallar el campo resultante E en el punto. E = E1 + E2 + E3 +………….. La suma vectorial se simplifica cuando los vectores se encuentran en un mismo plano; el vector resultante puede calcularse por suma de componentes rectangulares.

Figura 3. Dirección de E, producido por carga positiva, a) y negativa, b)

Problema muestra La figura muestra una carga q1 de 1.5 C y una carga q2 de 2.3 C . La primera se halla en el origen del eje x , y la segunda en una posición x  L , donde L  13 cm . ¿En qué punto p sobre el eje x es cero el campo eléctrico?

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El punto ha de encontrarse entre las cargas, porque sólo en esta región las fuerzas ejercidas por ambas cargas sobre una carga de prueba se oponen entre sí. Si el campo ha de ser cero en p , entonces las magnitudes E 1 y E 2 deben ser iguales: E1  E2 k

q1 q2 k 2 2 x  L  x

Resolviendo para x , coordenada del punto p , tenemos: x

1

L q 2 q1

Sustituyendo valores numéricos, la solución buscada es x  5.8 cm . Dipolo eléctrico. Se da el nombre de dipolo eléctrico a la configuración de dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia d , figura 4 (a); se define el momento dipolar eléctrico como el producto de la magnitud de la carga por la distancia de separación p  qd , el cual se comporta como vector, cuya dirección apunta de la carga negativa a la positiva a lo largo de la línea que las une. El campo eléctrico en el punto P a una distancia x en el eje bisector se encuentra con la suma vectorial de los campos individuales que cada carga produce en ese punto, figura 4 (b); por la simetría se observa que la magnitud E , de estos dos campos es la misma y la resultante o el campo total es hacia abajo con una magnitud E T  2 E cos  , donde: E

1

q 4 0 r 2

y cos  

Dando para el campo total una magnitud de: UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

d 2 x 2   d 2

2

7

ET 

1



p

4 0 x 2   d 2  2



32

Si x  d , el campo se reduce a: 1 p ET  4 0 x 3

(2.7)

(2.8)

Figura 4. El dipolo eléctrico

Preguntas y problemas para el estudiante: 1. Hay cuatro cargas positivas iguales en las esquinas de un cuadrado. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado? 2. Hay tres cargas positivas iguales en tres vértices de un cuadrado, y en el cuarto vértice hay una carga negativa de la misma magnitud que las anteriores. ¿Cuál es la dirección (si la hay) del campo eléctrico en el centro del cuadrado? a) Hacia la carga negativa. b) Sin dirección porque el campo es cero. c) Se aleja de la carga negativa. d) Perpendicular a la diagonal que pasa por la carga negativa. 2.4 LINEAS DE CAMPO ELÉCTRICO. Faraday introdujo una descripción del campo eléctrico a través de líneas de campo eléctrico, similar a las líneas de corriente de un campo de velocidades de un flujo de fluido. Estas líneas de campo tienen las siguientes características: a) Imaginarías.

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b) La dirección de E, es tangente a las líneas de campo en cualquier punto. c) La densidad de líneas (número de líneas por unidad de superficie transversal) es proporcional a la magnitud de E; donde las líneas están más juntas, E es mayor. d) Se originan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. Por ejemplo las líneas de un campo eléctrico producido por una carga puntual q , deben ser radiales hacia fuera si q es positiva y hacia la carga si q es negativa, tal como se muestra en la figura 5. Si N es el número de líneas que salen de q , a una distancia de 1 m , la densidad de líneas para una superficie esférica es N 4 . El campo eléctrico a esa distancia sería q 4 0 , entonces, igualando tenemos que N  q  0 .

Figura 5. Líneas de campo eléctrico de una carga puntual.

La figura 6 (a) muestra la distribución de líneas de campo eléctrico alrededor de un par de cargas de la misma magnitud y signo y la figura 6(b) la distribución de las líneas de campo en las cercanías de un dipolo eléctrico.

Figura 6. Distribución de líneas de campo eléctrico de un par de cargas de las misma magnitud, (a) signos iguales y (b) signos opuestos.

Describa las características que encuentra en la distribución de líneas de campo en el arreglo mostrado en la siguiente figura, la configuración de líneas del campo eléctrico tiene relación con la magnitud y signo de las cargas? UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

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2.5 CAMPO ELÉCTRICO DE LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA Aun cuando la carga está cuantizada, una colección de un gran número de cargas elementales puede considerarse como una distribución continua de carga, el campo de la distribución es: E

d E

(2.9)

Donde d E es el campo producido por un elemento diferencial de carga dq dentro de la distribución; tal como se muestra en la figura 7; considerado dq como una carga puntual, se puede aplicar la ley de Coulomb, entonces la magnitud de d E será:

dE 

1

dq 4 0 r 2

(2.10)

Donde r es la magnitud del vector que va desde dq al punto donde se calcula el campo eléctrico. La ecuación (2.9) es una integral vectorial, que en general tiene tres componentes, y en coordenadas cartesianas son:

Ex   dEx ,

E y   dE y ,

E z   dE z

La distribución de carga puede ser lineal, superficial o volumétrica, dependiendo de las dimensiones de la región donde se encuentre distribuida la carga; en cualquier caso, se define la densidad de carga como la carga por unidad de longitud, de superficie o volumen, respectivamente:

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Figura 7. Campo eléctrico de una distribución continua de carga. Para cada distribución de carga, la carga dq y la densidad de carga se relacionan así: Distribución lineal de carga: dq   ds

(2.11)

 , es la densidad lineal de carga y ds una longitud diferencial en la distribución de carga; si la distribución es uniforme, entonces: q dq  ds L Distribución superficial de carga: dq   dA

(2.12) (2.13)

 , es la densidad superficial de carga y dA un elemento de superficie en la distribución de carga; si la distribución es uniforme, entonces: q (2.14) dq  dA A Distribución volumétrica de carga: dq   dV

(2.15)

 , es la densidad volumétrica de carga y dV un elemento de volumen en la carga; si la distribución es uniforme, entonces: q (2.16) dq  dV V Problema muestra. Sobre una varilla delgada de longitud L , que descansa sobre el eje x, con uno de sus extremos en el origen, se distribuye una carga con densidad de carga ( carga por unidad de longitud )   k x, donde K es una constante. Determinar la carga total contenida en la varilla. UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

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dq  ds  kxdx L

q   kxdx 

Entonces:

0

kL2 2

Problema muestra. Una esfera no conductora sólida de radio R, tiene una distribución volumétrica de carga dada por 0 r/R, donde 0 es una constante y r es la distancia desde el centro de la esfera. Determinar la carga total contenida en la esfera dq  dV  R

q

Entonces:

0

0r R

0r

(4 r 2 dr )

R

(4 r 2 dr )   0 R 3

Campo en el eje de un anillo con carga uniforme: Supongamos que una carga q se encuentra uniformemente distribuida en toda la longitud de un anillo de radio R , como el de la figura 8. Consideremos una carga “puntual” dq , contenida en una longitud diferencial ds . Esta carga diferencial, produce en un punto a una distancia z sobre el eje del anillo un campo diferencial dE . La magnitud del campo dE , viene dada por (2.5) con dq como carga puntual

dE 

1

 ds

4 0 r

2



 ds

(2.17)

4 0  z 2  R 2 

Analizando la simetría: al sumar las contribuciones de todas las componentes radiales, estas se cancelan, no así las componentes a lo largo del eje z. z z  Como: ; y cos   , entonces: 1 r z2  R2 2



dEz  R,z

y



z ds



4 0 z  R 2

2



3

(2.18) 2

 , son constantes, por lo que el integral de ds es 2 R y

entonces:

Ez 

qz



4 0 z  R 2

2



3

(2.19) 2

¿Cuál es la dirección de E , cuando z es negativa, cuando q es negativa?

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Figura 8. Anillo de carga.

Si z  R , entonces la ecuación (2.19) se convierte en E z 

1 4 0

q , el campo de z2

una carga puntual. Si z = 0, (2.19) da Ez  0 Un disco de carga Supongamos que un disco cargado de radio R , con una distribución uniforme de carga en su superficie, tiene una densidad de carga  , figura 9. El campo en un punto a una distancia z sobre el eje del disco, lo encontramos considerando el disco formado por un número muy grande de anillos concéntricos, los cuales contribuirán al campo total. Un anillo de radio w y ancho dw “carga puntual”, tendrá una carga total dada por (2.13): dq   dA    2 w dw (2.20)

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Figura 9. Disco cargado.

Su contribución al campo total se encuentra reemplazando en la expresión para el campo en el eje del anillo (2.19), R por w y q por (2.20).

dEz 

z 2 wdw 4 0  z 2  w2 

3

 2

3 z 2 z  w2  2  2w  dw  4 0

Integrando en la variable w entre 0 y R , el radio del disco, obtenemos:

Ez 

  1  2 0  

  z 2  R 2  z

(2.21)

La que es válida solamente para z  0 . Para R  z , el segundo término dentro del radical tiende a cero, entonces (2.18) tiende a: Ez 

 2 0

(2.22)

Que corresponde al campo de una lámina de carga uniforme de extensión infinita, lo mismo resulta si z  0 en (2.21), o sea puntos muy cercanos al disco. Si z  R , puntos muy alejados del disco, entonces (2.21) se reduce a la expresión del campo de una carga puntual.

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Campo de una barra infinita con carga uniformemente distribuida. Una distribución lineal uniforme de carga infinita, con densidad de carga  , produce un campo eléctrico alrededor de la línea con simetría cilíndrica. Un elemento de carga (carga puntual) de longitud dz , sobre la barra, en una posición z , desde el origen, produce en el punto P un campo de magnitud dE , dado por la ley de Coulomb, que según la figura 10 y la ecuación (2.5) da: dE 

dq 1  dz  2 2 4 0 r 4 0 y  z 2 1

(2.23)

Donde dq   dz .

Figura 10. Barra infinita con carga

De la simetría se deduce que las componentes en z se cancelan, entonces: Ey   dE y   cos  dE ; con z variando desde   hasta   . Integrando desde cero hasta infinito, multiplicamos la integral por 2 y cambiando de variable de integración, z por  , tenemos: dz  y sec2  d z  y tan 

Eliminamos el subíndice para generalizar; e integrando tenemos:

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E

 2 0 y

(2.24)

Para un punto más general, a una distancia r desde la barra:

Donde:

E

 2 0 r

r

x2  y 2

(2.25)

2.6 UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO. ¿Qué sucede cuando colocamos una partícula cargada en un campo eléctrico conocido? Para estudiar el movimiento de la partícula, todo lo que necesitamos es la 2ª Ley de Newton, donde la fuerza resultante incluye a la fuerza eléctrica y a cualquier otra fuerza que pudiera actuar. Por simplicidad comenzaremos con el estudio de una fuerza constante, es decir aquella producida por un campo eléctrico uniforme (campo entre dos placas conductoras conectadas a las terminales de una batería). Problema muestra. Una gota de aceite de radio R  2,76  m y densidad   920 kg m3 se mantiene en equilibrio bajo la influencia combinada de su peso y de un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo de magnitud E  1.65  10 6 N C , como se muestra en la siguiente figura. a) b)

Calcule la magnitud y el signo de la carga en la gota. Exprese el resultado en términos de la carga elemental e . La gota es expuesta a una fuente radiactiva que emite electrones. Dos electrones chocan con la gota y son capturados por ella, cambiando su carga en dos unidades. Si el campo eléctrico permanece con su valor constante, calcule la aceleración resultante de la gota.

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Como la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la gota debe ser hacia arriba para equilibrar al peso de la gota, la carga de la gota debe ser negativa (campo eléctrico hacia abajo). Las magnitudes del peso de la gota y de la fuerza electrostática deben ser iguales: entonces, q  mg E   4.8  10 19 C mg  qE Como q  ne entonces, n  q e  3 cargas electrónicas. Si se agregan dos cargas electrónicas, la nueva carga de la gota es q,  5e , o sea q,   8.0  10 19 C . La aceleración la encontramos aplicando la segunda Ley de Newton y tomando en cuenta que la gota se acelera hacia arriba, ya que la fuerza eléctrica es mayor que el peso de la gota; la dirección hacia arriba será positiva, entonces:

q, E  mg  ma

a  q, E m  g  6.5 m s 2

Problema muestra. La figura muestra el sistema de electrodos desviadores de una impresora de chorro de tinta. Una gota de tinta cuya masa m es de 1.3  10 10 kg tiene una carga q de -1.5  10 -1 C y entra al sistema de placas desviadoras con una velocidad v  18 m s . La longitud L de estas placas es de 1.6 cm , y el campo eléctrico E entre las placas es de 1.4  10 6 N C , ¿Cuál es la desviación vertical de la gota en el extremo alejado de las placas?. No considere el campo eléctrico variable en los bordes de las placas.

v El movimiento de la gota se asemeja a un tiro parabólico, el movimiento horizontal a velocidad constante y el movimiento vertical a aceleración constante, proporcionado por el campo eléctrico uniforme entre las placas. Los desplazamientos vertical y horizontal están dados por:

y  1 at 2 y L  vt 2

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Si despreciamos la aceleración de la gravedad, entonces a  q E m hacia arriba y eliminando a t de las ecuaciones anteriores, tenemos:

y

qEL2  0.64 mm 2mv 2

2.7 UN DIPOLO EN UN CAMPO ELÉCTRICO. El momento dipolar eléctrico es un vector de magnitud p  qd y está dirigido desde la carga negativa hacia la carga positiva, figura 11 (a). Si colocamos a un dipolo en un campo eléctrico uniforme, de magnitud E , el cual es producido por un agente externo que no se muestra, las cargas experimentaran fuerzas iguales en magnitud, pero, en direcciones opuestas, por lo tanto el dipolo no sufre un movimiento de traslación. De la figura 11, podemos ver que existe un momento de torsión sobre el dipolo producido por la acción del campo, a pesar que la fuerza resultante es cero. Este momento puede calcularse como un par de fuerzas, cada una de ellas de magnitud F  qE , con una separación entre sus líneas de acción de d sen  .

En forma vectorial: 





  p E La dirección del momento es hacia adentro del plano de la figura.

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(2.27)

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Figura 11. Un dipolo en un campo uniforme

El momento dipolar tiende a alinearse con la dirección del campo, el trabajo realizado por el campo al rotar al dipolo desde una posición inicial  0 hasta una posición cualquiera, se encuentra por: W     d 





  d   pE sin  d  pE  cos  cos 0 

0

(2.28)

0

El signo menos resulta por que el torque hace que el ángulo θ, disminuye. El cambio de energía potencial del sistema campo-dipolo es:

 

U  U    U  0   W   pE  cos   cos 0 

(2.29)

 

Arbitrariamente  0  90 y U  0 es cero, entonces: U   pE cos    p  E

(2.30)

Preguntas y problemas para el estudiante: 1. Considere un cuerpo con un dipolo inducido. Si el cuerpo está en un campo eléctrico no uniforme (más intenso en una región que en otra) ¿se esperaría que el cuerpo sea atraído a la región de campo eléctrico más intenso, o empujado a la región de campo de campo eléctrico más débil? 2. Un electrón se ve forzado a moverse en el eje de un anillo de radio R y con carga q uniformemente distribuida, demuestre que el electrón puede efectuar pequeñas oscilaciones a través del centro del anillo, con una frecuencia dada por

2.8 EL FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL El flujo  , es una propiedad de cualquier campo vectorial. En el caso de un fluido en movimiento, el campo de velocidad da la velocidad en los puntos por los que fluye el fluido; representa al flujo del fluido; el campo no está fluyendo sino que es una UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

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representación fija del flujo. Supongamos un flujo de fluido incompresible, estacionario y uniforme, figura 12. Imaginemos que se coloca en la corriente un alambre doblado en forma de espira cuadrada de área A, figura 12 (a). Podemos considerar el flujo real de las partículas materiales o bien el flujo del campo de velocidad a través de la espira. Cuando la superficie de la espira es perpendicular al campo de velocidad, la magnitud del flujo está dada en términos del gasto volumétrico del flujo de fluido.   vA (2.31) Donde v es la magnitud de la velocidad en la ubicación de la espira, figura 12 (a). El flujo puede considerarse como la rapidez con la cual pasa el fluido por la espira; es conveniente considerarlo como una medida del número de líneas de campo que pasan a través de la espira.

Figura 12. Líneas de corriente, fluido estacionario e incompresible

Si la dirección de la velocidad no es perpendicular al plano de la espira, el número de líneas de campo que pasan por la espira inclinada es el mismo que el que pasa a través de la superficie proyectada a un plano perpendicular a la dirección del campo de velocidad; A cos  , figura 12 (b). Así la magnitud del flujo es:

  vA cos 

(2.32)

Si la espira se gira de manera que el plano sea paralelo a la dirección del campo figura 12 (c), entonces el flujo seria cero, correspondiendo a   90 en (2.32). La ecuación (2.32) puede escribirse como el producto escalar entre el vector de campo y un vector de superficie perpendicular al plano de la espira, es decir: v A

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(2.33)

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La dirección positiva de A se determina con la regla de la mano derecha y si se trata de una superficie cerrada, la dirección positiva es la de la normal hacia fuera. Una superficie cerrada se puede descomponer en varias superficies individuales, figura 12 (e) y el flujo vendrá dado por:

  v  A

(2.34)

El resultado de aplicar (2.34) a la superficie cerrada en la figura 12 (e) daría cero, ya que el mismo número de líneas que entra a la superficie (flujo negativo) sale de ella (flujo positivo), dando un flujo neto de cero. El flujo es una cantidad escalar. Si el campo no es uniforme y las superficies no son planas, entonces consideramos cualquier superficie compuesta de un número infinito de elementos diferenciales de superficie que serían aproximadamente planos. La ecuación (2.34) se convierte en una integral sobre la superficie, es decir:    v  dA

(2.35)

La dirección positiva de dA es la de la normal hacia fuera de la superficie cerrada. El flujo puede ser positivo, negativo o cero a través de una superficie abierta o cerrada. 2.9 EL FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO. Se define el flujo de campo eléctrico de la misma manera que el flujo de fluido, en función del número de líneas que atraviesan una superficie; ya que en el caso electrostático no hay nada que fluya. Para campos uniformes y superficies planas:

E   E  A

(2.36)

El flujo de campo eléctrico es un escalar cuyas unidades son  N m 2 C  . Si el campo es perpendicular a la superficie, θ = 00 , figura 13, la ecuación (2.36) da sencillamente:

  EA cos  EA

(2.37)

En la figura 14 se muestra el caso en que el campo no es perpendicular a la superficie, el flujo eléctrico es igual al flujo en la proyección vertical de la superficie inclinada, Acos .

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Figura 13. Campo perpendicular a la superficie.

Figura 14. El campo no es perpendicular a la superficie.

La Ley de Gauss trata del flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que en forma más general, considera campos no uniformes y superficies de forma arbitrarias, como la que se muestra en la figura 15. Dividimos la superficie en pequeños cuadrados (elementos de superficie) de área A , lo suficientemente pequeños para considerarlos planos, la dirección A es normal hacia fuera, E puede considerarse constante en cada cuadrado. Las contribuciones al flujo total de los diferentes elementos de superficie, puede ser positivo, negativo o cero, según sea el valor de  , el ángulo que forma el vector de campo eléctrico con el vector de superficie. Como puede verse en la figura 15 en el elemento de superficie etiquetado con 1, el flujo es hacia fuera de la superficie, es decir que   90º, allí el flujo es positivo. En el elemento de superficie etiquetado con el número 2, donde   90 , el flujo es cero; finalmente en el elemento de superficie con la etiqueta 3, el flujo es hacia adentro, o sea que   90º, allí el flujo es negativo.

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Figura 15. Superficie cerrada de forma arbitraria y campo no uniforme

De (2.36), se obtiene el flujo eléctrico total

 E   E  A

(2.38)

Si hacemos que el número de cuadrados sea muy grande, A  dA . Entonces, el límite diferencial de (2.38) se convierte en una integral cerrada de superficie y el flujo total es: (2.39) E   E  d A El flujo puede calcularse para cualquier superficie, abierta o cerrada, la ley de Gauss, a cambio, se refiere únicamente a superficies cerradas. Problema muestra. En la siguiente figura, se muestra un cilindro hipotético, cerrado de radio R , inmerso en un campo eléctrico uniforme E ; su eje es paralelo al campo. ¿Cuál es  E en esta superficie cerrada?

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El flujo total se escribe como la suma de tres términos: una integral en a) la base de la izquierda del cilindro, b) la superficie cilíndrica y c) la base de la derecha:

En la base de la izquierda, E es constante en todos los puntos de la superficie y  es 180°, entonces la integral en a) es  EA , donde A    R 2  es el área de la superficie de cualquiera de las bases del cilindro. En la base de la derecha  es cero en todos los puntos, así la integral en c) es  EA ; en la pared cilíndrica  es 90°, entonces la integral en b) es cero y la suma de las tres contribuciones al flujo total es cero, el mismo número de líneas que entra sale de la superficie cerrada, es decir:

Observar que a pesar que la superficie se encuentra inmersa en un campo eléctrico, el flujo total es cero y la carga encerrada por la superficie es cero. 2.10 LA LEY DE GAUSS. Consideremos una carga puntual q , en el centro de una superficie esférica de radio r , como se muestra en la figura 16 y calculemos el flujo eléctrico total a través de la superficie; como E y dA son paralelos (el campo es perpendicular a la superficie), el producto escalar E  dA es el producto EdA ; como E es constante en todos los puntos de la superficie, aplicando la Ley de Coulomb tenemos: q q (2.40)  E   E  d A  E  dA  4 r 2  2 0 4 0 r la que se puede escribir como:



0  E  d A  q Donde q representa la carga encerrada por la superficie.

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

(2.41)

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Podemos generalizar los resultados de los ejemplos anteriores y (2.38) para cualquier superficie y distribución de carga y enunciar la Ley de Gauss de la siguiente manera:

Figura 16. Una carga q , encerrada por una superficie esférica

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada por la superficie.

 0  E  d A  qenc

(2.41)

Este enunciado es independiente de la forma de la superficie, es decir, que la superficie que encierre a q no debe ser necesariamente esférica, en la figura 17, se muestra 3 superficies diferentes, S1 , S2 y S3 ; todas encierran a la carga q , por lo tanto el flujo eléctrico neto para cualquiera de ellas es q /  0 .

Figura. 17. La Ley de Gauss es independiente de la forma de la superficie cerrada.

En la figura 18, podemos ver que la carga q , se encuentra afuera de la superficie cerrada, por lo tanto la Ley de Gauss confirma que el flujo neto a través de esta superficie es cero, el número de líneas que entra a la superficie, es igual al número de líneas que sale de ella, entonces el flujo positivo se compensa con el flujo negativo.

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Figura 18. Flujo neto cero, la carga se encuentra afuera de la superficie gaussiana.

2.11 UN CODUCTOR CARGADO AISLADO. La Ley de Gauss nos permite probar un teorema importante acerca de un conductor cargado aislado. Una carga en exceso en un conductor aislado se traslada por completo a la superficie exterior del conductor. Ninguna de las cargas en exceso se encuentra en el interior del cuerpo conductor. La figura 19, muestra un conductor metálico cargado en condiciones electrostáticas, E  0 en el interior del conductor, de otra manera no se alcanzaría el equilibrio. En una superficie gaussiana dentro del conductor, muy cerca de su superficie exterior, el flujo es cero y así también la carga encerrada por la superficie; lo mismo sucede si el conductor tiene una cavidad. En la figura 20, consideramos una superficie gaussiana en forma de pequeño cilindro que justamente encierra a una pequeña porción de la superficie exterior del conductor metálico cargado; E es perpendicular a la superficie del conductor y muy cerca de ella, aplicando la Ley de Gauss a esta superficie, encontramos que la única porción de la superficie gaussiana que contribuye al flujo, es la base del cilindro afuera del conductor. Dando la integral de superficie cerrada:

 0  E  d A   0 EA  qenc   A Donde  es la carga por unidad de superficie y  A la carga encerrada por el cilindro gaussiano. Esto lleva a una relación de proporcionalidad directa entre la magnitud del campo y la densidad superficial de carga: E   0

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(2.42)

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Figura 19. Conductor metálico cargado.

Figura 20. Superficie gaussiana para encontrar el campo en la superficie de un conductor cargado.

Problema muestra: La magnitud del campo eléctrico promedio normalmente presente en la atmósfera de la tierra justo arriba de su superficie es de unos 150 N C , dirigido hacia abajo. ¿Cuál es la carga superficial neta total que contiene la tierra?. Suponga que la tierra sea un conductor. La magnitud de la densidad superficial de carga se obtiene de (2.31) dando:    0 E  1.39  10  9 C m 2 Como el campo es dirigido hacia abajo, la densidad de carga es negativa, correspondiendo a una carga neta negativa y suponiendo la superficie de la tierra esférica, tenemos: q    4 R 2    6.8  10 5 C , donde R  6.37  106 m , el radio de la tierra. 2.12 APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS La Ley de Gauss se aplica a cualquier superficie cerrada, pero es de gran utilidad para cálculo del campo eléctrico cuando la distribución de carga o la distribución de líneas de fuerza presentan alta simetría. Por ejemplo una distribución de carga con simetría esférica, de cuerpos conductores o no conductores, simetría cilíndrica o campos uniformes. UCB. FIA. UES. Ing. Edgar Rodríguez.

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En estos casos, las condiciones que la superficie gaussiana debe cumplir para el cálculo del campo eléctrico, son: El campo debe ser constante en todos los puntos de la superficie; además la dirección debe ser perpendicular o tangente a la superficie, para que el producto escalar , sea el producto de las magnitudes o cero respectivamente; si este producto no es cero, la magnitud de E se saca del signo de integración y la integral que queda es el área de la superficie gaussiana. Campo de una línea infinita de carga: En la figura 21, se muestra la superficie gaussiana adecuada para calcular el campo alrededor de una distribución lineal de carga infinita; la distribución de líneas de fuerza presenta simetría cilíndrica, por lo tanto la superficie que escogemos es un cilindro de radio r y altura h . La densidad de carga es  . Las bases circulares no contribuyen al flujo, es decir el flujo a través de ellas es cero, el campo es (tangente en las bases) de dirección radial. La magnitud del campo solo depende de la distancia r , entonces es constante en todos los puntos de la superficie cilíndrica y la integral de superficie es el área de la superficie lateral; la carga encerrada por ella es  h , es decir:

0  E  d A  q

 0 E  2 rh    h

E

 2 0 r

El resultado anterior se obtuvo aplicando la ley de Coulomb en la unidad anterior, lo que significó un mayor esfuerzo geométrico y matemático.

Figura 21. Superficie gaussiana para el cálculo del campo de una distribución lineal de carga infinita.

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Campo de una lámina infinita cargada. Para el cálculo del campo eléctrico en las cercanías de una lámina muy grande, con carga uniformemente distribuida en la cual la densidad superficial de carga es  , escogemos como superficie gaussiana un cilindro de longitud muy pequeña y con bases de área A , orientado de forma que el campo es perpendicular a las bases y tangente a la superficie lateral del cilindro, figura 22, por lo tanto solo las bases contribuyen al flujo y la aplicación de la ley de gauss da:

0  E  d A  q

 0  EA  EA   A Este resultado también significó mayor esfuerzo aplicando la ley de Coulomb; en los casos en los que no se presente la simetría mencionada, la ley de Gauss no es aplicable. Un cascaron esférico cargado. La figura 23, muestra un cascarón esférico de espesor despreciable, con una carga uniformemente distribuida q , como si se tratara de la superficie cargada de un globo esférico de radio R . Queremos determinar el campo eléctrico interior y exterior al cascarón esférico; por la simetría esférica de la distribución de carga, el campo es radial, por lo tanto una superficie gaussiana adecuada será una esférica.

Figura 22. Superficie gaussiana para el cálculo del campo de una distribución superficial de carga infinita.

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Aplicando Gauss para la superficie S 1 , donde r  R , obtenemos:

 0 E  4 r 2   q , Entonces E 

q 4 0 r 2

Para la superficie S 2 donde r  R . E  0 . El campo para puntos exteriores de la distribución esférica es como si toda la carga estuviese concentrada en su centro; y para puntos interiores a la distribución de carga en la superficie del cascarón, el campo es cero; de forma que el cascarón no ejercería ninguna fuerza electrostática sobre una carga colocada dentro de él.

Figura 23. Cascarón esférico de carga.

Distribución de carga esféricamente simétrica. En una distribución de carga volumétrica (no conductor), si la densidad de carga  en una esfera de radio R , es solo función de r (simetría esférica), el campo eléctrico tiene dirección radial. El campo en puntos exteriores a la distribución puede determinarse aplicando la ley de Gauss para una superficie esférica de radio r  R , tal como muestra la figura 24 (a). q Esto da: . E 4 0 r 2 Donde q es la carga total de la esfera; es decir, como si la carga estuviera concentrada en el centro de la esfera. Para puntos dentro de la distribución, o sea r  R , la carga encerrada por una superficie esférica de radio r , como se muestra en la figura 24 (b), es una porción de la carga total q , digamos

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q entonces:

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Figura 24. Distribución volumétrica esférica de carga.

 0  E  d A   0 E  4 r 2   q

o sea: E 

q 4 0 r 2

Para calcular q , debemos conocer   r  e integrar (2.12) en el volumen encerrado por la superficie gaussiana. Si consideramos que la carga esta uniformemente distribuida, la densidad de carga es constante y podemos establecer la siguiente relación entre la carga encerrada y la carga total: q q  3 4 3  r  4 3  R 3  r Luego: q  q   R

3

entonces: E 

1 4 0

qr R3

(2.32)

Lo que daría cero para r  0 En puntos interiores a la distribución el campo es directamente proporcional a r ; en puntos fuera de la distribución, el campo es como el de una carga puntual en el centro de la misma; en la superficie de la distribución r  R , ambos resultados coinciden. En la figura 25, se muestra la variación de E con respecto a r , la distancia desde el centro de la distribución esférica de carga volumétrica.

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Figura 25. E como una función de r , distancia desde el centro de la distribución esférica de carga volumétrica. Preguntas y problemas para el estudiante. 1. ¿Cambiaria el flujo a través de la superficie esférica de la figura 16, si se tiene la misma carga dentro de un cubo con la misma dentro? ¿y dentro de un cilindro? 2. Una superficie gaussiana esférica tiene 1.00 m de radio y tiene un pequeño agujero de 10 cm de radio. En el centro de esta superficie esférica se coloca una carga puntual de 2.00 x 10-9 C. ¿Cuál es el flujo que atraviesa la superficie? 3. Una carga puntual q está en el centro de un cascarón conductor esférico sin carga. ¿Cuánta carga hay en la superficie interna del cascarón? ¿y en la superficie externa? a) 0,0 b) q,0

c) –q,0 d) –q, q

e) q,-q

3. Un campo eléctrico horizontal uniforme tiene dos líneas de campo. Supóngase que se puede introducir una esfera de cobre, sin carga, en ese campo eléctrico. ¿alterará eso la dirección de las líneas de campo? 4. La figura muestra un modelo del átomo de helio, propuesto por Thompson (Z=2). Dos electrones están incorporados en el interior de una esfera uniforme de carga positiva 2e. Calcular la distancia d entre los electrones de modo que la configuración presente equilibrio estático.

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