Calculos Con Complejos Con TI-83

CALCULADORA GRÁFICA GRÁFICA (TI-82, TI-83 y TI-83 Plus)

6 NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos los hemos utilizado en esta unidad en forma binómica y en forma polar. Con ayuda de la calculadora, podrás pasar fácilmente de una forma a la otra. Además, los modelos TI-83 y TI-83 Plus incorporan en el menú MODE la posibilidad de que la calculadora trabaje con números complejos en forma binómica o polar y el menú MATH CPX otras posibilidades para pasar de una forma a otra.

De lo que viene a continuación, los ejemplos 1, 2, 3 y 4 podemos ejecutarlos con cualquiera de los modelos. Los siguientes solo se pueden aplicar con TI-83 y TI-83 Plus.

EJEMPLO 1. Módulo de un número complejo Halla el módulo de  z  = 3

4i .

Las partes real e imaginaria de  z  son 3 y −4, respectivamente. Para obtener su módulo,  pulsa: 2nd [ANGLE] 5 3 , ( −) 4 ) ENTER  . Aparecerá en pantalla:

Por tanto, |  z | = 5.

Unidad 6. Números complejos.

1

EJEMPLO 2. Paso de forma binómica a forma polar Expresa en forma polar los números complejos: a) 3 +i  b) 3i  c) 5

a) Identifica 3 1 .

3

+i

con el par compuesto por su parte real y su parte imaginaria:

 ,

La forma polar está compuesta por el módulo, r , y el argumento, θ . Con la calculadora funcionando en MODE Degree el valor del argumento, θ , lo obtendremos en grados. Para obtenerlo en radianes tenemos que pulsar MODE y seleccionar Radian. Para obtener el módulo pulsa: 2nd [ANGLE] 5

2nd [

] 3

,

1

)

ENTER  .

1

)

ENTER .

Aparecerá en la pantalla:

→ r = 2

Para obtener el argumento, pulsa: 2nd [ANGLE] 6

2nd [

] 3

,

Aparece en la pantalla:

→ θ = 30°

Por tanto:

3

+i =

2

30



 b) Identifica la parte real y la parte imaginaria de  z = 3i: (0, 3) Obtén el módulo pulsando: 2nd [ANGLE] 5

0

,

3

)

ENTER  .

Aparecerá en la pantalla:

Unidad 6. Números complejos.

2

→ r = 3

Para obtener el argumento pulsa: 2nd [ANGLE] 6

0

,

3

)

ENTER  .

Aparece en la pantalla:

→ θ = 90°

Por tanto:

 z  = 3i = 3



90

c) Identifica la parte real y la parte imaginaria de −5: (−5, 0). Obtén el módulo pulsando: 2nd [ANGLE] 5

(−)

5

,

0

)

ENTER  .

Aparecerá en la pantalla:

→ r = 5

Para obtener el argumento, pulsa: 2nd [ANGLE] 6 (−) 5 , 0 )

ENTER .

Aparece en la pantalla:

→ θ = 180°

Por tanto:

−5 = 5

180



EJEMPLO 3. Paso de forma polar a forma binómica Expresa en forma binómica:

Unidad 6. Números complejos.

3

a)

3

b)

5 (π   6 ) rad

240



a) Si llamas  x a la parte real del número complejo e  y a la parte imaginaria, veamos cómo se obtiene cada una de ellas: Para obtener la parte real pulsa: 2nd [ANGLE] 7

3

,

2

4

0

)

ENTER  .

)

ENTER  .

Aparecerá en la pantalla:

→  x = −1,5

Para obtener la parte imaginaria, pulsa: 2nd [ANGLE] 8

3

,

2

4

0

Aparece en la pantalla:

→  y ≈ −2,598

Por tanto:  b)

3

240



= −1 ,5 − 2 ,598 i

Prepara la calculadora para trabajar en radianes, seleccionando la opción Radian en MODE . (Pulsa MODE , sitúate en Radian con la tecla y pulsa ENTER ). 

Llama  x a la parte real del número complejo e  y a su parte imaginaria. Para obtener la parte real, pulsa: 2nd [ANGLE] 7

5

,

2nd [ π ] ÷

6

)

ENTER  .

Aparecerá en la pantalla:

→  x ≈ 4,33

Para obtener la parte imaginaria, pulsa:

Unidad 6. Números complejos.

4

4

2nd [ANGLE] 8

5

2nd [ π ] ÷

,

6

)

ENTER  .

Aparecerá en la pantalla:

→  y = 2,5

Por tanto:

5π   6

= 4 ,33 +2 ,5i

EJEMPLO 4. Raíces de una ecuación Estudia, representando la parábola correspondiente, si las siguientes ecuaciones van a tener soluciones reales o no reales: a) b)

2

2 x  − 5 x  + 1 = 0  x 

2

− 2 x  + 5 =

0 2

a) Representa gráficamente la función  y = 2 x −5 x +1 . Para ello, pulsa Y= (borra las funciones que haya con CLEAR y muévete por la pantalla con , , . y ). Introduce la función escribiendo: 2 X, T, θ

x2

− 5

X, T, θ

+

1 .

Pulsa ZOOM 6 (esto hace que  x e  y tomen valores entre −10 y 10 con escala 1), y te aparecerá la gráfica de la parábola. Verás que corta en dos puntos al eje  X ; por tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales. 2

 b) Representa la función  y = x −2 x +5 . Para ello, pulsamos Y= , borra las funciones que haya con CLEAR , y escribe: X, T, θ

x2

− 2

X, T, θ

+

5 .

Pulsamos GRAPH y te aparecerá la gráfica de la función. Observa que la parábola no corta al eje X , por tanto, las soluciones de la ecuación son complejas no reales.

EJEMPLO 5. Introducir en la calculadora números complejos en forma binómica y en forma polar

Unidad 6. Números complejos.

5

Para trabajar con números complejos hemos de pulsar la tecla MODE , bajar a la  penúltima línea y colocar el cursor sobre la opción a+bi (forma binómica) o re^ i (forma polar). Podemos seleccionar cualquiera de los dos formatos. En los dos casos es posible introducir números como a+bi, o bien como re^ θ i, obteniendo los resultados en la forma que tengamos seleccionada. Forma binómica Forma polar   a + bi re ^ θ i

↑ Parte real

↑

↑

Parte imaginaria

↑

Módulo

Argumento

Además, tener seleccionado Radian o Degree implicará que los argumentos, θ , que introduzcamos deberán estar en radianes o grados, respectivamente, y los resultados que obtengamos también estarán expresados en esa unidad de ángulos. Pulsando MODE y desplazando el cursor selecciona Degree y a+bi. Pulsa 2nd [QUIT] CLEAR para situarte en la primera línea de la pantalla principal. a) Introducir el número complejo 1 - 3i  .

Teclea

1

− 2nd

3

)

2nd [i]

Pulsa MATH para seleccionar cpx, y Obtendrás el número en forma polar: 



7

ENTER .

En la expresión 2e^( −60i), 2 es el módulo y −60° = 300° es el argumento. Vamos a obtener ahora el conjugado, el módulo y el argumento a partir de la forma  binómica. Teclea: MATH MATH MATH













1 5 4

1 1 1

− 2nd − 2nd − 2nd

3 3 3

) ) )

2nd [i] ENTER . 2nd [i] ENTER . 2nd [i] ENTER .

Vemos en la pantalla:

b) Introducir el número complejo en forma polar 3 120

Unidad 6. Números complejos.

6

El módulo del número es 3 y su argumento 120 °. Tendremos que introducirlo como 3e^(120i). Teclea

3

2nd [ex] 1

2

0

2nd [i] ) .

Al pulsar ENTER aparece un número complejo en forma binómica que no es igual  a 3120°

EJEMPLO 6. Operaciones con números complejos Efectúa las operaciones

  2   a) 6 − 3 5 + i     5  

b)

( − 3i ) 2 ( 1 − 2i ) 2 + 2i 

Con la calculadora en modos Degree y a+bi, teclea a) 6

− 3

(

5

+

(

÷

2

5

)

2nd [i] )

ENTER  .

El resultado de la operación en forma polar lo conseguimos tecleando: 2nd [ENTRY] MATH





7

ENTER  .

El módulo es > r = 21,03... y para ver el argumento pulsamos irá apareciendo a la derecha de la pantalla, θ = −172,4...°

b) ( +

−() 2

3 2nd [i] ) x2 ( 2nd [i] ) ENTER  .

1

− 2

2nd [i] )



÷

varias veces. Este

(

2

.

El resultado es 2.25+6.75i. Si quieres ver las partes real e imaginaria en forma de fracción, pulsa MATH ENTER :

Unidad 6. Números complejos.

1 .

7

Si ahora pulsas MATH





7

ENTER , verás el resultado en forma polar.

El módulo es r = 7,11..., y el argumento, θ = 71,56... Efectuar la operación

3

1 − i  1 + i 

Averiguamos primero el valor del cociente tecleando: (

1

− 2nd [i] )

÷

(

1

+

2nd [i] )

ENTER  .

Lo pasamos a forma polar pulsando: MATH

7 .



Por tanto, hemos de hacer  Teclea MATH

4

3

1

−90



.

2nd [ANS] MATH





7

ENTER .

La calculadora devuelve el resultado 1e^( 30i), es decir, 1−30°, que es una de las tres raíces cúbicas de −i. o

Las otras dos las obtenemos sumándole al argumento α = −30° los ángulos

360

y

3

o

360

⋅2. 3 Obtenemos las tres raíces, que son: 1 30

190

1210

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Puedes realizar o comprobar los resultados de los ejercicios de la unidad. Por ejemplo, de los números 3, 14, 18, 19 y 20.

Unidad 6. Números complejos.

8