CálculoII(TRABALHO)

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Priscilla Barros Feitosa

Trabalho de aplicações de integrais duplas e triplas t riplas

Barra do Bugres 2011

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Priscilla Barros Feitosa

Trabalho de aplicações de integrais duplas e triplas t riplas

Trabalho apresentado para disciplina de cálculo II, do curso de Engenharia de Produção, da Universidade Universidade do Estado de Mato Grosso, ministrado pelo professor Diego Piason.

Barra do Bugres 2011

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS................................................................... 2 1.1 CÁLCULO DE MASSA ...................................................................................................................... 2 DETERMINAÇÃO DA MASSA ................................................................................................................ 5 1.3 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE MASSA ................................................................................. 6 1.4 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA ...................................................................................... 6 1.5 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA ............................................................................... 7

APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS .................................................................. 9 2.1 CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE ....................................................................................... 10 2.2 MOMENTOS E CÁLCULO DE MASSA ............................................................................................ 14

CONCLUSÃO ........................................................................................................... 21 REFERÊNCIAS......................................................................................................... 22

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INTRODUÇÃO Este trabalho tem por finalidade, explicar as aplicações das integrais duplas e triplas demonstrando conceitos usados em outras disciplinas, como por exemplo, física e mecânica. Usando imagens e exemplos de fácil entendimento ao leitor.

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APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS

 A Integral dupla é simplesmente a continuidade, extensão, da integral simples vista em cálculo I. A integral dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável (x e y), e considerando as demais como constantes.  Além disso, pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada. Temos que, determinar área, centro de massa, momento de massa e momento de inércia, são aplicações de integrais duplas.

1.1 CÁLCULO DE MASSA

 Antes de adentrar nas fórmulas de cálculo de massa, é importante que se tenha alguns conceitos de centro de massa em mente. Cada disciplina (cálculo, física, mecânica etc) pode representar o centro de massa de formas diferentes. Em física, pode-se dizer que centro de massa é o ponto de aplicação do peso do corpo (p=massa x aceleração da gravidade). Centro de massa é um conjunto de partículas (m1,m2,m3), cujas posições podem ser representadas pelos vetores posição (r 1,r 2,r 3) respectivamente, em relação a um referencial inercial (posições relativas a um observador que seja ele próprio uma partícula ou sistema livre). É uma posição cujo vetor é assim definido:

Onde M, é a massa total do sistema, i.e. a soma de m 1,m2,m3 ... mi, sendo i o número do conjunto de partículas. PROBLEMA PROPOSTO

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Três pontos materiais,  A, B e D, de massas iguais a m estão situados nas posições indicadas na figura ao lado. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de pontos materiais.

RESPOSTA

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Para uma melhor compreensão do que é CENTRO DE MASSA, podemos analisar o seguinte fato: Se pegar um cilindro e lançá-lo para o alto ele irá girar, há um ponto que não gira, mas define a trajetória parabólica. Veja a figura abaixo.

O movimento de um corpo rígido, ou de um sistema de corpos rígidos, pode ser representado pelo movimento do centro de massa desse corpo ou sistema. Pra isso, admite-se que toda a massa do corpo, ou do sistema, esteja concentrada no centro de massa e que nele estejam aplicadas todas as forças externas. Essa imagem é transferida para um plano cartesiano, juntamente com as coordenadas das partículas (como foi feito no exemplo acima), permitindo o cálculo do centro de massa.

Outros exemplos: O centro de massa está localizado no bico do pássaro, o que faz com que ele se equilibre. Outra experiência fácil de explicar esse conceito é: Coloque a tampa de uma caneta no chão e escolha dois candidatos a tentar pegar a tampa, de preferência que seja um homem e uma mulher. As regras são: mãos para trás e

apoiar apenas as “canelas” no chão. O resultado vai ser que: O homem não irá conseguir, pois seu centro de massa se encontra no tórax, e ao tentar pegar perde o equilíbrio, uma vez que seu centro de massa sai do seu ponto de apoio. Com as mulheres é diferente, pois seu centro de massa se encontra nos quadris. (Tome

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cuidado para não escolher uma mulher muito nova, onde seu corpo não está completamente desenvolvido, pois estas ainda não possuem centro de massa definido). Para calcularmos a massa necessita-se saber a DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DA MASSA, A DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA E A DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA.

1.2 DETERMINAÇÃO DA MASSA

Usando conceitos de cálculo, podemos retirar os dados desse plano cartesiano e defini-los em um domínio retangular da seguinte maneira: R= {f(X,Y) ∈ R² / a < x < b ^ c < y < d} Tal que D ⊂ R e Φ(x,y) = * f(x,y), (x,y) ∈ D, e, * 0, (x,y)

D

Considerando a uma participação para o retângulo R dado por: P= P [R]= P [a,b] x P [c,d]. O produto cartesiano das participações P [a,b] e P [c,d] resulta em um pequeno (exemplo na figura abaixo) retângulo onde podemos definir a fórmula:

 A massa da região D, denotada m (D), será a integral dupla da função (x,y) sobre o domínio D ⊂ R², denotada Portanto será definida como o seguinte limite:

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DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE MASSA

Para calcular o momento de massa usa-se as mesmas considerações acima (cálculo de massa). O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite:

E, em relação ao eixo x,

1.4 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA

O centro de massa de uma região plana D

⊂

R² finita, com uma

distribuição de densidade mássica superficial (x, y),

∀(x,

y)

∈

D, é o

ponto (x, y) vetorial definido por:

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DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA  Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório das forças atuantes é nulo, também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular  é conhecida como momento de inércia do respectivo corpo. O momento de inércia da região D em relação ao eixo x e y, respectivamente é:

E, em relação a origem temos:

Talvez, olhando tud o isso, pareça um “bicho de sete cabeças”. Entretanto, na prática é bem simples.

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EXEMPLOS

Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular  com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y.

 (x, y)dA   1  3x  ydA , uma vez que D=

m

RESPOSTA:

D

D

{(x, y)/ 0 < x < 1, 0 < y < 2-2x}

Com isso,

1 22 x

2 2 x

 y2  m    1  3x  y dydx    y  3xy  dx  2  0 0 0 0 1 1 2     2 2 x    dx   2  4x  6x 2  2  4x  2x 2 dx    2  2x  6x  6x 2   2 0   0   1

1

 x  4 8   4  4x 2 dx  4x  4   4   3  3 3  0 0 1

3

E, os momentos são: Mx

  y( x, y)dA   y  3xy  y 2 D

D

1 2 2 x

 0

dA

y2 2   y 3 xy y dy dx    0 0  2  3x 1

y2 2



y3  3

22 x

 0

dx

2 3  2  2x 2   2  2x  2  2 x    dx     3x   2 2 3 0     1   8 8x 3   2 2 3 2  dx    2  4x  2x  6x  12x  6x   8x  8x  3 3   0   1

1

1

10 2 5  14   14      6x  2x 2  x 3 dx   x  3x 2  x 3  x 4  3 3 3 6   3 0 0  



14 3

3

2 3



5 6

 1

5 6



11 6

9

My

  x( x , y)dA   x  3x 2  xy dA D

D

1 2 2 x

    x  3x 2  xy dydx    xy  3x 2 y  x 0 0 0  1 2        2 2 x 2 2 3  dx    2x  2x  6x  6x  x  2   0   1

y2 2

2 2 x

  0

dx

1

  2 x  4 x 2  6 x 3  2 x  4 x 2  2 x 3 dx 0

1

  4 x  4 x 3 dx  2 x 2  x 4 0  2  1  1 1

0

Concluimos que, X 

My m



1 8 3



3 8

e Y

11  6 8 m 3

Mx



11 3 6 8



11 16

Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16).

2 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS

 A integral tripla envolve uma função f(x,y,z) e um sólido S do espaço tridimensional. E, para resolve-la é necessário fazer uma análise da posição dos diferenciais na integral para que o cálculo seja feito na orden correta.  A integração tripla é dada por três integrações simples, cada uma sobre uma variável e considerando as demais como constantes. São ferramentas que podem ser utilizadas para calcular volume, centro de massa, momento de inércia de sólidos, entre outros.

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CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE Em mecânica aplicada e física tem-se que, a terra exerce uma força gravitacional sobre cada partícula que compõe um corpo. Estas forças podem ser  substituídas por uma força equivalente igual ao peso do corpo e aplicada no CENTRO DE GRAVIDADE do corpo. O centróide, também conhecido como baricentro, de uma superficie plana é análogo ao centro de gravidade de um corpo. O conceito de momento de primeira orden de uma superficie é usado para localizar o centróide. O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos materiais (assim como na figura abaixo).  A soma dos momentos dos pesos de todos os pontos materiais em relação aos eixos x, y, z é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eixos.

O centro de gravidade em uma superfície plana, é um ponto localizado na própria figura, no qual se concentra a superfície, é uma medida de distribuição da superfície da figura em relação a eixos arbitrários. Onde,

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E, cg é centro gravitacional. X(vetorial) de G é a soma dos momentos em relação ao eixo y, e de maneira semelhante efetua-se o somatório dos momentos em relação ao eixo para obtermos a coordenada y(vetorial). Para um plano (x,y,z) como por exemplo, a imagem da folha anterior, temos que, embora os pesos não produzam um momento em relação ao eixo z, podemos obter a coordenada Z(vetorial) de G imaginando que o sistema de coordenadas, com os pontos materiais fixos, sofre uma rotação de 90° em torno do eixo x (ou y). Logo, a operação de integração utilizada para resolver o problema é:  A densidade se relaciona com pela equação

p.g,

onde

g

é

a

aceleração

gravitacional:

 As fórmulas resultantes que definem o centróide de um corpo são independentes do peso dele,dependendo apenas de sua geometria.

CENTRÓIDE (VOLUME) Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV (Figura abaixo), a localização do centróide C(x, y, z ) para o volume do objeto pode

ser determinado pelo cálculo dos „momentos‟ dos elementos infinitesimais em relação a cada eixo de coordenadas. As fórmulas resultantes são:

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CENTRÓIDE (ÁREA) De forma análoga, o centróide para a área da superfície de um objeto, como uma placa ou uma concha, pode ser obtido subdividindo-se a área do objeto em elementos de áreas infinitesimais dA e calculando-se os „momentos‟ dessas áreas elementares em relação a cada eixo de coordenadas, isto é:

CENTRÓIDE (LINHA) Se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o formato de um fio, o cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais dL em relação a cada um dos eixos de coordenadas fornece:

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Os centróides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente especificados por meio das condições de simetria. Nos casos em que a forma geométrica tem um eixo de simetria, o centróide dela ficará sobre esse eixo. Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria, o centróide se localizará na intersecção desses eixos. Exemplo:

Localize o centróide do segmento circular do fio,conforme mostra a figura: RESOLUÇÃO: Como

o

arco

é

circular,

serão

usadas

coordenadas polares para resolver o problema.

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É importante lembrar que, a grade diferença entre integral simples, dupla e tripla, é o número de integrações que deve ser feita (1,2 ou3 simples) seguindo as ordens de integração mais adequadas para cada caso (verificar propriedades), ou seja, deve-se ter em mente qual das incógnitas irá integrar primeiro (x, y, ou z).

2.2 MOMENTOS E CÁLCULO DE MASSA Seja T um corpo sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Vamos supor que a densidade de massa (massa por unidade de volume) em um ponto ( x, y, z ) é dada pela função   (x, y, z), contínua em T. Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos aos planos coordenados.

Você toma um elemento de massa dm do corpo e determina o momento de inércia z dm deste elemento, com relação a um plano, sendo z a ordenada do elemento dm com relação ao plano. Então, o momento de inércia com relação ao plano citado é: ∫ (sobre V) z dm

Onde V é volume englobado pela corpo. Se for no espaço tridimensional,

obtemos uma integral tripla do tipo ∫ ∫ ∫ z dx dy dz, onde os limites de integração

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dependem da forma do corpo.

 A coordenada do centro de massa com relação ao plano, é ( ∫ (sobre V) z

dm)/M, sendo M a sua massa. Fazendo isto com relação a 2 planos coordenados, você tem as coordenadas do centro de massa. Quando a massa específica do corpo é consta nte, isto é o mesmo que (∫ (sobre V) z dv)/V, V o volume. Com isso temos a fórmula:

Para os momentos de massa têm-se as seguintes fórmulas: Momento de massa em relação ao plano xy

Momento de massa em relação ao plano xz

Momento de massa em relação ao plano yz

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Logo, a definição das coordenadas do centro de massa é dada por:

MOMENTO DE INÉRCIA  Analogamente podemos definir o momento de inércia, o momento de

inércia está relacionado com rotação, ou seja, quanto maior for o momento de inércia de um objeto mais difícil será iniciar um movimento de rotação para com ele, analogamente à massa, o momento de inércia diz respeito ao quanto o objeto

irá dificultar o movimento de rotação. Conclui-se então que o momento de inércia está diretamente relacionado a inércia rotacional do objeto.

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EXEMPLO Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x +y +z= 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional á distância até o plano xy.  A densidade da massa é dada por  (x, y, z)= kz, onde K é uma constante de proporcionalidade.

Logo, para massa total temos:

2x +y +z= 1 Z= -2x –y +1, logo os intervalos em z são

( -2x –y +1, 0)

Intervalo de (1,0) em y, pode ser notado na imagem. E, em x temos que: para z=0, Z= -2x –y +1 0= -2x –y +1

X= (-y +1)/2

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MOMENTOS XY: Resolvendo esse cálculo obtemos:

XZ: Resolvendo esse cálculo obteremos:

YZ:

O resultado do cálculo é:

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Jogaremos esses resultados (M, Mxy, Mxz e Myz) na fórmula das coordenadas do centro de massa. Cujo resultado vai ser:

EXEMPLO PARA O MOMENTO DE INÉRCIA Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo cilindro x²+y²=9 e pelos planos z=2 e z=4, sabendo que a densidade de massa é igual a (x² +y²)kg/m³.

Por se tratar de uma forma circular, podemos transformar a equação e seus intervalos para coordenadas cilíndricas. Se, r²= x² +y² a função em questão ficará da seguinte forma: O intervalo em Z pode ser verificado facilmente na figura, que é 4 e 2. O raio é 3, pois x²+y²=9

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Logo r²= 9, r=3. (descartar o valor negativo) O ângulo terá intervalo de 2 π e 0, pois o cilindro tem uma volta de 360° (na forma em que está sendo analisado) Resolvendo essa integração temos que o momento de inércia corresponde a:

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CONCLUSÃO Em meus estudos pude notar que os há vários tipos de expressar um mesmo conceito dependendo da disciplina em questão (física ou cálculo, por exemplo). Dessa forma, também há diferentes formas de se resolver o mesmo problema. De acordo com as informações que você tem pode se tornar mais fácil ou, mais complicado. Entretanto, todos deverão chegar ao mesmo resultado.

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REFERÊNCIAS Cálculo de massa, in: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABoGoAC/mecanicafiguras-planas. Acessado no dia 8 de novembro de 2011.

Centro de massa, in: http://pt.wikipedia.org/wiki/Centro_de_massa. Acessado no dia 9 de novembro de 2011.

Centro de massa, in: http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_15.asp. Acessado no dia 9 de novembro de 2011.

Centro de massa, in: http://www.coladaweb.com/questoes/fisica/cendmas.htm.  Acessado no dia 8 de novembro de 2011.

Centro de gravidade, in: http://tef2011projetofisica.blogspot.com/2011/06/centro-demassa-e-centro-de-gravidade.html. Acessado no dia 10 de novembro de 2011.

Centro de massa, in: http://www.youtube.com/watch?v=AupXJkENLQs. Acessado no dia 8 de novembro de 2011.

Centróide, in: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABaE0AL/centro-gravidadecentroide-2-a. Acessado no dia 11 de novembro de 2011.

Centro de massa, in: http://www.infoescola.com/mecanica/centro-de-massa/.  Acessado no dia 10 de novembro de 2011.

Integral dupla, in: www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII/INTEGRAL_DUPLA.doc.  Acessado no dia 10 de novembro de 2011.

Integral dupla, in: http://pt.scribd.com/doc/51562136/19/Algumas-Aplicacoes-daIntegral-Dupla. Acessado no dia 10 de novembro de 2011.

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Integrais triplas e duplas, in: http://coquimdownload.net/diva-flemming-calculo-b2%C2%AA-ed/. Acessado dia 10 de novembro de 2011.