Calculo4 Guia01 2014-I

1 Universidad José Carlos Mariategui Carrera Profesional de Ingeniería Civil Guia 01 de ejercicios de Cálculo IV Fecha: Abril de 2014. —————————————————————————————– I.- Resolver las siguientes ecuaciones 1. 1 + x2 y 0 2. y 2

xy = 0

(2y + xy) y 0 = 0

1

3. ayx2 + by y 0 4. ax2 + b

1=2

5. ay 2 + b

1=2

2

6. ay + b

x = 0 para a; b 2 R; a 6= 0

y0

xy 3 = 0 para a; b 2 R; a 6= 0 xyy 0 = 0 para a; b 2 R; a 6= 0 0

2

x yy = 0 para a; b 2 R; a 6= 0 dy dx

sen x + x2 + ey

7. 2xy

=0

1 x3

10. 2 xy 2 4

+ 2x2 y

2 3

11. xy + 2x y + 3y

5

dy dx

1 y

1 x3

+ 3x2 y

=0

dy dx

=0

3

dy dx

=0

1 y2

dy dx

=0

II.- Encuentre un factor integrante para las siguientes ecuaciones 1. xy + 2x2 + 3y 2 dy dx

2. x + x2 y + 4y 3. 2y 2 +

2y x

20

dy dx

=0

y x

y0 = 0

=0

+ 2xy + 2 +

III.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por separación de variables 1 2

y2

1. x 1 Sol: 1

1 2

2

x

+ 1

2. e y (1 + y 0 ) = 1 Sol: ex = C (1 e 0

x+y

3. y = a Sol: ax + a

x2

dx + y 1

y

y

a > 0; =C

y

2

1 2

1 2

11. a2 + y 2 dx + 2x ax x2 0 y (a) = 0 r a Sol: y = a tan 1 x x+y x y 12. y 0 + sin = sin 2 2 y x Sol: ln tan = C 2 sin 4 2 dy 13. = tan2 (x + y) dx Sol: 2y 2x + sin 2 (x + y) = C 1 x y 14. y 0 = x+y 2 (x + y) Sol: =x+C 2

1 2

dy

) a 6= 1

y (0) = 0 1 + ex = ln +1 2

3. y

dx = x + 4ye dy

2x y

2x

Sol: e y = 8 ln jyj + C

4. x2 + xy x

=

IV.- Veri…car que las ecuaciones son homogeneas y resuelva 1. xdx + (y 2x) dy = 0 Sol: (x y) ln jx yj = y + C (x p 2. ydx + x + xy dy = 0 r x Sol: ln jyj = 2 +C y

=C

5. (1 + ex ) yy 0 = ey ; Sol: (1 + y) e

y a

dy = 0

4. ey 1 + x2 dy 2x (1 + ey ) dx = 0 Sol: 1 + ey = C 1 + x2 y

Sol: x + y = a tan c +

(x + y) n p (x + y) + (x + y) n m+1 p m+1 (x + y) (x + y) Sol: x = + +C n m+1 p m+1 n m 6= 1; p m 6= 1

dy =0 12. x + y + (x ln x) dx

13. 2 xy 3

2

9. (x + y) y 0 = a2 m

1 y2

20y

8. y 0 = ax + by + C; a; b; c 2 R Sol: b (ax + by + C) + a = cebx

10. y 0 + 1 =

dy 8. y 2 + cos x + (2xy + ey ) dx =0

9. 2xy 2 + cos x + 2x2 y +

6. 1 + y 2 e2x dx ey dy (1 + y) dy = 0 p 1 2x Sol: e ey ln 1 + y 2 arctan y = C 2 7. xy 2 y 2 + x 1 dx+ x2 y 2xy + x2 + 2y 2x + 2 dy = 0 Sol: x2 2x + 2 y 2 + 1 e2 arctan y = C

y 2 dx + xydy = 0 y

Sol: y + x = cx2 e x

y)

2 5.

x+

p y2

dy =y dx

xy

Sol: ln jyj =

1 2

x y

2 1

1 2

y +

p

7.

=1

ydx

2

xy dx + x2 dy = 0 x Sol: y = +C ln jyj p dy y 2 + x x2 + y 2 8. = dx xy r y 2 Sol: 1 + = ln jxj + C x dy x2 y 2 9. = dx 3xy 3

10. ( 3x + y

a) Sol: y 3x2 + y 2 = C

x+

a) Sol: x3 tan y + y 4 +

y+

+

x+

2) dy = 0 6 5

y+

a) Sol:

8 5

x3 y 3 + y 3 3y 2 + =C 3 2

x3 y 2 + 3y 2 dy = 0

12. x2 dx

2

8 5

y 3 (x3 +3)

a) Sol: e

V.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exacta y si no usar el factor integrante. x+

2 y

16. (ex + xey ) dx + xey dy = 0 a) Sol: xex+y = C

a) Sol: xy + sin xy = C

x

1

a) Sol: y ln (2x

2) +

1 dy = 0 y

17. dx +

18. 3x2

y

x2 y3

19. x + y 2 dx

2

2

dx + 3x

a) Sol: x3 + 3x2 y

sin y = C

2xydx = 0

2xy + 3y

xy 2 + y 3 = C

1 =C y 2xydy = 0

a) Sol: x ln jxj

a) Sol: ax2 + 2bxy + Cy 2 = C 6. 3x + 6xy

y 2 dy

a) Sol:

dy ax + by = dx bx + cy

2

sin y dy = 0

(x cos y + cos x) dy = 0

a) Sol:x sin y + y cos x = C 5.

x y

a) Sol: xy + y cos y

2) + ln y = C

4. (y sin x + sin y) dx

2 sin x sin ydy = 0

a) Sol: sin x cos2 y = C

2. (y + y cos xy) dx + (x + x cos xy) dy = 0

ydx + ln (2x

+ y2 = C

14. 2y 3 + 2 dx + 3xy 2 dy = 0

15. cos x cos ydx

a) Sol: xy + ln y = C

1

y

xex ) dy = 0

a) Sol: x2 y 3 + 1 = C

dy + ydx = 0 2

3.

=C

13. ex (x + 1) dx + (yey

=C

a) Sol: 2xex

1.

y3 =C x2

11. x2 y 2 dx + x3 y + y + 3 dy = 0 2

6 5

dx+ x3 sec2 y + 4y 3 +

0

2

Sol:

2y 3 x3

3x2 tan y

10.

Sol: (y + 2) + 2 (x + 1) (y + 2) + 3 (x + 1) = C 2y

=C

9. 2xydx + y 2 + x2 dy = 0

1) dx + (x + y + 3) dy = 0

2

q 2 1 + (xy)

a) Sol: exy + xy 2 = C

x2 = C

11. (2x + y + 4) dx + (x

ln y + ln xy +

8. y (exy + y) dx + x (exy + 2y) dy = 0

7. y 2

4y 2

xdy + ydx =0 +q 2 1 + (xy)

a) Sol: ln x

6. x2 + y 2 dx + 2xydy = 0 Sol: x3 + 3xy 2 = C

Sol: x2

xdy xy

y 2 = Cx

20. (sec x + y tan x) dx + dy = 0 2

dy = 0

a) Sol: y sec x + tan x = C VI.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales

3y 2 x2

dy =

3 1. y 0

y cot x =

sin 2x 2

1

a) Sol: y 2 = c (x

a) Sol: x = y 2 (c

2. cos ydx = (x sin y + tan y) dy C cos y

x2 y 0

3. x 1

y2

4.

5. y 0 +

dx dy

cx 1 x2

6.

y = x3 x

y2 +

3

p

2

y 2 arcsin y

1

y

7. cos x

dy dx

8.

2 y

dy dx

y sin x + y 2 = 0 1 = sin x + c cos x y

8.

dy 4 sin2 y = 5 dx x + x tan y

si: y (1) = 1 a) Sol:x4 [c ln (tan y)] = tan y

y x = x x

9. y 0 =

y 2

a) Sol: (x dy

2 + ce y

1

a) Sol: x = 3y 2 ln y + 1 7.

)

a) Sol:ye 2y2 = c

3 x + cx 2

2x = 3y 2

y

dx y x + = dy x y

a) Sol: x4 5

e

x2

1 dx = y (x + y) dy

a) Sol: y = 6. y

a) Sol: x2 = 1

y + ax3 = 0

p a) Sol: x = c 1

2

2)

5. xy 3 dx = x2 y + 2 dy

1 ln (cos y) cos y

a) Sol: y = ax + p

+ (x

4. yey = y 3 + 2xey y 0

a) Sol: y = C sin x + sin2 x

a) Sol: x =

1 2

2)

y3 ; + y2

e2x

a) Sol: y 2 = [c

2) y = x (x + c)

10. y 4

(x + 1) ydx = dx x2 + 4x + 2

a) Sol: y = cex+

x2 2

considerar w = e2x ) dx =

dw zw

2 ln (y)] e2x

2xy dx + 3x2 dy = 0;

y (2) = 1

a) Sol: x2 = y 2 (x + 2) x

VIII.- PROBLEMAS

3 sug. hacer z = sin y

1. La salmuera de un primer recipiente pasa a otro a razón de 2decalitros= m n, y la salmuera del segundo recipiente pasa al primero a razón de 1decalitro= m n; en un principio hay 1 hectolitro de salmuera, conteniendo 20Kg: de sal, en el primer recipiente al cabo de 5 m n : Se supone que en todo momento es homogénea la mezcla de sal y agua en cada recipiente. sol;20=3kg:

VII.- Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli

2. El presidente y el primer Ministro piden café y reciben tazas a igual temperatura y al mismo tiempo. El presidente agrega inmediatamente una pequeña cantidad de crema fria; pero no se toma cafe hasta 10 m n : después. El primer ministro espera 10 m n : y luego añade la misma cantidad de crema fría y comienza a tomarse su café.¿Quién tomará el café más caliente?

9. y 0 cos y + sin y = x + 1; x

a) Sol: sin y = x + ce x2 2

10. y 0 + xy = 2x

a) Sol: y = Ce

1. 3

+2

dy 3 + y = 2x4 y 4 dx x a) Sol: x

2. dx +

2 y

a) Sol: x 3.

x2 2

3

y

3

+ x2 = c

xdy = 2x2 y 2 dy 1

y

2

=c

2y

dy 1 y + + = 5 (x dx x 2 x 2

p 2) y

1 3. Una resistencia variable R = 5+t ohms, y una ca6 pacitancia de 5 10 f arad; se conecta en serie con una f:e:m: de 100volts: ¿Cuál es la carga del condensador después de un minuto si q (0) = 0:

4 4. Un tanque originalmente contiene 100 galones de agua fresca. Se vierten agua que contiene media libra de sal por galón dentro del tanque a una velocidad de 2 galones por minuto, y se permite que salga la mezcla con la misma rapidez. Después de diez minutos se detiene el proceso, se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 galones por minuto, dejando salir la mezcla a la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al …nal de los 20 minutos. 5. Un gran depósito contiene 100 galones de salmuera en la que estan disueltas 200 libras de sal. A partir de t = 0, se introduce agua pura a razón de 3 galones por minuto y la mezcla sale del depósito a razón de 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo se necesitará para reducir la cantidad de sal que hay en el depósito a 100 libras? 6. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rápidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, ¿Cuánto demorará en triplicarse?¿Cuánto demorará en cuadriplicarse?

Rpta. a) 8x0 ;[x0 número de bacterias inicialmente] b) x (0) =

104 bacterias 8

11. En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora, ¿Qué cantidad habrá después de 2.45 horas con respecto a la cantidad inicial? Rpta. 6;73x0 donde [x0 cantidad inicial] 12. Si una sustancia se enfría desde 100 C hasta 60 C en 10 minutos en donde la temperatura del medio ambiente es de 20 C ¿Cuál será la temperatura de la sustancia después de 40 minutos? Rpta. 25 C 13. Agua a una temperatura de 100 C se enfría en 10 minutos a 80 C en un cuarto con temperatura de 25 C a)¿Qué temperatura tendrá el agua después de 20 minutos? b) ¿Cuándo la tenperatura del agua será de 40 C? ¿26 C? Rpta. a) 65.3 C tos

b) 52 minutos,

139 minu-

Rpta. 7.9 años, 10 años. 7. La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante, su población inicial inicial de 500 aumenta 15 % en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años? Rpta. 760 8. Bacterias en un cierto cierto incrementan a una tasa proporcional al número presente. Si el número 1 original se incrementa en un 50 % en hora. ¿En 2 cuánto tiempo se espera tener tres veces el número original?¿cinco veces el número original? Rpta.1.35 horas; 1.98 horas 9. Si la población de un país se duplica en 50 años ¿En cuántos años será el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al número de habitantes presentes en dicho instante? Rpta. 79 años 10. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al número presente. a) Si se ha hallado que el número se duplica en 4 horas ¿Qué número se debe esperar al cabo de 12 horas? b) Si hay 104 bacterias al cabo de 3 horas y 4 104 bacterias al cabo de 5 horas ¿Cuál será el número de bacterias inicialmente?

14. Un termometro se saca de una habitación en donde la temperatura del aire es de 70 F , al exterior, en 1 donde la temperatura es de 10 F . Después de 2 minuto el termometro marca 50 F ¿Cuánto marca el termometro cuando t = 1 minuto?, ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el termometro marque 15 F ?. 15. Si la temperatura del aire es de 20 C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100 C hasta 60 C ¿dentro de cuanto tiempo su temperatura será 30 C? Rpta. 60 minutos 16. Si se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 pies/seg ¿A qué altura sube la pelota y por cuánto tiempo permanece en el aire? Rpta. 144 pies,

6 segundos

17. Se suelta una pelota de lo alto de un edi…cio de 960 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda en llegar la pelota al piso, y con que velocidad golpea el piso? p p Rpta. 60 seg; 32 60 pies/seg 18. Los frenos de un automovil se accionan cuando este se mueve a 60 millas/hora t 88 pies/seg. Los frenos proporcional una desaceleración constante de 40 pies/seg2 ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?

5 19. Un auto viaja a 88 pies/seg se desplaza 176 pies después de aplicar sus frenos. La desaceleración que proporcionan los frenos es constante ¿Cuál es el valor de ésta? Rpta. 22 pies/seg 20. Un conductor implicado en un accidente a…rma que circulaba a 25 millas/hora cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 25 millas/hora, el auto recorrería solamente 45 pies antes de detenerse. Los marcos de demape del auto en la escava del accidente miden 210 pies. Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente. p Rpta. 5 210 millas/hora 21. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50 se le aplica una tensión de 30 vol Calcular la corriente Determinar también la corirente cuando t ! 1 3 3 500t 3 Rpta. i (t) = e ; i ! cuando t ! 1 5 5 5 22. A un circuito en serie, en la cual la resistencia es de 200 y la resistencia es de 10 4 F; se le aplica una tensión de 100 vol. Calcular la carga q (t) en el capacitador si q (0) = 0 y obtenga la corriente i (t) : 1 1 1 e 50t ; i (t) = e 50t Rpta. q (t) = 100 100 2 23. Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal, una salmuera que contiene 1 gramo de sal por litro se bambea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto, la solución adecuadamente mezclada se bambea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos A (t) de sal que hay en el tanque en un cualquiera. Rpta. A (t) = 200

170e

t 50

24. Un gran deposito esta lleno con 500 galones de agua fuera, una salmuera que contiene 2 litros de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 galones por minuto, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Rpta. A (t) = 100

1000e

t 100

25. Un gran tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de liquido en los cuales se disuelvan 10 li1 bras de sal. Una salmuera que contiene libra de 2 sal por galón se bambea al tanque con una rapidez de 6 galones por minuto, la solución adecuadamente mezclada se bambea enseguida hacia afura del tanque con una rapidez de 4 galones por minuto.

Halle el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos Rpta. 64.38 libras 26. Un tanque que esta lleno con 8 galones de agua salada en el cual hay 2 libras de sal disuelta. Agua salada con 3 litros de sal por galón entra al tanque a 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a) Establezca una ecuación diferencial para la cantidad de sal como una función del tiempo t b) Halle la cantidad de sal como una función del tiempo c) Encuentre la concentración de sal después de 8 minutos d) ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo? Rpta.x (t) = 24

t 2

22e

; 3 libras/gal; 24 libras.

27. Un tanque tiene 40 galones de agua pura. Una solución de agua salada con 1 libra de sal por galón entra a 2 galones por minuto, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a) ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier tiempo? 1 libra de b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá 2 sal por galón? Rpta. x (t) = 40 1

e

t 20

; 13.9 minutos

28. Un tanque tiene 60 galones de agua salada con 2 libras de sal por galón, una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto, y la mezcla sale a la misma tasa ¿Cuándo habrá 150 libras de sal en el tanque? Rpta. 20.8 minutos 29. Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40 litros de sal disuelta. Agua pura entra al tanque a 2 galones por minuto y sale con la misma tasa. ¿Cuándo la concentración de sal será 0.2 libras por galón? ¿Cuándo la concentración será menor que 0.01 libras por galón? Rpta. 34.7 minutos;

184.5 minutos

30. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salada con 1.5 libras de sal por galón entra a 3 galones por minuto, y la mezcla bien agitada sale a 4 galones por minuto. a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo b) Encuentre la concentración de sal después de 10 minutos

6 Rpta. x (t) = 1;5 (10 t) 0;0013 (10 t 10; 1.5 libras/galón

4

t)

0

31. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto y sale a 2.5 galones por minuto. a) Encuentre la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo. b) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque tenga 30 galones de agua salada " # 4 t Rpta. x (t) = 3 1 1 0 120 t 120; 2.82 libras/galón 32. Un tanque de 1500 galones incialmente contiene 600 galones de agua con 5 libras de sal disueltas. El aguan entra al tanque a una razon de 9 galones por hora que contiene una concentración de sal de 1 5 (1 + cos t) libras por galon. Si la solución bien mezclada sale del tanque a una razon de 6 galones por hora, Cuanta sal hay en el tanque cuando el tanque se llena? Rpta. 279.797 libras 33. En cierto cultivo de bacterias la razón de cremiento es proporcional al número de bacterias presentes. a) Si el número se duplica en 4 horas, cuantas habra en 12 horas?. Rpta: b) Si existen 104 al …nalizar 3 horas y 4(104 ) al …nalizar 5 horas. 34. La velocidad con que se desintegran los nucleos radiactivos es proporcional al número de nucleos presentes en una muestra dada. La mitad del nucleo original de núcleos radiactivos ha experimentado la desintegración en un periodo de 1500 años. a) ¿Qué porcentaje de núcleos originales radiactivos continuarán después de 4500 años? b) ¿En cuántos años quedará solamente un décimo del número original de núcleos radiactivos? Rpta. 12.5 % de x0 ; 4983 años. 35. Una barra metálica a una temperatura de 100 F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0 F: Después de 20 minutos la temperatura de la barra es 50 F . a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de 25 F ? b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos? Rpta. 40 minutos; 71 F:

36. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone a un refrigerador a una temperatura constante de 1 F . Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 F y después de 40 minutos es de 20 F:Hallar la temperatura inicial de éste. Rpta. 81 F 37. Una cierta presa, en su máxima capacidad, contiene 1000 millones de m3 de agua. En un instante dado, estando llena la presa, tiene una mas de contaminantes, distribuida en forma homogénea. Suponga que en temporadas de lluvias entra agua a la presa a una razón de 10 millones de m3 ; con una masa de contaminantes de 0.09 % toneladas por millón por m3 de agua y sale con la misma rapidez. Determine la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante. ¿En cuanto tiempo se reducirá la contaminación total de la presa a 1.2 toneladas?. Rpta. 129.9 días. 38. un tanque inicialmente 100 dl de agua, en el cual se dusuelven 80kg de sal. Se introducen en el tanque agua pura a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla, conservada homogenea mediante agitación, sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100dl de agua pura. Agitando la mezcla que sale de este segundo tanque a la misma velocidad. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. Rpta. 17.4kg. 39. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10 gramos y después de 2 horas se ha perdido el 5 % de su masa original, hallar. a) La cantidad restante de Uranio como función del tiempo. b) La cantidad de Uranio despues de 5 horas. 40. Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente permanecía el 80 % de la masa original. Hallar a) La cantidad restante de masa en cualquier instante. b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5 horas? c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto de la cantidad inicial? 41. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 años. ¿Qué porcentaje desparecerá en un año?

7 42. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas? 43. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 1 hora, el número de bacterias medido es 23 N0 : Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique. 44. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5 años el ´numero se ha duplicado y después de siete años el nu’mero de animales es 576, hallar el ´ de número de animales con que se contaba el día la inaguración. 45. Supóngase que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t; cambia a una razóm directamente proporcional a P 2 P . Si inicialmente hay 1000 bacterias y después de 5 horas la población se redujo a 100 baterias, determine: a) La población como función del tiempo.

50. Un tanque de 100 litros de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 litros por segundo y la mezcla, que se mantiene uniforme mediante agitación, se extrae a la misma razón. Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente 10kg de sal en el tanque? 51. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solución con 3 libras de sal por galón entra a 2 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a 2.5 galones por minuto. a) Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo t: b) Encuentre la concentración de sal en el tanque cuando contenga 30 galones de agua salada. 52. El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km3 y una concentración inicial de contaminantes del 0.25 %. Hay un ingreso anual de 209 km3 de agua con una concentración de contaminantes del 0.05 % y un derrame anual de igual cantidad, bien mezclada en el lago. Cu’anto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el estanque se reduzca al 0.1 %?

b) La población después de un tiempo grande. 46. Al apagar un motor su temperatura es de 98 C y el medio en que se encuentra se conserva a 21 C. Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a 88 C, encuentre: a) La temperatura como función del tiempo. b) El instante en el cual su temperatura es de 35 C: 47. Un cuerpo a una temperatura de 50 F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100 F: Si después de 4 minutos la temperatura del cuerpo es de 60 F; Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del cuerpo sea de 75 F ? Cuál será su temperatura después de 20 minutos?. 48. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30 F: Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0 F y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15 F; Cuál es la temperatura inicialdel cuerpo? 49. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300 galones de solución salina en la que se han disuelto 50 libras de sal. Se agrega solución salina que contiene 3 libras de sal por galón con una rapidez de 4 galones por minuto. Determine cuánta sal hay en el tanque en el momento que éste se desborda.

53. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100 galones de agua, en la cual se han disuelto 50 libras de sal. Comenzando en t = 0; una salmuera que contiene una concentración de 2 libras de sal por galón entra al tanque a razón de 5 galones por segundo. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale del tanque a una rapidez de 3 galones por segundo. Qué cantidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno de salmuera? 54. Un tanque A contiene 100 litros de salmuera, que se obtuvo al disolver 40 kg de sal en agua. Se introduce en este tanque una salmuera, cuya concentración es de 3 kilogramos por litro, a una rapidez de 2 litros por minuto. La mezcla se conserva homogénea, sale con la misma rapidez a va a para a un segundo tanque B que contiene al principio 100 litros de salmuera a una concentración de 0.1 kilogramos por litro. Agitando se mantiene homogénea la mezclada en el tanque B y sale de éste con una rapidez de 1 litro por minuto. Hallar la cantidad de sal en cada uno de los tanques en cualquier instante. 55. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se le aplica una tensión de 30 volts. Determine la corriente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo?

8 56. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se le aplica una tensión de 30 volts. Determine la corriente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de la corriente después de un tiempo largo?

x0 y las cantidades de A y B son x e y respectivamente en el instante t y si k1 y k2 son las constantes de rapidez de descomposción, hallar y en función de t: Rpta. k1 6= k2 ; y = kk21 kk01 e k1 t e k2 t ; si k1 = k2 ; y = k1 x0 te k1 t

57. Un inductor de L henrys varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a L = 0;05+0;001t: Se conecta en serie con un generador cuya fem es de 40 volts y una resistencia de 10 ohms. Si la corriente i (t) es cero inicialmente encuentre i para todo t > 0: Cuál es la corriente máxima teórica?.

61. El aire de un teatro de dimensiones 12 8 4 metros cúbicos contiene 0;12 % de su volumne de CO2 . Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contener solamente el 0;06 % de CO2 . Calcular el número de metros cúbicos por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exterior contiene 0;04 % de CO2 : Rpta. 53.23 metros cúbicos de aire por minuto.

58. Una resistencia de 20 ohms se conecta en serie a una condensador de 0.01 faraday y una fem en volts dad por 40e 3t + 20e 6t : Si q (0) = 0; muestre que la carga máxima en el condensador es de 0.25 coulumbs. 59. Si Q es la cantidad de material radiactivo presente en el instante t, entonces la ecaución diferencial kQ; donde k es la constante de desines dQ dt = tegración. Se llama tiempo de vida media de un material radiactivo al tiempo necesario para que una cantidad Q0 se transforme en Q20 : Si T es el tiempo de vida media, mostrar que Q = Q0

1 2

t T

:

60. Suponga que un elemento radiactivo A se descompone en un segundo elemento radiactivo B y este a su vez se descompone en un tercer elemento radiactivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es

62. Un tanque contiene 200 litro de una solución de colorante con una concentración de 1 gramo por litro. El tanque debe enjuagarse con agua limpia que entra a razón de 2 litros por minuto y la solución bien homogenizada sale con la misma rapidez. Encuentre el tiempo que transcurrirá hasta que la concentración del colorante en el tanque alcance 1 % de su valor original. Rpta. 460.5 minutos. 63. Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera que contiene 2 libras de sal por galón entra al tanque a una velocidad de 4 galones por minuto. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad de 3 galones por minuto. Si la concentración alcanza el 90 % de su valor máximo en 30 minutos, calcular los galones de agua que 30 : había inicialmente en el tanque. Rpta. Q = p 4 10 1