Calculo y Geometria Analitica Larson

,

CALCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Sexta edición

Volumen 1

ROLAND E. LARSON ROBERT P. HOSTETLER The Pennsylvania State University The Behrend College

Con la colaboración de

BRUCE H. EDWARDS University of Florida

DA VID E. HEYD The Pennsylvania State University The Behrend College

Traducción LORENZO ABELLANAS RAPÚN Catedrático de Métodos Matemáticos de la Física Universidad Complutense de Madrid

Consultores JOSÉ LUIS PÉREZ LÓPEZ Profesor Titular del Departamento de Matemáticas ORLANDO LEAL SÁNCHEZ Docente jubilado Politécnico Jaime lsaza Cadavid Medellín, Colombia

MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI PARÍS • SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO

Contenido L__ín_d_i_c_e_d_e__a_p_li_c_a_c•_·o_n_e_s_______________________________________________________________~ Capítulo P. P. l. P.2. P.3. P.4.

Preparación para el Cálculo

4

Gráficas y modelos matemáticos 4 Modelos lineales y ritmos de cambio 14 Funciones y sus gráficas 24 Ajuste de modelos a colecciones de datos 37 43 Ejercicios de repaso

d

§

§ !

a 51 .2

~

o

~

850 800 750 700 650

¡::::

40

120 200

280 360

Día (O Diciembre 21)

48

Capítulo l. Límites y sus propiedades 1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5.

Una mirada previa sobre el Cálculo 48 Cálculo de límites gráfica y numéricamente Cálculo analítico de límites 65 Continuidad y límites laterales 78 Límites infinitos 92 Ejercicios de repaso 101

55

t:

1'

1:

'il,

1 ll • -tx :~ '

1~

Capítulo 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

La derivada

!í~j(x) ~/(e)

'

'

b

106

La derivada y el problema de la recta tangente 106 Reglas básicas de derivación y ritmos de cambio 118 Las reglas del producto y del cociente y derivadas de orden superior 130 La regla de la cadena 141 Derivación implícita 152 160 Ritmos relacionados Ejercicios de repaso 171

xvii

Contenido

XVlll

Capítulo 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10.

1

178

Extremos en un intervalo 178 Teorema de Rolle y teorema del valor medio 187 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 194 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 205 Límites en el infinito 214 Análisis de gráficas 225 Problemas de optimización 236 El método de Newton 248 Diferenciales 255 263 Aplicaciones a la economía y al comercio 271 Ejercicios de repaso

Capítulo 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Aplicaciones de la derivada x=a

X

h

Constante

Integración

278

Primitivas e integración indefinida 278 Área 291 Sumas de Riemann e integrales definidas 304 El teorema fundamental del Cálculo 315 Integración por sustitución 328 Integración numérica 342 350 Ejercicios de repaso X

Capítulo 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10.

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes

356 Función logaritmo natural y derivación La función logaritmo natural y la integración 367 Funciones inversas 376 Funciones exponenciales: derivación e integración 386 396 Bases distintas de e y aplicaciones 407 Ecuaciones diferenciales: crecimiento y desintegración Ecuaciones diferenciales: separación de variables 416 429 Funciones trigonométricas inversas y derivación Funciones trigonométricas inversas e integración 438 Funciones hiperbólicas 446 Ejercicios de repaso 456

356

y

1,25

l

1.20

i

1.15

·~

1,10

:g

1,05

a :;; ¿;

1,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (en horas)

xix

Contenido

Capítulo 6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

X

538

Métodos de integración, regla de L'Hopital e integrales impropias

Reglas básicas de integración 538 Integración por partes 545 Integrales trigonométricas 555 Sustituciones trigonométricas 564 Fracciones simples 575 Integración por tablas y otras técnicas de integración Formas indeterminadas y la regla de L'Hopital 592 604 Integrales impropias Ejercicios de repaso 615

Capítulo 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10.

y

Area de una región entre dos curvas 462 Volumen: el método de los discos 472 Volumen: el método de las capas 483 Longitud de arco y superficies de revolución 492 Trabajo 503 Momentos, centros de masa y centroides 513 Presión y fuerza de un fluido 526 Ejercicios de repaso 533

Capítulo 7.

7.1. 7 .2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8.

462

Aplicaciones de la integral

585

-3 -]

620

Series

Sucesiones 620 Series y convergencia 633 El criterio integral y las p-series 645 Comparación de series 652 660 Series alternadas El criterio del cociente y el criterio de la raíz 667 Aproximación por polinomios de Taylor 676 Series de potencias 687 Representación de funciones por series de potencias Series de Taylor y Maclaurin 706 Ejercicios de repaso 718

D

6

;

2 1

698

~

~ :\

4

,.\

:, ,:

\

11

i,,:;

r\,

'''

:;

1 1

....

¡¡

\¡ t/

u \: :i \ / \ ,., ..._ 11

+ lf

\i~

- *"+ •

l¡ 1

6

\:

1 •

1¡

'

1 1 \¡

A

\ \1

.._+4- O y a # O, la gráfica de y tiene dos x-intersecciones.

=ax 2 + bx + e

62.

Si b 2 - 4ae = O y a # O, la gráfica de y tiene sólo una x-intersección.

= ax 2 + bx + e

lineales y ritmos de cambio

Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical mide el número de unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada unidad de desplazamiento horizontal de izquierda a derecha. Consideremos los dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) de la recta de la Figura P.l2. Al desplazamos de izquierda a derecha por la recta, se produce una variación vertical de ~y= Yz- Y1

Cambio en y

unidades por cada variación horizontal de 1 1 1

_ _ _ _ .........L....._

Cambio en x

_.....,. X

x, ~y~

ó.x

=

y 2 - y 1 ~cambio en y x 1 - x 1 =cambio en x

unidades.

(~es

la letra griega delta mayúscula y

~se

lee «delta de x».)

FIGURA P.l2

DEFINICIÓN DE LA PENDrENTa

•

1234567

y

5.

-3

y

7t

~t 1

t

ll

y

·f

Un modelo matemático La siguiente tabla proporciona los dividendos por acción ordinaria de General Milis durante los años 1987 a 1994. El tiempo en años se representa por t, correspondiendo t = O a 1990, y los dividendos se representan por y. (Fuente: General Milis 1994 Annual Report.)

4+

¡1++++++' = 1

a

b

'

40.

41.

x-intersección:

(2, 0)

y-intersección:

(0, 3)

x-intersección:

(-~· 0)

y-intersección:

(0, -2)

Punto de la recta: x-intersección:

(a, 0)

y-intersección:

(0, a)

Punto de la recta:

y= -3

51.

2x - y - 3

53.

y= -2x + 1

(-3, 4)

x-intersección:

(a, O)

y-intersección:

(0, a)

55.

Punto

Pendiente

43.

(2, 1)

4x- 2y = 3

44.

(-3, 2)

x+y=7

45.

5x + 3y =O

46.

e~· ( -6, 4)

47.

(2, 5)

x=4

48.

al

( -1, O)

3x + 4y = 7

y= -3

X=

4

52.

X

54.

y - 1

+ 2y + 6

=0

= 3(x + 4)

y= 0,5x- 3

Xmin=-5 Xmax= 10 Xscl= 1 Ymin=-1 Ymax= JO Yscl= 1 56.

Xmin=-2 Xmax= 10 Xscl= 1 Ymin=-4 Ymax= 1 Yscl= 1

y= -8x + 5

Xmin=-2 Xmax=2 Xscl = 1 Ymin=-5 Ymax=5 Yscl= 1

Xmin=-5 Xmax= JO Xscl= 1 Ymin=-80 Ymax=80 Yscl=20

Ritmo de cambio En los Ejercicios 57-60, se dan el valor en dólares de un producto en 1998 y el ritmo al que se espera que varíe su valor durante los próximos 5 años. Utilizar esta información para escribir una ecuación lineal que proporcione el valor en dólares V del producto en términos del año t. (Represéntese 1998 por t = 8.)

(a =F O)

En los Ejercicios 43-48, escribir una ecuación de la recta que pasa por el punto y es a) paralela a la recta dada y b) perpendicular a la recta dada.

=o

50.

Redacción En los Ejercicios 55 y 56, representar en la calculadora la ecuación en cada una de las ventanas indicadas. Describir la diferencia entre ambas imágenes.

(1, 2)

(a # 0)

42.

4

49.

a # O, b # O

En los Ejercicios 39-42, usar el resultado del Ejercicio 38 para escribir una ecuación de la recta. 39.

En los Ejercicios 49-54, esbozar una gráfica de la ecuación.

Valor 1998

Ritmo

57.

$2.540

$125 crecimiento anual

58.

$156

$4,50 crecimiento anual

59.

$20.400

$2.000 decrecimiento anual

60.

$245.000

$5.600 decrecimiento anual

~ En los Ejercicios 61 y 62, usar la calculadora para represen-

tar las parábolas y hallar sus puntos de intersección. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección y dibujar su gráfica en la misma ventana de representación. 61.

y= x 2 y= 4x- x

62. 2

y

=x 2 -

4x + 3

y= -x 2 + 2x + 3

23

Ejercicios de la Sección P.2 En los Ejercicios 63 y 64, determinar si los puntos son colineales. (Se dice que tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.) 63.

(-2, 1), (-1, 0), (2, -2)

64.

(0, 4), (7, -6), (-5, 11)

f'v 72.

Depreciación lineal Un pequeño negocio adquiere un equipo por $875. Transcurridos 5 años el equipo estará obsoleto, carente de valor. a) Escribir una relación lineal que proporcione el valor y del equipo en términos del tiempo x, O :::; x :::; 5. b) Representar la ecuación con una calculadora gráfica. e) Usar la función trace para estimar (con una precisión de dos cifras decimales) el valor del equipo cuando x = 2. d) Usar la función trace para estimar (con una precisión de dos cifras decimales) el momento en que el valor del equipo es $200.

~ 73.

Alquiler de apartamentos Una agencia inmobiliaria maneja un complejo de 50 apartamentos. Cuando el alquiler es de $580 mensuales, los 50 apartamentos están ocupados. Sin embargo, cuando el alquiler es de $625, el número medio de apartamentos ocupados desciende a 47. Supongamos que la relación entre el alquiler mensual y la demanda x es lineal. (Nota: Aquí usamos el término demanda para referirnos al número de apartamentos ocupados.) a) Escribir una ecuación lineal que proporcione la demanda x en términos del alquiler p. b) Extrapolación lineal Con ayuda de una calculadora, representar la ecuación de la demanda y usar la función trace para predecir el número de apartamentos ocupados si se sube el alquiler a $655. e) Interpolación lineal Predecir el número de apartamentos ocupados si se baja el alquiler a $595. Verificar el resultado gráficamente.

~ 74.

Un modelo matemático Un profesor reparte cuestionarios de 20 puntos y exámenes de 100 puntos a lo largo de un curso de Matemáticas. Las calificaciones medias de seis estudiantes, dadas como pares ordenados (x, y) donde x es la calificación media en las cuestiones e y la calificación media en los exámenes, son (18, 87), ( 1O, 55), (19, 96), (16, 79), (13, 76) y ( 15, 82). a) Empleando una calculadora programada para el cálculo de regresiones, hallar la recta de regresión por mínimos cuadrados para los datos. b) Usando una calculadora gráfica, representar los puntos y la recta de regresión en una misma ventana. e) Utilizar la recta de regresión para predecir la calificación media en los exámenes de un estudiante cuya calificación media en las cuestiones es 17. d) Interpretar el significado de la pendiente de la recta de regresión. e) Si el profesor añadiera 4 puntos a la calificación media en los exámenes de cada alumno de la clase, describir el cambio de posición de los puntos trazados y la modificación de la ecuación de la recta.

Los Ejercicios 65-68 se refieren al triángulo de la figura. y

t

L::S'.

( a,

O)

(a. O)

65.

Hallar el punto de intersección de las mediatrices de los lados.

66.

Hallar el punto de intersección de las medianas.

67.

Hallar el punto de intersección de las alturas.

68.

Probar que los puntos de intersección de los Ejercicios 65, 66 y 67 son colineales.

69.

Conversión de temperaturas Hallar la ecuación lineal que expresa la relación entre la temperatura en grados Celsius e y la temperatura en grados Fahrenheit F. Usar el hecho de que el agua se congela a O "C (32 °F) y hierve a 100 oc (212 nF) para escribir 72 OF en grados Celsius.

70.

Gastos reembolsados Una compañía reembolsa a sus representantes de ventas $150 diarios por alojamiento y comidas más 30\t por milla recorrida. Escribir una relación lineal que exprese el coste diario e para la compañía en términos de x, el número de millas recorridas.

(\; 71.

Elección profesional Un empleado dispone de dos opciones a puestos en una gran corporación. En un puesto le pagan $12,50 por hora más un suplemento de $0,75 por unidad producida. En el otro, $9,20 por hora más un suplemento de $1,30. a) Encontrar relaciones lineales que expresen los salarios por hora W en términos de x, el número de unidades producidas por hora, para cada una de las opciones. b) Representar con una calculadora gráfica las ecuaciones lineales y hallar el punto de intersección. e) Interpretar el significado del punto de intersección de las gráficas del apartado b). ¿Cómo usaría esta información para seleccionar la opción correcta si su objetivo fuera obtener el mayor sueldo por hora?

24

Capítulo P

Preparación para el Cálculo

Distancia En los Ejercicios 75-80, calcular la distancia entre el punto y la recta o entre las rectas, utilizando la siguiente fórmula para la distancia entre el punto (x 1 , y¡) y la recta Ax +By+ e= O.

75.

Punto: (0, O) Recta: 4x + 3y

77.

76.

Recta: x - y - 2 79.

Recta: 81.

('¡.., 82.

=1 x + y =5

Punto: x + y

Recta: 4x + 3y

84.

Demostrar que la figura que se obtiene uniendo los puntos medios de los lados consecutivos de cualquier cuadrilátero es un paralelogramo.

85.

Probar que si los puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , Y2) pertenecen a la misma recta que (xf, yf) y (x!, y!), entonces

= 10

y!- YT

Y2 -y¡

x! -xt

x2 -x 1

Punto: (6, 2)

78.

=O

Recta: x 80.

=1 3x- 4y = 10

Punto: 3x- 4y Recta:

Expresar la distancia d entre el punto (3, 1) y la recta y= mx + 4 en términos de m. Emplear una calculadora gráfica para representar la ecuación. ¿Cuándo es O la distancia? Explicar geométricamente el resultado.

• • • • • •

Supóngase que x 1 "# x 2 y xt "# x!.

= -1

Demostrar que la distancia entre el punto (x 1 , y 1 ) y la recta Ax + By + e = O es

CONTENIDO Funciones ynotación de funciones Dominio y recorrido de una función Gráfica de una función Transfonnaciones de funciones Clasificaciones y combinaciones de funciones

Demostrar que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

Punto: (2, 3)

= 10

Punto: (-2, 1)

83.

86.

Demostrar que si las pendientes de dos rectas son una opuesta de la inversa de la otra, entonces las rectas son perÍJendiculares.

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 87 y 88, determinar si la afirmación es correcta. Si no lo es, explicar por qué o dar un ejemplo que pruebe su falsedad. 87.

Las rectas de ecuaciones ax +by= c 1 y bx- ay= c 2 son perpendiculares. Supóngase que a "# O y b "# O.

88.

Dos rectas con pendientes positivas pueden ser perpendiculares entre sí.

.D

_PJ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Funciones y sus gráficas

Funciones y notación de funciones Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x, y) donde x es un elemento de X e y, uno de Y. Una función de X a Y es una relación entre X e Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces también tienen el mismo valor de y. La variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente. Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo, el área A de un círculo es una función de su radio r. A es una función de r

En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente.

Sección P.J

Funciones y sus gráficas

25

DEFINl.~lQN D~ }!UNCIÓNREAU>E.UNA VARIABLE REAL

FIGURA P.22 Una función real de una variable real.

Séan X é t·d~s··conjU,Jltos de.números reales. Una fuqción real f de una v*'rjable feál x 4~ X a Y~ una corr~spondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y. Bl conjunto X se llama dominio de f El número y se denomina la imagen dC x .po;r fy se denota porj(x) ..Bl recorrido def se define como el subconjupto de Y formado por todas las imágenes delos números de X (véase, Figlll'a P.2~). Las fimciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante, en este texto nos concentraremos fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que involucran las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, la ecuación

NOfACiéi.De~

G pan~llas ® calculadora gr4fí~a mostradas abajq e;thl~ Ja gtáft:ca de una de las· qcho fu11¿ione.s básicas. de la Rá~ina 28: C{lt;la pantalla muestrá también una transfortnáción de 1á gráfica. Describa esta transf.ormación y use su descripción p~a escribir una ecuación. de.la rian~formación.

·

·

29

Funciones y sus gráficas

Algunas familias de gráficas tienen esencialmente la misma forma. Por ejemplo, comparemos la gráfica de y = x 2 con las de las otras cuatro funciones cuadráticas de la Figura P.28. y

y

4

·

-2

-1

a) Traslación vertical (hacia arriba)

b) Traslación horizontal (a la izquierda)

y

y

-+·--·-·-•X

2

Y"'~ a)

e) Reflexión

4

d) Traslación a la izquierda, reflexión y traslación hacia arriba

FIGURA P.28

Cada una de las gráficas de la Figura P.28 es una transformación de la gráfica de y = x 2 • Los tres tipos básicos de transformaciones ilustrados por estas gráficas son las traslaciones verticales, las traslaciones horizontales y las reflexiones. La notación de funciones resulta apta para describir transformaciones de gráficas en el plano. Así, si se consideraf(x) = x 2 como función original en la Figura P.28, las transformaciones mostradas pueden representarse por las siguientes ecuaciones.

b)

e)

-~~~~~._~~~

:''t'''< /,,,~:>\~y

d)

y=f(x)+2

Traslación vertical de 2 unidades hacia arriba

y =f(x + 2)

Traslación horizontal de 2 unidades a la izquierda

y= -f(x)

Reflexión respecto al eje x

y = -f(x + 3) + l

Traslación de 3 unidades a la izquierda, reflexión respecto al eje x y traslación de 1 unidad hacia arriba

30

Capítulo P

Preparación para el Cálculo

Clasificaciones y combinaciones de funciones La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Mención especial merece Leonhard Euler, a quien debemos la notación y= f(x). Hacia el final del siglo XVIII, los matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos de la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Las funciones elementales se distribuyen en tres categorías.

I!ONNAROEUtlftt1'1t7·1183J Además de sus contribuciones esenciales acasi todas las ramas de las Matemáticas, Euler fue urrl) de los primeros en aplicar el Cálculo a · problemas reales de la Fislca~ Sus numerosas publica> de Israel Kleiner en The College Mathematics Journal, septiembre 1989.

PARA MÁS INFORMACIÓN

Sección P.3 v

Funciones y sus gráficas

31

a 11 >O

a,< O

~

t 1:

\ Crece por la 1 izquierda

1

1 1 1 \ 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 Crece por la ~ 1 \ 1 Crece por la 1

1

1

1

¡zqUlerda

¡..,

"

derecha

\

1 \ 1 \ \ :1 !1 Decrece 1 Decrece por la 1 por la izquierda ¡derecha

, r

1 Crece por la 1 derecha 1 1 ' .... ' 1 1 ' jDecrece, .,., 1 por la 1 izquierda

'

~ Gráficas de funciones polinómicas de grado par

1 \

1

/

(

.. x

1

... x

.

,.,...,..,.,, \ Decrece\ por la 1 derecha 1

Gráficas de funciones polinómicas de grado impar

FIGURA P.29 Criterio del coeficiente dominante para funciones polinómicas.

Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función racional puede expresarse como el cociente de dos polinomios. Concretamente, una función fes racional si tiene la forma

f(x) = p(x),

.

q(x)

q(x) =/= O

donde p(x) y q(x) son polinomios. Las funciones polinómicas y las racionales son ejemplos de funciones algebraicas. Se llama función algebraica a aquella que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces es algebraica. Las funconteniendo potencias x". Por ejemplo,f(x) = ciones no algebraicas se denominan trascendentes. Por ejemplo, las funciones trigonométricas son trascendentes. Es posible combinar dos funciones de varias formas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, dadasf(x) = 2x- 3 y g(x) = x 2 + 1, se pueden construir las siguientes funciones.

Jx+l

f(x) + g(x) = (2x- 3) + (x 2 + 1) = x 2 + 2x- 2 f(x) - g(x)

= (2x -

2

3) - (x + 1) 2

= -x

f(x)g(x) = (2x- 3)(x + 1) = 2x f(x) g(x)

2x- 3 x2 + 1

3

-

2

+ 2x - 4 2

3x + 2x- 3

Suma

Diferencia Producto

Cociente

Aún hay otra manera de combinar dos funciones, llamada composición. La función resultante recibe el nombre de función compuesta.

DEFlNICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA Dominio de/

FIGURA PJO El dominio de la función compuestaf g.

Sean f y g dos funcíones. La. función dl.'\da por (f o g)(x) = f(g(x)) se llama función e~ !Jef ~on g. El dominio del' g es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f (véase Figura P.30).

32

Capítulo P

Preparación para el Cálculo

La función composición de f con g no suele ser igual, en general, a la de g conf

EJEMPLO 4 Composición de funciones Dadasf(x)

= 2x- 3 y g(x) = cos x, hallar: a)fo

g y b) g

o

f

Solución: a)

(f

o

g) (x) = f(g(x))

Definición de f

= 2(g(x))- 3

b)

(g

o

Sustituir g(x)

=2

Simplificar

3

f)(x) = g (f(x))

Definición de g

= cos (f(x))

Sustituir g(x)

= cos (2x- 3)

Sustituir f(x)

Nótese que (f

o

g

o

f

Sustituir f(x)

= 2(cos x) - 3 COS X-

o

g)(x) i= (g

o

f)(x)

D

En la Sección P.l se definió x-intersección de una gráfica como cualquier punto (a, O) en el que la gráfica corta al eje x. Si la gráfica representa una función/, el número a se denomina un cero de f En otras palabras, los ceros de unafunciónf son las soluciones de la ecuaciónf(x) =O. Así, por ejemplo, la funciónf(x) = x- 4 tiene un cero en x = 4 porquef(4) =O. También en la Sección P.l se discutieron diferentes tipos de simetrías. En la terminología de funciones, se dice que una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y, y se dice que es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen. Los critetios de simetría de la Sección P.l conducen al siguiente:

CRITERIO PARA PARES E.

Nota. Con la excepción de la función constante f (x) = O, la gráfica de una función de x no puede ser simétrica respecto al eje x, puesto que entonces violaría el criterio de la recta vertical para la gráfica de una función. 1

EJEMPLO 5 Funciones pares o impares y ceros de funciones Determinar si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de ambas cosas. Después, calcular los ceros de la función. a) f(x) = x 3

-

x

b)

g(x) = 1 + cos x

33

Ejercicios de la Sección P.3 y

Solución: a)

La función es impar, ya que f(-x) = (-x) 3

-

(-x) = -x 3 + x = -(x 3

-

x) = -f(x)

Los ceros de f se calculan como sigue. Hacer f(x) =O

x(x 2

-

1)

= x(x -

1) (x + 1)

=O

X=

a) Función impar

Factorizar

O, 1, -1

Ceros def

Véase Figura P.31a. b)

La función es par, pues g(-x) = 1 + cos (-x) = 1 + cos x = g(x)

cos (-x) = cos (x)

Los ceros de f se calculan como sigue. ] +

-11

1

h)

COS X=

0

Hacer g(x) = O

COS X=

-1

Restar 1 en ambos miembros

Función par

x = (2n

+ 1)n:, con

n entero

Ceros de g

FIGURA P.31

o

Véase Figura P.31b.

Nota. Cada una de las funciones del Ejemplo 5 es par o impar. Sin embargo, muchas funciones, como f(x) = x 2 + x + 1 no son pares ni impares. 1

Ejercicios de la Sección P.3 En los Ejercicios 1-10, evaluar (si es posible) la función en los valores dados de la variable independiente. Simplificar Jos resultados. l.

3.

f(x)=2x-3 a)

j(O)

b) f(-2)

b)

j(-3)

b) f(6)

e)

j(b)

e) f(e)

d)

f(x- 1)

d)

f(x) = {2x+ 1, 2x+2,

a)

j(-1)

b)

2

4.

2. f(x)=Jx+3

{ x +2 j(x) = 2x2 ~. a)

j(-2)

+

S. j(x) = cos 2x a)

j(O)

a)

j(x+Ax)

f(rr.)

7. f(x)=x3

d)

x>J j(l)

b)

j(Srr/4)

e)

j(2rr/3)

d)

f(s2

+2)

8. j(x)=3x-J

Ax

x-1

9. j(x)=

e)

j(rr/3)

f(x)-J(I)

j(t 2 +1)

x:o:;I

b) j(O)

e)

f(x+Ax)-j(x)

x;;,O e) j(2)

j(-n/4)

6. f(x) =sen 2x

xJfxl

ii)

g(x)

iv)

r(x)

= ex 2 = ejx

X

13.

14.

h(x)=J.x-l

Encontrar el valor de la constante e en cada caso, de modo que la función se ajuste a los datos de la tabla.

1 2

f(x)=-x 3 +2

.

16. f(x)=x+~4-x 2

15. f(x)="/9-x 2

29.

()

17.

18.

¡;(t) = 2 sen nt

h ( 0) = -5 cos 2

1 :

En los Ejercicios 19 y 20, aplicar el criterio de la recta vertical para determinar si v es una función de x. 19.

X- \'2

= ()

20.

'C l

1

4

2

--3 -2

21.

Para pensar

( 1 2

,..X

= lxl

+

lx- 21 33.

Redacción Representar en la calculadora las funciones polinómicasp 1 (x) =x 3 -x+ 1 y p 2 (x) =x 3 -x. ¿Cuántos ceros tiene cada función'7 ¿Existe algún polinomio cúbico que carezca de ceros'.l Explíquese la razón.

En los Ejercicios 23-26, determinar si y es una función de x.

25.

x2 + v2 2

v =x

2

=4 -

24.

26.

1

x2 + v

=4

2

x r - x 2 + 4v

Liga nacional

Liga americana

1

1 :

1

:

1

1:1

:

1

-;

~1~

1

~

1

_,

1

_:,

1

4 1

¡

1

32

1

:

1

1

:

1

1

lo:d

1

1

:

1

1

Recorrido

/•Cubs ~Pirates

•Dodgers

.•Orioles • Yankees

• •Twins

28.

-

Para pensar El agua fluye dentro de una vasija de 30 centímetros de altura a velocidad constante, llenándola en 5 segundos. Usar esta información y la forma de la vasija que muestra la figura para responder a las siguientes cuestiones, donde d es la profundidad del agua en centímetros y t es el tiempo en segundos. a) Explicar por qué des una función de t. h) Determinar el dominio y el recorrido de dicha función. e) Esbozar una posible gráfica de la función.

r

l

(Año)

1988 1 1992

-~55.2

3

1

(?r de

1972 ' ;'50.1 1976 .;'-, /~s2.6 1980 -~~:::~53.1 1984 / . ~53.5

:

8l

30cm

Recorrido Dominio Dominio

:

=O

En los Ejercicios 27 y 28, determinar si la relación dada es una función.

27.

1

:

32.

sin emplear el símbolo de valor absoluto. (Véase el apéndice para una revisión del concepto de valor absoluto.)

23.

1

Expresar la función f(x)

'~ 22.

1 :

3

2.

2 -

1

31.

3 "

\

,_.X

1.

y A

~3: ~:

30.

-4- v =O 4

1.

1

Jx

1

34.

-

Para pensar Un estudiante que viaja 27 millas cada día para asistir a la universidad se da cuenta, tras llevar unos minutos conduciendo, de que ha olvidado un trabajo que debía entregar. Conduciendo más rápido de lo habitual, regresa a casa, recoge el trabajo y parte de nuevo hacia la universidad. Dibujar una posible gráfica de la distancia del estudiante a su casa en función del tiempo.

35

Ejercicios de la Sección PJ ~ 35.

Seleccionar la ventana de calculadora gráfica que muestre una gráfica más completa de la función f(x)

= 10xJ400-x 2 •

Xmin=-5 Xmax=50 Xscl=5 Ymin=-5.000 Ymax=5.000 Yscl=500 36.

Xmin=-20 Xmax=20 Xscl=2 Ymin=-500 Ymax=500 Yscl=50

f(x)- 1

Xmin=-25 Xmax =25 Xscl =5 Ymin = -2.000 Ymax=2.000 Yscl =200

f)

2f(x)

e)

41.

a)

38.

b)

y=-Jx

d

h(x)=sen

(x+~)+1

b)

T

..

f(g(x))

42.

f)

f(x) = x 2

-

16

g(x) = x + 1

..¡.

3

+·'Jto../

6

9

12 15 18 21 24

1

g(x) = Jx+2

45.

Ondas En un estanque en calma, se deja caer un guijarro produciendo ondas en forma de círculos concéntricos. El radio (en pies) de la onda externa viene dado por r(t) = 0.6t, donde tes el tiempo en segundos transcurrido desde que el guijarro toca el agua. El área del círculo viene dada por la función A(r) = nr 2 . Hallar e interpretar la función (A ' r)(t).

0v 46.

Aerodinámica de automóviles La potencia H, en caballos de vapor, que requiere cierto automóvil para vencer la resistencia del viento viene dada aproximadamente por H(x) = 0,002x 2 + 0,005x- 0,029,

lO :,;

X :,;

lOO

donde x es la velocidad del coche en millas por hora. Representar H con una calculadora gráfica. b) Escribir de nuevo la función potencia de forma que x represente la velocidad en kilómetros por hora. [Hallar H(l,6x).]

h(x)=-sen (x-1)

a)

f\v En los Ejercicios 47-50, determinar si la función es par, im-

par o ninguna de ambas cosas. Verificar el resultado con ayuda de una calculadora gráfica. 47.

f(x)=4-x 2

48. f(x) =

49.

j(x)

50.

=X COS X

,y;

f(x) = sen 2 x

Para pensar En los Ejercicios 51 y 52, calcular las coordenadas de un segundo punto de la gráfica de una función f, sabiendo que el punto dado pertenece a dicha gráfica y que la función es a) par, y b) impar. 51.

(-1, 4)

53.

Probar que la siguiente función es impar.

52.

(4, 9)

1

10

R(f(x))

X

28 e

22·~

g(j(O))

g(x) = cos x l 44. f(x) =-

2

y=Jx-2

Razonamiento gráfico Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender automáticamente durante la noche la temperatura de una casa (véase la figura). Se da la temperatura Ten grados Celsius en función de t, el tiempo en horas de un reloj. a) Calcular aproximadamente T(4) y T(l5). b) Suponiendo que se reprogramara el termostato para producir una temperatura H(t) = T(t - l ), ¿cómo cambiaría esto la temperatura de la casa? Explicar la respuesta. e) Suponiendo que se reprogramara el termostato para producir una temperatura H(t) = T(t) - 1, ¿cómo cambiaría esto la temperatura de la casa? Explicar la respuesta.

e)

X

Especificar la sucesión de transformaciones que, efectuadas sobre la gráfica de la funciónj(x) =sen x, producen la gráfica de h. a)

39.

y=Jx+2

j(x) = x 2

g(x) = Jx 1 43. f(x) =-

(2, 1}

Usando la gráfica def(x) = Jx, representar la de cada una de las siguientes funciones. Describir, en cada caso, la transformación efectuada.

f(g( -4))

En los Ejercicios 41-44, hallar las funciones compuestas (f o g) y (g 'fl. ¿Cuál es el dominio de cada una de ellas? ¿Son iguales las dos funciones compuestas?

Y 9.

10. Dureza de Brinell Los datos de la tabla proporcionan la dureza de Brinell H del acero del 0,35 (de carbono) cuando se endurece y templa a temperatura t (en grados Fahrenheit). (Fuente: Standard Handbookfor Mechanical Engineers.)

Usando regresión en la calculadora, ajustar un modelo lineal a los datos. Representar los datos y el modelo en la calculadora. Utilizar el modelo para estimar la elongación del muelle cuando se le aplica una fuerza de 55 kg.

a)

A!:>

41

t

o

1

2

3

4

S

o

11,0

19,4

29,2

39,4

a) b)

e)

400

600

800

1.000

1.200

H

534

495

415

352

269

217

Usando regresión en la calculadora, ajustar un modelo lineal a los datos. Representar los datos y el modelo con una calculadora gráfica. ¿Es bueno el ajuste del modelo a los datos? Explíquese la respuesta. Aplicar el modelo para estimar la dureza cuando

(1,83, (0,77, (4,70, (3,87, (0,31, (4,21, (0,28, (0,04,

3,7) 2,6) 24,0) 20,8) 0,3) 26,2) 0,4) 0,1)

Bangladesh Canadá Finlandia Grecia Italia México Corea del Sur Estados Unidos

(0,07, 0,2) (10,51, 21,5) (5,93, 26,0) (3,05, 6,8) (3,86, 19,4) (1,75, 3,0) (2,47, 6,0) ( 10,32, 23,0)

Usando una calculadora programada para el cálculo de regresiones, ajustar un modelo lineal a los datos. b) Representar los datos y el modelo con una calculadora gráfica. e) Interpretar la gráfica del apartado b). Usar la gráfica para identificar aquellos países que parecen estar alejados del modelo lineal.

= 500 °F.

11. Gastos de automóviles Los datos de la tabla representan los gastos variables de funcionamiento de un automóvil en los Estados Unidos durante los años 1985 a 1991. Las funciones y 1 , y 2 e y 3 representan los gastos, en centavos por milla, en gasolina y aceite, mantenimiento, y neumáticos. (Fuente: American Automobile Manufacturers Association.)

Consumo de energía Los siguientes datos dan el consumo de energía per capita (en toneladas de equivalente en carbón) y el producto nacional bruto percapita (en miles de dólares) para una muestra de países en 1990. (Fuente: Statistical Office of the United Nations.)

a)

200

t

Con una calculadora programada para el cálculo de regresiones, ajustar un modelo lineal a los datos. Representar los datos y el modelo utilizando una calculadora gráfica. ¿Es bueno el ajuste del modelo a los datos? Explíquese la respuesta. Aplicar el modelo para estimar la velocidad del objeto tras 2,5 s.

Argentina Brasil Dinamarca Francia India Japón Pakistán Tanzania

t

a)

b)

Año

y¡

Y2

Y3

1985

6,16

1,23

0,65

1986

4,48

1,37

0,67

1987

4,80

1,60

0,80

1988

5,20

1,60

0,80

1989

5,20

1,90

0,80

1990

5,40

2,10

0,90

1991

6,70

2,20

0,90

Sea t el tiempo en años, donde t = 5 corresponde a 1985. Usando regresión en la calculadora, hallar un modelo cuadrático para y 1 , y modelos lineales para Yz e Y3· Representar en la calculadora, y¡, Y2, Y3 e Y1 + + Yz + y 3 en una misma ventana. Utilizar el modelo para estimar el gasto variable total por milla en 1998.

42 0v 12.

Capítulo P

Preparación para el Cálculo

Resistencia de una viga Los estudiantes de un laboratorio midieron la fuerza de ruptura S (en libras) de una pieza de madera de 2 pulgadas de anchura, x de altura y 12 de longitud. Los resultados quedan recogidos en la siguiente tabla.

a)

b)

e)

14.

Prestaciones de un automóvil La siguiente tabla muestra el tiempo t (en segundos) que necesita un Dodge A venger de 1995 para alcanzar una velocidad de s millas por hora partiendo del reposo. (Fuente: Road & Track, marzo 1995.)

X

4

6

8

10

12

S

30

40

50

60

70

80

90

S

2.370

5.460

10.310

16.250

23.860

t

3,4

5,0

7,0

9,3

12,0

15,8

20,0

a)

Con una calculadora programada para el cálculo de regresiones, ajustar un modelo cuadrático a los datos. Representar en la calculadora los datos y el modelo. Usar el modelo para estimar la fuerza de ruptura cuando x = 2.

Ajustar un modelo cuadrático a los datos usando regresión en la calculadora. Representar los datos y el modelo con una calculadora gráfica. Utilizar la gráfica del apartado b) para establecer por qué no es apropiado el modelo para determinar el tiempo necesario para alcanzar velocidades inferiores a 20 millas por hora. Dado que en las pruebas se partía del reposo, añadir el punto (0, O) a los datos. Ajustar un modelo cuadrático a los nuevos datos y representarlo gráficamente. ¿Describe con mayor precisión el comportamiento del coche a velocidades bajas? Explique la respuesta.

b) e)

f'íd 13. Asistencia sanitaria El gráfico de barras muestra el número de personas N (en millones) que recibieron cuidados en organizaciones sanitarias durante los años 1986 a 1995.

d)

N

t

601-·

ssl 50

"5ú

~ :~¡' • · · ~

-

.g

35 30

15.

1

..

L.

45,2

36,5 JS.f).

41,4

'32á

•• 29~3>c

Prestaciones de un automóvil Se acopla un dinamómetro a un motor de 8 válvulas y se mide la potencia en caballos y a diferentes velocidades del motor (en miles de revoluciones por minuto). Los resultados se muestran en la siguiente tabla .

1::fl25,7······. Isr·

1~t

.

X

1

2

3

4

5

6

y

40

85

140

200

225

245

··

ly,

_,... t

9 10 11 12 Año (6 1986)

13

14

a)

15

Sea te! tiempo en años, con t = 6 correspondiendo a 1986. Hallar, usando regresión en la calculadora, un modelo lineal y uno cúbico para los datos. b) Representar los datos y los modelos en la calculadora. e) Usar las gráficas del apartado b) para decidir qué modelo es mejor. d) Con ayuda de una calculadora, encontrar un modelo cuadrático para los datos y representarlo. e) Interpretar la pendiente del modelo lineal dentro del contexto de los datos. f) Usar los modelos lineal y cúbico para predecir el número de personas que serán atendidas en el año 2000.

b)

a)

e) 16.

Ajustar un modelo cúbico a los datos usando una calculadora programada para el cálculo de regresiones. Representar los datos y el modelo con una calculadora gráfica. Estimar, aplicando el modelo, la potencia cuando el motor gira a 4.500 revoluciones por minuto.

Temperatura de ebullición La siguiente tabla proporciona la temperatura de ebullición del agua T CF) a diferentes presionesp (en libras/pulg 2 ). (Fuente: Standard Handbookfor Meehanical Engineers.)

p

5

10

14,696 (1 atm)

20

T

162,24°

193,21 o

212,00°

227,96°

43

Ejercicios de repaso del Capítulo P

30

p T

a) b) e)

d)

~ 17.

40

80

60

250,33° 267,25° 292,71 o

lOO

~ 18.

312,03° 327,81°

Temperatura La siguiente tabla muestra las temperaturas máximas diarias en Honolulu H y Chicago C (en grados Fahrenheit), donde t = 1 corresponde a enero. (Fuente: NOAA.)

Ajustar un modelo cúbico a los datos usando regresión en la calculadora. Representar los datos y el modelo con una calculadora. Utilizar la gráfica para estimar la presión necesaria para que el punto de ebullición del agua exceda los 300 °F. Explicar por qué el modelo no sería adecuado para presiones superiores a 100 libras por pulgada al cuadrado.

Movimiento armónico Un detector mide el movimiento oscilatorio de un peso suspendido de un muelle. La figura muestra los datos recogidos y los desplazamientos máximos del equilibrio (positivo y negativo) aproximados. El desplazamiento y se mide en centímetros y el tiempo t en segundos. a) ¿Es y función de t? Explíquese la respuesta. b) Estimar la amplitud y el período de las oscilaciones. e) Encontrar un modelo para los datos. d) Representar el modelo del apartado e) en una calculadora y comparar el resultado con los datos de la figura.

a)

tt (, 1

2j' .

•••••• • \

l f

¡~

-lt

•

••

0,2

1

1

0,4

1

1

0,6

•••• 1 1

1 '

3

4

5

6

H

80,1

80,5

81,6

82,8

84,7

86,5

e

29,0

33,5

45,8

58,6

70,1

79,6

t

7

8

9

10

11

12

H

87,5

88,7

88,5

86,9

84,1

81,2

H

83,7

81,8

74,8

63,3

48,8

34,0

Un modelo para Honolulu es

~ + 3,86)

Encontrar un modelo para Chicago. Representar en la calculadora los datos y el modelo para las temperaturas de Honolulu. ¿Cómo es de bueno el ajuste del modelo a los datos? e) Representar en la calculadora los datos y el modelo para las temperaturas de Chicago. ¿Cuán bueno es el ajuste del modelo a los datos? d) Aplicar los modelos para estimar la temperatura media anual en cada ciudad. ¿Qué término del modelo utilizó? Explique la respuesta. e) ¿Cuál es el período en cada modelo? ¿Es el que esperaba? Explique las respuestas. j) ¿Qué ciudad presenta una mayor variación de temperaturas a lo largo del año? ¿Qué factor de los modelos lo determina? Explique las respuestas.

(0,375, l ,65) 1

2

b)

125, 2,35)

•••

1

H(t) = 84,40 + 4,28 sen (

y

3

t

X

0,8

19.

Proyecto individual Busque una colección de datos de la vida real en un periódico y ajuste un modelo a los datos. ¿Qué implica su modelo sobre los datos?

Ejercicios de repaso del Capítulo P En los Ejercicios 1-4, hallar las intersecciones con los ejes (si existe alguna).

y=2.x-3

2.

y=(x-1)(x-3)

x-1 3. v=-· x-2

4.

xy =4

l.

En los Ejercicios 5 y 6, determinar las simetrías respecto a cada eje y respecto al origen. S.

x 2 y - x 2 + 4y = O

6.

y=x4 -x 2 +3

En los Ejercicios 7-14, dibujar la gráfica de la ecuación.

7.

1 y=- (-x + 3) 2

9.

1 5 --x+-y=1 3 - 6

10.

0,02.x + 0,15y = 0,25

11. y=7-6x-x 2

12.

y=6x-x 2

14.

y= lx- 41-4

13.

y=~

8. 4x- 2y = 6

44

Capítulo P

Preparación para el Cálculo

En los Ejercicios 15 y 16, describir la ventana de calculadora que produce la figura.

28.

16. y=8$=6

P+- En los Ejercicios 17 y 18, encontrar, usando la calculadora, los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones. 17.

18.

3x-4y=8

X-

y- x 2

x+y=5

19.

20.

y+ 1 = 0

=7

Para pensar Escribir una ecuación cuya gráfica corte

29.

y2

=0

30.

x2

32.

X=

-

y= O

31.

y= x

Para pensar ¿Para qué valor de k pasa por el punto

33.

Evaluar (si es posible) la funciónf(x) = 1/x en los valores de la variable independiente especificados y simplificar los resultados. f(1 +Ax)-f(J) a) j(O) b) Ax

a)

(1, 4)

b)

(-2, 1)

e)

(0, O)

d)

( -1, -1)

En los Ejercicios 21 y 22, dibujar los puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por ellos.

0

O< lxl < 10

=

1

f(x) = 2 > 100 X

Análogamente, se puede obligar a fa ser mayor que 1.000.000 como sigue:

y

+ O < lxl <

1 1.000

~-

=

1

f(x) = 2 > 1.000.000 X

Comof(x) no se aproxima a ningún número real cuando x tiende a O, podemos

D

concluir que el límite no existe.

EJEMPLO 5 Comportamiento oscilante

FIGURA 1.10 lím j(x) no existe.

1 Discutir la existencia del límite lím sen - · x----+0

X

,~o

Solución: Seaf(x) ='sen (1/x). En la Figura 1.10, puede verse que, cuando x tiende a O,J(x) oscila entre -1 y l. Por consiguiente, el límite no existe puesto que, por pequeño que se elija~' siempre es posible escoger x 1 y x 2 que disten menos de~ unidades de O tales que sen (l/x 1 ) = 1 y sen (l/x 2 ) = 1, como indica la tabla.

Sección 1.2

Cálculo de límites gráfica y numéricamente

2

X

1 sen-

59

-

-

2

2

2

-

-

7r

3n

5rr

7n

9n

11¡¡

1

-1

1

-1

1

-1

2

-

-

2

x--->0

El límite no existe

X

D

Existen muchas otras funciones interesantes que presentan comportamientos no usuales en lo que se refiere a los límites. Una que se cita con frecuencia es la función de Dirichlet f(x)

0,

= { 1,

si x es racional si x es irracional

Esta función carece de límite en cualquier número real c.

Definición formal de límite Examinemos nuevamente la descripción informal de límite. Si f (x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a e por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a e es L, y escribimos límf(x) = L x----).c

A primera vista, esta descripción parece muy técnica. No obstante, la llamamos informal porque aún tenemos que dotar de un significado preciso a las frases «/(x) se acerca arbitrariamente aL»

y «X

tiende a c.»

60

Capítulo 1

Límites y sus propiedades

La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue Augustin-Louis Cauchy. Su definición e-{; de límite es la que se usa hoy de forma estándar. En la Figura Ll2, sea 8 un número positivo (pequeño)_ Entonces, la frase O dado, podemos tomar c5 = 813. Esta elección funciona porque 8

O< lx- 21 < c5 =3 implica que

1(3x- 2)- 41 = 3lx- 21 < 3G) = 8 4

D

como muestra la Figura 1.14. EJEMPLO 8 Aplicación de la definición ¡;.b de límite

Usar la definición ¡;-á de límite para demostrar que lím x 2 = 4 x--t2

4

FIGURA 1.14 El límite de f(x) cuando x tiende a 2 e> 4.

Solución:

Debemos probar que para todo

8

> O, existe un b > O tal que

lx 2 -4lc

de~~~dad

=

D

St1úl h, e números reales, n un entero positivo y j; 8 funciones con los siguientes !Imites

Oo

' 1 hm-----c==-x~o +1

Jx+1

1+ 1

1 2

Una tabla o una gráfica pueden servir para reforzar la conclusión de que el límite es 1/2. (Véase la Figura 1.19.)

X

f(x)

-0,001

o

0,001

0,5359 0,5132 0,5013 0,5001

?

0,4999 0,4988 0,4881 0,4721

-0,25

-0,1

-0,01

0,01

0,1

0,25

Nota. La técnica de racionalización para el cálculo de límites se basa en multiplicar por una forma conveniente de l. En el Ejemplo 8, la forma apropiada es 1

~+1

1 =-'-:==--

Jx+l + 1

Sección 1.3

h(x)

$

j(x)

$

g(x)

73

Cálculo analítico de límites

Teorema del encaje El siguiente teorema concierne al límite de una función que está «encajada» entre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo límite en un valor de x dado, como ilustra la Figura 1.20. (En el apéndice se da la demostración de este teorema.)

FIGURA 1.20 El teorema del encaje.

En la demostración del Teorema 1.9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje.

Demostración: Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de x, presentamos la demostración utilizando la variable e, donde edenota un ángulo agudo medido en radianes. La Figura 1.21 muestra un sector circular encajado entre dos triángulos.

~·)·· LJ FIGURA 1.21 Para demostrar el Teorema l. 9, se usa un sector circular.

Área del triángulo

Área del sector

~ 2

!!.._

Área del triángulo sen IJ

2

e resulta e ;:=:--;:=: 1 cos e sen e

Multiplicando cada expresión por 2/sen

y tomando inversos se obtiene

cose

~

sen

e

e

~

1

74

Capítulo 1

PARA MÁS INFORMACIÓN Sobre la función f(x) = sen x/x, puede consultarse el artículo de William B. Gearhart y Harris S. Shultz en The College Mathematics Journal, marzo 1990.

Límites y sus propiedades

Como cos O = cos (-8) y (sen (J)/8 = [sen (-8)]/(-8), concluimos que esta desigualdad es válida para todo O no nulo del intervalo abierto (-n/2, n/2). Finalmente, dado que lím cos O= l y lím 1 = 1, podemos aplicar el teorema del o~o

e~o

encaje para concluir que lím (sen 8)/0 = l. La demostración del valor del e~o

segundo límite se deja como ejercicio (véase el Ejercicio 103).

D

EJEMPLO 9 Un límite en el que interviene una función trigonométrica j(x)~~

Hallar el límite lím tg x X

x~o

1,57

Solución: La sustitución directa conduce a la forma indeterminada 0/0. Para resolver este problema, podemos escribir tg x como (sen x)/(cos x) y obtener

x ,

x) (-1-)

, tg = hm (sen hm --

-2

X

x~o

FIGURA 1.22 El límite de f(x) cuando x tiende a Oes l.

X

x~o

COS X

Ahora, como sen x lím - X

x~o

=1

1 lím - x~o cos X

y

=1

puede obtener lím tgx x =

x~o

ú~ se: x)(!~ co~ x)

= (1)(1) = 1

D

(Véase Figura 1.22.)

EJEMPLO JO Un límite en el que interviene una función trigonométrica Calcular el límite lím x--~>0

-1,57

1,57

sen 4x

~~ X

Solución: La sustitución directa conduce a la forma indeterminada 0/0. Para resolver este problema, podemos escribir el límite como , ~~=4 sen 4x ( hm~~ , sen 4x) hm X x~o 4x

-2

x~o

FIGURA 1.23 El límite de g(x) cuando x tiende a Oes 4.

Haciendo ahora y = 4x y observando que x escribir lím x~o

sen 4x x

~-=4

-+

O si y sólo si y

-+

O, podemos

( hm~, sen'Ax)· x~o 4x'

= 4(lím sen y~O

y

y)

= 4(1)

=4 (Véase Figura 1.23.)

D

75

Ejercicios de la Sección 1.3

Ejercicios de la Sección 1.3 l'lv En los Ejercicios

1-4, representar la función en la calculadora y estimar visualmente los límites.

l.

h(x) = x 2 - Sx a)

2.

lím h(x)

g(x) = a)

lím h(x)

b)

x-+ -1

3. f(x) =X COS X a)

23. 25.

lím g(x)

27.

límf(x)

a)

lím f(x)

lím f(t) lím f(t)

b)

t-+

lím x 2

6.

lím (2x- 1)

29.

8. 10.

x~2

x~3

13.

Jx+l

lím (x + 3) 2

12.

30.

COS X

lím sec (nx) 6

x~?

lím g(x) =x~c 2

x~c

a)

' 3 hmf(x) =2

x~c

1

lím g(x) = 3

lím (3x + 2)

lím [5g(x)]

a)

lím [4f(x)]

b)

lím [f(x) + g(x)]

e)

lím [f(x)g(x)]

x~c

lím (-x 2 + 1)

x~c

b)

lím [f(x) + g(x)]

e)

lím [f(x)g(x)]

x~c

lím (3x 3 - 2x 2 + 4) lím x~4

14.

x~c

d)

.y;-+4

lím (2x- 1) 3

31.

1 lím-

16. x2

+1

lím - x-+-1

X

lím senx x-+rc/2

x~c

, f(x) 11mx~c g(x)

18.

x~-3x+2

Jx+1

lím - - x~3

20.

x-4

lím tg x x~n

32.

lím [f(x)]

3

x~c

b)

lím x~c

e)

rImf(x) x~c

g(x)

límf(x) = 27 x~c

x~c

2

lím

d)

límf(x) = 4

x~o

x----.2 X

19.

28.

4

límf(x) = 2

a)

17.

lím x-+ Stt/3

lím tg (nx)

x~3

x~l

x-+-4

15.

26.

x~c

-1

x~l

lím (-x 2 + x- 2) lím

lím sen x

x--~--3

x~o

11.

lím cos 3x

r~4

x~4

9.

24.

lím sec 2x

En los Ejercicios 29-32, utilizar la información dada para calcular los límites.

En los Ejercicios 5-28, hallar el límite.

7.

nx lím sen2

x~t

x-+ 5rr,f6

lím g(x)

4. f(t) = tlt- 41

x-+rrj3

5.

22.

x~o

x~o

x~o

b)

x-9

lím cos nx x~l

x~4

x~s

b)

12(.j;:- 3)

21.

a)

lím1JW x~c

JlW

lím [3f(x)]

b)

rImf(x)

e)

lím [f(x)] 2

d)

lím [f(x)]2f3

x~c

18

x~c

d)

lím [f(x)]312 x-e

x~c

76

Límites y sus propiedades

Capítulo 1

En los Ejercicios 33-36, usar la gráfica para determinar visualmente el límite (si existe). Cuando sea posible, hallar una función que coincida con la dada excepto en el punto en cuestión. 2

33.

g(x)

-2x + x

34.

X

x - 3x h(x)=-x

51.

y

, [1/(2 + x)] - (1/2) hm 48.

x-+0

49.

2

=- - -

47.

52.

,

~~o ,

X

Jx+l- 2

lím--'------X- 3

x-3

, (x + fu:)2 - x2 2(x + fu:) - 2x so. A.x ~~o A.x 2 2 (x + Ax) - 2(x +fu:)+ 1 - (x - 2x + 1)

hm - - - - - - - - - - - - - - - -

A.x

~~x-o

,

~~o

(x + fu:)3 - x3

A.x

Investigación gráfica, numérica y analítica

En los Ejercicios 53-56, representar la función en la calculadora y estimar el límite. Usar una tabla para reforzar la conclusión. Después, calcular el límite por métodos analíticos.

..,.. X

a)

lím g(x) x-o

x-+ -2

lím g(x)

b)

b)

x-+- 1

35.

x3

g(x)

x

-

= -~ 1

X -

lím h(x)

a)

36. f(x)

lím h(x) x-o

ltm--'--------"---x-o X

54.

4lím - - x-t6x-16

SS.

, [1/(2 + x)] - (1/2) ltm------x-o X

56.

x 5 - 32 lím--x-2 X - 2

X

= ~2x

-X

y ~

:í \__ 1 i

1

1'X

:

2

3

' -

a)

lím g(x)

a)

En los Ejercicios 57-68, determinar el límite (si existe) de la función trigonométrica.

lím f(x) x-1

lím g(x)

b)

x-+- 1

lím f(x) x-o

Plw- En los Ejercicios 37-40, hallar el límite de la función (si existe). Encontrar una función que coincida con la dada salvo en el punto y representarla en la calculadora.

37.

x2

lím

39.

-

1

X+ 1

x-+ -1

Jx

i

x-+1

b)

' Jx+2- J2

53.

x3 + 8

lím - x--2 x+2

38.

2x 2

lím x-+ -1

40.

-

57.

sen x lím-x-o 5x

59.

lím o-o

61.

sen 2 x lím-x-o X

63.

lím

x- 3

X+ 1

e- 1 e sec e

sec

(1 - cos h) 2

65.

lím x-rr/2

En los Ejercicios 41-52, hallar el límite (si existe).

41.

lím -2 - x - 25

lím-x-2 x 2 - 4

x2 - 1

44.

hm x-o

'~-J3 hm x-o X

46.

lím x-o

2

43.

lím x-+1

45.

2-x

42.

x-5

x + x- 2

COS

X

ctg X

lím x-o

60.

lím o-o

62.

tg 2 X lím-x-o X

64.

lím ifJ sec ifJ

66.

lím x-rr/4

r-o

68.

1- tg X sen X-

COS

X

t

t) J 2

·

sen 2x lím-x-o sen 3x

[1/(x + 4)] - (1/4)

X

otg {) o

sen t lím2

-

X

cos

if>-rr

sen [ Ayuda: Calcular el ~~n¿ ( 1-

'~-J2

X

2

67. x-5

h

h-0

x3 + 1 lím - x--+--1 X + 1

3(1 - cos x)

58.

[

3x - ) · Ayuda: Calcular el lím ( 2 sen 2x)(- x-o 2x 3 sen 3x

J

Ejercicios de la Sección 1.3

77

~ Investigación gráfica, numérica y analítica En los Ejercicios 69-72, representar la función en una calculadora y estimar el límite. Usar una tabla para corroborar la conclusión. Después, calcular el límite por métodos analíticos.

Objeto en caída libre En los Ejercicios 87 y 88, debe usarse la función posición s(t) = -16t 2 + 1.000, que da la altura (en pies) de un objeto que lleva cayendo t segundos desde una altura de 1.000 pies. La velocidad en el instante t = a segundos viene dada por

69.

sen 3t lím-r~o t

70.

2

71.

sen x lím-x~o

lím (1 + cos 2h)

72.

X

En los Ejercicios 73-76, hallar lím

=2x + 3

4 75. f(x) =-

$

f(x + h) - f(x)

h

74. f(x)

-

87.

Si a un obrero de la construcción se le cae una llave inglesa desde una altura de 1.000 pies, ¿con qué velocidad estará cayendo la llave tras 5 segundos?

88.

Si a un obrero de la construcción se le cae una llave inglesa desde una altura de 1.000 pies, ¿cuándo golpeará el suelo la llave? ¿A qué velocidad se producirá el impacto?

·

= Jx

76. f(x) = x 2

s(a) - s(t)

hm---t--ta a- t

sen x lím--

x~o

h~O

73. f(x)

,

h~O

4x

X

En los Ejercicios 77 y 78, usar el teorema del encaje para hallar lím f(x). x~c

77.

e= O 4 - x 2 ~ f(x) ~ 4 + x 2

78.

e= a b- lx-al ~ f(x) ~ b +lx-al

~ En los Ejercicios 79-84, representar en una calculadora la función dada y las ecuaciones y= lxl e y= -lxl en una misma ventana. Usando las gráficas para visualizar el teorema del encaje, calcular lím f(x).

Objeto en caída libre En los Ejercicios 89 y 90, debe usarse la función posición s(t) = 4,9t 2 + 150, que da la altura (en metros) de un objeto que cae desde una altura de 150m. La velocidad en el instante t = a segundos viene dada por

x~o

,

79. f(x)

=X COS X

80.

81. f(x)

= lxl

82.

= lx sen xl f(x) =lxl cos x

84.

sen x

1

83. f(x) = x sen-

= 3.

89.

Determinar la velocidad del objeto cuando t

1 h(x) = x cos-

90.

¿A qué velocidad impactará el suelo el objeto?

X

91.

Un modelo matemático La velocidad de mecanografiado media de un alumno de mecanografía tras t semanas de clases se da en la tabla.

X

4

s(a) - s(t)

hm---t--ta a- t

f(x)

85. Redacción Representar en una calculadora sen x f(x) = x, g(x) = sen x, y h(x) = - -

x

en una misma pantalla. Comparar f(x) y g(x) cuando x es O. Utilizar esta comparación para explicar en unas líneas por qué lím h(x) x~o

14> 86.

Redacción

=1

a) b)

U san do una calculadora, representar

sen 2 x f(x) = x, g(x) = sen 2 x, y h(x) = - x

en una misma ventana. Comparar f(x) y g(x) cuando x es «próximo a>> O. Utilizar esta comparación para explicar en unas líneas por qué lím h(x) =O x~o

92.

t

5

10

15

20

25

30

S

28

56

79

90

93

94

Construir una curva con los datos. ¿Parece existir una velocidad de mecanografiado límite? Explicar la respuesta.

Encontrar dos funciones f y g tales que lím f(x) y x~o

lím g(x) no existen pero existe lím [f(x) + g(x)]. x-o x-o 93.

Demostrar que si límf(x) existe y lím [f(x) + g(x)] no x--+c

x-+c

existe, entonces lím g(x) no existe. x~c

78

Capítulo 1

Límites y sus propiedades

94.

Demostrar la propiedad 1 del Teorema 1.1.

95.

Demostrar la propiedad 3 del Teorema 1.1. (Puede utilizarse la propiedad 3 del Teorema 1.2.)

104.

Demostrar la propiedad 1 del Teorema 1.2.

97.

¿Verdadero o falso? Sif(x) < g(x) para todo x #a, ¿es cierto que límf(x) < lím g(x)? Si es falso, explicar

Probar que si lím f(x)

= O, entonces lím

x---+c

lf(x) 1

~ 105.

= O.

si x es racional SI x es IrraciOnal

.

.

Razonamiento gráfico sec x- 1

a) b)

= O.

x~c

Probar que si lím lf(x) x-+c

1

e)

= O, entonces lím f(x) = O. x--.-+c

.

x-o

Probar que si límf(x) x-+c

= L, entonces lím lf(x)l = ILI. x-te

[Ayuda:Usarladesigualdadllf(x)I-ILII

a)

Para pensar Hallar una función f que muestre que el recíproco del Ejercicio 101 no es cierto. [Ayuda: Buscar una función f tal que lím lf(x)l = ILI pero

b)

x-e

límf(x) no existe.]

e) d)

Demostrar la segunda parte del Teorema 1.9 probando que 107. lím x---+0

1-

COS X X

CONTENIDO Continuidad en un punto y en un intervalo abierto Límites laterales y continuidad en un intervalo cerrado Propiedades de la continuidad Teorema del valor intermedio

• • • • •

=O

Determinar el dominio de f Representar f en una calculadora. ¿Es evidente el dominio de fa partir de la gráfica? Si no lo es, explicar por qué. Utilizando la gráfica de f, estimar lím f(x). Confirmar la respuesta al apartado e) analíticamente.

106. Aproximación

lf(x)-LI.l

::S::

Consideremos la función

x~o

d)

(Nota: Éste es el recíproco del Ejercicio 98.)

103.

0,

x,

f (x) = ---::--xl

x---+c

fijo M y todo x # e, entonces lím f(x)g(x)

102.

={

x---+0

x~c

101.

si x es irracional

Calcular (si es posible) lím f(x) y lím g(x).

99. Probar que si límf(x) =O y lg(x)l::::; M para un número

100.

si x es racional

x-a

por qué o dar un ejemplo que pruebe la falsedad. 98.

0,

= { 1,

y g(x)

96.

x---+a

Sean f(x) .

J - COS X

Hallar lím ---,,---x-o x2 Usar el resultado del apartado a) para obtener la aproximación cos x ~ 1 - 1/2 x 2 para x cercanos a O. Aplicando el resultado de b), estimar cos (0,1). Utilizando una calculadora, estimar cos (0, 1) con cuatro cifras decimales exactas. Comparar el resultado con el del apartado e).

Redacción Discutir qué significa, en el contexto del cálculo de límites, que dos funciones coincidan salvo en un punto.

c=J-~-:n-tl-.n-ui-d-ad_y_lí_m_it_es-1-at-er_a_le_s_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ Continuidad en un punto y en un intervalo abierto En Matemáticas, el término continuo tiene prácticamente el mismo significado que en su uso cotidiano. Decir que una función es continua en x = e significa que no hay interrupción de la gráfica dejen c. Esto es, la gráfica no tiene en e agujeros, saltos ni aberturas. La Figura 1.24 exhibe tres valores de x en los que la gráfica de f no es continua. En los demás puntos del intervalo (a, b), la gráfica no sufre interrupciones y es continua.

Sección 1.4

79

Continuidad y límites laterales y

>

,,

"

+' :'

'

'

De ;rnQd0 ifitql"Illll:I, s~ Ií~

decit q'q~ftl® ~9ióu ., c~nti­ nua en~in_tecy~ló :¡¡~~D; ~i:s~. gráfic'a s~> de Hardy Grant en The College Mathematics Journal, septiembre 1994.

l.

f(cY~$iá:~~~7

2- límf{x) x-e

existe..·

3.

Contm~í(tad en un·tnt~~()abierto:: ·Deé~.queuna f\mciónes~Jllti~

nua en •.intel'~.ál~.a~~~ ((¡, b}si es~np-nua en cada punto del ~r:va­ lo. V~·función 2

3jy

1¡¿

X>

lx- 31

6

2,

48. f(x) = {

f(x)

X~

4X+ 1,

{'"'~m,

+ 3-t-

29.

-

61. f(x)

= x-

1

1

= (x- 6)

g(x) = x 2 + 5

1

60. f(x)

= Jx

g(x)

= x-

1

62. f(x) =sen x g(x)

=x2

Ejercicios de la Sección 1.4

91

~ En los Ejercicios 63-66, representar la función en la calculadora. Utilizar la gráfica para determinar todos los valores de x en los que la función no es continua.

En los Ejercicios 75-78, utilizar el teorema del valor intermedio y una calculadora gráfica para estimar el cero de la función en el intervalo [0, 1]. Aplicando sucesivos aumentos a la gráfica de la función, determinar el cero con una precisión de dos cifras decimales. U san do una calculadora programada para la búsqueda de raíces, estimar el cero con una precisión de cuatro cifras decimales.

63. j(x) 65.

g(x)

= [x]- x = {2: X

64.

24,

-

X,

h(x)

1

= ~2:------­ x

-X-

2

X ~ X

3 > 3

75. f(x) 11.

66. j(x)

=

rOS : - 1' l5x,

X

o

79. En los Ejercicios 67-70, hallar los intervalos en los que la función es continua. 67. f(x)

=-2 X

68. j(x)

+1

f(x) = x

3

2

= xJx+"3

82. f(x)

A ¡+

=+·· +::;;f'·i-·f...

-

-

[0, 5],

6x + 8, 2

x + x- 2,

+x = x~·

f(c) = 11

[0, 3],

[52' J

4 •

f(c) =O

[0, 3], f(c)

j(c) = 4

=6

x

83.

Volumen Usar el teorema del valor intermedio para demostrar que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo [0, 5] hay una con 275 cm 3 de volumen.

84.

Tarifas telefónicas Una llamada de larga distancia entre dos ciudades cuesta $1,04 por los primeros dos minutos y$ 0,36 por cada minuto o fracción adicional. Utilizando la función parte entera, expresar el coste C de una llamada en términos del tiempo t (en minutos). Dibujar la gráfica de esta función y discutir su continuidad.

85.

Gestión de inventarios El número de unidades en inventario en una pequeña empresa viene dado por

-1-¡-

-2t

-4

2

+] Jx

X

X

= cosec -

70. f(x) =

y

y

N(t)

1

2

3

4

~ Redacción En los Ejercicios 71 y 72, usar una calculadora para representar la función en el intervalo [-4, 4]. ¿Parece continua en el intervalo la gráfica de la función? ¿Es continua la función en [-4, 4]? Escribir unas líneas acerca de la importancia de examinar una función analíticamente además de hacerlo gráficamente.

sen x 71. j(x) = -

x3 - 8 72. f(x) = - -

x-2

X

= 25(2~ ~

2 ]-

r)

donde t representa el tiempo en meses. Dibujar la gráfica de esta función y discutir su continuidad. ¿Con qué frecuencia debe la empresa reponer existencias?

--j--····+-·-1-···-t-_..,. X

86.

vu Un sábado a las 8:00 de la mañana, un hombre comienza a subir coniendo la ladera de una montaña hacia su camping de fin de semana. El domingo a las 8:00 de la mañana b¡lja corriendo la montaña. Tarda 20 minutos en subir y sólo 1Oen bajar. En cierto punto del camino de bajada, el hombre se da cuenta de que pasó por el mismo lugar a la misma hora el sábado. Probar que el hombre está en lo cierto. [Ayuda: Aplicar el teorema del valor intermedio a la funciónj(t) =s(t)- r(t), siendo s(t) y r(t) las funciones de posición de subida y bajada.]

Déjit

Redacción En los Ejercicios 73 y 74, explicar por escrito por qué la función posee un cero en el intervalo especificado.

73. j(x) 74. f(x)

e

y

y

69. f(x)

78.

f(x) = x 2 + x- 1,

80. f(x) = x 2 81.

X -

= x 3 + 3x - 2 h(O) = 1 + e- 3 tg

76. f(x)

En los Ejercicios 79-82, comprobar que el teorema del valor intermedio es aplicable al intervalo indicado y hallar el valor de e que garantiza el teorema. ·

< 0

x :;;:

g(t)

=x3 + x - 1 = 2 cos r- 3t

=x 2 - 4x + 3, =x 3 + 3x - 2,

[2, 4] [0, 1]

Sábado 8:00 de la mañana

Domingo 8:00 de la mañana

92

Capítulo 1

87.

Límites y sus propiedades

Demostrar que si fes continua y carece de ceros en [a, b], entonces

92.

Si f(x) = g(x) para x # e y f(c) # g(e), entonces alguna de las funciones f y g no es continua en e.

f(x) >O para todo x en [a, b]

93.

Para una función racional puede haber infinitos valores de x en los que no es continua.

94.

La funciónf(x)

95.

Un modelo matemático La siguiente tabla recoge la velocidad S (en pies por segundo) de un objeto que lleva cayendo t segundos.

o f(x) < O para todo x en [a, b]

Demostrar que la función de Dirichlet

88.

0,

si x es racional

= { 1,

f(x)

si x es irracional

no es continua en ningún número real. 89.

Demostrar que la función si x es racional si x es irracional

0, f(x) = { kx,

a) b)

sólo es continua en x = O. (Aquí k es cualquier número real no nulo.) 90.

La función signo se define por -1,

sgn(x) = O, { 1,

96.

lím sgn(x)

b)

t:-..0-

lím sgn(x)

e)

Si límf(x)

1 :

+--- -+---6

-4

_3___

61 ¡ 4t ¡ 2 T l ---1---·- --1------+-+--x r

00

x-2 ' comox -2

¡

4

6

20

25

30

S

o

48,2

53,5

55,2

55,9

56,2

56,3

Construir una curva con los datos. ¿Parece existir una velocidad límite del objeto? En caso afirmativo, encontrar una posible causa.

Demostrar que si lím f(x 0 + Ax') = f(x 0 ), entonces fes

Discutir la continuidad de la función h(x)

99.

Seaf(x) =(~- e)/x, e> O. ¿Cuál es el dominio de f! ¿Cómo se puede definir f en x = O de manera tal que f sea continua en ese punto?

100.

Seanf1 (x) y f 2 (x) funciones continuas en el intervalo [a, b]. Probar que sif1(a) f 2 (b), entonces existe e entre a y b tal que ! 1 (e) =j 2 (c).

=x[x].

1.5 Límites infinitos

Límites infinitos Sea f la función dada por 3 f(x) = -

x- 2

Con ayuda de la Figura 1.37 y de la tabla de la página siguiente, puede verse que f(x) decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda y crece sin cota cuando x tiende a 2 por la derecha. Este comportamiento se denota

''

,

3

,

3

1lm - - = - 0 0 x~z- X - 2

' l• ~ ;, '

FIGURA 1.37 f(x) crece y decrece sin cota cuando x tiende a 2.

15

98.

x~o

' '

'

10

Probar cpe para todo número real y existe un x en (-n/2, n/2) tal que tg x =y.

=L y f(c) =L, entonces fes continua en c.

CONTENIDO • Límites infinitos • Asíntotas verticales •

5

97.

lím sgn(x)

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 91-94, determinar si la afirmación es cierta o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad. 91.

o

continua en x 0 .

X> 0

x~o+

t

&~o

x O. Necesitamos entonces encontrar un b > O tal que [f(x) + g(x)] > M

siempre que O< lx-el< J. Para simplificar, podemos suponer L >O y hacer M 1 =M+ l. Como el límite def(x) es infinito, existe un M 1 siempre que O < lx - e 1< b 1 . Y como el límite de g(x) es L, existe un b 2 tal que lg(x)- Ll < 1 siempre que O< lx-el< M

Por tanto, lím [f(x) + g(x)] = oo x-->c

Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios (véase D Ejercicio 60).

98

Capítulo 1

Límites y sus propiedades

EJEMPLO 5 Cálculo de límites 1 Como lím 1 = 1 y lím 2 x--+0 x--+0 X

a)

lím (1 + ~) X

x~o

De lím (x 2 + 1)

b)

x~l

lím

x~!-

e)

Al ser lím 3 x-+0+

= co, se sigue que

= co

Propiedad 1, Teorema l. 15

1 = 2 y x~J-x-1 lím - - = -co, deducimos que

x2 + 1 =O 1/(x- 1)

=3 y

Propiedad 3, Teorema ],]5

lífi1 ctg x x-+0

= oo, se tiene

lím 3 ctg x = co

D

Propiedad 2, Teorema ],]5

x-o~

Ejercicios de la Sección 1.5 En los Ejercicios 1-4, averiguar si f(x) tiende a oo o a -oo cuando x tiende a -2 por la izquierda o por la derecha, 1

1 2. f ( x ) = -

1 l. f(x) = (x + 2)2

'~-

Jll, ,i-ITI: : zl

:' +' +--+--+--!--+-

t

1

1

-3,1

~-3,01 ~-3,001

1

nx

:(x) ~-2,999~-2 ~)

S. f(x) =

1

zg

X -

1!X

7. f(x)

4

)w \ frTx y

1

X

1

1

1

1

.•.

:

:

:

:1 .

~

1

1

1

1

1 1

1 1

1 1

1

-~-+-::;

1

1

1

1

:

;

1

-2,5

6. f(x)

1

X

=--zg X -

=--zg X -

nx

8. f(x) = sec6

En los Ejercicios 9-24, hallar las asíntotas verticales (si existe alguna) de la función,

1

,n, : + :f\: ~

-2,9

xz

4. f(x) = sec-

4

1

X

-~i

1

3. f(x) = tg-

/

-3,5

1

x+2 y

-5 4-3 : -]

:(x)

1 9. f(x) = 2 X

!

11.

Análisis numérico y gráfico En los Ejercicios 5-8, determinar, completando la tabla, sif(x) tiende a oo o a -oo cuando x tiende a -3 por la izquierda y por la derecha, respectivamente, Representar la función con una calculadora para confirmar la respuesta,

4 10. f(x) = (x - 2)3

h(x) =

x2 - 2 x -x-2 x3 2

13. f(x) = - 2 X

-

15. f(x) = tg 2x

1

2+x

12.

g(x) = - 1-x

14.

f (X) = ---z-;¡:

-4x

X

+

16. f(x) = sec nx

99

Ejercicios de la Sección 1.5

17.

4

T(t) = 1 - -

19. f(x) = 21.

(>.,

X x 2 + x- 2

x3 + 1 x(x)=-x+l

23. s(t) =

t

~-

sen

-2 V(s)- (s- 2) 2

18.

(2

t

1 20. f(x) = (x + 3/ x2

22.

h(x) =

24.

g(O) = -

-

46.

Ley de Boyle En un gas a temperatura constante, la presión P es inversamente proporcional al volumen V. Calcular el límite de P cuando V --> O+.

47.

Ritmo de cambio Una escalera de 25 pies está apoyada en una casa (véase figura). Si se tira de la base de la escalera alejándola de la casa a un ritmo de 2 pies por segundo, la parte superior descenderá por la pared a un ritmo de

4

2

3

x + 2x + x + 2

o o

tg

r=

En los Ejercicios 25-28, determinar si la función tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable en x =-l. Representar la función en una calculadora para confirmar la respuesta. x2 - 1 25. f(x) = - X+ 1

26. f(x) =

x2 + 1 27. f(x)=-X+ 1

28. f(x) =

x2

J625- x 2

pies/s

donde x es la distancia entre la base de la escalera y la casa. a) Hallar el ritmo r cuando x es 7 pies. b) Hallar el ritmo r cuando x es 15 pies. e) Hallar el límite de r cuando x --> 25-.

6x- 7

-

2x

X+ 1

l("fP

sen (x + 1) X+ 1

50 pies

En los Ejercicios 29-40, hallar el límite. 29.

x-3 lím - x - 2

2+x lím - 1 -X

30.

x·~z·

32.

lím

35. 37.

lím

x-o-

x + 2x- 3 x 2 + x- 6

(1 +~)

lím x-i

x2

6x + x- 1

lím

34.

x-(-1/2)+

36.

lím

x---.o-

38.

x-o+

39.

4x 2 - 4x- 3

(x2 -~)

-

x

(x + l)(x- 1)

40.

Ritmo de cambio Un coche patrulla está aparcado a 50 pies de un gran almacén (véase figura). La luz giratoria de la parte superior del coche gira a un ritmo de 1 revolución por segundo. El ritmo al que se desplaza el haz de luz a lo largo de la pared es r = SOn sec 2 O pies/s

-2

lím

a) b) e)

X

x-2 lím - 2x-3

FIGURA E. 48

X

x-(rr/2)" COS

2

48.

2

X

2 lím - sen X

FIGURA E. 47

xz lím -2 - x-4- x + 16

2

X---'>--3

t

x-i+

xz 31. lím -2 - x-4· x - 16

33.

1

49.

X

f\c. En los Ejercicios 41-44, representar la función en una calcu-

Hallar el ritmo r cuando O es n/6. Hallar el ritmo r cuando e es n/3. Hallar el límite de r cuando O --> (n/2)-.

Drogas ilegales El coste en millones de dólares que le supone a una agencia gubernamental incautarse de un x% de cierta droga ilegal es

]adora y determinar el límite lateral. 528x

41. f(x)

=

x2 + x + 1 x3

-

1

lím .f(x) x--+1 +

1 43. f(x) = xz- 25 lím f(x)

x-s-

45.

42. .f(x) =

x3

-

C=~~-·

1

100-x

x2 + x + 1

a) b) e) d)

lím .f(x) x---+1-

nx 44. .f(x) = sec6

lím .f(x) x----~'3+

Una suma dada es inversamente proporcional a 1 - r, donde O< 1rl < l. Calcular el límite de S cuando r --> 1 -.

50.

Hallar el Hallar el Hallar el Hallar el

O~x 100-.

Velocidad media En un viaje de d millas a otra ciudad, la velocidad media de un camionero fue de x millas por hora. En el viaje de vuelta, la velocidad media fue de y millas por hora. La velocidad media del viaje de ida y vuelta fue de 50 millas por hora.

Capítulo 1

100

a)

b)

Límites y sus propiedades f)

25x Comprobar que y=---· ¿Cuál es el dominio? X- 25 Completar la tabla.

Hallar lím

L

q,~(n/2)-

Dar un segundo método, de tipo geométrico, para calcular este límite. g) Hallar lím L q,~o+

e) 51.

¿Difieren los valores de y de los esperados? Explicar la respuesta. Hallar el límite de y cuando x ---> 25 +.

Relatividad De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de una partícula depende de su velocidad v. Esto es,

donde m 0 es la masa cuando la partícula está en reposo y e es la velocidad de la luz. Calcular el límite de la masa cuando e-.

Análisis numérico y gráfico Consideremos la región sombreada que queda fuera del sector de círculo de radio 10 m y dentro del triángulo rectángulo de la figura. a) Expresar el área A =f(O) de la región en función de e. Determinar el dominio de esta función. b) Completar la tabla con ayuda de una calculadora.

Para pensar Usando la gráfica de la función! (véase figura), esbozar la gráfica de g(x) = llf(x) en el intervalo [-2, 3].

1;(O) 1 0,31 0,61 0,911,211,51

mo m= ------¡==:.ó::::;=;==::;= 2 2

Jl - (v

52.

/e

54.

)

y

•

~~· 53.

Razonamiento numerzco y gráfico Una correa en cruz conecta un disco de 20 cm (10 cm de radio) situado en un motor eléctrico con otro de 40 cm (20 cm de radio) en una sierra circular. El motor eléctrico gira a 1.700 revoluciones por minuto. a) Hallar el número de revoluciones por minuto de la sierra. b) ¿Cómo afecta el cruce de la correa a la sierra en relación con el motor? e) Sea L la longitud total de la correa. Expresar Len función de ,donde se mide en radianes. ¿Cuál es el dominio de la función? [Ayuda: Sumar las longitudes de los tramos rectos de la correa y las longitudes de la correa alrededor de cada disco.] d) Completar la tabla con ayuda de una calculadora.

e)

d)

(}

lOm

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 55-58, determinar si la afirmación es cierta o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre su falsedad. 55.

Usando una calculadora, representar la función en un dominio apropiado.

Si p(x) es un polinomio, entonces la función dada por f(x) = p(x) X- 1

1 : 1 0,31 0,61 0,911,211,51 e)

Usando una calculadora, representar la función en un dominio apropiado. Calcular el límite de A cuando () ---> n/2-.

posee una asíntota vertical en x = l. 56.

Toda función racional tiene al menos una asíntota vertical.

57.

Las funciones polinómicas carecen de asíntotas verticales.

101

Ejercicios de repaso del Capítulo 1 58.

Si f tiene una asíntota vertical en x = O, entonces f no está definida en x =O.

59.

Encontrar dos funciones f y g tales que límf(x) = oo

y

x-+c

b)

e)

Sea M= 1000. Representar en una calculadora la función y la recta y = 1000. Usar las gráficas para estimar o. Describir en unas líneas cómo varía al crecer M.

o

lím g(x) = oo x-+c

pero lím [f(x) - g(x)] '1 O. x-e

60.

Demostrar las propiedades restantes del Teorema 1,15.

61.

Probar que si límf(x) = oo x-e

entonces 1

lím-= O x-e f(x) 62. Probar que si

1 lím-=0 x-ef(x)

entonces límf(x) no existe. x-e

1't< 63. Redacción Dado que x+2 lím - - -2 = oo

x-1

(x- 1)

para cada M > O existe un

o> O tal que

x+2

---> M (x- 1) 2

siempre que O< Jx- 1J 2

1

ifJ) = cos

26.

x 2 + 2x + 1

b 3 =(a- b)(a 2 +ah+ b 2 )]

-

X

' (1/~)-l hm

8 cos

ifx

1-

~

x~-1'

lím

1,01

j(x)

cos (n + ~) + 1 lím------

Llx~o

x-+-2-

27.

1, l

34. f ( x ) = - -

En los Ejercicios 23-32, calcular el límite lateral propuesto.

25.

Completar la tabla para aproximar el límite. Representar en una calculadora la función y estimar el límite, a la vista de esa gráfica. Racionalizar el numerador y calcular analíticamente el valor exacto del límite.

~

[Ayuda: cos (O +

23.

En los Ejerci-

fo+l-J3

sen [(n/6) + ~] - (1/2) lím - - - - - - - - -

[Ayuda: sen (0 +

22.

X

33. f(x) = --'------"-x- 1

,~o

x 3 + 125

x-+0+

21.

16.

X

x-+-5

lím x~o

[1/(x + l)] - l

x-+0

17.

x-o-

X

X

lím (3x + 5)

10.

14.

H-2

15.

x-o-.-

cos 2 x lím - -

32.

x~2

x~2

11.

cosec 2x

X

Investigación numérica, gráfica y analítica cios 33 y 34, consideramos lím f(x). b)

lím h(x)

lím

x---+0+

X-+ J +

1 1 1

a)

sec x lím - -

30.

x-+0+

lím x-+-1 +

2x - l

X

x4

+ 1 -

1

x 2 -2x+l X

+1

p;i

39. f(x) = (x - 2)2

40. f(x) =

3 41. f(x)=X + l

X + l 42. f(x) = - 2x + 2

nx 43. f(x) = cosec -

44. f(x) = tg 2x

2

45.

-

Determinar el valor de e para el cual la función fes continua en toda la recta real. f(x) =

X+ {

3,

ex+ 6,

X

~ 2

x > 2

Ejercicios de repaso del Capítulo 1 46.

Hallar los valores de b y e que hacen continua sobre toda la recta real a la función f(x) ·

~ 47.

p¡,., 48.

={

X+ J,

l 2

lím f(x) = 1, donde

ello es posible). a) lím f(x)

X

Objeto en caída libre En los Ejercicios 55 y 56, usar la función posición s(t) = -4,9t 2 + 200, que da la altura en metros de un objeto que cae libremente desde una altura de 200 metros. Su velocidad en el instante t = a segundos es

2

x~3

f(x)

X

x--+0

={

p < 100

Sea la función f definida por f(x)

4

62.

Para las funciones polinómicas, los límites laterales existen siempre y son iguales.

f(x)

Hallar cuánto cuesta eliminar a) 15 por 100, b) 50 por 100, y e) 90 por 100. d) Calcular el límite de e cuando p --> 100. 54.

61.

65.

Seaf(x)=~. b)

Hallar el dominio de f Calcular lím f(x).

e)

Calcular lím f(x).

a)

x-+0-

x-+l

+

MOTIVACIÓN DEL CAPÍTULO Gravitación: su búsqueda experimental El estudio de la Dinámica se remonta al siglo XVI. Cuando la oscurantista Edad Media dejó paso al Renacimiento, Galileo Galilei (1564-1642) fue de los primeros en avanzar hacia la comprensión del movimiento de los objetos bajo la influencia de la gravedad. Y a se sabía que un objeto se mueve cada vez más rápido en su caída, pero se ignoraba qué ley gobierna ese movimiento acelerado. Son movimientos demasiado rápidos para ser susceptibles de medidas precisas con los instrumentos existentes en esa época. Galileo resolvió este problema de un modo muy ingenioso. Argumentó que la gravedad quedaba «diluida» si, en lugar de dejar caer libremente una bola, se hace rodar la bola por un plano inclinado. Además, utilizó un reloj de agua, que medía el tiempo por medio de la cantidad de agua que salía por un pequeño orificio. Hoy en día disponemos de instrumentos relativamente baratos, como el Texas Instruments Calculator-Based Laboratory (CBL) System, que permiten obtener datos precisos de la posición de un objeto en caída. Con uno de estos sistemas han sido obtenidos los datos de una bola en caída que se muestran en la próxima tabla, en intervalos de 0,02 segundos.

104

0,24

Tiempo (seg)

Altura (metros)

Velocidad (metros/seg)

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22

0,290864 0,284279 0,274400 0,260131 0,241472 0,219520 0,189885 0,160250 0,126224 0,086711 0,045002 0,000000

-0,16405 -0,32857 -0,49403 -0,71322 -0,93309 -1,09409 -1,47655 -1,47891 -1,69994 -1,96997 -2,07747 -2,25010

CUESTIONES l.

Representar en la calculadora las posiciones de la bola al caer. ¿Qué tipo de modelo parece ajustar mejor? Usar regresión en la calculadora para hallar el modelo de ajuste óptimo.

2.

Repetir el proceso para las velocidades de la bola en caída. Describir la relación entre ambos modelos.

3.

En teoría, la posición de un objeto en caída libre en el vacío viene dada por 1 s = gt2 + v0 t + s 0 , donde g es la aceleración de la gravedad (metros por

2

segundo por segundo, abreviado rn/s 2 ), tes el tiempo (en segundos), v0 es la velocidad inicial (en metros por segundo) y s0 es la altura inicial (en metros). A partir del experimento anterior, estimar el valor de g. ¿Cree que su estimación es errónea por exceso o por defecto? Explique su razonamiento.

105

La derivada CONTENIDO El problema de la recta tangente La derivada de una función Derivabilidad ycontinuidad

• • • •

_2.1_ _ _ _ _ _ _ _ __ [ ] La derivada y el problema de la recta tangente

El problema de la recta tangente El Cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas sobre los que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo xvrr.

l. 2. 3. 4.

El El El El

problema problema problema problema

de la recta tangente (Sección 1.1 y esta sección). de la velocidad y la aceleración (Secciones 2.2 y 2.3). de los máximos y mínimos (Sección 3.1 ). del área (Secciones 1.1 y 4.2).

Cada uno de ellos involucra la noción de límite y podría servir como introducción al Cálculo. Vimos una breve introducción al problema de la recta tangente en la Sección 1.1. Aunque se habían dado soluciones parciales por parte de Pierre de Fermat (1601-1665 ), René Descartes (1596-1650), Christian Huy gens (16291695), y Isaac Barrow (1630-1677), la primera solución general se suele atribuir a Isaac Newton ( 1642-1727) y a Gottfried Leibniz ( 1646-1716 ). El trabajo de Newton en este problema provenía de su interés por la refracción de la luz en Óptica. ¿Qué significa decir que una recta es tangente a una curva en un punto? Para un círculo, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que pasa por P, como indica la Figura 2.1. Para una curva general, sin embargo, el problema es más difícil. Por ejemplo, ¿cómo podríamos definir las rectas tangentes de la Figura 2.2? Podríamos afirmar que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla. Tal definición sería correcta para la primera curva de la Figura 2.2, pero no para la segunda. También podríamos decir que una recta es tangente a una curva en P si la toca o la intersecta sólo en el punto P. Pero tampoco es válida en general, como sugiere la tercera curva de la Figura 2.2. 106

Sección 2.1

107

La derivada y el problema de la recta tangente

y

y

y

X

FIGURA2.1 Recta tangente a un círculo.

FIGURA 2.2 Recta tangente a una curva en un punto.

Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce al de hallar su pendiente en ese punto. Podemos aproximar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante que pasa por P y por otro punto cercano de la curva, como indica la Figura 2.3. Si (e, f(e)) es el punto de tangencia y (e+ Lix, f(e + Lix)) es el otro punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos viene dada sustituyendo en la fórmula Y2- Y¡ m=---

y

x2- x 1

msec (e +&.f(c +fu:))

)

-------j

=

f(e + Lix) - f(e)

Cambio en y

(e + Lix) - e

Cambio en x

f(c + Lix) - f(c) }(<

<

&) - fi 0). 1

La definición de recta tangente a una curva no cubre la posibilidad de una recta tangente vertical. Para éstas, podemos usar la siguiente definición. Si fes continua en e y Recta

, f(c + &) - f(c) 1Im =

&~o

&

00

o bien lím f(c + &) - f(c) = _ 00 &

&~o

FIGURA 2.7 La gráfica de f tiene recta tangente vertical en (e, f(c)).

la recta vertical, x =e, que pasa por (c,j(c)) es una recta tangente vertical a la gráfica def Así, la funcion de la Figura 2.7 tiene tangente vertical en (c,j(c)). Si el dominio de fes el intervalo cerrado [a, b], se puede extender la definición de recta tangente vertical de forma que incluya a los puntos terminales, considerando la continuidad y los límites por la derecha en x = a y por la izquierda en x = b.

La derivada de una función Hemos llegado a un punto crucial en el estudio del Cálculo. El límite utilizado en la definición de la pendiente de una recta tangente se usa también para definir una de las dos operaciones fundamentales del Cálculo: la derivación.

110

Capítulo 2

La derivada

El proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación. Una función es derivable (o diferenciable) en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a, b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. Además def'(x), que se lee O, es m= l/(2jx).

'

(~- Jx)(~ + Jx)

J

&

x

+& +

Jx

(x + &) - x ----~==~--~~

&(Jx + &

+ Jx)

M

MJx + &

+ Jx)

1

= hm ---===~--~~

óx~o

cJx + &

+ Jx)

1

2Jx En el punto (1, 1) la pendiente esf'(l) = f'(4) =

1

4

1

. En el punto (4, 2) la pendiente es 2

(véase Figura 2.8). En el punto (0, 0) la pendiente no está definida.

Además, al ser infinito el límite def'(x) cuandox---> Opor la derecha, la gráfica D de f tiene tangente vertical en (0, 0). En muchas aplicaciones conviene usar una variable independiente distinta de x, como ocurre en el Ejemplo 5.

EJEMPLO 5 Cálculo de la derivada de una función Hallar la derivada respecto de t de la función y = 2/t.

112

Capítulo 2

La derivada

Solución:

Considerando y= f(t) obtenemos

dy = lím f_(_t _+_Ll_t)_-_f_(_t) dt dHO Llt

2 ,

2

t + Llt Llf

=1l i D - - - t.HO

Definición de derivada

f(t + f..t) = 2/(t +

M

y J(t) = 2/t

2t - 2(t + Llt)

= lím _t...:.(t_+_Ll....:t)_ dHÜ

6

-2,Ar = lím----t.HO.M(t)(t

FIGURA2.9 En el punto (1, 2) la recta y =-2t +4 es tangente a la gráfica de y= 2/t.

Combinar las fracciones del numerador

/).(

+ /'!.t)

-2

= lím--t.HO t(f + /'!.t)

Cancelar el factor común f..t

Simplificar

Evaluar el límite para f..t

-+

O

o

Derivabilidad y continuidad La siguiente formulación alternativa como límite de la derivada es útil al investigar la relación entre derivabilidad y continuidad. La derivada de f en e es f'(c) = lím f(x) - f(c)

V

:.

(x,fix))

/f=:-~1) \ :J(x) -f(c) 1

1 1 1 1

Fórmula alternativa para la derivada

x-e

supuesto que ese límite existe (véase Figura 2.1 0). (En el apéndice se demuestra la equivalencia de ambas fórmulas.) Obsérvese que la existencia del límite en esta formulación alternativa requiere que los límites unilaterales

1 1 1

1 1 1 1 1 1

, f(x) - f(c) 1liD X-C

y

, f(x) - f(c) 1liD x-e+

X-C

1

1 1 ···-····~·····"" ~-1·----~~~-~-L---·~~ X

e

x

FIGURA 2.10 Cuando x tiende hacia e, la recta secante se aproxima a la recta tangente.

existan y sean iguales. Estos límites se llaman derivadas por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Decimos quejes derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en (a, b) y existen además la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b.

Sección 2.1

113

La derivada y el problema de la recta tangente

Si una función no es continua en x =e, no puede ser derivable en x =c. Por ejemplo, la función parte entera f(x) = [x]

no es continua en x = O y, en consecuencia, no es derivable en x Figura 2.11 ). Podemos comprobarlo sin más que observar que lím f(x) - f(O) = lím [x] -O= oo x~o-

X -

0

x~o-

= O (véase

Derivada por la izquierda

X

y

lím f(x)- f(O) = lím [x] -O= O FIGURA 2.11 La función parte entera no es derivable en x =O, ya que no es continua en x =O.

x-o+

X - Ü

x-o+

Derivada por la derecha

X

Aunque es cierto que derivable implica continua (como demostraremos en el Teorema 2.1 ), el recíproco no es cierto. Esto es, puede ocurrir que una función sea continua en x = e y no sea derivable en x =c. Los Ejemplos 6 y 7 ilustran tal posibilidad. EJEMPLO 6 Una gráfica con un punto anguloso

y

+

La funciónf(x) = lx- 21 que se muestra en la Figura 2.12 es continua en x = 2. Sin embargo, los límites unilaterales ¡f '1 lím f(x) - /(2) x~z-

X -

2

= lím x~z-

lx - 21 - O = _ 1 X - 2

,..,_.-

"'

'")

V

Derivada por la izquierda

y lím f(x) - /(2) = lím lx - 21 - O = 1

x~2+

F!GURA2.12

f no es derivable en x =2, porque las derivadas laterales no son iguales.

X -

2

x~2+

X -

2

Derivada por la derecha

no son iguales. Por consiguiente, f no es derivable en x = 2 y la gráfica de f no tiene recta tangente en el punto (2, 0). D EJEMPLO 7 Una gráfica con tangente vertical La funciónf(x) = x 1 13 es continua en x =O, como se ve en la Figura 2.13. Sin embargo, como el límite ,

hm x~o

f(x) - f(O) , x 113 - O =hm--X- O x~o X

=00

es infinito, podemos concluir que la recta tangente en x = O es vertical. Por tanto, f no es derivable en x = O. D FIGURA 2.13

f no es derivable en x =O, porque tiene tangente vertical.

De los Ejemplos 6 y 7 vemos que una función no es derivable en un punto donde su gráfica presente un punto anguloso o una tangente vertical.

114

Capítulo 2

La derivada

Demostración: Para probar que fes continua en x =e bastará ver que j(x) tiende af(c) cuando x ---> c. A tal fin usaremos la derivabilidad de f en x =e considerando el siguiente límite.

~í~ [f(x)- f(c)] = ~í_:; [ex- c)~(x~ =~(e)) J

[~~ (x- c)][~í~f(x~ =~(e)]

=

= (O)[f'(c)] =Ü

Puesto que la diferenciaf(x)- f(c) tiende a cero cuando x que lím f(x) = f(c). Así pues, fes continua en x =c.

--->

e concluimos D

La relación entre derivabilidad y continuidad puede resumirse como sigue: l. 2.

Si una función es derivable en x =e, entonces es continua en x =c. Es decir, derivable implica continua. Es posible que una función sea continua en x = e sin ser derivable. En otras palabras, continua no implica derivable.

Ejercicios de la Sección 2.1 En los Ejercicios 1 y 2, estimar la pendiente de la curva en el punto (x, y).

l.

a)

Para pensar

En los Ejercicios 3 y 4, usar la gráfica adjunta.

y

b)

3.

Identificar o esbozar en la figura cada una de las cantidades siguientes. a) f(l) y f(4) e)

2.

a)

y

=f(

4

b)

j(4)- j(l)

)- j(l) (x- 1) + j(1)

4-1

b)

4.

Insertar un símbolo de desigualdad (< o >) entre estas cantidades. a)

f( 4 )- f(l) '11/:c:''i'i' ~_ _ __ 4- 1

b) j(4)- f(l) 4- 1

Ejercicios de la Sección 2. 1

115

En los Ejercicios 5-16, usar la definición de derivada para hallar f'(x).

En los Ejercicios 27-32, usar las gráficas propuestas y la interpretación geométrica de la derivada para emparejar cada función con la gráfica de su derivada. No es preciso calcular la derivada de la función analíticamente.

5. f(x) = 3

6. f(x) = 3x + 2

7. f(x) = -5x

1 8. .f(x) = 9-2x

9. f(x) = 2x 2 + x - 1

11. f(x) = x 3 - 12x

1 14. f(x) = 2

13. f ( x ) = -

15. f(x) =

1

X

Jx"=4

16. f(x) =

y

e)

y

b)

·-·Ir'

10. f(x) = 1- x 2 12. f(x) = x3 + xz

1

X-

y

a)

3

2

--+--+···-- -+--·----+--x -2

1

-1 -1

2

y

d)

1

Jx

2 X

-+-+-_¡:::¡::::::¡:::;.X

firF En los Ejercicios 17-22,

a) hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto indicado, b) usar una

calculadora para representar la gráfica y esa recta tangente, y e) confirmar los resultados en la propia calculadora. 17. f(x) = x 2 + 1 (2, 5)

18. f(x) = x 2 + 2x + 1 (-3, 4)

19. f(x) = x 3 (2, 8)

20 f(x) = (1' 1)

-1 -1 y

e)

·+

Jx

y

f)

-+--+--

-2

X

-2 -]

-2

1

1

1

21. f(x) = x +-

22. f(x) = X+ 1 (0, 1)

X

( 1, 2)

29. f(x) = En los Ejercicios 23 y 24, hallar una ecuación de la recta que es tangente a la gráfica de f y paralela a la recta dada.

23. f(x) = x3

31. f(x) = 33.

Recta

Función

28. f(x) = xz

27. f(x) = x

Jx

1 30. f(x) =-

lxl

32. f(x) =sen x

X

Razonamiento gráfico

La figura muestra la gráfica

de g'.

3x- y+ 1 =O y

24. f(x) =

1

Jx

X+ 2y- 6 = 0

En los Ejercicios 25 y 26, hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto indicado.

25. f(x) = 4x- x

2

26. f(x)

=x

-4 -{)

2

y

a)

g'(O)

=

b)

g'(3)

=

e)

¿Qué se puede deducir acerca de la gráfica de g

d)

sab1endo que g'(l) = --? 3 ¿Qué se puede deducir acerca de la gráfica de g

.

8

7

sabiendo que g'(-4) = -? 3

Capítulo 2

116

1\u 34.

La derivada

e)

g(6) - g(4) ¿es negativo o positivo?

f)

¿Es posible hallar g(2) a partir de la gráfica? ¿Por qué?

Razonamiento gráfico

Representar en la calculadora cada función y sus rectas tangentes para x = -1, x =O y x = l. U san do esos resultados, determinar si la pendiente de la recta tangente a una gráfica es necesariamente distinta para valores distintos de x. a)

f(x)

=x 2

b)

g(x)

=x3

X

En los Ejercicios 45-50, usar la forma alternativa de la derivada para calcular la derivada en x = e (si existe). 45. f(x) = x 2 - 1,

Para pensar

35.

Dibujar con la calculadora.fy S& en la misma pantalla para Ax = 1, 0,5 y 0,1. b) Redactar una descripción de las gráficas de S para los diferentes valores de Ax en la parte a). 1 44. f(x) = x + 43. f(x) = 4- (x- 3) 2

a)

Dibujar una función cuya derivada sea siempre negativa.

46. f(x)

e = 2

= x 3 + 2x,

Para pensar Dibujar una función cuya derivada sea

36.

siempre positiva.

1\u Investigación numérica, gráfica y analítica

En los Ejercicios 37 y 38, representar f en la calculadora sobre el intervalo [-2, 2]. Completar la tabla estimando gráficamente las pendientes de la gráfica en los puntos que se indican. Evaluar después las pendientes analíticamente y comparar los resultados.

-2

X

-1,5

-1

-0,5

o

0,5

1

1,5

2

e

=1

2

3

47. .f(x) = x + 2x + 1, 48. f(x)

= 1/x, e= 3

49. f(x)

= (x-

50. f(x) =

1) 213 ,

lx - 21,

e

= -2

e= 1

e = 2

En los Ejercicios 51-60, describir los valores x para los que f es derivable. 51.

f(x) =

lx + 31

52. f(x)

= lx 2 - 91

y

.f(x)

5 4

j'(x)

1 3 37 . .f(x) =- x

38. f(x)

4

1 2 = -x

X

2

Razonamiento gráfico

En los Ejercicios 39 y 40, usar la calculadora para dibujar f y g en una misma ventana (pantalla), siendo g(x)

=

1 53. f(x) = - x + 1

= 2x -

x2

X-

3

= 3Jx

X

1\J En los Ejercicios 41 y 42, usar una calculadora para representar la función y su derivada en la misma pantalla. Describir la relación entre ambas gráficas. 41.

.f(x)

55. f(x)

= (x-

3) 213

56. f(x)

x3

1

= Jx

42.

f(x)

=- 4

y

3x 4

1\u Redacción En los Ejercicios 43 y 44, consideramos las funciones f(x) y Sfu:(x) donde S&(X)

=f( 2 + Ax) Ax

J

n~

0,01

40. f(x)

2x

54. .f(x) = y

f(x + 0,01) - f(x)

Describir la relación entre las dos gráficas. 39. f(x)

-4

2 .f( ) (x - 2) + {(2) .

= x2f5

117

Ejercicios de la Sección 2. 1

57. j(x)

xz

= Jx-=--1

58. f(x) =

zX - 4

67.

Razonamiento gráfico Una recta de pendiente m pasa por el punto (0, 4) y tiene ecuación y= mx + 4. a) Escribir la distancia d del punto (3, 1) a la recta como función de m. b) Usar una calculadora para dibujar la función d. A la vista de esta gráfica, ¿es esa función derivable para todo valor de m? Especificar dónde no lo es.

68.

Para pensar Sabiendo que j'(c) supuesto que a) fes una función impar. b) fes una función par.

y

j i 1!

il

'2t ·\_ -----L--t---~---X

-4

3 4

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 69-71, decidir si es cierta cada afirmación. Para las que sean falsas, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre su falsedad.

y

69.

Si una función fes continua en un punto, es derivable en él.

70.

Si una funciónjtiene derivadas laterales por la derecha y por la izquierda en un punto, es derivable en él.

71.

Si una función/ es derivable en un punto, entonces es continua en él.

72.

Conjetura Seanf(x) = x 2 y g(x) = x 3 . a) Dibujar/y f' en unos mismos ejes. b) Dibujar g y g' en unos mismos ejes. e) Identificar cualquier relación entre las gráficas de fy g con las de sus derivadas respectivas. A continuación enunciar una conjetura sobre h'(x) si h(x) = x", donde n es un entero y n ): 2. d) Hallarj'(x) sij(x) = x 4 . Comparar el resultado con la conjetura anterior. ¿Demuestra esto la conjetura? Explicar la respuesta.

73.

Sean

-H--x 4

X>

60. f(x) = {x2 - 2x, x 3 - 3x 2 + 3x, y

En los Ejercicios 61-64, hallar las derivadas laterales en x (si existen). ¿Es derivable la función en x = 1? 61. f(x)

=1

= lx- 11

x j(x)

62. j(x)=~ 1 63. f(x) = {(x- )

={

2 X,

X> g(x) =

+1

X,;;; 2 65. f(x) = { ' 4x- 3, X > 2 66. j(x)

1x + 1,

X

..¡2x,

X ):

={

{ O,

X

oF 0

x X=

0

1 x 2 sen -,

< 2

h_

2

{ O,

x # O

x X

=

o

Probar que fes continua, pero no derivable, en x = O. Demostrar que g es derivable en O y calcular g'(O).

En los Ejercicios 65 y 66, discutir si la función es derivable en x = 2. x2

sen~.

y

,

X,;;; 2 X>

X,

=

3

(x-1) 2 ,

64. f(x)

= 3, calcular j'( -e)

74.

Redacción Representar en la calculadora j(x) = x 2 + 1 y g(x) = lxl + 1 simultáneamente. Usar el efecto zoom para analizarlas cerca del punto (0, 1). ¿Qué se observa? ¿Qué función es derivable en ese punto? Escribir un párrafo breve describiendo el significado geométrico de la derivabilidad en un punto .

118

Capítulo 2

CONTENIDO La regla de la constante La regla de las potencias La regla del múltiplo constante Las reglas de suma y diferencia Derivadas de las funciones seno y coseno Ritmos de cambio

• • • • • • •

La derivada

2.2 Reglas básicas de derivación y ritmos de cambio La regla de la constante En la Sección 2.1 hemos usado la definición mediante límites para hallar derivadas. En ésta y en las dos próximas secciones presentamos varias «reglas de derivación» que permiten calcular derivadas sin el uso directo de la definición por límites.

Demostración:

Si f(x) = e, de la definición de la derivada deducimos que d

La pendiente de una recta horizontal es O

dx [e] =f'(x) = lím f(x + Llx) - f(x)

Llx

~r~o

e - e = lím - A>:~o Llx =0

La derivada de una función constante es O

-+--

FIGURA2.14 La regla de la constante.

Nota. Observamos en la Figura 2.14 que la regla de la constante es equivalente a decir que la pendiente de una recta horizontal es O. Esto ilustra la relación entre derivada y pendiente.

D

EJEMPLO 1 Aplicación de la regla de la constante Función

Derivada

a)

y=7

dy =o dx

b)

f(x) =O

f'(x) =O

e)

s(t) = -3

s'(t) = O

1

d)

y = kn

2

,

k es constante

y'= o

D

Sección 2.2

119

Reglas básicas de derivación y ritmo.s de cambio

La regla de las potencias Antes de demostrar la próxima regla, vamos a revisar el proceso de desarrollo de un binomio.

(x + Llx) 2 = x 2 + 2xLlx + (&) 2 (x + &) 3 = x 3 + 3x 2 Llx + 3x(Ax) 2 + (Llx) 3 El desarrollo para un entero positivo n arbitrario es

(x + Llx)n = Xn + nxn- 1 (Llx) +

n(n- l)xn- 2

2

(Llx) 2 + · · · + (Llxt.

(Ax) 2 es factor común en estos términos

Este desarrollo del binomio se va a utilizar para demostrar un caso especial de la regla de las potencias.

Demostración: d

dx

[~]

Si n es un entero mayor que 1, del desarrollo del binomio resulta

(x + Axt- xn Ax

= lím - - - - 11x~o

= lím = lím

11t~O

FIGURA2.15 La pendiente de la recta y =x es l.

[

nxn- 1 +

n(n- l)xn- 2

2

(Llx) + ... + (Llxt- 1

J

=nxn- 1 +0+ ··· +0 Esto demuestra el teorema para n > l. Dejamos al lector la demostración del caso n = 1. El Ejercicio 59 de la Sección 2.5 demuestra el caso en que n es racional. (En la Sección 5.5 se extenderá la regla de las potencias a cualquier D valor real de n). En la regla de las potencias, conviene separar el caso n = 1 como otra regla distinta de derivación, a saber

1

~ [x] = 1

Regla de las potencias para n = 1

Esta regla es consistente con el hecho de que la pendiente de la recta y = x es 1 (véase Figura 2.15).

120

Capítulo 2

La derivada

EJEMPLO 2 Aplicación de la regla de las potencias

a)

Función

Derivada

f(x) = x 3

f'(x) = 3x 2 d 1 1 g'(x) = _ [xl/3] = _ x-2/3 = __ dx 3 3x 213

b) g(x) = ifx e)

1

dy d -2 -3 2 -=-[x ]=(-2)x =--3 dx dx x

y=x2

o

En el Ejemplo 2e, antes de derivar hemos reescrito 1/x 2 como x- 2 • Pues bien, en muchos problemas de derivación el primer paso es reescribir la función dada.

EJEMPLO 3 Pendiente de una gráfica

Calcular la pendiente de la gráfica de f(x) = x 4 cuando a) x = -1

Solución: FIGURA 2.16 La pendiente de una gráfica en un punto es el valor de la derivada en ese punto.

y

b)

X=

0

e)

x = l.

La derivada de fes f'(x) = 4x 3.

b)

Para x = -1, la pendiente es j'(-1) = 4 (-1) 3 = -4. Para x =O, la pendiente esf'(O) = 4 (0) 3 =O.

e)

Para x = 1, la pendiente es f'(l) = 4(1) 3 = 4.

a)

Hagamos notar que en la Figura 2.16 la pendiente es negativa en el punto (-1, 1), cero en el (0, O) y positiva en el (1, 1). EJEMPLO 4 Ecuación de una recta tangente

Hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x 2 en x = -2. Solución: Para hallar el punto sobre la gráfica de f evaluamos la función en -2.

X=

(-2,f(-2)) = (-2, 4)

Punto de la gráfica

Para calcular la pendiente de la gráfica en x = -2, evaluamos la derivada, FIGURA 2.17 La recta tangente y= -4x - 4 es tangente ala gráfica def(x) =x2 en el punto (-2, 4).

f(x) = 2x, en x = -2. m =f'(-2) = -4

Pendiente de la gráfica en (-2, 4)

Secci6n 2.2

Reglas básicas de derivación y ritmos de cambio

121

Ahora, usando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, podemos escribir y- y 1 = m(x- x 1 ) Forma punto-pendiente Sustituir y 1 , m, y x 1 y- 4 = -4[x- (-2)] y= -4x- 4 Simplificar (Véase Figura 2.17.)

La regla del múltiplo constante

Demostración:

, ef(x + Ax) - ef(x) -d [ ef( x )] = 11m -----dx áx~o Ax = lím e [f(x + Ax) - f(x)J

Ax

áx~o

= e[lím f(x + Ax)- f(x)J

Ax

áx~o

D

= ef'(x)

Esta regla viene a afirmar que las constantes se pueden sacar fuera de la derivada, incluso cuando aparecen en un denominador. d - [efix)] dx

L-¡;-

d Íf(x)J = dx d dx

= e -d

[( )f(x)]

~

[(1)

= ef'(x)

(1) -;¡;

~ f(x) J = ~

(1)

d [(J)f(x)] = ~ f'(x)

EJEMPLO 5 Usando la regla del múltiplo constante Derivada

Función a)

2

dy = !__ [2x- 1] = 2 !__ [x- 1 ] = 2(-l)x- 2 = dx dx dx

y=X

b)

f(t) =

e)

y=

4t

2

5

2Jx

d[4- t 2 f'(t) =dt 5

J= -5 dt- [t 4d

(1

2

]

dy = _d [ 2xll2] = 2 _ x-112 _ dx dx 2

8t = -4 (2t) =5

)

5

= x-112 =

1 ¡-:_

yX

-~ ~

122

La derivada

Capítulo 2

d) y=~ e)

3x y=-2

dx = ~ Gx-2!3] = ~ ( -~}- 513 =- 3x

15

y'=

13

~[-~x]=-~(1)=-~

D

Nota La regla del múltiplo constante y la de las potencias se pueden combinar en una sola como D x[ ex"] = cnx"- 1 • 1

EJEMPL06 Uso de paréntesis al derivar

Función original

5

a) y= 2x 3

Reescribir

Derivar

Simplificar

5 y=-(x-3) 2

y'=~ (-3x- 4 )

15 y =- 2x4

2

1

b)

5 y= (2x) 3

5 Y=- (x -3) 8

y'=~ (-3x- 4 )

15 y = - -4 8x

e)

7 y= 3x- 2

7 y=- (xz) 3

y'=~ (2x) 3

, 14x y=3

y= 63(x 2 )

y' = 63(2x)

y' = 126x

7

d) y= (3x)- 2

8

1

D

Las reglas de suma y diferencia

Demostración: Una demostración de la regla de la suma se sigue del Teorema 1.2 (la de la diferencia se demuestra de manera análoga). d [ ] , [f(x + Ax) + g(x + Ax)] - [f(x) + g(x)] f(x) + g(x) = hm - - - - - - - - - - - - dx lll~o Ax , f(x + Ax) + g(x + Ax) - f(x) - g(x) = hm - - - - - - - - - - - - lll~o

Ax

, [f(x + Ax)- f(x) g(x + Ax)- g(x)J = hm + .:___-----=--lll~o Ax Ax , f(x + Ax) - f(x) , g(x + Ax) - g(x) = hm + hm =-------=--lll~o Ax lll~o Ax = f'(x) + g'(x)

D

Sección 2.2

Reglas básicas de derivación y ritmos de cambio

123

Las reglas de suma y diferencia admiten extensión inmediata a cualquier número finito de funciones. Así, si F(x) = f(x) + g(x) - h(x) - k(x), entonces F'(x) = f'(x) + g'(x) - h'(x)- k'(x).

EJEMPLO 7 Aplicación de las reglas de suma y diferencia Función a)

Derivada

f(x) = x 3

-

f'(x) = 3x 2

4x + 5

x4

b) g(x) = - - + 3x 3 2

4

g'(x) = -2x 3 + 9x 2

2x

-

-

-

D

2

Derivadas de las funciones seno y coseno PARA MÁS INFORMACIÓN El esbozo de una demostración geométrica de las derivadas de seno y coseno puede consultarse en el artículo O y f' < O para todos los números reales x.

y

g'(2)

y

=g(x) h(x)

= -2 =4

71.

Para pensar Dibujar la gráfica de una función derivable ftal que f(2) = O,f' C.

1

re~ide •

{l()gl!:l~·

h'(c) = Iímf(g(x))- f(g(c)) x~c

X-C

, [f(g(x)) - f (g(c)) g(x) - g(c)J ( ) __._ ( ) =Im l · ,gx-r-gc x~c g(x) - g(c) X- e = [lím f(g(x)) - f(g(c))J[lím g(x) - g(c)J x~c

g(x) - g(c)

x~c

X- C

D

= f'(g(c))g'(c)

Al aplicar la regla de la cadena es útil ver la funcionf o g compuesta como constituida por dos partes: una interior y otra exterior. Función exterior

1

\

Y = f(g(x)) = f(u)

\

!

Función interior

La derivada de y = f(u) es la derivada de la función exterior (en la función interior u) multiplicada por la derivada de la función interior. y'= f'(u) ·u'

EJEMPLO 2 Descomposición de una función compuesta

a)

y =f(g(x))

u = g(x)

y= f(u)

1 y=--

u=x+l

1 y=u

u= 2x

y= sen u

X

+1

b) y= sen 2x e)

y= J3x 2

d) y= tg

2

X

-

x + 1

u= 3x 2 U= tg

X

-

x + 1

y=Ju

D

Capítulo 2

144

La derivada

EJEMPLO 3 Usando la regla de la cadena ADVERTENCIA Podríamos haber resuelto el Ejemplo 3 sin hacer uso de la regla de la cadena, sin más que observar que y

=x 6 + 3x4

Hallar dy/dx para y = (x 2 + 1) 3 . Solución: Para esta función podemos tomar como función interior u = x 2 + l. Por la regla de la cadena se obtiene

+ 3x 2 + 1

y, por tanto, y' = 6x 5 + 12x 3 + 6x Comprobar que esta derivada es la misma que la del Ejemplo 3. ¿Qué método sería preferible para hallar

dy dx

= 3(x 2 + 1) 2 (2x) = 6x(x 2 + 1) 2 '-----y-''-y-'

dy

du

du

dx

D

La regla general de las potencias La función del Ejemplo 3 es uno de los tipos más comunes de funciones compuestas, y= [u(x)]". La regla para derivar tales funciones se llama regla general de las potencias, y no es sino un caso particular de la reglas de la cadena.

Demostración:

Como y= u", basta aplicar la regla de la cadena para ver que

:

=

(~~)(~:) d

du

= du [u"] dx.

Por la regla (simple) de las potencias de la Sección 2.2, se tiene D

DJu"] = nu"- \ y se sigue que dy/dx = n [u(x)]"- 1 (dujdx).

EJEMPLO 4 Aplicación de la regla general de las potencias

Hallar la derivada de f(x) = (3x - 2x 2 ) 3 . Solución:

Sea u = 3x - 2x 2 . Entonces

Sección 2.4

145

La regla de la cadena

y de la regla general de las potencias se deduce que n 1

u'

un-l

~

.------"---.

f'(x) = 3(3x - 2x 2) 2 ~ [3x - 2x 2]

Aplicar la regla general de las potencias

D

Derivar 3x- 2x 2

EJEMPLO 5 Derivación de funciones con radicales

Hallar los puntos de la gráfica de f(x) = aquellos en los que f'(x) no existe. Solución:

,Y(x

2

-

1)2 en los que f'(x) = O y

Empezamos reexpresando la función como f(x) = (xz - 1)2/3

Aplicando ahora la regla general de las potencias (con u = x 2 ~,l

n

'

:'

1

-1

f'(x) =

'

1

\!

1

~2

1) se obtiene

,-------"----.r-"---,

~ (x23

o-l/3(2x)

4x 3 FIGURA 2.24 La derivada de fes Oen x =Oy no está definida en x =±l.

-

u'

un-t

Aplicar la regla general de las potencias

Expresar en forma radical

P--=1

Así pues,f'(x) = O en x = O y J'(x) no existe en x = ±1, como se indica en la Figura 2.24. EJEMPLO 6 Derivación de cocientes con numeradores constantes

Derivar g(t) = Solución:

(2t - 3) 2

Para empezar, reescribimos la función como

Nota.

Intente derivar la función del Ejemplo 6 usando la regla del cociente. El resultado será el mismo, pero el método es menos eficiente que la regla general de las potencias. 1

-7

g(t) = -7(2t- 3)- 2

Y ahora la regla general de las potencias establece que n

U 11 - l

u'

r-"---, , - - - - - - ' - - . ,,..A-,

g'(t) = (-7)(-2)(2t- 3)- 3 (2)

Aplicar la regla general de las potencias

'--v---'

Regla del múltiplo constante

=28(2t-3)- 3 28 (2t- 3) 3

Simplificar Expresar con exponente positivo

D

146

Capítulo 2

La derivada

Simplificación de derivadas Los tres ejemplos próximos ponen de manifiesto algunas técnicas para simplificar las derivadas de funciones que involucran productos, cocientes y composiciones.

EJEMPLO 7 Simplificando por factorización de la potencia mínima

f(x)=x 2 ~

Función original

= xz(I _ x2)1;2

Reescribir

d d f'(x) = xz _ [(1 _ xz) -1;2] + ( 1 _ x2)1;2 _ [x2] dx dx = xz [

~ (1 -

Regla del producto

xz)- 1/2(-2x)J + (1 - x2)1f2(2x)

Regla general de las potencias

= -x3(1 - x2) -1;2 + 2x(l - x2)1/2

Simplificar

= x(l- xz)-112[-x2(1) + 2(1- x2)]

Factorizar

x(2- 3x 2)

Simplificar

~ EJEMPLO 8 Simplificación de la derivada de un cociente f(x)=

y3

X

~ X

Función original

+4

X

Reescribir

(xz + 4 )1;3 (x 2 + 4) 113(1)- x(l/3)(x 2 + 4)- 213(2x) (x) = (xz + 4 )2;3 .

,

f

=

~ xz 3(

+ 4 -2/3[3(x2 + 4)- (2x2)(l)J ) (x2+4)2/3

x 2 + 12 3(xz

+ 4)4/3

Regla del cociente

Factorizar

Simplificar

D

EJEMPLO 9 Simplificación de la derivada de una potencia

y=(~)2

Función original

x2 + 3

n 1

y' =

2

u'

: [:

un-l

,-------"-----

e~ ~) ~ ~~ ~ J

Regla general de las potencias

Sección 2.4

147

La regla de la cadena 2

= [2(3x- l)J[(x + 3)(3)- (3x- 1)(2x)J x2 + 3 (x 2 + 3) 2

Regla del cociente

2(3x- 1)(3x 2 + 9 - 6x 2 + 2x) (xz + 3)3

Multiplicar

2(3x- l)(-3x 2 + 2x + 9) (xz + 3)3

Simplificar

D

Funciones trigonométricas y la regla de la cadena La versión, en términos de la regla de la cadena, de las derivadas de las funciones trigonométricas es la siguiente: !!_[sen u]= (cos u) u'

!!_ [cos u]= -(sen u)

!!_

[tg u] = (sec 2 u)u'

~ [ctg u] = -(cosec 2 u) u'

[sec u] = (sec u tg u) u'

~ [cosec u] =- (cosec u ctg u) u'

dx dx d

-

dx

dx

u'

EJEMPLO JO Aplicación de la regla de la cadena afunciones trigonométricas cos u

u

u'

~~

,-'--,

a)

y= sen 2x

d [ 2x] = (cos 2x)(2) = 2 cos 2x y 1 = cos 2x-

b)

y = cos (x - 1)

y' = -sen(x- 1) .

e)

y= tg 3x

y'= 3 sec 2 3x

dx

Asegúrese de entender los convenios matemáticos relativos a paréntesis y funciones trigonométricas. Así, en el Ejemplo 1Oa, se escribe sen 2x para significar sen (2x). EJEMPLO 11 Paréntesis yfunciones trigonométricas a)

y= cos 3x 2 = cos .(3x2 )

y'= (-sen 3x 2 )(6x) = -6x sen 3x 2

b) y= (cos 3)x 2 e)

2

y = cos (3x) = cos (9x

d) y= cos 2 x = (cos x) 2

y' = (cos 3)(2x) = 2x cos 3 2

)

y'= (-sen 9x 2 )(18x) = -18x sen 9x 2 y'= 2(cos x)(-sen x) = -2 cos x sen x

D

Para calcular la derivada de una función de la forma k(x) = f(g(h(x))), es necesario aplicar la regla de la cadena dos veces, como se ilustra a continuación.

148

Capítulo 2

La derivada

EJEMPLO 12 Aplicación reiterada de la regla de la cadena f(t) = sen 3 4t

= (sen 4t)

Función original 3

j'(t) = 3(sen 4t) 2

Reescribir

d -

dt

[sen 4t]

Aplicar la regla de la cadena

d = 3(sen 4t) 2 (cos 4t)- [4t] dt

Aplicar la regla de la cadena otra vez

= 3(sen 4t) 2 (cos 4t)(4) = 12 sen 2 4t cos 4t

o

Simplificar

Concluimos esta sección con un resumen de las reglas de derivación ya estudiadas. Con el fin de adquirir familiaridad con la derivación es recomendable aprenderlas de memoria.

Resumen de reglas de derivación Reglas generales de derivación

Sean u y v funciones derivables de x~ Regla del múltiplo constante:

d

- [cu] =cu' dx

Regla de la suma (o diferencia):

d

dx [u :r ti)= u'

::1::

v'

Regla del producto: d

- [uv] = uv' + vu' dx

Derivadas iJe funciones algebraic{IS

Derivadas .de funciones trigonométricas

Regla de la constante:

Regla simple de las potencias:

d dx [e] =0

d

dx [sen x]

d dx [sec x]

=cos x

d

- [cos x] =....:sen x dx

d ·.. ·.. ···· --:- [ctgx] = -cosec 2 x dx d

Regla de la cadena

=sec x tg x

[~osee x]

=-cosec x ctg x

Regla. de la cadentJ':

d

dx [f(u)]

=f'(u) u'

ADVERTENCIA Como ayuda para la memoria, nótese que las cofunciones (coseno, cotangente y cosecante) llevan un signo negativo en sus derivadas.

149

Ejercicios de la Sección 2.4

Ejercicios de la Sección 2.4 En los Ejercicios 1-6, completar la tabla usando como modelo el Ejemplo 2. y= f(g(x))

l.

y = (6x - 5)

2.

y=--

u= g(x)

Jx + 1

31.

y=--

32.

y=

33.

g(t) =

x2 + 1

y= f(u)

4

1

Jx+l

Jx2=l

J!f¡

y=

4.

y= tg (nx + 1)

S.

y= cosec 3 x

6.

y= cos

3x

2

y= (3x 2 + 1) 4

7.

y= (2x- 7) 3

9.

g(x) = 3(4- 9x) 4

10. f(x) = 2(1 - x2)3

11. f(x) = (9 - x2)2f3

f(t) = (9t + 2) 213

8.

12.

JT=t

14.

g(x)=~

15.

y= ,Y9x 2 + 4

16.

g(x) =

17.

y=2J47

18. f(x) = -3 j 2 - 9x

19.

1 y=-x-2

20.

21. f(t) = ( t- 3 23.

y

1 y=--

Jx+2

Jx2 1

y=F

36.

y = (t2 - 9).jt+2

37.

s(t) =

38.

g(x)

39.

y=~~--

JT+l

3

= F-J + Jx+l X

40.

1 y= x 2 tgX

En los Ejercicios 41 y 42, hallar la pendiente de la recta tangente a la función seno en el origen. Comparar este valor con el número de ciclos completos en el intervalo [0, 2n]. 41.

a)

y= sen x

b)

y

22.

24.

A

(t + 2) 2

y=xz~ y=

J?+9

f'l.0 En los Ejercicios 31-40, usar una calculadora para hallar la

primera derivada de la función. A continuación, representar las gráficas de f y de f' en unos mismos ejes. Describir el comportamiento de la función en cada punto donde se anule su derivada.

•' 2n

-2t'

W

xz

30.

'+

g(t)=~

28.

X

-2(2- t)jl+t

cos nx + 1

4

27.

y=

+ 2t- 1

y=-~~-

26. f(x) = x(3x -

y =x¡¡-=-?

2x + 1

s(t) = 2 t + 3t- 1

25. f(x) = x 2 (x- 2) 4

29.

2

35.

En los Ejercicios 7-30, hallar la derivada de cada función algebraica.

1

Jt

34. f(x) = Jxc2 - x) 2

3.

13. f(t) =

3t 2

42.

a)

y = sen 3x

y= sen 2x

150

Capitulo 2

La derivada

En los ejercicios 43-52, hallar la primera derivada de la función. 43.

y= cos 3x

44.

y = sen n.x

45.

g(x) = 3 tg 4x

46.

h(x) = sec x 2

48.

2

g(t) = 5 cos m

50.

y = 3x- 5 cos (n.x) 2

47. f(O) =

±sen

2

20

Jx + ±sen (2x)

49.

y=

50.

y= sen (cos x)

2

52.

y=senJx+~

y

65.

66.

X

y

67.

y

~' 11' 234 y

68.

En los Ejercicios 53-60, evaluar la derivada de la función en el punto indicado. Comprobar el resultado en una calculadora. Función

Punto

53.

s(t) = J t 2 + 2t + 8

(2, 4)

54.

y= .J'3x 3 + 4x

(2, 2)

(-t.-D

3 55. j(x)=~ X 56. f(x) = (xz - 3x)z

( 4, 116)

3t + 2 57. f(t) = - t- 1

(0, -2)

X+ 1 58. f(x)=-2x- 3

(2, 3)

59.

y = 37 - sec 3 (2x)

60.

y=-+~

G·~)

X

~ En los Ejercicios 61-64, a) hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto que se indica, b) representar en la calculadora las gráficas de f y de la recta tangente en ese punto, y e) comprobar los resultados usando derivación simbólica en la calculadora.

Función

Punto -

2

(3, 5)

62. f(x) = !xj?"+S

(2, 2)

63. f(x) =sen 2x

(n, O)

64. f(x) = tg x

-

(¡.

1)

Redacción En los Ejercicios 65-68, se dan las gráficas de f y f'. Identificarlas en cada caso y escribir un breve párrafo aclarando los criterios por los que se ha llegado a esa decisión.

2

1) 3

70.

1 f(x)=-

x-2

72. f(x) = sec 2 nx

73.

Para pensar Sabiendo que g(5) = -3, g'(5) = 6, h(5) = 3, y h '(5) = -2, calcular f'(5), si es posible, para cada una de las funciones que siguen. Si ello no fuera posible, especificar qué información adicional sería necesaria.

74.

a)

75.

Efecto Doppler La frecuencia F de la sirena de un coche de bomberos oída por un observador en reposo viene dada por

(0, 36)

1

2

69. f(x) = 2(x 2

71. f(x) = sen x

1

61. f(x) = J3x 2

En los Ejercicios 69-72, hallar la segunda derivada de la función.

Hallar, por dos vías diferentes, la derivada de g(x) = sen 2 x + cos 2 x. b) Dadas f(x) = sec 2 x y g(x) = tg 2 x, probar que f'(x) = g'(x).

132.400 F=-331 ±V donde ±v representa la velocidad del coche de bomberos (véase figura). Calcular el ritmo de cambio de F respecto de v cuando a) El coche se acerca a 30 m/s (usar -v). b) El coche se aleja a 30 mis (usar +v). 132.400 F= 331 +v

132.400 F=--331 ~v

151

Ejercicios de la Sección 2.4 76.

El desplazamiento de su posición de equilibrio para un objeto en movimiento armónico situado al extremo de un muelle es

a)

Movimiento armónico

y = 1 cos 12t -

i

T(t) =a + b sen (nt/6- e)

sen 12t

donde T es la temperatura y t el tiempo en meses, con t = 1 correspondiendo a enero. b) Representar el modelo en la calculadora. ¿Ajusta bien los datos? e) Hallar T' y representarla en la calculadora. d) Según la gráfica de la derivada, ¿cuándo cambia la temperatura de manera más rápida? ¿Y más lenta? ¿Coinciden las respuestas con sus observaciones experimentales? Explicar la contestación.

donde y se mide en pies y ten segundos. Determinar la posición y la velocidad del objeto cuando t = n/8. 77. Péndulo Un péndulo de 15 cm se mueve según la ecuación

e= o.2 cos 8t donde Oes el desplazamiento angular de la vertical en radianes y tes el tiempo en segundos. Calcular el máximo desplazamiento angular y el ritmo de cambio de e cuando t = 3. 78.

Representar los datos en la pantalla de una calculadora y halhrr un modelo para esos datos de la forma

81.

Una boya oscila con movimiento armónico simple dado por

Movimiento ondulatorio

La tabla recoge varios valores de la derivada de una función f desconocida. Completar la tabla hallando, si ello es posible, la derivada de cada una de las siguientes transformaciones de f

Para pensar

=f(x) -

y= A cos wt

a)

g(x)

conforme las olas pasan por ella. La boya se mueve verticalmente, desde el punto más bajo hasta el más alto, un total de 3,5 pies. Cada 10 segundos regresa a su punto de máxima altura. a) Escribir una ecuación que describa el movimiento de esa boya si está en su máxima altura cuando t =O. b) Calcular la velocidad de la boya en función de t.

e)

r(x) =J(-3x)

X

f'(x)

2

b)

h(x)

= ~f(x)

d)

s(x)

=J(x + 2)

-2

-1

o

1

2

3

4

i

-t

-1

-2

-4

g'(x) h'(x)

79. Sistema circulatorio La velocidad S de la sangre que está a r cm del centro en una arteria viene dada por

r'(x) s'(x)

donde e es una constante, R es el radio de la arteria y S se mide en cm/s. Se administra un fármaco y la arteria empieza a dilatarse a un ritmo dR/dt. A una distancia constante r, hallar el ritmo de cambio de S con respecto a t para e = 1,76 X 10 5 , R = 1,2 X w-z, y dR/dt = 10- 5 . ~ 80.

82.

Un modelo matemático La tabla recoge la temperatura máxima media, en grados Fahrenheit, en Denver, Colorado. (Fuente: National Oeeanie and Atmosphere

Seaf(x) =sen f3x, donde f3 denota una constante. a) Calcular las cuatro primeras derivadas de f b) Verificar que la función y su segunda derivada satisfacen la ecuación j"(x) + f3 2f(x) =O. e) Usando los resultados del apartado a), escribir fórmulas ge~~erales para las derivadas pares y para las impares Una fórmula general

¡tZkl(x) y ¡(2k-ll(x)

Administration.) [Ayuda: (-l)k es positivo si k es par y negativo si k

Mes

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun.

Temperatura

43,2 46,6 52,2 61,8 70,8 81,4

Mes

Jul.

Temperatura

88,2 85,8 76,9 66,3 52,5 44,5

Ag.

es impar.] 83.

a) b)

Sep. Oct. Nov. Dic. 84.

Sea f una función derivable de período p. ¿Es periódica!'? Verificar la respuesta. Consideremos la función g(x) = f(2x). ¿Es periódica g'(x)? Verificar la respuesta.

Conjetura

Probar que la derivada de una función impar es par. Esto es, sij(-x) = -:f(x), entoncesj'(-x) = j'(x).

152 85.

86.

Capítulo 2

ÚJ

derivada

J

La media geométrica de x y x + n es g = x(x + n) y la media aritmética es a= [x + (x + n)]/2. Demostrar que dg

a

dx

g

En los Ejercicios 91 y 92, a) hallar las aproximaciones lineal y cuadrática específicas de f, b) usar una calculadora para representar las gráficas defy de sus aproximaciones, e) determinar cuál de las dos es mejor aproximación, y d) estudiar cómo varía la precisión cuando nos alejamos de x = a.

Sea u una función derivable de x. Usar el hecho de que lul = para comprobar que

91. f(x) = sen 2

=u' -u,

a=n

P

d - [lul] dx

lul

u #- O

En los Ejercicios 87-90, utilizar el resultado del Ejercicio 86 para hallar la derivada de la función propuesta. 87.

g(x) = l2x- 31

88. f(x) = lx 2

89.

h(x) = lxl cos x

90. f(x)

-

41

= lsen xl

fllv Aproximaciones lineal y cuadrática Las aproximaciones lineal y cuadrática de una función f en x = a son P 1 (x)=f'(a)(x-a)+f(a)

X

n

a=6

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 93-95, determinar si la afirmación es verdadera o no. En caso de que sea falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad. 93.

Siy=(l-x) 1 12 ,entoncesy'=-!(l-x)- 112 .

94.

Si j(x) = sen 2 (2x), entonces f'(x) = 2(sen 2x)(cos 2x).

95.

Si y es una función derivable de u, u es función derivable de v, y v es función derivable de x, entonces

y

2

Pz(x) = 1f"(a)(x- a) + f'(a)(x- a)+ j(a)

CONTENIDO • Funciones explícitas e implícitas • Derivación implícita •

= sec 2x

92. f(x)

dy

dy du dv

dx

du dv dx

2.5 Derivación implícita Funciones explícitas e implícitas Hasta aquí la mayor parte de las funciones aparecidas en el texto estaban expresadas en forma explícita, como por ejemplo en la ecuación

y= 3x 2

-

5

Forma explícita

donde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Algunas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. Así, la función y = llx viene definida implícitamente por la ecuación xy = l. Supongamos que se nos pide hallar la derivada dy!dx para esta ecuación. Podemos empezar escribiendo y como función explícita de x, derivando a continuación.

Forma implícita

Forma explícita

Derivada

xy = 1

1 y=-=x-1

dy -2 - = -x = -2 dx X

X

Esta estrategia funciona siempre que seamos capaces de despejar y en la ecuación. Pero si no se logra despejar y, no es factible este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy!dx para la ecuación

Sección 2.5

153

Derivación implícita

donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x? En tales situaciones se debe usar la llamada derivación implícita. Para comprender esta técnica, es preciso tener en cuenta que la derivación se efectúa con respecto a x. Esto quiere decir que cuando hayamos de derivar términos que sólo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca h y, será necesario aplicar la regla de la cadena, ya que se está suponiendo que y viene definida implícitamente como función de x.

EJEMPLO 1 Derivación respecto de x d

a) - [x 3 ] dx\

i

= 3x2

Las variables coinciden: usar la regla simple de las potencias

Las variables coinciden un ~

nun~ 1

u'

~~

dy [ 3] - 3y 2 dy b) -

dx\i

Las variables no coinciden: usar la regla de la cadena

dx

Las variables no coinciden

e)

d dy dx [x+3y] = 1 +3 dx d dx

d dx

d

Regla de la cadena:- [3y] dx

d dx

d) - [xyz] = x - [yz] + yz- [x]

=3y'

Regla del producto

Regla de la cadena

dy

= 2xy dx + y2

Simplificar

Derivación implícita

EJEMPLO 2 Derivación implícita Hallar dy/dx sabiendo que y 3 + y 2

-

Sy- x 2 = -4.

D

154

Capítulo 2

La derivada

Solución: l.

Derivamos los dos miembros de la ecuación respecto de x. d 3 2 d -[y +y 2 - 5y- X]=[-4] dx dx

!!__ [lJ + !!__ [y 2 ] - !!__ [5y]- !!__ [x 2 ] dx

dx

dx

dx

=

!!__ [-4] dx

2 dy dy dy 3y - + 2y - - 5 - - 2x = O dx dx dx

2.

Agrupamos los términos con dy!dx en la parte izquierda. 2 dy dy dy 3y - + 2y - - 5 - = 2x dx dx dx

3.

Factorizamos dy!dx en la parte izquierda. dy (3y 2 + 2y - 5) dx

4.

y

= 2x

Despejamos dyldx dividiendo por (3y 2 + 2y - 5). dy dx

2x 3y 2 + 2y- 5

Nótese que la derivación implícita puede llevar a una expresión para dy!dx en D la que aparezcan a la vez x e y.

y+ y'- 5y-x2 ~-4

-4

Puntos en la gráfica

Para ver cómo usar la derivación implícita, consideremos la gráfica de la Figura 2.25. En ella se puede observar que y no es una función de x. A pesar de ello, la derivada hallada en el Ejemplo 2 da una fórmula para la pendiente de la recta tangente en un punto de esta gráfica. Debajo de la gráfica se han indicado las pendientes en varios puntos de la gráfica.

Pendiente de la gráfica

...5

(2, O)

(1,- 3)

J_ R

(1, 1)

No definida

o FIGURA 2.25 La ecuación implícita l +y2 - 5y - i =-4 dy 2x tiene derivada - =-----,2--- dx 3y +2y- 5

En una ecuación que carece de puntos solución, tal como ocurre con x 2 + y 2 = -4 no tiene sentido despejar dy/dx. Sin embargo, si una porción de una gráfica puede representarse por una función derivable, dyldx tendrá sentido como pendiente en cada punto de esa porción. Recordemos que una función no es derivable en (1) puntos con tangente vertical y (2) puntos en los que la función no es continua.

Sección 2.5

Derivación implícita

155

EJEMPLO 3 Representación de una gráfica mediante funciones derivables y

Si es posible, representar y como función derivable de x (véase Figura 2.26). e)

x + y2 = 1

Solución: a) La gráfica de esta ecuación consta de un único punto. Por tanto, no define y como función derivable de x. b) La gráfica de esta ecuación es el círculo unidad, centrado en (0, 0). El semicírculo superior viene dado por la función derivable

-1 -1

a)

y=~,-1 ,,',,,',

"',-,'''o''

'~

0

'',

,''i',

','

'-'''/> ''

,,'""'"''~,,:,,,,e'

O

O contradice el hecho de quef(e) sea un extremo relativo. Suponiendo que f'(e) < O se llega a una contradicción análoga. Por tanto, sólo queda una posibilidad, a saber que f'(e) = O, de modo que, por definición, e es un número crítico de f El teorema está demostrado.

Búsqueda de extremos en un intervalo cerrado El Teorema 3.2 afirma que los extremos relativos sólo pueden ocurrir en los números críticos de la función. A la vista de lo cual, podemos seguir esta estrategia en la búsqueda de extremos en un intervalo cerrado.

Los próximos ejemplos enseñan a usar esta estrategia. La búsqueda de los números críticos es tan sólo una parte del proceso. La parte restante consiste en evaluar la función en los números críticos y en .los puntos terminales. EJEMPLO 2 Búsqueda de extremos en un intervalo cerrado Hallar los extremos def(x) = 3x4 Solución:

•

-

4x 3 en el intervalo [-1, 2].

Antes de nada, derivamos la función. f(x) = 3x4

-

f'(x) = 12x

3

4x 3 -

12x

Función original 2

Derivada

182

Capítulo 3

Aplicaciones de la derivada

Para hallar los números críticos de f hay que buscar los valores de x en los que f'(x) = O y aquellos en los que f'(x) no está definida. f'(x) = 12x 3

-

12x 2 =O

Hacerf'(x) =O Factorizar

X=

Ü,J

Números críticos

Comof' está definida en todo x, concluimos que éstos son los únicos números críticos de f Evaluando f en ellos y en los puntos terminales de [-1, 2] vemos que el máximo esf(2) = 16 y el mínimo esf(l) = -1, como recoge la tabla. La Figura 3.5 muestra la gráfica de f.

y

Punto terminal izquierdo

Número crítico

Número crítico

Punto terminal derecho

f(-1)=7

f(O) =O

f(l)=-1

f(2) = 16

Mínimo

Máximo

D

X

Nota. En la Figura 3.5, el número crítico x = O no da ni máximo ni mínimo relativo. Lo cual significa que el recíproco del Teorema 3.2 no es verdadero. En otras palabras, los números críticos de una función no siempre corresponden a extremos relativos. 1

j{x) = 3x 4 - 4x 3

FIGURA3.5 En el intervalo cerrado [-l. 2],f tiene su mínimo en (1, -1) y su máximo en (2. 16).

EJEMPLO 3 Búsqueda de extremos en un interralo cerrado Hallar los extremos de f(x) = 2x- 3x 213

y

en el intervalo [-1, 3]. -D,24)

Solución:

Derivando obtenemos

2 (x

f'(x) = 2- xt/3 = 2

f(x) = 2x- 3xlO

FIGURA 3.6 En el intervalo cerrado [-1. 3],f tiene su mínimo en 1-1, - 5) y su máximo en (0, 0).

1

i3 _

xt/3

1)

De esa derivada se deduce que f tiene dos números críticos en el intervalo [-1,3]. El número 1 es crítico porquef'(l) =O, y el número O porquef'(O) no está definida. Evaluando f en esos dos puntos y en los puntos terminales del intervalo, concluimos que el mínimo esf(-1) = -5 y el máximof(O) =O, como muestra la Figura 3.6.

Punto terminal izquierdo

Número crítico

Número crítico

f(-1)=-5

f(O) =O

f(1) = -1

Mínimo

Máximo

Punto terminal derecho f(3) = 6 - 3

Z/9 ;:;: -0,24 D

183

Ejercicios de la Sección 3. 1

EJEMPLO 4 Búsqueda de extremos en un intervalo cerrado Hallar los extremos de f(x) = 2 sen x - cos 2x V

Solución: Esta función es derivable en todo x real, luego para encontrar sus números críticos basta hacer f'(x) =O. f'(x)

= 2 cos x + 2 sen 2x = O

2 cos x + 4 cos x sen x = O 2(cos x)(l + 2 sen x) =O

sen 2x = 2 cos x sen x Factorizar

En el intervalo [0, 2n], el factor cos x es nulo en x = n/2 y en x = 3n/2. El factor (1 + 2 sen x) es cero en x = 7n/6 y en x = 11 n/6. Evaluando f en esos cuatro puntos y en los dos puntos terminales del intervalo, vemos que el máximo es f(n/2) = 3 y el mínimo ocurre en dos puntosf(7n/6) = -3/2 y f(l1 n/6) = -3/2, como indica la tabla. La gráfica defpuede verse en la Figura 3.7.

FIGURA 3.7 En el intervalo cerrado [0, 2n],f alcanza su valor mínimo en dos puntos (7n/6, - 3/2) y(11 n/6, - 3/2), y su máximo en (n/2. 3).

Punto terminal izquierdo

Número crítico

JG)= JC:) = -~

j(O) = -1

3

Máximo

Número crítico

Número crítico

Punto terminal derecho

~C;) = -1

JC ~n) = -~

f(2n)=-1

Número crítico

Mínimo

Mínimo

D

Ejercicios de la Sección 3.1 En los Ejercicios 1-6, calcular el valor de la derivada (si existe) en cada extremo que se indica.

xz

l. f(x) =

z+4

X

y ~

2+,

1+

~"'X --2 (0, O) 1 2 -1

2. f(x)

nx

= cos -

-~··· t

-1

2

l

-2¡

3

=x

32

4. j(x)

+2 X

= -3xJx+"I

..

V

10

'!r'_O,l)_, ____.,.x

-2

1

-2

3. f(x)

2

(_.?_ 2Yf_)2

(4, 6)

4

~·3~;

-2

-t

-1

·.'

(2, -1)

-2 ;-

: t

184 5.

Capítulo 3

f(x)

= (x + 2l13

6.

Aplicaciones de la derivada

=4

f(x)

2

ó

~-, 4

-}

-2

lxl

+

!

;(~2 ~ ---;~,_X

-1

-2

-2 :

En los Ejercicios 7-12. hallar los números críticos de la función.

= x 2 (x-

f(x)

9.

g(t)=t~

11.

= sen

h(x)

O

~

3)

8.

g(x)

10. .f(x)

2

x + cos x x < 2n

Redacción Explicar por qué la función.f(x) =tg x tiene un máximo en [0, n/4] pero no en [0, n].

28.

Escribir Escribir un breve párrafo justificando por qué una función continua en un intervalo abierto no tiene por qué alcanzar un valor máximo o mínimo. Ilustrar la explicación con la gráfica de alguna función.

A

-1

7.

27.

12.

= x 2 (x 2

~

29.

b)

a)

4)

4x

= -z--¡ X

+

f( 0) = 2 sec O

-

En los Ejercicios 29-32, deducir de la gráfica siftiene máximo en el intervalo abierto (a, b).

IJ + tg O

O < 2n

X

En los Ejercicios 13-26, determinar los extremos absolutos de la función y los valores de x donde se alcanzan. Intervalo

Función 13.

f(x)

14.

.

15.

f(x)

16.

f(x)

17.

f(x)

18.

f(x)

19.

f(x)

20.

g (X)

21.

b)

= 2(3

j

- x)

l-1, 2]

2x +S

j(x)=~-

[0, 5]

3

= -x 2 + 3x = x 2 + 2x - 4 = x 3 - 3x 2 = x 3 - 12x = 3x 213 - 2x

10. 3]

[-1, 1[

h (t)

=.y:;: = 4 - lt -

22.

g(t)

=2

23.

h(s)

=--

41

[-1, lj

31.

a)

h)

32.

a)

b)

[-1. 3] [0. 4] [-1, 1]

[1, 6]

tl

t +3

1

S-

24.

h(t)

25. .f(x)

26.

f(x)

2

t

H. IJ [0, 1]

=- -

[3, 5]

= cos

n x

[o.~J

= cosec x

[~·~]

t- 2

r a

En los Ejercicios 33-36, localizar los extremos absolutos de la función (si los hay) en los intervalos que se especifican.

Ejercicios de la Sección 3.1

a)

b) e) d)

[0, [0, (0, (0,

en los puntos terminales. Comparar los resultados con los del apartado a).

34. f(x) = 5- x

33. f(x) = 2x- 3 2] 2) 2] 2)

a)

b) e) d)

185

[1, 4] [1, 4) (1, 4] (1, 4)

Intervalo

Función

41.

y

f(x)

= 3,2x 5 + 5x 3

-

3,5x

[0, 1]

4

42. f(x)=-x~ 3

4

[0, 3]

En los Ejercicios 43 y 44, usar derivación simbólica en la calculadora para hallar el valor máximo de lf"(x)l en el intervalo propuesto. (Este valor se usa al estimar el error de la regla de los trapecios, como se verá en la Sección 4.6.)

-1 -1

-2 -3

Intervalo

Función

35. f(x) = x a)

b) e) d)

2

-

2x

f(x)=~

36.

[-1, 2] (1, 3] (0, 2) [1, 4)

a)

b) e) d)

[-2, 2] [-2, O) (-2, 2) [1, 2) y

t

LbL -2

-1

!

-1

+

1

2

=Jl+7 1 f(x) =-2X + 1

43. f(x)

[0, 2]

44.

[~,3]

En los Ejercicios 45 y 46, usar derivación simbólica en la calculadora para hallar el valor máximo de lf 4 (x)len el intervalo propuesto. (Este valor se usa al estimar el error de la regla de Simpson, como se verá en la Sección 4.6.) Función

Intervalo

45. f(x)

= (x + 1) 213

46. f(x)

=x 2

1

[0, 2]

l

+¡

[-1, 1]

!'v En los Ejercicios 37-40, representar f en la calculadora. De-

terminar los extremos absolutos de la función y los valores de x donde ocurren dentro del intervalo indicado.

Potencia La fórmula para la potencia P de una batería es P = VI- RI 2 donde V es la fuerza electromagnética en voltios, R la resistencia e I la intensidad de corriente. Hallar la intensidad (medida en amperios) que corresponde a un valor máximo de P en una batería con V= 12 voltios y R = 0,5 ohmios. Supongamos que un fusible de 15 amperios limita la salida de corriente en el intervalo O ,;: I ,;: 15. ¿Aumentaría la salida de corriente si se sustituye ese fusible por otro de 20 amperios? Explicar la respuesta.

48.

Coste de inventario Un empresario ha calculado que el coste C de pedido y almacenamiento de x unidades de un producto es

Intervalo

Función

37. f(x) = {2x 2+ 2, 4x, 2

x 38. f(x) = {22- 3;

1\,

47.

O,;;x,;; O, donde h =f- g.]

Estudio numérico, gráfico y analítico La concentración C de un fármaco en el flujo sanguíneo t horas después de ser inyectado por vía intramuscular es

3t

C = - - -3 27 + t '

51.

Para pensar La función/es derivable en el intervalo [-1, 1]. La tabla da los valores def' en ciertos valores de x. Esbozar la gráfica de f, aproximar sus números críticos e identificar sus extremos relativos.

f'(x)

~

=4

Para pensar Una función derivable/tiene un número crítico en x = 5. Identificar los extremos relativos de f en ese punto, sabiendo quef'(4) = -2,5 y f'(6) = 3.

X

e)

4

50.

f'(x)

1

g(x)

-~--+--+-x

X

0,5

f(x)

-{)

49.

Completar la tabla y formular una conjetura sobre cuál de las funciones es mayor en el intervalo (0, n).

-1

-0,75

-0,50

-0,15

-10

-3,2

-0,5

0,8

o

0,25

0,50

0,75

1

5,6

3,2

-0,2

-6,7

-20,1

a)

Completar la tabla y estimar el momento en el que e es máxima.

b)

Representar en la calculadora la función C(t) y usar la gráfica para aproximar el tiempo en el que la concentración es máxima. Determinar analíticamente, utilizando el Cálculo, ese momento.

e)

55.

t~O

Contracción de la tráquea Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire que pasa por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un estornudo es

204

Capítulo 3

= k(R-

v

r)r 2 ,

Aplicaciones de la derivada

O ,; r < R

a)

donde k es una constante, R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el estornudo. ¿Qué radio produce la máxima velocidad del aire? 56.

Beneficios El beneficio P (en dólares) de un restaurante de comida rápida al vender x hamburguesas viene dado por

= 2,44x- 20.000 -

5.000,

O ,; x ,; 35.000

Hallar los intervalos abiertos en los que P es creciente o decreciente. Potencia La potencia eléctrica (en vatios) en uncircuito de corriente continua con dos resistencias R 1 y R 2 , conectadas en serie, es

donde v es el voltaje. Si v y R 1 se mantienen constantes, ¿qué resistencia R 2 produce la máxima potencia? 0v 58.

Resistencia eléctrica material es R

La resistencia de cierto tipo de

= JO,OO!rt'

- 4T + 100

donde R se mide en ohmios y la temperatura Ten grados Celsius. a) Calcular, usando derivación simbólica, dR!dT y los números críticos de la función. Determinar la resistencia mínima para ese tipo de material. b) Representar en la calculadora la gráfica de R y usar esa gráfica para estimar la resistencia mínima de ese material. 0v 59.

Un modelo matemático E! número (en miles) de quiebras en EE.UU. durante los años 1981 a 1994 queda recogido en la tabla.

1981; 1985: 1989: 1993:

360,3; 364,5; 643,0; 918,7;

1982: 1986: 1990: 1994:

e) 60.

xz

P

57.

b)

367,9; 1983: 374,7; 1984: 344,3; 477,9; 1987: 561,3; 1988: 594,6 725,5; 1991: 880,4; 1992: 972,5 845,3

(Fuente: Administrative Offiee of the U. S. Courts.)

Usar regresión en la calculadora para establecer un modelo del tipo

que ajuste esos datos. (Tomar t = 1 como 1981.) Representar en la calculadora los datos y el modelo. Hallar analíticamente el máximo del modelo y compararlo con el resultado de los datos reales.

Representar en la calculadoraf(x) = 2 sen 3x + 4 cos 3x. Calcular el máximo valor de f ¿Cómo se podría estimar ese valor máximo mediante el Cálculo?

0v Funciones polinómicas

En los Ejercicios 61-64, encontrar

una función polinómica

que tenga sólo los extremos especificados. a) Determinar el grado mínimo de la función y formular los criterios utilizados para hallarlo. b) Uti izando el hecho de que las coordenadas de los extremos son puntos solución de la función y que las coordenadas x son números críticos, dar un sistema de ecuaciones lineales cuya solución proporcione los coeficientes de la función requerida. e) Usar la calculadora para resolver ese sistema y hallar la función. d) Confirmar los resultados gráficamente en la calculadora. 61.

Mínimo relativo: (0, O); Máximo relativo: (2, 2)

62.

Mínimo relativo: (0, 0); Máximo relativo: (4, 1.000)

63.

Mínimos relativos: (0, 0), (4, O); Máximo relativo: (2, 4)

64.

Mínimo relativo: (1, 2); Máximos relativos: (-1, 4), (3, 4)

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 65-68, discutir si la afirmación es correcta. Si no lo es, explicar por qué o exhibir un ejemplo que muestre su falsedad.

65.

La suma de dos funciones crecientes es creciente.

66.

El producto de dos funciones crecientes es creciente.

67.

Todo polinomio de grado n tiene n - 1 números críticos.

68.

Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n- 1 números críticos.

69.

Demostrar el segundo caso del Teorema 3.5.

70.

Demostrar el segundo caso del Teorema 3.6.

71.

Sean x > O y n > 1 dos números reales. Probar que (1 + x)" > 1 + nx.

205

Concavidad y el criterio de la segunda derivada

Sección 3.4

PR:Ó\;'ECTOPARA·IA. SECCIÓN

forma

Arco iris Bl ttroo irisse cuand.o la luz átraYic:)salas gotas de ·lluvia, ·su.mendo · ~;etll,~~ión · y refracdón~ · ~()mo muestra la ~uta (en la que vemos una sección 4e una gota es(~rica). La ley de la refncc~i6n establece que (sen a}/ (sen {)) = k, donde.k ~ 1,3~t 'El ángulo de désvi.ación viene · dado por D "" 1r + 2(X - 4fJ. a) Esbozar la gráfica de D para {)

~

a

~

tc/2. Usar una

calculadora .G!on

b} Probar que el ángulo de desviación mínimo ocurre cuan4o

ese

Para el agua, ¿cuál es átlgulo de desviación mínimo'l.(Bl·ángulo n- Dmin se llama ángulo del arco iris.) ¿Qué valor .de a ptodude ese ángulo mínimo? (Un rayo que atraviesa una gotaoon ese án¡gulo se llama un rayo de arco iris.)

PA,,lU, MÁSINI!ORM,f!CIÓN Véase el artículo «Somewllere.Within the.·Rainbow» de Steven Janke en UMAP )ournal, volumen 13, n(ímer:o 2, 1992.

CONTENIDO Concavidad Puntos de inflexión El criterio de la segunda derivada

• • • •

D

_3.4_ _ _ _ _ _ _ _ __ Concavidad y el criterio de la segunda derivada

Concavidad Ya hemos visto que el conocimiento de los intervalos en que una función es creciente o decreciente ayuda a describir su gráfica. Ahora aprenderemos que los intervalos en los que f' crece o decrece ayudan a saber dónde se curva hacia arriba o hacia abajo la gráfica de f

DSFINICIÓNDE CoNCAVIDAD..

Sea /4erivahle . en un interValo abierto l. La g:ráfíca de fes cóncava hacia arriba en 1 si/' es c:feciente en et~e intervalo y cóncava hacia abajo en l sif' es mw:reciente en ét. La interpretación gráfica de la concavidad que presentamos a continuación es muy útil (véase en el apéndice la demostración de estos resultados). l.

2.

Seajderivable en c. Si la gráfica dejes cóncava hacia arriba en (c,.f(c)), la gráfica queda por encima de la recta tangente en (e, j(c)) en algún intervalo abierto que contiene a e (véase Figura 3.24a). Seajderivable en c. Si la gráfica dejes cóncava hacia abajo en (c,f(c)), la gráfica queda por debajo de la recta tangente en (e, j(c)) en algún intervalo abierto que contiene a e (véase Figura 3.24b).

206

Capítulo 3

Aplicaciones de la derivada y

i

y

Cóncava hacia arriba, {'es creciente

Cóncava hacia abajo, .tes decreciente

... x a)

La gráfica de f queda por encima de su recta tangente

b) La gráfica defqueda por debajo

de su recta tangente

FIGURA 3.24

Para hallar los intervalos abiertos en los que la gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, necesitamos conocer los intervalos en los que f' es creciente o decreciente. Por ejemplo, la gráfica de O)

1 3 f(x) = -x - x 3

-2

;{'(x) =xL 1

f" es decreciente

fes creciente

FIGURA 3.25 La concavidad de f está relacionada con la pendiente de

r

TEOREMAl7

es cóncava hacia abajo en (-oo, O) porque f'(x) = x 2 - 1 es decreciente allí (véase Figura 3.25). Análogamente, la gráfica de fes cóncava hacia arriba en (0, oo) porque f' es creciente en ese intervalo. El próximo teorema enseña cómo usar la segunda derivada con el fin de determinar Jos intervalos sobre los cuales la gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Su demostración se sigue directamente del Teorema 3.5 y de la definición de concavidad.

CRITERlO DE CONCAVIDAD Sea f una fun~ión cuya segunda derivada existe .elf un 'interválo abierto l.

l. Sif''(x) > O pára todo x en ¡, la gráfica de fes cóncava hacia arriba

en r.·

.

.

.

2. Sif"(x) +:>)-1

2

f'(x) = (-6)(x + 3)- (2x)

'

'' ¡ '

J"(x) >O

Cóncava

-12x

f"(x) >O

f

11

(x 2 + 3) 2 (-12)- (-12x)(2)(x 2 + 3)(2x) (x) = (x2 + 3)4

36(x 2 - 1) (x2 + 3)3

2

-1

Primera derivada

(xz + 3)2

'

-2

Función original 2

-1

FIGURA 3.26 Del signo de j" podemos deducir la concavidad de la gráfica de f

Segunda derivada

Comof"(x) =O en x = ±1 y f"(x) está definida en toda la recta real, hemos de ensayar valores dej 11 en los intervalos (-oo, -1), y (-1, oo). Los resultados aparecen en la tabla y en la Figura 3.26. Intervalo

-oc< x < -1

-1 0 x-e x-e

Si {'(e)= Oyf(c) > O,j(c) es un mínimo relativo.

para todo x i= e en/. Si x O. Por tanto,f'(x) cambia de negativa a positiva en e, y el criterio de la primera derivada asegura que f(e) es un mínimo relativo. El segundo caso se demuestra de forma análoga y se deja al cuidado del lector. O EJEMPLO 4 Aplicación del criterio de la segunda derivada Hallar los extremos relativos def(x) = -3x 5 + 5x 3 • Para empezar, hallamos los números críticos de f.

Solución: X

f'(x) = -15x4 + 15x 2 = 15x 2 (1 - x 2 ) = O Sij'(c) =O yj"(c) O si x > 3

f"(x) O, x i= 3

50. f(O)

=f(2) = O

Representar f(x) =~e identificar los puntos de inflexión. ¿Existe f"(x) en los puntos de inflexión?

57.

Para pensar S denota las ventas semanales de un producto. ¿Qué se puede decir de S' y de S" en las siguientes circunstancias? a) El ritmo de ventas crece. h) Las ventas crecen a menor ritmo. e) El ritmo de cambio de las ventas es constante. d) Las ventas se mantienen estables. e) Las ventas bajan, pero a menor ritmo. f) Las ventas han tocado fondo y empiezan a crecer.

f'(x) < O si x < 1

f'(l)=O f'(x) >O si x > 1 f"(x) >O

En los Ejercicios 51 y 52, hallar a, b, e y d tales que f(x) = ex + d satisfaga las condiciones requeridas.

= ax 3 + hx 2 + 51.

Máximo relativo en (3, 3) Mínimo relativo en (5, 1) Punto de inflexión en (4, 2)

58.

Para pensar Esbozar la gráfica de una función que no tenga punto de inflexión en (c,f(e)) a pesar de que f"(c) =O.

52.

Máximo relativo en (2, 4) Mínimo relativo en (4, 2) Punto de inflexión en (3, 3)

59.

53.

Para pensar La figura muestra la gráfica de la segunda derivada de una función! Esbozar la gráfica def(la respuesta no es única).

Aterrizaje Un avión desciende desde 1 milla de altitud y desde un punto situado a 4 millas de la pista de aterrizaje (véase figura). 3 2 a) Hallar la función cúbicaf(x) =a.x + bx + ex + d que describe, en el intervalo f-4, 0], una trayectoria suave del aterrizaje. b) Con ese modelo para la trayectoria, ¿en qué momento descendería más rápidamente el avión?

'

'' ' ' '

¡~

'

4 5

.p..- X

--·~~+-- o•~~-r-~ -~~~

-4

-2

-1

Ejercicios de la Sección 3.4

PARA MÁS INFORMACIÓN Véase el artículo , de Richard Barshinger en The American Mathematieal Monthly, mayo 1992. 0v 60.

Diseño de autopistas Una autopista debe unir dos laderas de 6 por 100 y 4 por 100 de pendiente, entre dos puntos separados por una distancia horizontal de 2.000 pies (véase figura). En el punto de confluencia de las laderas quedará una altura de 50 pies. a) Diseñar un modelo del tipo f(x) = ax 3 + bx 2 + + ex + d (-1.000 :( x :( 1.000). En los puntos A y B, la pendiente del modelo debe coincidir con la de las laderas. b) Representar el modelo en la calculadora. e) Representar también la derivada del modelo. d) Determinar la máxima pendiente del modelo.

213 64.

Coste de inventario El coste total de pedido y almacenamiento de x unidades es 300.000 C=2x+--x

¿Qué tamaño de pedido produce el mínimo coste? 65.

Diseño de un motor En el motor de la figura, el cigüeñal gira a un ritmo constante de 200 revoluciones por minuto. La velocidad horizontal (en cm/min) del punto Pes v

= -2.400n sen O

¿Qué valores del ángulo dad horizontal?

(J

producen la máxima veloci-

p 6cm'

66. 61.

Pandeo de una viga gitud Les

Peso específico Un modelo para el peso específico del agua viene dado por

5,755 3 8,521 2 6,540 S= l()ST - --¡()6T + lQST + 0,99987,

da la intensidad del campo eléctrico en el eje de un anillo uniformemente cargado, donde q es la carga total, k una constante y a el radio del anillo. ¿Para qué valor de x es máximo E?

Coste medio Un empresario ha determinado que el coste total e de funcionamiento de su fábrica es

e=

Aproximaciones lineal y cuadrática En los Ejercicios 67-70, representar la función en la calculadora. A continuación, representar las aproximaciones lineal y cuadrática P 1 (x)

O< T< 25

donde Tes la temperatura del agua en grados Celsius. a) Usando derivación simbólica en la calculadora, hallar las coordenadas del valor máximo de la función. h) Esbozar la gráfica de la función en el dominio especificado (usar 0,996 :( S :( 1,001). e) Estimar el peso específico del agua cuando T = 20°. 63.

La ecuación

El pandeo D de una viga de lon-

donde x denota la distancia a un extremo de la viga. Calcular el valor de x que produce el máximo pandeo. l"v 62.

Intensidad del campo eléctrico

0,5x 2 + l5x + 5.000

= f(a)

+ f'(a)(x- a)

y P 2 (x)

1

=f(a) + f'(a)(x- a) + Zf"(a)(x- a) 2

en una misma ventana. Comparar los valores de f, P 1 y P 2 y sus primeras derivadas en x =a. ¿Cómo cambian las aproximaciones al alejarnos de x = a? Función

Valor de a

67. f(x) = 2(sen x + cos x)

a=O

68. f(x)=~

a=O

69. f(x) = 2(sen x + cos x)

n a=-

4

donde x es el número de unidades fabricadas. ¿A qué nivel de producción es mínimo el coste medio por unidad? (El coste medio por unidad es e/x.)

70. f(x)

= -Jx-

x- 1

a=2

214

Capítulo 3

f'v 71.

Aplicaciones de la deriva da

Representar en la calculadora y= x sen(llx). Probar que su gráfica es cóncava hacia abajo a la derecha de x = lln.

72.

Demostrar que el punto de int1exión de f(x) = x(x- 6) 2 está a medio camino entre los extremos relativos de f

73.

Probar que toda función cúbica con tres raíces reales distintas tiene un punto de inflexión cuya abscisa es el promedio de los tres ceros.

= y 2 • Si d está entre y 1 e y 2

tal que f'(e) 76.

x0

=

-b

~

3a

e

v0

·

2b

3

= - -2 -

27a

be

~

3a

Redacción Discutir las ventajas y desventajas de los criterios de la primera y de la segunda derivada, ilustrando la discusión con ejemplos.

+d

77.

La gráfica de todo polinomio cúbico tiene exactamente un punto de inflexión.

78.

La gráfica de f(x) = 1/x es cóncava hacia abajo en x O y, por tanto, tiene un punto de inflexión en x = O.

79.

El valor máximo de y= 3sen x + 2cos x es 5.

80.

La máxima pendiente de la gráfica de y= sen (bx) es h.

Usar esa fórmula para hallar el punto de inflexión de p(x) = x 3 - 3x 2 + 2. 75.

Teorema de Darboux Demostrar el teorema de Darboux: Seaf(x) derivable en [a, b],f'(a) = y 1 y f'(b) =

CONTENIDO • Límites en el infinito • Asíntotas horizontales •

D

existe un e en (a, b)

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 77-80, decidir si la afirmación es correcta. En caso contrario, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad.

Demostrar que el polinomio cúbico p(x) = ax 3 + bx 2 + + ex + d tiene exactamente un punto de inflexión (x 0 , y 0 ), donde

74.

,

= d.

_3.5_ _ _ _ _ _ _ _ __ Límites en el infinito

Límites en el infinito Esta sección discute el «comportamiento final» de una función en un intervalo infinito. Consideremos la gráfica de 3x 2

j(x) = -2-1 X

+

que muestra la Figura 3.33. Gráficamente, vemos que los valores def(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece o decrece sin cota. La tabla corrobora numéricamente esa impresión. FIGURA 3.33 El límite de j(x) cuando x tiende a -x o x es 3. X

j(x)

-cf:; +---

-lOO

-10

-1

o

l

10

100

-->oc

3+--

2,9997

2,97

1,5

o

1,5

2,97

2,9997

-->3

~~----~-(-x)_s_e_a_c~ __-~·a~3~~~-"~ ~~~~~-~-~--~~s-e~oo_··~~-·a_·~a~.3~--~~ Esta tabla sugiere que el valor de j(x) tiende hacia 3 cuando x crece por la derecha sin cota (x ---> oo ). Análogamente,f(x) tiende hacia el valor 3 cuando x ---> -oo. Estos límites en el infinito se denotan por 1

Nota.

lím j(x) = 3

Al escribir lím f(x) =Lo

x-----+-

x--->- rx

lím f(x) ,\ ---t

= L,

queremos significar

'l~

que el límite existe y que es igual a L.

Límite en -oc

OC·

y lím j(x) = 3 x~w

Límite en +r:xJ

Sección 3.5

215

Límites en el infinito

Decir que una propiedad es cierta .c_Q_a!Jdo x crece sin cota significa que, para algún número (grande) M, esa propiedad es cierta para todo x en el intervalo {x: x >M}. La próxima definición utiliza este concepto.

y

+

M

FIGURA 334 f(x) se mantiene a distancia menor que r. deL

cuando x __. oc.

La definición se ilustra en la Figura 3.34. En ella, nótese que para un número positivo dado e existe un número positivo M tal que, para x >M, la gráfica de f está comprendida entre las rectas horizontales y = L + e e y = L - t:.

Asíntotas horizontales En la Figura 3.34, la gráfica de jtiende hacia la de la recta y= L, cuando x crece sin cota. Se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de f

Nota. De la definición se sigue que la gráfica dejpuede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha. 1

Los límites en el infinito gozan de muchas de las propiedades de los límites expuestas en la Sección 1.3. Por ejemplo, si lím j(x) y lím g(x) existen amx-+w

x-+·cc

bos, entonces lím [f(x) + g(x)] = lím f(x) + lím g(x) x-+oo

x-+oo

x-rx_;

y

Propiedades análogas son válidas para los límites en -oo.

216

Capítulo 3

Aplicaciones de la deriva da

Al evaluar límites en el infinito, es útil el siguiente teorema, cuya demostración relegamos al apéndice.

EJEMPLO 1 Cálculo de límites en el infinito Calcular el límite

lím x-+x

Solución:

(s -

2

X

2

)

Por el Teorema 3-1 O podemos escribir lím x--+oo

(s -

2

X2

)

= lím 5 - lím x--trx;

x--+oo

2 X2

=5-0 =5

D

EJEMPLO 2 Cálculo de límites en el infinito Calcular el límite

2x- 1 lím - - X+ 1

x~w

Solución: Tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando x tiende a infinito.

~ím

(2x - 1)

-4

oo

00

2x- 1 lím

~c__x~--------'

x+i~

1

lím (x + 1)

-4

oo

x~co

~----------------~

00

Esto significa que estamos ante una forma indeterminada del tipo--. Para 00

resolver este problema podemos dividir numerador y denominador por x, tras lo cual el límite a calcular adopta esta forma:

Sección 3.5

Límites en el infinito

217

2x- 1

Nota. Ante una forma indeterminada como la del Ejemplo 2, sugerimos dividir por la potencia más alta que aparezca en el denominador.

1

2x- 1 X Iím - - - = lím X+ 1 x~oo X+ 1 X

= lím 2 - (1/x) x~ao 1 + (1/x)

y

~,~1

lím 2- Iím x-Jooo

lím 1 + lím

------¡-~r-r------

¡

~ ~

~

1 :

: ~1

x-+w

X

Tomar límites de numerador y denominador

2-0 1+

4~-j---',...x

1

2

x--+oo

X-l-OO

---

~

Dividir numerador y denominador por x

x~w

X

Aplicar el Teorema 3.10

o

=2

3

'

' '

FIGURA 3.35 y =2 es una asíntota horizontal.

Así pues, la recta y= 2 es asíntota horizontal por la derecha. Tomando el límite para x ---+ -oo podemos ver que y = 2 es asimismo asíntota horizontal por la izquierda. La gráfica de la función se muestra en la Figura 3.35. O

FIGURA 3.36 Al crecer x, la gráfica de f se aproxima cada vez más a la de la recta y =2.

EJEMPLO 3 Comparación de tres funciones racionales Calcular los siguientes límites:

a)

2x + 5 lím - ::--2 x~co 3x +

b)

2x 2 + 5 -lím --=2 x~co 3x + 1

e)

2x 3 + 5 lím ---=2- x~ao 3x + 1

Solución: a)

Al intentar evaluar el límite vemos que es de la forma indeterminada oo/ oo. Dividimos numerador y denominador por x 2 • , 2x + 5 , (2/x) + (5/x 2 ) hm = hm x~co 3x 2 + 1 x~co 3 + (ljx 2 )

O+ O O =- = ~ =O 3 +O 3

218

Capítulo 3

Aplicaciones de la derivada

b)

Dividimos numerador y denominador por x 2 . 2x 2 + 5 lím -::-2 x~co 3x + 1

e)

, 2 + (5/x 2 ) 2 + O 2 hm =--=x~w3+(1/x2) 3+0 3

Dividimos numerador y denominador por x 2 •

Concluimos que el límite no existe, ya que el numerador crece sin tope mienD tras el denominador tiende hacia 3. MARIA AGNESf 11718-1199} Agnesi fue una.de .las ~ujeres · merecedorasc~·~ii O, sen x

~--~-

X

X

X

donde lím (-1/x) =O y lím (1/x) =O. En consecuencia, el teorema del x-t-oo

x-oo

encaje permite concluir que sen x lím - - = 0 FlGURA3.40 Cuando x crece sin tope, f(x) tiende a O.

x--too

como se indica en la Figura 3.40.

X

D

EJEMPLO 6 Nivel de oxígeno en un estanque

Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t) = 1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =O, se vierten residuos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser

221

Ejercicios de la Sección 3.5

t2 J(t) =

-

t

2

t+

+

1

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después?¿ Y 2 semanas después del vertido? ¿Y 1O semanas después del vertido? ¿Cuál es el límite cuando t tiende a infinito? Cuando t = 1, 2 y 1O, los niveles de oxígeno son

Solución:

f(l)= /(1)

A

f(2) =

f( 1O) .

=

1 12 -1+1 =-=50% 2 1 + 1 2 22

-

2+ 1

2

+

2

1

1 semana

3

= - = 60% 5

2 semanas

10 2 - 10 + 1 91 = -101 = 90 , 1 % 10 2 + 1

10 semanas

.i.J 0,50

!1

z

Para calcular el límite cuando t tiende a infinito, dividimos numerador y denominador por

0,25

10

l -

Semanas

FIGURA 3.41 El nivel de oxígeno en un estanque tiende al nivel normal 1cuando t tiende a ex.

o+ o o

100%

1+

D

(Véase Figura 3.41.)

Ejercicios de la Sección 3.5 En los Ejercicios 1-6, emparejar cada función con su gráfica, usando las asíntotas horizontales como guía. a)

y A

4.

:slZ:,

b)

y .!.

3

f)

e)

~

-3 2 -1

~ 1

X

1

2

3x 2 l. f(x) = :¡-X + 2

~X

2

l

-1

3. f(x)

d)

e)

1 2 3

-2 :

i

lt j

1

X

= :¡-X

V

A

3 •

S.

+ 2

4 sen x f(x) = - 2 X + 1

2. f(x)=

2x

~

.yx 2 + 2 xz 4. f(x) = 2 + x4 + 1

6. f(x)

=

2x 2

-

3x + 5

1 i

±-f~t~ -3

-3

-1

-3

-f

1 2

f3'. X 3

11>

Análisis numérico y gráfico En los Ejercicios 7-1 O, usar la calculadora para completar la tabla y estimar el límite en el infinito. A continuación, representar la gráfica de f en la calculadora y estimar el límite gráficamente.

222

X

Aplicaciones de la deriva da

Capítulo 3

100

102

10 1

105

104

10 3

10 6

f(x) 2x 2

4x + 3 7. J(x) = - 2x - 1

8. J(x) = X

+ 1

1 10. j(x) = 5 -2- x + 1

-6x

9. f(x) =

2

J4x + 5

En los Ejercicios 11-24, calcular el límite.

11. 13. 15.

17.

19.

21.

2x- 1 lím - -

12.

x~w3x+2 X

lím - -

14.

x~,,x 2 -l

5x 2

lím

16.

x+3

x---+-'J.,~

2x

lím

5x 3 + 1

lím

x~

00

+1

18.

20.

X~~~

sen 2x lím--

22.

lím

x~oo

3

2

10x - 3x + 7

2x 10 - 1 lím 11 x~oo 10x -3

24.

lím

x~oo

lím

X

-3x + 1

lím

X

lím (x + x---+-

28.

'L

35.

1

f(x) == x sen · 2x

J?"+35

lím (2x- J4x 2 + 1)

105

104

- 1)

32. f(x)

=x 2 -

34. j(x)

= r..

xJx(x - 1)

+ 1

X

1-

1 lím sen-

1 lím x tgx--+rJJ

x-3

X

36.

y=x-2

38.

2x Y= 9- xz

X

y= x2- 4

39.

y=--

41.

y= x2- 4

43.

xy 2 = 4

45.

y=--

x2 x2 + 9 2x 2

42.

2x 2 y=-x2 + 4

2x

1-

y= 1 - x 2

X

3

47.

y= 2 - -

49.

y= 3

xz

48.

1 y=1+-

52.

y

x

X

2

+X X

= -----===

P-=4

En los Ejercicios 53-60, usar derivación simbólica para analizar la gráfica de la función. Indicar los extremos y las asíntotas.

x---+CG

29.

lím (x- Jx 2 + x)

53.

1

f(x) = 5 -x2 -

xz 54.

j(x) = - 2 X

x--+,XJ

30.

lím (3x + J9x 2 - x) x-+- oc

106

x,.¡x

2+x

y=--

37.

X - COS X

X

26.

103

En los Ejercicios 35-52, esbozar la gráfica de la función. Buscar extremos, intersecciones con los ejes y asíntotas. Comprobar el resultado con la gráfica que da una calculadora.

J?"+l

(\_, En los Ejercicios 27-30, hallar el límite. (Ayuda: Tratar la expresión como una fracción de denominador 1 y racionalizar el numerador.) Verificar el resultado mediante una gráfica en la calculadora. 27.

= x- Jx(x

x~-~~

X

1 lím x senX---J.::JJ

33.

X

En los Ejercicios 25 y 26, calcular el límite. (Ayuda: Hacer X= lft y hallar el límite para t ---> Ü+ .) 25.

102

f(x)

X

2x +sen

101

lím (2x--;)

X

23.

100

X

31. f(x)

x---+rx)

X

lím

Investigación numérica, gráfica y analítica En los Ejercicios 31-34, usar la calculadora para completar la tabla y para estimar el límite en el infinito. Representar a continuación la gráfica defy estimar el límite gráficamente. Finalmente, calcularlo analíticamente y comparar el resultado con las estimaciones.

X

SS. j(x)=~ X -

4

56.

f(x)

-

= x2 -

1 1 x - 2

223

Ejercicios de la Sección 3.5

x-2

57. f(x) = X

59. f(x)

('jv 61.

2

-

4X+ 3 3x

= ---===

60.

J4x2+1

f(x)

X

+ 1

---=---

x2 + x +

66.

1

f(x)

b)

1

La eficiencia de un motor de

2 sen 2x

Eficiencia(%)= 100

X

= J1_ X+

Eficiencia de un motor combustión interna es

=- - -

Representar en una calculadora cada función y comprobar que tienen todas dos asíntotas horizontales. a)

62.

58. f(x) =

f(x)=

1 -]

(v 1 jv 2

donde v 1 /v 2 es el cociente entre el gas sin comprimir y el gas comprimido, y e es una constante positiva dependiente del diseño del motor. Calcular el límite de la eficiencia cuando el cociente de compresión tiende a infinito.

2x

~

.yx 2 + 1 67.

Dada la funciónf(x) = 5x 3 - 3x 2 + 10, hallar lím h(x), si es posible.

[1 --- Y

x~CXJ

Coste medio Un comercio tiene un coste e= 0,5x + + 500 en la producción de x unidades. El coste medio por unidad es

-

e

e=-x fl¡.,

En los Ejercicios 63 y 64, a) representar en la calculadorafy gen una misma ventana, b) verificar algebraicamente quefy g representan la misma función, y e) ampliar cuanto sea necesario hasta ver la gráfica como recta. ¿Qué ecuación parece tener esa recta? (Nótese que los puntos en los que la función no es continua no son fáciles de ver al hacer zoom.)

Hallar el límite de 68.

Una recta con pendiente m pasa por el punto (0, 4). Expresar la distanciad del punto (3, 1) a esa recta como función de m. b) Representar la gráfica de la ecuación del apartado a) en una calculadora. e) Calcular lím d(m) y lím d(m). Interpretar los

a)

x 3 - 3x 2 + 2 63. f(x) = - - - -

x--+-ro

x(x- 3) 2

g(x)

69.

= 1 2

= ~-x +

x---+-w

resultados geométricamente.

g(x)=x + - - x(x- 3)

64. f(x)

e cuando X tiende a infinito.

Un modelo matemático La tabla recoge los datos de temperatura que produce un cierto horno durante los dos primeros minutos.

t

o

15

30

45

60

T

25,2°

36,9°

45,SO

51,4°

56,0°

t

75

90

105

120

T

59,6°

62,0°

64,0°

65,0°

1 1 - -2 x

65. Para pensar Dada la gráfica de f adjunta

a) b)

e) a)

Esbozar la def'.

b)

Estimar, mediante esas gráficas, lím f(x) y lím f'(x). x-+oo

e)

Explicar las respuestas del apartado b).

Usar regresión en la calculadora para obtener un modelo de la forma T1 = at2 + bt + e para esos datos. Representar en la calculadora T1 . Un modelo racional para esos datos viene dado por 2.468 + 155t T ----22(50 + t)

x-+oo

Representar este nuevo modelo.

224

Capítulo 3 d) .f)

70.

.f'(x) < O para x < 2

Hallar T 1 (0) y T2 (0). Hallar !~~ T 2 •

e)

('v

Aplicaciones de la derivada

.f'(x) >O para x > 2

Interpretar el resultado del apartado e) en el contexto del problema. ¿Es posible realizar este tipo de análisis utilizando T 1 ? Explicar la respuesta.

Un modelo matemático Los datos de la tabla dan el número N (en miles) de graduados superiores al final de cada década entre 1900 y 1990. (Fuente: U. S. De-

lím f(x) x--+~'XJ

74.

75.

partment of Education.)

= x--+w lím f(x) = 6

Para pensar ¿Es posible encontrar una función cuya gráfica satisfaga las condiciones del Ejercicio 73 y no tenga ningún punto de inflexión? Razonar la respuesta. Demostrar que si p(x) q(x) = h,;:"' + · · · + h 1x

Año

N

1900 62

1910 111

1920 231

1930 592

1.940 lím p(x) =

1.140

x~" q(x)

O,

n O para todos los x reales,f crece sin cota.

72.

Si.f"(x) -cx::. b) Proba,r que f(x) = 2x + l

e)

1 + ·--.

x-1

¿Qu~ ~ignifica esto con relación. a la~ gráflcas. de f y g cuando x _,. oo y x .-+-ct::/? Demostrar que/se pue O, entonces !ly ~ dv.

51.

Razonamiento gráfico El área de un cuadrado de lado x es A(x) = x 2 . a) Calcular dA y M en términos de x y fu:. b) Usar la figura para identificar la región cuya área es dA. e) Usar la figura para identificar la región cuya área es M- dA.

Medida de triángulos Un cateto de un triángulo rectángulo mide 9,5 pulgadas y el ángulo opuesto 26 45', con un error no superior a 15'. a) Aproximar el porcentaje de error al calcular la longitud de la hipotenusa. b) Estimar el error permisible en la medida del ángulo para que el error en el cálculo de la longitud de la hipotenusa no pase del 2 por 1OO.

36.

Área Estimar el porcentaje de error en el cálculo del área del triángulo del Ejercicio 35.

37.

Movimiento de un proyectil proyectil es R

v6

=~(sen

32

~

,--------T-: Iflx

1

El recorrido R de un

~~·~·

20)

donde t• 0 es la velocidad inicial en pies/s y Oel ángulo de elevación. Si r 0 = 2.200 pies/s y Ose cambia de 1O" a 11 , usar diferenciales para estimar el cambio en el recorrido. 38.

50.

Agrimensura Un agrimensor está a 50 pies de la base de un árbol y mide el ángulo de elevación como 71 S.

52.

Demostrar que si y =f(x) es una función derivable, entonces !ly - dy

donde 1:

-->

O cuando fu:

-->

= é:LU O.

Sección 3. JO

263

Aplicaciones a la economía y al comercio

~_3.1_0__~------~-------­

CONTENIDO • Aplicaciones a la economía y al comercio •

LJ Aplicaciones a la economía y al comercio Aplicaciones a la economía y al comercio

En la Sección 2.6 aprendimos que la situación más frecuente en que se miden cambios es respecto al tiempo. Ahora analizaremos algunos ritmos de cambio relevantes en Economía que no se miden respecto al tiempo. Así, los economistas denominan beneficio marginal, ingreso marginal y coste marginal a los ritmos de cambio de los beneficios, de los ingresos y de los costes con respecto al número de unidades producidas o vendidas.

. x ~s .el n~me¡:o d,~ :¡;¡pi!~c~s . ~1~tl1C~(llas p ~~~ el p~ci~ ppr unid~

.

R denota los ingtesós .tofáJe¡¡ O'bteliidos pot la. venta 'de. xunid.a.des . . · · · C es el e~sté. total de prooooci6n de .t rlttidl\des

el coste .medi~

p~r

npidad .

e- ~ .-ex

Pes el bepeqcí~ tot~ al vender xuni~des .... . .... .. P~ R - C Ef punto de equilibrio es el ntimeto de 1.mjdades para .el cual R ~ C.

Marginales ;{: =·(ingreso mar~inal) ·~

:; ;:: (coste m~W~aO

'·~

Ú~r~~extra en la venta de una unidad adicional)

(Foste extra t~,l;í la venta de una unidad adicional)

dP. llllfginal) ·~ (belieficiotxn"a en la venta de una unidad adicion.a.I) t:l:t ' (beneficio ' ' ' ' ' ' ' ·. ' ' ' ' : ' '

=

En este resumen, nótese que los marginales se pueden utilizar para estimar el ingreso, beneficio o coste asociado a la producción o venta de una unidad adicional. Esto se ilustra gráficamente para el ingreso marginal en la Figura 3.67. Ingreso marginal

EX:PU)A.ACIÓN

Ingreso adicional por una unidad

Grtíftcas de .funciones de ffl,gresos La gráfica de la función de ingresos que muestra Ja Figura 3.67 es cóncava hacia abajo. ¿Cómo es .posible? ¿No .tendría que ser una fun!.ión linea:l del tipo

FIGURA 3.67 Una función de ingresos.

donde x es el.númefQ ~~. unip~e$ ~R ~\ precio?Díscutir esta cnestión en .clase o en

tttl;lpos: Coo:Sicl~ f\inción·d~-

: que au~na ~!

que e(ll~~ :d~ utiidlldes vendidas x pllt¡de ~, él mismo,

'8ad'i ~ ~j~mplo, al bajar el precio unitaó', es posible

.• mil~&ís:~en8~clas.

· ·

· ··. · ·· ··

· ··

264

Capiwlo3

Aplic:~ciones

de la

deriv:~da

EJEMPLO 1 Los marginales como aproximaciones Un empresario determina que el beneficio en la venta de x unidades de cierto artículo viene dado por P = 0,0002x 3 + 1Ox.

/'

a)

{J(J()

b) )()() 'J

Calcular el beneficio marginal para una producción de 50 unidades_ Compararlo con el aumento real de beneficios obtenido al pasar ck producir 50 a 51 unidades (véase Figura 3.68).

~

e:¡

-liJO

Solucirín· a) El beneficio marginal viene dado por

~

300

º 'J

~

2()1)

dP - = 0,0006x 2 + 1O

100

dx

10 20 30 40 1\úmero de unidades

50

Cuando x = 50, el beneficio marginal es

FIGURA 168 El beneficio marginal es el beneficio extra por la venta de una unidad adicional.

dP

-· = (0,0006)(50) 2 + 10 = $11,50 dx b)

Beneficio marginal

Para x = 50 y 51, los beneficios reales son p p

= (0,0002)(50 3 ) + = (0,0002)(51 3 ) +

= 25 + 500 = $525,00 10(51) = 26,53 + 51 o= $536,53

10(50)

Por tanto, el beneficio adicional al pasar la producción de 50 a 51 unidades es 536,53 - 525,00 = $11,53

Beneficio extra por una unidad

D

La función de beneficios del Ejemplo es inusual, por cuanto sigue creciendo siempre que el número de unidades vendidas aumente. En la práctica, es más frecuente encontrar situaciones en las que sólo bajando el precio por unidad es posible aumentar las ventas_ Tales reducciones de precio acaban provocando la caída de Jos beneficios_ El número x de unidades que los clientes están deseando adquirir a un precio dado p por unidad se conoce como la función de (la) demanda

1

p = f(x)

Función de demanda

EJEMPLO 2 Una función de demanda Un comerciante vende 2.000 unidades mensuales a $1 O cada unidad_ Se predice que las ventas mensuales crecerán 250 unidades por cada $0,25 de reducción en el precio_ Hallar la función de demanda correspondiente a esta predicción_

Sección 3. JO

265

Aplicaciones ala economía y al comercio

Solución: Como está previsto que x aumente en 250 unidades cada vez que se baje en $0,25 el precio, la situación queda descrita por la ecuación

X

p) = 12.000 -

lO= 2.000 + 250 ( - 0,25

l.OOOp

es decir, X

X ~

p = 12 - 1.000'

"' 1::

.."!

15

~

10

.g

2.ÜÜÜ

Función de óemanda

La gráfica de esta función de demanda está recogida en la Figura 3.69.

D

~

ü

J:

5 X

EJEMPLO 3 Cálculo del ingreso marginal

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 Número de unidades

FIGURA 3.69 Una función de demanda p.

Un restaurante de comida rápida calcula que la demanda mensual de hamburguesas es 6Ü.ÜÜÜ- X

p =

20.000

Hallar el crecimiento del ingreso marginal (ingreso por hamburguesa) para unas ventas mensuales de 20.000 unidades (véase Figura 3.70). Solución:

Como los ingresos totales vienen dados por R = xp, se tiene

R

= xp = x ( 60.000 - X) = -1- (60.000x 20.000

20.000

x2)

y el ingreso marginal es 3,00

dR 1 - = --(60.000 - 2x) dx 20.000

-;;;- 2,50

~ 2,00

.,:0

"

~

1,50

Para x = 20.000, el ingreso marginal es

o ü 1:: 1,00

0..

0,50

dR dx

20.000 40.000 60.000 Número de unidades

FIGURA 3.70 Al bajar el precio se venden más hamburguesas.

l 20.000

20.000 20.000

- = --[60.000- 2(20.000)] = - - = $1/unidad

X

D

Nota. La función demanda del Ejemplo 3 es típica, en el sentido de que a un bajo precio corresponde una fuerte demanda, como muestra la Figura 3.70. 1

266

Capítulo 3

Aplicaciones de la derivada

EJEMPLO 4 Cálculo del beneficio marginal Puesto que en el Ejemplo 3 el coste de producción de x hamburguesas es e= 5.000 + 0,56x

hallar el beneficio total y el beneficio marginal para 20.000, 24.000 y 30.000 unidades. Solución: Al ser P = R - C, podemos usar la función de ingresos del Ejemplo 3 para ver que

P=

1 _ (60.000x - x 2 ) 20 000

5.000 - 0,56x

-

xz = 2,44x -

_ - 5.000 20 000

Así pues, el beneficio marginal es 25.000

dP

:g

X

-=244--d.x ' 10.000

~ 20.000 15.000

E

"(;" 10.000

~

La tabla muestra los beneficios total y marginal para cada una de las tres demandas especificadas.

5.000

5

X

Ol

-5.000 Número de unidades

FIGURA3.71 El máximo beneficio corresponde al punto donde el beneficio marginal es O. Cuando se venden más de 24.000 hamburguesas, el beneficio marginal es negativo (un aumento de la producción más allá de este nivel producirá una reducción de beneficios, en lugar de un aumento de beneficios).

Demanda

20.000

24.000

30.000

Beneficio

$23.800

$24.768

$23.200

$0,44

$0,00

-$0,56

Beneficio marginal

D

EJEMPLO 5 Cálculo del beneficio máximo En la comercialización de un producto se ha comprobado que la demanda viene dada por 50

p =

Jx

Función de demanda

El coste de producción de X unidades es e = 0,5x + 500. Calcular el precio por unidad para el que se consigue un beneficio máximo (véase Figura 3.72). Solución:

A la vista de la función de costes dada, es

P = R - e = xp - (0,5x + 500)

Ecuación primaria

267

Aplicaciones a la economía y al comercio

Sección 3.10

Sustituyendo la expresión dada por p obtenemos

P = x(Jx) - (O,Sx + 500) =

soJx - O,Sx - 500

Igualando a cero el beneficio marginal dP

25

~=--05=0

dx

Jx '

vemos que x = 2.500. De ello podemos concluir que el beneficio máximo sucede cuando el precio es 3.500

p =

w3.000 .,:0 2.500 ~

~ 2.000

J2.500

D

5500 = $1,00

Nota. Para hallar el beneficio máximo en el Ejemplo 5, hemos derivado la función de beneficios, P = R - C, y hemos igualado dP!dx a cero. De esta ecuación 1

o

:g

1.500

¡¡

1.000

e¡

50

dP dR dC -=---=0 dx dx dx

500 X

4 Número de unidades (en millares)

FIGURA 3.72 dR dC El máximo beneficio se logra cuando- =-. dx dx

se sigue que el máximo beneficio ocurre cuando el ingreso marginal es igual al coste marginal, tal como indica la Figura 3.72.

EJEMPLO 6 Minimizando el coste medio Una empresa estima que el coste, en dólares, de producción de x unidades de cierto producto es e= 800 + 0,04x + 0,0002x 2 • Calcular el nivel de producción que hace mínimo el coste medio por unidad.

Solución:

~

2,00

~

1,50

§

1,00

.,

:0

~

Sustituyendo

e de la ecuación dada se obtiene

e-- = -eX = 800

+ 0,04x + 0,0002x

2 -

-

800

X

oo

+ , 4+

o 002 ,o x

X

Haciendo la derivada dC dx igual a cero resulta

13

o.

¡;¡

0,50

o

u

X

de 800 - = -+ o 0002 = o ' dx x2

1.000 2.000 3.000 4.000 Número de unidades

FIGURA 3.73

2 800 x = - - = 4.000.000 0,0002

=>

. x = 2.000 umdades

dC

El mínimo coste medio se consigue cuando - =O. dx

(Véase Figura 3.73.)

D

268

Capítulo 3

Aplicaciones de la derivada

Ejercicios de la Sección 3.10 l.

Para pensar La figura muestra el coste C de producción de x unidades de un producto. a)

b)

e)

En los Ejercicios 11-14, calcular el precio unitario que produce un beneficio P máximo.

¿Cómo se llama e(O)? Esbozar la gráfica de la función coste marginal. ¿Tiene esa función algún extremo? Si lo tiene, describir su significado en términos de Economía.

Función de coste

Función de demanda

11.

e= 100 + 30x

p=90-x

12.

e= 2.400x + 5.200

p = 6.000 - 0,4x 2

13.

e = 4.000 -

p =50-100

14.

e = 35x + 2Fx'=l

X

40x + 0,02x 2

p = 40- Fx'=l

Coste medio

2.

En los Ejercicios 15 y 16, usar la función de costes para calcular el valor de x en el que el coste medio es mínimo. Para tal valor de x, mostrar que el coste marginal y el coste medio son iguales.

La figura muestra el coste e y los ingresos R de producción y venta de x unidades de un producto. a) Esbozar la gráfica de la función ingreso marginal. b) Esbozar la gráfica de la función de beneficios. Aproximar la posición del valor de x en el que el beneficio es máximo.

Para pensar

15.

e = 2x 2 + Sx + 18

17.

Probar que el coste medio es mínimo en el valor de x para el cual el coste medio es igual al coste marginal.

18.

Beneficio máximo

16.

e = x3 -

6x 2 + 13x

El beneficio de cierta empresa es 1

P = 230 + 20s - -s 2 2 dondes es la cantidad (en cientos de dólares) gastada en publicidad. ¿Qué valor des hace máximo el beneficio?

AF

19.

En los Ejercicios 3-6, calcular el número x de unidades que proporciona unos ingresos máximos. 3.

R = 900x - x 2

S.

R=--~--

l.OOO.OOOx 0,02x2 + 1.800

4.

R

= 600x 2 -

0,02x 3

6.

R

= 30x 213

2x

-

En los Ejercicios 7-1 O, hallar el número x de unidades para el cual el coste medio por unidad es mínimo.

+

C = O, 125x

2

8.

C = 0,00lx

3

9.

C = 3.000x- x 2 J300

7.

10.

e

2x 3

-

20x + 5.000

Sx + 250

El coste por unidad para la producción de un modelo de radio es $60. El fabricante cobra $90 por unidad para pedidos que no superen las 100 unidades. Con el fin de incentivar grandes pedidos, reduce el precio en $0,15 por cada unidad que pase de 100 (por ejemplo, las cobraría a $87 si el pedido fuese de 120). a) Completar analíticamente seis filas de una tabla como la adjunta, en la que sólo se muestran dos filas.

X

Precio

102

90- 2(0,15) 102[90- 2(0,15)]- 102(60) = 3.029,40

104

90- 4(0,15) 104[90- 4(0,15)] - 104(60) = 3.057,60 b)

-X

2 = - - - - cxc -+- -5.000x ---x2 + 2.500 -

Investigación numérica, gráfica y analítica

e)

d)

Beneficio

Usando la calculadora, generar nuevas filas y usar la tabla para estimar el beneficio máximo. Expresar el beneficio P en función de x. Hallar, usando el Cálculo, el número crítico de la función y la orden de pedido requerida.

269

Ejercicios de la Sección 3. 1O e) 20.

Representar la función en la calculadora e identificar el beneficio máximo en la gráfica.

Beneficio máximo Una agencia inmobiliaria dispone de 50 apartamentos. Cuando los alquila a $720 por mes, están todos ocupados. Pero, en promedio, por cada $40 de aumento en el alquiler, se produce una vacante. Cada apartamento alquilado exige una inversión mensual de $48 para su limpieza y mantenimiento. ¿Qué alquiler producirá un beneficio máximo"

Coste mínimo En los Ejercicios 21 y 22, hallar la velocidad v, en millas/h, que minimiza los costes en un trayecto de 110 millas. El coste del combustible por hora es e dólares y el conductor cobra W dólares la hora. (Se supone que no hay más costes.) 21.

Hallar la ecuación de la carretera principal por este método y determinar la suma de longitudes de las secundarias. (Ayuda: Representar en la calculadora la gráfica de S 2 y aproximar el número crítico requerido.)

Coste del fuel:

e=-

vz

600

22.

Coste del fu el:

e=-

y

(10, 10m) (5, 6)

~ 27.

v2

500

Minimizar la suma de distancias perpendiculares (véanse Ejercicios 75-81 de la Sección P.2) desde la carretera principal a las fábricas, dada por

Conductor: W = $7,50

Conductor: W = $5

s3 =

23. Coste mínimo

Una central de energía está a un lado de un río de 1/2 milla de anchura, y una fábrica se encuentra situada 6 millas aguas abajo, al otro lado del río. El tendido de líneas cuesta $12 por pie en tierra y $16 por pie bajo el agua. Hallar el tendido más económico desde la central hasta la fábrica.

24.

25.

f\v

26.

Minimizar la suma de los valores absolutos de las longitudes de las carreteras secundarias verticales S2 =14m- ll

+

15m- 61 +110m- 31

15m - 61 2

...,¡m +1

110m - 31

+-===e

~

(5, 6)

28.

Redacción Explicar por escrito cuál de los métodos de los Ejercicios 25-27 es más sencillo de aplicar y cuál logra con más eficacia el objetivo de minimizar costes.

29.

Beneficio máximo Supongamos que el capital depositado en un banco es proporcional al cuadrado de la tasa de interés abonada por la entidad, y que el banco puede reinvertir ese dinero al 12 por 1OO. Calcular la tasa de interés que produce beneficios máximos para el banco. (Usar la fórmula del interés simple.)

30.

Ingresos máximos Cuando un comerciante vende un cierto producto a $25 la unidad, vende 800 unidades semanales. Después de aumentar el precio en $5, las ventas caen a 775 unidades semanales. Suponiendo que la función de demanda es lineal, calcular el precio que hará máximos los ingresos totales.

+ (5m- 6) 2 +(10m- 3) 2

Hallar la ecuación de la carretera principal por este método y determinar la suma de longitudes de las secundarias.

~

+

y

Minimizar la suma de los cuadrados de las longitudes de las carreteras verticales S 1 = (4m- 1) 2

14m - ll

Hallar la ecuación de la carretera principal por este método y determinar la suma de longitudes de las secundarias. (Ayuda: Representar en la calculadora la gráfica de s3 y aproximar el número crítico requerido.)

Coste mínimo Una plataforma petrolífera está 2 km mar adentro y la refinería 4 km costa abajo. Si el coste del metro de oleoducto es doble en el mar que en tierra firme, ¿qué trayecto debe tener el oleoducto para minimizar costes?

Coste mínimo En los Ejercicios 25-28, considérese uncentro de distribución de combustible situado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (unidades en millas, véanse figuras). El centro surte a tres fábricas con coordenadas (4, 1), (5, 6) y (10, 3). Una carretera sale del centro siguiendo la recta y= mx, y otras desde ésta hacia las fábricas. El objetivo es hallar un m que haga mínima la longitud de las carreteras secundarias.

10

4

270 .'\_, 31.

Capítulo 3

Aplicaciones de la derivada

Coste mínimo El coste C de pedido y transporte de las componentes utilizadas en la fabricación de cierto producto es 2QQ

X

)

C= 100 ( -2+ - - , x x + 30

e= 800 + 0,4x + 0,02x + 0,0001x

6

G

8,91

9,18

9,79

9,83

10,37

10,16

t

7

8

9

10

11

12

G

10,37

10,81

10,03

9,97

9,85

9,51

~-

0,62)

G = 9,90 - 0,64 cos (

e)

d)

('v

37.

Beneficios Los beneficios P de una compañía por la venta de x unidades vienen dados por P = (500x- x 2 )

-

Gx

2

-

Ingresos de los ferrocarriles Los ingresos anuales (en millones de dólares) de la Union Pacific en Jos años 1985-1994 siguen el modelo

= 4,7t 4

Investigación analítica y gráfica Un fabricante de fertilizantes estima que las ventas siguen el esquema

=

2n(t 100.000 { 1 + sen [ 365

60)l}

donde F se mide en libras y el tiempo t en días, con t = 1 correspondiendo al 1 de enero. a) Usar el Cálculo para determinar el día de máxima venta de fertilizante. h) Representar la función en la calculadora y estimar el día de mínima venta. Un modelo matemático La tabla muestra la distribución mensual de gasolina G en miles de millones de galones en EE.UU. el año 1994. El tiempo t se representa en meses, de 1 a 12. (Fuente: Federal Highway Electronie Bulletin Board.)

-

193,5t 3 + 2.941,7t 2

-

l9.294,7t + 52.012

donde t = O corresponde a 1980. (Fuente: Un ion Pacific Corporation.) a) ¿En cuál de esos años fueron menores los ingresos? b) ¿En qué año fueron máximos? e) Calcular el montante de los ingresos en esos dos años. d) Confirmar los resultados en la calculadora.

77x + 3.000)

Usar diferenciales para aproximar el cambio y el cambio porcentual de los beneficios cuando la producción cambia de x = 175 a x = 180 unidades.

F

Representar en la calculadora Jos datos y el modelo. Aproximar, mediante ese modelo, el mes de máxima venta. ¿Qué factor del modelo provoca la variación temporal de las ventas? ¿Qué parte del modelo da las ventas medias mensuales? Si el Ministerio de Energía añade un término 0,02 t al modelo, ¿qué significaría ese término? Con este nuevo modelo, estimar el máximo consumo mensual en el año 2000.

a) b)

R

36.

5

2

Usar diferenciales para aproximar el cambio en los ingresos cuando las ventas crecen de x = 3.000 a x = 3.001 unidades.

('v

4

3

Ingresos Los ingresos R de una compañía por la venta de x unidades es R = 900x- O,lx

35.

3

Un modelo para esos datos es

Hallar el nivel de producción que hace mínimo el coste medio por unidad. (Ayuda: Usar el método de Newton o una calculadora.)

34.

2

Coste medio Una empresa calcula que el coste en dólares de producción de x unidades de un producto es 2

33.

1

i~x

donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos. Calcular el tamaño x que minimiza el coste. (Ayuda: Usar el método de Newton o una calculadora.) ,\_, 32.

t

('v

38.

Un modelo matemático Un departamento de ventas ha registrado las ventas trimestrales S (en miles de dólares en la tabla) de un producto nuevo durante dos años.

t

1

2

3

4

S

6

7

8

S

7,5

6,2

5,3

7,0

9,1

7,8

6,9

8,6

a) h)

Representar los datos en la calculadora. Ajustar un modelo S = a + bt + e sen {Jt a esos datos. (Ayuda: Empezar hallando fJ. A continuación, usar la calculadora para hallar a + ht. Finalmente, estimar c.)

271

Ejercidos de repaso del Capítulo 3 e) d)

39.

Representar el modelo en la calculadora y hacer los retoques necesarios para lograr el mejor ajuste. Usar el modelo para predecir las ventas trimestrales máximas en el año 2000.

Para pensar Emparejar cada gráfica con la función que represente mejor, una función de demanda, de ingresos, de costes o de beneficios. Justificar la elección. a)

b) 40.000 30.000 20.000 10.000

40.000 30.000 20.000 10.000 ~.000

Para un precio dado, si lr¡l < 1, se dice que la demanda es inelástica, y si lr¡l > 1, se dice que es elástica.

~.000

d) 40.000 30.000 20.000 10.000

40.000 30.000 20.000 10.000

X

2.000

8.000

La respuesta relativa de los consumidores a un cambio en el precio de un bien de consumo se llama la elasticidad de precios de la demanda. Si p == f(x) es una función de demanda derivable, la elasticidad de precios de la demanda es p/x

2.000

e)

h)

¿Cuánto debe gastar la empresa en publicidad con el fin de conseguir los máximos beneficios? Hallar el punto de disminución de ingresos (que es el punto en el que el ritmo de crecimiento de la función de beneficios comienza a caer).

r¡ == dp/dx

X

2.000

a)

2.000

Elasticidad En los Ejercicios 41-44, calcular r¡ para la función de demanda en el valor de x que se especifica. La demanda, en ese valor de x, ¿es elástica, inelástica o ni lo uno ni lo otro?

8.000

40. Disminución de ingresos

Los beneficios P (en miles de dólares) de una empresa cuyos gastos en publicidad ascienden a s miles de dólares vienen dados por

41.

X==

43.

1

20

p == 5 - 0,03x X==

p == 400 - 0,5x

X==

p == - - s 3 + 6s 2 + 400

42.

p == 400 - 3x 2

44.

20

100 500

p=-X==

x+2 23

10

Ejercicios de repaso del Capítulo 3 l.

Para pensar Enunciar la definición de número crítico y representar una funciónfque presente los diversos tipos de números críticos.

En los Ejercicios 3 y 4, localizar los extremos absolutos de la función en el intervalo cerrado. Representar en la calculadora la función para confirmar los resultados.

2.

Seafuna función impar, continua derivable y con los valores indicados en la tabla.

3.

-5

X

f(x)

1

-4

3

-1 2

o

2

o

-1

3

-4

6

e) f)

respuesta. ¿Es necesario que existaf'(x) en x == 2? ¿Por qué?

d)

X

4 . .f(x)=

x~o

~· yX

o

Hallar /(4). Determinar f(-3). Representar los puntos y esbozar una posible gráfica dejen el intervalo [-6, 6]. ¿Cuál es el menor número de puntos críticos en ese intervalo? Justificar la respuesta. ¿Existe al menos un número e en el intervalo (-6, 6) tal que f'(c) == -1? ¿Por qué? ¿Es posible que no exista lím f(x)? Explicar la

a) h) e)

g(x) == 2x + 5 cos x,

2

[0, 2nj

[0, 2]

+ )

5.

Para pensar Consideremos la función a) Representarla y verificar quef(l) =/(7). b) Nótese que f'(x) no se anula en ningún punto de [1, 7). Explicar por qué esto no contradice al teorema de Rolle.

6.

Para pensar ¿Es aplicable el teorema del valor medio a la función.f(x) == 1jx 2 en el intervalo [-2, 1]? ¿Por qué?

En los Ejercicios 7-10, hallar el punto (o puntos, en su caso) cuya existencia asegura el teorema del valor medio para el intervalo especificado.

Capítulo 3

272

1 8. f(x) =-

7. f(x) = x2!3

1 9.

~X~

Aplicaciones de la derivada

X

1

8

f(x) = X -

COS X

7[

2x + 3 h(x) = - x-4

5x 2 g(x) =2- x +2

26.

3 27. f(x) =-- 2

27. f(x) =

X

10. f(x) = Jx- 2x

3x

J7+2 x2 + 2

7[

O~x~4

--> de la integración

Estas dos ecuaciones permiten obtener fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación, como muestra el siguiente resumen.

Sección 4.1

Primitivas e integración indefinida

281

Nota. Nótese que la regla de las potencias para la integración tiene la restricción n #- -l. La evaluación de l/x dx deberá esperar hasta la entrada en escena de la 1

J

función logaritmo natural en el Capítulo 5.

EJEMPLO 2 Aplicación de las reglas básicas de integración Describir las primitivas de 3x. Solución:

f

f f

3x dx = 3 x dx 1

= 3 x dx =

Regla del múltiplo constante

Reescribir (x

=x 1 )

3(~) +e

Regla de las potencias (n = 1)

3 2

Simplificar

=- x 2

+e

o

282

Capítulo 4

Integración

Al evaluar integrales indefinidas, la aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. Así, en el Ejemplo 2 podríamos haber escrito J3x dx = 3

=

I

x dx

3c;

+e)

3 = -x2 + 3e 2

Sin embargo, ya que e representa una constante arbitraria, es no sólo embarazoso sino innecesario escribir 3e como constante de integración y optamos por la forma más simple ~ x 2 + C. En el Ejemplo 2 vemos que el proceso de integración es similar al de derivación.

EJEMPLO 3 Reescribir antes de integrar Integral original a)

b)

e)

I I I

_!_ dx x3 Jxdx

2 sen x dx

Reescribir

I I I

Integrar

Simplificar

x-2

1 --+ 2 e

3 x- dx

-+e -2

xl/2 dx

-+e 3/2

- x312 +e

2(-cos x) +e

-2 cos x +e

2 sen x dx

x312

2x

2 3

o

Recordemos que se puede comprobar si una primitiva es correcta sin más que derivarla. Así, en el Ejemplo 3b, con el fin de saber si ix 312 + e es primitiva correcta, basta derivarla, obteniendo

Las reglas básicas de integración antes expuestas permiten integrar cualquier función polinómica, como ilustra el Ejemplo 4.

EJEMPLO 4 Integración de funciones polinómicas

=x+

e

Sección 4.1

Primitivas eintegración indefinida

283

C=C 1 +C 2

La segunda línea suele omitirse.

3

5

I

5

3

2

=-x 5 - - x 3 +-x2 +C

o

EJEMPLO 5 Reescribir antes de integrar

Reescribir como dos fracciones

Reexpresar con exponentes racionales

x312

xlf2

=-+-+C 3/2 l/2 2 = - x312 + 2xlf2 +

3

Integrar

e

Simplificar

o

Nota. Al integrar cocientes, no deben integrarse separadamente numerador y denominador. Eso es tan incorrecto en integración como lo era en derivación. Así, el Ejemplo 5 deja bien claro que 1

-- dx #- J(x+l)dx Jx JJxdx

f

x+l

"---=~-

EJEMPLO 6 Reescribir antes de integrar

f

x

-sen -dxcos 2 x -

f(

x)

-1-)(sen - - dx cos x cos x

=

f sec x tg x dx

=

SeC

X+ C

Reescribir como un producto

Reexpresar usando identidades trigonométricas

Integrar

D

284

Capítulo 4

Integración

Condiciones iniciales y soluciones particulares V

J

Ya hemos visto que la ecuación y = j(x) dx tiene muchas soluciones, que difieren unas de otras en una constante. Eso quiere decir que las gráficas de dos primitivas de f son traslación vertical una de otra. Así, la Figura 4.2 muestra varias primitivas

y

=

f

(3x

2

-

1) dx

=x 3 -

X

+

e

Solución general

para varios valores enteros de C. Cada una de estas primitivas es solución de la ecuación diferencial dy

- = 3x 2 dx

1

En muchas aplicaciones de la integración se nos da suficiente información para determinar una solución particular. Para ello basta el valor de y= F(x) en un valor de x. (Esta información se llama una condición inicial.) Por ejemplo, en la Figura 4.2 sólo una de las curvas pasa por el punto (2, 4 ). Para determinar esa curva se utiliza la siguiente información.

=x 3 -X + e F(2) = 4

F(x)

FIGURA 4.2 La solución particular que satisface la condición inicial F(2) =4 es F(x) =x3 - x- 2.

Solución general Condición inicial

Usando la condición inicial en la solución general podemos hallar que F(2) = 8 - 2 + e= 4, lo cual implica que e= -2. Por tanto, obtenemos F(x)

=x 3 -

x- 2

Solución particular

EJEMPLO 7 Cálculo de una solución particular V

Hallar la solución general de F ' (x)

= X21;.

x>O

y la solución particular que satisface la condición inicial F(l) =O.

Solución:

Para hallar la solución general integramos:

x-1

=-+e -1

FIGURA4.3 La solución particular que satisface la condición inicial F(]) =O es f(x) =-(1/x) + 1, x >O.

1

=--+e X

Solución general

Sección 4.1

Primitivas e integración indefinida

285

Usando la condición inicial F(l) =O, podemos hallar e de esta manera:

1 F(l) = -- + e= 1

e:>

o

e= 1

En consecuencia, la solución particular es (Figura 4.3)

1 F(x)=--+1,

x>O

Solución particular

D

X

Hasta ahora, en esta sección hemos usado x como variable de integración. En las aplicaciones es conveniente, con frecuencia, usar una variable diferente. En el próximo ejemplo, la variable de integración es el tiempo t.

EJEMPLO 8 Un problema de movimiento vertical

150 140 130

t~2

" ' \t=3

~~

120 ' ¡(~ 1 110· 100 1

90 1 80 t=O 70 60 50 40 30

Se lanza una bola hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/s desde una altura inicial de 80 pies (Figura 4.4).

\

\

\

a)

Escribir la función posición que expresa la alturas en función del tiempo t.

b)

¿Cuándo llega la bola al suelo?

Solución:

\

,1=4

\

a)

Sea t =O el instante inicial. Las dos condiciones iniciales dadas afirman que

\ \

\ \

20

\

10

t= 5 \

-+-~1---+---+--1----+- ... t 4 S 2

s(O) = 80

La altura inicial es 80 pies

s'(O) = 64

La velocidad inicial es 64 pies/s

Tomando -32 pies/s 2 como valor de la aceleración de la gravedad, tenemos s"(t) = -32

FIGURA4.4 Posición de la bola en el instante t.

s'(t) =

f

s"(t) dt =

f

-32 dt = -32t + e 1

Usando la velocidad inicial obtenemos s'(O) = 64 = -32(0) + e 1 , lo cual implica que e 1 = 64. Integrando ahora s'(t), vemos que s(t) =

f

s'(t) dt =

f

(-32t + 64) dt = -16t2 + 64t + e2

y usando la altura inicial

s(O) = 80 = -16(0 2) + 64(0) + e 2 de donde se sigue que e 2 = 80. Por tanto, la función posición es s(t) = -16t 2 + 64t + 80

286

Capítulo 4

Integración

b)

Podemos hallar el momento de impacto en el suelo igualando a cero la función posición del apartado anterior. s(t) = -16t 2 + 64t + 80 =O

Nota. En el Ejemplo 8 la función posición tiene la forma 1

donde g = -32, v0 es la velocidad inicial y s 0 la altura inicial (véase Sección 2.2).

-l6(t + l)(t- 5)

=o

Como t ha de ser positivo, concluimos que la bola llega al suelo 5 segundos después de haber sido lanzada. D El Ejemplo 8 enseña cómo usar el Cálculo para resolver problemas en los que la aceleración viene determinada por una fuerza gravitatoria. Una estrategia análoga sirve para analizar otros problemas de movimiento rectilíneo (horizontal o vertical) en los que la aceleración (o deceleración) es el resultado de alguna otra fuerza, como ocurre en los Ejercicios 67-76. Antes de hacer los ejercicios, tenga bien en cuenta que uno de los pasos más importantes en la integración consiste en reexpresar el integrando en una forma que se adapte a las reglas básicas. Con el fin de ilustrar más este aspecto, adjuntamos algunos ejemplos adicionales. Integral original

Reescribir

Integrar

Simplificar

f~dx

2 Jx-112d.x

(xl/2) 2 - +e 1/2

4xlf2 +e

f (t2 + 1)2 dt

f (t4 + 2t 2 + 1) dt

t (t3) S+2 } +t+e

fx3 3x - -+d xz

Jcx + 3x-

fJxcx- 4) dx

f (x413- 4xlf3) dx

Jx

2

5

5

c-1)

dx

)

1 2 - t 5 +- t 3 + t +e

3

x1 + 3 - +e 2 -1

1 2 3 -x --+e

x?f3 (x413) - - 4 - +e 7/3 4/3

3 - x 413 (x- 7) +e 7

2

X

Ejercicios de la Sección 4.1 En los Ejercicios 1-4, verificar la igualdad probando que la derivada del miembro de la derecha coincide con el integrando del de la izquierda.

3.

4.

f f

(x- 2)(x + 2) dx

x2

-

1

=! x 3 -

_ 2(x 2 + 3)

---s;2 dx x

r

3yx

+

4x +

e

e

En los Ejercicios 5-10, completar la tabla utilizando los ejemplos previos a los ejercicios como modelos.

287

Ejercicios de la Sección 4. 1 Integral original 5.

Integrar

Simplificar

31.

f (2 sen x + 3 cos x) dx

32.

f (t 2 - sen t) dt

33.

f (1 - cosec t ctg t) dt

34.

f (8 2 + sec

35.

f (sec

36.

f sec y (tg y- sec y) dy

37.

fimo subintervalo es

Área ~ lím

~X= X¡- X1_ 1•

,. ..... ~

dond~

.

n

I

i~

1

f(c 1) tlx,

Al;=: (h.- a)/n (véase Figura 4.14}.

EJEMPLO 5 Cálculo del área usando la definición

(1, 1)

'LZ

=

Hallar el área de la región limitada por la gráfica de f(x) = x 3 , el eje x y las rectas verticales x =O y x = 1 (véase Figura 4.15). X

(0, O)

FIGURA 4.15 El área de la región limitada por la gráfica de f el eje x. x = Oy x = 1ed.

Solución: Antes de nada, observemos que fes continua y no negativa en [0, 1]. A continuación, partimos [0, 11 en n subintervalos, cada uno de longitud Ax = lln. De acuerdo con la definición de área, podemos elegir cualquier valor de x en el i-ésimo subintervalo. En este caso, conviene tomar los puntos terminales derechos (e¡ = iln).

Sección 4.2

299

Área

Área = lím

¿

f

f(c¡) Ax = lím n--+ z.

i= 1

i=l

11

= lím 4

L

,----)._x

i= 1

n

n--+

11

¡3

(~-+_1_+_1) 4 2n 411

= lím

Así pues, el área de la región es

(~)3(~)

2

Y

4

i.

o

EJEMPLO 6 Cálculo del área usando la definición Hallar el área de la región limitada por la gráfica def(x) = 4- x 2 , el eje x y las rectas verticales x = I y 'x = 2 (véase Figura 4. 16 ).

Solución: La función fes continua y no negativa en [ 1, 2], luego procedemos ya a partir el intervalo en 11 subintervalos, cada uno de longitud L'.x = lln. Escogiendo ahora los puntos terminales de la derecha, e¡= 1 + (i/n) de cada subintervalo, obtenemos: Área= lím 11-¡.7,

I

f= l

I [4- (1 + ~) ](~) 2

f(c¡) Ax = lí,m 11

X

= lím

n

f= l

¿ n

(

n-•·r.i=l

X

FIGURA 4.16 El área de la región limitada por la gráfica de f. el ejex, x = 1yx = 2 es l.

3 - -2i - 2¡ n n

1 n 2 3--2 = lím ( n--+ ck n i= 1 n

-¿

2

n

)(1)

n

¿ i= 1

-

n

1 i- 3 n

n

¿

¡2

i= 1

1 ~) (~3 + _1_ +2n 6n

= lím [ 3 - ( 1 + n -+ x n

)

2

)J

1 =3-1-3

5

3 Así pues, el área de la región es ~.

o

El último ejemplo considera una región limitada por el eje y, no por el eje x.

EJEMPLO 7 Una región limitada por el eje y Calcular el área de la región limitada por la gráfica def(y) = y 2 y por el eje y, para O ~ y ~ 1, como muestra la Figura 4.17.

300

Integración

Capítulo 4

Solución: Cuando fes una función continua y no negativa de y, se puede utilizar todavía el mismo procedimiento de los Ejemplos 5 y 6. Empezamos partiendo el intervalo [0, 1] en n subintervalos de la misma longitud Lly = lln. Entonces, usando los puntos terminales de la derecha, e; = iln, obtenemos y

,

Area =

n

n

1

1

(¡)3(])~

!~~ ;~ f(c) Lly = !~~ ;~ ~ 1 = lím 3 n---+oo

n

n

L ¡z i=l

, n(n + 1)(2n + 1) = hm - - - - - = --3 n~oo

6n

lím

1 (~3 + 2_ + - -) 2n 6n

n~OCJ

FIGURA4.17 El área de la región limitada por la gráfica de Jly) = v2 y por el eje y, entre y= Oe y= 1es 1.

2

1 3 En consecuencia, el área de la región es

t.

Ejercicios de la Sección 4.2 r'v En los Ejercicios 1-6, hallar la suma. Comprobar el resultado

12.

con la calculadora.

l.

¿:

5

(2í + 1)

I

4.

I-:-1

1

4

(k+ l)(k- 3)

k~ o k2 + 1

w- 1)

I

2

+ (i + 1) 3 J

i= 1

En los Ejercicios 7-14, usar notación sigma para expresar la suma.

-+-+-+···+3( 3(2) 3(3) 3(9) --+--+--+···+-]+ + + + [2G) +3J+[2(D +3J+· · +[2(Ü +3J GYJ +[ GYJ +·· +[ GYJ •~. [GY -~J(D+···+[C:Y - :JG) 1 1)

7.

l

5

8.

1

1

1

5

2

1

5

3

1

15

+ ... +

En los Ejercicios 15-20, usar las propiedades de la notación sigma y fórmulas de suma para calcular el valor de la suma. Comprobar el resultado con la calculadora. 20

15.

1

5

¿: i= 1

20

17.

I i=

2i (i- 1)

15

16.

[

1-

1-

1-

2

18.

1

¿:

(2i- 3)

10

2

¿:

(i 2

1)

-

i= 1

15

19.

¿:

i=l

10

i(i- 1) 2

20.

i= 1

9.

lO.

1

1-

1

14.

j~ 3 4

6.

13.

1

5

¿~

(~- 1)

2

2.

i= 1

3.

J(D +. . +[ Cnn- YJG) [2(1 +~YJG) +. . +[2(1 +~) JG) (~)Rff G)Jl- (n: y [ 1-

2

0v En los Ejercicios

¿:

í(i 2 +

1)

j:::::::J

21 22,

y hallar la suma con la calculadora y usar entonces las propiedades de la notación sigma para verificar el resultado . 15

20

2t.

I uz + 3) i= 1

22.

¿:

i= 1

(i 3

-

2i)

Ejercicios de la Sección 4.2 En los Ejercicios 23-28, calcular el límite de s(n) cuando n --> oo.

301 39.

3 = c:3 )c2n + + 4 +4) =e - +3 +1)2] = 481 4 + +1)]

23.

s(n)

24.

s(n)

25.

s(n)

26.

_ 64ln(n s(n)- 3 n

27.

18ln(n 1)] s(n)=--n2 2

28.

1 ln(n s(n)=--n2

3n

2

Razonamiento numérico

Consideremos un triángulo de área 2, limitado por las gráficas de y = x, y = O y

X=

a) b)

n)

2.

Esbozar esa región triangular. Dividir el intervalo [0, 2] en n subintervalos iguales y probar que sus puntos terminales son

3n 2

n

O<

2

ln (n

n

1)(2n

+ +1)] 2

n

lím

¿

n-+oo

i=l n

31.

¿

lím

n--+oo i= 1

33.

i

lím

n-+cc i=1

l6i 2n

lím

d)

Probar que S(n)

e)

Completar la tabla

y=

n

n

I 1 +;-2JC)~

32.

!~~

(~+~)e) n n

34.

lím n ( n-m i= 1

36.

n

I

y=

50

(

1

+-2iYC)n

n

f)

n-+

40.

S(n)

Consideremos un trapecio de área 4, limitado por las gráficas de y = x, y =O, x = 1 y

X=

a) b)

3.

Esbozar su gráfica. Dividir [1, 3] en n subintervalos de igual longitud y probar que sus puntos terminales son 1< 1

+1 (D < ··· < 1 +(n- 1)(~) < 1 +n G)

Probar que s(n)

=

J [1

l)(D](~)

+ (i-

1

d)

Probar que S(n) =

e)

Completar la tabla

37. y=-

38.

y=

X

y

JJ

JI="?

5

10

1

f)

Demostrar que lím s(n) n-+a:__.

X

50

100

S(n)

y

1

{~) ](~)

s(n)

t ¡-"-

1+

X

n 1

= 2.

n-+ "-'

'X)

Razonamiento numérico

e)

•

= lím

Demostrar que lím s(n)

Jx + 1

y

X

100

S(n)

Ci)C)

1 2 3n (i- 1)

Jx

10

5

s(n)

En los Ejercicios 35-38, usar sumas inferiores y superiores para estimar el área de la región tomando el número de subintervalos indicado (todos de igual longitud). 35.

itl l(i- J>(DJG) = JJ¡(D J(D

¿ - -

n n-+UJi=l

1)(~) < n(~)

=

Probar que s(n)

n

30.

< ··· < (n-

e)

6

En los Ejercicios 29-34, hallar una fórmula para la suma den términos. Con esa fórmula, calcular el límite cuando n --. oc. 29.

1G)

= lím

S(n)

=4

n-+r:xJ

En los Ejercicios 41-48, usar límites para hallar el área de la región acotada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo que se indica. Dibujar la región.

302

Capítulo 4 Función

-'' = -2x + 3

[0, 1]

42.

r = 3x- 4

[2, 5]

43.

2

y= x + 2

[0, 1J

44.

r=l

Sx

45.

r = 27- x

3

[1' 3]

46.

y= 2x- x 3

[0, 1]

47.

r = x2- x3

[ -1, 1J

48.

2

[ -1, O]

xJ

x =O, x = 4 e v =O (véase figura).

4

En los Ejercicios 40 y 50, usar límites para hallar el área de la región acotada por la gráfica de la función y el eje y en el r-intervalo que se indica. Dibujar la región. 49.

Razonamiento gráfico Consideremos la región limitada por las gráficas de f(x)=-x+l

[ -1, 1]

- x2

-

!'v 59.

Intervalo

41.

r =x

integración

a)

f(r) = 3v, O ~ y ~ 2 b)

En los Ejercicios 51-54. usar la regla del punto medio '

Arca~

Z::n f (X¡+X¡ -

i~

1) L'u

e)

2

1

con n = 4 para aproximar el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje x en el intervalo indicado. Función

Intervalo

SI.

f(x) = x 2 + 3

[0, 2]

52.

f(x) = x 2 + 4x

[0, 4]

53.

f(x) = tg x

54.

d)

Lo,¡J L ~J

j(x) =sen x

Suma inferior: s(n) =

0

8

11

12

16

11

i,l(i) L ~l(~) n 11

i-1

:~~:~ !e~dio: M(n) = ;~I /(¡L ~)~](~) 2 n

Escribir un programa que permita aplicar la regla del punto medio para calcular áreas. supuesta f positiva y subintervalos de igual longitud. En los Ejercicios 55-58, usar ese programa para aproximar el área entre la función y el eje x sobre el intervalo indicado, y completar la tabla. 4

I luL 1) ~l(~)

i~ 1

Suma superior: S(n) =

•

11

Rehacer y completar la figura indicando y sombreando los rectángulos inferiores para n = 4. Hallar esa suma inferior. Rehacer y completar la figura indicando y sombreando los rectángulos superiores paran= 4. Hallar esa suma superior. Rehacer y completar la figura sombreando los rectángulos cuyas alturas vienen dadas por los valores de la función en el punto medio de cada subintervalo, para 11 = 4. Calcular esa suma aplicando la regla del punto medio. Verificar las siguientes fórmulas para aproximar el área de la región usando n subintcrvalos de igual longitud.

11

1

e)

20

Con ayuda de las fórmulas anteriores y de una calculadora, completar la tabla. 11

4

8

20

100

200

s(n)

Área aproximada

S(n)

Función

lnterralo M(n)

=y~';

[O. 4]

SS.

f(x)

56.

8 f(x) =-2-X

+

J

S

57.

f(x) = tg ( nx)

58.

f

.

f)

[2. 6]

¡-

(x) = cos y! x

[1, 3] [0, 2]

!'v 60.

Explicar por qué, como mostrará la tabla, s(n) crece y S(n) decrece.

Completar, con la calculadora, la tabla de la página siguiente para aproximar el área de la región acotada por x = O, x = 8 e y = O. las gráficas de f(x) =

Jx,

303

Ejercicios de la Sección 4.2

4

n

20

8

100

66.

200

s(n)

Razonamiento gráfico Consideremos un polígono regular de n lados inscrito en un círculo de radio r. Unimos sus vértices al centro del círculo, formando n triángulos congruentes (véase figura).

S(n) M(n) Aproximación En los Ejercicios 61 y 62, determinar qué valor aproxima mejor el área acotada por la gráfica y el eje x en el intervalo indicado. (Tomar la decisión teniendo en cuenta un esbozo de la región, no efectuando cálculos.) 61. f(x) = 4- x 2 , a)

-2

h)

nx

62. f(x) =sen-, 4 a)

3

h)

[0, 2] 6

e)

10

3

d)

e)

[0, 4]

n ____.

e)

-2

d)

8

e)

-x~

6 67.

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 63 y 64, decidir si la afirmación es correcta. Si no lo es, explicar la razón o dar un ejemplo que lo ponga de manifiesto. 63.

Expresar el ángulo central O en términos de n. Probar que el área de cada triángulo es~ r 2 sen O. Sea A" la suma de las áreas de los n triángulos. Calcular lím An.

a) b)

8

e)

Redacción Usar la figura para escribir un párrafo explicando por qué es válida para todo n entero positivo la fórmula

1 + 2 + .. · + n

La suma de los primeros n enteros positivos es n(n + 1)/2.

=! n(n +

1)

64. Si fes continua y no negativa en [a, b], los límites cuando n -> oc de sus sumas inferiores s(n) y superiores S(n) existen y son iguales. 65.

Método de Montecarlo El programa adjunto aproxima el área de la región limitada por una gráfica monótona y por el eje x, entre x =a y x = b. Correr el programa con a = O y h = n/2 para varios valores de N2. Explicar por qué el método de Montecarlo funciona correctamente. (Adaptación del programa de James M.

68.

I

Sonyers, «Approximation of Area Under a Curve>>, MATHEMAT!CS TEACHER 77, núm. 2 (febrero 1984). Copyright© 1984 del Nationa/ Council ofTeachers of Mathematics. Copiado con permiso.) 10 2O 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Verificar la fórmula

i~

¡2

= n(n

+ 1)(2n + 1) 6

1

demostrando lo siguiente:

DEF FNF (X)=SIN(X)

( 1 + i) 3

b)

-1 + (n + 1) 3

-

i3

= 3i 2

a)

+ 3i + 1

¡,=O

B=1. 570796 PRINT "Input Number of Random Points" INPUT N2 N1 = O IF FNF(A)>FNF(B) THEN YMAX=FNF(A) ELSE YMAX=FNF(B) FOR I=1 TO N2 X=A+(B-A)*RND(1) Y=YMAX*RND(1) IF Y>=FNF(X) THEN GOTO 130 N1=N1+1 NEXT I AREA=(N1/N2)*(B-A)*YMAX PRINT "Approximate Area: "; AREA END

=I

(3i 2 + 3i + 1l

i= 1

I

e)

¡2

= n(n +

i= 1

69.

1)(2rz + 1) 6

Un modelo matemático La tabla recoge las medidas de un terreno acotado por un río y dos carreteras rectas que se cortan en ángulo recto (véase figura). X

o

50

lOO

150

200

250

300

y

450

362

305

268

245

156

o

304

Capítulo 4 a)

Integración

Usando regresión en la calculadora, ajustar a esos datos un modelo de la forma y

450

= ax 3 + bx 2 + ex + d

360 270

Representar en ella los datos y el modelo. Usar el modelo para estimar el área del terreno.

b)

e)

180 90 50 100 150 200 250 300

CONTENIDO Sumas de Riemann Integrales definidas Propiedades de las integrales definidas

• • • •

1

i ~:mas de Riemann e integrales definidas 1

Sumas de Riemann En la definición de área de la Sección 4.2, las particiones se hacían en subintervalos de igual longitud. Pero era sólo por facilitar los cálculos. El ejemplo que abre esta sección muestra que no es necesario tomar subintervalos de la misma longitud. EJEMPLO 1 Una partición con subintervalos de longitudes diversas

V

1

ll..:..l n

j{x) ~ .¡;

+r-------------

La Figura 4.18 muestra la región acotada por la gráfica def(x) = en O ,::; x ,::; l. Evaluar el límite

~--------

lím

• r------

L f(cJ

Jx y el eje x

Ax;

n-+oo i=l

donde e; es el punto terminal derecho de la partición dada por X;= i 2 jn 2 y Ax; es la anchura del i-ésimo subintervalo. n

Solución:

La longitud del i-ésimo subintervalo es ¡2

n'

(i-1)2

Ax;=--z n

FIGURA 4.18 Los subintervalos no tienen todos la misma longitud.

n2

Por tanto, el límite es lím

L f(c¡) n

n---+oo i=l

Ax; = lím

lz2 (2· 1)

L ~ ~ n n n

n--+w i=l

1 = lím 3 n-+oo

n

n

I

(2i 2

-

i)

i= 1

2_[

_ lím (n(n + 1)(2n + 1)) _ n(n + 1)] - "~"" n 3 2 6 ~-2--

Sección 4.3

Sumas de Riemann e integrales definidas

305

lím

n~

Cú

4n 3 + 3n 2 6n 3

-

n

2 3 y A

1

(1, 1)

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

-+

---x

1

FIGURA 4.19 El área de la región limitada por la gráfica de x =l y el eje y, para O~ y ~ 1es t.

D

Por el Ejemplo 7 de la Sección 4.2 sabemos que la región de la Figura 4.19 tiene área j-. Como el cuadro acotado por O ~ x ~ 1 y O ~ y ~ 1 tiene área 1, concluimos que el área de la región de la Figura 4.18 es i. Esto coincide con el límite calculado en el Ejemplo 1, aunque en ese ejemplo se ha utilizado una partición con subintervalos de longitudes diversas. La razón de que esta partición particular proporcione el área correcta es que al crecer n, la longitud del subintervalo más grande tiende a cero. Éste es un hecho clave en el desarrollo de las integrales definidas. En la sección precedente se usó el límite de una suma para definir el área de una región plana. Ésta es sólo una de las múltiples aplicaciones de los límites de sumas. Un procedimiento similar se puede utilizar para calcular magnitudes tan distintas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajos y áreas superficiales. El desarrollo que vamos a presentar lleva el nombre de Georg Friedrich Bernhard Riemann. Si bien la integración definida se usó mucho antes de Riemann, éste generalizó el concepto y lo hizo aplicable a clases muy amplias de funciones. En la definición que sigue debe hacerse notar que la única restricción sobre fes que esté definida en el intervalo [a, b]. (En la sección anterior se suponía que f era continua y no negativa, porque tratábamos el área bajo una curva.)

.'·'

'~;

',:' ': ~,,, O.

Como indica la Figura 4.20, para cualquier valor positivo den la norma de la partición ~" es ~. Por tanto, hacer tender n a infinito no obliga a que 11~11 tienda a cero. En una partición regular, sin embargo, las afirmaciones 11~11 --->O y n ---> oo son equivalentes.

Integrales definidas Para definir la integral definida, consideremos el siguiente límite. lím 11~'>11->0

¿

f(cJ

fu-; = L

i= 1

Decir que este límite existe significa que para todo e > O existe un [J >O tal que para cualquier partición con 11~11 < 6 se sigue que

(Esto ha de ser cierto para cualquier elección de e; en el i-ésimo subintervalo de~-)

DEFINlCIÓN DB INTEGRAL D~FINJ])A

n

1

b.'m··· ...:H= 1 j(c ) IIAli.,.O ·.E··· .·.

'fb

lb:r= · ri:.

f(x) dx

Bse )í~te s~ Uama la intqral detlntda. de f. entre a '1 b. El número a se ll~. ~~ iitferior de integración y el b llln.·.· ite su(Mirior de integración. i"'¡i

'

,,

Sección 4.3 PARA MÁS INFORMACIÓN Para una visión más completa de la historia de la integral definida, véase el artículo «The Evolution of Integration>> de A. Shenitzer y J. Sreprans en The American Mathematical Monthly, enero de 1994.

TBOREMA4.4

307

Sumas de Riemann e integrales definidas

No es coincidencia que la notación para la integral definida sea similar a la de la integral indefinida. Veremos el porqué en la próxima sección, cuando estudiemos el teorema fundamental del Cálculo. Por el momento, baste decir que las integrales definidas e indefinidas son entes distintos. Una integral definida es un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones. La continuidad es condición suficiente para que una función sea integrable en [a, b ], si bien la demostración de este resultado escapa al nivel de este libro.

CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD Si una función/ es continua en el intervalo cerrado [a, bJ, entonces fes integrable en [a, b].

EXPLORACIÓN i.'

> 1/

j

1

'

El recíproco del Teorema 4.4 ¿Es cierto el recíproco del Teorema 4.4? O sea, si una función es integrable, ¿tiene que ser necesariamente continua? Explicar la respuesta e ilustrarla con ejemplos. Describirla relación entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál es la condjpión más :l'uerte? ¿Y la más débil? ¿Cuál de ellas implica otras?

EJEMPLO 2 Cálculo de una integral definida como límite

Calcular la integral definida

f~

2x dx 2

Solución: La función f(x) == 2x es integrable en el intervalo [-2, 1J, por ser continua. Además, la definición de integrabilidad afirma que podemos utilizar cualquier partición con norma tendiendo a cero para calcular el límite. Por conveniencia, definimos A dividiendo [-2, 1J en n subintervalos de igual longitud

b-a 3 Ax; == Ax == - - == n

Eligiendo como

e;

n

el punto terminal derecho de cada subintervalo, se tiene

c 1 ==a+ i(Ax) ==

3i -2 +-

Por tanto, la integral definida viene dada por

n

308

Capítulo 4

Integración n

l

f

-2

2x dx = lím

I

lldii~O i=l

f(c¡) Ax; = lím

I

f(c¡) Ax

= lím

In

2 ( -2

n~oo i=l

n-----too i=l

6 n

= límn-too

= lím

n~CXJ

= lím n--+

00

In

i=l

n

n

n

3i)

-2 +n

~ {-2n + ~ [n(n n

1 + )]}

2

(-12+9+~) n

= -3

FIGURA4.21 Como la integral es negativa, no representa el área de la región.

(

+-3i)(3)-

D

Como la integral definida del Ejemplo 2 es negativa, no representa el área de la región de la Figura 4.21. Una integral definida puede ser positiva, negativa o cero. Para que pueda ser interpretada como un área (tal como se ha definido en la Sección 4.2), la función f debe ser continua y no negativa en [a, b], como establece el próximo teorema. (La demostración es directa; basta usar la definición de área de la Sección 4.2.)

·~~.•,.•·..•·.•~· . ·fb/(x) Ja · ~ ·

FIGURA4.22 Se puede usar una integral definida para hallar el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas x =a, x =b.

Como ejemplo del Teorema 4.5, consideremos la región acotada por la gráfica de f(x) = 4x- x 2 y el eje x (Figura 4.23). Al ser f continua y no negativa en [0, 4], el área de la

región es

r

FIGURA4.2:l

Área=

(4x- i) dx.

Una técnica directa para evaluar una integral definida como ésta se discute en la Sección 4.4. Por ahora, no obstante, se puede hacer de dos maneras, usando la definición como límite o bien viendo si la integral definida representa el área de una región simple, como un rectángulo, triángulo o semicírculo.

Sección 4.3

Sumas de Riemann e integrales definidas

309

EJEMPLO 3 Áreas de figuras sencillas Esbozar la gráfica asociada a cada integral definida y, a continuación, evaluar cada integral mediante alguna fórmula geométrica.

I

3

b)

Solución: a)

La Figura 4.24 muestra las gráficas solicitadas.

Esta región es un rectángulo de altura 4 y base 2.

l b)

(x + 2) dx

3

4 dx = (Área del rectángulo) = 4(2) = 8

Esta región es un trapecio de altura 3 y bases de longitudes 2 y 5. La fórmula para el área de un trapecio es ~h(b 1 + b 2 ). 3

'

1

21

fo (x + 2) dx = (Area del trapecio) =-2 (3)(2 + 5) =2e) 1

Nota.

en una integral definida se dice que es una variable muda porque se puede reemplazar por cualquier otra sin que ello afecte al valor de la integral. Así, las integrales defini das

y

Esta región es un semicírculo de radio 2, de modo que su área es~ nr 2 •

La variable de integración

f L

f

2

-2

'

1

~ dx = (Area del semicírculo) =- n(2 2 ) = 2n 2 y

4l 3~

(x

+ 2) dx

(t

+ 2) dt

trxl·*" '141 -

x•

~ilix -2 -1

3

1

1

2

FIGURA 4.24

o

tienen el mismo valor.

Propiedades de las integrales definidas La definición de la integral definida de f en el intervalo [a, b] especifica que a < b. Ahora, no obstante, es conveniente extender la definición a situaciones con a = b o con a > b. Geométricamente, las dos definiciones especiales que siguen parecen razonables. Por ejemplo, tiene sentido definir como cero el área de una región de altura finita y de anchura cero.

:no

Capítulo 4

Integración

EJEMPLO 4 Cálculo de integrales definidas

Calcular las integrales definidas siguientes. a)

L" sen x dx

b)

to

(x + 2) dx

Solución: a)

Como la función seno está definida en x = n y además los límites inferior y superior de integración coinciden, se tiene

L" sen x dx =O b)

Es la misma integral del EjemCplo 3b, excepto que los límites inferior y superior están intercambiados. Como la del Ejemplo 3b resultó ser 221 , concluimos que

J o

(x + 2) dx = -

3

TEOREMA4.6

f3 (x +

21 2) dx = - -

2

o

o

PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y e, entonces

Lb f(x) dx = f f(x) dx + y A

J')tx) dx

~ 1 1

1 1

' '

f

/(x) dx

Este teorema es válido para cualquier función integrable y para cualesquiera números a, by c. En lugar de dar una demostración formal del caso general, sin embargo, parece más instructivo presentar un argumento geométrico para el caso en el que a < e < b y f es continua y no negativa, como indica la Figura 4.25. Por estar definida como límite de una suma, la integral definida hereda las propiedades de la suma expuestas en la página 292.

1

1

~~--~~·~---~~-~- ··-· --~X a b

fJtx) O y M> O. Demostrar que m(b - a) ,::

r

f(x) dx ,:: M(b- a)

J Jl+7 1

Usar ese resultado para estimar

dx.

0

en [a, h]. 53.

Hallar la suma de Riemann asociada af(x) = x 2 + 3x en el intervalo [0, 8], dondex 0 =0,x 1 = l,x 2 = 3,x 3 =7, y x4 =8,ydondee 1 = l,e 2 =2,c 3 =5,yc 4 =8.

63.

Demostrar que si fes continua en [a, h], entonces

lf

.f(x) dxl ,::

f

lf(x)l dx

Sección 4.4

CONTENIDO El teorema fundamental del Cálculo El teorema del valor medio para integrales Valor medio de una función El segundo teorema fundamental del Cálculo

• • • • •

EXPLORACIÓN Integración y antilhrlVIICión En este capítulo venimos utilizando el sigfio integral para dertotar una antiderivadá (una. fa· milia de funciones) y una integral definida (un número). Antiderivac:ión:

ft(,x1 dx

Integración definida:

f

f(x) dx

315

El teorema fundamental del Cálculo

4_.4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ El teorema fundamental del Cálculo

0

El teorema fundamental del Cálculo Ya hemos introducido las dos grandes ramas del Cálculo: el cálculo diferencial (de la mano del problema de la recta tangente) y el cálculo integral (de la mano del problema del área). En este momento, ambos problemas parecen sin relación entre sí. Pero existe entre ellos una íntima conexión, descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que constituye el llamado, con toda justicia, teorema fundamental del Cálculo. Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son operaciones mutuamente inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura 4.27. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente t1y/!'u (pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de una región bajo una curva, usamos el producto t1y!'u (área de un rectángulo). Así pues, en su primer paso derivación e integración son operaciones inversas. El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas. tu

El uso de un mismo símbolo para ambas operaciones parece sugerir que están relacionadas. Sin embargo, en los albores del Cálculo no se sabía que estaban relacionadas. El símbolo que proviene de la letra S y se debe a Leibniz, ¿para cuá,l de las dos operaciones cree que fue u¡sado originalmente? Razone su respuesta.

f,

~

r~:a-d~:/

~--------

1

: rectángulo

1

1

~)'

~)'

.

Pendiente a)

~y ~ ~x

Pendiente

1

~y

= ~x

Área~ ~~·~x

Área= ~v~x

h) Integración definida

Derivación

FIGURA 4.27 Derivación e integración son mutuamente «inversas>>. "

Tl30REMA 4.9

'

'

ELTI30REMA PT)Nl)AMENTAL DEL CÁLCULO Sij(x) e$ continuaen elintervalo cerrado [a, b] y Fes una primitiva defen [a, b];. entonces . .

La clave reside en escribir la diferencia F(b) - F(a) de forma adecuada. Sea Llla siguiente partición de [a, h].

Demostración:

a= x 0 < x 1 < x 2 < ... < X 11 _

1

< X 11 = b

316

Capítulo 4

Integración

Restando y sumando términos análogos se obtiene F(b)- F(a) = F(xn)- F(xn_ 1) + F(xn_ 1 ) -

··· -

F(x 1) + F(x 1 ) - F(x 0 )

n

=

L

[F(x¡) - F(x;- 1 )]

i= 1

Por el teorema del valor medio sabemos que existe un número e¡ en el i-ésimo subintervalo tal que F'(c¡) X¡- X¡-1

Como F'(c¡) = f(c¡), podemos hacer Ax; =X¡- X¡_ 1 y obtenemos n

L f(c¡) Ax¡

F(b)- F(a) =

i= 1

Esta importante ecuación nos dice que, aplicando el teorema del valor medio, siempre podemos encontrar una colección de e¡ tales que la constante F(b)- F(a) sea una suma de Riemann dejen [a, b]. Tomando el límite para 11~11 ~

O resulta F(b)- F(a) =

f

f(x) dx

D

La siguiente estrategia ayudará a comprender el uso del teorema fundamental del Cálculo.

Sección 4.4

317

El teorema fundamental del Cálculo

EJEMPLO 1 Cálculo de una integral definida

o EJEMPLO 2 La integral definida de un valor absoluto

L 2

y

Calcular Solución:

[2x - 1[ dx

Usando la Figura 4.28 y la definición de valor absoluto vemos que x _ = {-(2x - 1), 12 11 2x- 1,

~

x :( x ?o

~ 2

De ahí que se pueda romper la integral en dos partes. 2 112 2 [2x- 1[ dx = -(2x- 1) dx + (2x- 1) dx o o 1/2

y"'~(~- i)

.· :lí""~,-1

I

f

f

1

= [ -x2 + x I¡z + [ xz - x

FIGURA 4.28 La integral definida de y en [0, 2] es 1.

= (

-~ +

D-

T/2

(O+ O)+ (4- 2)-

G-D

5 2

o

EJEMPLO 3 Aplicación del teorema fundamental del Cálculo para hallar un área Calcular el área de la región acotada por la gráfica de y= 2x 2 las rectas verticales x = O y x = 2 (véase Figura 4.29). Solución:

-

3x + 2, el eje x y

Nótese que y > O en el intervalo [0, 2].

I

2

~~~~W4---··-+- ·-+-~,..x

Área =

4

FIGURA 4.29 El área de la región acotada por la gráfica de y, el eje x, x =Oyx =2 es l.f-.

(2x 2

-

3x + 2) dx

Integrar entre x

=O y x =2

0

-- [2x3 - 3x2 + 2x]2 o 3 2 =

c

6 - 6 + 4) - (0 - 0 + 0) 3

10 3

Hallar una primitiva, F(x)

Evaluar F(2) - F(O)

Simplificar

o

318

Capítulo 4

Integración

El teorema del valor medio para integrales En la Sección 4.2 vimos que el área de una región bajo una curva es mayor que el área de un rectángulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito. El teorema del valor medio para integrales afirma que existe, «entre» el inscrito y el circunscrito, un rectángulo cuya área es precisamente la misma que la de la región (véase Figura 4.30).

Demostración:

y

Si f es constante en el intervalo [a, b], el teorema es obviamente cierto, ya que e puede ser cualquier punto de [a, b].

Caso 1:

Si f no es constante en [a, b], por el teorema de los valores extremos podemos elegir f(m) y f(M) como los valores mínimo y máximo de f en [a,b ]. Puesto que f(m) ~ f(x) ~ j(M) para todo x en [a, b], podemos aplicar el Teorema 4.8 y obtenemos:

Caso 2:

X

b

AGURA4.30 Rectángulo cuya altura es el valor medio: f(c)(b- a)=

f

f(x) dx.

f

j(m) dx

~

f(m)(b- a)

~

f(m)

f f

f

j(x) dx

~

f(x) dx

~ f(M)(b- a)

Véase Figura 4.31

f(M) dx

~ ~1 ~ fb f(x) dx ~ f(M) b- a

a

De la tercera desigualdad, por el teorema del valor intermedio, se sigue que existe algún e en [a, b] para el cual f(e) =

1 b- a

~~

fb f(x) dx

o

f(e)(b- a)=

a

f a

b

fb f(x) dx

a

f b

a

a

b

Rectángulo inscrito (menor que el área de la región)

Rectángulo de valor medio (igual al área de la región)

Rectángulo circunscrito (mayor que el área de la región)

.f:r(m) dx = f(m)(b- a)

ff(x)dx

f/(M)dx= f(M)(h-a)

FIGURA4.31

D

Sección4.4

319

El teorema fundamental del Cálculo

Nota. El Teorema 4.1 Ono especifica cómo hallar c. Se limita a garantizar su existencia en [a, b]. 1

Valor medio de una función El valor de f(c), anunciado por el teorema del valor medio para integrales, se llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

Nota. La figura muestra que el área de la región bajo la gráfica de fes igual al área del rectángulo cuya altura es el valor medio. 1

y

Para ver por qué el valor medio de f se define así, supongamos que partimos [a, b] en n subintervalos de igual anchura Ax = (b- a )In. Si e¡ es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la media aritmética de la función en los e; viene dada por

Valor medio

1

an =- [f(c 1) + j(c 2 ) + ... + f(cn)] n X

b

a

FIGURA 4.32

Valor medio de f(c 1 ),

...

,f(c")

Multiplicando y dividiendo por (b- a) se puede reescribir ese valor promedio como

1L f(c¡) (b- _-a) 1 (b - a) - = - - L f(c¡) -

1 fb Valor medio=f(x) dx. b- a ,

a" = -

n

n

n;= 1

b

a

b-ai=l

1

= --

b- a

n

L f(c¡) Ax i=l

Finalmente, si se toma el límite paran~ oo, se obtiene el valor antes definido. Esta noción de valor medio no es sino una de tantas aplicaciones prácticas de la integración a la hora de representar procesos de suma. En el Capítulo 6 tendremos ocasión de analizar otras, como el volumen, la longitud de arco, los centros de masa y el trabajo. EJEMPLO 4 Cálculo del valor medio de una función

y

t

Hallar el valor medio def(x) = 3x 2

40t

Solución:

1

30t 20

fb f(x) dx = ~ 3

a

1

10

¡

=

I

'

1

1 3

~ ......,.X

1

(3x

2- 2x) dx

xzi 48 3

=- [64- 16- (1 - 1)] = - = 16

4

FIGURA 4.33

I4

~ [x3 _

16 1 (1, 1 j--

2x en el intervalo [1, 4].

El valor medio viene dado por 1 - b-a

j

-

(Véase Figura 4.33.)

320

Capítulo 4

Integración

EJEMPLO 5 La velocidad del sonido A diferentes altitudes en la atmósfera terrestre, el sonido viaja con velocidades diferentes. La velocidad del sonido s(x), en m/s, admite el modelo La primera petsona qt~e ..i~ 16 a una velocidad m~:rvor que la def sopido f!J!e . C})ar"' . .le~.~~· . El: 1~. · , vol a de • ;t

a'lf'iÓn,~ot)ete '5'~,

, , "·

tud:d&12,8 kit\,.· ..··. •.l!:l"~~,'••' metra~Q. e,n .· 2~~15•. • ~/s¡',$t''· Yea~rhubi&S$.V()Ja~O pf;¡F' deb.!i'iP de los 10,~7i k,rt1~e altitud,. esa velocidad no' habría iO) sabemos que existe un e en el intervalo [a, b] tal que la integral en la expresión anterior es igual af(e) Ax. Además, como x ~ e ~ x + Ax, se sigue que e --> x cuando Ax --> O. Por tanto, obtenemos F'(x) = lím [__!___ f(e) ~x-o

Ax

Ax]

= lím f(e) Ax-o

=f(x)

Un argumento similar sirve en el caso Ax < O.

o

Sección 4.4

((!)

1

•

323

El teorema fundamental del Cálculo Nota. Usando el modelo del área para integrales definidas, la aproximación f(x) fu:

~

r+L\x f(t) dt

puede interpretarse diciendo que el área del rectángulo de alturaf(x) y anchura fu: es aproximadamente igual al área de la región acotada por la gráfica de f y el eje x, en el intervalo [x, x +fu:], como muestra la Figura 4.36. ~,..

x

t

x+Ax

r''

FIGURA 4.36 j(x) Ax

~

El segundo teorema fundamental del Cálculo afirma que si fes continua podemos tener la certeza de que posee primitiva. Pero esta primitiva no tiene por qué ser una función elemental (recordar la Sección P.3).

j(t) dt.

EJEMPLO 7 Aplicación del segundo teorema fundamental del Cálculo

Calcular

~

[J: P+l

dt

J.

P+l

Solución: Nótese que f(t) = es continua en toda la recta real. Aplicando, por tanto, el segundo teorema fundamental del Cálculo se obtiene

o El Ejemplo 7 constituye una aplicación directa del segundo teorema fundamental del Cálculo. El próximo ejemplo sugiere cómo usar ese teorema, en combinación con la regla de la cadena, para hallar derivadas.

EJEMPLO 8 Aplicación del segundo teorema fundamental del Cálculo Hallar la derivada de F(x) =

Ix'

cos t dt

_,-

tt/2

Solución: Haciendo u = x 3 , podemos aplicar el segundo teorema fundamental del Cálculo junto con la regla de la cadena. dFdu F'(x)=-du dx =

!!__[fu du

COS

"12

t dtl du dx

= (cos u)_(3x 2 ) = (cos x 3 )(3x 2 )

o

Como el integrando del Ejemplo 8 es fácil de integrar, podemos comprobar la derivada obtenida así:

324

Capítulo 4

Integración x'

F(x) =

f

cos t dt

rt/2

x'

=sen t

J

rt/2

= sen x 3

n

-

sen 2

De esta manera, la regla de la cadena permite ver que la derivada es la misma que se ha obtenido en el Ejemplo 8.

Ejercicios de la Sección 4.4 f\.,

Para pensar En los Ejercicios 1-4, representar el integrando en la calculadora y usar la gráfica para determinar si la integral definida es positiva, negativa o cero. 4

l.

I

3.

r / J x + 1 dx

rr

--dx o xz + 1

2.

f:

21.

1

6.

2x dx

r 0

7.

9.

11.

13. 15.

17.

19.

1

r I r

(x- 2) dx

8.

1 (t2- 2) dt

10.

(2t-1) 2 dt

12.

r

25.

3 dv

ts J:

27.

(-3v + 4) dv 29.

r

(3x 2 + x - 2) dx

24.

t

lx 2

-

4x +

31 dx

ru 2u --d

16.

f 3 vl/3 dv

Ll (ji_

18.

fAdx

tJu

2) dt

X;; __v_dx

20.

[

(2- t)

2)

du

t" (1

26.

+ senx) dx

0

r/6 sec x dx -rr/6 r/3 4 sec 8 tg e de -rr/3 2

28.

30.

cos 2 8

r/2 (2 - cosec x) dx rr/4 r/2 -rrjl (21 + 1) dt 2

COS

El experimento de la aguja de Buffon En un plano horizontal se han marcado rectas paralelas a 2 pulgadas de distancia cada una de la siguiente. Si se lanza al azar una aguja de 2 pulgadas de longitud sobre el plano, la probabilidad de que la aguja toque alguna recta es 2

Irr/2

n

o

p =-

Jt dt

Irr/4 1- senz (j dO

32.

1

J~2 (u- :

3

12x- 31 dx

Depreciación Una máquina tiene un ritmo de depreciación dV/dt = IO.OOO(t- 6), O :( t :( 5, donde V es el valor de la máquina después de t años. Formular y calcular una integral definida que represente el valor de la máquina a los tres años.

(t 3 _ 9t) dt

14.

o

f

2$

4

31.

1

(;-1)dx

r

f-t -x-- x2d x

función trigonométrica que se especifica y comprobar el resultado en la calculadora.

calculadora para verificar el resultado.

f

22.

('i,., En los Ejercicios 25-30, calcular la integral definida de la

2

('i,., En los Ejercicios 5-24, calcular la integral definida y usar la

S.

tlf3) dt

-8

23.

cos x dx

f~ 1 (t1/3 -

sen

e di)

donde O es el ángulo agudo que forma la aguja con la dirección de las rectas. Calcular esa probabilidad.

Ejercicios de la Sección 4.4

325

En los Ejercicios 33-38, determinar el área de la región que se indica.

En los Ejercicios 47-50, representar la función en la calculadora. Hallar su valor medio en el intervalo y todos los valores de x en ese intervalo en los que la función toma su valor medio.

33. y= x- x 2

34.

y= 1- x 4 y

Función

2

l

Intervalo

x + 1 48. f(x) = -2X

[-2, 2] G·2J

49. f(x) =sen x

[0, n]

47. f(x) = 4- x

4

2

2

X

-1

so. 36.

35. y= (3 - x) Jx

xz

51.

y=

38.

COS X

53.

y=x+senx

y

[0, n/2]

Para pensar En los Ejercicios 51-56, usar la gráfica de f que muestra la figura. La región sombreada A tiene área 1,5 y f8f(x) dx = 3,5. Con esta información, rellenar los espacios en blanco.

y

37.

=cos x

f(x)

y=-

y

SS.

4

f J: J:

f(x) dx =

52.

lf(x)J dx =

54.

f J:

f(x) dx

=

-2f(x) dx =

[2 + f(x)] dx =

y

¡

X

X

lA

~(f?n·x

En los Ejercicios 39-42, hallar el área de la región acotada por las gráficas dadas.

1

39. y= 3x 2 + 1,

x= O,

x= 2,

y=O

40. y= 1 + Jx,

X= O,

X =4,

y=O

41. y= x 3 + x,

X= 2,

y=O

42. y= -x 2 + 3x,

y=O

En los Ejercicios 43-46, hallar el valor de e anunciado por el teorema del valor medio para integrales para la función y el intervalo que se especifican. Función

56.

El valor medio de f en [0, 6] es

57.

Para pensar Dada la gráfica de figura,

[0, 2]

9 44. f(x) = 3

[1, 3]

X 2

45. f(x) = 2 sec x

[ -n/4, n/4]

46. f(x) = cos x

[ -n/3, n/3]

7

a)

Calcular

b)

Determinar el valor medio de f en [ 1, 7]. Repetir a) y b) con la gráfica de f trasladada dos unidades hacia arriba.

e)

Intervalo

43. f(x) =x- 2Jx

l

f que aparece en la

f(x) dx.

y

:}~ r

1

~

1 1 1 1 1 :. 1234567

X

326 58.

Capítulo 4

Beneficio medio

El beneficio, en miles de dólares, producido por un producto comercial durante los 6 primeros meses viene dado aproximadamente por el modelo

P = 5(jt + 30), a)

h)

e)

~~ 59.

Integración

= 1, 2,

t

61.

Fuerza

62.

Ciclo respiratorio

3, 4, 5, 6

Usar ese modelo para completar la tabla y usar sus entradas para calcular (aritméticamente) el beneficio medio en esos primeros 6 meses.

Hallar, por integración, el valor medio de la función beneficio y comparar el resultado con el del apartado a). (Integrar sobre el intervalo [0,5, 6,5].) ¿Tiene alguna ventaja el uso de la aproximación del valor medio dado por la integral definida? (Nótese que la aproximación integral utiliza todos los valores reales de t en el intervalo, no sólo los enteros.)

(\, 63.

El volumen V, en litros, de aire en los pulmones durante un ciclo respiratorio de 5 segundos viene dado aproximadamente por el modelo V= O, 17291 +O, l522t 2 - 0,0374t 3 donde tes el tiempo en segundos. Estimar el volumen medio de aire en los pulmones a lo largo de un ciclo.

Un modelo matemático

Un almacenista desea estimar el número de clientes que entran en su almacén entre el mediodía, hora de apertura, y las 9 de la tarde, hora de cierre. La tabla muestra el número N de clientes que entran en un minuto elegido al azar dentro de cada hora de t - 1 a t, siendo t = O el mediodía.

Un modelo matemático

Una compañía de seguros de vida necesita un modelo para aproximar la tasa de mortalidad de los ciudadanos durante su vida laboral. La tabla da la tasa de mortalidad R por 1.000 individuos de edad x. (Fuente: Department oj" Health and Human

a)

b) e)

Services.) X

20

30

40

50

60

R

1,0

1,4

2,3

4,7

11,7

R

a) b)

e)

~X ~

d) e)

60

Representar en la calculadora Jos datos y el modelo. Calcular el ritmo de crecimiento de la tasa de mortalidad cuando x = 40 y x = 50. Hallar la tasa de mortalidad media para las personad de edades entre los 30 y los 40 años. También entre 50 y 60.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N

6

7

9

12

15

14

JI

7

2

Dibujar un histograma con esos datos. Estimar el número total de clientes que entran al día. Usar regresión en la calculadora para hallar un modelo

= at 3 + bt 2 + el + d

que ajuste esos datos.

= -91,1- 6,313x + 0,035x 2 + 45,794~, 20

t

N(t)

Un modelo para esos datos es

60.

La fuerza, en newtons, de un cilindro hidráulico en una presa es proporcional al cuadrado de sec x, siendo x la distancia en metros que el cilindro se extiende en su ciclo. El dominio de F es [0, n/3] y F(O) = 500. a) Expresar F como función de x. b) Calcular la fuerza media ejercida por la presa sobre el intervalo [0, n/3].

f)

rv

64.

Representar en la calculadora Jos datos y el modelo. Evaluar, con ayuda de la calculadora, N(t) dt y usar el resultado para estimar el número total de clientes que entran al día. Compararlo con el obtenido en b). Estimar el número medio de clientes por minuto, entre las 3 de la tarde y las 7 de la tarde.

Jil

Un modelo matemático En un proceso de fabricación hay un ciclo repetitivo de calentamiento de 4 minutos. Durante una revisión del proceso, el flujo R (pies cúbicos por minuto) de gas natural se midió en intervalos de 1 minuto. Los resultados aparecen en la tabla.

Flujo sanguíneo

La velocidad del flujo sanguíneo a una distancia r del eje central de una arteria de radio R es L' = k(R 2 - r 2 ), donde k es una constante de proporcionalidad. Calcular el flujo medio de sangre sobre un radio de la arteria. (Usar O y R como límites de integración.)

a) b)

Hallar un modelo de tipo R =at 4 + bt 3 + ct 2 + dt +e que ajuste esos datos, con ayuda de calculadora. Representar en ésta los datos y el modelo.

1\-,

Ejercicios de la Sección 4.4

327

e) Aproximar, mediante el teorema fundamental del Cálculo, el número de pies cúbicos por minuto de gas natural utilizado en un ciclo.

En los Ejercicios 73-78, usar el segundo teorema fundamental del Cálculo para hallar F'(x).

65. Un modelo matemático Se controla un vehículo experimental en un trayecto recto. Parte del reposo, y su velocidad, en m/s, se mide cada 1Osegundos durante 1 minuto. Los datos experimentales se recogen en la tabla.

o

t

o

V

20

JO

30

21

5

40

40

50

62

60

78

73.

75.

F(x) =

F(x) =

f

2

(t -2t)dt

74.

F(x) =

76.

F(x) =

78.

F(x) =

2

f J+I

dt

1

77.

F(x) =

J:

t cos t dt

f f

ifdt

tg 4 t dt

r 1

(2 - 2- dt t + 1

83 En los Ejercicios 79-84, hallar F'(x).

Hallar un modelo v =at 3 + ht 2 + ct + d que ajuste esos datos, con ayuda de calculadora. Representar en ésta los datos y el modelo. Aproximar, mediante el teorema fundamental del Cálculo, la distancia recorrida por el vehículo durante la prueba.

a) b)

e)

66.

Usar la función f de la figura y la función g definida por g(x)

=

J:

f(t) dt

79.

F(x)=

81.

F(x) =

83.

F(x) =

r+2 [nx Jt x

(4t+1)dt

J:' sen

F(x) =

fx

82.

F(x) =

r~2t

3

t dt

dt

2

2

84.

t dt

F(x) =

fx JT+t3

dt

En los Ejercicios 85 y 86, esbozar la gráfica de la función

Completar la tabla

a)

dt

80.

F(x)

=

f

f(t) dt

describir cualquier relación que pueda existir entre los extremos y puntos de inflexión de las gráficas de f y F. 85.

86.

Representar los puntos de la tabla. e) ¿Dónde tiene g su mínimo? d) ¿Qué cuatro puntos consecutivos son colineales? e) ¿Entre qué dos puntos consecutivos crece g a ritmo más rápido? Explicar las respuestas.

y

b)

f(t)

!···»O. En el instante t = 1 está en x = 4. Hallar la distancia recorrida en el intervalo de tiempo 1 ,;;; t ,;;; 4.

t+l

es constante para x > O. 94.

Sea G(x) =

f:

[tf(t) dt] ds, donde fes continua para

todo t real. Calcular a)

95.

G(O)

b)

G '(O)

e)

G"(x)

d)

G"(O)

Área Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual a ! del producto de base por altura (véase figura).

a)

Representar el arco parabólico acotado por =9 - x 2 y el eje x. Hallar el área A utilizando una integral definida apropiada. Hallar la base y la altura del arco del apartado a) y verificar que A = ~ bh

y b)

R4_.s_ _ _ _ _ _ _ __

CONTENIDO •

Reconocimiento de modelos Cambio de variables La regla general de las potencias para integrales Cambio de variables en integrales definidas Integración de funciones pares e impares

• • • • •

U

Integración por sustitución

Reconocimiento de modelos En esta sección estudiaremos técnicas para integrar funciones compuestas. Se divide en dos partes: reconocimiento de modelos y cambios de variable. Ambas técnicas requieren una u-sustitución. Con el reconocimiento de un modelo efectuamos la sustitución mentalmente, mientras que con el cambio de variable escribimos los pasos de la sustitución.

Sección 4.5

329

Integración por sustitución

El papel que juega la sustitución en las integrales es comparable al de la regla de la cadena en las derivadas. Recordemos que, dadas dos funciones derivables y= F(u) y u = g(x), la regla de la cadena establece que

~ [F(g(x))] = F'(g(x))g'(x) De la definición de primitiva se sigue que fF'(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + e = F(u)

+e

Estos resultados se resumen en el teorema próximo.

Nota. El enunciado del Teorema 4.12 no dice cómo distinguir entre f(g(x)) y g'(x) en el integrando. Conforme se practica la integración se va adquiriendo habilidad para ello. Ni que decir tiene que, en buena parte, la clave consiste en tener familiaridad con abundantes derivadas. 1

ADVERTENCIA Hay varias técnicas para aplicar sustitución, ligeramente distintas unas de otras. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que el objetivo es siempre el mismo: se está tratando de encontrar una primitiva del integrando.

Los Ejemplos 1 y 2 muestran cómo aplicar directamente el teorema, reconociendo la presencia def(g(x)) y de g'(x). Nótese que en la función compuesta del integrando hay unafunción externafy otrafunción interna g. Además, la derivada g'(x) está presente como factor.

330

Capítulo 4

Integración

ff(g(x))~

dx = F(g(x)) +

e

Derivada de la función interior

EJEMPLO 1 Reconocimiento del modelo f(g(x))g'(x) Evaluar

f (x

Solución:

Haciendo g(x) = x 2 + 1, se obtiene

2

+ 1) 2 (2x) dx

g'(x) = 2x

y

f(g(x)) = [g(x)] 2 De ahí es fácil identificar el esquemaf(g(x)) g'(x) en el integrando. Usando la regla de las potencias para la integración y el Teorema 4.12, se ve que

Intente verificar, mediante la regla de la cadena, que la derivada de (x 2 + 1) 3 + e es el integrando de la integral original. D

!

EJEMPLO 2 Reconocimiento del modelo f(g(x))g'(x) Evaluar

f

Solución:

Haciendo g(x) = 5x, se obtiene

5 cos 5x dx

g'(x) = 5

y f(g(x)) = cos[g(x)]

De ahí es fácil identificar el esquemaf(g(x)) g'(x) en el integrando. Usando la regla de las potencias para la integración y el Teorema 4.12, se ve que cos[g(x)] g'(x)

f

,-----A-;r'---1

(cos 5x)(5) dx = sen 5x +

e

Se puede comprobar este resultado derivando sen 5x + e para ver que se recuD pera el integrando original.

Sección 4.5

331

Integración por sustitución

Los integrandos de los Ejemplos 1 y 2 se ajustan exactamente al esquema f(g(x)) g'(x); no había más que reconocerlo. Se puede extender considerable-

mente esta técnica utilizando la regla del múltiplo constante

f kf(x) dx = k ff(x) dx Muchos integrandos contienen la parte esencial (la parte variable) pero les falta un múltiplo constante. En tales situaciones, hay que multiplicar y dividir por la constante deseada.

EJEMPLO 3 Multiplicar y dividir por una constante

Hallar

f x(x

2

+ 1) 2 dx.

Solución: Este integrando es similar al del Ejemplo 1, salvo que le falta un factor 2. Reconociendo que 2x es la derivada de x 2 + 1, podemos hacer g(x) = x 2 + 1 y conseguir el 2x así:

f

2

2

x(x + 1) dx =

f

2

(x + 1)

=

~f (x

=

~f [g(x)]

2

+

r

[g(x)r

2

3

2

G)

Multiplicar y dividir por 2

(2x) dx

1? (2x) dx 2

Regla del múltiplo constante

g'(x) dx

=----+C

1

=-(x 2

6

Integrar

o

+ 1) 3 +e

Con un poco de práctica, no se suelen escribir tantos pasos. Por ejemplo, podría haberse escrito simplemente

f

2

2

x(x + 1) dx =

~f (x

2

2

+ 1) (2x) dx

l(x 2 +1) 3 ----+C 2 3

1

=-(x2 +1) 3 +C

6

332

Capítulo 4

Integración

Nota. La regla del múltiplo constante sólo es válida para constantes. No es lícito multiplicar y dividir por una variable y entonces sacar esa variable fuera de la integral. Así,

1

Después de todo, si fuera legítimo sacar fuera del signo integral magnitudes variables, podríamos sacar todo el integrando. Pero, claro está, eso no da el resultado correcto.

Cambio de variables Con un cambio de variable, reexpresamos por completo la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable que nos convenga). Aunque este método requiere más pasos explícitos que el reconocimiento de modelo ilustrado en los Ejemplos 1 y 2, no es menos cierto que sirve para resolver integrandos más complicados. El cambio de variable hace uso de la notación de Leibniz para la diferencial. Es decir, si u= g(x), entonces du =g'(x) dx, con lo que la integral del Teorema 4.12 adopta la forma

Jf(g(x))g'(x) dx = ff(u) du = F(u) +

e

EJEMPLO 4 Cambio de variable Hallar

J~ dx

Solución: En primer lugar, sea u la función del radical, u= 2x- l. Su diferencial y dx = du/2, con lo que se es du = 2 dx. Ahora, sustituimos ~ = obtiene

Ju

Integral en términos de u

ADVERTENCIA Puesto que la integración es más difícil que la derivación, es recomendable comprobar siempre por derivación la respuesta a un problema de integración. Así, en el Ejemplo 4, derivando

1

-(2x-

3

1) 312

=

~f u 1

=

~(u3;2) +e

1 2

du Primitiva en términos de u

2 3/2 1 = -u312

3

+e

+e

1 = -(2x- 1) 3 / 2

3

verificamos que se obtiene, como debe ser, el integrando original.

EJEMPLO 5 Cambio de variable Hallar

Jx~

dx

+e

Primitiva en términos de x

D

Sección 4.5

333

Integración por sustitución

Solución: De nuevo tomamos u = 2.x- 1, de donde dx = du/2. Como el integrando contiene un factor x, hemos de expresar x en términos de u: u = 2x - 1

Q

x

:= (u + 1)/2

Expresar x en términos de u

Sustituyendo, se obtiene por fin

=

~ f(u312 + ul/2) du

1 (us¡z u3f2) =- - + - +e 4 5/2 3/2 1 1 = -(2x- 1) 512 + -(2x- 1) 312 +e 10 6

D

Para completar el cambio de variable en el Ejemplo 5, hemos tenido que despejar x en términos de u. Esta operación puede ser difícil en ocasiones. Afortunadamente no siempre es necesaria, como queda claro en el próximo ejemplo.

EJEMPLO 6 Cambio de variable Hallar fsen 2 3x cos 3x d.x Solución:

Como sen 2 3x

= (sen 3x) 2 , podemos tomar u = sen 3x, con lo que du = (cos 3x)(3) d.x

Ahora, puesto que cos 3x d.x es parte de la integral dada, podemos escribir du

3

= cos 3x d.x

Sustituyendo u y du/3 en la integral dada obtenemos ADVERTENCIA Al efectuar un cambio de variable, debe expresarse la respuesta final en términos de la variable de partida. Así, en el Ejemplo 6 no debe dejarse como respuesta l -u 3 9

+e

sino que hay que regresar a la variable x inicial sustituyendo aquí u= sen 3x.

fsen 2 3x cos 3x d.x =

fu 2~u

=

~ Ju 2du

=

~(~3) +e

1 = -sen 3 3x +e 9

334

Capítulo 4

Integración

Se puede verificar el resultado derivando:

~

G

JG }3)(sen 3x) (cos 3x)(3)

3

2

sen 3x =

= sen 2 3x cos 3x

Como la derivación reproduce el integrando original, estamos seguros de haber obtenido la primitiva correcta. O Resumimos los pasos seguidos en la integración por sustitución.

Estrategiá para el cambio de variable L

2.

3. 4. 5, · 6.

Et~gir una sustitución u =g(x). En general, conviene elegir la parte interna de alguna función compuesta. tal como una cantidad elevada a una potencia. H~lar du = g'(x) dx. Reescribir la integral dada en términos de u. Hallar la i~tegral resultante en u. Su~tituir .u por g(.x) para obtener la primitiva en términos de x. Verific~ la respuesta por derivación.

La regla general de las potencias para integrales Una de las u-sustituciones más frecuentes ocurre con expresiones elevadas a una potencia, razón por la cual se le asigna un nombre específico: la regla general de las potencias. Su demostración se deduce directamente de la regla (simple) de las potencias para integrales, junto con el Teorema 4.13.

TEOREMA 4.13

LA &EGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES Si g es una función derivable de x, entonces [g(x)]"+l. } [g(x)]" g'(x) dx = n + 1 +e, Equivalentemente, si u

n # -1

=g(x), entonces

[undu= u"+l +C, n + 1

J'

n

#- -1

EJEMPLO 7 Sustitución por la regla general de las potencias

a)

f

3(3x- 1) 4 dx

(.

u

4

u 5 15.

du

,.-A-,~

= l3x-

4

1) (3) dx

~

=

(3x - 1) 5 5

+e

Sección 4.5

335

Integración por sustitución

b)

e)

d) u2

EXPLORACióN Si se le pídieraresolver algtina de estas integrales, ¿cuál elegi ~ rfa? ¿Por q~~? a)

f~dx

du

~~

e)

Jcos 2 x.sen x dx =- J du = 2x dx

Antes de sustituir, determinamos los nuevos límites de integración. Límite inferior

Límite superior 2

Cuando x = O, u = 0 + 1 = 1

Cuando x

= 1, u=

12 + 1 = 2

Sustituyendo ya se obtiene 1

J

~ Jo-------------~Límites 1

3

2

x(x + 1) dx =

o

=

de integración para x

2lf2~ u 3 du Límites de integración para u 1 ---------------

Inténtese convertir la primitiva t{u 4 /4) a la variable x y evaluar la integral con los límites originales. El resultado debe ser idéntico. D EJEMPLO 9 Cambio de variables

JJ2x 7

Calcular A=

x

1

Solución:

dx 1

Haciendo u = ~, obtenemos u 2 = 2x- 1

u2 + 1 = 2x u2 + 1 ---=x 2 u du = dx

Derivar ambos lados

Sección 4.5

337

Integración por sustitución

Antes de sustituir, hallamos los nuevos límites de integración. Límite inferior

Límite superior

Cuando x = 1, u =

j2=l = 1

Cuando x = 5, u =

Ji"0-=-1 = 3

Sustituyendo ya se obtiene s-=x

I1~

dx=I3 ~(-u2 + 1)udu 2 ¡U

=

~ I3 (u2 + 1) du 2

1

=~[u3 2 3

+u]3 1

=~(9+3-~-1) 16

o

3

Geométricamente, podemos interpretar la ecuación -1

4

s -;=x== dx =

FIGURA4.37 16 La región antes de la sustitución tiene un área de-. 3

f(u)

I1~

I3 _u2_+_1 du 1

2

diciendo que las dos regiones de las Figuras 4.37 y 4.38 tienen la misma área. Al calcular integrales definidas mediante una sustitución es posible que el límite superior de la variable u resulte menor que el límite inferior. Si tal cosa ocurre, no hay que reordenar los límites. Simplemente, se evalúa la integral de la forma usual. Por ejemplo, tras sustituir u = ~ en la integral

4

obtenemos u= JI"=~" =O cuando x = 1, y u = ji=(}= 1 cuando x =O. Así pues, la forma correcta en la variable u de esa integral es t----+----1- u -1

1

-1

t

2

4

FIGURA 4.38 16 La región despues de la sustitución tiene un área de-. 3

Integración de funciones pares e impares Incluso con cambios de variable, una integral puede ser difícil. Ocasionalmente se puede simplificar el cálculo de una integral definida (sobre un intervalo simétrico respecto del origen) si el integrando es una función par o impar (véase Figura 4.39).

338

Capítulo 4

Integración

y

-a

Demostración Sifes par, entoncesf(x) =f(-x), luego usando el Teorema 4.12 con la sustitución u = -x obtenemos

a

of(x) dx = fo f(-u)(-du) = -f

f

Función par

-a

J'

a

0

f(u) du

=fa f(u) du = f" f(x) dx O

a

O

Finalmente, del Teorema 4,6 se sigue que

La

f(x) dx = =

fa

t

f(x) dx +

f(x) dx +

t

t

f(x) dx

f(x) dx = 2tf(x) dx

Eso demuestra la primera propiedad, La segunda se demuestra de manera si-

D

~~ Función impar

FIGURA 3.39

EJEMPLO JO Integración de una función impar n/2

Calcular

f

(sen 3 x cos x +sen x cos x) dx

-n/2

Solución:

Llamando f(x) = sen 3 x cos x + sen x cos x resulta ser f(-x) = sen 3 (-x) cos(-x) + sen(-x) cos (-x)

= -sen 3 x cos x- sen x cos x = --:f(x) Por tanto, fes una función impar, Puesto que [-n/2, n/2] es un intervalo simétrico respecto al origen, el Teorema 4.15 nos lleva a la conclusión de que n/2

f

(sen 3 x cos x + sen x cos x) dx =O

D

-n/2

FIGURA 4.40

Como fes una función impar,

r:

f(x) dx =O. 12

Nota, En la Figura 4.40 se ve que las dos regiones a los lados del eje y tienen la misma área, Sin embargo, al estar una de ellas por encima y la otra por debajo del eje x, la integración produce un efecto de cancelación (volveremos a este hecho en la Sección 6, 1), 1

339

Ejercicios de la Sección 4.5

Ejercicios de la Sección 4.5 En los Ejercicios 1-6, completar la tabla identificando u y du para la integral. 25. Jt(g(x))g'(x) dx

u= g(x)

f (9- y)JY dy

24.

f( ~

26.

J 2ny(8 - y 312 ) dy

3

+ __!___) dt 4t 2

= g'(x) dx

du

En los Ejercicios 27-30, resolver la ecuación diferencial. l.

J (5x2 + 1) 2 (1 Ox) dx 27.

2.

Jx

J+l dx

2

29.

dx X v!T+l

3.

f

4.

J sec 2x tg 2x dx

5.

J tg x sec x dx

6.

f sen 2 x

COS X ~--dx

En los Ejercicios 7-26, hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivación.

7.

J (1

+2x) (2) dx 4

4x

dx

Jl6 - x

dy

X+ 1

dx

(xz + 2x -3) 2

28.

2

30.

10x 2

dy ~

~

dx

X- 4

dy dx

Jx

2

-

8x +

Campos de direcciones En los Ejercicios 31 y 32, se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo de direcciones. Un campo de direcciones consta de segmentos rectos, con pendientes fijadas por la ecuación diferencial, que ofrecen una visualización de las soluciones de la ecuación diferencial. a) Esbozar dos soluciones aproximadas de la ecuación sobre el campo de direcciones, una de las cuales pase por el punto especificado. b) Hallar, por integración, la solución particular de la ecuación diferencial y representarla en la calculadora. Comparar el resultado con los esbozos del apartado a).

2

2

dy

~=4x+

8.

J (x 2

31.

dy dx

= x}47,

32.

dy ~ dx

= X COS X 2 ,

(0, 1)

y

1) 3 (2x) dx

-

(2, 2)

4

9.

11.

2

J J9 - x (-2x) dx

2

J x (x 3

-

4

1) dx

10.

J (1 - 2x 2 ) 3 ( -4x) dx

12.

J x(4x

2

+3)

3

dx

• -3

-2+1

13. JsxF-7dx

14.

3

J u p-+ldu En los Ejercicios 33-44, hallar la integral indefinida.

15.

17.

19.

21.

f

xz dx (1 x3)2

f (1

+

16.

+~y(~) dt

18.

Jfo 1

fxz

xz

dx

+3x +7 dx Jx

20.

3 2

L16 -X) J [x

2

1 +~ (3x)

2]

f~1~dx 2vfx

22.

dx

+

J sen 2x dx

34.

J x sen x dx

35.

f ~ 1 cos-1 d(J 02

36.

J cos 6x dx

37.

J sen 2x cos 2x dx

38.

J sec(l - x) tg ( 1 - x) dx

39.

J tg x sec x dx

40.

J

o

2

f t~~dt 2t

ji

dx

2

33.

4

2

~ cosec

2

x dx

340

41.

43.

Integraci6n

Capítulo 4

I I

2

cosec x dx ctg 3 x 2

42.

44.

ctg x dx

I f

•

x x -sen -d cos 2 x cosec

2

(~) dx

En los Ejercicios 65-70, hallar el área de la región. Verificar el resultado con la calculadora. 65.

J:

x$+} dx y

En los Ejercicios 45 y 46, hallar la función f que tiene la derivada indicada y cuya gráfica pase por el punto que se especifica.

80

60 40

Derivada

20

Punto X

X

4

-2 X

45. f'(x)

= cos -

46. f'(x)

= n sec nx tg nx

(0, 3)

2

67.

y= 2 sen x +sen 2x

6

68.

y= sen x + cos 2x

70.

f"

y 4

En los Ejercicios 47-54, calcular la integral indefinida por el método del Ejemplo 5.

47.

49.

51.

I

xyfx+2dx

Jx\ÍI~dx

IJ2x-=1

x2- 1 dx -x

53.

Lx+ 1)-

Fx+l

48.

50.

52.

dx 54.

Jxfo+l dx

J(x+

l)~d.x

57.

59.

f

r r

63.

1 Jxo + Jx)2 dx

56.

58.

60.

f (x-l)~d.x

62.

r/2o

64.

cos

(2x) 3 dx

f

2 13

sec 2

•

(:)

•12

dx

2

I

14 cosec 2x ctg 2x dx

•/12

2x- 1 Fx+3dx

+-·· +--·+ ·+•x ;rr

Jr1t=4 dt

~

J:

I:

X

Jl + 2x2

J: x~4

r

•12

2

+ x dx

71.

f

ofo+l"dx

73.

f

75.

J: (e

t f x\rx-=t ~2

X

xF=3dx + cos

~) de

72.

74.

3

x Jx+2dx dx

•/2

76.

f

sen 2x dx

0

Redacción En los Ejercicios 77 y 78, efectuar la integraX

ofo+l

r/2

dx

;rr

En los Ejercicios 71-76, evaluar la integral utilizando la calculadora. Dibujar la región cuya área representa la integral. 4

xjl=-? dx

~ 4

2

4

1

1 o fo+ldx

1

61.

x(x 2 + 1) 3 dx

69.

y

~ En los Ejercicios 55-64, calcular la integral definida. Comprobar el resultado con la calculadora.

55.

X

dx

(x + cos x) dx

ción de dos maneras y explicar cualquier diferencia que se observe en las respuestas.

''· f(2x _

2

1) dx

78.

I

sen x cos x dx

341

Ejercicios de la Sección 4.5 79.

80.

Usar J~ x 2 dx =~para calcular las integrales definidas sin recurrir al teorema fundamental del Cálculo.

a)

fzxzdx

b)

e)

J: -x

d)

2

dx

fz fz

x2

86.

n(t - 3)

Q = 217 + 13 cos - - -

dx

6

donde Q se mide en millones de barriles y el tiempo t en meses, correspondiendo t = 1 a enero. Hallar el nivel mínimo medio dado por ese modelo durante a) el primer trimestre (O ~ t ~ 3), b) el segundo cuatrimestre (4 ~ t ~ 6), e) todo el año (O ~ t ~ 12).

2

3x dx

Usar la simetría de las gráficas del seno y del coseno como ayuda en el cálculo de las siguientes integrales

r/4 sen x dx -n/4 r/2 cos x dx

a)

e)

r/4 dx -n/4 r/2 sen x cos x dx

b)

COS X

d)

-n¡2

87.

82.

J:

(x

3

+ 6x 2

nt S= 74,50 + 43,75 sen6

-

donde S se mide en miles de unidades y el tiempo t en meses, correspondiendo t = 1 a enero. Calcular la media de ventas en los siguientes períodos. a) El primer trimestre (O ~ t ~ 3). b) El segundo cuatrimestre (4 ~ t ~ 6). e) Todo el año (O ~ t ~ 12).

2x- 3) dx

4

J:n (sen 3x + cos 3x) dx

88.

83. Depreciación El ritmo de depreciación dV/dt de una máquina es inversamente proporcional al cuadrado de t + 1, siendo Ve! valor a los t años de su adquisición. Si el valor inicial era $500.000 y su valor decreció $100.000 en el primer año, estimar su valor los cuatro años después de su compra. 84. Flujo de fondos El ritmo de desembolso dQ/dt de una subvención estatal de 2 millones de dólares es proporcional al cuadrado de 100 - t. El tiempo t se mide en días (O ~ t ~ 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar. Calcular la cantidad que resta por desembolsar tras 50 días, suponiendo que el desembolso se realiza en 100 días. f\,

85.

Coste marginal El coste marginal para cierto artículo de consumo es dC

12

dx

,Y12x + 1

-=-::r=== a)

Hallar la función de coste si C = 100 cuando X=

b)

Ventas Las ventas de un producto de temporada vienen dadas por el modelo

-n/2

En los Ejercicios 81 y 82, expresar la integral como suma de dos integrales, la primera de una función impar y la segunda de una par. Con esta simplificación, calcular la integral.

81.

Reservas de gasolina El nivel mínimo de reservas de gasolina en EE.UU. puede aproximarse por el modelo

]3,

Representar esa función y la función coste marginal en una misma pantalla de la calculadora.

Suministro de agua Un modelo para el suministro de agua de un manantial en un cierto día viene dado por R(t) = 53 + 7 sen (

~ + 3,6) + 9 cos ( ~~ + 8,9)

donde O ~ t ~ 24. R es el flujo en miles de galones por hora y t el tiempo en horas. a) Representar en la calculadora la función y aproximar el flujo máximo. b) Estimar el volumen total de agua suministrada en un día. 89.

Electricidad La corriente alterna en un circuito eléctrico es l = 2 sen (60nt) + cos (120nt)

donde l se mide en amperios y t en segundos. Calcular la corriente media para cada uno de estos intervalos de tiempo. 1 a) o ~ t ~60 1 b) o ~ t ~240 1 e)

o~ t ~-

30

342 ~ 90.

Integración

Capítulo 4 Análisis gráfico f(x)

Sean

=6 sen x cos

2

y

x

g(t)

I

=

Representar ambas funciones en una misma ventana de la calculadora. b) Explicar por qué g es no negativa. e) Identificar los puntos de la gráfica de g que corresponden a los extremos de f d) ¿Corresponden los ceros de fa extremos de g? Explicar la respuesta. e) Representar en la calculadora la función ¿Qué relación hay entre g y h? Verificar la conjetura.

92.

2

(2x + 1) dx =

2

x(x + l) dx =

f

sen x dx

fb+ln

=

a

96.

f sen

97.

Probar que si fes continua en toda la recta real,

sen

2

X COS X

dx =

2x cos 2x dx

f

J.

98.

d) dx

f

0

CONTENIDO La regla de los trapecios La regla de Simpson Análisis de errores

• • • •

Ib+h f(x) dx

f(x) f(x) + f(b - x) dx

b

=2

Usar ese resultado para calcular

= 2f

o

-10

=

Sea f continua en [0, b ]. Demostrar que

f

10

+

=~sen 3 2x +e

a+h

b

~x 2 Gx 3 +X)+ e

(ax + bx + ex

2.x +

f(x + h) dx

1

93.

-COS

a

3

2

e

4

~ (2x + 1) + e

10

3

sen x dx

95.

b

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 91-96, determinar si el enunciado es correcto. Si no lo es, explicar la razón o dar un ejemplo que muestre su falsedad.

f f

b

a

f(x) dx

a)

91.

f

94.

(bx

2

+

d) dx

0

sen x dx sen(l - x) + sen x

n_4.6_ _ _ _ _ _ _ __ Ld Integración numérica La regla de los trapecios Algunas funciones elementales no tienen primitivas elementales. Sin ir más lejos, ninguna función elemental tiene como derivada a estas funciones:

,y;:~,

Jx cos x, cos x, ~. sen x

2

X

Si se ha de calcular una integral definida cuyo integrando no admite primitiva elemental, el teorema fundamental del Cálculo no es útil y hay que recurrir a métodos aproximados. Dos de ellos se describen en esta sección. Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar n trapecios, como muestra la Figura 4.41. En este método se supone que fes continua y positiva en [a, b ], de manera que la integral j~~JL--J

x0 =a

r

_ _- J_ _-J---J.--x

x1

x,

x3

f(x) dx

x4 = b

FIGURA4.41

representa el área de la región limitada por la gráfica de f y el eje x, entre x = a y

El área de la región se puede aproximar con cuatro trapecios.

x = b. En primer lugar, partimos [a, b] en n subintervalos, cada uno de anchura Ax = (b - a)ln, tales que

a

=x0

< x 1 < x 2 < · · · < xn

=b

Sección 4.6

343

Integración numérica

A continuación, formamos un trapecio sobre cada subintervalo, como indica la Figura 4.42. El área del i-ésimo trapecio es

, .,. /

., ·

/

.

Area del z-es1mo trapeciO =

1 1

lf(x;-1) + f(x¡)](b- n - -a) L 2

1

~trrífl: ---~' Xo

Por tanto, la suma de las áreas de los n trapecios es

X¡

~

~

AGURA4.42

El área del primer trapecio es

Haciendo Llx = (b - a)!n, podemos tomar el límite para n resulta

~

oo, con lo que

lím (b - a)[f(x 0 ) + 2f(x1) + ... + 2f(xn_1) + f(..J:n)] 2n

n~oo

=

!~~ [[f(a)

- ;(b)] Llx +

Jl

f(x¡) Llx

= lím [f(a) - f(b)](b - a) + lím

2n

n~oo

=O+

f

I

J

f(x¡) Llx

n--+ooi= 1

f(x) dx

El resultado se recoge en el próximo teorema.

1

Nota.

Los coeficientes de la regla de los trapecios siguen este esquema 1222

.. · 2 2 1

344

Capítulo 4

Integración

EJEMPLO 1 Aplicación de la regla de los trapecios Utilizar la regla de los trapecios para estimar

y Á

J:

y= senx

sen x dx

Comparar los resultados paran= 4 y n = 8 (Figura 4.43). Cuando n = 4, Ax = n/4, de manera que

Solución:

3 O + 2 sen ~ + 2 sen ~ + 2 sen n + sen n) Jo(" sen x dx ~ ~(sen 8 4 2 4

Cuatro subintervalos

y

n

= 8 (O +

y=senx

¡;;

¡;;

v 2 + 2 + v 2 + O)

=

n(l + 4

j2)

~

1,896

Cuando n = 8, Ax = n/8, y por consiguiente n

n

8 4

2zL 8

+--+-~4-x

n

Sn 3~

2 84

7!:!: n 8

f" o

~

sen x dx

Ocho subintervalos

FIGURA 4.43 Aproximaciones por trapecios.

.!!..__(sen O+ 2 16

sen~+ 2 sen~ + 8

4

3 2 sen n + 2 sen'!!:. + 8 2

5n 3n 7n ) + 2 sen - + 2 sen - + 2 sen - + sen n 8 4 8

n) ~ 1,974

3 = .!!.__(2 + 2}2 + 4 sen!!:_+ 4 sen 16 8 8

Para esta integral particular, podríamos haber hallado una primitiva y concluir que el área exacta es 2. D ttlUch(~ PJ~~ranitaSiD{!Drlllá,fiCO:S

!!!!.I.•Y~'"~

qUe permiten

apro~~IDaJ'

el

~fínlii1!a. Ut:Hfe,~e·algun¡;>.d~ eU{)s pa_ra ~soi~ :l O, como indica la Figura 5.3. Es cóncava hacia abajo porque FIGURA 5.3 La función logaritmo natural es creciente y cóncava hacia abajo.

f"(x) = _ _!__

xz

Segunda derivada

358

Capítulo 5

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes

es negativa para x > O. Dejamos como ejercicio la demostración de que es inyectiva (Ejercicio 96). Los siguientes límites implican que el recorrido es toda la recta real. lím In x =-oc

x-o+

lím In x = oc

y

D

En el apéndice se justifican ambos límites.

Utilizando la definición de la función logaritmo natural se pueden probar propiedades importantes de las operaciones con logaritmos. Si el lector ya está familiarizado con los logaritmos, reconocerá que estas propiedades son características de todos los logaritmos.

Napiertoroó~l~~

··ras. · palabras. griegas..· togas . . anlh·

mos (núroero~flllra d~TIO~ar ¡~tilbr{a que desam~l\ó é'lo Jargo~~iktelifto~y que !!parecít'l por vez prllnllra en'll!librtos ~ explicar el

4x- 1

= 4x -

1

Aplicar la regla del logaritmo

1

Deshacer la sustitución

D

l l) medido en semanas. Expresar S como función de t, sabiendo que las ventas tras 2 y 4 semanas eran 200 y 300 unidades.

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 67-70, discutir si la afirmación es correcta. Si no lo es, explicar la razón o dar un ejemplo que confirme su falsedad.

65.

Trayectoria ortogonal a) Representar en la calculadora la gráfica de

67.

(In x) 112 = ~ (In x)

68.

fIn xdx

2x 2

b)

e)

-

y

2

= 8.

Evaluar la integral para hallar y 2 en términos de x. y 2 =e-l llfx>dx. Para un valor particular de la constante de integración, representar el resultado en la misma pantalla del punto a). Verificar que las tangentes a las gráficas de a) y b) son perpendiculares en los puntos de intersección.

CONTENIDO Funciones inversas Existencia de función inversa Derivada de una función inversa

• • • •

69.

f~ f~

= (ljx)

+C

lcxl.

e

dx = In

2

70.

-!

dx = [In

X

lxl]

=/=

O

2

= In 2- In l = In 2 -!

[ ] ::nciones inversas Funciones inversas Recordemos de la Sección P.3 que una función puede representarse por un conjunto de pares ordenados. Así, sif(x) = x + 3 y A = {1, 2, 3, 4} a B = {4, 5, 6, 7}, podemos escribir

f: {(1, 4),

(2, 5), (3, 6), (4, 7)}

Intercambiando las coordenadas de cada par ordenado formamos la función inversa de f Esta función, que se denota por f- 1 , lleva de B a A, y se puede escribir FIGURA 5.9 Dominio de f =recorrido de f -t. Dominio de 1 =recorrido de f.

r

¡-!:

{(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4)}

El dominio dejes el recorrido def- 1 y viceversa, como ilustra la Figura 5.9. Las funciones f y f- 1 tienen el efecto de «deshacer» cada una lo que hace la otra. Es decir, al componer una con otra, se obtiene la función identidad. f(f- 1 (x)) = x

y

¡- 1 (f(x)) = x

Sección 5.3

Funciones inversas

377

EXPI.QRACIÓN· .

C6kfll~··~~~~~llt.~fj~.'J Expliq~·!:~~o~~~)~j

Nota. Aunque la notación utilizada para la función inversa se parece a la notación exponencial, es un uso distinto de -1 como superíndice. Esto es, en general,f- 1 (x) # I/J(x). 1

He aquí algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas. l.

Si g es la inversa de f, entonces fes la inversa de g.

2.

El dominio de f- 1 es el recorrido de f y el recorrido de f- 1 es el dominio def Una función puede no tener inversa, pero si la tiene, la inversa es única (véase Ejercicio 95).

3.

Podemos ver f- 1 como una operación que deshace lo hecho por f Así, la resta deshace lo que la suma hace, y la división lo que hace la multiplicación. Usar la definición de función inversa para comprobar las siguientes inversas. f(x) = x +e

y f - 1 (x) =x-e

f(x) = ex

f- 1 (x) = -, e #- O son inversas una de otra e

y

son inversas una de otra

X

EJEMPLO 1 Comprobación de funciones inversas Probar que las funciones siguientes son mutuamente inversas.

f(x) = 2x 3

1

-

y

g(x) =

ff

Solución: Como el dominio y el recorrido defy g son todos los números reales, las dos funciones compuestas existen para todo x. La composición de f con g es FIGURAS. !O

f yg son inversas una de otra.

f(g(x)) =

( {x+l)3 1)

2 12_2_ -

X+ = 2 ( -2- -1 =x+1-1

=x

1

378

Capítulo 5

ADVERTENCIA Compare verbalmente las funciones f y g del Ejemplo l.

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes

La composición de g con fes

g(f(x)) =

Paraf: Elevar al cubo, después multiplicar por 2 y por fin restar 1.

J(2x

3

-

2

1)

+

1

=~

Para g: Sumar 1, después dividir por 2 y por fin tomar la raíz cúbica. ¿V e cómo se el proceso?

=x Puesto quef(g(x)) = x y g(f(x)) = x, concluimos quefy g son inversas una de otra (véase Figura 5.10). D En la Figura 5.1 O, las gráficas de fy g parecen reflejadas una de otra en un espejo colocado a lo largo de la recta y = x. La gráfica de f- 1 es una reflexión de la de f Ésta es la idea que generaliza el próximo teorema.

Demostración:

La gráfica de

r

FIGURA 5.11 1

es la reflexión de la gráfica de f en la recta y =x.

Si (a, b) está en la gráfica def, entonces esf(a) =by, por tanto, f- 1 (b) = f- 1 (f(a)) =a

Así que (b, a) está en la gráfica def- 1 , como muestra la Figura 5.11. Un argumento similar demuestra la otra dirección. D

Existencia de función inversa No toda función admite función inversa. El Teorema 5.6 sugiere un criterio gráfico: el criterio de la recta horizontal. Establece que f tiene inversa si y sólo si toda recta horizontal corta a la gráfica de fa lo sumo en un punto (Figura 5.12). El próximo teorema explica por qué ese criterio es válido. Recordemos de la Sección 3.3 que una función es estrictamente monótona si es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio.

y

•

FIGURA 5.12 Si una recta horizontal corta a la gráfica de f en más de un punto,f no es inyectiva.

Sección 5.3

Funciones inversas

379

Demostración: Para demostrar la segunda parte, recordemos de la Sección P.3 que fes inyectiva si para cualesquiera x 1 y x 2 en su dominio

La recíproca de esta implicación, lógicamente equivalente a ella, afirma que

Tomemos x 1 y x 2 en el dominio de f Si x 1 i= x 2 , como fes estrictamente monótona, se sigue que a) Como/ es creciente en todo

su dominio, tiene inversa

En cualquier caso,f(x 1 ) i= f(x 2 ). Por tanto,f es inyectiva en el intervalo. La demostración de la primera parte se deja como ejercicio (Ejercicio 96). D EJEMPLO 2 Existencia de función inversa f(x)=x 3 -x+l

2

¿Cuáles de estas funciones tienen inversa? a)

f(x) = x 3 + x- l

f(x) = x 3

b)

-

x

+1

Solución: -2

a)

b)

h) Como f no es inyectiva,

no tiene inversa

FIGURA 5.13

En la Figura 5 .13a se ve que fes creciente en todo su dominio. En efecto, esa conclusión se deduce de que su derivadaf'(x) = 3x2 + 1, es positiva para todo x real. Por tanto, fes estrictamente monótona, luego tiene inversa. En la Figura 5.13b vemos que la función no cumple el criterio de la recta horizontal. En otras palabras, no es inyectiva. Por ejemplo,ftoma el mismo valor en x = -1, O y l. j(-1) =J(l) =f(O) = l

No inyectiva

En consecuencia, el Teorema 5. 7 afirma que f no tiene inversa.

D

Nota. Suele ser más fácil probar que una función tiene inversa que hallar esa inversa. Así, sería algebraicamente difícil hallar la función inversa del Ejemplo 2a.

A continuación presentamos un procedimiento para hallar la inversa de una función.

A~¡iji~~~··~>~~~~~t~ ~! Y~P~~~~}}:, ~i 1~ fundón dad~ y:;:; f{x) tiene ,'''',''?',,'

',,,,

,',

" O. y

...X

b)

•

a)

b)

28.

~~··f; -2

2

a)

y

= e2 x y

,_.X

'

d)

e)

¡ -1

-2

-1

-1 -1

19. y= Ce"x

!'v 23.

Análisis gráfico f(x)

=

:Lr:+, 1

En los Ejercicios 29-48, hallar la derivada de la función.

2

-lj"

29. f(x) = ezx

ce-ax

31.

e

20.

y

22.

y=1+e-ax

30.

f(x) = e!-x

y=e-2x+x'

32.

y= e-x'

33.

y=e-fi

34.

y= xze-x

35.

g(t) = (e_, + e') 3

36.

g(t) = e-1! CXJ ?

24.

Conjetura Atendiendo al resultado del Ejercicio 23, formular una conjetura acerca del valor de

cuando x

-->

ex + e-x

2

ex- e-x

2 ex+ e-x

2

w. En los Ejercicios 49 y 50, hallar dy/dx por derivación implícita.

En los Ejercicios 25 y 26, comparar el número dado con el número e. ¿Es ese número mayor o menor que e? 25.

(1 +

1

)1.ooo.ooo

(véase Ejercicio 24)

1.000.000

26.

1 1 1 1 1 1 1+ 1+ - + - + - + ++ -2 6 24 120 720 5.040

49.

xeY - 1Ox + 3y

=O

En los Ejercicios 51 y 52, hallar la segunda derivada de la función.

51. f(x)

= (3 + 2x)e- 3 x

52.

g(x)

= Jx + ex In X

394

Funciones logarítmicas. exponenciales y otras funciones trascendentes

Capítulo 5

64.

Localizar el punto de la gráfica de y= e-x en el que la recta normal pasa por el origen. (Usar el método de Newton o cálculo de raíces en la calculadora.)

('v

65.

Hallar, con tres decimales, el valor de x tal que e-x = x. (Usar el método de Newton o el cálculo de raíces en una calculadora.)

('v

66.

Depreciación

En los Ejercicios 53 y 54, probar que y= j(x) es solución de la ecuación diferencial. 53.

r = ex(cos y" - 2v'

54.

\'

J2x +sen vf'2x)

+ 3r = O

= ex(3 cos 2x- 4 sen 2x)

v" - 2r' + 5r \J

=O

El valor V de un objeto a los t años de su adquisición es

En los Ejercicios 55-60, hallar los extremos y puntos de inflexión (si los hay). Representar/en la calculadora y confirmar los resultados.

V= 15.000e- 0 · 6286 ',

Representar la función en la calculadora. Calcular el ritmo de cambio de V respecto de t cuando t = 1 y t = 5. Representar en la calculadora la recta tangente a la función en t = 1 y t = 5.

a)

55.

1

f(x) =---=e ..J2n

=

59. f(x)

= x2e-x

Área

(\_, 62.

Área

=

ex- e

56.

f(x)

58.

f(x)=xe-x

60.

f(x)

X

h)

2 e)

ex+ e-;>,.

57. j'(x)

61.

lx' 2)

2

= -2 + e 3 x( 4- 2x)

('v

67.

Redacción

Consideremos la función

2

Calcular el área del mayor rectángulo que puede inscribirse bajo la curva y= e-x' en los dos primeros cuadrantes.

Efectuar los pasos siguientes con el fin de calcular el área máxima del rectángulo de la figura. a) Despejar e en la ecuación f(c) = f(c + x). h) A la vista de ese resultado, expresar el área A en función de x. [Ayuda: A = xf(c).j e) Representar en la calculadora la función área y, con la gráfica, estimar las dimensiones del rectángulo de área máxima. Determinar esa área. d) Representar en la calculadora la expresión de e hallada en a). Usar la gráfica para aproximar lím e

y

f ( x ) = t;x 1 +e

h)

('v

68.

Movimiento armónico

El desplazamiento del equilibrio de una masa que oscila atada al extremo de un muelle suspendido del techo es y= 1,56e- 0 · 22 ' cos 4,9t

donde el desplazamiento y se mide en pies y ten segundos. Representar en la calculadora esa función en el intervalo [0, 1O]. Hallar el valor de t en el que el desplazamiento pasa a ser menor que 3 pulgadas.

x-->0"

y

Representarla en la calculadora. Explicar por escrito por qué la gráfica tiene asíntota horizontal y = 1 y una discontinuidad evitable en x =O.

a)

lím e

Usando este resultado, describir los cambios en dimensiones y posición del rectángulo para O< x < et:.·.

O :0::: t :0::: 10

('v

69.

Un modelo matemático

Un meteorólogo mide la presión atmosférica P (en kg/m 2 ) a varias altitudes de h km, con los resultados que muestra la tabla.

4

a)

63.

b)

Verificar que la función y

L

= 1 + ae -x¡b. •

a > O, h > O, L > O

e)

d)

crece a ritmo máximo cuando y

= L/2.

h

o

5

10

15

20

p

10.332

5.583

2.376

1.240

517

Representar en la calculadora los puntos (h, ln P) y usar regresión para ajustar a esos datos un modelo lineal. La recta en a) tiene la forma In P =ah+ b. Escribir la ecuación en forma exponencial. Representar en la calculadora los datos y el modelo exponencial. Calcular el ritmo de cambio de la presión cuando h = 5 y h = 18.

395

Ejercicios de la Sección 5.4 0 '-'

70.

Un modelo matemático

Un Chevrolet Beretta de 1990, con seis cilindros, transmisión automática y aire acondicionado, cuesta al por menor $11.500. La tabla muestra su depreciación entre 1990 y 1995. (Fuente:

En Jos Ejercicios 75-92, hallar la integral. 75.

f e x(5) dx

76.

fe -x'(-4x 3 ) dx

77.

r

78.

r

f -e -x d x 1 +e-x

National Automatic Dealer's Association.) Año

1990

1991

1992

Valor

$11.500

$9.315

$9.200

79.

Año

1993

1994

1995

81.

5

f

e-lx dx

3

c'lx -

X

1

Valor

$7.935

$7.130

$6.095 83.

En lo que sigue, V denota el valor del automóvil en el año t, con t == O correspondiendo a 1990. a) Usar regresión en la calculadora para ajustar un modelo lineal y otro cuadrático a esos datos. Representar juntos los datos y los modelos. h) ¿Qué representa la pendiente en el modelo lineal? e) Hallar un modelo lineal para los puntos (t, In V) y escribir la ecuación resultante, del tipo In V== at + h, en forma exponencial. d) Determinar la asíntota horizontal del modelo exponencial del apartado e). Interpretar su significado en el contexto del problema. e) Hallar el ritmo de depreciación cuando t == l y t == 5. r\~ Aproximaciones lineal y cuadrática En los Ejercicios 71 y 72, representar en la calculadora la función f en esa misma pantalla

P 1 (x) == f(O) + j'(O)(x- O)

W

Comparar los valores def, P 1 y P2 y de sus primeras derivadas en x =O.

72. f(x)

71. f(x) = ex/2 (\, 73.

= e- x'/2

Una fórmula general Comparar en la calculadora las gráficas de y == ex con las de las siguientes funciones. a)

v1

.

82.

fex~dx f ex+ e-x eX- e X

dx

86.

f 5- ex --dx

89.

f e'

91.

fe-x tg (e-x)dx

e2x

" "'

l + e2x

t2

(x2.12)

xe

dx

fex-ex dx Cx +e X f 2ex- 2e-x

xl

(ex+ e

dx

2

87.

0

84.

~ - -e2x -dx

•

cos nx dt

88.

f e x + 2e' + 1 -----dx

90.

f e 1g

92.

fIn (e 2 '

ex

2

'

sec 2 2x dx 1

·

)dx

En los Ejercicios 93 y 94, resolver la ecuación diferencial. 93.

dy == xe"x' dx

94.

dv

~

== (ex- e x)2

dx

95.

f"(x) f(O)

= 1(ex +e-x)

96.

= 1, f'(O) = O

f"(x) f(O)

= sen x + e 2 x == !· j'(O) = ~

Campos de direcciones

En los Ejercicios 97 y 98, se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo de direcciones. a) Esbozar dos soluciones de la ecuación diferencial, una de las cuales pase por el punto indicado. h) Hallar, por integración, la solución particular y representarla en la calculadora. Comparar el resultado con los esbozos del apartado a).

X

= 1 +1!

97. 2

74.

dx

el- xdx

En los Ejercicios 95 y 96, hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface las condiciones iniciales.

y l P2 (x) == ./(0) + .f'(O)(x- O)+ -j."(O)(x2

85.

2

80.

1

h)

x x v2 = 1 +- +.. 1! 2!

e)

x x2 x3 Y3 == 1 + - + - + 1! 2! 3!

Identificar la forma general de los polinomios del Ejercicio 73 y extenderlo un término más. Comparar la gráfica del polinomio resultante con el de y == ex . ¿Qué implica este proceso?

dy==2e-xf 2 ,

(0,1)

dx

~ =xe-O.lx', (O, y

y

1

98.

/1 """"""""'-'- BA. Usar el apartado b) para verificar que en > rce.

[J ~-~ses distintas de e y aplicaciones Bases distintas de e La base de la función exponencial natural es e. Esta base «natural» se puede utilizar para dar sentido a cualquier otra base a.

Sección 5.5

Bases distintas de e y aplicaciones

397

Estas funciones satisfacen las leyes usuales de los exponentes. Recordamos algunas de esas propiedades. l.

2.

3.

4.

EJEMPLO 1 Semivida radiactiva La semivida del carbono-14 es de unos 5.730 años. Si en este momento hay 1 g de carbono-14 en una muestra, ¿cuánto quedará al cabo de 10.000 años?

1,2 z

~

1,0

&,"" .,

0,8

¡;

6

0,6

~

0,4

u"

Solución: Denotemos por t = O el momento actual y por y los gramos de carbono-14 en la muestra. Usando base 1 podemos tomar como modelo para y la ecuación

0,2

y=

2.000 4.000 6.000 8.000 10.000

GY5.730

Tiempo (en años)

FIGURA 5.24

La semivida del carbono-14 es de unos 5.730 años.

Nótese que cuando t = 5.730, la cantidad se ha reducido a la mitad.

y

1)5.730/5.730 1

= (-

=-

2

2

gramos

Cuando t = 11.460, se ha reducido a un cuarto de la cantidad inicial y así sucesivamente. Para hallar la cantidad que queda al cabo de 10.000 años sustituimos t = 10.000. y=

GY0.000/5.730

"" 0,30 gramos La gráfica de y se muestra en la Figura 5.24.

D

Las funciones logarítmicas de base general se definen de manera muy similar a las exponenciales.

rs

(t¡ .~ 1) y x cualquier nú~~o real positi.b~·.t;l se denota. log~ x y se define .G9lt10

398

Capítulo 5

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funcione,, trascendentes

Las funciones logarítmicas de base general a gozan de las mismas propiedades que la función logaritmo natural (Teorema 5.2). l.

loga 1 =O

log de 1

2.

loga xy = loga x + loga y

log de un producto

3.

loga x" = n loga x

log de una potencia

4.

loga - = loga y

X

X -

loga y

log de un cociente

De las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas de base a se sigue que f(x) = ax y g(x) = loga x son funciones inversas una de otra.

PROPIEDADES COMO FUNCIONES INVERSAS l. ' y= ax si y sólo six = loga y 2.

alóg,.x

3.

]og¡~

= x,

ax :

para x >O X,

para todb

X

La función logaritmo de base 10 se llama función logaritmo común (o decimal). Para ella, y= JOX si y sólo si x = log 10 y.

EJEMPLO 2 Bases distintas de e Despejar x en las siguientes ecuaciones. a)

3x =

_J_ 81

b)

log 2 x = -4

Solución: a)

Aplicamos la función logaritmo de base 3 en ambos lados de la ecuación

Aplicamos la función exponencial de base 3 en ambos lados de la ecuación log 2 x = -4

1

3x=81

log 3 3x = log 3

b)

2log 2 x

=

2-4

1

Sl

x = log 3 3- 4 x=-4

x=-

16

D

Sección 5.5

Bases distintas de e y aplicaciones

399

Derivación e integración Para derivar funciones exponenciales y logarítmicas en base arbitraria hay tres opciones: 1) usar las definicioens de ax y log" x y derivar mediante las reglas válidas para las funciones de base e, 2) usar derivación logarítmica, o 3) usar las siguientes reglas de derivación.

TEOREMA 5J3

DERIVADAS EN BASE ARBITRARIA

Sea a un número real positivo (a d l. - [axJ .::::: (ln a)ax dx } d ·. 1 3 · dx [toga x] (In a)x

=

1) y sea u una función derivable de x.

d

[a 11 ]

=(ln a)au du dx

2.

-

4.

~[Jog 4 u]=~-­

dx

d

du (In a)u dx 1

dx

Demostración: Por definición, ax = e 11 " " 1x. Por tanto, la primera regla se prueba haciendo u = (In a)x y derivando: d d . du [ax] = - [e(ln a)'] =e" - = e

O

o

Ecuaciones diferenciales homogéneas Nota. Por f(x, y) denotamos una función de dos variables, del mismo modo que f(x) denota una función de una sola variable. Estudiaremos las funciones de dos variables en el Capítulo 12. 1

Algunas ecuaciones diferenciales no separables en x e y se convierten en separables mediante un cambio de variables. Eso sucede para las ecuaciones diferenciales del tipo y'= f(x, y), donde fes una función homogénea. Se dice que la funciónf(x, y) es homogénea de grado n si

1

f(tx, ty) = t"f(x, y)

Función homogénea de grado n

donde n es un número real.

EJEMPLO 6 Comprobación de funciones homogéneas a) f(x, y)= x 2 y- 4x 3 + 3.xy 2 es una función homogénea de grado 3 porque f(tx, ty) = (tx) 2 (ty) - 4(tx) 3 + 3(tx)(tyf

= t3(xzy) - t3(4x3) + t3(3xyz)

=t (x y 3

2

= t 3f(x,

y)

4x 3 + 3xy 2 )

422

Capítulo 5

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes

b)

f(x, y)= xexfy +y sen (y/x) es una función homogénea de grado 1 porque . ty f(tx, ty) = txetxfty + ty sentx = r(xexfy +y

sen~)

= tf(x, y) e)

f(x, y) = x + y 2 no es homogénea porque

d)

f(x, y) =x/y es una función homogénea de grado O porque tx x f(tx, ty) = - = t 0 ty y

o

DEFOO'CIÓN DEOOYAQ:ÓN··DfFBltBNCIJ\LM~MOOÉNEA

úna ecuación

diferenCíai hon'lrig~nea

una ecnacíón difetencial de la forma

M(x, y) dx+ N(x, y)dy.:::;;. O

EJEMPLO 7 Ecuaciones diferenciales homogéneas a)

(x 2 + xy) dx + y 2 dy = O es homogénea de grado 2.

b)

(x 2 + 1) dx + y 2 dy =O no es una ecuación diferencial homogénea.

O

Al resolver una ecuación diferencial homogénea por separación de variables utilizaremos el siguiente resultado sobre cambio de variables.

TOODA5.lt .C~!OJ)EVM003LMPAII\·.EtUACl~NES DIFERENCIALES H~MOGÉNEAS Si M(x, y}dx + N(x, y) dy;;;: Oes hQVl()génea, pu~~e ser transformada en una ecriation '&.r~r~nci~ ([l¿ ~'áifablei s~páiáclas haciendo la sustitución

Sección 5.7

Ecuaciones diferenciales: separación de variables

423

EJEMPLO 8 Resolución de una ecuación diferencial homogénea Hallar la solución general de (x 2 -y 2 ) dx + 3xy dy =O. ADVERTENCIA La sustitución y = vx produce una ecuación diferencial separable en las variables x, v. Hay que expresar la solución obtenida al final en términos de las variables originales x, y.

Solución: Como (x 2 - y 2 ) y 3xy son ambas homogéneas de grado 2, hacemos y = vx. Así, dy = x dv + v dx, de modo que sustituyendo obtenemos dy

(x 2

~

-

v2 x 2 ) dx + 3x(vx)(x dv + v dx) = O (x 2 + 2v 2 x 2 ) dx + 3x 3 v dv = O x 2 (1 + 2v 2 ) dx + x 2 (3vx) dv = O

y

t

Ahora dividimos por x 2 y separamos las variables.

!

(1 + 2v 2 ) dx = -3vx dv

f~ f

X

=

In

lxl

3 1:

;v

2

dv

3 =--In (1 + 2v 2 ) + e 4

1

4lnlxl=-3ln(l +2v 2 )+lnje¡ FIGURA 5.33

In x 4 = IC(l + 2v 2 )- 3 i

Soluciones de (x 2 - y2) dx +3xy dy =O.

x 4 = e(l + 2v 2 )- 3

Sustituyendo v se obtiene la solución general

~:) x 3

( 1+ 2

4

=

e

(xz + 2y2)3 = exz

Solución general

o

un~t .Cllil> de Arnold J. Insel, en The College Mathematics Joumal, mayo 1989. 1

Sección 5.9

Funciones trigonométricas inversas e integración

439

EJEMPLO 1 Integrales que contienen funciones trigonométricas inversas

a)

b)

f f

dx

x

y'+-A

2

;:.;---::z = arcsen - + e

f cj2)

dx 1 2 2 + 9x = 3

3dx 2 + (3x) 2

1

3x

3J2

J2

= - - arctg -

e)

+

f xJ4:~- f 2xJ(~~~-

~ progia~ ·

fáCiles ron

1 12xl = - arcsec +

;;;¿:

nuts de integr~ión· si~~li­ ca en q¡ileufado~. No. ()1)¡¡, . tante, a] usarlos hay . ·que · recordar que pued.en no d.ar una "primitiva, y ello por dos razones. En primer lugar, algunas funcione~ elementales

tien,eJi primi~~ij ~~ eJen1~~~ tal~, Y por .~t~ ~~~' ~999~. ~f.p~~~~ tien~H Hpli· tacion,e~, asiqu~ .pq~de darse el caso~ que Ie int~duz~+ mos una 1lin~~ón par~ cuya integración ·no esta .preparada. Recuerde asimismo que

3

3

,j2

e

9-

r:IJI*e~les

u= 3x, a=

32

u= 2x, a= 3

e

D

Las integrales del Ejemplo 1 son aplicaciones muy directas de las fórmulas de integración. Por desgracia, no es lo frecuente. Las fórmulas de integración que involucran funciones trigonométricas inversas suelen camuflarse de muy diversas formas.

EJEMPLO 2 Integración por sustitución

Hallar

fv

dx

~·

e2x- 1

Solución: Tal como está, la integral no se ajusta a ninguna de las tres fórmulas para las funciones trigonométricas inversas. Pero haciendo u = ex se obtiene du du dx=-=ex u

las primftiv~ q~~iJ!Yolucrllrl;

fun~es tri~onom~~~.o logaritmic~

se

p~~ll ex·

Con esa sustitución ya podemos integrar así:

~as

muy .diversas. Por ejemplg, al resolver con. uno . :ae. . esos programas )~ i~~~~~l del Ejemplo 2, se obticme presar. de

fJe:-1= De111uestfé. 'l9e ·está w;imiti·

va es equivi!lerne ~ lao~reni:daen et Bj~pl6 2: ·

f

dx

f _f - p=! f up=l

~-

dx Jcex?-1 du/u

du

=

lul

= arcsec1

+e

= arcsec ex +

e

Escribir e 2 x como (e ') 2

Sustituir

Reescribir para que se aplique la regla del arcsec

Aplicar la regla del arcsec Deshacer la sustitución

D

440

Capítulo 5

Funciones logarítmicas. exponenciales y otras funciones trascendentes

EJEMPLO 3 Reescribir como suma de dos cocientes

Hallar

x+2

~dx.

f y~4- x 2

Solución: Tampoco esta integral parece ajustarse a las fórmulas. Sin embargo, desdoblando el integrando en dos partes, la primera es integrable por la regla de las potencias y la segunda da una inversa del seno.

x+2

f

J4-=-?

dx=f

x

J4-=-?

=-~2 = -

=

dx+f

2

J4-=-?

dx

f(4-x 2 ) - 112 (-2x)dx+2 f h d x 4- xz

1[(42

x

2 112 )

112

J 2 arcsen x

2+ e

+

-fi-=-? + 2 arcsen ~+e 2

D

Completar el cuadrado Cuando hay funciones cuadráticas en el integrando, completar el cuadrado ayuda a resolver la integral. Por ejemplo, la función cuadrática x 2 + bx + e puede escribirse como diferencia de dos cuadrados sumando y restando (b/2) 2

EJEMPLO 4 Completar el cuadrado

Hallar

Solución:

f

dx · x - 4x + 7 2

Escribimos el denominador como suma de dos cuadrados.

x2

-

4x + 7 = (x 2

-

4x + 4)- 4 + 7 = (x- 2) 2 + 3 = u 2 + a 2

Ahora, hacemos u = x - 2 y a =

J3

---=-_dx_ _ = f dx = _1_ arctg f x 2 - 4x + 7 (x - 2) 2 + 3

J3

._t_-_2

J3

+

e

D

Sección 5.9

Funciones tJigonométricas inversas e integración

441

Si el coeficiente dominante no es 1, conviene sacarlo factor común del cuadrado. Por ejemplo, se puede completar el cuadrado en 2x 2 - Sx + 1O como sigue

2x 2

-

Sx + 10 = 2(x 2 = 2(x

2

-

4x + 5)

-

4x + 4 - 4 + 5)

= 2[(x- 2) 2 + 1]

Para completar el cuadrado cuando el coeficiente de x 2 es negativo, el mismo proceso de sacar factor común sirve. Así, se puede completar el cuadrado en 3x - x 2 como sigue:

3x- x 2 = -(x2

3x)

-

..

V

EJEMPLO 5 Completar el cuadrado (coeficiente dominante negativo) Calcular el área de la región acotada por la gráfica de

r 3

FIGURA 5.43 El área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas x =3/2, x =9/4 es n/6.

1

f (X)

,_.x

el eje x y las rectas x = ~ y x = Solución:

= --¡=:;.===;::;

J3x - x 2

t·

En la Figura 5.43 vemos que el área viene dada por

f

914

Área=

llll Con integrales como ~la del Ejemplo· 5 siempre queda el recurso de una solución numérica. Así, la regla de Simpson con n = 6 da en este caso 9!4

3/2

~

-r===:c dx

J3x- x 2

Usando la forma con el cuadrado completado de antes se puede integrar:

J

9/4

3/2

dx

dx

f9J4 2

J3x- x =

3/2

j(3/2)

2

-

[x- (3/2)] 2 914

1

f J3x-x

3/2

2

dx

0,523599

= arcsen X---(3/2)] -3/2 3¡2 1

= arcsen - -arcsen O 2

Este valor difiere del valor

n

exacto (rt/6 ~-- 0,5235987) en menos de una millonésima.

6 ~

0,524

o

442

Funciones logarítmicas. exponenciale.1 y otras funciones trascendentes

Capítulo 5

Resumen de reglas de integración básicas Ya hemos completado la introducción de reglas básicas de integración. Si se quiere llegar a un uso eficaz de tales fórmulas resulta más que conveniente aprenderlas de memoria.

Reglas básicas de integración (a > O)

J J

l.

J1if(u)drJ :rk.Jto~l~~

4.•

Jlf(u) « g(u); du •

3.

Jdu =u+ e

4.

f ufldu= un+t +e, ,

5.

fdu -¡; = ln !ul• ~· · e

6.

f eudu =e"+ e

7.

f au du=

9.

e:

n+

j(u) du •

g(u) du

n #: -1

f

a)au + e

8.

cos

udu =sen u +C

10.

f tg udLt ::::,-ln leos ul +e

14

du =ln .J.sen ul .,.¡oC

12.

f secudu::: In lsec u+ tg uj +e

udu = -ln

14.

f

sec 2

16..

f

sec utg

18.

f

. u e ·. du . . -arcsen-+ Ja2- uz a

20.

f

du uJu 2 -a 2

f

11.

f

ctg

13.

f

cosec

15.

f

cosec 2

17.

f

cosec

19.

f a

2

lcosec

u +ctg ul +e

udu = -ctg u+ e

u ctg u du :::i ;_cosec u + e

du + u

1 u a arctg -a + e

2 - -

senudu = ....cos u+ e

U

du = tg U + e

u·~U =sec u +.e

-1 arcsec -lul + e a

a

·

Se aprende mucho comparando esta lista con la de las reglas de derivación de la sección anterior. Mientras disponemos ya de reglas de derivación suficientes para derivar cualquier función elemental, la situación en lo que se refiere a la integración dista mucho de ese nivel. Las reglas recogidas en la lista de aquí arriba son esencialmente las que hemos podido deducir de las reglas de derivación. No hemos desarrollado reglas para integrar un producto o un cociente general, o la función logaritmo natural o las funciones trigonométricas inversas. Lo que es más importante, ninguna de las reglas de la lista es aplicable si no se logra construir el du apropiado correspondiente a la u de la tórrnula. La cuestión es que necesitamos trabajar más sobre técnicas de integración, cosa que haremos en el Capítulo 7. Tal vez los dos ejemplos próximos den una idea más clara de lo que se puede y de lo que no se puede hacer con las técnicas de que disponemos en este momento.

Sección 5.9

443

Funciones trigonométricas inversas e integración

EJEMPLO 6 Comparación de problemas de integración

Hallar las integrales que sea posible, de entre las que se proponen, mediante las técnicas estudiadas hasta ahora en este libro. a)

dx

f xJxl=l

xdx

f ~~

b)

dx

f Jx2=l

e)

Solución: a)

Se puede integrar (se ajusta a la regla de la arcsec).

f b)

dx

~ Xy..t

-

= arcsec

lxl + e

1

Se puede integrar también (se adapta la regla de las potencias).

f Jx2=l ~ [(xzf _l)¡;z] xdx

(x

2

-

l)-

112

= ~

2 =

e)

I/2

(2x)dx

+

e

Jx2=1 +e

No se puede integrar con las técnicas de que disponemos. Verifique esta D conclusión pasando revista a las fórmulas de nuestra lista.

EJEMPLO 7 Comparación de problemas de integración

Hallar las integrales que sea posible, de entre las que se proponen, mediante las técnicas estudiadas hasta ahora en este libro. a)

f x

~: x

b)

f In: dx

e)

fIn x dx

Solución: a)

Se puede integrar (se ajusta a la regla log).

f

dx

x In x =

f

1/x

~ dx

=In lln

xl +e

b)

Se puede integrar (la regla de las potencias es suficiente).

e)

No se puede integrar con las técnicas de que disponemos.

D

Nota. Hagamos constar que en los Ejemplos 6 y 7 son precisamente las funciones de aspecto más sencillo las que no somos capaces de integrar todavía. 1

444

Funciones logarítmicas. exponenciales y otras funciones trascendentes

Capítulo 5

Ejercicios de la Sección 5.9 Para pensar

En los Ejercicios 33-36, determinar cuál de las integrales puede ser obtenida usando las reglas básicas estudiadas hasta ahora en el libro.

En los Ejercicios 1-20, hallar la integraL

1.

f

3.

l

6

Jl=-9x2

o

f:Í2 - -1- d x 1 + 4x

0

5.

7.

9.

11.

f

14.

f -x3d x x2 + 1

f - -t- d t

JI=7

fo

'

r

2

f

arcsen x

JI-? X

JI-?

dx

r2

4.

6.

r r

dx

o}47

dx

,'3 9 + xz

f 4+

sen x dx 1 + cos 2 x

(~-

fx4- 1 -2- d x x + 1 f t dt t 4 + 16

12.

f

14.

f

18.

20.

f

JI-?

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

f

a) f/dx

b) f xex' dx

e) f _1_ e1/xdx

35.

a) f Jx=ldx

b) f xJx=l dx e) f ---dx X

36.

a) f - -1d x 1 +x 4

x b) f - -X d 1 +x 4

F-1

-d x e) f -xJ 4 1 +x

f~dt

f~dx x+l

38.

dx

39.

dy 3 dx = 1 +xz'

(0, 0)

40.

dy ~2 dx =x...¡ 16- y ,

y 1

_ 3

1

6 5

,,

....

"'

.....

,

---//

...../ / ---"'

....

/ /

/

/

/ /

-5

J-x + 2x

--{!

En los Ejercicios 41 y 42, calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones.

----=x=-=1= dx Jx 2 - 2x 1 (x- I)Jx 2

__ ,., -- --

.__

,,, ...___

dx

2

(0, -2)

y

--::--_d_x_ _ x 2 + 6x + 13

-,-2_x_-_s_ dx f x 2 + 2x + 2

f f f

xz

En los Ejercicios 39 y 40, se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo de direcciones. Un campo de direcciones consta de segmentos rectos, con pendientes fijadas por la ecuación diferencial, que ofrecen una visualización de sus soluciones. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación sobre el campo de direcciones, una de las cuales pase por el punto especificado. h) Hallar, por integración, la solución particular de la ecuación diferencial y representarla en la calculadora. Comparar el resultado con los dibujos del apartado a).

dx 1 3 + (x- 2) 2 1

fxPdx

Campos de direcciones

En los Ejercicios 21-32, calcular la integral, completando el cuadrado cuando sea necesario.

21.

34.

JI=?

dx

~-dx X

Jx(l + x)

-

e)

37.

-i3 l + xz

1

b) f - -X d x

En los Ejercicios 37 y 38, hallar la integral mediante sustitución.

dx 1 xJT-4 1 2 ·v' arccos x

r r

a) J p d x 1-xz

1)2 dx

10.

16.

33.

~-dx 1

o

e2x ---dx 4 + e4x

19.

2.

8.

f Jl-:x+ l)zdx

-1/2

17.

2

dx 1 xJ4xZ=I

1

13.

= dx

dx -

2x

41. 42.

y=

1

x

2

-

2x + 5 1

•y=O,x= 1,x=3

.V = )47'• V = Ü' X = 0 ' X =

1

445

Ejerócios de la Sección 5.9 43. Aproximación

Determinar qué valor aproxima mejor el área de la región entre el eje x y la función

48.

Comprobar las siguientes fómmlas por dcri vación (a> 0). a)

f(x)

1

= ---=---2 ,) 1 - x

b)

en el intervalo [-0,5, 0,5]. (Basar la elección en un dibujo de la región, no en cálculos.) a) 1'-' 44.

4

b)

-3

d)

e)

2

e)

e)

3

Aproximación Dibujar la región cuya área viene dada por la integral

(\¿ 49.

l

arcsen xdx

fo

y usar integración en la calculadora para aproximar su valor. .Av 45.

a)

Probar que

4 --2

l+x

h)

e)

1

fx+2

2

x

-7 -

2

r- + 1

b)

e)

e

=

~+e

f

dt d)

e)

f)

~vkv

32

2

-

f

dt

Representar en la calculadora la función velocidad del punto e) v(t) si k= 0,00 l. Usar la gráfica para estimar el instante t 0 en el que se alcanza la máxima altura. Usar integración en la calculadora para aproximar el valor de l'(t)dt

donde v(l) y t 0 son los obtenidos en d). Ésta es la estimación de la máxima altura del objeto. Explicar la diferencia entre los resultados de b) y los de e).

PARA MÁS INFORMACIÓN Véase el artículo O.

en

446

Cupitulo 5

COI\TENIDO Funcione> hiperbólicas Derivación e integraciÓn de funciones hiperbólica> Funcione> hiperbólica> inversas Derivac1ón e integración de funcione> hiperbólica~ inversas

• • • • •

Funciones Jogaritmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes

0

_5._10_______________________________ Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas En esta sección estudiaremos brevemente una clase de funciones exponenciales especial, las llamadas funciones hiperbólicas. Esta denominación proviene de la comparación entre el área de una región circular (Figura 5.44) y la de una región hiperbólica (Figura 5.45). La integral que da el área del semicírculo contiene unafunción trigonométrica (circular) inversa: J[

2 ~ 1,571

La integral que da el área de la región hiperbólica contiene una función hiperbólica inversa:

JOHANN HEINRICH LAMBERT (1728·17171

Ésta es una de las muchas analogías existentes entre las funciones hiperbólicas y las trigonométricas.

Johann Heinrich lambert, un matemático germano-suizo ycolega de Euler, fue el primero en publicar un tratado acerca de las funciones hiperbólicas.

\"

y

••

•

1

2

1

'

1

y=v'I-x'

L1Q

X

X

-t

FIGURA 5.44 Círculo: / +y2 = l.

FIGURA 5.45 Hipérbola:-/ +v2 = 1.

DEFINICIÓN DE LAS PUNCIONES HJ:l>ER.BóUCAS PARA MÁS INFORMACIÓN Véase el artículo de Jerome Rosenthal, en Mathematics Teacher, abril 1986.

shx chx

thx=-~

1

Nota.

sh x se lee ,

x

;é

O

1

x # O

eh x se lee . O'J.)

ch~ 1

x., ln (x +

p-:1)

tb- 1 x;:~lnl+x 2 1-x coth- 1

[l, O'J) (-1, 1)

!¡nx.+. 1 2. x-1

(-oo, -1)

1 secb- 1 x ;:: ln - - 4 - - - - -

v (1, O'J)

(0, 1]

X

-~) ·. .

cscb"' 1 x ;:: ln ( :-1 + . ·

·X

~-~~·

(-O'J, O) 0 (0, oo)

Sección 5. JO

451

Funciones hiperbólicas

Demostración La demostración es una aplicación directa de las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. Por ejemplo, si ex- e-x

= sh x = - - -

j(x)

2

y

podemos ver que j(g(x)) = x y g(f(x)) = x, lo cual implica que g es la inversa de f O Puede utilizar una calculadora para verifkar gráficamente. los resultados del Teorema 5.21. Por ejemplo, dibujando las gráficas de las funciones Y1 = th

Tangente hiperbólica

X

ex- e-"'

Y2

=e

Definición de la tangente hiperbólica

+e -:x: Y3 = th- t X

FIGURA5.49 Gráficas de la función tangente bípe!bólica y de su ínversa.

..,:x;

Inversa de la tangente hiperbólica ..

1 1 +X Y4 =-In 2 -x

Definición de la inversa de la tangente hiperbólica

La Figura 5.49muestra la pantalla obtenida. Como se ve, y 1 = y 2 y también y 3 =y4 . Nótese, asimismo, que la gráfica de y 1 es la reflexión de la de y 3 en la

rectay=x. Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la Figura 5.50. y

t'

,¡ y~

3 2

1

3

f."~x

1

3 -2

~

ch-lx

1 -1

1

X

X

-3

-2

3 i Dominio· [ 1, 00)

-3 Recorrido: [0, oo)

Dominio· (- 1, 1)

-3 Recorrido: (--oo, oo)

Dominio: ( oo, oo)

Recorrido: (-oc, oo)

}'

'k '¡

y .....,

IT

~ . ~~

3 -2

-1

X

t· , :

~~~--·-··+··"•

2

X

3

' ' ' '

' ' ' ' '

Dominio: (0, 1]

Recorrido: [0, oo)

Dominio: (-oo, -1) U (1, oo) Recorrido: (-oo, O) U (0, oo)

Dominio: (-oo, O) U (0, oo) Recorrido:(- oo, 0) U (0, oo)

FIGURA 5.50 Gráficas de las seis funciones hiperbólicas inversas.

452

Capítulo 5

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras [unciones trascendentes

Con la inversa de la secante hiperbólica se puede definir la curva tractriz o curva de persecución, que aparece en el próximo ejemplo. EJEMPLO 5 Una tractriz Alguien está arrastrando un bote tirando de él con una cuerda (Figura 5.51 ). Mientras camina por el muelle, el bote recorre una tractriz de ecuación

donde a es la longitud de la cuerda. Si a = 20, hallar la distancia que debe caminar la persona para llevar el bote a 5 pies del muelle. Solución:

En la Figura 5.51 vemos que la distancia recorrida por la persona es

Muelle

FIGURA 5.51 Una per>ona debe caminar 41.27 pies para acercar el bote a 5 pies del muelle.

= 20 sech- 1

X -

20

Cuando x = 5, esta distancia es y = 20 sech- 1 1

l+Jl-(1/4) 2 = 20 In - - - - - ' - - - 20 ]~

-

5

= 20 In (4

+

jis)

:;::: 41,27 pies

Derivación e integración de funciones hiperbólicas inversas Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas, que recuerdan las de las funciones trigonométricas inversas, se recogen en el Teorema 5.22, junto con las correspondientes fórmulas de integración (en forma logarítmica). Puede comprobarse cada una de ellas aplicando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas. (Véanse Ejercicios 84-86.)

TEOREMA 5.22

DERIVACIÓN EINTEGRACIÓN RELATIVAS APUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Si u es una función derivable de x, d u' d 1 1 - [sh- u]= [ch- u]= 2 dx u +1 dx

.Ju2+1

d - [th- 1 u]=

dx

-

u'

d

1-

dx

u'

p-:1 2 u

-

u'

1

[coth- 1 u]= - -2 1-u

Sección 5.10

4S3

Funciones hiperbólicas

EJEMPLO 6 Más sobre la

tractri~

Para la tractriz del Ejemplo S, probar que el bote está siempre apuntando hacia la persona que tira de él. Solución: En un punto (x, y) de la tractriz la pendiente de la gráfica da la dirección del bote, como se ve en la Figura S.Sl.

y'=!!__ [20 sech- 1 ~20

dx

=

J20 2

-

x2 ]

- 20 (2~)[(x/20)J/- (x/20) l- G)(J2~~x- x 2

-20 2

X

+ --re=== J20 2 - x 2

--¡::=~=== xJ20 2 - x 2

J20 2

2)

x2

-

X

Y en esa misma figura se constata que la pendiente del segmento que une (0, y 1 ) con (x, y) es también m= (-J20 2 - x 2 )/x. Así pues, el bote apunta hacia la persona en todo momento. (Por esa razón se llama curva de persecución a la tractriz.) O EJEMPLO 7 Integración usando funciones hiperbólicas inversas

Evaluar

dx · xJ4- 9x 2

Sea a

Solución:

f

f

= 2 y u = 3x

dx xJ4- 9x 2 =

f

3dx (3x)J4- 9x 2

1 2 =--In 2

+ J4- 9x 2

13xl

+e

1

--In

a+j;l7 + C

O

lul

a

EJEMPLO 8 lnfeJ?ración usando funciones hiperbólicas inrersas

Evaluar Solución:

f

dx • S- 4x 2

Sea a= Js y u= 2x

f

dx 1 S - 4x2 = 2 =

=

1

f (Js)2 - (2x)2 2dx

1

2 2Js In

IJs + 2xl Js - 2x + e

4Js 11s: ~:1 In

f +

e

1

du al-

u2

- I n - - +C

2a

1"a-+ "1u

o

454

Funciones logilrítmicas. exponenciales y otms funciones trascendentes

Ciipítu/o 5

Ejercicios de la Sección 5.10 En los Ejercicios 1-6. calcular el valor indicado. Si el valor no es un número racional, dar la respuesta con tres decimales correctos. J.

3.

5.

a)

sh 3

2.

b)

th (-2)

a)

csch (In 2)

b)

coh (In 5)

a)

ch- 1 2

b)

sech ···

4.

6.

1 ~

a)

eh O

29. f(x) = sen x sh x - cos x eh x,

b)

sech 1

30. f(x) = x eh (x- 1)- sh (x- 1)

a)

sh- O

b)

th- 1

a)

csch -

1

2

coth -

1

3

b)

31.

9.

sh (x + y) = sh x eh y + eh x sh y

~

4

32.

g(x) = x sech x

h(x) = 2 th

X -

X

En los Ejercicios 33 y 34, probar que la función satisface la ecuación diferencial.

1 +eh 2x

eh 2

x

F'v En los Ejercicios 31 y 32, representar la función en la calculadora y aproximar sus extremos relativos.

o

th 2 x + sech 2 x = 1

8.

~

-4

1

En los Ejercicios 7-12, verificar la identidad.

7.

F'v En los Ejercicios 29 y 30, hallar los extremos relativos de la función y confirmar los resultados en la calculadora mediante una gráfica.

x=---~

2

Función

Ecuación diferencial

33.

y= a sh x

y'"- y'=

34.

y= a eh x

o y"- y= o

F'v Aproximación lineal y cuadrática En los Ejercicios 35 y 36, usar derivación simbólica para hallar la aproximación lineal

10.

sh 2x = 2 sh x eh x

11.

sh 3x = 3 sh x + 4 sh 3 x

12.

x+v x-v eh x + eh v = 2 eh - - · eh - - · . 2 2

P1 (x)

= f(a)

+ J'(a)(x - a)

y la aproximación cuadrática En los Ejercicios 13 y 14, usar el valor de la función hiperbólica dada para hallar el de las demás.

13.

th sh x = ~· eh x = sech x = eoth x =

14.

sh x = scch x =

eh x = coth x =

X=

csch x =

Pz(x)

= j'(a) + J'(a)(x

1

- a) +- f"(a)(x - a) 2 2'

a la función en x = a. Representar en la calculadora la función y las dos aproximaciones.

thx=L csch x =

35. f(x)

= th x

36. f(x)

a= 1

En los Ejercicios 15-28, calcular la derivada de la función.

= eh x

a=O

En los Ejercicios 37-52, hallar la integral.

y= sh ( 1 - x 2 )

16.

y= coth 3x

17. f(x) = In (sh x)

18.

g(x) = In (eh x)

15.

D

19.

y= In (th

21.

1 X h(x) = - sh 2x - 4 2

23. f(t) = arctg (sh t)

20.

)'=X sh

22.

h(t) = t - coth t

X-

eh

Jx Jx

37.

f sh (1 - 2x) dx

39.

f ch 2 (x-1) sh (x-l)dx 40.

f

41.

fchx -~dx sh x

42.

f sech 2 (2x- !)dx

43.

f x sech 2 x2 dx

44.

f sech 3 x th xdx

38.

f eh- d x

X

24. f(x) = e'"'

25.

g(x) = xch'

26.

g(x) = sech 2 3x

27.

y= (eh x- sh x) 2

28.

y = seeh (x + 1)

2

sh x dx 1 + sh 2 x

Ejercicios de la Sección 5.1 O

45.

f

csch (ijx) coth (1/x) X

r

2

dx

46.

f

En los Ejercicios 71-74, resolver la ecuación diferencial.

2

sh xdx

r

455

~dx 1

71.

dx

72.

eh x dx J9- sh 2 x

73.

En los Ejercicios 53-60, hallar la derivada de la función.

74.

47.

49.

-1 -2

o 25-

o .J25- x 2

2

JI- 4x 2

f

48.

X

f).¡ o

51.

dx

dx

50.

2

xJT+4xl

-4 X dx

52.

+1

x

f f

53. y= ch- 1 (3x)

(cos 2x),

57. y= coth- (sen 2x) 58. y=(csch- 1 x) 2 59. y= 2x sh 60. y = x th- 1

dy dx

(x- I)J-4x 2 + 8x- 1 x3

dy dx

1- 2x

dx

4x- x 2

75.

.v = sech -· 2 .v =O, x = -4, x = 4

76.

y

77.

y

JT+4x2 x + In JT"=7

78.

y

(2x)-

Tractriz En los Ejercicios 61 y 62, usar la ecuación de la tractriz y = a sech- 1

~-

a

Ja

2

-

79.

x 2 , a > O.

61.

Hallar dy/dx.

62.

Sea L la recta tangente a la tractriz en el punto P. Si L corta al eje y en el punto Q, probar que la distancia entre P y Q es a.

= th

2x,

68.

f f f

70.

f

~dx 1 ; 1 + e2x

64.

1;----- dx vxv'l +x

66.

'\

65.

f

67.

f -4x--1- d x x

69.

f l-4x-2x 1

2

2

dx

y

5x

J?+l 6 2

= O, x = 2 y= O, X= 2

y -

= O, X = 3, X = 5

4

Reacciones químicas

Los productos A y B se combinan en razón 3 a 1 para formar un compuesto. La cantidad x de compuesto producida en el instante t es proporcional a las cantidades que quedan sin transformar de A y B en la solución. Así pues, si se mezclan 3 kg de A con 2 kg de B, se tiene

dx 3x) ( 2dt =k ( 3 - 4

En los Ejercicios 63-70, hallar la integral indefinida usando las fórmulas del Teorema 5.22.

f

21x

dy

yX

63.

-

5 + 4x- x 2

O< x < n/4

1

1

Jso + 8x- !6x 2

X

55. y=sh- 1 (tgx) 1

dx

En los Ejercicios 75-78, calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones.

54. .v=th- 1 ~2

56. y= sech -

dy

ex

y'X

-

12x + 32)

Si en JO minutos se ha formado 1 kg del compuesto, calcular la cantidad formada en 20 minutos, resolviendo la integral

~dx -e

v;l + x3

x)

3k (x 2 ;¡: = l6

3k dtf 16 -

f

dx x 2 -12x+32

dx (";._, 80.

dx (x-I)Jx 2 -2x+2 dx (x+ I)J2x 2 +4x+8

Movimiento vertical

Un objeto se deja caer desde una altura de 400 pies. a) Expresar su velocidad en función del tiempo (despreciando la resistencia del aire). h) Hallar la función posición, utilizando el resultado de a).

456

Capítulo 5

Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes

Si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad, entonces

e)

En los Ejercicios 83-87, verificar la fórmula de derivación. 83.

dv

- = -32 + kv 2 dt

d 1 -[ch- 1 x ] = - - - 86. dx

87.

- [sech x] =-sech x th x dx

d

La ecuación del arco es y= 693,8597.;;. 68,7672 eh 0,0100333x,

-299,2239 ·~

Usando el resultado de e), calcular lím v(t) e r~"' interpretarlo. Integrar la función velocidad del apartado e) y hallar la posición s de un objeto en función de t. Representar en la calculadora la función posición para k= 0,01 y la función posición del punto b) en la misma pantalla. Estimar el tiempo adicional requerido para que el objeto alcance el suelo, cuando se tiene en cuenta la resistencia del aire.

e)

81.

Redacción

82.

Demostrar que arctg (sh x) = arcsen (th x).

d -1 1 - [sh xj= 1::2-:-;dx v' xz + ¡

JxZ=1

A/:cQ tlfl.St lAuis ~1 arco Oatewayde St Loui.s, Missou· rl, fue diseñado utilizando la función coseno hiperbólico.

afectuando la siguiente integración y simplificando el resultado:

d)

-1

xy!Í -xz

PROYECTO PARA LA SECCIÓN

=-.y{32 k th (y' 32kt) ¡;:;;:;-¡

v(t)

d -[sech - 1 xj dx

84.

85. 2

donde -32 pies/s es la aceleración de la gravedad y k una constante. Probar que la velocidad v es, como función del tiempo,

d

- l eh x l = sh x dx

Describa qué cree que sucedería si se aumentara el valor de k en el ejercicio anterior. A continuación, compruebe su opinión con un valor concreto de k.

X :S:;

299,2239

donde.x e y se n:dden en pies. Las secciones del arco son triángulos equiláteros y(x,;y) descrlhelá curva que forman los x

23.

v= ' "~

24.

y= x.y4 - x 2 ,

25.

1 y=-· X

26.

3 y=--· X

4

En los Ejercicios 1 1-14, hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno a las rectas que se especifican. 11.

y = ..;;, y = O, X = 4 a) elejex h) elejey e) la recta x = 4 d) la recta x = 6

12.

y= 2x , y = O, x = 2 el eje y h) el eje x la recta y = 8 d) la recta x = 2 2

a) e)

13.

v = x 2 , y= 4x- x 2

14.

a) elejey b) larectax=6 y= 6 - 2x - x 2 , y = x + 6 a) el eje x b) la recta y= 3

En los Ejercicios 15-18, escribir el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno a la recta y = 4. y = 3,

15.

\'=X,

16.

y = x2,

y =4

v=-•

y= O,

17.

"

X

x=

o

x= 1,

y = sec x,

y = O,

O :S; x :S;

3

En los Ejercicios 19-22, hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno a la recta x = 6. 19.

20.

V= X,

y= O,

y =6 1

21.

x=y

22.

xy = 6,

,

X,

V

y = 4,

= O,

X

X= 8

x=O,

x=!

28.

y = exfl'

y = O,

X = O,

X= 4

En los Ejercicios 29 y 30, hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno al eje y. 29.

30.

y = 3(2 - x),

y =9 - x

2

y = O,

y = O,

,

x = O

x = 2,

x = 3

('x

dx

iii)

2nf' 2 x J 7 dx o

Se perfora una esfera de radio r (véase figura) de modo que la altura del anillo esférico que queda tiene altura h. Probar que el volumen del anillo es V= nh 3/6.

Jl_ 1 ~ dx

]16- (2y)

Un sólido se genera haciendo girar

y

36.

(x - 1) dx,

r i)

la región acotada por y = )9-=-7 e y = O alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, centrado en el eje de revolución, de manera tal que el sólido pierde un tercio de su volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? 35.

ls

39.

iv)

2nf Jt - ~

v)

2n

2ax

r,

(R - x)(2j r 2

dx -

x 2 ) dx

Volumen de un cobertizo Un cobertizo tiene base circular de 80 pies de diámetro (véase figura en la página siguiente). Partiendo de su centro, se ha medido la altura interior cada 1O pies, con el resultado recogido en la tabla.

X

Altura

o

10

20

30

40

50

45

40

20

o

491

Ejercicios de la Sección 6.3 Estimar el volumen del cobertizo mediante la regla de Simpson. El techo consta de dos segmentos recto~. Hallar sus ecuaciones y calcular el volumen por integración.

a) h)

PROVECTO PARA LA SECCIÓN La no esfericidad de Saturno Saturno es el menos esférico de los nueve planetas de nuestro sistema solar. Su radio ecuatorial mide 60.268 km y su radio polar

54.364km. a) Hallar la raz:ón entre los volúmenes de la esfera y del b)

10 20 30 40

elipsoideachatado"de la figura de más abajo. Si un planeta fuese esférico· y tuviese el.qúsmo volumen que Saturno, ¿cuál sería su r.adio?

50

Distancia al centro

l'v 43.

Un modelo matemático El estanque de la figura es aproximadamente circular, con un diámetro de 400 pies. Partiendo de su centro se ha medido su profundidad cada 25 pies. La tabla da cuenta de los resultados. X

Profundidad

X

Profundidad a) h)

e)

d)

o

25

50

75

lOO

20

19

19

17

15

125

!50

175

200

14

10

6

o

Modelo de un «Saturno esférico» generado por un ordenador, cuyos radios ecuatorial y polar son iguales.· La ecuación de la sección que pasa por el polo es

x 2 + y 2 = 60.268 2

Estimar su volumen mediante la regla de Simpson. Usar la calculadora para hallar un modelo cuadrático para esos datos. Representar en ella los datos y el modelo. Usar integración en la calculadora y el modelo precedente para estimar el volumen del estanque. Con el resultado de e), aproximar cuántos galones de agua contiene el estanque ( 1 pie cúbico = 7,48 galones). Modelo de un «Saturno achatado», cuyo radio ecuatorial es mayor que el radio polar. La ecuación de la sección que pasa por el polo es

y

•

~'

20

x2 y2 ---+ ---= 1 2 60.268 54.364 2

50

]()()

150

Distancia al centro

200

492

Capítulo 6

Aplicaciones de la integral

n CONTENIDO • Longitud de arco • Área de una superficie de revolución •

l:J

_6.4_ _ _ _ _ _ _ _ __ Longitud de arco y superficies de revolución

Longitud de arco En esta sección vamos a utilizar la integración para calcular longitudes de arco de curvas planas y áreas de superficies de revolución. En ambos casos, aproximaremos un arco (una porción de curva) por segmentos de recta cuya longitud viene dada por la conocida fórmula de la distancia, a saber,

Una curva se llama rectificable si tiene longitud finita. Veremos que una condición suficiente para que la gráfica de una funciónJ: entre (a, f(a)) y (b, f(b)), sea rectificable es que{' sea continua en [a, b]. De una tal función se dice que es continuamente derivable en [a, b] y que su gráfica en el intervalo [a, b] es una curva suave. Sea y== f(x) una función continuamente derivable en [a, b]. Podemos aproximar su gráfica por medio den segmentos rectos con puntos terminales determinados por la partición

CHRI$11AN HUYGENSf1629-l695\

Et matemático holan~ Chrísdan Huygens, invento~delrelllj~ péndulo, y el materoáticóescocés Jam~ Gregory lt638·167Sl, oontribu~ron · decisivamente al problema de nallar la

a== Xo x se obtiene la sugerencia necesaria para formular la siguiente definición.

MOMENTOS YCENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA

Seanfy g continuas, conf(x) ~ g(x) en [a, b] y.cof\si~erernos la lá.Jnil)a p]aija cte

densidad uniforme p acotada por las gráficas de y-:::. f(;x), y= g(x), y a l.

Los momentos respecto al eje x y al eje y son

Mx = My

PI ~(x) ~

=p

f

g(x)J [f(x) - g(x)] dx

x[f(x) - g(x)} dx

· M M 2. El centro de masa (x, y) viene dado por x :::: ::.;:..¡; e y= 2 , m m donde m= p

r

[f(x)- g(x)] d.w.esla masade la lámina.

~ x -~

b.

Sección 6.6

519

Momentos, centros de masa y centroides

EJEMPLO 4 Centro de masa de una lámina plana Hallar el centro de masa de la lámina de densidad uniforme p acotada por la gráfica de f(x) = 4 - x 2 y el eje x.

Solución:

x = O.

Como el centro de masa ha de estar en el eje de simetría, sabemos que Además, la masa de la lámina es

m=

pf

2

(4- x 2 ) dx

-2

[

x3]2

= p 4x-3

-2

32p 3 f(x)

Para calcular el momento respecto al eje x, tomamos un rectángulo representativo, como ilustra la Figura 6.63. La distancia del centro del rectángulo al eje x es FIGURA 6.63

j(x)

4 - x2

y¡=T=-2Y puesto que la masa del rectángulo representativo es

vemos que

,.. 7

=

256p 15

Centro de masa:

• • ·-.

1

'

~[16x- 8;3 + ~si2

(o.-8)

" ... "' 5

'' •

de modo que y viene dado por -~y

_

Mx

.

m

256p/15 32p/3

V=-=---'----

y =4 -x'

FIGURA 6.64 El centro de ma'a es el punto de equilibrio.

8 5

Así pues, el centro de masa (o punto de equilibrio) de la lámina es (0, ~),como muestra la Figura 6.64. O

520

Capítulo 6

Aplicaciones de la integral

Al ser la densidad p factor común a los momentos y a la masa en el Ejemplo 4, se cancela y no aparece en las coordenadas del centro de masa. Eso significa que el centro de masa de una lámina plana de densidad uniforme depende sólo de la forma de la lámina, no de su densidad. Por esa razón se llama a veces al punto (x, Y)

Centro de masa o centroide

centro de masa de la región o centroide de la región. En otras palabras, para hallar el centroide de una región en el plano, basta suponer que es una lámina de densidad constante p = 1 y calcular el correspondiente centro de masa. f(x) =4 -x2

g(x) =x+2

EJEMPLO 5 Centroide de una región plana Hallar el centroide de la región acotada por las gráficas de f(x) = 4 - x 2 y g(x) = x + 2.

Solución: Las dos gráficas se cortan en los puntos (-2, O) y (1, 3), como vemos en la Figura 6.65. Por tanto, el área de la región es

f

A =

FIGURA 6.65 El centroide de la región es (-

1. S12). 2

¡

f!

Lf(x) - g(x)] dx =

-2

9

(2- x- x 2 ) dx =-

-2

2

El centroide (X, y) de la región tiene coordenadas

If

1 j(4y=A _ L

x

~(~)f 9 2

'fl

= -

9

2)] [(4-x 2 )-(x+2)]dx

+ (x +

1

2

(-x + x + 6)(-x 2

-

x + 2) dx

-2

(x4

-

9x 2 -4x + 12) dx

-2

[xs

= -1 ~ - 3x 3

9

)

2

2

=

2

5

-

2x 2 + 12x

Así pues, el centroide es (x, y) =

lt -2

12 5

( l'1S12) -

D

Para algunas regiones planas simples es posible encontrar el centroide sin tener que recurrir a la integración.

Sección 6.6

Momentos. cenlros de masa y centroides

521

EJEMPLO 6 Centroide de una región plana simple

Hallar el centroide de la región mostrada en la Figura 6.66a. Solución: Colocando un sistema de coordenadas como sugiere la Figura 6.66b, los centroides de los tres rectángulos son a) Región original

Usando estos puntos, podemos hallar el centroide de la región dada. A = Área de la región = 3 + 3 + 4 = 1O X= (1/2)(3) h) El centroide de la región es (2,9, 1)

FIGURA 6.66

' ~ola. En el ejemplo 6 conviene hacer notar que (2,9, 1) no es el «promedio>> de

X= (3/2)(3)

+ (5/2)(3) + (5)(4) 10

= 29 = 2 9 10

,

+ (1/2)(3) + (1)(4) = ~ = l 10 10

Por consiguiente, el centroide de la región es (2,9, 1).

o

(~2, ~) 2 , (~2, ~) 2 , y El teorema de Pappus

(5, 1).

Cerramos esta sección con un teorema útil atribuido a Pappus de Alejandría (hacia el 300 d. C.), un matemático griego cuya Colección Matemática, en ocho volúmenes, es un compendio de gran parte de la matemática griega clásica. Relegamos la demostración de este teorema hasta la Sección 13.4 (Ejercicio 47).

TEOREMA 6.1

EL TEOREMA DE PAPPUS

Sea R una región del plano y sea L una recta de ese plano que no corta el interior de R (véase Figura 6.67). Sir d.enota la distancia del centroide de R a la recta L, el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la región R en torno a la recta L es V= 2nrA

donde A es el área de R. (Nótese que 2n:r es la distancia recorrida por el centroide al girar la región en tomo a la recta.) FIGURA 6.67 El volumen Ves 2nrA donde A es el área de la región R.

Gracias al teorema de Pappus es fácil calcular el volumen de un toro, como haremos en el próximo ejemplo. Recordemos que, en Matemáticas, un toro es un sólido en forma de rosquilla generado cuando una región circular gira en torno a una recta que está en su mismo plano y que no corta al círculo.

522

Capítulo 6

Aplicaciones de la integral

EJEMPLO 7 Aplicación del teorema de Pappus al cálculo de un wlumen Hallar el volumen del toro generado al hacer girar la región circular acotada por (x - 2) 2 + y 2 = 1 en torno al eje y, como muestra la Figura 6.68a. l'

(x

~

2)2 +y' ~ 1

1

-3

Toro h)

a)

FIGURA 6.68

EXPLORACIÓN Usar el método de las capas para probar que el volumen del toro viene dado por

V=

f

4nx

J1 -

Solución: En la Figura 6.68b vemos que el centroide de la región circular es (2, 0). Por tanto, su distancia al eje de giro es r = 2. Y como el área de la región circular es A = n, el volumen del toro resulta ser V= 2nrA

2

(x - 2) dx

2n(2)(n) Calcular esta integral con ayuda de la calculadora. ¿Coincide el resultado con el del Ejemplo 7?

~

D

39,5

Ejercicios de la Sección 6.6 En los Ejercicios 1~4, hallar el centro de masa de las masas puntuales situadas en los puntos del eje x que se especifican. 1.

2.

= 6, 1112 = 3, 1113 = 5 x 1 =-5,x 2 =l,x 3 =3

111¡

m1 x1

3.

111 1 x1

= 7, 111 2 = 4, 111 3 = 3, 111 4 = 8 = -3, x 2 = -2, x 3 = 5, x 4 = 6 = !,111 2 = l,m 3 = 7, x 2 = 8, x 3 =

= l,x 4 = 1,111 5 = 1 12, x 4 = 15, x 5 = 18

4.

m 1 = 12,111 2 = 1,111 3 = 6,111 4 =3,111 5 = 11 x 1 = -3, x 2 = -2, x 3 = -1, x 4 =O, x 5 = 4

5.

Razonamiento gráfico a)

b)

Trasladar cada masa puntual del Ejercicio 3 a la de~ recha cinco unidades y hallar el centro de masa re~ sultante. Trasladar a la izquierda tres unidades cada masa del Ejercicio 4 y determinar el centro de masa resultante.

6.

A la vista del resultado del Ejercicio 5, es~ tablccer una conjetura acerca del centro de masa resul~ tante al trasladar k unidades cada una de las masas del sistema.

Conjetura

En los Ejercicios 7 y 8, considera~ m os una tabla de longitud L y con punto de apoyo a x pies de un extremo (véase figura). Si se colocan pesos W 1 y W 2 en los dos extremos de la tabla, hallar el valor de x que hace que el sistema esté en equilibrio.

Problemas de Estática

w,

523

Ejercicios de la Sección 6.6 7.

Dos niños, que pesan 50 y 75 libras, juegan en un columpio de 1O pies de largo.

8.

Para mover una roca de 550 libras, una persona que pesa 200 libras quiere balancearla con un tablón de 5 pies de longitud.

En los Ejercicios 9-12, localizar el centro de masa del sistema de masas puntuales dado.

22.

x=2y-y 2 ,x=O

23.

X

= -y, X = 2y -

24.

X

= y + 2, X = y 2

y2

En los Ejercicios 25-28, escribir y calcular las integrales que dan el área y los momentos respecto de los ejes x e y de la región acotada por las gráficas de las ecuacioens. (Supóngase p = l.)

9. 5

1

3

(2, 2)

(-3, 1)

(1, -4)

10

2

5

(1' -1)

(5, 5)

(-4, 0)

m; (X¡,

y¡)

10. m; (X¡,

y¡)

3

4

(X¡, y¡)

(-2, -3)

(-1, 0)

27. 28.

~

4

y

= 2x + 4, y = O, O ~

x

y

=x 2

-

4, y

~

3

=O

y= 10x..Jl25- x 3 ,v=0 xe~x;z,

y= O. X= O, X= 4

1

6

30.

y=

(7, 1)

(0, O)

(-3, 0)

31.

Sección prefabricada de un edificio y= 5 ~400 - x 2 , y= O

(X¡o

y¡)

5

4

2

-

(2, 3)

(-1, 5)

(6, 8)

nz¡

2

5

32.

Hechicera de Agnesi

(2, -2)

V=

·

En los Ejercicios 13-24, hallar M x• M Y' y (x, y) para las láminas de densidad uniforme p acotadas por las gráficas de las ecua o .V< ? Explicar la respuesta.

2

0\ 37.

2

e)

2

d)

Hallar, por integración, y en función de 11. Completar la tabla usando el resultado del apartado e).

e)

Hallar lím y.

f)

Dar una explicación geométrica del resultado de e).

Semielipse

Hallar el centroide de la región acotada h ~-por las gráficas de y = a 2 - x 2 e y = O (véase

J

(l

figura) ~ 41.

Un modelo matemático Un fabricante de vidrio debe aproximar el centro de masa del vidrio de la ventana de la figura de la página siguiente, en la que aparece superpuesto un sistema de coordenadas. Las medidas, en centímetros, para la mitad derecha de la pieza de vidrio simétrica vienen dadas en la tabla.

X

38.

Región parabólica Hallar el centroide de la enjuta parabólica de la figura.

X

o

10

20

30

40

y

30

29

26

20

o

Ejercicios de fa Sección 6.6 Usar la regla de Simpson para aproximar el centro de masa de ese vidrio. Hallar, con ayuda de calculadora, un modelo polinómico de grado cuatro para esos datos. Usar integración en la calculadora y el modelo anterior para aproximar el centro de masa del vidrio. Comparar el resultado con el del apartado a).

a)

b) e)

re, 42.

1

20

h) e)

Hallar el centro de masa de la lámina del Ejercicio 43 en el supuesto de que la porción circular tuviera densidad doble que la parte cuadrada.

48.

Hallar el centro de masa de la lámina del Ejercicio 43 en el supuesto de que la porción cuadrada tuviera densidad doble que la parte circular.

X

o

0,5

1,0

1,5

2

En los Ejercicios 49-52, usar el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido de revolución.

l

!,50

1,45

1,30

0,99

o

49.

d

0,50

0,48

0,43

0,33

o

El toro generado al girar el círculo (x- 5) 2 + y 2 torno al eje y.

SO.

El toro generado al girar el círculo x 2 + (y- 3) 2 = 4 en torno al eje x.

51.

El sólido de revolución que se obtiene al hacer girar, en torno al eje x, la región acotada por las gráficas de y =x, y= 4 y X= O.

52.

El sólido de revolución que se obtiene al hacer girar, en torno al eje y, la región acotada por las gráficas de

Usar la regla de Simpson para aproximar el centro de masa de la sección del casco. Hallar, con ayuda de caluladora, un modelo polinómico de grado cuatro para las dos curvas de la figura. Usar integración en la calculadora y el modelo anterior para aproximar el centro de masa de la sección del casco. Comparar el resultado con el del apartado a).

-1,0

1,0

2,0

En los Ejercicios 43-46, introducir un sistema de coordenadas apropiado y hallar las coordenadas del centro de masa de la lámina plana. (La respuesta depende de la posición del sistema de coordenadas elegido.)

!¡:,,G . . i _ ·- · - ·- ·- ·- · · - . -._. ,.....__ 2 ----...

....._¡_...

= 16 en

En los Ejercicios 53 y 54, usar el segundo teorema de Pappus. Si un segmento de una curva plana e gira en torno a un eje que no corta a la curva (excepto quizás en sus puntos terminales), el área S de la superficie de revolución resultante es el producto de la longitud de e por la distancia d recorrida por el centroide de C.

X

-2,0

43.

46.

47.

40

Un modelo matemático El fabricante de un bote desea aproximar el centro de masa de una sección del casco. En la figura se ha superpuesto un sistema de coordenadas. La tabla recoge las medidas, en pies, para la mitad derecha del prototipo simétrico de la figura.

a)

45.

H--z--

~-~X

-40 -20

525

53.

Se genera una esfera haciendo girar la gráfica de y= r 2 - x 2 en torno al eje x. Usar la fórmula del área para hallar el centroide del semicírculo y= r 2 - x 2.

J

J

54.

Calcular el área del toro generado al girar la gráfica de (x- 1) 2 + y 2 = l en torno al eje y.

SS.

Sean ~ 1 constante y consideremos la región acotada porf(x) = x", el eje x y x = l. Hallar el centroide de la región. Cuando 11 --> ex_. ¿qué aspecto tiene la región y dónde está su centroide?

526

Capítulo 6

CONTE~IDO • Presión y fuera de un !luido •

Aplicaciones de la integral

0

_6.7_ _ _ _ _ _ _ _ __ Presión y fuerza de un fluido

Presión y fuerza de un fluido Los submarinistas saben bien que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido, mayor es la presión sobre él. La presión se define como la fuerza por unidad de área en la superficie de un cuerpo. Por ejemplo, como una columna de agua de 10 pies de altura y 1 pulgada cuadrada pesa 4,3 libras, la presión del fluido a 1O pies de profundidad es 4,3 libras/pulg 2 *. A 20 pies, sería ya de 8,6 libras/pulg 2 y en general la presión es proporcional a la profundidad del objeto en el fluido.

DEFINICIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO La presión de un objeto a una profundidad h en un líquido es Presión = P

=wh

donde w es la densidad de peso (el peso de la unidad de volumen) del líquido. La tabla adjunta muestra varios pesos por unidad de volumen de fluidos comunes. Pascal es bien conocido por sus contribuciones adiversas áreas de las Matemáticas Vde la ~ísica, as( como por su influencia sobre leibQiz. Aunque buena parte áe su obra en Cálculo fue intuitiva vcarente del rígor exigible en las modernas Matemáticas, Pascal anticípó muchos resu~ados relevantes.

Alcohol etílico Gasolina Glicerina Keroseno Mercurio Agua del mar Agua

49,4 41,43,0 78,6 51,2 849,0 64,0 62,4

Al calcular la presión de un fluido puede usarse una ley física importante (y sorprendente), llamada principio de Pascal, que debe su nombre al matemático francés Blaise Pascal. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a profundidad h se transmite exactamente igual en todas direcciones. Así, en la Figura 6.69 la presión a la profundidad indicada es la misma para los tres objetos. Puesto que la presión del fluido viene dada en términos de fuerza por unidad de área (P = F/A), la fuerza de un fluido sobre una superficie de área A sumergida horizontalmente es Fuerza del fluido

= F = PA

= (presión)(área)

* La presión total sobre un objeto sumergido a 1O pies de profundidad en el agua incluiría también, en realidad, la presión atmosférica, que al nivel del mar es de unas 14,7 libras/pulg 2 •

Sección 6. 7

527

Presión y fuerza de un fluido

t h

_j

FIGURA 6.69 La presión a profundidad h es la misma para los tres objetos.

EJEMPLO 1 Fuerza de un fluido sobre una lámina Hallar la fuerza ejercida sobre una lámina metálica rectangular de 3 por 4 pies, sumergida en agua a 6 pies de profundidad (véase Figura 6.70).

Solución: Como el peso por unidad de volumen del agua es 62,4 Iibras/pie 3 , la presión del fluido es p = (62,4)(6)

p = 11'h

= 374,4 libras por pie cuadrado

El área total de la lámina es A = (3)( 4) = 12 pies 2 , así que la fuerza del fluido es

FIGURA 6.70 La fuerza del !luido sobre una lámina horizontal es 1gual a la presión del !luido por el área de la lámina.

libras

F = PA = ( 374,4 . p1e cuadrado

)

(12 pies cuadrados)

= 4.492,8 libras

Este resultado es independiente del tamaño del contenedor de agua. La fuerza ejercida por el fluido sería la misma en una piscina que en un lago. D

X

En el Ejemplo 1, al ser la lámina rectangular y horizontal no hemos necesitado el Cálculo para resolverlo. Observemos ahora una superficie sumergida verticalmente, problema ya más difícil debido a que la presión no es constante sobre toda la superficie. Consideremos la lámina de la Figura 6. 71, sumergida verticalmente en un fluido de peso w por unidad de volumen. Para calcular la fuerza ejercida sobre una cara, entre las profundidades e y d, podemos partir el intervalo d] en n subintervalos, cada uno de anchura Liy. A continuación, tomamos un rectángulo representativo de anchura Liy y longitud L(y¡), donde y¡ está en el i-ésimo subintervalo. La fuerza ejercida sobre este rectángulo es

re,

FIGURA 6.71 Para hallar la fuerza del fluido sobre una lámina vertical es necesario recurrir a los métodos del Cálculo.

L1F¡ = w(profundidad)(área) = wh(y¡)L(y¡) Liy

528

Capítulo 6

Aplicaciones de la integral

La suma de las fuerzas sobre los n rectángulos es 11

I

11F; = w

i= 1

I

h(y¡)L(y;) f.,.y

i= 1

Nótese que hemos considerado w constante y lo hemos factorizado fuera de la suma. Por tanto, el límite cuando 111111 --+O (n --+ oo) sugiere la siguiente definición.

DEFINICIÓN DE LA FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO

La fuerza F ejercida por un fluido de peso w por unidad de volumen sobre una región plana sumergida verticalmente en él, entre y= e e y=:= d" . .es .· "n

F = w lím

E h(y1)L(y1) Ay

. UAII7U í"=l

.·.·

donde h(y) denotala profundi9ad del flllido tal de la región en y.

EJEMPLO 2 Fuerza del fluido sobre una superficie vertical Una compuerta de una presa tiene forma de trapecio con las medidas que se especifican en la Figura 6.72a. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta si la parte superior de ésta se halla a 4 metros de profundidad?

Solución: Tenemos libertad para colocar Jos ejes x e y donde queramos con el fin de expresar el problema en términos matemáticos. Una forma conveniente consiste en tomar el eje y pasando por los puntos medios de sus lados paralelos y el eje x en la superficie del agua (véase Figura 6. 72b ). Así pues, la profundidad del agua, en pies, en y es

a) Compuerta de una presa

Profundidad = h(y) = -y Para hallar la longitud L(y) de la región en y, escribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, -9) y (4, -4):

y-(-9)= h)

La fuerza ejercida por el fluido sobre la compuerta es 13.936 libras

FIGURA 6.72

-4 - (-9)

4 - 3

y+ 9 = 5(x- 3) y= 5x- 24

y + 24 x=~~-

5

(x-3)

Sección 6.7

529

Presión y fuerza de un f7uido

En la Figura 6.72b vemos que la longitud de la región en y es Longitud = 2x =

2

5 cy + 24)

= L(y)

Finalmente, integrando desde y = -9 hasta y = -4 obtenemos para la fuerza ejercida por el agua F = w

r

= 62,4

h(y)L(y) dy

f~: (-y)G)cy + 24) dy

= -62,4(D

f~: (y

2

+ 24y) dy

3

= -62,4G)[Y + l2y

2

3

1:

= -62,4G)(-1;75)

= 13.936 libras

D

Nota. Hacer coincidir el eje x con la superficie del agua en el Ejemplo 2 era conveniente, pero arbitrario. Al elegir un sistema de coordenadas para describir una situación física, deben considerarse diversas posibilidades. Con frecuencia se simplifican los cálculos en la resolución de un problema si se localizan los ejes aprovechando las características especiales de la situación, en particular sus posibles simetrías. 1

y

k

EJEMPLO 3 Fuerza de un fluido sobre una supeificie vertical

8 '

Una ventana de observación circular en un buque de investigación científica tiene un radio de 1 pie y su centro sumergido a 8 pies de profundidad bajo el agua, como muestra la Figura 6.73. Calcular la fuerza ejercida por el agua sobre la ventana.

8-y

Solución: Con el fin de sacar ventaja de la simetría, adoptamos como origen de coordenadas el centro de la ventana (véase Figura 6.73). De ese modo, la profundidad en y es X

FIGURA 6.73 La fuerza ejercida por el fluido sobre la ventana es 1.608.5 libras.

Profundidad = h(y) = 8 -y La longitud horizontal de la ventana es 2x, así que usando la ecuación del círculo, x 2 + y 2 = 1, para despejar x obtenemos Longitud= 2x = 2 j l 7 = L(y)

530

Capítulo 6

Aplicaciones de la integral

Finalmente, como y varía entre -1 y 1, tomando 64 libras/pie 3 como densidad de peso del agua de mar, vemos que

F = w

r

h(y)L(y) dy

r

= 64

(8 _ y ) ( 2 ) j l 7 dy

1

A primera vista esta integral parece difícil de resolver. Sin embargo, si se rompe en dos partes y se aplica la simetría, la solución es simple.

F = 64(16)

rl

fi7

dy _ 64(2)

rl

y J T 7 dy

La segunda integral es O, ya que el integrando es impar y el intervalo de integración es simétrico respecto del origen. Además, reconocemos que la primera integral representa el área de un semicírculo de radio 1, luego

F

=

64(16{~)- 64(2)(0)

= 512n ~

]()

1.608,5 libras

Por tanto, la fuerza ejercida por el agua sobre la ventana es de 1.608,5 libras.

D

S~ puede verificar el resbltado del Ejemplo 3 utilizando la regla de Simpson para aproximar el valor de

FIGURA 6.74 .fno es derivable en x =±l.

Sin embargo, la gr@c~ de

nos haée ver que f no es. derivable en x =.~l. Bst@ significa q~ti ~o es aplicabl~ el Teo~ema4~1~·. cl,elaSección~.~·iJa~~&~lla~ el~~or ~n la regla de .Simpsop y~··~ ~~s:~~~ns~~cias,conocer un·valorapro· ximadocarece dé interés. lntente•~ximat esaintegral con.ayuda ®•la ca,lculadora. ·

Ejercicios de la Sección 6. 7

531

Fuerza sobre una lámina sumergida En los Ejercicios 1 y 2, se da el área de la cara superior de una lámina metálica, sumergida a 5 pies de profundidad en agua. Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la cara superior de la lámina.

Fuerza del agua En los Ejercicios 11-14, hallar la fuerza ejercida por el fluido sobre una placa sumergida en agua (que pesa 1.000 kg/m 3 ), cuyas dimensiones vienen dadas en cada figura.

l.

11.

Ejercicios de la Sección 6.7

3 pies cuadrados.

2.

18 pies cuadrados.

Fuerza de .flotación En los Ejercicios 3 y 4, hallar la fuerza de flotación de un sólido en forma de paralelepípedo de las dimensiones que se especifican, sumergido en agua con su cara superior paralela a la superficie del agua. La fuerza de flotación es la diferencia entre las fuerzas ejercidas por el fluido sobre las caras superior e inferior del sólido.

12.

Rombo 1 1

I:

f

~~~

2

#

f

4.

3.

Cuadrado

2

.

.·······~

r 13.

Triángulo

14.

Rectángulo

• 3

Fuerza de un .fluido sobre la pared de un depósito En los Ejercicios 5-l O, calcular la fuerza del fluido sobre la pared vertical del depósito, cuyas dimensiones se dan en pies. Se supone que el depósito está lleno de agua. 5. Rectángulo

-4-

Dl

7. Trapecio

-4-2-

9. Parábola, y= x

2

6.

1

¡-69

Triángulo

Fuerza sobre una estructura de hormigón En los Ejercicios 15-18, la figura muestra la pared vertical de una estructura de hormigón, que pesa 140,7 libras/pie 3 . Determinar la fuerza ejercida sobre la pared. 8.

Semicírculo

15.

Rectángulo L __ _ _ _ _ _

16.

_JI 2 pies

-IOpies-

Semielipse 3 y=-- J16- x 2

4

,._4pies1 1

i1 3pies 10.

Semielipse 1

y=-- J36 - 9x 2

1 1

17.

2

Rectángulo

LJ

--6pics-

19.

18. ~

1

4pies

Triángulo -6pies----

~~

4p~

1

Fuerza de fluido de la gasolina Un depósito cilíndrico de gasolina (que pesa 42 libras/pie 3 ) está colocado

532

Capítulo 6

Aplicaciones de la integral

con su eje horizontal. Calcular la fuerza ejercida por la gasolina sobre una de las paredes circulares si el depósito está medio lleno y el diámetro es 3 pies. 20.

21.

22.

Fuerza de fluido de la gasolina Repetir el Ejercicio 19 suponiendo el depósito completamente lleno. (Calcular una integral mediante una fórmula geométrica y la otra observando que el integrando es impar.) Una placa circular de radio r pies está sumergida verticalmente en un fluido que pesa w libras/pie 3 . El centro del círculo está a k (k > r) pies de profundidad. Probar que la fuerza ejercida por el fluido sobre la superficie de la placa es

Compuerta de un canal de riego

La sección vertical de una compuerta de un canal de riego se ajusta al modelo

donde x se mide en pies y x = O con·esponde al centro del canal. Usar integración en la calculadora para estimar la fuerza del fluido sobre la compuerta si hay 3 pies de profundidad de agua.

Fuerza de un fluido sobre una placa circular

(\, En los Ejercicios 27 y 28, usar integración en la calculadora para estimar la fuerza ejercida por el agua sobre la placa vertical acotada por el eje x y la mitad superior de la gráfica de la ecuación. Supóngase la base de la placa a 12 pies de profundidad bajo el nivel del agua.

Fuerza de un fluido sobre una lámina rectangular Una lámina rectangular de base by altura h (ambos en pies) está sumergida verticalmente en un fluido que pesa w libras/pie 3 . Su centro está a k pies de profundidad. Comprobar que la fuerza ejercida por el fluido sobre esa lámina es F

23.

26.

xl 27.

29.

24.

Portilla de un submarino

25.

Diseño de yates

Repetir el ejercicio anterior para una portilla circular de 1 pie de radio, cuyo centro está a 15 pies de profundidad. La figura muestra una sección de un yate con un sistema de coordenadas superpuesto. La tabla da, en pies, la anchura w en ciertos valores de y. Estimar la fuerza del fluido sobre el casco del yate. 1

o

-

w

o

3

2

1 5

3 -

2 8

Aproximar la profundidad del agua en el depósito del Ejercicio 5 si la fuerza del fluido es la mitad de la que produce cuando está lleno. 3 Explicar por qué la respuesta al apartado a) no es-. 2

= wkhb

Una portilla vertical de un submarino, sumergido en el agua, es un cuadrado de 1 pie de lado. Hallar la fuerza del fluido sobre ella, suponiendo que el centro del cuadrado está a 15 pies de profundidad.

X

Para pensar a)

b)

Portilla de un submarino

5

2

-

9

10 10,25

2

3

7 -

2 10,5

4

30.

yz

-+-=1 28 16

28.

Diseño de una piscina

La piscina de la figura tiene como base un plano inclinado. Calcular la fuerza ejercida por el agua sobre cada una de las paredes verticales.

1 1 t

20 pies

8 pies

i

10,5 (40. 4)

___ \ . _18

r--

t· 40

1

10

w

20

30

y X

(Ayuda: Hay que escribir dos integrales, una para O

~

y

~

4 y otra para 4

~

y

~

8.)

533

Ejercicios de repaso del Capítulo 6

Ejercicios de repaso del Capítulo 6 En los Ejercicios 1-LO, dibujar un croquis de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y calcular su área.

l. y

1

=2, y = O, X = 1, X = 5

2.

y

X

3.

4.

\"

·

X

~

=5

VJ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r2

2y,

-

X

= -], y

Año

=0

20.

3

= )" 2 + 1, X = y + 3

Ventas por tarjetas de crédito Las ventas anuales s, en millones de dólares, de VISA, Mastercard y American Express. entre 1983 y 1992, admiten estos modelos:

8. v = cosec x, v = 2 (una región) 9.

lO.

.\" = sen

X.

-V = COS 1

t

n

5n

~ X ~ -

X, -

n

= COS y, X=--,2 3

4

gión acotada por las gráficas de las ecuaciones y hallar, usando integración en la calculadora, el área de la región.

=x2

-

8x + 3, y

12. y= x 2

-

4x + 3, y= x 3 , x =O

+ /~·=

13.

= 3 + 8x- x 2

21.

l,v=O,x=O

e)

En los Ejercicios 15-18, escribir integrales que repre'enten el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, usando rectángulos representativos horizontales y verticales. Calcular el área evaluando la integral que sea más 'encilla. r

2

2y,

X =

0

X

17. .\" = ] --, 2 -y 18.

Y

=

,/x -

=X-

1, v

16.

2, -y

y=Jx-

22.

2 --

=1

American Express

= 6,214t + 10,345

=

25.

26.

X = 4 el eje x la recta x = 4

y';, V

= 2,

X

h)

d)

el eje x

h)

e)

el eje y

d)

la recta y= 2 la recta x = -1

Y2

-+'---=1 16 9

a)

el eje y (esferoide oblongo)

h)

el eje x (esferoide pro lato)

a)

el eje y (esferoide oblongo)

h)

el eje x (esferoide prolato)

7

v-

-+'---= h2

a2

el eje y la recta x = 6

=0

a)

xz 24.

= 2, y = O, x = O

19. Para pensar Una persona tiene dos ofertas de trabajo. El salario inicial es $30.000 en ambas y a los 1O años de servicio, cada una de ellas pagará $56.000. El incremento salarial en cada una está dibujado en la figura. Desde un punto de vista estrictamente monetario, ¿,cuál es la mejor oferta? Explicar la respuesta.

V

xz 23.

x- 1 l,r=-

~-

-

Mastercard

y = X, y = O, a)

Arca

X =

S= 8,58lt + 6,965

Volumen En los Ejercicios 21-28, calcular el volumen del sólido generado por revolución de la región plana acotada por las ecuaciones en torno a la recta indicada.

14. r = x+- 2x 2 • y= 2x 2

15.

VISA

donde 3 ~ t ~ 12 representa el período de 1O años que va de 1983 a 1992. (Fuente: Credit Card News.) a) En ese período ¿en cuánto superaron las ventas de VISA a las de Mastercard'l h) ¿Y las de VISA a las de American Express'?

7n 3

~ V ~ -

.

S= 15,9696t-6,3J8

.1

4

r1" En los Ejercicios 11- 14, representar en la calculadora la re-

11. r

~~--~~·-;

20.000

1

X=

X

1 ;:z, y = 4,

40.000

=x- V = 0 ' X = -1 ' X = 1 2 + 1 '·

5. v = x, y= x 6.

=

60.000

g

1 v=~~- v=O x=O x= 1 · x 4 + 1 '· ' ' en torno al eje y y =

..ji+?, V

en torno al eje x

= 0,

X

= -1,

X

=

534

27.

28.

Capítulo 6

V

1

=

, V = O,

"(1+~)· en torno al eje y

X

Aplicaciones de la integral

= 2,

X

= 6

y= e-x. y= O, X= O, X= 1 en torno al eje x

38.

Área de una superficie La región acotada por las y = O, y x = 3 gira en torno al eje x. gráficas de y = Hallar el área superficial del sólido generado.

39.

Trabajo Determinar el trabajo realizado al estirar un muelle desde su longitud natural de 1O pulgadas hasta 15 pulgadas, sabiendo que es necesaria una fuerza de 4 libras para estirarlo 1 cm desde su posición natural.

40.

Trabajo Determinar el trabajo realizado al estirar un muelle desde su longitud natural de 9 pulgadas hasta 18 pulgadas, sabiendo que es necesaria una fuerza de 50 libras para ello.

41.

Trabajo Un pozo de agua tiene 8 pulgadas de diámetro y 175 pies de profundidad. Si el agua llega a 25 pies de la parte superior del pozo, calcular el trabajo necesario para vaciarlo, supuesto que durante el vaciado no entra agua en él.

42.

Trabajo Repetir el Ejercicio 41 suponiendo ahora que está entrando agua en el pozo a razón de 4 galones por minuto y que la bomba vacía 12 galones por minuto. ¿Cuántos galones hay que bombear en este caso?

43.

Trabajo Una cadena de 1O pies de longitud pesa 5 libras/pie y está colgada de una plataforma situada a 20 pies sobre el nivel del suelo. ¿Cuánto trabajo hay que hacer para subir toda la cadena hasta la plataforma?

44.

Trabajo El trabajo realizado por una fuerza variable cuadrática, del tipo F = ax 2 , en una presa es de 80 libras-pies. La presa se mueve 4 pies. Hallar a.

45.

Trabajo Calcular el trabajo realizado por la fuerza de la figura.

En los Ejercicios 29 y 30, consideramos la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y

= x fx+l

ey

= O.

29.

Área

30.

Volumen Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar esa región en torno al a) eje x y b) eje y.

31.

32.

Calcular el área de la región.

Gasolina en un depósito Un depósito de gasolina es un esferoide oblato generado al hacer girar, en torno al eje y, la región acotada por la gráfica de (x 2 /16) + + (y 219) = 1, donde x e y se miden en pies. Hallar la profundidad de la gasolina cuando el depósito está lleno en un cuarto de su capacidad. Tamaño de la base La base de un sólido es un círculo de radio a y sus secciones verticales son triángulos equiláteros. Calcular el radio del círculo si el sólido tiene 10m 3 de volumen.

Longitud de arco En los Ejercicios 33 y 34, hallar la longitud de arco de la gráfica de la función en el intervalo indicado. 33. j(x)

4

= -X 5 /4 ,

34.

[0, 4]

5

('-v

35.

y•

1

= -6 x 3

1 + - [ 1 3] 2x' '

Longitud de una catenaria Un cable de suspensión de un puente tiene la forma de una catenaria de ecuación y= 300 cosh

(-x-)2.000

2Jx,

280, -2.000 :S; x :S; 2.000 4

donde x e y se miden en pies. Utilizar la calculadora para estimar la longitud del cable. 36.

2

Aproximación Determinar qué valor aproxima mejor la longitud de arco dada por la integral ni4

f

J!

+ (sec 2 x) 2 dx

4

6

8 lO

Pies

Centroides En los EJercicios 46-49, hallar el centroide de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones.

0

(Elegir atendiendo a un dibujo del arco, no haciendo cálculos.) a) -2 b) e) n d) 4 e) 3 37.

Área de una superficie Hallar, por integración, el área lateral de un cilindro circular recto de altura 4 y radio 3.

46.

Jx + .JY = Ja,

47.

y= x 2, y= 2x + 3

48.

y= a 2 - x 2, y= O

49.

1 213 .V= x ' y= -x 2

X

= O, y =

o

535

Ejercicios de 1~pnso del Cnpítulo 6 50. Centroide Un cabrestante, situado en lo alto de un edificio, a 200 pies sobre el suelo, utiliza un cable que pesa 4 libras/pie. Hallar el trabajo requerido para izar el cable si a) un extremo está al nivel del suelo, b) hay un peso de 300 libras atado al extremo del cable.

3 -4

51. Centroide lina.

Corte una pieza irregular en una cartu-

a) b)

Coloque un lápiz vertical bajo la pieza y muévalo hasta dar con el centroide. Divida la pieza en elementos representativos. Efectúe las medidas pertinentes y estime numéricamente el centroide. Compare el resultado con el del apartado a).

52.

Fuerza de un fluido Una piscina rectangular, de 40 por 20 pies, tiene como fondo un plano inclinado, con profundidades que van de 5 a 1O pies. Si está llena de agua, calcular la fuerza sobre las paredes verticales.

53.

Fuerza de un fluido Probar que la fuerza de un t1uido sobre cualquier región vertical en un líquido es el producto del peso por unidad de volumen del líquido, el área de la región y la profundidad del centroide de la región.

54.

Fuerza de un fluido Usando el resultado del Ejercicio 53, calcular la fuerza del fluido sobre una cara de una placa circular vertical de 4 pies de radio, sumergida en agua con su centro a una profundidad de 5 pies.

Capítulo 7 MOTIVACIÓN DEL CAPÍTULO El mapa de Mercator

Vuelo con rumbo constante de 45 .

Mapa plano usual: vuelo con rumbo constante de 45.

En el vuelo y en la navegación, los pilotos desean disponer de un rumbo fijo. Eso resulta difícil en un mapa plano usual, porque una trayectoria de rumbo fijo aparece en ellos en forma de línea curva, como muestran las dos primeras figuras adjuntas. Para que esas líneas aparezcan como rectas en un mapa plano, el geógrafo flamenco Gerardus Mercator (1512-1594) se dio cuenta de que las líneas de latitud constante han de sufrir un factor de escala sec cp, donde cjJ denota el ángulo de latitud. Para que el mapa preserve los ángulos entre las líneas de latitud y las de longitud, también estas últimas deben sufrir esa misma dilatación de factor sec cjJ en latitud cjJ. En el mapa de Mercator, las líneas de latitud constante no son equidistantes, como vemos en la figura del margen de la página siguiente. Para calcular estas longitudes verticales, imaginemos un globo con líneas de latitud marcadas cada !J.cp radianes, con !J.cp = cjJ¡ - cjJ¡ _1• La longitud de arco de líneas de longitud sucesivas es R!J.cp. En el mapa de Mercator, la distancia vertical entre el ecuador y la primera línea de latitud es R!J.cp sec cjJ 1 • La distancia vertical entre la primera y la segunda líneas de latitud es R!J.cp sec cjJ2 , la distancia vertical entre la segunda y la tercera líneas de latitud es R!J.cp sec cjJ3 , etc. (véase figura de la parte superior de la página siguiente). Sobre el globo, el ángulo entre líneas de latitud consecutivas es !J.cjJ, y la longitud de arco entre ellas es R!J.cp (figura izquierda de la parte superior de la página siguiente). En un mapa de Mercator la distancia vertical entre la (i- 1) y la i-ésima línea de latitud es R!J.cp sec cjJ¡ y la distancia del Ecuador a la i-ésima línea de latitud es aproximadamente R!J.cp sec cjJ 1 + R!J.cp sec cjJ2 + · · · + R!J.cp sec cjJ¡

536

CUESTIONES

Mapa Mercator: vuelo con rumbo constante

de 45.

l.

Escribir en notación sigma una expresión para calcular a qué distancia del Ecuador hay que dibujar la línea de latitud cp,.

2.

En los cálculos anteriores Mercator apreció que cuanto menor era el valor asignado a f!cp mejor era el mapa obtenido (en el sentido de que las rectas se podían usar muy exactamente como rumbos fijos). A partir de su conocimiento del Cálculo, ¿cómo podría usar esa observación de Mercator para calcular la distancia vertical total que dista una línea de latitud del Ecuador?

3.

Usar el resultado de la Cuestión 2 para determinar a qué distancia del Ecuador han de colocarse las líneas de latitudes lOo, 20°, 30°, 40° y 50°. (Usar un globo de radio R = 6 pulgadas.)

4.

¿Hay algún problema cuando intenta calcular la distancia del Polo Norte al Ecuador?

537

7 Técnicas de integración, regla de L'Hopital e integrales impropias CONTENIDO • Adaptación de integrandos a las reglas básicas •

0

_7.1_ _ _ _ _ _ _ _ __ Reglas básicas de integración

Adaptación de integrandos a las reglas básicas En este capítulo presentaremos varias técnicas de integración que extienden de forma muy notable la familia de integrales resolubles por aplicación de las reglas básicas (véase pág. 442). Un paso crucial en la resolución de integrales consiste en reconocer la regla de integración más adecuada, cosa nada fácil. Como muestra el Ejemplo 1, ligeras diferencias en el integrando pueden exigir técnicas de resolución muy distintas. EXPLORACIÓN

Comparación de tres integrales similares ¿Cuál de las siguientes integrales, sí hay alguna, puede calcularse usando las 20 reglas básicas de integración? Para aquellas en que sea posible, hallarlas así. Para las que no sea factible, explicar la razón.

EJEMPLO 1 Comparación de tres integrales parecidas Hallar las integrales: a)

4 f~dx x +9

b)

2

f

4x

---dx x2 + 9

Solución: a)

Usamos la regla de la arcotangentc con u = x y a = 3 4

b)

e)

538

f

hdx

f ~dx

e)

2 + 9 dx=4f-x- + 3- dx f~ 1

7-

X

7

X) + e

= 4 ( -J arctg -

3

3

4

X

3

3

=- arctg-

+e

Sección 7.1

Reglas básicas de integración b)

539

Aquí no es aplicable la regla de la arcotangente porque el numerador contiene un factor x. Consideremos la regla log, con u= x 2 + 9. Entonces du = 2x dx, de modo que

4x f 2xdx --dx=2 -x2 + 9 f x2 + 9

= 2ln /u/+

e

2

= 2 In (x + 9) + e)

e

Como el grado del numerador y el del denominador son iguales, dividimos antes de nada para reexpresar el integrando, que es una función racional impropia, como suma de un polinomio y de una función racional propia.

1 Nota. Observemos que en el Ejemplo 1e ha sido necesaria el Álgebra antes de aplicar la regla de integración y que la resolución ha requerido después más de una de esas reglas.

f

2

4x --dx= x2 + 9

J(

4 - -236 - - ) dx x + 9 1

= f4dx- 36 f --2 - X

= 4x-

+9

dx

36(~3 arctg ~) +e 3 X

= 4x - 12 arctg - + 3

e

D

EJEMPLO 2 Necesidad de dos reglas básicas para resolver una integral Calcular x-+ 3

y~v47

2

f

t

O

t

X+ 3

~

y4-

dx.

X

Solución: Para empezar, escribimos la integral como suma de dos, a las que aplicamos, a continuación, las reglas de las potencias y del arcsen.

fo t

X

---:cx=+=3= dx J4-x 2

=

ft o

x

j47

dx +

ft o

3

j47

dx

FIGURA 7.1 El área de la región es aproximadamente 1,839.

~

(Véase Figura 7.1.)

1,839

D

540

Capítulo 7

TécniCilS de integración. regla deL Hópital e integrales impropias

La regla de Simpson permite hallar una buena aproximación del valor de.la integral del Ejemplo 2 (con n = 10 da 1,839). No obstante, al utilizar integración numérica hay que tener en cuenta que la regla de Simpson no da buenas aproximaciones cuando uno de los límites de integración está cerca de una asíntota vertical. Por ejemplo, por el teorema fundamental del Cálculo sabemos que

dx

¡:::t;

6,213

La regla de Simpson con n = 1Oda para esta integral un valor aproximado de 6.889i

EJEMPLO 3 Una sustitución relacionada con a2 - u2 x2

Hallar Solución:

I Jt6-

x6

dx.

El radical del denominador se puede expresar

así que intentamos la sustitución u= x 3 • Entonces du = 3x 2 dx y, por tanto,

ADVERTENCIA Las reglas 18, 19 y 20 de la página 442 contienen expresiones con la suma o la diferencia de dos cuadrados:

az- [f(x)]z a 2 + [J(x)l 2

x3

[.f(x) ¡z - az Con este tipo de expresiones, hay que considerar la posibilidad de una sustitución u = f(x), como se ha hecho en el Ejemplo 3.

- arcsen3 4

+e

D

Curiosamente, dos de las reglas de integración que se pasan por alto con más facilidad son la regla log y la regla de las potencias. Los dos próximos ejemplos muestran cómo pueden estar camut1adas. EJEMPLO 4 Una forma disfra;ada de la regla log

Hallar

f-

1 -

1 +ex

dx.

Solución: Parece que esta integral no se adapta a ninguna regla básica. Sin embargo, la forma de cociente sugiere la regla log. Si hacemos u = l +e', con

Sección 7.1

Reglas básicas de integración

541

lo que du = ex dx, podemos conseguir el du necesario sin más que sumar y restar ex en el numerador:

f

f _f(

1 --dx= 1 +ex

1 +ex- ex dx 1 +ex

Sumar y restar ex en el numerador

1 +ex- -ex-) dx_ 1 +ex 1 +ex

-

ex dx

=

f dx- f 1 + ex

=

X -

In ( 1 + e-') +

e

o

Nota. En general, hay más de un camino para resolver un problema de integración. Sin ir más lejos, en el Ejemplo 4 multiplique numerador y denominador por e-x para obtener una integral de la forma du/u. Vea si puede llegar a la solución por este procedimiento. (¡Cuidado! La respuesta puede adoptar aspectos distintos.) 1

-J

EJEMPLO 5 Una forma disfrazada de la regla de las potencias Hallar

J (ctg x)[ln (sen x)] dx.

Solución: De nuevo, la integral no parece ajustarse a ninguna regla básica. Ahora bien, basta ensayar las dos posibles elecciones de sustitución como u (u= ctg x y u= In sen x), para comprobar que la segunda es apropiada, ya que u= In sen x COS X

du =--dx sen x du = ctg xdx En consecuencia,

f (ctg x)[ln (sen x)] dx = fu du = =

1

Nota.

1

~- + e

2 [In (sen x)]

2

+

e

D

En el Ejemplo 5, intente verificar que la derivada de

1 ? - [In (sen x)]- + C 2 es el integrando original.

A menudo es posible recurrir a identidades trigonométricas con el fin de adaptar integrandos a las reglas básicas.

542

Capíwlo 7

Técnicas de integración. regla deL Hópitiil e integrales impropias

EJEMPLO 6 Aplicación :le las identidades trigonométricas

Hallar

rlliJI Si tiene acceso a

~~ paquetes informáticos de integración simbólica, intente hallar con ellos las integrales de esta sección. Compare la forma de la primitiva dada por ellos con la obtenida a mano. A veces parecen muy diferentes, aunque sean iguales. Por ejemplo, ¿por qué la primitiva ln 2x + e es equivalente a la primitiva ln x + e?

J tg

2

2x dx.

Solución: Aunque tg 2 u no está en la lista de las reglas básicas, sí está sec 2 u. Eso sugiere usar la identidad tg 2 u = sec 2 u - l. Si hacemos u = 2x, entonces du = 2 dx, con lo que

f

2

tg 2x dx =

f ~f f

~

2

=

1

2

2

tg u du 2

(sec u- !)du

~

2

sec u du -

tg u-

u

2

f

du

+e

1

=- tg 2x- X+

2

e

D

Cerramos la sección con un compendio de los procedimientos comunes para adaptar integrandos a las reglas básicas de integración. Procedimientos de ajuste de integrandos a las reglas básicas Técnica

E'-J._·e_m.. Jpc.. l. ;o_________________

Desarrollar (el numerador)

(1 + ex) 2

=1 + 2ex + e

2x

1 +X 1 X =---+--+ 1 x2 + 1 x2 + 1

Separar el numerador Completar el cuadrado

--¡::;===::2

Dividir la función racional impropia

J2x- x x2 +1

1 =--¡::;===::::: JI - (x- 1) 2

ctg 2 x

Multiplicar y dividir por el conjugado pitagórico

2x + 2

2.x+2-2 + 2x + 1

Sumar y restar términos en el numerador Usar identidades trigonométricas

1

=1-

1

=cosec

+~en

X=

2

2

x- 1

e+~en x)G =::: ~)

=1- senx =sec x

2

x-

1 =1

~ s~:/x

senx X

Nota. Recordemos que se pueden separar los numeradores, pero no los denominadores. Atención al siguiente error, frecuente cuando se trata de ajustar integrandos a las reglas básicas: 1

l 1 1 - - # -+x2 + l x2 1

No separar el denominador

543

Ejercicios de la Sección 7. 1

Ejercicios de la Sección 7. 1 En los Ejercicios 1-4, seleccionar la primitiva correcta. l.

2.

3.

4.

dv

X

dx

2

,jx + 1

21.

a)

2,¡7+1 +e

h)

e)

!,!?+1 +e

d)

,¡7+1 +e ln(x 2 +l)+C 23.

dv

X

dx

x2 + 1

a)

In ,jx 2 + 1 + C

h)

2x +C (xz + 1)2

!')

arctg X+ C

d)

ln(x 2 +1)+C

2

dx

x + 1

a)

ln,jx 2 + 1 +C

b)

2x +C (xl + 1)2

e)

arctg X+ C

d)

In (x 2 + 1) + C

2

__::_ = x cos (x + 1)

dx

2x sen (x 2 + 1) + e 1 sen (x 2 + 1) + e

b)

d)

-! sen (x 2 +

1) + e -2x sen (x 2 + 1) + e

En los Ejercicios 5-14, seleccionar la fórmula básica de integración útil para hallar la integral. Identificar u y a cuando haya lugar.

9.

11. 13.

29.

31.

di'

e)

7.

25.

27.

dy

a)

5.

19.

f f f f f

4

6.

(3x- 2) dx dx

1

8.

;;(1- 2Jx)

10.

-= 3 dt JI- t 2 l

2

12.

sen t dt

COS

14.

X e'e" ' dx

f f f f f

33.

35.

37. -2 2t- - -1d t t - t + 2 39. dt 2 (2t- 1) 2 + 4 -2x dx Jx 2 - 4

41.

sec 3x tg 3xdx

43.

dx 1 xp-=-4

45.

f f f f f f f f f f f f f f

(2- 3 ----dt -t 3 + 9t + 1

20.

tl ---dx x-1

22.

exd x -1 +ex

24.

2 2 )

dx

26.

2 x cos 2nx dx

28.

(1 + 2x

cosec nx ctg nx dx 30.

esx dx

32.

- -2- d x e-x+ 1

34.

1 +sen x dx COS X

36.

2t1t -d t2 + 4

38.

-1 dt J1-(2t-1) 2

40.

tg (2/t) dt t2

42.

f f f( f x(l +~y f f f f f f f f f f - 2x -dx x-4

X+ J dx Jx 2 + 2x- 4 - 1- - -1-) dx 3x-I 3x+ 1

dx

sec 4u du

sen x --=dx Jcos x

cosec 2 xeng" dx

- -1- d x 2e-'- 3 1

dx

SCC X- J

~-dt 2 3

1

dx 3 J6x- x 2

44.

dx 4 4x 2 + 4x + 65

46.

+ 1

- -1- d x 4 + 3x 2

ei!t -di t2

dx 1 (x- 1)J4x 2 - 8x+ 3 dx 1 ,_J2-2x-x2

En los Ejercicios 15-46, hallar la integral indefinida.

15. 17.

f fl

(-2x + 5)312 dx

l'

+

1

(3v - 1) 3

l

16. dt• 18.

f f

- -2- d t (t - 9)2

2

xJ4- 2x dx

Campos de direcciones En los Ejercicios 47 y 48, se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo de direcciones. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial sobre el campo de direcciones, una de las cuales pase por el punto indicado. h) Hallar, por integración, la solución particular de la ecuación diferencial y representar esta

544

Técnicas de integración. regla deL 'Hópital e integrales impropias

Capítulo 7

solución en la calculadora. Comparar el resultado con los dibujos del apartado a). 47.

1)

ds t ( dt=.J1-t4·0,-2

dv

48.

__:__ = tg 2

l'v 66.

J:

(2x), (0, 0)

dx

1,2

1,2

-1,2

1,2

-1,2

-1,2

Aproximación En los Ejercicios 67 y 68, averiguar qué valor aproxima mejor el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x, en el intervalo que se especifica. (Elegir atendiendo a un croquis de la región, no efectuando cálculos.) 67.

En los Ejercicios 49-52, resolver la ecuación diferencial. 49.

51.

dy

__:__ = (1

+

dx

ex)2

(4 + tg 2 x)v'

dr

50.

= sec 2 x

52.

(1 +

54.

o

J 1

55.

r

xe-

x'

dx

56.

57.

59.

2x ----dx 2 o .J x + 9

f'c¡ 0

J:

58.

r

r 1

1 dx 4 + 9x-

60.

--7

63. 65.

dx 1 x 2 + 4x + 13

62.

dO 1 1 +sen O

64.

-8

d)

8

e)

10

e)

-4

d)

4

e)

JO

[0, 2]

b)

2

70.

y

71.

Área se cortan en los puntos (0, O) y ( 1/a, 1/a). Determinar a> O de manera que el área de la región comprendida entre ellas sea 2/3.

72.

Interpretación de una integral

f

1-lnx --dx X

x-2 -dx

f f

= x 2 (1 - x 2 ) = sen 2x, y =

/

= O, x = n/2 Las gráficas de f(x) = x y g(x) = ax 2 O, x

Se nos da la integral

X

1

J25- x 2

dx sin decirnos qué representa. (Hay más de una respuesta correcta en cada apartado.) a) Dibujar la región cuya área representa. b) Esbozar el sólido cuyo volumen viene dado por esa integral si se usa el método de los discos. e) Esbozar el sólido cuyo volumen viene dado por esa integral si se usa el método de las capas.

llar la integral y representar dos primitivas. Describir la relación entre sus gráficas.

f f

4

e)

69.

.l'v En los Ejercicios 61-64, usar integración simbólica para ha-

61.

h)

=_;2--:¡:-J' 3

2]

Área En los Ejercicios 69 y 70, calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones.

sen t cos t dt

1

0

3

x + 1

re--,

car los resultados usando integración en la calculadora. cos 2xdx

a)

a)

y

'~ En los Ejercicios 53-60, hallar la integral indefinida y verifi-

r4

= ---· ¡o, 2

68. f(x)

e'

dt

4x

f(x) ·

e')z

x.J4x--

53.

f(x)dx

es positivo o negativo. Explicar la respuesta.

-1,2

,.

Para pensar Representar en la calculadora la función j(x) =! (x 3 - 7x 2 + 1Ox). Usando la gráfica, decidir si el valor de

x-2 dx x 2 + 4x + 13

cx+e--y - - - dx

73.

Volumen Se hace girar la región acotada por y= e-x', = O, x = O y x = b (b > 0) en torno al eje y. a) Calcular el volumen del sólido generado si h = l. h) Hallar b de modo que el volumen del sólido generado sea 4/3 unidades cúbicas.

y

2

Determinar valores de las constantes a y b tales que sen x + cos x = a sen (x + b) 74. Usar ese resultado para integrar

f

dx sen x + cos x

Valor medio Evaluar el valor medio de cada función en el intervalo indicado. a) f(x) =sen nx, O :( x :( njn, n es un entero positivo. 1 h) f(x) = - - • -3 :( x :( 3. · 1 + x2

Sección 7.2

75. Centroide Calcular las coordenadas del centroide de la región limitada por las gráficas de

y=

5

545

Integración por partes

77.

y= tg nx,

78.

y= x 213 ,

[o. ~J [1, 8]

y=~x=Oyx=4

J25- x 2 '

76. Área de una superficie Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al hacer girar la gráfica de y= 2yÍx, en el intervalo !0, 9], en torno al eje x. (\, Longitud de arco En los Ejercicios 77 y 78, usar integración en la calculadora para hallar un valor aproximado de la longitud de arco de la curva en el intervalo indicado.

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 79 y 80, discutir si la afirmación propuesta es correcta. Si no lo es, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad.

79. d_x---=-- = f _c_lu_, f __ 1 + sen x a +u

80.

2

2

2

u= sen x a= 1 '

D

_7.2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

CONTENIDO • Integración por partes • Método tabular •

Integración por partes

Integración por partes

EXPLORACIÓ,N Demost~ll sfBpalabras He aquí una vía ·diferente· para demostrar la férruula de integración por partes, tomada con permiso del autor de ~ 1~hos tienen desventajas. Pa,ra estimar el posible ~·en .el mé~o .uurpétiM, ¡el int~gr~do debe tener segunda derlvad~(¡-egl~ ;de ls trapeCios) en~~ de~yada (regla ~e Simpso11) en el iu~rva!o ~ . · ·.· . ci9*•.Clil in~gr~do del Ejemplo 3 uo cumple este reqm~ito. Y [)ara... car·~1 ~ema ~\mda~ :tnental del Cálculo, el programa simbólico de'J:)e ser capaz de encontrar la prilnitiva.

¿Qué método usaría p~a calcular ¿Y Para,c~lcu~ar

J:

arctg xdx?

1

JoÍ

arctg x2 dx?

.

Algunas integrales requieren integrar por partes más de una vez. EJEMPLO 4 Sucesivas integraciones por partes ,).

Hallar

Jx

2

sen x dx.

Solución: Los factores x 2 y sen x son igualmente fáciles de integrar, pero la derivada de x 2 es más simple que la propia función, mientras que la derivada de sen x no lo es. En consecuencia, optamos por tomar u= x 2 •

dv = sen x dx u= x 2

e:=) e::)

v=

f

sen x dx = -cos x

du = 2xdx

Ahora, la integración por partes lleva a que

fx

2

sen xdx = -x 2 cos x +

f 2x cos xdx

Primera integración por partes

Sección 7.2

549

Integración por partes

Con esta primera integración por partes, hemos simplificado la integral original, pero la nueva todavía no se ajusta a ninguna regla básica de integración. Volvamos a aplicar integración por partes, esta vez con u = 2x. dv = cos xdx

Q

q

u = 2x

v = f cos xdx =sen x du = 2 dx

Integrando por partes obtenemos f 2xcos xdx = 2x sen x- f 2 sen xdx = 2x sen

X

+2

COS X

+

Segunda integración por partes

e

Combinando los dos resultados queda f x 2 sen x dx = -x 2 cos x + 2x sen x + 2 cos x +

EXPLORACIÓN Intente hallar

haciendo u = cos 2x y dv =e"' dx como primera sustitución y u= sen 2x y dv =: rdx como segunda.

e

o

Cuando se efectúan varias integraciones por partes sucesivas, hay que tener cuidado con no intercambiar las sustituciones en las sucesivas aplicaciones. Así, en el Ejemplo 4, la primera sustitución era u = x 2 y dv = sen x dx. Si en la segunda integración por partes hubiéramos hecho la sustitución u = cos x, dv = 2x, el resultado hubiera sido f x 2 sen xdx = -x2 cos x + f 2x cos xdx

= -x 2 cos x + x 2 cos x + f x 2 sen x dx 2

= f x sen xdx deshaciendo de ese modo la integración previa y retornando a la integral original. Asimismo debe tenerse cuidado, al hacer sucesivas integraciones por partes, con la posible aparición de un múltiplo constante de la integral original. Por ejemplo, eso sucede cuando se aplica integración por partes a la integral S ex cos 2x dx, y en el Ejemplo 5. EJEMPLO 5 Integración por partes ~ota.

La integral del Ejemplo 5 e' importante. En la Sección 7.4 (Ejemplo 5) veremos que se utiliza para calcular la longitud de arco de un segmento de parábola.

Hallar S sec 3 x dx. Solución: La porción más complicada del integrando que resulta fácil de integrar es sec 2 x, así que tomamos dv = sec 2 x dx y u = sec x. dv=sec 2 xdx u = sec x

O

O

v= fsec 2 xdx=tgx du = sec x tg x dx

550

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla deL Hópital e integrales Ilnpropia.1·

Integrando por partes se obtiene

f

ADVERTENCIA Las identidades trigonométricas

3

sec x dx

= sec x tg x -

1 - cos 2x sen 2 x = - - - -

= sec x tg x-

1 + cos 2x cos 2 x = - - - 2

= sec x tg x-

2

juegan un papel importante en este capítulo.

2

f f

sec 3 x dx = sec x tg x +

f f f f

2

sec x tg x dx sec x(sec 2 x- l) dx sec 3 x dx + sec x dx

f

sec x dx Agrupar integrales idénticas

l l sec 3 x dx =- sec x tg x +-In sec x + tg xl + 2 2 1

o

e

EJEMPLO 6 Localización de un centroide

y~

Una parte de una máquina tiene la forma de la región acotada por la gráfica de y= sen x y el eje x, O ~ x ~ n/2, que se muestra en la Figura 7.3. Hallar el centroide de esa región.

senx

Solución:

Empezamos calculando el área de la región. A

=f

n/2

sen x dx

=

[

-cos x

Jrr/2

0

=1

0

Y a podemos hallar las coordenadas del centroide: FIGURA 7J

El ccntroide de la región.

(l. i} es el punto de equilibrio.

y

.

= -1

2

frr; sen x - - (sen x) dx A 0 2

= -1 4

frr/

2

(1 -

cos 2x) dx

= -1 [ x -

0

4

sen 2x]rr/Z --

2

0

n 8

W

2 x sen xdx, se puede evaluar mediante integraLa integral que dax, (i/A) ción por partes. Haciendo dv = sen x dx y u = x, resulta v = -cos x, du = dx y, por tanto,

f x sen x dx = - x cos x + f cos x dx =-X COS X+ sen X+

Finalmente, x resulta ser

x = -¡ A

fn/2

x sen x dx =

l

e

- x cos x + sen x

o

En consecuencia, el centroide de la región es (1, n/8 ).

Jrr/2 o

o

Con la práctica se va adquiriendo habilidad a la hora de elegir u y dv. El resumen que sigue recoge varias clases de integrales comunes junto con las elecciones aconsejadas para u y dv.

Sección 7.2

551

Integración por partes

Integrales comnnes resolubles mediante integración por partes l.

En integrales de los tipos

f

Xneax dx,

f

.x" sen ax dx

f

.x"

O

COS

ax dx

hacer u= xn y dv = eax dx, sen axdx o cos axdx. 2.

En integrales de los tipos

f

f x" arcsen ax dx

x" In x dx;

hacer u 3.

f x" arctg ax dx

o

=In x, arcsen ax o arctg ax y dv =x" dx.

En integrales de los tipos

f

eax

hacer u

sen bxdx o

f

eax

cos bxdx

=sen bx o cos bx y dv =eax dx.

Método tabular En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el trabajo, como indica el Ejemplo 7. Este método funciona bien en integrales de los tipos S-~ sen ax dx, Sx" cos ax dx y Sx"e"-' dx.

EJEMPLO 7 El método tabular Hallar S x 2 sen 4x dx.

Solución: Como de costumbre, comenzamos haciendo u = x 2 y dv = v' dx = = sen 4x dx. A continuación, elaboramos una tabla de tres columnas como sigue. PARA MÁS INFORMACIÓN Véase el artículo de Leonard Gillman en The Collef?e Mathematics Journal, noviembre

Signos alternados

1

l' y sus primitil'll.\'

u )' sus deri1Y1das

sen 4x

1991.

- - -. 2x

+

______ ,..

2

-----.o

t

_.. -kcos4x

_.. -f6 sen 4x (f4 cos 4x

c.0.

Derivar hasta obtener una derivada nula

La solución se obtiene sumando los productos con signo de las entradas diagonales.

1 1 1 x 2 sen 4x dx = -- x 2 cos 4x + - x sen 4x + - cos 4x + C 4 8 32

f

o

552

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla de L'Hopital e integrales impropias

Ejercicios de la Sección 7.2 l.

Asignar a cada primitiva de la izquierda la integral correspondiente de la derecha.

y = sen x - x cos x

a)

Jin xdx

e)

y = x sen x + 2x cos x- 2 sen x ii) y= x 2ex - 2xex + 2ex iii)

Sx sen x dx Sx 2ex dx

d)

y= -x + x In x

J x 2 cosxdx

b)

2.

i)

2

iv)

25.

Para pensar Explicar verbalmente, del mejor modo posible, la estrategia a seguir en la integración por partes.

27.

29.

3.

5.

7.

I I

2 xe x dx 2

4.

(ln x) dx

6.

2 Jxsec xdx

8.

I I I

33.

35.

x2e2x dx

In 3xdx

2

x cos xdx

En lo' Ejercicios 9-30, hallar la integral. (Nota: Resolverlas por el método más simple. No todas requieren integración por partes.)

x cos xdx

26.

arctg xdx

28.

e 2 x sen xdx

30.

I I I

O sec O tg OdO

arccos xdx

e' cos 2xdx

En los Ejercicios 31-36, resolver la ecuación diferencial. 31.

En los Ejercicios 3-8, identificar u y dv para aplicar integración por partes a cada integraL (N o se pide calcular la integral.)

I I I

= xex2

.-v'

dy

12

dt

J2+3t

(cos y)y' = 2x

32.

y'= In x

34.

dy - =x2Jx-=l dt

36.

y'= arctg2

X

Campos de direcciones En los Ejercicios 37 y 38, se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo de direcciones. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial sobre el campo de direcciones, una de las cuales pase por el punto indicado. b) Hallar, por integración, la solución particular de la ecuación diferencial y representar esta solución en la calculadora. Comparar el resultado con los dibujos del apartado a). 37.

r..

dv

dy 13 . sen2x, ( 0,- 18) -;¡;=e-x 37

-=-=xvycosx,(0,4) 38. dx

y

y

9.

11. 13. 15. 17.

19. 21.

23.

Jxe- 2x dx

I I I I I I

x 2 ex dx

o • dx .cex

10. 12.

14.

t In (1 + 1) dt

16.

(ln x)2 --dx:

18.

X

xelx dx: (2x + 1) 2

20.

(x 2

22.

-

!)ex dx

fxJx-=1 dx

24.

I~dx I I I ex

e lit -dt 12

-7

3 x In xdx -4

-2

4

--6

- -1- d x x(ln x) 3

rnx ~ dx: x2

I

x3ex' , dx + 1) 2

(r

fin - 22x -dx X

I

r--dx: X .)2 + 3x

~ En los Ejercicios 39-44, calcular la integral definida y confirmar el resultado mediante una gráfica en la calculadora.

39.

fn x sen 2xdx

40.

o

()

41.

43 •

f

J 1

ex sen xdx

f/2 0

f 1 x arcsen x 2 dx

42.

x 2 ex dx

0

x cos xdx

44.

f

1

()

In ( 1 + x 2 ) dx

553

Ejercicios de la Sección 7.2 En los Ejercicios 45-50, aplicar a la integral el método tabular. 45.

f

x2e2x dx

46.

47.

3 Jx sen x dx

48.

49.

f

2

f f

53.

J:

55.

3

t e-

4

e- lx sen 3x dx

65.

52.

f

54.

J:

4

x (25 - x

2

)

312

f

f

x"e"x dx = x"e"'- n_ fx'- 1 e'" dx a a

=

e"x(a sen bx - b cos bx) a2 + b2

+e

e"' cos bxdx =

e'...(a cos bx + b sen bx) a2 + h2

+e

e'" sen bxdx

dx

fo-=-.3 dx

a)

Por partes, tomando dv =

h)

Por sustitución, haciendo u= J2x- 3

fx~

dx

a)

Por partes, tomando dv = ~ dx

b)

Por sustitución, haciendo u= 4 + x

f· ~ 2

dx

a)

.y4 +x Por partes, tomando dv =

b)

Por sustitución, haciendo u= 4 + x 2

Integrar

(x/J4+?) dx

f

3

2

67.

Jx In xdx

68.

f x cos xdx

69.

f e 2 x cos 3x dx

70.

f x3e2x dx

Área En los Ejercicios 71-74, representar en la calculadora la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, y hallar su área. 71.

y=xe-x,y=0,x=4

72.

y=~ xe-x' 3 , y=

73.

y

74.

a)

Por partes, tomando dv = ~ dx

b)

Por sustitución, haciendo u= 4- x

f x" In xdx

60.

f

x"ex dx

fx"senxdx=-x"cosx+n Jxn-l cosxdx

O, X= O, X= 3

= e-' sen nx, y = O, x = O, x = 1 y = x sen x, y = O, x = O, x = n

75.

Área, volumen y centroide Dada la región acotada por las gráficas de y = In x, y = O y x = e, hallar a) Su área. b) El volumen del sólido generado al hacer girar la región en torno al eje x. e) El volumen del sólido generado al hacer girar la región en torno al eje y. d) El centroide de la región.

76.

eentroide Localizar el centroide de la región acotada por las gráficas de y = arcsen x, x = O e y = n/2. ¿Qué tiene que ver este ejercicio con el Ejemplo 6 de esta sección?

77.

Desplazamiento medio Una fuerza amortiguadora afecta a la vibración de un muelle de manera que el desplazamiento de éste viene dado por

xJ4 - x dx

En los Ejercicios 61-66, verificar la fórmula utilizando integración por partes. (En los Ejercicios 61-64, n es un entero positivo.) 61.

66.

f

En los Ejercicios 67-70, resolver la integral recurriendo a la fórmula apropiada de entre las expuestas en los Ejercicios 61-66.

4

:x sen n:x d:x

En los Ejercicios 59 y 60, hallar la integral paran= O, 1, 2 y 3, usando integración simbólica. Deducir de los resultados obtenidos una regla general para cualquier entero n > O y comprobarla en el caso n = 4.

59.

fx"lnxdx=~[-l+(n+l)lnx]+e (n + 1)

Integrar f 2xJ2x- 3 dx

57. Integrar

i'v

dt

12

56. Integrar

58.

'

63. 64.

ción simbólica.

f

sen xdx

3

x cos 2xdx

'"v En los Ejercicios 51-54, hallar la integral utilizando integra-

51.

1

f x" cos xdx

x4e-x dx

f x 2(x- 2) 3 ' 2 dx

50.

x sec xdx

= x" sen x- n Jx"·

62.

y= e- 4 '(cos 2t + 5 sen 2t)

Calcular el valor medio de y en el intervalo entre t =O y t = n.

554 78.

Técnicas de integración, regla deL 'Hopital e inregrales impropias

Capítulo 7

Modelo para la memoria Un modelo para la capacidad M de memorización de un niño. medida en una escala de O a 1O, viene dado por

=1+

M

85.

Sea y = f(x) positiva y estrictamente creciente en el intervalo O < a ,; x ,; h. Consideremos la región R acotada por las gráficas de y =f(x), y= O, x =a y x =h. Si se hace girar R en torno al eje y, probar que el método de los discos y el método de las capas dan, para el sólido resultante, el mismo volumen.

86.

Consideremos la ecuación diferencialf'(x) = xe- x con la condición inicial f(O) = O. a) Resolverla por integración. h) Representar en la calculadora la solución de la ecuación diferencial. e) Método de Euler De la definición de derivada se sigue que para pequeños valores de fu

O < t ,; 4

1,6t,

donde t es la edad del niño en años. Calcular el valor medio de esa función: a) Entre el primer y el segundo cumpleaños. h) Entre el tercer y cuarto cumpleaños.

('v

Valor presente En los Ejercicios 79 y 80, calcular el valor presente P de un flujo de ingresos de c(t) dólares por año si l,

P

=

f

c(t)e-' 1 dt

f'(x) :::::

0

donde t 1 es el tiempo en años y r la tasa de interés anual compuesto continuamente. c(t) = 100.000

80.

c(t) = 30.000 + 500t, r = 7%, t 1 = 5

(x,, y,)= (n~.x, Yn-1 + f'(x,_ 1)fu) donde (x 0 , y 0 ) = (0, 0). Partiendo de n = O, usar la calculadora para generar 80 puntos de esa forma para fu= 0,05. Representar en la calculadora los puntos y comparar con la gráfica del apartado h). d) Repetir e) generando 40 puntos cuando ~x = O, 1. e) Dar una explicación geométrica del proceso descrito en el punto e). ¿Por qué el resultado de e) es mejor aproximación de la solución que el de dP

Integrales para el cálculo de coeficientes de Fourier En los Ejercicios 81 y 82, verificar el valor de la integral definida, donde n es un entero positivo.

2n rr

81.

f f

{ _2n,

-rr

82.

11

es impar

11

es par

rv 87.

(-1)"4n

_

dx - - -7¡z-

Cuerda vibrante Una cuerda tensada entre los puntos (0, O) y (2, 0) se pulsa desplazando su punto medio h unidades. El movimiento de la cuerda sigue el modelo de una serie de Fourier de senos, cuyos coeficientes vienen dados por h,

= lz

f

1

nnx

x sen -

f

2

dx + h

2

o

11nx

(-x + 2) sen -

dx

2

1

Encontrar el fallo del siguiente argumento: dr = dx

u O+

=-

x

e::) e::)

v= du

f

X

Por tanto, O = 1.

X

f'(x) = cos con la condición inicial f(O) = 2. a) Intente resolverla por integración. ¿Puede efectuar la integración? h) Partiendo de 11 =O, use la calculadora para generar 80 puntos de la forma indicada en el apartado e) del Ejercicio 86 para fu = 0,05. Represente en la calculadora los puntos para obtener una aproximación de la solución de la ecuación diferencial.

PROYECTO PARA LA SECCIÓN

m- rt

dx = x

1

= --2 dx x

f dx = (~)(x)- f(-~)(x)dx = 1 + f dx X

Consideremos la ecuación diferencial

Velocidad de un cohete La velocidad (en pies/s)de un cohete cuya masa inicial es m (incluyendo el combustible) es m m v = gt + u ln - - · t < -

Hallar h,. 84.

Método de Euler

Jx

ll

. . 2 X COS /IX

rr

-n

83.

ll

=

x sen nxdx

fu

f(x + fu) ::::: f(x) + [f'(x)]fu Consideremos los puntos de la forma

+ 4.0001, r = 5 %, t 1 = 10

79.

f(x + fu) - f(x)

X

r

donde u es la velocidad de expulsión del combustible, r el rítmo al que se consume é:;;te, y g = -32 pies/s 2 es la aceleración de la gravedad. Hallar la ecuación para laposición de un cohete con m ;;: 50.000 libras, u ;;: 12.000 pies/s y r = 400 Jibras/s. ¿A qué altura está el cohete cuando t =100 segundos? (Suponemos que se ha lanzado desde el suelo y se mueve verticalmente.)

Sección 7.3

CONTENIDO Integrales que contienen potencias del seno y del coseno Integrales que contienen potencias de la secante y de la tangente J ntegrales que contienen productos seno-coseno de ángulos diferentes

•

555

Integrales trigonométricas

_7.3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Integrales trigonométricas

0

•

Integrales que contienen potencias del seno y del coseno •

En esta sección estudiaremos técnicas que penniten resolver integrales de los tipos

I

•

111

sen x cos" xdx

SHEII.A SCOTT MACINTVRE {1910.1980!

Sheíla Scott M¡¡crntyre publicó su primer trabajo sobre los períodos asintóticos de las funciones integrales en 1935. Recibió el doctorado en la Universidad de Aberdeen, donde fue profesora. En 1958aceptó un puesto como investigadora Invitada en la Universidad de Cincinnati.

y

I

sec 111 x tg" xdx

donde al menos uno de los exponentes, m o n, es un entero positivo. Para hallar primitivas de estas expresiones, intentaremos romperlas en combinaciones de integrales trigonométricas a las que sea aplicable la regla de las potencias. Por ejemplo, se puede hallar sen 5 x cos x dx mediante la regla de las potencias haciendo u = sen x, con lo que du = cos x dx, y se obtiene

J

I

Sen

5

X COS X

I J

dx =

5

U

dx =

uó

6

+

sen 6 x

e = - -6-

+

e

Con el fin de descomponer sen"' x cos" x dx en formas a las que se pueda aplicar la regla de las potencias, usamos las identidades sen 2 x + cos 2 x = 1

Identidad de Pitágora'

\

/

- cos 2x

Identidad del ángulo mitad para 'cn 2 x

2 1 + cos 2x cos 2 x = - - - 2

Identidad del ángulo mitad para cos 2 x

J

Estrategia para hallar integrales con senos y cosenos

l.

Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los demás a cosenos, desarrollar e integrar.

Ise~

Impar

2.

< '

Pasar a cosenos

f~

x cosn xdx =

Conservar para du

cosn x

~=

f

2

(1- cos xl cos" x sen xdx

Si la potencia del coseno es impat y positiva, conservar un factor coseno y pasar los demás a senos, desarrollar e integrar.

I

senm x

Impar

f

cos~ xdx =

Pasar a cosenos

senm x

Conservar para du

f

~ ~=

sen111 x (1- sen 2 x)k cos xdx

3. Si las potencias del seno y del coseno son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades sen 2 x = '

l-cos2x , 2

y

COS

2

X==

l+cos2x

2

para convertir el integrando en uno con potencias impares del coseno. A continuación, proceder como en el Apartado 2.

556

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla deL 'Hópital e integrales impropias

EJEMPLO 1 La potencia del seno es impar y positiva Hallar

rliil Intente hallar la in*

~ tegral del Ejemplo 1 usando cálculo simbólico en la calculadora. Al hacerlo, nosotros hemos obtenido

J sen

3

x cos 4 x dx,

Solución,' Puesto que albergamos la esperanza de usar la regla de las potencias con u = cos x, guardamos intacto un factor seno para formar du con él y pasamos los demás a forma de cosenos.

f

f f f f f

sen 3 x cos 4 x dx =

sen 2 x cos 4 x(sen x) dx (1- cos 2 x) cos 4 x sen xdx

=

(cos 4 x- cos 6 x) sen x dx

=

cos 4 x sen xdx-

=

¿Es equivalente al resultado del Ejemplo 1?

f

cos 6 x sen xdx

=- cos 4 x(-sen x) dx + COS

5

X

COS

7

f

cos 6 x(-sen x) dx

X

D

=---+--+C 5

7

En el Ejemplo 1, las dos potencias, m y n, eran enteros positivos. Sin embargo, la misma estrategia sirve siempre que al menos uno de ellos sea impar y positivo. Así, en el próximo ejemplo, la potencia del coseno es 3 pero la del seno es-!· EJEMPLO 2 La potencia del coseno es impar y positiva

l. O

Y"'

.m \/SellX

O,X

n/ 3 COS 3 X ~dx .

f " f

Hallar

n/6

V sen

X

Solución:

0,6 '

13

" f 13

cos 3 x ---c==dX

n/6~

n

6

3

~

n/6

3

n

(1 - sen 2 x)(cos x)

~----====---dx

f

n/

[(sen x)- 112cos x - (sen x) 312 cos x] dx

n/6

FIGURA 7A El área de la región es aproximadamente 0,239,

(sen x) [

2 ~

1/2

1/2_ (sen x) 512 ]"13 5/2

n/6

/3)1/2 -2(J3)5/2 J32 - -J2+( _vJ 2 5 2 80

0,239

La Figura 7.4 muestra la región cuya área viene dada por esta integral.

D

Sección 7.3

557

Integrales tiigonométricas

EJEMPLO 3 La potencia del coseno es par y no negativa Hallar

J cos

4

x dx.

Solución: Como m y n son ambos pares y no negativos (m = 0), podemos sustituir cos 4 x por [(1 + cos 2x)/2J 2 •

f

cos 4 xdx = =

,'

'

,,"

,'

2

cos 2x 2

2

cos 2x) dx 4

-+~~+---

~ + co~ 2x + ~

~8

4

Jdx +

3x 8

~

e

J

+ c2os 4x) dx

f2 cos 2xdx + __!_ f4 cos 4xdx 32

sen 2x

sen 4x

4

32

=-+~~+~~+C

infiue~a.AW!fll$seat.ríbll)'ll asjml~mo

la intr:od~1ó~.4eJ$ímb~lo oc¡,~ll~a(lo habituahllenti! péra ~na~ar el iqftnito. ·

1 f (4

2x) dx

= f [

=

',

Gran parte de la.l)brade. Wa.llis en Cálculo precedió a. N~on Y: ~~~nk, sobre quffnes ejeroió ~;~na ll!ltable

f(

1 + cos 2

Utilice derivación simbólica para verificar el resultado. ¿Puede simplificar la derivada hasta obtener el integrando original? O Si en el Ejemplo 3 quisiéramos calcular la integral definida entre O y n/2, obtendríamos

f"

12

o

12

sen 2x sen 4x]" cos 4 xdx= [3x -+~~+~~ 8 4 32 o =

G~ + o+ o) - (O + o+ O) 3n 16

Nótese que el único término que contribuye a la solución es 3x/8. Las próximas fórmulas, debidas a John Wallis, generalizan esta observación.

L.

.... ··(n·~-1) .. ·.·.·..

·· .·

.

2.

Estas fórmulas son válidas también si se sustituye cos" x por sen" x. (En el Ejercicio 85 se pide demostrar las dos fórmulas.)

558

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla deL 'Hópital e integrales impropias

Integrales que contienen potencias de la secante y de la tangente La guía que enunciamos seguidamente puede ayudar a resolver integrales de la forma S secm X tg" X dx.

Estrategia para hallar integrales que contienen secantes y tangentes l.

Sí la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor sec 2 x y páSat'.lQ~ restantesfacootes a · · tangentes. A continuación, desarrollar e integrar. Par

J:sec2kx ti'?dx

=J

Pasa.r a tangentes

Conservar para du

(sec 2x)"-i tgn x

xdx =

fo

+ tg 2 x)11 ~ 1

t~>r·~~c:"'·l'rlr

2. Si la potencia de la tangenté es impar y positiva, conservar un factor sec x tg secantes. A continuaqión, desarrollar e integrar.

f 3.

~

secrn x tg 2 k-H xdit

·f Pasara~~duf . = . sec"'- x(tg x)k sec x tg xdx = sec 1

2

111 '- 1

Si no hay factores secante y la potencia de la ta~gente es par y pP$ÍUVá, í:la,¡J!¡];··un·fac:thr sec 2 x, desarrollar y repétir el.proceso ~ fRera neqesario.

J

Pasar a

secan~es

.

tg xdx =Jtg"~ 2 x~dx =Jtgii~~ x~sec 2 x..,. l).dt

4.

5.

11

Si la integral es de laforrna Jsec111 x dt, Cl)On m inlpaty pcisithto, integrar por partes, como ll!.lstta el Bjemplo 5 de ~a sección anterior. ···· · Si no se da ninguna de las cuatro i::ircRniitancias precedentes, intente convertir el integrando en sel'IOs y cosenos. EJEMPLO 4 La potencia de la tangente es impar y positiva

Hallar

tg 3

fv

X

~dx.

sec x

Solución: 3

f~

-tg- X- dx =

=

= =

f f f f

(sec x)- 112 tg 3 x dx (sec x)- 312 (tg 2 x)(sec x tg x) dx (sec x)- 3 12 (sec 2 x- l)(sec x tg x)dx

2

=-

3

[(sec x) 112

-

(sec x)- 312 ] (sec x tg x) dx

(sec x) 312 + 2(sec x)- 112 +e

o

Sección 7.3

559

Integrales trigonométúcas

EJEMPLO 5 La potencia de la secante es par y positiw Nota. En el Ejemplo 5, la potencia de la tangente es impar y positiva, de manera que podríamos haber resuelto la integral atendiendo al punto 2 de la estrategia. En el Ejercicio 71 se pide probar que los resultados a los que se llega por ambas vías difieren sólo en una constante. 1

Hallar

J sec

Solución:

4

3x tg 3 3x dx.

Hacemos u = tg 3x, con lo que du = 3 sec 2 3x dx y por tanto

Jsec

4

=

Jsec 3x tg 3x(sec 3x) dx J(1 + tg 3x) tg 3x(sec 3x) dx ~ J(tg 3x + tg 3x)(3 sec 3x) dx

=

~ (tg

3x tg 3 3x dx = =

2

2

3

2

3

5

3

4

6

tg 4 3x

tg 6 3x

12

18

3

2

2

3x + tg 3x) + 4 6

e D

=~-+--+e

EJEMPLO 6 La potencia de la tangente es par Calcular

J:

14 4

tg x dx.

Solución: No hay factores secante, así que empezamos pasando un factor tg 2 x a la forma sec 2 x.

Jtg

4

Jtg = Jtg Jtg = Jtg

x dx =

=

FIGURA 7.5 El área de la región es aproximadamente O, 119.

2

x(tg x) dx

2

x(sec 2 x- 1) dx

2

x sec xdx-

Jtg

2

x sec 2 xdx-

f (sec

2

2

tg 2 X = - - - tg 3

X

+X +

2

xdx 2

x- l)dx

e

Ya podemos calcular el valor de la integral definida propuesta.

I

n/4

tg 4 xdx

=

0

[ n

4 ~

tg3 X Jn/4 - - - tgx+x 3 o

2 3

0,119

La Figura 7.5 muestra la región cuya área representa la integral dada. Intente aproximar el valor de esta integral utilizando la regla de Simpson. Con n = 1O debe obtenerse un valor aproximado cuyo error es menor que 0,0000 l. D

560

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla deL 'Hópital e integrales impropias

Para las integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Asimismo, al integrar funciones trigonométricas recuérdese que a veces resulta eficaz transformar todo el integrando en potencias del seno y del coseno.

EJEMPLO 7 Conrersión a senos y cosenos Hallar

f

sec x - 2 - dx. tg X

Solución: Como los cuatro primeros apartados de la estrategia no son aplicables, intentamos convertir el integrando en senos y cosenos. En este caso las potencias resultantes de senos y cosenos se integran así:

f

x _

x)

sec - d x - J(-1- )(cos -tg 2 x cos x sen x

2

dx

= Jcsenx)- 2 (cosx)dx 1

+

X+

e

= -(sen X) =

-COSeC

e D

Integrales que contienen productos seno-coseno de ángulos diferentes PARA MÁS INFORMACIÓN Véase el artículo «lntegrals of Products of Sine and Cosine with Different Arguments>>, de Sherrie J. Nicol, en The College Mathematics Journal, marzo 1993.

Este tipo de integrales aparece con frecuencia en las aplicaciones. En tales casos, se recurre a las identidades producto -+ suma.

1 sen mx sen nx =- (cos [(m- n)x] - cos [(m + n)x]) 2 1 sen mx cos nx = (sen [(m- n)x] + sen f(m + n)x])

2 1

cos mx cos nx =- (cos [(m- n)x] + cos [(m+ n)x]) 2

EJEMPLO 8 Uso de las identidades producto Hallar

Solución:

->

suma

Jsen Sx cos 4x dx. La segunda de las identidades producto

f

sen Sx cos 4x dx =

~

suma nos permite ver que

f

(sen x + sen 9x) dx

= 1 ( -COS

2

-+

cos- 9x) + 9

X - -

cos x cos 9x =------+e 2 18

e D

Ejercicios de la Sección 7J

561

Scaf(x) = sen 4 x + cos 4 x. a) Usar las fórmulas de reducción de potencias para escribirf(x) en términos del coseno (elevado a potencia uno). b) Determinar alguna otra manera de expresar la función. Verificar el resultado con una gráfica en la calculadora. e) Ha1lar una expresión trigonométrica que sumada a la función la convierta en cuadrado perfecto de un trinomio. Reescribir la función como ese cuadrado menos el término añadido. Comprobar el resultado mediante una gráfica en la calculadora. d) Reescribir el resultado de e) en términos del seno de un ángulo doble. e) ¿De cuántas maneras ha reescrito la función trigonométrica'? Cuando dos personas reescriben una expresión trigonométrica, sus resultados pueden ser distintos. ¿Significa esto que alguna de ellas se ha equivocado? Explicar la respuesta.

En los Ejercicios 13-16, verificar las fórmulas de Wa11is calculando la integral.

Ejercicios de la Sección 7.3 (\,

l.

2.

Asociar cada primitiva de la izquierda con su correspondiente integral de la derecha. a)

y= sec x

b)

y = cos x + sec x

e)

Y=

d)

y= 3x + 2 sen X COS 3 + 3 sen x cos x

X-

tg

f f f f

i)

X

+! tg 3 X

8

iii)

X

15.

17.

19.

21.

23.

25.

2

sen x sec xdx

27.

4

+ iv)

tg xdx

29.

31. En los Ejercicios 3-12, hallar la integral (el integrando contiene senos y cosenos).

3. 5. 7. 9.

11.

f f f f f

cos 3 x sen x dx sen 5 2x cos 2xdx 5

sen x cos 2 x dx 2

cos 3xdx 2

x sen xdx

4.

6.

8.

10.

12.

f f f f f

fn/2 o

2 cos 3 xdx =3

14.

]6 cos 7 xdx = 35

16.

r/2

5

cos x dx =

8 lS

0

r!2

n sen 2 xdx =4

o

En los Ejercicios 17-32, calcular la integral (el integrando contiene secantes y tangentes)

4

cos xdx

r/2 o

2

sen x tg xdx

ii)

13.

f f f

sec 3xdx

f

20.

3

22.

¡dx

24.

2

26.

x sec 2 xdx

28.

6

30.

sec nxdx 5

sec x tg xdx

f tg

f f

4

sec Sxdx

f tg

2

18.

sec 4x tg 4x dx 3

sec x tg xdx

32.

f f f f f f f f

2

sec (2x- 1) dx

sec

6

~dx

2

tg xdx tg 3 nx sec 2 nx dx

2

2

3

3

tg t sec t dt 5

tg 2x sec 2 2xdx sec 2

X -

2

X dx tg2

3

tg 3xdx

En los Ejercicios 33-36, resolver la ecuación diferencial. cos 3 x sen 2 xdx

33.

dr - = sen 4 nO dO

34.

ds 2 (1( 2 (1( -=sen - cos da 2 2

35.

y' = tg 3 3x sec 3x

36.

y'=~sec 4 x

3

sen xdx

cos

3

~ dx

2

sen 2xdx 2

2

x sen xdx

Campos de direcciones

En los Ejercicios 37 y 38, se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo de direcciones. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial sobre el campo de direcciones, una de las cuales pase por el punto indicado. b) Hallar, por integración, la solución particular de la ecuación diferencial y representar esta

562

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla de L'Hópital e integrales impropias

solución en la calculadora. Comparar el resultado con los dibujos del apartado a).

37.

dv -'-=sen 2 r (0,0) dx · ·'

38.

dy -'- = sec 2 x tg 2 x, dx

y

+

1,5t

~+

f

t-t-~-+-t-t+~-t-t

5

•

,._X

++-x

~

~dx

f sen 2 x cos 2 x dx

f sec 5 nxdx

64.

f tg 3 ( 1 - x) dx

f sec 5 nx tg nx dx

66.

f sec 4 (1-x)tg (1-x) dx

f cos

63. 65.

1,5

1,5

5

4

62.

61.

y

5t

t

(o.-~)

!'v En los Ejercicios 61-66, usar integración simbólica en la calculadora para calcular la integral. Dibujar las primitivas para dos valores distintos de la constante de integración.

(\, En los Ejercicios 67-70, calcular la integral utilizando integración simbólica en la calculadora.

-1,5

5.

En los Ejercicios 39-42, hallar la integral. 67.

f/4 sen 21! sen 30 dO

68.

f;2 o (1- cos 0)

70.

f:/2 senó x dx

2

d0

0

39.

f sen 3x cos 2x dx

40.

f cos 30 cos (-20) dO

41.

f sen 11 sen 30 dO

42.

f sen (-4x) cos 3xdx

!'v En los Ejercicios 43-52, resolver la integral y confirmar el resultado usando cálculo simbólico en la calculadora.

43.

3

44.

f ctg 2xdx

4

45.

f cosec OdO

47.

f ctg t t -d cosec t

48.

49.

f

50.

46.

4- sec4- dx 2 2 f cosec 23x ctg 3x dx

f tg

X

f ctg t t -d cosec t 2

51. (\~

1 dx sec x tg x 4

4

f (tg t- scc t) dt

55.

f~. sen

f/4 tg

3

2

x dx

59.

71.

f sec 4 3x tg 3 3x dx

73.

Área Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y= sen 2 nx, y =O, x =O y x = l.

74.

Volumen Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y = tg x, y = O, x = -n/4 y x = n/4 en torno al eje x.

dx

72.

f sec 2 x tg xdx

COS X

52.

54.

fl-sect dt cos t - 1

f/4 tg xdx 0 f/4 sec 2tjtg{dt 0

Volumen y centroide En los Ejercicios 75 y 76, para la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, determinar a) el volumen del sólido de revolución generado al girar esa región en torno al eje x, y b) el centroide de la región. 75.

y = sen x, y = O, x = O, x = n

76.

.V=

2

n

COS

X• y= 0• X= 0. X=2

En los Ejercicios 77-80, verificar la fórmula de recurrencia integrando por partes.

xdx

56.

58.

f~. sen 30 cosO dO

77.

f sen" xdx

sen"- x cos x n - 1 = ------ + --

0

t dt 1 + sen t

r/2

cos 3 xdx

60.

r/2

78.

f

=

0

57.

En los Ejercicios 71 y 72, a) hallar la integral de dos formas diferentes, b) representar en la calculadora la primitiva obtenida por cada método, sin la constante de integración, para ver que difieren sólo en una constante, e) verificar analíticamente que los resultados difieren sólo en una constante.

2

f sen x - cos x

En los Ejercicios 53-60, calcular la integral definida. Comprobar el resultado con la calculadora.

53.

r/2 sen 4xdx 0

X

3

2

69.

f"

12

-n/2

COS

-n/2

(sen 2 x + 1) dx

1

cos" xdx

n

n

cos"- 1 x sen x n - 1 n + -n-

f f

sen"- 2 x dx

cos"- 2 xdx

563

Ejercicios de la Sección 7.3

79.

f

COSm+ l X sen"~ 1 X

Las temperaturas máxima y mínima admiten el modelo

-------+

cosm x sen" xdx =

m +n

m-1f cosm x m+n

+--

.f(t)

2

x dx

n-2f sec" ~

2

x dx

donde a 0 , a 1 y b 1 son

En los Ejercicios 81-84, resolver la integral utilizando los resultados de los Ejercicios 77-80.

a0 = 12

80.

f

sec" x dx = -1- sec" ~ 2 x tg x + - n-1 n-1

81.

f sen

83.

f sec

85.

5

4

x dx 2

nx dx 5

84.

f f

1

h)

12 cos" xdx

cos x dx

1

4

b 1 =6

2

sen x cos x dx

G)(i)G) . .

a)

b)

1 )

e)

Si n es par (n ?': 2), entonces

f

12

cos" xdx

=

6

I12 f(t)dt o

fo

4

e: (DOXD . . e: I)G) =

nt

6

12

Fórmulas de Wallis Utilizando el resultado del Ejercicio 78, demostrar las siguientes versiones de las fórmulas de Wallis. a) Si n es impar (n ?': 3), entonces

¡: 86.

82.

nt

=a 0 + a 1 cos- + h 1 sen-

sen"~

El producto interno de dos funciones/y gen [a, b] viene dado por (f, g) =J~ f(x)g(x) dx. Se dice que dos funciones distintas f y g son ortogonales si ( f, g) = O. Probar que las funciones de la siguiente colección son ortogonales entre sí en [-n, n l {sen x, sen 2x, sen 3x, ... , cos x, cos 2x, cos 3x, ... )

rv 87. Un modelo matemático

La tabla da la media de las temperaturas máxima y mínima en Erie, Pennsylvania, en los meses del año. (Fuente: NOAA.)

Mes

En

Feb

Mar

Ab

M ay

Jun

Máx.

30,9

32,2

41,1

53,7

64,6

74,0

Mín.

18,0

17,7

25,8

36,1

45,4

55,2

Mes

Jul

Ag

Sep

Oct

Nov

Die

Máx.

78,2

77,0

71,0

60,1

47,1

35,7

Mín.

59,9

59,4

53,1

43,2

34,3

24,2

88.

nt f(t) cos- dt . 6

f12 f(t)sen-dt nt o

6

Aproximar el modelo H(t) para las temperaturas máximas, con t =O correspondiendo a enero. (Ayuda: Aproximar el valor de las integrales por la regla de Simpson y usar el dato de enero dos veces.) Repetir el apartado a) para el modelo L(t) de las temperaturas mínimas. Comparar los modelos con los datos en la calculadora. ¿Durante qué parte del año es mayor la diferencia entre las máximas y las mínimas?

Utilizando una sustitución trigonométrica y las fórmulas de Wallis, probar que

donde n es un entero positivo.

564

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla de L'Hopital e integrales impropias

(en pies/s 2) y L la distancia (en píes) entre dos soportes consecutivos. Entonces, la ecuación de la catenaria es

(en pies/s) viene dadapor v = JTjü. ¿Cáánto tarda la onda en ir y voiver entre dos soportes contiguos? El pandeo, en pulglldas, puede estimarse evaluando y cuando x = L/2 en la ecuación de la catenaria (y multiplicando por 12). Sin embargo, en la práctica los perarios usan la ecuación s il::i 12,075t2 • Usar el hecho de que [eh (ugLj2T) + l] i:::i 2 para deducir esta ecuación.

e)

ugx ) y= T ( ch--1 ug

T

donde x e y se miden en pies. a) b)

Calcwar la longitud de cable entre dos soportes. Los especialistas llliden la tensión utilizando el método de la onda de retomo. Se p ay

7t

a

el negativo si u < -a. .

Nota. Las restricciones sobre 8 garantizan que la función que determina la sustitución es inyectiva. De hecho, son Jos mismos intervalos sobre Jos que arcsen, arctg y arcsec están definidas. 1

EJEMPLO 1 Sustitución trigonométrica u =a sen 8 Hallar

f

dx

2

'

~·

x v' 9- x 2

Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas en la Sección 5.9. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que )9-7 es de la forma a 2 - u 2 . Por tanto, hacemos la sustitución

J

x FIGURA 7.6

x \9- x2 sen e=-· ctg o=--· 3 X

= a sen O= 3 sen O

Utilizando derivación y el triángulo de la Figura 7.6, obtenemos dx = 3 cos OdfJ,

)9-7 = 3 cosO

y x 2 = 9 sen 2 O

566

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla de L'Hópital e integrales impropias

Por tanto, la sustitución trigonométrica lleva al resultado siguiente.

f

3 cos

dx

f (9 sen

x2}97

f ~f

9

2

ede

Sustituir

0) (3 cos O)

de

Simplificar

sen 2 O

cosec

l

= -- ctg

9

2

edO

Identidad trigonométrica

e+ e

Aplicar la regla de la cosecante

=-~(~)+e

Sustituir ctg O

)97 -"---+e 9x

El triángulo de la Figura 7.6 permite volver de la variable O a la variable x.

ctg

e= ady. = )97 op.

x

o

Intente hallar en la calculadora, con integración simbólica, las integrales

e intente después llegar a esos resultados usando una sustitución trigonométrica.

En la Sección 5.1 O vimos cómo usar las funciones hiperbólicas inversas para resolver las integrales

Estas integrales se pueden hallar asimismo por cambios de variable trigonométricos, como ilustra el próximo ejemplo.

Sección 7.4

567

Sustituciones tágonométácas

EJEMPLO 2 Sustitución triJionométrica u = atg O

Hallar

Solución:

f

dx J4x 2 + 1

·

Tomemos u== 2x, a= 1 y 2x = tg O, como indica la Figura 7.7. Entonces,

FIGURA 7.7

tg (1 =2x. sec 11 =y'4i + l.

1

dx == - sec 2 OdO 2

J 4x

y

2

+ 1 = sec O

La sustitución trigonométrica hace que sec 2 O dO

J

=

~

Sustituir

O

sec

f

Simplificar

secO dO

1

= - In 1 sec O + tg O1 +

2

1

= - In

2

1

J 4x

2

e

+ 1 + 2x + 1

Aplicar la regla de la secante

e

Deshacer el cambio

Verifique el resultado mediante integración simbólica. El resultado ¿viene O dado en esa forma o en términos de una función hiperbólica inversa? La utilidad de los cambios de variable trigonométricos alcanza a las integrales donde aparecen expresiones (a 2 - u 2 Y12 , para lo cual basta escribir

EJEMPLO 3 Sustitución triJionométrica: potencias racionales

,0/x

¿_j

FIGURA 7.8

Hallar

f

dx , · (x + 1) 31 2

Solución: Comenzamos escribiendo (x 2 + 1) 312 como (~x 2 + 1) 3 . Ahora hacemos a= 1 y u= x == tg O, como muestra la Figura 7.8. Teniendo en cuenta que

X

tgli=x.scnO=~·

\/ +

1

dx = sec 2 OdO

y

J?+l == sec O

al aplicar la sustitución trigonométrica se obtiene Reescribir el denominador

Sustituir

568

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla deL 'Hópital e integrales impropias 0

=

Js~ o

Simplificar

=

f cos 8 di)

Identidad trigonométrica

o+ e

=sen =

X

P+I

Aplicar la regla del coseno

+C

D

Deshacer el cambio

Para las integrales definidas suele ser preferible determinar los límites de integración en O, lo cual evita tener que regresar a la variable x. Puede ser interesante repasar este procedimiento en los Ejemplos 8 y 9 de la Sección 4.5.

EJEMPLO 4 Transformación de los límites de integración

Calcular

f

2

_

p-=3 ·x

dx.

\/3

x

FIGURA 7.9 \'x 2 - 3

J3

sec IJ=~· tgO=----·

,j3

J

Solución: Como p-=3 es de la forma u 2 - a 2 , hacemos u = x, a = hacer x = sec O, como indica la Figura 7.9. Entonces,

J3 sec O tg OdO

dx =

\/3

y

Cuando x =

fi,

J3 sec O, como

Límite superior

sec 8 = 1

y

Cuando x = 2, sec O =

0=0

y

2 J3

0=1!_ 6

En consecuencia,

2

f

v3

Jx2="3 dx = f"

16

o

X

rr/6

=

=

f

o

J3

Cfi tg O)(fi sec O tg O) dO sec 8

J3

fi

tgz (~ dO

rr¡6

f 0

y

Jxz - 3 = J3 tg O

Para averiguar los límites de integración, hacemos uso de x = sigue. Límite inferior

fi,

(sec 2 8 - 1) dO

Sección 7.4

569

Sustituciones trigonométricas

J3 [tg

=

=

rr/6

J

o-() o

J3(fi- ~)

= 1-

J3n 6

~

D

0,0931

Nota. En el Ejemplo 4, intente volver a la variable x y evaluar la primitiva en los límites de integración originales. Debe llegar a este resultado: 1

[~ x- dx = J3 fl3 -arcsec VXJ2 r; f 2~ 3 V

r,

r

3

y3

Cuando se calculan integrales definidas por un cambio de variable trigonométrico, hay que tener la precaución de comprobar que los valores de e están en los intervalos indicados al comienzo de esta sección. Así, si en el Ejemplo 4 se hubiera pedido calcular la integral

f

j3 _,_J_x_2_-_3 dx X

-2

-J3J

u x a J3

u< -a.

al hacer = y = en el intervalo [-2, resultaría Por tanto, al determinar los límites de integración !endríamos que haber elegido e tal que n/2 < O ~ n. En este caso, la integral se hubiera calculado de este modo.

f

-,!3

-2

JT=3

In c-J3 tg O)(j3 sec e tg J3 sec O =In -J3 tg e dO

-'-----dx = x

O) dO

Srr/6

2

Srr/6

=

-J3 In

(sec 2 O- 1) dO

Srr/6

=

=

-J3[tg

o]n

-J3[co- n) -

= 1+ ~

O-

J3n 6

-0,0931

Srr/6

(-

fl- J 56n)

570

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla de L'Hópital e integrales impropú1s

En las sustituciones trigonométricas se puede proceder eventualmente a completar el cuadrado (véase Sección 5.9). Por ejemplo, intente calcular la integral

I

Jx

2

-

2x dx

completando el cuadrado, antes de nada, de esta manera

Las tres próximas familias de integrales, que aparecerán varias veces en adelante, se pueden hallar por sustituciones trigonométricas. Cuando las encontremos, nos limitaremos a citar este teorema. (En el Ejercicio 73 se pide verificar las fórmulas que contiene.)

TEOREMA 7.2

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN ESPECIALES (a >0) l.

f Ja

2

-

u2 du

==

~(a 2 arcsen ~ + uJa

2

_

u2 ) +e

2. 3.

Aplicaciones EJEMPLO 5 Cálculo de una longitud de arco j(x)

Calcular la longitud de arco de la gráfica de f(x) (Figura 7.1 0). Srlución: (0. O)

FIGuRA 7.10 La longitud de arco de la curra entre (0. 0) y(\. 112) e1 aproximadamente 1.148.

s=

= l x2

entre x

=Oy x =

Por la fórmula para la longitud de arco de la Sección 6.4,

J: J!

2

+ lf'(x)] dx

Fórmula para la longitud de arco

=Io ~dx 1

t(x) =x

n•4

=

I

sec 3 O dO

Hacer {/

=l

yx

= tg

11

0

Jn/4

1[ = - sec O tg O + In [sec O + tg O[ 2 o =

~[.j2 +In (.j2 + 2

1)]

~

1,148

Ejemplo 'i. Sección 7.2

D

Ejercicim de la Sección 7.4

571

EJEMPLO 6 Comparación de las fuerzas de dos fluidos

Un barril de petróleo, que pesa 48 libras/pie 3 , está flotando, cerrado, en agua de mar, que pesa 64 libras/pie 3 , como muestran las Figuras 7.11 y 7.12. (El barril no está del todo lleno de petróleo, sino sólo hasta 0,2 pies de su parte superior.) Comparar las fuerzas interior y exterior de los fluidos sobre una de las bases circulares del barril. FIGURA 7.11 El oaml no e1tá completamente lleno. El petróleo dep sin ocupar los 0.2 pies de la parte superior.

Solución: En la Figura 7.12 situamos el sistema de coordenadas con su origen en el centro del círculo de ecuación Para determinar la fuerza del fluido interior, integramos entre -1 y 0,8 (tomando como peso w = 48). F= w

fd h(y)L(y) dy

Ecuación general

0.8 Finterior

f

= 48 _

(0,8 - y)(2)jl7 dy 1

o.s

J

= 76,8

ji -

y 2 dy- 96

Jo.s y j l 7 dy

-1

-1

Y para calcular la fuerza del fluido exterior, integramos desde -1 hasta 0,4 (tomando como peso w = 64). 0.4

Fcxterior

f

= 64 _

(0,4 - Y )(2)jl7 dy 1

f

0,4

= 51,2 FIGURA 7.12

-1

Jl7 dy- 128

J0,4 -1

yj~ dy

Dejamos los detalles de la integración como ejercicio (véase Ejercicio 66). Intuitivamente, ¿cuál de las dos fuerzas diría que es mayor, la del petróleo (interior) o la del agua de mar (exterior)? Calculando las integrales se ve que Fintcrior

~

121,3 libras

Y

Fextcrior

~

o

93,0 libras

Ejercicios de la Sección 7.4 En Jos Ejercicios 1-4, asociar cada integral con la primitiva correspondiente. a)

b)

d)

2

41 + J x 2

+ 16 -

+ 16 +

e

x lx 1 - 16 16 + x/ + _y__ _ _ + 2

e

4 In

¡

-) 16 - x 2

2.

8 In

IJ x

+ 16 f~ dx

3.

8 arcsen - -

4.

x - 3 (x - 3)y 7 + 6x - x 2 8 arcsen - - + +

f

xz

~dx

yX

X

e)

Jx

l.

JJ7 + 6x -

f

2

x dx

X

2

-

X

4

4

Xy

16 - x 1

2

+

e 2

e

2

x

._,¡x 2 - 16 1

dx

En los Ejercicios 5-8, hallar la integral haciendo la sustitución x = 5 sen O.

572

5.

Técnicas de integración. regla deL 'Hópital e integrales impropias

Capítulo 7

f

1 , 7 2 X )·' 1-

(25 -

dx

f x 2 J2~ f xz dx J25 - xz

- x2 dx

6.

J25 - x

2

7.

I

-"-~~-dx X

8.

En los Ejercicios 9-12, hallar la integral haciendo la sustitución x = 2 sec O. 9.

11.

f 21 dx Jx - 4 f x Jx 2- 4 dx

10.

15.

36.

f x + x2+ 1 x + 2x + 1 dx

37.

f arcsec 2x dx

38.

f xarcsen xdx

1 dx f J4x - x2

40.

f x3 dx JT=4

41.

dx f Jx 2+ 4x + 8

42.

12.

fxJT+7dx

14.

f (1 +1x2)2 dx

16.

f x3

J1+7

f

xz x2)2 dx

f J4 + 9x 2dx

18.

43.

45.

f j1+.7dx 47.

21.

f

X

P+9

f

Jl6-

dx

20.

4x 2dx

22.

23.

f

dx

24.

25.

JF7 dx

26.

1

P--=9 X

27.

29.

4

12 dx fxJ4x + 9 f (xz + 3 dx X

)3'2

1

f J2s xJ16 - 4x dx

f

t2)3i2

f

33.

fex~dx

34.

dx f Jx 2 - 6x + 5 X

I:i2 (l

r

t2 -

x3

2 3/2

t )

op-+9

dt

dx

44.

46.

I:3;2 (1 - 1t ) dt 2 5/2

r/3 J25 - 9x2dx 0

49.

f

xz dx Jx 2+ 10x + 9 f xz dx ~

48.

f (x 2+ 2x + 11 ) dx

50.

Jx 2JT=4 dx

312

51. Área Calcular el área de la región interior a la elipse de la figura.

dt

x4

30.

32.

dx J2x - x2

f J4x 2+ 9 dx f (x2

f ezx fl+7x dx

2

f (1 - t

28.

31.

- x2 dx

,z

En los Ejercicios 47-50, usar integración simbólica para hallar la integral. Verificar el resultado por derivación.

En los Ejercicios 19-38, hallar la integral. 19.

X

f

En los Ejercicios 43-46, calcular el valor de la integral usando a) los límites de integración dados y b) los límites de integración obtenidos por sustitución trigonométrica.

dx

(1 +

4

En los Ejercicios 39-42, completar el cuadrado y hallar la integral.

X

3

4

3

39.

En los Ejercicios 17 y 18, hallar la integral utilizando el Teorema 7.2. 17.

f 4 + 4x12+ x dx

IJT=4 dx

En los Ejercicios 13-16, hallar la integral haciendo la sustitución x = tg O. 13.

35.

1

+ 3)3/2

dx

1 dx xJ4x 2+ 16 f (x + 1) J x + 2x + 2 dx 2

f~ Jx dx

52.

Diseño mecánico La superficie de una pieza de una máquina es la región entre las gráficas de y = lxl y x 2 +(y- k) 2 =25. (Véase figura en la página siguiente.) a) Calcular k sabiendo que el círculo es tangente a la gráfica de y = 14 b) Calcular el área superficial de la pieza. e) Determinar el área superficial de la pieza en función del radio r del círculo.

573

Eiercicios de la Sección 7.4

1

lm

1 X

Volumen de un toro En los Ejercicios 53 y 54, calcular el volumen del toro generado por la región acotada por la gráfica del círculo al girar en torno al eje y. 53.

(x- 3) 2

+ y 2 = 1 (véase figura) y

Círculo: (X·-3)2+ yO= f

{'¡_, Movimiento de un proyectil

En Jos Ejercicios 59 y 60, a) representar en la calculadora la trayectoria de un proyectil que sigue el camino dado por la ecuación, b) determinar el alcance del proyectil, y e) usar integración en la calculadora para hallar la distancia rcorrida por el proyectil.

=x -

x2

0,005x 2

60,

59.

y

61.

Área de una superficie Calcular el área del sólido de revolución generado por la región acotada por las gráal girar en torno ficas de y = x 2 , y = O, x =O, y x = al eje x.

y=

X--

72

J2

X

Longitud de arco En los Ejercicios 55 y 56, calcular la longitud de arco de la curva plana en el intervalo que se indica. Función

Intervalo

55. y= In x

[1, 5]

56. y= xz

ro. 31

57. Longitud de arco Probar que la longitud de un arco de la función seno es igual a la de un arco de la función coseno.

0v 58.

Volumen El eje del depósito cilíndrico de la figura está horizontal. a) Expresar el volumen de líquido en el depósito en función de la profundidad d. b) Representar esa función en la calculadora. e) Diseñar una varilla de control de profundidad con marcas de ;J:, ~. y ~d) Si entra líquido en el depósito a razón de m 3 /min, calcular el ritmo de cambio de la profundidad como función de la profundidad d. e) Representar esta función en la calculadora. ¿Cuándo es mínimo el ritmo de cambio de la profundidad? ¿Coincide el resultado con lo que dicta la intuición? Explicar la respuesta.

Centroide En Jos Ejercicios 62 y 63, hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de las desigualdades. 2

62.

y~ 3/y~x

63.

1 2 2 2 .v ~ -x 4 ,(x-4) + .y ~ 16,v ~O

64.

+ 9,y ~ O,x ~ -4,x ~ 4 ~

Intensidad de campo media La intensidad de campo H de un imán de longitud 2L sobre una partícula que dista r unidades de su centro es

donde ±m son los polos del imán (véase figura). Hallar la intensidad de campo media cuando la partícula se desplaza desde O hasta R unidades de distancia del centro, calculando la integral

¡IR

-

2mL

R o (rz + L2)32

r

---

-·

dr

574 65.

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla deL 'Hópital e integrales impropias

Fuerza de un fluido Hallar la fuerza de un fluido sobre una ventana vertical de observación circular de radio 1 pie, inmersa en un tanque lleno de agua de una piscifactoría, para cada una de las profundidades que se indican (véase figura). Usar sustitución trigonométrica al calcular una de las integrales. (Recordemos que en un problema similar en la Sección 6.7 evaluamos una de las integrales gracias a una fórmula geométrica y la otra obsevando que el integrando era impar.) a) El centro de la ventana está 3 pies bajo la superficie del agua. b) El centro de la ventana está d pies (d > 1) bajo la superficie del agua.

'

12 . 10

8; 6

1~ 1

4;

X

2

l'v 68.

x'+y'~ 1

4

6

8

10 12

Un modew matemático La tabla da el coste medio S (en miles de dólares) de las pólizas de seguros de vida vigentes en EE. UU entre 1988 y 1993. (Fuente: American Councif of' Lije lnsurance.) Año

1988

1989

1990

1991

1992

1993

S

31,4

34,4

37,9

41,5

43,0

45,8

Un modelo para esos datos es S

66.

F:ntc:·im

= 48JO,R

+ 228,5t - 4,4t 2

donde tes el tiempo en años, con t = Ocorrespondiendo a 1990. a) Representar ese modelo en la calculadora para -2 ,; t ,; 3. h) Calcular el ritmo de crecimiento de S cuando t = l. e) Usando el modelo y la integración, predecir el valor medio de S entre los años 1998 y 2000.

Fuerza de un fluido Calcular estas dos integrales, que proporcionan las fuerzas del fluido del Ejemplo 6.

a)

= '-/ 1.445,6

(0,8 - y)(2)J 1 - y 2 dy

-1

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 69-72, discutir si la afirmación es correcta. Si no lo es, explicar la razón o dar un ejemplo que muestre su falsedad. 69.

(\_, 67.

Tractriz Una persona parte del origen y camina por el semieje v positivo arrastrando un peso al final de una cuerda de 12 metros (véase figura). Inicialmente, el peso está situado en el punto ( 12, 0). a) Probar que la pendiente de la tangente a la trayectoria del peso es

Si x

= sen O,

entonces

=IdO I ---;::::=dx= ~ 70.

Si x = sen O, entonces

I~ I dx =

dy

dx

71.

Si x

= tg

sec O tg O dO

O, entonces

X

4rr¡3

f

cosO dO

0

h)

e)

d)

Usar el resultado de a) para encontrar la ecuación del camino que sigue el peso. Representar el camino en la calculadora y compararlo con la figura. Hallar las asíntotas verticales de la gráfica del apartado h). En el momento en que la persona llega al punto (0, 12), ¡,cuánta distancia ha recorrido el peso?

72.

Si x

1

I

-1

73.

= sen

O, entonces

x 2 ~ dx

=2

fn/2

. sen 2 O cos 2 O d(i

o

Verificar, por sustitución trigonométrica, las fórmulas de integración expuestas en el Teorema 7.2.

Sección 7.5

CONTENIDO Fracciones simples Factores lineales Factores cuadráticos

L

• • • •

575

Fracciones simples

0

_7.5_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Fracciones simples

Fracciones simples Esta sección presenta un método de descomposición de funciones racionales en otras funciones racionales más simples a las que se pueden aplicar ya las fórmulas básicas de integración. Para comprender las ventajas de este método, llamado descomposición en fracciones simples, consideremos la integral

f

2W-5x+ 6

1 ~- dx 5x + 6

---c----

x2

1

FIGURA 7.13 \ec0=2x-5.

-

Se puede resolver esta integral sin recurrir a la descomposición en fracciones simples completando el cuadrado y haciendo un cambio de variable trigonométrico (véase Figura 7.13), a saber:

6

dx= =

dx (x - 5/2) 2 - (1/2) 2

f f

1

5

1

a = -, x- - = - sec O 2 2 2

(1/2) sec O tg O d O (1/4) tg 2 ()

da

=

1 - scc

O tg O dli

2

f

= 2 cosec f) dO

= 2 In icosec O - ctg O¡ + = 2 In

1

X-

= 2 In 1

= 2ln

2x - 5 2Jx 2 - 5x + 6

y~x

2

-

3 5x + 6

1

e 1

2Jx 2

-

+

e

5x + 6

+e

IF-=-31 +e Fx-=--2

X - 31 =In--X- 2

+e

I

=In

JOHN BERNOULLf!1667·17481 El método de descomposición en fracciones simples fue introducido por John Bernoulli, un matemático suizo que jugó un papel fundamental en el desarrollo del Cálculo. fue profesor en fa Universidad de Basilea, donde contó con ilustres discípulos, entre ellos el m.ás famoso Leonhatd Euler.

!x- 31

-In

!x- 21

+

e

Ahora bien, si nos hubiéramos dado cuenta de que

x2

-

5x + 6

x - 3

x - 2

Descomposición en fracciones simples

la integral se hubiera resuelto de una forma bien sencilla:

f

1

x

2

-

5x

1 1 dx=f(~ -~ )dx + 6 x - 3 x - 2

= In

!x - 31 -

In

lx - 21 + e

576

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla de L'H6pital e integrales impropias

Este método es claramente preferible. No obstante, su eficacia depende de la habilidad para factorizar el denominador y encontrar así las fracciones simples

X -

ADVERTENCIA En cursos previos al Cálculo habrá aprendido a combinar funciones tales como

1

-1 x

+ 3

5 (x - 2)(x

2

X -

En esta sección aprenderemos a efectuar sistemáticamente esta descomposición. El Álgebra enseña que todo polinomio con coeficientes reales se puede descomponer (factorizar) en factores lineales y factores cuadráticos. Por ejemplo, el polinomio x 5 + x 4 - x - 1 puede escribirse como x5 + x4

~~+~~=~~~~~

x - 2

y ---

3

-

x - 1 = x 4 (x + 1) - (x + 1)

+ 3)

= (x 4

El método de las fracciones simples enseña cómo invertir el proceso.

1)(x + 1)

-

= (x 2 + l )(x 2

1)(x + 1)

-

2

= (x + l)(x + l)(x- l)(x + 1) 5

?

?

= (x- l)(x + 1) 2 (x 2 + 1)

~~~~~=~~+~~

(x - 2)(x + 3)

x - 2

x

+ 3

donde (x - 1) es un factor lineal, (x + 1? es un factor lineal repetido y (x 2 + 1) es un factor cuadrático irreducible. Gracias a esta factorización podemos escribir la descomposición en fracciones simples de la expresión racional N(x)

donde N(x) es un polinomio de grado menor que 5, en la forma N(x)

-~~~~----;;:---;;~-

(x -

1)(x + 1) 2 (x 2 + 1)

A

B

C

Dx + E

= -- + -- + + ----::~~ x - 1 x + 1 (x + 1) 2 x2 +

DESC()M~OSlCIÓN DE N(x)ID(x).EN FRACCIONES :SIMt'J.:.li:S: '\

1.

Dividir en caso impropio: .;>~·H'J~JI'~'--"·' ~, se!¡;, si el grado del n.umerador es dor) dividimos N(x) por IJ(x) N(x) =(un polino:tttioJ.+

D(x)

donde el grado de N t (x) ya es menor qu.e ~~ g~ D(x): A' C()11(4'tllació~, apli(;arnos los pasos 2, 3 y 4 a la expresi ex• si (1) Yo < z 0 , (2) Yo > z0 y (3) Yo= z 0 .

!

53.

x)

-

ch

Supongamos que el denominador de una función racional se descompone en factores lineales distintos D(x) = (x- C¡)(x- Cz) ... (x-en)

para un cierto entero positivo n y números reales distintos e 1, e 2 , · • ·• c.,. Si N es un polinomio de grado menor que n, probar que

1)(n - x)

y obtenemos

f (x +

l)(n - x)

dx

= fk

D(x)

dt

En una reacción química, una unidad del compuesto Y y una del compuesto Z se convierten en una sola unidad del compuesto X. Si x es la cantidad del compuesto X formada, y el ritmo de formación de X es proporcional al producto de las cantidades que quedan sin transformar de Y y de Z, entonces dx

CONTENIDO Integración por tablas Fórmulas de reducción Funciones racionales de seno y coseno

P

X

-

C¡

• • • •

57.

-

C2

X

-

en

Usar los resultados del Ejercicio 56 para encontrar la descomposición en fracciones simples de x3

x

0

X

donde Pk =N(ck)/D'(ck) para k= 1, 2, ... , n. Obsérvese que esto no es sino la descomposición en fracciones simples de N(x)ID(x).

x)(z - x)

o

P.,

- - = - -1- + - - 2- + ... + - - -

54. Reacciones químicas

-dt = k(y o -

P

N(x)

1

4

-

-

3x 2 + 1 13x

2

+ l2x

_7.6_ _ _ _ _ _ _ _ __ Integración por tablas y otras técnicas de integración

Integración por tablas Hasta este momento, hemos estudiado en el presente capítulo diversas técnicas de integración utilizables con ayuda de las reglas básicas. Ahora bien, saber cómo utilizarlas no es suficiente. Es preciso además saber cuándo. La integración es, por encima de todo, un problema de reconocimiento: hay que reconocer qué regla o técnica utilizar para encontrar una primitiva. Con frecuencia sucede que una ligera modificación de un integrando requiere una técnica totalmente distinta (o incluso puede llevar a una situación en la que la

586

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla de LHápital e integrales impropias

primitiva no sea una función elemental), como ilustran los siguientes ejemplos.

x2

f

In

X

dx = -

In

X

X

x2 In

X -

-

dx = (In x) + 2

2

e

1 - dx = In lln xl + x In x

e

f

X

2

f-·-f

4

+

e

1ntegraeión por panes

Regla de Iw, potencias

Regla Iog

__!_ dx =? In x

~~

11[, --~

1 En parte, una cal. culadora capaz de efectuar integración simbólica es una base de fórmulas de integración. La diferencia esencial entre una tabla de integrales y la calculadora es que ésta busca en su base de fórmulas la que ajuste adecuadamente, mientras que en la tabla hemos de ser nosotros quienes nos encarguemos del rastreo.

Las tablas de integrales constituyen un suplemento valioso de las reglas de integración discutidas en este capítulo. En el apéndice se incluyen tablas con integrales comunes. La integración por tablas no es una panacea universal que salve todos los escollos de la integración. Exige dosis notables de reflexión y de ingenio, e incluso, con frecuencia, recurrir a cambios de variable. Cada una de las fórmulas de integración que figuran en el apéndice es alcanzable por las técnicas que ya conocemos. Intente verificar algunas de ellas. Por ejemplo, la Fórmula 4

f

u- 2 ---

(a + bu)

a - + ln la + hui ) + du = 21 ( - b a + bu

a + bu du = u

2Ja

+ bu + a

I

x~=

I

2

)

¿Es el mismo resultado al que se ha llegado en el Ejemplo 1?

Fórmula 19

+ bu)

~ Ju2 ± a2

Ja2 - u2

Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

+ 1

du uJa + bu

(a2 ± u2)

2 du

u2

f

(a

(a+ bu + cu

dx

Fórmula 4

se puede verificar integrando por partes. Las integrales del apéndice están clasificadas atendiendo a las expresiones que contienen, a saber:

Use las tablas de integrales del Apéndice y la sustitución

para hallar la integral del Ejemplo l. Comprobará que se obtiene

e

puede comprobarse usando descomposición en fracciones simples, a su vez, la fórmula 19

fJ EXPLORACIÓN

No es una función elemental

EJEMPLO 1 Intel!ración por tablas Hallar

dx

f

;-::---; · xv~x- l

Sección 7.6

587

Integración por tablas y otras técnicas de integración

Solución: Puesto que la expresión que está dentro del radical es lineal, consideramos las integrales del tipo a + bu

J

f

du

2 -a

-J~ arctg

uJa + bu

Con a

= -1, h = 1 y u = x,

f

P.+

' bu + -a

= dx y

se tiene du

dx r - - ; = 2 arctg

Xy.t-

e

Fórmula 17 (a < 0)

por tanto

r: - 1 + e

D

V X -

1

EJEMPLO 2 Integración por tablas Hallar

f

xJx 4

Solución:

9 dx.

-

El radical es de la forma

,f

ju

Hacemos u

2

-

2

a du =

~ (uju

vu 2

2

-

a 2 , así que utilizamos la fórmula 26.

-

a

2

2

a In /u+ Ju

-

= x 2 y a = 3. En consecuencia, du = 2x dx,

fx~

dx = =

~

f

j(x

2 2 )

2

a

-

2

/)

+C

luego

2

3 (2x) dx

-

~ (x 2 ~ -

4

Jx

9 In /x 2 +

4

-

9/) +

e

O

EJEMPLO 3 Integración por tablas

.J,l ~

El Ejemplo 3 pone de relieve la importancia de tener varias soluciones técnicas a nuestro alcance. Esta integral no es difícil de resolver con las tablas, pero cuando hemos intentado resolverla con un programa informático de ljntegracíón simbólica muy éOnocido, la calculadora ha sido incapaz de encontrar su primitiva. r

Hallar

Solución:

f

x , dx 1 + e-r

De las integrales que contienen e", elegimos du - - - = u - In ( l + e") +

f 1 + e"

e

Fórmula R4

Hacemos u = -x 2 . Entonces du = -2x dx y concluimos que

\f

x _ --1 , ------,, dx2 1 + e-x 1 2

f

-2x dx ,

1 + e-x 2

_,,

= -- [ -x - In ( 1 + e , )] +

1 2 ' =- [x +In ( 1 +e-x-)]+ 2

e

e D

588

Capitulo 7

Técnicas de integración, regla deL 'H6pital e integrales impropias

Fórmulas de reducción 1\ota. A veces, cuando se usa integración simbólica se obtienen resultados ¡¡ue, aun siendo e¡¡uivalentes. parecen muy distintos. Para la integral del Ejemplo 5, varios programas de integración simbólica dan los siguientes resultados. ¡

Algunas integrales de las tablas tienen la forma S f(x) dx = g(x) + S h(x) dx. Tales fórmulas de integración se llaman fórmulas de reducción, ya que reducen una integral dada a la suma de una función y otra integral más sencilla.

EJEMPLO 4 Aplicación de una fórmula de reducción

Maple

":-l=.. f -

Hallar

5x

dx =

2x

= ,, 3 - 5x-

-

(l

x 3 sen x dx.

Solución:

')

~ /3 arctgh 3,/35x...¡3

=

f

Consideremos las tres fórmulas siguientes.

fu sen u du = sen u - u cos u +

e

Fórmula 52

Derive

f

v

/3 -

5x

2x

.r

= v' 3 ln

fu" sen u du = -u" cos u+ n f u"- 1 cos u du

=

dx

L'\/ (3 - 5x), '\/x

fiJ

fu" cos u du = u" sen u - n fu"-

+

1

Fórmula 54

sen u du

Fórmula 55

Usando la fórmula 54, después la 55 y finalmente la 52, se obtiene Matematica

f

13 - 5x

"

2x

f

x 3 sen x dx = - x 3 cos x + 3

=

dx

= Sqrt [3- 5x]- Sqrt [3] arctgh

['S¡¡rt [3 -

L

3

5xjl

f

2

x cos x dx

2

= - x cos x + 3 ( x sen x - 2

Sqrt [3 [

= -x 3

COS

X+ 3x 2 sen X+ ÓX

f

x sen x dx)

COS X -

6 sen X+

e

Mathcad

vi3'=5x _.__ ____ dx

f

2x i

= y~' 3 - 5x +

ln

EJEMPLO 5 Aplicación de una fórmula de reducción

=

L

l

.-

l v/3

l (-6 + 5x + 2}3y~3 5 X

Hallar

5xl

Nótese además que estos programas no incluyen la constante de integración en su respuesta.

f

Solución:

fi-=-Sx dx. 2x

Consideremos las dos fórmulas siguientes.

fuJa f

Ja :

~~btt- Ja\ +e Ja J a + hu + Ja

=-1 In

du

+ bu

bu du =

2Ja

+ bu + a f

du

uJa

+ bu

Fórmula 17 (a> 0)

Fórmula 19

D

Sección 7.6

589

Integración por tablas y otras técnicas de integración

De la Fórmula 19, con a

= 3, b = -5, y u = x, se obtiene

1(

lf~ dx = -

-

x

2

2

~

2v 3 - Sx + 3 f

=~+~f 2

Usando ahora la fórmula 17, con a

dx ) ~

xv 3

- Sx

dx

xJ3

5x

= 3, b = -5, y u = x, se obtiene

-11)+e V f ~dx=~+~(~!nj~ 2x

2

3 - Sx +

3

~ + _V_13 In V~-

= V _, -

:J

JX

1

2

:J

-

J..t

V

3

13

~+J3

+

1

e

D

Funciones racionales de seno y coseno EJEMPLO 6 InteJiración por tablas

sen 2x

Hallar

f

Solución:

2 +

dx.

COS X

Poniendo 2 sen x cos x en lugar de sen 2x obtenemos

f

sen 2x fsen x cos x ----dx= 2 dx 2 + COS X 2 + COS X

Basta una mirada a las formas que contienen sen u y cos u en el apéndice para convencerse de que ninguna de ellas es aplicable. Por tanto, volvemos la vista hacia las formas que contienen a + bu. Por ejemplo,

f

_u_d_u_ a + bu

Sea a

=~(bu -a In la+ bu!)+ e

Fórmula 3

b

= 2, b = 1, y u = cos x. Entonces du = -sen x dx, y obtenemos 2

f

sen x cos x dx = -2 2 + COS X

f

cos x( -sen x dx) 2 + COS X

e e

= -2(cos

X-

2 In 12 + cos xl) +

= -2 cos

X

4 In 12

+ + xl + cos

D

El Ejemplo 6 se refería a una expresión racional en sen x y cos x. Si no se consigue encontrar una integral de esta forma en las tablas, hay que intentar la siguiente sustitución especial con el fin de convertirla en una expresión racional usual.

590

Técnicas de integración. regla deL Hópita/ e integrales impropias

Capítulo 7

SUSTITUCIÓN PARA FUNCIONES RACIONALES DE SENO YCOSENO Para funciones racionales de seno y coseno, la sustitución u;;;:;

sen x 1 + COS

- tg X

x 2

hace que

1 - u2 2u cosx;:; - - -2 • senx:;;: - - -2 • y l+u l+u Demostración:

2 du

dx=--~

l+u 2

Del cambio de variable propuesto se deduce que sen 2 x (1 + cos x) 2

U2=----~

cos 2 x (1 + cos x) 2 l

COS X

+

COS X

Despejando cos x vemos que cos x = (1 - u 2 )/(1 + u 2 ). Para hallar sen x, escribimos u = sen x/( 1 + cos x) como 2

2u 1 - u ) sen x = u(i + cos x) =u ( 1 + - --~ -1 + u 2

Además, de u = tg (x/2) se sigue que arctg u = x/2, y de ahí finalmente D obtenemos dx = (2 du)/(1 + u 2 )

Ejercicios de la Sección 7.6 En los Ejercicios 1 y 2, hallar la integral consultando en las tablas las formas que contienen a + bu.

l.

f

9.

f

8.

1

dx

10.

Jx (1 - cos Jx>

En los Ejercicios 3 y 4, hallar la integral consultando en las

Ju

2

± a2 .

f

ex ..J 1 + e 2 x dx

tablas las formas que contienen

Ja

2

-

u2 .

En los Ejercicios 7-1 O, usar una tabla de integrales con formas que contengan funciones trigonométricas para hallar la integral.

L

- tg 5x

dx

J--

1 - - dx 1 + e2 x

12.

J

e-lx

cos 3x dx

En los Ejercicios 13 y 14, hallar la integral consultando en las tablas las formas que contienen In u.

1

f xl~ dx

fcos~Jx dx

En los Ejercicios 11 y 12, hallar la integral consultando en las tablas las formas que contienen e".

11.

En los Ejercicios 5 y 6, hallar la integral consultando en las

S.

f sen 4 2x dx

xl

--dx 1 +X

tablas las formas que contienen

3.

7.

13.

f

x 3 In x dx

14.

f

(In x)

3

dx

En los Ejercicios 15-18, hallar la integral indefinida a) con ayuda de tablas y b) por el método indicado.

Ejercicios de la Sección 7.6

15.

16.

17.

18.

lnlef!.ra/

Método

f x 2 ex dx

Integración por partes

4

591

44.

f

(2x-

W J~=-J) 2

+ 4 dx

45.

46.

f

47.

48.

fj8

49.

50.

Integración por partes

Jx lnxdx fxz(x 1+ 1) dx

3- X --dx 3 +X

Fracciones simples

f-z_l_dx X - 7S

COS X

----;=~== dx Jscn 2 x + 1

f

sec 5 O dO

Fracciones simples En los Ejercicios S I-S6, verificar la fórmula de integración.

En los Ejercicios 19-SO, hallar la integral con ayuda de tablas.

19.

21.

23.

25.

27.

29. 31.

33.

35.

36.

37.

39.

J.~e'' dr

f f

2

x arcsec (x + 1) dx

x

2

22.

24.

In x dx

L\1~dx

f( ~x3x)2 f f1

26.

28.

dx

30.

ex arccos ex dx

32.

--x--c: dx 1 - sec x 2

J·,--~ X

COS

+ sen 2 x

dx

34.

o

cos

f

3 + 2 sen O + scn 2

f

J3

f f

dx 2

= 31

h·

f arcsec 2x dx 52.

f

x sen x dx

f f

xz

2

53.

54.

ez

-----;: 1

1 -

dx

sen ()·

d0

55.

f f---'--=ex dx 1 - tg ex

t[ 1 + (In t) 2 ]

56.

In x

+ 2 In (xz -

6~ +

x)

dx

IO)z dx

f Jx arctg x

3 2

i

f

1

o

(uz + a·)3;2

=

du

=

-

fu" cos u du

e

+ hui ) +

hu- na

f

un-I ~ du )

Ja+hu

±u +e o ¡ 2 a·-., u ± az

= u" sen u

- n fu"-

f

arctg u du

= u arctg u -

In

f

(In u)" du

= u(ln

f

u)"- n

J1+

1

sen u du

u2 +

e

(In u)"- 1 du

f'v En los Ejercicios S7-62, usar integración simbólica en la calculadora para encontrar la primitiva que pasa por el punto que se especifica y representar su gráfica.

dO

42.

In~ du

la

dt

(}

40.

u"

...¡a +

dx

dx

4

a - - 2a In hu - - a + hu

(2n+1)h

(3x - S)

x 2 +2x+2

f

f

(

= - -2- - ( u'\/a +

1

t cos r dr

f

f~ x

+ x 2 dx

xzj2+9xl

41.

43.

51. 20.

dx

Integral

Punto

57.

f x3f2~ 1 dx

G· s)

58.

fxJx 2+ 2x dx

(0. 0)

59.

f )2- 2x-

60.

X+ J

f (xz

xl

dx

- 6 + 10)2 dx

(0,

)2J

(3, O)

592

61. 62.

Capíwlo 7

Len 1; tg

()

75.

dli

O

sen

Técnicas de integración, regla de L'Hópital e integrales impropias

Leos 0)( 1 + sen li)

dO

Diseño arquitectónico

La sección de un soporte de cemento de 20 pies de largo (véase figura) está acotada por las gráficas de las ecuaciones

(0, 1)

x=

En los Ejercicios 63-70, calcular la integral. 63. 65.

dO

64.

f 2-

3 sen ()

f2

+ sen O cos O sen 11

67.

f3

69.

f

- 2 cos

eos

()

dO 66.

dO

68.

"/a dli

--r;;-

70.

--JO

f

O

sen 1 + cos 2

f'

2

L

sen O

+ sen

f

Jl+7

•X=

-2

Jl+7 •y=Oev=3 .

donde x e y se miden en pies. a) Calcular el volumen V y el peso W de ese soporte, supuesto que el cemento pesa 148 libras/pie 3 . b) Localizar el centroide de la sección.

dO

o

3 - 2 e os

2

odO

4

dO

o

1 sec O - tg O

dO

Área

En los Ejercicios 71 y 72, calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones. -3

71.

72. 73.

X

- - - • .V= 0 , X= 8 .V = -r::-:;:--¡yX + 1

76.

Una población crece siguiendo el

modelo logístico

X

v=---.• v=O x=2 1 +e'· · '

5.000 l + e4.s t.9r

·

N=--~--c--::­

Trabajo Un cilindro hidráulico de una máquina industrial empuja un bloque de hierro una distancia de x pies (O ~ x ~ 5). La fuerza variable requerida para ello es F(x) = 2.000 xe

x

libras

Determinar cuánto trabajo se ha realizado al desplazar el bloque 5 pies. 74.

Población medía

Trabajo

donde 1 es el tiempo en días. Calcular la población media en el intervalo [0, 2]. (\_, En los Ejercicios 77 y 78, usar la calculadora para a) despejar la constante k en la ecuación integral, y b) representar la región cuya área viene dada por esa integral.

Repetir el Ejercicio 73 usando una fuerza

J 4

77.

0

F(x)

=

500x J26- x

CONTENIDO • Fonnas indeterminadas • La regla de L'Hópital •

2

libras

0

78.

J:

__ k_

2 + 3x

dx

= 10

6x 2 e-xi 2 dx=50

_7.7_ _ _ _ _ _ _ _ __ Formas indeterminadas y la regla de L'Hópital

Formas indeterminadas Ya se dijo en los Capítulos 1 y 3 que las formas 0/0 y ex;/ oo se llaman indeterminadas, porque ni garantizan que exista el límite ni, en caso de que exista, determinan cuál es su valor. Cuando nos hemos encontrado con ellas hemos intentado reescribir la expresión recurriendo a técnicas algebraicas.

Seccián 7.7

593

Formas indeterminadas y la regla de L'Hópital

Forma Indeterminada

o o

Límite

lím

x~ -1

Técnicas algebraicas

2x 2 X

2

-

+ 1

lím 2(x- 1) x~

-1

== -4

3x 2 3 - (l/x 2 ) lím --;;:2 - - == Iím ----;;2

00

x~XJ2x

oc

x~c0

X

lím

lím

x~

x--->2

e' - (1 - x)

lím

f(x)

19.

14.

X

x---+0

X

12.

/4 _ -_ x 2_- _ 2 lím _."-_ x--->0

sen 5x lím-x~o sen 2x

2

lím - - - - x~z x - 2

sen ax lím - - sen hx

x~o

lím

arctg x - (rr/4)

x~t

lím

X -

]

1

X--c:-- - - 2

x~Yx

+2x+3

xz

x 2 + 2x + 3 X-

27.

JO

1

X

102

10.1

10 4

X

lím

10 5

29.

In x

lím

f(x)

4.

6x lím ----¡:==;:== .J3x2 - 2x 1

10

102

10 3

104

10 5

f(x)

En los Ejercicios 5-l O, calcular el límite usando a) las técnicas de los Capítulos 1 y 3, y b) la regla de L'Hópital.

lím • -~

2(x- 3) x2 - 9

6.

¡-----:

7.

lím :t--->3

9.

lím

..¡x + 1 - 2 X -

5x 2 -

lím X_,.

3 3x +

3x 2 - 5

8.

10.

-1

2x 2 - X - 3

lím

2x +

4x 2 +X

33. 35.

X

37.

36.

X

1 tg-

lím (ex+ x)l x X->()

xllx

+0

lím ( lím ( .'\"--->2

lím

X

lím (1 + x)l'x X

42.

34.

t

lím

39. 41.

sen~)

xl:x

lím

lím x 2 ctg x x---->0

lím (x .\ -+0

32.

1

x--->2'

En los Ejercicios 11-30, calcular el límite, usando la regla de L'H6pital si fuera necesario. (En el Ejercicio 17, n es un entero positivo.)

lím x-·+,-¡

lím (-x In x) x--->0

X+

sen 4x lím--x--->0 2x

sen x lím - x - 7[

(\_, En los Ejercicios 31-44, a) describir el tipo de forma indeterminada (si la hay) que se obtiene por sustitución directa. h) calcular el límite. con ayuda de la regla de L'Hópital si es necesario, e) comprobar el resultado representando la gráfica de la función en la calculadora. (Puede verse un enfoque geométrico del Ejercicio 31 en el artículo de John H. Mathews en The Co/lege Mathematics Joumal, mayo 1992.)

31.

X

30.

X

X

5.

28.

p+t

X~Q

f

x2

8 -

X

4

x - 2

4-

~2

1 x2

-

)

lx- 1) - 4

+~)'

38.

lím

40.

lím (1 + x)l!x

('

602

43.

lím x-1-

1 '-'

Técnicas de integración, regla deL Hópital e integrales impropias

Capítulo 7

-3- - -2 - ) ( In X X - l

58.

44.

Estimación numérica Completar la tabla para mostrar que para valores suficientemente grandes de x, la función ex domina a x 5

En los Ejercicios 45-48, usar la calculadora para a) repre~;en­ tar la función y h) determinar el límite (si existe). 45. 46.

lím (sen x)'

47.

lím (" x

30

40

50

60

tivos de la función y representarla en la calculadora. (Ayuda: Algunos de los límites requeridos para localizar las asíntotas han sido calculados en ejercicios anteriores.)

+ 5x + 2- x)

48. 49.

20

1\" En los Ejercicios 59-62, hallar las asíntotas y extremos rela-

1

2

10

5

ex xs

X - 3 lím---x-J In (2x - 5) x--->0

1

X

Para pensar Encontrar funcionesfy g que satisfagan las condiciones especificadas y tales que lím f(x) =O y

59.

)' =

61.

y= 2xe-x

0

Xllx, X>

=XX~

60.

y

62.

In X v=--

x>O

X

x--+5

lím g(x) =O

Para pensar En los Ejercicios 63-66, explicar por qué la aplicación de la regla de L'H6pital es incorrecta.

x--+5

j(x)

a) lím·-= 10 x- 5 g(x) (Nota:

50.

j'(x)

h) lím·-=o e) x-5 g(x)

lím f(x) = x g(x)

63.

x~ 5

elx 1 2e2x lím - - - = lím - - = lím 2ex = 2 x--+0

Hay muchas respuestas correctas.)

Para pensar les que

64.

Encontrar funciones derivables f y g ta-

lím x--+0

65.

lím f(x) = lím g(x) = x

lím

e·'-·

x--+0

sen nx

1

X COSX

ex

= lím

cos (1/x)

1/x [-sen (l/x)](l/x 2 ) -1/x 2

=0

Hay muchas respuestas correctas.) e-x

Comparación de funciones En los Ejercicios 51-56, usar la regla de L"H6pital para comparar los ritmos de crecimiento de las funciones 51.

53.

lím es_y lím

52.

lím

_,y

(ln

54.

lím

Método analítico a) h)

(ln x)2 x-'

e)

55.

lím

57.

Estimación numérica Completar la tabla para mostrO

xln2 (1 + ln.1)

1

_7.8_ _ _ _ _ _ _ _ __ Integrales impropias

Integrales impropias con límites de integración infinitos En la definición de una integral definida

r

f(x) dx

se exigió que el intervalo [a, b] fuese finito. Por su parte, el teorema fundamental del Cálculo, al que hemos recurrido tantas veces para calcular integrales, requiere que f sea continua en [a, b]. En esta sección analizaremos aquellas integrales que no satisfacen uno o ambos de los requisitos citados. Son integrales en las que o bien el intervalo de integración es infinito, o la funciónf tiene una o varias discontinuidades infinitas en el intervalo [a, b ]. Tales integrales se llaman integrales impropias. Recordemos que una función tiene una discontinuidad infinita en e si por la derecha o por la izquierda, lím f(x) = rx

o

x---te

lím f(x) = -oc x-e

Para tener idea de cómo evaluar una integral impropia, consideremos la integral

I,

~lX

e

h

1

1

h....;..

lj" " f dx

1

1 X

3

4

co

FIGURA 7.17 La región no acotada tiene área l.

2

____ X

1 = -- + 1 = 1

b

1

b

que puede ser interpretada como el área de la región sombreada en la Figura 7.17. Tomando el límite cuando b-> oc resulta lím ( f" -dx) = lím (1 - -1) = f --dxx = h~·Y· x ''~""· b x.

2

1

2

1

1

Esta integral impropia puede interpretarse como el área de la región no acotada comprendida entre la gráfica def(x) = l/x 2 y el eje x, a la derecha de X= J.

Sección 7.8

DEFINICIÓN DE INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN INFINITOS

Integrales impropias

l.

605

Si fes continua en el intervalo [a, co ), entonces

f

eo

f(x) d:x; = lím b...,.. oo

a

2.

a

Sijes continua en el intervalo (-oo, b], entonces

roo f(x) 3.

fb f(x) dx

d:x;

=a~~

f

f(x) d:x;

Sijes continua en el intervalo (-oo, co), entonces

J~oo f(x) d:x: =

f

j(x)dx +

loo f(x) dx

00

donde e es cualquier número real. En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias de la derecha diverge.

EJEMPLO 1 Una inteliral impropia diwgente

I

cx

Calcular

1

Divergc (área infinita)

dx X

Solución:

y;-1

I

x

x•

1

dx

- = lím X

b~.x.

In -dx

= lím [In b-

Tomar el límite para b

--+ 'i_

X

1

xJh

Aplicar la regla log

1

IXJ

= lím (ln b - 0)

Aplicar el teorema fundamental del Cálculo

b---+,x

FIGURA 7.18 Esta región no acotada tiene área infinita.

=OC

Evaluar el límite

D

Nota. Compare las regiones de las Figuras 7.17 y 7.1 8. Parecen similares. Sin embargo, la de la Figura 7.17 tiene área finita, igual a 1, mientras que la de la Figura 7.18 tiene área infinita. 1

EJEMPLO 2 Integrales impropias convergentes Calcular las siguientes integrales impropias

f

y

a)

b)

1

---dx

o x2 + 1

606

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla deL 'Hópital e integrales impropias

Solución: a)

f

Yj

fb e-x dx

e-x dx = lím b~

0

CL

0

= lím [-e- x]b b~ eh o = lím (-e-b + 1) b---,~.cx_

FIGURA 7.19 El área de la región no acotada e> l.

=1

(Véase Figura 7.19.)

h) \'

L

1 -2 -- dx = lím x + 1 b~ ,J

1 fb -x + 2

0

!0;) [arctg x

= lím arctg b

1

b~

y~i'+l

Tl--==-, 1

dx

I

¡

=

1

2

3

FIGURA 7.20 El área de la región no acotada es n; 2.

n

2

D

(Véase Figura 7.20.)

En el próximo ejemplo se utiliza la regla de L'Hopital para calcular una integral impropia.

EJEMPLO 3 Cálculo de una integral impropia utilizando la regla de L'Hópita/ Calcular

l

7

(1 - x)e-x dx

Solución: -0.03 .

Integramos por partes con dv = e-x dx y u = (1 - x)

0,06

f (1 -

-0,09 -0,12 0.15 :

y

= -e - X +

~(1-x)e-x

= xe-x FIGURA 7.21 El área de la región no acotada es l-1/el.

f e-x dx

x)e-x dx = -e-x(J - x)Xe -

X

+ e- X +

e

+e

De la definición de integral impropia se sigue que

f'

(1 - x)e-x dx = lím [xe-x]b = (lím b~w

1

1

b~

~~) e e

Finalmente, aplicando la regla de L' Hopital en la derecha se obtiene b ' 1 lím - = hm - = O

h--t

eh

b--t

eh

Sección 7.8

607

Integrales impropias y finalmente de ahí se llega a la conclusión de que -X 1 - x)e · dx = --

e

o

(Véase Figura 7.21.) EJEMPLO 4 Límites de integración superior e inferior infinitos

Solución: Nótese que el integrando es continuo en toda la recta real. Para evaluar la integral podemos descomponerla en dos, eligiendo e = O por conveniencia.

f"' __e_x--;2;-x dx

exe2x dx +

+

=

lím [ arctg

b~-

y

=

lím , _ - Cfj

( '!.4 -

ex

J h

arctg

+ e

o

+ lím [ arctg h-

'XJ

e") + lím b~

Á

exi

( arctg

e" - ¡)

n n n =--0+--4

2

4

n

2

FIGURA 7.22 El área de la región no acotada es n¡2.

o

(Véase Figura 7.22.) EJEMPLO 5 Propulsión de un módulo espacial

En el Ejemplo 3 de la Sección 6.5 vimos que se requieren 10.000 toneladas de trabajo para poner en órbita, a 800 millas de altura sobre la superficie de la Tierra, un módulo espacial de 15 toneladas. ¿Cuánto trabajo sería necesario para propulsarlo a distancia infinita de la Tierra? Solución: A primera vista puede parecer que se necesitaría una cantidad infinita de trabajo. Pero si eso fuera cierto sería imposible enviar cohetes al espacio exterior. Como esto se ha hecho, el trabajo exigido ha de ser finito. Puede calcularse de la siguiente manera. En la integral del Ejemplo 3 de la Sección 6.5, sustituimos el límite superior de integración, que allí era 4.800 millas, por oc, con lo que se obtiene W=

f

X>

4.ooo

240.000.000 2 X

dx

608

Capíru/o 7

Técnicas de integración. regia deL Hópital e integ¡~/es impropias

= lím ¡, •u_,

l_ 240.000.000] L X

1 '

4.000

240.000.000 + 240.000.000) b 4.000

= lím ( ¡, -1-.f

= 60.000 toneladas-millas ~ 6,336 FIGURA 723

El trabajo requerido para propulsar un módulo espacial hNa una distancia infinita de la Tierra es aprO\imaJamente 6.336 x 10 11 libras-pies.

x 10 11 libras-pies

D

(Véase Figura 7.23.)

Integrales impropias con discontinuidades infinitas El segundo tipo básico de integrales impropias es el constituido por aquellas que contienen alguna discontinuidad infinita en o entre los límites de integración.

DEFINICIÓN DE INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS l.

Síf es continua en el intervalo [a, b) y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces

f 2.

f(x) dx =

f

f(x) dx

Sif es continua en el intervalo (a, b] y tiene una discontinuidad infinita en a, entonces

r r

f(x) dx =

3.

}~~ }~~

r r

f(x) dx

Si fes continua en el intervalo [a, b] excepto en algún e en (a, b), en el que f tiene una discontinuidad infinita, entonces j(x) dx =

S:

f(x) dx +

f(x) dx

En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe y diverge en caso contrario; En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias de la derecha diverge.

EJEMPLO 6 Una integral impropia con una discontinuidad infinita

(\,\)

1

Calcular

1 O

FIGURA 7.24

El área de la región no acotada es n.

dx

---;=

~X

Solución: El integrando tiene una discontinuidad infinita en x = O, como muestra la Figura 7 .24. Podemos calcular la integral así:

609

Integrales impropias

Sección 7.8

Jl

x-1!3 dx = lím

fx2;3Jl

n~o· L2/3 n

0

= lím

n~o·

~ (l 2

- h 213 )

3

D

2

EJEMPLO 7 Una integral impropia divergente 2

Calcular

I

dx 3

O X

Solución: Como el integrando tiene una discontinuidad infinita en x = O, escribimos

J

2

2

1

dx - hm , [ -¡ 0x3-n~o· 2x 2 0

lím

h-•0'

(-~8 + -2b1- ) =oc· 2

Por tanto, concluimos que la integral impropia es divergente.

D

EJEMPLO 8 Una integral impropia con una discontinuidad interior

\,

t

La integral impropia

-1

10x

FIGURA 7.25 I dx diverge. 3

j -_ '2

Calcular

¡

2 dx __ x 3

I

1

Solución: Esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto interior x =O (véase Figura 7.25). Así pues, descomponemos la integral en dos.

En el Ejemplo 7 hemos demostrado que la segunda integral es divergente. Por consiguiente, la integral impropia propuesta es también divergente. D Nota. Recuérdese que al estudiar si una integral es o no impropia hay que ver si tiene discontinuidad infinita en un punto terminal o en un punto interior del intervalo de integración. Por ejemplo, si no nos hubiéramos dado cuenta de que la integral del Ejemplo 8 era impropia, hubiéramos llegado a un resultado incorrecto: 1

2

f

-1

-1J2

dx ~ 1 3 2 x t 2x

=

-1

I

I

3

8

2

8

=--+-=-

Evaluación incorrecta

/

La integral del próximo ejemplo es impropia por dos razones: uno de los límites de integración es infinito y además el integrando presenta una discontinuidad infinita en el límite superior de integración (véase Figura 7.26).

610

Capítulo 7

Técnicas de integración. regla deL 'Hápital e integrales impropias

EJEMPLO 9 Una integral doblemente impropia

" f

dx ----o ~(x + 1)

Calcular

y

1 vx(x+l)

Solución: Para calcular esta integral la descomponemos en dos, eligiendo para ello un punto conveniente, digamos x = l.

f

x

o

dx

~(x +

FIGURA 7.26 El área de la región no acotada es rr.

D

=n

EJEMPLO 10 Una aplicación relativa a la longitud de arco Usando la fórmula para la longitud de arco, demostrar que la circunferencia del círculo x 2 + y 2 = 1 es 2n.

Solución: Con el fin de simplificar la tarea, consideremos el cuarto de círculo dado por y=~' donde O :::; x :::; l. La función y es derivable en todo x de ese intervalo excepto en x = l. Por tanto, la longitud de arco del cuarto de círculo viene dada por la integral

JJl 1

s=

2

+ (y') dx

o

FIGURA 7.27 La circunferencia tiene longitud 2rr.

=

f Jl (RY f +

1

dx

dx

-o~

Esta integral es impropia porque su integrando presenta una discontinuidad infinita en x = l. Así pues, tenemos

~

_f

1

dx

,-o~

= lím

h~-1 J[

1Larcsen xJho J[

=--0=2 2

Sección 7.8

611

Integrales impropias

Finalmente, multiplicando por 4 llegamos a la conclusción de que la cirD cunferencia del círculo es 4s = 2n. Cerramos esta sección con un interesante teorema que decide la convergencia o divergencia de una clase de integrales impropias muy común. Su demostración se deja como ejercicio (véase Ejercicio 35).

TEOREMA 7.5

UN TIPO ESPECIAL DE INTEGRALES IMPROPIAS (fjdx

{_1'

xP

diverge,

f

1

si p >

-== p-1

si p

~

EJEMPLO 11 Aplicación a un sólido de revolución Se llama trompeta de Gabriel al sólido de revolución engendrado, al girar en torno al eje x, por la región no acotada comprendida entre la gráfica de f(x) = 1/x y el eje x (x ): 1) (véase Figura 7.28). Probar que este sólido tiene volumen finito y área superficial infinita. PARA MÁS INFORMACIÓN Sobre sólidos de volumen finito y área infinita, véase el artículo «Supersolids: Solids Having Finite Volume and Jnfinite Surfaces» de William P. Love en Mathematics Teacher, enero 1989.

Solución:

El método de los discos y el Teorema 7.5 permiten hallar V= n

l~

C)2

dx

Teorema 7.5, p = 2 > 1

=n(~) =n

El área viene dada por S= 2n

I

X

f(x)

J 1 + [f'(x)]

2

dx = 2n

f"'lR -

1

1

X

1 + 4 dx X

Al ser

y

l

j{X)=-¡

X

-1

FIGURA 7.28 La trompeta de Gabriel tiene volumen finito y área infinita.

612

Capírulo 7

Técnicas de integración. regla de L'H6pital e integrales impropias

en el intervalo [ 1, x ), y la integral impropia

f

1

'l.

1

- dx X

divergente, concluimos que la integral impropia

es asimismo divergente (véase Ejercicio 38). En consecuencia, el área es infinita.

D

Ejercicios de la Sección 7.8 En los Ejercicios 1-6. explicar por qué es impropia la integral y discutir si es convergente o divergente. Calcular las que

sean convergentes. 1

1'4

l.

J

o

2.

-_dx yX

f

1 , "dx 3)·1(x

7.

50

4

l'v Redacción En los Ejercicios 7 y 8, explicar por qué es incorrecto el cálculo del valor de la integral. Usar integración en la calculadora para intentar hallar su valor. Discutir si la respuesta de la calculadora es correcta.

f' ~dx=

f,

8.

-2

,x

e

x

dx =O

o

En los Ejercicios 9-22, averiguar si la integral, con intervalo de integración infinito, es convergente o divergente. En caso de convergencia, calcular su valor.

40 • 30

20 10

9. 4

f

4

2

3.

f ~--~ 1

2

o(x-1)

2

dx

4.

o(x-1)2/3

1

~-~

f' o

¡1

x

dx

6.

f

- x

13.

15.

1'2x

f

xe-lx dx

10.

L

x 2 e-x dx

r r

12.

dx

e-x cos

14.

X

dx

16.

o

17.

19.

o

e

11.

dx

1r~

) \ 5.

5

dx

21.

r"

1 --2

dx

1 +X

L L

ex + e

cos nx dx

dx

18.

20.

22.

L L

xe-x dx

(x- l)e-x dx

r

1 ----;=

dx

y~x

r L r

e -ux sen hx dx.

ll

>O

x3

, dx (x2 + 1J-

ex ---dx + ex 1

f

X

sen- dx 2 o

En los Ejercicios 23-34, determinar si la integral es convergente. Si lo es, calcularla y comprobar el resultado usando integración en la calculadora. -1

23.

J' ~dx o

.e

24.

J' ~

O X

dx

Ejercicios de la Sección 7.8

25.

rz;s -

r:--dx 1 x

o

I f' f

26.

1

27.

29.

x In x dx

28.

2

33.

r

secO dO

0

tg () dli

30.

r r r

F(s)

- - -1 - d x ,jx2 - 4

32.

- -1- d x

34.

o~

---;- 1

37.

' 1 f t -x~' dx

- -1- d x

o (x - 11)413 dx

J

1 - dx

o xP

Probar por inducción que la integral siguiente converge para todo entero n > O.

f'

x"e--' dx

o

38.

Dadas dos funciones continuas f y g tales que O :o; .fú) :o; g(x) en el interval [a, x ), demostrar que: a)

Si

1' 1'

1'

g(x) dx converge, entonces

=1 = t2

50. f(t)

=t

52. f(t)

= e"'

53. .f(t)

= cos al

54. f(t)

= sen at

55.

= eh at

56. f'(t)

= sh at

49.

f(t)

51.

f(t)

Si

.f(x) dx diverge, entonces

1'

f¡ o

41.

43.

40.

--:3 dx

y:o;e·x,y~O,x~O

59.

Longitud de arco Dibujar un esbozo de la hipocicloide de cuatro cúspides

.1

r r

1 1 dx

42.

-"

1

-,--dx + 5

r

45.

47.

44.

I L L

1

~/x

61.

La función gamma ne como

dx

1

;----- dx y'x - 1

e_,, dx

48.

f

1 -;=----dx ,jx(x + 1)

r

y~x

dx

In x

La función gamma f(n) se defi-

f(n)=f' x"- 1 e--'dx.n>0 o

b) e)

r

L L

:o;

Área de una superficie Calcular el área del toro engendrado al hacer girar, en torno al eje y, la región acotada por (x - 2) 2 + y 2 = 1

a)

46.

1

y

60.

x 4 e-x dx

------dx ~/x(x - 1)

58.

y calcular su perímetro.

g(x) dx diverge.

--¡=

ljx 2 ,y~O,x~ 1

57.

.f(x) dx con-

En los Ejercicios 39-48, usar los resultados de los Ejercicio.s 35-38 para decidir si la integral converge o no.

39.

f(f)

Área y volumen En los Ejercicios 57 y SR, consideremm, la región que satisface las desigualdades. Calcular a) su área, b) el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje x, y e) el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje y.

verge. b)

e "f(l)dt

si la integral impropia existe. Las transformadas de Lap!ace se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales. En los Ejercicios 49-56, hallar la transformada de Laplace de la función.

o 4 - xz

I

36.

f'

, dx

x-

En los Ejercicios 35 y 36, hallar todos los valores de p para los que la integral impropia converge.

35.

=

o

o y'4 -

o

31.

Transformadas de /_,aplace Sea .f(t) una función definida para todo t positivo. Su transformada de Laplace se define como

f"o In x dx

f'2

613

62.

Calcular f(l). r(2). y r(3). Probar, integrando por partes, que f(n + 1) = nf(n). Expresar f(n) en términos de la notación factorial, para n entero positivo.

Trabajo Se lanza al espacio exterior, desde la superficie terrestre, un cohete de 5 toneladas. a) ¡,Cuánto trabajo requiere vencer la gravedad terrestre? /J) ¿Cuánto ha recorrido el cohete en el momento en que se ha realizado la mitad de ese trabajo?

614

Capítulo 7

Técnicas de integración, regla de L'Hópital e imegrales impropias

Probabilidad Una funciónfse dice que es unafunción de densidad de probabilidad si es no negativa y además h)

=1

[ . , f(t) dt

L, prohahiliJud de que x esté entre a y h viene dada, en tal caso, por P(a ~ x ~ b)

=

f"

f 69.

En los Ejercicios 63 y 64, a) probar que la función dada es una función de densidad de probabilidad, h) calcular P(O ~ x ~ 4), y e) hallar E(x).

63.

f(l)

=pe O, 2

re

?o

o

<

o

- 21' 5

64. f(t) = . 5 O,

?o

o

<

o

$65o.ooo

Probar que

In=

c(f) =

$25.000

r

c(t)e _,, dt

67.

68.

+ 1)" n -

(

dx,n ?o 1

+3

1)

--

n + 2

ln-1

r

L t L

X

(xz

+ 1)4 dx x3

(xz

+ 1)·5

= 0,06

Calcular el valor de la siguiente integraL utilizada en la teoría electromagnética.

Redacción

dx

xs

(xz

+ 1)6 dx

Probabilidad normal

En 1992 la altura media de los varones en EE.UU., con edades comprendidas entre 18 y 24 años, era de 70 pulgadas con una desviación típica de 3 pulgadas. Si se toma al azar un varón en esa franja de edad, la probabilidad de que mida 6 pies de altura o más viene dada por

P(72

~

x < x) =

= $25.000( 1 + 0,08t)

Electromagnetismo

a)

70.

eo = $65o.ooo c(t)

= 0,06

e) f\u

n

66.

2

(x

h)

donde C 0 es la inversión original, t el tiempo en años, r la tasa de interés anual compuesto continuamente, y c(t) el coste anual de mantenimiento.

eo =

X2n-1

0

a)

o

65.

., f

y calcular, a continuación:

En los Ejercicios 65 y 66 calcular el coste capitalizado C de una posesión a) en n = 5 años, h) en n = 1O años, y e) a perpetuidad. El coste C viene dado por

I

X

es convergente o divergente, según su parecer. Integrando por partes repetidamente en la integral del apartado h), analizar si converge o diverge.

Sea/n=

Coste capitalizado

e = e0 +

--dx

1

e)

1 7

sen x

u

"f(t) dt

El valor esperado de x es

1

son, respectivamente, divergente y convergente. Describir qué diferencia esencial entre sus integrandos provoca ese distinto comportamiento. Dibujar la gráfica de la función y= (sen x)/x en el intervalo (1, co ). Con los conocimientos sobre integrales definidas de que dispone, explique razonadamente por qué cree que la integral

f

'

1

'

--e-

73.

Si{' es continua en [0, x.) y lím f(x) =O, entonces x··>r-¡

,¡

fó f(x) dx es convergente.

fó f'(x) dx = --f(O).

72. Si fes continua en [0, x) y ces lím f(x) # O

fó

f(x) dx diverge, enton-

74.

Si la gráfica de( es simétrica respecto del origen o respecto del eje y, entonces ó j(x) dx converge si y sólo si s~ ·

bn

K

EJEMPLO 3 Análisis de la conwgencia a)

Como la sucesión {a 11 } = { 3 + (-1 )"} tiene términos

2, 4, 2, 4, ...

Sección 8.1

Sucesiones

623

que alternan valores 2 y 4, el límite

no existe. Por tanto, la sucesión es divergente.

b)

Para {bnl = {--n-}, podemos dividir numerador y denominador por n 1 - 211 para obtener n 1 lím - - - = lím - - - n~x 1 - 211 11~ (1/11) - 2

lo cual implica que la sucesión converge a

2

-:21

D

EJEMPLO 4 Análisis de la convergencia usando la regla de L'Hópital 112

Probar que la sucesión de término general es convergente. a"=

Solución:

~

Consideremos la función de una variable real

Aplicando la regla de L'Hópital dos veces se ve que

Representar en la

=== calculadora la fun· ción del Ejemplo 4. Nótese que cuando x tiende a infinito, el valor de la función se acerca más y más a cero. Intente representar los 20 primeros términos de la sucesión del Ejemplo 4 para poder apreciar que la sucesión converge a O.

Como f(n) concluir que

an para todo entero positivo n, el Teorema 8.2 nos lleva a

nz lím - - - = 0 n~cx 2" - ] Así pues, la sucesión converge a O.

D

Para simplificar algunas de las fórmulas desarrolladas en este capítulo, usaremos el símbolo n! (se lee «n factorial»). Sin es un entero positivo, se definen factorial (o el factorial de 11) como 11! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n - 1) · n

Cero factorial se define como O!= l. Vemos en esta definición que 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, y así sucesivamente. Los factoriales obedecen las

624

Capítulo 8

Series

mismas reglas operacionales que los exponentes. Esto es, así como 2x 3 y (2x) 3 implican distintos órdenes en las operaciones, 2n! y (211)! significan

211! = 2(n!) = 2( 1 · 2 · 3 · 4

00 •

n)

y

(2n)! = 1 · 2 · 3 · 4

000

11 ·

(n + l)

000

2n

Otro resultado interesante sobre límites que admite traducción en términos de sucesiones es el teorema del encaje de la Sección 1.3.

TEOREMA 8.3

TEOREMA DEL ENCAJE PARA SUCESIONES Si

lím an:;:; L = lím bn n-"'r:t:J

y existe un entero N tal que a 11

n-+oo

~ C 11 ~

h11 para todo n > N, entonces

EJEMPLO 5 Aplicacián del teorema del encaje

Probar que la sucesión {C11 } = { ( -1 )"

~} converge y hallar su límite.

Solución: Para aplicar el teorema del encaje hemos de encontrar dos sucesiones convergentes relacionadas de forma sencilla con la dada. Dos posibilidades son a 11 = -l/2" y b" = 1/2", ambas convergentes a O. Comparando 11! con 2" vemos que

11! :;:; 1 · 2 · 3 · 4 · S · 6 ... n = 24 · S · 6 ...

11 '--y-------'

(11 ~ 4)

n - 4 factores

y 2" = 2 2 2 2 2 2 o

o

o

o

o

o

o

o

2 = 16 2 2 o

o

o

o

o

2

'--y-------' 11 -

4 factores

Esto implica que paran ? 4, 2" < n!, luego -1

(-1)"

~ < ~ 11! "" 2"'

n ? 4

(n ~ 4)

Sección 8.1

1

Sucesiones

625

como se muestra en la Figura 8.2. Por tanto, el teorema del encaje asegura que

-a" A

1.0 0.5

.. "

..

1

1

t, 11.5

.,¡ 1

1.0

'

1.5

'01

•

_l_

lím (-1)"

2' \ t .•. \ .,*~

..

. . -//

.l 2"

Hl" fi!

~=O

D

n!

En el Ejemplo 5, la sucesión {e,} tiene términos positivos y negativos. Para esta sucesión sucede que también tiende a cero la sucesión {lc,l} de valores absolutos. Podemos demostrar que es así usando el teorema el encaje y la desigualdad

o.:::;

FIGURA S.2 Paran ;;: -1. r-1 )"In~ e11á encajado entre -112" y l/2".

n!

.:::;

2"'

ll ~

4

En tales casos, es conveniente considerar la sucesión de los valores absolutos y aplicar el Teorema 8.4, según el cual si la sucesión de valores absolutos converge a cero, la sucesión con signos original también converge a O. :iota. El Ejemplo 5 sugiere algo acerca del ritmo de crecimiento de n' cuando 11 -+ ·f.. En la Figura R.2 'e aprecia que tanto 1/2" como !In' tienden a cero cuando n -+ x. Sin emhargo, !In' tiende hacia O mucho má' deprisa que I/2'L ¡

l,/111

lím

1,.2"

TEOREMA 8.4

TEOREMA DEL VALOR ABSOLUTO

Dada una sucesión {a,}, si

lím lanl =O

n---> oo

entonces

2"

lím -=O ni

De hecho, se puede demostrar que para cualquier número fijado k, es

Demostración: Consideremos las dos sucesiones {la11 1} y {-la,,}. Como ambas convergen a cero y

k"

lím -=0 111

E'to significa que la .fúncirín facto·

riul crece más rápidamente que lo· dos las.fimciones exponenciales.

concluimos del teorema del encaje que {a,} converge a O.

D

Reconocimiento de pautas en las sucesiones A veces, los términos de una sucesión se generan por medio de alguna regla que no identifica explícitamente el término general. En esos casos, puede ser necesario descubrir un cierto esquema, una pauta que permita describir el término general. Una vez especificado el término general, ya se podrá investigar la convergencia o divergencia de la sucesión. EJEMPLO ó Cálculo del término general de una sucesión

Hallar una sucesión {a 11 } cuyos cinco primeros términos sean 2_, 4_, _, 8 16 __ 32 , 1 3 5 7 9 -·-~

y determinar, a continuación, si la sucesión particular construida es convergente.

626

Capítulo 8

Series

Solución: En primer lugar observamos que los numeradores son potencias sucesivas de 2 y los denominadores forman la sucesión de los enteros impares positivos. Comparando a 11 con n, tenemos el siguiente esquema

2 1 2 2 2 3 24 2 5

1'3'5'7'9'

2" '2n- l

Usando la regla de L'H6pital para calcular el límite de .f(x) = 2x/(2x- 1), obtenemos

2x 2x(ln 2) lím - - - = lím = oc 2x - 1 x~cx, 2

x~'x'

lím

,~ x,

2" 2n - l

En consecuencia, la sucesión es divergente.

D

Sin una regla específica para generar los términos de una sucesión o algún conocimiento del contexto del que provienen, no es posible averiguar si la sucesión es convergente o no, a la vista de sólo unos cuantos primeros términos. Así, aunque los tres primeros términos de las sucesiones siguientes son iguales, las dos primeras convergen a O, la tercera converge a l/9 y la cuarta diverge. 1 1 1 _,_,_,_,

2 4 8 1 1 1 _,_,_, 2 4 8 1 1 1

16 1 _, 15

6 '(n + l)(n 2 - n + 6) n 2 - 3n + 3 {e"} 2' 4' 8' 62, '9n 2 - 25n + 18, 1 1 1 -n(n + 1)(n - 4) {dnJ : 2' 4' 8' O, ···, 6(n 2 + 3n - 2) ' ... El proceso de determinar un n-ésimo término mediante una pauta observada en los primeros términos es un ejemplo de razonamiento inductivo. EJEMPLO 7 Cálculo del n-ésimo término de una sucesión

Determinar un n-ésimo término para una sucesión cuyos cinco primeros términos son 2 8

26 80 242 24,-120, ...

-¡' 2' -6'

y decidir entonces si la sucesión construida es convergente. Solución: Nótese que los numeradores son 3" - l. Factorizando los denominadores se obtiene

Sección 8.1

627

Sucesiones

1= 1 2 = 1. 2 6 = 1. 2. 3 24 = 1 . 2. 3. 4

120 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5

Esto sugiere que los denominadores vienen dados por n! Finalmente, como los signos son alternados, escribimos el término n-ésimo como 0 11

= (-1)"

3" - 1) (T

De la discusión sobre el crecimiento den! se sigue que Iím n--tx

lanl

3" - 1 n!

= lím - - - = O n--t

Aplicando el Teorema 8.4 se llega a la conclusión de que

D

Así pues, la sucesión {a"} converge a O.

Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas Hasta ahora hemos decidido la convergencia de una sucesión calculando su límite. Ahora bien, incluso cuando no se sabe hallar el límite, sigue siendo importante conocer si la sucesión es convergente o divergente. El Teorema 8.5 proporciona un criterio que permite averiguar si la sucesión converge, sin necesidad de tener que hallar el límite. Antes, enunciamos algunas definiciones.

DEFINICIÓN DE SUCESIONES MONÓTONAS Una sucesión {a 11 } es monótona si sus términos son no decrecientes

o no crecientes

EJEMPLO 8 Investigando si una sucesión es monótona Averiguar si las sucesiones cuyos términos generales se indican son monótonas.

a)

an=3+(-IY

b)

2n b =-n 1 + n

e)

('fl

2" - 1

628

Capítulo 8

,.

...

a,

O_¡

\

fl' o

1 1 1 1

\ \ \ \

1

{a,}~ {3

... a,

1 1 1 1

Series

Solución: a) Esta sucesión alterna entre 2 y 4, luego no es monótona b) Esta sucesión es monótona, ya que cada término es mayor que el anterior. En efecto, comparemos los términos h 11 y bn + 1 • !Nótese que, al ser n positivo, podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por ( 1 + n) y (2 + n) sin invertir el signo de la desigualdad.]

+(-!)"} n

o)

No

e~

2n ,, 2(n + 1) -b 1 + n l + (11 + 1) - 1/ + 1

=~-<

b

.,

< (l + n)(2n + 2) 4n + 2n 2 < 2 + 4n + 2n 2

2n(2 + n)

monótona

')

0 N. Se sigue que la" - L! < ¡; para n > N, !o cual significa, por definición, que {a 11 } converge a L. La demostración para una sucesión no creciente es análoga. D EJEMPLO 9 Sucesiones monótonas acotadas

a)

La sucesión {a 11 } es monótona y también acotada, luego, por el Teorema 8.5, convergente. La sucesión divergente {b"} = { n 2 j(11 + 1)} es monótona, pero no acotada. (Es acotada sólo inferiormente.) La sucesión divergente {e"} = {( -1 es acotada, pero no monótona. D

b)

n

e)

Ejercicios de la Sección 8.1 En los Ejercicios 1-8, escribir los cinco primeros términos de la sucesión.

l. an

= 211

2.

ll

a11 = - - ll

3. a 11

=(-~Y 2 (-1 )11(11

5.

an =

112

4. 1 1),2

6.

+

J

nn a =sen11 2 1 1 a,.= 5-- +-, n n-

3"

7.

a,.=;;-¡

8.

3n 1

a,.=--(n-

1)'

En los Ejercicios 9-12, escribir los cinco primeros términos de la sucesión definida por recurrencia.

9.

11.

=e~ 1)a k

a 1 =3,ak+ 1 =2(ak-1)

10.

a 1 = 4, a k+

1 a 1 =32,ak+ 1 =-ak 2

12.

1 2 a 1 =6,ak+ 1 =-lh 3

1

630

Series

Capíru/o 8

En los Ejercicios 13-16, asociar a cada sucesión la gráfica que le corresponde.

a)

b)

4

•

••

••

·····

• •

X • o

4

6

•

:

,

X 10

1 ,

,

2

d)

e) 4

•

l

6 4

1

4

6

•.!'*' n 1

33.

1, ,4, 7, 10, ...

34.

3, 7, 11, 15, ...

35.

-1, 2, 7, 14, 23, . ..

36.

1 1 1 1 __ , _, - - · . .. , 4 9 16

X 10

t

4i• 1

3

1

2

•

15.

••

·~~•••_....,.n 4

13.

•

6

8

8 a =--'" n + 1

a, = 4(0,5)"

1

10

2

14.

1

16.

•• • •••

1

J 1

4

6

8

10

11

+ 1

4" an=~

f\.., En los Ejercicios 17-22, representar en la calculadora los pri-

a,=

2

3

19.

a.,= 16(-0,5)"-

21.

a=-n

18.

11

1 1 1 2,-1,2'-4'8' ...

40.

4 __ 8 , ... __1, _,1 __2 , _,

41.

4

a,= 2--

20.

a,= 8(0,75)"- 1

22.

a=---

3n 2 n2 + 1

n

1 3

1

2

1 4

1 5

1 3 7 15 31 l + -· l + -· 1 + _, 1 + -· 1 + -· ... 2 4 8 16 32

25.

3 __3 , ... 3 __3 , _, , 2 4 8

26.

5, 10, 20, 40, ...

(\_, En los Ejercicios 27-32, simplificar el cociente de factoriales.

28.

30.

25! 23! (n + 2)!

n!

2

3

4

1 1 1 1 1, -····· 2 ·6- ·24 120

44.

46.

111

81

1 + _, 1 + _, 1 + -· 1 + _, ...

', 1

2, 5, 8, 1 1' ...

(n + 1)'

2{

9 27

43~·~·~·~· ...

23.

29.

.

42.

45

8!

2 3

11 1

2n n + 1

10!

3 4 5 6 2 _, -· _, -· ... '3 5 7 9

39.

En los Ejercicios 23-26, escribir los dos téminos que parecen seguir a los indicados. Describir la pauta observada.

27.

3 4 5 6

38.

meros diez términos de la sucesión.

17.

(2n)!

2 _, 3 4_, _, 5 ... _,

37.

8n

a=-n

(2n + 2)!

32.

(2n + 1)!

a,

•

1)!

En los Ejercicios 33-46, dar una expresión para el término 11-ésimo de la sucesión. (Hay más de una respuesta correcta posible.)

••

10

(2n -

31.

1

•

~J

1 ---·--, 1 . 3 1 3 5 1 . 3

x2 x3 x4 xs 1 X -• -• -• - • ' ' 2 6 24 120

5 . 7

••·

(\.., En los Ejercicios 47-50, representar en la calculadora los diez primeros términos de la sucesión y, a continuación, intentar adivinar si converge o no. Verificar la conjetura analíticamente y, en caso de convergencia, hallar el límite. 11 + 1

47.

an=--

49.

a

n

nn

n

= cos2

48.

an

= n3/2

so.

a

= 3 -2"-

1

11

631

Ejercicios de la Sección 8. 1 En los Ejercicios 51-66, averiguar si la sucesión, cuyo término general se especifica, es convergente o no. Hallar el límite 51.

a,=(-1)"(-n-) ¡¡

53.

3n 2 an =

52.

+ 1

54.

2n + + (-1)"

a,=

JnJn+

+(-!)"

n

81.

Para pensar

¡¡

(11 + 1)!

d)

=

60.

an

n-J n 61. a = - - - - n n n- 1

62.

a=-------

64.

a,= n senn

66.

a,= 21/n

"2n+l

¡¡2

1

n

= 4 +2"

3

Una sucesión que converge a-· 4 Una sucesión no acotada que converge a 100.

Encontrar una sucesión que converja a 3/8. (La respuesta no es única.) ¿Cuál es el primer término de esa sucesión que dista del límite menos de 0,001?

83.

Interés compuesto

n!

n2

a

82. (n - 2)!

an=--n-!-

80.

Dar un ejemplo de sucesión que satisfaga la condición propuesta o justificar por qué no existe tal sucesión. (Hay más de una respuesta correcta.) a) Una sucesión monótona creciente que converge a 10. b) Una sucesión monótona creciente acotada que no es convergente. e)

a,= (0,5)"

58.

1\ ::V)

a,

In (n 2 ) an=---

56.

3" 57. a=n 4n 59.

1

n + 4

2

55. an =

a,=

= 31 ( 1 -

79.

Consideremos la sucesión de tér-

mino general

2n-J

11P

63. a,=- (p >O, n )' 2) e" 65. a,=(¡+

D"

r )" A,= P ( 1 + J2 donde P es el capital invertido, A, el balance tras n meses de interés compuesto y r la tasa anual de interés. a) La sucesión {A 11 } ¿es covergente? Explicar la respuesta. b) Hallar los primeros diez términos de esa sucesión para P = $9.000 y r = 0,115.

r~v En los Ejercicios 67-76, averiguar si la sucesión con el térmi-

no general dado es monótona. Discutir si es acotada o no. Confirmar los resultados con ayuda de la calculadora.

4n

1 67. a,= 4-n

68.

a=--

cos n 69. an=-n

70.

an=ne-n/2

71. a,= (-l)"G)

72.

a,=

74.

a,=

76.

a =2n+2 -n

73.

a,=

GY

nn 75. a,= sen (5

"

(-D" GY

Se depositan $100 al comienzo de cada mes a una tasa anual de interés del 12 por 100 compuesto mensualmente. El balance después de 11 meses es

78.

a) h)

e)

Calcular los seis primeros términos de la sucesión. Hallar el balance tras 5 años, calculando para ello el término A 60 . Calcular el balance a los 20 años, calculando el término A 240 .

n

trar que la sucesión cuyo término general se especifica es convergente, y h) representar en una calculadora los diez primeros términos de la sucesión y determinar su límite.

1 an = 5 +11

Inversión

A,= 100(101)[(1,01)"- 1]

flv En los Ejercicios 77-80, a) usar el Teorema 8.5 para demos-

77.

84.

n + 1

a 11

4

= 3-n

85.

Inversiones estatales

Un programa del gobierno que ha costado a los contribuyente 2.500 millones de dólares este año se va a recortar un 20 por 100 anual en los años venideros. a) Escribir una expresión para el montante de ese programa tras n años. h) Calcular los presupuestos de los 4 primeros años. e) Determinar la convergencia o divergencia de la sucesión de esos presupuestos recortados. Si la sucesión converge, hallar su límite.

632 86.

Capítulo 8

Series

Inflación Si la ta'a anual de inflación es 41 por 100 y el precio medio de una automóvil es hoy de $16.000. el precio medio dentro de n años será

Tiempo

Edad P,

= $16.000(1,045)"

0-1

Calcular el precio medio en los próximos 5 años. \_ 87.

1

2

3

4

5

10

10

20

40

70

10

10

20

40

10

10

10

40

70

130

1-2

Un modelo matemático El coste medio de la estancia diaria en un hospital entre 1988 y 1993 viene dada en la tabla. donde u, es el coste medio en dólares y n el año. con 11 = O correspondiendo a 1990. (Fuente: American Hospital Association.)

2-3

Total

10

20

La secuencia de la población tiene la propiedad

a)

n

-2

-1

()

1

2

3

a,

586

637

687

752

820

881

Usar regresión en la calculadora para hallar un modelo de la forma a,= kn + b,

/J)

i'·

SS.

n

= -2, -1, O,

n>3

Calcular la población al final de cada uno de los cinco años siguientes. 90.

1, 2, 3

que ajuste esos datos. Representar en la calculadora los puntos y el modelo. Predecir, con ese modelo, el coste en el año 2000.

Los ingresos netos a,, en millones de dólares, de WaiMart entre 19R7 y 1996 vienen dados en la tabla como pares ordenados (n. a,). donde n es el año, con n = O correspondiendo a 1990. (Fuente: 1996 Wai-Mart Anmwl Report.)

a,

b)

89.

= -3, -1,

Crecimiento de poblaciones Consideremos una población imaginaria en la que cada habitante tiene un hijo al final de cada cierto período de tiempo. Si cada individuo vive tres períodos y la población comienza con 1O miembros recién nacidos, la población en los cinco primeros años es la que se muestra en la tabla.

l. 2, .. ·, 1O

92.

Calcular los seis primeros términos de la sucesión

... , 6

para esos datos. Comparar gráficamente los puntos y el modelo. Predecir. con ese modelo, los ingresos netos para el año 2000.

= O,

Comparación de los crecimientos factorial y exponencial Consideremos la sucesión a, = 10"/n 1 a) Hallar dos términos consecutivos que sean iguales. b) Los términos que siguen a esos dos. ¡,crecen o decrecen? e) En los Ejercicios 51-56 de la Sección 7.7 se demostró que para valores «grandes>> de la variable independiente, una función exponencial crece más rápidamente que una función polinómica. Del resultado del apartado h), ¿qué parece deducirse acerca del ritmo de crecimiento de una función exponencial en relación al de una factorial para valores «grandes>> de n?

Usar regresión en la calculadora para hallar un modelo de la forma n

11

91.

(2. 1.609), (3, 1.995), (4, 2.333), (5, 2.681 ), (6, 2.740)

a,= 1m 2 + en+ d,

= 0,905e 0 · 134",

donde a, es la deuda en billones y 11 el año, con n = O correspondiendo a 1980. Calcular los términos de esta sucesión finita y construir un diagrama de barras que la represente. (Fuente: U. S. Treasury Departme/11.)

(-3. 451). (-2, 628), H. 838), ((), UJ76), (1, 1.291)

a)

Deuda federal EE.UU. tardó más de 200 años en acumular una deuda de 1 billón de dólares. Pero a continuación tardó sólo 8 años en alcanzar los 3 billones. Durante la década de los ochenta, la deuda federal siguió aproximadamente el modelo

{a,)= {(1 + 1/n)"}

Si la sucesión converge, hallar su límite. 93.

Calcular los seis primeros términos de la sucesión {u,} = { Si la sucesión converge, hallar su límite.

z;;}.

Sección 8.2

633

Series y convergencia

94. Demostrar que si {sn} converge a L y L > O, existe un número N tal que s, > O para todo 11 > N.

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 97-100, averiguar si la afirmación es correcta. Si no lo es, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad.

95. Sucesión de Fibonacci Al estudiar la procreación de los conejos, Fibonacci (hacia l 175-1250) encontró la sucesión que hoy lleva su nombre, definida por recurrencia así: anc 2 =an+a,+l•

a) h)

e)

98.

Si {an} converge, entonces lím (a" - an _ 1 ) = O. 11-"

99.

a,

~I

Sin> l,entonccsn!=n(n-1)!

100.

Si {a,.} converge, entonces {ajn} converge a O.

101.

Consideremos la sucesión

. . . . ._ 1 paran :;:;

= an+ 1

fi,

Usando la definición del apartado b), probar que 1 b=l+-n hn+ 1

d)

Si {a,} converge a 3 y {hn} converge a 2, entonces {a"+ h,.) converge a 5.

dondca 1 =lya 2 =1

Escribir sus 12 primeros términos. Escribir los diez primeros términos de la sucesión definida por h'l

97.

J 2 + fi, J 2 + J 2 + fi J2

donde an = + an-l paran ;?o 2. Calcular sus cinco primeros términos y hallar lím an n__. :x-'

~ 102.

La razón áurea p se define como lím bn = p.

Conjetura dada por

Sea x 0 = 1 y consideremos la sucesión x,

Probar que 11

= l, 2, ...

p = 1 + 1/p Determinar, con una calculadora, los diez primeros términos y enunciar una conjetura acerca del límite de esa sucesión.

y resolver esta ecuación. 96. Completar la demostración del Teorema 8.5.

CONTENIDO Series Series geométricas Criterio del término general para la divergencia

• • • •

0

_8.2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Series y convergencia

Series Una importante aplicación de las sucesiones consiste en representar «sumas infinitas». Dicho brevemente, si {a"} es una sucesión, entonces

L

an = a 1 + a 2 + a 3 + .. · + a11 + ...

n=l

es una serie. Los números a 1 , a 2 , a 3 , .. · son los términos de la serie. A veces conviene comenzar en el índice n = O (o en algún otro entero). Un convenio frecuente, para aliviar la escritura, consiste en escribir la serie simplemente como La"' En tal caso, el valor inicial del índice debe deducirse del contexto. Para hallar la suma de una serie, consideremos la sucesión de sumas parciales.

634

Capítulo 8

Series

SERIES

El estudio de las series constituyó toda una novedad en el siglo XIV. El lógico Richard Suiseth, cuyo sobrenombre era

Calculador, resolvió este problema. Si durante la primera mitad de un ínter· va/o de tiempo una variación continúa a cierta intensidad, en el siguiente cuarto a intensidad doble, en el siguiente octavo a intensidad triple, y así ad infinitum, entonces la intensidad media para todo el intervalo será la intensidad de fa variación durante el segundo subintervalo. Esto equivale adecir que la suma de 1a

serie 1 2 3 n -+-+-+ .. ·+-+•"

2 4 8

Si esta sucesión de sumas parciales converge, diremos que la serie converge y que su suma es la indicada en la siguiente definición.

DEFINICIÓN DE SERIES CONVERGENTES YDIVERGENTES La n·ésima suma parcial de la serie ! an viene dada por

2•

Si la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a S, sedice que la serie ! a8 converge. Ellúnite S se llama suma de la serie.

Sí {Sn} diverge, se dice que la serie diverge.

ADVERTENCIA Conforme avance en este capítulo verá que hay dos cuestiones básicas referentes a las series. La serie ¡,converge o diverge? Y, en caso de que converja, ¡,cuál es su suma? No siempre es fácil contestar estas cuestiones, especialmente la segunda.

EXPLORACIÓN Sumas

de series Hallada sUllla !.l~las series siguientes,

~xplicando

cómo se han

encontrado. a)

0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...

e)

1+

1 2

1

1

1

4

8

16

+-+-+-+ ...

d)

15 lOO

15 10.000

-.+--+

El EMPLO 1 Series convergentes y divergentes a)

La serie

¿ n= ¡

1

1

1

1

1

2"

2

4

8

16

-=-+-+-+~+

tiene las siguientes sumas parciales

...

15 . +··· 1.000.000

Sección 8.2

635

Series y convergencia

1 S¡=2 1 1 3 S =-+-=2 2 4 4 1

1

1

7

S =-+-+-=3 2 4 8 8

1 1 1 1 S=-+-+-+···+--11

"

rLa Figura 8.5 mues~~~· . _,J tra las primeras 15

l

1

2

4

8

2

2"- 1

2"

De

sumas parciales de la serie del Ejemplo la. Observamos que sus valores parecen ten· der hacia la recta y == l.

2"- 1 lím - - - = 1 2"

s~·x

se sigue que la serie es convergente con suma 1. b)

o.

La n-ésima suma parcial de la serie

4

1

~~--- ~. - . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t

-

(~- n__ 1 ) = (1- ~)2 + (~]_) + (~- ~) + ... + 1 2 3 3 4

11 ~ 1 n

+•

viene dada por 2 4

6

8 10 12 14

1 S = 1--" 11 + l

FIGURA 8.5

e) Nota. Se pueden calcular geométricamente las sumas parciales de la serie del Ejemplo la usando la Figura 8.6.

Como el límite de S, es l, la serie converge y tiene suma l. La serie

¡

¿

1

=

1+1+1+1+ ...

n=l

diverge, ya que S, = n, así que la sucesión de sumas parciales es divergente. D La serie del Ejemplo lb es una serie telescópica, o sea, de la forma

Serie telescópica

Nótese que b 2 queda cancelado por el segundo término, b 3 por el tercero, etcétera. Puesto que la suma parcial n-ésima de esta serie es FIGURA 8.6

S,= b 1

-

bn+ 1

636

Capítulo 8

PARA MÁS INFORMACIÓN Sobre sumas parciales de series, véase el artículo , de Dan Kalmon, en The Col/ege Muthematics Journa/, noviembre 1993.

Series

se sigue que una serie telescópica converge si y sólo si bn tiende a un número finito cuando n -> CXJ. Además, si la serie converge, su suma será

S= h 1

lím bn+ 1

-

n-

cr~

EJEMPLO 2 Expresando una serie en forma telescópica X

Calcular la suma de la serie

Solución:

I --

n~

1

4n

2

2

--

-

Usando fracciones simples, escribimos

EXPLORACIÓN En «Proof Without Words», de Benjarnin O. Klein y Irl C. Bivens, los autores pteSéntan el si· guiente diagrama. Explicar por qué la afirmación final bajo el diagrama es correcta. ¿Cómo se relaciona este resultado con el Teorema 8.6? T

2

an =

4n

2

-

2 (2n - 1)(2n + 1)

2n - 1

2n + 1

De esta forma telescópica se desprende que la n-ésima suma parcial es

S n

= (~~) + (~~) + 1 3 3 5

... +

(-1 -_1)= 1 2n - 1

2n + 1

2n + 1

Así pues, la serie converge y su suma es l. Esto es,

=

lím Sn= lím

x~x·

n~u::

(r----)= 1 2n + 1

1

D

Series geométricas

O 1 -r -:------------ R

La serie del Ejemplo la es una serie geométrica. En general, la serie dada por

' ' ' '

'

'' ' 1:'

I

'

'' ' :

ar" = a + ar + ar 2 + · · · + ar1 +

a =f- O

Serie geométrica

n~o

: '

p

S

es una serie geométrica de razón r.

M'QR= !lTSP 1 1 1 +r+r 2 +r 1- ... -= -1 -

r

TEOREMA &.6 Ejercido tomado de «Proof Without Words>> de Benjamín O. Klein y Irl C. Bivens, Mathematics Magazine, octubre 1988, con permiso de sus autores.

CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS

Una serie geométrica de razón r diverge si serie converge a la suma

Ir!

~t. Si O< lrl < 1, entonces la

·

0< lrl < 1

Sección 8.2

Series y convergencia

637

Demostración: Es fácil ver que la serie diverge cuando r == ± 1. Si r # ± 1. entonces S, ==a + ar + ar 2 + · · · + ar"- 1 • Multiplicando por r obtenemos

Restando la segunda ecuación de la primera resulta S, - rS, == a - ar". Por tanto, S,(l - r) == a(l - r"), y la n-ésima suma parcial es a S,== - - ( 1 - r") 1 - r

Si O< [r[ < 1, entonces

r'

->

O cuando n

-> Cl0,

luego

lím S,== lím [-a-(1-r")J==-a-[lím (1-r")J==-a,~ 1 - r 1 - r ,~ 1 - r

,~ ex

Cfc

Jo cual significa que la serie es convergente y que su suma es a/(1 - r). DejaD mos al lector la demostración de que la serie diverge cuando frf > l.

EJEMPLO 3 Series geométricas convergentes y dirergentes a)

La serie geométrica

1111] Intente calcular la ~~!""J suma de los 20 pri-

¿w

meros términos de la serie del Ejemplo 3a en una calculadora. Debe obtener como suma aproximada 5,999997.

FÜ

l

~

2

7

==

¿ '

n=O

(1)"

3 2

(1) (1)2

== 3(1) + 3 - + 3 2 2

tiene razón r == 1/2 y a== 3. Como O<

b)

frl < 1, la serie converge y su suma es

a

3

1 - r

1 - (1/2)

S==--==

+ ...

==6

La serie geométrica

3 9 27 ... ¿ ( -3)" == 1 +-+-+-+

n=O

tiene razón r ==

2

~. Como [r[ ~

2

2

4

8

1, la serie diverge.

La fórmula para la suma de una serie geométrica sirve para expresar un decimal periódico como cociente de enteros, como muestra el próximo ejemplo.

D

638

Capítulo 8

Series

EJEMPLO 4 Una serie geométrica para un decimal periódico Expresar 0,080808 como cociente de dos enteros, usando una serie geométrica. Dado 0,080808, podemos escribir

Solución:

o,o8o8o8 ... = -8J JO-

+ +- +- +··· 8 ---;¡:

8 1o 6

10

. 8 En esta sene, a = J02 y r =

8 1o 8

=

¿ f

8 )(- 12)" 1o 1o

(

-2

"~o

1 . As1' pues, 102

8

a 10 2 0,080808 ... = - - = ( ) 1 - r 1 1:)2

8 99

Divida 8 por 99 para ver que, en efecto, el resultado es 0,080808.

D

La convergencia de una serie no se ve afectada por la eliminación de un número finito de sus términos iniciales. Por ejemplo, las series geométricas

I

n~4

(~)11

y

2

convergen ambas. Además, puesto que la suma de la segunda serie es al( 1 - r) = 2. concluimos que la suma de la primera serie es

S=

-[GY +G} +GY +GYJ

2

15 =2 - 8

8 Las propiedades que se citan a continuación son consecuencia directa de las correspondientes para los límites de sucesiones.

TEOREMA8.7

PROPIEDADES DE LAS SERIES Si :E a11 =A, :E bn = B, y e es un número real, las series siguientes convergen a las sumas indicadas.

l.

I"' n=l

w

ca,= cA 2.

L n=1

(a" + bn) =A + B

3.

L n= 1

(an - bn) =A - B

Sección 8.2

639

Series y comergencia

Criterio del término general para la divergencia El próximo teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n-ésimo ha de ser necesariamente O.

TEOREMA 8.8

LÍMITE DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SERIE CONVERGENTE Si la serie I: a11 converge, la sucesión {an} converge a O. Demostración:

Supongamos que

ADVERTENCIA

Al estudiar este capítulo es muy importante distinguir entre series y sucesiones. Una sucesión es una colección ordenada de números

¿

a, = lím S, = L

n=l

+

Entonces, como S,= S,_ 1

n---+

'f

a, y

lím S,= lím S, __ n- ry

mientras que una serie es una suma infinita de los términos de una sucesión

fl-+

x,

1

=L

resulta que L = lím S,= lím (S,_ 1 +a,)= lím S,_ n-rf)

n-+x

n-+,-;¡

1

+ lím 11

.¡.

a,,

x,

= L + lím a, ,~

D

lo cual implica que {a,} converge a O.

El contrarrecíproco del Teorema 8.8 proporciona un criterio eficaz para demostrar la divergencia de muchas series. Este criterio del término general (o del término n-ésimo) afirma que si el límite del término general de una serie no tiende a cero, la serie diverge necesariamente.

TEOREMA8.9

CRITERIO DEL TÉRMINO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA Si la sucesión {anl no converge a O, la serie I:a, es divergente.

Nota. ¡Cuidado! Este teorema no dice que si {a,} converge a O la serie La, tenga que ser necesariamente convergente.

1

EJEMPLO 5 Aplicación del criterio del término general

a)

Para la serie

¿

2", se tiene

n=O

lím 2" =

ex

JI-+.-¡

Así pues, el límite del término n-ésimo no es O, luego la serie divcrge.

640

Capítulo 8

Series

b)

Para la serie

L n=l

n!

' es

2n! + 1

n! 2n! +

lím

~~~,,,

ADVERTENCIA La serie del Ejemplo Se jugará un papel relevante en este capítulo.

'

..

¿~

1

--= n

1

e)

2

Por tanto, el límite del término n-ésimo no es O, y la serie diverge. ''" 1 Para la serie es

L -,

n= 1

n

1 lím -=O

1 1 1 1 +-+-+-+ ... 2 3 4

n----J.

Tendremos ocasión de probar que esta serie diverge, a pesar de que su término general tiende a O cuando n tiende a infinito.

rf

11

Como el límite del término general es O, el criterio del término general no es aplicable, luego no podemos sacar conclusiones sobre si la serie converge o diverge. (En la próxima sección veremos que esta serie es divergente.) D

EJEMPLO 6 Una pelota que bota Se deja caer una pelota desde 6 pies de altura y comienza a botar, como muestra la Figura 8.7. Cada vez rebota 3/4 de la altura desde la que cae del bote anterior. Calcular la distancia vertical total recorrida por la pelota .

[)

•

Solución: Cuando la pelota toca por primera vez el suelo ha recorrido una distancia D 1 = 6. Sea Dn la distancia de subida y bajada en el n-ésimo bote subsiguiente. Por ejemplo, D 2 y D 3 son

4

2

;: '' '' ''

:'

'--y---'

n

2

3

4

5

6

7

FIGURA 8.7 La altura en cada bote es 3/4 de la altura del bote anterior.

Sube

Baja

Sube

Continuando con este proceso, encontramos que la distancia vertical total recorrida es

=

6+ 12 ¿ (3)11+ :. . [ 4

=

6+ 12(~)4 f (~)" 4

X

n~o

n~o

= 6 + 9(~) = 6 + 9(4) 1 -4 = 42 pies

D

641

Ejercicios de la Sección 8.2

Ejercicios de la Sección 8.2 En los Ejercicios 1-6, calcular los cinco primeros términos de la sucesión de sumas parciales.

I

22. F

l.

1 1 1 1 1+-+-+-+-+··· 4 9 16 25

1 2 3 4 5 2. - - + - - + - - + - - + - - + ... 2·3 3 4 4·5 5·6 6·7

S.

3

L

3 2"-1

n::::l

A

4~

•••••••••

7

9

2 •

11

1

123456789

I-, n.

123456789

d)

a,

e)

a"

6.

A

4.

En los Ejercicios 7-16, verificar que la serie dada es divergente. ll

1

+ 1

2

¿ -- = f

11 ~ 1

¿

8. F

ll

2

3

3¡

4

1 2 3 4 - - = - + - + - + - + ... 2n+3 5 7 9 11 1

¿

3 ::._

7

I

¿

2

1 2

14.

n=O

2" + 1

L.,

2"+1

\

¿

16.

"'

(3)"

¿ f

.. ~o

18. i

F1

19.

I

2 4

123456789

23.

I -9CY -

24.

f

n~o

4 4

]y

~ 15( I -4 --4.

I), eY3

, 17 ( s)" I - --

26.

n~o

n-o 3

9

f'v Investigación numérica, gráfica y analítica n!

\L., 2"

fi=Ü

En los Ejercicios 17-22, comprobar que la serie propuesta es convergente.

17.

f

2(-1,03)"

n=-· O

'l.

n=l

+

25.

1.000( 1,055)"

:

ll

12.

('))"

no.() •

15.

• • • • •

1 2 3 4 5 6 7 8 9

n~ 1 vl1

13.

4

ll

!

• • • •

5 :

•••••••••

2!

+ - + - + - + ... 3 4 5

10. 11.

• ••••

1.

n= 1

7.

•

• ••

(-1 )"+ 1

'l.

6.

5

h)

a,

1 1 1 1 1 1 4. - + - + - + - + - + - + ... 1

Usar descomposición en fracciones simples

+ 2)

n(n

En los Ejercicios 23-26, asociar cada serie con la gráfica correspondiente de su sucesión de sumas parciales. Estimar la suma a la vista de la gráfica. a)

9 27 81 243 3. 3 - - + - - - + - ... 2 4 8 16

1

39

= 2 + - + - + -27 + -81 + ... 2 8 32 128

En los Ejercicios 27-30, a) calcular la suma de la serie, b) hallar la suma parcial S" indicada, con ayuda de la calculadora, y completar la tabla, e) representar en la calculadora las diez primeras sumas parciales y una recta horizontal que represente la suma, y d) explicar la relación entre la magnitud de los términos de la serie y el ritmo al que la sucesión de sumas parciales tiende a la suma de la serie .

2(-~)" = 2- 1 + ~- ~ + ~- ... 2 2 4 8 (0,9)" = 1 + o,9 + o.81 + o.n9 + ...

5

ll

10

20

100

50

!

S., 1

1

1

1

1

1

n=O

¿

20.

(-0,6)" = 1-0.6 + 0,36-0,216 + ...

27.

1 ---Usar descomposición en tracciones simples

f

¿ F

1

2(o.9r

n(n

+

1)

29.

I

1o(o,2sr

n=l

I~ 1n(n

28. n

n : :__ 1

n=O

21.

1

I

1

30.

4 + 4)

I s --3lr1 X

n~1

(

642

Serie.1

Capítulo 8

En los Ejercicios 31-44, determinar la suma de la serie. 31.

' (1)" n~O 2

32.

I' (--1)"

33.

I

34.

2)"

(

36.

8

37.

3 - l +-- - + ... 3 9

38.

l 4-2+ ]--+ ...

+

63.



85.

86.

X

Salario Usted acepta un trabajo con un salario anual de $30.000 el primer año y con un aumento del 5 por 100 anual en los 39 años siguientes. ¿Cuánto habrá cobrado en total al final de esos 40 años? Beneficios El beneficio anual de la H. J. Heinz Compan y entre 1980 y 1989 siguió aproximadamente el modelo a,= 167,5 e 0 · 12 ",

n

= O,

1, 2, · · ·, 9

donde a, denota el beneficio anual, en millones de dólares, y n el año, correspondiendo n =O a 1980. Usar la fórmula que da la suma de una sucesión geométrica para aproximar el beneficio total en ese período de 1O años. 87.

Hallar dos series divergentes L a, y L b, tales que L(a, + h,.) sea convergente.

88.

Dadas dos series L a, y L h, tales qu~ L a, converge y L b, diverge, demostrar que L(a, + b,) diverge.

PROYECTO PARA LA SECCIÓN La mesa desaparecida de Cant(Jr Vamos a explicar cómo hacer clesap:arecer una mes,a ¡suprimiendo sólo la mitad de la mesa! · La mesa original tiene longitud L. b) Eliminar el l/4 de la mesa con centro en su punto medip. Cada porción restante mide menos de U2. ") Elíminar.l/8 cle.~mesa quit~do dos trozos qd/16 .lie longitl!d centfa.dos en los punto& medios de los d()~ fr~gmen~o~ anterlore¡¡. Ya ;temos quitado ~ + i de la Ijles,a: Cada..tJ:'\lZo.delos que quedan l:tlide menos de.U4. d) Quitar 1116 de la mesa, suprimiendo fragmentos de longitud 1164, .centradós en sus puntos medios, de cada uno de los cuatro fragmentos que han tes\lltado del paso.anterior. Hemos quitado en tótal hasta ahora t + k +1\r de la mesa; Cada tro'!:o. de .los q-ue han quedado mide menos de U8 de longitud. a)

¿Hará desap¡u-eeer la Fesa este proceso, a pesar de que sólo habremos quitado al final·la rrtita

l.

r-1

Sección 8.3

CONTENIDO • El criterio integral • Las p-series y series armónicas •

645

El criterio integral y las p-series

D

_8.3_ _ _ _ _ _ _ _ __ El criterio integral y las p-series

El criterio integral En esta sección y en la siguiente, estudiaremos varios criterios de convergencia aplicables a las series de términos positivos.

TEOREM* 8.10

EL CR!faRIOINTEGRAL

Si fes poshiva,. conti.nuá y9ecreciente p~ax ._.);_ 1 y aít :i: /(li),t:nt~nces y

l.:> j(x) dx

convérgen o divergeQ an)bas simultáneamente. Demostración: Comenzamos partiendo el intervalo [ l, n] en n - 1 subintervalos de longitud unidad (Figura 8.8). Las áreas totales de los rectángulos inscritos y de los rectángulos circunscritos son

Rectángulos inscritos:

f/(i) ~área

''

L

f(i) =J(2) +/(3) + ... + f(n)

Área inscrita

f(i) = f( 1) + /(2) + .. · + f(n - 1)

Área circunscrita

i~2

n-1 X

Rectángulos circunscritos:

":i /(i) ~ área

L

¡~

1

El área exacta bajo la gráfica de f entre x = 1 y x = n está entre esas dos áreas, luego

J

1

.f(i)

2

~

f

f(x) dx

~ ~t~ f(i)

Denotando la n-ésima suma parcial por S"= J(l) + /(2) + ... + f(n), podemos escribir esa desigualdad como

FIGURA 8.8

Suponiendo ahora que

lX) f(x) dx converge a L, se sigue que para n ;?:

1

En consecuencia, {S"} es monótona y acotada, así que por el Teorema 8.5 converge. Por consiguiente, L an converge. Para la otra dirección de la demostración, supongamos que la integral impropia es divergente. Entonces, St J

648

Capíwlo 8

Series

Demostración: cual

Basta recordar el criterio integral y el Teorema 7.5, según el

f

w

1

1 -dx xP

converge si p > 1 y diverge si O < p :::; l. Nota. La suma de la serie del Ejemplo 3b es n 2 /6, como demostró Leonhard Euler (la demostración es difícil y la omitimos). Tenga siempre muy presente que el criterio integral no dice que la suma de la serie coincide con el valor de la integral. Por ejemplo, la suma de la serie del Ejemplo 3b es

D

¡

'

I

1

7[2

-=-;::;:

"~ 1 nl

6

1,645

EJEMPLO 3 p-series convergentes y divergentes a)

Del Teorema 8.11 se deduce que la serie armónica ~

¿ n= 1

b)

1

1

1

1

-=-+-+-+... n 1 2 3

p=l

diverge. Del Teorema 8.11 se sigue que la p-serie

p = 2

mientras que el valor de la integral impropia asociada es y

f

1

1

D

converge.

2 dx= 1 X

EJEMPLO 4 Análisis de la cont'ergencia de una serie Averiguar si esta serie es convergente o divergente.

¿

,= 2 n In n

Solución: La serie es similar a la serie armónica divergente. Si sus términos fuesen mayores que los de la armónica, es de esperar que fuera divergente. Sin embargo, como sus términos son menores no estamos seguros de qué sucede. Mediante el criterio integral, con.f(x) = 1/(x In x), vemos que la serie diverge:

f"' 2

- -1d x = x In x

J") --dx l/x In x

2

= lím [ln(ln x)Jb b--+'X__,

2

= lím [ln(ln b) - ln(ln 2)] b-+

=00

00

D

649

Ejercicios de la Sección 8.3

Ejercicios de la Sección 8.3 En los Ejercicios 1-1 O, aplicar el criterio integral para decidir si la serie es convergente o divergente.

l.

I n~! n

16.

17.

1 1 1 1 + - + - + - + ...

J2J3J4

+ 1

00

2.

1

1

9

16

25

1 +-+-+-+-+ ...

e-n

19.

1 1 1 1 1 + - - + - - + - - + - - + ...

'\' _1_ L. n~ 1 4n + 1

20.

l + - + - + - - + - - + ...

ne-n

I

2)2 3}3 4}4 sj5

n=l

4.

1

4

18.

I

n= 1

3.

1

1

1

1

V4 V9

1

ifi6 z;2s

1 1 1 1 1 5. - + - + - + - + - + ... 2 5 10 17 26

21.

1 1 1 1 1 6. - + - + - + - + - + ... 3 5 7 9 11

22.

In 2 In 3 In 4 In 5 In 6 7. --+--+--+--+--+ ... 2 3 4 5 6

En los Ejercicios 23-26, emparejar cada serie con su gráfica de sumas parciales y discutir su convergencia.

1 2 3 n 8. -+-+-+···+---+··· 4 7 12 n2 + 3

a)

oo

9.

I

n~!

n= 1

b)

nk-1 -k-·

k es un entero positivo

n +e

•

00

10.

I

nke-",

En los Ejercicios 11 y 12, aplicar el criterio integral para decidir si la p-serie es convergente o divergente.

n~ 1

12.

n

¿

n~ 1

14.

%

l

Fl

n(ln n)P

¿

• ••

n

En los Ejercicios 15-22, determinar si la p-serie dada es convergente o no.

15.

I Vn

8 10

2

••••••

••••••

23.

25.

27.

4

I

_2_ n~! ~3

I

n~1

_2_

nJn

Redacción

¡...¡.,..n 8 10

8 10

•••

••

•

2

•

1

ir+

1

2

00

24.

6

't ... 3

2

4

a"

5 4

n

-p

1

6

d)

1

"' In n

n=2

4

e)

1;3

I --

;L. l

~+t-+-H>-n

En los Ejercicios 13 y 14, hallar los valores p >O para los que la serie converge.

13.

••

a"

1

2

'\' L. _1_3

•

•• • ••

k es un entero positivo

n= 1

11.

1

oc.

I--;; n

4

6

1 t l , .... n 8 10

2

I-n

n:::::: 1 if~

26.

2

I2 n

n=1

En los Ejercicios 23-26, lím a" n-+

= O para

CD

cada una de las series, pero no todas son convergentes. ¿Contradice esto al Teorema 8.9? ¿Por qué cree que algunas convergen y otras no?

650 2S.

Series

Capítulo 8

Análisis numérico y gráfico

a) Hallar con la calculadora la suma parcial indicada y completar la tabla. h) Representar los diez primeros términos de la sucesión de sumas parciales. e) Comparar el ritmo al que las sumas parciales se aproximan a la suma de la serie en cada caso.

En los Ejercicios 33-38, usar el resultado del Ejercicio 31 para aproximar la suma de la serie convergente, tomando el número de términos que se especifica. Estimar asimtsmo una cota de error de tal aproximación.

33.

¿

4

n= 1

n

JO

5

20

50

100

35. 15 h)

4

¿

2 n

n--=-1

Como la serie armónica diverge, dado cualquier M > O debe existir un entero N > O tal que la suma parcial

36.

¿

,- 1

-'--~

(n + l)[ln (n + 1)[ 3

diez términos

L

38.

ne_,·

L

e-n

n=l

n=l

cuatro términos

cuatro términos

EP los Ejercicios 39-42, usar el resultado del Ejercicio 31 para determinar un N tal que Rv :S; 0,001 para la serie convergente dada.

1

-->M

n= 1 11

a)

_1_ nz + 1

cuatro términos

diez términos

Razonamiento numérico

L

1

n

6

37. 29.

¿ ,~

S t

n

seis términos

sfl

L

34.

n

Completar la tabla, con ayuda de la calculadora.

39.

¿

40.

4

''= I n 41.

L

e

42.

-5n

n = 1

h) 30.

43.

Al dar a M incrementos iguales, ¿crece N en incrementos iguales'' Explicar la respuesta.

La función zeta de Riemann para números reales se define para todos los x tales que la serie

Para pensar

Un compañero le dice que la siguiente serie converge porque sus términos son muy pequeño:-. y tienden hacia O rápidamente. ¿Tiene razón'' Explicar la respuesta.

1 1 1 - - - + ----· + ----- + .

~Ú)=L

10.000

ll-x

10.001

10.002

n= 1

es convergente. Hallar el dominio de esa función. 31.

(\y

44.

Seafuna función positiva, continua y decreciente en x ;, 1, tal que a, = f(n). Demostrar que si la serie

I

Se toman diez términos para aproximar una p-serie convergente, de modo que el resto es una función de p, con

O :S; R 10 (p) :S;

an

10

n= 1

converge a S, el resto f(v

=S

a) h)

- SN está acotado por

e)

32.

Probar que el resultado del Ejercicio 31 se puede expresar así:

La, n= 1

:S;

L n= 1

I

n-==

' f

a, + 1

f' N

f(x) dx

45.

a)

1 -

xP

dx,

p>l

Efectuar la integral de la derecha. Representar la desigualdad gráficamente en la calculadora. Identificar las asíntotas de la función error e interpretar su significado. Probar que

¿

-1-.1

n= 2 ll

Ejercicio.\ de la Sección R.3

651

converge y

PROYECTO PARA LA SECCIÓN La serie armónica

¿

"~ 2 n In n

I"'

n~t b) e)

diverge Comparar los cinco primeros términos de cada serie. Hallar un n > 3 tal que

1

1

n

2

-=1+

1

1

1

3

4

n

+-+-+· .. +-+ ...

es una de las series más importantes aparecidas en este capítulo. A pesar de que su término general tiende a cero cuando n tiende a infinito, ' -=0 1 hm

n_.O'J

- O tal que lan+ ¡/anl < R para todo n >N. Por tanto, laN+ 1l < laNIR

laN+21 < laN+tiR < laNIR 2 laN+31 < laN+21R < laN+1IR 2<

laNIR

3

La serie geométrica L laNIR" = laNIR + laNIR 2 + · · · + laNIR" + ···es convergente, luego, por el criterio de comparación directa, la serie 00

L n=

laN+nl = laN+ 1l +

laN+21 + · ·· + laN+nl + ···

1

también lo es. En consecuencia, la serie L la NI converge, ya que la supresión de un número finito de términos (n =N- 1) no afecta a la convergencia. Por tanto, del Teorema 8.16 se deduce que la serie L a" converge absolutamente. La demostración de la propiedad 2 es análoga y se deja como ejercicio (Ejercicio 68). D El hecho de que el criterio del cociente no pueda concluir nada cuando 2 --> 1 queda confirmado al comparar las series L (1/n) y L (l/n ), divergente la primera y convergente la segunda, que cumplen ambas la condición 1

Nota.

lan+ 1/anl

lím n--~>ro

lan+ll = 1 an

Si bien el criterio del cociente no es la panacea universal en cuanto a convergencia de series, es particularmente útil para aquellas series que convergen rápidamente. Muchas de las series que contienen factoriales o exponenciales son de este tipo. EJEMPLO 1 Aplicación del criterio del cociente 00

Discutir si es convergente la serie ADVERTENCIA Al aplicar al criterio del cociente suele ser necesario simplificar cocientes o factoriales. Así. en el Ejemplo 1 nótese que n!

n!

(n + 1)!

(n + 1)n!

Solución:

2"

L n=O n!

De an = 2"/n!, se sigue que lím n-ro

lan+ll- lím [ 2"+1 an

-n-ro

-=- 2"] (n + 1)! . n!

= lím [ 2"+1 _n!l n-ro (n + 1)! 2"

n + 1

2

lím-n-oo n + 1 =0

Por tanto, la serie es convergente.

D·

Sección 8.6

669

El criterio del cociente y el criterio de la raíz

EJEMPLO 2 Aplicación del criterio del cociente Averiguar si son convergentes o divergentes las series

Solución: a) Esta serie converge, ya que el límite de ian+ danl es menor que 1 lím

n~oo

2 lan+ll = lím [(n + 1)2( :::)(~)] an 3 n 2 n~oo

, 2(n + 1) 2 = hm 2

3n

n~ oo

2 =- 1

Resto:

O< RN 1

El criterio no concluye nada si lím

n-+oo

Comparación directa (an, bn > 0)

L

a.

n=l

y

L

bn converge

y

n=l

Comparación en el límite (o asintótica) (a •• bn > 0)

lím

L n=l

a.

n-+ oo

~=L b,

>O

lím n-+ oo

00

y

L n=l

L

bn diverge

n=l

~ = L >O

b,.

00

bn converge

y

L n=l

bn diverge

vfaJ = 1

la"+ 11 = 1 a,

674

Series

Capítulo 8

Ejercicios de la Sección 8.6 En los Ejercicios 1-4, verificar la fórmula.

l.

2.

3.

4.

(n + 1)!

(n + l)(n)(n- 1)

(n - 2)'

(2k - 2)!

1

(2k)!

(2k)(2k - 1)

. 3 . 5 ... (2k - 1)

9.

= -(2k)!

(5)"

I

•X,

n~

1

nz 8

1

2kk!(2k- 3)(2k- 1)

1 . 3 . 5 ... (2k - 5)

(2k)!

k ;, 3

En los Ejercicios 5-8, asociar cada serie con la gráfica de su sucesión de sumas parciales.

13.

'\~ L. n~o n!

a)

15.

I-2"

X

a, A 2-r-• • • • • • • • • •

h)

+• • 8 '

6i

3

•

4.

•

-2 ..

00

8 JO

19.

21.

d)

a, ]_ 2

•

l.

········· •

• ••

•• •••

6

7.

CY

¿n::_ J.

,~¡

4

±

(-3)""

n=1

n!

2"

18.

X

(-1 )"2"

n~o

n!

X

23.

6.

CJ( 1)

n~l·~ 4

.,. (-1 )" -

8.

n~l

;;! 1

¿

(\, Investigación numérica, gráfica y analítica En los Ejercicios 9 y 10, a) comprobar que la serie converge, b) completar la tabla, hallando en la calculadora la suma parcial S", e) representar en la calculadora las diez primeras sumas parciales, d) usar esa tabla para estimar la suma de la serie, y e) explicar la relación entre la magnitud de los términos de la serie y el ritmo de acercamiento de la sucesión de sumas parciales a la suma de la serie.

3" (n + 1)"

30

•

n ~o

4"

f

(2~!

n= 1

n

26.

Í

(n!)z

Fü

(3n)!

28.

(

-1 )" 24"

n~O (211

+ 1)!

(-1 )" + 1 11!

1 · 3 · 5 · · · (211 + 1)

L (-1 )" "~ 1

+ 1)

c-lr:c3/2l" n

00

~O 3" +

L.

n(n

24.

'\

29.

Í

(-1)"+ 1 (n + 2)

4"

¿-

n

4

(2n)!

22.

n~o n!

8 JO

20.

"

I n~l n=l

'\~ L. n~ 1 n3"

21. S.

n~l nG)"

16.

¿~

FO

4

14.

/1

I-z n

2s. ¿

2 2

n~l nG)"

n= 1

4

e)

12.

n= 1

17.

• •••• 6

n= 1

En los Ejercicios 11-30, usar el criterio del cociente para investigar la convergencia de la serie.

2kk!

an

10.

2 · 4 · 6 · · · (2n)

2 · 5 · 8 · · · (3n - 1)

En los Ejercicios 31 y 32, verificar que el criterio del cociente no concluye nada para la p-serie dada. •X•

31.

a)

1

¿~ ,~¡113/2

32.

a)

I:~ 1 n

n-=

Yc

b)

n~l

b) 11!(2

1

I¡, n

n=l

Ejercicios de la Sección 8.6

675

En los Ejercicios 33-40, estudiar la convergencia de la serie mediante el criterio de la raíz.

En los Ejercicios 59-62, identificar las dos series que son idénticas.

33.

n~!

35.

37.

n )" 2n + 1

ao(2n)"

59.

a)

34.

n~1

In=2 (In n)"

36.

I (~y· 3n + 1

b)

i: (2fn + 1)''

38.

L

e)

>e

(

;-:;:I

w

w

(-1)"

"'' n5"

In= 1 n!

n=l

e-n

n~o

l 1 1 1 - - - + - - -4+ - - -5+ - - - 6+ "' (In W (In 4) (In 5) (In 6)

61.

a)

b)

2 3 4 5 6 1 +-+-+-+-+-+ ... 3 3 2 3 3 34 3 5

En los Ejercicios 41-58, determinar si la serie es convergente o divergente recurriendo al criterio más adecuado. Identificar el criterio utilizado. (-!)"+ 1 5

7c

I I

43.

_3_ n=J nJn

45.

I n=Jn

2n + 1

(-1)" 3"- 2

%

47.

I I

53.

n2"

cos n n= 1 2"

I

1

I

57.

ro

,';-¡ 'h

58.

I

n=l

(n)" n

(n + l)G)"

cy-1

X>

Inn=1 4

"~1 (2n

n~Z (n

b)

In= 1 n2"

00

- l)!

"~1 (2n

(-!)"

a)

(

- 1)2"- 1

-1)" + 1

(-!)"+ 1

e)

+ 1)!

n~O (n

+ 1)2"

En los Ejercicios 63 y 64, escribir una serie equivalente con el índice de suma empezando en n = O.

I (n n=2

2" - 2)!

En los Ejercicios 65 y 66, a) determinar cuántos términos hay que sumar para aproximar la suma de la serie con un error menor que 0,0001, y b) aproximar con la calculadora la suma de esa serie con error menor que 0,0001.

+

10

I2"

n~1 4n2

65.

66.

(-W 3 ' 5 . '. (2k + 1)

I

54.

67.

Redacción Alguien le dice que los términos (positivos todos ellos) de una serie parecen tender muy deprisa a cero y que, en particular, a 7 = 0,000 l. Sin más información, ¿implica eso que la serie converge? Confirme su conclusión con ejemplos.

68.

Demostrar la propiedad 2 del Teorema 8. 17.

69.

Demostrar el Teorema 8.18. (Ayuda para la propiedad 1: Si el límite es r < 1, tomar un número real R tal que r < R < 1. Por definición de límite, existe algún N > O tal que y;TaJ < R para n > N).

70.

Redacción Lea el artículo de Yaser S. Abu-Mostafa en Mathematies Magazine, septiembre 1984. Redacte unas líneas explicando el criterio. Apoye la respuesta con ejemplos, tanto de series convergentes como de series divergentes.

-

(-1 )"

n=znlnn w

In n

I 7

n=1

56.

n! (-3)"

'\

Hr-1

64.

n~! 2n2

(-1)"3"-1

n=l

62.

+ 1)!

n

46.

52.

n7" 1 n!

7c

55.

I>

5

n~1 4

50.

I

n=

(-1)"

n~O (2n

-

·~

51.

CY

n4

n=!3p

IOn + 3

n=1

I n=

44.

48.

2"

n= 1

49.

%

42.

n

n=l

e)

(n + 1)!

(-1)"-1

e)

41.

b)

Lw

n= 1

n=O ro

40.

n5"

In=O n!

a)

w(n+l)5"+1

n=l

39.

60.

3

5

7

3

5

7

"'

(2n + 1) (2n + l)

l8"(2n - l)n!

(-1)"3"

-I -n2" n=1

676

Capítulo 8

CONTENIDO Aproximaciones polinómicas de funciones elementales Polinomios de Taylor y de Maclaurin Resto de un polinomio de Taylor

Series

8.7 Aproximación por polinomios de Taylor

• • • •

Aproximaciones polinómicas de funciones elementales El objetivo de esta sección es enseñar a usar las funciones polinómicas como aproximaciones de otras funciones elementales. Para hallar una función polinómica P que aproxime a otra funciónf, empezamos eligiendo un número e en el dominio de f en el que P tomará el mismo valor, es decir P(c) = f(c)

Las gráficas de f y P pasan por (c,f(c))

Se dirá que la aproximación polinómica está centrada en c. Geométricamente, exigir P(c) = f(c) significa obligar a la gráfica de P a que pase por (c,f(c)). Ni que decir tiene que hay muchos polinomios que satisfacen esa condición. Nuestro empeño consiste en encontrar uno cuya gráfica sea parecida a la de f en las proximidades de ese punto. Una forma de lograrlo consiste en imponer la condición adicional de que la pendiente de la función polinómica sea la misma que la de f en el punto (e, f(c)). P'(c) = f'(c)

Las gráficas defy de P tienen la misma pendiente en (e, f(c))

Con esos dos requisitos obtenemos una aproximación lineal simple de f, como muestra la Figura 8.10. EJEMPLO 1 Aproximación de f(x) =ex por un polinomio de grado uno FIGURA 8.10 Cerca de (e, f(e)), la gráfica de P sirve como aproximación de la gráfica de f

Dada la funciónf(x) =ex, hallar un polinomio de grado uno

cuyo valor y cuya pendiente en x = O coincidan con los de f Solución:

Como f(x) = ex y f'(x) = eX, los valores de f y de su pendiente en

x =O son f(O) = e 0 = l y

f'(O) = e 0 = 1 FIGURA 8.11 P1 es la aproximación polinómica de grado 1 para f(x) =ex.

Puesto que P 1(x) = a 0 + a 1x, podemos usar la condición P 1 (0) =f(O) para concluir que a0 = l. Además, como P 1 '(x) = a 1 , de la condición P ¡'(O)= f'(O) se deduce a 1 = l. Por tanto, P 1 (x)= 1 +x

La Figura 8.11 muestra las gráficas de p 1 (x) = 1 + X y f(x) = ex.

D

677

Aproximación por polinomios de Taylor

Sección 8.7

Nota. No es en el Ejemplo 1 la primera vez que empleamos una función lineal para aproximar otras funciones. El mismo procedimiento se utilizó ya como base dei método de Newton en la Sección 3.8. 1

En la Figura 8.11 vemos que en los puntos cercanos al (0, 1) la gráfica de P 1 (x)= 1 +x

Aproximación de grado 1

es razonablemente parecida a la def(x) =ex. Sin embargo, al alejarnos de (0, 1) las gráficas se separan y el parecido se va perdiendo. Con el fin de mejorar la aproximación, podemos imponer otra condición, a saber, que los valores de las segundas derivadas de f y de P sean iguales en x = O. El polinomio P 2 de segundo grado que satisface los tres requisitos, P 2 (0) = f(O), P 2 '(0) = f'(O), y P 2 "(0) = f"(O) puede demostrarse que es Aproximación de grado 2

Además, en la Figura 8.12 se advierte que P 2 es mejor aproximación de f que P 1 . Si continuamos este proceso, exigiendo que los valores de un polinomio FIGURA 8.12 P2 es la aproximación polinómica de grado 2 paraj(x) =ex.

Pn(x), de grado n, y de sus n primeras derivadas coincidan con los def(x) =ex en x = O, se obtiene finalmente el polinomio

1 2 1 3 1 n Pn(x) =1 +x+- x +-x + ... +-x 2 3! n!

EJEMPLO 2 Aproximación de f(x)

Aproximación de grado n

=ex por un polinomio de grado tres

Construir una tabla comparando los valores del polinomio 1 1 P 3 (x) = 1 + x + - x 2 + - x 3 2 3!

Aproximación de grado 3

con los de f(x) =ex para varios valores de x cercanos al O.

Solución: Con ayuda de la calculadora es fácil completar la tabla adjunta. Nótese que para x = O las dm funciones tienen el mismo valor, pero al alejarse x del valor O, la precisión de la aproximación disminuye.

-1,0

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

1,0

ex

0,3679

0,81873

0,904837

1

1,105171

1,22140

2,7183

P 3 (x)

0,3333

0,81867

0,904833

1

1,105167

1,22133

2,6667

X

D

678

Capítulo 8

Series

FIGURA 8.13 P3 es la aproximación polinómica de grado 3 paraf(x) =e'.

Apro)l:imació!l de gtad6 4

Polinomios de Taylor y de Maclaurin La aproximación polinómica del Ejemplo 2 estaba centrada en e = O. Cuando se desea construir aproximaciones centradas en algún otro valor de e, conviene escribir los polinomios de esta forma:

Así, las sucesivas derivadas dan como resultado Pn'(x) = a 1 + 2a 2 (x- e) + 3a 3 (x- e) 2 + · · · + nan(x- e)"- 1 Pn"(x) = 2a 2 + 2(3a 3)(x- e)+ ··· + n(n- l)an(x- e)"- 2 Pn"'(x) = 2(3a 3 ) + ··· + n(n- l)(n- 2)a.(x-

p"(n)(x)

· de ~flti.as-~"R~

sobre íl~ ~rot(e(lla.

= n(n-

et- 3

l)(n- 2) ··· (2)(l)an

Haciendo x =e, obtenemos

y como el valor defy de sus n primeras derivadas deben coincidir con los de P" y sus derivadas en x =e, se sigue que ,

f(e) = a 0 ,f (e)= a 1 ,

f"(e) --

2!

f"l(e)

= az, ···,--=a"

n!

Sección 8.7

679

Aproximación por polinomios de Taylor

Con estos coeficientes llegamos a la siguiente definición de los polinomios de Taylor, así llamados en honor del matemático inglés Brook Taylor, y de los polinomios de Maclaurin, que llevan el nombre de otro matemático inglés, Colin Maclaurin (1698-1746).

DEFINfCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR YDE MAc:;LAURIN

Siftiene n derivadas en e,

ei Polinomio /"(e}

+-.-·.. (X2!.

. . c)2 + ...

¡ l. En consecuencia, el radio de convergencia es R = l. D EJEMPLO 4 Cálculo del radio de convergencia 00

Calcular el radio de convergencia de

L n=O

Solución:

(

-1 )"x2n + 1 (2n + 1)!

Sea un = ( -1 )"x 2 " + 1/(2n + 1)! Entonces

Sección 8.8

Series de potencias

691

, lun+ll-- hm , 1[(-1)"+1

hm

n~w

Un

n~w

= lím

n~w

[(-1)"

3)!1

x2n+3]/(2n + +1 ]/(2n + 1)!

2

X "

(2n + 3)(2n + 2)

Este límite es O para cualquier valor de x, así que el criterio del cociente establece que la serie converge para todo x. Por tanto, su radio de convergencia es R = 8. D

Convergencia en los puntos terminales Nótese que para una serie de potencias cuyo radio de convergencia sea un número finito R, el Teorema 8.20 no dice nada acerca de si la serie converge o no en los dos puntos terminales de su intervalo de convergencia. Eso significa que falta estudiar el comportamiento de la serie en ellos. Según el resultado de ese análisis, el intervalo de convergencia de una serie de potencias puede adoptar las seis formas que muestra la Figura 8.18. Radio: O

Radio: oo

____________. __________ . X

Radio: R

R

.----.

--+--+---x (c-R,c+R)

J

[c --R,c+R)

(c-R, e+ R]

l

X

[e

.

X

R,c+R]

FIGURA 8.I8 Intervalos de convergencia.

EJEMPLO 5 Cálculo del intervalo de convergencia

Solución:

C()

xn

n= 1

n

I -

Calcular el intervalo de convergencia de Llamando un = x" /n vemos que

----l Im , nx 1

n~w

=

n + 1

1

lxl

Según el criterio del cociente, el radio de convergencia es R = l. Además, como la serie está centrada en O, converge en el intervalo (-1, 1). Sin embargo, todavía no está claro si ese intervalo es exactamente el intervalo de convergencia, ya que falta analizar qué ocurre en sus dos puntos terminales. Cuando x = 1, la serie dada se convierte en la serie armónica divergente

692

Capílulo 8

Series

I

1

1

1

1

n

1

2

3

-=-+-+-+

Fl

Divcrge para x =

1

Cuando x = -1, se convierte en la serie armónica alternada

r

I

n~ 1

( - ) )11

-- = -1

n

1 2

1 3

1 4

+---+--···

Converge para x = -1

que es convergente. Por consiguiente, el intervalo de convergencia de la serie es l-1, 1), como se muestra en la Figura 8. 19.

Intervalo:

1

Radio: R

l. 1)

1

' -o fiGLRA S.l9

D

EJEMPLO 6 Cálculo del i!!termlo de cmnergencia

Calcular el intervalo de convergencia de '\' L. f1=0

Solución:

( -] )"(x

+ 1)11

- - - -

211

Denotando un = (- 1)"(x + 1)"/2" obtenemos

(-1)"+1(x

lím u"+ 1 = lím

1'In 1

"~'

1)"+1/2"+11 (-l)"(x+ 1)"/211

l

+

= lím_.l2"(x + _0_1 X 2 11+ 1 1/~

=1~1 lntl'n·alo: ( 3, l) Rac!to: R 2

- --1

o FIGURA 8.20

Del criterio del cociente se sigue que la serie converge si ICx + 1)/21 < 1 o sea lx + 11 < 2. Por tanto, su radio de convergencia es R = 2. Como la serie está centrada en x = -1, converge en el intervalo ( -1, 1). Además, en los puntos terminales la serie dada se convierte en

I

n~o

Di verge para x = -- 3

Sección 8.8

693

Series de potencias

y

1 ~0

(-1)'\2)"

2"

¿

(-lt

Diverge para x = - 1

n=O

ambas divergentes, de manera que el intervalo de convergencia es finalmente (-3, 1), como muestra la Figura 8.20. O EJEMPLO 7 Cálculo del radio de convergencia

Hallar el radio de convergencia de

Solución:

Haciendo

U 11

':.(_,

XTI

n= 1

n

L2

= x" /n 2 vemos que

2

lím

1

"~"" (n

n x

+ 1) 2

1

=

lxl

Del criterio del cociente se sigue que el radio de convergencia es R = l. Puesto que la serie está centrada en x =O, eso quiere decir que converge en el intervalo ( -1, 1). Para x = 1 obtenemos la p-serie convergente

Converge para x = 1

Para x = -1 obtenemos la serie alternada convergente

Converge para x = -1

Concluimos que el intervalo de convergencia de la serie dada es [-1, 1].

O

Derivación e integración de series de potencias JAMES GREGORV (1638-16751 Uno de los primeros matemáticos en trabajar con series de potencias fue el escocés James Gregory. Desarrolló un método, basado en ellas, para interpolar valores de una tabla, un método utilizado más tarde por Brook Taylor en su desarrollo de los polinomios y series de Taylor {véase Sección 8.10).

La representación de funciones por series de potencias desempeñó un papel relevante en el desarrollo del Cálculo. La obra de Newton, especialmente cuando tuvo que tratar con funciones algebraicas complicadas o con funciones trascendentes, estuvo basado en el uso de series de potencias. Euler, Lagrange, Leibniz y los Bernoulli utilizaron también series de potencias con frecuencia. Una vez definida una función mediante una serie de potencias, es natural preguntarnos cómo averiguar las características de esa función. ¿Es continua? ¿Es derivable? ¿Es integrable? El próximo teorema, que enunciamos sin demostración, responde estas cuestiones.

694

Capítulo 8

Series

El Teorema 8.21 viene a decir que las funciones definidas por series de potencias se comportan, a muchos efectos, como los polinomios. Son continuas en su intervalo de convergencia y tanto su derivada como su primitiva se pueden hallar derivando e integrando término a término la serie de potencias dada. Por ejemplo, la derivada de la serie de potencias oc

f(x) =

x"

I n=O

n!

= 1+x

xz

x3

x4

2

3!

4!

+ - + - + - + · ·.

es x3 4!

x2 3!

x 2

f'(x) = 1 + (2)- + (3)- + (4)- + ··· xz x3 x4 = 1 +x+-+-+-+ ··· 2 3! 4! =f(x)

Curiosamente, hemos obtenido f'(x) = f(x). ¿Reconoce esta función?

EJEMPLO 8 Intervalos de convergencia de f(x),j'(x) y [J(x) dx Consideremos la función dada por w

f(x) =

x"

I n=l

n

= x

xz

x3

2

3

+ - + - + ···

Sección 8.8

695

Series de potencias

Hallar los intervalos de convergencia de a)

Sf(x) dx

Solución:

b)

f(x)

e)

J'(x)

Por el Teorema 8.21, se tiene •>e

j'(x) =

L

x"-1

n=l

= 1 + x + x 2 + x 3 + · .. y

f

x"+l

oc

f(x) dx =e+

¿ n=1

n(n

x2

+ 1) x3

x4

=C+~~+~~+~~+

1·2

2·3

3·4

...

Usando el criterio del cociente es fácil probar que las tres series tienen radio de convergencia R = l. Considerando el intervalo (-1, 1) resulta para sus respectivos intervalos de convergencia lo siguiente. a)

Para Sj(x) dx, la serie xn+l

¿

Intervalo de convergencia: [-1, 1]

n=ln(n+1)

b)

converge para x = ± 1, y su intervalo de convergencia es 1-1, 1]. Paraf(x), la serie

Intervalo de convergencia: [-1, 1)

e)

converge para x = -1 y diverge para x = l. Por tanto, su intervalo de convergencia es [-1, 1). Paraj'(x), la serie

I

x"-1

Intervalo de convergencia: (-1, 1)

n=l

diverge para x = ±1, y su intervalo de convergencia es (-1, 1).

D

El Ejemplo 8 nos deja la impresión de que, de las tres series en cuestión, la más reacia a converger en los puntos terminales es la de j'(x). Y, en efecto, se puede demostrar que si la serie dej'(x) es convergente en los puntos terminales x = e ± R, la serie de f(x) también converge en ellos.

696

Capítulo 8

Series

Ejercicios de la Sección 8.8 En los Ejercicios 1-6, calcular el radio de convergencia de la serie de potencias.

l. 3.

x"

I

,.~o

"-11 + 1

5.

-¡_,

'

(2x)"

I

31.

¡¡1

9.

2"

32.

(-l)"x"

I--n

10.

i~n.

12.

I

11!

14.

n~o

=I

34. f(x)

+ 1

n ( -1

cr

)" + 1 (x - 1)" n

n=1

I (-1 )" + 1 nx" 00

con el valor indicado de la función. Explicar cómo se ha tomado la decisión.

(3x)"

I(2n)! -

FÜ

2

(-1 )"+ x" 4"

(-l)"x"

I n~o (n

1

'

(-1 )" + 1(x - 1)" + 1

=I

33. f(x)

n:=O

(2n)' (:)"

n~1

n5n

n= 1

2

n--o

15,

=I

f(x)

-1 )" + 1 (x - 5)"

En los Ejercicios 35-38, asociar cada gráfica de las diez primeras sumas parciales de la serie

n--'O

13.

(

~~

n=O

,~- t

11.

2

e¡:,

±(:)"

n~o

n~o

~~

En los Ejercicios 7-30, hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencias. (Recuerde que eso exige estudiar el comportamiento de la serie en los puntos terminales del intervalo.) 7.

I (:)"

f(x) =

(-l)"x"

(211) !x"

I

6.

--

n=O

I n=O

4.

112

/t=-1

(4x)"

n=O

(2r)"

I

I

2.

En los Ejercicios 31-34, hallar los intervalos de convergencia de a) f(x), b) f'(x), e) j"(x), y d) Sf(x) dx. Analizar, en cada caso, la convergencia en los puntos terminales.

a)

+ 1)(11 + 2)

•

'\' (-l)"11!(x- 4)"

16.

L. n~ O

b)

a"

••

•

::\"

(J/1

12

••••••

6

~ (-])"+ (xn- 5)" L. n~ 1

'

19.

I n~O

21.

L

( -1 )"

e)"

(x -

e

n-1

I

--(-2x)"

1

'

n~1

28.

L J

"~ 1

6· .. 211 1) 3 . 5 . 7 . . . (211 + 2·4

11

I

I "~

•

211- 1

1

4

6

8

3 · 5 · · · (2n -

• •

• n

! j

2

4

······

6

2

8

4

6

8

n'x"

I -·-

n~1 (2n)!

l

........

( -] )"x2n

'k)'

35.

g(l)

36.

g(2)

37.

g(3, 1)

38.

g(-2)

39.

Sea x

X2n+ 1

f(x) =

a) b)

1

¡ 2

8

n~O

( -]

)"x2n + 1

~

(2n + ] )! y g(x) =/:"o

( -]

)"x2n

(2n)!

·.. (4n - 1)(x - 3 )" 4"

n!(x - e)" 1

1

(k + n - 1)x" n'

n= 1

3o.

(-1)"+ 1X2n-1

x

26.

+ J)l

(-1 )" + 1 3 · 7

'

t!

j

6

•

d)

I -n!-

1

k( k + 1)(k + 2)

[

.. f

a"

n=O

I ----

27.

,.~

24.

n + 1

n~o (2n

I

22.

,e>O

.,

t2n+

29.

e)

1

ll

n-- 1

25.

1)" +

(x -

l

4

• ••

1

11 + ]

n-1

23.

j

2

¡

n5 11

••

' ••

4 2 ; •

1

17.

+

lO 8

e) 1)

d)

Hallar los intervalos de convergencia de{ y g. Probar que f'(x) = g(x). Verificar que g'(x) = -f(x). Identificar las funciones f y g.

697

Ejercicios de la Sección 8.8

40. Sea

49. f(x)

u) b) e) d)

cf_,

x"

n~o

n!

=L -

Determinar el intervalo de convergencia de f Comprobar quej'(x) =f(x). Verificar que j(O) = l. Identificar la función f

es (-2, 2). a) Calcular la suma de la serie cuando x = 3/4. Representar en la calculadora los seis primeros términos de la sucesión de sumas parciales y la recta horizontal correspondiente a la suma de la serie. b) Repetir el apartado a) con x = -3/4. e) Explicar en unas líneas la comparación entre el ritmo de convergencia de la sucesión de sumas parciales y la suma de la serie en los apartados a) y b). ¿En qué difieren los puntos representativos de las sumas parciales cuando éstas convergen hacia las respectivas sumas de las series? d) Dado cualquier número real positivo M, existe un entero positivo N tal que la suma parcial

En los Ejercicios 41 y 42, demostrar que la función representada por la serie de potencias es solución de la ecuación diferencial. x2n

7._,

41.

42.

v=

-

I -2nn!' y" -

n=O

v= 1+ •

l'v 43.

I

,~

xv' - v . "'

=O

(-1 )"x4"

1

2 2 "n!·3·7·Jl .. ·(4n-l)

Función de Bessel

Investigación Hemos visto en el Ejercicio 7 que el intervalo de convergencia de la serie geométrica

, y"+ x y =O 2

La función de Bessel de orden Oes

. to G)" Probar que esa serie converge para todo x. Verificar que la serie es solución de la ecuación diferencial x 2 1;; + x1ó + x 2 1 0 = O Representar en la calculadora el polinomio constituido por los cuatro primeros términos de 1 0 . Aproximar el valor de ]Mo dx con dos decimales.

u) b)

e)

d) l'v 44.

La función de Bessel de orden 1 es

Función de Bessel

>M

Usar la calculadora para completar la tabla. 0

1 : 50.

1'

~~ 1' ~ 0

100

1

1

1

Escribir una serie equivalente a x2n+ 1

,~0 (2n a) b)

Probar que esa serie converge para todo x. Verificar que la serie es solución de la ecuación diferencial

e)

Representar en la calculadora el polinomio constituido por los cuatro primeros términos de 1 1 . Probar que 1ó(x) = -1 1 (x)

d)

cuyo índice de suma comience en n

51.

46. .f(x) =

47. j(x) =

I

,~o

I

entonces converge necesariamente también para x

52.

n=O

I

Si la serie de potencias

entonces converge necesariamente también para x

53.

(-l)"x", -1 < x < 1 (-!)"

x2n+ 1 - - · -1 :;;; X:;;; 1

2n + 1

= -2.

a,,x" converge para x = 2,

n=O

Si el intervalo de convergencia de

I

= -l.

a,x" es (-1, 1),

a=()

(-1)"--(2n + 1)!

/

tfx) = I

a,,x" converge para x = 2,

x2n+ 1

n=O

48.

I

Si la serie de potencias

n=O

x2n

45 . .f(x) = ..~o (-1)" ( n)! 2

= l.

¿Verdadero o falso? En los Ejercicios 51-54, averiguar si el enunciado es correcto. Si no lo es, explicar la razón o dar un ejemplo que ponga de manifiesto su falsedad.

r~u En los Ejercicios 45-48, representar la gráfica de la serie de

potencias en la calculadora. La serie representa una función bien conocida. Identificarla a la vista de esa gráfica.

+ J)l

el intervalo de convergencia de

I

a, (x- 1) 2 es (0, 2).

n=O

54.

Si f(x)

= I n~o

1

f

o

f(x) dx

a,x" converge para lxl < 2, entonces a

= L -"n~o n

+ 1

698

Capítulo 8

Series

D

_8.9-------------------

CONTENIDO • Serie~ de potencias geométricas • Operaciones con series de potencias •

Representación de funciones por series de potencias

Series de potencias geométricas

En esta sección y en la próxima estudiaremos varios métodos que permiten hallar la serie de potencias que representa a una función dada. Consideremos la función f(x) = 1/(1 - x). Su forma recuerda mucho la suma de una serie geométrica

a 1 - r

L

ar" = _ _ ,

lrl <

1

En otras palabras, si hacemos a = 1 y r = x, una representación en forma de serie de potencias para 1/(1 - x), centrada en O, es

J0$EPH FOURJER,t17&8-1$301 Parte de la~coottibociones iniciales en la teoría de representación de funciones

-X

L

x"

n=O

por series de potencias se deben al matemático francás Joseph Fourier. Su obra fue muy importante en el desarrollo

= 1+x + x

2

+ x3 +

lxl <

1

del Cálculoí sobre todo porque obligó a los matemáticos del siglo XVII!aponer en cuestión el concepto de función,

demasiado restringido, vigente en esa época. Cauchy y Oirichlet estuvieron influenciados por los trabajos de Fourier referentes alas series ven 1837 Dirichlet publicó la definición general de función

Naturalmente, la serie representa a la función sólo en el intervalo (-1, 1), mientras que la función f está definida en todo x i= 1, como se muestra en la Figura 8.21. Si se quiere representar fen otro intervalo, hay que tomar una serie diferente. Por ejemplo, para obtener una serie centrada en -1, podemos hacer

admitida hoy.

1

-X

2

(x

_y

+ 1)

1/2 1 - l(x + 1)/21

y

-1 -1

¡

a 1 - r

y

j

(

--1

FIGURA 8.21

Sección 8.9

699

Representación de funciones por series de potencias

1 lo cual implica que a =-y r = (x + 1). Así pues, lx + 11 < 2, se tiene 2

]

-X

t (~)(~)"

,~o

1[ 2

2

=- 1+

2

(x + 1)

2

+ (x + 4

V

+ (x + 8

V

+ ...

J ,

lx+ll de polinomios

.

2 - x + ! x2

-

±x

3

+ ···

2tx '

Esta serie de potencias converge cuando

4 + 2x

-2x -2x - x 2 x2 x2 +

lo cual implica que el intervalo de convergencia es (-2, 2).

!x3

-!x3 -~x3

-

±x4

D

Otra forma de hallar una serie de potencias para una función racional como la del Ejemplo 1 consiste en usar la división «larga» de polinomios. Así, dividiendo 2 + x entre 4 se obtiene el resultado del margen. EJEMPLO 2 Representación por una serie geométrica centrada en 1 1

Hallar una serie de potencias paraf(x) = _, centrada en l. X

700

Capítulo 8

Series

Solución:

Escribiendo f(x) en la forma al( 1 - r) se tiene

(-x + 1)

x

a 1 - r

y r = 1 - x = -(x - 1). Por tanto, la serie de potencias

de manera que a = parajes

L

X

ar"

n=O

I

=

[-(x-1)]"

n=O

= l - (x - 1) + (x - 1) 2

-

(x - l ) 3

+ ...

Esta serie de potencias converge cuando

lx- ll

< 1

lo cual implica que el intervalo de convergencia es (0, 2).

D

Operaciones con series de potencias En esta sección quedará patente la versatilidad de las series de potencias, pero antes vamos a estudiar algunas operaciones con este tipo de series. Junto con la derivación y con la integración, estas operaciones permiten desarrollar en serie de potencias una amplia variedad de funciones elementales. (Por simplicidad, enunciamos las propiedades para series centradas en 0.)

TEOREMA 8.22

OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIAS

Seanf(x)

=I

a,-1' y g(x)

=I

b,-1'

ro

l. f(kx) =

I

a11k"x"

n=O N

ro

3. f(x) ± g(x) ;:::;

L

Can

± b.)x"

n=O

Las operaciones descritas en el Teorema 8.22 pueden cambiar el intervalo de convergencia para la serie resultante. Por ejemplo, en la suma que sigue el intervalo de convergencia para la suma es la intersección de los intervalos de convergencia de las dos series originales.

Sección 8.9

Representación de {unciones por series de potencias

,x,

701

(x)" =I

w

cr

(

¡)

¿x"+In =O n =O 2

n =O

'-y----J

'-----y--------

'-----y-----.1

(-1, 1) n

(-2, 2)

1+-x" 2"

(-1, 1)

EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencias 1x - 1 Hallar una serie de potencias, centrada en O, para.f(x) = --2- x - 1

Solución:

Descomponemos.f(x) en fracciones simples, como

3x- 1

2

1

------+-x2 1- X + 1 X - 1

Sumando las dos series de potencias geométricas

2

2 X

+ 1

1

_

oc

=

(-x)

L

2(-l)"x", lxl < 1

n=O

y -1

1

lf)

- - =- - = - L X

1

-

] -

X

x", lxl < 1

n=O

obtenemos la serie de potencias 3x-l_"' n n 2 3 4 L. [2(-1) -1]x = 1-3x+x -3x +x- , ..

- --2

X

-

1

n=O

o

Su intervalo de convergencia es (-1, 1), EJEMPLO 4 Cálculo de una serie de potencias por integración Hallar una serie de potencias para.f(x) = In x, centrada en l. Solución:

Por el Ejemplo 2 sabemos que

X

L

(-l)"(x- 1)"

Intervalo de convergencia, (0, 2)

n=O

Integrando esta serie obtenemos In x = =

f~ e+

dx

+e

(X _ 1)"+ ¿''' (-I )" -1

n=o

n + 1

702

Capítulo 8

Series

Haciendo

X

= 1 concluimos que e= O. (x _ ¡ )n + 1 (-l)n - - - -

ex•

In

X=

Por tanto,

L

n + 1

n=O

(x -

1) 2

(x -

1)

1) 3

(x -

(x -

---+---

1

2

1) 4

---+··· 4

3

Intervalo de convergencia, (0, 21

Nótese que la serie converge en x = 2. Esto es consistente con la observación de la sección anterior de que la integración de una serie de potencias puede alterar la convergencia en los puntos terminales del intervalo de convergencia. D

En la Sección 8.7 usamos el polinomio de Taylor de cuarto grado = = = de la función logaritmo natural ln x

~

{x - 1)- (x - 1)2 + (x - 1)3

.

.

2

3

1)4

(x -

4

para aproximar ln (1,1)

In (1,1)

~(0,1) 2 +}(0,1)3 - ~(0,1) 4

~

(0,1)-

~

0,0953083

Por el Ejemplo 4 sabemos que este polinomio consta de los cuatro primeros términos de la serie de potencias de la función ln x. Gracias al criterio de las series alt~rnadas podemos incluso detenninar que el error cometido en esa aproximación es menor que

IR41

~

lasl

=J(0,1) 5

= 0,000002 Durante los siglos xvn y x:Vm~ las tahl~u¡ numéricas para los logaritmos y para otras funciones .trascendentes se ·cálctdaban de esta manera. El uso de tales.t~rucas nufuéricas no está obsoleto, ya que es precisamente con ellas .como las calculadoras· electrónicas están programadas para evaluar fundo.;.

nes ttascendéntes.

·

··

EJEMPLO 5 Cálculo de una serie de potencias por integración Hallar una serie de potencias para g(x) = arctg x, centrada en O. Solución:

Como DJarctg x] = 1/(1 + x 2 ), podemos usar la serie f(x)

= -1- = L'"' J +

X

n=O

(-l)"x"

Intervalo de convergencia, (- 1, 1)

Sección 8.9

703

Representación de funciones por series de potencias

Sustituyendo x por x 2 da

Finalmente, obtenemos por integración

arctg

X=

I--

1 -

1 + X2

= C+

I n=O

SRINNASARAMANUJAN (1887-1920} Las series como métodos de aproximación del valor de rr han interesado alos matemáticos a lo largo de los últimos 300 años. Una serie curiosa para aproximar 1/n fue descubierta por el matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1914. Cada término sucesivo de la serie de Ramanujan añade unas ocho cifras exactas más al valor de 1/Jr. (Para más información acerca de la obra de Ramanujan, véase el artículo «Ramanujan and n)), de Jonathan M. Borwein yPeter B. Borwein, en Scientific American, febrero 1988).

=

I " = 0

dx + C x2n+

1

(-1)"-2n + 1 x2n+ 1

(-lY - 2n + 1

Haciendo

_:e' xs x 7 =x--+---+··· 3 5 7

X

= O. se ve que

e= o

Intervalo de convergencia (~ 1, 1)

o

Se puede demostrar que la serie de potencias encontrada en el Ejemplo 5 converge también (a arctg x) para x = ±l. Por ejemplo, cuando x = 1 es 1

1

1

n

arctg 1 = 1 - - + - - - + ... = 3 5 7 4 No obstante, esta serie (descubierta por James Gregory en 1671) no proporciona un método eficaz para aproximar n, porque converge tan lentamente que habría que sumar un gran número de términos para alcanzar valores aproximados razonablemente próximos a n. El Ejemplo 6 enseña cómo usar dos series diferentes de la arcotangente para llegar a una aproximación muy buena de n con sólo unos pocos términos. Esta aproximación fue desarrollada por John Machín en 1706.

EJEMPLO 6 Estimación de n mediante una serie Usar la identidad trigonométrica 1 1 n 4 arctg - - arctg - = 5 239 4

para aproximar el número n [véase Ejercicio 44b].

Solución: Con sólo cinco términos de cada una de las series de arctg(l/5) y arctg( 1/239), obtenemos

1 4(4 arctg!- arctg - -) 5 239

~

3,1415926

que aproxima el valor exacto de n con un error menor que 0,000000 l.

O

704

Capítulo 8

Series

Ejercicios de la Sección 8.9 En los Ejercicios 1-4, hallar una serie de potencias geométrica para la función, centrada en O, a) por división, como en los ejemplos 1 y 2, y h) por división «larga>> de polinomios. l.

3.

1

j(x) = - 2 - X

2.

.

1

f(x) = - 2 +X

4.

3 f(x) = - 4 - X

1

6.

7.

17.

h(x)

-2

18.

]

+

]

19. f(x)

(x + 1)

3 f(x) = - - · e = -2 4- X

22.

j(x) =In (1- x

3 f(x) = - - • e= O 2x- 1

23.

g(x)

24. f(x)

25.

14.

g (x)

=

15. f(x)

3x x

2

+ x - 2

2x

+ 3x - 2

=

-

+ ] 1

] +

-

dx

X

dx-

1

] -

-

X

dx

+ 1

= arctg 2x

Análisis numérico y gráfico

En los Ejercicios 27 y 28, de-

notamos x" x 2 x 3 x4 S = x - - + - - - + .. ·+" 2 3 4 n Confirmar la desigualdad con ayuda de la calculadora y completar la tabla para confirmarla numéricamente.

. e =O

4x- 7 2

X

= In (x 2 + l)

12. f(x) = - - · e = 2 3x + 2

=

)

1

1

4

g (x)

2

ff- f-

l h(x) = -2- 4x + 1

26. f(x)

3 11. f(x) = - - · e = O . X + 2

13.

) 13

= - 2- X

1 h(x) = - - · e = O 2x - 5

-l

2

f(x) =In (x + 1) =

10.

X

dx x + l

21.

1 g (x) = - - · e= -3 2x - 5

-

!__ [ -

2

1 f(x) = - - · e = 5 2 - X

9.

]

1

=

f(x) (x +

8.

X

2x l 1 h(x)=--=----x2 ] 1 + X 1 - X

20.

3 f(x) = - - • e = 2 2x - 1

1

1

=- - =- - + - x2 -

f(x) = - ] +X

En los Ejercicios 5-16, hallar una serie de potencias para la función, centrada en e, y determinar su intervalo de convergencia. 5.

para encontrar una serie de potencias, centrada en O, para la función. Identificar el intervalo de convergencia.

•e = O

X

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

sn

2

= - - -2 • e= O 1 - X

In (x + 1)

4 16. f(x) = - - · e · 4 + x2

=O

sn+!

En los Ejercicios 17-26, usar la serie de potencias 1

-- = I 1 +

X

n~o

(-l)"x"

28.

S4

~

ln(x+ 1)

~5 5

En los Ejercicios 29-32, asociar cada aproximación polinómica de la función f(x) = arctg x con la gráfica adecuada.

705

Ejercicios de la Sección 8.9 a)

b)

40.

Ajustar el índice de suma de la serie construida en el Ejercicio 39 para que empiece en n = O.

41.

Probabilidad Si se lanza una moneda repetidamente, la probabilidad de que la primera cara se produzca en el n-ésimo lanzamiento viene dada por

X

-2 -3 1

P(n)

d)

e)

=

GY

Si se repite este juego numerosas veces, el número medio de tiradas hasta que sale la primera cara es E(n)

=I

nP(n)

n=l

(Este valor se llama valor esperado den.) Usar los resultados de los Ejercicios 39 y 40 para calcular E(n). ¿Esperaba lo que se obtiene? Explique su respuesta. x3

29. !?(X) =X

30.

xs 31. g(x) = x - - + 3 5

!?(X)=

x3

32.

g(x)

42.

X--

=x -

x

3

-

3

5

9)"

7

x x +- - 5 7

3Fl

43.

33. Para pensar A la vista de los resultados de los Ejercicios 29-32, elaborar un argumento geométrico para explicar por qué la aproximación mediante series de f(x) = arctg x sólo tiene potencias impares de x. 34. Conjetura A la vista de los resultados de los Ejercicios 29-32, formular una conjetura sobre el grado de las aproximaciones por series de arctg x que tienen extremos relativos.

35.

f

112

37.

36.

38.

X

f/2

10

Demostrar que

y = arctg -X+- para xy 1 - xy

=1=

1

supuesto que el valor del miembro izquierdo en esa ecuación está entre -n/2 y n/2. 44.

Usar el resultado del Ejercicio 43 para verificar las identidades 120 1 n a) arctg-- arctg- =119 239 4 b)

1 1 4 arctg - - arctg 5 239

= -n 4

[Ayuda: Utilizar dos veces el Ejercicio 43 para hallar

1 4 arctg- y usar a continuación el apartado a).] 5

2

arctg x dx

0 2

arctg - - xd x

O

r/4

IOn~!

3

arctg x + arctg y

En los Ejercicios 35-38, aproximar el valor de la cantidad propuesta, utilizando la serie aproximan te de arctg x y RN ,:.; 0,001. 1 arctg4

Usar los resultados de los Ejercicios 39 y 40 para calcular1la ;um(a d)e" las siguie~tes :erie(s 2 a) - I n b) I n-

3

x 2 arctg x dx

0

En los Ejercicios 45 y 46, a) verificar la ecuación dada y b) usar esta ecuación y la serie de la arcotangente para aproximar n con dos cifras decimales correctas.

En los Ejercicios 39-42, usar la serie de potencias

1 - X

I

1 1 n 2 arctg - - arctg - = 2 7 4

46.

2 7 2 arctg - - arctg 3 17

x"

n=O

39. Hallar la representación en serie de potencias de 1 ------cc y determinar su intervalo de convergencia. 2 (1 - x)

45.

n

=-

4

En los Ejercicios 47-52, calcular la suma de la serie convergente dada y explicar cómo ha sido obtenida.

706

Capítulo 8 '-

47.

1

l (-t)ll-11_ 211n

1

l (-1)11+1_ 311n

I

11~ X

48.

I 11~

Series

('v

211 (-1 )11 + 1-~~~~ 1 5n

53.

Redacción Una de las series de los Ejercicios 47-52 converge a su suma mucho más lentamente que las demás. ¿Cuál? Explicar por qué esa serie converge tan despacio. Ilustrar su ritmo de convergencia mediante una gráfica en la calculadora_

1

49.

50.

51.

52.

I

('v 54.

1

I(-1)~~-~

11 ~o

~~~o I n-=-1

f\v

2n+1

55.

(-1)11 Demostrar que I 11 (2n + 1) ~ 3 11 0

Usar la calculadora y 50 términos de la serie

1 (-1 )11 2211+ 1(2n + 1) (

[)lit

1

f(x)

1 3211- 1(2n - l)

CONTENIDO Series de Taylor y Maclaurin Series binomiale~ Cálculo de ~eries de Taylor apanirde una lista básica

7[

'

(-1 )11 + 1 (x - 1)"

n= 1

n

=I

•O <

x ~ 2

para aproximar el valorf(0,5). (La suma exacta es In 0,5.)

• • • •

0 ~8.~10~-----------------------------­ Series de Taylor y Maclaurin Series de Taylor y Maclaurin En la Sección 8.9 hemos construido series de potencias para algunas funciones partiendo de series geométricas, por derivación o integración. En esta sección estudiaremos un procedimiento general que permite deducir la serie de potencias de una función que posea derivadas de todo orden. El próximo teorema establece la forma que ha de tener necesariamente cualquier representación en serie de esa clase.

TEOREMA1l.23

FORMA DE UNA REPRESENTACIÓN EN SERIE DE POTENCIAS CONVERGENTE

Sijadmite una representación en series de potencias convergentef(x) = = l: an(x - e)n para todo x c;Jn un intervalo abierto I que contiene a e, entonces an =f(ltl(e)/n! y

COl!IMAeLAIJRIN (J-.11461

. . . . . .. . f"(e) . j a}

a

~

X

\ (/

-~-.-·-··-

h 1

(-co, b]

{x:x :(

b} (/

Intervalos no acotados cerrados

[

[a, oo)

Recta real

h

(-00, 00)

{x:x? a)

{x: x es un número real}

X

t a

h

a

h

X

726

Compendio de preliminares del Cálculo

Apéndice A

Nota. Los símbolos oo y -oo se refieren al infinito positivo y negativo. Estos símbolos no representan números reales. Simplemente nos permiten describir conjuntos no acotados de manera más concisa. Por ejemplo, el intervalo [a, oc) no está acotado por la derecha, puesto que incluye todos los números reales que son mayores o iguales que a. 1

EJEMPLO 1 Estados líquido y gaseoso del agua Describir los intervalos de la recta real que corresponden a la temperatura x (en grados Celsius) del agua en a)

estado líquido

b)

estado gaseoso

Solución: a)

El agua está en estado líquido a temperaturas mayores que que 100°, como muestra la Figura A.5a.

oo y menores

(0, 100) = {x: O < x < 100} b)

El agua está en estado gaseoso (vapor) a temperaturas mayores o iguales que 100°, como muestra la Figura A.5b. [100, oo) = {x: x ;;::, 100}

o

25

50

75

100

a) Rango de temperaturas del agua (en grados Celsius)

o

100

200

300

400

a) Rango de temperaturas del vapor

(en grados Celsius)

FIGURAA.5

0

Un número real a es solución de una desigualdad si ésta se satisface (es cierta) al sustituir x por a. El conjunto de todas las soluciones se llama conjunto solución de la desigualdad. EJEMPLO 2 Resolución de una desigualdad Resolver 2x- 5 < 7. Solución: 2x - 5 < 7 2x - 5 + 5 < 7 + 5 2x < 12 1

-(2x)

2

X

1

Desigualdad original Sumar 5 a ambos miembros Simplificar

< -(12) 2

Multiplicar ambos miembros por 1/2

7,

FIGURAA.6 Probando soluciones de 2t - S < 7.

Una vez se ha resuelto una desigualdad, conviene tomar algunos valores de x del conjunto solución y comprobar que satisfacen la desigualdad originaL También pueden escogerse algunos valores fuera del conjunto solución y comprobar que no satisfacen la desigualdad, Por ejemplo, la Figura A.6 muestra que para x = O o x = 5 se satisface la desigualdad 2x - 5 < 7, pero si x = 7 no se satisface la desigualdad 2x- 5 < 7.

EJEMPLO 3 Resolución de una desigualdad doble Resolver -3 ,;:; 2- 5x,;:; 12

Solución: -3 ,;:;

,;:; 12

2- 5x

-3 -2 ,;:; 2- Sx- 2 ,;:; 12-2

-5 ,;:;

-5x

-5

-Sx

5

~

~

-5

,;:; 10 10

Desigualdad original Restar 2 Simplificar

>~

-5

Dividir por -5 e invertir ambas desigualdades

~

-2

Simplificar

X

[-2,1) ·~----~--+---4-~~x

-2

-1

El conjunto solución es [-2, 1], como se muestra en la Figura A.7.

D

o

FIGURAA.7 Conjunto solución de -3 :s; 2- 5x :s; 12.

Las desigualdades de los Ejemplos 2 y 3 son desigualdades lineales: es decir, involucran polinomios de grado uno, Para resolver desigualdades en las que intervienen polinomios de grado superior, debe usarse el hecho de que un polinomio sólo puede cambiar de signo en sus ceros reales (los números que hacen igual a cero el polinomio), Entre dos ceros reales consecutivos, el polinomio debe ser completamente positivo o completamente negativo. Esto quiere decir que cuando se ordenan los ceros reales de un polinomio, éstos dividen la recta real en intervalos prueba en los que el polinomio no experimenta cambios de signo. Así pues, si un polinomio admite la factorización

los intervalos prueba son

Para determinar el signo del polinomio en cada intervalo, sólo es necesario probar en un valor del intervalo.

EJEMPLO 4 Resolución de una desigualdad cuadrática Resolver x 2 < x + 6,

728

Apéndice A

Compendio de preliminares del Cálculo

Solución:

x2 < x + 6 x

2

-

Desigualdad original

x- 6 :

Máximo: (0, 3)

Mínimo:

(~, -3)

Máximo: [n, 3]

Repitiendo este modelo, podemos esbozar varios ciclos de la gráfica, como O muestra la Figura A.38. ' ' ' '

-3+'

Pueden aplicarse traslaciones horizontales, verticales y reflexiones a las gráficas de las funciones trigonométricas, como ilustra el Ejemplo 7.

' 1

~

Periodo~ 1C

FIGURA A.38

EJEMPLO 7 Traslaciones de gráficas de funciones trigonométricas Esbozar las gráficas de las siguientes funciones. a)

f(x)=sen(x+~)

b)

f(x)=2+senx

e)

f(x)=2+sen(x-~)

Solución: a)

Para trazar la gráfica de f(x) = sen (x + n/2), trasladamos la gráfica de x n/2 unidades a la izquierda, como muestra la Figura A.39a. Para trazar la gráfica def(x) = 2 +sen x, trasladamos la gráfica de y= sen x dos unidades hacia arriba, como muestra la Figura A.39b.

y = sen b)

748

Apéndice A

Compendio de preliminares del Cálculo

e)

Para trazar la gráfica de f(x) = 2 + sen ( x - n/4 ), trasladamos la gráfica de y = sen x dos unidades hacia arriba y n/4 unidades a la derecha, como muestra la Figura A.39c. V

j(x) = sen(x +

Í)

~

JT

•

..

..

4...... .

l:.:t-~1

.,.,

.

-2 : a)

y= senx

y=senx

·2

Tra~lación

horizontal hacia la izquierda

h)

Traslación vertical hacia arriba

f'ra~lacioncs

e)

hori7lmtal

y vertical

F!GURAAJ9 Transformaciones de la gráfica de r =.sen x.

Ejercicios de la Sección A.3 En los Ejercicios 1 y 2, determinar dos ángulos coterminales (uno positivo y otro negativo) con el ángulo dado. Expresar las respuestas en grados. l.

b)

a)

En los Ejercicios 5 y 6, expresar los ángulos en radianes como múltiplos de n y como números decimales con una precisión de tres cifras decimales.

S.

a)

30

b)

150

e)

315

d)

120

6.

a)

-20

b)

-240

e)

-270

d)

144

En los Ejercicios 7 y 8, expresar los ángulos en grados.

2.

a)

(! ..

.100"

h)

~ .\

;¡

1

~

u)

fi-

.

7n

d)

-2,367

d)

0,438

8.

a)

9.

Denotemos por r el radio de un círculo. por Oun ángulo central (medido en radianes) y por s la longitud del arco subtendido por el ángulo. Completar la tabla utili· zando la relación s = r!J.

b)

2

7n 3

'0. 4 10.

b)

b)

e)

6

!In 30

e)

12 lln

r

8 pies 15 pulg. 85 cm

S

12 pies

()

4.

7n

a)

En los Ejercicios 3 y 4, determinar dos ángulos coterminales (uno positivo y otro negativo) con el ángulo dado. Expresar las respuestas en radianes.

3. a)

3n

7.

6

96 pulg. 8.642 millas 1,6

3n

-

4

4

2n 3

-

Velocidad angular Un coche se desplaza a una velocidad de 50 millas por hora, y el diámetro de sus ruedas es 2,5 pies.

a) b)

Ejercicios de la Sección A.3

749

Hallar el número de revoluciones por minuto que están efectuando las ruedas. Hallar la velocidad angular de las ruedas en radianes por minuto.

En los Ejercicios 19-22, evaluar el seno, el coseno y la tangente de cada ángulo sin la ayuda de una calculadora. 19.

En los Ejercicios ll y 12, determinar los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo (!? 11.

a)

a)

60°

h)

120°

e)

n

-

y

4

A

5n

1

~

(3,4)

k(_ 1

¡

d) 21.

20.

a)

-30

b)

150

n

e)

4

a)

225°

b)

-22Y

6

n

d)

-

a)

750'

b)

510

22.

2

X

'

e)

12. a)

d)

V

,,.

23. (8, -15)

(1,·1)

En los Ejercicios 13 y 14, determinar el cuadrante al que pertenece O.

13. a) h)

14. a) h)

1

16.

=

1 sen(!=3

4 sen O=5

18.

sen

Hr

sen

h)

cosec 10'

a)

24.

n tg9 lOn

26.

tg~

9

27.

a)

fi2

coso=

b) coso=-

3 17n 3

a)

sec 225'

h)

sec 135 ·

a)

ctg (1,35)

b)

tg ( 1,35)

29.

a)

tg ()

fi2

=1

h) ctg O=

13

28.

30.

-fi

O=~

a)

secO= 2

b)

secO= -2

J3

a)

sen U=2

b)

sen O=-2

J3

5

cosec O=

ctg =

d)

6

lOn

En los Ejercicios 27-30, hallar dos soluciones de cada ecuación. Expresar los resultados en radianes (0 ~ O< 2n). No usar calculadora.

tg o=

~1 17.

lln

a)

b)

sen O > O y cos O < O cosec O < O y tg O > O

sen O=2 cos

25.

sen O < O y cos O < O sec O > O y ctg O < O

En los Ejercicios 15-18, evaluar la función trigonométrica.

15.

e)

3

En los Ejercicios 23-26, evaluar con una calculadora las funciones trigonométricas con cuatro cifras significativas.

·~;·X :

5n

En los Ejercicios O (O ~ O< 2n).

31-38, resolver la ecuación

31.

2 sen 2 O= 1

33.

tg 2 o- tg () =

35.

sec Ocosec () = 2 cosec O 36.

sen O= cos O

37.

cos 2 O+ sen O = l

cos - - cos 2

o

para

32.

tan 2 O = 3

34.

2 cos 2 O - cos O = 1

4

38.

o

o=

1

750 39.

Compendio de preliimnilJes del Cálculo

Apéndice A

Ascenso de un aeroplano Un aeroplano despega de la pista con una inclinación de 18 ' y una velocidad de 275 pies por segundo (véase figura). Hallar la altura a del avión transcucurrido 1 minuto.

En los Ejercicios 45-48, hallar el período de la función. 45.

y= S tg 2x

46.

y = 7 tg 2 nx

47.

y= sec Sx

48.

y = cosec 4x

Redacción En los Ejercicios 49 y 50, usar una calculadora gráfica para representar cada función para e = -2, e = -1, e = 1 y e = 2 en un mismo sistema de coordenadas. Describir por escrito el cambio en la gráfica que ocasiona el cambio de c. 40.

Altura de una montaña Una persona que viaja por un llano divisa una montaña justo enfrente de ella. Su ángulo de elevación (hacia la cumbre) es 3,5°. Tras conducir 13 millas hacia la montaña, el ángulo de inclinación es 9·. Estimar la altura de la montaña.

49.

so.

a)

j(x) =e sen x

b)

f(x) = cos (ex)

e)

j(x) = cos (nx - e)

a) b) e)

f(x) = sen x + e f(x) = -sen (2nx - e) f(x) =ecos x

En los Ejercicios 51-62, esbozar la gráfica de la función. X

v =sen-2

52.

y= 2 cos 2x

53.

2nx y= -sen3

54.

y= 2 tg

55.

y= cosec2

56.

y= tg 2x

57.

y=2sec2x

58.

y = cosec 2 nx

59.

y = sen (x + n)

60.

y= cos (x-

62.

y= 1 +sen (x +

51.

--13millas-

.

(No está a escala)

En los Ejercicios 41-44, determinar el período y la amplitud de cada función. 41.

y = 2 sen 2x

a)

'

.

1 y = - sen nx 2

b)

y A

y

t 1

:'

61.

X

a)

3 X y=- cos-

2

2

b)

y= 1 + cos

(x- ~)

~) ~)

Razonamiento gráfico En los Ejercicios 63 y 64, encontrar los valores de a, by e que hacen que la gráfica de la función se ajuste a la de la figura.

-1

-3 1

42.

X

X

X

y= -2 sen3

63.

y= a cos (bx - e) y

r;w, *

41

y= a sen (bx - e)

64. y

A

¡/

'\1 . .

L.

~-x

--M-~-,~ 1

43. 44.

y = 3 sen 4 nx

2 nx V=- cos-

.

3

lO

65.

Para pensar Esbozar las gráficas de f(x) = sen x, g(x) = !sen xl y h(x) = sen (ixl). En general, ¿cómo están relacionadas las gráficas de lf(x)l y de f(ixi) con la def?

66.

Ejercicios de la Sección A.3

751

Para pensar El modelo que describe la altura de un coche en la rueda Ferris es

dada. Trate de mejorar la aproximación sumando un término af(x). Con una calculadora, compruebe que su nueva aproximación es mejor que la original. ¿,Puede encontrar otros términos que sumados hagan la aproximación aún mejor'? ¿Cuál es la pauta? (Para mejorar la aproximación, se pueden usar términos con seno en el Ejercicio 69, y términos con coseno en el Ejercicio 70.)

h

= 5 1 + 50 sen

8nt

donde t se mide en minutos. (La rueda Ferris tiene un radio de 50 pies.) Este modelo da una altura de 51 pies cuando t =O. Modificar el modelo de forma que la altura del coche sea de 1 pie cuando t = O. (\., 67.

Ventas Las ventas S, en millones de unidades, de un producto de temporada admiten el modelo

69. f(x)

=~

(sen

1T

nx + ~sen 3nx) 3

y

S = 58,3 + 32,5 cos

"6

donde t es el tiempo en meses (t = 1 corresponde a enero). Representar el modelo con una calculadora y determinar los meses en los que las ventas sobrepasan las 75.000 unidades. 68.

t

rrt

Investigación Dos funciones trigonométricas f y g tienen período 2 y sus gráficas se cortan en x = 5,35. a) Dar un valor menor y uno mayor de x en los cuales las funciones tengan el mismo valor. b) Determinar un valor negativo de x en el que las gráficas se corten. e) ¿Es cierto que /(13,35) = g(-4,65)? Razonar la respuesta.

(\., Reconocimiento de pauta En los Ejercicios 69 y 70, use una calculadora para comparar la gráfica de f con la gráfica

2-f

!

I["¡ !

i '

,---'

'

1

--¡

'

3

2

(cos

...........

1

'

'

:

i

1

-d 70. f(x)

2 1

=~ 2

4 1T

nx + ~9 sen 3nx)

Demostraciones de teoremas seleccionados

Demostración: Para demostrar la propiedad 2, tomemos un 8 > O. Como 812 > O, sabemos que existe algún 6 1 >O tal que O< lx-el< 6 1 implica lf(x)- Ll < e/2. Sabemos además que existe 6 2 >O tal que O< ix-el< 6 2 implica jg(x)- K1 < 812. Sea 6 el menor de los dos números 6 1 y 62 . Entonces, O< lx-el < 6 implica 8

lf(x)- Ll O tal que si O< lx - el < 62 , entonces 2

IKI lg(x)- Kl < - s 2

Sea 6 el menor de los números 61 y 62 • Para O< lx - el < 6, será

Así pues,

1 1 lím-=x~c

g(x)

K

Por fin, la propiedad S se demuestra directamente usando inducción junto D con la propiedad 3.

Demostración: Consideremos el caso en que e> O y n es un entero positivo. Dado un s > O, necesitamos encontrar un 6 > O tal que

1~ - ifcl < 8 siempre que O < lx - el < b

756

Apéndice B

Demostraciones de teoremas seleccionados

lo que equivale a decir -¡; <

Supongamos B < los dos números

~-

fc < B siempre que -(5 < x -

e < ¿)

fc, de manera que O< fc- B < fc. Sea ahora 6 el menor de e-

cfc- r;)" y cfc + ¡;)" -e

Entonces se tiene

-6 O tal que

\f(g(x)) - f(L)\ <

B

siempre que O< !x - e! < 6

Como el límite def(x) cuando x-+ L esf(L), sabemos que existe algún 6 1 >O tal que \f(u)- f(L)\ < B siempre que \u - L\ < 6 1 Por otra parte, como el límite de g(x) cuando x que existe 6 > O tal que

-+

e es L, sabemos asimismo

\g(x)- L\ < 6 1 siempre que O< !x- e\< 6 Finalmente, haciendo u = g(x) se tiene que \f(g(x)) - f(L)\ <

B

siempre que O< !x - e\ < 6

D

757

Demostraciones de teoremas seleccionados

TEOREMA L7

F'UNCIONBS QUE COINCIDEN SALVO EN UN PUNTO (página 69) Sea e un número real yseaf(x) =g(x) para todo x '#: e en un intervalo abierto que contiene c. Si existe el límite de g(x) cuando x tiende a e, entonces también existe el de f(;x) y lím f(x) == lím g(x) x-+c

x-+c

Demostración: Sea L el límite de g(x) cuando x ----> c. Entonces, para cada ¡; > O existe un () > O tal que f(x) = g(x) en los intervalos abiertos (e - 6. e) y (e, e + b), y lg(x) - Ll <

¡;

siempre que O < lx - el < b

Como f(x) = g(x) para todo x = e en el intervalo abierto, se sigue que lf(x) - Ll < ¡; siempre que O < lx - el < á

Así pues, el límite de f(x) cuando x

TEOREMA 1.8

---->

D

e es también L.

TEOREMA DEL ENCAJE (pá~na 73) Si h(x) :;;;: f(x) :;;;: g(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene e, excepto posiblemente en el propio e, y si lím h(x) x-¡.c

=L =lím g(x) x4 c

entonces límf(x) existe y es igual a L. x .... c

Demostración:

Dado¡;> O, existen () 1 y á 2 tales que lh(x)- Ll O tal que h(x) :( f(x) :( g(x) para O< lx - el < 6 3 . Sea 6 el menor de los números á 1 , 62 y áy Entonces, si O < lx- el < 6, se sigue que lh(x) - Ll < ¡; y lg(x) - Ll < 1:, lo cual implica que -¡;

< h(x)- L < ¡;

y

-¡;

< h(x)

y

g(x) < L +

L -

¡;

< l,'(x)- L < ¡;

¡;

758

Apéndice B

Demostraciones de teoremas seleccionados

Ahora bien, como h(x) ~ f(x) ~ g(x), deducimos que L- ¡; O y existe h > e tal que e < x < h implica g(x) > O. En esas circunstancias, para M > O escojamos b 1 tal que

O< x-e< b 1 implica que

f(x)

-

3f(e) O y concluimos que la gráfica de f está por encima de la recta tangente. Si x está en el intervalo O abierto (a, e), se puede aplicar un argumento similar.

Demostraciones de teoremas seleccionados

Demostración:

761

Comenzamos demostrando que lím x-+ ex:;,

Dado

p,

!X =O

> O, denotemos M = 1h. Entonces, para x > M se tiene 1 1 11--0 1 M=-Q- 8

X

X

Así pues, la definición de límite nos lleva a concluir que el límite de 1/x, cuando x --> oc, es O. Teniendo esto en cuenta y haciendo r = m/n, podemos escribir lím x-+oc

e

~

xr

e

= límx-+cf.l

= =

e(n

xmln

lím x-+cn

e(~¡/Q)m

=0

La demostración de la segunda parte del teorema es muy parecida.

O

Demostración: La propiedad 1 es obvia. Si se suma n veces el número e se obtiene la suma ne.

762

Apéndice B

Demostraciones de teoremas seleccionados

Para probar la propiedad 2, escribimos la suma en orden creciente y en orden decreciente, y sumamos sus términos: n

¿

i=

1

i=

n

i= 1

¿

2

+

t

t

t

n

L i = (n i= 1

t

2

t

n

t

t

+ (n- 1) + (n - 2) + ... +

i= 1

2

+ ... + (n - 1) +

3

+

+

1

t

+ 1) + (n + 1) + (n + 1) + ··· + (n + 1) + (n + 1)

~------------------y-----------------__J

n términos

Por consiguiente

¿n

• n(n + 1) t=---

2

i= 1

La propiedad 3 se demuestra por inducción. En primer lugar, para n = 1 es cierta, ya que

I

¡2 = 12 = 1 = 1(1 + 1)(2 + 1)

6

i=1

Suponiendo ahora que el resultado es cierto para n = k, podemos ver que es cierto para n = k + 1 así: k+ 1

¿

¡2 =

i= 1

¿

¡2 + (k + 1)2

i= 1

=

k(k + 1)(2k + 1) 2 6 +(k+ 1)

k + 1

2

= -6-(2k +k+ 6k + 6)

k + 1 = - 6 - [(2k + 3)(k + 2)] (k

+ 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1] 6

Un argumento análogo, usando inducción, permite demostrar sin dificulta! la propiedad 4. D

Demostraciones de teoremas seleccionados

Demostración: fuese

763

Para probar la propiedad 1 supongamos que, por el contrario,

f

f(x) dx = 1 < O

En ese supuesto, a =x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn =b tomamos una partición de [a, b], y denotamos por

i= 1

una suma de Riemann. Como f(x) ;?: O, se sigue que R ;?: O. Pues bien, para 11~11 suficientemente pequeño, se tendría IR- JI< -1/2, de donde se sigue que n

/

i= 1

2

L f(e¡)~¡ = R < 1- -

-/-"'2 1

>- In 2 >:/"' -2

e

764

Apéndice B

Demostraciones de teoremas seleccionados

Sea ahora N cualquier número positivo muy grande. Como In x es creciente, si x > 2 2 N, entonces In x > In 2 zN = 2N In 2 1 2

.

Y como In 2 ~ -· conclmmos que

In x > 2N In 2

~

2N

G)

=N

Esto establece el segundo límite. Para verificar el primero, hacemos z = 1/x. Entonces, z -> oc cuando x -> O+, y por tanto lím ln x-o+

x = lím (-ln x--+0+

···t'l,ut6t~

~) = lím X

(-ln z) = -lím ln

z---+oc

z--+cfJ

cuyQ t\olhluio es ~n:.iatel"VIdo ·1, ·Si f

z =-oc

O

tiene invers~, son

~1~ •... ·. .... . . ·. . . .·... . . . . .1 ... ·~.~T;$:~. ;c~~~.;·fq:~.9~'*i~~fj 1. ~s. co1,1tintia. en su dominio.

•~· l.

Si,{es·creci~n~ e)l ~u aUlimo,¡- es creciente en su dominio. . .• j 7 :-·~~.f~s;.d~r~i~té.en st!; dtóini,f-} es decreciente en su dominio. · e~rdenvable en r y ¡'(r) ..;.· G, entoneesr 1 es derivable enf(c).

"": ·st1

Demostración: Para demostrar la propiedad 1, veamos en primer lugar que si fes continua en 1 y tiene inversa, entonces fes estrictamente monótona en /. Supongamos quefno fuese estrictamente monótona. En tal caso, existirían números x 1 , x 2 , x 3 en 1 tales que x 1 < x 2 < x 3 pero f (x 2 ) no está entre f(x 1 ) y f(x 3 ). Sin pérdida de generalidad, supongamosf(x 1 ) O tal que (a- b, a + 6) S J 1 . Finalmente, si

IY- al< b, entonces lf- 1 (y)- f- 1 (a)\ < e 1 e+,

se sigue que

z ---> e+

lím f(x) = lím f'(z) = lím f'(x) g(x) x~c+ g'(z) x~c+ g'(x)

x~c+

La demostración de los casos x

--->

e- y x

--->

e se deja al cuidado del lector. D

Demostración Para hallar Rn(x), fijamos x en 1 (x #- e) y escribimos Rn(x) = f(x) - P nCx)

donde Pn(x) es el n-ésimo polinomio de Taylor paraf(x). Definamos ahora una función g de t dada por '

¡_ 6 6 2 2 2 1

-2

1

1

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original, y no sin una dosis considerable de álgebra, se llega a

i

4(x

1

7xL6v'3XJl+ l3y>,.]EJ=Ó

FIGURA A.43 Vértices: (±2, 0), (0, ±1) en el sistema x'y'

!3)

1 ±T en el sistema xy. (±\ -3, ±1). ( ±l•

1 )

2

+ 16(y') 2 = 6

(x1)2

(y')2

(2)2

(1 )2

-+--=1

Forma canónica

Ésta es la ecuación de una elipse centrada en el origen con vértices en (±2, O) y (0, ± 1) en el sistema x'y', como se ve en la Figura A.43. D Los Ejemplos 1 y 2 han sido buscados a propósito para que el ángulo de rotación fuera uno de los ángulos comunes: 30°, 45°, etc. Claro está que muchas ecuaciones de segundo grado no llevan a esos ángulos cuando se resuelve la ecuación ctg

A -

e

2e=-B

El Ejemplo 3 ilustra esta situación más general. EJEMPLO 3 Rotación de una parábola Esbozar la gráfica de x 2 Solución:

-

4xy + 4y 2 + sJSy + 1 = O

Como A = 1, B = -4 y e = 4, tenemos A - e 1-4 3 ctg 20 = - - = - - = B -4 4

La identidad trigonométrica ctg

2e = (ctg 2 O2

1)/(2 ctg e) permite escribir

3 ctg O - 1 ctg 2 e = - = ---=---4 2 ctg e

783

Rotaciones y la ecuación general de segundo grado

de donde se deduce la ecuación

e- 4

6 ctg () = 4 ctg 2

Considerando O <

Q

e- 4 = o (2 ctg o - 4 )(2 ctg e + 1) = o 4 ctg 2

() -

6 ctg

e < n/2, se sigue de ahí que 2 ctg e = 4, así que ctg

e= 2

En el triángulo de la Figura A.44 vemos que sen O= 1/ j5 y cos consiguiente,

()

e= 2/ jS. Por

FIGURA A.44

x = x' cos (}-y' sen(}= x' (

2 ) Js

Js

-y'

Js

( 1 )

Js

=

Js

2x' - y'

Js

y = x , sen O + y , cos (} = x '( 1 ) + y '( 2 ) = x' + 2y'

Al sustituir estas expresiones en la ecuación original se obtiene

que se simplifica a

2

5(y') 2 + Sx' + !Oy' + l =O

Completando el cuadrado se llega a la forma canónica S(y' + 1) 2 = -5x' + 4 2

(y'+ 1) =

4(-~)(x'- ~)

Forma canónica

La gráfica de esta ecuación es una parábola con su vértice en C!, -1) y con su D eje paralelo al eje x' del sistema x'y', como muestra la Figura A.45. FIGURA A.45 Vértice:

(i· -1) en el sistema x'y'.

el sistema xy. (~·-~)en S ~~·~ i~rio puro.

Bario,

Para sumar o restar dos números complejos se suman o restan sus partes reales y sus partes imaginarias por separado. 787

Apéndice F

Niímcros compic¡o.\

SUMA YRESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS Si a + bi y e + di son dos números complejos escritos en forma canónica, su suma y su diferencia se definen como sigue. Suma: (a + bi) +(e + di) =(a + e) + (b + d)i

Diferencia: (a + bi)- (e + dí) =(a - e) + (b - d)i La identidad aditiva para el sistema de los números complejos es el cero (la misma que para el sistema de los números reales). Además, el inverso aditivo del número complejo a + bi es -(a + bi) = -a - bi

Inverso aditivo

En efecto, (a + bi) + (-a - bi) = O + Oi = O

EJEMPLO 1 Suma y diferencia de números complejos a)

(3 - i) + (2 + 3i) = 3 - i + 2 + 3i = 3 + 2- i + 3i

Remover paréntesis Agrupar términos análogos

= (3 + 2) + (-1 + 3)i = 5 + 2i ' :-.lota. En el Ejemplo 1h vemos que la suma de dos números complejos puede ser un número real.

b)

e)

2i + (-4 - 2i) = 2i - 4 - 2i

Forma canónica

Remover paréntesis

= -4 + 2i- 2i

Agrupar términos análogos

= -4

Forn1a canónica

3- (-2 + 3i) + (-5 + i) = 3 + 2- 3i- 5 + i = 3 + 2 - 5 - 3i + i

=o- 2i = -2i

o

Muchas de las propiedades de los números reales siguen siendo válidas para los números complejos, en particular

Las propiedades asociativas de la suma y del producto Las propiedades conmutativas de la suma y del producto La propiedad distributiva de la suma frente al producto

789

Números complejo.s

A continuación se ilustra cómo utilizarlas en el producto de dos números complejos. ADVERTENCIA En lugar de intentar memorizar la regla de la multiplicación, es suficiente recordar cómo se usa la propiedad distributiva al efectuar el producto de dos números complejos. El procedimiento es semejante al que se usa para multiplicar dos polinomios y agrupar sus términos análogos.

(a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(e + di)

Distributiva

= ac + (ad)i + (bc)i + (bd)i 2

Distributiva

= ac + (ad)i + (hc)i + (bd)( -1)

Definición de i

= ac - bd + (ad)i + (hc)i

Conmutativa

= (ac - hd) + (ad + hc)i

Asociativa

EJEMPLO 2 Multiplicación de números complejos a)

(3 + 2i)(3 - 2i) = 9 - 6i + 6i - 4i 2

Producto de binomios

= 9- 4(-1)

h)

=9+4

Simplificar

= 13

Forma canónica

(3 + 2i) 2 = 9 + 6i + 6i + 4i 2

Producto de binomios

= 9 + 4( -1 ) + 12i

¡2 = -]

= 9-4 + 12i

Simplificar

= 5 + 12i

Forma canónica

D

Como puede apreciarse en el Ejemplo 2a, el producto de dos números complejos puede ser un número real. Sucede así siempre que se multiplican pares de números complejos de la forma a + bi y a - bi, llamados complejos conjugados. (a + bi)(a - bi) = a 2

-

abi + abi - b 2 i 2

= a2- h2(-l)

Para hallar el cociente de a + bi y e + di, donde e y d no son ambos nulos a la vez, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador: a + bi =a + bi (e - di)= (ac + bd) + (be - ad)i e2 + d 2 e + di e + di e - di EJEMPLO 3 División de números complejos 2 + 3i - 2 + 3i (4 + 2i) 4 - 2i - 4 - 2i 4 + 2i 8 + 4i + 12i + 6i 2 16 - 4i 2

Multiplicar por el conjugado

Desarrollar

790

Apéndice F

Números complejos

8 - 6 + l6i 16 + 4

¡2 = -1

1

= -(2 + 16i)

Simplificar

1 4 =-+-i 10 5

Forma canónica

20

D

Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas Cuando se utiliza la fórmula cuadrática para resolver una ecuación de segundo grado, se encuentra con frecuencia un resultado como "'/~3 del que se sabe que no es un número real. Sacando un factor i = yCT podemos escribir ese número en forma canónica

El número ADVERTENCIA La definición de la raíz cuadrada principal usa la propiedad

para a > O y b < O. Esta regla no es válida si a y b son ambos negativos. Por ejemplo,

J3¡ se llama la raíz cuadrada principal de -3.

kAÍZ CUADRADA PRINCIPAL DE UN NúMER:O NEGATIVO Si a es un número positivo, la .raíz cuadrada principal del número negativo -a es

J=S,j:S == JS¡JS¡ ==

J25¡2

== 5i 2 == -5

mientras que

.J (-5)( -5) == J25 == 5 Para evitar problemas con la multiplicación de raíces cuadradas de números negativos, transforme siempre los números complejos a forma canónica antes de efectuar su producto.

EJEMPLO 4 Expresión de números complejos en forma canónica a)

J-}J-12 = J3ijl2i = }36i

b)

J-48- ~ = fo¡ - J27¡ = 4J3i - 3J3i = J3i

e)

(-1 +

J-3)

2

= (-1 +

2

= 6(-1) = -6

j3i) 2

= (-1)2- 2

J3¡ + (j3)2(i2)

= 1 - 2j3i + 3(-1) = -2-

2J3i

EJEMPLO 5 Soluciones complejas de una ecuación cuadrática Resolver 3x 2 -2x + 5 = O

D

Números complejos

791

Solución: -(-2) ± JC-2) 2

-

4(3)(5)

Fórmula cuadrática

X=--------~-------------

2(3)

2 ±

J=56

Simplificar

6

2 ± 2jl4i 6 1 3

Escribir en términos de i

fo,

=-±----1

•

3

1, 3)

o 2 -1 + 3i

Forma canónica

3

Forma polar de un número complejo

(3, 2) o 3 + 2i

Así como los números reales se pueden representar como puntos en la recta real, un número complejo

•

z =a+ bi

Eje real

•

D

-1

(-2, -1)

o --2 -i

FIGURA A.46

1 !'lota. Si el número complejo a + hi es un número real (es decir, si h = 0), esta definición coincide con la del valor absoluto de un número real.

se puede representar como el punto (a, b) de un plano coordenado (el plano complejo). Su eje horizontal se llama eje real y su eje vertical se llama eje imaginario, como muestra la Figura A.46. El valor absoluto del número complejo a + hi se define como la distancia del punto (a, b) al origen.

Para manejar eficazmente productos y cocientes de números complejos es conveniente expresar los números complejos en forma polar. En la Figura A.47, consideremos el número complejo a + hi. Denotando por Oel ángulo, medido en sentido contrario al de giro de las agujas de un reloj, entre el eje x positivo y el segmento recto que une el punto (a, b) y el origen, podemos escribir a = r cos ()

donde r =

Ja

2

y

b=

r

sen O

+ b 2 . En consecuencia, a + bi = (r cos 8) + (r sen O)i

de donde se obtiene la llamada forma polar de un número complejo.

792

Apéndice F

Número1 complejoY

Eje 1mag1nano

FORMA POLAR DE UN NúMERO COMPLEJO

La forma polar del número complejo z =a + bi es

z = r(cos f) + i sen fJ)

=Jé

=

=

donde a= r cosO, b r sen O, r + b2 , y tg 8 b/a. Se dice que el número res el módulo de z, y f) es un argumento de z.

Eje

real

Nota. La forma polar de un número complejo se llama asimismo forma trigonométriO, la forma polar de un número complejo no es única. Normalmente, se restringe O al intervalo O ~ O< 2n, si bien en ocasiones es conveniente usar O < O. j

FIGURA A.47

ca. Puesto que hay infinitas elecciones posibles para

EJEMPLO 6 Expresión de un número complejo en forma polar Expresar en forma polar el número complejo z = -2 -2j3i

Solución:

El valor absoluto de z es

y el ángulo O viene dado por

b -2}3 ¡; tge=-=--=v3 a -2

Eje imaginario

t

-3

T\ . E -+;¡;r ( t· ~-~· .. r~:l

-2

3 /

1

i

/~1

J3

Como tg (n/3) = y z =-2 -2j3i está en el tercer cuadrante, elegimos para O el valor e= n + n/3 = 4n/3. Así pues, la forma polar de z es

'' ~2

:

z

[z[ =4

'

~3

3

3

.

./ 2

= r( cos e + i sen e) = 4 ( cos -4n + i sen -4n)

o

(Véase Figura A.48.)

2 V}¡

FIGURA A.48

La forma polar se adapta muy bien al producto y al cociente de números complejos. Consideremos dos números complejos. y

El producto de z 1 y z2 es

z1 z2 = r 1 r 2 [(cos

e

1

= r 1 r 2 (cos 0 1 + i sen 0 1 )(cos 02 + i sen 0 2 )

cos fJ 2

-

sen 0 1 sen 0 2 ) + i(sen 0 1 cos 0 2 + cos 0 1 sen 0 2 )]

Números complejos

793

Usando las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno, se puede reescribir esa ecuación como

Esto completa la primera parte de la regla siguiente. Intente demostrar la segunda por sus propios medios.

PRODUCTO YCOCIENTE DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS Dados dos números complejos z 1 = r 1 (cos 0 1 + i sen 0 1 ) y z 2 = r 2 (cos 02 + i sen () 1.), se tiene Producto

Cociente

Estas fórmulas dicen que para multiplicar dos números complejos basta multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos, mientras que para dividir números complejos basta dividir los módulos y restar los argumentos.

EJEMPLO 7 Producto de números complejos en forma polar Calcular el producto de los números complejos

( 32rr + i sen 32rr)

z1 = 2 cos

z2

= s(cos l

~7r + i sen l ~7r)

Solución:

z1 z2

J In !In) + i sen ( 32rr + i sen 32rr) · 8(cos (5 6 2rr + llrr) + i sen (2rr = 16[cos ( 3 + 6llrr)J = 2 cos

3

[

= 16 cos

6

Srr + i sen SrrJ

2

2

= 16[0 + i(l)J = l6i Comprobar este resultado transformando primero a forma canónica z 1 = -1 + + j3¡ y z2 = 4}3 - 4i y multiplicando a continuación algebraicamente. O

794

Apéndice F

Números complejos

EJEMPLO 8 División de números complejos en forma polar Hallar el cociente z1 /z 2 de los números complejos

z 1 = 24(cos 300° + i sen 300°)

z2

= 8(cos 75o + i sen 75")

Solución:

z1 z2

24(cos 300° + i sen 3000) 8(cos 75o + i sen 75°) 24

=S [cos (300° -

75°) + i sen (300' - 75°)]

= 3[cos 225° + i sen 225°] = {(-

f) i(- f)] +

3J2 3J2.

=------¡

2

2

o

Potencias y raíces de números complejos Para elevar un número complejo a una potencia, basta efectuar productos sucesivos. z = r( cos 2

e + i sen fJ)

2

z = r (cos 28 + i sen 20) z 3 = r 3 (cos 38 + i sen 30) Esta secuencia sigue una pauta que desemboca en el importante teorema siguiente, que lleva el nombre del matemático francés Abraham DeMoivre (1667-1754) .

.TOORBMA DE DEMOtvRiiJ Si z :::> r(cos 9 .+ i sen 9) es un nú:tnéro complejo y n un entero positivo,

t' = rK.oos

e + i sen t~)Jll = r'(oos ne .+ i sen ne)

EJEMPLO 9 Potencias de un número complejo Calcular por el teorema de DeMoivre (-1 + j3i) 12 .

Solución:

En primer lugar, pasamos a forma polar. -1 +

v¡-::;Ji = 2( cos -2n3 + i sen -2n) 3

795

Números complejos

Ahora, la fórmula de DeMoivre asegura que

(-1 +

J3o

12 12

= [ 2( cos 2n + i sen 2n)J 3 3

2nl

2n + i sen(l2)= 2 12 cos(l2)[

3

3

= 4.096 (cos 8n + i sen 8n)

D

= 4.096 Nota. Nótese que en el Ejemplo 9 la respuesta es un número real. 1

Recordemos que, según el teorema fundamental del Álgebra, una ecuac10n polinómica de grado n tiene n soluciones en el sistema de los números complejos. Cada solución es una raíz n-ésima de la ecuación. Las raíces n-ésimas de un número complejo se definen como sigue.

OOFINICIÓN·DB LAS ~ÍCESN~ÉSIMAS 008NNÚMBRO COMPLEJO

Ein61llet:o CQD1pl~jp ~ ;: : á+ Ei~s ~á raíz n-ésima del número complejo z si · · · ·

ADVERTENCIA Las raíces 11-ésimas de un número complejo sirven para resolver algunas ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, se puede utilizar la fórmula de DeMoivre para resolver la ecuación polinómica x 4 + 16 =O escribiendo -16 como 16(cos n + i sen n:).

·

· ·

Vamos a buscar la forma de las raíces n-ésimas u de un número complejo dado z. Para ello, denotamos

u = s(cos fJ + i sen /3)

y

z = r( cos O + i sen 0)

Por la fórmula de DeMoivre, el que sea u" = z se traduce en que sn(cos

nfi

+ i sen

n/3)

= r(cos 8 + i sen O)

Tomando el valor absoluto de cada miembro de esta igualdad y dividiendo por r obtenemos cos

nfJ + i sen nfJ = cos

O + i sen 8

Así pues, se sigue que cos f\íota. Cuando k es mayor que n - 1, las raíces se repiten. Así, si 1

k = 11, el ángulo

() + 2n:l1 /1

O - + 2n: 11

es coterminal con D/11, que es el obtenido cuando k = O.

nfJ = cos

(J

y

sen

nfi = sen O

Como seno y coseno tiene período 2n, estas dos ecuaciones tienen soluciones si y sólo si los ángulos difieren en un múltiplo de 2n. Por consiguiente, debe existir un entero k tal que n/3 =O+ 2nk

O + 2nk {3=--n

796

Apéndice F

Números compleio.\

Sustituyendo este valor de {3 en la forma polar de u llegamos al siguiente resultado. Eje

TEOREMA A.S.

Jma~Jnan(J

RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO

=

Sin es un entero positivo, el número complejo z r(cos () + i sen 0) tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas, dadas por

vn r:..~ , cos e +

Eje w-

n

real

o

2nk + z. sen - + -2nk) n

donde k= O, 1, 2, · · ·, n- 1

FIGURA A.49

Esta fórmula admite una interesante interpretación geométrica, que se indica en la Figura A.49. Nótese que todas las raíces n-ésimas de z tienen el mismo módulo ifr, de manera que todas ellas están situadas en el círculo de radio~/;. centrado en el origen. Más aún, puesto que los argumentos de dos raíces consecutivas difieren siempre en 2n/n, las n raíces están uniformemente espaciadas sobre ese círculo.

EJEMPLO JO Cálculo de las raíces n-ésimas de un número complejo Hallar las tres raíces cúbicas de

Solución:

z = -2 + 2i.

Como z está en el segundo cuadrante, su forma polar es

z = -2 + 2i = .,/S(cos 135' + i sen 135') Por la fórmula general de las raíces n-ésimas, las raíces cúbicas de forma

z tienen la

Por tanto, haciendo k = O, 1 y 2 obtenemos las tres raíces fl(cos 45) + i sen 45") = 1 + i fl(cos 165 + i sen 165°) ~ -1,3660 + 0,3660i 'V/2(cos 285' + i sen 285 ) ~ 0,3660 - 1,3660i

o

797

Números compleios

Ejercicios del Apéndice F En los Ejercicios 1-24, efectuar la operación y expresar el resultado en forma canónica.

l.

(5 + i) + (6 - 2i)

2.

(13-2i)+(-5+6i)

3.

(8 - i) - ( 4 - i)

4.

(3 + 2i)- (6 + 13i)

33.

35.

37.

39.

6

4

36.

4 -Si 2 + i

38.

2 - i 6 - 7i

40.

vC8¡ + (5- vCSOJ

5.

(-2 +

6.

(8 +

7.

13i- (14 -7i)

8.

22+(-5+8i)+ !Oi

9.

-c:~i)+(~+~i) 2 2 3 3

v 1-18)- (4 + 3y~/2.i)

41.

10.

( 1,6 + 3,2i) + (-5,8 + 4,3i)

11.

.J-6 . .J-2

12.

Fs ·J=IO

13.

cJ-IW

14.

> de O. Por tanto, su cociente es aproximadamente l.

17.

-160 pies/s

23.

No existe límite

25.

27.

Discontinua en x

= -2 y en x = 2

91. a)

89.

-29,4

s

'ilí

x2

21.

19. No existe límite

2

3

29. Discontinua en todos Jos enteros 31.

Continua en toda la recta real

33.

Continua en toda la recta real

35.

Discontinuidad rio evitable en x = 1

37.

Continua para todo x real

20! JO

1

t

1

1

1

1

5 JO 15 20 25 30

b)

'17.

1

t

Sí. Al crecer el tiempo, S crece a ritmo más lento.

Falso. Sean j(x) = ! x y g(x) = x Entonces j(x) < g(x) para todo x #- O Sin embargo, lím j(x) = lím g(x) = O 2

x-+0

105. a)

2

x--.o

41.

=-2 y no evitable en x =5

Discontinuidad no evitable en x = -2

43. Continua en toda la recta real x

=2

Dominio: toda la recta real excepto x = O y los múltiplos impares de n/2

45.

-4.71 n: n4.71

49.

Discontinuidades no evitables en todos los múltiplos en- ' teros de n/2

51.

Discontinuidades no evitables en todos los enteros

53.

~b!ZJ.

b)

e)

39. Discontinuidad evitable en x

No resulta obvio que f(O) no está definido. 0,5 d) -!

Discontinuidad no evitable en x

47. Continua en toda la recta real x

107. fy g coinciden salvo en un punto si e es un número real tal que j(x) = g(x) para todo x #- e

-JO

Sección 1.4 (página 89)

Ión j(x) =O

x-+0+

l.

No existe el límite en x = e La función no está definida en x =e e) Existe el límite pero no es igual al valor de la función en x =e d) No existe el límite en x = e

lím j(x) =O

a) b)

3.

No es continua porque no existe lím f(x) x~3

x-+0~

Discontinuidad en x = -2

55. a= 2

57. a= -1, b = 1

59.

Continua en toda la recta real x

61.

Discontinuidades no evitables en x

63.

Discontinuidades no evitables en todos Jos enteros

= 1 y en x =-1

808 65.

Soluciones de Jos ejercicios impares Discontinua en x

=3

95.

5\L_ S

a)

60¡ 40

30 20

10

5 10 15 20 25 30

67.

Continua en (- oo, oo)

69.

Continua en ... , (-2n, 0), (0, 2n), (2n, 4n), ...

71.

Parece haber una velocidad límite y la causa puede ser la resistencia del aire.

b)

99.

Dominio: [ -c 2 , 0), (0, oo)

3

{~J

Tomar f(O)

-2

l.

y /(4)

0,68; 0,6823

77.

0,56; 0,5636

= O al menos

5.

x--z·

nx lím tg4

= oo

= oo

x--2

X

-3,5

-3,1

-3,01

-3,001

-2,999

-2,99

f(x)

0,31

1,64

16,6

167

-167

-16,6

X

-2,9

-2,5

f(x)

-1,7

-ü,36

79. /(3) = 11

Como V(O) =O y V(5) = 523,6 y V es continua, existe al menos un número real r, con O ~ r ~ 5, tal que V(r) = 275.

lím f(x) = -oo

lím f(x) x--3-

x---+-3+

7. 85.

nx lím tg - = -oo 4

3.

CX)

x--2

81. /(2) = 4 83.

2c

1 (x + 2) 2

1 lím - - -2 (x + 2)

=3

Por el teorema del valor intermedio, f(c) en un valor de e entre 2 y 4.

75.

lím x--2 •

73. f(x) es continua en [2, 4].

= -1

1

=-

Sección 1.5 (página 98)

No es evidente en la gráfica que la función sea discontinua en x =O.

/(2)

t

-3,5

-3,1

-3,01

-3,001

-2,999

-2,99

3,8

16

151

1.501

-1.499

-149

X

-2,9

-2,5

f(x)

-14

-2,3

X

La función es discontinua en todos los enteros pares positivos. La empresa debe reabastecerse cada 2 meses.

= oo

f(x)

N

50 40

30 20

= -oo

lím f(x)

10

lím f(x) x--3

X---+-3.¡

9. 91. 93.

94.

Verdadero

92.

X=

Verdadero

0

11.

n

nn

4

2

X=

2,

X=

=- + - , n entero

15.

x

Falso: la función racional f(x) = p(x)/q(x) tienen a lo sumo n discontinuidades, si n denota el grado de q(x).

19.

X=

Falso: es discontinua en x = l.

23.

t = nn, n entero no nulo

-2,

X=

1

-1

17. 21.

= oo 13.

t

X=

±1

=o

No hay asíntotas verticales

Soluciones de Jos ejercicios impares

25.

Discontinuidad evitable en x = -1 27.

809

56.

1 Falso: entonces f(x) = - 2- - · X + 1

57.

Verdadero

58.

Falso: entonces f(x) =

1~·

x =f

O,

10

59.

Tomar f(x)

X=

0

o

= I/x 2 , g(x) = l/x4 , y e= O

'"Efj'" ~lO

Asíntota vertical x = -1 29.

-oo

37.

00

41.

00

31. 39.

~

33.

00

35.

-00

b)

1 500

! 43.

•'

-00

1 + 0,055

1 ~O,o5y:¡

o

2,134

o

t5 decrece al crecer M.

e)

~lO

Ejercicios de repaso del Capítolo 1 (página 101) lím f(x)

x._.,.J

+

= oo l.

45.

00

47.

a)

iz pies/s

49.

a) e)

$176 millones $1.584 millones

51.

00

53.

a) b)

e)

e)

1 pies/s

e)

00

b) $528 millones d) 00

Estimación: 8.261 850 revoluciones por minuto Invierte la dirección L = 60 ctg ifJ + 30(n + 2ifJ) Dominio:

d)

b)

Cálculo

3.

-0,1

-0,01

-0,001

-0,26

-0,25

-0,250 -0,2499 -0,249

X

f(x)

(O, ~)

ljJ

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

L

306,2

217,9

195,9

189,6

188,5

60n

g)

450

Falso: entonces p(x)

0,1 -0,24

10

f)

{jtj'" ~lO

lím f(x)

~

0,25

x~o

00

S.

a)

7.

7

17.

75

-2

b)

9.

-3

11.

77

l.Q

=x 2 -

l.

19.

-00

13.

3

ot=,==========11,57 0

SS.

0,01

0,001

21.

J3 2

~

-4

15.

23.

-oo

-1

Soluciones de los ejercicios impares

810

25. 33.

1

27.

3

f(x)

lím

31.

CAPÍTULO 2

00

Sección 2.1 (página 114) 1,1

1,01

1,001

1,0001

0,5680

0,5764

0,5773

0,5773

X

x~l'

~

29.

-00

l.

fi)

~-fi ~ 0,577 (El límite exacto es x-I

a)

b)

m= O

3.

5. f'(x) =O

3

/(4) ~ 5

(4:5)¡

35.

Discontinuidad evitable en cada entero. Continua en (k, k+ 1) para todo entero k.

37.

Discontinuidad evitable en x = 1 Continua en ( - oo, 1) u (l, oo)

39.

Discontinuidad no evitable en x = 2 Continua en (- oo, 2) u (2, oo)

41.

Discontinuidad no evitable en x = -1 Continua en (-oo, -1) u (-1, oo)

11. f'(x)

43.

Discontinuidad no evitable en todo entero par. Continua en (2k, 2k + 2) para todo entero k

13. f'(x) = (x- 1)2

45.

e=

47.

Discontinuidad no evitable cada 6 meses

_I(1)_~_2

--- - j(4) -/( 1)

4

5

6

7. f'(x) = -5

= 3x

9. f'(x) 2

-

17.

-1

53.

a)

$14.117,65

e)

$720.000,00

51.

55.

-39,2 mjs

57.

Falso: lím -

lxl

x~o-

X

X=

21.

58.

Verdadero

Verdadero.

60.

Falso: la existencia del límite de f(x) cuando x influye en la existencia de f(e)

61.

Verdadero

63.

Verdadero

65.

a)

Dominio: (-oo, O] u [1, oo)

b)

lím f(x) =O x-olím f(x) = O x-1+

Recta tangente: y= 4x- 3

a)

Recta tangente: y= 12x- 16

00

59.

e)

1 ~ 2yx-4

$80.000,00

d)

62.

=

b)

10

b)

= -1

'

15. f(x)

b)

19.

0

a)

=4x + 1

12

-1

X=

~3

(1,2)

3

49.

m= -3

a)

b)

-->

Falso: el límite no existe

e no

Recta tangente: y = 2 5

'~' -5

23.

y= 2x + 1

25.

y=3x-2

y= -2x + 9

y=3x+2

27.

b

28.

33.

a)

-3

b)

o

e)

La gráfica desciende hacia la derecha cuando x = 1

e

29.

e

30.

a

31.

f

32. d

Soluciones de Jos ejercicios impares La gráfica asciende hacia la derecha cuando x = -4 e) Positivo. Como g'(x) >O en [3, 6], la gráfica de g asciende hacia la derecha. f) No, conocer sólo g'(2) no es suficiente información; g'(2) mantiene su valor en cualquier traslación vertical de g. d)

811 47. f(x) = x 3 + 2x 2 + 1

f'(-2) = lím f(x)- f(-2) x~-2

,

+ 2x 2 + 1) - 1 x+2

x~-2

=

y

35.

(x

= lím

2

X+ 3

lím x

2

x-+- 2

=4

49. f(x) = (x- 1) 213

51.

(-oo, -3), (-3, oo)

/'( 1) = lím f(x) - f(1) x~! X- 1 , (x - 1) 213 -O = hm ..:.__.:.____ x~l X- 1

37.

2

1 = l í m - -1 -3

,[¿E]'

x~l (x- 1) 1

No existe el límite. fno es derivable en x = l.

-2

X

-2

-1,5

f(x)

-2

-32

f'(x)

3

z:¡_

-1 -

~

4

-{),5 _L

-32

z:¡_

;¡

_;¡_

16

4

16

o o o

0,5

1

1,5

2

_L

~

z:¡_

32

4

32

2

_;¡_

;¡

z:¡_

16

4

16

3

53.

(-oo, -1), (-1, oo)

57.

(1, oo)

59.

55.

(-oo, 3), (3, oo)

(-oo, 0), (0, oo)

61. fno es derivable en x = 1

63. J'(l) =o

65. fes derivable en x = 2

67.

d=

a)

~

Jm2+l 5

b)

g(x)

3Im + 11

'~'

f'(x)

43. a)

-1

No es derivable en m = -1

b)

45. f(x)

Las gráficas de S para valores decrecientes de Ax son rectas secantes que aproximan la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, /(2)).

=x 2 -

69.

Falso: considerar f(x) =

70.

Falso: considerar f(x) =

71.

Verdadero

.

~~

en x = O

{X, 2x,

x~O

x>O

enx =O

l

Sección 2.2 (página 126)

/'( 2) = lím f(x) - f(2) x~2

,

X-

2

L a)

(x -1)- 3

=hm---x~2 X - 2

3.

= lím (x + 2) =4

13.

x~2

1

b)

1

e)

2

d)

3

2

o 2x +

5.

zl sen x

7.

2x

9. l x2

-4t+3

15. ---3 cosx

11. 3f-2

Soluciones de los ejercicios impares

812 Función

17.

1 y= 3x3

19.

y= (3x) 3

21.

Reescribir ---

Derivada

y=- x-3

y'= -x-4

1

y =

3

1

1

y=-x-3

27

1

-:0

57.

X -

59.

a)

4y + 4 = 0

1

1

y' = --x-4

y ' = - -4 9x

1 -3/2 y' = --x 2

1 y'=- 2x3/2

9

JJZ1 -2

Jxy=

y=x-1¡2

X

o

23.

-1

31.

2 8 3x -3 +xs

37.

3x2 + 1

43.

Simplificar

25.

27. 33.

4 2t+-

4

39.

29.

4

5s'IS

3 35.

t2

41.

(3,9, 7,7019), S(x) = 2,981x- 3,924 b) e)

x3 - 8 x3

= 3(x- 4) + 8 Pierde precisión.

T(x)

= 3x- 4

JJZ1

2 - - 3 senx

Jx

-2

,m,

2x+y-2=0

a)

b)

3

-3

-2

-1

-0,5

-0,1

o

/(4 + Ar)

1

2,828

5,196

6,458

7,702

8

T(4 + Ar)

-1

2

5

6,5

7,7

8

&

0,1

0,5

1

2

3

/(4 + Ar)

8,302

9,546

11,180

14,697

18,520

T(4 + Ar)

8,3

9,5

11

14

17

Ax

-1

45.

X+ 48y- 20

a)

=0

1

b)

'~'" -1

47.

(0, 2), (-2, -14), (2, -14)

49.

No hay tangentes horizontales

51.

(n, n)

Falso: tomar f(x)

62.

Verdadero

63.

Falso: dy/dx = O

65.

Ritmo medio: 2 Ritmos instantáneos f'(l) = 2 f'(2) = 2

y

53. !'

69.

a)

e)

El ritmo de cambio de fes constante y por tanto f' es una función constante. 55.

y= 2x- 1 y

y= 4x- 4

71.

AyB

64.

b)

s(t) = -16t 2 + 1.362 v(t) = -32t -48 pies/s s'(l) = -32 pies/s s'(2) = -64 pies/s

e)

Mayor

k~{

a)

d)

Ritmo medio: 1/2 Ritmos instantáneos: f'(l) = 1 f'(2) = 1/4

y

By C,Dy E

e)

Verdadero 67.

d)

b)

-1

= x y g(x) = x + 1

61.

Ji362

t = - - - ~ 9,226 segundos 4 -295,242 pies/s

813

Soluciones de los ejercicios impares 73.

v(5) = 71 m/s = 22 mjs

13.

v( 10)

y

75.

f5

i

y

77.

60

¡------¡

50 40

'

15.

'

' '

]

'

'

~

10

''

''

5 (2x-W

(x2 -l)(-2-2x)-(3-2x-x 2 )(2x)

2 (x + 1) 2 '

X of.

1

(10, 6)

''

30 20

(2x- 3)(3) - (3x- 2)(2)

17.

JxO

f)

S'>O

2

61.

b)

a)

b)

y

43.

0,578 L

3n 0= -+ 2nn 2

67.

49.

47.

Los valores de f, P 1 y P 2 , así como los de sus primeras derivadas son iguales en x = O

y

69.

-2

-4

51. f(x)

=1 x 3 -

6x 2 + ~x -

Los valores de f, P 1 , y P 2 , así como los de sus primeras derivadas son iguales en x = n/4

24

1

71.

-IISIZll

y

53.

~ -1

55.

a)

f(x) = (x- 2)" tiene un punto de inflexión en (2, O) si n es impar y n ~ 3.

77.

Verdadero

78.

Falso: O no está en el dominio de f

79.

Falso: el valor máximo es

80.

Verdadero

Jl3 ~ 3,60555

826

Soluciones de los ejercicios impares

Sección 3.5 (página 221) l.

f

2.

e

5.

b

6.

e

7.

3.

4.

d

J0 1

102

J0 3

J0 4

7

2,2632

2,025J

2,0025

2,0003

10'

J0 6

2,0000

2,0000

f(x)

X

10 1

100

X

102

J0 3

104

JO'

10 6

0,479 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500

f(x)

a

100

X

f(x)

33.

1 1 lím x sen-=2x 2

35.

37.

4

'53B' -4

39.

-10

4x + 3 lím - - = 2

x~w2x-l

9.

X

100

j(x)

-2

X

10'

j(x)

101

102

J0 3

J0 4

.m. 2

o

43.

-2,98J4 -2,9998 -3,0000 -3,0000

45.

J0 6

-3,0000 -3,0000

47.

3

~ ·4LJ1LJ4

-10

Jím

-5

-6x

x~oo J4x2

+5

11.

i

o

19.

2

21.

27.

o

29.

31.

13.

X

f(x)

100

49.

51.

= -3

15.

o -1 10 1

No existe límite 23.

o

17.

103

104

* 'wt3'

5

-20

55. 102

JO'

10

53.

20

'

25.

6

1,000 0,513 0,501 0,500 0,500 0,500 0,500

59.

'

3

2

3 -3

3

-2

'~' ~E3~l ··2

-·5

-1

8

7

-1

57.

827

Soluciones de Jos ejercicios impares 61.

73.

a)

y

63. a)

Sección 3.6 (página 232)

65.

y

a)

!' 3 4

-4

a)

3.

5

5.

a)

f'(x) = O en x = ±2 f'(x) >O en (-oo, -2), (2, oo) f'(x) O en (0, oo) f"(x) O en todos los números reales x. 72.

Falso: tomar f(x)

=

-~x 2 +

r--:-1 {.yx+l

1x +

1 X< 0

X;;,

-3

0 (-1. -11)

f"(x) < O, f(x) crece sin tope

-2

-3

77,5

17.

y

3

828 19.

Soluciones de los ejercicios impares y

y

21.

Mínimo: (-1,10, -9,05) Máximo: (1,10, 9,05) Puntos de inflexión:

41.

161 Tm

18

(-1 ,84, -7 ,86), ( 1,84, 7 ,86)

Asíntota vertical: x =O Asíntota horizontal: y = O

-2

3

(lo) y

23.

4

Punto de inflexión: (0, O) Asíntotas horizontales: y = ±1

43. y

25.

45. -1

-2

-2

27.

y

y

-1

La gráfica cruza a la asíntota horizontal y= 4. La gráfica defno cruza la asíntota vertical x =e porquef(c) no existe.

_1

47.

31.

33.

-1

La función racional no está reducida. 49.

-3

35.

y

La gráfica parece acercarse a la recta y = -x + 1, que es la asíntota oblicua.

1

51.

y=--

55.

a)

x-5

b) 39.

57.

53.

y=

3x2

13x- 9 x-5

-

El ritmo de cambio de f cambia al var,ar a. Si el signo de a cambia, la gráfica se refleja en el eje x. Las localizaciones de la asíntota vertical y del mínimo (si a > O) o del máximo (si a < 0) cambian. 59.

Soluciones de los ejercicios impares y

61.

65. a< O y b 2 < 3ac 69.

y

63.

67.

829 3.

%2 y %2

9.

l = w = 8 pies

11.

G·JD

17.

b)

a< O y b > 3ac y

71.

y

19.

1y 1

Qo x=-

15.

2

l = w = 25 pies

7.

600 x 300 metros

V 1 = 99 pulgadas cuadradas V2 = 125 pulgadas cuadradas

e)

v3 = 117 pulgadas cuadradas 5 x 5 x 5 pulgadas

a)

V=x(s- 2x) 2 , O

j(x;) Lh <

a)

-n

e)

5 + 2n

b)

ls f 4

j(x) dx

j(x) dx e)

-(1 + 2n)

j) 23- 2n

d)

3- 2n

Soluciones de los ejercicios impares 45.

a

48.

Falso:

49.

Verdadero

50.

Verdadero

52.

J

Verdadero

47.

f xJx (I x )(L Jx dx #

dx

J:

Falso:

51.

dx)

272

53.

x dx = 6

55.

57.

a)

59.

a)

No, f(x) es discontinua en x = 4

59. f(x)

=~

6,5

53.

8

1

b)

15,5

55.

e)

13

I21

20,

1f

R'(40) R'(50)

b)

~ ~

0,12 0,43

o

e)

1,80, 7,35

61.

a)

F(x) = 500 sec 2 x

63.

a)

3

X

61.

-1,5

4j2

-2

57.

51.

(-x) dx = -2

4

Falso:

837

827 newtons

b)

4.980

b)

!

Sección 4.4 (página 324) l.

N = -0,084t 3 + 0,635t 2 + O, 791 t + 4, 103

e)

d)

Positiva

5. 15.

IE:SJ. JJZ:J

Cero

-lf 19. --h

-~

7.

i

16

17.

9.

-4

!

11.

13.

65.

a)

V=

1

31.

J:

33. 41.

n+2

25.

2}3 3

o

29.

10.000 (t- 6) dt = -$135.000

1

12}3

35.

6 6

43.

10

Jn ~ ±0,4817 2

47.

8 Valor medio =3

2}3

±-3 y

~

±1,155

X

10- 4 )t 3 + 0,078t 2

ix-413 -

69. 39.

0,4380, 1,7908

±arcos

73.

x2

79.

8

-

2x

75.

81.

12,6

-

0,208t + 0,096

2.457 metros

~

2,451

y

C(x) = 1.000(12x 5 / 4 + 125) C(1) = $137.000 C(5) = $214.721 C(IO) = $338.394

87.

a) b)

89.

Verdadero

7C

2

71. 77.

tg

X- )

X COS X

Los extremos de F corresponden a los ceros def, y los puntos de inflexión de Fa los extremos def

2

0,690, X

12

cosx~

Valor medio=n X ~

e)

J7+l

y

85.

49.

/)

-10

37.

5

45.

X=

27.

(-8,612 90

b)

23.

5.129

-2

!

21.

e)

90.

Verdadero

838 91.

95.

Soluciones de Jos ejercicios impares Falso: j(x) = x- 2 tiene una discontinuidad no evitable en x =O

31.

a) 2

,~,

a)

-3

-1

-2

1 -- cos 2x + e

37.

1 1 2 1 - sen 2 2x+e 1 o --cos 2x+e 2 o --cos4x+e3

39.

! tg

43.

-ctg X

3 A=f

2

(9-x )dx=36

-3

97.

b)

b = 6, h = 9, A = 36

e)

b

= 5, h = li, A=~

27,37 unidades

47.

Sección 4.5 (página 339)

49.

J f(g(x))g'(x) dx

l.

3.

5.

7.

Jc5x 2 + 1) 2(10x)dx

2 2 J tg x sec x dx

5

15.

15

5x 2 + 1

10x dx

tg

+e

9.

+e

13.

1

+e 3(1 + x 3)

2

17.

5

21.

~x512 + 2x3/2 + 14x''z +e=~ vh(xz + 5x + 35) +e

23.

±t4 -

25.

6y312- h5'2 +e= h3'2C15- y)+ e

27.

2x 2 -4~+e

-

e +e

X

-?s -Iis (1

45.

X

j(x) = 2 sen-+ 3

2

- x) 312 (15x 2 + 12x + 8) +e

Jh-=-1 (3x 15

53.

-x- 1- 2Jx+l +e o -(x + 2Jx+"l) +e,

55.

o

65.

1.209 -28

71.

\º

57.

2

+ 2x - 13) + e

2

67.

61.

4

4

-

15

69.

63.

3}3 4

2(j3- 1)

3

,~, -1

73.

~

- 41 ( 1 + (~r +e

fo+e

X+

8

(x + 2) 312 (3x- 4) + e

x2)3/2 + e

19.

()

4

4

3

15 - - (1 - x2)4/3 +e 8

35.

51.

2x dx

sec 2 x dx

X

~ (9 -

(x3 _ 1)5 11.

du = g'(x) dx

x2 + 1

f Jx: + 1 dx

(1 + 2x)5

u= g(x)

1 -sen-+ e

33.

15

,~. o

75.

7,38

5

.~.

t 2 +e

-1

77. 29.

1 2(x 2 + 2x- 3)

+e

i (2x-

2 - 2x +X- i + C 1 2x 2 + X + e 2 Las respuestas difieren en una constante: e 2 =e, -

O

~ x3

1) 3 +e,=~ x 3

-

i

Soluciones de Jos ejercicios impares ~

79.

a)

81.

2 [ (6x 2

83.

V(t)

lf

b) -

e)

-~

d) 8

839 31.

a)

t+ 1

C(x)

=1(12x +

1) 213 + 56,35

\~

0~15 a)

89.

91.

e) a) b) e)

1,273 amperios 1,382 amperios O amperios

Falso

f (2x + 1)

2

dx

f

x(x 2 + 1) dx

92.

Falso

93.

Verdadero

96.

Falso:

f

=! (2x +

1)

sen 2 2x cos 2x dx

=i

95.

12,7771

15.3965

18,4340

15,6055

15,4845

8

14,0868

15,4480

16,9152

15,5010

15,4662

10

14,3569

15,4544

16,6197

15,4883

15,4658

12

14,5386

15,4578

16,4242

15,4814

15,4657

16

14,7674

15,4613

16,1816

15,4745

15,4657

20

14,9056

15,4628

16,0370

15,4713

15,4657

n

L(n)

M(n)

R(n)

T(n)

S(n)

4

2,8163

3,5456

3,7256

3,2709

3,3996

8

3,1809

3,5053

3,6356

3,4083

3,4541

10

3,2478

3,4990

3,6115

3,4296

3,4624

12

3,2909

3,4952

3,5940

3,4425

3,4674

16

3,3431

3,4910

3,5704

3,4568

3,4730

20

3,3734

3,4888

3,5552

3,4643

3,4 759

35.

0,701

37.

39.

a) b)

41.

89.250 m 2

45.

a)

10.233,58 libras-pies

9.920 pies cuadrados 10, 4131 pies cuadrados

O

43. b)

L'(x)

2,477 1

= -, L'(!) = 1

e)

2,718

Ejercicios de repaso del Capítulo 4 (página 350) Trapecios

Simpson

2,7500 4,2500 4,0625 12,6640 0,1676

2,6667 4,0000 4,0000 12,6667 1,1667

Trapecios

Simpson

Calculadora

11. 3,283 13. 0,342 15. 0,957 17. 0,089 19. 0,194

3,240 0,372 0,978 0,089 0,186

3,241 0,393 0,977 0,089 0,186

21.

a)

0,500

b)

23.

a)

25.

a)

= 366 n = 130 n = 643

a)

4

X

2,6667 4,0000 4,0000 12,6667 0,1667

n

Verdadero

sen 3 2x + C

Exacto

27.

S(n)

+C

=! (x 2 + 1) 2 + C Verdadero

94.

3

Sección 4.6 (página 348)

l. 3. 5. 7. 9.

T(n)

33.

102,352 miles de unidades 102,352 miles de unidades 74,5 miles de unidades

b)

R(n)

200.000

=- - + 300.000

b)

87.

M(n)

3) dx = 232

$340.000 85.

L(n)

n

0,000 b) b) b)

= 26 n = 12 n = 48

l.

3.

Y: 3 + :h 2 -

5.

-X

1 2

1

2

--

x +

+C

e

7.

2x 2 + 3 COS X+ C

11.

240 piesjs

13.

a)

3 segundos

b)

e)

~segundos

d)

a)

I

n

10

15.

9.

y= 2 - x 2

X

i= 1

(2i- 1¡

b)

144 pies 108 pies

I i= 1

10

¡3

e)

I

i= 1

(4i + 2)

840

Soluciones de Jos ejercicios impares

a)

5mb 2 S=-8 '

b)

S(n) =

e)

1 -mb 2 2

19.

a)

13

21.

1 - X7

+-

(3x 2

-

17.

25.

7

3mb 2

3

mb 2 (n + 1)

1) 5

30

7

+e

-

3n

39.

2

47.

6

(1

+ sec 41.

nx) 3

422

-

5

2

-#+3+e e

tg"+ 1 X

---+e, n+1

31.

35.

16

28n

43.

n =1- -1

15

o

37.

45.

-

Regla de los trapecios: 0,257 Regla de Simpson: 0,254 Calculadora: 0,254

63.

a)

65.

1,6234 litros

69.

a)

70.

Falso: sólo las constantes pueden sacarse fuera del signo integral.

71.

Falso: .!!._ dx

e~

3

$9,17

b)

e

67.

a)

0,025 = 2,5%

2

_u¡

49.

61.

3

1 - sen 4 X+ 4

+e

50

d)

23.

27.

33.

2n

11

e)

+x3 + X + e

2j1- cose+ e

mb 2 (n- 1)

1 - mb 2 2

d)

29.

1

y

s(n) =

2n

x5

Valor medio= 2, x = 2

8

b)

5

59.

s=--

[-_!_] X

2

=1-

~

24.300

8

73.

27.300 M

72.

Verdadero

X

74.

Verdadero

$6,03

0,736 = 73,6%

y

y

~

b)

M

b)

~

$3,14; Ahorro

d

Falso: - sec 2 x =1- tg x dx

CAPÍTULOS Sección 5.1 (página 364)

51.

!

53.

l.

16

0,5

X

y

J~(l/t) dt

-0,6932 0,4055 3,5

4

1,2529

1,3865

d

5. a

X

J~(l/t) dt

55.

J3

57.

Valor medio=~. x =

21-

3.

b

7.

Dominio: x > O

4.

1,5

2

2,5

3

0,6932

0,9163

1,0987

6. e 9.

Dominio: x > O y

y

Y

-]

-2

-3"

JO

-3

-1

Soluciones de Jos ejercicios impares 11.

841

Dominio: x > 1

2xy

y

(-2) + 2= O

xy" +y' = x x 2

71.

69.

3- 2y2

73.

Mínimo relativo: (1,

~

!)

2

-1 -2

========

0160

13.

1,7917 4,3944

a)

e)

-0,4055 0,5493

b)

d)

75.

Mínimo relativo: (e -1, -e -t) 2

15.

In 2 -In 3

21.

3[ln(x + 1) +In (x- 1)- 3 In x]

23.

27.

17.

lnx+lny-lnz

x-2

In z + 2 In (z - 1)

In

+ 3)

x(x

"~'

1In 2

19.

-1

25. I n - x+2

2

77.

9

29.

3 -----:: - - 2

x - 1

33.

31.

Punto de inflexión:

Jx2+l x + 1

In

Mínimo relativo: (e, e)

(e

2

,

~)

2

-00

35.

i;~ (e, e) (e', e'/2)

In 4

:y

o

-4

79.

37.

2

39.

3

41.

2 -

43.

X

45.

51.

57.

63.

65.

2x 2 x(x

2

-

1

47.

1)

2 x In x 2

3

x(x + 1)

53.

x In x

P+l

2

-2~10

X

49.

55.

l - 2 In t -4

(3

Los valores de f, P 1 , y P 2 , así como los de sus primeras derivadas, coinciden en x = l

-4 x(x 2 + 4)

81,

59. ctg x

61.

sen x -tgx+--cos X - J

85.

COS X

X~

3x3

2 - (sen 2x + x cos 2x In x 2 ) a)

5x - y - 2

0,567

-

l5x 2 + 8x

2(x- 1)

(sen x- !)(sen x + 2) 89.

X

67.

~

4(ln x) 3

=O

91.

3

Fx--=--2

lO

p =--(In 1 +

In 10 60 decibelios

Jx-=1

+ 2x - 1) (x + 1)3/2

16ln 10)

e)

a)

b)

o160===========-==~ 100 -3

(2x2

87.

30

.D,oo o

lím T'(p) =O p~oo

842

Soluciones de los ejercicios impares h)

p = 10: 4,75 "F por libra por pulgada cuadrada p = 70: 0,97 oF por libra por pulgada cuadrada

93.

a)

b) e)

d) e)

j)

31.

b) y= In lx- + -21 + 1

y

a)

2

(0, ) 4

h =O no está en el dominio de la función. h = 0,86 - 6,45 In p

3

'ta'

25

.E::J

3

2,7 km 0,15 atmósferas h = 5:

33.

i

39.

2 2 In 1 - sen 1 1- sen 1

41.

2[Jx-ln(I+Jx)]+e

~ = -0,085

h = 20:

~: = -0,009

In 13 ~ 4,275

~

7

35.

37.

3

1,929

43.

-sen(l-x)+e

y

y

Al crecer la altura, la presión va disminuyendo a ritmo decreciente.

95.

Para valores de x, g crece a un ritmo mayor que f en ambos casos. La función logaritmo natural crece muy despacio para valores muy grandes de x.

-t---+-t--+--+-·- X -1 2 3 -1

-2

-2

45.

In

4

(j2 + 1)- j2 ~ 2

0,174

y

97.

Falso: In x +In 25 =In 25x

98.

Falso y' = O

Sección 5.2 (página 374) 4

l.

lnlx+ll+e

5.

ln~+e

9.

! In lx 3 + 3x 2 + 9xl + e

3.

-!In 13 - 2xl + e

x2 7.

11.

13.

2Jx+1 +e

17.

2 2lnlx-ll---+e X- 1

21.

-! In lcosec 2x + ctg 2xl + e

25.

In lsec

27.

y=-3lnl2-xl+e

X-

15.

2 - 4 In lxl + e

x +

1 (In x) 3 + e

51.

~

-10~10 -10

53.

o

55.

d

X

57.

lf- + 8 In 2

59.

12 -[2In(j3+ l)-ln2] ~ 5,03

~ 13,045

6Jx + 18 In ¡Jx- 31 +e 19.

23.

lnlsen81+e In ll + sen t 1+ e

ll +e

10

-

29.

y = -! In leos 201 + e

1t

-In 3

Soluciones de los ejercicios impares 61.

P(t)

P(3)

= 1.000(12 In ~

843

11 + 0,25tl + 1)

7.715

63.

$168,27

65.

a)

y

19.

1

F

(x) =

J4="7,

O~ x ~ 2

y -10

67.

1 Falso:- (In x) =In x 1 12 2

69.

Verdadero

70.

Falso: el integrando, 1/x tiene una discontinuidad no evitable en el intervalo [ -1, 2].

68.

d 1 Falso:- [lnx] =dx x

Sección 5.3 (página 383) l.

3.

b)

y

b)

25.

r

1 (x)

=

j7x ,

F-7

-1 O en (4, oo)

8 55. f'(x) = - 3 < O en (0, oo) X

100.

1 Falso: tomar f(x) = X

101. 103.

No, como demuestra f(x) = {x, J-

~X~

0 X,

l -.

6.448,7 libras

3J2 2

3

2

l.

4

2

5

2

3

(1.1)

Sb

e)

y-=

a)

(i, y) = (0, 12,98) y= (-1,02 X 10- 5)x 4 (i, Y) = (0, 12,85)

b) e)

27.

Ejercicios de repaso del Capítulo 6 (página 533) 2

-./b d)

94,5 libras

1 2 3 4 5

i =O por simetría MY

19.

17.

43.

-

0,0019x 2 + 29,28

45.

S.

1

7.

e2 + 1 y

-1

-2

4 + 3n ) (i, y)= ( --,o 4+n

47.

(i, y)= (

51.

--~

55.

128n 3

2

+

3 7r,

2+n

o)

160n 2 ~ 1.579,14

49.

11.

9.

y 20

134,04

y) = ( n +

Cuando n

->

10

n+l)

n+l

(i,

135) (i, y)= ( O, )4

,[2)

2' 4n + 2

oo, (i, Y)

-16

5Jt ( -¡¡·--¿

->

(1. ~) 13.

*

Sección 6.7 (página 53 1)

l.

936 libras

S.

1.123,2 libras

9.

1.064,96 libras

13.

3.

7 48,8 libras

7.

243.000 kilogramos

11.

-1

748,8 libras 12.000 kilogramos

15.

2.814 libras

J 2

15.

o

[O- (y 2

-

2y)] dy

= fo 2~ dx = ~ -1

3

Soluciones de los ejercicios impares

f[ i

1- ( 1-

17.

~) Jdx +

J:

=

[1- (x- 2)] dr

=

El primer trabajo. El salario en él es mayor que en el segundo trabajo todos los años excepto el primero y el décimo año. a)

64n

128n

b)

3

64n

e)

3

a)

64n

48n

b)

d)

3

4n

~

25.

27.

-(20- 9 In 3) 3

31.

1,958 pies

35.

4.018,2 pies

39.

50 libras-pulgada

41.

104.000n libras-pulgadas

43.

250 libras-pulgadas

47.

(i,

51

i •

42,359

3

y)=(~.~)

4

29.

~

45.

163,4 libras-pies

21.

1 - x2 + 2

X

25.

-(12x4 + 20x 2 + 15) +e

29.

1 --cosec nx +e n

31.

1 -e5x +e

33.

2 1n (l + ex) +

e

35.

In lsec

37.

1 t In (t 2 + 4)- -arctg- +e 2 2

39.

1 --arcsen (2t- 1) +e 2

43.

X - 3 3 arcsen - - + 3

47.

a)

+e

19.

e

+ In lx - 11 +

X

4

4n

5

45.

X

(sec X + tg x)l +

1 2x + 1 - arctg - - - + 4 8

e

1

- arcsen t 2

b)

2

2

0,8

2

S

e

~In leos~~+ e

41.

e

1 -sen 2nx 2 +e

27.

15

e

In ( 1 + ex) +

23.

15

a=-

(i, y) = ( O, 2a

49.

1 --lnl-t 3 +9t+1l+e 3

6(3v - 1) 2

4,167 libras-pies ~

2

2

15

15n

37.

-) - (2(9n + 49) 3(n + 9) '

( 'y -

4

1

-v

i60n

--

8 - (1 + 6,}3) ~ 6,076 15

33.

5

17.

1!:2

23.

1

ts. --(-2x + 5) 512 +e

e" du u= sen x

2

o

21.

13.

3 [(y+ 2) - (2 - 2y)] dy =-

¡

19.

859

)

'"EEj"

o)

-0,8

72.800 libras (sobre las paredes laterales) 62.400 libras (sobre la pared del frontal más profundo) 15.600 libras (sobre la pared del frontal menos profundo)

53.

1

49.

y = - e 2 x + 2ex

+

53.

-

55.

57.

4

59.

61.

~ arctg (X ;

2

X

4.992n libras.

55.

2

e

+

3.

l.

b

S.

fu" du

e

7.

u= 3x- 2, n = 4

9.

f

du Ja2 - u2

u=t,a=l

I:u u= 1-

11.

2

) +

f sen u du

2

tg arctg -

2

X

+e

1

2

n 18

e

63.

1

2Jx

1

y =-

- ( l - e- 1 ) ~ 0,316

CAPÍTUL07 Sección 7.1 (página 543)

51.

'~' -1

Una gráfica es traslación vertical de la otra

tg (} - sec (} +

e

6

'"ffi" -6

Una gráfica es traslación vertical de la otra

860

65.

Soluciones de Jos ejercicios impares

a=

J2, b = "!'4..

37. a)

- Jzln \cosec (x +

67.

4

69.

a

-

73. a)

n(1- e-

b)

b = Jtn

2 75. - - - arcsen (4/5)

¡)

71.

3 1

b)

2jY- cos x - x sen x = 3

y

~

)

+ ctg (x +

a=-

2

-4 -2

2

4

-4

1,986

(__27_!___) ~ 3n - 4 ~

i)\ +e

2,157

1,0320

77.

7t

39.

0,743

79.

Verdadero

80.

Falso: si u = sen x, entonces du = cos x dx

e[sen (1) - cos (1)] + 1

41.

2

2 e2x

7t

45.

-(2x 2 4

43.

--1 2

47.

(3x 2

-

49.

X

tg

X

51.

-(32t3 + 24t 2 + 12r + 3) 128

6) sen

X-

(x 3

+ ln leos xl +

-

2x + 1)

-

6x) COS X +

~

0,909

+e

e

e

e-4t

+e

Sección 7.2 (página 552)

l.

a)

3.

u

7.

u = x, dv = sec 2 x dx

ii

b)

iv

iii

e)

= x, dv = e 2 x dx

1 53. -(2e-"+3) ~ 0,2374 13

i

d)

u=(1nx) 2 ,dv=dx

5.

9.

1

--(2x+ 1) 4e2x

2

4[2(t

17.

--+e

-

1)

ln lt + 11 - t 2 + 2t] +

(ln x) 3

3

X

sen

X

59.

n = 0: x(ln

+ COS

X

+

4(2x + 1)

2(x - 1)312 (3x

29.

X

arctg

1 X--

2

e

1

Se2x (2 Sen X- COS X)+ e

2 33. y = (27t 2 405 35.

ln (1 + x 2 ) +

sen y = x 2

e

I

+ 2) + e

67. 27.

1) +

x3 n = 2: -(3 ln X- 1) +e 9 x4 n = 3: -(4 ln X- 1) +e 16 xs n = 4: -(5 ln X- 1) +e 25 x"+l x" ln X dx [(n + 1) ln (n + 1) 2

e

15

X -

4

+e

e2x

23. 25.

3~(x 2 -8)+e

----+e

19.

1

57.

n=l:-(2lnx-l)+e J

3

1

2 -(2x-3) 3 12 (x+ 1)+e 5

x2

1 13. -é

15.

+e

55.

e

x4 -(4lnx-1)+e 69. 16

X-

1] +

e

e2x

-(2cos3x+3sen3x)+e 13

71. 31.

1

2

y= -é +e 2

1,5 -

+e

24t + 32)j2+3t +

e

-1

5

1-4 e

~

0,908

~(~ + 1) ~ 0,395 1 + n e

861

Soluciones de Jos ejercicios impares 75.

n(e- 2)

b)

a) (e 1

e)

+ I)n

~

2

(e

d)

1

1 :

,

~

e; 2)

7

83.

b n

= ~1 sen (nn)

No

a)

79.

$931.265

(nn) 2

31.

1 -sec 3 X+ e 3

33.

1 r = -(12 ne- 8 sen 2ne +sen 4ne) +e 32n

35.

1 1 y= -sec 3 3x- -sec 3x +e 9 3

37.

a)

y

.EJ.

Sección 7.3 (página 561)

1 -(3 + cos 4x) 4 2 cos 4 x- 2 cos 2 x + 1

a)

b)

1 2 1- -sen 2x 2 Cuatro. No: con frecuencia hay más de una forma de reescribir una expresión trigonométrica. 1 - 2 sen 2 x cos 2 x

e) e)

3.

7.

9.

11.

1 3 --COS X+ 4

1

3

-- COS 3

X

e

5.

2 5 COS 5

+-

X -

-

1 -sen 6 2x +e 12 1 7 COS 7

-

X

+

41.

1 -(2 sen 2e- sen 4e) +e 8

43.

1 -(In lcosec 2 2xl - ctg 2 2x) + e 4

45.

1 3 -ctg e - - ctg e + e 3

47.

In lcosec t - ctg

49.

In lcosec X

53.

TC

61.

1 -(6x + 8 sen x +sen 2x) +e 16

ti

+ cos

t

+ e

51.

ctg xl + cos X + e

-

1

-(1 -In 2)

55.

2

57.

In 2

t- 2 tg t +e

59.

·Ef9· 3 + - (sec 2

1 -(sec 2n

23.

tg (¡)- 2 tg (¡)- 4 In leos¡¡+ e

4

1 --(cos 5x + 5 cos x) +e 10

1 63. - [sec 3 nx tg nx + 4n

21.

+In lsec

39.

-6

1 19. -tg 5x (3 + tg 2 5x) +e 15 TCX

-4

6

1 17. -In lsec 3x + tg 3xl +,e 3

tg

·~·

-5

e

2x sen 2x- cos 2x) +e

TCX

1 1 y= -x--sen 2x 2 4

d)

1 -(6x +sen 6x) +e 12 1 -(2x 2 8

b)

4

o

l.

X

27. - - + e 3

4

b)

sec 6 4x 29. - - + e 24

1 -tg 2 x +e 2

~ (2,097, 0,359)

- ( 1 - e- 4 n) ~ 0,223 IOn

tg 3

25.

13,177

77.

87.

2,257

1tX

TCX

tg

+ tg nxl) + e

2

-3

TCX

+ In lsec

TCX

+ tg nxl)] + e

4 3

Soluciones de los ejercicios impares

862

65.

1 -sec 5 nx +e Sn

3J2 JO

67.

69.

3n 16

5

71.

'~'

19.

J?"+9 +e

23.

lnlx+~l+e

-5

25.

a)

b)

73.

tg 6 3x tg 4 3x sec 6 3x sec 4 3x - - + - - + e - - - - - + e2 18 12 l• 18 12

2n

21.

1 --In 3

27. 1

+:i:+

33.

~(arcsen ex+ ex~)+ e

-0,05

35.

~ c2 : 2 + ~ arctg fi) + e

37.

x arcsec 2x- -In l2x + J4x 2

39.

arcsen ( Y ) + e

41.

J x 2 + 4x + 8 - 2 1n

43.

a) y b)

45.

a)

1

75.

2

a)

b)

2

(i. y)

=

G. i)

81.

1 - - cos x (3 sen 4 x + 4 sen 2 x + 8) + e 15

83.

2 2 2.tg 7!X(sec 2 1!X + 2) +e 6n 5 5

87.

a)

H(t)

nt nt = 55,46- 23,88 cos-3,34 sen-

b)

L(t)

= 39,34 -

e)

Verano

6

6

nt

nt

20,78 cos - - 4,33 sen6 6

47.

~

+

J 4x

2

+9+

2x

31 +e

e

29.

---c-=-c=

1

2

1

2

IJx

2

-

11 +e

+ 4x + 8 + (x + 2)1 + e

J3- ~3 ~ 0,685

y b) 9(2 - j2) ~ 5,272

1 -(x- 15)jx 2 + lOx + 9 + 2 + 33 1n x 2 + 1Ox + 9 + (x + 5)1 + e

IJ

49.

~(x~+lnlx+~l)+e

51.

nab

55:

In [5l

+ al

s2

59.

67.

13.

S

53.

SJ

b)

a)

29.

-4

867

Soluciones de los ejercicios impares

45.

V

.

17.

1

= - In (3 - 2 cos 0) 2

..·..

.....

19.

-11+=--~~-~112

JO

21.

-1

47.

3 y=~2 In ¡xX+ 3

49.

y= X

51.

a) y h)-

53.

a), h) y e) -

SS.

! .U1!

65.

a)

-1

4x

}4+7 (x 1

2

-

8) +

2

e- 1 ~ 1,72 i (e - 1) ~ 0,86

67.

3,82

75.

1.000e 0 · 09

79.

Diverge

81.

a)

o

69.

59.

h)

73.

Uj

~ 1.094,17

25.

yl¡,, --fz; multiplicar por-! el término precedente

27.

10.9

33.

3n- 2

39.

(-1)"-1 2"-2

29.

n2

35.

-

n+l

41.

a)

0,4581

h)

n

43.

n

45.

1·3·5···(2n-l)

(n + l)(n + 2)

(2n)! 2

49.

.........

$10.000.000

-21r==112

~

1+~~---112

83.

n+2

Converge; -J,f

77.

h)

(2n + 1)(2n)

n+l

37.

2

47.

$6.321.205,59

31.

n+l

1,46 (regla de Simpson)

d)

71.

14, 17; sumar 3 al término precedente

¡¡

(O, 3:)

(i, y)=

63.

15

23.

e

-(In 4) ~ 0,961 2

57.

e)

e

}4+7 +e 3

..........

+e

in lx 2 + xl - 2x + In lx + ll +

1

61.

1

0,0135

fin x dx = ~2 fon x ~ dx =~fu du 2 2

87.

Falso:

2

X

88.

Verdadero

89.

Falso:

X

f~ yT-7 dx = 1

90.

f

lxl

~ dx

1

Verdadero

CAPÍTULOS Sección 8.1 (página 629) l.

2, 4, 8, 16, 32

S.

-1,

9.

3, 4, 6, 10, 18

14.

a

-L ±. -t n. -fz

3.

e

11.

32, 16, 8, 4, 2 16.

b

13.

d

Converge a 1

55.

Converge a O

Diverge

61.

Converge a O

51.

Diverge

57.

Converge a O

63.

Converge a O

67.

Monótona, acotada

71.

No monótona, acotada

75.

No monótona, acotada

77.

h)

53.

59.

65.

..........

-±,§.h. -fs 15.

Diverge

Converge a 1

)

-1

Límite= 5

Converge a ek 69.

No monótona, acotada 73.

Monótona, acotada

868 79.

Soluciones de los ejercicios impares

..........

b)

95.

0,4

H----~-112

a) h)

d)

-(),1

83.

Verdadero

98.

3

99.

Verdadero

100.

1

101.

= 10 - -n

an

h)

Toda sucesión monótona y acotada es convergente (Teorema 8.5). 3n

a=--

d)

" 4n + 1 Una sucesión no acotada no puede ser convergente.

a)

No

h)

n

1

2

3

4

5

A. $9.086,25 $9.173,33 $9.261,24 $9.349.99 $9.439.60 6

n

v_

97.

a)

e)

1+_ '5 ~ P= _ 1,6180 2

1

Límite=-

81.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 1, 2, 1,5, 1,6667, 1,6, 1,6250, 1,6154, 1,6190, 1,6176, 1,6182

7

8

9

10

n-+ oo

Sección 8.2 (página 641)

l.

1, 1,25, 1,361, 1,424, 1,464

3.

3, -1 ,5, 5,25, -4,875, 10,3125

S.

3, 4,5, 5,25, 5,625, 5,8125

7.

lím an n---+ a:_,

=1

h)

Presupuesto

1

2

$2.000.000.000

$1.600.000.000

Año Presupuesto

87.

e)

Converge a O

a)

an

3

4

$1.280.000.000

$1.024.000.000

Serie geométrica: r = 1,055 > 1 lím an =

n-""

19.

Serie geométrica: r = 0,9 < 1

21.

1 1 Serie telescópica: a" = - - - n n+ 1

23.

e; 3

27.

a) b)

e)

100

91.

a)

ag =a¡ o= _5_6_7_

h)

Decreciente Las factoriales crecen más deprisa que las exponenciales.

e)

93.

29.

25.

b; 3

a; 3

26.

d; 3

20 n

5

s.

8,1902

10

20

50

100

13,0264 17,5685 19,8969 19,9995

2r2=====1

... .. .. .

11

d)

Los términos de la serie decrecen en magnitud con relativa lentitud y la sucesión de sumas parciales tiende hacia la suma de la serie de forma relativamente lenta.

a) h)

~

1.562.500

1, 1,4142, 1,4422, 1,4142, 1,3797, 1,3480; Converge a 1

24.

o • o

$1.294

o

=F O

Serie geométrica: r =a< 1

IJ:l

5 6 = 240,5 7 = 440,5 8 = 810,59 = 1.490, 5 10 = 2.740

!

17.

= 697,32 + 59,69n

89.

lím an = 1 =F n-oc

13.

900

h)

9.

Serie geométrica: r = ~ > 1

$2.500.000.000(0,8)" Año

o

=F

11.

15. a)

Verdadero

1,4142, 1,8478, 1,9616, 1,9904, 1,9976 lím an = 2

A. $9.530,06 $9.621,39 $9.713,59 $9.806,68 $9.900,66 85.

Verdadero

n

s.

5

10

20

50

100

13,3203 13,3333 13,3333 13,3333 13,3333

Soluciones de los ejercicios impares e)

.LJ,

869

87.

I

89.

31. 41.

Los términos de la serie decrecen en magnitud con relativa lentitud y la sucesión de sumas parciales tiende hacia la suma de la serie de forma relativamente lenta.

2

33.

l

43.

3

10

35.

3

37.

9

I""

45.

4

-

n=O 00

47.

3

I n=O

40

39..

4

Diverge

55.

Converge

61.

a)

1

n

Verdadero

90.

91.

Falso: la serie debe empezar con n =O para que el límite sea a/(1 - r)

92.

Verdadero

Sección 8.3 (página 649)

4

co,l)" =9

l.

Diverge

3.

7.

Diverge

9.

Converge Diverge Diverge

S.

Converge

11.

Converge Diverge

13.

p> 1

53.

Diverge

19.

Converge

21.

Converge

Diverge

59.

Diverge

24.

d, diverge

25.

b, converge

27.

No. En algunos casos los términos decrecen hacia Otan lentamente que la serie no es convergente.

29.

a)

x

f(x) =

n= 1

Converge

57. 1 _ x'

]

4

5

51.

ro

I - diverge

Falso:

/~

(o,oi)" = 66

49.

b)

JO

2

(La respuesta no es única)

(-1)

n=O

o

d)

I

1,

n=O

lxl <

15.

17.

23. 26.

a, diverge e, converge

1

e)

1: 1 : 1 :, 1 ,:, 1,:,.1 No. Como la magnitud de los términos de la serie va tendiendo a cero, se requieren más y más términos para aumentar en 2 la suma.

b)

63.

33.

r!::1

56~

37.

Los números de términos requeridos en las dos series son, respectivamente n = 100 y n = 5. La segunda serie converge más rápidamente.

67.

80.000(1 - 0,9")

73.

a) b)

126 pulgadas cuadradas 128 pulgadas cuadradas

75.

a) e)

$5.368.709,11 $21.474.836,4 7

a)

$16.415,10

79.

a)

$118.!96,13

85.

$3.623.993,23

~

0,0015 1,0811

35.

5,6 X w-s 0,4049

39.

69.

b)

152,42 pies

71.

43.

No. Como

b)

R 10 5 10

~

0,0997 0,9818

~

N:;;, 7

I

41.

1

- también diverge.

00

4s. b)

k

1

I - 1- 1 = 0,4665 + o,2987 + 0.2116 +

n=2 n ' + 0,1703 + 0,1393 + ...

I -1- = o,n13 + o,3o34 + o,I8o3 +

n=z n In~ + 0,1243 + 0,0930 + ...

$10.737.418,23 $16.421,83 $118.393,43

N :;;, 2

n= 1 n n= 10.000 n En la convergencia o divergencia de una serie no influyen unos cuantos primeros términos.

e) 00

b)

1

I - diverge, CX)

-]

77.

R4 ~

54

Asíntota horizontal: y = 6 La altura de la asíntota horizontal es la suma de la serie. 65.

~

R6

47.

n

> e 40

1

I-n

49.

Diverge

51.

n= 1

53.

Converge

57.

Diverge

55. 59.

Diverge Converge

Converge

870

Soluciones de Jos ejercicios impares

Sección 8.4 (página 656)

l.

50.

1

1

n

n

a.=-, h.= 2

Falso: tomar

, y

10

c.=n

a)

53.

""

00

1 2·

I

n=ln

57.

1 3

I

n=ln

a,

1.0

8 4

··::~~~a¡l • "J V~,

J

k

12

1o

·f

~i~-~ l "l2

a,

0,2

·---.....-...• i--6_ • .. ,-_!