Calculo Vectorial

MATEMÁTICAS III Bernardo Acevedo .

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES Junio 2003

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Contenido Prologo

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1 Super…cies 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 De…nición de Super…cie . . . . . . . . . . . 1.3 Curvas de Nivel . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Super…cie Cuádrica . . . . . . . . . . 1.4.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Cilindro circular o elíptico . . . . 1.4.4 Cilindros Parabólicos: . . . . . . 1.4.5 Cilindros Hiperbólicos: . . . . . 1.4.6 Paraboloide elíptico o circular 1.4.7 Paraboloide hiperbólico . . . . . . . 1.4.8 Hiperboloide de una hoja . . . . . . 1.4.9 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.10 Hiperboloide de dos hojas . . . . . 1.4.11 Cono . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 4 4 6 6 6 7 8 9 9 11 11 12 12 13

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17 17 17 18 20 38 38 46

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2 Funciones 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Propiedades de los límites . . . . . . 2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Algunas propiedades de las derivadas iii

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CONTENIDO

2.5 2.6 2.7 2.8

2.4.3 Vector Gradiente . . . . . . . . . . . Interpretación Geométrica de la Derivada . . Derivadas de orden superior . . . . . . . . . Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Algunas propiedades: . . . . . . . . . Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Algunas propiedades de la diferencial

3 Regla de la cadena 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Función Implícita . . . . . . . . . . . . 3.3 Planos Tangentes y Rectas Normales . 3.4 Máximos y Mínimos . . . . . . . . . . 3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . 3.4.2 De…nicion de máximo absoluto 3.4.3 De…nición de máximo relativo . 3.4.4 De…nición de mínimo absoluto . 3.4.5 De…nición de Extremos . . . . 3.4.6 De…nición de punto crítco . . 3.4.7 De…nición de Matriz Hessiana 3.4.8 Criterio de la matriz Hessiana 3.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . .

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47 53 56 62 65 65 71

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91 91 103 114 117 117 117 118 119

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120 120 120 120 131

4 Integrales Dobles 141 4.1 Intoducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Rb 4.2 De…nición de f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 a

4.3 Partición de un rectángulo Q = [a; b] [c; d] . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4 De…nición de integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.5 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.6 Tipos de regiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.6.1 4.6.2 4.6.3

Tipo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Tipo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

CONTENIDO

v

5 Integrales triples. 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . 5.2 De…nción de Integral Triple . . . 5.2.1 Propiedades. . . . . . . . . 5.2.2 Tipos de Regiones . . . . 5.3 Matriz Jacobiana. . . . . . . . . . 5.4 Teorema del cambio de variable . 5.4.1 Cambio de variable lineal 5.4.2 Coordenadas Polares. . . . 5.4.3 Coordenadas cilíndricas. . 5.4.4 Coordenadas esféricas . .

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177 . 177 . 177 . 178 . 178 . 199 . 200 . 201 . 208 . 221 . 223

6 Aplicaciones de las integrales 239 6.1 Area entre curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6.2 Volúmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.3 Centro de masa, centroide y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7 Integrales de linea. 7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Integral de Linea de campos Escalares . 7.3 Area de un cilindro . . . . . . . . . . . . 7.4 Longitud de una curva . . . . . . . . . . 7.5 Integrales de linea de campos vectoriales 7.6 Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . 7.7 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . 7.8 Teorema de Green generalizado. . . . . .

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269 . 269 . 274 . 275 . 276 . 287 . 288 . 298 . 304

8 Super…cie 8.1 Intoduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 De…nición de Super…cie . . . . . . . . . . . 8.3 Algunas parametrizaciones. . . . . . . . . 8.4 De…nición de Integral de super…cie . . .

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309 309 309 309 311

8.5 Area de una super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.6 Integral de super…cie de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 8.7 Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 8.8 Teorema de stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

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vi

CONTENIDO

Prologo El objetivo del presente libro, es el de facilitar al estudiante de las carreras de ingeniería, la asimilación clara de los conceptos matemáticos tratados, pues es el fruto de un cuidadoso análisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas, basado en mi experiencia como docente de la Universidad Nacional sede Manizales. Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, toda vez que es una recopilación organizada y analizada de diferntes textos y de mi experiencia personal. Este texto constituye un material de consulta obligada de los estudiantes, el cual les genera un diálogo directo con el profesor. Bernardo Acevedo Frías profesor asociado

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viii

PRÓLOGO

Capítulo 1 Super…cies 1.1

Introducción

En este primer capítulo se presenta el concepto de super…cie y se hace un estudio detallado de las super…cies cuádricas y al …nal se presenta una sección de ejercicios para que sean resueltos por los estudiantes y así puedan clari…car mejor sus conceptos.

1.2

De…nición de Super…cie

El conjunto solución de la ecuación f (x; y; z) = 0; es el conjunto de todos los puntos (x; y; z) 2 R3 ; que satisfacen la ecuación y la representación geométrica del conjunto solución se llama el grá…co de la ecuación y al grá…co de una ecuación de la forma f (x; y; z) = 0 se llama super…cie. Ejemplo 1.1 El grá…co de la ecuación z 1 = 0; se observa en la …gura siguiente, es la super…cie del plano y se representa por la ecuación z = 1

1

2

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

Ejemplo 1.2 El grá…co de la ecuación x2 + y 2 en la …gura

z 2 = 1 es la super…cie que se observa

z y x

Ejemplo 1.3 El grá…co de la ecuación z = la …gura

Ejemplo 1.4 EL grá…co de la ecuación z la …gura

p

x2 + y 2 es la super…cie que se observa en

jyj = 0 es la super…cie que se observa en

Ejemplo 1.5 EL grá…co de la ecuación z x2 y se representa por la ecuación z = x2 + y 2

y 2 = 0; es la super…cie del paraboloide

1.2. DEFINICIÓN DE SUPERFICIE

Ejemplo 1.6 EL grá…co de la ecuación z en la …gura

3

sin y = 0; es la super…cie que se observa

Ejemplo 1.7 El grá…co de la ecuación x2 + y 2 + z 2 1 = 0; es la super…cie de una esfera y se observa en la …gura siguiente, y se representa por x2 + y 2 + z 2 = 1

Ejemplo 1.8 EL grá…co de la ecuación z …gura

x2 = 0; es la super…cie que se observa en la

4

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

Ejemplo 1.9 EL grá…co de la ecuación x2 + y 2 observa en la …gura

1 = 0; es la super…cie del cilindro y se

Un método útil de gra…car una super…ce es por medio de las Curvas de nivel que exponemos a continuación.

1.3 1.3.1

Curvas de Nivel De…nición

La curva de intersección de una super…ce con el plano z = k (constante) o con x = k (constante) o con y = k (constante), se llama Curva de nivel. Para hallar las ecuaciones que representan las curvas de nivel de una super…cie representada por f (x; y; z) = 0 con z = k; se reemplaza z por k en la ecuación f (x; y; z) = 0 , para obtener f (x; y; k) = 0 y si gra…camos las curvas que representan estas ecuaciones en el plano z = k, obtenemos las curvas de nivel con z = k, y si las gra…camos en el plano xy obtenemos lo que se llama un Mapa de Contorno. En forma análoga se obtienen las curvas de nivel con el plano x = k o y = k: Ejemplo 1.10 Hallar las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con z = k: Las ecuaciones que representan las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con z = k p son k = x2 + y 2 ; para k 0; cuyos grá…cos son circunferencias con centro (0,0) y radio k,

1.3. CURVAS DE NIVEL

5

por ejemplo si k = 0; entonces x2 + y 2 = 0; que tiene por solución (0; 0) y así la curva de nivel es el punto (0; 0; 0): si k = 1; entonces x2 + y 2 = 1; cuyo grá…co en el plano xy es una circunferencia con centro (0,0) y radio 1, y la curva de nivel es el grá…co de esta circunferencia en el plano z=1 si k = 2; entoncespx2 + y 2 = 2; cuyo grá…co en el plano xy es una circunferencia con centro (0,0) y radio 2; y la curva de nivel es el grá…co de la circunferencia en el plano z=2 El mapa de contorno para z = k, consiste en gra…car x2 + y 2 = k para k 0 en el plano xy

Las ecuaciones que representan las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con y = k son z = x2 + k 2 ; cuyos grá…cos son parábolas para todo k 2 R: En forma análoga, las ecuaciones que representan las curvas de nivel de z = x2 + y 2 con x = k;son z = k 2 + y 2 ; cuyos grá…cos son parábolas para todo k 2 R: Ejemplo 1.11 Si x2 + y 2 + z 2 = 4; las ecuaciones que representan las curvas de nivel con z = k vienen dadas por x2 + y 2 = 4 k 2 para 2 k 2 pues 4 k 2 0; si p 2 2 2 solo si 4 k si solo si 2 k si solo si 2 jkj si solo si 2 k 2; cuyos grá…cos son circunferencias en sus respectivos planos, por ejemplo si k = 0; x2 + y 2 = 4; la curva de nivel es una circuenferencia y se gra…ca en z = 0 si k = 1; x2 + y 2 = 3; la curva de nivel es una circuenferencia y se gra…ca en z = 1 si k = 2; x2 + y 2 = 0; cuyo grá…co es (0; 0) y las curvas de nivel los puntos (0; 0; 2) ; (0; 0; 2) z

y x

6

1.4 1.4.1

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

Super…cie Cuádrica De…nición

Super…cie Cuádrica, es el grá…co de una ecuación de la forma Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Lx + M y + Qz + P = 0 donde A,B,C,D,E,F,L,M,Q,P son constantes. De la anterior ecuación se puede deducir las ecuaciones siguientes:

1.4.2

Plano

Es el grá…co de la ecuación Ax + By + Cz D = 0: Su grá…co si existe, está representado por un plano y la ecuación se conoce como la ecuación del plano. Ejemplo 1.12 El grá…co de las ecuaciones z = 1; z = 0; x = 1; se pueden observar en la …gura siguiente

x = 0; son planos y

Al plano z = 0; se llama el plano xy; al plano y = 0; se llama el plano xz; al plano x = 0; se llama el plano yz Ejemplo 1.13 El grá…co de las ecuaciones x + y = 4; x + z = 4; y + z = 4; son planos. Sus grá…cos se observan en la …gura:

1.4. SUPERFICIE CUÁDRICA

7

Para gra…car la ecuación x + y = 4; observemos que las curvas de nivel con z = k; es siempre la misma ecuación x + y = 4 (una recta) en z = k; luego para obtener el grá…co, gra…camos x + y = 4; en cada plano z = k Para gra…car x + z = 4; se hace y = k para obtener x + z = 4 y se gra…ca siempre la misma ecuación x + z = 4 en cada plano y = k; en forma análoga para gra…car y + z = 4; se hace x = k. Ejemplo 1.14 Para gra…car x + y + z = 4; se puede hacer con cualquier curva de nivel z=k o x=k o y=k Si z = k entonces las curvas de nivel son x + y = 4 k para k = 0; x + y = 4; su grá…co es una recta en el plano para k = 1; x + y = 3; su grá…co es una recta en el plano para k = 2; x + y = 2; su grá…co es una recta en el plano para k = 4; x + y = 0; su grá…co es una recta en el plano curvas de nivel se pueden observar en la …gura

; k 2 R pues z=0 z=1 z=2 z = 4 y el grá…co con sus

ó también para gra…car la ecuación x + y + z = 4; encontramos 3 puntos y hacemos pasar el plano por esos puntos, por ejemplo: Si x = y = 0; entonces z = 4 Si x = z = 0; entonces y = 4 Si y = z = 0; entonces x = 4; y asi gra…camos los puntos (4; 0; 0); (0; 4; 0) y (0; 0; 4); y hacemos pasar el plano por allí.

1.4.3

Cilindro circular o elíptico

Es el grá…co de la ecuación x2 y 2 + 2 =1 a2 b

ó

x2 z 2 + 2 =1 a2 c

ó

y2 z2 + 2 =1 b2 c

8

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

donde a,b,c son números reales positivos. Si a = b; en la primera ecuación, el grá…co de x y2 + = 1 se llama cilindro circular, y si a 6= b, el grá…co se llama cilindro elíptico. a2 b 2 x2 y 2 Para hacer el grá…co de 2 + 2 = 1; se torma z = k y sus curvas de nivel son las a b y2 x2 grá…cas de 2 + 2 = 1 en z = k; que son elipses para todo k, luego para hacer su a b x2 y 2 grá…co, en cada plano z = k, gra…que la elipse 2 + 2 = 1. En forma análoga se torma a b x2 z 2 y2 z2 y = k para gra…car 2 + 2 = 1 y x = k para gra…car 2 + 2 = 1 a c b c 2

z y x

1.4.4

Cilindros Parabólicos:

Las grá…cas de y = x2 ; x = z 2 ; y = (x 1)2 ; y = z 2 ; y 3 = (x 2)2 ; z = 4 y 2 representan cilindros parabólicos. Para gra…car por ejemplo z = y 2 ; se toman las curvas de nivel por x = k, ya que la curva de nivel es siempre la misma ecuación z = y 2 y para hacer su grá…co, se gra…ca la parábola z = y 2 en cada plano x = k

z

y x

1.4. SUPERFICIE CUÁDRICA

1.4.5

9

Cilindros Hiperbólicos:

x2 z2 Las grá…cas de x2 y 2 = 1; y 2 x2 = 4; z 2 y 2 = 1; z 2 x2 = 10; =1 4 9 representan cilindros hiperbólicos. Si gra…camos por ejemplo la ecuación y 2 x2 = 4; se torma z = k; pues las curvas de nivel son las mismas curvas en cada plano para z = k

z

y x

1.4.6

Paraboloide elíptico o circular

Es el grá…co de una de las ecuaciones x2 y 2 + = cz ; a > 0; b > 0; c 6= 0; a2 b 2

x2 z 2 z2 y2 + = by ; b = 6 0 o + = ax ; a 6= 0 a2 c 2 c 2 b2 x2 y 2 + es tomar z = k y gra…car las curvas de Una forma sencilla de gra…car z = 4 9 x2 y 2 nivel, así: Si z = k = 0; entonces la curva de nivel es el grá…co de + = 0 en z = 0, 4 9 x2 y 2 el punto (0; 0; 0): Si k = 1; la curva de nivel es el grá…co de + = 1 una elipse 4 9 en el plano z = 1 x2 y 2 si k = 2; la curva de nivel es el grá…co de + = 2 una elipse en el plano z = 2 4 9 x2 y 2 y para z = k > 0; las curvas de nivel son los grá…co de las elipses + = k en cada 4 9 plano También se puede hallar las curvas de nivel con los planos coordenados (llamadas x2 y 2 trazas), gra…carlas y luego utilizar las curvas de nivel que se necesiten así: Si z = + 4 9 entonces x2 y 2 y2 x2 con z = 0; + = 0 el punto (0; 0; 0); con x = 0; z = ; con y = 0; z = 4 9 9 4 2 2 x y En forma análoga si + = z , el grá…co es hacia abajo, …gura siguiente 4 9 o

10

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

z y x

y en forma análoga se gra…ca: x2 z 2 + 2 = by a2 c

Ejemplo 1.15 Gra…car z = 16

x2

y

z2 y2 + 2 = ax c2 b

y2

Si z = 16 x2 y 2 ; entonces las ecuaciones que representan las curvas de nivel con los planos coordenados son: Si z = 0; 16 x2 y 2 = 0; una circunferencia en el plano z = 0 Si x = 0; z = 16 y 2 ; cuyo grá…co es una parábola abriéndose hacia abajo en el plano zy Si y = 0; z = 16 x2 ; cuyo grá…co es una parábola abriéndose hacia abajo en el plano zx

z

y x

1.4. SUPERFICIE CUÁDRICA

1.4.7

11

Paraboloide hiperbólico

Es el grá…co de la ecuación x2 a2

y2 = cz; a > 0; b > 0; c 6= 0; o b2

x2 a2

z2 = by; b 6= 0 ó c2

z2 c2

y2 = ax ; a 6= 0 b2

Por ejemplo, si queremos gra…car x2 y 2 = z, buscamos las ecuaciones que representan las curvas de nivel así: Si z = 0; x2 y 2 = 0; dos rectas y = x Si x = 0; y 2 = z; cuyo grá…co es una parábola abriendose hacia abajo en el eje z Si y = 0; x2 = z; cuyo grá…co es una parábola abriendose hacia arriba en el eje z Si z = k > 0; cuyo grá…co son hiperbolas abriendose en el eje x x2 y 2 = k Si z = k < 0; cuyo grá…co son hipérbolas abriendose en el eje y

z x y

Las demás grá…cas se hacen en forma análoga.

1.4.8

Hiperboloide de una hoja

Es el grá…co de la ecuación x2 y 2 + 2 a2 b

z2 x2 = 1; o c2 a2

y2 z2 + 2 = 1; b2 c

o

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1; a > 0; b > 0; c > 0 a2 b c

Si se quiere gra…car x2 + y 2 z 2 = 1; tomaremos las curvas de nivel por z = k y gra…caremos las circunferencias x2 + y 2 = 1 + k 2 en cada plano z = k o también hallamos las trazas y las gra…camos así: Si z = 0; la ecuación de la curva de nivel es x2 + y 2 = 1; ecuación que representa una circunferencia Si y = 0; la curva de nivel es x2 z 2 = 1; ecuación que representa una hipérbola Si x = 0; la ecuación de la curva de nivel es y 2 z 2 = 1; ecuación que representa una hipérbola

12

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

z y x

En forma análoga se gra…can los demás ecuaciones

1.4.9

Elipsoide

Es el grá…co de la ecuación x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1; a > 0; b > 0; c > 0 a2 b c Por ejemplo si se quiere gra…car la ecuación x2 y 2 z2 + + = 1; su grá…co se hará con las curvas de nivel con z = k; pues las 4 9 25 x2 y 2 k2 curvas de nivel son + =1 ; cuyas grá…cas son circunferencias si 5 k 5 4 9 25 o con las trazas que son las curvas de nivel con los planos coordenados así: x2 y 2 z = 0; + = 1; la curva de nivel es una elipse en el plano xy 4 9 y2 z2 x = 0; + = 1; la curva de nivel es una elipse en el plano yz 9 25 x2 z 2 y = 0; + = 1; la curva de nivel es una elipse en el plano xz 4 25

1.4.10

Hiperboloide de dos hojas

Es el grá…co de la ecuación x2 a2

y2 b2

z2 = 1; o c2

x2 a2

y2 z2 + = 1; b2 c 2

ó

x2 y 2 + a2 b 2

z2 = 1 a > 0; b > 0; c > 0 c2

1.4. SUPERFICIE CUÁDRICA

13

Si por ejemplo se quiere gra…car x2 y 2 + z 2 = 1; entonces las curvas de nivel son: para z = 0; x2 y 2 = 1 ecuación que no representa ningún lugar geométrico para x = 0; z 2 y 2 = 1; ecuación que representa una hipérbola para y = 0; z 2 x2 = 1; ecuación que representa una hipérbola Si z = k; x2 +y 2 = k 2 1; k < 1; k > 1, ecuación que representa circunferencias

z

y x

En forma análoga se gra…can los demás ecuaciones.

1.4.11

Cono

Es el grá…co de la ecuación x2 y 2 z2 + 2 = 2 ó a2 b c

y2 z2 x2 + 2 = 2 ó b2 c a

x2 z 2 y2 + 2 = 2 ; a > 0; b > 0; c > 0 a2 c b

Por ejemplo si se tiene x2 + y 2 = z 2 ; una forma fácil para hacer el grá…co de esta ecuación, es tomar las curvas de nivel con z = k; que son x2 + y 2 = k 2 ; cuyos grá…cos son circunferencias en sus respectivos planos

z

y x

14

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

En forma análoga se gra…can los demás ecuaciones Ejercicio 1 1. Hacer un bosquejo del sólido limitado por el grá…co de la ecuación x2 + y 2 + z 2 = 9 2. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x2 + y 2 + z 2 = 9; z = 1; z

1

3. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x2 + y 2 + z 2 = 9; z = 1; z

1

4. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z = 7; z =

1; y = 6; x = 3; x = 0; y = 0

: 5. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x2 + y 2 = 9; z = 4; z =

2

6. Hacer un bosquejo delsólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x = 0; y = 0; z = 0; x + y = 6; z = 7 7. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z = x2 + y 2 ; z = 6: 8. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z = x; z = 0; y 2 = 4

x

9. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z = 0; z = 5; y = 9; y = x2

1.4. SUPERFICIE CUÁDRICA

15

10. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes 3z = x2 + y 2 ; x2 + y 2 + z 2 = 4 ( parte común) 11. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z=4

jxj

jyj ; z = 0

12. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x2 + y 2 + z 2 = 9; z = 0; z

0

13. Hacer un bosquejo del sólido limitado por el grá…co de la ecuación x2 + y 2 + (z

9)2 = 81

14. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x + y = 5; y 2 = 2x

2; z = 4; z = 0:

15. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x2 + y 2 + z 2 = 9; x2 + y 2 = 5 (parte común) 16. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x2 + y 2 + z 2 = 9; x2 + y 2 = z 2 (parte común) 17. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z = x2 + y 2 ; z = x:

18. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z = x2 + y 2 ; z = y

16

CAPÍTULO 1. SUPERFICIES

19. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes 2z = x2 + y 2 ; x2 + y 2 = 2x; z = 0 20. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes(común) x2 + y 2 + z 2 = 1; x2 + y 2 + (z

1)2 = 1

21. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes p x2 + y 2 ; z = 2 z = 16 22. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes z=4

x2 ; y = 0; y = 9; z = 0

23. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes p z = x2 + y 2 ; z = x2 + y 2 :

24. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes p z = 9 x2 y 2 ; x2 + y 2 = 1; z = 0: 25. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes p z = x2 + y 2 ; z = 4:

26. Hacer un bosquejo del sólido limitado por los grá…cos de las ecuaciónes x+y +z = 6; y los planos coordenados :

Capítulo 2 Funciones 2.1

Introducción

En este capítulo se presenta, el concepto de función, límites y derivadas de funciones de varias variables, el vector gradiente y sus propiedades, las derivadas de orden superior, la derivada direccional de una función, sus propiedades, la diferencial, su de…nición, sus principales propiedades y una variedad de ejemplos en los diversos temas, para que el estudiante pueda comprender con mayor claridad estos conceptos

2.2

De…nición

Sea D Rn , una función f : D ! R es una regla que asigna a cada punto x en D, un número real único, denotado por f (x): El conjunto D se llama Dominio de la función y al conjunto de todos los números reales f (x) con x 2 D se llama recorrido de la función. A las funciones f : D ! R; con D Rn ; se llaman campos escalares y a las funciones f : D ! Rm ; se llaman campos vectoriales, así por ejemplo f (x; y) = x + y; (f : R2 ! R) es un campo escalar o una función real de dos variables reales y por ejemplo f (x) = (x; sinx; cosx) (f : R ! R3 ) es una función vectorial de variable real y f (x; y) = (x + y; x y; y) (f : R2 ! R3 ) es un campo vectorial Ejemplo 2.1 f (x; y) = x2 + y 2 : Su dominio es R2 y su recorrido [0; +1) Ejemplo 2.2 f (x; y) = 4 Ejemplo 2.3 p f (x; y) = 25 Rf = [0; 5]

x2

jxj

jyj, Dominio R2

y 2 ; Df = (x; y) j 25

17

x2

y su recorrido ( 1; 4] y2

0 = (x; y) j x2 + y 2

25

18

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.4 f (x; y) = sin(xy);

Dominio todo R2 y recorrido [ 1; 1]

Ejemplo 2.5 f (x; y) = arcsen(xy); Dominio f(x; y) j p

x; Dominio f(x; y) j x 0g p Ejemplo 2.7 f (x; y) = y x2 ; Dominio f(x; y) j y

Ejemplo 2.6 f (x; y) =

1

1g y recorrido

xy

Ejemplo 2.10 f (x; y) = x2

;

2

y recorrido [0; +1) x2 g y recorrido [0; +1)

Ejemplo 2.8 f (x; y) = arctan(x + y); Dominio todo R2 y recorrido Ejemplo 2.9 f (x; y) = ln(x2 + y 2 ); Dominio todo R2

2

2

;

2

f(0; 0)g y recorrido R

y 2 ; Dominio todo R2 y recorrido R

Ejemplo 2.11 f (x; y) = 1; Dominio todo R2 y recorrido f1g ( 2 2 x y si x 6= y x y Ejemplo 2.12 f (x; y) = Dominio todo R2 2 x=y Ejemplo 2.13 f (x; y; z) = Ejemplo 2.14 f (x; y; z) =

x y+z x2 +y 2 +z 2

0

si si

(x; y; z) 6= (0; 0; 0) Dominio todo R3 (x; y; z) = (0; 0; 0)

p x2 + y 2 + z 2 Dominio todo R3 y recorrido [0; 1)

Ejemplo 2.15 f (x; y) = arcsin(x + y) Dominio

2.3

1

x+y

1 y recorrido [

=2; =2]

Límites

En esta sección, se trata el concepto de límite, sus principales propiedades y una variedad de ejemplos resueltos, al igual que una sección de ejercicios propuestos con sus respuestas respectivas. Recordemos que en una variable si los valores de f (x) se encuentran arbitrariamente cercanos a un número real …jo L, para todos los valores su…cientemente próximos a a, decimos que la función f (x) tiene límite L cuando x tiende a a y escribimos lim f (x) = L

x!a

En forma más rigurosa se dice que

2.3. LÍMITES

19

lim f (x) = L

x!a

si solo si, para todo " > 0, existe 0 < jx

> 0 tal que si implica que jf (x)

aj <

Lj < "

Recordemos que jx

jf (x)

aj <

sisi

Lj < " si solo si

0; no existe x2(

> 0 tal que si

; ) ) f (x) 2 (L

"; L + ")

pues para valores positivos de x, sus imágenes están en (1 "; 1 + "); pero para x negativo sus imágenes no están allí. En forma análoga con ( 1 "; 1 + "): El tratado de límites en varias variables se hace en forma similar al de una variable, pues lim f (x; y) = L si solo si (8" > 0) (9 > 0) (x;y)!(a;b)

tal que si 0 < j(x; y) En otras palabras

lim

(x;y)!(a;b)

Lj < "

f (x; y) = L si solo si (8" > 0) (9 > 0) tal que si

a)2 + (y

(x

) jf (x; y)

(a; b)j <

b)2 <

2

implica f (x; y) 2 (L

"; L + ")

luego, si para todo (x; y) cerca de (a; b) por todas partes, sus imágenes se acercan a un número real …jo L, entonces se puede a…rmar que lim f (x; y) = L; y que en otro (x;y)!(a;b)

caso el límite no existe. Ejemplo 2.17 Se puede demostrar que: lim

(x;y)!(a;b)

2.3.1

x = a;

lim

(x;y)!(a;b)

y = b;

lim

(x;y)!(a;b)

k = k;

Propiedades de los límites

1. El límite cuando existe es único. 2. Si lim

(x;y)!(a;b)

y

f (x; y) = A;

lim

(x;y)!(a;b)

g(x; y) = B entonces

(a) lim

(x;y)!(a;b)

[f (x; y)

g(x; y)] =

lim

(x;y)!(a;b)

f (x; y)

lim

(x;y)!(a;b)

g(x; y) = A

(b) lim

(x;y)!(a;b)

(f g)(x; y) =

lim

(x;y)!(a;b)

f (x; y)

lim

(x;y)!(a;b)

g(x; y) = A:B

B

2.3. LÍMITES

21

(c) lim

(x;y)!(a;b)

lim

f g

(x; y) =

(x;y)!(a;b)

f (x; y) =

A ; B 6= 0 B

lim

g(x; y)

lim

g(x; y) = 0 entonces

(x;y)!(a;b)

3. Si lim

(x;y)!(a;b)

f (x; y) = A 6= 0 y

(x;y)!(a;b)

f (x; y) (x;y)!(a;b) g(x; y)

no existe

lim

Ejemplo 2.18 Calcular el valor de x2 + y (x;y)!(1;1) xy + 2 lim

En efecto: x2 + y lim = (x;y)!(1;1) xy + 2

lim

x

lim

(x;y)!(1;1) (x;y)!(1;1)

lim

x

lim

x+

(x;y)!(1;1) (x;y)!(1;1)

y+

lim

(x;y)!(1;1)

lim

(x;y)!(1;1)

y

2

=

2 3

aplicando las propiedades de los límites Ejemplo 2.19 Calcular el valor de x2 + y 2 + 1 (x;y)!(0;0) xy lim

En efecto : x2 + y 2 + 1 no existe, pues (x;y)!(0;0) xy lim

lim

(x;y)!(0;0)

x2 +y 2 +1 = 1 6= 0 y

lim

(x;y)!(0;0)

xy = 0

Ejemplo 2.20 x2 + y 2 + 4 4 = =2 (x;y)!(0;0) xy + 2 2 lim

Ahora se mostrarán algunos ejemplos cuando no es aplicable la teoría, por ejemplo si al reemplazar nos queda una forma indeterminada como por ejemplo 00 ; que se debe hacer:

22

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.21 Calcular el valor de y2 lim p (x;y)!(0;0) y

xy p x

En efecto : y2 p (x;y)!(0;0) y

xy y(y x) p = lim p p = x (x;y)!(0;0) y x p p p x)( y + x) p p p p = lim y( y + x) = 0 x)( y + x) (x;y)!(0;0)

lim

=

y(y p (x;y)!(0;0) ( y lim

En este caso hay que racionalizar el denominador y luego simpli…car. Ejemplo 2.22 Calcular el valor de x+y 4 p (x;y)!(2;2) x + y 2 lim

En efecto : p (x + y 4)( x + y + 2) x+y 4 p p = lim lim p = (x;y)!(2;2) x + y 2 (x;y)!(2;2) ( x + y 2)( x + y + 2) p p (x + y 4)( x + y + 2) = lim x+y+2=4 = lim (x;y)!(2;2) (x;y)!(2;2) x+y 4 En este ejemplo hay que racionalizar el denominador y luego simpli…car

Ejemplo 2.23 Calcular el valor de lim

(x;y)!(1;1)

xy

y x

2x + 2 1

En efecto : lim

xy

(x;y)!(1;1)

=

lim

y x

2x + 2 y(x = lim (x;y)!(1;1) 1

(x

1)(y 2) = lim (y (x;y)!(1;1) (x 1)

(x;y)!(1;1)

En este ejemplo hay que factorizar y luego simpli…car

1) x

2(x 1 2) =

1)

1

2.3. LÍMITES

23

Ejemplo 2.24 Calcular el valor de 2

2

ex +y 1 lim 2 2 (x;y)!(0;0) x + y En efecto : 2

2

eu 1 ex +y 1 eu lim = lim = lim = 1 haciendo u = x2 + y 2 u!0 u!0 1 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 u En este ejemplo hay que hacer un cambio de vaiable y luego aplicar lo conocido Ejemplo 2.25 Calcular el valor de tan(x + y) (x;y)!(0;0) x+y lim

En efecto : tan(x + y) tan(u) sin(u) = lim = lim u!0 u!0 (x;y)!(0;0) x+y u u lim

1 = cos(u)

1 sin(u) lim = 1 haciendo u = x + y u!0 u u!0 cos u En este ejemplo hay que hacer un cambio de vaiable y luego aplicar las propiedades de límites = lim

Ejemplo 2.26 Calcular el valor de lim

(ex

(x;y)!(0;0)

1)(e2y xy

1)

En efecto : lim

(x;y)!(0;0)

=

(ex

1)(e2y xy

1)

=

2(ex 1) (x;y)!(0;0) x lim

(e2y 1) = 2y

2(ex 1) (e2y 1) lim =2 1=2 (x;y)!(0;0) (x;y)!(0;0) x 2y lim

Ejemplo 2.27 Calcular el valor de (x3 (x;y)!(1;1) (x lim

1)(y 4 1)(y 2

1) 1)

24

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

En efecto : (x3 lim (x;y)!(1;1) (x =

lim

(x;y)!(1;1)

1)(y 4 1)(y 2

1)(x2 + x + 1)(y 2 1)(y 2 + 1) (x 1)(y 2 1)

1) (x = lim (x;y)!(1;1) 1)

(x2 + x + 1)(y 2 + 1) = 3 2 = 6

En este ejemplo hay que factorizar y luego simpli…car Ahora en una forma general, si se quiere demostrar que lim

(x;y)!(a;b)

f (x; y) = L

se puede hacer de la forma siguiente: Se busca una función h(x; y) que satisfaga la desigualdad 0 jf (x; y) Lj h(x; y) con lim h(x; y) = 0 ; (x;y)!(a;b)

ya que como lim

(x;y)!(a;b)

0=0 y

lim

(x;y)!(a;b)

h(x; y) = 0

se concluye por el teorema del emparedado que: lim

(x;y)!(a;b)

jf (x; y)

Ejemplo 2.28 Probar que

Lj = 0 y así

lim

(x;y)!(a;b)

f (x; y) = L

xy = 0: (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

En efecto : 0

xy jxj + jyj

0 =

ya que como

jxj

jxj + jyj ; entonces

0

xy jxj + jyj

así y como lim

(x;y)!(0;0)

0=

lim

(x;y)!(0;0)

xy jxyj jxj jyj = = jxj + jyj jxj + jyj jxj + jyj

0

jyj = 0 se concluye que

lo que implica que

jxj jxj + jyj

1

jyj

lim

(x;y)!(0;0)

xy =0 (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

jyj 1

xy jxj + jyj

0 =0

2.3. LÍMITES

25

Ejemplo 2.29 Probar que x4 y 3 3 = 0: (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

En efecto : 0

x4 y jxj3 + jyj3

0 =

x4 y x4 jyj jxj3 jxj jyj = = jxj3 + jyj3 jxj3 + jyj3 jxj3 + jyj3 ya que

así 0 y como lim

(x;y)!(0;0)

0=

lim

(x;y)!(0;0)

jxj3 jxj3 + jyj3

x4 y jxj3 + jyj3

0

jxj jyj

1

jxj jyj

jxj jyj = 0 se concluye que

lim

(x;y)!(0;0)

x4 y jxj3 + jyj3

0 =0

y así x4 y 3 3 = 0 (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

Ejemplo 2.30 Probar que sin(x2 y 2 ) = 0: (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

En efecto : sin(x2 y 2 ) jxj + jyj

0 =

jx

así

yj jx + yj jxj + jyj 0

como lim

(x;y)!(0;0)

0=

lim

(x;y)!(0;0)

0 =

jsin(x2 y 2 )j jxj + jyj

jx2 y 2 j jxj + jyj

(jxj + jyj) jx + yj = jx + yj jxj + jyj

sin(x2 y 2 ) jxj + jyj

0

jx + yj

jx + yj = 0 se concluye que

sin(x2 y 2 ) =0 (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

26

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.31 Probar que x2 y 2 3 3 = 0: (x;y)!(0;0) jxj + jyj lim

En efecto :

x2 y 2 jxj3 + jyj3

0 = así

x4 2 3

x2 y 2 0 = 3 jxj + jyj3

+

y4 2

jxj + jyj3

y4 jxj jxj3 jyj jyj3 x4 + = + 2 jxj3 + 2 jyj3 2 jxj3 + 2 jyj3 2 jxj3 + 2 jyj3 2 jxj3 + 2 jyj3 x2 y 2 jxj3 + jyj3

0 y como lim

(x;y)!(0;0)

0=

jxj jyj + 2 2

0

jxj jyj + = 0 se concluye que (x;y)!(0;0) 2 2 lim

Recuerde: x2

y2

2

si solo si x4

0

x4 + y 4

jxj jyj + 2 2

x2 y 2 3 3 = 0 (x;y)!(0;0) jxj + jyj

2x2 y 2 + y 4

2x2 y 2 si solo si

lim

0 si solo si

x4 y 4 + 2 2

x2 y 2

Ejemplo 2.32 Probar que lim

(x;y;z)!(0;0;0)

En efecto : 0 así

p

xyz x2 + y 2 + z 2

0 =p

x2 + y 2 + z 2

jxyzj

x2 + y 2 + z 2

0 y como

xyz

p

lim

=p

0

x2 + y 2 + z 2

(x;y;z)!(0;0;0)

0= lim

lim

(x;y;z)!(0;0;0)

(x;y;z)!(0;0;0)

x2

+ y2 + z2

=p

x2 jyj jzj

x2 + y 2 + z 2

jyj jzj

jyj jzj = 0

xyz

p

p

jxj jyj jzj

x2 + y 2 + z 2

xyz

p

=0

=0

se concluye que

jyj jzj

2.3. LÍMITES

27

Ejemplo 2.33 Probar que x2 + y 3 + z 4 3 = 0 (x;y;z)!(0;0;0) jxj + y 2 + jzj lim

En efecto : x2 + y 3 + z 4 jxj + y 2 + jzj3

0

0 =

jx2 + y 3 + z 4 j jxj + y 2 + jzj3

x2 + jy 3 j + z 4 jxj + y 2 + jzj3

y 2 jyj jzj3 jzj jxj jxj = + + jxj + y 2 + jzj3 jxj + y 2 + jzj3 jxj + y 2 + jzj3

así

x2 + y 3 + z 4 jxj + y 2 + jzj3

0 y como lim

(x;y;z)!(0;0;0)

0=

lim

(x;y;z)!(0;0;0)

lim

(x;y;z)!(0;0;0)

y asi

jxj + jyj + jzj

jxj + jyj + jzj

0

jxj + jyj + jzj = 0 se concluye que

x2 + y 3 + z 4 jxj + y 2 + jzj3

0 =0

x2 + y 3 + z 4 lim 3 = 0 (x;y;z)!(0;0;0) jxj + y 2 + jzj Ejemplo 2.34 Probar que xy 2 z lim 3 = 0 (x;y;z)!(0;0;0) x4 + y 2 + jzj En efecto : 0 así

xy 2 z x4 + y 2 + jzj3 0

como lim

(x;y;z)!(0;0;0)

0=

lim

(x;y;z)!(0;0;0)

0 =

jxj y 2 jzj jxj + y 2 + jzj3

xy 2 z x4 + y 2 + jzj3

0

jxj jzj ;

jxj jzj

jxj jzj = 0 se concluye que

xy 2 z 3 = 0 (x;y;z)!(0;0;0) x4 + y 2 + jzj lim

28

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.35 Probar que x (x;y)!(0;0) x + y lim

no existe.

En efecto : Hay que hallar 2 caminos diferentes en el dominio de la función, que pasen por (0; 0) y que tenga límites diferentes, por ejemplo, por el camino (x; x) se tiene x x x 1 = lim = lim = x!0 x + x x!0 2x (x;y)!(0;0) x + y 2 lim

y por el camino (x; 0)

x x = lim = 1 x!0 (x;y)!(0;0) x + y x lim

por lo tanto

x (x;y)!(0;0) x + y lim

Ejemplo 2.36

no existe.

x (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z lim

no existe.

En efecto : Hay que hallar 2 caminos diferentes en el dominio de la función, que pasen por (0; 0; 0) y que tenga límites diferentes, por ejemplo, por el camino (x; x; x) se tiene x x x 1 = lim = lim = x!0 x + x + x x!0 3x (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z 3 lim

y por el camino (x; 0:0) x x = lim = 1 x!0 x (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z lim

por lo tanto

x (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z lim

no existe.

Ejemplo 2.37 x2 lim (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2

no existe.

En efecto : Hay que hallar 2 caminos diferentes en el dominio de la función, que pasen por (0; 0; 0) y que tenga límites diferentes, por ejemplo, por el camino (x; x; x) se tiene x2 x2 x2 1 = lim = lim = 2 2 2 2 2 2 2 x!0 x + x + x x!0 3x (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z 3 lim

2.3. LÍMITES

29

y por el camino (x; 0:0) x2 x2 = lim =1 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 x2 lim

x!0

por lo tanto x2 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 lim

no existe.

Ejemplo 2.38 Probar que x2 y 2 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 lim

no existe.

En efecto : Hay que hallar 2 caminos diferentes en el dominio de la función, que pasen por (0; 0) y que tenga límites diferentes, por ejemplo, por el camino (x; x) se tiene 0 x2 y 2 = lim 2 = lim 0 = 0 2 2 x!0 2x x!0 (x;y)!(0;0) x + y lim

y por el camino (0; x) x2 y 2 = lim x!0 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 lim

y2 = lim ( 1) = y 2 x!0

1

por lo tanto x2 y 2 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 lim

no existe.

Ejemplo 2.39 x2 y 2 + z 2 lim no existe. (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 En efecto : Hay que hallar 2 caminos diferentes en el dominio de la función, que pasen por (0; 0; 0) y que tenga límites diferentes, por ejemplo, por el camino (x; x; x) se tiene x2 x2 x2 1 lim = lim 2 = lim 2 = 2 2 2 2 2 x!0 x!0 (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z x +x +x 3x 3 y por el camino (x; 0:0) x2 y 2 + z 2 x2 = lim =1 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 x2 lim

x!0

por lo tanto x2 y 2 + z 2 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 lim

no existe.

30

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.40 Probar que x2 + y 2 (x;y)!(0;0) xy lim

no existe.

En efecto : El camino (x; 0); (0; x) no se puede tomar, pues no pertenecen al dominio de la función, pero por el camino (x; x) x2 + y 2 x2 + x2 2x2 = lim = lim = lim 2 = 2 x!0 x!0 x2 x!0 (x;y)!(0;0) xy x2 lim

y por el camino (x; 2x) x2 + y 2 x2 + (2x)2 5x2 5 5 lim = lim = lim 2 = lim = x!0 x!0 2x x!0 2 (x;y)!(0;0) xy x(2x) 2 por lo tanto x2 + y 2 (x;y)!(0;0) xy lim

no existe.

Ejemplo 2.41 x3

lim

y3 + z3 xyz

(x;y;z)!(0;0;0)

no existe.

En efecto : Hay que hallar 2 caminos diferentes en el dominio de la función, que pasen por (0; 0; 0) y que tenga límites diferentes, por ejemplo, por el camino (x; x; x) se tiene x3

lim

y3 + z3 x3 x2 = lim 3 = lim 2 = 1 x!0 x x!0 x xyz

(x;y;z)!(0;0;0)

y por el camino (x; x; 2x) x3

lim

(x;y;z)!(0;0;0)

y3 + z3 8x3 = lim 3 = 4 xyz 2x x!0

por lo tanto lim

x3

y3 + z3 xyz

(x;y;z)!(0;0;0)

no existe.

Ejemplo 2.42 Probar que lim

xy +y

(x;y)!(0;0) x2

no existe.

2.3. LÍMITES

31

En efecto: Tomemos los caminos (x; 0) y (x; x3 x2 ): Así por por el camino (x; 0) se tiene xy 0 lim = lim = lim 0 = 0 x!0 x!0 x2 (x;y)!(0;0) x2 + y y por el camino (x; x3

x2 )

xy x(x3 x2 ) x3 (x 1) = lim = lim = lim (x x!0 x2 + x3 x!0 (x;y)!(0;0) x2 + y x2 x!0 x3 lim

por lo tanto

xy +y

no existe.

x2 y 2 (x;y)!(0;0) x3 + y 3

no existe.

lim

(x;y)!(0;0) x2

1) =

1

Ejemplo 2.43 Probar que lim

En efecto: Por el camino (x; 0) x2 y 2 0 = lim 3 = lim 0 = 0 3 3 x!0 x x!0 (x;y)!(0;0) x + y lim

y por el camino x;

p 3

x4

x3 2

q 3

(x4

x xy lim = lim x!0 x3 + x4 (x;y)!(0;0) x3 + y 3 2 2

x3 )2 x3

2 2

= lim

xx

q 3

(x

x4

x!0

1)2

= lim

x!0

q 3

(x

1)2 = 1

por lo tanto x2 y 2 (x;y)!(0;0) x3 + y 3 lim

no existe.

Se observa que si se está calculando el lim

(x;y)!(0;0)

f (x; y)

se buscan caminos de la forma (x; x); (x; mx); (mx; x); (x; mx2 ); (mx2 ; x); (x3 ; x); (x; x3 ); (x; x3

x2 ); (x; sin x)::::

32

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

que estén en el dominio de la función y que pasen por el punto. Análogamente si se pretende calcular lim f (x; y; z) (x;y;z)!(0;0;0)

se buscan los caminos de la forma (x; 0; 0); (x; x; 0); (0; x; 0):::(x; x2 ; 0); (0; x2 ; x):::(x; x5

x; x2 ):::

que estén en el dominio de la función y que pasen por el punto. Ejemplo 2.44 Mostrar que x2 y 2 + z 2 no existe 3 (x;y;z)!(0;0;0) jxj + jyj + jzj lim

Por el camino (x; 0; 0) se tiene que x2 1 x2 y 2 + z 2 = lim = lim 3 3 x!0 jxj x!0 jxj (x;y;z)!(0;0;0) jxj + jyj + jzj lim

que no existe, luego si el límite no existe por un camino, se concluye que x2 y 2 + z 2 no existe 3 (x;y;z)!(0;0;0) jxj + jyj + jzj lim

Ejemplo 2.45 Mostrar que xy 3 + z no existe. (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 6 + z 2 lim

Por el camino (x3 ; x; 0) xy 3 + z x3 x3 + 0 x6 1 1 = lim = lim = lim = 2 6 2 6 6 6 x!0 x + x + 0 x!0 2x x!0 2 (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z 2 lim

y por el camino (x; 0; 0) xy 3 + z 0 = lim = lim 0 = 0 x!0 x2 x!0 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 6 + z 2 lim

y así xy 3 + z no existe. (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 6 + z 2 lim

2.3. LÍMITES

33

Ejemplo 2.46 Analizar si x4 + y 4 existe o no. (x;y)!(0;0) x2 + y 2 lim

En efecto: Primero escogemos por lo menos un camino, por ejemplo (x; 0) y x4 + y 4 x4 = lim = lim x2 = 0 x!0 x2 x!0 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 lim

Luego de aquí se puede concluir que si existe el límite es 0 y lo probamos: 0

x4 + y 4 x2 + y 2

0 =

x4 + y 4 x2 x2 y2y2 = + x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2

x2 + y 2

como lim

(x;y)!(0;0)

0=

lim

(x;y)!(0;0)

x2 + y 2 = 0 se concluye que

x4 + y 4 =0 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 lim

Ejemplo 2.47 Analizar si xy 2 existe o no (x;y)!(0;0) x2 + y 4 lim

En efecto: Por el camino (x; 0) xy 2 0 = lim 2 = 0 2 4 x!0 (x;y)!(0;0) x + y x lim

luego si el límites existe es 0; y lo probaremos: 0 pero observe que no es fácil hallar

xy 2 x2 + y 4

0 =

jxj y 2 x2 + y 4

h(x; y) que sea mayor y que lim

(x;y)!(0;0)

h(x; y) = 0;

entonces hay que tratar de buscar otro camino cuyo límite no sea cero, por ejemplo: (x2 ; x) xy 2 x2 x2 x4 lim = lim = lim = lim 1=2 = 1=2 x!0 x4 + x4 x!0 2x4 x!0 (x;y)!(0;0) x2 + y 4 y así xy 2 lim no existe (x;y)!(0;0) x2 + y 4

34

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.48 Analizar si x2 y 2 + z 4 existe o no (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 z2 lim

En efecto: Por el camino (x; 0; 0) se tiene x2 x2 y 2 + z 4 = lim =1 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 z 2 x!0 x2 lim

y por el camino (x; x; 0) x2 y 2 + z 4 0 = lim 2 = lim 0 = 0 2 2 2 x!0 2x x!0 (x;y;z)!(0;0;0) x + y z lim

y así x2 y 2 + z 4 no existe (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 z2 lim

Ejemplo 2.49 Analizar si lim

(x;y;z)!(0;0;0) x4

xyz existe + y4 z4

En efecto: Por el camino (x; 0; 0) lim

(x;y;z)!(0;0;0) x4

xyz 0 = lim 4 = lim 0 = 0 4 4 x!0 x x!0 +y z

por el camino (x; x; x) xyz x3 1 = lim = lim que no existe, 4 4 4 4 x!0 3x x!0 3x (x;y;z)!(0;0;0) x + y z lim

luego

xyz no existe (x;y;z)!(0;0;0) x4 + y 4 z4 lim

Ejemplo 2.50 Analizar si lim

(x;y;z)!(0;0;0) x3

xyz existe + y3 + z3

En efecto: Por el camino (x; 0; 0) lim

(x;y;z)!(0;0;0) x3

xyz 0 = lim 3 = 0 3 3 x!0 x +y +z

2.3. LÍMITES Por el camino

35 (x; x; x) x3 1 xyz = lim = 3 3 3 3 x!0 3x (x;y;z)!(0;0;0) x + y + z 3 lim

luego lim

(x;y;z)!(0;0;0) x3

xyz no existe + y3 + z3

Ejemplo 2.51 Analizar si lim

(x;y;z)!(0;0;0)

(x2 + y 2 + z 2 ) sin

x2

1 + y2 + z2

existe

En efecto: Por el camino (x; 0; 0) lim

(x;y;z)!(0;0;0)

(x2 + y 2 + z 2 ) sin

x2

1 + y2 + z2

= lim x2 sin x!0

1 x2

; t=

1 x2

sin t =0 t!1 t

= lim pues 1

sin t

1)

1 t

sin t t

1 t

luego 0

(x2 + y 2 + z 2 ) sin

x2

1 + y2 + z2

0 = (x2 +y 2 +z 2 ) sin

entonces

x2

1 + y2 + z2

x2 +y 2 +z 2

1 =0 (x;y;z)!(0;0;0) + y2 + z2 Como conclución para demostrar que un límite no existe se toman caminos que pasen por el punto y que esten en el dominio de la función y si el valor del límite por dos caminos diferentes es distinto se concluye que el límite no existe, o si por un camino el limite no existe se concluye que el límite no existe. Si por varios caminos el límite es el mismo valor se concluye que si el limite existe este es el valor, pero puede ser que el limite no exista, entonces para solucionar esta insertidumbre hay que hacer la prueba. lim

(x2 + y 2 + z 2 ) sin

x2

Ejercicio 2 Solucionar los ejercicios siguientes 1. Probar que x4 yz =0 4 3 (x;y;z)!(0;0;0) jxj + jyj + z 2 lim

36

CAPÍTULO 2. FUNCIONES 2. Probar que x3

lim

x2 y + xy 2 x2 + y 2

(x;y)!(0;0)

3. Probar que lim

(x;y;z)!(0;0;0) x2

y3

=0

xyz =0 + y2 + z2

4. Probar que x3 + y 3 + z 3 =0 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 lim

5. Probar que xy 2 =0 (x;y)!(0;0) x2 + jxyj + y 2 lim

6. Probar que sin(xyz) =0 + y 2 + jzj

lim

(x;y;z)!(0;0;0) x2

7. Probar que

xy + xz + yz (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2

no existe

x5 y 5 + z 6 (x;y;z)!(0;0;0) x5 + y 5 + z 2

no existe

lim

8. Probar que lim

9. Probar que x2 y no existe (x;y)!(0;0) x4 + y 2 lim

10. Probar que x3 (x;y)!(0;0) x

y3 y

lim

11. Probar que lim

(x;y)!(0;0)

p

12. Probar que lim

p

x x

(x;y)!(0;0)

p

y

y x x

y p

=0

no existe

y

=0

2.3. LÍMITES

37

13. Probar que x + y 16 p (x;y)!(8;8) x + y 4 lim

=8

14. Probar que sin x (x;y)!(0;0) x lim

sin y =1 y

15. Probar que lim

(x;y)!(0;0)

ln

3x2

x2 y 2 + 3y 2 x2 + y 2

= ln 3

16. Probar que x2 y 4 + z 2 =0 3 3 (x;y;z)!(0;0;0) jxj + jyj + jzj lim

17. Probar que lim

(x;y)!(0;0)

(x

y)2 sin(x + y) =0 x2 y 2

18. Probar que xyz no existe (x;y;z)!(0;0;0) x3 + y 3 + z 3 lim

19. Probar que x4 y 4 + z 4 no existe (x;y;z)!(0;0;0) x4 + y 4 + z 4 lim

20. Probar que x2 yz no existe (x;y;z)!(0;0;0) x4 + y 4 + z 4 lim

21. Probar que x3 y 3 z 3 =0 (x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 lim

38

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

2.4

Derivadas

En esta sección se trata el concepto de derivada, sus principales propiedades, el vector gradiente y sus propiedades y una variedad de ejemplos resueltos, al igual que una sección de ejercicios propuestos con sus respuestas respectivas. Recordemos que una bola abierta con centro a y radio , se nota por B(a; ) y está de…nida por el el conjunto B(a; ) = fx= kx ak < g Un conjunto A es abierto si y solo si todos sus puntos son interiores y un punto x es interior a A, si existe una bola abierta con centro x y radio > 0 totalmente contenida en A, es decir, si existe B(x; ) tal que B(x; ) A: Por ejemplo en R, B(1; 3) = fx= kx

1k < 3g = fx=

3 <

0 si (a; b) = ( 1; 0) 0 si (a; b) = (0; 1) = 2 > ab b2 : = en las otras direcciónes a2 a Du f (0; 0) existe, pues existe en todas las direcciones

Luego

2.7.1

Algunas propiedades:

Sean f y g :Rn ! R entonces 1. Du (f

g) = Du f

Du g

2. Du ( f ) = (Du f ) 3. Du f =

2.8

Du f

Diferenciales

En esta sección, se explica el concepto de la diferencial, sus propiedades y sus aplicaciones, como se halla la derivada direccional de una función en forma general, si la funcion es diferenciable y se presenta una variedad de ejemplos resueltos, al igual que una sección de ejercicios propuestos con sus debidas respuestas Recordemos que si y = f (x); entonces el cambio en el valor de f (x) entre a y a + x es y = f = f (a + x) f (a) y que f ' dy = f 0 (x)dx ya que lim

x!0

f f (a + = lim x!0 x

x) x

f (a)

= f 0 (a)

x)

f (a) ' f 0 (a) x =

por tanto f (a +

x) x

f (a)

' f 0 (a); asi,

f = f (a +

La ecuación de la recta tangente a y = f (x) en el punto (a; f (a), es y

f (a) = f 0 (a)(x

a)

y

66

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

por tanto y f (a) = dy es el cambio en la altura de la recta tangente a y = f (x) para x = a y así para hallar la diferencial de una función z = f (x; y); usamos una terminología similar a las de las funciones de una variable y llamamos x; y a los incrementos de x y de y; y para hallar una aproximación de el incremento de z; para el cambio en el valor de f (x; y); entre (a; b) y (a + x; b + y) z = f (a +

x; b +

y)

f (a; b)

consideramos la ecuación del plano tangente a la super…cie en el punto (a; b; f (a; b)) que sabemos que es @f @f (a; b) (x a) + (a; b)(y b) z f (a; b) = @x @y y que por tanto la diferencial de z = f (x; y) en el punto (a; b) se de…ne como el cambio en la altura del plano tangente de (a; b) a (a + x; b + y) y esto no es más que el valor de z f (a; b) entonces dz = df (a; b) =

@f @z @z @f x+ y= (a; b)dx + (a; b)dy: @x @y @x @y

Ejemplo 2.91 Si z = x2 + y 2 entonces dz = 2xdx + 2ydy =

@z @z dx + dy: @x @y

Ejemplo 2.92 Si @z @z dx + dy @x @y ex+y sin(xy) + ex+y y cos(xy) dx + ex+y sin(xy) + ex+y x cos(xy) dy

z = ex+y sin(xy) entonces dz = =

Ejemplo 2.93 si z = xy entonces dz =

@z @z (x; y)dx + (x; y)dy = ydx + xdy @x @y

Ahora que comprendemos el concepto de lo que es la diferencial se hará un tratado más riguroso U na función f : Rn ! R; se dice que f es diferenciable en x, si existe una función lineal T : Rn ! R tal que lim

h!0

jf (x + h)

f (x) khk

T (h)j

=0

y en tal caso T (h) = df (x)h: La anterior de…nición es equivalente a: f es diferenciable es x si solo si:

2.8. DIFERENCIALES

67

1. f (x + h) = f (x) + T (h) + r(h) 2. T es lineal. kr(h)k = 0; h!0 h

3. lim

En efecto: Ya que f (x + h) f (x) T (h) = r(h) tomamos la norma en ambos lados de la igualdad y dividiendo por khk se obtiene: jf (x + h)

f (x) khk

T (h)j

=

kr(h)k khk

por lo tanto jf (x + h)

f (x) T (h)j kr(h)k = lim = 0 entonces h!0 h!0 khk khk kf (x + h) f (x) T (h)k lim = 0; con T lineal. h!0 khk lim

luego esta de…nición implica la primera Ejemplo 2.94 Demostrar que f (x; y) = xy es diferenciable en (x; y). En efecto: Hay que demostrar que f (x + h) = f (x) + T (h) + r(h) con T

lineal y

lim

h!0

kr(h)k =0 khk

Pero f (x + h) = f ((x; y) + (h1 ; h2 )) = f (x + h1 ; y + h2 ) = (x + h1 ) (y + h2 ) = xy + xh2 + yh1 + h1 h2 = f (x; y) + T (h) + r(h) por lo tanto la diferencial es la parte lineal en h1 y h2 , es decir, T (h) = T (h1 ; h2 ) = yh1 + xh2 es una transformación lineal en h1 ; h2 kr(h)k = 0; h!0 khk

y r(h) = r(h1 ; h2 ) = h1 h2 la parte no lineal y mostremos que lim es decir;

lim

(h1 ;h2 )!(0;0)

h1 h2

p

h21 + h22

=0

68

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Para ello, por el camino (h1 ; 0) se tiene lim

(h1 ;h2 )!(0;0)

h1 h2

p

h21 + h22

=

existe, es 0; luego

h21 + h22

entonces

lim

(h1 ;h2 )!(0;0)

y así f es diferenciable en (x; y) y df = T (h) = yh1 + xh2 =

p

lim

(h1 ;h2 )!(0;0)

p h2 jh2 j jh1 j jh2 j p 1 0 =p 2 = h1 + h22 h21 + h22

h1 h2

p

0

0 p = 0; por lo tanto si (h1 ;h2 )!(0;0) h21 lim

h1 h2

p

h21 + h22

jh2 j

h1 h2

= 0; por lo tanto h21 + h22 kr(h)k lim =0 h!0 khk

@f @f @f @f (x; y)h1 + (x; y)h2 = (x; y)dx + (x; y)dy @x @y @x @y

Si lo hacemos aplicando la primera de…nición, entonces suponemos que f es diferenciable en (x; y); y que la diferencial es df (x; y) =

@f @f (x; y)dx + (x; y)dy = yh1 + xh2 @x @y

y probaremos que lim

h!0

kf (x + h)

En efecto:

f (x) khk

T (h)k

=0

f (x+h) f (x) T (h) = f ((x; y) + (h1 ; h2 )) f (x; y) T (h1 ; h2 ) = = f (x + h1 ; y + h2 )

f (x; y)

T (h1 ; h2 ) = (x + h1 ) (y + h2 )

= xy + xh2 + yh1 + h1 h2

xy

yh1

xy

yh1

xh2

xh2 = h1 h2

por tanto lim

h!0

kf (x + h)

f (x) khk

T (h)k

=

jh h j p 1 2 = 0 (ejercicio) (h1 ;h2 )!(0;0) h21 + h22 lim

por tanto f es diferenciable en (x; y) y su diferencial es df (x; y) =

@f @f (x; y)dx + (x; y)dy = yh1 + xh2 @x @y

2.8. DIFERENCIALES Ejemplo 2.95 Demostrar que p 8 < (x + y) jxj jyj si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = jxj + jyj : 0 si (x; y) = (0; 0)

es diferenciable en (0; 0). En efecto:

p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j f (0 + h) = f ((0; 0) + (h1 ; h2 )) = f (h1 ; h2 ) = jh1 j + jh2 j p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j = 0+0+ = f (0; 0) + T (h) + r(h) jh1 j + jh2 j luego f (0; 0) = 0; T (h) = 0; que es una transformación lineal es la diferencial y p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j es la parte no lineal y probemos que r(h1 ; h2 ) = jh1 j + jh2 j p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j kr(h)k p lim = 0; mostrando que lim =0 (h1 ;h2 )!(0;0) khk (h1 ;h2 )!(0;0) (jh1 j + jh2 j) h21 + h22

En efecto: Por el camino (h1 ; 0) se tiene que p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j 0 p p =0 lim = lim (h1 ;h2 )!(0;0) (jh1 j + jh2 j) h21 + h22 (h1 )!0 jh1 j h21

por tanto, si el límite existe es 0; ahora p p p (jh1 j + jh2 j) jh1 j jh2 j jh1 + h2 j jh1 j jh2 j (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j p p p 0 0 = jh1 j + jh2 j h21 + h22 jh1 j + jh2 j h21 + h22 (jh1 j + jh2 j) h21 + h22 p p p h2 jh2 j p jh1 j jh2 j p1 jh2 j ; luego = p 2 = h21 + h22 h1 + h22 p p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j p jh2 j por tanto 0 0 (jh1 j + jh2 j) h21 + h22 p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j p lim =0 (h1 ;h2 )!(0;0) (jh1 j + jh2 j) h21 + h22

69

70

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

y así f es diferenciable en (0; 0) y df (0; 0) = T (h) = 0 = 0h1 +0h2 =

@f @f @f @f (0; 0)h1 + (0; 0)h2 = (0; 0)dx+ (0; 0)dy @x @y @x @y

Si lo hacemos aplicando la primera de…nición, entonces suponemos que f es diferenciable en (0; 0); y que la diferencial es df (0; 0) =

@f @f (0; 0)dx + (0; 0)dy = 0h1 + 0h2 = 0 @x @y

y probaremos que lim

h!0

En efecto: f (0 + h)

f (0)

kf (0 + h)

f (0) khk

T (h)k

T (h) = f ((0; 0) + (h1 ; h2 ))

=0

f (0; 0)

T (h1 ; h2 ) =

= f (h1 ; h2 )

por tanto lim

h!0

f (0; 0) T (h1 ; h2 ) = p p (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j 0 0 (h1 + h2 ) jh1 j jh2 j = = (jh1 j + jh2 j) (jh1 j + jh2 j)

kf (0 + h)

f (0) khk

p (h + h ) jh j jh2 j 1 2 1 T (h)k p = lim = 0 (ejercicio) (h1 ;h2 )!(0;0) (jh1 j + jh2 j) h21 + h22

luego f es diferenciable en (0; 0) y su diferencial es df (0; 0) =

@f @f (0; 0)dx + (0; 0)dy = 0h1 + 0h2 = 0 @x @y

Ejemplo 2.96 Demostrar que ( xy si (x; y) 6= (0; 0) 2 x + y2 f (x; y) = 0 si (x; y) = (0; 0)

no es diferenciable en (0; 0)

Supongamos que f es diferenciable en (0; 0); entonces df (0; 0) =

@f @f (0; 0)dx + (0; 0)dy = 0dx + 0dy = 0 @x @y

2.8. DIFERENCIALES

71

y así, si existe la diferencial en (0; 0) es 0, luego hay que demostrar que jf (0 + h) f (0) h!0 khk lim

0j

=0

Como f (0 + h)

f (0)

0 = f (h1 ; h2 ) =

h1 h2 + h22

h21

Entonces hay que demostar que h1 h2 jf (h)j p = lim =0 2 2 h!0 khk (h1 h2 )!(0;0) (h + h ) h21 + h22 1 2 lim

pero si tomamos el camino (h; 0) entonces

0 h1 h2 p p =0 = lim (h1 h2 )!(0;0) (h2 + h2 ) h21 + h22 h1 !0 h21 h21 1 2 lim

y por el camino (h1 ; h1 )

h1 h2 h2 1 1 p no existe p p1 p = lim = lim = lim (h1 h2 )!(0;0) (h2 + h2 ) h21 + h22 h1 !0 2h21 2h21 h1 !0 2 2h21 h1 !0 2 jh1 j 2 1 2 lim

por lo tanto

h1 h2 p (h1 h2 )!(0;0) (h2 + h2 ) h21 + h22 1 2 lim

2.8.1

no existe, luego f no es diferenciable en (0; 0)

Algunas propiedades de la diferencial

Propiedad 1 Si f es una función diferenciable en x = a entonces f tiene derivadas parciales en x = a y en tal caso @f @f @f (a)h1 + (a)h2 + ::: + (a)hn @x1 @x2 @xn @f @f @f = (a)dx1 + (a)dx2 + ::: + (a)dxn @x1 @x2 @xn

df (a) = rf (a):h =

Esta propiedad se aplica para demostrar que una función no es diferenciable en a, pués dice que si alguna derivada parcial en a no existe, se concluye que f no es diferenciable en a

72

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.97 Consideremos la función 8 x2 < si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x2 + y 2 : 0 si (x; y) = (0; 0) y calculemos

2

h 0 @f f (h; 0) f (0; 0) 1 2 (0; 0) = lim = lim h = lim que no existe h!0 h!0 h!0 h @x h h

por lo tanto f no es diferenciable en (0; 0): f es difernciable en todos los demás puntos Ejemplo 2.98 Consideremos la función ( f (x; y) =

y si x 6= y x+y 0 si x = y

y calculemos h 0 @f f (0; h) f (0; 0) 1 (0; 0) = lim = lim h = lim que no existe h!0 h!0 h h!0 h @y h

por lo tanto f no es diferenciable en (0; 0): f es difernciable en todos puntos donde x 6=

y

Ejemplo 2.99 Ya sabemos que la función f (x; y) = xy

es diferenciable en cualquier punto (a; b),

luego f tiene derivadas parciales en (a,b) y df (a; b) =

@f @f (a; b)dx + (a; b)dy = bdx + ady @x @y

Propiedad 2 Toda función diferenciable en a, es continua en a: Esta propiedad es de gran utilidad para demostrar que una función no es diferenciable en a, pues también es equivalente a que si una función no es continua en a entonces no es diferenciable en a: Ejemplo 2.100 f (x; y) = xy es una función diferenciable en cualquier punto (x; y), por lo tanto f (x; y) = xy; es continua en cualquie punto (x; y)

2.8. DIFERENCIALES

73

Ejemplo 2.101 La función f (x; y) =

(

x2

xy si (x; y) 6= (0; 0) + y2 0 si (x; y) = (0; 0)

no es continua en (0; 0); pues el camino (x; 0); 0 xy lim = lim = lim 0 = 0 x!0 x2 x!0 (x;y)!(0;0) x2 + y 2 y por el camino (x; x) xy x2 1 1 = lim = lim = 2 2 2 x!0 2x x!0 2 (x;y)!(0;0) x + y 2 lim

por lo tanto f (x; y) no es diferenciable en (0; 0);ya que f (x; y) no es continua en (0; 0): Ejemplo 2.102 La función f (x; y) =

(

y si x 6= y x+y 0 si x = y

no es continua en (0; 0); pues el camino (x; 0); y 0 lim = lim = lim 0 = 0 x!0 x x!0 (x;y)!(0;0) x + y y por el camino (x; x) y x 1 1 = lim = lim = x!0 2x x!0 2 (x;y)!(0;0) x + y 2 lim

por lo tanto f (x; y) no es diferenciable en (0; 0);ya que f (x; y) no es continua en (0; 0): Ejemplo 2.103 La función f (x; y) =

8 < :

x2 si (x; y) 6= (0; 0) x2 + y 2 0 si (x; y) = (0; 0)

no es continua en (0; 0); pues el camino (x; 0); lim

(x;y)!(0;0)

x2 x2 = lim = lim 1 = 1 x2 + y 2 x!0 x2 x!0

y por el camino (x; x) lim

(x;y)!(0;0)

x2 x2 1 1 = lim = lim = 2 2 2 x!0 2x x!0 2 x +y 2

por lo tanto f (x; y) no es diferenciable en (0; 0); ya que f (x; y) no es continua en (0; 0):

74

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Propiedad 3 Si existen las derivadas parciales en a, en una vecindad de a y son continuas en a entonces f es diferenciable en a y df (a) = rf (a):h Ejemplo 2.104 f (x; y; z) = xyz tiene derivadas parciales en cualquier punto (x; y; z);en una vecindad de (x; y; z) además son continuas (x; y; z); luego f (x; y; z) es diferenciable en (x; y; z) y @f @f @f (x; y; z)dx + (x; y; z)dy + (x; y; z)dz @x @y @z = yzdx + xzdy + xydz

df (x; y; z) =

Ejemplo 2.105 8 <

x2 y 2 si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x2 + y 2 : 0 si (x; y) = (0; 0)

es diferenciable en (0; 0)

En efecto:

8 <

además

@f (x; y) = : @x 8 < @f (x; y) = : @y

2xy 4 si (x; y) 6= (0; 0) (x2 + y 2 )2 0 si (x; y) = (0; 0) 4 2x y si (x; y) = 6 (0; 0) (x2 + y 2 )2 0 si (x; y) = (0; 0)

@f @f (x; y) = (0; 0) ya que (x;y)!(0;0) @x @x @f 2xy 4 lim (x; y) = lim 2 = 0 (x;y)!(0;0) @x (x;y)!(0;0) (x2 + y 2 ) lim

pues 0

2xy 4 (x2 + y 2 )2 entonces

0 =

2 jxj y 2 :y 2 (x2 + y 2 )2

2 jxj

2xy 4 2 = 0 (x;y)!(0;0) (x2 + y 2 ) lim

y

y

2.8. DIFERENCIALES

75

y como @f @f (x; y) = (0; 0) (x;y)!(0;0) @x @x lim

@f (x; y) es continua en (0; 0): @x @f @f @f En forma análoga demustre que lim (x; y) = (0; 0); es decir que (x; y) (x;y)!(0;0) @y @y @y existe (0; 0), en una vecindad de (0; 0) y es continua en (0; 0): Entonces existen las derivadas parciales en (0; 0), en una vecindad de (0; 0) y son continuas en (0; 0) por lo tanto se concluye que f es diferenciable en (0; 0) y se concluye que

df (0; 0) =

@f @f @f (0; 0) = (0; 0)dx + (0; 0)dy = 0 @x @x @y

En forma análoga se demuestra que f (x; y) es diferenciable en cualquier punto Ejemplo 2.106 En forma análoga demuestre que 8 < xy(x2 y 2 ) si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x2 + y 2 : 0 si (x; y) = (0; 0)

es diferenciable en (0; 0)

mostrando sus existentes derivadas parciales en (0; 0) ; en una vecindad de (0; 0) y que son continuas en (0; 0): Ejemplo 2.107 f (x; y) = sin(x + y) es diferenciable en (a; b) pues @f (x; y) = cos(x + y); @x @f @f lim (x; y) = (a; b) y (x;y)!(a;b) @x @x

@f (x; y) = cos(x + y) @y @f @f lim (x; y) = (a; b) (x;y)!(a;b) @y @y

y por tanto existen las derivadas parciale en (a; b), @f (a; b) = cos(a + b); @x

@f (a; b) = cos(a + b) @y

76

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

y además existen en una vecindad de (a; b) y son continuas en (a; b) ya que @f (x; y) = (x;y)!(a;b) @x @f lim (x; y) = (x;y)!(a;b) @y

@f (a; b) (x;y)!(a;b) @x @f lim cos(x + y) = cos(a + b) = (a; b) (x;y)!(a;b) @y

lim

lim

cos(x + y) = cos(a + b) =

y así f (x; y) = sin(x + y) es diferenciable en (a; b) y df (a; b) =

@f @f (a; b)dx + (a; b)dy = cos(a + b)dx + cos(a + b)dy @x @y

Propiedad 4 Si f es una función diferenciable en x; entonces f tiene derivada direccional en x ( por lo tanto si la función no tiene derivada direccional en x entonces la función no es diferenciable en x) y además Du f (x) = rf (x):u = krf (x)k kuk cos = krf (x)k cos Ejemplo 2.108 Como f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 es diferenciable en (1; 2; 3) (1; 2; 3) y

(propiedad 3), entonces f tiene derivada direccional en

Du f (1; 2; 3) = rf (1; 2; 3):(a; b; c) = (2; 4; 6) :(a; b; c) = 2a + 4b + 6c con u = (a; b; c) = (cos ; cos ; cos ) vector unitario Ejemplo 2.109

p

x2 + y 2 p no es diferenciable en (0; 0); pues f (x; y) = x2 + y 2 no tiene Du f (0; 0) f (x; y) =

Ejemplo 2.110 Sabemos que

f (x; y) =

8 < :

x2 y 2 si (x; y) 6= (0; 0) x2 + y 2 0 si (x; y) = (0; 0)

2.8. DIFERENCIALES

77

es diferenciable en (0; 0); luego

f (x; y) tiene derivada direccional en (0; 0) y

Du f (0; 0) = rf (0; 0):(a; b) = 0a + 0b = 0 Si f es una función diferenciable entonces Du f (x) = rf (x):u = krf (x)k cos donde es el ángulo entre rf (x) y el vector unitario u, se puede deducir que la derivada direccional es máxima si se elige u en la dirección del vector rf (x) ( = 0) y para hacer mínima Du f (x) se elige u en la dirección de rf (x) ( = ): En otras palabras el vector gradiente rf (x) apunta en la dirección del crecimiento más rápido de la función con valor krf (x)k , mientras que vector gradiente -rf (x) apunta en la dirección del crecimiento mínimo de la función con valor krf (x)k : En conclusión: Si f es diferenciable en el punto (x; y) entonces 1) Si rf (x) = 0; entonces Du f (x) = 0 2 . La dirección de máximo crecimiento en f viene dado por rf (x), el valor máximo de Du f (x) es krf (x)k 3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dado por rf (x) y el valor mínimo de Du f (x) es krf (x)k Ejemplo 2.111 Hallar Du f (1; 2) en la dirección del vector (2; 3) si f (x; y) = x2 + y 2 Como (2; 3) no es unitario entonces lo volvemos unitario, dividiendo por su norma p 3 2 13, luego u = p ; p y como f (x; y) = x2 + y 2 es diferenciable en (1; 2) 13 13 entonces @f @f 2 3 (1; 2) p + (1; 2) p @x 13 @y 13 p 3 8 13 2 = 2: p + 4: p = 13 13 13

Du f (1; 2) =

Ejemplo 2.112 Hallar Du f 1; ;

4

si f (x; y; z) = x cos y sin z y en la dirección del vector 2i

j + 4k

78

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

En efecto, el vector unitario que necesitamos es f (x; y; z) = x cos y sin z es diferenciable en Du f 1; ;

1; ;

2 1 4 p ;p ;p 21 21 21 entonces

y como

u = 4

@f @f @f 1; ; a+ 1; ; b+ 1; ; c 4 @x 4 @y 4 @y 4 2 1 4 u = (a; b; c) = p ; p ; p 21 21 21 =

con

Como p @f @f 2 (x; y; z) = cos y sin z; 1; ; = @x @x 4 2 @f @f (x; y; z) = x sin y sin z; 1; ; =0 @y @y 4 p @f @f 2 (x; y; z) = x cos y cos z; 1; ; = @z @z 4 2 entonces Du f 1; ;

4

= =

p ! 2 2

p

2 ; 0; 2

p

42 21

2p 42 = 21

2 1 4 p ;p ;p 21 21 21 3p 42 21

Ejemplo 2.113 Hallar Du f (2; 1; 1) en la dirección del máximo aumento de f (x; y; z) si f (x; y; z) = xy + yz En efecto: En (2; 1; 1) la Du f aumenta más rapidamente, en la dirección del vector gradiente, rf (2; 1; 1); luego rf (x; y; z) = (y; x + z; y);

rf (2; 1; 1) = ( 1; 3; 1)

y así Du f (2; 1; 1) = krf (2; 1; 1)k = Ejemplo 2.114 Sea f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2

p

11

2.8. DIFERENCIALES

79

a) Hallar Du f (1; 2; 3) en la dirección del vector (1; 1; 1) b) Hallar la dirección en el cual Du f (1; 2; 3) es máxima y cuál es su valor . c) Hallar la dirección en el cual Du f (1; 2; 3) es mínima y cuál es su valor. En efecto: rf (x; y; z) = (2x; 2y; 2z) luego a) 1 1 1 p ;p ;p 3 3 3 @f 1 @f (1; 2; 3) p + (1; 2; 3) @y @z 3

Du f (1; 2; 3) = rf (1; 2; 3):u = rf (1; 2; 3): @f 1 (1; 2; 3) p + @x 3 2 4 6 12 = p +p +p =p 3 3 3 3

=

1 p 3

b) La dirección en el cual Du f (1; 2; 3) es máxima es rf (1; 2; 3) = (2; 4; 6) y su valor es Du f (1; 2; 3) = k(2; 4; 6)k =

p

4 + 16 + 36 =

p

56

c) La dirección en el cual Du f (1; 2; 3) es mínima es rf (1; 2; 3) = ( 2; 4; 6) y su valor es Du f (1; 2; 3) =

p

4 + 16 + 36 =

p

56

Ejemplo 2.115 Hallar

Du f (1; 3) en la dirección de (1; 3) hacia (2; 4) si f (x; y) = x2 + y 2

En efecto: (2; 4)

(1; 3) = (1; 1)

y así u =

1 1 p ;p 2 2

luego Du f (1; 3) =

@f @f 2 6 8 1 1 (1; 3) p + (1; 3) p = p + p = p @x 2 @y 2 2 2 2

Ejemplo 2.116 Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto (2; 3) de una placa metálica cuya temperatura en (x; y) es T (x; y) = 20 x2 y 2 : Hallar la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura.

80

CAPÍTULO 2. FUNCIONES En efecto: Representamos la trayectoria por (t) = x(t)i + y(t)j y un vector tangente en cada punto (x(t); y(t))

está dado por 0

(t) = x0 (t)i + y 0 (t)j

Como la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de y rT (x; y) = 2xi 2yj son las mismas en cada punto de la trayectoria, luego dx = dt

dy = dt

2x;

2y con x(0) = 2; y(0) =

3

por tanto solucionando las dos ecuaciones se tiene que dx x ln x x(t) x(0) y(0)

= = = = =

dy = 2dt entonces y 2t + k1 ; ln y = 2t + k2 entonces ce 2t ; y(t) = c1 e 2t entonces ce0 = 2 ) c = 2; x(t) = 2e 2t y c1 e0 = 3 ) c = 3; y(t) = 3e 2t 2dt;

luego la trayectoria es (t) = 2e

2t

x(t) = 2e

2t

3e 2t j y eliminando t se tiene que 2 2 = ( 3)e 2t = y entonces 3 3

i

2 y es el camino 3

x = Propiedad 5

Si f (x; y; z) = cte entonces df = 0 Propiedad 6 d(f

g) = d(f )

d(g)

Ejemplo 2.117 d x2 + xy + y 2

= d(x2 + xy) + d(y 2 ) = d(x2 ) + d(xy) + d(y 2 ) = 2xdx + xdy + ydx + 2ydy

0

(t)

2.8. DIFERENCIALES

81

Propiedad 7 d(f g) = f dg + gdf Ejemplo 2.118 d(sin x cos y) = sin xd(cos y) + cos(y)d(sin x) = sin x( sin y)dy + cos y cos xdx Propiedad 8

d

f g

=

gdf

f dg g2

Ejemplo 2.119 d

x2 y + y sin x

sin xd(x2 y + y) (x2 y + y)d(sin x) sin2 x sin x(d(x2 y) + d(y)) (x2 y + y) cos xdx = sin2 x sin x(yd(x2 ) + x2 dy + dy) (x2 y + y) cos xdx = sin2 x 2 sin x(2yxdx + x dy + dy) (x2 y + y) cos xdx = sin2 x

=

Ejemplo 2.120 Si z = f (x; y) = x2 + 3xy

entonces

a) Hallar dz b) Si x cambia de 2 a 2:05 y y cambia de 3 a 2:96; comparar los valores de En efecto: a) @f @f (x; y)dx + (x; y)dy @x @y = (2x + 3y)dx + (3x)dy

dz =

b) Como x = 2;

dx = h1 = 0:05;

y = 3;

dy = h2 =

0:04

z y dz:

82

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

entoces dz = = z = = =

(2 2 + 3 3)0:05 + (3 2)( 0:04) (13)0:05 6(0:04) = 0:41 f (x + h1 ; y + h2 ) f (x; y) = f (2 + 0:05; 3 0:04) f (2; 3) f (2:05; 2:96) f (2; 3) = (2:05)2 + 3 (2:05) (2:96) (4 + 18) (2:05)2 + 3 (2:05) (2:96) 22 = 0:406 5

luego dz

z

Ejemplo 2.121 Aproximar el cambio en la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 1 1 catetos 6 y 8 cm: Cuando el más corto se alarga y el más largo se encoge cm 4 8 p En efecto: Sean x; y los catetos y z la hipotenusa, entonces z = x2 + y 2 ; luego @z @z x y dx + dy = p dx + p dy @x @y x2 + y 2 x2 + y 2 6 8 6 8 3 1 1 p = p : : = = 40 80 20 36 + 64 4 36 + 64 8 3 2 1 = = cm; 20 20 20

dz =

Luego la hipotenusa se alarga

4 40

1 cm: 20

Ejemplo 2.122 Hallar el valor aproximado de sin (1:05)2 + (0:9)2

sin(12 + 12 )

En efecto: Consideremos la función f (x; y) = sin x2 + y 2 f (x+h1 ; y+h2 ) f (x; y)

entonces

@f @f (x; y)h1 + (x; y)h2 = 2x cos x2 + y 2 h1 +2y cos x2 + y 2 h2 = @x @y

= 2: (0:05) cos 12 + 12 + 2: ( 0:1) cos 12 + 12 = ( 0:1) cos 2 = 4: 161 5

10

2

2.8. DIFERENCIALES

83

Ejemplo 2.123 Hallar el valor aproximado de p 9(1:95)2 + (8:1)2 En efecto: Consideremos la función

p

9x2 + y 2 pués

f (x; y) = se puede calcular fácilmente f (2; 8) = por tanto tomamos

p p (9)(4) + 64 = 100 = 10

x = 2; y = 8; dx = h1 =

0:05; dy = h2 = 0:1

entonces @f @f 9x y (x; y) = p (x; y) = p ; ; por tanto como 2 2 @x @y 9x + y 9x2 + y 2

f (x + h) f (x + h1 ; y + h2 )

0

f (x) + f (x)h se tiene que @f @f f (x; y) + (x; y)h1 + (x; y)h2 @x @y

p 9(1:95)2 + (8:1)2 = f (1:95; 8:1) = 10 +

8 18 ( 0:05) + 0:1 10 10

Ejemplo 2.124 Aproximar

f (2; 8) + dz = f (2; 8) + 9:9 p

p

así que

p 3 27: 1021

@f @f (2; 8)h1 + (2; 8)h2 @x @y

9(1:95)2 + (8:1)2

9:99

Tomar f (x; y) =

p p x: 3 y

con

x = 25; y = 1000;

x = h1 = 2; 1

y = dy = 21

@f 1 1 2 @f y3 df = (x; y)dx + (x; y)dy = p h1 + x 2 y 3 h2 = @x @y 3 2 x 1 1 1 2 1 1 = (25) 2 (1000) 3 (2) + (25) 2 (1000) 3 (21) 2:35; 2 3 luego

p

p 3 27: 1021

p

p 3 25: 1000 + 2:35 = 52:35

84

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.125 Hallar el valor aproximado de p p 3 26:98: 36:01 En efecto: Consideremos la función p p f (x; y) = 3 x y con x = 27; y = 36 y se puede calcular fácilmente f (27; 36) = (3)(6) = 18 por tanto tomamos x = 27; dx = h1 =

0:02; dy = h2 = 0:01; y = 36

entonces p 3 1 @f x @f p p (x; y) = (x; y) = y); ( p ; por tanto 3 2 @y 2 y @x 3( x) @f @f (x; y)dx + (x; y)dy es decir f (x + h1 ; y + h2 ) f (x; y) + @x @y p p @f @f 3 (27; 36)( 0:02) + (27; 36)(0:01) 26:98: 36:01 = f (26:98; 36:01) f (27; 36) + @x @y 6 6 ( 0:02) + (0:01) = 18:001 = 18 + p 3 (2)(6) 3( 27)2 Ejemplo 2.126 Hallar el valor aproximado de (1:05)2 (2:99)3 En efecto: Consideremos la función f (x; y) = x2 y 3 con x = 1, y = 3 y se puede calcular f (1; 3) = (1)2 (3)3 = 27 y si tomamos dx = h1 = 0:05; dy = h2 =

0:01;

@f (x; y) = 2xy 3 ; @x

@f (x; y) = 3x2 y 2 @y

2.8. DIFERENCIALES

85

entonces f (x; y) + dz; es decir @f @f f (1:05; 2:99) = f (1; 3) + (1; 3)dx + (1; 3)dy @x @y = 27 + 2(1)(27)(0:05) + (3)(1)(9)( 0:01) = 27 + (54)(0:05) = 29:43

f (x + h1 ; y + h2 )

(27)(0:01)

Ejemplo 2.127 Supongamos que las dimensiones de un paralelipípedo rectangulares cambian de (9; 6; 4) a (9:1; 6:02; 3:9); usar diferenciales para estimar el cambio en el volúmen. ¿Cuál es el cambio exacto?. El volúmen del paralelipípedo de lados (x; y; z) viene dado por: V (x; y; z) = xyz @V @V @V dV = dx + dy + dz = yzdx + xzdy + xydz @x @y @z = 24(0:1) + 36(0:02) + 54( 0:1) = 2:28 luego dV = 2:28 El cambio exacto en el volúmen viene dado por V (x + h1 ; y + h2 ; z + h3 )

V (x; y; z) = (9:1)(6:02)(3:9)

(9)(6)(4) =

2: 350 2

Ejemplo 2.128 El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10cm; 25cm respectivamente, con un posible error en la medición de 0:01cm. Utilizar diferenciales para estimar el error máximo en el volúmen calculado del cono. En efecto: r2 h = V (r; h) luego 3 @V @V 2 r r2 = dr + dh = hdr + dh @r @h 3 3 2 = (10)(25)(0:01) + (100)(0:01) = 6: 283 2 3 3

Vc = dV

Ejercicio 5 1. Demostrar que

8 < p xy si (x; y) 6= (0; 0) x2 + y 2 f (x; y) = : 0 si (x; y) = (0; 0)

86

CAPÍTULO 2. FUNCIONES no es diferenciable en (0; 0): Ind Suponga que f es diferenciable en (0,0) y jf (0 + h) f (0) T (h)j demuestre que lim no es cero h!0 khk 2. Demostrar que f (x; y) =

8 <

(x2 + y 2 ) sin

:

1 x2 + y 2

0

si (x; y) 6= (0; 0) si (x; y) = (0; 0)

es diferenciable en (0; 0): Ind Suponga que f es diferenciable en (0,0) y demuestre jf (0 + h) f (0) T (h)j que lim =0 h!0 khk 3. Considere la función f (x; y) =

8 <

x2 y si (x; y) 6= (0; 0) x4 + y 2 0 si (x; y) = (0; 0)

:

demostrar que: f (x; y) no es continua en (0; 0) y f (x; y) es continua en (1; 2), 3 rf (0; 0) = (0; 0); rf (1; 2) = 12 ; 3 , Du f (0; 0) existe, Du f (1; 2) = 12 a 25 b; 25 25 25 f (x; y) no es diferencial en (0; 0); demostrando que f (x; y) no es continua en (0; 0) jf (0 + h) f (0) T (h)j 3 o que lim no es cero y que df (1; 2) = 12 dx 25 dy 25 h!0 khk 4. Considere la función

8 <

x2 y 2 si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x4 + y 4 : 0 si (x; y) = (0; 0)

demostrar que: f (x; y) no es continua en (0; 0), f (x; y) es continua en (1; 2), rf (0; 0) = (0; 0); Du f (0; 0) no existe Du f (1; 2) = 120 ; 60 : (a; b) ; f (x; y) no es 289 289 diferencial en (0; 0), demostrando que f (x; y) no es continua en (0; 0) o que lim

h!0

no es cero y que df (1; 2) =

jf (0 + h)

120 dx 289

5. Considere la función f (x; y) =

+

(

f (0) khk

T (h)j

60 dy 289

x si (x; y) 6= (0; 0) x2 + y 2 0 si (x; y) = (0; 0)

2.8. DIFERENCIALES

87 3 4 ; 25 25

y veri…car que rf (0; 0) no existe; rf (1; 2) =

; Du f (0; 0) no existe,

3a 4b ; y demuestre que f (x; y) no es diferenciable en (0; 0); demostrando 25 25 3 4 que f (x; y) no es continua en (0; 0), df (1; 2) = dx dy 25 25 Du f (1; 2) =

6. Demostrar que f (x; y; z) = x2 ey

2

z2

es una función diferenciable y hallarla. Ind demuestre que existen las derivadas parciales en (a; b; c); en una vecindad de (a; b; c) y que son continuas en (a; b; c): 7. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = x + y 2 + z 3

2

en (1; 1; 1) en la dirección i+j: Resp Du f (1; 1; 1) = rf (1; 1; 1): 6 p 2

1 1 p ; p ;0 2 2

=

8. Hallar la derivada direccional de f (x; y) = ln en dirección hacia el origen Resp: 9. Hallar la derivada direccional de

p

1

p

x2 + y 2

x2 + y 2

f (x; y; z) = (x

; tomar u =

p

x x2 + y 2

;p

y x2 + y 2

!

1)eyz

en (0; 1; 1) en la dirección hacia (2; 3; 4) Re sp Du f (0; 1; 1) = rf (0; 1; 1): 3e p 17

p2 ; p2 ; p3 17 17 17

10. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = xy 2 + yz 3 + z 3 x en (1; 2; 1) en la dirección del máximo aumento p de f y p en la dirección del mínimo aumento de f Resp rf (1; 2; 1) = (5; 5; 9) ; 131; 131

=

88

CAPÍTULO 2. FUNCIONES

11. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = xey

2

z2

en (1; 2; 2) en la dirección del camino (t) = ti + 2 cos(t Resp:

1)j

2e(t

1)

k

7p 5 5

12. Aproximar el valor de f (x; y) =

p

x2

20

7y 2

en (1:95; 1:08) Resp 2.846

13. La distribución de temperatura de una placa viene dada por T (x; y) = 9 2x2 y 2 a) ¿Cuál es el punto más caliente? R.(0; 0): b) Hallar la trayectoria seguida por una partícula seguidora de calor en la dirección de más rápido crecimiento de temperatura partiendo de ( 2; 1) Resp: x = 2y 2 14. Hallar la diferencial de las funciones:

a)f (x; y; z) = ln2 (x2 +y 2 +z 2 ); b)f (x; y; z) = xyzexyz +x sin y+z cos xz c) f (x; y; z) =

d)f (x; y; z) = sin(x2 yz)+e(x

f )f (x; y) = arctan

y +arctan x

15. Hallar df (1; 1; 1) 1 p

2 2

dy +

p

2 dz 2

16. Aproximar:

2 +y 2 +z 2 )

si

+1 e) f (x; y; z; u) =

x y

z x+y+u

g) f (x; y) = ln(tan y(x)) h) f (x; y; z) = p z

f (x; y; z) = p

x2

+

y2

xyz x2 + y 2

; Respuesta df (1; 1; 1) =

z x2 + y 2 + z

1 p dx 2 2

2.8. DIFERENCIALES

89

a) (1:01)3 (3:02)2 (2:9)4 ; Tomar f (x; y; z) = x3 y 2 z 4 Resp 663; 39 q p b) (1:97)2 + (2:02)2 + (1:0); Tomar f (x; y; z) = x2 + y 2 + z Resp 2,99 p

c)

d)

1

99 +

p 3

(3:01)2 (5:9)2

4

124 1

Tomar f (x; y) =

p

x+

p 3

y

4

Resp 49.770

32 1 x2 Tomar f (x; y) = 36 y2

e) sin (1:05)2 + (0:9)2

sin 12 + 12

Tomar f (x; y) = sin(x2 +y 2 )

17 Sea f (x; y) = x2 + 3xy 2 Hallar Du f (1; 2); en dirección hacia el origen

Ind u =

i 2j p 5

Resp:

38 p 5

18 La longitud y el ancho de un rectángulo son 30cm y 24cm respectivamente con 1 un error en la medida de en cada dimensión, usar diferenciales para estimar 100 el error máximo en el área calculada del rectángulo y cuál es el error exacto. Resp 0.54, 0.5401 19 Si f (x; y) = xy

y 2 x y (x; y) cambia de (2; 3) a (1:9; 3:001)

Compare los valores de df y 20 Si

f

Resp 0.59

8 <

.0.5905

xy 3 si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x3 + y 6 : 0 si (x; y) = (0; 0)

mostrar que

@f @f @f @f (0; 0) = 0; (0; 0) = 0; (1; 1) existe ; (1; 1) = 0 ; Du f (0; 0) existe; Du f (1; 1) existe; @x @y @x @y f no es continua en (0; 0) y es continua en (1; 1); df (0; 0) no existe; df (1; 1) existe Du f (2; 1) = 21 Si

15 42 a + b; df (2; 1) = 81 81

15 42 dx + dy 81 81

90

CAPÍTULO 2. FUNCIONES 8 < y (x2 y 2 ) si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = x2 + y 2 : 0 si (x; y) = (0; 0)

@f @f (0; 0) = 0; (0; 0) = @x @y

1;

Hallar

@2f @2f (0; 0) no existe; (0; 0) = no existe; Du f (0; 0) = a2 b b3 @x@y @y@x

f (x; y) es continua en (0; 0) y en (1; 2) 22 Hallar la derivada direccional de f (x; y) = x2

3xy en la dirección de la trayectoria y = x2

x + 2 en (1; 2)

Ind: r(t) = ti + (t2

t + 2)j;

r0 (t) = i + (2t

1)j

r0 (1) = i + j

luego Du f (1; 2) = rf (1; 2):

i+j p 2

=

7 p 2

Capítulo 3 Regla de la cadena 3.1

Introducción

En este capítulo, se hace un tratado de la regla de la cadena y sus diversas formas, la función implicita, el plano tangente, máximos y mínimos de funciones de varias variables y por último el método de los multiplicadores de lagrange, donde cada sección tiene su taller de ejercicios propuestos con sus debidas respuestas Sea g : R ! R una función derivable en x y f : R ! R , una función derivable en g(x) entonces h(x) = (f g)(x) = f (g(x)) es derivable en x y matriz de h puede escribirse como la matriz de f por la matriz de g es decir: df du dh = si u = g(x) dx du dx Generalizando el resultado anterior se tiene que si g : Rn ! Rm es diferenciable en x y f : Rm ! Rp es diferenciable en g(x) entonces h(x) = f (g(x)) es diferenciable en x y la matriz de h, (Mh ) es igual a la matriz de f; (Mf ) por la matriz de g; (Mg ); h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) o

g

f

es decir, si h : Rn ! Rm ! Rp ; entonces h(x) = f (g(x)) y Mh(p

n)

= (Mf )p

m

(Mg )m

n

Caso 1 Sea h(t) = f (x(t); y(t)) = f (x; y)

entonces h(t) = f (g(t))

y así dh @f @x @f @y = + = dt @x @t @y @t

@f @f ; @x @y

91

2

g

f

donde h : R ! R2 ! R

3 dx 6 dt 7 4 dy 5 = Mf dt

Mg

92

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 3.1 Si f (x; y) = x2 y; x(t) = et ;

y(t) = sin t entonces

@f @x @y @f = 2xy; = x2 = et ; = cos t @x @y @t @t

por lo tanto como h(t) = f (x(t); y(t)) entonces dh @f @x @f @y = + = 2xyet + x2 cos t = 2(et sin(t))et + (et )2 cos t dt @x @t @y @t 2t = 2e sin(t) + e2t cos(t) Caso 2 Si h(r; ) = f (x; y) = f (x(r; ); y(r; )) = f (g(r; )) luego g

@h @h ; @r @

= 1 2

f

h : R 2 ! R2 ! R 2 @f @f ; @x @y

1 2

6 4

@h @f @x @f @y = + @r @x @r @y @r

entonces 3 @x @x @r @ 7 @y 5 ; entonces, @y @r @ @h @f @x @f @y y = + @ @x @ @y @

Ejemplo 3.2 Si h = f (x; y) = x2 + y 2 ;

x(r; ) = r cos ;

y(r; ) = r sin

@y @x @x = cos ; = sin ; = @r @r @

r sin ;

@f @f = 2x; = 2y @x @y

@y = r cos @

entonces @h @f @f @x @f @y @x @y = = + = 2x + 2y @r @r @x @r @y @r @r @r = (2r cos ) cos + 2r sin sin = 2r; luego

y

@h = 2r @r @h @f @f @x @f @y @x @y = = + = 2x + 2y @ @ @x @ @y @ @ @ = 2(r cos )( r sin ) + 2(r sin )r cos = 0; luego @h =0 @

3.1. INTRODUCCIÓN

93

Caso 3 Si z(r; ; #) = f (x; y; z) = f (x(r; ; #); y(r; ; #); z(r; ; #)) entonces @f @f @x @f @y @f @z @z = = + + @r @r @x @r @y @r @z @r @f @f @x @f @y @f @z @z = = + + @ @ @x @ @y @ @z @ @z @f @f @x @f @y @f @z = = + + @# @# @x @# @y @# @z @# g

f

R 3 ! R3 ! R y en forma matricial se tiene que z : luego (r; ; #) ! g(r; ; #) ! f (g(r; ; #)); (Mz )1

3

= (Mf )1

=

3

(Mg )3

@z @z @z ; ; @r @ @#

3

=

2

@x 6 @r 6 @y 6 6 @r 4 @z

@f @f @f ; ; @x @y @z

@r

@x @ @y @ @z @

3 @x @# 7 @y 7 7 @# 7 @z 5 @#

Caso 4 Si z = f (x; y) = f (x(r; ; #; t); y(r; ; #; t)) entonces @z @r @z @ @z @# @z @t

@f @r @f = @ @f = @# @f = @t =

@f @x @x @r @f @x = @x @ @f @x = @x @# @f @x = @x @t =

@f @y @y @r @f @y + @y @ @f @y + @y @# @f @y + @y @t +

g

f

R4 ! R2 ! R y en forma matricial se tiene que z : luego (r; ; #; t) ! g(r; ; #; t) ! f (g(r; ; #; t));

94

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA y así

z = f (g(r; ; #; t))

(Mz )1 @z @z @z @z ; ; ; @r @ @# @t

4

= (Mf )1

(Mg )2 4 2 @x @f @f 6 @r ; 4 @y @x @y @r

=

Caso 5 si

2

@x @ @y @

@x @# @y @#

3 @x @t 7 @y 5 @t

w = f (x; y; z) = f (x(r; ; #; t; s); y(r; ; #; t; s); z(r; ; #; t; s)) @w @r @z @ @z @# @z @t

@f @r @f = @ @f = @# @f = @t =

@f @x @x @r @f @x = @x @ @f @x = @x @# @f @x = @x @t =

@f @y @f @z + @y @r @z @r @f @y @f @z + + @y @ @z @ @f @y @f @z + + @y @# @z @# @f @y @f @z + + @y @t @z @t +

entonces g

f

w : R5 ! R3 ! R w = f (g(r; ; #; t; s));

@w @w @w @w @w ; ; ; ; @r @ @# @t @s

por tan to

=

(Mw )1

@f @f @f ; ; @x @y @z

5

= (Mf )1

2

@x 6 @r 6 @y 6 6 @r 4 @z @r

Ejemplo 3.3 w = f (x; y; z) = x2 + y 2

x(r; ; #; t; s) = ert ; y(r; ; #; t; s) = sin(r ) entonces @w @w @w @w @w ; ; ; ; @r @ @# @t @s

= (2x; 2y; 2z)

2

@x @ @y @ @z @

3

@x @# @y @# @z @#

(Mg )3 @x @t @y @t @z @t

5

3 @x @s 7 @y 7 7 @s 7 @z 5 @s

z2 z(r; ; #; t; s) = rst

t ert ert 0 4 cos(r ) r cos(r ) 0 st 0 0

3 rert 0 0 05 rs rt

3.1. INTRODUCCIÓN

95 2

= 2 ert ; 2 sin(r ); 2rst luego por ejemplo: @w = @r @w = @s

2 ert

3 rert 0 0 05 rs rt

t ert ert 0 4 cos(r ) r cos(r ) 0 st 0 0

t ert + 2 sin(r ) ( cos(r ))

2 ert (0) + 2 sin(r )(0)

2rst(st)

2rst(rt)

Ejemplo 3.4 Si z = f (x; y);

x = r cos ;

y = r sin

Mostrar que @f @x

2

+

2

@f @y

2

@f @r

=

+

1 r2

2

@f @

En efecto: Como z = f (x; y) = f (x(r; ); y(r; )) entonces @f @f @x @f @y = + @r @x @r @y @r Como

@x = cos ; @r

@z @f @x @f @y = + @ @x @ @y @

y

@y @x = sin ; = @r @

@y = r cos @

r sin ;

entonces @f @r

=

@f @x =

2

+

1 r2

2 2

cos @f @x

@f @

2

@f @f cos + sin @x @y

2

=

@f @f cos + sin @x @y

2

=

2@f @f @f + cos sin + @x @y @y

2 2

cos

+ sin

2

@f @r

+ 2

+

@f @y 1 r2

@f @f (sin ) + (cos ) @x @y

+

2

sin

1 @f @f ( r sin ) + (r cos ) r2 @x @y

+

2

@f + @x

2

sin

2 2

+ cos

=

@f @x

sin @f @

2

2

=

2

+

r2 r2

2@f @f @f cos sin + @x @y @y

2

@f @x @f @y

2

2

2

2

+

@f @y

2

así

2

cos2

96

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 3.5 Si w = f (x; y) = f (x(r; ); y(r; )) sabemos que @w @f @f @x @f @y = = + @r @r @x @r @y @r Como

@ (f (x(r; ); y(r; ))) @x tiene la misma característica de f (x(r; ); y(r; )) entonces para calcular su derivada con @f respecto a r y a , hay que aplicarle a la regla de la cadena como a f es decir, @x @ @r @ @ @ @r @ @

@f @x @f @x @f @y @f @y

@ @x @ = @x @ = @x @ = @x =

@f @x @f @x @f @y @f @y

@x @r @x @ @x @r @x @

@ @y @ + @y @ + @y @ + @y +

@f @x @f @x @f @y @f @y

@y @r @y @ @y @r @y @

@ 2 f @x @ 2 f @y + @x2 @r @y@x @r @ 2 f @x @ 2 f @y = + @x2 @ @y@x @ 2 @ f @x @ 2 f @y = + 2 @x@y @r @y @r 2 @ f @x @ 2 f @y = + 2 @x@y @ @y @ =

y así podemos calcular @2f @2f @2f o o @r2 @r@ @ 2

o

@2f @ @r

así: @2f @ = @ @r @ @ = @

@f @ @f @x @f @y @ @f @x @ @f @y = + = + @r @ @x @r @y @r @ @x @r @ @y @r @f @x @f @ @x @ @f @y @f @ @y + + + @x @r @x @ @r @ @y @r @y @ @r 2 @ @f @x @ @f @y @x @f @ x = + + + @x @x @ @y @x @ @r @x @ @r @ @f @x @ @f @y @y @f @ 2 y + + + @x @y @ @y @y @ @r @y @ @r

=

@ 2 f @x @x @ 2 f @y @x @f @ 2 x @ 2 f @x @y @ 2 f @y @y @f @ 2 y + + + + + @x2 @ @r @y@x @ @r @x @ @r @x@y @ @r @y 2 @ @r @y @ @r

3.1. INTRODUCCIÓN

97

Ejemplo 3.6 Si z = f (x; y) = x2 + y 2 + 2xy; x(r; ) = r cos ; y(r; ) = r sin Luego z(r; ) = (r cos )2 + (r sin )2 + r2 sin 2 = r2 + r2 sin 2 por tanto @2f @ = @ @r @

@f @r

=

@ (2r + 2r sin 2 ) = 4r cos 2 @

luego @2f = 4r cos 2 @ @r Ahora por la regla de la cadena como @f @x 2 @ f @y@x @x @ 2 @ y @ @r

@2f @f @2f = 2; = 2y + 2x; =2 @x2 @y @y 2 @2f @x @y = 2; = 2; = cos ; = sin @x@y @r @r @y @2x @ @x @ = r sin ; = r cos ; = = (cos ) = @ @ @r @ @r @ @ @f @ = = (sin ) = cos @ @r @

= 2x + 2y;

sin

así: @2f @ 2 f @x @x @ 2 f @y @x @f @ 2 x @ 2 f @x @y @ 2 f @y @y @f @ 2 y = + + + + + @ @r @x2 @ @r @y@x @ @r @x @ @r @x@y @ @r @y 2 @ @r @y @ @r = (2)( r sin ) cos + 2r cos cos + (2(r cos ) + 2r sin )( sin ) +2( r sin ) sin + 2r cos sin + (2(r sin ) + 2r cos )(cos ) = 2r sin cos + 2r cos2 2r cos sin 2r sin2 2r sin2 + 2r sin cos + 2r cos sin + 2r cos2 = 4r cos2 4r sin2 = 4r cos 2 Como

@2f @ 2 = @ @

@f @

=

@ @

2r2 cos 2

=

4r2 sin 2

98

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

y si aplicamos la regla de la cadena, deducimos que @2f @ 2

@ @ @ = @

@f @ @f @x @f @y @ @f @x @ = + = + @ @ @x @ @y @ @ @x @ @ 2 2 @f @x @f @ x @ @f @y @f @ y + + = 2 + @x @ @x @ @ @y @ @y @ 2 @ @f @x @ @f @y @x @f @ 2 x = + + + @x @x @ @y @x @ @ @x @ 2 @ @f @x @ @f @y @y @f @ 2 y + + + @x @y @ @y @y @ @ @y @ 2 2

2

= = = =

@f @y @y @

=

@ 2 f @y @x @f @ 2 x @f @ 2 y @ 2 f @x @ 2 f @x @y @ 2 f @y + + + + + @x2 @ @y@x @ @ @x @ 2 @x@y @ @ @y 2 @ @y @ 2 2r2 sin2 + 2r cos ( r sin ) + (2r cos + 2r sin )( r cos ) +2 ( r sin ) (r cos ) + 2r2 cos2 + (2r sin + 2r cos )( r sin ) 2r2 sin2 2r2 cos sin 2r2 cos2 2r2 cos sin 2r2 cos sin +r2 cos2 2r2 sin2 2r2 sin cos 8r2 cos sin = 4r2 sin 2

En forma análoga mostrar directamente y por la regla de la cadena que @2f @r@ @2f @r2

= 4r cos 2 = 2 + 2 sin 2

En forma análoga si w = f (x; y; z) = xyz;

x = r cos sin ';

y = r sin sin ' z = r cos '

por medio de la regla de la cadena hallar @2f @2f @2f @2f @2f @2f @2f ; ; ; ; ; ; @r2 @ 2 @'@r @'2 @r@' @r@ @'@ Ejemplo 3.7 Dos objetos se mueven por las curvas, el primero por x1 = cos t;

y1 = 2 sin t

3.1. INTRODUCCIÓN

99

y el segundo por x2 = 2 sin 2t;

y2 = cos 2t

¿A qué ritmo está combiando la distancia entre ellos cuando t = =2? x1 = cos t = cos =2 = 0; y2 = cos 2t = cos

=

y1 = 2 sin t = sin =2 = 2; x2 = 2 sin 2t = 2 sin @x1 1; = sin t = sin =2 = 1 @t

= 0;

@x2 @y1 @y2 = 4 cos 2t = 4 cos = 4; = 2 cos t = 2 cos = 0; = 2 sin 2t = 0 @t @t 2 @t La distancia entre ellos viene dada por: q q 2 2 s = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) = (0 0)2 + ( 1 2)2 = 3 (x2

@s =q @x1

(x2

@s =q @x2

(x2

luego

x1 )

x1 )2 + (y2 (x2

= 0; y1 )2

x1 )

x1 )2 + (y2

= 0; y1 )2

@s =q @y1

(y2

y1 )

x1 )2 + (y2

(x2

@s =q @y2

(y2

y1 )2

y1 )

x1 )2 + (y2

(x2

=

3 3

= 3=3 y1 )2

@s @s @x1 @s @x2 @s @y1 @s @y2 = + + + @t @x1 @t @x2 @t @y1 @t @y2 @t = 0:( 1) + 0( 4) + ( 1)(0) + (1)(0) = 0 por lo tanto la distancia entre los dos objetos no esta cambiando Ejemplo 3.8 El volúmen v de un cilindro circular recto de radio r y de altura h es V = r2 h: Si el volúmen aumenta a razón de 72 cm3 = min, mientras que la altura disminuye a razón de 4cm= min :Hallar la razón de aumento del radio cuando la altura es de 3cm y el radio es de 6cm: Solución: dV @V @r @V @h dr dh = + = 2 rh + r2 dt @r @t @h @t dt dt dr dr entonces despejamos para obtener = dt dt 126 = 6cm= min 36

como dV dt

r2 2 rh

dV = 72 dt

dh dt

=

72

dh = dt

4

(36)( 4) = 36

100

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejercicio 6 solucionar los ejercicios siguientes 1. Si z = x2 3x2 y 3 ; x = uev , y = ue v mostrar que @z @z = 2ue2v 15u4 e v ; = 2u2 e2v + 3u5 e v @u @v 2. Si z = f (x; y); x = uev ; y = ue v mostrar que @z df v df v @z df v df = e + e ; = ue ue v @u dx dy @v dx dy 3. Si w = f (p; q; r); p(x; y; z) = exyz ; q(x; y; z) = x2 y

y r(x; y; z) = (x2 + y + z 2 )2

mostrar que @w df df df = yzexyz + 2xy + 4x(x2 + y + z 2 ) @x dp dq dr @w df df df = xzexyz + x2 + 2(x2 + y + z 2 ) @y dp dq dr @w df df df = xyexyz + :0 + 4z(x2 + y + z 2 ) @z dp dq dr 4. Si w = xy + yz + zx; x = rt; y = ert ; z = t2 r mostrar que @w = ert t + 2rt3 + rt2 ert + rt3 ert + t2 ert @r @w = rert + 3r2 t2 + r2 tert + r2 t2 ert + 2rtert @t 5. Si f (x; y; z) = xy + yz + zx; x = x(r; ; '); y = y(r; ; '); z = z(r; ; '); Hallar

Ind .por ejemplo

@2f @r2

@f @f @f @ 2 f @ 2 f @ 2 f ; ; ; ; ; @r @ @' @r2 @ 2 @r@

@ @r @ = @r =

@f @ @f @x @f @y = + + @r @r @x @r @y @r @f @x @ @f @y @ + + @x @r @r @y @r @r

@f @z = @z @r @f @z @z @r

3.1. INTRODUCCIÓN =

=

=

@x @f @ 2 x @ + + 2 @r @x @r @r

@f @x

@ @r

101

@ @x

@f @x

@y @f @ 2 y @ + + 2 @r @y @r @r

@f @y

@x @ + @r @y

@f @x

@y @ + @r @z

@z @f @ 2 z + = @r @z @r2

@f @z

@z @x @f @ 2 x + + @r @r @x @r2

@f @x

@ @x

@f @y

@x @ + @r @y

@f @y

@y @ + @r @z

@f @y

@z @y @f @ 2 y + + @r @r @y @r2

@ @x

@f @z

@x @ + @r @y

@f @z

@y @ + @r @z

@f @z

@z @z @f @ 2 z + = @r @r @z @r2

@y @z @x @ 2 x @x @z @y @2y @x @y @z @2z + +(y + z) 2 + + +(x + z) 2 + + +(y + x) 2 @r @r @r @r @r @r @r @r @r @r @r @r

6. Si u = f (x; y); x = es cos t; y = es sin t Demostrar que @u @x

2

+

@u @y

2

=e

2s

@u @s

2

+

@u @t

2

!

7. Si z = f (x; y); x = s + t; y = s

t, demuestre que

@z @x

8. Si u = f (x; y); x = er cos t; y = er sin t entonces

@2u @2u + =e @x2 @y 2

2r

@2u @2u + 2 @r2 @t

9. Si u = f (x; y); x = r cos ; y = r sin demostrar que @2u @2u @2u 1 @ 2 u 1 @u + = 2 + 2 2 + r @r @x2 @y 2 @r r @

2

@z @y

2

=

@z @z @s @t

102

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

10. Sea h(x) = f (g(x));

g = (g1 ; :::; gn )

es un campo vectorial diferenciable en a , f en un campo escalar diferenciable en g(a) = b; Demostrar que rh(a) =

n X

Dk f (b)rgk (a)

k=1

11. Sea y + z) i + xyzj + z 2 yk

l(x; y; z) = (x x+2y

f (x; y) = e

y

2

i + sin(y + 2x)j; g(u; v; w) = (u + 2v + 3w3 )i + (2v

u2 )j

a) Hallar las matrices jacobianas de l,g, f b) Calcular h(u; v; w) = f (g(u; v; w)) c) Calcular Dh(1; 1; 1) Respuesta 2 3 1 1 1 ex+2y 2ex+2y Ml = 4 yz xz xy 5 Mf = 2 cos(y + 2x) cos(y + 2x) 0 z 2 2zy Mg = h(u; v; w) = f (g(u; v; w)) = eu+2v Mh(1;

1;1)

=

1 4v 9w2 2u 2 0

2 +3w 3 +4v

3 0

2u2

i + sin 2v

u2 + 2u + 4v 2 + 6w3 j

0 9 6 cos 9 18 cos 9

12. Hallar la matriz jacobiana de f (x; y; z) = xi + yj + zk Res 2 3 1 0 0 Mf = 4 0 1 0 5 0 0 1 13. El cambio de variable x = u + v; y = uv 2 transforma f (x; y) en g(u; v) Calcular @2g @f @f @2f @2f @2f @2f en (u; v) = (1; 1) si = = = = = = 1Resp 8 @v@u @y @x @x2 @y 2 @x@y @y@x

3.2. FUNCIÓN IMPLÍCITA

103

14. El cambio de variable x = uv; y =

u2

v2 2

transforma f (x; y) en g(u; v)

a) Mostrar que @g @f @f = v+ u; @u @x @y @2f @2g = uv 2 + u2 @u@v @x

@g @f = u @v @x v2

@2f @x@y

@f v @y

uv

@2f @f + 2 @y @x

b) Si 2

krf (x; y)k = 2 hallar a y b tal que a

@g @u

2

b

@g @v

2

= u2 +v 2 Resp a = 1=2; b =

15 Suponga que se calienta un cilindro circular recto sólido y que su radio aumenta a razón de 0:2cm=hora y su altura a 0:5cm=hora . Hallar la razón del aumento del área con respecto al tiempo, cuando el radio mide 10cm / y la altura 100: Ind: s = 2 rh + 2 r2 ;

ds @s dr @s dh = + = 58 cm2 =hora dt @r dt @h dt

16 La altura de un cono circular recto es de 15cm y está creciendo a 0:2cm= min :El radio de la base es de 10cm y decrece 0:3cm= min :¿Con qué rapidéz está cambiando el volúmen del cono? Ind: Vc =

3.2

1 2 1 2 dV @V dx @V dy xy= r h; = + = 3 3 dt @x dt @y dt

70 cm3 = min 3

Función Implícita

En esta sección, se explica el concepto de función implicita, la segunda diferencial y se presenta una variedad de ejemplos resueltos, al igual que una sección de ejercicios propuestos con sus debidas respuestas Una aplicación importante de la regla de la cadena, es que sirve para determinar la derivada de una función de…nida implicitamente.

1=2

104

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Cuando el grá…co de la ecuación, F (x; y) = 0 representa en el plano una curva que no es una relación funcional, es posible subdividir esta curva en subcurvas que representan funciones, como por ejemplo, en la ecuación x2 + y 2

4=0

cuyo grá…co es una relación no funcional, se puede dividir por ejemplo en dos funciones : p p 4 x2 f (x) = 4 x2 y g(x) = Es evidente que si algún punto (x,y) satisface a f(x) y a g(x) entonces éste punto satisface la ecuación x2 + y 2 4 = 0 y en casos como estos, se dice que p f (x) = 4

x2 y g(x) =

p

4

x2

estan de…nidas implicitamente por la ecuación x2 + y 2 = 4 y en general, la ecuación F (x; y) = 0 de…ne una o varias funciones implícitas si : 1) F (x; y) = 0 representa una relación no funcional y 2) Existe y = f (x) tal que F (x; f (x)) = 0 para todox Df Supongamos que x y y están relacionados mediante la ecuación F (x; y) = 0 dy donde se supone que y = f (x) es una función derivable de x, para hallar ; consideramos dx la función w = F (x; y) = F (x; y(x)) entonces

dw @F @x @F @y @F @F dy = : + : = :1 + : dx @x @x @y @x @x @y dx

y como w = F (x; y) para todo x en el dominio de y(x), entonces dw @F @F dy = :1 + : =0 dx @x @y dx

dw = 0 y así dx

3.2. FUNCIÓN IMPLÍCITA

105

entonces

@F @x @F @y

dy = dx A manera de ejemplo Ejemplo 3.9 Consideremos la ecuación

x2 + y 2 = 4 dy que representa una relación no funcional y calculemos ; la derivada de la función dx implicita. La derivada de la función implicita la podemos calcular de 3 formas: 1) Aplicando la conclución anterior dy = dx

@F @x = @F @y

2x = 2y

x y

si F (x; y) = x2 + y 2

4=0

2) Por diferenciales, aplicando diferenciales en ambos lados de la igualdad, se tiene d(x2 + y 2

4) = d(0)

para obtener 2xdx + 2ydy

0=0

y dividiendo por 2dx la igualdad, se tiene que x+y

dy =0 dx

y así dy = dx

x y

3)Por derivación implícita, como y es una función de x, entonces x2 + y 2 (x) = 4

106

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

y derivando ambos lados de la igualdad con respecto a x se tiene que 2x + 2yy 0 (x) = 0 luego

x y En varias variables el trabajo es muy análogo, pués si por ejemplo el grá…co de la ecuación y 0 (x) =

F (x; y; z) = 0 es una relación no funcional que de…ne a z como función de x y de y, entonces F (x; y; z(x; y)) = 0 y para hallar las derivadas de la función implicita @z @z y @x @y aplicamos la regla de la cadena primero derivando con respecyo a x la ecuación : F (x; y; z(x; y)) = 0 para obtener @F @F @F @z @F @x @F @y @F @z : + : + : = :1 + :0 + : =0 @x @x @y @x @z @x @x @y @z @x y de aquí @F @z = @x @F @x @z y derivando con respecto a y la misma ecuación se obtiene que @F @x @F @y @F @z @F @F @F @z : + : + : = :0 + :1 + : =0 @x @y @y @y @z @y @x @y @z @y y de aquí @z = @y A manera de ejemplo

@F @y @F @z

3.2. FUNCIÓN IMPLÍCITA

107

Ejemplo 3.10 Consideremos la ecuación x2 + y 2 + z 2 = 18 que representa una relación no funcional y calculemos

@z @z y las derivadas de la función @x @y

implicita en el punto (1,1,4). Las derivadas de la función implicita las podemos calcular de 3 formas: 1) Aplicando la conclución anterior @z = @x

@F @x = @F @z

2x = 2z

x z

luego

@z (1; 1) = @x

1 4

y @F @z 2y y @z 1 @y = = = luego (1; 1) = @F @y 2z z @y 4 @z 2) Aplicando diferenciales en ambos lados de la igualdad se tiene d(x2 + y 2 + z 2

18) = d(0)

para obtener 2xdx + 2ydy + 2zdz

0=0

y despejando dz de la ecuación anterior se tiene que 2zdz =

2xdx

2ydy

y así dz =

x dx z

y @z @z dy = dx + dy z @x @y

luego @z = @x

x z

y

@z = @y

y z

3) Como z(x,y) es funcion de x y de y derivamos la ecuación x2 + y 2 + z 2 (x; y) = 18

108

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

con respecto a x y con respecto a y para obtener 2x + 0 + 2z

@z @z = 0 y así = @x @x

0 + 2y + 2z

@z =0 @y

x z

y y así

@z = @y

y z

Ejemplo 3.11 Supongamos que z = f (x; y) satisface la ecuación x2 z 2 + xy 2 hallar

z 3 + 4yz

5=0

@z @z y de 3 formas diferentes : @x @y

1) @F @x = @F @z

@z = @x

2xz 2 + y 2 2x2 z 3z 2 + 4y

y @F @z 2xy + 4z @y = = 2 @F @y 2x z 3z 2 + 4y @z 2) Como z depende de x y de y derivamos la ecuación x2 z 2 + xy 2

z 3 + 4yz

5=0

con respecto a x para obtener 2xz 2 + x2 2z

@z + y2 @x

entonces (3z 2

x2 2z

4y)

3z 2

@z @z + 4y =0 @x @x

@z = 2xz 2 + y 2 @x

luego @z 2xz 2 + y 2 = 2 = @x 3z x2 2z 4y y si derivamos la ecuación x2 z 2 + xy 2

2xz 2 + y 2 x2 2z 3z 2 + 4y

z 3 + 4yz

5=0

3.2. FUNCIÓN IMPLÍCITA

109

con respecto a y obtenemos x2 2z

@z + 2xy @y

3z 2

@z @z + 4(z + y ) = 0 @y @y

entonces 2xy + 4z = (3z 2

2x2 z)

4y

@z @y

y así @z 2xy + 4z 2xy + 4z = 2 = 2 2 @y 3z 4y 2x z 2x z 3z 2 + 4y 3) Aplicando diferenciales d(x2 z 2 + xy 2

z 3 + 4yz

5) = d(0)

y aplicando las propiedades de la diferencial obtenemos 2xz 2 dx + 2zx2 dz + y 2 dx + 2xydy

3z 2 dz + 4ydz + 4zdy = 0

y agrupando dx dy y dz obtenemos (2xz 2 + y 2 )dx + (2xy + 4z)dy = ( 2zx2 + 3z 2

4y)dz

luego dz =

2xz 2 + y 2 2xy + 4z dx+ dy = 2 2 2zx + 3z 4y 2zx2 + 3z 2 4y luego

2xz 2 + y 2 2zx2 3z 2 + 4y

@z = @x

Si F (x; y; z) = 0 y x = f (y; z)

y

2xz 2 + y 2 2xy + 4z dx dy 2 2 2zx 3z + 4y 2zx2 3z 2 + 4y @z = @y

2xy + 4z 2zx2 3z 2 + 4y

o y = f (x; z) el tratado es muy análogo

Ejemplo 3.12 La ecuación 2x2 + 2y 2 + z 2

8xz

z+8=0

de…ne a z como función de x y de y, hallar d2 z En efecto: 4xdx + 4ydy + 2zdz

8xdz

8zdx

dz = 0

es decir (4x

8z)dx + 4ydy = ( 2z + 8x + 1)dz

110

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

luego dz = d2 z = d

= d

=

4x 8z dx + 2z + 8x + 1

4y dy 2z + 8x + 1

4x 8z 2z + 8x + 1

=d

= d

4:y dy 2z + 8x + 1

4x 8z dx + d 2z + 8x + 1

=d

d

4x 8z dx + 2z + 8x + 1

4y 2z + 8x + 1 4x 8z 2z + 8x + 1 4x 8z 2z + 8x + 1

4y dy) 2z + 8x + 1

4y d (dy) = 2z + 8x + 1

dx + 0 + d dx + d

=

4x 8z d (dx) + 2z + 8x + 1

dx +

dy +

=

4y dy + 0 = 2z + 8x + 1 4y dy = 2z + 8x + 1

[( 2z + 8x + 1) (4dx

8dz) (4x 8z) ( 2dz + 8dx)] dx ( 2z + 8x + 1)2 [( 2z + 8x + 1) 4dy 4y ( 2dz + 8dx)] dy + ( 2z + 8x + 1)2

y si x = 2, y = 0, z = 1; entonces muestre que dz = 0 y d2 z =

[( 2 + 16 + 1) (4dx

8:0) (8 (15)2

8) ( 2:0 + 8dx)] dx

+

[( 2 + 16 + 1) 4dy 4:0 ( 2:0 + 8dx)] dy 4 (dx)2 4 (dy)2 4 = + = (dx)2 + (dy)2 2 15 15 15 (15) Ejemplo 3.13 La ecuacíon F (x

az; y

bz) = 0

con F una funcíon diferenciable, de…ne a z como función de x y de y. Demostrar que a

@z @z +b =1 @x @y

3.2. FUNCIÓN IMPLÍCITA

111

En efecto: Como z es función de x y de y entonces derivando con respecto a x la ecuación F (x

az; y

bz) = F (A(x; y); B(x; y)) = 0

se tiene que @F @A @F @B @z @z + = D1 F (1 a ) + D2 F ( b ) = 0 @A @x @B @x @x @x @z entonces despejando de la ecuación anterior se tiene que @x @z D1 F = @x aD1 F + bD2 F y derivando con respecto a y la ecuación F (A(x; y); B(x; y)) = 0 obtenemos

@F @A @F @B @z + = D1 F ( a ) + D2 F (1 @A @y @B @y @y

y despejando

b

@z )=0 @y

@z de la ecuación anterior se tiene que @y @z D2 F = @y aD1 F + bD2 F

por lo tanto a

@z aD1 F bD2 F aD1 F + bD2 F @z +b = + = =1 @x @y aD1 F + bD2 F aD1 F + bD2 F aD1 F + bD2 F

En forma análoga, demuestre que si F entonces x

x y ; z z

=0

@z @z +y =z @x @y

Ejemplo 3.14 Si x = u cos v; y = u sin v; z = u2 Hallar

@z @z y @x @y

112

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

En efecto: x2 + y 2 = (u cos v)2 + (usinv)2 = u2 cos2 v + sin2 v = u2 = z por lo tanto z = x2 + y 2 luego @z @z = 2x y = 2y @x @y Ahora si aplicamos diferenciales dz = 2udu; dx =

@x @y @y @x du+ dv = cos vdu u sin vdv; dy = du+ dv = sin vdu+u cos vdv @u @v @u @v

y de las ecuaciones dx = cos vdu

u sin vdv

dy = sin vdu + u cos vdv

despejamos du, se obtiene du = cos vdx + sin vdy y reemplazamos en dz = 2udu = 2u cos vdx + 2u sin vdy = 2xdx + 2ydy =

@z @z dx + dy @x @y

luego @z @z = 2x y = 2y @x @y En forma general si x = x(u; v); y = y(u; v) y z = z(u; v) Hallar

@z @z y @x @y

Ejercicio 7 Solucionar los ejercicios siguientes 1. Si x = u + v; y = u2 + v 2 ; z = u3 + v 3 con u 6= Mostrar que @z = @x

3uv y

@z 3 = (u + v) @y 2

v

3.2. FUNCIÓN IMPLÍCITA

113

2. La ecuación x3 + 2y 3 + z 3

3xyz

2y + 3 = 0

de…ne a z como una función implicita de x y de y, mostrar que x2 @z = @x xy 3. Si

yz z2

y

@z 6y 2 3xz 2 = @y 3(xy z 2 )

x y ; =0 z z de…ne a z como una función implicita de x y de y, mostrar que F

x

@z @z +y =z @x @y

4. Las tres ecuaciones F (u; v) = 0; u = xy; v =

p

x2 + z 2

de…nen una super…cie en el espacio p xyz. Hallar un vector normal a esa super…cie en el punto x = 1; yp= 1; z = 3; si se sabe que D1 F (1; 2) = 1; D2 F (1; 2) = 2 Respuesta N = (2; 1; 3) 5. La ecuación x + z + (y + z)2 = 6 de…ne a z como una función implícita de x y de y, mostrar que @z 1 = @x 2y + 2z + 1

@z 2(y + z) = @y 2y + 2z + 1

@2z 2 = @x@y (2y + 2z + 1)3

6. La ecuación F (x + y + z; x2 + y 2 + z 2 ) = 0 de…ne a z como una función implícita de x y de y, mostrar que @z = @x

D1 F + 2xD2 F D1 F + 2zD2 F

@z = @y

7. La ecuación F (x; y; z) = 0

D1 F + 2yD2 F D1 F + 2zD2 F

114

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA @2F @2F de…ne a z como una función implícita de x y de y, mostrar que si = @x@z @z@x entonces 2 2 2 @ 2 F @F @F @F @ F @ 2 F @F 2 + 2 2 @ z @z @x @x@z @z @x @z @x2 = 3 @x2 @F @z

8. La ecuación x + z + (y + z)2 = 6 de…ne z como función implícita de x y de y ,sea z = f (x; y) . Mostrar que 1 @f = ; @x 2y + 2z + 1 10. Si x = u + v; y = u @z @z =u y =u @x @y

3.3

v;

@2f 2 = @x@y (2y + 2z + 1)3

@f 2(y + z) = ; @y 2y + 2z + 1 z = u2

Demostrar que dz = udx + udy por tanto

Planos Tangentes y Rectas Normales

Sea F (x; y; z) = 0 la ecuación que representa una super…cie, con primeras derivadas parciales continuas y (x0 ; y0 ; z0 ) un punto de la grá…ca de F (x; y; z) = 0, en donde rF (x0 ; y0 ; z0 ) 6=0. Si (t) es una curva diferenciable sobre esta super…ciecon (t0 ) = (x0 ; y0 ; z0 ) entonces 0 rF (x0 ; y0 ; z0 ) (t0 ) = 0

es decir, rF (x0 ; y0 ; z0 ) y 0 (t0 ) son ortogonales, por lo tanto rF (x0 ; y0 ; z0 ) es un vector normal a la super…cie representada por la ecuación F (x; y; z) = 0. En efecto : Como (t) está sobre la super…cie representada por la ecuación F (x; y; z) = 0; entonces F ( (t)) = 0 luego d (F ( (t))) = rF ( (t)) dt

Ejemplo 3.15 Si z = 1 entonces z super…cie representada por z = 1; es rF (x; y; z) =

0

(t) = 0

1 = F (x; y; z) = 0, luego un vector normal a la @F @F @F ; ; @x @y @z

= (0; 0; 1)

3.3. PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES Ejemplo 3.16 Si x + y + 3z es

115

20 = F (x; y; z) = 0; entonces un vector normal al plano

rF (x; y; z) =

@F @F @F ; ; @x @y @z

= (1; 1; 3)

Ejemplo 3.17 Si z = x2 + y 2 entonces x2 + y 2

z = 0 = F (x; y; z)

y un vector normal a la super…cie del paraboloide es rF (x; y; z) =

@F @F @F ; ; @x @y @z

= (2x; 2y; 1) o

( 2x; 2y; 1)

Ejemplo 3.18 Si z=

p p x2 + y 2 entonces x2 + y 2

z = 0 = F (x; y; z)

y un vector normal a la super…cie del cono es rF (x; y; z) =

@F @F @F ; ; @x @y @z

Ejemplo 3.19 Si x = 1 entonces x super…cie representada por x = 1 es rF (x; y; z) =

x

= (p

x2 + y 2

y

;p

x2 + y 2

; 1)

1 = F (x; y; z) = 0 luego un vector normal a la @F @F @F ; ; @x @y @z

= (1; 0; 0)

Ejemplo 3.20 Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super…cie representada por x2 + y 2 + z 2 = 6 en el punto ( 1; 2; 1) En efecto: El vector normal del plano es el vector rF ( 1; 2; 1) que es el vector dirección de la recta. F (x; y; z) = x2 + y 2 +z2 6 = 0 entonces rF (x; y; z) =

@F @F @F ; ; @x @y @z

= (2x; 2y; 2z) ; rF ( 1; 2; 1) = ( 2; 4; 2)

luego la ecuación del plano tangente a la super…cie en el punto ( 1; 2; 1) es rF ( 1; 2; 1) (X

P0 ) = ( 2; 4; 2) ((x; y; z)

( 1; 2; 1)) = 0 = ( 2; 4; 2) (x+1; y 2; z 1)

116

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

es decir 2(x + 1) + 4(y

2) + 2(z

1) = 0

y la ecuación de la recta normal es x+1 y 2 z 1 = = 2 4 2 Ejemplo 3.21 Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super…cie representada por z = x2 + y 3 en el punto (1,2,9) En efecto: El vector normal del plano es el vector rF (1; 2; 9) que es el vector diección de la recta. F (x; y; z) = x2 + y 3 z = 0 entonces rF (x; y; z) =

@F @F @F ; ; @x @y @z

= 2x; 3y 2 ; 1 ; rF (1; 2; 9) = (2; 12; 1)

luego la ecuación del plano tangente a la super…cie en el punto (1; 2; 9) es rF (1; 2; 9) (X

P0 ) = (2; 12; 1) ((x; y; z)

(1; 2; 9)) = 0 = (2; 12; 1) (x 1; y 2; z 9)

es decir 2(x

1) + 12(y

2)

(z

9) = 0

y la ecuación de la recta normal es x

1 2

=

y

2 12

=

z

9 1

Ejemplo 3.22 Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super…cie representada por xyz = 12 en el punto (2; 2; 3) En efecto: El vector normal del plano es el vector rF (2; 2; 3) que es el vector dirección de la recta. F (x; y; z) = xyz 12 = 0 entonces rF (x; y; z) =

@F @F @F ; ; @x @y @z

= (yz; xz; xy) luego rF (2; 2; 3) = (6; 6; 4)

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

117

luego 6(x

2)

6(y + 2)

4(z + 3) =

es la ecuación del plano tangente y x

2 6

=

y+2 z+3 = 6 4

es la ecuación de la recta normal Ejemplo 3.23 Hallar los puntos de la super…cie z = 3xy

x3

y3

en que el plano tangente es horizontal. En efecto el plano tangente es horizontal donde @z @z = 0 y; = 0 luego @x @y @z = 3y @x

3x2 = 0 ssi y = x2

y @z = 3x 3y 2 = 0 ssi x = y 2 @y por lo tanto y = x2 = y 4 ; es decir, y y 4 = y(1 y 3 ) = y(1 y)(1 + y + y 2 ) = 0; luego y = 0 y y = 1; y así x = 0, x = 1 luego los puntos son (0; 0; 0) ; (1; 1; 1)

3.4 3.4.1

Máximos y Mínimos Introducción

En esta sección extenderemos las técnicas para encontrar los valores extremos de una función de una variable, a funciones de dos o más variables :

3.4.2

De…nicion de máximo absoluto

Si f : Rn ! R entonces f tiene un máximo absoluto en x = a sii f (x)

f (a) para todo x 2 Df y su valor es f (a)

Ejemplo 3.24 f (x; y) = 4

x2

y2

tiene un máximo absoluto en (x; y) = (0; 0) y su valor es f (0; 0) = 4; pues f (x; y) = 4

x2

y2

f (0; 0) = 4; para todo (x; y) 2 R2 = Df

118

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 3.25 f (x; y) =

p

x2

4

y2

tiene un máximo absoluto en (x; y) = (0; 0) y su valor es f (0; 0) = 2 pues f (x; y) =

p 4

x2

f (0; 0) = 2; para todo (x; y) 2 Df = (x; y)=x2 + y 2

y2

Ejemplo 3.26

f (x; y) =

p

4

x2 + y 2

tiene un máximo absoluto en (x; y) = (0; 0) y su valor es f (0; 0) = 0; pues f (x; y) =

3.4.3

p

x2 + y 2

f (0; 0) = 0; para todo para todo (x; y) 2 R2 = Df

De…nición de máximo relativo

Si f : Rn ! R f (x)

f tiene un máximo relativo en x = a sii f (a) para todo x en una vecindad de a y su valor es f (a)

Ejemplo 3.27 f (x; y) = 4

x2

y2

tiene un máximo relativo en (x; y) = (0; 0) y su valor es f (0; 0) = 4 pues f (x; y) = 4

x2

y2

f (0; 0) = 4;

para todo (x; y) en el interior de la circunferencia x2 + y 2 (0; 0); f (0; 0) = 4; es también un máximo absoluto

4 que es una vecindad de

Ejemplo 3.28 f (x; y) = x(4

x)(x + 4)

tiene un máximo relativo en (x; y) = (2; y) con y 2 R y su valor es f (2; y) = 24, pues f (x; y) = x(4

x)(x + 4)

que es una vecindad de (2; y)

f (2; y) = 24; para todo (x,y) en 0 < x < 4

y

y2R

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

3.4.4

119

De…nición de mínimo absoluto

Si f : Rn ! R f tiene un mínimo absoluto en x = a sii f (x)

f (a) para todo x 2 Df y su valor es f (a)

y f tiene un mínimo relativo en x = a sii f (a) para todo x en una vecindad de a y su valor es f (a)

f (x) Ejemplo 3.29

f (x; y) = x(4

x)(x + 4)

tiene un mínimo relativo en (x; y) = ( 2; y) con y 2 R y su valor es f ( 2; y) = pues f (x; y) = x(4

x)(x + 4)

f ( 2; y) =

24,

24; para todo (x; y) = ( 2; y) y y 2 R

Ejemplo 3.30 f (x; y) = jxj + jyj tiene un mínimo absoluto en (x; y) = (0; 0) y su valor es f (0; 0) = 0, pues f (x; y) = jxj + jyj

f (0; 0) = 0; para todo (x; y) 2 R2 = Df

pero también se puede considerar como un mínimo relativo, si se toma como vecindad de (0; 0), por ejemplo el interior de jxj + jyj 3 o el interior de jxj + jyj 4 etc Ejemplo 3.31 f (x; y) = x2 y 2 tiene un mínimo absoluto en (x; y) = (0; 0) y su valor es f (0; 0) = 0, pues f (x; y) = x2 y 2

f (0; 0) = 0; para todo (x,y) 2 R2 = Df

pero también se puede considerar como un mínimo relativo, si se toma como vecindad de (0; 0), por ejemplo el interior de jxj + jyj 3 o el interior de x2 + y 2 4 etc. También f (x; y) = x2 y 2

f (x; 0) = 0; para todo (x; y) 2 R2 = Df

f (x; y) = x2 y 2

f (0; x) = 0; para todo (x; y) 2 R2 = Df

luego en (x; 0) y en (0; x) hay mínimo absoluto

120

3.4.5

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

De…nición de Extremos

Los Extremos de una función son el valor del máximo o el valor del mínimo. Si f tiene un extremo en x = a, entonces a es un punto crítco o a es un punto frontera

3.4.6

De…nición de punto crítco

Sea a 2 Df , se dice que a es un punto crítico de una función sii rf (a) = 0 y en este caso se dice que a es un punto estacionario o f no es diferenciable en a y en este caso a es un punto singular. Para hallar los extremos de una función lo primero que se hace es buscar los puntos critcos y los puntos frontera y buscar algún criterio para analizar si hay extremos o no . Si a es un punto estacionario, para hallar los extremos de la función se utilizará el criterio de la matriz Hessiana

3.4.7

De…nición de Matriz Hessiana

La matriz Hessiana para una función 2

6 6 6 H(x; y; z) = 6 6 6 4

f : R3 ! R @2f @x2 @2f @y@x @2f @z@x

@2f @x@y @2f @y 2 @2f @z@y

se de…ne y se nota por @2f @x@z @2f @y@z @2f @z 2

3 7 7 7 7 7 7 5

Ejemplo 3.32 Sea f (x; y) = x2 y entonces

3.4.8

2

@2f 6 @x2 H(x; y; z) = 6 4 @2f @y@x

3 @2f @x@y 7 7= @2f 5 @y 2

2y 2x 2x 0

Criterio de la matriz Hessiana

Sea a 2 Df , a un punto estacionario de f, es decir, rf (a) = 0; f con segundas derivadas parciales continuas en a y H(a) la matriz Hessiana, entonces 1) Si todos los valores propios de H(a) son positivos, entonces f tiene un mínimo relativo en x = a y su valor es f (a)

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

121

2) Si todos los valores propios de H(a) son negativos , entonces f tiene un máximo relativo en x = a y su valor es f (a) 3) Si los valores propios de H(a) son negativos y positivos entonces hay punto de silla en x = a 4) En otro caso el criterio falla Ejemplo 3.33 Hallar los extremos de f (x; y) = x2 + y 2 Esta función no tiene puntos frontera, ni puntos singulares, solo tiene puntos estacionarios, luego @f @f = 2x = 2y @x @y y así rf (x; y) = (2x; 2y) = (0; 0) sii x = 0 y y = 0 por tanto el punto estacionario es a = (0; 0). La matriz Hessiana H(x; y) viene dada por 3 2 2 @2f @ f 6 @x2 @x@y 7 2 0 7= 2 0 luego H(0; 0) = H(x; y) = 6 4 @2f @2f 5 0 2 0 2 2 @y@x @y y los valores propios de H(0; 0), son las raices de la ecuación jH(0; 0)

Ij = 0; es decir

2 0 0 2

1 0 0 1

=

2

0 0

2

= (2

)2 = 0 sii

=2

luego los valores propios de H(0; 0) son todos positivos, así que en (x; y) = (0; 0); hay un mínimo relativo y su valor es f (0; 0) = 0 Ejemplo 3.34 Hallar los extremos de f (x; y) = x3 + y 3 + 3xy Esta función no tiene puntos frontera, ni puntos singulares, solo tiene puntos estacionarios, luego @f @f = 3x2 + 3y = 3y 2 + 3x @x @y y así rf (x; y) = (3x2 +3y; 3y 2 +3x) = (0; 0) sii 3x2 +3y = 0 y 3y 2 +3x = 0 sii x2 +y = 0 y y 2 +x = 0

122

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

por tanto y = x2 y así y 2 + x = x4 + x = 0 = x (x + 1) (x2 x + 1), luego x = 0 y x = 1 y como y = x2 ; entonces y = 0, y, y = 1; luego los puntos estacionarios son (0; 0) y ( 1; 1). La matriz Hessiana H(x; y) viene dada por 3 2 2 @2f @ f 6 @x2 @x@y 7 7 = 6x 3 H(x; y) = 6 4 @2f @2f 5 3 6y 2 @y@x @y Los valores propios de H(0; 0) = jH(0; 0)

0 3 , son las raices de la ecuación 3 0

0 3 3 0

Ij = 0; es decir

1 0 0 1

3

=

=

3

2

9 = 0 sii

=

3

luego los valores propios de H(0; 0) son todos positivos y negativos, así que en (x; y) = (0; 0) hay un punto de silla Los valores propios de H( 1; 1), son las raices de la ecuación jH( 1; 1)

Ij = 0; es decir sii (6 +

6 3 3)6 +

3 6

1 0 0 1

+ 3) = 0 sii

=

6

= 3 y

3 3

=

= (6 + )2 9 = 0

6

9

luego los valores propios de H( 1; 1) son todos negativos, así que en (x; y) = ( 1; 1); hay un máximo relativo y su valor es f ( 1; 1) Ejemplo 3.35 Hallar los extremos de f (x; y) = x3 + 3xy 2

15x

12y

Esta función no tiene puntos frontera, ni puntos singulares, solo tiene puntos estacionarios, luego @f @f = 3x2 + 3y 2 15 = 6xy 12 @x @y y así rf (x; y) = (3x2 + 3y 2 15; 6xy 12) = (0; 0) sii 3x2 + 3y 2 6xy 12 = 0 sii x2 + y 2 5 = 0 y xy 2 = 0

y

15 = 0

por tanto 2 2 y= y así x2 +y 2 5 = 0 = x2 + x x

2

5 = 0 = x4 5x2 +4 = 0 = x2

1

x2

4 =0

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

123

2 entonces x = 1 y x = 2 y como y = se tiene que (1; 2); ( 1; 2); (2; 1); ( 2; 1) x son los puntos estacionarios: La matriz Hessiana H(x; y) viene dada por 2 2 3 @ f @2f 6 @x2 @x@y 7 7 = 6x 6y H(x; y) = 6 luego 2 4 @2f @ f 5 6y 6x @y@x @y 2 1)

6 12 12 6

H(1; 2) =

los valores propios de H(1; 2), son las raices de la ecuación jH(1; 2)

6 12 12 6

Ij = 0; es decir sii (6-

1 0 0 1

+ 12) = 0 sii

12)(6

6

= =

12 12

6 y

)2 144 = 0

= (6

6 = 18

que son números Reales son positivos y negativos, por lo tanto hay punto de silla en (1; 2; f (1; 2)) 2) 6 12 H( 1; 2) = 12 6 los valores propios de H( 1; 2), son las raices de la ecuación jH( 1; 2)

6 12

Ij = 0; es decir = (6 + )2

1 0 0 1

12 6

144 = 0 sii (6 +

12)(6 +

=

6

12 12

+ 12) = 0 sii

6 =6 y

=

18

que son números Reales positivos y negativos, por lo tanto hay punto de silla en ( 1; 2; f ( 1; 2)) 3) 12 6 H(2; 1) = 6 12 los valores propios de H(2; 1), son las raices de la ecuación jH(2; 1)

Ij = 0; es decir (12

)2

12 6 6 12

36 = 0 sii (6

)(18

1 0 0 1 ) = 0 sii

=

12

6 6

12

=6 y

= 18

=

124

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

luego los valores propios son todos positivos, por lo tanto hay mínimo relativo en (2; 1) y su valor es f (2; 1) 4) 12 6 H( 2; 1) = 6 12 los valores propios de H( 2; 1), son las raices de la ecuación jH( 2; 1)

12 6

Ij = 0; es decir (12 + )2

6 12

1 0 0 1

36 = 0 sii (6 + )(18 + ) = 0 sii

12

= =

6 6

6 y

=

12

=

18

son números Reales todos negativos, por lo tanto hay máximo relativo en ( 2; 1) y su valor es f ( 2; 1) Recordemos que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a; b] entonces f tiene máximo y mínimo absoluto en el intervalo. En forma análoga si f (x; y) es una función continua en conjunto cerrado y acotado del plano xy, entonces f (x; y) tiene máximo y mínimo absoluto en el conjunto. Ejemplo 3.36 Hallar los extremos de f (x; y) = x2 + y 2

2x

2y

en

Q = (x; y)=x2 + y 2

4

1) Buscamos los puntos estacionarios que son interiores a Q @f = 2x @x

2 = 0 sii x = 1

@f = 2y @y

2 = 0 sii y = 1

por tanto (x; y) = (1; 1) es un punto estacionario en el interior de Q 2) Examinamos la función en la frontera x2 + y 2 = 4. Para ello parametrizamos la curva x2 + y 2 = 4 como, (t) = (2 cos t; 2 sin t) 0 t 2 ; por lo tanto h(t) = f (x; y) = f (2 cos t; 2 sin t) = 4

4 cos t

4 sin t

0

t

y hallamos los puntos críticos y frontera de esta función, luego h0 (t) = 4 sin t que son t =

4

,t=

4 cos t = 0 sii

sin t = cos t sii t =

5 y los extremos t = 0, t = 2 : 4

4

,t=

5 4

2

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

125

Como (x; y) = (2 cos t; 2 sin t) entonces (x; y) = 2 cos ; 2 sin 4 4 (x; y) =

2 cos

5 5 ; 2 sin 4 4

=

=

(x; y) = (2 cos 0; 2 sin 0) = (2; 0)

p p ! p p 2 2 2 2 ; = 2; 2 2 2 p p ! p p 2 2 2 2 ; = 2; 2 2 2 (x; y) = (2 cos 2 ; 2 sin 2 ) = (2; 0)

por tanto los extremos de f (x; y) = x2 + y 2 2x 2y en Q = (x; y)=x2 + y 2 4 p p p p se hallan en (1; 1); 2; 2 ; 2; 2 ; (2; 0) y para saber cual es el máximo y el minimo, evaluamos la función en cada punto así p p p p p p f (1; 1) = 1+1 2 2 = 2; f 2; 2 = 4 4 2 f 2; 2 = 4+4 2 y f (2; 0) = 0 p p p luego el máximo absoluto es 4 + 4 2 y ocurre en 2; 2 y el mínimo absoluto es 2 y ocurre en (1; 1) Ejemplo 3.37 Hallar los extremos de f (x; y) = x2 + y 2

en

Q = (x; y)=x2 + y 2

4

1) Buscamos los puntos estacionarios que son interiores a Q @f = 2x = 0 sii x = 0 @x

@f = 2y = 0 sii y = 0 @y

por tanto (x; y) = (0; 0) es un punto estacionario en el interior de Q 2) Examinamos la función en la frontera x2 + y 2 = 4. Para ello parametrizamos la curva curva x2 + y 2 = 4 como (t) = (2 cos t; 2 sin t) 0 t 2 por lo tanto h(t) = f (x; y) = f (2 cos t; 2 sin t) = 4 0

t

2

y hallamos los puntos críticos y frontera de esta función, luego h0 (t) = 0 para todo t 2 (0; 2 ) por tanto los puntos criticos son (0; 0) , (x; y) = (2 cos t; 2 sin t) 0 < t < 2 y (2; 0) cuando t = 0 y t = 2 : El valor del mínimo absoluto ocurre en (0; 0) con valor de f (0; 0) = 0 y el maximo absoluto ocurre en (x; y) = (2 cos t; 2 sin t) con 0 t 2 y su valor es f (2 cos t; 2 sin t) = 4

126

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 3.38 Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f (x; y) = x2

2xy + 2y

en el rectángulo limitado por x = 0; x = 3; y = 0; y = 2 Este conjunto es cerrado y acotado, f es diferenciable en él, por lo tanto f es continua, entonces f tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto Los puntos críticos son los puntos frontera y los puntos estacionarios, por tanto 1) @f = 2x @x

2y = 0 sii x = y

@f = @y

2x + 2 = 0 sii x = 1 entonces (x; y) = (1; 1)

es el punto estacionario y está en el interior del rectángulo 2) Examinamos la función en la frontera, y para ello parametrizamos cada curva frontera a) si y = 0 f (x; 0) = g(x) = x2

0 + 0 = x2 0

x

luego (0; 0); (3; 0) son puntos frontera b) Si x = 0 f (0; y) = g(y) = 2y

0

luego (0; 0); (0; 2); son puntos frontera. c) si x = 3 f (3; y) = g(y) = 9 6y + 2y = 9 y (3; 0); (3; 2) son puntos frontera. d) Si y = 2 f (x; 2) = g(x) = x2

4x + 4

3; f (x) = 0 sii x = 0

y

2

4y

0

y

0

x

3

2

entonces f 0 (x) = 2x

4 = 0 sii x = 2

; f (2; 2 = 0; luego (2; 2), es punto estacionario de esta función y (0; 2); (3; 2); puntos frontera Ahora f (2; 2) = 0; f (0; 2) = 4;

f (3; 2) = 1; f (3; 0) = 9; ; f (0; 2) = 4; f (0; 0) = 0 f (1; 1) = 1

luego f (3; 0) = 9 es el máximo absoluto y el mínimo absoluto es f (0; 0) = f (2; 2) = 0

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

127

Ejemplo 3.39 Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f (x; y) = x2 + y 2 en la región limitada por x

0;

y

0; x + y

xy + x + y 3

Este conjunto es cerrado y acotado, f es diferenciable en él, por lo tanto f es continua, entonces f tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto Los puntos críticos son los puntos frontera y los puntos estacionarios por tanto 1) @f @f = 2x y + 1 = 0 = 2y x + 1 = 0 @x @y entonces solucionando este sistema se tiene (x; y) = ( 1; 1) es el punto estacionario y está en el interior de la región 2) Examinamos la función en la frontera a) si y = 0 f (x; 0) = g(x) = x2 + x

3

x

0

g 0 (x) = 2x + 1 = 0 sii x =

1=2

por tanto el punto critico es ( 1=2; 0) y (0; 0); ( 3; 0) puntos frontera b) Si x = 0 f (0; y) = g(y) = y 2 + y

3

y

0 g 0 (y) = 2y + 1 = 0 sii y =

1=2

por tanto el punto critico es (0; 1=2) y (0; 0); (0; 3) puntos frontera c) si x + y = 3 entonces y = 3 x f (x; 3 x) = g(x) = x2 +(3+x)2 +x 3 x = 3x2 +9x+6 g 0 (x) =6x+9 = 0 sii x =

3=2

luego ( 3=2; 3=2) es un punto estacionario y (0; 3); ( 3; 0) puntos frontera Ahora f ( 1=2; 0) =

1=4; f (0; 0) = 0; f ( 3; 0) = 6; f (0; 3) = 6; f ( 3=2; 3=2) = f ( 1; 1) =

luego f ( 3; 0) = 6 = f (0; 3) es el máximo absoluto y el mínimo absoluto es f ( 1; 1) = 1 En resumen: Para hallar los extremos absolutos de una función continua en una región cerrada y acotada entonces 1) Buscamos los puntos críticos de la función en el interior de la región, hallando los puntos donde el rf (x; y) = 0 y donde f no es diferenciable 2)Hallamos los puntos frontera de la región donde f tiene extremos 3)Calculamos el valor de la función en cada punto hallado y el mayor valor es el máximo absoluto y el menor valor es el mínimo absoluto

1

128

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 3.40 Hallar el máximo y el mínimo de la función f (x; y) =

x2 + 2y 2 (x + y)2

x 6=

y

@f (x + y)2 2x (x2 + 2y 2 )2(x + y) (x + y) [(x + y)2x 2(x2 + 2y 2 )] = = = @x (x + y)4 (x + y)4 2x2 + 2xy 2x2 4y 2 2y(x 2y) = = 3 (x + y) (x + y)3 En forma análoga @f 2x(2y x) = = 0 sii x = 2y @y (x + y)3 por tanto @f 2y(x 2y) = = 0 sii x = 2y @x (x + y)3 asi el punto critico es x = 2y y para analizar si hay máximo o mínimo aplicaremos la de…nición y suponemos que f (x; y) sii

f (2y; y)

x2 + 2y 2 (x + y)2

2 3

x2 + 2y 2 4y 2 + 2y 2 x2 + 2y 2 6y 2 0 sii 0 (x + y)2 (3y)2 (x + y)2 9y 2 x2 + 2y 2 2 0 sii sii 3x2 + 6y 2 2(x2 + 2xy + y 2 ) sii x2 4xy + 4y 2 2 (x + y) 3 0 luego

2y)2

sii (x f (x; y)

f (2y; y) = (x

2y)2

0 luego 0 y así f (x; y)

f (2y; y)

por tanto f (x; y) entonces f (x; y) =

f (2y; y)

x2 + 2y 2 (x + y)2

x 6=

y

tiene un mínimo en (x; y) = (2y; y) y su valor es f (2y; y) =

2 3

Ejemplo 3.41 Hallar los extremos de la función f (x; y) = x2 y 3 (x + y

1) = x3 y 3 + x2 y 4

x2 y 3

0

0

3.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

129

@f = 3x2 y 3 + 2xy 4 2xy 3 = xy 3 (3x + 2y 2) @x @f = 3x3 y 2 + 4x2 y 3 3x2 y 2 = x2 y 2 (3x + 4y 3) @y por tanto la solución del sistema de ecuaciones xy 3 (3x + 2y Para el punto

1 1 ; 3 2

2) = 0 y x2 y 2 (3x + 4y

1 1 ; 3 2

3) = 0 es (x; 0),(0; y),

; se aplica el criterio de la matriz Hessiana 6xy 3 + 2y 4 9x2 y 2 + 8xy 3

H(x; y) =

2y 3 9x2 y 2 + 8xy 3 2 6xy 6x3 y + 12x2 y 2

6xy 2 6x2 y

luego 1 1 H( ; ) = 3 2

1 8 1 12

1 12 1 9

=

1 8

17 ; 144

por tanto hay un mínimo en

por tanto H entonces

=

1 1 ; 3 2 17 144

1 8

I = 1 144

p

145;

1 12

=

1 12

1 9 1 144

p

145 +

1 9

1 =0 144 1 1 ; 3 2

Para (x; 0) , (0; y); se aplicará la de…nición En efecto: f (x; y)

f (x; 0) = f (x; y)

0 = f (x; y) y miremos donde f (x; y) = x2 y 3 (x + y

1)

0

Como f (x; y) = x2 y 3 (x + y y

1) = x2 y 2 y(x + y

0 y (x + y

1)

1)

0ó y 0 y f (x; y) < 0 en cada vecindad de (x; 0): En (0; y) si y < 0 y para y > 1 f (x; y) f (0; y) = f (x; y) 0; luego hay mínimo, si 0 < y < 1; f (x; y) f (0; y) = f (x; y) < 0; luego hay máximo y para los puntos (0; 0) y (0; 1) hay punto de silla

130

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

y + + + - -. + + + --x ---+ ++ + --+ + + + +

-------

Ejercicio 8 Hallar los extremos de 1. f (x; y) = sin x + sin y + sin(x + y) 0 < x < ; 0 < y <

p 3 3 Resp x = y = ; 3 2

2. f (x; y) = 2x2

3xy 2 + y 4 = y 2

x

y2

2x

Resp punto de silla en (0; 0)

3. f (x; y) = ex cos y Resp no tiene extremos 4. f (x; y) = xy +

1 1 + Resp mínimo en (1,1), 3 x y

5. f (x; y) = x3 + y 3

6xy Resp (0; 0) punto silla, mínimo (2; 2),

8

6. f (x; y) = x3

3x + y

Resp no tiene extremos

7. f (x; y) = (x

y + 1)2

Resp mínimo en y = x + 1

8. 2 2 f (x; y) = x2 + y 2 e (x +y ) Resp máximo en x2 + y 2 = 1; mínimo en (0; 0)

9. f (x; y) = (3

x) (3

y) (x + y

3) max (2; 2); punto silla en (0; 3), (3; 0), (3; 3)

3.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

3.5

131

Multiplicadores de Lagrange

En esta sección se explica un método para hallar el valor del máximo o el valor del mínimo de una función con restricciones, que es el método de los multiplicadores de lagrange, y se presenta una variedad de ejemplos resueltos, al igual que una sección de ejercicios propuestos con sus debidas respuestas Se llama extremo condicionado de una función f (x; y), al valor del máximo o mínimo de esta función alcanzado con la condición de que sus variables estén ligadas entre si por la ecuación g(x; y) = 0. Para hallar el extremo condicionado de la función f (x; y) con la restricción g(x; y) = 0 se forma la llamada función de Lagrange F (x; y; ) = f (x; y) + g(x; y) donde es el multiplicador de lagrange y se buscan los extremos de F (x; y). Las condiciones necesarias para que haya un extremo se reducen al sistema de tres ecuaciones @F @f @g = + =0 @x @x @x @f @g @F = + =0 @y @y @y @F = g(x; y) = 0 @ de las cuales se pueden deducir los valores de x, y y : Para probar que en este punto hay un extremo, se muestra que d2 F < 0; para el máximo y d2 F > 0 para el mínimo Ejemplo 3.42 La suma de dos números positivos es 8, halle los números para que su producto sea máximo En efecto, f (x; y) = xy la función producto y la restricción es g(x; y) = x + y suma de los números, la función de Lagrange es F (x; y; ) = f (x; y) + g(x; y) = xy + (x + y así

@F =y+ @x @F =x+ @y @F =x+y @

=0 =0 8=0

8)

8 la

132

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

luego de las dos primeras ecuaciones se tiene que x = y y reemplazando en la tercera x + x 8 = 2x 8 = 0 sii x = 4 = y luego (x; y) = (4; 4). Para conocer el tipo de extremo calculamos d2 F =

@2F @2F @2F @2F 2 (dx) + dxdy + dydx+ (dy)2 = 0(dx)2 +2dxdy +0(dy)2 = 2dxdy @x2 @x@y @y@x @y 2

Como x + y

8 = 0 entonces dx + dy = 0, luego dx = d2 F (4; 4) = 2dxdy =

dy entonces

2(dx)2 < 0

por tanto hay máximo en (x; y) = (4; 4) y su valor es F (4; 4) = f (4; 4) = 16 Ejemplo 3.43 Hallar los extremos de f (x; y) = 6

2x

4y

con la condición de que sus variables satisfagan la condición x2 + y 2 = 1 En efecto: Geométricamente el problema se reduce a encontrar los valores máximo y mínimo de f (x; y) = 6 2x 4y en la intersección con el cilindro x2 + y 2 = 1:La función de Lagrange es

F (x; y; ) = f (x; y) + g(x; y) = 6 así

@F = @x @F = @y

2x

4y +

x2 + y 2

1

2+2 x=0 4+2 y =0

@F = x2 + y 2 1 = 0 @ luego de las dos primeras ecuaciones se tiene que x=1y x2 + y 2

y = 2 entonces

1 = x2 + 4x2

1 = 5x2

1 2 = por lo tanto y = 2x entonces x y p p 5 5 1=0 luego x = ; y = 2x = 2 5 5 =

3.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Para

p

p 5 2 5 x= ; y= ; 5 5

=

133

p 1 1 2 = p = 5= 5 x y

y

5

@2F @2F @2F @2F 2 (dx) + dxdy + dydx + (dy)2 = 2 (dx)2 + 2 (dy)2 = @x2 @x@y @y@x @y 2 p p = 2 5(dx)2 + 2 5(dy)2 > 0 p p ! p p ! 5 2 5 5 2 5 luego hay mínimo en (x; y) = ; y en (x; y) = ; hay máximo 5 5 5 5 pues p p d2 F = 2 (dx)2 + 2 (dy)2 = 2 5(dx)2 2 5(dy)2 < 0 d2 F =

y el valor del máximo es p

5 ; 5

f y el valor del mínimo es f

p ! p p 2 5 2 5 8 5 =6+ + 5 5 5

p ! 5 2 5 ; =6 5 5

p

p 2 5 5

p 8 5 5

Ejemplo 3.44 Hallar los extremos de f (x; y) = 36

x2

y2

si

x+y =4

En efecto, la función de Lagrange es F (x; y; ) = f (x; y) + g(x; y) = 36

x2

y 2 + (x + y

4)

entonces

@F = 2x + = 0 @x @F = 2y + = 0 @y @F =x+y 4=0 @ luego de las dos primeras ecuaciones se tiene que 2x = 2y =

por tanto x = y

luego

x+y

4 = 2x

4 = 0 sii x = 2 = y

asi geométricamente se puede observar que hay máximo en x = 2 = y (d2 F (2; 2) < 0) y que su valor es F (2; 2) = f (2; 2) = 36 4 4 = 28

134

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

Ejemplo 3.45 Hallar la mínima distancia del origen al plano x+y+z =1 En efecto, la función a minimizar es q (x 0)2 + (y 0)2 + (z

0)2 =

p x2 + y 2 + z 2

que p es la distancia del origen al punto del plano (x; y; z): En lugar de minimizar la función x2 + y 2 + z 2 , minimizamos la función x2 + y 2 + z 2 y a la respuesta obtenida le sacamos la raíz; luego la función de Lagrange es F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g(x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 + (x + y + z entonces

@F = 2x + @x @F = 2y + @y @F = 2z + @z

=0 =0 =0

@F =x+y+z @ de las dos primeras ecuaciones se tiene que

1=0

2x = 2y = 2z = por tanto x = y = z, y así x+y+z

1=x+x+x

1 = 3x

1=0

sii x =

1 =y=z 3

por tanto la distancia minima es f

1 1 1 ; ; 3 3 3

=

s

1 3

2

+

1 3

2

+

1 3

2

=

Ejemplo 3.46 Hallar las dimenciones de una caja inscrita en x2 + y 2 + z 2 = 1 de tal forma que su volúmen sea mínimo

p

3 3

1)

3.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

135

En efecto, la función de Lagrange es x2 + y 2 + z 2

F (x; y; z; ) = f (x; y; z) + g(x; y; z) = 8xyz + entonces

1

@F = 8yz + 2 x = 0 @x @F = 8xz + 2 y = 0 @y

@F = 8xy + 2z = 0 @z @F = x2 + y 2 + z 2 1 @ de las tres primeras ecuaciones se tiene que 8yz 8xz 8xy = = = 2x 2y 2z y=

por tanto

8yz 8xz = entonces y 2 = x2 entonces 2x 2y

x por tanto y = x y como 8xy 8xz = entonces y 2 = z 2 entonces y = 2y 2z

z por tanto y = z

luego (x; y; z) = (x; x; x) y así 2

2

x +y +z

2

2

2

1=x +x +x

2

1 = 3x

2

1 = 0 entonces x =

p

3 =y=z 3

y así volúmen mínimo es F

p p ! 3 3 3 ; ; =8 3 3 3

p

p !3 3 3

Ejemplo 3.47 Demostrar la desigualdad x+y+z 3

p 3

xyz

si x > 0; y > 0 z > 0

En efecto, buscamos el máximo de f (x; y; z) = xyz si x + y + z = s: La función de lagrange es F (x; y; z; ) = xyz + (x + y + z s)

136

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

luego @F = yz + @x @F = xz + @y

=0 =0

@F = xy + @z

=0

@F =x+y+z @ de las tres primeras ecuaciones se tiene que

s=0

yz = xz = xy = luego y = x; z = y así que (x; y; z) = (x; x; x) por tanto x+y+z

V (x; y; z) = xyz = y asì

s = 0 entonces x =

s = 3x s 3

3

=

x+y+z 3

x+y+z 3

p 3

s = y = z luego 3

3

f (x; y; z) = xyz

xyz

Ejemplo 3.48 El plano x + y + z = 12 interseca al paraboloide z = x2 + y 2 en una elipse. Hallar el punto más alto y màs bajo de la elipse. En efecto, la funciòn de lagrange es F (x; y; z; ; u) = z + (x + y + z

12) + u(x2 + y 2

luego @F = @x @F = @y

+ 2ux = 0 + 2u y = 0

@F =1+ u=0 @z @F = x + y + z 12 = 0 @

z)

3.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

137

@F = x2 + y 2 z = 0 @u de las dos primeras ecuaciones se tiene que x = y entonces x2 + y 2 luego z = 2x2 luego x+y+z x=

12 = x + x + 2x2

12 = 0 por tanto x2 + x

z = 2x2

6 = 0 = (x + 3)(x

z =0 2)

3 y x = 2 por lo tanto (x; y; z) = (2; 2; 8), (x; y; z) = ( 3; 3; 18) y F (2; 2; 8; ; u) = 8;

F ( 3:; 3; 18; ; u) = 18

luego (x; y; z) = (2; 2; 8) es el punto más bajo y (x; y; z) = ( 3; 3; 18) es el punto más alto Ejemplo 3.49 Hallar el valor máximo y mínimo de f (x; y; z) = x + 2y + 3z sobre la curva de intersección de x2 + y 2 = 2 y

y+z =1

En efecto, la función de lagrange es F (x; y; z; ; u) = x + 2y + 3z + (x2 + y 2

2) + u(y + z

1)

@F = 1 + 2x = 0 @x @F = 2 + 2y + u = 0 @y @F =3+u=0 @z @F = x2 + y 2 2 = 0 @ @F =y+z 1=0 @u Como @F = 1+2x = 0 @x

entonces x =

1 2

y como

@F = 2+2y +u = 0 entonces y = @y

@F 2 u 1 = 3 + u = 0 entonces u = 3 y asì y = = entonces @z 2 2 2 2 1 @F 1 1 2 2 2 = x +y 2 = + 2 = 2 2 = 0 sii 2 = por tanto = @ 2 2 4 4 Ahora para

2 2

Como

1 2

u

138

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

1 1 1 entonces x = = 1; y = = 1 por tanto y + z 1 = 1 + z 1 = 0 2 2 2 entonces z = 0 por tanto (x; y; z) = ( 1; 1; 0) si = 21 1 1 1 b) = entonces x = = 1; y = = 1 por tanto y + z 1 = 1 + z 1 = 0 2 2 2 1 entonces z = 2 por tanto (x; y; z) = (1; 1; 2) si = 2 Como F ( 1; 1; 0; ; u) = 1 + 2 + 3:0 = 1 y F (1; 1; 2; ; u) = 1 2 + 3:2 = 5 se concluye que en el punto ( 1; 1; 0) hay mínimo y su valor es 1 y en el punto (1; 1; 2) hay máximo y su valor es 5 a)

=

Ejemplo 3.50 Minimizar x2 + y 2 + z 2

si x

2=0

y

x

F (x; y; z; ; u) = x2 + y 2 + z 2 + (x

y

2) + u(x

y

2z

4=0

la función de Lagrange es 2z

4)

@F = 2x + + u = 0 @x @F = 2y =0 @y @F = 2z 2u = 0 @z @F =x y 2=0 @ @F = x 2z 4 = 0 @u De la segunda y tercera ecuación se tiene que 2y = y 2u = 2z, entonces 2x +

entonces formamos el sistema de ecuaciones

+ u = 2x + 2y + z = 0

2x + 2y + z = 0

cuya solución es (x; y; z) = 4 F( ; 3

2 ; 3

4 ; 3

x

y

2=0

x

2z

4=0

2 ; 3

4 ; ; u) = 3

4 3 4 3

por tanto el mínimo es 2

+

2 3

2

+

4 3

2

=

36 =4 9

3.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

139

Ejemplo 3.51 Hallar el punto más lejos y más cercano al origen de la curva de inersección de las super…cies z = 16 x2 y 2 y x + y = 4 la función de Lagrange es F1 (x; y; z; ; u) =

p x2 + y 2 + z 2 + (16

F (x; y; z; ; u) = x2 + y 2 + z 2 + (16

x2 x2

y2 y2

z) + u(x + y

4)

z) + u(x + y

4)

@F = 2x 2x + u = 0 @x @F = 2y 2y + u = 0 @y @F = 2z =0 @z @F = 16 x2 y 2 z = 0 @ @F =x+y 4=0 @u De las dos primeras ecuaciones se tiene que 2x 2y+( 2 x + 2 y) = 0 sii x y

(x y) = 0 ssi (x y)(1

) = 0 sii x = y o 1 =

entonces a) Si 1 =

entonces 2z

1 , por tanto 16 x2 y 2 z = 2 y como x + y = 4 entonces solucionamos este sistema

= 2z

1 = 0 si z =

1 16 x2 y 2 = 0 sii x2 + y 2 = 31 2 2 para obtener b)Si x = y entonces 2x = 4 luego x = 2 y asì 16 terminarlo

4

4

z = 0, por tanto z = 8

Ejercicio 9 1. Hallar las dimensiones de la caja rectangular de volúmen dado que tiene área de super…cie mínima 2. Hallar el volúmen máximo de un sólido rectangular si la suma de las longitudes de sus aristas es 12a.Respuesta x = y = z = a xyz 4(x + y + z) = 12a 3. Hallar el máximo de xyz si x3 + y 3 + z 3 = 1: Respuesta 1=3, x =

1 3

1 3

=y=z

140

CAPÍTULO 3. REGLA DE LA CADENA

4. Hallar el mínimo de f (x; y) = x2 +(y 2)2 si x2 y 2 = 1: Respuesta 3,

p

2; 1 ;

5. Hallar el máximo y el mínimo de f (x; y) = xy si x2 + y 2 = 1: Respuesta, 21 ;

p

2; 1

1 2

6. Hallar los puntos de la super…cie z 2 xy = 1 más próximos y más alejados al origen. Respuesta más próximos (0; 0, 1);más alejados (1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0) 7. Hallar la mínima distancia del punto (1; 0) a y2 = 4x: Respuesta 1 8. Hallar la máxima y mínima distancia de 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8 al origen. Respuesta 2,1 9. El perímetro de un rectángulo es de 4 metros halle las dimensiones para que el área sea máxima. Respuesta x = 1, y = 1 10. Una caja rectangular sin tapa se va a fabricar con 12 metros cuadrados de cartulina. Halle el máximo volumen de dicha caja. Respuesta 4; x = 2; y = 2; z = 1 11. Halle la mínima distancia del punto (1; 0; 2) al plano x + 2y + z = 4: Respuesta ( 11 ; 5 ; 76 ) 6 3

p 5 6 6

12. Halle el valor máximo y mínimo de f (x; y) = 3x + 4y si x2 + y 2 = 1: Respuesta 3 4 ; 5; 5; 5 5 13. El plano x + y + z = 1 corta al cilindro x2 + y 2 = 1 en una curva halle los puntos más lejos y mas cercanos al origen. Respuesta (1,0,0)(0,1,0) más cercano y más alejado p p p 2 2 ( 2 ; 2 ; 1 + 2)

Capítulo 4 Integrales Dobles 4.1

Intoducción

En este capítulo primero se recuerda la de…nción de integral de una función de una variable Rb f (x)dx; lo que signi…ca una particición de un intervalo cerrado [a; b], se de…ne en forma a ZZ análoga la integral doble f (x; y)dxdy y se ilustran estos conceptos con una variedad Q

de ejemplo. Partición de un intervalo cerrado [a; b] : Una partición de un intervalo cerrado [a; b] ; es un subconjunto …nito de puntos de [a; b] ; que contiene los puntos a y b con algunas características, por ejemplo los conjuntos siguientes f0; 1g,f0; 1=2; 1g,f0; 1=4; 2=4; 3=4; 1g ; f0; 1=5; 2=5; 3=5; 4=5; 1g,f0; 1=4; 3=4; 1g son todas particiones del intervalo cerrado [0; 1] ; pero f0; 3=4; 2=4; 1g no es una partición del intervalo [0; 1] ;es decir ,diremos que P = fx0 ; x1 ; x2 ; :::xn g es partición de un intervalo cerrado [a; b] si a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b y que la partición divide a [a; b] en un número …nito de intervalos [x0 ; x1 ] ; [x1 ; x2 ] ; [x2 ; x3 ] ; ::: [xn 1 ; xn ] ; con longitudes x1 ; x2 ; x3 ; ::: xn (…g 1)

a

∆x1 ∆x2

∆xk −1 ∆xk

∆xn

x0 x1 x2

xk − 2 xk −1 xk

xn −1 xn

141

b

142

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES y

Y = f (x)

Área x a

4.2

b

De…nición de

Rb

f (x)dx

a

El propósito es calcular el área de la región encerrada por las curvas y = f (x) x = b y el eje x (…g 2)

0; x = a;

y para ello consideremos una partición P = fx0 ; x1 ; x2 ; :::xn g de [a; b] y tomaremos b a la longitud de cada intervalo igual, es decir, xk = ; k=1,2 ...,n y calcularemos el n n P área del rectángulo Ak = f (tk ) xk , para tk = xk 1 ( …g 3) y formamos f (tk ) xk ; k=1

que es la suma de las áreas de cada rectángulo, el cual va a ser una aproximación del área A. y

Y = f (x)

Ak a

xk −1 xk

x b

Para obtener el área A, haremos muchas más particiones, de tal forma que los rectángulos queden bien pequeños de base, y esto se logra haciendo tender n a in…nito,

4.2. DEFINICIÓN DE

RB

143

F (X)DX

A

es decir ,

Area = lim

n!1

n X

f (tk ) xk =

k=1

Zb

f (x)dx

a

siendo tk cualquier punto en [xk 1 ; xk ] y esta expresión es la que de…ne la

Rb

f (x)dx; si el

a

límite existe, en otras palabras, n Rb P Area = lim f (tk ) xk = f (x)dx si f (x) n!1 k=1

0

a

Ejemplo 4.1 Calcular el área de la región limitada por y = 2x + 1, x = 0, x = 3 y el eje x (…g 4) y

y = 2x + 1 Área x

3 0 3 Solución. Sea P = fx0 ; x1 ; x2 ; :::xn g una partición de [0; 3] con xk = = ; n n 3 2 3 3 3 4 3 3 3 k x0 = 0, x1 = ; x2 = , x3 = , x4 = ; :::; xk 1 = (k 1) ; xk = ; ::::y n n n n n n así si tk = xk 1 entonces n X

n X

3 Area = lim f (tk ) xk = lim f ( (k n!1 n!1 n k=1 k=1 n X 6 = lim ( (k n!1 n k=1

3X 6 k = lim ( n!1 n n k=1 n!1

3 (k n

1) + 1)

n X 3 6 k 1) + 1) = lim ( n!1 n n k=1

n n n 6 3 X6 k X6 X +1) = lim ( + 1) = n!1 n n n n k=1 k=1 k=1 ! n n n 18 X 18 X 3X 18 n(n + 1) k 1 + 1 = lim 2 2 n!1 n k=1 n k=1 n k=1 n2 2

n

= lim

n X 3 6 1) + 1) = lim ( (k n!1 n n k=1

n X 3 1)) = lim (2 n n!1 k=1

18 n2

n+

3 = n

6 3 + 1) = n n

3 n

n

=

144

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES 0 + 3 = 12 luego

=9

Area = lim

n!1

n X

f (tk ) xk =

k=1

Z3

(2x + 1) dx = 12:

0

Ejemplo 4.2 calcular Z4

10dx

1

(Area encerrada por las curvas y = 10 , x =

1, x = 4 y el eje x)

Solución. Sea P = fx0 ; x1 ; x2 ; :::xn g una partición de [ 1; 4] con xk =

4

( 1) 5 = ; x0 = n n

1; x1 =

1+

4 5 ; :::; xk 1 = n ::::y así si tomamos tk = xk entonces x4 =

Z4 1

1+

5 ; x2 = n

1 + (k

n X

1+

2 5 ; x3 = n

5 1) ; xk = n

1+

n X

50 X 50 = lim 1 = lim n!1 n n!1 n k=1 Area = lim

n!1

n X

n = 50

f (tk ) xk =

k=1

Z4

10dx = 50:

1

Ejemplo 4.3 Calcular Zb

x2 dx

a

(Area encerrada por las curvas f (x) = x2 ; x = a; x = b y el eje x)

3

5 n

5 k n

n X 5 k 5 ) = lim 10 10dx = lim f (tk ) xk = lim f( 1 + n!1 n!1 n n n!1 k=1 k=1 k=1 n

luego

1+

5 = n

;

4.2. DEFINICIÓN DE

RB

145

F (X)DX

A

Solución. Se particiona el intervalo [a; b] en n subintervalos de igual longitud b

xk =

a n

; k = 1; 2; :::::n

y así

x0 = a; x1 = a +

b

x1 = a +

n

b

xk = a + k x1 = a + k

a

a

;

::::::xn = a + n x1 = a + n

n

b

x2 = a + 2 x 1 = a + 2

Si tomamos

b

tk = xk = a + k

a

::::::

n b

a

=b

n

a n

y como f (x) = x2 entonces f (tk ) = f 2ak (b = a + n 2

a)

b

a+k

a

=

n

a+k

b

2

a

=

n

k 2 (b a)2 + n2

y así Zb

x2 dx = lim

n!1

a

= lim

n!1

= lim

"

= (b a)

f (tk ) xk = lim

a

a2

n X

1+

a) a +

a)2

(b 2

a)2

a n

k=1

a) a2 + (b 2

b

2a n n2

2a +

a2 ab b2 b3 + + = 3 3 3 3

aX n

b

n!1

k=1

n

(b

n!1

= (b

b

n X

n

2a

n+1 2 a)3

(b 3 a3 3

2ak (b a2 + n

k=1

b

a n

+

= (b

n X

k+

k=1

(b

a)3 n3

a)

b

k 2 (b a)2 + n2

a

b

n

n3 n2 n + + 3 2 6

a) a2 + ab

a2 +

b2 3

a n !

2

!

=

n X k=1

#

k2 =

=

2ab a2 + = 3 3

146

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES

luego Zb

x2 de =

b3 3

a3 3

a

Así como la de…nición de Zb

f (x)

a

fue motivada para hallar el área de una región, la integral doble, la motivaremos, hallando el volúmen del sólido S limitado por las grá…cas de las super…cies z = f (x; y)

0; x = a; x = b; y = c; y = d;

z=0

y su tratamiento es muy similar

4.3

Partición de un rectángulo Q = [a; b]

[c; d]

Sea f (x; y) una función continua en Q = [a; b] [c; d] y P1 = fx0 ; x1 ; x2:::::; xn g una partición de [a; b] y P2 = fy0 ; y1 ; :::::; ym g una partición de [c; d] Una partición de Q; es un subconjunto de la forma P = P1

P2 = f(xi ; xj )=xi 2 P1 ; yj 2 P2 ; 0

i

n; 0

y descompone a Q en nm rectángulos que no se solapan Rij = f(x; y) = xi ( …g 5).

1

x

xi ; y j

1

y

yj g

j

mg

4.3. PARTICIÓN DE UN RECTÁNGULO Q = [A; B]

y sea (ti ; sj ) un punto cualquiera en Rij y formemos f (ti ; sj ) del prisma (…g 6) y

y así

m n X X j=1

f (ti ; sj )

xi

147

[C; D]

xi

yj el volúmen

yj

i=1

es el volúmen aproximado y si hacemos bien pequeños los prismas, haciendo tender n a in…nito y m a in…nito obtenemos el volúmen exacto, es decir, V (s) = lim lim

m!1 n!1

m n X X j=1

f (ti ; sj )

xi

yj

i=1

y si este límite existe, representa el valor de la integral doble, es decir,

148

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES

4.4

De…nición de integral doble lim lim

m!1 n!1

m n X X j=1

f (ti ; sj )

xi

yj =

i=1

ZZ

f (x; y)dxdy

Q

Las propiedades de las integrales dobles son muy análogas a las de una variable, es decir, si , 2 R y si f (x; y); g(x; y); son continuas en una región Q cerrada y acotada en el plano entonces

4.5

Propiedades

1.

ZZ

( f (x; y)

g(x; y)) dxdy =

Q

ZZ

f (x; y)dxdy

Q

2: Si f (x; y)

g(x; y) en Q entonces ZZ f (x; y)dxdy Q

ZZ

ZZ

g(x; y)dxdy

Q

g(x; y)dxdy

Q

3. Si Q se descompone en Q1 ; Q2 ; Q3 ; :::Qn ;que no se solapen entonces ZZ

f (x; y)dxdy =

Q

ZZ Q1

ZZ ZZ ZZ f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy+ f (x; y)dxdy+ f (x; y)dxdy+::::+ Q2

Q3

Qn

Ejemplo 4.4 Calcular el volúmen del sólido limitado por las super…cies f (x; y) = 10; f (x; y) = 0; x = 3; x = 6; y = 4; y y = 6 (…g 7) Solución: Sea P1 = fx0 ; x1 ; x2 ; :::xn g una partición de [3; 6] con xi =

6

3 n

=

3 ;1 n 3

n; 3

así

x0 = 3; x1 = 3 +

4 3 ; :::; xi n n 3 i 3n = 3+ ; ::::xn = 3 + =6 n n

x3 = 3 + xi

i

; x4 = 3 +

1

3 ; n

= 3 + (i

x2 = 3 + 3 1) ::: n

2 3 ; n

4.5. PROPIEDADES

149 z f(x,y)=10

x=3 f(x,y) = 0

y=4 x

y y=6

x=6

y P2 = fy0 ; y1 ; :::::; ym g una partición de [4; 6] con yj =

6

4 m

y3 = 4 +

=

3

2 1 m 2

m así y0 = 4; y1 = 4 +

j

; y4 = 4 +

m 2m = 4+ =6 y m

ym

4 2 ; :::; yj m

1

= 4 + (j

2 2 2 ; y2 = 4 + ; m m

1)

2 2 j ; yj = 4 + ; ::: m m

sea

2j 3i ;4 + n m pero este punto puede ser cualquiera en Rij y así (ti ; sj ) =

m n X X j=1

f (ti ; sj )

xi

yj =

i=1

ya que

m n X X j=1

m X

3+

1=

j=1

m X

10

i=1

3 n

(j + 1)

= (xi ; yj )

m n 2 60 X X 60 = 1= m mn j=1 i=1 mn

j =m+1

m n = 60

1=m

j=1

aplicando la propiedad telescópica de las sumas …nitas . n P En forma análoga 1 = n luego i=1

V (s) = lim lim

m!1 n!1

n m X X j=1

i=1

f (ti ; sj )

xi

n m X X 60 yj = lim lim m!1 n!1 mn j=1 i=1

150

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES = lim lim 60 = 60 = m!1 n!1

ZZ

10dxdy = 10 (6

3) (6

4)

Q

Ejemplo 4.5 Calcular ZZ f (x; y)dxdy si Q = f(x; y) =0

x

3; 0

y

3g

Q

8 < 1 2 f (x; y) = : 3

si 0 x 3 0 y si 0 x 3 1 < y si 0 x 3 2 < y

1 2 3

(…g8)

y

(0,3) (0,2) (0,1)

(3,3)

Q3

3

Q2 Q1

2

(3,2) (3,1) 1 x

f (x; y) es una función seccionalmente continua en Q, luego es integrable en Q y ZZ ZZ ZZ ZZ f (x; y)dxdy = f (x; y)dxdy + f (x; y)dxdy + f (x; y)dxdy = Q

ZZ Q1

1dxdy +

Q1

ZZ

2dxdy +

Q2

ZZ

Q2

Q3

3dxdy = 1 3 1 + 2 3 1 + 3 3 1 = 3 + 6 + 9 = 18

Q3

si Q1 = f(x; y)=0 x 3; 0 y 1g; Q2 = f(x; y)=0 x 3; 1 y 2g; Q3 = f(x; y)=0 x 3; 2 y 3g: Recuerde que una función seccionalmente continua en un intevalo cerrado es integrable. Ejemplo 4.6 Calcular ZZ Q

(y + 2x)dxdy si

Q = [1; 2]

[3; 5]

4.5. PROPIEDADES

151

Solución Sea P1 = fx0 ; x1 ; x2 ; :::xn g una partición de [1; 2] con xi =

2

1 n

1 ; 1 n

=

x4 = 1 +

n; así x0 = 1; x1 = 1 +

i

4 ; :::; xi n

1

= 1 + (i

1 2 3 ; x 2 = 1 + ; x3 = 1 + ; n n n

1 i n ; xi = 1 + ; ::::xn = 1 + = 2 n n n

1)

y P2 = fy0 ; y1 ; :::::; ym g una partición de [3; 5] con

yj =

5

3 m

=

2 ; 1 m

j

m;

así se tiene que y0 = 3; y1 = 3 +

y4 = 3 +

4 2 ; :::; yj m

1

= 3 + (j

2 2 2 3 2 ; y2 = 3 + ; y3 = 3 + m m m 2 ; m

1)

yj = 3 +

(ti ; sj ) = (xi ; yj ) =

2 j 2m ; ::::ym = 3 + = 5 sea m m

1+

i 2j ;3 + n m

i n

= 3+

pero puede ser cualquiera punto en Rij y f (ti ; sj ) = f (1+ m n X X j=1

2j 2j i ; 3+ ) = 3+ +2 n m m

f (ti ; sj )

xi

yj =

i=1

m X n X

m

=

1 n

2 m

2j 2i +2+ = m n

5+

2j 2i + m n

y

2j 2i 1 2 1 2 X 2jn 2 n(n + 1) + ) = 5n+ + m n n m n m j=1 m n 2 m

(5+

j=1 i=1

1 2 X 2jn = 5n + + (n + 1) n m j=1 m

1+

=

1 2 2 n m (m + 1) (5nm+ +m (n+1)) = n m 2m

(5mn + n(m + 1) + m(n + 1))

y así lim lim

m!1 n!1

m n X X j=1

i=1

f (ti ; sj )

xi

yj = lim lim (5mn + n (m + 1) + m(n + 1)) m!1 n!1

= (5 + 1 + 1)2 = 14

1 2 = n m

152

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES

luego

ZZ

(y + 2x)dxdy = 14

Q

Ahora tomemos (ti ; sj ) = (xi 1 ; yj ) =

1+

i

1 n

;3 +

2j m

otro punto en Rij y mostremos que el resultado no varía f (ti ; sj ) = f (1 +

i

1 n

;3 +

2j 2j i 1 )=3+ +2 1+ m m n =

y

m n X X j=1

xi

yj =

i=1

n(n + 1) 2

m!1 n!1

m n X X j=1

f (ti ; sj )

xi

2m

yj = lim lim

m!1 n!1

i=1

= 2 (5 + 1 + 1 entonces

=

ZZ

2j 2i +2+ m n

2 = n

2 n

m X n X

2

2nm(m + 1) 2 5nm + + m(n + 1) mn 2m por lo tanto

=

lim lim

2j 2i + m n

5+

j=1 i=1

2jn 2 1 2 X 5n + + n m j=1 m n m

=

f (ti ; sj )

5+

=3+

2j 2i + m n

2 n

1 2 = nm

1 2 X 2jn 5n + + (n + 1) n m j=1 m

=

m

2

=

2 (5mn+n(m+1)+m(m+1) 2m) = mn

2 (5mn + n(m + 1) + m(n + 1) mn

2m)

0) = 14

(y + 2x)dxdy = 14:

Q

Así como la integral

Rb

f (x)dx; puede representar una área si f (x)

0; un espacio si

a

f (x) representa velocidad o una masa, si f (x) representa una densidad, así tambien la integral doble puede representar un volumen, una masa etc.RR Afrontemos ahora con formalidad el problema de evaluar la f (x; y) dxdy; si f (x; y) Q

es una función continua en Q y para ello consideremos los siguientes tipos de regiones.

=

4.6. TIPOS DE REGIONES

4.6

153

Tipos de regiones

1: Q un rectángulo de la forma Q = [a; b] [c; d] 2: Q = f(x; y)= a x b; g (x) y h (x)g 3: Q = f(x; y)= c y d ; q (y) x l (y)g

4.6.1

Tipo1

1: Si f (x; y) es una función continua en Q = [a; b] [c; d] entonces 0 0 1 1 Zb Zd Zd Zb ZZ f (x; y) xdy = @ f (x; y) dy A dx = @ f (x; y) dxA dy: a

Q

c

Para calcular

Zb a

primero se calcula

Rd

c

0 @

Zd c

a

1

f (x; y) dy A dx

f (x; y) dy; considerando a x como constante y así se obtiene que

c

Rd

f (x; y) dy = A(x) (Es una función en x) y luego se calcula

c

Rb

A(x)dx:

a

En forma análoga, para calcular

Rd Rb c

f (x; y) dx dy; se calcula primero

a

Rb

f (x; y) dx

a

considerando a y como constante, para obtener

Rb

f (x; y) dx = B(y) y luego se calcula

a

Rd

B(y)dy.

c

Ejemplo 4.7 Calcular ZZ

(4

x2

y)dxdy si Q = [0; 1]

[0; 2]

Q

Solución ZZ Q

(4

x

2

y)dxdy =

Z1 Z2 0

0

(4

x

2

y)dydx =

Z2 Z1 0

0

(4

x2

y)dxdy:

154

a)

CAPÍTULO 4. INTEGRALES DOBLES

Z1 Z2 0

(4 x

2

y)dydx =

0

Z1

4y

xy

dx = 0

0

=

Z1

6

2x

2

dx = 6x

b)

0

(4 x

2

y)dxdy =

0

Z2

4x

yx

0

0 2

y2 2

11y 3

= 0

22 3

2 dx =

2 16 = : 3 3

=6

dy =

0

=

1

1

x3 3

2x2

8

0

2x3 3

0

Z2 Z1

Z1

2

y2 2

2

Z2

1 (4 y)dy = 3

0

Z2

(

11 y)dy = 3

0

4 16 = 2 3

y así ZZ

(4

x2

y)dxdy =

Z1 Z2 0

Q

x2

(4

y)dydx =

0

Z2 Z1 0

x2

(4

y)dxdy: =

16 3

0

Ejemplo 4.8 Calcular ZZ

ex+y dxdy

si

Q = [1; 2]

[0; 3]

Q

Solución ZZ

ex+y dxdy =

Q

a)

Z2 Z3 1

0

ex+y dydx =

Z2 1

3 ex+y 0

Z2 Z3 1

0

dx =

Z2 1

ex+y dydx =

Z3 Z2 0

ex+y dxdy

1

(ex+3 ex )dx = ex+3

ex

2 1

= e5

e2

e4

e1 =

4.6. TIPOS DE REGIONES

b)

Z3 Z2 0

x+y

e

dxdy =

1

Z3

155

2 ex+y 1

= e5

e4

Z3

e2+y

dy =

0

e2 + e1

e1+y dy = e2+y

e1+y

3 0

= e5

e4

e2

0

5

=e e4 e2 + e1 luego ZZ ex+y dxdy = e5 e4 e2 + e1 : Q

Ejemplo 4.9 Calcular ZZ h i x [y] dxdy 2

si

Q = [0; 4]

(…g 9)

[0; 2]

Q

y (2,4)

(0,2)

(4,2)

Q2

Q4

(0,1)

(4,1)

Q1

Q3 (2,0)

Solución

y

luego ZZ h i x 2

8 <

0 si 0 1 si 1 = : 2 2 si 2

hxi

8 < 0 si 0 1 si 1 [y] = : 2 si 2

[y] dxdy =

Q

ZZ

0 0dxdy +

Q1

=

Z2 Z4 1

2

ZZ

x