UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
2014-06-04
CALCULO VECTORIAL Juan Faicán (
[email protected]),Guido Quintuña (
[email protected]), Xavier Tenesaca (
[email protected]), Jonathan Tenesaca (
[email protected]). 1. Introducción
aproximadamente a 10 millas al sur de Stacyville (45°43′49″N 68°35′22″O) donde el río drena una cuenca de 2.810 km². El caudal aquí ha oscilado entre 400 y 1.300 pies cúbicos por segundo.1 El segundo está en West Enfield (45°14′12″N 68°38′57″O), con una cuenca de 17.280 km² y un caudal aquí entre 4.410 a 9.660 pies cúbicos por segundo.2 El tercero está en Eddington (45°14′12″N 68°38′57″O), 0,64 km aguas abajo de la presa Veazie, con una cuenca de 20.110 km².
En el siguiente informe se dan a conocer los resultados del proyecto de aplicación sobre la optimización de turbinas hidráulicas, tema tomado del libro de James Stewart. La razón de resolver este problema fue el de aplicar los conocimientos aprendidos en clase como los multiplicadores de Lagrange y a su vez utilizando software matemático para su desarrollo. 2. Desarrollo de contenidos 2.1. Rio Penobscot [1] El río Penobscot (en inglés: 'Penobscot River') es un río de la vertiente Atlántica de los Estados Unidos, que con una longitud de 563 kilómetros es el segundo río más largo del estado de Maine y el más largo de los ríos que discurren en su totalidad por dicho estado. Su cuenca hidrográfica tiene una superficie de 22.300 km².
Figura 1. Mapa de la cuenca del río Penobscot
El río Penobscot se forma por la confluencia de cuatro ramales en varios lagos de la zona central de Maine, y fluye generalmente en dirección este. Después de la unión del ramal West Branch con el East Branch en Medway (45°36′14″N 68°31′52″O), fluye unos 140 km al sur, más allá de la ciudad de Bangor, donde se convierte en navegable. Desemboca en el océano Atlántico en la bahía de Penobscot.
2.2. Turbinas Hidráulicas. [2] La turbina hidráulica convierte la energía del agua en movimiento, es decir, en energía mecánica que es aprovechada por el generador. Uno de los aspectos fundamentales para optimizar un proyecto hidroeléctrico es lograr la selección adecuada del tipo, cantidad, velocidad, dimensiones geométricas y principales características de funcionamiento de las turbinas a ser instaladas.
El gobierno de Estados Unidos mantiene tres medidores de caudal en el río Penobscot: el primero está en el ramal East Branch, en Grindstone (un asentamiento no incorporado
Los tipos de turbinas comúnmente utilizados son los siguientes:
1
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Turbinas Kaplan
Operan con caídas menores a los cuarenta metros y grandes caudales. Se caracterizan por tener álabes con doble regulación que permiten lograr un rendimiento estable en un rango de operación amplio. Dentro de este tipo se pueden mencionar dos variantes: hélice, que tiene álabes fijos y un rango de operación más estrecho; y bulbo, que son convenientes para caídas bajas, hasta veinte metros, y grandes caudales.
Figura 3. Turbina Francis
Turbinas Pelton
Operan en saltos muy altos, a partir de doscientos hasta dos mil metros. Se diseñan como una turbina de impulso que utiliza la energía del flujo de agua para producir el movimiento de rotación que finalmente es convertido en electricidad.
Figura 2. Turbina Kaplan
Turbinas Francis
Operan en caídas medias, aproximadamente de treinta a seiscientos metros. Estas se caracterizan por su confiabilidad, simpleza y eficiencia. Como caso particular se puede mencionar las turbinas-bomba, que se utilizan en centrales de acumulación por bombeo. Las turbinas-bomba permiten bombear agua desde un reservorio inferior hasta uno superior en las horas de bajo consumo, para luego generar energía en las horas pico. De este modo producen una mayor uniformidad en el diagrama de carga del sistema de suministro de energía eléctrica, evitando el sobre equipamiento y el consumo de combustibles de hidrocarburos de alto costo.
Figura 4. Turbina Pelton
2.3. Multiplicadores de Lagrange [3] Se trata el método de Lagrange para maximizar o minimizar una función general f(x, y, z) sujeta a una restricción, o condición lateral, de la forma g(x, y, z) = k. Explicación del fundamento teórico del método de Lagrange para funciones de dos variables. Primero, se calculan los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restricción, o condición lateral, de la forma g(x, y) = k. Hay que buscar los valores extremos de f(x, y) cuando el punto (x, y) está restringido a quedar en la curva de nivel g(x, y) = k.
2
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Maximizar f(x, y) sujeta a g(x, y) = k es encontrar el valor más grande de c tal que la curva de nivel f(x, y) = c corte a g(x, y) = k. Esto sucede cuando las curvas se tocan apenas, es decir cuando tienen una recta tangente común. Significa que las rectas normales en el punto (x0, y0) donde se presentan son idénticas. De modo que los vectores gradiente son paralelos para un escalar λ.
b. Evalúe f en todos los puntos (x, y, z) que resulten del paso (a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f, el más pequeño es el valor mínimo de f. 2.4. La Ecuación de Bernoulli [4] La
dp + gdz + vdv=0 ρ
∇ f ( x 0 , y 0 ) =λ∗∇ g ( x 0 , y 0 )
de
Este razonamiento también se aplica al problema de encontrar los valores extremos de f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = k. Por lo tanto, el punto (x, y, z) está restringido a estar ubicado en la superficie de nivel S con ecuación g(x, y, z) = k.
gz+
la
ecuación
para una densidad
constante de cómo ecuación de Bernoulli:
(1)
resultado
la
v2 p + =constante 2 σ
(4) La constante de integración (conocida como la constante de Bernoulli) generalmente varía de una línea de corriente a otra, pero permanece constante a lo largo de una línea de corriente en flujo permanente, sin fricción e incompresible. Estas cuatro suposiciones son necesarias y se deben tener presentes al aplicar esta ecuación. Cada término tiene 2 dimensiones de (L/T) o unidades de metros-newtons por kilogramo
Considere las superficies de nivel f(x, y, z) = c y argumente que si el valor máximo de f es f(x0, y0, z0) = c, entonces la superficie de nivel f es f(x0, y0, z0) es tangente a la superficie de nivel g(x, y, z) = k, y de este modo lo vectores gradiente correspondientes son paralelos. Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = k, suponiendo que estos valores existan y que
∇ g≠0
integración
m∗N m∗kg∗m/s 2 m2 = = 2 kg kg s (5)
se encuentre en la superficie
Debido a que 1 N = 1kg*m/s2. Por consiguiente la ecuación 2 se interpreta como energía por unidad de masa. Cuando ésta se divide por g,
g(x, y, z) = k. a. Determine todos valores de x, y, z y λ tal que
v2 p z+ + =constante 2g γ
∇ f ( x , y , z )= λ∗∇ g ( x , y , z ) (2)
(6)
g ( x , y , z )=k (3)
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Puede interpretarse como energía por unidad de peso, metros – newtons por newton (o pies-libra por libra). Esta forma es particularmente conveniente para desarrollar problemas de líquidos con una superficie libre.
términos de velocidad son no lineales, su nivel de referencia es fijo. 3. Desarrollo del Proyecto La Great northem Paper Company de Millinocket. Maine. Opera una estación hidroeléctrica generadora de energía eléctrica en el río Penobscot. El agua es enviada por tubería desde una presa hasta la estación generadora. El caudal del agua es variable y depende de las condiciones externas.
Cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli puede interpretarse como una forma de energía disponible. Esta ecuación también se conoce como la ecuación de conservación de la ecuación de conservación de momentum. Las pérdidas de energía debidas a la fricción y a la transferencia de calor solamente pueden incorporarse a la ecuación diferencial de energía completa, la cual se analiza en la siguiente sección.
La estación generadora de energía eléctrica cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas, cada una con una función de potencia (única) y conocida que da la cantidad de energía eléctrica generada como una función del flujo de agua que llega a la turbina. El agua que entra se puede repartir en volúmenes distintos para cada turbina, de modo que el objetivo es determinar de qué manera distribuir el agua entre las turbinas para lograr la producción máxima total de energía Con cualquier caudal.
Al aplicar la ecuación 3 a dos puntos sobre una línea de corriente,
z 1+
p1 v 12 p v2 + =z2 + 2 + 2 γ 2g γ 2g
(7)
z 1−z 2+
Al aplicar la evidencia experimental y la ecuación de Bernoulli, se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de energía eléctrica de cada turbina, de acuerdo con los caudales admisibles de operación:
p1− p2 v 12 −v 22 + =0 γ 2g
(8) Esta ecuación muestra que lo importante es la diferencia en energía potencial, energía de flujo y energía cinética. Por consiguiente,
z 1−z 2
KW1 = (-18.89+0.1277Q1-4.08*105 *(Q1)2)*(170-1.6*10-6* (QT)2)
es
KW2 = (-24.51+0.1358Q2-4.69*105 *(Q2)2)*(170-1.6*10-6* (QT)2) (10)
independiente del nivel de referencia particular, al igual que la diferencia en la elevación de los puntos. Similarmente,
p1 /γ − p2 / γ
es
(9)
KW3 = (-27.02+0.1380Q3-3.84*105 *(Q3)2)*(170-1.6*10-6* (QT)2) (11)
la
diferencia en las cabezas de presión, expresada en unidades de longitud del fluido fluyendo, y no se altera por la presión de referencia particular seleccionada. Debido a que los
250≤ Q1 ≤1110 250≤ Q2 ≤1110 250≤ Q3 ≤1225
4
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Donde
1.3056∗10−10 ( Q 1−1564.95 ) ( QT 2−1.0625∗108 ) =⋋
Qi = flujo por la turbina i en pies cúbicos por segundo
Q 1=
KWi= energía eléctrica generada por turbina i en kilowatts.
f Q ( Kw 2 ) =1.5008∗10−10 ( Q2−1447.76 ) ( QT 2−1.0625∗10
3.1. Si las tres turbinas se utilizan se desea determinar sí flujo Qi para cada turbina que generará la producción máxima total de energía. Las restricciones son que los flujos deben Sumar el flujo total que entra y se deben observar las restricciones del dominio dadas. En consecuencia, use multiplicadores de Lagrange para hallar los valores para los flujos individuales (como funciones de QT) que maximicen la producción total de energía KW1+ KW2+ KW3 sujeta a las restricciones Q1+Q2 +Q3=QT y a las restricciones de) dominio en cada Qi.
2
gQ =1 2
1.5008∗10−10 ( Q2−1447.76 ) ( QT 2−1.0625∗108 ) =⋋ Q 2=
1.5008∗10
gQ =1 3
1.2288∗10−10 ( Q 3−1796.88 ) −( QT 2−1.0625∗108 )=⋋ Q 3=
g ( Q1 , Q2 ,Q3 ) =Q1 +Q2+ Q3=QT
⋋ 1.2288∗10
QT =¿ 1
QT = 2
f Q =⋋ g Q
3
−10
(QT 2−1.0625∗10 8)
(14)
∴ ∇ f =⋋ ∇ g
f Q =⋋ g Q
+1447.76
3
Restricción
f Q =⋋ g Q
(QT 2−1.0625∗108 )
f Q ( Kw 3 ) =1.2288∗10−10 ( Q3−1796.88 )−( QT 2−1.0625∗1
f ( Q1 , Q2 , Q3 )=Kw 1 , Kw 2 , Kw 3
3
⋋ −10
(13)
Función a maximizar
2
1.3056∗10
⋋ +1564.95 (QT 2−1.0625∗10 8)
(12)
QT= flujo total por la estación en pies cúbicos por segundo.
1
−10
2.224689∗1010∗⋋ + 4809.59 QT 2 −1.0625∗108
Despejamos λ
f Q ( KW 1 ) =1.30056∗10−10 ( Q1−1564.95 ) ( QT 2−1.0625∗108 ) 1
gQ =1 1
5
Q1+ Q2+Q 3
+1796.88
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⋋=
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( QT −4809.59 ) ( QT 2−1.0625 ¿ 108 )
Límites de
2.24604∗1010 250 ≤Q2 ≤1225
(15)
250=0.362328QT + 54.2332
Remplazamos (15) en (12), (13) y (14) Flujo
Q3
Q1
QT =540.303 que generan la producción
1225=0.362328 QT + 54.2332
máxima total de energia
QT =3231.23
Q1=0.341014 QT −75.1881
(16)
Q2=0.29666 QT + 20.9447
(17)
Q3=0.362328 QT +54.2332 3.2. ¿Para qué valor resultado es válido?
de
540.303≤ QT ≤ 3231.23 El dominio común será
(18) QT,
953.592 ≤QT ≤ 3231.23
su
3.3. En el caso de un flujo que entra de 2 500 pies3/s. determine la distribución para las turbinas y compruebe que sus resultados son en efecto un máximo (tratando algunas distribuciones cercanas.)
Q1 Límites de 250 ≤Q1 ≤1110 250=0.341014 QT −75.1881 QT =953.592
Si
QT =2500
1110=0.341014 QT −75.1881
Q1=777.347
QT =3475.48
Q2=762.595
953.592 ≤QT ≤ 3975.48
Q3=960.053
Límites de
Q2
Remplazando los
Qi y QT
en (9),
(10) y (12)
250 ≤Q2 ≤1110
KW 1=8915.69
250=0.29666QT +20.9447
KW 2=8284.1
QT =772.114
KW 3=11211.8
1110=0.29666 QT + 20.9447
KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3
QT =3671.06 KW T =8915.69+8284.1+11211.8
772.114 ≤ QT ≤ 3671.06
6
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KW T =28411.6
KW 3=10897.3
Cambiando los datos de los
KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3
Qi
2
Q1=750
KW T =9145.28+8047.93+10897.3 2
Q2=770
KW T =28090.5
Q3=980
2
QT =2500 Remplazando los
Qi y QT
Las distribuciones cercanas a las halladas no son óptimas por que están debajo de la distribución encontrada la cual si es efectiva.
en (9),
(10) y (12)
Q1=777.30
KW 1=8629.6
Q2=762.70
KW 2=8359.84
Q3=960
KW 3=11414.5 3.4. Hasta ahora ha supuesto que las tres turbinas están funcionando. ¿Es posible en algunas situaciones que se pueda producir más energía eléctrica usando sólo una turbina? Haga una gráfica de las tres funciones de potencia, y con ayuda de ellas decida si un flujo que entra de 1000 pies3/s se debe distribuir entre las tres turbinas, o se debe guiar a sólo una. Si usted encuentra que sólo una de las turbinas se debe usar, ¿cuál sería?) ¿Y si el flujo es de sólo 600 pies3/s?
KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3 KW T =8629.6+8359.84+11414.5 KW T 1=28403.9 Cambiando los datos de
Q1 , Q2 ,Q3
Q1=800 Q2=740 Q3=930 QT =2500 Remplazando los
Qi y QT
en (9),
(10) y (12)
KW 1=9145.28 KW 2=8047.93
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Produciendo energía con una sola turbina sería más eficiente que con el
QT =1000
ft3/s
porque
si
utilizaríamos solamente la tercera turbina está produciría 12222.47 kilovatios este dato fue comparado en la Figura 5. Si
QT =600 lo remplazaríamos en
(16), (17) y (18) por lo tanto: Figura 5. Graficas de cada una de las diferentes turbinas utilizadas
Si
QT =1000
Q1=129.42 Q2=198.941
lo remplazaríamos en
(16), (17) y (18) por lo tanto:
Q3=271.63
Q1=265.826
Entonces encontramos (9), (10) y (11)
Q2=317.605
con
QT =600
Q3=416.561 KW 1=−516.141 Entonces encontramos (9), (10) y (11)
KW 2=110.126
QT =1000 con
KW 3=1273.14
KW 1=2049.99
KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3
KW 2=2339.05 KW 3=4008.28
KW T =−516.141+110.126+ 1273.14
KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3
KW T =867.125
KW T =2049.99+ 2339.05+4008.28
Podríamos utilizar solo una turbina, ayudándonos de la gráfica se ve que la turbina 1 puede ser mejor utilizada si la corriente fuera de 600ft3/s, las misma que nos entregaría 7292.34 kilovatios.
KW T =8442.32
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KW T =4835.91+4756.08+6946.65 KW T =16538.6 Usando las tres turbinas nos da una potencia de 16538.6 kilovatios. Hay tres combinaciones de las turbinas a considerar. Figura 6. Graficas de cada una de las diferentes turbinas utilizadas
Turbinas 1 y 2
QT será la suma entre (12) y (13) 10
QT =
3.5. Tal vez para algunos niveles de flujo sería ventajoso usar dos turbinas. Si el flujo es de 1800 pies3/s. ¿cuál par de turbinas recomendaría usar? Mediante los multiplicadores de Lagrange. Determine como debe distribuir el flujo entre las dos turbinas para maximizar la energía producida. En relación con este flujo, ¿el uso de dos turbinas es más eficaz que usar tres turbinas? Si
QT =1500
1.43224∗10 λ +3012.41 2 8 QT −1.0625∗10
(19) Despejamos λ de (19)
λ=
( QT −3012.41 )∗( QT 2−1.0625∗10 8 ) 1.43224∗1010
(20) Reemplazando (20) en (12) y (13)
Q1=0.534779∗QT −46.0226
lo remplazaríamos en
(16), (17) y (18) por lo tanto:
Q2=0.465223∗QT + 46.0169
Q1=436.333 Si
Q2=465.935 Q3=597.725
Q1=756.146 (21)
Entonces encontramos (9), (10) y (11) con
QT =1500
QT =1500
Q2=743.851
KW 1=4835.91
(22)
KW 2=4756.08
Sustituyendo
KW 3=6946.65
QT
KW 1=9042.54
KW T =KW 1 + KW 2 + KW 3
9
y (21) en (9)
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Sustituyendo
QT
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KW 1=7951.42
y (22) en (10)
KW 2=8412.27
Sustituyendo
QT
y (26) en (11)
KW T =KW 1 + KW 2
KW 2=10256.8
KW T =9042.54+8412.27
KW T =KW 1 + KW 2
KW T =17454.8
KW T =7951.42+10256.8
-
KW T =18208.3
Turbinas 1 y 3
QT será la suma entre (12) y (14) -
10
QT =
1.57973∗10 λ +3361.83 QT 2−1.0625∗10 8
Turbinas 2 y 3
QT será la suma entre (13) y (14) 10
(23)
QT =
Despejamos λ de (23)
1.48011∗10 λ +3244.34 2 8 QT −1.0625∗10
(27) 2
λ=
8
( Q T −3361.83 )∗( QT −1.0625∗10 )
Despejamos λ de (27)
1.57973∗1010
(24)
λ=
( Q T −3244.34 )∗( QT 2−1.0625∗108 )
Reemplazando (24) en (12) y (14) (28)
Q1=0.48485∗QT −65.0317
Reemplazando (28) en (13) y (14)
Q3=0.515153∗QT +65.0244 Si
Q2=0.450177∗QT −13.0669
QT =1500
Q3=0.549825∗QT +13.0594
Q1=662.243
Si
(25)
QT =1500
Q2=662.199
Q3=837.754
(29)
(26)
QT Sustituyendo
1.48011∗1010
Q3=837.759 y (25) en (9)
(30)
10
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Sustituyendo
QT
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Se usara el dominio máximo del sistema de 3 turbinas, donde se maximizara una turbina y la corriente restante se distribuirá a las otras dos turbinas.
y (29) en (10)
KW 2=7463.14 Sustituyendo
QT
y (30) en (11)
Según la pregunta 3.2, nos indica que la turbina 3 se maximizara primero por lo tanto:
KW 3=10256.9
250 ≤Q3 ≤1225
KW T =KW 2 + KW 3
Q3=0.362328∗QT +54.2332
KW T =7463.14 +10256.9
QT =
KW T =17720.1 Por lo tanto la combinación de las turbinas 1 y 3 entregara la mayor energía generada.
Q3 −54.2332 0.362328
540.303≤ QT ≤ 3231.23 La turbina 3 se maximizara cuando la corriente total es igual a 3231.23. La corriente restante es 168.79 y será utilizada en las turbinas 1 y 2.
3.6. Si el flujo que entra es de 3400 pies3/s, ¿qué le recomendaría a la compañía?
En la pregunta 3.3 se consideró la combinación de la turbina 1 y 2, por lo tanto:
Un flujo de 3400 ft3/s supera la capacidad de cada turbina. Se tendrán que combinar las tres turbinas para poder manejar el flujo.
QT =168.79 Reemplazando en:
Se utilizara la turbina 3 en totalidad por si capacidad da 1225 ft3/s, el flujo restante se distribuirá entre las turbinas 1 y 2, la cantidad restante de 1087.5.
Q1=0.534779∗QT −46.0226=44.2427 Q2=0.465223∗QT + 46.0169=124.542
Como se vio en la pregunta 3.2, las turbinas tendrán un dominio general de
Calculando la corriente total por cada turbina. Tomando los flujos del
953.578 ≤QT ≤ 3231.25 .
problema 3.1 con una
La corriente será demasiada para el sistema de turbinas.
Reemplazando (18)
11
QT
QT = 3231.23 en (16), (17) y
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Q1=1026.71
4. Conclusión
Q2=979.521
El presente trabajo nos fue de gran ayuda para tratar de comprender el amplia gama del cálculo vectorial en la vida diaria o problemas puntuales.
Q3=1225 Sumando a secundarias:
estas
las
corrientes
Los multiplicadores de Lagrange juegan un papel muy importante al momento de querer optimizar cualquier elemento ó función.
Q1=1070.95 Q2=1104.06
5. Referencias
Q3=1225
[1] Rio Penobscot [en línea], disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/R %C3%ADo_Penobscot
El valor máximo de la turbina 1 es menor que el valor máximo admisible de la turbina 1, por lo tanto su flujo será maximizado.
[2] Turbinas Hidráulicas [en línea], disponible en: http://www.impsa.com/es/productos/imp sahydro/SitePages/turbinas.aspx
La recomendación sería que deberán distribuir los flujos máximos permisibles para las turbinas 1 y 3.
[3] James Stewart,”Calculo de varias variables Trascendentes tempranas”, 7ma. Ed. pp. 957 – 959
Q1=110 Q2=1065
[4] Víctor L. Streeter, “Mecánica de Fluidos”, 9na. Ed. pp. 205 – 206
Q3=1225 Con esto se logra el funcionamiento de las tres turbinas, trabajando con un caudal de 3400ft3/s.
12
