Calculo Vectorial . Problemas Resueltos

CALCULO VECTORIAL PROBLEMAS RESUELTOS TERCERA EDICIÓN

DE JERROLD E. MARSDEN Y ANTHONY J. TROMBA

P REP ARAD O POR

KAREN PAO Y FREDERICK SOON

Versión en español de

Constancio Hernández García Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, México

*TODO LO QUE QUIERES SABER PARA HACER LA TAREA

A

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina Brasil Chile Cobmbia Ecuador Espaiía Estados Unidos México Perú Puerto Rico Venezuela

Versión en español de la obra Study Guide for Vector Calculus, Third Edition, by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, prepared by Karen Pao and Frederick Soon, publicada originalmente en inglés por W. H. Freeman and Company, E.U.A. O 1988 por W. H. Freeman and Company. Esta edición en español es la única autorizada.

Imagen generada por compirtador de la superjicie mínima de Enneper: La imagen fue creada por James í?Hoflman en la University of Massachusetts, Amherst, con las instalaciones del Geometry Analysis Numerics and Graphics Group. Copyright 1986 por James í? Hofl~nan.

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA M;ilahia 7363-2'G, 13uciios Aires 1425, Argciiiiiin Ave. 13rigadciroLiiis Aiitoiiio 2344, Coiijiiiito 1 14, SBo I'aiilo 01407, Sáo I':iulo, Brasil Casilla 70060, Saiitiago 7, Chilc A p i a d o ACrco 74 1-943, Saiiia Fé dc Bogoti, Coloiiibia Espnlicr 3 bajo, Madrid 78014. Espalia 7 Jacob Way, Rcadiiig, Mnssachiiseils01867, E.U.A. Apnriatlo l'osial23-013, México, D.F. 14000, Mfxico A11;trfado I'ostnl 79853, K f o Picdr.is, I'iicrio Rico 00939 Apartado Postal 5 1454,Caracas 1050-A, Vciiczucla

O 1993 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. Wilmington, Delaware, E.U.A. Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A. ISBN 0-201-62564-4

Cómo usar este libro vii Agradecimientos vii

Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Apéndice

La geometría del espacio euclidiano 1 Diferenciación 27 Funciones con valores vectoriales 63 Derivadas de orden superior; máximos y mínimos 81 Integrales dobles 105 Integral triple, fórmula de cambio de variable y aplicaciones 125 Integrales sobre trayectorias y superficies 157 Teoremas integrales del análisis vectorial 187 Ejemplos de exámenes 211 Respuestas a los ejemplos de exámenes 219

CÓMO USAR ESTE LIBRO El propósito de esta guía de estudio es ayudar a entender el cálculo vectorial. Hemos organizado los capítulos y secciones de manera que correspondan al libro Cálcrrlo vectorial de Marsden y Tromba, tercera edición. Cada sección contiene objetivos, recomendaciones para el estudio y (lo más importante) soluciones de los ejercicios seleccionados. Además, hemos escrito cuatro ejemplos de exámenes. Los objetivos son un resumen corto de lo que debes aprender en cada sección y de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente. Los objetivos también deberían ayudarte a repasar para los exámenes. Las recomendaciones para el estudio son definiciones y hechos que debes tener presentes cuando hagas las tareas. También contienen advertencias sobre los errores más comunes. En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han trabajado. Algunas veces te pedimos que verifiques algo o que completes algún detalle, pero la mayoría de nuestras soluciones son tan completas como es posible. Sin embargo, no trabajamos los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu trabajo. Eso es trampa. Nosotros (así como tus profesores) pensamos que las matemáticas no son un deporte para expectadores. Para entender qué pasa debes hacer ejercicios. Si te has perdido (o te has dormido en clase, como alguno de nosotros siempre hizo), trabajar sobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar el camino de regreso. Si te sientes inseguro antes de los exámenes, la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras. Si eres estudioso y quieres hacer ejercicios adicionales, no tienes por qué hacerlos a ciegas ya que hemos proporcionado muchas soluciones. Aun si sólo hojeas nuestro pequeño libro diez minutos antes del examen, idebes sentirte más seguro respecto al cálculo vectorial! Te deseamos mucho éxito.

AGRADECIMIENTOS Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad de escribir este libro. Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden, quien nos permitió usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios necesarios, leyó meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerencias valiosas. También queremos agradecer a Andrew Hwang, quien proporcionó muchas de las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones. Karen Pao Frederick Soon

EUCLIDIANO 1.1 Vectores en el espacio tridimensional OBJETIVOS 1. Poder realizar las siguientes operaciones con vectores: suma, resta y multiplicación por un escalar.

2. Dados un vector y un punto, saber encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene la misma dirección del vector.

3. Dados dos puntos, encontrar la ecuación de la recta que pasa a través de éstos.

RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO 1. Notación sobre espacios. El símbolo R o R' representa al conjunto de todos los puntos de la recta real o a un espacio de dimensión 1. R2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que están en el plano, un espacio de dimensión 2. R3 representa al conjunto de todas las ternas ordenadas(x, y,z) que están en un espacio de dimensión 3. En general, el "exponente" en R" indica cuántas componentes tiene cada vector.

2. Vectores y escalnres. Un vector tiene longitud (magnitud) y dirección. Los escalares son sólo números. Los escalares no tienen dirección. Dos vectores son iguales si y sólo si tienen la misma longitud y dirección. Sus gráficas no necesitan partir del mismo punto. Los vectores de la figura son iguales.

3. Notación vectorial. Un vector se denota a menudo con letra negrilla, letra subrayada, una flecha sobre la letra, o con n-adas (xl,x2,. . . , x,,). El elemento xi de la n-ada se llama i-ésima componente.

iOJO!,la n-ada puede representar un punto o

1.1

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

3

8. Rectas. (a) La recta que pasa por a en la dirección de v es I(t) = a + tv. Ésta se llama forma punto-dirección de la ecuación de la recta porque la única información necesaria es el punto a y la dirección v. (b) La recta que pasa por a y b es I(t) = a + t(b - a). Ésta se llama forma puntopunto de la ecuación de la recta. Para ver si la dirección es correcta, debes hacer t = O y obtener el primer punto. Haz t = 1 y obtén el segundo punto. 9. Co~ijurltode generadores de un espacio. Si todos los puntos de un espacio se pueden escribir de la forma Xivi + X2v2+ . . . + X,,v,,, donde Xi son escalares, entonces los vectores vi,. . . , v,, generan el espacio dado. Por ejemplo, los vectores i y j generan al plano xy. 10. Derriostraciones geométricas. Una demostración se puede simplificar con el uso de vectores. Trata de comparar los métodos vectoriales con los no vectoriales haciendo el ejemplo 7 sin vectores. &

11. Resolirción (/e problenlas. Como los vectores tienen magnitud y dirección, se pueden representar gr3ficamente. Por lo tanto, con frecuencia es útil hacer un diagrama con objeto de visualizar un problema vectorial.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS 1. Debemos resolver las ecuaciones siguientes:

Obtenemos x = 4 y y = 17, de manera que (-21,23)

-

(4,6) = (-25, 17).

4. Convertimos -4i + 3j en (-4, 3, O), de manera que

(0.0,~) (O,Y,~) ..-.-.-.-. . . ... ..v

X

En el eje y los puntos tienen coordenadas de la forma (O, y, O), por lo tanto, debemos restringir los valores de x y z a O. En el eje z los puntos tienen coordenadas de la forma (O, 0, z), por lo tanto, debemos restringir los valores de x y y a O. En el plano xz los puntos tienen coordenadas de la forma (x, O, z), Por lo tanto, debemos restringir el valor de y a O.