Calculo Vectorial Formulario PDF
December 8, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
CONTENIDO ARITMÉTICA.............................................................................................................................................................................................4 Fracciones ...................................................................................................................................................................................................4 Leyes de los exponentes .......................................................................................................................................................................4 Leyes de los radicales ....................................................... ............................................................................................................................................................................ .....................................................................................................................4 Leyes de los signos ..................................................................................................................................................................................4 Valor absoluto ...........................................................................................................................................................................................5 Logaritmos..................................................................................................................................................................................................5
GEOMETRÍA ..............................................................................................................................................................................................5 Figuras geometría. (Área, volumen, perímetro) ....... ....................................................................................................................... ................................................................................................................5 Geometría plana .......................................................................................................................................................................................7 TRIGONOMETRÍA....................................................................................................................................................................................8 Trigonometría ...........................................................................................................................................................................................8 Identidades trigonométricas fundamentales ............. ............................................................................................................................. ................................................................................................................9 Identidades de sumas y restas de ángulos ..................................................................................................................................9 Identidades del doble y mitad de un ángulo ...............................................................................................................................9 Identidades de productos de funciones ........................................................................................................................................9 Propiedades de las funciones trigonométricas .........................................................................................................................9 Funciones trigonométricas para triángulos rectángulos ..................................................................................................10 Ley de los senos, cosenos, tangente .............................................................................................................................................10
ÁLGEBRA ................................................................................................................................................................................................. 10 Algunos productos ...............................................................................................................................................................................10 Binomio a la potencia .........................................................................................................................................................................11 Factorización ..........................................................................................................................................................................................11 CÁLCULO DIFERENCIAL .................................................................................................................................................................. 11 Sumatoria Sigma ...................................................................................................................................................................................11 Límites .......................................................................................................................................................................................................12 Derivadas..................................................................................................................................................................................................12 CÁLCULO INTEGRAL ......................................................................................................................................................................... 14 Integrales..................................................................................................................................................................................................14 CÁLCULO VECTORIAL ...................................................................................................................................................................... 19 Adición de Vectores ................ ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................19 Multiplicación de Vectores por escalar ......................................................................................................................................19 Diferencia de d e Ve Vectores ctores .......................................................................................................................................................................19 Vectores.....................................................................................................................................................................................................19 Área de una superficie de revolución .........................................................................................................................................22 Longitud de arco en forma paramétrica. ............................................................. ................................................................................................................................... ...................................................................... 22 Área en coordenadas polares ......................................................................................................................................................... 22 RECOPILADO POR: MTI. ULISES GIRÓN JIMÉNEZ
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Límite de una función Vectorial.....................................................................................................................................................22 Longitud de arco de una curva en el espacio .......................................................................................................................... 23 Curvatura..................................................................................................................................................................................................23 Derivadas Parciales ............................................................................................................................................................................. 23 Diferencial Total ...................... .................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. 23 Derivadas parciales p arciales de orden superi superior or ......................................................................................................................................24 Área de una región en el plano.......................................................................................................................................................24 Cambio de variables a la forma polar ......................................................................................................................................... 24 Integrales triples trip les en coordenadas cilíndricas .........................................................................................................................24 Integrales triples en coordenadas esféricas ............................................................................................................................24 Campo Vectorial .............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................... ...................... 25
ÁLGEBRA LINEAL ...............................................................................................................................................................................25 Números Complejos ............................................................................................................................................................................25 ECUACIONES DIFERENCIALES .................................................................................................................................................... 26 Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables ........................................................................................... 26 Ecuaciones diferenciales exactas ............................................................................................................................ .................................................................................................................................................. ...................... 26 Ecuaciones diferenciales con factores de integración ........................................................................................................ 26 Ecuaciones diferenciales d iferenciales lineales ................................................................................................................................................. 27 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli........................................................................................................................................27 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas ..................................................................................................................... 28 Ecuaciones diferenciales d iferenciales lineales no hom homogéneas ogéneas ............................................................................................................... 28 Transformada de Laplace ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. 30 Serie de Fourier ................................................................................................................................................ 32
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
ARITMÉTICA Fracciones Sumas o resta de fracciones fracc iones de diferente denominador
Sumas o resta de fracciones fracc iones de igual denominador
a
c
ac
a
b c
b d
a c d
b a
b
b
b
b
b a
b
c d c d
ad cb bd e adf cbf ebd f
bdf
División de fracciones
Multiplicación de fracciones
a c
a b ad c bc d
ac
b d bd c ac a d d
a b a c bc
a ad c c d
Leyes de los exponentes a p
0
a b 1
a 1 0
a a a p
q
a
p
aq
a p
pq
(ab) a b p
aq
p
q
1 a p q
1
a pq
p ab a pb p
p
a p
si p q
1 a p
a p
a p
p
a a p b b p
a p q si p q
Leyes de los radicales n
a a p
p n
n
x y n
n
n
n
xy
n
p
p
n
n
p n
(ab) a b a b p
x y a b
p n
x y
x ab x
Leyes de los signos Para la multiplicación
Para la suma
() ( ) ( ) ( )
()() ()() ()()
( ) ( ) (el resultado llevará el signo del sumando de mayor valor absoluto) absoluto)
()() () ( ) (el resultado llevará el signo del sumando de mayor valor
absoluto)
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Valor absoluto Propiedades del valor absoluto
a si a 0 a a si a 0
ab a b ab a b x b x b
bx
o
x b b x b
a x a x x b x a
x a
xa
Logaritmos
ln(e x ) x ln( x) x
ln( ab) ln(a) ln(b)
a ln ln(a) ln(b) b n
n ln(a ) ln(a )
GEOMETRÍA Figuras geometría. (Área, volumen, perímetro) Figura
Esquema
Área
Volumen
Atotal 2 r(h r )
Cilindro
V
r 2h
V
4 r 3
Atotal 4 r 2 Esfera
Atotal r 2 rg
Cono
A 6a
Prisma
r 2h
V
V
2
Cubo
3
3
a3
A (pe peri rim met etro robase h) 2 área áreabase V áreabase h
Piramide
A
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perim pe rim.base aplat 3
are abase h
are area abase
A
3
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS No. de Caras
Área
Tetraedro
4 caras, triángulos equiláteros
A a2 3
Octaedro
8 caras , triángulos equiláteros
A 2a2 3
Figura
Esquema
6 caras, cuadrados
Cubo
Dodecaedro
Icosaedro
Figura geométrica Cuadrado
Rectángulo
A 6a2
12 caras, pentágonos regulares
A 30 a ap
20 caras, triángulos equiláteros
A 5a2 3
Perímetro
Área
a a a a 4a
a a a2
a a b b 2a 2b
a b ab
abc
Triangulo
ah
2 Rombo
a a a a 4a
d c
Paralelogramo
a a b b 2a 2b
Trapecio
Polígono regular
a b c d
ab h 2
n = número de lados del polígono
a a a ... n a n veces
2 a h
períme per ímetro tro apot apotema ema 2
Circunferencia y circulo
2 r
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r 2
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Geometría plana La pendiente de una linea recta que pasa por los puntos ( x1, y1 ) y ( x2 , y2 ) es:
m
y2 y1 x2 x1
La ecuación de una linea recta: o Que pasa por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) es:
y y1
y2 y1 x2 x1
x x1
Que pasa por el puntos ( x1 , y1 ) y tiene pendiente m es:
o
y y1 m x x1 o Que intersecta al eje Y en el punto (0,b) y tiene pendiente m es
y mx b
La ecuación de una parabola o Con vértice en el punto (h,k) y foco en (h + p, k) es
( y k )2 4 p( x h) Con vértice en el punto (h,k) y foco en (h, k + p) es
o
( x h)2 4 p( y k )
En forma general
o
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0 , donde se debe cumplir que
b 2 4ac 0 y ademas los coeficientes a, c no se anulen simultaneamente. La ecuación de una circunferencia:
( x h)2 ( y k )2 r 2 2 bxy y2 dx ey f 0 En forma general es x bxy m2 m1 t a n ( ) k El ángulo entre dos rectas en el plano es 1 m1m2 Con vértice en el punto (h, k) y radio r es
o
o
P1 ( x1 , y1, z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z2 ) está dada por: d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
La distancia entre dos puntos
El vector a que une los puntos P1
( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z2 ) esta definido por:
a ( x2 x1 ), ( y2 y1 ), ( z2 z1 ) ( x2 x1 )i ( y 2 y1 ) j ( z2 z1 )k La magnitud de un vector
a a1i a2 j a3k es a a12 a22 a32
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
TRIGONOMETRÍA Trigonometría 1
CO Sen HIP Cos Tan
CA HIP Sen Cos
CO CA
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csc Sen 1 Sec
Cos
Ctg
1 Tan
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Identidades trigonométricas fundamentales 1 tan 2 ( x) sec2 ( x)
sec( x)
1 cot 2 ( x) csc2 ( x) 1 co cos 2 ( x) sen2 ( x)
csc( x)
cot( x)
1 sen( x)
1 cos( x) 1
tan( x) cot( x)
x
sen( x )
cos( x) cos( x) sen x
( )
tan( )
Identidades de sumas y restas de ángulos sen( x y ) sen( x) cos( y) cos( x) sen( y) sen( x y ) sen( x) cos( y) cos( x) sen( y)
cos( x y) cos( x) cos( y) sen( x) sen( y) sen( x y ) cos( x ))c cos( y) sen( x) sen( y)
tan( x) tan( y ) 1 tan( x) ta tan( y) tan( x) tan( y) tan( x y) 1 tan( x) tan( y)
tan( x y )
Identidades del doble y mitad de un ángulo sen(2 x) 2sen( x) cos( x)
1 cos( x) x sen
cos(2 x) cos2 ( x) sen2 ( x) 2 cos2 ( x) 1 2 ta tan( x) tan(2 x) 1 tan 2 ( x)
2 2 1 cos( x) x cos 2 2
Identidades de productos de funciones 1 1 cos(2 x) 2 1 cos2 ( x) 1 cos(2 x) 2 1 sen( x) cos( x) sen(2 x) 2 sen2 ( x)
1 cos( x y) cos( x y) 2 1 sen( x) cos( y) sen( x y ) sen( x y) 2 1 cos( x) cos( y ) cos( x y) cos( x y) 2 sen( x) sen( y)
Propiedades de las funciones trigonométricas
1. La función Sen (x) es impar, se cumple que sen( x) sen( x) 2. La función Cos (x) es par, se cumple que Cos( x) Cos( x) 3. La función Tan (x) es impar, se cumple que Tan( x) Tan( x) 4. La función Cot (x) es impar, se cumple que Cot ( x) Cot ( x)
x Co s ( x ) 2 6. El Sen(x) es el complemento del Cos(x), es decir Cos 2 x Sen( x) 7. El Tan(x) es el complemento de la Cot(x), es decir Tan 2 x Cot ( x) 5. El Cos(x) es el complemento del Sen(x), es decir Sen
8. El Cot(x) es el complemento de la Tan(x), es decir Cot x tan( x) 2
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Funciones trigonométricas para triángulos rectángulos Sen( A)
co h
a
Cot( A)
c
ca co
b
a
Sec( A) h c ca b h c CSC( A) co a
Cos( A) ca b h c co a Tan( A) ca b Donde: h = Hipotenusa (c );
co = cateto opuesto ( b );
Además el teorema de Pitágoras establece que:
ca = cateto adyacente ( a )
c a b 2
2
2
Ley de los senos, cosenos, tangente Las leyes siguintes son validas para cualquier triangulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C
Ley de los Senos
Ley de los Cosenos
a b c Sen( A) Sen(B ) Sen(C )
c
2
a2 b2 2abCos(C )
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
1 A B ab 2 ab 1 tan A B 2 tan
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
ÁLGEBRA Algunos productos a(c d ) ac ad
(a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
(a b)(a b) a 2 b 2
(a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc
(a b)(a b) (a b)2 a 2 2ab b 2
(a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
(a b)(a b) (a b) 2 a 2 2ab b 2
(a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3
( x b)( x d ) x 2 (b d ) x bd
(a b)(a3 a 2b ab 2 b 3 ) a 4 b 4
(ax b)(cx d ) acx (ad bc) x bd (a b)(c d ) ac ad bc bd
(a b)(a3 a 2b ab 2 b 3 ) a 4 b 4
(a b) a 3a b 3ab b
(a b )(a 4 a3b a 2b 2 ab 3 b 4) a5 b5
2
3
3
2
2
3
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(a b)(a 4 a 3b a 2b 2 ab 3 b 4 ) a 5 b 5
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Binomio a la potencia
Factorización Factor Común
Factor común por agrupación de términos
x ( a b ) y ( a b ) ax bx ay by
a (c d ) ac ad
Caso II. a 1
Factorización de trinomio cuadráticos
(mx p)( nx p) mnx (mp np ) x pq mx p x q mx2 (mq p) x pq donde : a mn; b mn np; c pq Caso III. a 1 m n Caso I. a 1 mx p mx q m2 x2 (mq mp) x pq ax2 bx c x p x q 2
b pq
c pq
CÁLCULO DIFERENCIAL Sumatoria Sigma a1 a2 ... an n
a
n
cak c
n
k
k 1
i 1
n
k 1
n
bk ) ak bk k 1
n
n
n
k 1
k 1
k
i 1
n
k 1
(a
i n(n2 1)
ak
k 1
k 1
C Cn
k
n
(a k 1
Propiedades de la sumatoria sigma
n
bk ) ak bk
n
i2
n(n 1)(2n 1)
6 n n 2 (n 1) 2 3 i 4 i 1 n n(n 1)(6n3 9n 2 n 1) 4 i 30 i 1 i 1
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Límites lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x)
lim c c xa
x a
x a
lim x a xa
lim
lim cf ( x) c lim f ( x) xa
x a
x a
x a
lim f ( x) xa g ( x) lim g ( x)
f ( x)
si lim g ( x) 0 x a
x a
lim f ( x) g ( x) lxima f ( x) lxima g ( x) lim x n a n
lim f ( x) lxima f ( x)
xa
x a
xa
1
lim(1 x) x e 2.71828...
lim
x 0
x0
x
1 lim 1 e x x
c
c
x x
0 0
c
c
lim 0
x 0
lim
x
x
lim cx 0
0
c
c
x x
c
c
lim 0 x
lim
x
x
0
c(0) 0
x 0
c( )
lim cx
1
1 cos( x)
x 0
lim
x 0
sen( x)
0
Derivadas Derivadas algebraicas d dx d dx d dx d dx
c 0
d d cu c u dx dx d d d uv u v v u dx dx dx d d d d u w v vw u uvw uv w uw dx dx dx dx
cx c
n1
cx ncx n
u v w ...
du dx v
d
n
n
dx
dF dx
dF du
dx
dw
...
dx
u u
u dx dx v d u nu 1 d
dv
d
v dx
2
v d dx
du
dx
u
Regla de la cadena
dF dx
1 dx / du dF
/ du dx / d du u
du dx
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. loga e du du a 0, a 1 logau dx u dx d 1 du lnu dx u dx d u du a au ln a dx dx d u du e eu dx dx
d uv d ev ln u evllnnu d v ln u vuv 1 du uv ln u dv dv dx dx dx dx dx
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Derivadas de las funciones Trigonométricas y de las trigonométricas inversas. d Se Senu nu dx d Cosu dx d tanu
Cosu
dx
dx
du
d Co Cos u
Senu
2
1
d S en en u
du
dx
1
dx
du
dx Sec u dx d cotu cotu 2 du CSC u dx dx d Se Secu cu du SecuTanu dx dx d cscu du cscuCotu dx dx
d
1
dx
1
d Co Cot u dx d
du
1
1 u2
dx
1
du
1 u dx 2
tan u
1u
2
1
1u
sec u
u
2
u
2
1 Sen n u Se
2
1 os s u 0 Co
tan1 u 2 2
0 Cot 1u
dx
1
dx du
2
1
dx
du
1
du
1 dx
u
1 du 2 u 1 dx
1 si 0 sec u 2 si sec1 u 2 d csc1 u dx
1
1 du du 2 u u 1 dx u u 1 dx 2
1 0 c s c si u 2 1 si - csc u 0 2 Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas reciprocas.
d dx d dx d
senhu cosh u
d du cothu csch2 u dx dx d du sech u sec hu tanh u dx dx d du csc hu csch u coth u dx dx
du
cosh u sen hu
dx du
dx du tanh u sech2 u dx dx
si cosh1 u 0, u 1 cosh1 u 0, u 1 si co 1 du d tanh1 u 1 u 1 1 u2 dx dx 1 du d coth1 u u 1 o u 1 1 u2 dx dx
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1 du 2 dx u u 1 dx si sec h1u 0, 0 u 1 1 s i h u u + s e c 0 , 0 1 d 1 du csc h1u 2 dx 2 dx u 1u u 1u d
1 d du sen enh h1u dx u2 1 dx 1 du d cosh1 u dx u2 1 dx
sec h1u
si si
du dx
u 0
u 0
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
CÁLCULO INTEGRAL Integrales
udv uv vdu u u du n 1 C n 1 n1
n
du
u ln(u) C e du e C u
u
csc(u)cot(u)du csc(u) C tan(u)du ln sseec(u) C cot(u)du ln se n(u) C sec(u)du ln sseec(u) tan(u) C csc(u)du ln ccssc(u) cot(u) C
u
a
a du ln(a) C u
sen(u)du cos(u) C cos(u)du sen(u) C sec (u)du tan(u) C csc (u)du cot(u) C sec(u)tan(u)du sec(u) C 2
2
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
CÁLCULO VECTORIAL Adición de Vectores Si se tiene a a1, a2 y
b b1, b2
entonces a b a1 b1, a2 b2
Multiplicación de Vectores por escalar Multiplicación de vectores por escalares. Si a a1 , a2 y c es un escalar, entonces
ca ca1 , ca2
Diferencia de Vectores Sean a a1, a2 y
b b1, b2 la diferencia a b a1 b1, a2 b2
Vectores Dados dos vectores
a a1i a2 j a3k y b b1i b2 j b3k ::
El producto punto
o
a b a1b1 a2b2 a3b3
El producto cruz
o
i j k a x b a1 a2 a3 (a2b3 a3b2 )i (a1b3 a3b1 ) j (a1b2 a2b1 )k b1 b2 b3
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Ecuación de la recta que pasa por el punto
P0 ( x0 , y0 , z0 ) y tiene vector de dirección
v ai bj ck
x x0 at y y0 bt
o
Forma paramétrica z z0 ct
Forma simétrica
x x0
o
a
y y0 b
Los cosenos directores para el punto
z z0 c
P0 ( x0 , y0 , z0 ) cuyo vector posición es
P 0 x0i y0 j z0 k son: s on:
cos( )
x0
cos( )
P0
y0
cos( )
P0
z0 P0
Donde
P0 x02 y02 z02
El ángulo entre dos veectores a y b es: a b Cos( ) o Usando producto punto a b
Sen( ) Usando producto cruz; Sen
o
axb a b
Cambio de coordenadas
x rCos( ) y rSen( ) o Coordenadas cilindricas z z
o
x rSen( )Cos( ) y rSen( )Sen( ) o Coordenadas esféricas z rCos( )
El operador nabla se define como i
Sean F (t ) F1i F2 j F3k y
r x 2 y 2 y a rctan x z z
o
2 2 2 r x y z y a rctan x z 1 Cos x2 y 2 z 2
j k x y z
f ( x, y , z ) funciones
con derivadas parciales, entonces: f f f i j k o El gradiente de f ( x , y, z ) es grad ( f ) f x y z F1 F 2 F 3 o La divergencia de F (t ) es divF F x y z
RECOPILADO POR: MTI. ULISES GIRÓN JIMÉNEZ
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS i o El rotacional de F (t ) es rotF x F x F1 o
j
k
z F2 F 3 2 f 2 f 2 f 2 El laplaciano de f ( x , y, z) es f f f 2 2 2 x y z
RECOPILADO POR: MTI. ULISES GIRÓN JIMÉNEZ
y
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Área de una superficie de revolución rev olución
Longitud de arco en forma paramétrica.
Área en coordenadas polares
Límite de una función Vectorial
RECOPILADO POR: MTI. ULISES GIRÓN JIMÉNEZ
22
MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Longitud de arco de una curva en el espacio
Curvatura
Teorema
Derivadas Parciales
Diferencial Total
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23
MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Derivadas parciales de orden superior
Área de una región en el plano.
Cambio de variables a la forma polar
Integrales triples en coordenadas cilíndricas
Integrales triples en coordenadas esféricas
RECOPILADO POR: MTI. ULISES GIRÓN JIMÉNEZ
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Campo Vectorial
ÁLGEBRA LINEAL Números Complejos Forma binomial
Conjugado de un número complejo
z a bi
z a bi a bi
Suma de Números complejos
Producto de números complejos
(a bi ) (c di ) (a c) (b d )i
b d ) ( ad bc )i ( a bi )(c di ) ( ac bd
División de números complejos.
Argumento de un número complejo
(a bi) (a bi ) (c di) (c di) (c di) (c di) (ac bbdd ) (ad bc)i c2 d 2 ac bd bc ad i 2 c d 2 c2 d 2
Forma polar
Módulo de un número complejo.
r | z |
a 2 b2
z r
Producto de un número complejo en forma polar
De polar a binomial
r r Cos iSen
Z1 Z1 Cos1 iSen iSen 1
a rCos
Z2 Z 2 Cos2 iSen iSen 2
b rSen
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Z Z Z Z 1
2
1
2
iSen iSen (1 2 ) (1 2 )
Cos
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Forma exponencial
Formula de Euler
e Cos iSen i
z | z | e
Raíces de números complejos
Potencia de un numero complejo (fórmula de Moivre)
2k 2k z r Cos iSen p p 2, 3, 3, .....( p 1) k 0,1, 2, p
i
n
p
n
n
z r Cos( x) iSen( x) z n r n Cos(nx) iSen(nx)
ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables u
y
y ux
x
du
y u xu
u
u xu y
y g
dx
y x
u xu g (u)
x
du
g (u ) u
du
dx dx
; u
y x
g (u ) u
x
Ecuaciones diferenciales exactas Metodo de solución: 1. Dada la Ecuación diferencial M x, y dx N x, y dy 0 , vemo si es exacta
M N y x
fy N ( x, y) 2. Aplicamos la definición fx M ( x, y) 3. Integramos con respecto a x o con respecto a y f M x, y dx f N x, y dy 4. Al resultado lo derivamos con respecto a “y” o con respecto a “x” fy
M x, y dx y
fx
N x, y dy x
5. Igualamos el nuevo resultado a N o a M. 6. Integramos por ultima vez la ecuación
Ecuaciones diferenciales con factores de integración Método para encontrar el factor integrante F(x,y) Caso I. Factor I. Factor integrante dependiente de x. Suponga que:
My My Nx p( x) N Es una función que depende unicamente de x, la cual denotaremos por p(x). Entonces un factor integrante para ecuación es:
F ( x) e
p ( x ) dx
Caso II. Factor II. Factor integrante dependiente de y. Si se tiene que
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Nx Nx My p( y ) M Es una función de y únicamente, denotada por p(y), entonces p ( y ) dy F ( y) e
Caso III. Factores III. Factores de integración de la forma x m y n . Si existen m y n tales que
My Nx m
N M n x y
Entonces
F ( x, y) xm yn Es un factor integrante Multiplicar F(x, y) a la ecuación diferencial y la ecuación resultante es:
F ( x , y ) M ( x , y ) dx dx F ( x , y ) N ( x , y )dy 0 Caso IV: Si IV: Si existen funciones P(x) y Q(y) que satisfacen
My Nx N ( x, y) P( x) M ( x, y)Q( y) Entonces un factor integrante es P ( x ) dx
F ( x, y) e
Q ( y ) dy
e
Multiplicar F(x, y) a la ecuación diferencial y la ecuación resultante es:
F ( x, y ) M ( x, y)dx F ( x , y ) N ( x, y)dy 0
Ecuaciones diferenciales lineales Método para resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal dy f ( x ) y r ( x ) 1. Expresar en la forma dx
f ( x)dx
2. Calcular el factor F ( x) e 3. Integrar solamente el termino que se encuentra despues de la igualdad e igualar el resultado por F(x)y
F ( x) y F ( x)r ( x)dx
4. Despejar “y” en el resultado del paso ante rior.
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Método para resolver EDO de primer orden y de primer grado g rado del tipo de Bernoulli. 1. Representar en la forma
dy dx
f ( x) y r ( x) y n
2. Multiplicar ambos lados de la ecuación obtenida en el paso anterior por:
(1 n) y n 3. Aplicar el cambio de variable
z y1 n
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dz dy (1 n) y n dx dx
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Para convertir a la EDO de primer orden lineal 4. Resolver la ED obtenida en el paso anterior: dz dx
f1 ( x) z r1 ( x)
5. Calcular el factor integrante
F ( x) e
f1 ( x ) dx
6. Integrar solamente el termino que se encuentra despues de la igualdad e iualar el resultado por F(x)z
F ( x) z r1 ( x) F ( x)dx 1 n 7. Despejar z y sustituir z y en la solucion general de ecuacion dada.
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Ecuación característica de una ecuación diferencial lineal. Caso I: Raices reales distintas Si la ecuación am2 bm c 0 tiene raices reales distintas m1 y m2, llegamos a la solución:
y C1em1x C2em2 x
Caso II: Raíces reales repetidas Si la ecuación am2 bm c 0 tiene raices reales repetidas m1 = m2, llegamos a la solución:
y C1e m1x C2 xe m2 x Caso III: Raíces complejas conjugadas Si la ecuación am2 bm c 0 tiene raices complejas conjugadas llegamos a la solución:
m1 i m2 i y C1e ( i ) x C2e( i ) x
y e x C1 cos( x ) C2 sen( x)
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
Método de solución o Método de coeficientes indeterminados
Se debe pasar por las siguientes etapas: etapas: i) Determinar la función complementaria ii)
yc
Encontrar cualquier solución particular y y se llama método de los coeficientes indeterminados. p
y yc y p
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Soluciones particulares tentativas. A
1(cte) 5 x 7
Ax B
3 x 2 2
Ax2 Bx C
x3 x 1
Ax3 Bx2 Cx E
sen(4 x) cos(4 x)
A co cos(4 x) Bsen(4 x) A cos(4 x) Bsen(4 x)
e5 x
Ae5 x
(9 x 2)e5 x
(Ax B)e5 x
x 2e5 x
( Ax2 Bx C)e5 x
Ae3x cos(4 x) Be3 x sen(4 x)
e3 x sen(4 x)
o
5 x 2 sen(4 x)
(Ax2 Bx C) cos(4 x) (Ex2 Fx G) sen(4 x)
3 x xe cos(4 x)
(Ax B)e3x cos( 4 x) (Cx E )e3 x sen(4 x)
Método de variación de parámetros Para adoptar el método de variación de parametros a una ED de segundo orden.
a2 (x) y a1 ( x) y a0 (x) y g ( x) La llamaremos la ED a su forma estandar
y P( x) y Q( x) y f ( x) Aplicamos la regla de Cramer y la solución al sistema
y1u1 y2u2 0 y1u1 y2u2 f ( x)
Se expresa en terminos de determinantes
u1
w1 y2 f ( x ) w w
u2
w2 y f ( x) 1 w w
Donde
w
y1
y2
y1
y2
y y u y u p
1 1
y yc y p
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w1
0
y2
f ( x)
y2
w2
y1
0
y1
f ( x)
2 2
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS Transformada de Laplace
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
RECOPILADO POR: MTI. ULISES GIRÓN JIMÉNEZ
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Serie de Fourier
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
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33
MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
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MANUAL DE FÓRMULAS MATEMÁTICAS
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