Calculo Vectorial: Examen Parcial y Solucionario 2008-2
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Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Mecánica Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades
P.A 2008 II 21/10/2008 MB148
EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL _________ ___________________________ _____________ ______________ ______ _____ CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES SECC FIRMA ***************************************************************************************************
PREGUNTA 1 Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen de un sistema coordenado y sigue la curva C 1 : y = 1 x 5 2 hasta el punto (4; 1). como 32
se indica en la figura adjunta. Después sigue una trayectoria circular C 2 cuya curvatura igual a la la curvatura C 1 en el punto (4;1).
a. Calcule el radio de la trayectoria circular . b. Determine el centro de la trayectoria circular . y
4
Arco circular
2
C2 C1
(4;1) x 4
2
6
SOLUCION Parte A
t 5 / 2 γ (t ) = t ; 32 12 5t 3 / 2 `` 15t , , γ = 0; γ (t ) = 1; 128 64 `
i
γ ` x γ ``= 1 0
j 32 5t
64 12 15t 128
k
15t 1 2 0 = 0;0; 128 0
1
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K (4)
En t =4,
=
γ `x γ `` γ `
ρ( 4) =
1 K (4)
3
=
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15 64
5 2 3 1 + 8
⇒ ρ(4) =
=
120
(
3
89 )
89 89 120
Caso B:
→
T(4)
=
N (4) =
γ `(4) γ `(4)
= (8;5) 89
centro
( −5;8)
→
N
89 T
C = (4;1) + ρ(4) N (4) C
=
C =
(4;1)
+
(4;8)
89 89
(− 5;8)
120
89
= (4;1) +
89 120
(− 5;8)
7 ; 104 24 15
2
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PREGUNTA 2 Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto
)
2 , 1 de una
placa metálica cuya temperatura en ( x, y) es T( x , y ) = x 2 − y . Determine la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura. SOLUCION gra d T ( x, y )
= (2 x , − 1 )
Representamos la trayectoria por la función posición
r ( t ) = (x( t ) , y( t )) Un vector tangente en cada punto ( x(t ), y (t ) ) viene dado por
d x d y , d t d t
r ′( t ) =
Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de r ′ (t ) y gra d T ( x, y ) son las mismas en cada punto de la trayectoria. Luego d x d t
=
2 x
d y
y
d t
= −1
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para t = 0 y x = tiene la trayectoria
r (t ) = x( y ) =
y ( x)
2 , y = 1 − t se
2 e 2 t , 1 − t
2 e 2(1− y )
= 1−
1 2
3
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x 2
ln
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PREGUNTA 3 Para un fabricante de cámaras y rollos fotográficos, el costo total C (en dólares), de producir q c cámaras y, q f rollos fotográficos está definida por: C = 30q c + 0,0015q cq f + q f + 900 Las funciones de demanda para las cámaras y los rollos fotográficos están 9000 q = dadas por c y q f = 2000 − p c − 400p f respectivamente. p c p f Siendo p c es el precio por cámara y p f es el precio por rollo fotográfico. a) Determine la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de la cámara cuando p c = 50 y p f = 2 SOLUCION Primero se debe determinar ∂C ∂p c por la regla de la cadena,
∂c ∂c ∂qc ∂c ∂q f = + ∂ pc ∂qc ∂ pc ∂q f ∂pc − 9000 ∂c + (0.015qc +1(−1) = (30 + 0.015 q f ) Pc P f ∂ pc Cuando Pc =50 y Pf =2 entonces qc = 90 2 y qf = 1150. Después de
sustituir eso valores en
∂C ≈ −123,207 ∂ pc Pc=50 p f =2
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PREGUNTA 4 Considera la función definida por
f ( x : y ) =
− y2 ) + y2
xy( x 2 x2
;
0
;
( x; y ) ≠ ( 0;0 ) ( x; y ) = ( 0;0 )
a) Calcule D1 f(0;0) y D2f(0;0) b) Calcule D12 f(0:0) y D21f(0:0) SOLUCION a)
D1 f ( x , y ) =
y( x 4
D 2 f ( x , y ) =
x( x 4
+ 4x 2 y 2 − y 4 ( x 2 + y 2 )2 0
( x , y )
;
( x , y )
;
− 4x 2 y 2 − ( x 2 + y 2 )2 0
y4 ) ;
≠ ( 0 , 0 )
= ( 0 , 0 )
( x , y )
;
( x , y )
≠ ( 0 , 0 )
= ( 0 , 0 )
b) D f (0;0 + h) − D1 f (0;0) D12 f (0;0) = lim 1 h h → 0
D21 f (0;0) =
lim h →0
lim h →0
D2 f (h;0) − D2 f ( 0;0)
=
h
=
− h − 0 = −1 h
lim h→0
h − 0 = 1 h
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PREGUNTA 5 Jorge acaba de recibir S/.300 como regalo de cumpleaños y ha decidido gastarlos en discos DVD y juegos de video de computadora. El ha determinado que la utilidad (satisfacción) obtenida por la compra de “ x” discos DVD e “ y” juegos de video es U( x, y )
= ln ( x 2
y
)
Si cada DVD cuesta S/.20 y cada juego de video cuesta S/.30, ¿cuántos DVD y juegos de video debe comprar para maximizar la utilidad? SOLUCION
F( x; y ; λ ) = ( x 2 y ) − λ( 20x + 30y − 300 ) Usando el Método de Multiplicadores de Lagrange.
2
x 1
= 20 λ
(1)
= 30 λ
(2)
2y
20x + 30y − 300 = 0
(3)
De las ecuaciones (1), y (2) se tiene
x=
1 10 λ
, y
=
1 60 λ
, luego
reemplazamos estos valores en la ecuación (3) obtenemos
1 1 + 3 0 − 300 = 0 λ λ 10 60
20
resolviendo se tiene λ =
1 120
.
Por lo tanto Jorge debe comprar x = 12 discos DVD y = 2 juegos de video de computadora.
6
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